FS-200 Fısica General II UNAH

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

Ondas Estacionarias Sonoras

Elaborada por: Hector LaınezSupervisada por Fis. Ricardo Salgado

Coordinador de la asignatura Fis. Ramon Chavez.

Objetivos

1. Determinar experimentalmente la velocidad del sonido utilizando un tubo de resonancia.

2. Percibir el efecto de las ondas estacionarias sonoras en columnas de aire.

3. Calcular el factor de correccion (Efecto de borde) en el extremo abierto del tubo utilizado.

Figura 1: Tubo de Kundt.

Materiales y equipo

1. Tubo de Kundt

2. Soportes

3. Generador de senales

4. Bocina

5. Termometro

Marco teorico

Ondas Estacionarias

Considere funciones de onda para dos ondas cosenoidales transversales que tengan la mismaamplitud, frecuencia y longitud de onda pero que viajen en direcciones opuestas en el mismomedio:

y1 = A cos(kx− wt) y2 = −A cos(kx+ wt)

donde y1 representa una onda que viaja en la direccion +x y y2 representa una que viaja en ladireccion −x. Al sumar estas dos funciones da la funcion de onda resultante y:

y = y1 + y2

Reduciendo la expresion anterior utilizando identidades trigonometricas, la funcion de onda resultantese reduce a:

y = (2A sin kx) sinwt (1)

donde:

A = Amplitud de las ondas iniciales.

k = Numero de onda.

w = Frecuencia angular.

La ecuacion (1) representa la funcion de onda de una onda estacionaria.

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¿Que es una onda estacionaria?

Es un patron de oscilacion con un contorno estacionario que resulta de la sobreposicioon de dosondas identicas que viajan en direcciones opuestas.

Nodos y Antinodos

De la ecuacion (1) se puede observar que la expresion 2A sin kx es la amplitud de la onda estacionaria.

Nodos

A los puntos donde 2A sin kx = 0 se le llaman nodos.Si se resuelve la ecuacion para x y recordando que k = 2π

λse obtienen las posiciones para los nodos

x = 0,λ

2, λ,

3λ

2, .... =

nλ

2(2)

donde n = 0, 1, 2, 3...

Antinodos

A los puntos donde 2A sin kx = 2A es decir los puntos donde la amplitud es maxima se le llamanantinodos.Si se resuelve la ecuacion para x y recordando siempre que k = 2π

λse obtienen las posiciones para

los antinodos.

x =λ

4,3λ

4,5λ

4, ... =

nλ

4(3)

donde n = 1, 3, 5, ...

Ondas estacionarias en columnas de aire

El modelo de onda bajo condiciones de frontera tambien se aplica a ondas sonoras en una columnade aire como la que se encuentra en el interior de un tubo. Las ondas estacionarias son el resultadode la interferencia entre ondas sonoras longitudinales que viajan en direcciones opuestas.Podemos analizar las ondas sonoras estacionarias en una columna de aire con un aparato llamadoTubo de Kundt, se trata de un tubo horizontal cerrado en un extremo.

En dicho tubo, el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento porque la barrera rıgida eneste extremo no permite el movimiento longitudinal del aire.El extremo abierto de una columna de aire es aproximadamente un antinodo de desplazamiento.En sentido estricto, el antinodo de desplazamiento realmente se presenta un poco mas alla delextremo abierto de un tubo, esto se conoce como efecto borde y es necesario introducir un factorde correccion.

Con las condiciones de frontera de nodos y antinodos en los extremos de la columna de airese tiene un conjunto de modos normales de oscilacion, por lo tanto las frecuencias en una columnade aire para las cuales se forman ondas estacionarias son cuantizadas.

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Un tubo abierto en un extremo y cerradoen el otro se conoce como tubo cerrado.El extremo abierto es un antinodo dedesplazamiento y el extremo cerrado essiempre un nodo de despazamiento. Lafigura 2 muestra los primeros 3 modosnormales en un tubo cerrado. Las posibleslongitudes de onda estan dadas por:

λn =4L

n(n = 1, 3, 5, ...) (4)

Las frecuencias naturales asociadas con losmodos normales se obtienen de la relacion:

v = λf (5)Figura 2: Primeros 3 modos normales,

tubo abierto-cerrado.

De la relacion en (4) se puede observa que una manera para obtener diferentes modos normales enun tubo cerrado es variar su longitud. A mayor longitud, mayor sera el modo normal (n) que sepresentara en el tubo. Si se utiliza una frecuencia constante, es posible determinar la velocidad ala que se mueven las ondas en el aire (velocidad del sonido) a traves de la ecuacion (5).Sustituyendo (4) en (5) se obtine para las frecuencias naturales:

f =nv

4Ln(n = 1, 3, 5, ...) (6)

Como fue mencionado antes, el antinodo de desplazamiento se encuentra un poco mas alla delextremo abierto, por lo que es necesario introducir un factor de correccion que sera denotado pore . Intoduciendo este factor en la ecuacion anterior se obtiene:

f =nv

4(Ln + e)(n = 1, 3, 5, ...) (7)

Donde:

f = Frecuencia de la onda.

n = Modo normal.

Ln = Longitud del tubo para cada modo normal.

v = Velocidad del sonido.

e = Factor de correccion.

La velocidad del sonido varıa dependiendo de la temperatura, es posible obtener un valor teoricode la velocidad del sonido en el aire utilizando la siguiente relacion empırica:

vteorica = (331m/s)

√1 +

Tc273

(8)

Donde Tc es la temperatura en grados Celsius.

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Procedimiento Experimental

Procedimiento # 1: f = 1500Hz

1. Monte el tubo de kundt como se muestra en la figura 1.

2. Ajuste la frecuencia del generador de senales a 1500Hz.

3. Ajuste la intensidad de la senal de sonido hasta un valor que sea auditivamente perceptibleperceptible.

4. Coloque el piston del tubo en su posicion de mınima amplitud.

5. Expanda la longitud del tubo de kundt utilizando el piston hasta que perciba un pico en laintensidad del sonido. En este punto se habra formado el primer modo normal(n = 1) deoscilacion.

6. Utilizando la cinta metrica que se encuentra en el tubo, anote el valor de longitud para lacual se forma el primer modo normal en la tabla 1.

7. Expanda la longitud del tubo de kundt utilizando el piston hasta que perciba el siguiente picoen la intensidad del sonido. En este punto se habra formado el tercer modo normal(n = 3)de oscilacion.

8. Anote el valor de longitud para el cual se forma el tercer modo normal en la tabla 1.

9. Repita los pasos 5 y 6 para los modos normales de oscilacion superiores tomando nota de lalongitud del tubo en cada uno de los modos normales en la tabla 1.

Procedimiento # 2: f = 2000Hz

1. Monte el tubo de kundt como se muestra en la figura 1.

2. Ajuste la frecuencia del generador de senales a 2000Hz.

3. Repita los pasos 3 al 9 del procedimiento # 1 anotando los datos obtenidos en la tabla 2.

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Tabla de datos experimentales

N° f (Hz) n Ln (m) T (°C)123456789

1500

Tabla 1: Datos experimentales f= 1500Hz.

N° f (Hz) n Ln (m) T (°C)12345678910

2000

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Tabla 2: Datos experimentales f= 2000Hz.

Tratamiento de datos experimentales

1. Calculo de la velocidad del sonido mediante regresion lineal:Se calculara el valor de la velocidad del sonido utilizando el metodo de regresion lineal apartir de la ecuacion (7) del marco teorico. Reordenando los factores se obtiene:

Ln + e =nv

4f

Ahora despejando para Ln:

Ln =nv

4f− e (9)

Donde:

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y = Ln

x = n4f

A = −eB = v

De tal manera que la ecuacion (7) se exprese como y = A+Bx donde las constantes A y Bpueden ser calculadas mediante regresion lineal.

Calculos a realizar:

Realizar una regresion lineal con el modelo y definiciones anteriores y obtener el valorde A, ∆A, B y ∆B utilizando los datos de la tabla 1.

Exprese sus resultados de la siguiente manera:

A = A±∆A

B = B ±∆B

GraficaRealize un grafico de la ecuacion de ajuste lineal obtenida (y = A + Bx) junto con lospuntos de los valores experimentales.

De las definiciones anteriores se identifica al valor de la pendiente ’a’ como la velocidaddel sonido, exprese el resultado de la velocidad del sonido obtenido de la siguientemanera:

v = (B ±∆B)m/s

Error RelativoCalcule un valor teorico (vteorica) para la velocidad del sonido mediante la ecuacion (8)y el valor de temperatura de la tabla 1. Con este calcule el error relativo del resultadoexperimental mediante

ε =|vteorica − vexperimental|

vteorica

× 100 % (10)

Repita los calculos anteriores utilizando los datos de la tabla 2.

2. Analizando Nodos:Como se puede observar en la figura 2, la distancia entre un par de nodos adyacentes essiempre igual a λ

2, esta distancia puede ser calculada experimentalmente como la resta de la

longitud del tubo para modos normales consecutivos,

Con el resultado experimental para la velocidad del sonido v, calcule la longitud de ondaλ utilizando la ecuacion (5) para la frecuencia utilizada en la tabla 1.

Calcule el valor de λ2

y anote el resultado en la tabla 3.

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Calcule la distancia entre pares de nodos adyacentes utilizando la siguiente expresion

di = Ln+2 − Ln (n = 1, 3, 5, ...)

y anote sus resultados en la tabla 3.

Compare los resultados del calculo de λ2

y cada valor de di. Comente sus resultados.

N° λ2

di12345678

Tabla 3: Distancia entre nodos adyacentes.

Cuestionario

1. ¿Investigue utilizando su libro de texto como referencia que es un nodo de presion y unantinodo de presion?

2. En el tubo utilizado en el laboratorio, suponiendo que se mantenga la longitud del tuboconstante explique, como serıa posible modificar el modo normal que se presenta dentro deltubo.

3. Investigue a que se debe la correccion necesaria para considerar el efecto de borde y como esposible determinarla de forma aproximada.

4. Considerando un tubo de resonancia abierto en ambos extremos y utilizando las condicionesde frontera en (2) y (3), determine las frecuencias en las que se encuentran los modos normalespara un tubo abierto en ambos extremos (ecuacion 16.18 del libro de texto).

5. Como se relaciona la ecuacion deducida en la pregunta anterior para las frecuencias normalesen un tubo abierto-abierto con la de un tubo abierto-cerrado dado en la ecuacion (6).

6. ** Un tunel bajo un rıo tiene 2.00 km de largo. a) ¿A que frecuencia puede resonar el aireen el tunel? b) Explique si serıa necesario establecer una regla que prohıba sonar el claxonde los autos mientras estan en el tunel.

7. ¿El tono (o frecuencia) de un tubo de organo (abierto-abierto) aumenta o disminuye alaumentar la temperatura? Explique su respuesta.

8. Mencione almenos 3 factores que pudieron haber afectado la exactitud de los resultadosexperimentales.

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Bibliografıa

Fısica Universitaria. Vol.I ,Sears ,Zemansky ,13a.Ed.Fısica para Ciencias E Ingenierıa Vols.I y II Serway ,Jewett, 7a.Ed.Introduccion al analisis de Errores, John R. Taylor 2da ed.

© 2018, Diego Sosa, por las fotografıas.

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