Obsah Úvod-jazykmatematiky VelkouknihupłírodymohouŁístjenti,ktełírozu-mìjíjazyku,jím¾bylanapsÆna.Atímtojazykemje matematika. (GalileoGalilei)

Obsah

1 Úvod - jazyk matematiky 21.1 Co je to matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Co je algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Jazyk matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Polynomy 122.1 Co to je polynom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Operace s polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Hornerovo schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Kořeny polynomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Matice 383.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Elementární transformační matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Determinanty 614.1 Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Determinant matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3 Vlastnosti determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4 Výpočet determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.6 Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Inversní matice 925.1 Definice a výpočet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2 Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Maticové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Rejstřík 104

Anna Kalousová: Úvod do algebry 1 1. října 2007

Kapitola 1

Úvod - jazyk matematiky

Velkou knihu přírody mohou číst jen ti, kteří rozu-mějí jazyku, jímž byla napsána. A tímto jazykem jematematika. (Galileo Galilei)

Na otázku: Co je to matematika? většina lidí asi odpoví, že matematika jsou vlastně počty. Ti, kteří se budouchtít trochu blýsknout, možná řeknou, že se jedná o vědu o číslech. Ale je to tak doopravdy? Zkusme se nejprvezamyslet nad tím,

1.1 Co je to matematika

Na počátku určitě bylo počítání a tedy i čísla. No, na úplném počátku byl smysl pro počet, tedy schopnostvyjádřit počet pomocí slov. V primitivních společnostech byla tato slova jen pro „jedenÿ a „dvaÿ. Větší počtyse označovaly slovem „mnohoÿ. Pozůstatky toho nacházíme i v indoevropských jazycích, kde slovo „třiÿ mápodobný základ jako slovo označující „mnohoÿ, „přesÿ, či „zaÿ. Dalším dokladem je existence zvláštního duálníhočísla podstatných jmen. I v hodinách českého jazyka jste se jistě setkali s pozůstatky duálu, který současnáčeština používá už jen pro slova označující části těla vyskytující se po dvou (oči, uši, . . . ). V těchto primitivníchspolečnostech se ještě nepočítalo. Počítání totiž předpokládá uvědomění si jakýchsi vztahů mezi jednotlivýmipočty. Pak ale lidé objevili snadný způsob zaznamenávání větších počtů (pomocí prstů na rukou a případně i nanohou, tyčinek, kamínků, škeblí, . . . ) a lidstvo začalo počítat.První známý početní systém pochází ze Středního východu. Organizované zemědělství potřebovalo nějak

zaznamenávat stav zásob, sestavovat plán, uzavírat obchody, . . . Používali k tomu asi jeden centimetr velképečlivě tvarované hliněné předměty (válce, disky, kužely, . . . ). Každý tvar zřejmě označoval něco jiného (zvíře,objemovou či délkovou míru, . . . , později i vyráběné předměty). Tyto předměty byly pro potřeby účetnictvíukládány do hliněných pouzder, která pak byla zapečetěna. To nebylo moc praktické, protože když chtěl někdoprozkoumat obsah pouzdra, musel nejprve odstranit pečeť. Sumerští účetní proto začali na pouzdra vyrývatsymbolické značky označující počet kusů uvnitř. Tím se samotný obsah pouzder stal zbytečným, protože všechnydůležité informace už byly na vnější straně pouzdra. Dost dlouho ale ještě trvalo, než si to uvědomili a než začalipoužívat hliněné tabulky s vyrytými znaky. To byl obrovský krok v dějinách matematiky. Byl to vlastně přechodod fyzických předmětů k abstraktním symbolům.K tomu, aby lidé mohli počítat, byl důležitý také zápis čísel. Představte si třeba, že máte sečíst dvě čísla

zapsaná římskými číslicemi. A co teprve, kdybyste je měli vynásobit. K „počítáníÿ je vhodný poziční zápis čísla,tak jak ho běžně používáme. Starověké civilizace používaly tento zápis v desítkové (Indové, Číňané), dvacítkové(Mayové, Kelti) nebo dokonce v šedesátkové (Sumerové) soustavě.Ve starověku se počítání (aritmetika) používalo k ryze praktickým účelům (výpočty plochy, úrody, rozměrů

oltářů, pyramid, . . . ). Používala se pouze kladná celá čísla a jejich zlomky. V dochovaných textech jsou i snahypopsat postupy výpočtu, ale vždy jen pro konkrétní čísla. I když je leckdy zřejmé, že tato čísla slouží jen jakopříklady a dají se nahradit jakýmikoli jinými. Je také zajímavé, s jakou přesností dokázali spočítat přibližnéhodnoty některých iracionálních čísel. Třeba v Indii spočítali hodnotu

√2, která se od skutečné liší zhruba o dvě

miliontiny. Babyloňané se lišili dokonce o méně než jednu miliontinu (a to prosim v šedesátkové soustavě).


1.2. Co je algebra 3

V Řecku stála v popředí geometrie, čísla měla význam určitých vzdáleností, objemů. Řekové byli první,kdo přestali matematiku chápat jako jakousi „kuchařkuÿ, jak něco změřit, spočítat, . . . , a začali ji studovat.Thalés zavedl myšlenku matematického důkazu, Aristoteles položil základy logiky, Eukleides formuloval základnípostuláty geometrie.V 17. století nezávisle na sobě Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz zavedli koncepci diferenciálního

a integrálního počtu. Tím se matematika stala také naukou o pohybu a změnách. Ale právě diferenciální a in-tegrální počet vedl matematiky k zamyšlení nad „základyÿ matematiky, vznikla teorie množin a spolu s ní seznovu začala rozvíjet matematická logika. Ve 20. století došlo k ohromnému rozvoji matematiky, původní oboryjako třeba aritmetika, geometrie, algebra, . . . se rozdělily na různé podobory, vznikly také nové obory, třebateorie výpočetní složitosti, . . .Jak tedy odpovědět na otázku, kterou jsme si položili na úvod? V poslední době se matematika definuje

jako věda o strukturách. Zkoumá struktury numerické, struktury tvarů, pravděpodobnostní struktury, strukturyreálné nebo vymyšlené, statické i dynamické. Podle zkoumaných struktur pak vznikla různá odvětví matematiky.Otázkou je, jak moc matematika souvisí s reálným světem. Jistě jste i vy sami několikrát matematiku pro

řešení nějakých „praktickýchÿ problémů (jako např. „kolik rohlíků můžu denně sníst, když mám na tři dnypadesát korunÿ nebo „kolik zaplatím za nový koberec, když jsem starý zničilÿ nebo „jakou rychlostí by museljet autobus městské dopravy, abych stihnul aspoň závěr cvičení, které končí za deset minutÿ apod.) použili. Veškole jste různé děje ve světě popisovali pomocí matematických vzorců. Snad v každé vědecké práci se nějakýten matematický vztah objevuje. Je to tedy tak, že svět kolem nás se chová podle nějakých matematickýchvztahů a úkolem vědy je tyto vztahy objevovat?Máme vlastně dva různé světy. Ten „skutečnýÿ svět věcí a vztahů mezi nimi a ten „matematickýÿ, pomocí

kterého ten skutečný svět popisujeme. Cesta ze skutečného světa do světa matematiky se nazývá abstrakce(odhlédneme od nepodstatných věcí, jako třeba že z těch pěti jablek na stole je jedno shnilé a dvě nezralá), cestav opačném směru se nazývá specifikace. Když tedy řešíme nějaký problém v reálném světě, pomocí abstrakceho převedeme do matematického světa (popíšeme ho nějakými rovnicemi, . . . ), tam ho vyřešíme a to řešení zasepomocí specifikace převedeme do reálného světa. Když se vrátíme k těm jablkům na stole - je jich pět, nás jetaky pět, matematicky je to jasné, každý si vezme jedno jablko. No, radši si to své půjdu rychle vybrat.

1.2 Co je algebra

Již od nejstarších dob se při řešení konkrétních příkladů objevovaly úlohy, které bychom dnes označili jako řešenílineárních nebo kvadratických rovnic, případně jejich soustav.Ve starověku byly tyto úlohy formulovány slovně, nepoužívala se žádná symbolika (první pokusy o jakousi

algebraickou symboliku nacházíme až v Diofantově Aritmetice), často byla využívána geometrická terminologie(neznámá byla označována jako strana, její druhá mocnina jako čtverec, pokud byly neznámé dvě, byly označo-vány jako délka a šířka, . . . ). Při řešení byla někdy formulována nějaká pravidla, ta ale nebyla nijak zdůvodňo-vána. Na egyptských papyrech nacházíme úlohy, které vedou na řešení rovnic typu x+ax = b a x+ax+ cx = b.Egypťané je řešili metodou falešného předpokladu.Rovnice řešili také v Číně. Nejstarším zachovaným dílem je Jiu zhang suan shu, česky Matematika v devíti

knihách nebo také Devět kapitol o matematickém umění, stručně Devět kapitol. Doba jeho vzniku je nejasná, aleurčitě to bylo před naším letopočtem. Shrnuje poznatky z předchozích dob. Na konkrétních příkladech jsou zdeukázány metody výpočtů, které Číňané používali. Poznáváme, že znali zlomky, počítali druhé a třetí odmocniny,obsah kruhu (ale používali π = 3), . . . Zajímavá je 8. kapitola, kde je popsána metoda řešení soustav lineárníchrovnic nazývaná fang čcheng. Jde o jakousi obdobou Gaussovy eliminace, o které bude v těchto skriptech ještěřeč. Koeficienty jednotlivých rovnic Číňané „zapisovaliÿ do sloupců a následně prováděli eliminaci elementárnímisloupcovými úpravami. Číňané čísla v pravém slova smyslu nezapisovali. Na počítací desce je znázorňovalipomocí tyčinek. Měli „znakyÿ (určité uspořádání tyčinek) pro číslice od jedné do devíti a ty byly dvojího druhu(pro sudé a liché řády). Čísla pak „zapisovaliÿ v desítkové soustavě. Samostatný znak pro nulu neměli, pokud sev desítkovém zápisu čísla někde nula objevila, prostě tam žádnou tyčinku nepoložili. Při manipulaci se v tabulceněkdy objevovala i záporná čísla, ta byla na desce odlišena červenou barvou tyčinek. Záporná řešení rovnicČíňané neznali.Ve středověku zaujímala významné místo arabská matematika. V roce 850 vydal arabský matematik Abou

Jafar Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi knihu Kitab al-jabr wa’l muqabalah. Kniha v šesti krátkých kapitoláchpopisovala způsoby řešení šesti typů lineárních a kvadratických rovnic (řešením byla stále jen kladná čísla).K tomu, aby se rovnice upravila na jeden z probíraných typů, se používaly dva kroky. Jeden se nazýval al-jabr


4 Kapitola 1. Úvod - jazyk matematiky

a odpovídal převedení členu z jedné strany rovnice na druhou s opačným znaménkem. Tedy z rovnice x+3 = yodvodíme rovnici x = y − 3. Druhým krokem byl al-muqabalah, kterému odpovídala eliminace stejných neboopačných členů, např. z rovnice y + 3 = x + 3 odvodíme rovnici y = x nebo z rovnice a+ y − a = x odvodímerovnici y = x. Tato kniha byla ve 12. století přeložena do latiny a vydána pod názvem Liber algebrae etalmucabola (překladatel Robert de Chester si nedal moc práce s překladem názvu) a odtud pochází názevalgebra. Jméno autora bylo do latiny přepsáno jako „Algorismiÿ a časem z něho vzniklo slovo algoritmus. Dalšíarabský matematik al’Karadží jako první vymezil algebru jako vědu, která učí, jak vypočítat neznámé veličinypomocí veličin známých.Až do 17. století lze algebru charakterizovat jako zobecnění a rozšíření aritmetiky. Zabývala se především ře-

šením polynomiálních rovnic. Zavedla také symbolické znaky pro operace a začala označovat neznámou písmeny.V 16. století italští matematici odvodili vzorce pro výpočet kořenů polynomů 3. a 4. stupně. Při výpočtech seale pod druhou odmocninou objevovala i záporná čísla. Docházelo k tomu dokonce i v případech, kdy kořenybyly reálné. To vedlo k zavedení nových čísel označovaných trochu hanlivě jako čísla imaginární (pomyslná,vymyšlená, . . . ) nebo dokonce „impossibleÿ. Ne všichni matematici totiž byli ochotni je přijmout. Až o dvěstoletí později se velcí matematici jako d’Alembert, Gauss nebo Euler zasadili o jejich přijetí. V 19. století irskýmatematik William Hamilton vytvořil algebraickou teorii komplexních čísel (pohled na komplexní čísla jako nauspořádanou dvojici čísel reálných). Pokusil se komplexní čísla rozšířit a vytvořil teorii kvaternionů.V 19. století se v algebře stále zkoumala otázka řešitelnosti polynomiálních rovnic vyšších řádů pomocí

radikálů, tedy užitím algebraických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování. Přizkoumání této otázky francouzský matematik Evariste Galois zavedl pojem grupy a to už byl počátek moderníalgebry.

þ Krátký život Evariste Galoise je jako román. Narodil se 25. října 1811 v Bourg-la-Reine nedaleko Paříže. Jeho otec byl starostouměstečka, matka dcerou soudce. Ve dvanácti letech (do této doby byl vyučován matkou) vtoupil Evariste do lycea Ludvíka Velikého.Zpočátku studoval velmi úspěšně, pak ale zlenivěl, takže musel jeden ročník opakovat. Začal navštěvovat lekce matematiky ve tříděM. Verniera. Školní matematika mu nestačila, a tak četl práce matematiků tehdejší doby. V roce 1828 se sám připravoval na přijímacízkoušky na pařížskou Polytechniku. Neuspěl. Vrátil se na lyceum. V té době publikoval svůj první matematický článek. Také napsalprvní pojednání o rovnicích a poslal je na Akademii věd. Cauchy ale tuto práci ztratil. 2. července 1829 spáchal Galoisův otecsebevraždu kvůli pomluvám, které o něm začal rozšiřovat nový místní kněz. O pár dní později Galois podruhé neuspěl u přijímacíchzkoušek na Polytechniku. Traduje se, že při zkoušce rozhořčený Galois hodil po examinátorovi hadr na mazání tabule. Začal studovatna École Normale. Napsal další pojednání o polynomiálních rovnicích a poslal je znovu do Akademie věd. Fourier si vzal rukopisdomů, ale o něco později zemřel, takže rukopis byl zase ztracen. Před a po revoluci v roce 1830 se politika stala důležitou součástíGaloisova života. Pro své dva články byl vyloučen ze školy. V květnu 1831 byl uvězněn, v červnu propuštěn, v červenci znovuzadržen a v říjnu odsouzen na 6 měsíců jako recidivista. V březnu následujícího roku byli vězni kvůli epidemii cholery přestěhovánido nemocnice s policejním dozorem. Tady se asi seznámil s „femme fataleÿ svého života. Okolnosti jsou nejasné, ale 30. května1831 měl Galois duel, při kterém byl zraněn a opuštěn jak soupeřem tak vlastními sekundanty. Našel ho vesničan a dopravil donemocnice, kde následující den zemřel v náručí svého mladšího bratra. Bylo mu dvacet let. Tak svět přichází o matematiky . . . Jehopráce byly znovuobjeveny až po více než deseti letech. V září 1843 Joseph Liouville v Akademii oznámil, že v Galoisových pracechnašel odpověď na otázku řešitelnosti polynomiálních rovnic pomocí radikálů. O dva roky později tyto práce vydal bez jakýchkolivlastních komentářů.

Grupa je základní algebraická struktura. Příkladem může být třeba množina celých čísel s operací sčítání.Nebo množina nenulových racionálních čísel s operací násobení. Množina reálných čísel s operací sčítání, . . . Vevšech těchto případech jsou splněny následující podmínky:

1. Operace je asociativní. Když třeba sčítáme (1 + 2) + 3, dostaneme stejný výsledek, jako když sčítáme1+ (2+ 3). Když násobíme (1 · 2) · 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme 1 · (2 · 3). Zřejmě toplatí i v ostatních případech.

2. Existuje vždycky výjimečný prvek, který má tu vlastnost, že když vstoupí do operace s jakýmkoli číslem,výsledek je to číslo. U sčítání má tuto vlastnost nula, vždycky a + 0 = a a také 0 + a = a. Pro násobeníje tímto číslem jednička, zase a · 1 = a a 1 · a = a. Takovémuto číslu říkáme neutrální prvek, někdy takéjednotkový (násobení) nebo nulový (sčítání).

3. Ke každému číslu můžeme najít takové číslo, že výsledek operace provedené s těmito dvěma čísly je rovenpříslušnému neutrálnímu prvku. Tak třeba v případě sčítání celých čísel je 3 + (−3) = 0, 5 + (−5) = 0,−3 + 3 = 0, obecně a + (−a) = 0. V případě násobení nenulových racionálních čísel máme 5 · 15 = 1,(− 14 ) · (−4) = 1, obecně a · 1

a= 1. Takovému číslu pak říkáme opačný (v případě sčítání) nebo inversní

(v případě násobení) prvek.

4. Asi také všichni víte, že tyto operace jsou komutativní (např. když sčítáme 2+3, dostaneme stejný výsledekjako když sečteme 3+ 2, nebo když násobíme 2 · 3, dostaneme stejný výsledek, jako když násobíme 3 · 2).

1. října 2007 4 Anna Kalousová: Úvod do algebry

1.2. Co je algebra 5

Ale to v případě grup není pravidlem. Pokud má grupa navíc tuto vlastnost, říkáme jí komutativní nebotaké Abelova grupa.

Co je těmto příkladům společné? Vždy jsme měli nějakou množinu s nějakou binární operací. Raději nebu-deme rozebírat, co to je množina, a spokojíme se s intuitivní představou nějakého souboru prvků. Slovo operacese také běžně používá. Co si pod tím ale představit? Vezměme třeba to sčítání celých čísel. K čemu při němvlastně dochází? To vezmeme nějaká dvě celá čísla a přiřadíme jim jejich součet, tedy zase nějaké celé číslo.Při násobení je to podobné, vezmeme nějaká dvě čísla a přiřadíme jim jejich součin, zase nějaké číslo. Mohlibychom se tedy na operaci obecně dívat jako na nějaké zobrazení, které každé dvojici (raději uspořádané, nevšechny operace jsou komutativní) prvků přiřadí nějaký prvek (někdy jiný, někdy stejný jeko jeden z nich).A musí do operace vždycky vstupovat dva prvky? Co brání, aby byly tři, čtyři, . . . nebo jen jeden? Nebrání

tomu nic. Počet prvků, které do operace vstupují, se nazývá četnost nebo také arita operace. Jsou potomoperace unární, třeba taková, která číslu přiřadí jeho převrácenou hodnotu, binární, to jsou známé operacesčítání, odčítání, násobení nebo dělení, ternární, . . . , obecně n-ární. Důležité je, že to zobrazení musí přiřazovat„výsledekÿ každé uspořádané n-tici prvků z množiny. V tomto smyslu například dělení reálných čísel není operací,protože nelze dělit nulou. Když ale vezmeme množinu nenulových reálných čísel, dělení operací je. Definujme sinyní grupu.

1.2.1 Definice Grupa je neprázdná množina G s jednou binární operací ∗, která splňuje následující podmínky

1. pro všechny prvky a, b, c z množiny G platí a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (asociativita operace ∗).

2. V množině G existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny G je a ∗ j = j ∗ a = a (existenceneutrálního prvku).

3. ke každému prvku a z množiny G existuje prvek a−1 takový, že a∗a−1 = a−1 ∗a = j (existence inversníhoprvku).

Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny G platí, že a ∗ b = b ∗ a (komutativita operace ∗), nazveme tutogrupu komutativní nebo Abelovou.

Je vidět, že podle této definice jsou grupami také množina racionálních čísel s operací sčítání, množinanenulových reálných čísel s operací násobení, množina komplexních čísel s operací sčítání, množina nenulovýchkomplexních čísel s operací násobení, množina všech polynomů s operací sčítání, . . . Grupou ale není množinapřirozených čísel s operací sčítání, protože zde nemáme opačné prvky. Taky třeba množina všech racionálníchčísel s operací násobení, protože k nule neexistuje inversní prvek.Na reálných číslech ale známe dvě operace - sčítání a násobení. Spolu s operací sčítání tvoří tato množina

grupu, dokonce komutativní. Když odebereme nulu a uvažujeme operaci násobení, máme opět komutativnígrupu. Navíc víme, že obě tyto operace jsou spojeny distributivními zákony. Existuje nějaké pojmenování ta-kovéto struktury? Ano, říkáme jí těleso (v tomto případě dokonce komutativní těleso). Uveďme si ještě definicitělesa, protože lineární prostory, což je hlavní téma těchto skript, se obecně budují právě nad komutativnímitělesy. My se budeme omezovat pouze na lineární prostory nad reálnými čísly, ale často budeme používat vlast-nosti reálných čísel, které plynou právě z toho, že reálná čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativnítěleso.

1.2.2 Definice Těleso je alespoň dvouprvková množina T s dvěma binárními operacemi + a ·, která splňujenásledující podmínky

1. pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a+ b = b+ a (komutativita operace +).

2. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a+ (b+ c) = (a+ b) + c (asociativita operace +).

3. v množině T existuje prvek o takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a+ o = o+ a = a (existencenulového prvku).

4. ke každému prvku a z množiny T existuje prvek (−a) takový, že a + (−a) = (−a) + a = o (existenceopačného prvku).

5. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a · (b · c) = (a · b) · c (asociativita operace ·).



6. v množině T existuje prvek j takový, že pro všechny prvky a z množiny T je a · j = j · a = a (existencejednotkového prvku).

7. ke každému prvku a z množiny T \ {o} existuje prvek a−1 takový, že a · a−1 = a−1 · a = j (existenceinversního prvku).

8. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí a · (b+ c) = (a · b) + (a · c).

9. pro všechny prvky a, b, c z množiny T platí (a+ b) · c = (a · c) + (b · c).

Pokud navíc pro všechny prvky a, b z množiny T platí, že a · b = b · a (komutativita operace ·), nazveme tototěleso komutativní. 1

Příklady těles, se kterými jste se již setkali, jsou (kromě reálných čísel s obvyklým sčítáním a násobením)ještě také komplexní nebo racionální čísla vždy s obvyklými operacemi. Pokud znáte operaci modulo (zbytekpo dělení čísla a číslem b), může pro vás být příkladem tělesa také množina Zp = {0, 1, 2, . . . , p − 1}, kde p jeprvočíslo a kde sčítáme a násobíme právě modulo p. Ve všech těchto příkladech byla tělesa dokonce komutativní.Příkladem nekomutativního tělesa jsou již zmiňované kvaterniony.Zase nás může napadnout, proč by tyto operace musely být jen dvě. A proč obě binární? Samozřejmě to

není nezbytné. Můžeme mít množiny s konečně i nekonečně operacemi různých arit, které zase splňují nějaképodmínky. Pro většinu z nich už nemáme speciální název, obecně je označujeme jako (univerzální) algebry. Dáluž tento námět zkoumat nebudeme, protože by šel daleko nad rámec skript. Chtěla jsem jen naznačit, co zkoumádnešní algebra. Předmětem jejího studia jsou algebraické struktury, tedy neprázdné množiny, na kterých jsoudefinovány určité algebraické operace.Z algebry se vydělilo další odvětví matematiky a to lineární algebra. Lineární algebra zkoumá lineární (také

se říká vektorové) prostory a vše, co s nimi souvisí, např. lineární zobrazení, lineární formy, ale také soustavylineárních rovnic, matice, . . . Počátky lineární algebry najdeme v 17. století, kdy René Descartes jako prvnípopsal geometrické problémy (jako třeba průsečík přímek) formou lineárních rovnic. Více se rozvíjet začalaaž v 19. století, jsou s ní spjata jména jako Gauss, Jordan, Grassmann nebo Hamilton, který zavedl označenívektor. Zpočátku lineární algebra studovala prostory dimense dvě a tři. Pak se ale rozšířila na prostory libovolnékonečné i nekonečné dimense. S pojmem lineární prostor se setkáte téměř ve všech oblastech matematiky.

1.3 Jazyk matematiky

1.3.1 Příklad Plocha čtverce přidaná k jeho straně je rovna 34 .Řešení: Vezmi 1. Rozděl 1 na polovinu, dostaneš 12 . Výsledek umocni na druhou a dostaneš

14 . Přičti

34 a dostaneš

1. To je odmocnina z 1. Odečti 12 , kterou jsi dostal dělením 1 dvěma. Získal jsi stranu čtverce.

Takto nějak vypadalo řešení příkladů ve starověku. Šlo o příklad, který bychom dneska popsali jako řešeníkvadratické rovnice

x2 + x =34.

Když použijeme dnes dobře známou formulku, obdržíme dvě řešení, jednak 12 , tedy řešení, které získali i staro-věcí matematici, a pak také − 32 , což je řešení, které ve starověku neznali a také neuznávali, protože délka stranysamozřejmě nemůže být záporná.

Z uvedeného jsou snad vidět nejméně dvě výhody, které matematická symbolika přináší.

1. Příklad lze zapsat stručně a jasně.

2. Lze popsat obecné řešení, které je použitelné pro větší množství případů.

Na druhé straně se nic nesmí přehánět. Pokud by se v zápisu používaly jen symboly, text by byl nesrozumi-telný. Např.

S(f, x0)⇔ ∀ε∃δ(ε > 0 ∧ δ > 0 ∧ ∀x(|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε))

je vám jistě známá definice spojitosti funkce f v bodě x0 (to označujeme S(f, x0)). Nevím, jaký dojem ve vásvznikl, když jste tento zápis viděli poprvé, a to (předpokládám) vám předem vysvětlili, co ten pojem znamená,

1V literatuře se často nerozlišuje mezi tělesem a komutativním tělesem.


1.3. Jazyk matematiky 7

ale myslím, že asi nebyl úplně příjemný. A představa, že matematický text se bude skládat jen z takovýchtoformulek řazených jedna za druhou, je asi dost hrůzná.Nabízí se analogie s hudbou. Ta používá také speciální symbolický jazyk - notový zápis. Kdyby notový

zápis neexistoval, bylo by velmi obtížné reprodukovat slyšenou skladbu, snad jen nějakou jednoduchou píseň.Naproti tomu, když člověk dostane do ruky notový zápis, nemusí být schopný zapsanou melodii „slyšetÿ, snadjen tu jednoduchou. Záleží jistě na zkušenosti a hudebním sluchu. Ale je to namáhavé. Podobně i v matematiceje pro nás symbolický text výhodný, jak bylo naznačeno v úvodu této podkapitoly, ale i pro člověka s velkouzkušeností se symbolickými znaky je velmi namáhavé číst jen samé formulky. Proto je v matematice dobrévyužívat symboliky, ale je třeba ji také prokládat „normálnímÿ nesymbolickým textem. Protože tato skriptajsou určena pro „matematiky-začátečníkyÿ, bude v nich jen málo neznámých matematických symbolů.Výhodou symbolů je také jejich jednoznačnost. Příkladem může být spojka nebo, kterou používáme ve dvo-

jím významu - vylučovacím a nevylučovacím. Když řekneme „Přijde tam Petr nebo Pavelÿ, může to znamenat,že tam přijde právě jeden z nich (vylučovací) nebo také že přijde aspoň jeden z nich, možná i oba (nevylučovací).V matematice bychom v prvním případě použili symbol ⊕ a ve druhém ∨. Význam těchto dvou symbolů jejednoznačně dán a není tedy potřeba nějak složitě popisovat, co se tím vlastně myslí. Význam (sémantika)jednotlivých logických spojek je dán pravdivostními tabulkami pro jednotlivé spojky, s nimiž jste se již prav-děpodobně setkali na střední škole. Pro zopakování uvedeme pravdivostní tabulky základních logických spojek,tedy negace(¬), konjunkce (∧), disjunkce (∨), implikace (⇒) a ekvivalence(⇔).

a ¬a0 11 0

a b a ∧ b a ∨ b a⇒ b a⇔ b0 0 0 0 1 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1

V matematickém textu se také můžeme setkat s „kvantifikátoryÿ. Jeden se nazývá všeobecný, zapisuje se∀ a znamená, že tvrzení platí pro všechny hodnoty proměnné, která je za kvantifikátorem uvedena. Druhý senazývá existenční, zapisuje se ∃ a znamená, že tvrzení platí alespoň pro jednu hodnotu proměnné, která je zaním uvedena. Opatrní musíme být při negování tvrzení s kvantifikátory. Pokud totiž není pravda, že pro všechnax platí P (x), znamená to, že aspoň pro jedno x neplatí P (x), a ne že P (x) pro všechna x neplatí. Analogicky,pokud neplatí, že existuje x, pro které P (x) platí, znamená to, že P (x) neplatí pro žádné x. Když to zapíšemesymbolicky, máme

¬∀xP (x) odpovídá ∃x¬P (x).

¬∃xP (x) odpovídá ∀x¬P (x).

Ale matematický text se nevyznačuje jen speciálními symboly. Často se v něm objevují slova definice, věta,důkaz. Je možné, že jste se s těmito pojmy ještě nesetkali, proto si trochu objasníme, co znamenají.Možná se vám někdy stalo, že jste se s rodiči domluvili, že se vrátíte večer, ale při vašem návratu pak došlo

k jakémusi nedorozumění vyvolanému tím, že vaše představa o tom, co je večer, byla jiná, než představa vašichrodičů. Podobně když vám někdo v zimě řekne, že je venku docela teplo, může tam být chladněji, než kdyžse v létě dozvíte, že dnes tam moc teplo není. Je vidět, že v běžném jazyce používaná slova nemají obvyklepřesně vymezený význam. Občas díky tomu člověk narazí, ale většinou se lidé nějak domluví. V matematice jesituace poněkud jiná. Protože se pohybujeme v abstraktním světě, je potřeba používané pojmy přesně definovat(vymezit, popsat). Definice je tedy jakási úmluva, že něčemu, co jsme tady na spoustě řádek pečlivě a přesněpopsali, budeme říkat několika málo (obvykle jedním či dvěma) slovy. Například večer můžeme definovat jakoobdobí od 18 do 22 hodin zeměpisné šířce odpovídajícího času. A teplo může být, když je více než 20 Celsiovýchstupňů. V definici by zřejmě měly vystupovat pouze pojmy již dříve definované (pomineme-li spojovací slovíčkaz běžného jazyka). To se ale obvykle nevyžaduje, spíše se uvedou na začátku pojmy, jejichž znalost se předpo-kládá. Pokud je někdo nezná, musí si je najít v jiné literatuře. Kdybychom totiž chtěli všechno definovat „odzákladůÿ, příliš by narostl počet stránek a než by se čtenář prokousal k tomu novému, co mu chceme sdělit, asiby text odložil.V definici tedy zavádíme nějaký nový pojem prostřednictvím pojmů známých (definovaných již dříve nebo

těch, jejichž znalost se předpokládá). Ve větách pak popisujeme vztahy mezi pojmy. Matematická věta je většinouve tvaru implikace. Dá se tedy rozdělit na dvě části - předpoklady a závěr. Předpoklady jsou uvozeny slovy„nechťÿ, „pokudÿ, „jestližeÿ, „buďteÿ, „mějmeÿ, . . . Závěr následuje za slovy „potomÿ či „pakÿ. Někdy ta prvníčást (předpoklady) chybí. Takové tvrzení má prázdnou množinu předpokladů, platí vždy.



Každá matematická věta musí být dokázána, to znamená, že musí být ověřena její platnost. V důkazu seobvykle používají některé vlastnosti pojmu, které vypreparujeme z jeho definice, a také některé předchozí (jiždokázané) věty. Používáme při tom postupy, které matematika považuje za „správnéÿ. O tom, které to jsou, sedozvídáme z matematické logiky.Kromě těchto tří pojmů se v matematických textech objevují ještě různá tvrzení, pozorování, důsledky, lem-

mata, . . . Jsou to v podstatě také věty, ale těmito označeními rozlišujeme jakousi důležitost nebo složitost. Třebatvrzení je obvykle nějaká „menšíÿ věta, jejíž důkaz je jednoduchý. Pozorování je něco, čeho si lze „všimnoutÿbez nějakého velkého „studováníÿ. Důkaz je natolik jednoduchý, že se často vůbec neuvádí. Důsledek je věta,která přímo (snadno) plyne z jiné věty. Lemma je pomocné tvrzení. Používá se většinou tam, kde je důkaz větyobtížný a dlouhý. Zformuluje se několik pomocných tvrzení (lemmat), která sama o sobě nemusí být zrovnamoc zajímavá a jejichž důkazy většinou nejsou lehké. Když se jimi ale člověk prokouše, je důkaz věty naprostáhračka (no, to je trochu nadnesené, ale význam lemmat je opravdu v tom, aby z nich ta „krásnáÿ věta vyplývalajednoduše).I na střední škole jste se setkali se základními typy důkazů. Jak už bylo řečeno, je matematická věta většinou

ve tvaru implikace, tedy P ⇒ Z, kde P jsou předpoklady a Z je závěr. Můžeme postupovat přímo, tedypoužijeme postupně předpoklady a pomocí „správnýchÿ úsudků odvodíme závěr, nebo nepřímo, kdy vlastnědokazujeme ekvivalentní implikaci, totiž ¬Z ⇒ ¬P .

1.3.2 Příklady Ilustrujme si tento typ důkazu na několika příkladech.

1. Druhá mocnina sudého čísla je opět sudé číslo.

Přesněji bychom měli napsat: Pro všechna celá čísla z platí: Je-li z sudé číslo, pak také z2 je sudé číslo.Všeobecný kvantifikátor se ale v textu často vynechává. Také údaj, o jaká čísla se jedná, může v textuchybět, myslí se pak největší možná množina těch čísel, pro která má daná vlastnost (sudost) smysl.V našem případě je to množina celých čísel. Tvrzení platí také pro libovolnou podmnožinu, tedy i promnožinu přirozených čísel.

Než začneme větu dokazovat, musíme si ujasnit, co znamená, že je nějaké číslo sudé. Pravděpodobně víte,že sudá čísla jsou násobky dvou. Jak to ale matematicky zachytit? Většinou se používá následující definice:

Celé číslo z nazveme sudé, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 · a.

Přistupme nyní k dokazování. Předpokladem věty je, že z je sudé číslo, vlastní tvrzení pak říká, že takéz2 je sudé číslo. Přepíšeme si (podle definice), co to znamená, že z je sudé.

Existuje takové celé číslo a, že z = 2 · a.

Spočítáme z2 a potřebujeme ukázat, že i toto číslo je sudé, tedy že ho můžeme napsat ve tvaru 2 · b, kdeb je nějaké celé číslo.

z2 = (2 · a)2 = 4 · a2 = 2 · (2a2)Položíme-li b = 2a2, pak opravdu můžeme psát z = 2 · b, kde b je celé číslo, protože vzniklo z celéhočísla a operacemi (umocněním a vynásobením dvěma), na které jsou celá čísla uzavřená. Tím je tvrzenídokázáno.

2. Je-li z2 liché číslo, je také z liché číslo.

Uvědomme si nejprve, co znamená, že je nějaké číslo liché. Pravděpodobně každý ví, že toto číslo nenísudé. Uvedená věta se tedy dá přeformulovat ve tvaru

Jestliže z2 není sudé číslo, pak také z není sudé číslo.

To je ale ekvivalentní s předchozím, námi již dokázaným tvrzením, jak se můžeme přesvědčit z následujícípravdivostní tabulky, kde P označuje tvrzení z je sudé a Z tvrzení z2 je sudé.

P Z ¬P ¬Z P ⇒ Z ¬Z ⇒ ¬P0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 0 0 1 1



3. Druhá mocnina lichého čísla je opět liché číslo.

Opět si nejprve musíme ujasnit, co znamená, že je číslo liché. Asi nám moc nepomůže to, co jsme použiliv předchozím důkazu, totiž že není sudé. Dokonce ani když to přepíšeme ve tvaru

Celé číslo z nazveme liché, jestliže nexistuje takové celé číslo a, že z = 2 · a neboli celé číslo z nazvemeliché, jestliže pro všechna celá čísla a je z 6= 2 · a.

Potřebujeme nějaké „pozitivníÿ vyjádření. Třeba

Celé číslo z nazveme liché, jestliže existuje takové celé číslo a, že z = 2 · a+ 1.

A teď už budeme postupovat podobně jako v prvním důkazu. Spočítáme druhou mocninu a přepíšeme jive tvaru 2 · b+ 1.

z2 = (2 · a+ 1)2 = 4a2 + 4a+ 1 = 2 · (2a2 + 2a) + 1 = 2 · b+ 1,

jestliže položíme b = 2a2 + 2a.

4. Je-li z2 sudé číslo, je také z sudé číslo.

Využijeme-li opět toho, že celá čísla jsou buď sudá nebo lichá, tedy že být sudý znamená nebýt lichý, jezřejmé, že toto tvrzení je ekvivalentní s předchozím, které již bylo dokázáno.

Další způsob důkazu, se kterým jste se již setkali, je důkaz sporem. Ten využívá pravidlo o vyloučení třetího,což je jedno z pravidel platných v matematické logice. Říká vlastně, že vždycky musí platit tvrzení nebo jehonegace, nemůže nastat situace, kdy neplatí ani jedno z nich (jakási „třetí možnostÿ). Důkaz pak provádímetak, že předpokládáme, že uvedené tvrzení neplatí (tedy platí jeho negace), a z tohoto „předpokladuÿ dáleněco vyvozujeme. Naším cílem je odvodit nějaký nesmysl, něco, co určitě není pravda. Pokud se nám to podaří(ovšem ne díky nějakým našim špatným úsudkům - to by se to dokazovalo), označíme tento nesmysl jako spor (sezdravým rozumem, s nějakou obecně známou pravdou, s tím nesprávným předpokladem, . . . ). Jestliže jsme tedyz předpokladu, že tvrzení neplatí, odvodili spor, znamená to, že tento předpoklad byl nesprávný, nepravdivý,a tedy (podle pravidla o vyloučení třetího) musí být pravdivé to původní tvrzení.Důkaz sporem se velmi často užívá v případě tvrzení ve tvaru „Neplatí, že . . . ÿ a také při důkazech jed-

noznačnosti, tj. „Existuje jediný . . . ÿ, kdy předpokládáme, že existuje více (tedy dva) objektů s uvedenouvlastností, a dostaneme se ke sporu. Na ukázku si uvedeme jeden příklad důkazu sporem.

1.3.3 Příklad√2 není racionální číslo.

Důkaz provádíme sporem, proto předpokládáme, že√2 je racionální číslo (negace dokazovaného tvrzení). Zase

si nejprve musíme uvědomit, co je to racionální číslo. Jedna z definic (pro nás výhodná) říká:

Číslo a nazveme racionálním, jestliže existují nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že a = pq.

Kdyby tedy√2 bylo racionální číslo, musela by existovat nesoudělná celá čísla p a q, q > 0 taková, že

√2 = p

q.

Tento výraz umocníme na druhou (tím se rovnost neporuší) a máme

2 =(

p

q

)2

=p2

q2, tedy p2 = 2 · q2.

To ale znamená, že p2 je sudé. Podle posledního příkladu v minulé části víme, že musí být sudé také číslo p.Můžeme ho proto zapsat jako 2 ·a, kde a je nějaké celé číslo. Nyní do předchozího vztahu dosadíme za p = 2 ·a.

p2 = (2 · a)2 = 4 · a2 = 2 · q2, tedy q2 = 2 · a2.

To ovšem znamená, že q2 je sudé a tedy i q je sudé. A tím jsme u cíle. Proč? No přece p i q jsou sudá čísla, jejichspolečným dělitelem je číslo 2. A přitom podle předpokladu měla být nesoudělná! Možná ještě někdo váhá natím, co znamená, že jsou čísla nesoudělná. To definujeme tak, že jejich jediný společný dělitel je číslo 1. A myjsme našli jiného společného dělitele. To je samozřejmě kýžený spor. Takže předpoklad, že

√2 je racionální číslo,

je špatný. Musí platit jeho negace, tj.√2 není racionální číslo.



þ Možná jste se s tímto důkazem již setkali. Velice často se používá jako příklad důkazu sporem. Já jsem si ho vybrala proto, že jehezký (nepoužívají se žádné složité pojmy a úpravy), taky jsme využili toho, co jsme dokázali v předchozí části, a navíc se k němupojí zajímavá historka. Tento důkaz je tradičně připisován Hippasovi z Metapontu. Patřil mezi pythagorejce, žáky Pythagora, okterém jste už jistě slyšeli. Pythagorejci viděli v číslech obraz pravé podoby vesmíru, znali však pouze čísla přirozená a jejichzlomky (jak by také vzdálenost mohla být třeba záporná). Tím, že Hippasos objevil, že takovou přirozenou věc, jakou je úhlopříčkajednotkového čtverce, nelze vyjádřit v uznávaném tvaru, velmi otřásl základy jejich filosofie. Za trest byl ze společenství vyloučena pythagorejci mu dokonce zřídili hrob, aby bylo jasné, že je pro ně mrtvý. Traduje se, že ho dokonce vyvezli na širé moře a tamho hodili do vody, aby se utopil. Jak vidíte, nebylo vždy lehké být matematikem a objevovat nové věci. Objev iracionality

√

2 sepak pythagorejci snažili držet v tajnosti.

Posledním typem důkazu, o kterém se zmíníme, je důkaz matematickou indukcí. Je to jedna z nejsilnějšíchzbraní matematiky, protože nám umožňuje dokázat tvrzení pro všechna přirozená čísla (kterých je nekonečněmnoho), pokud dokážeme platnost pouze dvou tvrzení. Můžeme si to znázornit na tzv. dominovém efektu.Představte si, že máte řadu dominových kostek a chcete, aby spadly všechny, když strčíte do jedné z nich.

Co k tomu budete potřebovat? Jedním požadavkem bude, aby ty kostky stály tak blízko u sebe, aby každápadající kostka porazila i tu následující, tedy aby pád n-té kostky vyvolal pád (n + 1)-ní kostky. No a potomještě potřebujeme vybrat kostku, do které strčíme. Zřejmě to musí být první kostka, protože kdybychom strčilido druhé, třetí, . . . , spadly by jen ty za nimi, ty před nimi by zůstaly stát.Řada dominových kostek je ve skutečnosti jen konečná (takže bychom mohli třeba strčit i do poslední kostky

a požadovat, aby každá kostka shodila předchozí), ale tento princip můžeme použít i pro abstraktní situaci, kdyřada je nekonečná. A stejný princip používá i matematická indukce. Chceme-li dokázt, že nějaké tvrzení T (n)platí pro všechna přirozená čísla n, stačí ukázat, že platí T (1) (shození první kostky) a že z platnosti pro nplyne platnost pro n+1, tedy že pro všechna n ∈ N platí T (n)⇒ T (n+1) (n-tá kostka shodí (n+1)-ní kostku).Ukážeme si to opět na příkladu.

1.3.4 Příklad Ukažte, že pro všechna n ∈ N platí:

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + · · ·+

1n · (n+ 1) =

n

n+ 1

Důkaz provedeme matematickou indukcí. Nejprve dokážeme platnost pro n = 1.

11 · 2 =

12=

11 + 1

Teď potřebujeme dokázat indukční krok. Předpokládáme tedy, že pro libovolně zvolené pevné n platí

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + · · ·+

1n · (n+ 1) =

n

n+ 1,

a chceme dokázat, že potom platí

11 · 2 +

12 · 3 +

13 · 4 + · · ·+

1n · (n+ 1) +

1(n+ 1) · (n+ 2) =

n+ 1n+ 2

.

Vezmeme levou stranu dokazovaného výrazu a budeme ji upravovat, až získáme stranu pravou. První úpravouje rozložení upravovaného výrazu na součet součtu prvních n členů a (n+1)-ního členu, abychom mohli využítindukční předpoklad a součet prvních n členů nahradit. Potom oba zlomky převedeme na společného jmenovatelea upravíme.

11 · 2 +

12 · 3 + · · ·+

1n · (n+ 1) +

1(n+ 1) · (n+ 2) =

(

11 · 2 +

12 · 3 + · · ·+

1n · (n+ 1)

)

+1

(n+ 1) · (n+ 2) =

=n

n+ 1+

1(n+ 1) · (n+ 2) =

n · (n+ 2)(n+ 1) · (n+ 2) +

1(n+ 1) · (n+ 2) =

n2 + 2n+ 1(n+ 1) · (n+ 2) =

=(n+ 1)2

(n+ 1) · (n+ 2) =n+ 1n+ 2

.

Tím je tvrzení dokázáno.



Někdy se matematická indukce používá v trochu jiném tvaru. Můžeme například dokazovat, že nějaké tvrzeníplatí jen pro přirozená čísla, která jsou větší nebo rovna nějakému přirozenému číslu n0. Potom samořejmě tenprvní krok nedokazujeme pro jedničku, ale pro n0.

1.3.5 Příklad Ukažte, že pro všechna přirozená n ≥ 3 platí:

2n > 2n+ 1.

Nejprve dokážeme platnost pro n = 3.23 = 8 > 7 = 2 · 3 + 1

Nyní dokážeme indukční krok. Předpokládáme, že pro libovolně zvolené pevné n ≥ 3 platí

2n > 2n+ 1,

a chceme dokázat, že potom platí také

2n+1 > 2(n+ 1) + 1 = 2n+ 3.

Opět si levou stranu upravíme, abychom mohli použít indukční předpoklad.

2n+1 = 2 · 2n > 2 · (2n+ 1) = 4n+ 2

Zbývá nám dokázat, že 4n+ 2 > 2n+ 3. Protože n ≥ 3, je n > 2 a

4n+ 2 = 2n+ 2n+ 2 > 2n+ 2 · 2 + 2 = 2n+ 6 > 2n+ 3.

Tím je tvrzení dokázáno.

Někdy může být situace ještě složitější. Když se zase vrátíme k dominovým kostkám, můžeme si ji znázornittak, že jsou kostky rozloženy po ploše tak, že každá z nich může bý shozena nějakou kostkou, která je před ní.Nevíme ale, která to je. Může jich být zapotřebí i víc (jedna nestačí). Jak potom zajistíme, aby kostka spadla?Abychom měli jistotu, je potřeba, aby spadly všechny, které jsou před ní. Indukce pak probíhá takto: Nejprvezase tvrzení dokážeme pro nějakou nejmenší hodnotu (někdy raději i pro několik malých hodnot - pro jistotu).A potom z toho, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla menší než n, dokážeme, že platí i pro n. To jeindukční krok. Pokud toto zvládneme, můžeme směle prohlásit, že tvrzení platí pro všechna přirozená čísla(případně od nějakého počínaje). Ač se to možná na první pohled nezdá, jsou oba tyto principy matematickéindukce (říká se jim slabý a silný) ekvivalentní.

1.3.6 Příklad Ukažte, že každé přirozené číslo n ≥ 2 lze rozložit na součin prvočísel (tj. čísel, která lze dělitjen jimi samými a jedničkou).

Toto tvrzení jistě platí pro „maláÿ přirozená čísla.

2 = 2, 3 = 3, 4 = 2 · 2 = 22, 5 = 5, 6 = 2 · 3, . . .

Musíme ještě dokázat indukční krok. Mějme nějaké přirozené číslo n ≥ 2. Mohou nastat dva případy. Buď jetoto číslo prvočíslo, pak není třeba rozkládat (n = n), nebo prvočíslem není a dá se napsat jako součin dvoučísel (např. n = k · m), která jsou menší než n. Ale každé menší číslo už umíme rozložit na součin prvočísel(indukční předpoklad), proto i číslo n můžeme rozložit tak, že vynásobíme ty dva rozklady.

n = m · k = (m1 ·m2 · · ·ms) · (k1 · k2 · · · kt)

Je vidět, že jsme tady nemohli použít ten předchozí „slabýÿ princip. Tedy mohli, jsou totiž ekvivalentní, alemuseli bychom tou ekvivalencí „projítÿ, což by bylo zdlouhavé.


Kapitola 2

Polynomy

S polynomy jste se pravděpodobně setkali už na střední škole. A budete je potkávat i nadále, a to nejen v ma-tematice, ale i v jiných oborech. Často se používají k výpočtu přibližné hodnoty funkce v nějakém bodě (možnájste se již setkali s Taylorovým polynomem), používají se i k popisu chování některých veličin (naměřenýmihodnotami se „prokládáÿ polynomiální křivka). V této kapitole shrneme základní poznatky o polynomech.

2.1 Co to je polynom?

Jak český název (mnohočlen) napovídá, je polynom výraz, který má „mnoho členůÿ. „Mnohoÿ znamená blíženeurčený konečný počet (alespoň jeden), členy jsou výrazy typu „číslo krát mocnina proměnnéÿ. To číslo můžebýt reálné (reálné polynomy) nebo komplexní (komplexní polynomy),. . . a říká se mu koeficient. Pokud nebudeřečeno něco jiného, budeme v rámci těchto skript pod pojmem polynom rozumět vždy reálný polynom. Pouzev části věnované kořenům polynomů budeme muset přibrat polynomy komplexní, protože se může stát (jakjistě víte ze střední školy), že polynom s reálnými koeficienty nemá žádné reálné kořeny (má pouze komplexníkořeny). Naproti tomu všechny kořeny komplexního polynomu jsou komplexní čísla (nemusíme zavádět nějakánová). Budeme-li potřebovat zdůraznit, že koeficienty polynomu jsou čísla komplexní, reálná, racionální, čicelá, budeme mluvit o polynomu s komplexními, reálnými, racionálními, či celočíselnými koeficienty. Proměnnáse může jmenovat různě (x, y, z, a, b, . . . , α, β, . . .), mluvíme pak o polynomu v proměnné x, y, z, . . . , α, β, . . .Polynom je součtem svých členů.Některé koeficienty mohou být nulové, ty nás příliš nezajímají, v zápisu polynomu se zpravidla vynechávají.

Píšeme x5 + x3 − 2x+ 1 místo x5 + 0x4 + x3 + 0x2 − 2x + 1 nebo místo 0x6 + x5 + 0x4 + x3 + 0x2 − 2x + 1.Může nás také zajímat, jaká je nejvyšší mocnina proměnné, u níž je nenulový koeficient. Tomuto číslu říkámestupeň polynomu. Pokud žádné takové číslo neexistuje, tedy pokud má polynom všechny koeficienty rovny nule(nulový polynom), položíme stupeň roven −1.To, co jsme si tady popsali, teď zformulujeme do několika definic.

2.1.1 Definice Nechť a0, a1, . . . , an−1, an jsou reálná čísla. Algebraický výraz

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, což stručně zapisujeme

n∑

i=0

aixi,

nazveme polynom (v proměnné x), čísla a0, a1, . . . , an nazýváme koeficienty polynomu. Nulový polynom O(x)je polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny nule.

2.1.2 Definice Nechť P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x

2 + a1x + a0 je polynom. Stupeň polynomu P(označujeme stP ) je největší m ∈ N takové, že am 6= 0. Stupeň nulového polynomu položíme roven −1.Polynom nultého stupně se nazývá konstantní, prvního stupně lineární, druhého stupně kvadratický a třetího

stupně kubický.

2.1.3 Příklady

1. Polynom P1(x) = 3x2 + 5 má stupeň 2, je to kvadratický polynom.


2.2. Operace s polynomy 13

2. Polynom P2(x) = 0x4 + 0x3 + 3x2 + 5 má stupeň 2, je to kvadratický polynom.

3. Polynom P3(x) = 3 má stupeň 0, je to konstantní polynom.

4. Polynom P1(x) = 2x3 + 3x− 1 má stupeň 3, je to kubický polynom.

2.1.4 Definice Řekneme, že se polynomy

P (x) =n∑

i=0

aixi a Q(x) =

m∑

i=0

bixi

sobě rovnají, jestliže mají stejný stupeň (stP = stQ = k) a navíc ai = bi pro všechna i = 0, 1, . . . , k.

2.1.5 Příklady

1. Polynomy P (x) = 2x3 + x2 − 2 a Q(x) = 0x5 + 2x3 + x2 + 0x − 2 se sobě rovnají, protože mají stejnýstupeň (stP = stQ = 3) a koeficienty u jednotlivých mocnin se sobě rovnají.

2. Polynomy P (x) = 3x3 − x2 + x a Q(x) = 0x3 + 3x2 − x+ 1 se sobě nerovnají (nemají stejný stupeň).

2.1.6 Poznámka Mějme polynom anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0. Zřejmě platí následující rovnosti

anxn + · · ·+ a1x+ a0 = 0xn+1 + anxn + · · ·+ a1x+ a0 = 0x

n+2 + 0xn+1 + anxn + · · ·+ a1x+ a0 = · · ·

To znamená, že každý polynom můžeme „natáhnoutÿ na libovolnou délku tím, že přidané koeficienty položímerovny nule. Toho budeme využívat v případech, kdy bude potřeba, aby nějaké dva polynomy byly „stejnědlouhéÿ.

2.1.7 Poznámka V matematice se často můžete setkat i s jiným chápáním termínu polynom, totiž jako po-lynomiální funkce. To je taková (reálná nebo komplexní) funkce P (x) (reálné nebo komplexní) proměnné, žeexistují (reálná nebo komplexní) čísla a0, a1, . . . , an−1, an taková, že pro všechna x ∈ R nebo x ∈ C je

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0.

Rovnost polynomů se pak chápe jako rovnost funkcí a ukáže se, že platí to, co jsme my měli jako definici 2.1.4.Podobně operace se chápou jako operace s funkcemi a ukáže se, že platí vztahy, které my budeme mít jakodefiniční.

2.2 Operace s polynomy

Polynomy můžeme sčítat (člen po členu, přičemž ten „kratšíÿ doplníme nulami, aby měl stejnou „délkuÿ jakoten „delšíÿ), násobit (reálným) číslem (opět člen po členu) a také násobit mezi sebou (každý člen s každýmčlenem a následně sečíst koeficienty u stejných mocnin). Polynomy můžeme také dělit, ovšem pouze částečně ase zbytkem.

2.2.1 Definice Součet polynomů: Nechť P (x) = anxn + · · · + a1x + a0 a Q(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 jsoupolynomy a nechť m ≤ n. Položme bi = 0 pro i = m + 1, . . . , n. Součtem polynomů P (x) a Q(x) nazvemepolynom (P +Q)(x) definovaný

(P +Q)(x) = (an + bn)xn + · · ·+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0) =n∑

i=0

(ai + bi)xi.

2.2.2 Příklad P (x) = 2x3 − x2 + 5, Q(x) = 3x2 − 2x+ 1

(P +Q)(x) = (2x3 − x2 + 5) + (3x2 − 2x+ 1) = (2x3 − x2 + 0x+ 5) + (0x3 + 3x2 − 2x+ 1) =

= (2 + 0)x3 + (−1 + 3)x2 + (0− 2)x+ (5 + 1) = 2x3 + 2x2 − 2x+ 6


14 Kapitola 2. Polynomy

2.2.3 Pozorování Vlastnosti sčítání polynomů

1. Sčítání polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P +Q = Q+ P .

2. Sčítání polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (P +Q)+R = P +(Q+R).

3. Nulový polynom je neutrální vzhledem ke sčítání, tedy pro jakýkoli polynom P platí, že P+O = P = O+P .

4. Ke každému polynomu P existuje opačný polynom −P takový, že platí P + (−P ) = O = (−P ) + P .

Důkaz. Nechť

P (x) =n∑

i=0

aixi, Q(x) =

n∑

i=0

bixi, R(x) =

n∑

i=0

cixi,

pokud byly některé polynomy „kratšíÿ, doplnili jsme je nulovými koeficienty.

1. Sčítání reálných čísel je komutativní (použijeme u druhé rovnosti), proto

(P +Q)(x) =n∑

i=0

(ai + bi)xi =n∑

i=0

(bi + ai)xi = (Q+ P )(x)

2. Sčítání reálných čísel je asociativní (použijeme u druhé rovnosti), proto

((P +Q) +R)(x) =n∑

i=0

((ai + bi) + ci)xi =n∑

i=0

(ai + (bi + ci))xi = (P + (Q+R))(x)

3. Díky komutativitě stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P+O = P . Nula je neutrální vzhledem ke sčítáníreálných čísel, proto

(P +O)(x) =n∑

i=0

(ai + 0)xi =

n∑

i=0

aixi = P (x).

4. Položme

(−P )(x) =n∑

i=0

(−ai)xi, kde − ai je opačné číslo k číslu ai.

Opět stačí dokázat jen jednu rovnost, třeba P + (−P ) = O. Zřejmě

(P + (−P ))(x) =n∑

i=0

(ai + (−ai))xi =n∑

i=0

(ai − ai)xi =n∑

i=0

0 · xi = O(x)

-,

2.2.4 Poznámka Tyto čtyři vlastnosti jsou vlastně axiomy komutativní grupy, které byly uvedeny v definici1.2.1. Množina polynomů s obvyklým sčítáním proto tvoří komutativní grupu.

Díky poslední vlastnosti můžeme také definovat odčítání polynomů jako přičítání opačného polynomu, tedy

(P −Q)(x) = (P + (−Q))(x).

2.2.5 Příklad P (x) = 2x3 − x2 + 5, Q(x) = 3x2 − 2x+ 1

(P −Q)(x) = (2x3 − x2 + 5)− (3x2 − 2x+ 1) = (2x3 − x2 + 0x+ 5) + (−0x3 − 3x2 − (−2)x− 1) =

= (2− 0)x3 + (−1− 3)x2 + (0 + 2)x+ (5− 1) = 2x3 − 4x2 + 2x+ 4



2.2.6 Definice Násobení polynomu číslem: Nechť P (x) = anxn + · · · + a1x + a0 je polynom, α (reálné) číslo.α-násobkem polynomu P (x) nazveme polynom (α · P )(x) definovaný

(α · P )(x) = α · anxn + · · ·+ α · a1x+ α · a0 =n∑

i=0

(α · ai)xi

2.2.7 Příklad P (x) = 2x3 − x2 + 5

(3 · P )(x) = 3 · (2x3 − x2 + 5) = (3 · 2)x3 + (3 · (−1))x2 + (3 · 5) = 6x3 − 3x2 + 15

2.2.8 Pozorování Pro jakékoli polynomy P, Q a jakákoli (reálná) čísla α, β platí

1. α · (β · P ) = (αβ) · P .

2. (α+ β) · P = α · P + β · P .

3. α · (P +Q) = α · P + α ·Q.

4. 1 · P = P .

5. 0 · P = O.

Důkaz. Nechť

P (x) =n∑

i=0

aixi, Q(x) =

n∑

i=0

bixi,

pokud byl jeden z nich „kratšíÿ, doplnili jsme jej nulovými koeficienty.

1. Násobení reálných čísel je asociativní, proto

(α · (β · P ))(x) =n∑

i=0

(α(βai)) · xi =n∑

i=0

((αβ)ai) · xi = (αβ) ·n∑

i=0

aixi = (αβ) · P (x)

2. Násobení reálných čísel je distributivní vzhledem ke sčítání, proto

((α+β)·P )(x) =n∑

i=0

((α+β)·ai)·xi =n∑

i=0

(α·ai+β ·ai)·xi =n∑

i=0

(α·ai)·xi+n∑

i=0

(β ·ai)·xi = (α·P+β ·P )(x).

3. Opět využijeme distributivity násobení reálnýchch čísel vzhledem ke sčítání

(α·(P+Q))(x) =n∑

i=0

(α·(ai+bi))·xi =n∑

i=0

(α·ai+α·bi)·xi =n∑

i=0

(α·ai)·xi+n∑

i=0

(α·bi)·xi = (α·P+α·Q)(x).

4. Číslo 1 je neutrální vzhledem k násobení, proto

(1 · P )(x) =n∑

i=0

(1 · ai) · xi =n∑

i=0

ai · xi = P (x).

5. Součin jakéhokoli reálného čísla s nulou je roven nule, proto

(0 · P )(x) =n∑

i=0

(0 · ai) · xi =n∑

i=0

0 · xi = O(x).

-,



2.2.9 Definice Součin polynomů: Nechť P (x) = anxn + · · · + a1x + a0a Q(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 jsoupolynomy. Položme ai = 0 pro i = n + 1, . . . , n +m a bi = 0 pro i = m + 1, . . . , m + n. Součinem polynomůP (x) a Q(x) nazveme polynom (P ·Q)(x) definovaný

(P ·Q)(x) = cm+nxm+n + · · ·+ c1x+ c0 =n∑

i=0

ci · xi,

kde pro k = 0, 1, 2, . . . , m+ n je

ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ ak−1b1 + akb0 =k∑

i=0

aibk−i.

2.2.10 Příklad P (x) = 2x2 + 5, Q(x) = x− 2

(P ·Q)(x) = (2x2 + 5) · (x− 2) = (2x3 + 5x) + (−4x2 − 10) = 2x3 − 4x2 + 5x− 10

To odpovídá i vzorci pro koeficienty ck, které jsou uvedeny v definici, neboťP (x) = 0x3 + 2x2 + 0x+ 5, Q(x) = 0x3 + 0x2 + x− 2 a tedy

c0 = 5 · (−2) = −10c1 = 5 · 1 + 0 · (−2) = 5c2 = 5 · 0 + 0 · 1 + 2 · (−2) = −4c3 = 5 · 0 + 0 · 0 + 2 · 1 + 0 · (−2) = 2

2.2.11 Pozorování Vlastnosti násobení polynomů

1. Násobení polynomů je komutativní, tedy pro každé dva polynomy P, Q platí, že P ·Q = Q · P .

2. Násobení polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P, Q, R platí, že (P ·Q) ·R = P · (Q ·R).

3. Polynom E(x) = 1 (konstantní jednička) je neutrální vzhledem k násobení, tedy pro jakýkoli polynom Pplatí, že P · E = P = E · P .

4. Násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každé tři polynomy P, Q, Rplatí, že

(a) P · (Q+R) = P ·Q+ P · R(b) (P +Q) · R = P · R+Q · R

Důkaz. Opět budeme využívat známých vlastností operací s reálnými čísly.

1. Mějme polynomy

P (x) =n∑

i=0

aixi a Q(x) =

m∑

i=0

bixi,

označmeS = P ·Q a T = Q · P,

potom platí

sk = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ ak−1b1 + akb0 = b0ak + b1ak−1 + · · ·+ bk−1a1 + bka0 = tk

pro všechna k = 0, 1, 2, . . . , m+ n.

2. Mějme polynomy

P (x) =n∑

i=0

aixi, Q(x) =

m∑

i=0

bixi a R(x) =

p∑

i=0

cixi,

označme

U = P ·Q, V = Q ·R, S = (P ·Q) · R = U ·R a T = P · (Q · R) = P · V,



potom platíuj = a0bj + a1bj−1 + · · ·+ aj−1b1 + ajb0,

vj = b0cj + b1cj−1 + · · ·+ bj−1c1 + bjc0

a tedy

sk = u0ck + u1ck−1 + · · ·+ ukc0 = a0b0ck + (a0b1 + a1b0)ck−1 + · · ·+ (a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0)c0 =

= a0(b0ck+ b1ck−1+ · · ·+ bkc0)+a1(b0ck−1+ · · ·+ bk−1c1)+ · · ·+akb0c0 = a0vk+a1vk−1+ · · ·+akv0 = tk

pro všechna k = 0, 1, 2, . . . , m+ n+ p.

3. Důkaz je zřejmý, neboť číslo 1 je neutrální vůči násobení reálných čísel.

4. Díky komutativitě násobení polynomů stačí dokázat jen jednu rovnost. Mějme polynomy

P (x) =n∑

i=0

aixi, Q(x) =

m∑

i=0

bixi a R(x) =

m∑

i=0

cixi,

které jsme opět doplnili na potřebnou délku, a označme

S = P · (Q+ R) a T = (P ·Q) + (P ·R),

potom platí

sk = a0(bk + ck) + a1(bk−1 + ck−1) + · · ·+ ak−1(b1 + c1) + ak(b0 + c0) =

= a0bk + a0ck + a1bk−1 + a1ck−1 + · · ·+ ak−1b1 + ak−1c1 + akb0 + akc0 =

= (a0bk + a1bk−1 + · · ·+ ak−1b1 + akb0) + (a0ck + a1ck−1 + · · ·+ ak−1c1 + akc0) = tk,

pro všechna k = 0, 1, 2, . . . , m+ n.

-,

2.2.12 Poznámka S operací násobení polynomy netvoří grupu, protože není splněna podmínka existence in-versních prvků. Takovouto algebraickou strukturu nazýváme pologrupa. Množina polynomů s obvyklým náso-bením tedy tvoří komutativní pologrupu.Na množině polynomů jsme definovali dvě binární operace, sčítání a násobení. Jsou spolu spojeny distri-

butivními zákony. Ale množina polynomů s těmito dvěma operacemi netvoří těleso, protože opět není splněnapodmínka existence inversních prvků. Takovéto algebraické struktuře říkáme okruh. Množina polynomů s ob-vyklým sčítáním a násobením tedy tvoří komutativní okruh.

2.2.13 Pozorování Pro polynomy P, Q platí:

1. st(P +Q) ≤ max{stP, stQ}.

2. st(α · P ) = stP pro α 6= 0, st(0 · P ) = −1.

3. st(P ·Q) = stP + stQ, pokud jsou oba polynomy nenulové, v opačném případě je stupeň roven −1.

Důkaz. Tvrzení je (snad) zřejmé. -,

2.2.14 Věta Dělení polynomů se zbytkem: Ke každým dvěma polynomům P a Q, kde polynom Q je nenulový,existují polynomy Y a Z takové, že

P = Y ·Q+ Z a stZ < stQ.

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně.



Důkaz. Dokážeme nejprve jednoznačnost polynomů Y (částečný podíl) a Z (zbytek). Důkaz provádíme sporem,to znamená, že budeme předpkládat, že existují dvě různé dvojice polynomů s požadovanými vlastnostmi.Tedy předpokládáme, že existují polynomy Y1, Y2, Z1, Z2 takové, že Y1 6= Y2 nebo Z1 6= Z2 a

stZ1 < stQ, stZ2 < stQ a P = Y1 ·Q+ Z1, P = Y2 ·Q+ Z2

PlatíP = Y1 ·Q+ Z1 = Y2 ·Q+ Z2,

po úpravě dostaneme(Y1 − Y2) ·Q = Z2 − Z1

Podle pozorování 2.2.13 je

st((Y1 − Y2) ·Q) = st(Y1 − Y2) + stQ ≥ stQ, pokud Y1 6= Y2,

naproti tomust(Z2 − Z1) < stQ.

Z rovnosti polynomů ale podle definice 2.1.4 musí platit

st((Y1 − Y2) ·Q) = st(Z2 − Z1),

To je ovšem spor.Musí tedy platit, že Y1 = Y2. Potom

Z2 − Z1 = (Y1 − Y2) ·Q = 0 ·Q = 0, což znamená, že Z1 = Z2

A tím se dostáváme znovu ke sporu, tentokrát s předpokladem, že Y1 6= Y2 nebo Z1 6= Z2. Platí tedy, žečástečný podíl i zbytek jsou určeny jednoznačně.

Existenci dokážeme indukcí podle stupně polynomu P (x). Nechť n = stP a m = stQ,

P (x) =n∑

i=1

aixi a Q(x) =

m∑

i=1

bixi.

1. Pokud je polynom P (x) nulový, je zřejmě Y (x) = 0 a Z(x) = 0. Pokud je polynom P (x) konstantní,potom v případě, že Q(x je také konstantní, je Y (x) = a0

b0a Z(x) = 0, v případě, že stQ ≥ 1, je Y (x) = 0

a Z(x) = a0.

2. Nyní dokážeme indukční krok. Předpokládáme, že tvrzení platí pro všechna k < n a dokážeme, že tvrzenípak platí i pro n. Rozlišíme dva případy

(a) Pokud je n < m, je zřejmě Y = O a Z = P .

(b) Pokud je n ≥ m, položíme

R(x) =an

bm

· xn−m a S(x) = (P −R ·Q)(x).

Zřejmě P = S+R ·Q. Protože stS < n, můžeme využít indukční předpoklad. Existují tedy polynomyT a Z takové, že

stZ < stQ a S = T ·Q+ Z.

Dosadíme-li do předchozího vztahu, je

P = S +R ·Q = T ·Q+ Z +R ·Q = (T +R) ·Q+ Z = Y ·Q+ Z,

položíme-li Y = T +R. Tím je tvrzení dokázáno.

-,



2.2.15 Existenci polynomů z předchozí věty můžeme také dokázat pomocí algoritmu pro dělení polynomů,který si teď popíšeme. Mějme polynomy

P (x) =n∑

i=0

aixi a Q(x) =

m∑

i=0

bixi a nechť stP = n, stQ = m ≥ 0.

1. Položíme Y = 0, Z = P , k = stZ − stQ a označíme a koeficient u nejvyšší mocniny polynomu Z.

2. Pokud k ≥ 0, položíme c = a/bm, Y = Y + cxk, Z = Z − cxk · Q, k = stZ − stQ a označímeopět a koeficient u nejvyšší mocniny polynomu Z. Opakujeme, dokud je splněna podmínka.

3. Pokud k < 0, výpočet ukončíme.

Pokud n < m, zastaví se algoritmus hned po prvním kroku, protože k < 0. Bude tedy Y = O a Z = P . Pokudn ≥ m, sníží se při každém průchodu stupeň polynomu Z a tedy i k. Tím máme zaručeno, že se výpočet pokonečně mnoha krocích zastaví. Zároveň v každém kroku platí, že P = Y ·Q+Z. V okamžiku ukončení výpočtuje k < 0, tedy stZ < stQ.

2.2.16 Příklad Vydělte (se zbytkem) polynom P (x) polynomem Q(x), jestliže

P (x) = 2x5 + x4 + 3x2 + x− 2 a Q(x) = x2 + 2x+ 1.

1. Nejprve položíme Y (x) = 0, Z(x) = P (x) = 2x5 + x4 + 3x2 + x− 2, k = stZ − stQ = 3, a = 2.

2. Protože k ≥ 0, položíme c = 2, Y (x) = 2x3, Z(x) = −3x4 − 2x3 + 3x2 + x− 2, k = 2, a = −3.

3. Protože k ≥ 0, položíme c = −3, Y (x) = 2x3 − 3x2, Z(x) = 4x3 + 6x2 + x− 2, k = 1, a = 4.

4. Protože k ≥ 0, položíme c = 4, Y (x) = 2x3 − 3x2 + 4x, Z(x) = −2x2 − 3x− 2, k = 0, a = −2.

5. Protože k ≥ 0, položíme c = −2, Y (x) = 2x3 − 3x2 + 4x− 2, Z(x) = x, k = −1, a = 1.

6. Protože k < 0, výpočet ukončíme.

Platí tedy, že2x5 + x4 + 3x2 + x− 2 = (2x3 − 3x2 + 4x− 2) · (x2 + 2x+ 1) + x

Postup dělení obvykle zapisujeme způsobem, který znáte z mladšího školního věku, kdy jste se zbytkem dělilipřirozená čísla. Do prvního řádku napíšeme P (x) : Q(x) a za rovnítko napíšeme podíl členů s nejvyššími moc-ninami (tedy to, co jsme označili cxk). Pak potřebujeme od polynomu P (x odečíst cxk · Q(x). Pod polynomP (x) do druhého řádku proto napíšeme cxk ·Q(x) s opačnými znaménky. Podtrhneme a odečteme. Opět vydě-líme členy s nejvyššími mocninami, vynásobíme a odečteme a stejně postupujeme i dále. Vše bude jistě jasnéz následujícího zápisu.

(2x5 + x4 + 3x2 + x − 2) : (x2 + 2x+ 1) = 2x3 − 3x2 + 4x− 2−2x5 − 4x4 − 2x3

−3x4 − 2x3 + 3x2 + x − 23x4 + 6x3 + 3x2

4x3 + 6x2 + x − 2−4x3 − 8x2 − 4x

−2x2 − 3x − 22x2 + 4x + 2

x

V dalších příkladech už budeme jen zapisovat postup dělení (nebudeme rozepisovat jednotlivé kroky podlepopsaného algoritmu).



2.2.17 Příklady Polynomy vydělte se zbytkem.

1.(x5 + 2x4 + x3 + 7x2 + 4x − 3) : (x2 + 2x− 1) = x3 + 2x+ 3−x5 − 2x4 + x3

2x3 + 7x2 + 4x − 3−2x3 − 4x2 + 2x

3x2 + 6x − 3−3x2 − 6x + 3

0

Zbytek je nulový, říkáme, že polynom x5 + 2x4 + x3 + 7x2 + 4x − 3 je polynomem x2 + 2x− 1 dělitelnýbeze zbytku. Platí

x5 + 2x4 + x3 + 7x2 + 4x− 3 = (x3 + 2x+ 3) · (x2 + 2x− 1)

2.(3x5 + 4x4 − 2x3 − 2x2 + 3) : (x3 − 2x+ 1) = 3x2 + 4x+ 4−3x5 + 6x3 − 3x2

4x4 + 4x3 − 5x2 + 3−4x4 + 8x2 − 4x

4x3 + 3x2 − 4x + 3−4x3 + 8x − 4

3x2 + 4x − 1

Platí tedy, že

3x5 + 4x4 − 2x3 − 2x2 + 3 = (3x2 + 4x+ 4) · (x3 − 2x+ 1) + 3x2 + 4x− 1

3.(3x5 + 4x4 − 2x3 − 2x2 + 3) : (3x2 + 4x+ 4) = x3 − 2x+ 2−3x5 − 4x4 − 4x3

− 6x3 − 2x2 + 36x3 + 8x2 + 8x

6x2 + 8x + 3−6x3 − 8x − 8

−5Platí tedy, že

3x5 + 4x4 − 2x3 − 2x2 + 3 = (x3 − 2x+ 1) · (3x2 + 4x+ 4)− 5

Z druhého a třetího příkladu je patrné, že záleží na tom, kterým polynomem dělíme. Zbytek má mít totiž nižšístupeň než dělenec (nikoli než podíl), proto když dělíme „opačněÿ můžeme dělit déle.

2.3 Hornerovo schema

Hornerovo schema umožňuje spočítat hodnotu polynomu pro nějaké (reálné) číslo s minimálním počtem náso-bení. Zbytečné násobení totiž vede k časovým ztrátám a zatěžuje také výsledek větší chybou. Nejprve zapíšemepolynom trochu jiným způsobem. Platí totiž

P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x

2 + a1x+ a0 = (anxn−1 + an−1xn−2 + · · ·+ a2x+ a1) · x+ a0 =


2.4. Kořeny polynomu 21

= ((anxn−2 + an−1xn−3 + · · ·+ a2) · x+ a1) · x+ a0 = · · · = ((· · · (anx+ an−1)x+ · · ·+ a2)x+ a1)x+ a0

Máme spočítat hodnotu polynomu P (x) v bodě x0. Podle předchozího zápisu je

P (x0) = ((· · · (anx0 + an−1)x0 + · · · a2)x0 + a1)x0 + a0.

Položme

bn = an

bn−1 = bnx0 + an−1 = anx0 + an−1bn−2 = bn−1x0 + an−2 = (anx0 + an−1)x0 + an−2...

......

b1 = b2x0 + a1 = (· · · ((anx0 + an−1)x0 + an−2)x0 + · · ·+ a2)x0 + a1b0 = b1x0 + a0 = ((· · · ((anx0 + an−1)x0 + an−2)x0 + · · ·+ a2)x0 + a1)x0 + a0

ZřejměP (x0) = b0.

Také platí, žeP (x) = (x− x0)(bnxn−1 + bn−1x

n−2 + · · ·+ b2x+ b1) + b0,

což můžeme ověřit roznásobením.

Hornerovo schema je tabulka, která má tři řádky. V prvním řádku jsou zapsány koeficienty polynomuP (x) (včetně nulových). Do třetího řádku budeme postupně zapisovat koeficienty bi, nejprve bn = an, potomvždycky tak, že nejprve do druhého řádku zapíšeme bi+1 · x0 a potom sečteme čísla v prvním a druhém řádku.Koeficient bi je roven tomuto součtu. Schema tedy vypadá takto

an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0x0 bnx0 bn−1x0 . . . b3x0 b2x0 b1x0

bn bn−1 bn−2 . . . b2 b1 b0

2.3.1 Příklad Užitím Hornerova schematu spočtěte hodnotu polynomu P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x + 1 pro číslox0 = 2.

3 0 −2 −5 12 6 12 20 30

3 6 10 15 31

Tedy P (2) = 31 a také platí, že P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x+ 1 = (x− 2) · (3x3 + 6x2 + 10x+ 15) + 31.

2.3.2 Příklad Užitím Hornerova schematu spočtěte hodnotu polynomu P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x + 1 pro číslox0 = −2.

3 0 −2 −5 1−2 −6 12 −20 50

3 −6 10 −25 51

Tedy P (−2) = 51 a také platí, že P (x) = 3x4 − 2x2 − 5x+ 1 = (x+ 2) · (3x3 − 6x2 + 10x− 25) + 51.

2.4 Kořeny polynomu

V této části musíme pojem polynomu rozšířit na komplexní polynom. Budeme se nadále zajímat předevšímo polynomy reálné, ale z důvodů, které již byly uvedeny na začátku kapitoly (reálný polynom může mít pouzekomplexní kořeny), se na ně budeme dívat jako na polynomy komplexní. To lze, protože každé reálné číslo jetaké číslem komplexním (s nulovou imaginární částí).

2.4.1 Definice Nechť P (x) je nenulový (komplexní) polynom. Řekneme, že komplexní číslo α je kořenempolynomu P , jestliže P (α) = 0.



2.4.2 Věta Komplexní číslo α je kořenem polynomu P (x) právě tehdy, když je polynom P (x) beze zbytkudělitelný polynomem (x− α).

Důkaz. Tvrzení je ve tvaru ekvivalence, musíme proto dokázat dvě implikace.

1. Nejprve ukážeme, že pokud je α kořenem P (x), je polynom P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x−α),tj. existuje polynom Y (x) takový, že P (x) = Y (x) · (x− α).

Podle věty 2.2.14 existují polynomy Y (x) a Z(x), takové, že

stZ(x) < st(x− α) a platí P (x) = Y (x) · (x− α) + Z(x).

Polynom (x−α) je stupně 1, proto Z je konstantní polynom. Můžeme psát Z(x) = c pro nějaké komplexníčíslo c. Platí tedy

P (x) = Y (x) · (x− α) + c.

Protože α je kořenem polynomu P (x), musí být P (α) = 0. Dosadíme-li do předchozího vztahu, máme

0 = P (α) = Y (α) · (α− α) + c = Y (α) · 0 + c, tedy c = 0.

Zbytek je nulový, to znamená, že polynom P (x) je beze zbytku dělitelný polynomem (x− α).

2. Dokážeme, že pokud je P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x− α), je α kořenem polynomu P (x).

To, že je P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x − α), znamená, že existuje polynom Y (x) takový, žeP (x) = Y (x) · (x− α). Spočítejme hodnotu polynomu P (x) pro x = α.

P (α) = Y (α) · (α− α) = Y (α) · 0 = 0, to znamená, že α je kořenem polynomu P (x).

-,

Může se stát, že α je také kořenem polynomu Y (x) z důkazu předchozí věty. To znamená, že i polynom Y (x)je beze zbytku dělitelný polynomem (x − α) a polynom P (x) je beze zbytku dělitelný (x − α)2. Tento postupmůžeme opakovat. Tím se dostáváme k pojmu vícenásobný kořen. Dá se říci, že násobnost kořene α je číslo,které udává, kolikrát jsme takto beze zbytku mohli dělit.

2.4.3 Definice Řekneme, že (komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P (x), jestliže k je největšípřirozené číslo takové, že P (x) je beze zbytku dělitelný polynomem (x− α)k .

2.4.4 Poznámka Tato definice vyhovuje i případu, kdy dané číslo není kořenem polynomu, je totiž 0-násobnýmkořenem. Místo o jednonásobném kořenu mluvíme většinou o jednoduchém kořenu.

2.4.5 Pozorování (Komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P (x) právě tehdy, když existujepolynom Q(x) takový, že P (x) = Q(x) · (x− α)k a Q(α) 6= 0.

Důkaz. Je to jen přeformulování definice, kde slovo největší je nahraženo opisem, že víckrát už dělit nelze,neboť α není kořenem podílu. -,

2.4.6 Věta Základní věta algebry: Každý (komplexní) polynom alespoň prvního stupně má alespoň jeden(komplexní) kořen.

Tuto větu uvádíme bez důkazu.1 Případný zájemce ho nalezne třeba v [?, str. 221–223].

2.4.7 Důsledek Nenulový polynom n-tého stupně má právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolikje jeho násobnost.

1O důkaz tohoto tvrzení se pokoušelo vícero matematiků. Konečný důkaz bývá připisován Gaussovi, ale někteří tvrdí, že větudokázal již d’Alembert. Dnes je možno najít několik variant důkazu, ale většinou jsou třeba hlubší znalosti z matematické analýzy(důkaz není algebraický).



Důkaz. Tvrzení můžeme přeformulovat tak, že stupeň polynomu je roven součtu násobností všech jeho kořenů.

1. Pro n = 0 tvrzení platí - takový polynom zřejmě nemá žádný kořen.

2. Jestliže je n ≥ 1, má polynom P (x) alespoň jeden kořen α1, jeho násobnost označme k1. Podle pozorování2.4.5 musí existovat polynom Q1(x) takový, že

P (x) = Q1(x) · (x− α1)k1 a Q1(α1) 6= 0.

Označme n1 stupeň polynomu Q1. Zřejmě n1 = n− k1.

(a) Pokud n1 = 0, je n = k1 a P (x) má jeden n-násobný kořen. Tedy tvrzení platí.

(b) Pokud n1 ≥ 1, má polynom Q1(x) alespoň jeden kořen α2 násobnosti k2. Existuje tedy polynomQ2(x) takový, že

Q1(x) = Q2(x) · (x− α2)k2 a Q2(α2) 6= 0.To znamená, že

P (x) = Q1(x) · (x − α1)k1 = Q2(x) · (x− α2)

k2 · (x− α1)k1 .

Označme n2 stupeň Q2. Zřejmě n2 = n1 − k2 = n− (k1 + k2).

Pokračujeme stejným způsobem dále. Po konečně mnoha krocích (tento počet označíme s) dojde k tomu, žens = 0, tedy 0 = n − (k1 + k2 + · · · + ks). To znamená, že stupeň polynomu P (x) (tedy n) je roven součtunásobností jednotlivých kořenů (k1 + k2 + · · ·+ ks). Tvrzení je tímto dokázáno. -,

2.4.8 Z důkazu předchozí věty také plyne, že polynom P (x) můžeme zapsat ve tvaru

P (x) = Qs(x) · (x− αs)ks · · · (x− α2)k2 · (x− α1)k1 ,

kde α1, . . . , αs jsou kořeny tohoto polynomu a k1, . . . , ks jejich násobnosti. Stupeň polynomu Qs(x) je nula,jedná se o konstantní polynom. Zřejmě Qs(x) = an. Platí tedy

P (x) = an · (x − αs)ks · · · (x− α2)k2 · (x− α1)k1

Tomuto zápisu se říká rozklad polynomu na součin kořenových činitelů (resp. kořenových polynomů).

2.4.9 Příklady Pro ilustraci uvedeme dva modelové příklady na rozklad polynomů na součin kořenovýchčinitelů. Využijeme v nich znalostí ze střední školy - řešení kvadratických rovnic.

1. P (x) = x4 − 5x2 + 4

Hledáme-li kořeny polynomu P (x), řešíme vlastně polynomiální rovnici P (x) = 0. V našem případě mů-žeme provést substituci y = x2, čímž získáme kvadratickou rovnici. Tu již umíme vyřešit.

y2 − 5y + 4 = 0y1 = 4y2 = 1

Zbývá ještě vyřešit rovnici x2 = y pro obě hodnoty y. Ale to už je snadné.

x2 = 4, tedy x1 = 2, x2 = −2

x2 = 1, tedy x3 = 1, x4 = −1Rozklad na součin kořenových činitelů je

P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x− 2)(x+ 2)(x− 1)(x+ 1).



2. P (x) = x4 − 3x2 − 4

Opět provédeme substituci y = x2, získáme kvadratickou rovnici a vyřešíme ji.

y2 − 3y − 4 = 0y1 = 4y2 = −1

Vyřešíme ještě rovnici x2 = y pro obě hodnoty y.

x2 = 4, tedy x1 = 2, x2 = −2

x2 = −1, tedy x3 = i, x4 = −i

Rozklad na součin kořenových činitelů je

P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x− 2)(x+ 2)(x− i)(x+ i).

2.4.10 Důsledek Nechť P a Q jsou polynomy stupně nejvýše n-tého, α1, . . . , αn+1 navzájem různá komplexníčísla taková, že P (αi) = Q(αi) pro všechna i = 1, . . . , n+ 1. Potom P = Q.

Důkaz. Uvažujme polynom R = P −Q. Tento polynom má stupeň nejvýše n. Přitom R(αi) = 0 pro všechnai = 1, . . . , n + 1, tedy má n + 1 navzájem různých kořenů. To ale podle předchozího důsledku není možné prožádný nenulový polynom. Tedy R = O a P = Q. -,

Dále se budeme zabývat pouze reálnými polynomy (přesněji polynomy s reálnými koeficienty). Jak už bylo uve-deno, takový polynom nemusí mít žádné reálné kořeny. A jak vypadají jeho komplexní kořeny? U kvadratickéhopolynomu jsou takové kořeny komplexně sdružená čísla. O tom, co platí pro polynomy vyšších stupňů, mluvínásledující věta.

2.4.11 Věta Nechť P (x) je polynom s reálnými koeficienty a komplexní číslo a + bi, b 6= 0 je jeho k-násobnýkořen. Pak také komplexně sdružené číslo a− bi, je k-násobným kořenem polynomu P (x).

Důkaz. Protože platí P (α) = P (α), je

P (a− bi) = P (a+ bi) = P (a+ bi) = 0 = 0.

Tedy pokud je a+ bi kořenem polynomu P (x), je také a− bi kořenem tohoto polynomu. Podle věty 2.4.2 musíbýt P (x) beze zbytku dělitelný polynomem (x−(a+bi)) a také polynomem (x−(a−bi)), tedy i jejich součinem.To znamená, že existuje polynom Q(x) takový, že

P (x) = Q(x) · (x− (a+ bi))(x− (a− bi)) = Q(x) · (x2 − 2ax+ a2 + b2).

Protože polynomy P (x) i (x2 − 2ax + a2 + b2) mají reálné koeficienty, má reálné koeficienty také polynomQ(x). Pokud je a+ bi vícenásobným kořenem polynomu P (x), je také kořenem polynomu Q(x). Potom a− bi jekořenem Q(x) a tedy alespoň dvojnásobným kořenem P (x). Analogicky postupujeme dále. Pokud tedy je a+ bik-násobným kořenem P (x), je také a− bi, k-násobným kořenem tohoto polynomu. -,

2.4.12 Důsledek Reálný polynom lichého stupně má vždy aspoň jeden reálný kořen.

Důkaz. Součet násobností komplexních kořenů je vždy sudé číslo. Je-li polynom lichého stupně, musí mít aspoňjeden reálný kořen. -,

Věta 2.4.11 nám umožňuje rozložit reálný polynom na součin tzv. ireducibilních reálných polynomů. Ireducibilníznamená nerozložitelný. Co to znamená v případě polynomů, popisuje následující definice.



2.4.13 Definice Ireducibilní polynom s koeficienty v tělese T je takový polynom, který se nedá zapsat jakosoučin dvou polynomů alespoň prvního stupně s koeficienty v tělese T . Ireducibilní reálný polynom je tedy takový(reálný) polynom, který se nedá zapsat jako součin dvou reálných polynomů alespoň prvního stupně.

2.4.14 Tvrzení Ireducibilní reálné polynomy jsou pouze polynomy prvního stupně a takové polynomy druhéhostupně, které mají jen komplexní kořeny.

Důkaz. Tyto dva typy polynomů jsou zjevně ireducibilní. Zbývá ukázat, že žádný jiný polynom ireducibilnínení.Pokud má nějaký polynom alespoň druhého stupně nějaký reálný kořen α, dá se podle věty 2.4.2 napsat

jako Q(x) · (x− α), kde Q(x) je aspoň prvního stupně. Není tedy ireducibilní.Zbývá ukázat, že nejsou ireducibilní ani polynomy vyššího než druhého stupně, které mají jen komplexní

kořeny. Pokud má takový polynom komplexní kořen a + bi, má také kořen a − bi a je beze zbytku dělitelnýpolynomem (x2 − 2ax+ a2+ b2). Dá se zapsat ve tvaru Q(x) · (x2 − 2ax+ a2+ b2), kde Q(x) je reálný polynomaspoň prvního stupně, a není proto ireducibilní. -,

2.4.15 Každý polynom s reálnými koeficienty můžeme rozložit na součin ireducibilních reálných polynomů, toznamená zapsat ve tvaru

P (x) = an(x− α1)k1 · · · (x− αr)kr · (x2 + p1x+ q1)l1 · · · (x2 + ptx+ qt)lt ,

kde α1, . . . , αr jsou reálné kořeny polynomu P (x) a (x2+ p1x+ q1), . . . , (x2+ ptx+ qt) jsou součiny kořenovýchpolynomů odpovídajících vždy dvěma komplexně sdruženým kořenům.

2.4.16 Příklady Uvažujme polynomy z příkladu 2.4.9.

1. Polynom P (x) má pouze reálné kořeny, proto rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je stejnýjako rozklad na součin kořenových činitelů.

P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x− 2)(x+ 2)(x− 1)(x+ 1).

2. Polynom P (x) má dva komplexní kořeny i a −i. Vynásobením odpovídajících kořenových polynomůzískáme

(x − i) · (x + i) = x2 + 1

Proto rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je

P (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x− 2)(x+ 2)(x2 + 1).

V některých případech můžeme nějaký komplexní kořen znát. Podle věty 2.4.11 potom známe i další kořen,totiž komplexně sdružené číslo. Polynom pak musí být beze zbytku dělitelný součinem odpovídajících kořenovýchpolynomů. Po vydělení získáme polynom nižšího stupně.

2.4.17 Příklady Následující polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů.

1.

P (x) = x6 − 4x4 − 8x3 + 4x2 + 16x+ 16 a jeho kořenem je číslo α = −1 + i

Podle věty 2.4.11 víme, že také číslo −1− i je kořenem tohoto polynomu. Proto můžeme polynom P (x)vydělit součinem odpovídajících kořenových polynomů, tedy polynomem

(x+ 1− i)(x+ 1 + i) = x2 + 2x+ 2.



(x6 − 4x4 − 8x3 + 4x2 + 16x + 16) : (x2 + 2x+ 2) =−x6 − 2x5 − 2x4

= x4 − 2x3 − 2x2 + 8−2x5 − 6x4 − 8x3

2x5 + 4x4 + 4x3

−2x4 − 4x3 + 4x2

2x4 + 4x3 + 4x2

8x2 + 16x + 16−8x2 − 16x − 16

0

Musíme ještě rozložit polynom x4− 2x3− 2x2+8. Možná byly ty komplexní kořeny vícenásobné. Zkusmetento polynom znovu vydělit polynomem x2 + 2x+ 2.

(x4 − 2x3 − 2x2 + 8) : (x2 + 2x+ 2) = x2 − 4x+ 4−x4 − 2x3 − 2x2

−4x3 − 4x2 + 84x3 + 8x2 + 8x

4x2 + 8x + 8−4x2 − 8x − 8

0

Zbývá ještě rozložit polynom x2 − 4x+ 4, ale ten už je kvadratický, takže ho rozložíme snadno. Zřejmě

x2 − 4x+ 4 = (x − 2)2.

Rozklad polynomu P (x) na součin ireducibilních reálných polynomů je

x6 − 4x4 − 8x3 + 4x2 + 16x+ 16 = (x2 + 2x+ 2)2 · (x − 2)2.

2.

P (x) = x6 − 5x4 + 12x3 − 4x2 − 8x+ 12 a jeho kořenem je číslo α = 1 + i

Opět polynom P (x) vydělíme součinem kořenových polynomů, které odpovídají kořenům 1 + i a 1 − i,tedy polynomem

(x− 1− i)(x− 1 + i) = x2 − 2x+ 2.

(x6 − 5x4 + 12x3 − 4x2 − 8x + 12) : (x2 − 2x+ 2) =−x6 + 2x5 − 2x4

= x4 + 2x3 − 3x2 + 2x+ 62x5 − 7x4 + 12x3

−2x5 + 4x4 − 4x3

−3x4 + 8x3 − 4x2

3x4 − 6x3 + 6x2

2x3 + 2x2 − 8x−2x3 + 4x2 − 4x

6x2 − 12x + 12−6x2 + 12x − 12

0



Musíme ještě rozložit polynom x4+2x3− 3x2+2x+6. Zkusme ho znovu vydělit polynomem x2− 2x+2.

(x4 + 2x3 − 3x2 + 2x + 6) : (x2 − 2x+ 2) = x2 + 4x+ 3−x4 + 2x3 − 2x2

4x3 − 5x2 + 2x−4x3 + 8x2 − 8x

3x2 − 6x + 6−3x2 + 6x − 6

0

Zbývá ještě rozložit kvadratický polynom x2 + 4x+ 3. Zřejmě

x2 + 4x+ 3 = (x+ 1)(x+ 3).

Rozklad polynomu P (x) na součin ireducibilních reálných polynomů je

x6 − 5x4 + 12x3 − 4x2 − 8x+ 12 = (x2 + 2x+ 2)2 · (x+ 1) · (x + 3).

V matematice je často důležité najít kořeny polynomů, případně udělat rozklad polynomu na součin kořeno-vých či ireducibilních reálných polynomů (vy se s tím setkáte např. při integraci racionálních funkcí, řešenídiferenciálních rovnic,. . . ). Hledat kořeny polynomů je však úloha velmi obtížná a obecně se dá řešit pouze propolynomy nejvýše 4. stupně. Pravděpodobně všichni umíte řešit lineární a kvadratické rovnice. Někteří možnáznají i tzv. Cardanovy vzorce pro výpočet kořenů polynomů třetího stupně, či úpravy, které umožňují hledatkořeny polynomů čtvrtého stupně.

þ Gerolamo Cardano byl italský matematik. Narodil se v Pavii roku 1501. Otec byl matematik, přítel Leonarda da Vinci. Vystudovalmedicínu v Pavii a v Padově. Věnoval se matematice, později medicíně v Miláně a v Bologni, často cestoval. Vzorce, které nesou jehojméno, vymámil z jiného italského matematika Niccolo Fontany, řečeného Tartaglia (koktavý), když se zavázal slavnostní přísahou,že je nikdy nevyzradí. Několik let skutečně držel slovo, ale když se dozvěděl, že Scipione dal Ferro (další italský matematik) umělněkteré rovnice třetího řádu řešit již dříve, cítil se zproštěn své přísahy. V knize Ars Magna (1545) tuto metodu představil. Tartagliamu nikdy neodpustil. Cardano se věnoval také astrologii a říká se, že když se nesplnila předpověď jeho smrti, spáchal sebevraždu,aby ji potvrdil.

Řada matematiků se v dalších stoletích pokoušela najít vzorce pro výpočet kořenů polynomů vyšších řádů, alevšechny známé postupy selhávaly. V 18. a počátkem 19. století se tímto problémem zabývali i Joseph LouisLagrange a Paolo Ruffini. Ten jako první ukázal, že tyto rovnice nejsou algebraicky řešitelné. Jeho článek byluveřejněn v málo známém časopise a důkaz obsahoval chyby. Až Niels Abel definitivně dokázal, že obecný vzorecpro výpočet kořenů polynomů stupně vyššího než čtyři neexistuje. Některé polynomiální rovnice 5. a vyššíhostupně však algebraicky řešit lze. Na otázku, které to jsou, dal odpověď Evariste Galois.Tak vidíte, zrovna moc polynomiálních rovnic řešit neumíme. Lineární, kvadratické, . . . U rovnic třetího a

čtvrtého stupně jsou vzorce sice známy, ale jsou dost složité a také se v nich objevují odmocniny ze zápornýchčísel i v případech, kdy má rovnice pouze reálná řešení. V následujících odstavcích si ukážeme, jak můžemehledat kořeny některých speciálních typů rovnic.

2.4.18 Při řešení binomických rovnic můžeme vyjít z Moivreovy věty. Pro rovnici

xn − a = 0, kde a ∈ C

dostáváme řešení

xk =n√

|a| ·(

cosα+ 2kπ

n+ i · sin α+ 2kπ

n

)

, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

přičemž využíváme zápisu čísla a v goniometrickém tvaru, tedy

a = |a| · (cosα+ i · sinα).



2.4.19 Při rozkládání binomických polynomů můžeme využít i následujících vztahů:

x2 − a2 = (x− a)(x+ a)x2 + a2 = (x− a · i)(x+ a · i)x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax+ a2)x3 + a3 = (x+ a)(x2 − ax+ a2)x4 − a4 = (x2 − a2)(x2 + a2) = (x − a)(x+ a)(x2 + a2)x4 + a4 = (x2 + a2)2 − 2x2a2 = (x2 +

√2ax+ a2) · (x2 −

√2ax+ a2)

x6 − a6 = (x3 − a3)(x3 + a3) = (x − a)(x2 + ax+ a2)(x + a)(x2 − ax+ a2)x8 − a8 = (x4 − a4)(x4 + a4) = (x − a)(x+ a)(x2 + a2)(x2 +

√2ax+ a2)(x2 −

√2ax+ a2)

2.4.20 Příklady Následující polynomy rozložte na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních reál-ných polynomů.

1. P (x) = x4 − 16.Kořeny najdeme nejprve užitím Moivreovy věty, potom využitím vztahů z předchozího odstavce.

(a) Nejprve rovnici upravíme a pravou stranu napíšeme v goniometrickém tvaru

P (x) = x4 − 16 = 0, tedy x4 = 16 = 16 · (cos 0 + i · sin 0)

Jednotlivé kořeny vypočteme podle uvedeného vzorce

x0 = 4√16 · (cos 0 + i · sin 0) = 2

x1 = 4√16 · (cos 2π4 + i · sin 2π4 ) = 2i

x2 = 4√16 · (cos 4π4 + i · sin 4π4 ) = −2

x3 = 4√16 · (cos 6π4 + i · sin 6π4 ) = −2i

Rozklad na součin kořenových činitelů je tedy

x4 − 16 = (x− 2)(x− 2i)(x+ 2)(x+ 2i),

rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je

x4 − 16 = (x− 2)(x+ 2)(x2 + 4).

Díky komutativitě a asociativitě násobení polynomů je samozřejmě pořadí činitelů libovolné.

(b) Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je

x4 − 16 = x4 − 24 = (x2 − 22)(x2 + 22) = (x− 2)(x+ 2)(x2 + 4),

rozklad na součin kořenových činitelů je

x4 − 16 = (x− 2)(x+ 2)(x− 2i)(x+ 2i)

2. P (x) = x4 + 81.

Kořeny opět najdeme nejprve užitím Moivreovy věty, potom využitím vztahů z předchozího odstavce.

(a) Nejprve rovnici upravíme a pravou stranu napíšeme v goniometrickém tvaru

P (x) = x4 + 81 = 0, tedy x4 = −81 = 81 · (cosπ + i · sinπ)

Jednotlivé kořeny vypočteme podle uvedeného vzorce

x0 = 4√81 · (cos π

4 + i · sin π4 ) = 3

√22 + i 3

√22

x1 = 4√81 · (cos 3π4 + i · sin 3π4 ) = − 3

√22 + i 3

√22

x2 = 4√81 · (cos 5π4 + i · sin 5π4 ) = − 3

√22 − i 3

√22

x3 = 4√81 · (cos 7π4 + i · sin 7π4 ) = 3

√22 − i 3

√22



Rozklad na součin kořenových činitelů je tedy

x4 + 81 =

(

x− 3√22− i3√22

)

·(

x+3√22− i3√22

)

·(

x+3√22+ i3√22

)

·(

x− 3√22+ i3√22

)

,

rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je

x4 + 81 = (x2 + 3√2x+ 9) · (x2 − 3

√2x+ 9).

Díky komutativitě a asociativitě násobení polynomů je samozřejmě pořadí činitelů libovolné.

(b) Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů je

x4+81 = x4+34 = (x2+32)2−18x2 = (x2+9+3√2x)(x2+9−3

√2x) = (x2+3

√2x+9)·(x2−3

√2x+9),

rozklad na součin kořenových činitelů dostaneme např. doplněním na čtverec

x4 + 81 =

(

x+3√22

)2

+92

·

(

x− 3√22

)2

+92

=

=

(

x+3√22− i3√22

)

·(

x+3√22+ i3√22

)

·(

x− 3√22− i3√22

)

·(

x− 3√22+ i3√22

)

Při hledání kořenů polynomů s celočíselnými koeficienty nám může pomoci následující věta, která omezujemnožinu možných racionálních kořenů polynomu.

2.4.21 Věta Nechť koeficienty polynomu P (x) = anxn+ · · ·+a1x+a0 jsou celá čísla, an 6= 0 a nechť racionálníčíslo p

q, kde p a q jsou nesoudělná celá čísla, je kořenem tohoto polynomu. Potom p dělí a0 a q dělí an.

Důkaz. Protože pqje kořenem polynomu P (x), musí platit

P

(

p

q

)

= an

(p

q

)n

+ an−1

(p

q

)n−1+ · · ·+ a1

(p

q

)

+ a0 = 0

Po vynásobení číslem qn dostaneme rovnici

an · pn + an−1 · pn−1 · q + · · ·+ a1 · p · qn−1 + a0 · qn = 0,

kterou přepíšeme ve dvou tvarech, aby byla názornější

an · pn = −q · (an−1 · pn−1 + · · ·+ a1 · p · qn−2 + a0 · qn−1)a0 · qn = −p · (an · pn−1 + an−1 · pn−2 · q + · · ·+ a1 · qn−1)

Odtud je patrné, že q dělí an · pn a tedy i an, protože čísla p a q jsou nesoudělná, a p dělí a0 · qn a tedy také a0.-,

2.4.22 Příklady Následující polynomy rozložte na součin kořenových činitelů.

1. P (x) = x6 + 2x5 − 8x4 − 14x3 + 11x2 + 28x+ 12.

Absolutní člen je 12, jeho dělitelé jsou 1,−1, 2,−2, 3,−3, 4,−4, 6,−6, 12,−12.Protože koeficient u nejvyššímocniny je 1, jsou možné racionální kořeny také tato čísla. Nyní můžeme zkoušet jedno po druhém, zda jekořenem polynomu P (x). Použijeme při tom Hornerovo schema, protože pro nalezený kořen α tím získámetaké podíl Q(x) = P (x) : (x− α). Polynom Q(x) už má nižší stupeň než polynom P (x). Takto postupněsnižujeme stupeň polynomu, jehož kořeny hledáme, až se (snad) dostaneme k polynomu kvadratickému,jehož kořeny umíme najít.



Je výhodné začít s co nejmenšími čísly, protože počítání s nimi je snadnější. Pokud takto najdeme kořen,snížíme stupeň polynomu, čímž se počítání usnadní. Pokud zvolené číslo není kořenem, aspoň se mocnenadřeme. Je také rozumné, když nějaký kořen najdeme, zkusit, zda není vícenásobný. Takže vyzkoušímenejprve číslo 1.

1 2 −8 −14 11 28 121 1 3 −5 −19 −8 20

1 3 −5 −19 −8 20 32

Protože P (1) = 32, není číslo 1 kořenem polynomu P (x). Zkusme číslo −1.

1 2 −8 −14 11 28 12−1 −1 −1 9 5 −16 −12

1 1 −9 −5 16 12 0

P (−1) = 0, proto je číslo −1 kořenem polynomu P (x) a platí, že

P (x) = (x5 + x4 − 9x3 − 5x2 + 16x+ 12) · (x+ 1).

Nyní budeme hledat kořeny polynomu x5 + x4 − 9x3 − 5x2 + 16x + 12. Nejprve vyzkoušíme, jestli číslo−1 není vícenásobným kořenem polynomu P (x). Budeme ho „dosazovatÿ tak dlouho, dokud hodnotapolynomu nebude různá od nuly.

1 1 −9 −5 16 12−1 −1 0 9 −4 −12

1 0 −9 4 12 0−1 −1 1 8 −12

1 −1 −8 12 0−1 −1 2 6

1 −2 −6 18

Číslo −1 tedy je trojnásobným kořenem polynomu P (x) a platí

P (x) = (x3 − x2 − 8x+ 12) · (x+ 1)3.

Zbývá najít kořeny polynomu x3 − x2 − 8x+ 12. Zkusme číslo 2.

1 −1 −8 122 2 2 −12

1 1 −6 02 2 6

1 3 0

Číslo 2 je dvojnásobným kořenem, platí

x3 − x2 − 8x+ 12 = (x− 2)2 · (x+ 3).

Polynom P (x) má trojnásobný kořen −1, dvojnásobný kořen 2 a jednoduchý kořen −3. Rozklad na součinkořenových polynomů má následující tvar

P (x) = (x+ 1)3 · (x − 2)2 · (x+ 3).



2. P (x) = x6 + 8x5 + 27x4 + 50x3 + 54x2 + 32x+ 8.

Absolutní člen je 8, jeho dělitelé jsou 1,−1, 2,−2, 4,−4, 8,−8. Protože koeficient u nejvyšší mocniny je 1,jsou možné racionální kořeny také tato čísla. Protože všechny koeficienty polynomu jsou kladné, nemůžemít žádný kladný kořen (když dosadíme jakékoli kladné číslo, bude výsledek kladný). Budeme zkoušet jenzáporná čísla, tedy −1,−2,−4,−8. Pokud najdeme nějaký kořen, ihned zjistíme jeho násobnost. Vyzkou-šíme nejprve číslo −1.

1 8 27 50 54 32 8−1 −1 −7 −20 −30 −24 −8

1 7 20 30 24 8 0−1 −1 −6 −14 −16 −8

1 6 14 16 8 0−1 −1 −5 −9 −7

1 5 9 7 1

Číslo −1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x) a platí

P (x) = (x+ 1)2 · (x4 + 6x3 + 14x2 + 16x+ 8).Nyní zkusme číslo −2.

1 6 14 16 8−2 −2 −8 −12 −8

1 4 6 4 0−2 −2 −4 −4

1 2 2 0

Číslo −2 je dvojnásobným kořenem, platíx4 + 6x3 + 14x2 + 16x+ 8 = (x+ 2)2 · (x2 + 2x+ 2).

Polynom x2 +2x+2 má komplexní kořeny −1+ i a −1− i. Rozklad na součin kořenových polynomů mánásledující tvar

P (x) = (x+ 1)2 · (x+ 2)2 · (x+ 1− i) · (x+ 1 + i).

3. P (x) = 2x5 − x4 − 2x3 + 5x2 + 2x− 2.

Absolutní člen je 2, koeficient u nejvyšší mocniny je 2. Možné racionální kořeny jsou čísla 1,−1, 2,−2, 12 ,− 12 .Pokud najdeme nějaký kořen, ihned zjistíme jeho násobnost. Vyzkoušíme nejprve číslo 1.

2 −1 −2 5 2 −21 2 1 −1 4 6

2 1 −1 4 6 4

Číslo 1 není kořenem, vyzkoušíme číslo −1.2 −1 −2 5 2 −2

−1 −2 3 −1 −4 2

2 −3 1 4 −2 0−1 −2 5 −6 2

2 −5 6 −2 0−1 −2 7 −13

2 −7 13 -15



Číslo −1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x) a platí

P (x) = (x+ 1)2 · (2x3 − 5x2 + 6x− 2).

Nyní zkusme číslo 2.2 −5 6 −2

2 4 −2 8

2 −1 4 6

Číslo 2 není kořenem, vyzkoušíme číslo −2.

2 −5 6 −2−2 −4 18 −48

2 −9 24 -50

Číslo −2 není kořenem, vyzkoušíme číslo 12 .

2 −5 6 −212 1 −2 2

2 −4 4 0

Číslo 12 je jednoduchým kořenem polynomu P (x), 2x2 − 4x+ 4 = 2 · (x− 1− i) · (x− 1 + i).

Rozklad na součin kořenových polynomů má následující tvar

P (x) = 2 · (x+ 1)2 · (x − 12) · (x − 1− i) · (x − 1 + i) = (x+ 1)2 · (2x− 1) · (x− 1− i) · (x− 1 + i).

4. P (x) = x6 − 2x5 − 12x3 + 13x2 − 2x− 30 a jeho kořenem je číslo α = 1 + i.

Nejprve polynom P (x) vydělíme součinem kořenových polynomů, které odpovídají kořenům 1+ i a 1− i,tedy polynomem x2 − 2x+ 2.

(x6 − 2x5 − 12x3 + 13x2 − 2x − 30) : (x2 − 2x+ 2) =−x6 + 2x5 − 2x4

= x4 − 2x2 − 16x− 15−2x4 − 12x3 + 13x2

2x4 − 4x3 + 4x2

−16x3 + 17x2 − 2x16x3 − 32x2 + 32x

−15x2 + 30x − 3015x2 − 30x + 30

0

Musíme ještě rozložit polynom x4 − 2x2 − 16x − 15. Zkusme ho znovu vydělit polynomem x2 − 2x + 2,abychom zjistili, jestli kořeny, které známe, nebyly vícenásobné.

(x4 − 2x2 − 16x − 15) : (x2 − 2x+ 2) = x2 + 2−x4 + 2x3 − 2x2

2x3 − 4x2 − 16x−2x3 + 4x2 − 4x

−20x − 15



Zbytek je nenulový, kořeny byly pouze jednoduché. Možná má polynom nějaké racionální kořeny. Mohlaby to být čísla 1,−1, 3,−3, 5,−5, 15,−15. Zkusíme číslo 1.

1 0 −2 −16 −151 1 1 −1 −17

1 1 −1 −17 -32


1 0 −2 −16 −15−1 −1 1 1 15

1 −1 −1 −15 0−1 −1 2 −1

1 −2 1 -16

Číslo −1 je jednoduchým kořenem, vyzkoušíme ještě číslo 3.

1 −1 −1 −153 3 6 15

1 2 5 0

Číslo 3 je také jednoduchým kořenem, polynom x2+2x+5 už má jen komplexní kořeny −1+2i a −1−2i.Rozklad na součin kořenových polynomů má následující tvar

P (x) = (x + 1) · (x− 3) · (x− 1− i) · (x− 1 + i) · (x + 1− 2i) · (x+ 1 + 2i).

2.4.23 Příklady Následující polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů.

1. P (x) = x6 − 5x4 + 6x3 + 6x2 − 16x+ 8.

Možné racionální kořeny jsou 1,−1, 2,−2, 4,−4, 8,−8. Postupně je vyzkoušíme, začneme číslem 1.

1 0 −5 6 6 −16 81 1 1 −4 2 8 −8

1 1 −4 2 8 −8 01 1 2 −2 0 8

1 2 −2 0 8 01 1 3 1 1

1 3 1 1 9

Číslo 1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x), zkusme číslo −1.

1 2 −2 0 8−1 −1 −1 3 −3

1 1 −3 3 5

Číslo −1 není kořenem, vyzkoušíme číslo 2.



1 2 −2 0 82 2 8 12 24

1 4 6 12 32


1 2 −2 0 8−2 −2 0 4 −8

1 0 −2 4 0−2 −2 4 −4

1 −2 2 0

Číslo −2 je dvojnásobným kořenem, polynom x2 − 2x + 2 už má jen komplexní kořeny, je ireducibilní.Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů má tvar

P (x) = x6 − 5x4 + 6x3 + 6x2 − 16x+ 8 = (x− 1)2 · (x+ 2)2 · (x2 − 2x+ 2).

2. P (x) = 2x6 − 3x5 + 2x4 + 10x3 − 18x2 − 31x− 10.

Absolutní člen je 10, koeficient u nejvyšší mocniny je 2. Možné racionální kořeny jsou čísla

1,−1, 2,−2, 12,−12, 5,−5, 5

2,−52, 10,−10.

Vyzkoušíme nejprve číslo 1.

2 −3 2 10 −18 −31 −101 2 −1 1 11 −7 −38

2 −1 1 11 −7 −38 -48


2 −3 2 10 −18 −31 −10−1 −2 5 −7 −3 21 10

2 −5 7 3 −21 −10 0−1 −2 7 −14 11 10

2 −7 14 −11 −10 0−1 −2 9 −23 34

2 −9 23 −34 24

Číslo −1 je dvojnásobným kořenem polynomu P (x), vyzkoušíme číslo 2.

2 −7 14 −11 −102 4 −6 −16 10

2 −3 8 5 02 4 2 20

2 1 10 25


2.5. Cvičení 35

Číslo 2 je jednoduchým kořenem, vyzkoušíme číslo −2.

2 −3 8 5−2 −4 14 −44

2 −7 22 -39

Číslo −2 není kořenem, vyzkoušíme číslo 12 .

2 −3 8 512 1 −1 3, 5

2 −2 7 8,5

Číslo 12 není kořenem, vyzkoušíme číslo − 12 .

2 −3 8 5− 12 −1 2 −5

2 −4 10 0

Číslo − 12 je jednoduchým kořenem, polynom 2x2−4x+10 = 2 · (x2−2x+5) už má jen komplexní kořeny,je ireducibilní. Rozklad na součin ireducibilních reálných polynomů má tvar

P (x) = 2x6 − 3x5 + 2x4 + 10x3 − 18x2 − 31x− 10 = 2(x+ 1)2 · (x− 2) · (x+ 12) · (x2 − 2x+ 5) =

= (x+ 1)2 · (x− 2) · (2x+ 1) · (x2 − 2x+ 5).

2.5 Cvičení

1. Vydělte (se zbytkem) polynom P (x) polynomem Q(x).

(a) P (x) = (x6 + 2x5 − x3 − 4x2 + x+ 2), Q(x) = (x2 + x− 3)(b) P (x) = (x6 + 2x5 + 4x3 − 12x2 + 10x− 2), Q(x) = (x2 + 2x− 3)(c) P (x) = (x7 + 2x6 − 4x5 − 6x4 + 5x3 − 4x2 + 3x+ 2), Q(x) = (x3 − 3x+ 1)(d) P (x) = (x7 − x6 − 7x5 + 7x4 − x3 − 5x2 + 2x+ 1), Q(x) = (x3 − 3x2 + 2)

2. Polynomy rozložte na součin kořenových polynomů .

(a) P (x) = x4 + 1.

(b) P (x) = x4 − 1.(c) P (x) = x4 + 16.

(d) P (x) = x3 + 8.

(e) P (x) = x3 − 8.

3. Polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů.

(a) P (x) = x6 − 64.(b) P (x) = x8 − 1.(c) P (x) = x4 − 81.(d) P (x) = x4 + 1.

4. Polynomy rozložte na součin kořenových polynomů .

(a) x6 − 2x5 − 8x4 + 14x3 + 11x2 − 28x+ 12



(b) x6 − 4x5 + 3x4 + 6x3 − 10x2 + 8(c) x6 + 4x5 + 3x4 − 2x3 + 6x2 + 16x+ 8(d) 2x5 + x4 − 2x3 + 3x2 + 6x+ 2(e) 2x5 − 5x4 − 2x3 + 2x2 + 16x− 8(f) 2x6 − 3x5 − x4 − x3 + 9x2 − 8x+ 2(g) 2x6 + 5x5 + 6x4 − 6x3 − 26x2 + 9x+ 10(h) 2x6 + x5 + 3x4 + 18x3 + 16x2 − 3x− 5

5. Určete násobnost kořene α polynomu P (x). Polynom P (x) rozložte na součin kořenových polynomů.

(a) P (x) = x6 − 7x5 + 12x4 + 14x3 − 59x2 + 57x− 18, α = 1

(b) P (x) = x6 − 4x4 + 8x3 + 4x2 − 16x+ 16, α = 1 + i

(c) P (x) = x6 − 5x4 − 12x3 − 4x2 + 8x+ 12, α = −1− i

(d) P (x) = x6 − 2x4 + 18x3 − 13x2 − 2x+ 30, α = 1− i

(e) P (x) = x6 − 4x5 + 6x4 − 6x3 − 5x2 − 22x+ 30, α = 1− 2i(f) P (x) = x6 − x4 − 14x3 − 2x2 + 16x+ 40, α = −1 + i

(g) P (x) = 2x5 − 3x4 − 6x3 − 2x2 + 16x+ 8, α = 1

6. Polynomy rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů.

(a) x6 + 7x5 + 12x4 − 14x3 − 59x2 − 57x− 18(b) x6 + 4x5 + 3x4 − 6x3 − 10x2 + 8(c) x6 − 5x4 − 6x3 + 6x2 + 16x+ 8(d) 2x5 − x4 − 2x3 − 3x2 + 6x− 2(e) 2x5 + 5x4 − 2x3 − 2x2 − 16x+ 8(f) 2x6 + x5 − 3x4 + 3x3 + 7x2 − 2(g) 2x6 − x5 + 3x4 − 18x3 + 16x2 + 3x− 5(h) 2x6 + 3x5 + 2x4 − 10x3 − 18x2 + 31x− 10

7. Určete násobnost kořene α polynomu P (x). Polynom P (x) rozložte na součin ireducibilních reálnýchpolynomů.

(a) P (x) = x6 − 2x5 − 3x4 + 20x3 − 36x2 + 32x− 12, α = 1 + i

(b) P (x) = x6 + 4x5 + 6x4 + 6x3 − 5x2 + 22x+ 30, α = 1− i

(c) P (x) = x6 − x4 + 14x3 − 2x2 − 16x+ 40, α = 1− 2i(d) P (x) = x6 − 4x5 + 7x4 − 6x3 − 2x2 − 16x+ 40, α = −1− i

(e) P (x) = x6 − 4x5 + 3x4 + 2x3 + 6x2 − 16x+ 8, α = 1

(f) P (x) = 2x5 + 3x4 − 6x3 + 2x2 + 16x− 8, α = 1

2.6 Výsledky

1. (a) (x6 + 2x5 − x3 − 4x2 + x+ 2) = (x4 + x3 + 2x2 + 2) · (x2 + x− 3)− x+ 8

(b) (x6 + 2x5 + 4x3 − 12x2 + 10x− 2) = (x4 + 3x2 − 2x+ 1) · (x2 + 2x− 3) + 2x+ 1(c) (x7 + 2x6 − 4x5 − 6x4 + 5x3 − 4x2 + 3x+ 2) = (x4 + 2x3 − x2 − x) · (x3 − 3x+ 1)− 6x2 + 4x+ 2(d) (x7 − x6 − 7x5 + 7x4 − x3 − 5x2 + 2x+ 1) = (x4 + 2x3 − x2 + 2x+ 1) · (x3 − 3x2 + 2)− 2x− 1

2. (a) P (x) = x4 + 1 = (x−√22 −

√22 i) · (x−

√22 +

√22 i) · (x +

√22 −

√22 i) · (x+

√22 +

√22 i).

(b) P (x) = x4 − 1 = (x− 1) · (x+ 1) · (x− i) · (x+ i)· = (x+√22 +

√22 i).


2.6. Výsledky 37

(c) P (x) = x4 + 16 = (x−√2−√2i) · (x−

√2 +√2i) · (x +

√2−√2i) · (x +

√2 +√2i)·.

(d) P (x) = x3 + 8 = (x+ 2) · (x− 1−√3i) · (x− 1 +

√3i).

(e) P (x) = x3 − 8 = (x− 2) · (x+ 1−√3i) · (x+ 1 +

√3i).

3. (a) P (x) = x6 − 64 = (x− 2) · (x+ 2) · (x2 + x+ 4) · (x2 − x+ 4).

(b) P (x) = x8 − 1 = (x− 1) · (x+ 1) · (x2 + 1) · (x2 +√2x+ 1) · (x2 −

√2x+ 1).

(c) P (x) = x4 − 81 = (x− 3) · (x+ 3) · (x2 + 9).(d) P (x) = x4 + 1 = (x2 +

√2x+ 1) · (x2 −

√2x+ 1).

4. (a) x6 − 2x5 − 8x4 + 14x3 + 11x2 − 28x+ 12 = (x− 1)3 · (x+ 2)2 · (x− 3)(b) x6 − 4x5 + 3x4 + 6x3 − 10x2 + 8 = (x+ 1)2 · (x− 2)2 · (x− 1 + i) · (x− 1− i)

(c) x6 + 4x5 + 3x4 − 2x3 + 6x2 + 16x+ 8 = (x+ 1)2 · (x + 2)2 · (x− 1 + i) · (x− 1− i)

(d) 2x5 + x4 − 2x3 + 3x2 + 6x+ 2 = (x+ 1)2 · (2x+ 1) · (x− 1 + i) · (x− 1− i)

(e) 2x5 − 5x4 − 2x3 + 2x2 + 16x− 8 = (x− 2)2 · (2x− 1) · (x+ 1 + i) · (x+ 1− i)

(f) 2x6 − 3x5 − x4 − x3 + 9x2 − 8x+ 2 = (x− 1)3 · (2x− 1) · (x+ 1 + i) · (x+ 1− i)

(g) 2x6 + 5x5 + 6x4 − 6x3 − 26x2 + 9x+ 10 = (x− 1)2 · (x + 2) · (2x+ 1) · (x+ 1 + 2i) · (x + 1− 2i)(h) 2x6 + x5 + 3x4 + 18x3 + 16x2 − 3x− 5 = (x+ 1)3 · (2x− 1) · (x − 1 + 2i) · (x− 1− 2i)

5. (a) α je trojnásobný kořen a platí P (x) = (x− 1)3 · (x+ 2) · (x− 3)2.(b) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x + 2)2 · (x− 1 + i)2 · (x− 1− i)2.

(c) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1) · (x − 3) · (x+ 1+ i)2 · (x+ 1− i)2.

(d) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x+1) · (x+3) · (x−1+ i) · (x−1− i) · (x−1+2i) · (x−1−2i).(e) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x−1) · (x−3) · (x+1+ i) · (x+1− i) · (x−1+2i) · (x−1−2i).(f) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x − 2)2 · (x+ 1 + i) · (x+ 1− i) · (x+ 1 + 2i) · (x+ 1− 2i).(g) α není kořenem a platí P (x) = (x− 2)2 · (2x+ 1) · (x+ 1 + i) · (x+ 1− i).

6. (a) x6 + 7x5 + 12x4 − 14x3 − 59x2 − 57x− 18 = (x+ 1)3 · (x − 2) · (x + 3)2

(b) x6 + 4x5 + 3x4 − 6x3 − 10x2 + 8 = (x− 1)2 · (x+ 2)2 · (x2 + 2x+ 2)(c) x6 − 5x4 − 6x3 + 6x2 + 16x+ 8 = (x+ 1)2 · (x− 2)2 · (x2 + 2x+ 2)(d) 2x5 − x4 − 2x3 − 3x2 + 6x− 2 = (x− 1)2 · (2x− 1) · (x2 + 2x+ 2)(e) 2x5 + 5x4 − 2x3 − 2x2 − 16x+ 8 = (x+ 2)2 · (2x+ 1) · (x2 − 2x+ 2)(f) 2x6 + x5 − 3x4 + 3x3 + 7x2 − 2 = (x+ 1)3 · (2x− 1) · (x2 − 2x+ 2)(g) 2x6 − x5 + 3x4 − 18x3 + 16x2 + 3x− 5 = (x− 1)3 · (2x+ 1) · (x2 + 2x+ 5)(h) 2x6 + 3x5 + 2x4 − 10x3 − 18x2 + 31x− 10 = (x− 1)2 · (x + 2) · (2x− 1) · (x2 + 2x+ 5)

7. (a) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1) · (x + 3) · (x2 − 2x+ 2)2.(b) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x + 1) · (x + 3) · (x2 − 2x+ 2) · (x2 + 2x+ 5).(c) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x + 2)2 · (x2 − 2x+ 2) · (x2 − 2x+ 5).(d) α je jednoduchý kořen a platí P (x) = (x − 2)2 · (x2 + 2x+ 2) · (x2 − 2x+ 5).(e) α je dvojnásobný kořen a platí P (x) = (x − 1)2 · (x− 2)2 · (x2 + 2x+ 2).(f) α není kořenem a platí P (x) = (x+ 2)2 · (2x− 1)2 · (x2 − 2x+ 2).


Kapitola 3

Matice

Matice typu (m, n) je vlastně tabulka, která má m řádků a n sloupců. Jednotlivé řádky a sloupce neoddělujemečarami a celou „tabulkuÿ uzavřeme do kulatých závorek. Například

A =

1 2 2 −12 0 1 01 1 2 1

je matice typu (3, 4).

Když chceme takovou tabulku zadat, můžeme třeba diktovat řádek po řádku nebo sloupec po sloupci. Anebotaky „napřeskáčkuÿ, když třeba údaje v tabulce získáváme postupně (např. výsledky zápasů ve fotbale nebov hokeji). V každém případě musíme zadat, co je na pozici (i, j), tedy v i-tém řádku a j-tém sloupci pro všechnyhodnoty i ∈ {1, 2, . . . , m} a j ∈ {1, 2, . . . , n}. To znamená, že se na matici můžeme dívat jako na zobrazení,které každé pozici, tj. uspořádané dvojici (i, j) přiřadí nějaké číslo aij . Definičním oborem tohoto zobrazení jemnožina všech uspořádaných dvojic (i, j), tj. kartézský součin {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n}. Oborem hodnot jenějaký číselný obor. Pro nás to budou vždy reálná čísla. To je jeden možný pohled. Rovnost, sčítání a násobenímatice reálným číslem pak definujeme jako rovnost a sčítání zobrazení a jako násobení zobrazení reálným číslem.Součin matic je definován odlišně. Na matici se ale můžeme dívat jako na „obrázekÿ, na schema, které má určitýpočet řádků a sloupců.

3.1 Základní pojmy

3.1.1 Definice (Reálná) matice typu (m, n) je schema

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

,

kde aij ∈ R pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n.

Zapisovat ji můžeme i stručněji

A = (aij) , kde i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n.

3.1.2 Definice Uspořádanou dvojici (i, j) nazýváme pozice, i je řádkový a j je sloupcový index, číslu aij říkámečlen nebo prvek matice (v i-tém řádku a j-tém sloupci).Uspořádanou n-tici

(ai1, ai2, . . . , ain) nazýváme i-tým řádkem matice

a uspořádanou m-tici

a1ja2j...

amj

nazýváme j-tým sloupcem matice.


3.2. Operace s maticemi 39

3.1.3 Definice Pokud má matice stejný počet řádků i sloupců, to znamená, že je typu (n, n), nazýváme jičtvercovou maticí řádu n. V opačném případě hovoříme o obdélníkové matici. Čtvercová matice, ve které aij = 0,pro všechna i 6= j, se nazývá diagonální matice.

3.1.4 Příklady

1. Matice A =

1 2 34 5 67 8 9

je čtvercová řádu 3.

2. Matice B =

1 0 00 5 00 0 9

je diagonální.

3.1.5 Definice Diagonální matici En = (eij) řádu n takovou, že eii = 1 nazveme jednotkovou maticí. MaticiOmn typu (m, n), která má všechny členy nulové, nazveme nulovou maticí. Pokud to není nezbytné, obvykle seindexy udávající typ u těchto matic vynechávají.

3.1.6 Definice Matice A a B typu (m, n) se sobě rovnají, jestliže pro každé i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , nplatí aij = bij .

3.1.7 Definice Matici AT = (aji), kde j = 1, 2, . . . , n a i = 1, 2, . . . , m, typu (n, m) nazveme transponovanoumaticí k matici A. Pokud platí AT = A, řekneme, že matice A je symetrická.

3.1.8 Příklad

A =(

1 2 34 5 6

)

, potom AT =

1 42 53 6

A =

1 2 32 −1 03 0 2

, potom AT =

1 2 32 −1 03 0 2

, matice A je symetrická.

3.1.9 Pozorování Zřejmě platí(

AT)T= A.

3.2 Operace s maticemi

Matice můžeme sčítat a násobit (reálným) číslem člen po členu. Sčítáme pouze matice stejného typu. Součinmatic je ale definován jinak. Důvody této odlišnosti se ozřejmí v kapitole o lineárních zobrazeních.

3.2.1 Definice Součet matic: Nechť A, B jsou matice typu (m, n), potom A+B je opět matice typu (m, n)taková, že

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

+

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bm1 bm2 . . . bmn

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

3.2.2 Příklad

1 2 1 22 −1 1 0−1 2 0 1

+

1 1 0 12 −1 1 21 0 −1 2

=

2 3 1 34 −2 2 20 2 −1 3

3.2.3 Pozorování Vlastnosti sčítání matic:


40 Kapitola 3. Matice

1. Sčítání matic je komutativní, to znamená, že pro každé dvě matice A, B stejného typu platí, že

A+B = B+A.

2. Sčítání matic je asociativní, to znamená, že pro každé tři matice A, B, C stejného typu platí, že

(A+B) +C = A+ (B+C).

3. Nulová matice O (patřičného typu (m,n)) je neutrální vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každoumatici A typu (m,n) platí, že

A+O = O+A = A.

4. Ke každé matici A = (aij) typu (m,n) existuje opačná matice −A = (−aij) stejného typu taková, že platí

A+ (−A) = (−A) +A = O.

Důkaz. Protože při sčítání matic sčítáme vlastně reálná čísla na odpovídajících si pozicích, plynou všechny tytovlastnosti z vlastností sčítání reálných čísel. Opačná matice k matici A = (aij) je zřejmě matice −A = (−aij).

-,

3.2.4 Poznámka Je zřejmé, že množina matic typu (m, n) s operací sčítání tvoří komutativní grupu, neboťjsme právě ověřili axiomy, jak byly uvedeny v definici 1.2.1.

Poslední uvedená vlastnost nám umožňuje definovat odčítání matic jako přičítání opačné matice, tedy

A−B = A+ (−B).

3.2.5 Příklad

1 2 12 −1 1−1 2 0

−

1 1 02 1 11 0 1

=

1 2 12 −1 1−1 2 0

+

−1 −1 −0−2 −1 −1−1 −0 −1

=

0 1 10 −2 0−2 2 −1

3.2.6 Definice Násobení matice reálným číslem: Nechť A je matice typu (m, n), α ∈ R, potom α ·A je opětmatice typu (m, n) taková, že

α ·A = α ·

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

=

α · a11 α · a12 . . . α · a1nα · a21 α · a22 . . . α · a2n...

.... . .

...α · am1 α · am2 . . . α · amn

3.2.7 Příklad

3 ·

1 2 1 22 −1 1 0−1 2 0 1

=

3 6 3 66 −3 3 0−3 6 0 3

3.2.8 Pozorování Pro každé dvě matice A,B typu (m, n) a jakákoli reálná čísla α, β platí

1. α · (β ·A) = (αβ) ·A.

2. (α+ β) ·A = α ·A+ β ·A.

3. α · (A+B) = α ·A+ α ·B.

4. 1 ·A = A.

5. 0 ·A = O.



Důkaz. Protože členy matic jsou reálná čísla, všechny tyto vlastnosti plynou z vlastností sčítání a násobeníreálných čísel. -,

Jak už jsme uvedli výše, násobení matic je definováno poněkud odlišným způsobem. Pro násobené matice platí,že ta první musí mít stejný počet sloupců jako druhá řádků, výsledná matice pak má stejně řádků jako prvnímatice a stejně sloupců jako druhá. Mějme matici A typu (m, n) a matici B typu (n, p). Označme C = A ·Bsoučin těchto matic. Prvek cij , tedy v i-tém řádku a j-tém sloupci, získáme následujícím postupem:Vezměme i-tý řádek matice A, tedy

(ai1 ai2 . . . ain)

a j-tý sloupec matice B, tedy

b1jb2j...

bmj

Vynásobme spolu první, druhé, . . . , n-té členy. Prvek cij je součtem těchto součinů, tedy

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

3.2.9 Příklad Spočítejte A ·B, kde

A =(

1 2 30 1 2

)

, B =

1 11 01 2

Matice A je typu (2, 3), matice B je typu (3, 2), počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B (jeroven 3), matice můžeme vynásobit. Výsledná matice bude mít stejný počet řádků jako matice A , tj. dva,a stejný počet sloupců jako matice B, tj. dva. Označíme-li C = A ·B, pak C bude čtvercová matice řádu dvě.Spočítáme jednotlivé členy matice C.

c11 =(

1 2 3)

·

111

= 1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1 = 6

c12 =(

1 2 3)

·

102

= 1 · 1 + 2 · 0 + 3 · 2 = 7

c21 =(

0 1 2)

·

111

= 0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 = 3

c22 =(

0 1 2)

·

102

= 0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 2 = 4

C = A ·B =(

6 73 4

)

.

Po získání určité praxe v násobení matic není potřeba počítat jednotlivé členy zvlášť, můžeme psát rovnou

(

1 2 30 1 2

)

·

1 11 01 2

=(

1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1 1 · 1 + 2 · 0 + 3 · 20 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 2

)

=(

6 73 4

)

.

Po získání ještě větší praxe (a pro „rozumnáÿ čísla) můžeme vynechat i tu prostřední část a násobit a sčítatzpaměti. Nyní budeme součin matic přesně definovat.



3.2.10 Definice Součin matic: Nechť A je matice typu (m, n), B je matice typu (n, p). Součinem těchto maticje matice C = A ·B typu (m, p) taková, že pro všechna i = 1, 2, . . . , m a pro všechna j = 1, 2, . . . , p platí

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . .+ ain · bnj nebo stručněji cij =n∑

k=1

aik · bkj .

Je zřejmé, že zkoumání vlastností součinu matic bude složitější, než tomu bylo v případě součtu a reálnéhonásobku. Prozkoumejme třeba komutativitu. Mějme matice A typu (m, n) a B typu (n, p), m 6= p. Součin A ·Bdefinovaný je, naproti tomu B ·A provést nelze. V předchozím příkladu matice A byla typu (2, 3), matice Btypu (3, 2), oba součiny lze provést. Ovšem matice A ·B je typu (2, 2), matice B ·A typu (3, 3). Nemohou setedy rovnat. Omezme se na čtvercové matice stejného řádu. Tam jsou oba součiny definované a výsledkem jsouopět čtvercové matice téhož řádu. Ale i v tomto případě se nemusí sobě rovnat, jak ukáže následující příklad.

3.2.11 Příklad(

1 23 −1

)

·(

−1 20 3

)

=(

−1 8−3 3

)

(

−1 20 3

)

·(

1 23 −1

)

=(

5 −49 −3

)

Násobení matic tedy není komutativní. Pro některé matice ale platí, že se oba součiny sobě rovnají.

3.2.12 Definice Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. Řekneme, že matice A a B spolu komutují (nebože A, B jsou komutující matice), jestliže platí A ·B = B ·A.

3.2.13 Příklady

1.

1 0 00 1 00 0 1

·

2 1 21 −1 0−1 2 −1

=

2 1 21 −1 0−1 2 −1

=

2 1 21 −1 0−1 2 −1

·

1 0 00 1 00 0 1

2.

0 0 00 0 00 0 0

·

2 1 21 −1 0−1 2 −1

=

0 0 00 0 00 0 0

=

2 1 21 −1 0−1 2 −1

·

0 0 00 0 00 0 0

3.(

1 20 1

)

·(

1 −20 1

)

=(

1 00 1

)

=(

1 −20 1

)

·(

1 20 1

)

4. Samozřejmě každá čtvercová matice komutuje sama se sebou (platí A ·A = A ·A).

S další „podivostíÿ se setkáme, když budeme chtít krátit. U reálných čísel platí, že z rovnosti a · b = a · c,resp. b · a = c · a, resp. a · b = c · a, plyne, že b = c. V maticových rovnostech nejen že neplatí, že z rovnostiA ·B = C ·A plyne B = C (neboť násobení není komutativní), ale dokonce ani to, že z rovnosti A ·B = A ·C,resp. B ·A = C ·A plyne, že B = C. V maticových rovnostech tedy nemůžeme krátit.

3.2.14 Příklady Opět si to ukážeme na příkladech.

1.(

1 −23 −1

)

·(

3 −3−1 1

)

=(

5 −510 −10

)

=(

2 14 2

)

·(

3 −3−1 1

)

,

ačkoli zřejmě(

1 −23 −1

)

6=(

2 14 2

)



2.(

4 −2−2 1

)

·(

2 13 −1

)

=(

2 6−1 −3

)

=(

4 −2−2 1

)

·(

1 21 1

)

,

ačkoli zřejmě(

2 13 −1

)

6=(

1 21 1

)

Zmíníme se ještě o jedné „podivnostíÿ násobení matic a to o existenci tzv. dělitelů nuly, tedy nenulových matic,jejichž součinem je nulová matice. Je to opět něco odlišného od násobení čísel, protože tam z rovnosti a · b = 0plyne, že a = 0 nebo b = 0.

3.2.15 Příklad(

−1 22 −4

)

·(

2 41 2

)

=(

0 00 0

)

3.2.16 Pozorování Vlastnosti násobení matic:

1. Násobení matic není komutativní.

2. Násobení matic je asociativní, to znamená, že pro každé tři matice A typu (m, n), B typu (n, p) a C typu(p, s) platí

(A ·B) ·C = A · (B ·C).

3. Jednotková matice je neutrální vzhledem k násobení, to znamená, že pro každou matici A typu (m, n)platí

A ·En = Em ·A = A.

4. Násobení matic je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že

(a) pro všechny matice A typu (m, n), B typu (n, p) a C typu (n, p) platí

A · (B+C) = A ·B+A ·C.

(b) pro všechny matice A typu (m, n), B typu (m, n) a C typu (n, p) platí

(A+B) ·C = A ·C+B ·C.

Důkaz.

1. Ukázali jsme v příkladě 3.2.11.

2. PoložímeG = A ·B, H = B ·C, S = (A ·B) ·C =G ·C, T = A · (B ·C) = A ·H, potom pro všechnai = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , s platí

sij =p∑

k=1

gikckj =p∑

k=1

(

n∑

l=1

ailblk

)

ckj =p∑

k=1

n∑

l=1

(ailblk) ckj =n∑

l=1

p∑

k=1

ail (blkckj) =

=n∑

l=1

ail

(

p∑

k=1

blkckj

)

=n∑

l=1

ailhlj = tij

3. Položíme B = A ·En a C = Em ·A, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , n platí

bij =n∑

k=1,k 6=j

aik · 0 + aij · 1 = aij

cij =n∑

k=1,k 6=i

0 · akj + 1 · aij = aij



4. (a) PoložímeG = A · (B+C), H = A ·B+A ·C, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , pplatí

gij =n∑

k=1

aik · (bkj + ckj) =n∑

k=1

(aikbkj + aikckj) =n∑

k=1

aikbkj +n∑

k=1

aikckj = hij

(b) PoložímeG = (A+B) ·C, H = A ·C+B ·C, potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a j = 1, 2, . . . , pplatí

gij =n∑

k=1

(aik + bik) · ckj =n∑

k=1

(aikckj + bikckj) =n∑

k=1

aikckj +n∑

k=1

bikckj = hij

-,

3.2.17 Poznámka Díky distributivitě násobení vzhledem ke sčítání můžeme matice „roznásobovatÿ a „vytý-katÿ. Při vytýkání ale musíme rozlišovat, zda vytýkáme před anebo za závorku. Díky asociativitě násobení maticnemusíme psát závorky a můžeme definovat mocniny matic.

3.2.18 Definice Mocniny matic: Položme A0 = E a dále definujme An = A · An−1 pro všechna přirozenáčísla n.

Můžeme také uvažovat o tom, zda lze matice nějakým způsobem dělit. Opět je to poněkud složitější, jaknaznačují příklady 3.2.14 a 3.2.15. „Děleníÿ matic souvisí s pojmem inversní matice, kterému se budeme věnovatv 5. kapitole, až probereme pojem determinantu.

3.2.19 Tvrzení Nechť A a B jsou matice typu (m, n), C je matice typu (n, p) a α je reálné číslo. Potom platí

1. (A+B)T = AT +BT

2. (α ·A)T = α ·AT

3. (A ·C)T = CT ·AT

Důkaz.

1.

(A+B)T =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

+

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bm1 bm2 . . . bmn

T

=

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

T

=

a11 + b11 a21 + b21 . . . am1 + bm1

a12 + b12 a22 + b22 . . . am2 + bm2

......

. . ....

a1n + b1n a2n + b2n . . . amn + bmn

=

=

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2

....... . .

...a1n a2n . . . amn

+

b11 b21 . . . bm1

b12 b22 . . . bm2

....... . .

...b1n b2n . . . bmn

= AT +BT

2.

(α ·A)T =

αa11 αa12 . . . αa1nαa21 αa22 . . . αa2n...

.... . .

...αam1 αam2 . . . αamn

T

=

αa11 αa21 . . . αam1

αa12 αa22 . . . αam2

......

. . ....

αa1n αa2n . . . αamn

= α ·AT


3.3. Elementární transformační matice 45

3. Označme F = A ·C, G = (A ·C)T a H = CT ·AT. Potom prvek gij = fji získáme tak, že vynásobímej-tý řádek matice A a i-tý sloupec matice C, tedy

gij = fji = aj1 · c1i + aj2 · c2i + · · ·+ ajn · cni = c1i · aj1 + c2i · aj2 + · · ·+ cni · ajn = hij ,

neboť to odpovídá vynásobení i-tého řádku matice CT a j-tého sloupce matice AT .

-,

3.2.20 Tvrzení Nechť A je matice typu (m, n), B je matice typu (n, p) a α je reálné číslo. Potom

α · (A ·B) = (α ·A) ·B = A · (α ·B).

Důkaz. Nechť A = (aij), B = (bjk). Označme

C = α · (A ·B), D = (α ·A) ·B, F = A · (α ·B).

Potom pro všechna i = 1, 2, . . . , m a k = 1, 2, . . . , p platí

cik = α ·n∑

j=1

aijbjk =n∑

j=1

α · (aij · bjk) =n∑

j=1

(α · aij) · bjk = dik

a také

cik = α ·n∑

j=1

aijbjk =n∑

j=1

α · (aij · bjk) =n∑

j=1

(α · aij) · bjk =n∑

j=1

(aij · α) · bjk =n∑

j=1

aij · (α · bjk) = fik,

protože α, aij a bjk jsou reálná čísla a násobení reálých čísel je asociativní, komutativní a distributivní vzhledemke sčítání. -,

3.3 Elementární transformační matice

V této části si trochu hlouběji probereme, co se vlastně s maticemi při násobení děje.

3.3.1 Příklad Mějme matice A a B takové, že můžeme spočítat A ·B. Například

A =

1 0 −1 12 −1 1 00 1 −1 −1

a B =

1 −12 0−1 10 1

Označme C = A ·B. Jak vypadá první řádek matice C? To vezmeme první řádek matice A a postupně hopronásobíme prvním a druhým sloupcem matice B. Máme

c11 = 1 · 1 + 0 · 2 + (−1) · (−1) + 1 · 0 = 2, c12 = 1 · (−1) + 0 · 0 + (−1) · 1 + 1 · 1 = −1

Analogicky, když chceme spočítat, co je ve druhém řádku matice C, stačí vzít druhý řádek matice A a postupněho pronásobit sloupci matice B.

c21 = 2 · 1 + (−1) · 2 + 1 · (−1) + 0 · 0 = −1, c22 = 2 · (−1) + (−1) · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = −1

Stejné je to i pro třetí řádek matice C - třetí řádek matice A postupně pronásobíme sloupci matice B.

c31 = 0 · 1 + 1 · 2 + (−1) · (−1) + (−1) · 0 = 3, c32 = 0 · (−1) + 1 · 0 + (−1) · 1 + (−1) · 1 = −2



Co když nás bude zajímat první sloupec matice C? Ten získáme tak, že první sloupec matice B postupněpronásobíme prvním, druhým a třetím řádkem matice A.

c11 = 1 · 1 + 0 · 2 + (−1) · (−1) + 1 · 0 = 2, c21 = 2 · 1 + (−1) · 2 + 1 · (−1) + 0 · 0 = −1,

c31 = 0 · 1 + 1 · 2 + (−1) · (−1) + (−1) · 0 = 3Podobně druhý sloupec matice C získáme tak, že druhý sloupec matice B postupně pronásobíme jednotlivýmiřádky matice A.

c12 = 1 · (−1) + 0 · 0 + (−1) · 1 + 1 · 1 = −1, c22 = 2 · (−1) + (−1) · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = −1,

c32 = 0 · (−1) + 1 · 0 + (−1) · 1 + (−1) · 1 = −2

Z příkladu je patrné, že k získání i-tého řádku součinu dvou matic stačí znát jen i-tý řádek matice nalevo(a samozřejmě všechny sloupce matice napravo, tj. celou tuto matici). Ostatní řádky matice nalevo se na tomřádku nijak nepodílejí. Analogicky k získání j-tého sloupce součinu nám (kromě znalosti matice nalevo) stačí znátjen j-tý sloupec matice napravo. Zkusme nyní zleva násobit nějakou matici různými typy řádků a zkoumejme,jak vypadá výsledný řádek.

3.3.2 Příklady Pro naše „zkoumáníÿ jsem vybrala matici

A =

a b cd e fg h i

1. Vynásobíme nejprve matici A řádkem (1, 0, 0).

(1, 0, 0) ·

a b cd e fg h i

= (a+ 0 + 0, b+ 0 + 0, c+ 0 + 0) = (a, b, c)

Je vidět, že výsledný řádek je roven prvnímu řádku matice A.

2. Vynásobme nyní matici A řádkem (0, 1, 0).

(0, 1, 0) ·

a b cd e fg h i

= (0 + d+ 0, 0 + e+ 0, 0 + f + 0) = (d, e, f)

Získali jsme druhý řádek matice A. Když budeme násobit řádkem (0, 0, 1), získáme třetí řádek matice A(vyzkoušejte).

3. Vynásobme nyní matici A řádkem (0, 0, 2).

(0, 0, 2) ·

a b cd e fg h i

= (0 + 0 + 2g, 0 + 0 + 2h, 0 + 0 + 2i) = (2g, 2h, 2i)

Získali jsme dvojnásobek třetího řádku. Analogicky můžeme získat třeba pětinásobek třetího řádku vy-násobením řádkem (0, 0, 5) nebo trojnásobek prvního řádku vynásobením řádkem (3, 0, 0) (opět můžetevyzkoušet).

4. Násobme nyní matici A řádkem (2, 1, 0).

(2, 1, 0) ·

a b cd e fg h i

= (2a+ d+ 0, 2b+ e+ 0, 2c+ f + 0) = (2a+ d, 2b+ e, 2c+ f)

Tento řádek získáme tak, že ke druhému řádku matice A přičteme dvojnásobek jejího prvního řádku.



5. Násobme nyní matici A řádkem (−1, 0, 1).

(−1, 0, 1) ·

a b cd e fg h i

= (−a+ 0 + g,−b+ 0 + h,−c+ 0 + i) = (−a+ g,−b+ h,−c+ i)

Tento řádek získáme tak, že od třetího řádku matice A odečteme její první řádek.

6. Když maticiA vynásobíme řádkem (α, β, γ), znamená to, že sečteme α-násobek prvního řádku s β-násobkemdruhého řádku a γ-násobkem třetího řádku matice A.

3.3.3 Příklady Zkusme nyní maticiA násobit zleva maticemi, jejichž řádky budou některé řádky z předchozíchpříkladů.

1.

0 0 22 1 01 0 0

·

a b cd e fg h i

=

2g 2h 2i2a+ d 2b+ e 2c+ f

a b c

2.

0 1 03 0 0−1 0 1

·

a b cd e fg h i

=

d e f3a 3b 3c

−a+ g −b+ h −c+ i

Z uvedených příkladů je patrné, že když matici A násobíme zleva nějakou maticí B, děje se „cosiÿ s řádkymatice A. To „cosiÿ záleží na tom, jaké řádky má matice B.

A jak to vypadá, když matici násobíme zprava? Musíme tentokrát násobit jednotlivými sloupci (aby bylonásobení definováno).

3.3.4 Příklady Budeme opět násobit matici

A =

a b cd e fg h i

1.

a b cd e fg h i

·

100

=

a+ 0 + 0d+ 0 + 0g + 0 + 0

=

adg

Je vidět, že výsledný sloupec je roven prvnímu sloupci matice A.

2.

a b cd e fg h i

·

010

=

0 + b+ 00 + e+ 00 + h+ 0

=

beh

Získali jsme druhý sloupec matice A. Čím musíme násobit matici A, abychom získali její třetí sloupec?Rozmyslete si.

3.

a b cd e fg h i

·

002

=

0 + 0 + 2c0 + 0 + 2f0 + 0 + 2i

=

2c2f2i

Získali jsme dvojnásobek třetího sloupce. Analogicky můžeme získat třeba pětinásobek třetího sloupcenebo trojnásobek prvního sloupce. (Čím budeme násobit? Promyslete si.)



4.

a b cd e fg h i

·

210

=

2a+ b+ 0c2d+ e+ 02g + h+ 0

=

2a+ b2d+ e2g + h

Tento sloupec získáme tak, že ke druhému sloupci matice A přičteme dvojnásobek jejího prvního sloupce.

5.

a b cd e fg h i

·

−101

=

−a+ 0 + c−d+ 0 + f−g + 0 + i

=

−a+ c−d+ f−g + i

Tento sloupec získáme tak, že od třetího sloupce matice A odečteme její první sloupec.

3.3.5 Příklady Zkusme nyní matici A násobit zprava maticemi, jejichž sloupce budou některé sloupce z před-chozích příkladů.

1.

a b cd e fg h i

·

0 2 10 1 02 0 0

=

2c 2a+ b a2f 2d+ e d2i 2g + h g

2.

a b cd e fg h i

·

0 3 −11 0 00 0 1

=

b 3a −a+ ce 3d −d+ fh 3g −g + i

Zřejmě se při násobení matice A zprava nějakou maticí B „cosiÿ děje s jejími sloupci. To „cosiÿ nyní záleží natom, jaké jsou sloupce matice B.

Při práci s maticemi se často matice „upravujíÿ pomocí nějakých řádkových nebo sloupcových úprav. Ty nej-jednodušší úpravy se nazývají elementární a jsou to

1. Přehození dvou řádků.

2. Vynásobení libovolného řádku nenulovým reálným číslem.

3. Přičtení libovolného násobku nějakého řádku k jinému řádku.

To jsou elementární řádkové úpravy. Analogicky pro sloupce máme tyto elementární sloupcové úpravy

1. Přehození dvou sloupců.

2. Vynásobení libovolného sloupce nenulovým reálným číslem.

3. Přičtení libovolného násobku nějakého sloupce k jinému sloupci.

3.3.6 Příklady Použití těchto úprav si múžeme ukázat na několika příkladech.

1. Mějme matici

A =

1 2 −1−1 0 22 2 −2

a upravme ji nejdříve tak, že ke druhému řádku přičteme první řádek. Tuto úpravu budem zapisovattakto: R2 := R2 + R1. Potom ke třetímu řádku přičteme (−2)-násobek prvního řádku, tedy vlastně odtřetího řádku „odečtemeÿ dvojnásobek prvního řádku. Opět to můžeme symbolicky zapsat, dostanemeR3 := R3 − 2 · R1. Při těchto úpravách jsou vzniklé matice určitým způsobem ekvivalentní (později sedozvíte, že tyto úpravy nemění hodnost matice), proto mezi původní a upravenou matici budeme psátsymbol ∼. Máme tedy



A =

1 2 −1−1 0 22 2 −2

∼

1 2 −10 2 12 2 −2

∼

1 2 −10 2 10 −2 0

Získali jsme matici, která má v prvním sloupci ve všech řádcích kromě prvního samé nuly. Zkusme upra-vovat dále. Přičtěmě nyní ke třetímu řádku řádek druhý, tedy R3 := R3 +R2. Máme

A ∼

1 2 −10 2 10 −2 0

∼

1 2 −10 2 10 0 1

Získali jsme matici, která má „pod členy aiiÿ samé nuly (říká se jí horní trojúhelníková matice, protože„potenciálněÿ nenulové členy tvoří trojúhelník v horním rohu matice). Na horní trojúhelníkové budemematice upravovat velmi často. Postup, který jsme si tady ukázali, si popíšeme v následujících odstavcích.Upravujme naši matici ještě dále. Odečtěme od druhého řádku třetí řádek a potom k prvnímmu řádkupřičtěme třetí řádek. Symbolicky zapíšeme R2 := R2 −R3 a R1 := R1 +R3. Získáme

A ∼

1 2 −10 2 10 0 1

∼

1 2 −10 2 00 0 1

∼

1 2 00 2 00 0 1

Odečtěme ještě od prvního řádku druhý řádek (R1 := R1−R2) a potom druhý řádek vynásobme polovinou(R2 := 1

2 · R2).

A ∼

1 2 00 2 00 0 1

∼

1 0 00 2 00 0 1

∼

1 0 00 1 00 0 1

Získali jsme jednotkovou matici. Tento postup budeme využívat především při výpočtu inversní matice.Ne každou matici ale můžeme takto upravit až na jednotkovou.

2. Mějme matici

B =

0 2 −1 1−1 0 1 22 1 −2 −1

Přehodíme nejprve první a druhý řádek (R1 ←→ R2) a potom ke třetímu řádku přičteme dvojnásobekprvního (původné druhého) řádku (R3 := R3 + 2 ·R1). Máme

B =

0 2 −1 1−1 0 1 22 1 −2 −1

∼

−1 0 1 20 2 −1 12 1 −2 −1

∼

−1 0 1 20 2 −1 10 1 0 3

Přehodíme nyní druhý a třetí řádek (R2 ←→ R3) a potom od třetího řádku odečteme dvojnásobek druhéhořádku (R3 := R3 − 2 · R2). Máme

B ∼

−1 0 1 20 2 −1 10 1 0 3

∼

−1 0 1 20 1 0 30 2 −1 1

∼

−1 0 1 20 1 0 30 0 −1 −5

„Potenciálněÿ nenulové členy této matice sice netvoří přímo trojúhelník, ale základní vlastnost hornítrojúhelníkové matice, tedy nulovost členů „pod členy aiiÿ, je splněna. I této matici budeme říkat hornítrojúhelníková matice.



3. Mějme matici

A =

1 2 −1−1 −2 22 3 −1

Nyní opět přičteme k druhému řádku první řádek (R2 := R2 + R1) a od třetího odečteme dvojnásobekprvního řádku (R3 := R3 − 2 · R1).

A =

1 2 −1−1 −2 22 3 −1

∼

1 2 −10 0 12 3 −1

∼

1 2 −10 0 10 −1 1

V takto získané matici přehodíme druhý a třetí řádek a získáme opět horní trojúhelníkovou matici.

A ∼

1 2 −10 0 10 −1 1

∼

1 2 −10 −1 10 0 1

Tu můžeme ještě úpravami „zpětného choduÿ (R2 := R2−R3, R1 := R1+R3 a následně R1 := R1+2 ·R2a R2 := −R2) upravit opět na jednotkovou matici.

A ∼

1 2 −10 −1 10 0 1

∼

1 2 −10 −1 00 0 1

∼

1 2 00 −1 00 0 1

∼

1 0 00 −1 00 0 1

∼

1 0 00 1 00 0 1

To, co jsme si ilustrovali na předchozích příkladech, nyní popíšeme přesněji.

3.3.7 Definice Řekneme, že matice A typu (m, n) je horní trojúhelníková, jestliže aij = 0 pro všechna i > j.Řekneme, že matice A typu (m, n) je dolní trojúhelníková, jestliže aij = 0 pro všechna i < j.

Každou matici můžeme pomocí řádkových úprav převést na horní trojúhelníkovou matici. Popíšeme si po-stup, jak to můžeme udělat.Nejprve se pomocí řádkových úprav pokusíme převést do žádaného tvaru první sloupec matice. Pokud je

prvek a11 různý od nuly, přičteme k druhému řádku − a21a11-násobek prvního řádku. Tím se ve druhém řádku

prvního sloupce objeví nula. Podobně postupujeme i u dalších řádků, vždy k i-tému řádku přičteme − ai1

a11-

násobek prvního řádku. První sloupec teď má v prvním řádku prvek a11, v ostatních řádcích jsou nuly. Kdybyprvek a11 byl roven nule, přehodili bychom první řádek s některým řádkem, který v prvním sloupci nemá nulu,a dále bychom postupovali stejně jako předtím. Pokud by žádný takový řádek neexistoval (v prvním sloupci bybyly samé nuly), vůbec bychom první sloupec neupravovali a pokračovali bychom úpravami druhého sloupce.Nyní už si nebudeme všímat prvního řádku ani prvního sloupce a budeme analogicky upravovat druhý

sloupec. Pokud je prvek a22 různý od nuly, přičteme k dalším řádkům vždy − ai2

a22-násobek druhého řádku. Tím

máme ve druhém sloupci pod prvkem (a22) samé nuly. Pokud by a22 byl roven nule, zase bychom přehodilidruhý řádek s některým jiným (ale ne prvním), ve kterém by v druhém slopci byl nenulový prvek. Pokud byvšechny prvky byly nulové, druhý sloupec bychom neupravovali. Analogicky postupujeme v dalších sloupcích.Samozřejmě je příjemné, když prvky na pozicích (i, j) jsou jedničky, protože pak odečítáme vždy jen aij-

násobek j-tého řádku (a ne aij

ajj-násobek). Ne vždy tomu tak ale je. Můžeme si pak pomoci nějakou řádkovou

úpravou. Třeba přehozením řádků nebo přičtením nějakého násobku řádku.

3.3.8 Příklady Na několika dalších příkladech si ukážeme průběh úprav na horní trojúhelníkovou matici. Jesamozřejmě možné tyto matice upravovat i jiným způsobem. Výsledek není dán jednoznačně. Snad by se daloříci, že si vždy ukážeme jeden z „rozumných postupůÿ.



1. Matici A upravte na horní trojúhelníkovou.

A =

0 2 2 1−2 1 1 −12 1 −1 −2

a11 = 0, proto přehodíme první a druhý řádek (R1 ←→ R2). Potom ke třetímu řádku přičteme ten novýprvní řádek (R3 := R3 +R1). Tím „vynulujemeÿ první sloupec.

A =

0 2 2 1−2 1 1 −12 1 −1 −2

∼

−2 1 1 −10 2 2 12 1 −1 −2

∼

−2 1 1 −10 2 2 10 2 0 −3

Nyní jen od třetího řádku odečteme druhý (R3 := R3 −R2) a matice je upravená.

A ∼

−2 1 1 −10 2 2 10 2 0 −3

∼

−2 1 1 −10 2 2 10 0 −2 −4


A =

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

V prvním řádku opět v prvním sloupci nemáme jedničku. Když ale k prvnímu řádku přičteme druhýřádek (případně odečteme třetí), už tam jednička bude. První úprava tedy bude přičtení druhého řádkuk prvnímu (R1 := R1 +R2), potom již upravujeme standardně. K druhému řádku přičteme dvojnásobekprvního řádku (R2 := R2+2R1), od třetího odečteme dvojnásobek prvního řádku (R3 := R3− 2R1) a odčtvrtého odečteme trojnásobek prvního řádku (R4 := R4 − 3R1).

A =

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

∼

1 −1 1 1−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

∼

1 −1 1 10 0 4 32 1 1 −13 1 −1 0

∼

1 −1 1 10 0 4 30 3 −1 −33 1 −1 0

∼

1 −1 1 10 0 4 30 3 −1 −30 4 −4 −3

Ve druhém sloupci máme zase na hlavní diagonále nulu. Ani v jiných řádcích druhého sloupce není jednička.Ale když od čtvrtého řádku odečteme třetí, budeme mít ve čtvrtém řádku druhého sloupce jedničku(R4 := R4 −R3). Pak přehodíme druhý a čtvrtý řádek R2 ←→ R4 a nakonec od třetího řádku odečtemetrojnásobek druhého řádku (R3 := R3 − 3R2).

A ∼

1 −1 1 10 0 4 30 3 −1 −30 4 −4 −3

∼

1 −1 1 10 0 4 30 3 −1 −30 1 −3 0

∼

1 −1 1 10 1 −3 00 3 −1 −30 0 4 3

∼

1 −1 1 10 1 −3 00 0 8 −30 0 4 3

Přehodíme ještě třetí a čtvrtý řádek R3 ←→ R4 a potom od čtvrtého řádku odečteme dvojnásobek třetíhořádku (R4 := R4 − 2R3).



A ∼

1 −1 1 10 1 −3 00 0 8 −30 0 4 3

∼

1 −1 1 10 1 −3 00 0 4 30 0 8 −3

∼

1 −1 1 10 1 −3 00 0 4 30 0 0 −9


A =

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 20 3 −3 4

V prvním řádku prvního sloupce máme jedničku, tak jen od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvníhořádku (R2 := R2 − 2R1) a ke třetímu první řádek přičteme (R3 := R3 +R1).

A =

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 20 3 −3 4

∼

1 2 −1 00 −3 3 −1−1 1 −2 20 3 −3 4

∼

1 2 −1 00 −3 3 −10 3 −3 20 3 −3 4

Ve druhém sloupci máme na diagonále číslo −3, ale v dalších řádcích tohoto sloupce jsou jeho násobky.Stačí tedy ke třetímu a čtvrtému řádku druhý řádek přičíst (R3 := R3 +R2, R4 := R4 +R2).

A ∼

1 2 −1 00 −3 3 −10 3 −3 20 3 −3 4

∼

1 2 −1 00 −3 3 −10 0 0 10 3 −3 4

∼

1 2 −1 00 −3 3 −10 0 0 10 0 0 3

Často se úpravy zapisují úsporněji. Zapisuje se až úprava celých sloupců. Třeba poslední příklad bychom zapsalijenom

A =

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 20 3 −3 4

∼

1 2 −1 00 −3 3 −10 3 −3 20 3 −3 4

∼

1 2 −1 00 −3 3 −10 0 0 10 0 0 3

Při jakémkoli „zkracováníÿ zápisu ale musíme dávat pozor, abychom pracovali s aktuálními řádky. Například vedruhém příkladu by někoho mohlo napadnout, že od čtvrtého řádku odečte první (tím získá nulu v poslednímřádku), potom ke druhému přičte třetí (tím získá nulu ve druhém řádku) a nakonec ke třetímu řádku přičtedruhý (a tím získá nulu ve třetím řádku). První dvě úpravy byly v pořádku, ale tu třetí takto provést nejde,protože druhý řádek už je upravený a má v prvním sloupci nulu. Nemůžeme pracovat s neupraveným řádkem.Toto je velmi častá chyba, které se určitě nedopustíte, budete-li všchny úpravy dělat tak, že k řádkům budetepřičítat nějaký násobek prvního (pokud chcete „vynulovatÿ první sloupec) řádku. Proto je tak výhodné nejprvematici upravit tak, aby v levém horním rohu (prvek a11) byla jednička. Pokud upravujete druhý sloupec, jedobré přičítat násobky druhého řádku atd.

Protože si budeme chtít ukázat, jak souvisí tyto úpravy s násobením matic určitými speciálními maticemi (říkáse jim elementární transformační matice), popíšeme si elementární úpravy přesněji („pojmenujemeÿ si řádky,resp. sloupce, . . . )

3.3.9 Definice Elementárními řádkovými úpravami jsou

1. Přehození i-tého a j-tého řádku.

2. Vynásobení i-tého řádku nenulovým reálným číslem α.

3. Přičtení α-násobku i-tého řádku k j-tému řádku, kde α ∈ R.



Elementárními sloupcovými úpravami jsou

1. Přehození i-tého a j-tého sloupce.

2. Vynásobení i-tého sloupce nenulovým reálným číslem α.

3. Přičtení α-násobku i-tého sloupce k j-tému sloupci, kde α ∈ R.

3.3.10 Definice Elementární transformační matice jsou matice, které vznikly z jednotkové matice některouelementární řádkovou nebo sloupcovou úpravou.

3.3.11 Poznámka Pokud elementární transformační matice vznikla nějakou elementární řádkovou úpravou,vznikla i nějakou elementární sloupcovou úpravou a naopak. Například vznikla-li matice přehozením druhéhoa třetího řádku v jednotkové matici, vznikla také přehozením druhého a třetího sloupce této matice. Vynásobe-ním druhého řádku jednotkové matice číslem 5 získáme totéž, co vynásobením druhého sloupce číslem 5. A kdyžk druhému řádku jednotkové matice přičteme dvojnásobek čtvrtého řádku, získáme stejnou matici, jako kdyžke čtvrtému sloupci jednotkové matice přičteme dvojnásobek druhého sloupce.

Zamysleme se nyní nad tím, jak se změní matice, vynásobíme-li ji zleva nebo zprava nějakou elementárnítransformační maticí.

3.3.12 Příklady Uvažujme opět matici

A =

a b cd e fg h i

Násobme ji nejprve zleva.

1. Nejprve vynásobíme tuto matici maticí T1, která vznikla z jednotkové přehozením prvního a druhéhořádku, tedy

T1 =

0 1 01 0 00 0 1

PoložmeC = T1 ·A. První řádek matice C získáme tak, že prvním řádkem matice T1 postupně násobímejednotlivé sloupce matice A. Zřejmě dostaneme druhý řádek matice A. Druhý řádek matice C získámeanalogicky, když použijeme druhý řádek matice T1. Zřejmě jen opíšeme první řádek matice A. Ve třetímřádku matice C bude třetí řádek matice A. Platí tedy

T1 ·A =

0 1 01 0 00 0 1

·

a b cd e fg h i

=

d e fa b cg h i

Je vidět, že matice C se od maticeA liší jen tím, že má přehozené první dva řádky. Analogicky, kdybychommatici A násobili zleva maticí, která vznikla z jednotkové přehozením druhého a třetího řádku, získámematici, která vznikla z matice A přehozením druhého a třetího řádku. Obecně lze říci, že když libovolnoumatici násobíme zleva maticí, která vznikla z jednotkové přehozením i-tého a j-tého řádku, získáme matici,která vznikla z původní přehozením i-tého a j-tého řádku.

2. Nyní vynásobíme matici A maticí T2, která vznikla z jednotkové vynásobením třetího řádku dvěma, tedy

T2 =

1 0 00 1 00 0 2

Položme C = T2 ·A. První dva řádky matice C budou stejné jako první dva řádky matice A. Ve třetímřádku matice C bude dvojnásobek třetího řádku matice A. Platí tedy



T2 ·A =

1 0 00 1 00 0 2

·

a b cd e fg h i

=

a b cd e f2g 2h 2i

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má ve třetím řádku dvojnásobek třetího řádkumatice A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zleva maticí, která vznikla z jednotkové vynásobeními-tého řádku nenulovým reálným číslem, získáme matici, která vznikla z původní vynásobením i-téhořádku tímto reálným číslem.

3. Nakonec vynásobíme matici A maticí T3, která vznikla z jednotkové tak, že jsme k prvnímu řádku přičetlitrojnásobek třetího řádku, tedy

T3 =

1 0 30 1 00 0 1

Položme C = T3 ·A. Druhý a třetí řádek matice C budou stejné jako druhý a třetí řádek matice A.V prvním řádku matice C bude součet prvního a trojnásobku třetího řádku matice A. Platí tedy

T3 ·A =

1 0 30 1 00 0 1

·

a b cd e fg h i

=

a+ 3g b+ 3h c+ 3id e fg h i

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má v prvním řádku součet prvního a trojnásobkutřetího řádku matce A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zleva maticí, která vznikla z jednotkovépřičtením α-násobku j-tého řádku k řádku i-tému, získáme matici, která vznikla z původní přičtenímα-násobku j-tého řádku k řádku i-tému.

Nyní budeme matici A násobit transformačními maticemi zprava.

1. Nejprve vynásobíme matici A maticí T1, která vznikla z jednotkové přehozením prvního a druhéhosloupce, tedy

T1 =

0 1 01 0 00 0 1

Položme C = A ·T1. První sloupec matice C získáme tak, že postupně vynásobíme jednotlivé řádkymatice A prvním sloupcem matice T1 . Zřejmě dostaneme druhý sloupec matice A. Analogicky získámedruhý sloupec matice C, když použijeme druhý sloupec matice T1. Zřejmě jen opíšeme první sloupecmatice A. Ve třetím sloupci matice C bude třetí sloupec matice A. Platí tedy

A ·T1 =

a b cd e fg h i

·

0 1 01 0 00 0 1

=

b a ce d fh g i

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má přehozené první dva sloupce. Analogicky,kdybychom matici A násobili zprava maticí, která vznikla z jednotkové přehozením druhého a třetíhosloupce, získáme matici, která vznikla z matice A přehozením druhého a třetího sloupce. Obecně lze říci,že když libovolnou matici násobíme zprava maticí, která vznikla z jednotkové přehozením i-tého a j-téhosloupce, získáme matici, která vznikla z původní přehozením i-tého a j-tého sloupce.

2. Nyní vynásobíme matici A maticí T2, která vznikla z jednotkové vynásobením třetího sloupce dvěma,tedy

T2 =

1 0 00 1 00 0 2

Položme C = A ·T2. První dva sloupce matice C budou stejné jako první dva sloupce matice A. Vetřetím sloupci matice C bude dvojnásobek třetího sloupce matice A. Platí tedy



T2 ·A =

a b cd e fg h i

·

1 0 00 1 00 0 2

=

a b 2cd e 2fg h 2i

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má ve třetím sloupci dvojnásobek třetího sloupcematiceA. Obecně, když libovolnou matici násobíme zpravamaticí, která vznikla z jednotkové vynásobeními-tého sloupce nenulovým reálným číslem, získáme matici, která vznikla z původní vynásobením i-téhosloupce tímto reálným číslem.

3. Nakonec vynásobíme matici A maticí T3, která vznikla z jednotkové tak, že jsme k prvnímu sloupcipřičetli trojnásobek třetího sloupce, tedy

T3 =

1 0 00 1 03 0 1

Položme C = A ·T3. Druhý a třetí sloupec matice C budou stejné jako druhý a třetí sloupec matice A.V prvním sloupci matice C bude součet prvního sloupce a trojnásobku třetího sloupce matice A. Platítedy

A ·T3 =

a b cd e fg h i

·

1 0 00 1 03 0 1

=

a+ 3c b cd+ 3f e fg + 3i h i

Je vidět, že matice C se od matice A liší jen tím, že má v prvním sloupci součet prvního a trojnásobkutřetího sloupce matice A. Obecně, když libovolnou matici násobíme zprava maticí, která vznikla z jed-notkové přičtením α-násobku j-tého sloupce k sloupci i-tému, získáme matici, která vznikla z původnípřičtením α-násobku j-tého sloupce k sloupci i-tému.

3.3.13 Tvrzení Násobíme-li libovolnou matici zleva nějakou elementární transformační maticí, získáme ma-tici, která vznikla z původní matice stejnou řádkovou úpravou, jakou vznikla transformační matice z maticejednotkové.Násobíme-li libovolnou matici zprava nějakou elementární transformační maticí, získáme matici, která vzniklaz původní matice stejnou sloupcovou úpravou, jakou vznikla transformační matice z matice jednotkové.

Předchozí tvrzení vlastně říká, že násobení zleva nějakou elementární transformační maticí odpovídá nějakáelementární řádková úprava a násobení zprava nějakou elementární transformační maticí odpovídá nějaká sloup-cová úprava. Můžeme je ale také obrátit a každou elementární úpravu provést jako násobení (zleva nebo zprava)nějakou elementární transformační maticí. O tom hovoří následující tvrzení.

3.3.14 Tvrzení Nechť matice B vznikla z matice A nějakou elementární řádkovou úpravou. Potom existujeelementární transformační matice T taková, že B = T ·A.Nechť matice B vznikla z matice A nějakou elementární sloupcovou úpravou. Potom existuje elementárnítransformační matice T taková, že B = A ·T.

Důkaz. Pro řádkové úpravy násobíme matici zleva elementární transformační maticí, která vznikla z jednotkovépožadovanou elementární řádkovou úpravou.Pro sloupcové úpravy násobíme matici zprava elementární transformační maticí, která vznikla z jednotkovépožadovanou elementární sloupcovou úpravou. -,

3.3.15 Příklady Uvažujme elementární řádkové a sloupcové úpravy matice

A =

a b cd e fg h i

.



1. Nejprve přehodíme první a třetí řádek. Tomu odpovídá násobení zleva maticí

T =

0 0 10 1 01 0 0

, protože

0 0 10 1 01 0 0

·

a b cd e fg h i

=

g h id e fa b c

.

2. Nyní vynásobíme druhý řádek číslem 3. Tomu odpovídá násobení zleva maticí

T =

1 0 00 3 00 0 1

, protože

1 0 00 3 00 0 1

·

a b cd e fg h i

=

a b c3d 3e 3fg h i

.

3. Nakonec ke třetímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku. Tomu odpovídá násobení zleva maticí

T =

1 0 00 1 00 2 1

, protože

1 0 00 1 00 2 1

·

a b cd e fg h i

=

a b cd e f

g + 2d h+ 2e i+ 2f

.

4. Nejprve přehodíme první a třetí sloupec. Tomu odpovídá násobení zprava maticí

T =

0 0 10 1 01 0 0

, protože

a b cd e fg h i

·

0 0 10 1 01 0 0

=

c b af e di h g

.

5. Nyní vynásobíme druhý sloupec číslem 3. Tomu odpovídá násobení zprava maticí

T =

1 0 00 3 00 0 1

, protože

a b cd e fg h i

·

1 0 00 3 00 0 1

=

a 3b cd 3e fg 3h i

.

6. Nakonec ke třetímu sloupci přičteme dvojnásobek druhého sloupce. Tomu odpovídá násobení zprava maticí

T =

1 0 00 1 20 0 1

, protože

a b cd e fg h i

·

1 0 00 1 20 0 1

=

a b c+ 2bd e f + 2eg h i+ 2h

.

3.3.16 Poznámka V předchozích příkladech jsme transformačními maticemi vždy násobili čtvercovou matici.Bylo to proto, abychom mohli násobit zprava i zleva. Podobně lze ale násobit i matice obdélníkové, např.

1 0 00 3 00 0 1

·

a bc de f

=

a b3c 3de f

, druhý řádek vynásobený třemi.

(

a b cd e f

)

·

1 0 00 3 00 0 1

=

(

a 3b cd 3e f

)

, druhý sloupec vynásobený třemi.

3.4 Cvičení

1. Spočtěte A ·B, jestliže

(a)

A =

1 −1 22 1 01 2 −1

, B =

0 −1 12 1 −1−1 2 2


3.4. Cvičení 57

(b)

A =

2 1 11 −1 00 1 1

, B =

1 2 −12 1 11 2 −2

(c)

A =

1 −1 00 1 12 −1 1

, B =

1 −1 22 1 2−2 1 1

(d)

A =

1 2 0−1 1 11 1 −10 1 1

, B =

1 1 2−1 1 10 2 −1

(e)

A =

2 1 00 1 −11 −1 01 1 0

, B =

1 1 −1 22 1 0 11 2 1 2

(f)

A =

1 2 1−1 0 11 −1 0

, B =

1 2 −1 12 1 0 −22 1 1 2

(g)

A =

1 1 −1 0−1 1 0 11 −1 0 1

, B =

1 2 −1 22 1 1 12 2 1 01 2 2 1

2. Spočtěte A2 a A3, jestliže

(a)

A =

1 −1 22 1 01 2 −1

(b)

A =

1 1 0−1 1 −11 −1 −1

(c)

A =

2 0 −11 −1 03 −1 −1

(d)

A =

1 −1 2−1 1 −2−1 1 −2

3. Rozhodněte, zda spolu matice A a B komutují.

(a)

A =

1 1 −12 1 00 1 −2

, B =

1 −1 21 1 −21 0 −1



(b)

A =

1 1 11 0 −11 −1 1

, B =

1 2 12 0 −21 −2 1

(c)

A =

1 1 10 1 1−1 0 1

, B =

1 1 01 0 1−1 1 1

(d)

A =

1 −1 12 0 −11 1 0

, B =

1 0 −1−1 1 10 1 2

4. Najděte matici A, aby pro všechny hodnoty a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l platilo

(a)

A ·

a b c de f g hi j k l

=

a+ 2e b+ 2f c+ 2g d+ 2hi− a j − b k − c l − d3e 3f 3g 3h

(b)

A ·


=

2e− i 2f − j 2g − k 2h− la+ e+ i b+ f + j c+ g + k d+ h+ li− 2a j − 2b k − 2c l − 2di+ a j + b k + c l + d

(c)

A ·

a b cd e fg h ij k l

=

a+ j b+ k c+ lg + 2d h+ 2e i+ 2f

d+ g − j e+ h− k f + i− l

(d)


·A =

a− b c+ 2b 2c− ad− e f + 2e 2f − dg − h i+ 2h 2i− gj − k l + 2k 2l− j

(e)


·A =

c− 2b a+ 2b 2c+ a 2af − 2e d+ 2e 2f + d 2di− 2h d+ 2h 2i+ g 2gl − 2k j + 2k 2l + j 2j

(f)


·A =

b+ 2d c− b a− c a+ 2df + 2h g − f e− g e+ 2hj + 2l k − j i− k i+ 2l

3.5 Výsledky

1. (a)

A ·B =

−4 2 62 −1 15 −1 −3


3.5. Výsledky 59

(b)

A ·B =

3 3 1−1 1 −23 3 −1

(c)

A ·B =

−1 −2 00 2 3−2 −2 3

(d)

A ·B =

−1 3 4−2 2 −20 0 4−1 3 0

(e)

A ·B =

4 3 −2 51 −1 −1 −1−1 0 −1 13 2 −1 3

(f)

A ·B =

7 5 0 −11 −1 2 1−1 1 −1 3

(g)

A ·B =

1 1 −1 32 1 4 00 3 0 2

2. (a)

A2 =

1 2 04 −1 44 −1 3

, A3 =

5 1 26 3 45 1 5

(b)

A2 =

0 2 −1−3 1 01 1 2

, A3 =

−3 3 −1−4 −2 −12 0 −3

(c)

A2 =

1 1 −11 1 −12 2 −2

, A3 =

0 0 00 0 00 0 0

(d)

A2 =

0 0 00 0 00 0 0

, A3 =

0 0 00 0 00 0 0

3. (a) Nekomutují.

(b) Komutují.

(c) Komutují.

(d) Nekomutují.



(a)

A =

1 2 0−1 0 10 3 0

(b)

A =

0 2 −11 1 1−2 0 11 0 1

(c)

A =

1 0 0 10 2 1 00 1 1 −1

(d)

A =

1 0 −1−1 2 00 1 2

(e)

A =

0 1 1 2−2 2 0 01 0 2 0

(f)

A =

0 0 1 1−2 −1 0 0−2 1 −1 01 0 0 2


Kapitola 4

Determinanty

Determinant matice je (reálné) číslo, které matici určitým způsobem charakterizuje. Jeho myšlenka vznikla zesnahy najít nějaký vztah mezi koeficienty soustavy lineárních rovnic a jejím řešením. V Evropě se objevilav 17. století u Gottfrieda Wilhelma Leibnize, ve století následujícím pak Gabriel Cramer formuloval pravidlopro řešení soustav lineárních rovnic, které používá determinanty matic. Název determinant pak pochází odAugustina Louise Cauchyho. Determinanty mají i geometrickou interpretaci, lze je totiž chápat jako objemurčitého rovnoběžnostěnu. Ale determinanty hrají významnou roli i v jiných oblastech matematiky.Determinant lze definovat několika navzájem ekvivalentními způsoby, ale žádný z nich není jednoduchý.

Definice, kterou budeme formulovat, je založena na pojmu permutace, povězme si tedy nejprve něco o nich.

4.1 Permutace

4.1.1 Definice Permutace Π na množině M = {1, 2, . . . , n} je libovolná bijekce (vzájemně jednoznačné zob-razení) množiny M na sebe samu. Jestliže Π(i) = pi pro i = 1, 2, . . . , n, můžeme zapsat permutaci Π ve tvarutabulky

Π =(

1 2 . . . np1 p2 . . . pn

)

.

Pokud jsou v prvním řádku tabulky čísla uspořádaná od nejmenšího k největšímu, říkáme, že je permutacezapsaná v základním tvaru, pokud jsou v jiném pořadí, je zapsaná v obecném tvaru. Prvek, který se zobrazujesám na sebe, nazveme samodružným, pokud se nezobrazuje sám na sebe, je nesamodružný.

4.1.2 Příklad Na množině M = {1, 2, 3, 4} jsou

Π =

(

1 2 3 42 3 1 4

)

=

(

2 1 3 43 2 1 4

)

=

(

4 3 2 14 1 3 2

)

=

(

1 2 4 32 3 4 1

)

různé tvary permutace Π, přičemž ten první je základní. Číslo 4 je samodružným prvkem, ostatní čísla jsounesamodružná.

4.1.3 Věta Množina M = {1, 2, . . . , n} má právě n! navzájem různých permutací.

Důkaz. Větu budeme dokazovat matematickou indukcí podle n.

1. Pro n = 1 existuje zřejmě jediná permutace a to Π =(

11

)

.

2. Nyní dokážeme indukční krok. Předpokládáme, že tvrzení platí pro množinu {1, 2, . . . , n}, to znamená, žeexistuje n! navzájem různých permutací této množiny. Ukážeme, že množina {1, 2, . . . , n, n+1} má potom(n+ 1)! navzájem různých permutací.

Zamysleme se nejprve nad tím, v kolika permutacích se číslo n + 1 vyskytuje na prvním místě. Zřejměv n! permutacích. Znamená to totiž pouze to, že ve všech permutacích množiny {1, 2, . . . , n} napíšeme


62 Kapitola 4. Determinanty

v tabulce pod číslo 1 číslo n+1 a ostatní čísla v druhém řádku o jedno místo posuneme. Nechť Π je nějakápermutace množiny {1, 2, . . . , n}, napíšeme si tabulku této permutace

Π =(

1 2 3 . . . np1 p2 p3 . . . pn

)

.

Odpovídající permutace množiny {1, 2, . . . , n, n + 1}, kde na prvním místě je číslo n + 1, pak je dánatabulkou

(

1 2 3 . . . n n+ 1n+ 1 p1 p2 . . . pn−1 pn

)

.

Analogicky se v n! permutacích vyskytuje číslo n+1 na druhém místě (v tabulce necháme na svém místěčíslo pod 1, pod 2 napíšeme n+ 1 a ostatní čísla o jedno posuneme).

(

1 2 3 . . . n n+ 1p1 n+ 1 p2 . . . pn−1 pn

)

Stejný je i počet permutací, kde je n + 1 na třetím, čtvrtém, . . . , n-tém a (n + 1)-ním místě. Celkovýpočet permutací získáme, když (n+ 1)-krát sečteme n!, tedy existuje

(n+ 1) · n! = (n+ 1)!

různých permutací na množině {1, 2, . . . , n, n+ 1}Tím je tvrzení dokázáno. -,

4.1.4 Příklad Na M = {1, 2} existuje 2! = 2 permutace. Jsou to

Π1 =(

1 21 2

)

a Π2 =(

1 22 1

)

.

4.1.5 Příklad Na M = {1, 2, 3} existuje 3! = 6 permutací. Jsou to

Π1 =(

1 2 31 2 3

)

Π2 =(

1 2 31 3 2

)

Π3 =(

1 2 32 1 3

)

Π4 =(

1 2 32 3 1

)

Π5 =(

1 2 33 1 2

)

Π6 =(

1 2 33 2 1

)

4.1.6 Definice Permutaci I množiny M = {1, 2, . . . , n} nazveme identickou, je-li každý prvek množiny Msamodružným, tedy

I =(

1 2 . . . n1 2 . . . n

)

.

4.1.7 Definice Nechť Π =(

1 2 . . . np1 p2 . . . pn

)

je permutace množiny {1, 2, . . . , n}. Permutaci

Π−1 =(

p1 p2 . . . pn

1 2 . . . n

)

nazveme inversní permutací k permutaci Π.

4.1.8 Definice Nechť

Π1 =(

1 2 . . . np1 p2 . . . pn

)

a Π2 =(

p1 p2 . . . pn

s1 s2 . . . sn

)

jsou dvě permutace na množině M = {1, 2, . . . , n}. Součinem permutací Π1 a Π2 nazveme permutaci

Π = Π2 · Π1 =(

1 2 . . . ns1 s2 . . . sn

)

.


4.1. Permutace 63

4.1.9 Poznámka Díváme-li se na permutace jako na zobrazení, je zřejmě identická permutace identickýmzobrazením, inversní permutace zase inversním zobrazením. Součin permutací odpovídá skládání zobrazení.Proto násobíme jakoby „pozpátkuÿ.

4.1.10 Příklady V příkladu 4.1.5 jsme si vypsali všechny permutace na množině {1, 2, 3}.

1. Permutace Π1 je zřejmě identická. Je inversní sama k sobě.

2. Také permutace Π2, Π3, Π6 jsou inversní samy k sobě, neboť

Π−12 =

(

1 3 21 2 3

)

=(

1 2 31 3 2

)

= Π2,

Π−13 =

(

2 1 31 2 3

)

=(

1 2 32 1 3

)

= Π3,

Π−16 =

(

3 2 11 2 3

)

=(

1 2 33 2 1

)

= Π6.

K permutaci Π4 je inversní permutací Π5, k permutaci Π5 je inversní permutace Π4, neboť

Π−14 =

(

2 3 11 2 3

)

=(

1 2 33 1 2

)

= Π5,

Π−15 =

(

3 1 21 2 3

)

=(

1 2 32 3 1

)

= Π4.

3. Součinem permutace s permutací inversní je permutace identická

Π1 ·Π1 = Π2 · Π2 = Π3 · Π3 = Π6 ·Π6 = Π4 · Π5 = Π5 · Π4 =(

1 2 31 2 3

)

= Π1 = I

4.1.11 Poznámka Násobení permutací je asociativní, identická permutace je neutrální vzhledem k násobenípermutací. Ke každé permutaci existuje permutace inversní a platí, že součinem těchto dvou permutací je per-mutace identická. Není ale komutativní. Vidíme, že n!-prvková množina permutací na množině {1, 2, . . . , n}s operací součinu splňuje axiomy grupy, jak byly uvedeny v 1.2.1. Nazývá se symetrická grupa permutací a zna-číme ji Sn.

4.1.12 Definice Nechť Π je permutace na n-prvkové množině. Inversí nazveme uspořádanou dvojici čísel (i, j)takovou, že i < j a Π(i) > Π(j).

4.1.13 Příklad Permutace Π1 v příkladu 4.1.4 nemá žádnou inversi, permutace Π2 má jednu inversi, totižuspořádanou dvojici (1, 2). Platí totiž, že 1 < 2, ale Π2(1) = 2 > 1 = Π2(2).

4.1.14 Příklad Permutace Π1 v příkladu 4.1.5 nemá žádnou inversi, permutace Π2 má jednu inversi, totižuspořádanou dvojici (2, 3). Platí totiž, že 2 < 3, ale Π2(2) = 3 > 2 = Π2(3). Podobně permutace Π3 má jednuinversi, uspořádanou dvojici (1, 2), permutace Π4 dvě inverse (1, 3) a (2, 3), permutace Π5 dvě inverse (1, 2)a (1, 3) a permutace Π6 tři inverse (1, 2), (1, 3) a (2, 3). V následujících tabulkách těchto permutací jsou inversevyznačeny obloučky.

Π1 =(

1 2 31 2 3

)

Π2 =(

1 2 31 3 2

)

Π3 =(

1 2 32 1 3

)

Π4 =(

1 2 32 3 1

)

Π5 =(

1 2 33 1 2

)

Π6 =(

1 2 33 2 1

)

4.1.15 Definice Znaménko permutace Π (sgnΠ) je rovno 1, pokud má permutace Π sudý počet inversí, a −1,má-li jich lichý počet. Můžeme tedy psát sgnΠ = (−1)p, kde p je počet inversí permutace Π.



4.1.16 Příklad Znaménka permutací z příkladu 4.1.4 jsou

sgnΠ1 = (−1)0 = 1, sgnΠ2 = (−1)1 = −1.

4.1.17 Příklad Znaménka permutací z příkladu 4.1.5 jsou

sgnΠ1 = (−1)0 = 1, sgnΠ2 = (−1)1 = −1, sgnΠ3 = (−1)1 = −1,

sgnΠ4 = (−1)2 = 1, sgnΠ5 = (−1)2 = 1, sgnΠ6 = (−1)3 = −1.

4.1.18 Věta Permutace Π a Π−1 mají stejné znaménko.

Důkaz. Pokud dvojice (i, j) je inversí permutace Π, platí i < j a Π(i) > Π(j). Označme Π(i) = k a Π(j) = l.Potom zřejmě Π−1(k) = i a Π−1(l) = j. Platí tedy, že l < k a Π−1(l) > Π−1(k) a dvojice (l, k) je inversípermutace Π−1. Naopak každé inversi permutace Π−1 odpovídá inverse permutace Π. Obě permutace majíshodný počet inversí, a proto mají i stejné znaménko. -,

4.1.19 Definice Transpozice Ti,j je permutace, která pouze prohodí čísla i a j. Tedy

Ti,j =(

1 2 . . . i . . . j . . . n1 2 . . . j . . . i . . . n

)

.

4.1.20 Tvrzení Každou permutaci Π můžeme napsat jako součin vhodných transpozic.

Důkaz. Budeme postupovat rekurentně. Označme Tk k-tou provedenou transpozici a položme

Πk = Tk · Tk−1 · · ·T2 · T1.

Položme T1 = T1,Π(1), zřejmě Π1 = T1. Co vlastně tato transpozice provedla? Zajistila, že číslu 1 je přiřazenočíslo Π(1).Další transpozicí je T2 = TΠ1(2),Π(2). Ta zajistí, že číslu 2 je přiřazeno číslo Π(2). Stejně postupujeme dále, vždypoložíme Tk = TΠk−1(k),Π(k). Nakonec dostaneme, že

Π = Πn−1 = Tn−1 · · ·T2 · T1 .

No, malinko jsme to ošidili, protože možná některá z těch našich „transpozicÿ vůbec transpozice nebyla, alebyla to identita (nebylo potřeba nic přehazovat). V tom našem součinu tyto „falešné transpoziceÿ vynecháme.

-,

4.1.21 Příklady

1. Uvažujme permutaci

Π =(

1 2 3 4 53 2 4 5 1

)

.

Nejprve provedeme transpozici T1,3, která přehodí čísla 1 a 3. Je tedy

Π1 = T1 =(

1 2 3 4 53 2 1 4 5

)

.

Protože Π1(2) = 2, bude další „transpozicíÿ T2 = T2,Π(2) = T2,2. Máme

T2 =(

1 2 3 4 51 2 3 4 5

)

a Π2 =(

1 2 3 4 53 2 1 4 5

)


4.1. Permutace 65


T3 =(

1 2 3 4 54 2 3 1 5

)

a Π3 =(

1 2 3 4 53 2 4 1 5

)

Protože Π3(4) = 1, bude poslední „transpozicíÿ T4 = T1,Π(4) = T1,5. Máme

T4 =(

1 2 3 4 55 2 3 4 1

)

a Π4 =(

1 2 3 4 53 2 4 5 1

)

= Π

Protože T2 nebyla transpozice, ale identita, musíme ji vynechat. Platí tedy, že

Π = T4 · T3 · T1.

2. Uvažujme permutaci

Π =(

1 2 3 4 5 62 3 1 5 6 4

)

.

Nejprve provedeme transpozici T1,2, která přehodí čísla 1 a 2. Je tedy

Π1 = T1 =(

1 2 3 4 5 62 1 3 4 5 6

)

.


T2 =(

1 2 3 4 5 63 2 1 4 5 6

)

a Π2 =(

1 2 3 4 5 62 3 1 4 5 6

)

Protože Π2(3) = 1, bude další „transpozicíÿ T3 = T1,Π(3) = T1,1.

T3 =(

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

)

.

To je opět identita, kterou vynecháme.


T4 =(

1 2 3 4 5 61 2 3 5 4 6

)

a Π4 =(

1 2 3 4 5 62 3 1 5 4 6

)

Protože Π4(5) = 4, bude poslední „transpozicíÿ T5 = T4,Π(5) = T4,6. Máme

T5 =(

1 2 3 4 5 61 2 3 6 5 6

)

a Π5 =(

1 2 3 4 5 62 3 1 5 6 4

)

= Π

Platí tedy, žeΠ = T5 · T4 · T2 · T1.

4.1.22 Poznámka Rozklad permutace na součin transpozic není určen jednoznačně, ale pro každou permu-taci platí, že každý její rozklad obsahuje sudý počet transpozic nebo každý její rozklad obsahuje lichý počettranspozic.

4.1.23 Věta Znaménko transpozice Ti,j je -1.

Důkaz. Spočítáme inverse v této permutaci. Jsou to všechny uspořádané dvojice (i, k), kde k ∈ {i+1, . . . , j−1},tedy j − i− 1 inversí, dále všechny dvojice (k, j), kde k ∈ {i+1, . . . , j − 1}, také j − i− 1 inversí a uspořádanádvojice (i, j). Dohromady je inversí 2 · (j − i− 1)+ 1, to znamená lichý počet. Znaménko této permutace je −1.

-,



4.1.24 Tvrzení Nechť Π je permutace na množině {1, 2, . . . , n}. Označme znamΠ = (−1)t, kde t je počettranspozic, na které se rozkládá permutace Π. Potom sgnΠ = znamΠ.

Důkaz. Stačí nám vlastně dokázat pouze to, že když vynásobíme libovolnou permutaci nějakou transpozicí,změní se její parita; pokud byla permutace sudá, stane se lichou, pokud byla lichá, stane se sudou. Tedy žepřibude nebo ubude lichý počet inversí. Když totiž permutaci rozložíme na součin transpozic, tak právě počettranspozic říká, kolikrát jsme „přidaliÿ nebo „ubraliÿ lichý počet inversí. Je-li tedy počet transpozic sudý, jesudý i počet inversí, je-li lichý, je lichý i počet inversí.Protože násobení permutací není komutativní, měli bychom uvažovat násobení z obou stran. K důkazu věty

stačí jen jedno násobení, protože je jedno, jestli začneme zleva a budeme postupovat doprava, tj. uděláme„posledníÿ transpozici a pak se podíváme, co jsme museli udělat předtím, nebo zprava, tj. nejprve udělámeprvní transpozici, pak druhou,. . . Uděláme přesto oba důkazy. Začít zleva (tj. násobit zprava) je jednoduššína zápis důkazu, začít zprava (násobit zleva) je logičtější, protože tak jsme při tom rozkládání na transpozicepostupovali.

1. Začneme s důkazem, že vynásobíme-li nějakou permutaci Π zprava transpozici Ti,j , kde i < j, změní sepočet inversí o lichý počet. Násobení zprava vlastně znamená, že nejprve uděláme transpozici (přehodímei a j) a potom provedeme permutaci Π. Tedy

Π1 = Π · Ti,j =(

1 2 . . . i . . . j . . . nΠ(1) Π(2) . . . Π(j) . . . Π(i) . . . Π(n)

)

.

Inverse můžeme rozdělit do několika skupin. Do první skupiny budou patřit inverse, ve kterých se nevy-skytuje i ani j. Tyto inverse zůstanou zachovány. Druhou skupinu tvoří inverse typu (k, i) a (k, j), kdek < i(< j), resp. inverse typu (i, k) a (j, k), kde (i <)j < k. Také ony zůstanou zachovány. Třetí skupinoubudou inverse, pro které i < k < j.

Nechť Π(k) < Π(i) a Π(k) < Π(j), inverse (i, k) zůstane zachována. Podobně je tomu v případě, žeΠ(k) > Π(i) a Π(k) > Π(j), potom zůstane zachována (k, j). Zbývají případy Π(j) < Π(k) < Π(i)a Π(i) < Π(k) < Π(j). V tom prvním jsou v permutaci Π inverse (i, k) a (k, j), které po provedenítranspozice zmizí. V tom druhém naopak v permutaci Π inverse není a po provedení transpozice se objevíinverse (i, k) a (k, j).

Zatím ke změně parity nedošlo. Buď se nic nezměnilo nebo přibyly či naopak ubyly dvě inverse. Ale ještěmáme jednu dvojici, o které jsme zatím neuvažovali, a tou je (i, j). Pokud Π(i) < Π(j), nebyla tatodvojice inversí. Po „přehozeníÿ ale inversí je. Pokud naopak Π(j) < Π(i), je tato dvojice inversí, kdežtopo „přehozeníÿ už inversí není. Dvojice (i, j) tedy způsobí, že se parita permutace změní.

2. Nyní budeme permutaci Π násobit transpozicí Ti,j , kde i < j, zleva. Tomu odpovídá, že nejprve provedemepermutaci Π a potom přehodíme i a j. Označme si p = Π−1(i) a q = Π−1(j). Potom

Π2 = Ti,j ·Π =(

1 2 . . . p . . . q . . . nΠ(1) Π(2) . . . j . . . i . . . Π(n)

)

, pokud p < q,

nebo

Π2 = Ti,j ·Π =(

1 2 . . . q . . . p . . . nΠ(1) Π(2) . . . i . . . j . . . Π(n)

)

, pokud q < p.

Opět máme několik skupin inversí. Tou první jsou inverse, ve kterých se nevyskytuje p ani q. Ty samozřejmězůstanou zachovány. Další skupinu tvoří inverse typu (k, p) a (k, q), kde (i <)j < Π(k) a (p, k) a (q, k),kde Π(k) < i(< j). Ty také zůstanou zachovány. Zbývají případy, kdy i < Π(k) < j.

Pokud k < p a k < q, budeme místo inverse (k, p) mít inversi (k, q), pokud p < k a q < k bude inverse (q, k)nahrazena inversí (p, k). Pokud p < k < q, objeví se v permutaci Π2 dvě nové inverse (p, k) a (k, q), pokudq < k < p, máme v permutaci Π inverse (q, k) a (k, p), které v permutaci Π2 už inversemi nejsou. Opětzatím ke změně parity nedošlo. Tu zase způsobí dvojice (p, q), resp. (q, p). Pokud totiž p < q, pak (p, q)není inversí v permutaci Π, ale je inversí v permutaci Π2, pokud p > q, pak (q, p) je inversí v permutaciΠ, ale není inversí v permutaci Π2. Tím se opět změní parita permutace.

-,


4.1. Permutace 67

4.1.25 Příklady Vše si zase můžeme ilustrovat na několika příkladech.

1. Uvažujme transpozici T2,6 a permutaci

Π =(

1 2 3 4 5 6 73 6 2 5 7 4 1

)

.

Po vynásobení permutace Π zprava transpozicí T2,6 získáme permutaci

Π1 = Π · T2,6 =(

1 2 3 4 5 6 73 4 2 5 7 6 1

)

.

Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje ani 2 ani 6. Jsou to (1, 3), (1, 7), (3, 7), (4, 7)a (5, 7). Do skupiny druhé patří inverse (2, 7), (6, 7), protože 2 < 6 < 7. Všechny tyto inverse se vyskytujív permutaci Π a také v Π1.

Dále máme Π(3) = 2 < 6 = Π(2) a Π(3) = 2 < 4 = Π(6). Tomu odpovídá inverse (2, 3), která se opětvyskytuje v obou permutacích. Podobně je Π(5) = 7 > 6 = Π(2) a Π(5) = 7 > 4 = Π(6), čemuž odpovídáinverse (5, 6) opět v obou permutacích.

Protože je Π(4) = 5 < 6 = Π(2) a Π(4) = 5 > 4 = Π(6), máme v permutaci Π inverse (2, 4) a (4, 6).V permutaci Π1 už však tyto dvojice inversemi nejsou.

Poslední inversí v permutaci Π je (2, 6), která už ale v Π1 inversí není. V permutaci Π1 je tedy o tři inverseméně než v permutaci Π.


Π =(

1 2 3 4 52 3 4 1 5

)

.

Po vynásobení permutace Π zprava transpozicí T2,5 získáme permutaci

Π1 = Π · T2,5 =(

1 2 3 4 52 5 4 1 3

)

.

Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje ani 2 ani 5. Jsou to (1, 4) a (3, 4). Obě tytoinverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π1. Inverse z druhé skupiny se v této permutaci nevyskytují.

Dále máme Π(4) = 1 < 3 = Π(2) a Π(4) = 1 < 5 = Π(5), čemuž odpovídá inverse (2, 4) opět v oboupermutacích.

Protože je Π(2) = 3 < 4 = Π(3) a Π(5) = 5 > 4 = Π(3), přibudou nám v permutaci Π1 inverse (2, 3)a (3, 5), které v původní permutaci Π inversemi nejsou.

Poslední dvojicí je (2, 5), která v Π inversí není, ale v Π1 inversí je. V permutaci Π1 je tedy o tři inversevíce než v permutaci Π.


Π =(

1 2 3 4 5 6 73 6 2 5 7 4 1

)

.

Po vynásobení permutace Π zleva transpozicí T2,6 získáme permutaci

Π2 = T2,6 ·Π =(

1 2 3 4 5 6 73 2 6 5 7 4 1

)

.

Zřejmě p = Π−1(2) = 3 a q = Π−1(6) = 2. Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje 2 ani3. Jsou to (1, 7), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7) a (6, 7). Do skupiny druhé patří inverse (2, 7), (3, 7), protožeΠ(7) = 1 < 2 < 6. Všechny tyto inverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π2.

V permutaci Π máme dále inverse (2, 4) a (2, 6). Protože q = 2 < 4 = k a p = 3 < 4 = k, resp.q = 2 < 6 = k a p = 3 < 6 = k, jsou tyto dvě inverse nahrazeny inversemi (3, 4) a (3, 6). Podobně jek = 1 < 2 = q a k = 1 < 3 = p, proto je inverse (1, 3) nahrazena inversí (1, 2).

Poslední inversí v permutaci Π je (2, 3), která už ale v Π2 inversí není. V permutaci Π2 je tedy o jednuinversi méně než v permutaci Π.




Π =(

1 2 3 4 52 3 4 1 5

)

.

Po vynásobení permutace Π zleva transpozicí T2,5 získáme permutaci

Π2 = T2,5 · Π =(

1 2 3 4 55 3 4 1 2

)

.

Zřejmě p = Π−1(2) = 1 a q = Π−1(5) = 5. Do první skupiny inversí patří ty, v nichž se nevyskytuje 1 ani5. Jsou to (2, 4) a (3, 4). Obě tyto inverse se vyskytují v permutaci Π a také v Π2. Inverse z druhé skupinyse v této permutaci nevyskytují. Inverse (1, 4) zůstane zachována, protože Π(4) = 1 < 2 = i < j.

Pro k = 2 a k = 3 máme situaci i = 2 < Π(k) < 5 = j a p = 1 < k < 5 = q, přibudou tedy dvě dvojiceinversí (1, 2), (2, 5) a (1, 3), (3, 5)

Poslední dvojicí je (1, 5), která v Π inversí není, ale v Π2 inversí je. V permutaci Π2 je tedy o pět inversívíce než v permutaci Π.

Z předchozího tvrzení plyne, že znaménko permutace můžeme také definovat jako (−1)t, kde t je počet trans-pozic, na které se rozkládá permutace Π.

4.1.26 Věta Nechť Π1 a Π2 jsou permutace na množině {1, 2, . . . , n}. Potom

sgn(Π1 ·Π2) = sgnΠ1 · sgnΠ2.

Důkaz. Rozložíme obě permutace na součin transpozic. Nechť Π1 = T1 · T2 · · ·Tt a Π2 = S1 · S2 · · ·Ss. PotomΠ1 ·Π2 = T1 · T2 · · ·Tt ·S1 ·S2 · · ·Ss. Počet transpozic, na které se rozkládá permutace (Π1 ·Π2), je tedy (t+ s).Podle tvrzení 4.1.24 je

sgn(Π1 ·Π2) = (−1)t+s = (−1)t · (−1)s = sgnΠ1 · sgnΠ2-,

Uvedli jsme si základní poznatky o permutacích, které nám umožní definovat determinant matice a odvoditjeho základní vlastnosti.

4.2 Determinant matice

Mějme čtvercovou matici řádu n a vyberme v ní n prvků tak, abychom z každého sloupce a z každého řádkuvybrali právě jeden. Tato úloha je ekvivalentní úloze rozmístit na šachovnici s n x n políčky n věží tak, abyse vzájemně neohrožovaly. Na toto vybírání se můžeme dívat tak, že v každém řádku vybíráme prvek v jistémsloupci, tedy vlastně vytváříme jakési zobrazení množiny řádků (či řádkových indexů) na množinu sloupců (čisloupcových indexů), tedy zobrazení množiny {1, 2, . . . , n} na množinu {1, 2, . . . , n}. Toto zobrazení je prosté,protože když jsme v nějakém řádku vybrali prvek z nějakého sloupce, v žádném jiném řádku už prvek z tohotosloupce vybrat nemůžeme. Je také na, protože z každého sloupce jsme vybrali nějaký prvek. Takže je to zobrazenívzájemně jednoznačné, neboli bijekce množiny {1, 2, . . . , n} na sebe samu, tedy permutace na této množině. Toznamená, že každému výběru prvků odpovídá nějaká permutace a naopak také každé permutaci odpovídá výběr.Jak jsme si ukázali v předchozí podkapitole, je permutací na n-prvkové množině n!, tedy i navzájem různýchmožných výběrů je n!.

4.2.1 Příklad Uvažujme čtvercovou matici A řádu 4.

A =

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

Výběr můžeme provést třeba takto:


4.2. Determinant matice 69

1. V prvním řádku vybereme prvek a12, tedy z druhého sloupce, ve druhém řádku a24, tedy ze čtvrtéhosloupce, ve třetím řádku a31, tedy z prvního sloupce a ve čtvrtém řádku a43, tedy ze třetího sloupce.Odpovídající permutace je

Π1 =(

1 2 3 42 4 1 3

)

,

ta má tři inverse, její znaménko sgnΠ1 = −1.

2. V prvním řádku vybereme prvek a14, tedy ze čtvrtého sloupce, ve druhém řádku a21, tedy z prvníhosloupce, ve třetím řádku a33, tedy ze třetího sloupce a ve čtvrtém řádku a42, tedy z druhého sloupce.Odpovídající permutace je

Π2 =(

1 2 3 44 1 3 2

)

,

ta má čtyři inverse, její znaménko sgnΠ2 = 1.

3. V prvním řádku vybereme prvek a12, tedy z druhého sloupce, ve druhém řádku a23, tedy ze třetíhosloupce, ve třetím řádku a34, tedy ze čtvrtého sloupce a ve čtvrtém řádku a41, tedy z prvního sloupce.Odpovídající permutace je

Π3 =(

1 2 3 42 3 4 1

)

,

ta má opět tři inverse a znaménko sgnΠ3 = −1.

Celkem bychom mohli najít 4! = 24 různých výběrů.

Pokračujme ve výpočtu determinantu. Uděláme všechny možné výběry. U každého z nich vynásobíme vybranáčísla mezi sebou a pak ještě znaménkem odpovídající permutace. Tak v předchozím příkladu 4.2.1 dostávámev prvním případě součin (−1)·a12 ·a24 ·a31 ·a43, ve druhém (+1)·a14 ·a21 ·a33 ·a42 a ve třetím (−1)·a12 ·a23 ·a34 ·a41.Nakonec všechny tyto součiny sečteme a výsledné číslo se nazývá determinant matice. To, co jsme si teď rozebrali,zformulujeme do přesné definice.

4.2.2 Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Determinantem matice A nazveme reálné číslo

detA =∑

Π∈Sn

sgnΠ · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n),

kde Sn značí symetrickou grupu permutací na množině {1, 2, . . . , n}.

Místo det

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

budeme stručněji psát

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

4.2.3 Příklad Čtvercová matice řádu 1 má jediný člen a11. Na jednoprvkové množině existuje jediná permutace(identická), její znaménko je 1. Platí tedy, že det (a11) = a11.

4.2.4 Příklad Uvažujme čtvercovou matici řádu 2. V příkladu 4.1.4 jsme si ukázali, že na množině {1, 2}existují dvě permutace:

Π1 =(

1 21 2

)

, která má znaménko (+1), a Π2 =(

1 22 1

)

), která má znaménko (−1).

Potom

detA =

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

= 1 · a11 · a22 + (−1) · a12 · a21 = a11 · a22 − a12 · a21

4.2.5 Definice Uspořádané n-tici (a11, a22, a33, . . . , ann) říkáme hlavní diagonála matice, uspořádané n-tici(a1,n, a2,n−1, . . . , an,1) říkáme vedlejší diagonála matice.



To, co jsme spočítali v příkladu 4.2.4, můžeme také zformulovat takto: Determinant matice řádu 2 je rovenrozdílu součinu členů na hlavní diagonále a součinu členů na vedlejší diagonále.

4.2.6 Příklad Uvažujme čtvercovou matici řádu 3. V příkladu 4.1.5 jsme si ukázali, že na množině {1, 2, 3}existuje šest permutací:

Π1 =(

1 2 31 2 3

)

, sgnΠ1 = (+1) Π2 =(

1 2 31 3 2

)

, sgnΠ2 = (−1)

Π3 =(

1 2 32 1 3

)

, sgnΠ3 = (−1) Π4 =(

1 2 32 3 1

)

, sgnΠ4 = (+1)

Π5 =(

1 2 33 1 2

)

, sgnΠ5 = (+1) Π6 =(

1 2 33 2 1

)

, sgnΠ6 = (−1)

Potom

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (a11 ·a22 ·a33+a12 ·a23 ·a31+a13 ·a21 ·a32)−(a11 ·a23 ·a32+a12 ·a21 ·a33+a13 ·a22 ·a31)

4.2.7 Poznámka Přidejme k matici A další dva řádky tak, že zopakujeme řádek první a druhý. Potom součinys kladným znaménkem (ty, které přičítáme) jsou „ve směru hlavní diagonály,ÿ součiny se záporným znaménkem(ty, které odečítáme) jsou „ve směru vedlejší diagonályÿ.

kladné:

a11 a12 a13�

a21 a22 a23� �

a31 a32 a33� �

a11 a12 a13�

a21 a22 a23

záporné:

a11 a12 a13�

a21 a22 a23� �

a31 a32 a33� �

a11 a12 a13�

a21 a22 a23

Podobně můžeme k matici A přidat dva další sloupce (opět první a druhý). Součiny s kladným znaménkem jsouopět ty „ve směru hlavní diagonály,ÿ součiny se záporným znaménkem ty „ve směru vedlejší diagonályÿ.

a11 a12 a13 a11 a12� � �

a21 a22 a23 a21 a22� � �

a31 a32 a33 a31 a32

a11 a12 a13 a11 a12� � �

a21 a22 a23 a21 a22� � �

a31 a32 a33 a31 a32

To, co jsme spočítali v příkladu 4.2.6, můžeme zformulovat takto: Determinant matice řádu 3 spočítáme tak, ževynásobíme členy ve směru hlavní diagonály a sečteme je. Od nich pak odečteme součet součinů členů ve směruvedlejší diagonály. Tento způsob výpočtu nazýváme Sarrusovo pravidlo.

4.2.8 Poznámka Analogie Sarrusova pravidla pro matice řádu většího než tři by byla příliš složitá. Kdybychomtřeba pro matici čtvrtého řádu chtěli vzít součiny ve směru hlavní diagonály a ve směru vedlejší diagonály, byloby jich celkem osm. Všech permutací na {1, 2, 3, 4} je ale 4! = 24. Zbylé výběry nejsou ani ve směru hlavní anive směru vedlejší diagonály.Pro výpočet determinantu matic vyšších řádů používáme jiné způsoby, které si ukážeme v dalších podka-

pitolách. Přímo z definice se dají spočítat determinanty „řídkýchÿ matic, tedy takových, které obsahují hodněnul. Není to případ pro praxi příliš použitelný, ale pro ilustraci definice si ho ukážeme v následujícím příkladu.


4.2. Determinant matice 71

4.2.9 Příklad Spočtěte determinant matice

A =

1 0 −1 01 1 0 11 −1 1 00 0 1 −1

Tato matice obsahuje hodně nul. Vybereme-li v nějakém řádku číslo 0, bude součin vybraných čísel roven 0,v součtu se tedy neprojeví. Zajímají nás proto pouze ty výběry, kdy jsou všechna vybraná čísla nenulová. Jsoumožné čtyři takové výběry:

1. výběr1.řádek . . . 1. sloupec . . . číslo 12.řádek . . . 2. sloupec . . . číslo 13.řádek . . . 3. sloupec . . . číslo 14.řádek . . . 4. sloupec . . . číslo -1

Odpovídající permutace je Π1 =(

1 2 3 41 2 3 4

)

, její znaménko je +1, odpovídající součin je

(+1) · 1 · 1 · 1 · (−1) = −1.

2. výběr1.řádek . . . 1. sloupec . . . číslo 12.řádek . . . 4. sloupec . . . číslo 13.řádek . . . 2. sloupec . . . číslo -14.řádek . . . 3. sloupec . . . číslo 1


1 2 3 41 4 2 3

)


(+1) · 1 · 1 · (−1) · 1 = −1.

3. výběr1.řádek . . . 3. sloupec . . . číslo -12.řádek . . . 1. sloupec . . . číslo 13.řádek . . . 2. sloupec . . . číslo -14.řádek . . . 4. sloupec . . . číslo -1


1 2 3 43 1 2 4

)


(+1) · (−1) · 1 · (−1) · (−1) = −1.

4. výběr1.řádek . . . 3. sloupec . . . číslo -12.řádek . . . 2. sloupec . . . číslo 13.řádek . . . 1. sloupec . . . číslo 14.řádek . . . 4. sloupec . . . číslo -1


1 2 3 43 2 1 4

)

, její znaménko je −1, odpovídající součin je

(−1) · (−1) · 1 · 1 · (−1) = −1.

Determinant matice A je roven součtu těchto čtyř součinů (jak už bylo dříve uvedeno, jsou ostatní nulové), tedy

detA = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = −4.

4.2.10 Definice Čtvercovou matici A nazveme regulární, pokud detA 6= 0. V opačném případě, tj. kdyždetA = 0, nazveme matici A singulární.



4.2.11 Příklady Rozhodněte, zda je matice A regulární.

1.

A =

1 2 −1−1 0 12 1 −1

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1−1 0 12 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (0 + 1 + 4)− (0 + 1 + 2) = 5− 3 = 2

MaticeA je regulární.

2.

A =

1 2 −22 1 −11 −1 1

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −22 1 −11 −1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (1 + 4− 2)− (−2 + 1 + 4) = 3− 3 = 0

Matice A je singulární.

4.2.12 Příklady Rozhodněte, pro jaké hodnoty reálného parametru α je matice A regulární.

1.

A =

1 1 α−1 α+ 1 α+ 21 α −1

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 α−1 α+ 1 α+ 21 α −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−α− 1− α2 + α+ 2)− (α2 + α+ α2 + 2α+ 1) =

= (−α2 + 1)− (2α2 + 3α+ 1) = −3α2 − 3α = −3α(α+ 1)Determinant maticeA je roven nule pro α = 0 a pro α = −1. MaticeA je regulární, jestliže α ∈ R\{0,−1}.

2.

A =

α+ 1 α α+ 12α 2α− 1 α− 12 1 2

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

α+ 1 α α+ 12α 2α− 1 α− 12 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (4α2+2α2−2+2α2+2α+2α2−2α2)−(4α2+2α2−2+α2−1+4α2) =

= (8α2 + 2α2− 2)− (9α2 + 2α2− 3) = −α2 + 1

Determinant maticeA je roven nule pro α = 1 a pro α = −1. MaticeA je regulární, jestliže α ∈ R\{1,−1}.

4.3 Vlastnosti determinantů

4.3.1 Tvrzení Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom

detA = detAT

Důkaz. Vyberme v matici A členy a1Π(1), . . . , anΠ(n). V matici AT tomu odpovídá výběr aΠ(1)1, . . . , aΠ(n)n,neboli a1Π−1(1), . . . , anΠ−1(n). Protože sgnΠ = sgnΠ−1 (podle 4.1.18), je zřejmě

detA =∑

Π∈Sn

sgnΠ · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) =∑

Π∈Sn

sgnΠ−1 · a1Π−1(1) · a2Π−1(2) · · · anΠ−1(n) = detAT

-,


4.3. Vlastnosti determinantů 73

4.3.2 Tvrzení Nechť matice B vznikne ze čtvercové matice A tak, že její řádky napíšeme v jiném pořadí, tedyprovedeme permutaci ϕ řádků matice A. Potom

detB = sgnϕ · detA.

Důkaz. Uvažujme nějaký výběr a1Π(1), . . . , anΠ(n) v matici A, tomu odpovídá permutace Π. Chceme-li tytéžprvky vybrat v matici B, odpovídá tomuto výběru permutace Π · ϕ−1. Proto

detB =∑

Π∈Sn

sgn(Π · ϕ−1) · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) =∑

Π∈Sn

sgnΠ · sgnϕ−1 · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n),

neboť podle věty 4.1.26 je sgn(Π·ϕ−1) = sgnΠ·sgnϕ−1. Z každého sčítance můžeme vytknout sgnϕ−1 a protožesgnϕ−1 = sgnϕ, dostaneme

detB = sgnϕ−1 ·∑

Π∈Sn

sgnΠ · a1Π(1) · a2Π(2) · · · anΠ(n) = sgnϕ−1 · detA = sgnϕ · detA.

-,

4.3.3 Pozorování Nechť čtvercová matice A má stejné dva řádky. Potom detA = 0.

Důkaz. Nechť jsou stejné řádky i-tý a k-tý. Uvažujme matici B, která vznikne z A přehozením těchto dvouřádků. Zřejmě

A = B a tedy detA = detB.

Podle předchozího tvrzení 4.3.2 ale platí, že

detB = (−1) · detA,

protože přehození i-tého a k-tého řádku odpovídá transpozice Tik, která má znaménko (-1). Platí tedy, že

detA = − detA,

což je možné pouze v případě, že detA = 0. -,

4.3.4 Pozorování Nechť matice B vznikne z čtvercové matice A vynásobením i-tého řádku reálným číslem α.Potom

detB = α · detA.

Důkaz. Vyberme z každého řádku a každého sloupce matice B právě jeden prvek. Nechť to jsou třeba prvky

b1,Π(1), b2,Π(2), . . . , bi,Π(i), . . . , bnΠ(n), kde bj,Π(j) = aj,Π(j) pro j 6= i a bi,Π(i) = α · ai,Π(i).

Když vybraná čísla mezi sebou vynásobíme, můžeme z každého takového součinu vytknout číslo α. Je tedy

detB =∑

Π∈Sn

sgnΠ · b1Π(1) · b2Π(2) · · · biΠ(i) · · · bnΠ(n) =∑

Π∈Sn

sgnΠ · a1Π(1) · a2Π(2) · · ·α · aiΠ(i) · · · anΠ(n) =

= α ·∑

Π∈Sn

sgnΠ · a1Π(1) · a2Π(2) · · · aiΠ(i) · · · anΠ(n) = α · detA.

-,

4.3.5 Pozorování Nechť je v matici A i-tý řádek α-násobkem k-tého řádku. Potom

detA = 0.



Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem předchozích dvou pozorování. „Vytkneme-liÿ z i-tého řádku konstantuα, získáme matici, která má stejné dva řádky a jejíž determinant je roven nule. Determinant matice A je α-násobkem tohoto determinantu, tedy opět nulový. -,

Podle tvrzení 4.3.1 můžeme matici transponovat, aniž se změní determinat, získáváme tak analogická tvrzeníi pro sloupce matice.

4.3.6 Tvrzení Nechť matice B vznikne ze čtvercové matice A tak, že její sloupce napíšeme v jiném pořadí,tedy proveďme permutaci ϕ sloupců matice A. Potom

detB = sgnϕ · detA.

4.3.7 Pozorování Nechť čtvercová matice A má stejné dva sloupce. Potom detA = 0.

4.3.8 Pozorování Nechť matice B vznikne z čtvercové matice A vynásobením i-tého sloupce reálným číslemα. Potom

detB = α · detA.

4.3.9 Pozorování Nechť je v matici A i-tý sloupec α-násobkem k-tého sloupce. Potom

detA = 0.

þ Nyní uvedeme větu, která vystihuje důležitý vztah mezi determinanty a násobením matic. Říká totiž, že determinant součinu maticje roven součinu determinantů těchto matic. Důkaz této věty většinou využívá toho, že determinant je vlastně multilineární formařádků nebo sloupců matice. Ovšem pojem multilineární formy není úplně jednoduchý a také není v osnovách tohoto předmětu.Důkaz lze také (např. ??, ??) provést tak, že se obě matice upraví na horní trojúhelníkové, jejich součinem je pak opět hornítrujúhelníková matice a využije se toho, že determinant takovýchto matic je roven součinu členů na hlavní diagonále. Musí seovšem použít úpravy, které nemění determinant, a ukázat, které to jsou. V těchto skriptech bych ale pro důkaz toho, co se dějes determinantem při řádkových či sloupcových úpravách, chtěla použít právě tato větu. Dostala bych se tedy při dokazování dokruhu. Proto jsem hledala nějaký jiný důkaz. V již uvedeném (Zahradník) jsem našla důkaz který nepotřebuje definovat nové pojmya nepoužívá řádkové úpravy matic. Ale není jednoduchý. V té knize je asi na jednu a půl stránky formátu A5, tedy hodně zahuštěný.Trochu jsem ho „rozžvýkalaÿ, aby byl pro čtenáře stravitelnější. Přesto je jen pro velmi odvážné. A i ti ho možná zdolají až poněkolikerém přečtení. Je tady také dobře vidět úloha pomocných tvrzení, tedy lemmat. Nejprve dokážeme čtyři lemmata (a důkazynebudou úplně jednoduché) a potom s jejich pomocí (snadno) dokážeme větu. Zasvěcenější čtenáři si možná všimnou, že důkazvlastně využívá toho, že determinant je multilineární forma, ale explicitně se to tam neříká.

Nejprve si všimněme, že každou matici A můžeme zapsat jako „jakousiÿ správně uzávorkovanou „sumuÿ matic,které mají v každém řádku nejvýše jednu nenulu (ve sloupcích mohou mít nenulových členů i víc). Ta případnánenula je vždy rovna číslu, které je na téže pozici v matici A. „Sčítatÿ budeme matice, které se liší nejvýšev jednom řádku. „Součetÿ takovýchto matic pak bude roven matici, která na tom řádku, ve kterém se matice liší,bude mít součet odpovídajících řádků, ostatní řádky se nemění, to znamená, že jsou pro všechny tři matice (oba„sčítanceÿ i jejich „součetÿ) stejné. Protože se tedy nejedná o „obvykléÿ sčítání, nebudeme je značit znaménkem+, ale znaménkem ⊕.

4.3.10 Příklad

1 2 31 0 22 1 1

⊕

1 0 21 0 22 1 1

=

2 2 51 0 22 1 1

Matice se lišily pouze v prvním řádku, tam jsme jejich členy sečetli, v ostatních řádcích jsme jen opsali členytěchto řádků.

4.3.11 Poznámka Všímavý čtenář se jistě zeptá, jak budeme sčítat matice, které se od sebe vůbec neliší, toznamená matici A se sebou samotnou. Které řádky vybereme, abychom je sečetli? V tomto případě definujemejako „součetÿ opět matici A. Tedy A⊕A = A.

4.3.12 Lemma Nechť ϕ je libovolné (tedy ne nutně vzájemně jednoznačné) zobrazení množiny {1, 2, . . . , n}do množiny {1, 2, . . . , n}. Označme Aϕ matici, která má na pozicích (i, ϕ(i)) odpovídající prvky matice A, tedyai,ϕ(i) a na ostatních pozicích nuly. Potom (při vhodném uzávorkování) platí, že

A =⊕

Aϕ,

kde⊕

má stejný význam jako∑

pro „normálníÿ sčítání.



Důkaz. Než přikročíme k důkazu lemmatu, ilustrujeme si je na dvou příkladech. Uvažujme čvercovou maticiřádu dvě. Nejprve „rozepíšemeÿ její první řádek tak, že v každé matici bude jedna nula a jedno číslo z odpovídajícípozice v púvodní matici, potom v každé z těchto matic „rozepíšemeÿ ještě druhý řádek. Máme tedy

A =

(

a bc d

)

=

(

a 0c d

)

⊕(

0 bc d

)

=

((

a 0c 0

)

⊕(

a 00 d

))

⊕((

0 bc 0

)

⊕(

0 b0 d

))

.

Uvažujme nyní čtvercovou matici řádu tři. Opět nejprve „rozepíšemeÿ první řádek.

a b cd e fg h i

=

a 0 0d e fg h i

⊕

0 b 0d e fg h i

⊕

0 0 cd e fg h i

Potom „rozepíšemeÿ druhý řádek. Uvedeme to jen pro první matici, druhé dvě se rozepíší analogicky.

a 0 0d e fg h i

=

a 0 0d 0 0g h i

⊕

a 0 00 e 0g h i

⊕

a 0 00 0 fg h i

A nakonec „rozepíšemeÿ třetí řádek, což opět uvedeme pouze pro první matici.

a 0 0d 0 0g h i

=

a 0 0d 0 0g 0 0

⊕

a 0 0d 0 00 h 0

⊕

a 0 0d 0 00 0 i

Nyní je už zřejmé, jak budeme postupovat v obecném případě. Ve čtvercové matici řádu n nejprve „rozepíšemeÿprvní řádek, dostaneme n matic, které se liší pouze v prvním řádku, kde mají samé nuly kromě jedné pozice,kde je prvek z odpovídající pozice matice A. V každé z těchto matic pak „rozepíšemeÿ druhý řádek, získámen ·n matic, které se liší pouze v prvních dvou řádcích, mají v každém z nich samé nuly kromě jedné pozice, kdemají prvek z odpovídající pozice matice A. Podobně postupujeme v dalších řádcích, až dostaneme požadovanýrozklad. Ten bude mít nn sčítanců. -,

4.3.13 Lemma Nechť A a B jsou čtvercové matice řádu n a platí, že A =⊕

Aϕ. Potom

A ·B =⊕

(Aϕ ·B).

Důkaz. Důkaz vlastně stačí provést pouze pro případ „jednotlivých závorekÿ, tedy C = C1 ⊕C2 ⊕ . . .⊕Cn,kde Cj jsou matice, které se od matice C liší pouze v jednom řádku (třeba i-tém), kde mají na pozici (i, j)prvek ci,j a jinde nuly. Přes jednotlivé „úrovněÿ se pak dostaneme až k dokazovanému vztahu.Ilustrujme si to opět na příkladu čtvercové matice řádu tři. Mějme matice, které se liší jen v jednom řádku

(třeba prvním), kde mají samé nuly kromě jedné pozice. Máme tedy

a b cd e fg h i

=

a 0 0d e fg h i

⊕

0 b 0d e fg h i

⊕

0 0 cd e fg h i

Uvažujme matici

B =

r s tu v wx y z

.

Platí

C ·B =

a b cd e fg h i

·

r s tu v wx y z

=

ar + bu+ cx as+ bv + cy at+ bw + czdr + eu+ fx ds+ ev + fy dt+ ew + fzgr + hu+ ix gs+ hv + iy gt+ hw + iz



Vynásobme maticí B i jednotlivé sčítance. Dostáváme

C1 ·B =

a 0 0d e fg h i

·

r s tu v wx y z

=

ar as atdr + eu+ fx ds+ ev + fy dt+ ew + fzgr + hu+ ix gs+ hv + iy gt+ hw + iz

C2 ·B =

0 b 0d e fg h i

·

r s tu v wx y z

=

bu bv bwdr + eu+ fx ds+ ev + fy dt+ ew + fzgr + hu+ ix gs+ hv + iy gt+ hw + iz

C3 ·B =

0 0 cd e fg h i

·

r s tu v wx y z

=

cx cy czdr + eu+ fx ds+ ev + fy dt+ ew + fzgr + hu+ ix gs+ hv + iy gt+ hw + iz

Zřejmě mají všechny čtyři matice stejné druhé a třetí řádky a součet prvních řádků „rozloženýchÿ matic jeroven prvnímu řádku „nerozloženéÿ matice. Zřejmě platí

C ·B = C1 ·B⊕C2 ·B⊕C3 ·BAnalogicky můžeme postupovat v obecném případě. Nechť C = C1 ⊕C2 ⊕ . . .⊕Cn, kde Cj jsou matice, kterése od matice C liší pouze v jednom řádku (třeba i-tém), kde mají na pozici (i, j) prvek ci,j a jinde nuly. Nechť Bje libovolná čtvercová matice řádu n. Matice C ·B a Cj ·B mají stejné řádky kromě i-tého, kde jsou v maticíchCj ·B aij-násobky j-tého řádku matice B a v matici C ·B je součet těchto čísel. Platí tedy, že

C ·B =⊕

(Cj ·B).-,

4.3.14 Lemma Nechť B je libovolná čtvercová matice řádu n, Aϕ matice, která má nuly na všech pozicíchkromě pozic (i, ϕ(i)) pro i = 1, 2, . . . , n. Potom platí, že

det (Aϕ ·B) = detAϕ · detB.

Důkaz. Podívejme se zase nejprve na příklad čtvercových matic třetího řádu.

1. Uvažujme třeba matice

Aϕ =

0 m 0n 0 00 0 p

a B =

a b cd e fg h i

.

Platí

Aϕ ·B =

0 m 0n 0 00 0 p

·

a b cd e fg h i

=

md me mfna nb ncpg ph pi

Zřejmě

det(Aϕ ·B) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

md me mfna nb ncpg ph pi

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= m · n · p ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

d e fa b cg h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −m · n · p ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b cd e fg h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= detAϕ · detB.

Při výpočtu jsme nejprve z prvního řádku vytkli číslo m, z druhého řádku n a ze třetího p (využilijsme pozorování 4.3.4), potom jsme přehodili první a druhý řádek matice, čímž se změnilo znaménkodeterminantu (podle tvrzení 4.3.2). To, že detAϕ = −m · n · p, je zřejmé.

2. Uvažujme ještě případ

Aϕ =

0 m 0n 0 0p 0 0

a B =

a b cd e fg h i

.



Potom

det(Aϕ ·B) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

md me mfna nb ncpa pb pc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 = 0 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b cd e fg h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= detAϕ · detB

Protože třetí řádek matice Aϕ jepn-násobkem druhého řádku této matice (pokud n 6= 0), je detAϕ = 0

(podle pozorování 4.3.5). Podobně je třetí řádek matice Aϕ ·B pn-násobkem druhého řádku této matice,

a proto je detAϕ ·B = 0.Pokud n = 0, je druhý řádek v matici Aϕ i v matici Aϕ ·B nulový, proto detAϕ = 0 a detAϕ ·B = 0.

V obecném případě v i-tém řádku matice Aϕ ·B je ai,ϕ(i)-násobek ϕ(i)-tého řádku matice B. Pokud žádnýz řádků matice Aϕ není násobkem jiného řádku této matice, je detAϕ roven součinu a1,ϕ(1) · a2,ϕ(2) · · ·an,ϕ(n)

vynásobeným znaménkem odpovídající permutace, kterou je zobrazení ϕ. Platí

detAϕ · detB = sgnϕ · a1,ϕ(1) · a2,ϕ(2) · · · an,ϕ(n) · detB.

Při výpočtu detAϕ ·B vytkneme z každého řádku číslo ai,ϕ(i). Zbude matice, která má stejné řádky jako maticeB, jen zapsané v jiném pořadí. To opět odpovídá permutaci ϕ. Platí tedy

det(Aϕ ·B) = a1,ϕ(1) · a2,ϕ(2) · · · an,ϕ(n) · sgnϕ · detB.

Pokud je některý řádek matice Aϕ násobkem jiného řádku této matice, platí totéž pro řádky matice Aϕ ·B.Potom je

detAϕ · detB = 0 · detB = 0 a det(Aϕ ·B) = 0.V obou případech tedy platí, že

detAϕ · detB = det(Aϕ ·B),což jsme chtěli dokázat. -,

4.3.15 Lemma Nechť A a B jsou čtvercové matice, které se liší jen v jednom řádku. Potom

det (A⊕B) = detA+ detB.

Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že se matice liší v prvním řádku. Permutaci Π odpovídajítyto „výběryÿ:

1. pro matici A je to a1,Π(1), a2,Π(2), . . . , an,Π(n)

2. pro matici B je to b1,Π(1), a2,Π(2), . . . , an,Π(n)

3. pro matici A⊕B je to (a+ b)1,Π(1), a2,Π(2) . . . , an,Π(n)

Protože

a1,Π(1) · a2,Π(2) · · ·an,Π(n) + b1,Π(1) · a2,Π(2) · · ·an,Π(n) = (a+ b)1,Π(1) · a2,Π(2) · · · an,Π(n),

je zřejmědet (A⊕B) = detA+ detB.

-,

Nyní máme všechno připraveno pro důkaz věty. Jak bylo výše uvedeno, bude již velmi jednoduchý.

4.3.16 Věta Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. Potom platí:

det(A ·B) = detA · detBDůkaz.

det(A ·B) = det((

⊕

Aϕ

)

·B)

= det(

⊕

Aϕ ·B)

=∑

(detAϕ ·B) =∑

(detAϕ · detB) =

=(

∑

detAϕ

)

· detB = det(

⊕

Aϕ

)

· detB = detA · detBU první a poslední rovnosti jsme použili lemma 4.3.12, u druhé rovnosti lemma 4.3.13, u třetí a předposlednílemma 4.3.15, u čtvrté lemma 4.3.14 a u páté jsme pracovali jen s reálnými čísly a využili jsme distributivitynásobení vzhledem ke sčítání. -,



4.4 Výpočet determinantu

V úvodní části jsme si slíbili, že se naučíme počítat determinanty větších matic. Budeme uvažovat matice alespoňdruhého řádu. Uvedeme si dva způsoby. První vychází z toho, že determinant trojúhelníkové matice je rovensoučinu členů na hlavní diagonále. Upravíme tedy matici na trojúhelníkovou a zachytíme změny determinantu,ke kterým při tom došlo. Druhý způsob je výpočet determinantu rozvojem podle nějakého řádku nebo sloupce.

4.4.1 Tvrzení Determinant trojúhelníkové (horní či dolní) matice je roven součinu členů na hlavní diagonále.

Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pouze pro horní trojúhelníkovou matici, protože matice transponovaná k dolnítrojúhelníkové je matice horní trojúhelníková. Jejich determinanty se sobě rovnají podle tvrzení 4.3.1.Mějme tedy horní trojúhelníkovou matici A. Vybírejme z každého řádku a z každého sloupce právě jeden

prvek. Vybereme-li nulu, je součin vybraných prvků roven nule a ve výsledném součtu se neprojeví. Vybírejmetedy jen (potenciálně) nenulové prvky. V posledním řádku musíme vybrat prvek ann, protože všechny ostatníjsou rovny nule. Tím už máme vybrán prvek z posledního sloupce a v žádném dalším řádku prvek z posledníhosloupce vybrat nemůžeme. V předposledním řádku jsou všechny prvky kroumě předposledního a posledníhonulové. Ten poslední už vybrat nemůžeme, musíme tedy vybrat prvek an−1n−1. Podobně postupujeme v dalšíchřádcích, zřejmě vždy musíme vybrat prvek na hlavní diagonále. Všechny ostatní výběry obsahují aspoň jednunulu, součin prvků je proto nulový. Permutce odpovídající výběru prvků na hlavní diagonále je identická, protoje její znaménko +1. Determinant této matice je tedy roven součinu členů na hlavní diagonále. -,

V předchozí kapitole jsme si ukázali, že každou čtvercovou matici můžeme upravit pomocí elementárních řád-kových úprav na horní trojúhelníkovou matici. Podle předchozího tvrzení víme, že je potom snadné spočítatdeterminant. Nezmění se ale determinant při řádkových úpravách? Podle tvrzení 3.3.14 víme, že elementární řád-kové úpravy můžeme nahradit násobením zleva vhodnou elementární transformační maticí. Podle věty 4.3.16platí, že determinant součinu matic je roven součinu determinatů matic. Mějme tedy matici A a proveďmenějakou řádkovou úpravu, tj. vynásobme ji zleva maticí T. Tím získáme matici B. Platí

detB = det(T ·A) = detT · detA

Změna, ke které došlo, je vyjádřena determinantem transformační matice. Stačí nám tedy znát determinantyjednotlivých transformačních matic.

4.4.2 Tvrzení Nechť matice T vznikla z jednotkové přehozením i-tého a j-tého řádku. Potom detT = −1.

Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem tvrzení 4.3.2, kde je permutací ϕ transpozice Tij . Ta má znaménko (−1),determinant jednotkové matice je roven jedné. Odtud již dostáváme požadované tvrzení. -,

4.4.3 Tvrzení Nechť matice T vznikla z jednotkové vynásobením i-tého řádku nenulovým reálným číslem α.Potom detT = α.

Důkaz. Počítáme vlastně determinant diagonální matice, která má v i-tém řádku číslo α a v ostatních jedničky.Součin členů na hlavní diagonále je roven α. -,

4.4.4 Tvrzení Nechť matice T vznikla z jednotkové přičtením α-násobku i-tého řádku k j-tému řádku. PotomdetT = 1.

Důkaz. Tato transformační matice se od jednotkové liší jen v j-tém řádku, kde má na pozici (j, i) číslo α.Přesto jediný výběr prvků, jejichž součin nebude roven nule, je výběr členů na hlavní diagonále. Kdybychomtotiž vybrali v j-tém řádku číslo α, které je v i-tém sloupci, museli bychom v i-tém řádku vybrat nějakou nulu.Součin členů na hlavní diagonále je roven jedné. -,


4.4. Výpočet determinantu 79

4.4.5 Příklad Znázorněme si to na příkladu. Mějme čtvercovou matici řádu 4, která vznikla z jednotkovépřičtením dvojnásobku třetího řádku ke druhému řádku. Tedy

T =

1 0 0 00 1 2 00 0 1 00 0 0 1

.

Jeden možný nenulový výběr je vybrat prvky na hlavní diagonále. Je také jediný, protože kdybychom ve druhémřádku vybrali číslo 2, nesměli bychom už ve třetím řádku vybrat ve třetím sloupci jedničku (ze třetího sloupcejsme už vybírali), ale museli bychom vybrat nějaký prvek z jiného sloupce, no a to jsou všechno jen nuly. Součinvybraných prvků by tedy byl roven nule.

Protože sloupcovým úpravám odpovídá násobení elementárními transformačními maticemi zprava, můžeme všeshrnout do následující věty.

4.4.6 Věta Změny determinantu při elementárních úpravách.

1. Nechť matice B vznikla z matice A přehozením i-tého a j-tého řádku nebo sloupce. Potom

detB = (−1) · detA, tedy detA = − detB.

2. Nechť matice B vznikla z matice A vynásobením i-tého řádku nebo sloupce nenulovým reálným čílem α.Potom

detB = α · detA, tedy detA =1α· detB.

3. Nechť matice B vznikla z matice A přičtením α-násobku i-tého řádku k j-tému řádku nebo α-násobkui-tého sloupce k j-tému sloupci. Potom

detB = detA.

Počítáme-li determinant matice tímto způsobem, musíme zachytit všechny změny, ke kterým cestou došlo.Není proto rozumné nejprve matici upravovat (se znakem ∼), potom spočítat součin členů na hlavní diagonálea nakonec přemýšlet, jestli náhodou nedošlo k nějaké změně. Rozumnější je počítat přímo determinant a změnyv něm rovnou zachytit.

4.4.7 Příklady Spočtěte determinant matice A, jestliže

1.

A =

0 2 2−2 1 12 1 −1

a11 = 0, proto přehodíme první a druhý řádek (R1 ←→ R2), tomu odpovídá změna znaménka determi-nantu. Potom ke třetímu řádku přičteme ten nový první řádek (R3 := R3+R1), determinant se nezmění.Nakonec od třetího řádku odečteme druhý (R3 := R3 −R2). To opět determinant nezmění. Je tedy∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 2 2−2 1 12 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 1 10 2 22 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 1 10 2 20 2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 1 10 2 20 0 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −(−2) · 2 · (−2) = −8

Ke stejnému výsledku dojdeme, když použijeme Sarrusovo pravidlo.

2.

A =

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

K prvnímu řádku přičteme nejprve druhý řádek (R1 := R1+R2), žádná změna determinantu. K druhémuřádku přičteme dvojnásobek prvního řádku (R2 := R2 + 2R1), od třetího odečteme dvojnásobek prvního



řádku (R3 := R3 − 2R1) a od čtvrtého odečteme trojnásobek prvního řádku (R4 := R4 − 3R1). Tímse opět determinant nezmění. Máme „vynulovanýÿ první sloupec. Potom od čtvrtého řádku odečtemetřetí (R4 := R4 − R3). Pak přehodíme druhý a čtvrtý řádek (R2 ←→ R4), nesmíme zapomenout změnitznaménko, a nakonec od třetího řádku odečteme trojnásobek druhého řádku (R3 := R3−3R2). Tím máme„vynulovanýÿ druhý sloupec. Přehodíme ještě třetí a čtvrtý řádek (R3 ←→ R4), opět změníme znaménkoa potom od čtvrtého řádku odečteme dvojnásobek třetího řádku (R4 := R4 − 2R3).

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 1−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 10 0 4 30 3 −1 −30 4 −4 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 10 0 4 30 3 −1 −30 1 −3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 10 1 −3 00 0 8 −30 0 4 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 10 1 −3 00 0 4 30 0 0 −9

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −36

3.

A =

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 2−2 −1 −1 4

Od druhého řádku odečteme dvojnásobek prvního řádku (R2 := R2−2R1), ke třetímu první řádek přičteme(R3 := R3+R1) a ke čtvrtému přičteme dvojnásobek prvního řádku (R4 := R4+2R1). Tím se determinantnezmění. Ke třetímu a čtvrtému řádku přičteme druhý řádek (R3 := R3 +R2 a R4 := R4 +R2).

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 2−2 −1 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1 00 −3 3 −10 3 −3 20 3 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1 00 −3 3 −10 0 0 10 0 0 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

�4.4.8 Poznámka Uvědomte si důležitost toho, že říkáme, že k i-tému řádku přičteme α-násobek j-tého řádku.Znamená to, že ten součet píšeme do i-tého řádku. Kdybychom ho psali do řádku j-tého, determinant upravenématice by byl α-násobný. Analogicky nemůžeme říkat, že od sebe odečteme i-tý a j-tý řádek, protože je opětdůležité, kam výsledný rozdíl napíšeme. Ukážeme si to na příkladu. Matice bude jen třetího řádu, abychommohli pro kontrolu determinant spočítat Sarrusovým pravidlem.

4.4.9 Příklad Spočtěte determinant matice

A =

2 1 01 −1 10 0 −1

V prvním řádku máme číslo dvě, ve druhém číslo jedna. Můžeme tedy druhý řádek vynásobit dvěma a odečístod něj první řádek. Jak se změní determinant? Záleží na tom, kam ten rozdíl napíšeme. Pokud do druhého řádku,je determinant upravené matice roven dvojnásobku determinantu maticeA, protože jsme vlastně provedli dvěúpravy: nejprve jsme druhý řádek vynásobili dvěma (to je to zdvojnásobení determinantu) a potom jsme od(nového) druhého řádku odečetli řádek první (beze změny). Pokud bychom ten rozdíl napali do prvního řádku,opět by se determinant změnil, tentokrát by došlo ke změně znaménka. Udělali jsme totiž zase vlastně dvěúpravy: nejprve jsme první řádek vynásobili číslem −1 (změna znaménka) a potom jsme k tomuto upravenémuprvnímu řádku přičetli dvojnásobek druhého řádku (beze změny).



Spočtěme nyní determinanty upravených matic a potom detA Sarrusovým pravidlem. Nejprve mějme matici,která z A vznikla tak, že jsme od dvojnásobku druhého řádku odečetli řádek první, tzn. rozdíl jsme psali dodruhého řádku.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 00 −3 20 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 6

Nyní mějme matici, ve které jsme rozdíl psali do prvního řádku, tedy jsme k −1-násobku prvního řádkupřičetli dvojnásobek druhého řádku.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −3 21 −1 10 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −3

Nakonec Sarrusovým pravidlem spočítáme detA.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 01 −1 10 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2− (−1) = 3

Opravdu, determinant první upravené matice je dvojnásobkem detA a determinant druhé upravené matice máopačné znaménko než detA.

Z tohoto příkladu je vidět, že je velmi výhodné si na pozici prvku „v levém horním rohuÿ, (a11, když„nulujemeÿ první sloupec, a22, když „nulujemeÿ druhý sloupec, . . . ) opatříme jedničku. Přehazování řádků čisloupců je úprava, která sice mění znaménko determinantu, ale tuto změnu není obtížné zachytit. Pak už jenodečítáme příslušné násobky prvního, druhého, . . . řádku a determinant se nezmění.Pomůckou může být také zápis úprav. Když napíšeme R3 := R3 + 2R1, píšeme do třetího řádku součet

třetího a dvojnásobku prvního řádku a determinant se nezmění (k třetímu řádku jsme přičetli dvojnásobekprvního). Naproti tomu úprava R1 := R3 + 2R1, součet píšeme do prvního řádku, zvětší determinant upravenématice dvakrát. Díváme se, jak se na pravé straně změnil řádek nebo sloupec, který je na levé straně. Stejnýmzpůsobem se změní determinant upravené matice.

Dalším způsobem výpočtu determinantu matic vyšších řádů je rozvoj podle řádku nebo sloupce. Nejprve zasemusíme nadefinovat nějaké pojmy.

4.4.10 Definice Nechť A = aij je čtvercová matice řádu n ≥ 2. Doplňkem matice A příslušným pozici (i,j) ječíslo

Dij = (−1)i+j · detAij ,

kde Aij je matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

4.4.11 Příklad Mějme matici

A =

0 2 2−2 1 12 1 −1

.

Potom například

D11 = (−1)2 ·∣

∣

∣

∣

1 11 −1

∣

∣

∣

∣

= −2, D12 = (−1)3 ·∣

∣

∣

∣

−2 12 −1

∣

∣

∣

∣

= 0, D23 = (−1)5 ·∣

∣

∣

∣

0 22 1

∣

∣

∣

∣

= −(−4) = 4.

4.4.12 Věta (o rozvoji determinantu podle i-tého řádku:)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= ai1 ·Di1 + ai2 ·Di2 + · · ·+ ain ·Din =n∑

j=1

aij ·Dij .



Důkaz. Položme nejprve i = 1 (rozvoj podle prvního řádku). Vyjdeme z definice determinantu

detA =∑

Π∈Sn

sgnΠ · a1,Π(1) · a2,Π(2) · · ·an,Π(n)

a permutace z množiny Sn rozdělíme do n skupin podle toho, co přiřazují číslu 1. Mějme Sn,1 množinu permutacíΠ, pro které Π(1) = 1, . . . , Sn,j množinu permutací Π, pro které Π(1) = j, . . . , Sn,n množinu permutací Π, prokteré Π(1) = n. Potom můžeme psát

detA =∑

Π∈Sn,1

sgnΠ · a1,1 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) + · · ·+∑

Π∈Sn,n

sgnΠ · a1,n · a2,Π(2) · · · an,Π(n)

Uvažujme nejprve permutace z množiny Sn,1, tedy takové, pro které je Π(1) = 1. Každé takové permutacimůžeme přiřadit permutaci Π′ na množině {2, 3, . . . , n} definovanou tak, že pouze „vynechámeÿ první prvek.Tak například permutaci

Π =(

1 2 3 4 5 61 4 5 3 6 2

)

přiřadíme permutaci Π′ =(

2 3 4 5 64 5 3 6 2

)

.

Obě tyto permutace mají vždy stejný počet inversí. Přiřazení je vzájemně jednoznačné. Označíme-li S ′nmnožinu

všech permutací na množině {2, 3, . . . , n}, můžeme psát, že∑

Π∈Sn,1

sgnΠ · a1,1 · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a1,1 ·∑

Π′∈S′

n

sgnΠ′ · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a11 · detA11 = a11 ·D11.

Uvažujme nyní permutace z množiny Sn,2, tedy ty, pro které je Π(1) = 2. Budeme to chtít převést napředchozí případ, potřebujeme tedy přehodit první dva sloupce. Hledáme permutaci Π?, která po vynásobenízleva transpozicí T1,2 dá permutaci Π. Musíme tedy permutaci Π vynásobit inversní permutací k T1,2, což jeopět T1,2. Pro permutaci Π? platí, že Π?(1) = 1, Π?(Π−1(1)) = Π(2) a Π?(j) = Π(j) pro všechna ostatní j. Tétopermutaci můžeme přiřadit permutaci Π′ jako v předchozím případě. To odpovídá vynechání prvního sloupceupravené matice, tedy druhého sloupce matice původní. Tak například pro permutaci

Π =(

1 2 3 4 5 62 4 6 5 3 1

)

máme Π? =(

1 2 3 4 5 61 4 6 5 3 2

)

a Π′ =(

2 3 4 5 64 6 5 3 2

)

.

Permutace Π? a Π′ mají opět stejný počet inversí a tedy stejné znaménko, permutace Π? má o jednu inversiméně než Π, proto má opačné znaménko. Opět můžeme psát, že

∑

Π∈Sn,2

sgnΠ · a1,2 · a2,Π(2) · · ·an,Π(n) = a1,2 ·∑

Π′∈S′

n

sgnΠ′ · a2,Π(2) · · ·an,Π(n) = a12 · (− detA12) = a12 ·D12.

Analogicky postupujeme dále. Pro permutaci Π z množiny Sn,j zase hledáme permutaci Π? , která povynásobení zleva součinem transpozic T1,j · T1,2 · · ·Tj−3,j−2 · Tj−2,j−1 dá permutaci Π. Tomu odpovídá, ženapíšeme sloupce v pořadí j-tý, první, druhý,. . . , (j − 1)-ní, (j +1)-ní,. . . , n-tý. Dostaneme ji tak, že permutaciΠ násobíme inversní permutací k tomu součinu, tedy vlastně těmi transpozicemi v opačném pořadí. Protožejsme násobili (j−1) transpozicemi, dojde ke změně znaménka pouze v případě, že j je sudé. Permutaci Π? opětpřiřadíme permutaci Π′ (stejné znaménko jako Π?) a můžeme psát, že

∑

Π∈Sn,j

sgnΠ · a1,j · a2,Π(2) · · · an,Π(n) = a1,j ·∑

Π′∈S′

n

sgnΠ′ · a2,Π(2) · · ·an,Π(n) = a1j · (−1)j−1 detA1j) =

= a1j · (−1)j+1 detA1j) = a1j ·D1j .Máme tedy

detA =∑

Π∈Sn,1

sgnΠ · a1,1 · a2,Π(2) · · ·an,Π(n) + · · ·+∑

Π∈Sn,n

sgnΠ · a1,n · a2,Π(2) · · · an,Π(n) =

= a11 ·D11 + a12 ·D12 + · · ·+ a1n ·D1n



Chceme-li rozvíjet podle i-tého řádku, nejprve řádky napíšeme v pořadí i-tý, první, druhý, . . . , (i − 1)-ní,(i+ 1)-ní,. . . , n-tý a tím to převedeme na předchozí případ. To znamená, že tentokrát budeme odpovídajícímitranspozicemi násobit zprava (celkem (i − 1) transpozic). Každý člen rozvoje proto musíme násobit (−1)i−1.Dostáváme

detA = ai1 ·(−1)i+1 detAi1+ai2 ·(−1)i+2 detAi2+ . . .+ain ·(−1)i+n detAin = ai1 ·Di1+ai2 ·Di2+ · · ·+ain ·Din

-,

Protože detA = detAT , platí analogická věta i pro sloupce.

4.4.13 Věta (o rozvoji determinantu podle j-tého sloupce:)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a1j ·D1j + a2j ·D2j + · · ·+ anj ·Dnj =n∑

i=1

aij ·Dij .

4.4.14 Tvrzení Platí

n∑

j=1

aij ·Dkj = ak1 ·Di1 + ai2 ·Dk2 + · · ·+ ain ·Dkn = 0 pro i 6= k.

n∑

i=1

aij ·Dik = a1j ·D1k + a2j ·D2k + · · ·+ anj ·Dnk = 0 pro j 6= k.

Důkaz. První vztah odpovídá rozvoji determinantu matice, která má stejný i-tý a k-tý řádek, druhý vztahrozvoji determinantu matice, která má stejný j-tý a k-tý sloupec. Determinanty takovýchto matic jsou nulové,jak jsme si ukázali v pozorováních 4.3.3 a 4.3.7. -,

4.4.15 Příklady Výpočet si zase ukážeme na příkladech

1. Spočtěte determinant matice

A =

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

Můžeme udělat rozvoj podle kteréhokoli řádku nebo sloupce. Určitě se vyplatí si matici trochu prohlédnouta vybrat řádek nebo sloupec, ve kterém je hodně nul. Pokud totiž aij = 0, je také aij ·Dij = 0 a je tedyzbytečné Dij počítat. V našem případě je takový výhodný čtvrtý sloupec. Uděláme proto rozvoj podletohoto sloupce. Stačí spočítat D24 a D34.

D24 = (−1)6 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −3 −12 1 13 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 · ((−3− 2− 9)− (−3 + 3 + 6)) = −20

D34 = (−1)7 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −3 −1−2 2 23 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1) · ((−6 + 2− 18)− (−6 + 6− 6)) = 16

Potom detA = 0 ·D14 + 1 · (−20) + (−1) · 16 + 0 ·D44 = −36.




A =

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 2−2 −1 −1 4

Tady tak „moc výhodnýÿ řádek ani sloupec nemáme. Pouze v prvním řádku a čtvrtém sloupci máme jednunulu. Protože v minulém příkladu jsme dělali rozvoj podle sloupce, uděláme teď rozvoj podle prvníhořádku. Budeme počítat jen D11, D12 a D13.

D11 = (−1)2 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −11 −2 2−1 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 · ((−8 + 1− 2)− (−2− 2 + 4)) = −9

D12 = (−1)3 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 −1−1 −2 2−2 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1) · ((−16− 1− 4)− (−4− 4− 4)) = 9

D13 = (−1)4 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 −1−1 1 2−2 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 · ((8− 1− 4)− (2− 4− 4)) = 9

Potom detA = 1 · (−9) + 2 · 9 + (−1) · 9 + 0 ·D14 = 0.

4.4.16 Poznámka Z uvedených příkladů je vidět, že při tomto způsobu výpočtu se nám sice sníží řád matic,jejchž determinant počítáme, ale zase těch matic přibývá. Kdybychom počítali determinant matice pátéhořádu, která by neměla na žádné pozici nulu, museli bychom spočítat pět determinantů matic čtvrtého řádu,tedy 5 · 4 = 20 determinantů matic třetího řádu. Ty sice můžeme spočítat Sarrusovým pravidlem, ale je tohopočítání hodně.Mohlo by se zdát, že je výhodnější počítat determinanty tím prvním způsobem. Ale to je velmi nevýhodné

u matic, které obsahují nějaký parametr. Musí se potom hlídat, abychom nenásobili nulou, a taky úpravy řádkůjsou nepříjemné.Proto se vyplatí oba uvedené způsoby zkombinovat. Nejprve si matici trochu upravit, „vynulovatÿ nějaký

řádek nebo sloupec a potom udělat rozvoj podle tohoto řádku nebo sloupce. V tom případě už počítáme jenjeden determinant matice nižšího řádu.

4.4.17 Příklady Výpočet si zase ukážeme na příkladech


A =

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

Zřejmě je nejjednodušší „vynulovatÿ poslední sloupec. Stačí ke třetímu řádku přičíst řádek druhý. Tím sedeterminant nezmění. Pak uděláme rozvoj podle čtvrtého sloupce.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −3 −1 0−2 2 2 12 1 1 −13 1 −1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −3 −1 0−2 2 2 10 3 3 03 1 −1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 ·D24 = 1 · (−1)6 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −3 −10 3 33 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= −((−9 + 0− 27)− (−9 + 9 + 0)) = −36


A =

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 2−2 −1 −1 4



Zřejmě bude nejvýhodnější „vynulovatÿ první řádek nebo poslední sloupec, protože tam už máme jednunulu. Ale můžeme „vynulovatÿ i kterýkoli jiný řádek či sloupec. Tak třeba vybereme ten první řádek. Vprvním sloupci je jednička, tu zachováme, od druhého sloupce odečteme dvojnásobek prvního sloupce ake třetímu sloupci první sloupec přičteme. Determinant se nezmění. Pak uděláme rozvoj podle prvníhořádku.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1 02 1 1 −1−1 1 −2 2−2 −1 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 02 −3 3 −1−1 3 −3 2−2 3 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 ·D11 = 1 · (−1)2 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 3 −13 −3 23 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Nyní bychom už mohli použít Sarrusovo pravidlo. Ale můžeme také z prvního a druhého sloupce vytknoutčíslo tři, čímž se počítání zjednoduší.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 3 −13 −3 23 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3 · 3 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 1 −11 −1 21 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 9 · ((4 + 1 + 2)− (1 + 2 + 4) = 9 · 0 = 0

Také jsme mohli matici ještě upravit a „vynulovatÿ nějaký řádek nebo sloupec. Třeba druhý sloupec.Můžeme zachovat trojku v prvním řádku a první řádek přičíst ke druhému a třetímu řádku. Pak udělámerozvoj podle druhého sloupce.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 3 −13 −3 23 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 3 −10 0 10 0 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3 ·D12 = 3 · (−1)3 ·∣

∣

∣

∣

0 10 3

∣

∣

∣

∣

= 3 · 0 = 0

Možná se vám v těchto příkladech zdály všechny postupy stejně náročné (či spíš nenáročné). Rozdíl se projevípři výpočtu determinantu matice, ve které se vyskytuje nějaký parametr. V následujícím příkladu spočítámedeterminant téže matice různými způsoby. Můžete se pak sami rozhodnout pro způsob, který se vám bude zdátnejvýhodnější.

4.4.18 Příklad Nechť p je reálné číslo. Spočtěte determinant matice

A =

−p+ 1 −p 0 p+ 2p− 1 −p 1 p2p −2p+ 1 2 2p− 1

p+ 4 2p+ 2 −1 −p− 3

1. Nejprve budeme determinant počítat prvním způsobem. Protože ho považuji za velmi nerozumný, ažnebezpečný, bude u tohoto postupu patřičná značka.

j Pomocí řádkových úprav převedeme matici na horní trojúhelníkovou. V prvním řádku prvního sloupcemáme −p+ 1. I v ostatních řádcích prvního sloupce jsou výrazy s parametrem. Tak zkusíme první řádekzachovat a „vynulujemeÿ zbylé řádky prvního sloupce. U druhého řádku je to snadné. Pouze k němu prvnířádek přičteme. Abychom získali nulu ve třetím řádku, musíme k němu přičíst − 2p

−p+1 -násobek prvního

řádku. Ke čtvrtému řádku pak musíme přičíst − p+4−p+1 -násobek prvního řádku. Musíme předpokládat, že

−p+1 6= 0, tedy p 6= 1, protože nulou nemůžeme dělit. Navíc se nám takto do matice dostanou zlomky ato nám bude komplikovat další počítání. Zlomky jsou natolik ošklivá komplikace, že už raději nebudemepokračovat. Pokud čtenář o ošklivosti ještě pochybuje, může zkusit počítat sám.

Tím ale ještě nezavrhujememetodu postupné úpravy na horní trojúhelníkovoumatici. Zlomkům se můžemevyhnout třeba tím, že nejprve třetí a čtvrtý řádek vynásobíme číslem −p+ 1 a potom od nich odečtemepříslušné násobky prvního řádku. To ale není zadarmo. První problém je, že když řádek něčím vynásobíme,změní se determinant. Determinant upravené matice bude (−p + 1) · (−p + 1)-násobkem determinantumatice A. Počítáme-li determinant matice A, musíme determinant upravené matice tímto číslem vydělit,tzn. vynásobit 1

(−p+1)2 . Další problém je, že tato úprava opět umožňuje pouze násobení nenulovým číslem,



takže se nezbavíme podmínky, že p 6= 1. Dále pokračujeme s touto podmínkou, pro p = 1 musíme počítatzvlášť.

Udělejme tedy požadované úpravy. Druhý a třetí řádek vynásobme číslem (−p+1), (R3 := (−p+1) ·R3,R4 := (−p+1) ·R4), potom ke druhému řádku přičtěme první řádek (R2 := R2+R1), od třetího odečtěme(2p)-násobek prvního řádku (R3 := R3 − 2p · R1) a od čtvrtého řádku odečtěme (p+ 4)-násobek prvníhořádku (R4 := R4 − (p+ 4) · R1). Tím jsme „vynulovaliÿ první sloupec.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 2p− 1 −p 1 p2p −2p+ 1 2 2p− 1

p+ 4 2p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=1

(−p+ 1)2·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 2p− 1 −p 1 p

2p(−p+ 1) (−2p+ 1)(−p+ 1) 2(−p+ 1) (2p− 1)(−p+ 1)(p+ 4)(−p+ 1) (2p+ 2)(−p+ 1) −1(−p+ 1) (−p− 3)(−p+ 1)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

=1

(−p+ 1)2·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 20 −2p 1 2p+ 20 4p2 − 3p+ 1 −2p+ 2 −4p2 − p− 10 −p2 + 4p+ 2 p− 1 −4p− 11

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Nyní „vynulujemeÿ druhý sloupec. Nejprve třetí a čtvrtý řádek vynásobíme (−2p), zase nemůžeme násobitnulou, musíme přidat podmínku, že −2p 6= 0, tedy p 6= 0. Také se změní determinant upravené matice, je(−2p)2-násobkem determinantu původní matice, proto musíme vydělit číslem (−2p)2. Potom od třetíhořádku odečteme (4p2 − 3p + 1)-násobek druhého řádku (R3 := R3 − (4p2 − 3p + 1) · R2) a od čtvrtéhořádku (−p2 +4p+2)-násobek druhého řádku (R4 := R4 − (−p2 +4p+2) ·R2). Tím máme „vynulovanýÿdruhý sloupec.

detA =1

(−p+ 1)2 · (−2p)2 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 20 −2p 1 2p+ 20 0 −p− 1 6p− 20 0 −p2 − 2p− 2 2p3 − 2p2 − 10p+ 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Nakonec vynásobíme čtvrtý řádek číslem (−p − 1) (tímto číslem musíme determinant vydělit), přidámepodmínku −p− 1 6= 0, tedy p 6= −1 a od čtvrtého řádku odečteme (−p2 − 2p− 2)-násobek třetího řádku(R4 := R4 − (−p2 − 2p− 2) ·R3). Tím máme matici upravenou na horní trojúhelníkovou.

detA =1

(−p+ 1)2 · (−2p)2 · (−p− 1) ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 20 −2p 1 2p+ 20 0 −p− 1 6p− 20 0 0 −2p4 + 2p3 − 2p2 + 2p

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Nyní ještě vynásobíme prvky na hlavní diagonále, zkrátíme a dopočítáme.

=(−p+ 1) · (−2p) · (−p− 1) · (−2p) · (p3 − p2 + p− 1)

(−p+ 1)2 · (−2p)2 · (−p− 1) = −p2 − 1

Tím máme spočítaný determinant matice A pro p ∈ R \ {1, 0,−1}. Zbývá dopočítat determinant pro tytotři hodnoty.

(a) p = 1∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −1 0 30 −1 1 12 −1 2 15 4 −1 −4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2



(b) p = 0∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 2−1 0 1 00 1 2 −14 2 −1 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1

(c) p = −1∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 0 1−2 1 1 −1−2 3 2 −33 0 −1 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2

þ Doufám, že vás tento způsob výpočtu dostatečně znechutil. Přiznávám, že i já jsem počítala několikrát a dokonce jsemdospěla do stadia, kdy jsem si řekla, že ukázat, že je nějaký postup hrozný, je sice pěkné, ale proč to mám dělat zrovna já.Nakonec zvítězilo mé lepší a zodpovědnější „ jáÿ a vytrvala jsem. Ale opakovat to už nehodlám. Snad si čtenář uvědomil, žeřádkové nebo sloupcové úpravy v matici, která obsahuje nějaký parametr, jsou opravdu velmi nepříjemné, a bude je používatpouze v případech, kdy to je nezbytné (neexistuje jiná možnost). Když se tedy o nějakých pár stránek dále dostaneme dosituace, kdy jedna z možností, jak postupovat, bude upravit nějakou matici s parametrem, odkáži pouze na tento příklad.

2. Další způsob je rozvoj podle řádku nebo sloupce. Pokud nebudeme příliš přemýšlet, uděláme třeba rozvojpodle prvního sloupce.

detA = (−p+ 1) ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p 1 p−2p+ 1 2 2p− 12p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

− (p− 1) ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p 0 p+ 2−2p+ 1 2 2p− 12p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

+2p ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p 0 p+ 2−p 1 p2p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

− (p+ 4) ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p 0 p+ 2−p 1 p

−2p+ 1 2 2p− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= (−p+ 1) · (−p+ 1) + (−p+ 1) · (−2p2 − 2p− 10) + 2p · (−p2 − p− 4) + (−p− 4) · (−2) = −p2 − 1

Pokud budeme přemýšlet aspoň trochu, uděláme rozvoj podle třetího sloupce nebo podle prvního řádku,protože tam máme jednu nulu. Tak nejprve rozvoj podle třetího slupce.

detA = 1 · (−1)5 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p p+ 22p −2p+ 1 2p− 1

p+ 4 2p+ 2 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 2 · (−1)6 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p p+ 2p− 1 −p pp+ 4 2p+ 2 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

+(−1) · (−1)7 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p p+ 2p− 1 −p p2p −2p+ 1 2p− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= −1 · (4p3 + 5p2 + 26p− 9) + 2 · (2p3 + 2p2 + 10p− 4) + 1 · (6p− 2) = −p2 − 1

Ještě rozvoj podle prvního řádku

detA = (−p+ 1) · (−1)2 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p 1 p−2p+ 1 2 2p− 12p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

− p · (−1)3 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

p− 1 1 p2p 2 2p− 1

p+ 4 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

+(p+ 2) · (−1)5 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

p− 1 −p 12p −2p+ 1 2

p+ 4 2p+ 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= (−p+ 1) · (−p+ 1) + p · (−2p+ 3)− (p+ 2) · 1 = −p2 − 1



3. Tento způsob byl asi o něco příjemnější, ale přece jen se muselo dost počítat. Teď si ukážeme způsobvýpočtu, který je nejjednodušší. Nejprve matici trochu upravíme. Protože ve třetím sloupci jsou jen čísla,bude nejsnazší „vynulovatÿ právě tento sloupec. Necháme jedničku ve druhém řádku, od třetího odečtemedvojnásobek druhého řádku a ke čtvrtému druhý řádek přičteme (R3 := R3− 2R2 a R4 := R4+R2). Tímse determinant nezmění. Potom uděláme rozvoj podle třetího sloupce.∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 2p− 1 −p 1 p2p −2p+ 1 2 2p− 1

p+ 4 2p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 2p− 1 −p 1 p2 1 0 −1

2p+ 3 p+ 2 0 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)5 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p p+ 22 1 −1

2p+ 3 p+ 2 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Teď už můžeme použít Sarrusovo pravidlo nebo matici ještě trochu upravit. Třeba „vynulovatÿ druhýřádek, tedy od prvního sloupce odečíst dvojnásobek prvního (S1 := S1 − 2S2) a ke třetímu přičíst druhýsloupec (S3 := S3 + S2). Tím se opět determinant nezmění.

detA = −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p p+ 22 1 −1

2p+ 3 p+ 2 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

p+ 1 −p 20 1 0−1 p+ 2 p− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= −1 · (−1)4 ·∣

∣

∣

∣

p+ 1 2−1 p− 1

∣

∣

∣

∣

= −((p2 − 1)− (−2)) = −p2 − 1

Možná je někomu nepříjemné snažit se „vynulovatÿ něco jiného než první sloupec. Může si vhodnýmiřádkovými a sloupcovými úpravami přemístit vhodný prvek (nějakou jedničku) na pozici (1, 1). Změnyznamének jsou snadno zachytitelné. V našem případě můžeme třeba přehodit první a třetí sloupec (změnaznaménka) a první a druhý řádek (opět změna znaménka). Tím se na pozici (1, 1) opravdu dostane číslojedna. A dále můžeme upravovat standardním způsobem.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−p+ 1 −p 0 p+ 2p− 1 −p 1 p2p −2p+ 1 2 2p− 1

p+ 4 2p+ 2 −1 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −p −p+ 1 p+ 21 −p p− 1 p2 −2p+ 1 2p 2p− 1−1 2p+ 2 p+ 4 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

| =

= +

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −p p− 1 p0 −p −p+ 1 p+ 22 −2p+ 1 2p 2p− 1−1 2p+ 2 p+ 4 −p− 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Pokud se nám zdá výhodný nějaký řádek, ale nechceme „nulovatÿ řádek, ale pouze sloupec, můžeme maticitransponovat, tím se determinant nezmění.

Z uvedeného příkladu snad bylo patrné, že se při výpočtu determinantu vyplatí se chvíli zamyslet, prohléd-nout si matici a rozhodnout se, jak ji nejsnáz trochu upravit, abychom mohli udělat rozvoj podle nějakého„vynulovanéhoÿ řádku nebo sloupce. Takto „ztracenýÿ čas se nám bohatě vrátí při výpočtu.

4.5 Cvičení

1. Vypočtěte následující determinanty.

(a)

∣

∣

∣

∣

1 3−2 −3

∣

∣

∣

∣

, (b)

∣

∣

∣

∣

sinx cosxcosx − sinx

∣

∣

∣

∣

, (c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 2−3 0 11 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −10 2 11 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (e)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 2 11 −1 11 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (f)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 −12 −2 11 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.


4.5. Cvičení 89

2. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a je matice A regulární.

(a)

A =

a 2a+ 2 −1a− 2 −a− 3 30 a+ 2 a− 1

(b)

A =

a− 1 a+ 2 a− 20 −a 1a a+ 2 a− 1

(c)

A =

a −1 a− 1−2 a+ 1 2a− 3

a+ 2 −a− 2 −a+ 3

3. Přímo z definice spočtěte následující determinanty (řídkých) matic.

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 1 −11 1 0 00 1 0 −1−1 0 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 1 0 11 −1 1 00 1 0 1−1 0 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4. Spočtěte následující determinanty

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 −1 01 2 0 1−1 1 1 2−1 0 2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −1 −1 1−1 2 1 0−1 1 1 11 0 1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

(c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −2 1 −11 3 −1 02 2 0 −13 1 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 3 2 22 1 1 21 2 −1 12 −1 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

5. Rozhodněte, pro jaké hodnoty reálného parametru p je matice A regulární.

(a)

A =

2p− 3 −3 2 2p+ 5p− 2 −2 1 p+ 2

p 1 1 p+ 32p− 3 p− 3 1 p+ 2

(b)

A =

3p 4p− 2 −p+ 2 2p− 1p+ 4 5 p 21 2 −1 1

2p+ 3 p+ 5 2p 2

6. Spočtěte Vandermondův determinant řádu čtyři, tj. determinant matice

1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

Zamyslete se nad tím, jak bude obecně vypadat Vandermondův determinant řádu n.




A =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

Zamyslete se nad tím, jak bude obecně vypadat determinant matice řádu n, která má na hlavní diagonálenuly a jinde jedničky.


A =

−3 1 1 11 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −3

Zamyslete se nad tím, jak bude obecně vypadat determinant matice řádu n, která má na hlavní diagonále1− n a jinde jedničky.

4.6 Výsledky

1. (a) 6, (b) − 1, (c) − 10, (d) 2, (e) 0, (f) − 9.

2. (a) detA = a3 − a, proto je A regulární pro a ∈ R \ {0, 1,−1}.(b) detA = 1, proto je A regulární pro všechna a ∈ R.

(c) detA = a2 + a− 2, proto je A regulární pro a ∈ R \ {1,−2}.

3. (a) 3, (b) − 1.

4. (a) − 4, (b) − 4, (c) 0, (d) 3.

5. (a) detA = p− 1, proto je A regulární pro p ∈ R \ {1}.(b) detA = −(p+ 1), proto je A regulární pro p ∈ R \ {−1}.

6. Determinant bude roven (b− a) · (c− a) · (d− a) · (c− b) · (d− b) · (d− c).

Návod: od každého sloupce odečteme a-násobek předchozího. Tím se „vynulujeÿ první řádek (kroměprvního sloupce, kde je jednička), uděláme podle něj rozvoj. Z prvního řádku můžeme „vytknoutÿ (b−a),z druhého (c− a) a ze třetího (d− a). Determinant bude roven

(b− a) · (c− a) · (d− a) ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 b b2

1 c c2

1 d d2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Tuto matici můžeme upravit analogicky, od každého sloupce odečteme b-násobek předchozího, udělámerozvoj podle prvního sloupce a vytkneme (c− b) a (d− b). Máme čtvercovou matici řádu dvě, determinantspočítáme Sarrusovým pravidlem.

V obecném případě postupujeme analogicky.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 a1 a21 . . . an−11

1 a2 a22 . . . an−12

....... . .

...1 an a2n . . . an−1

n

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (a2 − a1) · (a3 − a1) · · · (an − a1) · · · (a3 − a2) · · · (an − a2) · · · (an − an−1)

7. Návod: nejprve od druhého, třetího i čtvrtého řádku odečteme první řádek, potom k prvnímu sloupcipostupně přičteme druhý, třetí a čtvrtý sloupec. Získáme diagonální matici, determinant je součin členů


4.6. Výsledky 91

na hlavní diagonále.∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 11 −1 0 01 0 −1 01 0 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 1 1 10 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3 · (−1)3 = −3

V obecném případě postupujeme analogicky, determinant je (−1)n−1 · (n− 1).

8. Návod: Matici upravujeme jako v předchozím příkladu. Dostaneme∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 1 1 11 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 1 1 14 −4 0 04 0 −4 04 0 0 −4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 10 −4 0 00 0 −4 00 0 0 −4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

V obecném případě postupujeme analogicky, determinant je roven nule.


Kapitola 5

Inversní matice

Ve třetí kapitole jsme nadhodili otázku dělení matic a krácení v maticových rovnostech. Oba tyto problémysouvisí s inversní maticí, které bude věnována tato kapitola.

5.1 Definice a výpočet

5.1.1 Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticík matici A, jestliže platí

A ·B = En = B ·A,

kde En je odpovídající jednotková matice.

Možná vás napadne, proč inversní matici k A neoznačujeme nějak ve vztahu s A, např. A−1. Jak už jsmedříve vypozorovali, je násobení matic poněkud „neobvykláÿ operace. Tak by nás snad ani nepřekvapilo, kdybyinversních matic k jedné matici mohlo být i víc než jedna. Která by potom byla ta, kterou označíme A−1? Takéjste si jistě všimli, že v definici inversní matice jsme násobili matice v obou pořadích. Je to dáno tím, že násobenímatic není komutativní, nemuselo by tedy platit, že když A ·B = En, tak také B ·A = En. Následující dvětvrzení ukáží, že (naštěstí) tyto obavy mít nemusíme.

5.1.2 Tvrzení Inversní matice ke čtvercové matici A řádu n je určená jednoznačně.

Důkaz. Budeme dokazovat sporem, to znamená, že budeme předpokládat, že existují dvě různé čtvercové maticeB a C řádu n takové, že

A ·B = B ·A = En = A ·C = C ·A.

Potom aleB = B · En = B · (A ·C) = (B ·A) ·C = En ·C = C,

tedyB = C, což je spor s předpokladem, že maticeB aC jsou různé. V předchozím řádku jsme využili neutralityjednotkové matice vzhledem k násobení (první a poslední rovnost) a asociativity násobení matic (třetí rovnost).

-,

Vědomi si toho, že nemohou k jedné matici existovat dvě různé inversní matice, můžeme nyní inversní maticik matici A označovat A−1. Samozřejmě pokud existuje.

5.1.3 Tvrzení Nechť A je čtvercová matice řádu n, nechť k ní existuje inversní matice A−1.

1. Pokud existuje matice B taková, že B ·A = En, potom B = A−1.

2. Pokud existuje matice C taková, že A ·C = En, potom C = A−1.

Důkaz.

1. B = B ·En = B · (A ·A−1) = (B ·A) ·A−1 = En ·A−1 = A−1


5.1. Definice a výpočet 93

2. C = En ·B = (A−1 ·A) ·C = A−1 · (A ·C) = A−1 · En = A−1

-,

V předchozích tvrzeních jsme narazili na podmínku „pokud existujeÿ. Může se snad stát, že k nějaké maticineexistuje inversní matice? Zřejmě nebude existovat k nulové matici. Ale k nenulové? V této otázce už oprotipředchozím takové štěstí nemáme. Opravdu existují nenulové matice, ke kterým neexistuje matice inversní. Jsouto všechny singulární matice. Připomínáme, že singulární matice je taková matice, jejíž determinant je rovennule. Naproti tomu ke každé regulární matici (determinant je nenulový) inversní matice existuje.

5.1.4 Tvrzení Nechť A je singulární matice. Potom A−1 neexistuje.

Důkaz. Budeme opět dokazovat sporem. Předpokládejme, že A je singulární matice a A−1 je matice k níinversní. Protože

A ·A−1 = En,

musí podle věty 4.3.16 platit, že

detA · detA−1 = det(A ·A−1) = detEn = 1.

Protože detA = 0, máme rovnost0 · detA−1 = 1,

což je spor, protože když jakékoli reálné číslo vynásobíme nulou, dostaneme opět nulu. Inversní matice tedyk singulární matici neexistuje. -,

5.1.5 Věta Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n. Potom A−1 existuje a platí

A−1 =1detA

·

D11 D21 . . . Dn1

D12 D22 . . . Dn2

....... . .

...D1n D2n . . . Dnn

,

kde Dij je doplněk k pozici (i, j), jak jsme si ho definovali v definici 4.4.10.

Důkaz. Stačí dokázat, že matice, kterou jsme označili A−1, je opravdu inversní maticí k A, tedy že platí

A ·A−1 = En = A−1 ·A.

Označme

C = A ·A−1 =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

· 1detA

·

D11 D21 . . . Dn1

D12 D22 . . . Dn2

....... . .

...D1n D2n . . . Dnn

.

Jak vypadají jednotlivé prvky matice C? Na pozici (i, j) je prvek

cij =1detA

· (ai1 ·Dj1 + ai2 ·Dj2 + · · ·+ ain ·Djn).

Pokud je i = j, je v závorce vlastně vztah pro rozvoj determinantu podle i-tého řádku (viz věta 4.4.12), proto

cii =1detA

· (ai1 ·Di1 + ai2 ·Di2 + · · ·+ ain ·Din) =1detA

· detA = 1.

Pokud i 6= j, je podle tvrzení 4.4.14

cij =1detA

· (ai1 ·Dj1 + ai2 ·Dj2 + · · ·+ ain ·Djn) =1detA

· 0 = 0.


94 Kapitola 5. Inversní matice

Matice C je tedy jednotková. Potřebujeme ještě násobit v opačném pořadí. Označme

B = A−1 ·A = 1detA

·

D11 D21 . . . Dn1

D12 D22 . . . Dn2

....... . .

...D1n D2n . . . Dnn

·

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

.

Spočítáme opět jednotlivé členy matice B. Na pozici (i, j) je prvek

bij =1detA

· (Di1 · aj1 +Di2 · aj2 + · · ·+Din · ajn) =1detA

· (aj1 ·Di1 + aj2 ·Di2 + · · ·+ ajn ·Din).

Pokud je i = j, je v závorce vztah pro rozvoj determinantu podle j-tého sloupce (viz věta 4.4.13), proto

bjj =1detA

· (aj1 ·Dj1 + aj2 ·Dj2 + · · ·+ ajn ·Djn) =1detA

· detA = 1.

Pokud i 6= j, je podle tvrzení 4.4.14

bij =1detA

· (aj1 ·Di1 + aj2 ·Di2 + · · ·+ ajn ·Din) =1detA

· 0 = 0.

Matice B je také jednotková. Ukázali jsme, že

A ·A−1 = E = A−1 ·A,

to znamená, že A−1 je opravdu inversní maticí k matici A. Také jsme dokázali, že k libovolné regulární maticiexistuje inversní matice, regulární matice jsou invertibilní. -,

5.1.6 Poznámka Inversní matici můžeme spočítat tak, že převrácenou hodnotou determinantu původní maticenásobíme tzv. adjungovanou matici. Je to matice, která vznikne transponováním matice, jejímiž členy jsoujednotlivé doplňky. Tento postup má svá úskalí, protože těch determinantů se musí počítat opravdu hodně.Proto je vhodný zejména pro matice malých rozměrů. Pro čtvercovou matici řádu dvě máme hned

(

a11 a12a21 a22

)−1=

1a11 · a22 − a12 · a21

·(

a22 −a12−a21 a11

)

.

Adjungovaná matice má tedy jen přehozené členy na hlavní diagonále a změněná znaménka u členů na vedlejšídiagonále. Pro větší matice je postup trochu složitější.

5.1.7 Příklad Najděte inversní matici k matici

A =

1 −2 −30 −1 −1−1 2 2

.

Spočítáme determinant matice A a jednotlivé doplňky.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 −30 −1 −1−1 2 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−2− 2)− (−3− 2) = −4 + 5 = 1

D11 = (−1)2∣

∣

∣

∣

−1 −12 2

∣

∣

∣

∣

= 0

D12 = (−1)3∣

∣

∣

∣

0 −1−1 2

∣

∣

∣

∣

= 1

D13 = (−1)4∣

∣

∣

∣

0 −1−1 2

∣

∣

∣

∣

= −1

D21 = (−1)3∣

∣

∣

∣

−2 −32 2

∣

∣

∣

∣

= −2

D22 = (−1)4∣

∣

∣

∣

1 −3−1 2

∣

∣

∣

∣

= −1

D23 = (−1)5∣

∣

∣

∣

1 −2−1 2

∣

∣

∣

∣

= 0

D31 = (−1)4 ·∣

∣

∣

∣

−2 −3−1 −1

∣

∣

∣

∣

= −1

D32 = (−1)5 ·∣

∣

∣

∣

1 −30 −1

∣

∣

∣

∣

= 1

D33 = (−1)6 ·∣

∣

∣

∣

1 −20 −1

∣

∣

∣

∣

= −1


5.1. Definice a výpočet 95

Inversní matice k matici A je

A−1 =

0 −2 −11 −1 1−1 0 −1

.

O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit vynásobením.

A ·A−1 =

1 −2 −30 −1 −1−1 2 2

·

0 −2 −11 −1 1−1 0 −1

=

1 0 00 1 00 0 1

5.1.8 Jiný způsob výpočtu využívá elementárních řádkových nebo sloupcových úprav. Pomocí nich upravímeregulární matici na jednotkovou. Tomu odpovídá násobení této matice zleva nebo zprava elementárními trans-formačními maticemi. Násobíme jimi tak dlouho, až je výsledná matice jednotková. Pokud děláme pouze řádkovéúpravy, máme vlastně

Ts ·Ts−1 · · ·T2 ·T1 ·A = E.

Označíme-li B = Ts ·Ts−1 · · ·T2 ·T1, platíB ·A = E,

to podle tvrzení 5.1.3 znamená, že B je inversní maticí k matici A.

Analogicky, když děláme pouze sloupcové úpravy, násobíme vlastně odpovídajícími elementárními transformač-ními maticemi zprava. Máme tedy

A ·T1 ·T2 · · ·Tr−1 ·Tr = E

a součin T1 ·T2 · · ·Tr−1 ·Tr je inversní maticí k matici A.

Jak ale tu inversní matici spočítat? Přece si nebudeme ty jednotlivé elementární matice zapisovat a pak jenásobit. To by bylo dost zdlouhavé. Ne, pomůžeme si malým trikem. Spolu s tím, jak budeme upravovat maticiA, budeme stejně upravovat i jednotkovou matici. Když potom upravíme matici A na jednotkovou, tedy součinodpovídajících elementárních transformačních matic bude A−1, bude jednotková matice upravená na inversnímatici kA, neboť byla násobená stejnými transformačními maticemi. Abychom na nějakou úpravu nezapomněli,budeme psát matici A i matici jednotkovou do jedné větší „dvujmaticeÿ a oddělíme je čarou. Pokud budemedělat řádkové úpravy, napíšeme je vedle sebe, pokud budeme dělat úpravy sloupcové, napíšeme je pod sebe.Postupu úpravy regulární matice na jednotkovou se říká Gauss-Jordanova eliminace. Nejprve upravíme

matici A na horní trojúhelníkovou, jak jsme to dělali např. při výpočtu determinantu. Potom ji jakoby „převrá-tímeÿ, poslední řádek převezme úlohu prvního a budeme „nulovatÿ prvky v posledním sloupci, potom v před-posledním, . . . Analogicky postupujeme při sloupcových úpravách, upravujeme vlastně transponovanou matici.Vše si zase ukážeme na příkladu. Spočítáme tímto postupem inversní matici k matici A z příkladu 5.1.7.

5.1.9 Příklad Najděte inversní matici k matici

A =

1 −2 −30 −1 −1−1 2 2

.

1. Nejprve budeme dělat řádkové úpravy. Vytvoříme matici se šesti sloupci a třemi řádky z maticeA a maticejednotkové. Nejprve upravíme matici A na horní trojúhelníkovou, ke třetímu řádku přičteme první řádek.Potom spustíme zpětný chod. Vynásobíme třetí řádek číslem (−1) (tím se z něj stane třetí řádek jednotkovématice), ke druhému řádku přičteme třetí řádek a potom ho vynásobíme číslem (−1) (tím se z něj stanedruhý řádek jednotkové matice). K prvnímu řádku nejprve přičteme trojnásobek třetího řádku a potomdvojnásobek druhého řádku.

1 −2 −3 1 0 00 −1 −1 0 1 0−1 2 2 0 0 1

∼

1 −2 −3 1 0 00 −1 −1 0 1 00 0 −1 1 0 1

∼

1 −2 0 −2 0 −30 −1 0 −1 1 −10 0 1 −1 0 −1

∼

∼

1 0 0 0 −2 −10 1 0 1 −1 10 0 1 −1 0 −1



2. Nyní budeme dělat sloupcové úpravy. Matice tentokrát zapíšeme pod sebe. Nejprve „vynulujemeÿ prvnířádek. Ke druhému sloupci přičteme dvojnásobek prvního sloupce a ke třetímu sloupci trojnásobek prvníhosloupce. Druhý sloupec můžeme vynásobit číslem (−1), tím už je z něj druhý sloupec jednotkové matice.Potřebujeme ještě „vynulovatÿ druhý řádek. Proto ke třetímu sloupci přičteme druhý sloupec. Tím jsmezískali dolní trojúhelníkovou matici a můžeme spustit zpětný chod. Vynásobíme třetí sloupec číslem (−1),tím získáme třetí sloupec jednotkové matice, a nakonec k prvnímu sloupci přičteme třetí sloupec.

1 −2 −30 −1 −1−1 2 21 0 00 1 00 0 1

∼

1 0 00 −1 −1−1 0 −11 2 30 1 00 0 1

∼

1 0 00 1 0−1 0 −11 −2 10 −1 −10 0 1

∼

1 0 00 1 00 0 10 −2 −11 −1 1−1 0 −1

�5.1.10 Poznámka Při tomto způsobu výpočtu inversní matice musíme dávat pozor, abychom opravdu dělalibuď pouze řádkové nebo pouze sloupcové úpravy. Řádkovým úpravám totiž odpovídá násobení zleva, sloupcovýmnásobení zprava elementárními transformačními maticemi a násobení matic není komutativní. Měli bychom sice

Tt · · ·T1 ·A · S1 · · ·Ss = E,

kde Ti jsou matice, které odpovídají řádkovým úpravám a Si matice, které odovídají sloupcovým úpravám, aleodtud nijak neplyne, že

Tt · · ·T1 ·E · S1 · · ·Ss = A−1.

Pozor si musíme dát i na začátku, když třeba matice, k níž hledáme inversní, má na pozici (1, 1) nulu. Když sechceme vyhnout „zbytečnému opisováníÿ a rovnou přehodíme řádky tak, abychom na této pozici měli nenulovýčlen, nesmíme zapomenout přehodit také řádky v jednotkové matici.

5.1.11 Poznámka Při tomto postupu nemusíme předem zjišťovat, zda je matice regulární. Pokud budemeupravovat singulární matici, určitě se nám nepodaří ji upravit na jednotkovou. V některém kroku získámematici, která bude mít nulu na pozici (i, i) pro nějaké i ∈ {1, 2, . . . , n} a také na pozicích (k, i) pro k > i.

5.1.12 Příklad Najděte inversní matici k matici A (pokud existuje).

A =

0 0 11 −1 −1−1 1 2

.

Zkusíme řádkovými úpravami matici A upravit na jednotkovou. Nejprve přehodíme první a druhý řádek, potomke třetímu řádku přičteme první. Tím máme „vynulovanýÿ první sloupec.

1 −1 −1 0 1 00 0 1 1 0 0−1 1 2 0 0 1

∼

1 −1 −1 0 1 00 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1

Matici nalevo už na jednotkovou upravit nelze, na pozici (2, 2) i na pozici (3, 2) jsou jen nuly. Opatřit sinějakou nenulu na pozici (2, 2) a zároveň nepokazit nulu na pozici (2, 1) není možné. K matici A inversní maticeneexistuje. To nás samozřejmě nepřekvapí, protože matice A je zjevně singulární.

Někdy máme za úkol najít inversní matici k matici s parametrem. V těchto případech je většinou rozumnějšípoužít výpočet pomocí adjungované matice, protože úpravy matice s parametrem jsou velmi nepříjemné (jakvíme z příkladu 4.4.18) .

5.1.13 Příklad Najděte inversní matici k matici A, a ∈ R.

A =

2 1 a− 12a− 1 a− 1 0

1 1 a


5.2. Základní vlastnosti 97

Nejprve spočítáme determinant matice A.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 a− 12a− 1 a− 1 0

1 1 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (2a2 − 2a+ 2a2 − 3a+ 1)− (a2 − 2a+ 1 + 2a2 − a) = a2 − 2a

Inversní matice existuje pouze k regulární matici, tedy musí být a ∈ R\{0, 2}. Nyní spočítáme jednotlivé doplňky.

D11 = (−1)2 · (a2 − a)

D12 = (−1)3 · (2a2 − a)

D13 = (−1)4 · a

D21 = (−1)3 · 1

D22 = (−1)4 · (a+ 1)

D23 = (−1)5 · 1

D31 = (−1)4 · (−a2 + 2a− 1)

D32 = (−1)5 · (−2a2 + 3a− 1)

D33 = (−1)6 · (−a)

Inversní matice k matici A (pro a ∈ R \ {0, 2}) je

A−1 =1

a2 − 2a ·

a2 − a −1 −a2 + 2a− 1−2a2 + a a+ 1 2a2 − 3a+ 1

a −1 −a

.

5.2 Základní vlastnosti

V této části probereme základní vlastnosti inversních matic a jejich vztahy k dalším operacím s maticemi.

5.2.1 Tvrzení Pro libovolnou regulární matici A platí

(

A−1)−1 = A.

Důkaz. Pro inversní matici k matici A−1 musí platit, že když ji vynásobíme maticí A−1, získáme jednotkovoumatici. Ověříme, zda to splňuje matice A. Zřejmě

A ·A−1 = E = A−1 ·A,

proto je matice A inversní maticí k matici A−1. -,

5.2.2 Tvrzení Pro libovolnou regulární matici A platí, že AT je také regulární a

(

AT)−1=(

A−1)T .

Důkaz. Regularita matice AT plyne z regularity matice A, protože

detAT = detA.

Inversní matice k AT je taková matice, jejímž součinem s AT je jednotková matice. Ověříme, jestli to platí promatici

(

A−1)T .(

A−1)T ·AT =(

A ·A−1)T = ET = E

AT ·(

A−1)T =(

A−1 ·A)T= ET = E

V obou rovnostech jsme využili tvrzení 3.2.19 o transponování součinu matic. -,

5.2.3 Tvrzení Nechť A a B jsou regulární matice téhož řádu. Potom také matice A ·B a B ·A jsou regulárnía platí

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 a (B ·A)−1 = A−1 ·B−1.



Důkaz. Protože platídetA 6= 0 a detB 6= 0,

je takédet(A ·B) = detA · detB 6= 0 a det(B ·A) = detB · detA 6= 0.

Oba součiny jsou tedy regulární matice. Abychom dokázali druhou část tvrzení, opět matice vynásobíme.

(A ·B) · (B−1 ·A−1) = A · (B ·B−1) ·A−1 = A ·E ·A−1 = A ·A−1 = E

(B−1 ·A−1) · (A ·B) = B−1 · (A−1 ·A) ·B = B−1 ·E ·B = B−1 ·B = ETím jsme dokázali, že matice B−1 ·A−1 je inversní k matici A ·B.

Analogicky dokážeme, že A−1 ·B−1 je inversní k matici B ·A. Platí totiž, že

(B ·A) · (A−1 ·B−1) = B · (A ·A−1) ·B−1 = B ·E ·B−1 = B ·B−1 = E

(A−1 ·B−1) · (B ·A) = A−1 · (B−1 ·B) ·A = A−1 ·E ·A = A−1 ·A = E-,

Ve třetí kapitole jsme zavedli mocniny matic pro všechna přirozená čísla. Díky předchozímu tvrzení můžemedefinovat mocniny regulárních matic i pro záporná celá čísla. Platí totiž

(

A2)−1= (A ·A)−1 = A−1 ·A−1 =

(

A−1)2 .

Podobně pro ostatní mocniny(An)−1 =

(

A−1)n .

Definovali jsme si A0 = E, zřejmě(

A0)−1= E−1 = E =

(

A−1)0 .

5.2.4 Definice Nechť A je regulární matice. Definujeme

A−n = (An)−1 .

5.2.5 Tvrzení Nechť A je regulární matice. Potom platí, že

detA−1 =1detA

.

Důkaz. Podle věty 4.3.16 je detA ·B = detA · detB, proto

detA · detA−1 = det(A ·A−1) = detE = 1 a tedy detA−1 =1detA

.

-,

5.2.6 Poznámka Toto tvrzení je očekávatelné a velmi jednoduché. Můžete ho využít v příkladech, kdy mátepočítat determinant inversní matice. Není totiž potřeba tu inversní matici počítat a pak ještě její determinant.Stačí spočítat determinant původní matice a potom vzít jeho převrácenou hodnotu. Zvlášť u matic s parametremje to velké zjednodušení.

5.2.7 Příklad Spočtěte detA−1, jestliže

A =

3a− 2 1 2a+ 6 5−2a− 4 −2 a− 5 a− 4

2a 1 a+ 5 42a 1 a+ 4 3

, kde a ∈ R.


5.3. Maticové rovnice 99

j Pokud někoho napadlo, že spočítá nejprve inversní matici a potom její determinant, může se o to pokoušetza dlouhých zimních večerů. Ani mé nejlepší a nejzodpovědnější „ jáÿ mě tentokrát nepřiměje k takovémutopostupu. Jen případné hazardéry odkáži na příklad 4.4.18.

Rozumný postup je spočítat determinant matice A a určit, pro jaké hodnoty parametru a je matice A regulární.Pro tyto hodnoty inversní matice k A existuje a její determinant je převrácenou hodnotou detA.Pro výpočet determinantu matici A trochu upravíme, „vynulujemeÿ druhý sloupec, ve kterém zachováme

pouze jedničku v prvním řádku. Toho dosáhneme tak, že k druhému řádku přičteme dvojnásobek prvního řádkua od třetího a čtvrtého řádku první řádek odečteme. Tím se determinant nezměnil. Potom uděláme rozvoj podledruhého sloupce.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a− 2 1 2a+ 6 5−2a− 4 −2 a− 5 a− 4

2a 1 a+ 5 42a 1 a+ 4 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a− 2 1 2a+ 6 54a− 8 0 5a+ 7 a+ 6−a+ 2 0 −a− 1 −1−a+ 2 0 −a− 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)3 ·

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4a− 8 5a+ 7 a+ 6−a+ 2 −a− 1 −1−a+ 2 −a− 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Nyní už můžeme použít Sarrusovo pravidlo nebo matici ještě trochu upravit. Například můžeme k prvnímu řádkupřičíst čtyřnásobek třetího řádku a od druhého řádku odečíst třetí řádek. Tím „vynulujemeÿ první sloupec auděláme rozvoj podle něj.

−

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4a− 8 5a+ 7 a+ 6−a+ 2 −a− 1 −1−a+ 2 −a− 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 a− 1 a− 20 1 1

−a+ 2 −a− 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −(−a+ 2)(−1)4∣

∣

∣

∣

a− 1 a− 21 1

∣

∣

∣

∣

= a− 2

Pro a ∈ R \ {2} je matice A regulární, inversní matice k ní existuje a platí

detA−1 =1

a− 2 .

5.3 Maticové rovnice

Maticovými rovnicemi rozumíme rovnice, ve kterých se vyskytuje jako neznámá nějaká matice. Nejjednoduššímimaticovými rovnicemi jsou rovnice typu

A ·X = B nebo Y ·A = B.

5.3.1 Tvrzení Pokud je matice A regulární, mají tyto rovnice vždy jediné řešení a to

X = A−1 ·B nebo Y = B ·A−1.

Důkaz. Zřejmě matice A−1 ·B je řešením rovnice A ·X = B, protože platí

A · (A−1 ·B) = (A ·A−1) ·B = E ·B = B.

Jednoznačnost zase dokážeme sporem. Nechť matice C 6= A−1 ·B řeší rovnici A ·X = B. Potom platí

A ·C = B.

Vynásobíme obě strany rovnosti zleva maticí A−1. Ta určitě existuje, protože matice A je regulární.

A−1 · (A ·C) = A−1 ·B a tedy (A−1 ·A) ·C = E ·C = C = A−1 ·B.

A to je spor s předpokladem, že C 6= A−1 ·B. Řešení je určeno jednoznačně.

Analogicky postupujeme v druhém případě. Opět zřejmě B ·A−1 řeší rovnici Y ·A = B, neboť

(B ·A−1) ·A = B · (A−1 ·A) = B ·E = B.



A jednoznačnost opět dokážeme sporem. Kdyby nějaká jiná matice C řešila rovnici, pak po vynásobení zpravamaticí A−1 získáme

(C ·A) ·A−1 = C · (A ·A−1) = C ·E = C = B ·A−1.

-,

Pokud je matice A singulární, musíme použít jiné postupy, o kterých se dozvíte v kapitole o řešení soustavlineárních rovnic.

5.3.2 Příklad Řešte maticovou rovnici

A ·X = B, kde A =

1 2 −10 1 11 1 −1

a B =

1 1 10 1 11 0 0

.

Nejprve zjistíme, zda je matice A regulární. Pokud ano, najdeme k ní inversní matici a tou vynásobíme zlevaobě strany rovnice. Tím dostaneme

A−1 · (A ·X) = X = A−1 ·B.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −10 1 11 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1 + 2)− (−1 + 1) = 1 6= 0

Matice A je regulární, spočítáme k ní inversní matici. Použijeme třeba řádkové úpravy.

1 2 −1 1 0 00 1 1 0 1 01 1 −1 0 0 1

∼

1 2 −1 1 0 00 1 1 0 1 00 −1 0 −1 0 1

∼

1 2 −1 1 0 00 1 1 0 1 00 0 1 −1 1 1

∼

∼

1 2 0 0 1 10 1 0 1 0 −10 −1 0 −1 1 1

∼

1 0 0 −2 1 30 1 0 1 0 −10 0 1 −1 1 1

Potom platí

X =

−2 1 31 0 −1−1 1 1

·

1 1 10 1 11 0 0

=

1 −1 −10 1 10 0 0

.

Co kdybychom při výpočtu inversní matice pomocí řádkových úprav napravo místo jednotkové matice zapsalimatici B? Prováděním řádkových úprav bychom ji vlastně postupně násobili zleva elementárními transformač-ními maticemi. Až bychom vlevo získali jednotkovou matici, měli bychom vpravo matici A−1 ·B, tedy matici X.Při řešení maticových rovnic typu A ·X = B nemusíme počítat inversní matici k A a potom s ní násobit zlevamatici B, ale můžeme „násobitÿ řádkovými úpravami. V našem příkladu by to vypadalo takto.

1 2 −1 1 1 10 1 1 0 1 11 1 −1 1 0 0

∼

1 2 −1 1 1 10 1 1 0 1 10 −1 0 0 −1 −1

∼

1 2 −1 1 1 10 1 1 0 1 10 0 1 0 0 0

∼

∼

1 2 0 1 1 10 1 0 0 1 10 −1 0 0 0 0

∼

1 0 0 1 −1 −10 1 0 0 1 10 0 1 0 0 0

V pravé části „dvojmaticeÿ máme matici A−1 ·B, tedy řešení maticové rovnice.

5.3.3 Příklad Řešte maticovou rovnici

Y ·A = B, kde A =

1 2 −10 1 11 1 −1

a B =

1 1 10 1 11 0 0

.



Matice A je regulární, jak jsme ověřili v předchozím příkladu. Můžeme proto obě strany rovnice vynásobitzprava maticí A−1. Tím získáme

(Y ·A) ·A−1 = Y = B ·A−1.

Nyní opět můžeme matici B vynásobit maticí A−1, tentokrát ovšem zprava, nebo můžeme „násobitÿ pomocíelementárních úprav, tentokrát ale sloupcových.

Y = B ·A−1 =

1 1 10 1 11 0 0

·

−2 1 31 0 −1−1 1 1

=

−2 2 30 1 0−2 1 3

.

Pomocí sloupcových úprav získáme

1 2 −10 1 11 1 −11 1 10 1 11 0 0

∼

1 0 00 1 11 −1 01 −1 20 1 11 −2 1

∼

1 0 00 1 01 −1 11 −1 30 1 01 −2 3

∼

1 0 00 1 00 0 1−2 2 30 1 0−2 1 3

Řešením je matice v dolní části „dvojmaticeÿ, tedy

Y =

−2 2 30 1 0−2 1 3

.

Pokud jsou někomu sloupcové úpravy nepříjemné, může matici transponovat, potom provádět řádkové úpravya nakonec výslednou matici opět transponovat. V tomto příkladu bychom měli

1 0 1 1 0 12 1 1 1 1 0−1 1 −1 1 1 0

∼

1 0 1 1 0 10 1 −1 −1 1 −20 1 0 2 1 1

∼

1 0 1 1 0 10 1 −1 −1 1 −20 0 1 3 0 3

∼

∼

1 0 0 −2 0 −20 1 0 2 1 10 0 1 3 0 3

Řešením je matice

Y =

−2 0 −22 1 13 0 3

T

=

−2 2 30 1 0−2 1 3

.

5.3.4 Pokud řešíme nějakou maticovou rovnici, snažíme se ji upravit na výše zmiňovaný tvar. Používáme stejnéúpravy jako u rovnic s čísly. Můžeme k oběma stranám přičíst nějakou matici, můžeme obě strany násobitnějakou nenulovou konstantou. Můžeme také násobit vhodnou maticí, ale musíme dávat pozor na to, abychomnásobili buď obě strany rovnice zprava nebo obě strany rovnice zleva. Chceme-li při těchto úpravách násobitinversní maticí k nějaké matici, musíme vědět, že ta matice je regulární. Nemůžeme proto násobit inversnímaticí k neznámé matici. Ani by to nebylo rozumné. Je to, jako byste rovnici 3x = 2+5 řešili tak, že obě stranyvydělíte neznámou x. Nejenže byste museli vědět, že x 6= 0, ale také byste si řešení zbytečně zkomplikovali.

5.3.5 Příklady Řešte maticové rovnice

1. A ·X ·B = C, kde

A =

0 1 −12 4 11 2 0

, B =

−2 1 −11 0 13 −1 1

, C =

−1 0 10 −1 11 −1 0

.



Abychom na levé straně „osamostatniliÿ X, musíme obě strany rovnice násobit zleva maticí A−1 a zpravamaticí B−1, samozřejmě pokud existují. Máme potom

A−1 ·A ·X ·B ·B−1 = X = A−1 ·C ·B−1.

Spočítáme determinanty matic A a B, abychom zjistili, zda jsou regulární.

detA =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 −12 4 11 2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−4 + 1)− (−4) = 1 6= 0

detB =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 1 −11 0 13 −1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (1 + 3)− (2 + 1) = 1 6= 0

Obě matice jsou regulární, spočítáme inversní matice.

A−1 =

−2 −2 51 1 −20 1 −2

, B−1 =

1 0 12 1 1−1 1 −1

.

Řešením je matice

X = A−1 ·C ·B−1 =

5 −7 8−3 3 −4−1 2 −2

.

2. X ·B = X+C, kde

B =

1 0 −11 1 12 1 0

, C =

−1 1 10 −1 11 −1 −1

.

Nejprve „převedemeÿ všechny výrazy, ve kterých se vyskytuje matice X na levou stranu rovnice a potomvytkneme matici X (zleva!).

X ·B = X + CX ·B−X = CX · (B−E) = C

Pokud je maice (B−E) regulární, můžeme nyní obě strany rovnice vynásobit zprava maticí (B−E)−1.Tím získáme

X · (B−E) · (B−E)−1 = C · (B−E)−1X = C · (B−E)−1

Matice (B−E) je opravdu regulární, protože

det (B−E) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 −11 0 12 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)− (0) = −1 6= 0.

Spočítáme (B−E)−1 a vynásobíme touto maticí zprava matici C.

(B−E)−1 =

1 1 0−3 −2 1−1 0 0

X =

−1 1 10 −1 11 −1 −1

·

1 1 0−3 −2 1−1 0 0

=

−5 −3 12 2 −15 3 −1

Násobení zprava můžeme také (stejně jako v příkladu 5.3.3) provést pomocí sloupcových úprav prová-děných současně na matici (B−E) a na matici C. Nejprve přehodíme první a třetí sloupec a potom



ještě druhý a třetí sloupec. Tím získáme dolní trojúhelníkovou matici. Potom od druhého sloupce ode-čteme dvojnásobek třetího sloupce a k prvnímu sloupci přičteme třetí sloupec. Nakonec vynásobíme prvnísloupec číslem −1 a přičteme k němu druhý sloupec.

0 0 −11 0 12 1 −1−1 1 10 −1 11 −1 −1

∼

−1 0 01 1 0−1 2 11 −1 11 0 −1−1 1 −1

∼

−1 0 01 1 00 0 12 −3 10 2 −1−2 3 −1

∼

1 0 00 1 00 0 1−5 −3 12 2 −15 3 −1

Opět je řešení maticové rovnice v dolní části „dvojmaticeÿ, tedy

X =

−5 −3 12 2 −15 3 −1

.

�5.3.6 Poznámka Všimněte si, že v tomto příkladu jsme při vytýkání neznámé matice ve výrazu X ·B−Xzleva získali X · (B−E) (a ne X · (B − 1), jak se často objevuje v písemkách). Je to proto, že matici X simůžeme představit jako X · E a celý výraz jako X ·B−X ·E. Vytýkání je pak už jasné. Výraz (B− 1) naprotitomu nedává žádný smysl. Přičítání nějakého čísla k matici jsme nikde nedefinovali.


Rejstřík

determinant, 69inversní matice, 98rozvoj podle řádku, 81rozvoj podle sloupce, 83změny při elementárních úpravách, 79

eliminaceGauss-Jordanova, 95

grupa, 5

matice, 38člen, 38čtvercová, 38řádek, 38adjungovaná, 94diagonální, 38doplněk, 81elementární úpravy, 52elementární transformační, 53hlavní diagonála, 69indexřádkový, 38sloupcový, 38inversní, 92determinant, 98jednotková, 39komutující, 42mocniny, 44záporné, 98násobení reálným číslem, 40nulová, 39pozice, 38prvek, 38rovnost, 39sloupec, 38součet, 39součin, 42transponovaná, 39trojúhelníková dolní, 50trojúhelníková horní, 50vedlejší diagonála, 69

permutace, 61identická, 62inversní, 62nesamodružný prvek, 61

obecný tvar, 61samodružný prvek, 61součin, 62symetrická grupa, 63transpozice, 64základní tvar, 61znaménko, 63

polynom, 12ireducibilní, 25koeficienty, 12nulový, 12rovnost polynomů, 13stupeň, 12

polynomydělení se zbytkem, 17kořeny, 21násobnost, 22násobení číslem, 15odčítání, 14součet, 13součin, 16

Sarrusovo pravidlo, 70

těleso, 5

základní věta algebry, 22


Documents

Obsah Úvod-jazykmatematiky VelkouknihupłírodymohouŁístjenti,ktełírozu-mìjíjazyku,jím¾bylanapsÆna.Atímtojazykemje matematika. (GalileoGalilei)