¡ní-a... · 2019-05-09 · 2 Obsah OBSAH

1

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

fakulta strojní

katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení

MODELOVÁNÍ A SIMULACE

TEKUTINOVÝCH SYSTÉMŮ

Milada Kozubková

Jana Jablonská

2017

Ostrava

2

Obsah

OBSAH................................................................................................................................................................... 2

1. MODELOVÁNÍ A IDENTIFIKACE .......................................................................................................... 6

1.1 TEORIE MODELOVÁNÍ .............................................................................................................................. 6

1.2 TVORBA MATEMATICKÉHO MODELU ........................................................................................................ 8

1.3 ELEKTRICKÁ ANALOGIE HYDRAULICKÝCH A PNEUMATICKÝCH ODPORŮ ................................................. 9

1.4 ŘAZENÍ ODPORŮ R, L, C ........................................................................................................................ 10

2. METODY ŘEŠENÍ HYDRAULICKÝCH A PNEUMATICKÝCH OBVODŮ .................................... 13

2.1 PROGRAMY PRO ŘEŠENÍ HYDRAULICKÉHO A PNEUMATICKÉHO OBVODU ............................................... 14

2.2 FLOWMASTER ........................................................................................................................................ 14

2.3 MATLAB ................................................................................................................................................ 16

2.4 FOUNDATION LIBRARY HYDRAULIC+PNEUMATIC, SIMHYDRAULICS .................................................... 19

3. ODPOR PROTI POHYBU ......................................................................................................................... 23

3.1 DEFINICE ODPORU PROTI POHYBU .......................................................................................................... 23

3.2 ZTRÁTOVÝ SOUČINITEL ......................................................................................................................... 23

3.3 EXPERIMENTÁLNÍ URČENÍ ZTRÁTOVÉHO SOUČINITELE .......................................................................... 24

3.4 VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU - SIMHYDRAULICS .................................................................................. 28

3.5 VÝPOČET STATICKÉ CHARAKTERISTIKY - SIMHYDRAULICS ................................................................... 33

4. ODPOR PROTI POHYBU - ODPOR TŘENÍM ...................................................................................... 39

4.1 ODPOR TŘENÍM V POTRUBÍ ..................................................................................................................... 39

4.2 EXPERIMENTÁLNÍ URČENÍ TŘECÍHO SOUČINITELE .................................................................................. 42

4.3 VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU - HYDRAULICS ........................................................................................ 44

4.4 VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU – PNEUMATIC ......................................................................................... 47

4.5 VÝPOČET STATICKÉ CHARAKTERISTIKY - JEDNODUCHÉHO POTRUBÍ ...................................................... 52

4.6 SLOŽENÝ POTRUBNÍ SYSTÉM .................................................................................................................. 53

4.6.1 Řešení složeného potrubního systému sériového ........................................................................... 53

4.6.2 Řešení složeného potrubního systému paralelního ........................................................................ 55

4.6.3 Výpočet rozvětvené nebo okruhované sítě ..................................................................................... 56

5. ODPOR PROTI POHYBU - MÍSTNÍ ODPOR ....................................................................................... 63

5.1 EXPERIMENTNÁLNÍ URČENÍ ZTRÁTOVÉHO SOUČINITELE ........................................................................ 63

5.1.1 Koleno 450 ..................................................................................................................................... 63

5.1.2 Clona ............................................................................................................................................. 65

5.1.3 Kohout kulový ................................................................................................................................ 66

5.2 HYRAULICKÉ PRVKY JAKO MÍSTNÍ ODPORY .......................................................................................... 72

5.2.1 Otvor konstantního průřezu (clona) .............................................................................................. 72

3

5.2.2 Lineární hydraulický odpor ........................................................................................................... 73

5.2.3 Redukce ......................................................................................................................................... 74

5.2.4 Koleno ........................................................................................................................................... 75

5.2.5 Otvor proměnného průžezu ........................................................................................................... 76

5.3 PNEUMATICKÉ PRVKY JAKO MÍSTNÍ ODPORY ......................................................................................... 80

5.3.1 Proudění plynu otvorem ................................................................................................................ 80

5.3.2 Pneumatický otvor konstantního průřezu (clona) ......................................................................... 86

5.3.3 Pneumatický otvor konstantního průřezu (ISO 6358) ................................................................... 87

5.3.4 Pneumatický otvor proměnného průřezu ....................................................................................... 92

6. ČERPADLA - HYDROGENERÁTORY .................................................................................................. 94

7. ROTAČNÍ HYDROGENERÁTOR .......................................................................................................... 96

7.1 TEORETICKÝ ROZBOR ............................................................................................................................ 96

7.2 MATEMATICKÝ MODEL HYDROGENERÁTORU ........................................................................................ 96

7.3 ZÁKLADNÍ PARAMETRY ČERPADEL ........................................................................................................ 97

7.4 CHARAKTERISTIKA ČERPADLA ............................................................................................................... 98

7.5 ODSTŘEDIVÉ ČERPADLO V SIMHYDRAULICS ....................................................................................... 101

7.5.1 Polynomická závislost tlakového spádu na průtoku .................................................................... 101

7.5.2 Zadání čerpadla pomocí dvou 1D charakteristik ........................................................................ 107

7.5.3 Zadání čerpadla pomocí dvou 2D charakteristik ........................................................................ 108

7.6 OBVODY S ČERPADLY .......................................................................................................................... 110

7.6.1 Obvod s čerpadlem - tlakový spád .............................................................................................. 110

7.6.2 Obvod s čerpadlem - statická charakteristika ............................................................................. 111

7.6.3 Testování sací výšky čerpadla ..................................................................................................... 113

7.6.4 Řazení čerpadel ........................................................................................................................... 116

8. DYNAMICKÉ ODPORY HYDRAULICKÝCH PRVKŮ V SIMHYDRAULICS ............................. 119

8.1 ODPOR PROTI ZRYCHLENÍ .................................................................................................................... 119

8.1.1 Odpor proti zrychlení u přímočarého pohybu ............................................................................. 119

8.1.2 Odpor proti zrychlení u rotačního pohybu .................................................................................. 119

8.1.3 Hydraulická indukčnost sloupce kapaliny v SimHydraulics ....................................................... 120

8.2 ODPOR PROTI DEFORMACI A HYDRAULICKÁ KAPACITA ........................................................................ 120

8.2.1 Odpor proti deformaci sloupce kapaliny ..................................................................................... 120

8.2.2 Odpor proti deformaci pružiny .................................................................................................... 122

8.2.3 Odpor proti deformaci plynu ....................................................................................................... 123

8.2.4 Kapacita nádrží ........................................................................................................................... 123

8.2.5 Hydraulická kapacita objemu kapaliny v SimHydraulics ........................................................... 124

8.3 ZNAČENÍ HYDRAULICKÝCH ODPORŮ .................................................................................................... 126

8.4 ČASOVÉ KONSTANTY ........................................................................................................................... 126

9. MATEMATICKÝ MODEL SLOUPCE KAPALINY ........................................................................... 129

4

9.1 R-(L+C) ČLÁNEK (TZV. T ČLÁNEK) ..................................................................................................... 129

9.1.1 Numerické řešení - SimHydraulics .............................................................................................. 130

9.2 R-L – ČLÁNEK ...................................................................................................................................... 132

9.2.1 Numerické řešení laminárního i turbulentního proudění ............................................................ 132

9.3 C+(R-L) - LČLÁNEK ............................................................................................................................ 133

9.3.1 Numerické řešení turbulentního proudění ................................................................................... 134

9.4 SYMETRICKÝ T ČLÁNEK ....................................................................................................................... 134

9.4.1 Numerické řešení symetrického T článku .................................................................................... 134

9.5 ČLÁNEK ........................................................................................................................................ 135

9.5.1 Numerické řešení ......................................................................................................................... 135

9.6 SEGMENTOVANÉ POTRUBÍ .................................................................................................................... 135

9.7 SROVNÁNÍ ŘEŠENÍ PRO RŮZNÉ TYPY MODELŮ ...................................................................................... 137

9.8 RYCHLOST ZVUKU V POTRUBÍ .............................................................................................................. 137

10. HYDRAULICKÝ RÁZ ......................................................................................................................... 139

10.1 EXPERIMENTÁLNÍ ZKOUMÁNÍ HYDRAULICKÉHO RÁZU VE VODĚ. ......................................................... 139

10.2 ŘEŠENÍ METODOU ELEKTROHYDRAULICKÉ ANALOGIE ......................................................................... 139

10.2.1 Okrajové podmínky a fyzikální vlastnosti kapaliny ..................................................................... 141

10.2.2 Vyhodnocení řešení ..................................................................................................................... 142

11. HYDROMOTORY A PNEUMOTORY ............................................................................................. 144

11.1 SIMULACE OBVODU S JEDNOČINNÝM VÁLCEM – PNEUMATICS ............................................................ 144

11.2 SIMULACE OBVODU S HYDRAULICKÝM VÁLCEM – HYDRAULICS ......................................................... 150

12. HYDRAULICKÝ AKUMULÁTOR .................................................................................................... 156

12.1 VÝZNAM AKUMULÁTORU .................................................................................................................... 156

12.2 ODPORY HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU ..................................................................... 156

12.3 MATEMATICKÝ MODEL HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU .............................................. 158

12.4 HYDRAULICKÝ RÁZ S AKUMULÁTOREM ............................................................................................... 161

12.5 DYNAMICKÉ KONSTANTY NĚKTERÝCH AKUMULÁTORŮ ....................................................................... 163

12.6 PRVKY S PŘEVAŽUJÍCÍ KAPACITOU ....................................................................................................... 164

13. LAPLACEOVA A FOURIEROVA TRANSFORMACE, PŘENOSY ............................................. 165

13.1 LAPLACEOVA TRANSFORMACE SPOJITÉ FUNKCE .................................................................................. 165

13.1.1 Definice komplexního čísla a funkcí ............................................................................................ 165

13.1.2 Laplaceova transformace spojité funkce ..................................................................................... 165

13.2 PŘENOS SYSTÉMU ................................................................................................................................ 166

13.3 POZNÁMKY K POČÁTEČNÍM PODMÍNKÁM ............................................................................................. 168

13.4 STABILITA SYSTÉMU ............................................................................................................................ 170

13.5 FYZIKÁLNÍ VÝZNAM PŘENOSŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ A JEJICH PARAMETRŮ ................................................... 171

13.5.1 Přenos prvního řádu.................................................................................................................... 171

5

13.5.2 Přenos druhého řádu ................................................................................................................... 171

13.6 FOURIEROVA TRANSFORMACE SPOJITÝCH SIGNÁLŮ ............................................................................. 173

13.7 FREKVENČNÍ ANALÝZA V SIMHYDRAULICS ......................................................................................... 174

14. PŘÍLOHY .............................................................................................................................................. 179

14.1 ROVNICE KONTINUITY A BERNOULLIHO ROVNICE ............................................................................... 179

14.2 JEDNODUCHÉ POTRUBÍ ......................................................................................................................... 181

14.3 MĚŘENÍ POMOCÍ LABVIEW .................................................................................................................. 183

14.4 MĚŘENÍ TŘECÍCH ZTRÁT NA VODNÍ TRATI ............................................................................................ 184

14.5 URČENÍ CEJCHOVNÍ KŘIVKY CLONY ..................................................................................................... 192

14.6 URČENÍ MÍSTNÍCH ZTRÁT NA KOLENI ................................................................................................... 197

14.7 MĚŘENÍ CHARAKTERISTIKY ČERPADLA ............................................................................................... 201

14.8 MĚŘENÍ HYDRAULICKÉHO RÁZU .......................................................................................................... 207

Modelování

6

1. Modelování a identifikace

1.1 Teorie modelování

Teorie modelování spočívá v sestavení modelů s uvažováním dynamiky, přitom přístupy mohou

být následující

matematické modely

experimentální modely

Starší a velmi dobře propracovanou metodou je metoda fyzikálního modelování, založená na

experimentální práci v hydraulické laboratoři, což je velmi významnou složkou výzkumné práce.

Zkoumají se modely nejrůznějších strojů a zařízení, aby se poznaly jejich základní vlastnosti nebo

zjistily a opravily vady, ověřují se teoretické předpoklady návrhu či projektu a velmi často se pokusně

zjišťují vzájemné závislosti zúčastněných veličin. Výsledky získané na modelu se pak aplikují na

skutečné zařízení, tzv. dílo. Prozkoumání jevu na modelu umožňuje také zavést opravné součinitele

do teoreticky odvozených rovnic, jejichž řešení bylo založené na zjednodušujících předpokladech (aby

se matematické řešení usnadnilo nebo zjednodušilo), které se však od skutečných poměrů částečně

odchylují. V některých složitých případech, které nejsou dosud teoreticky řešitelné, se experimentem

získávají pro praxi potřebné vztahy veličin. Řadu jevů nelze ale fyzikálně postihnout modelem. Týká se

to především řešení přenosu tepla, zvláště typického vysokými teplotami.

Proto se v současné době rozvíjí matematické modelování, resp. matematicko-fyzikální

modelování, které je založeno na aplikaci fyzikálních zákonů, pomocí kterých lze vytvořit matematické

modely mechanických, hydraulických, pneumatických, elektrických a tepelných systémů.

Dílo

Modelování

7

Fyzikální model křídla s odběry tlaku Detail

Matematický model křídla s sítí Rozložení tlaku

obr. 1.1 Dílo, fyzikální model, matematický model

Experimentální identifikace je postup, kdy na základě měření význačných veličin se odhadne

chování systému a na základě zkušeností a identifikačních metod se definuje matematický model.

Simulace slouží ke zkoumání dynamických vlastností soustavy, což zpravidla vede až ke zjištění

časových průběhů řešených veličin. Simulace spočívá ve vytvoření simulačního modelu, který tvoří

matematický model - algebraické rovnice

diferenciální rovnice obyčejné

diferenciální rovnice parciální

Řešení matematického modelu je možné následovně

analyticky – exaktně, užití Laplaceovy transformace pro linearizované případy

numericky – analogové, číslicové (Eulerova metoda, Runge-Kutta, metoda charakteristik,

obecná diferenční metoda)

K simulaci je možno využít obecných programovacích jazyků nebo komerčně vytvořených

programových balíků:

obecné - Pascal, Fortran, Mathcad, Matlab, Dynast, Sipro

Modelování

8

speciální - Simula, Simet, Hyvos, Flowmaster. Matlab-SimHydraulics

Matematické modelování je rychlejší, levnější, umožňuje prověřit řadu variant za různých počátečních

podmínek, ale předpokládá se v co největší míře ověřování s experimentem.

1.2 Tvorba matematického modelu

Při tvorbě matematického modelu se zkoumaný prvek rozkládá na jednodušší části, které jsou

schopné samostatné dílčí činnosti a umožňují popis základními rovnicemi. Tak např. u

hydrogenerátoru jsou to těsnicí mezery, třecí plochy, pohybující se hmotnosti apod. Průtoky, tření,

setrvačné síly apod. se dají vyjádřit základními rovnicemi, známými z mechaniky a proudění. Soustava

všech rovnic tvoří pak matematický model prvku či soustavy. Soustava rovnic obsahuje algebraické i

diferenciální rovnice. Tento postup při tvorbě matematického modelu lze aplikovat na různé systémy, a

to mimo tekutinové též na elektrické, mechanické, tepelné apod. Porovnávají-li se soustavy rovnic

různých systémů, dochází se k poznatku, že matematický popis (model) je v mnoha případech

kvalitativně shodný. To vede k uplatnění poznatků z jednoho oboru v druhém, což se před několika

lety uskutečnilo při řešení dynamiky tekutinových mechanismů, kdy se využily poznatky z teorie

elektrických obvodů. Řešení hydraulických problémů spočívalo v nalezení analogických hydraulických

veličin, které odpovídají elektrickým veličinám, jako jsou např. pro pasivní členy ohmický odpor,

indukčnost a kapacita. Těm v hydraulice odpovídají odpory proti pohybu, zrychlení a deformaci. Na

základě elektrické analogie se začala intenzivně rozvíjet dynamika tekutinových mechanismů.

Přenos energie u hydraulických, pneumatických, mechanických, tepelných a elektrických systémů

je charakterizován dvojicemi parametrů, které se mohou měnit v čase a případně v prostoru. Jsou to:

tlak p a průtok Q u tekutinových mechanismů

síla F a rychlost v u mechanických zařízení s přímočarým pohybem

moment M a úhlová rychlost (případně otáčky n nebo frekvence f ) u mechanických zařízení

s rotačním pohybem

napětí U a proud i u elektrických obvodů

Pro tekutinové mechanismy se aplikují základní zákony, které jsou běžné v mechanice pevných a

tekutých látek (Newton, Euler), podobně v elektrotechnice platí obdobné zákony (Kirchhoff a Maxwel).

V elektrickém obvodu vystupují tři základní pasivní prvky, a to odpor, cívka a kondenzátor.

Neelektrické systémy se dají tak rozložit na základní prvky analogické elektrickému odporu,

kondenzátoru a cívce. Jejich různorodým zapojením vznikají obvody - systémy. Matematický model

systémů se pak odvodí ze základních rovnic pro uvedené tři elektrické prvky a jejich zapojení v

obvodu. S omezením na případy, kdy původní systém se nahrazuje soustředěnými Iineárními prvky,

mohou se zavést komplementámí proměnné v podobě intenzivní veličiny tI a extenzivní veličiny

tE . Na elementu v systému je pak vyjádřen vztah mezi intenzivní a extenzivní veličinou rovnicemi

dttIL

tEdt

tdELtIdttE

CtItERtI

1,

1,. ( 1.2.1)

Modelování

9

V těchto rovnicích vystupují veličiny R , C , L představující v elektrických obvodech ohmický odpor,

kapacitu a indukčnost, pokud intenzivní veličinou je napětí tU , tj. tUtI a extenzivní veličinou

tE je elektrický proud ti , tj. titE . Analogie mezi elektrickými, mechanickými,

hydraulickými, pneumatickými a tepelnými systémy je vyjádřena v Tab. 1.1.

Tab. 1.1

Veličina Systém

intenzivní

tI

extenzivní

tE

odpor

tE

tIR

kapacita

dttEC

tI 1

indukčnost

dttIL

tE 1

elektrický napětí

U

proud

i

odpor ohmický

R

kapacita

C

indukčnost

L

mechanický translační

síla

F

rychlost

v

tlumení

b

konstanta pružiny

cCm

1

hmotnost

mLm

mechanický rotační

moment

M

úhlová rychlost

tlumení

b

konstanta pružiny

cCm

1

moment setrvačnosti

JLm

hydraulický tlak

p

průtok

Q

odpor třecí

4

8

r

lRH

hydraulická kapacita

K

VCH

odpor proti zrychlení

2S

mLH

pneumatický tlak

p

průtok hmotnostní

mQ

odpor třecí

4

8

r

lRP

pneumatická kapacita

RT

V

p

mCP

0

0

odpor proti zrychlení

2S

VLP

tepelný teplotní rozdíl

T

tepelný tok

Q

odpor vedení

SRT

1

přestup

SRT

1

ohřev, ohlazení

QcRT

1

tepelná kapacita

mcCT

neexistuje

1.3 Elektrická analogie hydraulických a pneumatických odporů

Elektrohydraulická analogie umožňuje zkoumat hydraulické prvky, jejich skupiny a systémy pomocí

elektrických obvodů, jejichž přechodové vlastnosti jsou srovnatelné. Při aplikaci elektrohydraulické

analogie je třeba splnit tyto předpoklady:

ze zapojení hydraulických a pneumatických prvků v systému se musí odvodit zapojení prvků

elektrického obvodu

musí být známy fyzikální veličiny v tekutinovém systému a analogické elektrické veličiny je nutno z

nich určit.

V praxi se téměř výlučně používá analogie:

Modelování

10

elelktrické napětí U - tlak p

elektrický proud i - průtok Q .

Na základě uvedené analogie hydraulických veličin Qp, a elektrických veličin iU, jsou

definovány odpory:

Odpor proti pohybu

dQ

pdRH

tedy dQRpd H

di

dU

i

UR ( 1.3.1)

představuje odpory třením a místní při proudění kapaliny.

Odpor proti zrychlení - indukčnost

dt

dQ

pLH

tedy

dt

dQLp H

dt

di

UL ( 1.3.2)

která představuje odpor proti zrychlení. Z hlediska mechaniky jde o vliv setrvačnosti hmoty .

Odpor proti deformaci - kapacita a deformace

dt

pd

QCH

tedy

QdtC

pdt

pdCQ H

1

dt

dU

iC ( 1.3.3)

představuje převrácenou hodnotu odporu proti deformaci (kapaliny, plynu, potrubí, pružiny apod.).

Vd

pd

Q

dt

pd

DH

( 1.3.4)

Poznámka:

Elektrohydraulická analogie pU , Qi má výhodu v tom, že se v obou systémech řadí odpory

stejně, tj. paralelnímu řazení odporů v elektrickém obvodu odpovídá paralelní řazení odporů v

hydraulickém obvodu. Nepřesnost je v analogii elektromotoru a hydrogenerátoru. Elektromotor pracuje

při .konstU a mění se proud i , zatímco hydrogenerátor pracuje při průtoku konstantním, tj.

.konstQ a mění se tlak p . Z tohoto porovnání vyplývá nepřímá analogie QU a ip .

Toto však má nevýhodu v tom, že paralelnímu řazení odporů v hydraulickém obvodu odpovídá sériové

řazení odporů v elektrickém obvodě.

1.4 Řazení odporů R, L, C

Odpory se mohou řadit paralelně a sériově. Při obecném kombinovaném řazení odporů, kdy

některé odpory jsou řazeny sériově a jiné paralelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsaženo

v teorii grafů, využívané v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydraulice

bude platit zákon o uzlech a zákon o okruzích.

Zákon o uzlech (zákon zachování hmotnosti resp. rovnice kontinuity) vyjádřený vztahem

Modelování

11

01

n

i

iQ ( 1.4.1)

což je vyjádření rovnice kontinuity, tedy součet průtoků s ohledem na znaménko je roven nule.

Zákon o okruzích (zákon zachování energie resp. Bernoulliho rovnice) je vyjádřen rovnicí

01

n

i

ip ( 1.4.2)

a znamená, že součet tlakových spádů na odporech v jednom okruhu je roven nule.

Q

Q

Q

Q

QQ

1

2

3

k

n-1

n

....

.

..

...

(m)

(1)

(2)

(k-1) (k)

(n-1)

(n)1

2

k

n

k-1 n-1 p

p

p

p p

p1

2

k-1

k

n-1

n

obr. 1.2 Bilance průtoků 01

n

i

iQ obr. 1.3 Bilance tlaků 01

n

i

ip

Prvek je často chápán jako jediná součástka (odpor, indukčnost, kapacita). Mnohdy je možné a

výhodné za prvek považovat útvar vzniklý z mnoha součástek a lze hovořit o funkčních blocích, viz

tab. 1.2.

tab. 1.2 Funkční bloky

Dvojpóly

jedna vstupní a jedna výstupní veličina

Q

R v p

Trojpóly

tří vstupní resp. výstupní veličiny

Q Q

Q

1 2

3

Čtyřpóly

čtyři varianty vstupních a výstupních veličin

Q v

p

p Qv

Čtyřpól je nejběžnější kombinace dvou vstupních a dvou výstupních veličin a proto se čtyřpól často

nazývá dvojbran (dvě brány - vstupem jsou dvě dvojice).

Modelování

12

Dva prvky lze vzájemně propojit

paralelně (vedle sebe) seriově (za sebou)

Podobně tři prvky lze propojit pěti způsoby

Pro větší počet prvků množství různých zapojení vzrůstá. Proto je třeba zavést určitý jednoznačný

systém označení větví, uzlů a prvků. Tímto systémem se zabývá teorie grafů využívající maticového

zápisu. Ve složitějších případech se může dojít k soustavám závislých rovnic nebo nedokonale

určeným soustavám. Proto se omezíme na obvody složené z dvojpólů resp. čtyřpólů, což umožní

bezprostředně využít teorii grafů.

Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů

13

2. Metody řešení hydraulických a pneumatických obvodů

Tekutinové obvody se skládají z hydraulických a pneumatických prvků a potrubního systému.

Pokud se zabýváme konstrukcí těchto prvků, pak je nutné řešit úplný vícerozměrný systém

pohybových rovnic proudění a rovnice kontinuity. Výsledkem je rozložení tlaků a rychlostí resp.

průtoků v celé řešené oblasti. Přitom musí být zohledněny okrajové podmínky, které řešení významně

ovlivňují.

Klasické tekutinové obvody často propojené dlouhými potrubími jsou tímto způsobem neřešitelné

z důvodu časové náročnosti, proto jsou odvozovány jednodušší modely potrubí a tekutinových prvků,

které svou topologií velmi připomínají elektrické obvody. Také jednotlivé prvky vykazují formálně

analogické vlastnosti. Proto se přistupuje k řešení zjednodušených soustav rovnic v analogii

s elektrickými obvody. Toto zjednodušení s sebou přináší ale řadu problémů s definicí stlačitelnosti

tekutin, tření atd. Přesto je tato metoda zpracovaná do řady komerčních programů. Nejkvalitnějším z

nich je Flowmaster, v současné době byla vyvinuta nadstavba Matlab Simulinku, tj. SimHydraulics a

SimPneumatics.

Výše uvedená soustava rovnic aplikovaná na tekutinové obvody je řešitelná dvojím způsobem:

řešení celého systému rovnic metodou konečných objemů, výsledkem je prostorové rozložení

proudových polí, viz obr. 2.1.

obr. 2.1 Prostorové řešení proudění ve ventilu kolem škrtící hrany.

řešení zjednodušeným přístupem nazývaným elektrohydraulická analogie, což plyne z jisté

podobnosti hydraulických a pneumatických a elektrických obvodů včetně definování odporů

proti pohybu, zrychlení a deformaci. Sloupec kapaliny pak odpovídá elektrickému vedení

včetně problematiky dlouhého vedení. Tedy hydraulické prvky se předpokládají jako funkce

času a jsou nezávislé na prostorové souřadnici, tj. jednorozměrný model a proudění sloupce

kapaliny může být funkcí času a případně navíc jedné prostorové souřadnice. Na obr. 2.2 je

zobrazeno stacionární řešení hydraulického obvodu, proto jsou vyhodnoceny je ve vybraných

bodech číselné hodnoty tlaků a průtoku.


14

f(x)=0

Vypoc. konfigurace

3.562e+006

Tlakovy spadPSS

S-PS

m3/s

AQ

B

Prutokomer

0.001

Prutok

A B

Potrubi-R

PS S

PS-S

m3/s

PS S

PS-S

Pa

Nadrz

AB

P

Manometr0.001

Konstanta

Kapalina

S TP

Ideal zdroj prutoku

obr. 2.2 Řešení hydraulického obvodu, zobrazení číselných hodnot ve vybraných bodech obvodu.

2.1 Programy pro řešení hydraulického a pneumatického obvodu

2.2 Flowmaster

Flowmaster je systém užívaný širokým okruhem průmyslových odvětví, například v leteckém,

lodním a automobilovém průmyslu, pro usnadnění a zkrácení vývojového procesu termotekutinových

systémů. Flowmaster je rozdělen do několika podskupin. Jsou to jednotlivě zaměřené programy, které

umožňují řešit konkrétní úlohy. Dělí se na kapalinové systémy, tepelné systémy, plynové systémy,

tekutinové systémy.

Poslední jmenovaný program dokáže komplexní řešení systémové simulace včetně závislosti

spojenou s kapalinovými, plynovými a tepelnými systémy. Je vhodný pro návrh nebo simulaci složitých

tekutinových systémů. Má rozsáhlou knihovnu komponentů vytvořených na základě hodnot získaných

empiricky a výzkumem, viz obr. 2.3. Aby se předešlo chybě, jsou nástroje nadefinovány tak, že není

možno propojit nekompatibilní prvky. Je možná vícenásobná simulace a grafické znázornění, viz obr.

2.4.

Tento interaktivní program na analýzu proudění tekutin simuluje jednorozměrné proudění

tekutiny a přestup tepla ve vedení, armaturách a ostatních prvcích. Program je používán

k předpovídání teploty, tlaku a rychlosti toku ve stálých i přechodových podmínkách v grafickém

prostřdí Windows.


15

obr. 2.3 Ukázka ikon v programu Flowmaster

Programový systém je schopen řešit:

simulace tekutinových systému v jakékoliv složitosti,

tlaky, teploty a průtoky systému,

ustálený stav, přechodový stav a teplotní analýza,

propojení s MATLAB-Simulink pro simulaci a analýzu řídících systémů,

kompatibilita se Simulinkem v úrovni časových kroků,

umožňuje originální vzorkování kompletních systémů.

Flowmaster může vykonávat simulaci v kombinaci s Matlab Simulink a tím je schopen provést

detailní namodelování kompletní tekutiny a řídicího systému. Data z modelu Flowmasteru procházejí

modelem Simulinku v každém časovém kroku. Simulink poté počítá nový řídicí signál, který je

aplikován na model Flowmasteru. Tato spolu – simulace umožňuje vytvářet virtuální modely celých

systémů.


16

obr. 2.4 Ukázka obvodu v programu Flowmaster

2.3 Matlab

Výpočetní systém MATLAB se během uplynulých let stal celosvětovým standardem v oblasti

technických výpočtů a simulací nejen ve sféře vědy, výzkumu a průmyslu, ale i v oblasti vzdělávání.

MATLAB poskytuje svým uživatelům nejen mocné grafické a výpočetní nástroje, ale i rozsáhlé

specializované knihovny funkcí spolu s výkonným programovacím jazykem čtvrté generace. Knihovny

jsou svým rozsahem využitelné prakticky ve všech oblastech lidské činnosti.

Díky své architektuře je MATLAB určen zejména těm, kteří potřebují řešit početně náročné úlohy

a přitom nechtějí nebo nemají čas zkoumat matematickou podstatu problémů. Více než milion

uživatelů po celém světě využívá možnosti jazyka MATLABu, který je mnohem jednodušší než

například Fortran nebo C jazyk a který skýtá obrovský potenciál produktivity a tvořivosti. Za nejsilnější

stránku MATLABu je považováno mimořádně rychlé výpočetní jádro s optimálními algoritmy, které

jsou prověřeny léty provozu na špičkových pracovištích po celém světě. MATLAB byl implementován

na všech významných platformách (Windows, Linux, Solaris, Mac).

Systém MATLAB nabízí:

rychlé výpočetní jádro,

působivá 2D a 3D grafika,

konfigurovatelné uživatelské rozhraní Matlab Desktop,

velké množství aplikačních knihoven,

programovací jazyk 4. generace,


17

objektové programování,

integrace s jazykem Java,

podpora vícerozměrných polí a uživatelsky definovaných datových struktur,

interaktivní nástroje pro tvorbu grafického uživatelského rozhraní,

podpora řídkých matic,

interaktivní průvodce importem dat,

zvukový vstup a výstup, animace,

komunikace s externím přístrojovým vybavením,

výpočetní jádro pro programy psané ve Fortranu a jazyce C,

distribuce nezávislých uživatelských aplikací: překlad do jazyka C, runtime, modul, WWW

technologie,

rozsáhlá tištěná i hypertextová on-line dokumentace.

Simulink je program pro simulaci a modelování dynamických systémů, který využívá algoritmy

MATLABu pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Poskytuje uživateli možnost

rychle a snadno vytvářet modely dynamických soustav ve formě blokových schémat a rovnic. Pomocí

Simulinku a jeho grafického editoru lze vytvářet modely lineárních, nelineárních, v čase diskrétních

nebo spojitých systémů pouhým přesouváním funkčních bloků myší. Simulink nově umožňuje spouštět

určité části simulačního schéma na základě výsledku logické podmínky. Tyto spouštěné a povolované

subsystémy umožňují použití programu v náročných simulačních experimentech. Samozřejmostí je

otevřená architektura, která dovoluje uživateli vytvářet si vlastní funkční bloky a rozšiřovat již tak

bohatou knihovnu Simulinku. Hierarchická struktura modelů umožňuje koncipovat i velmi složité

systémy do přehledné soustavy subsystémů prakticky bez omezení počtu bloků, viz obr. 5.1. Simulink,

stejně jako MATLAB, dovoluje připojovat funkce napsané uživateli v jazyce C. Vynikající grafické

možnosti Simulinku je možné přímo využít k tvorbě dokumentace. Mezi neocenitelné vlastnosti

Simulinku patří nezávislost uživatelského rozhraní na počítačové platformě. Přenositelnost modelů a

schémat mezi různými typy počítačů umožňuje vytvářet rozsáhlé modely, které vyžadují spolupráci

většího kolektivu řešitelů na různých úrovních. Otevřená architektura Simulinku vedla ke vzniku

knihoven bloků, nazývaných blocksety, které rozšiřují základní knihovnu bloků Simulinku a umožnují

použití programu v příslušných vědních a technických oborech. Knihovny je možné rozšiřovat i o

vlastní bloky, vytvořené uživatelem.

Simscape rozšiřuje Simulink o nástroje pro modelování a simulace tzv. "multi-domain" systémů

obsahujících propojení mechanických, elektrických a hydraulických (pneumatických) komponent.

Simscape využívá nový přístup k modelování systémů. Zavádí do simulačních schémat reálné

fyzikální veličiny, jako jsou síly, momenty, napětí, proudy, tlaky, průtoky atd. Podobně jako při montáži

reálného systému, vzniká model v Simscape grafickým propojením bloků, které přímo odpovídají

fyzickým prvkům reálného systému. Bloky se spojují do sítě, ve které spojení mezi elementy

odpovídají přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy modelovat přímo popisem

http://www.humusoft.cz/produkty/matlab/simulink/index.php?lang=cz&p1=1&p2=1&p3=2

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/physmod/simscape/ref/bqy2ghy-1.html#bqy2ghy-7

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/physmod/simscape/ref/bqy2ghy-1.html#bq1mvvl-1



18

jejich fyzické struktury, odbourává se potřeba odvozování příslušných matematických vztahů mezi

sledovanými veličinami. Simscape tyto vztahy generuje automaticky. Simscape obsahuje následující

knihovny bloků:

mechanické bloky,

elektrické bloky,

hydraulické bloky,

pneumatické bloky

tepelné bloky.

Tyto bloky umožňují vytvářet uživatelské bloky komplexnějších komponent systému. Využití Simscape

je široké, uplatnění najde v automobilovém průmyslu, letectví, obraně, návrhu průmyslových a

stavebních strojů a podobně

SimHydraulics je nový modelovací nástroj rozšiřující simulační schopnosti Simulinku o

modelování a simulace hydraulických systémů. Umožňuje modelování tzv. "multi-domain" systémů

obsahujících propojení hydraulických a mechanických komponent s použitím přímé analogie s

reálnými prvky systémů. SimHydraulics využívá nový přístup k modelování systémů. Model vzniká

propojením bloků (přímo odpovídajícím fyzickým prvkům skutečných systémů) do sítě, ve které

spojení mezi elementy odpovídá přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy

modelovat přímo popisem jejich fyzické struktury, odbourává se potřeba odvozování příslušných

matematických vztahů mezi sledovanými veličinami. SimHydraulics společně s produkty

SimMechanics, SimDriveline a SimPowerSystems umožňuje modelování složitých jevů ve vzájemně

propojených hydromechanických a hydroelektrických systémech.

SimMechanics je další z řady tzv. "multi-domain" modelovacích nástrojů, které rozšiřují

simulační schopnosti Simulinku z obecné roviny abstraktních signálových toků do oblasti reálných

fyzikálních veličin jako jsou síly, momenty a pohyby. Dovoluje modelovat složité mechanické soustavy,

které jsou součástí většiny reálných zařízení, jako jsou výrobní a stavební stroje, automobily, letadla,

lékařské přístroje a podobně.

SimElectronics rozšiřuje Simscape o nástroje pro modelování a simulaci elektrických a

elektomechanických systémů. SimElectronic zahrnuje analogové elektronické a elektromechanické

komponenty jako fyzické sítě v multidomain modelovém systému. Poskytuje polovodič, motor, pohon,

snímač, a akční (regulátory) komponenty stejně jako stavební bloky, které umožňují tvorbu vlastních

podsystémů.


http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/physmod/simscape/ref/bqy2ghy-1.html#bq1mvvl-1




http://www.humusoft.cz/produkty/matlab/simulink/index.php?lang=cz&p1=1&p2=1&p3=2

http://www.humusoft.cz/produkty/matlab/aknihovny/simmech/index.php?lang=cz&p1=1&p2=1&p3=4

http://www.mathworks.com/products/simdrive/

http://www.humusoft.cz/produkty/matlab/aknihovny/pwsys/index.php?lang=cz&p1=1&p2=1&p3=4


19

2.4 Foundation Library Hydraulic+Pneumatic, SimHydraulics

Program Simulink a programový systém Simscape - Foundation Library Hydraulic+Pneumatic a

SimHydraulics jsou nástavbou známého softwaru MATLAB. S jejich pomocí je uživatel schopen rychle

a poměrně přesně simulovat děj, který se odehrává v daném hydraulickém obvodu. Mezi další

nástroje SimScape patří kromě SimHydraulics také SimMechanics, SimDriveline a SimPowerSystems

(všechno je dostupné odděleně). To umožňuje popsat kombinované systémy obsahující hydraulické a

mechanické součásti a uživatel je schopen modelovat komplexně vzájemné působení v

hydromechanických a hydroelektrických systémech.

Simulink je systém, který umožňuje modelovat hydraulické systémy tak, jako by se vytvářely

nejdříve konstanty charakterizující kapalinu, hydraulický prvek, odpory, dále algebraické a diferenciální

rovnice pro řešení dle matematického předpisu. Dále se zadávají prvky umožňující grafické

vyhodnocení.

V SimHydraulics se modelují systémy právě tak, jako by se sestavovaly reálné hydraulické

obvody. Symboly použité v modelu jsou založeny na normě ISO 1219 standardních silových kapalin.

Z modelu, který se velice podobá hydraulickému schématu, SimHydraulics automaticky vykonstruuje

rovnice charakterizující chování prvků a automaticky je propojí do systému. Knihovny SimHydraulics

poskytují více než 45 modelů hydraulických a mechanických komponent, včetně modelů pro

hydrogenerátory, hydromotory, akumulátory, ventily a hydraulické vedení. Je možné kombinovat

jednotlivé bloky z knihovny SimHydraulics a vytvořit tak vlastní uživatelský blok, který se pak jako u

Simulinku zahrne do subsystému a parametrizuje.

Program umožňuje:

simulaci systému, který chceme analyzovat,

analyzovat průběhy požadovaných veličin,

snadno modifikovat již navržený systém,

vytvářet uživatelské bloky,

kombinovat hydraulické prvky s prvky mechanickými a elektrickými.

SimHydraulics jako jako nadstavba Simulinku se spouští v matlabovském okně, viz br. 2.5.

Nedříve se nastaví pracovní adresář (modře označené okno) a následně se spustí Simulink ikonou

(červeně označené okno).


20

br. 2.5 Spuštění Simulinku


21

obr. 2.6 Menu Simulinku

Po spuštění Simulinku se objeví

nabídka základního menu, kde

je možno sledovat v podnabídce

Simulink základní skupiny bloků,

jejichž názvy jsou vypovídající.

Nejčastěji používané bloky

budou

- Commonly Used Blocks (často

užívané bloky)

- Continuous (spojité funkce)

- Math Operations (matematické

operace)

- Subsystems (podsystémy)

- Signal Routing (vstupní

signály)

- Sinks (prvky zobrazení)

- Sources (zdroje)

- User – Defined Functions

(uživatelem definované

funkce)

Po stručném seznámení se s obsahem jednotlivých bloků a Helpem je uživatel schopen

nadefinovat základní vstupní data a vytvořit algebraický vztah pro definici všech hydraulických odporů

a následně vytvořit charakteristiku. Okno pro vytváření nových schémat se otevře pomocí příkazu

z roletového menu File Nové okno, viz obr. 2.6. Sestaví se schéma úlohy pomocí prvků, které jsou

v programu k dispozici tak, aby co nejvíce odpovídalo skutečnému experimentálnímu obvodu.

Jednotlivé prvky se vloží do schématu obvodu, propojí se čarami, které symbolizují přenos výkonu

nebo informace. Bloky mají různé vstupy resp. výstupy, jako je vstup A – bezrozměrný signál, vstup B

– fyzikální signál a hydraulický vstup C.


22

obr. 2.7 Připojování bloků

Pomocí pravého tlačítka myši lze označené prvky (včetně vedení) kopírovat. Parametry jednotlivých

prvků se nastaví v tabulkách, které se zobrazí po dvojím kliknutí myší na daný prvek.

Odpor proti pohybu

23

3. Odpor proti pohybu

3.1 Definice odporu proti pohybu

Hydraulický odpor proti pohybu zahrnuje odpory při proudění kapaliny, které mohou být

Iaminámí nebo turbulentní. Laminámí odpor odpovídá ohmickému odporu v elektrickém

obvodu, neboť je Iineámě závislý na průtoku. Turbulentní odpor ve vyvinutém stádiu je

kvadraticky závislý na průtoku. To přináší do řešení dynamiky hydraulických obvodů

nelinearitu. Aby bylo možno použít Iineámí teorie obvodů, musí se nelineámí průběh

Iinearizovat. Výsledek s použitou Iinearizací pak platí jen v oblasti, kde nahrazuje nelineámí

průběh s nevelkými odchylkami.

Pro tlakový spád na hydraulickém odporu platí obecně mocninová funkce

nQRp ( 3.1.1)

Odpor proti pohybu je určen vztahem ( 1.3.1) dQ

pdRH

nebo

Q

pRH

.

Mocninný exponent n je konstanta závislá na typu proudění daném

hodnotou Reynoldsova čísla

hvd

Re ,

kde hd je hydraulický průměr (pro potrubí kruhového průřezu je roven průměru), S

Qv je

střední rychlost proudění, je kinematická viskozita. Pro laminární proudění je 1n , tedy

QRp a pak Q

pRRH

[Nsm-5 = kgs-1m-4]. Pro vyvinuté turbulentní proudění je

2n a hydraulický odpor je určen kvadratickou závislostí 2QRp , přitom rozměr

odporu R je [kg.m-7s-2].

3.2 Ztrátový součinitel

Pro odpor proti pohybu je tlakový spád určen vztahem

2

22

2

2

222 SRRQQ

S

vp

, (3.2.1 )

což platí i pro nekruhový průtočný průřez S . Pro kruhový průřez je 42

8

dR

. Součinitel

odporu proti pohybu není obecně konstantou a může se měnit v závislosti na změně

průtoku. Pak může být také takto použit. Lze porovnáním odvodit vztah mezi a R

Odpor proti pohybu

24

RS

SR

2

2

2

2 (3.2.2 )

V případě výtoku zůženou plochou (ventil, clona, odpor při výtoku otvorem, tryska apod.)

se používá častěji inverzní vztah k rovnici (3.2.1 ):

pSQ

2

( 3.2.3)

je tzv. průtokový součinitel a má vztah ke ztrátovému součiniteli. Přitom se dá jednoduše

odvodit z předchozích dvou rovnic:

2

22Q

Sp

pSpSp

SQ

22121 2

Tedy

1 ( 3.2.4)

V SimHydraulics se používá odlišné označení:

Hydraulika SimHydraulics

Ztrátový součinitel K

Průtokový součinitel DC

Toto označení bude nadále používáno vzhledem k aplikacím.

3.3 Experimentální určení ztrátového součinitele

Ztrátové součinitele se určují na daném prvku z tlakového spádu jako funkce průtoku,

nebo naopak z průtoku jako funkce tlakového spádu, fyzikálních vlastností kapaliny a

geometrických rozměrů hydraulického prvku. Tyto závislosti se obecně nazývají statické

charakteristiky.

Jednoduchý hydraulický obvod k určení statické charakteristiky hydraulického prvku bude

tedy sestávat z následujících prvků

zdroj kapaliny (N)

hydraulický prvek (clona (C), koleno 90o (K4), kulový kohout (KK1), zúžení průřezu

potrubí (RH1), rozšíření průřezu potrubí (RH2), velký oblouk (KR, K1, K2),

kompenzační smyčka (KS), ventil přímý (VP) a koleno 45o (K3), potrubí)

nádrž (N)

průtokoměr (C) - clona

tlakoměr pro měření tlakové diference – obrácená U trubice

ventil pro řízení průtoku (KK2)

Odpor proti pohybu

25

Schéma obvodu s řadou seriově řazených prvků je na obr. 3.1.

obr. 3.1 Schématické znázornění zkušebního obvodu

Je zřejmé, že obvod se skládá z řady potrubí, hydraulických prvků a armatur. Všechny tyto

prvky způsobují tlakové ztráty v obvodu. Zjednodušením obvodu, tj. zanedbáním vlivu

některých hydraulických prvků, se experimentální měření může odlišovat od numerického

modelování. Dobře popsané prvky obvodu jsou potrubí s určením třecích ztrát.

Tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je možno

regulovat jak pomocí regulace otáček čerpadla (HG), tak pomocí kulového kohoutu KK2

(podrobnější regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné U

trubici nebo diferenčního manometru podle charakteru tlakové ztráty. Měření průtoku

proudění v obvodu je realizováno průtokoměrem nebo pomocí clony a U trubice

zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci, která je úměrná průtoku a tudíž rychlosti

proudění.

Pro výpočet ztrátového součinitele je nutné znát tlakovou ztrátu Δp na hydraulickém

prvku, vnitřní průměr d a rychlost proudění v v připojovacím potrubí. Všechny pomocné

neznámé se vypočtou. Při výpočtu postupujeme takto:

Vybere se hydraulický prvek pro měření, změří se tlaková ztráta na prvku Δp (v

případě použití U trubice se měří ztátová výška Δh a přepočítá se na tlakovou ztrátu

Δp. Výpočet se provede pomocí rovnice pro výpočet hydrostatického

tlaku hgp ).

Současně se měří průtok průtokoměrem nebo clonou, kdy ztrátová výška na cloně

Δhc se přepočítá na průtok rovnicí cejchovní křivky clony baxy (a, b je definované

Odpor proti pohybu

26

pro každou clonu na grafu cejchovní křivky, je třeba zohlednit jednotky výšky a

průtoku). Dosazením za proměnnou x rozdíl ztrátových výšek na cloně Δhc [mm] y je

pak hodnota průtoku Qv [m3h-1]

Rychlost je dána z rovnice kontinuity 2

4

d

Q

S

QvSvQ

Odpor proti pohybu, ztrátový součinitel a průtokový součinitel se určí následovně (z

Bernoulliho rovnice).

2

2

Q

pRRQp

2

2 2

2 v

pvp

1

Určí se Reynoldsovo číslo (zda jde o turbulentní či laminární proudění), přitom

vdRe typ proudění

Pokud je třeba určit charakteristiku, tak se postup výpočtu opakuje pro další hodnoty

průtoku (alespoň 10) a sestrojí závislost tlakové ztráty na objemovém průtoku

Qfp , diagram Ref , Ref

Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí vyhodnocovat jednak jako závislost tlaku na

průtoku, viz obr. 3.2, a dále jako závislost ztrátového resp. průtokového součinitele na

Reynoldsově čísle, viz obr. 3.3.

obr. 3.2 Příklad závislosti tlaku na průtoku

Odpor proti pohybu

27

obr. 3.3 Příklad závislosti ztrátového a průtokového součinitele na Reynoldsově čísle

Pro určení jediného (průměrného) ztrátového koeficientu se využije metoda regresní

funkce 2RQp . Pro jednoduchost se zvolí formálně substituce Rxy , kde

2Qx

a vyhodnotí lineární regresní funkce procházející nulou, viz obr. 3.4.

obr. 3.4 Závislost tlakové ztráty na druhé mocnině rychlosti a proložení lineání regresní křivky pro

určení koeficientu R .

Při znalosti odporu „R “ odečteného z rovnice regresní funkce lze snadno odvodit

přibližnou hodnotu ztrátového součinitele:

2

2

2

2

SR

SR (3.3.1)

1026574.1 ER

1.639251000

90.00025446*2*1026574.1

2 22

ES

R

781035.063925.1

11

Odpor proti pohybu

28

3.4 Výpočet tlakového spádu - SimHydraulics

Schéma pro výpočet tlakového spádu v SimHydraulics je na obr. 3.5. Výsledkem jsou

číselné hodnoty průtoku a tlakového spádu v oknech Display.

obr. 3.5 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí – nový obr

Obvod sestává z prvků specifikovaných v následujíchích kapitolách.

Základní prvky hydraulického obvodu

Proudění v každém hydraulickém obvodu je dáno pro určitou kapalinu, která se vloží

se svými fyzikálními vlastnostmi do obvodu.

Hydraulická kapalina (Custom Hydraulic Fluid) uvádí vlastnosti

kapaliny pro jednotlivé smyčky obvodu. Každá smyčka v systému je

připojena jen k jednomu bloku hydraulické kapaliny.

(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic utilities/Custom

fluid)

tab. 3.1 Parametry pro definování kapaliny

Fluid density Hustota 1000 kg.m-3

Kinematic viscosity Kinematická viskozita 0.000001 m2.s-1

Bulk modulus Modul pružnosti 2.109 Pa

Odpor proti pohybu

29

Relative amount of trapped air Rel. množství obsaženého vzduchu při

normálních podmínkách 1.10-12 1

obr. 3.6 Definování parametrů hydraulické kapaliny

Kapalina je do obvodu dopravována čerpadlem nebo jiným způsobem Tyto varianty budou

diskutovány později. Proto bude nyní zjednodušeně definován pouze fiktivně zdroj kapaliny

bez udání způsobu, jak byl získán. Dále jsou definovány další nezbytné prvky, které budou

užitečné pro určení charakteristiky potrubí.

Zdroj kostantního průtoku (Hydraulic Constant Flow Rate Source) slouží

jako náhrada hydrogenerátoru. Je v simulaci použit z důvodu zjednodušení

analýzy. Jedná se o ustálený zdroj průtoku. Hodnota průtoku je dána

konstantou. (Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic

sensors and sources/ Ideal Hydraulic Flow Rate Source)

Zdroj průtoku (Ideal Hydraulic Flow Rate Source) slouží jako náhrada

hydrogenerátoru. Hodnota průtoku je dána konstantou nebo funkční

závislostí. (Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic

sensors and sources/ Ideal Hydraulic Flow Rate Source)

f(x)=0

Vypoc. konfigurace

3.562e+006

Tlakovy spad

PSS

S-PS

AQ

B

Prutokomer

0.001

Prutok

A B

Potrubi-R

PS S

PS-S1

PS S

PS-S

Nadrz

AB

P

Manometr

0.001

Konstanta

Kapalina

S TP

Ideal zdroj prutoku

Konstanta (Constant) umožní vkládat číselnou hodnotu, lze vložit také

vektor do hranatých závorek, přitom jednotlivé složky vektoru jsou odděleny

mezerou. Hodnota průtoku je tedy vložena tímto prvkem

(Simulink/Commonly Used Blocks/Constant)

Nádrž (Hydraulic Reference) je prvek, který v hydraulickém obvodu plní

funkci zásobníku kapaliny pro pracovní mechanismus a představuje

Odpor proti pohybu

30

připojení k atmosféře. Má jeden hydraulický vstup.

(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/

Hydraulic Reference)

Odpor proti pohybu R (Local Resistance) je prvek, který v hydraulickém

obvodu specifikuje místní hydraulický odpor jako je koleno, změna

průtočného průřezu, redukce, potrubí atd.

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Local Hydraulic Resistances/ Local

Resistance)

Průtok je dán rovnicí

pK

AQV

21.

Prvek je zadán následujícími parametry

tab. 3.2 Parametry pro definování kapaliny (parametrizace formulí)

Resistance area A Průtočná plocha m2

Model prameterization Model prametrizace formulí

Pressure coefficient for direct flow

Ztrátový součinitel pro přímé

proudění 1

Pressure coefficient for reverse flow

Ztrátový součinitel pro zpětné

proudění 1

Critical Reynolds number Kritické Reynoldsovo číslo 1

V případě druhého modelu parametrizace je vstupní tabulka následující:

tab. 3.3 Parametry pro definování kapaliny (parametrizace pomocí Re )

Resistance area Průtočná plocha m2

Model prameterization Model prametrizace Re

Odpor proti pohybu

31

Reynolds number vector

Vektor Reynoldsových čísel [-5000 -3000 -1000 1000

3000 5000] 1

Loss coefficient vector Vektor ztrátových

součinitelů [5 2 1.5 1 0.5 0.1] 1

Interpolation method Interpolační metoda Cubic

Extrapolation method Extrapolační metoda From lást point

Pro propojení bodů charakteristiky je možno vybrat 3 interpolační metody a 2 extrapolační

metody

Pro vyhodnocení hydraulických veličin se používají tlakoměry a průtokoměry, které se i

s tímto názvem definují v SimHydraulics. Pro konverzi bezrozměrných veličin na fyzikální

veličiny a naopak se používají tzv. měniče, protože některé vyhodnocovací prvky nejsou

schopny využívat fyzikální veličiny.

Průtokoměr (Ideal Hydraulic Flow Rate Sensor) je ideální průtokový

snímač, přeměňuje průtok kapaliny naměřený mezi dvěma výstupy na

fyzikální signál.

(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic sensors and

sources/ Ideal Hydraulic Flow rate sensor)

Manometr (Ideal Hydraulic Pressure Sensor) je ideální tlakový snímač,

přeměňuje tlak kapaliny naměřený mezi dvěma výstupy na fyzikální signál.

(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/ Hydraulic sensors and

sources/ Ideal Hydraulic pressure sensor)

PS-S Simulink měnič (PS-Simulink Converter ) převádí fyzikální vstupní

signál na bezrozměrný signál Simulinku. Jednotka parametru musí

odpovídat vstupnímu signálu. (Simulink/Simscape/Utilities/PS-Simulink

Odpor proti pohybu

32

Converter)

Simulink S-PS měnič (Simulink-PS Converter) převádí bezrozměrný

vstupní signál Simulinku na fyzikální signál. Jednotka parametru je přidělena

výstupu fyzikálního signálu. (Simulink/Simscape/Utilities/ Simulink-PS

Converter)

Display – zobrazí číselnou hodnotu (Simulink/Sinks/ Display)

Data pro spuštění analýzy

Před spuštěním výpočtu je ještě nutné nastavit konfigurační parametry výpočtu. Patří mezi

ně především typ časového kroku. Volí se především pro dnamické úlohy variabilní,

automatický a výpočtová numerická metoda (solver) – ode15s (stiff/NDF) (případně další

stiff metody), což jsou jediné možné numerické metody pro řešení obyčejných

diferenciálních rovnic v hydraulice v SimHydraulics. Ostatní položky jsou přednastaveny

vyhovujícím způsobem a není potřeba je měnit. V tomto okně lze rovněž nastavit čas

výpočtu, který ale lze nastavit i na hlavní liště programu, což je rychlejší, především

v případě, je-li potřeba jej často měnit.

Odpor proti pohybu

33

obr. 3.7 Parametry pro spuštění výpočtu

Výpočet se spustí příkazem Simulink/Simulace/Start.

Výpočtová konfigurace (Solver configuration) je prvek, který definuje

výpočetní zařízení nastavené pro simulaci.

(Simulink/Simscape/Utilities/Solver configuration)

Další prvky budou definovány dle potřeby.

Do obvodu mohou být vloženy také hydraulické prvky, jako jsou kolena, T kusy (prvky

pro větvení obvodu), prvky pro rozšíření průřezu, clony a obecné odpory. Tyto prvky

představují místní odpory, upřesńují obvod, jsou v SimHydraulics definovány a mohou být

využity.

3.5 Výpočet statické charakteristiky - SimHydraulics

Kvalitnějším výsledkem má být statická charakteristika, což je závislost tlakového

spádu na průtoku při proudění tekutiny potrubím nebo daným hydraulickým prvkem obecně

ve tvaru

Odpor proti pohybu

34

2RQp ( 3.5.1)

Odpor proti pohybu R v potrubí je dán pro laminární a turbulentní proudění odlišným

vztahem, přitom odpor proti pohybu pro turbulentní proudění lze pro daný pracovní bod

linearizovat, takto:

12 QRR turblin ( 3.5.2)

Závisí na geometrických faktorech hydraulického prvku, vlastnostech kapaliny případně

ztrátovém součiniteli, což musí být vloženo do systému.

Pro výpočet byl použit stejný obvod jako v předešlé kapitole. Z důvodu získání

charakteristiky je třeba do systému vložit řadu hodnot průtoku. To lze provést zadáním

vektoru hodnot do bloku „constant“ nebo fiktivně lineární (nebo jinou) funkční závislostí na

čase pomocí bloku „Signal Builder“, kde se souřadnicemi dvou bodů taková závislost

nastaví, viz obr. 3.8. Počet složek takto vytvořeného vektoru Q bude dán volbou časového

kroku v simulaci. Počet složek vektoru tlakového spádu bude mít tentýž počet složek. Pro

statickou charakteristiku se pak vytvoří graf, kde hodnotám průtoku se vyberou odpovídající

hodnoty tlaku.

obr. 3.8 Signal Builder pro zadání funkční závislosti průtoku na čase.

Zobrazení charakteristiky je možné přímo ikonou v SimHydraulics, která má ale omezené

možnosti z hlediska vyhodnocení více charakteristik do jednoho grafu. Zcela univerzální

Odpor proti pohybu

35

přístup pro použití i v jiných grafických software, jako je EXCEL apod. bude také vysvětlen.

Použité příkazy jsou následující:

Vytvoření signálu (Signal Builder) - vytvoří se vstupní signál v

závislosti na čase

(Simulink/Sources/Signal Builder)

XY Graph - blok pro vykreslení grafu, horní vstup je použit pro osu x a

dolní vstup pro osu y. Rozsah os je nutno zadávat ručně, nepočítá tedy

automaticky.

(Simulink/Sinks/XY Graph)

Zápis do pracovní oblasti (To workspace) zapisuje vstupy vybraného

pole do hlavní pracovní oblasti Matlabu a najdou se v základním okně

Matlab/Workspace.

(Simulink/Sinks/To Workspace)

V tomto prostoru se mohou závislosti vykreslovat podobně jako

v EXCELu a také do tohoto software exportovat kopírováním.

l

S

d

s

E

lambda

potrubi

ro

K

ni2

kapalina

XY Graph

128*u(1)*u(2)*u(3)/3.14159/u(4)^4

Rlam

Signal 1

Q-zdroj

Q-graf

Dplam-graf

Dplam

Kreslení grafu (Scope) zobrazí časový průběh vybrané veličiny

(Simulink/Sinks/Scope) přímo v Simulinku.

V tomto bloku lze také zapsat data do Workspace, není nutno vkládat

nový blok

Zobrazovací a vyhodnocovací elementy jsou stejné. Obvod sestavený v SimHydraulics při

použití jednoduššího zobrazení charakteristiky je na obr. 3.9.

Odpor proti pohybu

36

obr. 3.9 Obvod pro výpočet statické charakteristiky – užití Graf XY a přenos dat do Excelu

obr. 3.10 Obvod pro výpočet statické charakteristiky – Graf XY

Při použití přenosu dat do Excelu jsou výsledkem kontrolní křivky závislosti tlaku na čase a

průtoku na čase, viz obr. 3.11.

Odpor proti pohybu

37

obr. 3.11 Závislosti průtoku a tlaku na čase

Je vidět, že grafy na obr. 3.9 a obr. 3.10 jsou orientační. Častěji se použije přenosu dat do

prostoru Workspace a dále do Excelu, kde se mohou tvořit libovolné grafy a především

porovnávat s daty z měření. Přenos dat je umožněn ikonou Scope. Dvojím kliknutím se

otevře graf, dvojím kliknutím na druhou ikonu se otevře okno konfiguračních

parametrů, použije se záložka Loggin, zatrhne se Log data to workspace a vloží jméno

proměnné a format Array. Tento formát umožní zapsat vektor o dvou sloupcích, první je

čas a druhý je tlak.

obr. 3.12 Zápis dat do Workspace.

Odpor proti pohybu

38

V základním okně Matlabu se otevře Workspace, dvakrát klikne na jméno proměnné (tlak).

Otevře se tabulka se dvěma sloupci, druhý se prosvětlí jako v Excelu, zkopíruje a vloží do

Excelu. Podobně se přenese průtok případně další počítané veličiny a zobrazí se

charakteristika.

obr. 3.13 Charakteristika hydraulického prvku - Excel

Odpor proti pohybu – odpor třením

39

4. Odpor proti pohybu - odpor třením

4.1 Odpor třením v potrubí

Pro laminární proudění je 1n , tedy RQp a pak Q

pRRH

[Nsm-5 = kgs-1m-4]. Pro

kruhové potrubí je Re

64 , neboli Q

d

lp

4

128

, takže

4

128

d

lRHlam

( 4.1.1)

Pro vyvinuté turbulentní proudění je 2n a hydraulický odpor je určen

kvadratickou závislostí 2RQp , přitom rozměr odporu R je [kg.m-7s-2]. Pro kruhové

potrubí je 52

8

d

lR

. Součinitel tření je závislý na velikosti Reynoldsova čísla a

relativní drsnosti d

k , kde k [m] je absolutní drsnost stěny potrubí

kf Re, resp. Re,f ( 4.1.2)

Rovnice pro třecí součinitel se nedá řešit analyticky, proto musela být stanovena

experimentálně. Pro hladké potrubí ( 0k ) v roce 1913 odvodil Blasius empirický vztah

4 Re

3164,0 (

410.8ReRe k ) ( 4.1.3)

Nikuradse pro hladké potrubí udává podle experimentálních výsledků vzorec

28,0Relog2

1

410.6Re ( 4.1.4)

Součinitel tření v Altšulově vzorci při uvažování drsnosti potrubí je explicitně vyjádřený ve

formě

25.0

Re

1001,0

d

k ( 4.1.5)

Pro oblast, kde je významný vliv drsnosti, bylo různými autory odvozeno několik desítek

rovnic, nejčastěji se však používá vzorec, který odvodil Colebrook - White


40

2

27,0Re

51,2log2

1

d

k

( 4.1.6)

Tato rovnice je implicitní a se musí řešit iterací. Proto byly v posledních letech mnoha

autory odvozeny pro explicitní vzorce. Jako příklad je uvedena rovnice odvozená

Churchillem

12

1

5,1

121

Re

88

ba

1616

9,0

Re

3753027,0

Re

7ln457,2

ba

( 4.1.7)

V dostupných software na řešení proudění v potrubí (SimHydraulics) se užívá následující

kombinace vztahů pro určení součinitele tření (Haalandův vztah analogický variantě

Colebrook-White):

laminární proudění Re

64l Re<2000

přechodové proudění lt xx 1 2000<Re<4000

kde 2000

2000Rex

turbulentní proudění 2

11,1

7,3Re

9,6log8,1

1

d

kt Re>4000

( 4.1.8)

Graficky zpracované závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle a případně drsnosti

jako parametru byly vyhodnoceny v diagramu autora Nikuradseho, viz obr. 4.1.

Vliv drsnosti potrubí vyšetřoval Nikuradse (v letech 1930 až 1933), Colebrook,

Churchill a další. Absolutní drsnost potrubí k závisí na druhu materiálu, zpracování a

provozních podmínkách (koroze, eroze). Podle zkušeností různých autorů jsou v tab. 4.1

uvedeny drsnosti vybraných materiálů.

tab. 4.1 Absolutní drsnost materiálů potrubí k

Materiál potrubí Původní stav (mm) Korodovaný stav (mm)


41

Tažené trubky mosazné, měděné, hliníkové 0,0015 až 0,003 0,003 až 0,1

Bezešvé trubky ocelové 0,04 až 0,1 0,1 až 0,9

Tažené trubky ocelové 0,03 až 0,12 0,12 až 0,9

Svařované trubky ocelové 0,05 až 0,1 0,1 až 0,9

Pozinkované trubky ocelové 0,15 až 0,5 0,5 až 3,5

Vodovodní potrubí po 20-ti a více letech

v provozu

0,6 až 3,0

Skleněné trubky, trubky z plastů 0,001 5 až 0,01

Pryžové hadice 0,01 až 0,03

Betonové potrubí 0,3 až 6,0


42

obr. 4.1 Nikuradseho diagram =(Re,)

4.2 Experimentální určení třecího součinitele

Ztrátové součinitele se určují na daném prvku z tlakového spádu jako funkce průtoku,

nebo naopak z průtoku jako funkce tlakového spádu a fyzikálních vlastností kapaliny a

geometrických rozměrů hydraulického prvku. Tyto závislosti se obecně nazývají statické

charakteristiky.

Jednoduchý hydraulický obvod k určení statické charakteristiky např. potrubí bude tedy

sestávat z následujících prvků

zdroj kapaliny (N)

potrubí (např. T1)

průtokoměr (C) - clona

tlakoměr pro měření tlakové diference – obrácená U trubice

kulové kohouty (KK, KK1)

Schéma obvodu je na obr. 4.2.

obr. 4.2 Schéma obvodu pro měření statické charakteristiky. Potřebuji obrázek

Je zřejmé, že obvod se skládá z řady potrubí a hydraulických prvků a armatur jako jsou:

- čerpadlo, které může být nahrazeno v případě statických charakteristik měřeným

průtokem pomocí průtokoměru nebo clony za čerpadlem a její cejchovní křivky

- clona, která je zdrojem ztrátového tlakového spádu

- koleno, redukce, T-kusy, kohouty jsou klasické místní odpory, kde ztrátové součinitele

jsou řadou experimentů kvalitně proměřeny a definovány (kohout je problematický

prvek, jehož odpor závisí na velikosti otevření).


43

Všechny tyto prvky způsobují tlakové ztráty v obvodu.


regulovat jak pomocí regulace otáček čerpadla (HG), tak pomocí kulového kohoutu KK

(plynulá regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné U trubici

případně manometru. Měření průtoku v obvodu je realizováno pomocí průtokoměru nebo

clony s U trubicí zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci, která je úměrná rychlosti

proudění. Postup pro určení tlakového spádu a následně charakteristik je analogický

předešlé úloze. Jediným rozdílem bude, že ze ztrátového součinitele se určí třecí součinitel

takto:

l

d

d

l

Průtokový součinitel pro potrubí nemá smysl definovat. Pro porovnání s experimentem se

určí teoretický součinitel tření dle některého z výše uvedených empirických závislostí (např.

Blasiův vztah pro nízká Reynoldsova čisla). Postup výpočtu se opakuje pro nejméně 10

hodnot průtoku a sestrojí závislost tlakové ztráty třením na objemovém průtoku Qfp

a diagram Ref ,

Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí vyhodnocovat jednak jako závislost tlaku na

průtoku, viz obr. 3.2, a dále jako závislost součinitele tření na Reynoldsově čísle, viz obr. 3.3.

y = 2927,3x1,7207

R2 = 0,9993

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Q v [m3hod

-1]

p

p [P

a]



44

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Re [1]

[

1]

třecí součinitel pro naměřené hodnoty

spoučinitel tření vypočtený ze vzorce

obr. 4.4 Příklad závislosti součinitele tření na Reynoldsově čísle

4.3 Výpočet tlakového spádu - Hydraulics

Schéma pro výpočet tlakového spádu v Hydraulics je na obr. 4.5. Výsledkem jsou

číselné hodnoty průtoku a tlakového spádu v oknech Display.

Pokud potrubí stoupá do určité výšky, je nutno uvažovat s hydrostatickým tlakem.

Tento tlak snižuje hodnotu tlakového spádu v potrubí.

obr. 4.5 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí


45

Obvod sestává z prvků specifikovaných v předešlé kapitole, pouze hydraulický odpor je

zaměněn za potrubí.

Hydraulické potrubí

Hydraulické potrubí (Hydraulic Resistive Tube) je blok pro definici odporu

proti pohybu při proudění v potrubí, přitom zohledňuje i nekruhové průřezy

potrubí. Je možno přidat také ekvivalentní délku pro případ, že se v potrubí

vykytují místní ztráty.

(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/

Tlakový spád je dán rovnicí

QQ

Sd

llp

d

eq

22

laminární proudění Re

64l Re<2000

přechodové proudění lt xx 1 2000<Re<4000

kde 2000

2000Rex

turbulentní proudění 2

11,1

7,3Re

9,6log8,1

1

d

kt Re>4000


46

Pipe internal diameter Vnitřní průměr potrubí 0,01 m

Pipe length Délka potrubí 5 m

Aggregate eguivalent length of local resistances

Ekvivalentní délka místních ztrát

1 m

Internal surface roughness height Drsnost vnitřního

povrchu 1.5.10-

5 m

Laminar flow upper margin Horní laminární hranice 2.103 1

Turbulent flow lower margin Dolní turbulentní

hranice 4.103 1

Do obvodu mohou být vloženy také hydraulické prvky, jako jsou kolena, T kusy (prvky

pro větvení obvodu), prvky pro rozšíření průřezu, clony a obecné odpory. Tyto prvky

představují místní odpory, upřesńují obvod, jsou v SimHydraulics definovány a mohou být

využity.


47

4.4 Výpočet tlakového spádu – Pneumatic

Následující obvod bude řešit tlakový spád na potrubí v systému s proudícím

vzduchem.

obr. 4.6 Schema pro výpočet tlakového spádu na potrubí

V dalších kapitolách budou specifikovány vybrané pneumatické prvky obsažené

v knihovně Matlab/Simulink/Simscape/Foundation/Pneumatic, které budou použity v daných

úlohách. Knihovna obsahuje základní pneumatické elementy, zdroje tlaku a snímače

potřebné k simulaci. Většina modelů je založena na následujících předpokladech:

- Plyn je ideální

- Měrné tepelné kapacity (cp, cv) při konstantním tlaku a objemu jsou konstantní.

- Proces musí být adiabatický, tzn. neexistuje žádný přenos tepla s okolím.

- Gravitační účinky lze zanedbat

Použité prvky jsou v dalším textu specifikovány.

Základní prvky pneumatického obvodu

Vlastnosti plynu (Gas Properties) - prvek má jeden port A, který se připojí

v libovolném místě k pneumatickému obvodu. Blok slouží ke specifikaci

plynových vlastností, které jsou považovány za konstantní v průběhu

simulace. Pokud není tento blok připojen k obvodu, jsou na pneumatických

prvcích nastaveny výchozí parametry, které odpovídají základnímu

nastavení (vzduch).

(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Elements/)

Nastavení parametrů:


48

Postupně se zadává měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku, měrná tepelná

kapacita při konstantním objemu, viskozita plynu (dynamická), tlak okolního plynu,

teplota okolního plynu.

Atmosférická reference (Pneumatic Atmospheric Reference) - blok

poskytuje referenční zdroj plynu nastavený na okolní teplotu a tlak. Při

použití atmosférického referenčního bloku s blokem „Pneumatic Presure

Source“ (zdroj konst. tlaku.), můžeme modelovat ideální zdroj relativního

tlaku, který zvyšuje atmosférický tlak na konstantní výši.


Absolutní reference (Pneumatic Absolutec Reference) - prvek poskytuje

referenční pneumatický port o referenčním absolutním nulovém tlaku

(vakuum) a absolutní nulové teplotě umožňuje počítat absolutní tlak (jako

výstup).


Snímač hmotnostního průtoku a tepelného toku (Pneumatic Mass &

Heat Flow Sensor) - prvek má celkem 4 porty a to pneumatické porty A a

B, kde A je port na vstupu a B na výstupu. Port G slouží pro vyvedení

fyzikálního signálu hmotnostního průtoku a port Q slouží pro vyvedení

fyzikálního signálu tepelného toku.

(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sensors/)

Snímač tlaku a teploty (Pneumatic Pressure & Temperature Sensor) -

prvek obsahuje dva pneumatické porty A a B kde A je připojen na vstupu

do bloku a B na výstupu. Port P slouží pro vyvedení fyzikálního signálu


49

tlakové diference a port T pro vyvedení fyzikálního signálu teplotní

diference. Blok slouží ke snímání teploty a tlaku mezi dvěma uzly, které

pomocí portu G a Q převádí na fyzikální signály námi měřených veličin.

(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sensors/)

Pneumatický zdroj hmotnostního průtoku (Pneumatic Flow Rate

Source) - Blok obsahuje dva pneumatické porty A a B kde A je přiveden na

vstup do bloku a B na jeho výstup. Blok slouží k simulaci ideálního

kompresoru se stálým hmotnostním průtokem bez ohledu na rozdíl tlaku

(např. objemové kompresory). Pozitivní směr bloku je z portu A do portu B,

to znamená, že průtok je pozitivní, jestliže proudí z A do B.

(Simulink/Simscape/Foundation Library/Pneumatic/Pneumatic Sources/)

Řízený pneumatický zdroj hmotnostního průtoku (Controlled Pneumatic

Flow Rate Source) - Blok obsahuje dva pneumatické porty A a B kde A je

připojen na vstup do bloku a B na výstupu z bloku. K bloku je dále přiveden

port pro fyzikální signál F (řídící signál) k nastavení velikosti průtoku.

Tlaková diference je stanovena jako p = pA-pB a je negativní jestliže tlak

zdroje na výstupu je větší než na jeho vstupu.


Pneumatický zdroj tlaku (Pneumatic Pressure Source) - blok obsahuje

dva pneumatické porty A a B kde A je přiveden na vstup do bloku a B na

jeho výstup. Blok slouží k simulaci ideálního kompresoru se stálým

rozdílem tlaku bez ohledu na průtok. Blok se používá tehdy, kdy tlak

skutečného zařízení je prakticky nezávislý na zdrojovém průtoku např.

v továrních síťových výstupech nebo velkoobjemových přijímačích.


Řízený pneumatický zdroj tlaku (Controlled Pneumatic Pressure Source)

- A je portem na vstupu do bloku a B na jeho výstupu. K bloku je dále

přiveden port pro fyzikální signál F (řídící signál) k nastavení velikosti

tlakové diference (rozdílu tlaku na vstupu a výstupu).


Pneumatické potrubí - odpor proti pohybu

Potrubí s odporem proti pohybu (Pneumatic Resistive Tube) - prvek

definuje tlakovou ztrátu a tepelnou ztrátu v důsledku viskózního tření podél

úseku potrubí s kruhovým průřezem.


Tlaková ztráta se simuluje podle následujících rovnic:


50

G

Sd

lll

p

rTpp

h

eq

i

ii 20

32

pro lamReRe

GG

Sd

ll

p

rTpp

h

eq

i

ii 20

2

pro turbReRe

kde G je hmotnostní průtok, r je měrná plynová konstanta pro vzduch a je definována jako

podíl univerzální plynové konstanty (8314,41 J.kmol-1.K-1) a molekulové váhy vzduchu (28,96

kg.kmol-1).

Koeficient tření pro turbulentní proudění je aproximován Haalandovou funkcí:

2

11,1

7,3Re

9,6log8,1

1

d

kt

Reynoldsovo číslo je definováno jako:

hvdRe

V reálném potrubí, je ztrátová kinetická energie v důsledku tření přeměňována na

tepelnou energii. Nicméně množství tepla je velmi malé a proto ho zanedbáváme. Tedy qi =

q0.

Základní předpoklady a omezení použití:

- Plyn je ideální

- Trubka má kruhový průřez

- Proces je adiabatický, tedy nedochází k výměně tepla s prostředím


- Průtokový odpor nepřidává žádný tepelný tok.


51

Tube internal diameter Vnitřní průměr potrubí 0,01 m

Tube length Délka potrubí 10 m

Aggregate eguivalent length of local resistances

Ekvivalentní délka místních ztrát

0 m

Internal surface roughness height

Drsnost vnitřního povrchu

1.5.10-

5 m

Laminar flow upper margin Horní laminární hranice 2.103 1

Turbulent flow lower margin Dolní turbulentní

hranice 4.103 1

Výsledkem simulace je tlakový spád vs. hmotnostní průtok. Hmotnostní průtok lze

přepočítat na objemový dle vztahu Gp

rTGQQG

. Pro získání hodnot

hustoty je třeba realizovat blok pro určení hustoty, který není základním výchozím blokem

programu Matlab, ale obsahuje další obvod vykonávající funkci snímače průtoku. Zde se

vyhodnocuje hmotnostní průtok, tlak a teplota. Výsledkem pak je hodnota objemového

průtoku. Na obr. 4.7 je znázorněn obvod pro vyhodnocení objemového průtoku. Je složen ze

dvou větví. Horní větev obsahuje snímač hmotnostního průtoku a tepelného toku, zde je

využito jen měření hmotnostního průtoku G. Spodní větev obsahuje snímač tlaku a teploty,


52

tyto hodnoty potom se použijí do stavové rovnice RTp

, ze které se vypočte hodnota

hustoty. Hodnota hmotnostního průtoku se vydělí hodnotou hustoty, poté se výsledná

hodnota vynásobí šedesáti, konečným výstupem z bloku měření je hodnota objemového

průtoku.

obr. 4.7 Subsystém pro určení objemového průtoku

4.5 Výpočet statické charakteristiky - jednoduchého potrubí

Statická charakteristika se řeší obvodem stejným, jako v kap. 3.5. Zobrazovací a

vyhodnocovací elementy jsou stejné. Obvod sestavený v SimHydraulics při použití

jednoduššího zobrazení charakteristiky je na obr. 4.8. Graf statické charakteristik se získá

přenosem dat do EXCELu.


53

obr. 4.8 Obvod pro výpočet statické charakteristiky potrubí s přenosem dat do EXCELu

4.6 Složený potrubní systém

4.6.1 Řešení složeného potrubního systému sériového

Řešení základních případů složeného potrubí je možno rozčlenit na tři základní případy. Je to

složené potrubí sériové, paralelní potrubí a sériové potrubí s odběrem množství.

Při sériově řazeném potrubním

systému, viz obr. 4.9, se vychází ze

skutečnosti, že pro daný průtok v potrubí Q

je výsledná ztrátová měrná energie (tlaková

ztráta, ztrátová výška) složeného potrubí

dána algebraickým součtem měrných

energií (resp. tlakových ztrát a ztrátových

výšek) jednotlivých prvků složeného

potrubního systému (platí zákon o okruzích

z teorie el. obvodů), tedy

obr. 4.9 Schéma sériově řazeného potrubního

systému


54

21212121

2121 PPPPPP

PPP HHggHppp

YYY

( 4.6.1 )

Podrobněji platí pro potrubí P1 (mezi průřezy 1-2) a potrubí P2 (mezi průřezy 2-3):

P1: 222

21

1

112

212

1

211 v

d

lgh

vpgh

vp

2

21

1

121211

v

d

lhhgpppP resp.

QQkhhgp QP 1211

P2: 222

22

2

223

223

2

222 v

d

lgh

vpgh

vp

2

22

2

232322

v

d

lhhgpppP resp.

QQkhhgp Q 2322

P(1+2):

22

22

2

22

21

1

113221

2121

v

d

lv

d

lhhhhg

ppp PPP

resp.

QQkkhhgppp QQPPP 21312121


55

0

1

2

3

4

0.000000 0.002000 0.004000 0.006000 0.008000 0.010000 0.012000 0.014000 0.016000 0.018000

Q [m3s

-1]

p P(1+2)

p P2 p P1

p [MPa]

obr. 4.10 Charakteristika sériově řazeného potrubí

4.6.2 Řešení složeného potrubního systému paralelního

Pro paralelní potrubní systém (dvě

paralelně řazená potrubí) platí rovnice

spojitosti v každém uzlu, tj. součet všech

průtoků do uzlu vtékajících a vytékajících (se

záporným znaménkem) je roven nule:

2121 PPP QQQ ( 4.6.2 )

která je analogií Kirchhoffova zákona u teorie

el. obvodů. Měrná energie, tlak resp. tlaková

výška v daném uzlu je stejná. Pro jednotlivá

potrubí platí opět Bernoulliho rovnice

obr. 4.11 Schéma paralelně řazeného potrubního

systému

P1: 222

21

1

112

212

1

211 v

d

lgh

vpgh

vp

2111221 PQ Qkhhgppp

1

211

Q

Pk

hhgpQ


56

P2: 222

22

2

222

222

1

221 v

d

lgh

vpgh

vp

2221221 PQ Qkhhgppp

2

212

Q

Pk

hhgpQ

P(1+2): 2121 PPxP QQQ

2

21

1

21

QQ k

hhgp

k

hhgp

V tomto případě se tedy sčítají charakteristiky jednotlivých potrubí podle průtoku, viz obr.

4.11.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.000000 0.020000 0.040000 0.060000 0.080000 0.100000 0.120000 0.140000 0.160000 0.180000 0.200000 0.220000

Q [m3s

-1]

Q P(1+2)

Q P2

Q P1

p [MPa]

obr. 4.12 Charakteristika paralelně řazeného potrubí

4.6.3 Výpočet rozvětvené nebo okruhované sítě

Potrubní systém je buď

jednoduchý, tvořený jedním potrubím

nebo složený, sestávající z většího počtu

potrubí tvořících obvod obsahující uzly a

větve (viz teorie elektrických obvodů),

případně zdroje kapaliny. Na jobr. 4.13 je

p

h

v U = 0

p 1

1

1

1

2 2

v 1 0

obr. 4.13 Schéma jednoduchého potrubního


57

schéma případu jednoduchého potrubního

systému.

systému

Na obr. 4.14 je schématicky

znázorněn složený potrubní systém, kde

je možno identifikovat části rozvětveného

a okružního systému v kombinaci. Řešení

takového systému je matematicky

složitější, využívá se maticového přístupu

k popisu systému a počítačů při

numerickém zpracování. Pro rozvětvenou

nebo okružní síť při izotermickém

proudění pro každou její větev

p0

1A

B

2

37

6

5

4

F

G

H

C

D

8 Diagonála

obr. 4.14 Schéma složeného potrubního systému, tj.

rozvětveného a okružního

musí platit Bernoulliho rovnice. Tak obecně pro větev mezi uzly i a 1i lze napsat:

2

1 iQiiii Qkhhgp ( 4.6.3 )

Pro každý uzel sítě musí platit rovnice kontinuity (uzlová podmínka)

0 iQ ( 4.6.4 )

což je analogie Kirchhofova zákona u elektrických obvodů, přitom průtoky mají znaménko

podle toho, jestli kapalina do uzlu přitéká nebo vytéká.

Pro okružní síť pro každý její okruh musí analogicky platit analogie druhého Kirchhofova

zákona, tj. že součet měrných energií (resp. tlakových diferencí, resp. tlakových výšek)

v jednotlivých větvích postupně sčítaných v jednom smyslu je opět roven nule (okruhová

podmínka):

0 ip ( 4.6.5 )

Celkový počet rovnic, který pro danou síť lze napsat je

kjn (4.6.6 )

kde j je počet větví a k je počet uzlů. Počet okruhů je 1 kjm . Pokud je počet rovnic

relativně malý, je možno výše uvedené systémy řešit analyticky.

Nechť je pro názornost dána okruhovaná síť [11] pro jednoduchost s jedním okruhem,

pěti potrubími a jedním vstupem průtoku 1q a výstupem 3q podle schématu obr. 4.15.


58

obr. 4.15 Schéma okruhované sítě s jedním okruhem

Okruh je označený I, uzly jsou označeny číslicemi 1-5 (náhodně) a větve písmenem P

(potrubí) a dvojicí čísel definovaných uzly, které jsou tímto potrubím spojeny, tj. P12, P23,

P34, P45 a P15, přitom pořadí uzlů nesouvisí se směrem průtoku, ten je dán znaménkem.

Pro hledané průtoky v uzlech platí uzlová podmínka, tj.

0:5

0:4

0:3

0:2

0:1

4515

3445

33423

2312

15121

QQ

QQ

qQQ

QQ

QQq

(4.6.7 )

Pro tlakový spád v okruhu platí okruhová podmínka

2

1515

2

4545

2

3434

2

2323

2

12120 QkQkQkQkQkp QQQQQI (4.6.8 )

Rovnici (4.6.7 ) lze zjednodušit tak, že všechny průtoky se vyjádří pomocí 12Q a zadaného

vstupního a výstupního průtoku 1q a 3q

1233445

12323334

1223

12115

QqQQ

QqQqQ

QQ

QqQ

Vztahy se využijí v rovnici (4.6.8 )

212115

2

12345

2

12334

2

1223

2

12120 QqkQqkQqkQkQk QQQQQ

Kvadratické dvojčleny se umocní a roznásobí:


59

c

QQQ

b

QQQ

a

QQQQQ

Q

QQQQ

qkqkqk

QqkqkqkQkkkkk

QQqqk

QQqqkQQqqkQkQk

2

115

2

345

2

334

12115345334

2

121545342312

2

12121

2

115

2

12123

2

345

2

12123

2

334

2

1223

2

1212

2

2

220

Získala se kvadratická rovnice o je jedné neznámé 12Q , kterou lze vyřešit analyticky:

a

acbbQcbQaQ

20

2

1212

2

12

Ostatní průtoky se určí zpětným dosazením.

V případě složitějšího potrubního systému se dvěma okruhy, viz schéma na obr. 4.16,

se využije výše popsaná metodika, tj. vytvoří se pět rovnic z uzlové podmínky pro průtoky

(stejný počet jako pro jeden okruh, protože počet uzlů je stejný) a dvě rovnice pro tlakové

spády z okruhové podmínky.

obr. 4.16 Schéma okruhované sítě se dvěma okruhy

Tedy rovnice ( 4.6.4 ) bude ve tvaru

0:5

0:4

0:3

0:2

0:1

452515

3445

33423

252312

15121

QQQ

QQ

qQQ

QQQ

QQq

251233445

2512323334

251223

12115

QQqQQ

QQqQqQ

QQQ

QqQ

(4.6.9 )

Bylo nutné zvolit dva neznámé průtoky (např. 12Q a 25Q ) a ostatní pomocí nich vyjádřit. Dvě

rovnice pro okruhy jsou následující


60

2

2525

2

4545

2

3434

2

2323

2

1515

2

2525

2

1212

0

0

QkQkQkQkp

QkQkQkp

QQQQII

QQQI

(4.6.10 )

Je zjevné, že dosazením průtoků z rovnice (4.6.9 ) se získají dvě kvadratické rovnice o

neznámých 12Q a 25Q . Tyto průtoky lze vypočítat jen numericky. Proto se využije

následující postup spočívající v linearizaci výše uvedených kvadratických rovnic.

Ve větvích potrubní sítě se průtoky rozdělí tak, že v každé uzavřené smyčce je součet

tlakových ztrát roven nule. Protože rozložení průtoků je neznámé, provede se počáteční

odhad těchto průtoků s tím, že platí uzlová podmínka (součet průtoků v uzlu je roven nule).

Součet tlaků v okruzích pro tako odhadnuté průtoku nebude roven nule, tedy nebude

splněna podmínka o okruzích, tj. v každém okruhu bude součet tlakových ztrát roven tzv.

reziduálu p

0 ppi (4.6.11 )

Podle velikosti reziduálu a znaménka je možno posoudit, která větev smyčky a do jaké míry

je předimenzována a naopak. Pro získání správných veličin průtoků a ztrát v úsecích sítě je

nutno korigovat nesprávně dimenzované úseky. Síť se koriguje do té doby, než všechna

rezidua neklesnou pod únosnou mez, tj. pro smyčky je 5.0 dovh m a pro sítě je

1 dovh m. Pro provedení korekce existují různé iterační metody.

Potrubní síť je popsána soustavou algebraických rovnic, z nichž k rovnic je

lineárních dle ( 4.6.4 ) a j rovnic je nelineárních (kvadratických) dle ( 4.6.5 ), přičemž

neznámými jsou průtoky v jednotlivých větvích. Při větším počtu rovnic se pro řešení využije

numerických metod pro řešení soustav algebraických nelineárních rovnic, např. Newtonovy

iterační metody. Při velkém počtu rovnic může úloha pomalu konvergovat, proto se používají

i jiné metody výpočtu, u nichž je rychlost konvergence větší. Jako příklad bude prezentována

metoda Hardy-Cross.

Ve větvích jsou označeny počáteční aproximace průtoků včetně směru a z nich jsou určeny

tlakové ztráty. Rezidua za předpokladu pro všechny smyčky jsou dána dle ( 4.6.5 ):

2

2525

2

4545

2

3434

2

2323

2

1515

2

2525

2

1212

QkQkQkQkp

QkQkQkp

QQQQII

QQQI

Předpokládá se, že při počáteční aproximaci hodnot a směrů průtoků mají rezidua ve všech

smyčkách kladná znaménka. Pak poddimenzované jsou části s pohybem ve směru

hodinových ručiček. Definují se tzv. korekční průtoky, které musí být záporné a směrovány


61

proti pohybu hodinových ručiček. Po zavedení korekčních průtoků pro oba okruhy III QQ ,

je možno zapsat následující rovnice:

0

0

2

2525

2

4545

2

3434

2

2323

2

1515

2

2525

2

1212

IIIQ

IIQIIQIIQ

IQIIIQIQ

QQQk

QQkQQkQQk

QQkQQQkQQk

Výrazy v závorkách se umocní a zanedbají se členy obsahující 2IQ , 2IIQ , které při

konvergenci výpočtu konvergují k nule a jejich druhé mocniny jsou tedy zanedbatelné, např.

IQQ

IQIIQIQ

QQkQk

QQQkQQQQkQQk

1212

2

1212

12

2

1212

0

2

12

2

1212

2

1212

2

22

Tím se získá soustava lineárních algebraických rovnic pro neznámé IQ , IIQ :

02

2

022

2525

2525454534342323

2

2525

2

4545

2

3434

2

2323

2525151525251212

2

1515

2

2525

2

1212

QkQ

QkQkQkQkQQkQkQkQk

QkQQkQkQkQQkQkQk

QI

QQQQIIQQQQ

QIIQQQIQQQ

nebo stručněji

022 2525

3

1

QkQQkQp QII

iIiQiII

022 2525

4

1

QkQQkQp QI

iIIiQiIIII

Tato soustava je jednoduchá, pro lepší přehlednost se zapíše ve tvaru

IIIIIIII

IIIIIII

pQbQb

pQaQa

se vyřeší pro neznámé IQ , IIQ eliminací následujícím postupem:


62

I

IIIIII

IIIIII

IIIIIII

IIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIII

IIIIII

I

IIIIII

I

IIIIII

a

QapQ

abba

pbpaQ

pbpaabbaQ

paQbaQabpb

pQba

Qapb

a

QapQ

,

Obecně takových rovnic je možno napsat tolik, kolik je smyček v potrubním systému. Počet

rovnic odpovídá počtu neznámých, obecný tvar rovnice je

0...222 rrQrIkkQkmiQmimi QQkQQkQkQp (4.6.12 )

kde mi je číslo smyčky, ,...,rk jsou indexy společných větví sousedních smyček. Pro

vyřešení soustavy lineárních algebraických rovnic pro neznámé miQ se užije maticového

vyjádření, tj. teorie elektrických obvodů a eliminačních nebo iteračních metod řešení

s využitím počítače. Existuje celá řada komerčních programů týkajících se výpočtu

potrubních sítí, které jsou zaměřené na rozvody vody, kanalizace, ústřední topení (s

teplotou) apod.

Odpor proti pohybu - místní odpor

63

5. Odpor proti pohybu - místní odpor

Místní odpor proti pohybu je definován ztrátovým součinitelem. Jeho hodnotu lze

v některých případech odvodit, ale zpravidla je pak korigován experimentálním měřením.

V následující kapitole bude odvozena metodika určení ztrátového součinitele v jednodušších

hydraulických prvcích s konstatntní průtočnou plochou, jako je koleno, clona, redukce apod.

a následně v prvcích s nekonstantním průtočným průřezem jako je kohout, ventil. Teoreticky

je tatokapitola shodná s kap. 3.

5.1 Experimentnální určení ztrátového součinitele

5.1.1 Koleno 450

Typickým prvkem, který se v hydraulických obvodech definuje jako místní prvek, je

koleno. Pro použití v matematických modelech je nutné určit ztrátový součinitel . Při určení

ztrátového součinitele byl využit obvod, který souží k určení ztrátových součinitelů více

prvků, viz obr. 5.1.

obr. 5.1 Obvod pro měření místních ztrát, koleno

Postup měření je shodný s postupem v 3.2 a výpočet pro průtokový součinitel je

následující. Ze změřených hodnot se vytvoří graf závislosti tlaku na průtoku, tedy

charakteristika, viz obr. 5.1.


64

obr. 5.1 Charakteristika kolena, tj. závislost tlakové ztráty na průtoku

Pro určení ztrátového koeficientu se využije metoda regresní funkce 2RQpm .

Proložením lineární závislosti se určí odpor R (obr. 5.2) a následně ztrátový součinitel:

2

2

2

2

SR

SR (5.1.1)

obr. 5.2 Závislost tlakové ztráty na druhé mocnině rychlosti a proložení lineání regresní křivky pro

určení koeficientu R .

21.3867839090.00025446*2

**. 1000

100686612

10

Pozn. Na pracovišti byly vytvořeny obvody, kde bylo využito plastových hydraulických prvků

při sestavování převážně metody svařování. Proto vychází zrátový součinitel vysoký

(minimálně o 20% vyšší než udává literatura). Ve výpočtech je pak možno zvýšit tlakový

spád na koleni a tím získat reálnější výsledky z modelování.


65

5.1.2 Clona

Clona je používána jako laboratorní i průmyslový průtokoměr založený právě na měření

rozdílu tlaků těsně před a za primárním prvkem průtokoměru. Základní skupinou těchto

průtokoměrů jsou škrtící orgány, mezi které patří clona, dýza, Venturiho trubice, atd. Měření

průtočných vlastností tvarovek a regulačních armatur a jejich cejchování by měl provádět

výrobce. Údaje výrobce bývají mnohdy neúplné a nespolehlivé, proto je často nezbytné

ověřit průtočné vlastnosti daného prvku. Základním předpokladem kvalitního měřícího úseku

je dostatečně dlouhý přívodní úsek, který umožňuje ustálení turbulentního nebo laminárního

proudění ještě před vstupním průřezem měřené armatury. Délka potrubí před a za měřícími

prvky (clonou, dýzou a Venturiho trubicí) se volí podle příslušných předpisů a norem.

Legenda:

v1……..rychlost proudění před clonou

v2……..rychlost proudění za clonou

d……..průměr otvoru škrtícího orgánu (na

obrázku je uvedena normalizovaná clona)

D…….průměr potrubí

ps….…vstupní statický tlak

p1….…snímaný tlak před škrticím orgánem

p2…….snímaný tlak za škrticím orgánem

p…....diferenční tlak (p1-p2)

pz…..trvalá tlaková ztráta

obr. 5.3 Tlakové poměry v okolí škrticího orgánu

obr. 5.4 Vývody tlakové diference.

Z předcházejícího schématu je patrné, že na cloně existuje trvalá tlaková ztráta pz, kterou je

nutné vložit do obvodu, pokud se řeší např. dynamika obvodu (pro měření průtoku se

využívá diferenční tlak p = (p1 - p2), který je dobře čitelný a má potřebný rozsah). Ztrátový

součinitel je určen shodným způsobem, jako ztrátový součinitel na koleni, viz 5.1.1.


66

Pozn. Pro určení cejchovní křivky (závislosti průtoku na diferenčním tlaku (p1-p2) ) se do

obvodu vloží další prvek kalibrovaný průtokoměr pro určení průtoku. Cejchovní křivka může

být definována při měření na U trubici závislostí průtoku Q pouze na hc, třeba i v

milimetrech, neboť v koeficientech cejchovní křivky určené regresní rovnicí se toto zohlední.

5.1.3 Kohout kulový

Prvky provádějící jakékoliv škrcení průtoku pracovního media se vyznačují vysokými

hodnotami místních odporů, jsou to například škrtící kohouty, rozváděcí ventily, jednosměrné

ventily, pojistné ventily, přepouštěcí ventily, hydraulické převodníky. Kulový kohout je dnes

velmi rozšířený prvek, tato konstrukce se začala prosazovat až v poslední době s nástupem

technologií umožňujících výrobu přesných koulí a nových těsnících materiálů.

Vlastním uzavíracím orgánem je koule, která má

válcový otvor stejného průměru jako vstupní otvor do

kohoutu, při plném otevření se tedy vytvoří přímý

průtočný kanál, bez významných hydraulických ztrát.

Uzavírání a otevírání nastává po otočení koule až o

900. Kulové kohouty jsou vhodné pro prosté uzavírání

nebo otevírání průtoku.

obr. 5.5 Kulový kohout

Schéma obvodu je stejné jako na obr. 5.1 a postup měření také. Pro měřený kulový

kohout KK1 byly určeny čtyři polohy uzavření, od plného otevření až po čtvrtou polohu před

téměř úplným uzavřením dovolující úspěšné měření. Poloha pátá, tj. zavřeno, je neměřitelná

a odpovídá 90°.

Poloha 1- 0° Poloha 2- 20° Poloha 3- 40° Poloha 4- 60° Poloha zavřeno

obr. 5.6 Kulový kohout

Grafické vyhodnocení měření

Postupem uvedeným v kapitole o určení ztrátového součinitele na koleni se určí pro čtyři

varianty otevření kohoutu čtyři charakteristiky, viz obr. 5.7, které jsou ale dle definice obrácené,

tedy

pSQ

2


67

kde Q je průtok škrtícím ventilem, je průtokový součinitel, S je průtočná plocha ventilu a

je měrná hmotnost kapaliny a graficky se jedná o obrácené paraboly. Prakticky lze ale

využít klasickou definici p-Q charakteristiky a metodiku dle kap. 3.2 a určit ztrátový součinitel

a následně průtokový součinitel

obr. 5.7 Charakteristiky p-Q pro různé otevření kohoutu

Určí se čtyři ztrátové součinitele pro tyto čtyři variaty. Podle návodu na určení ztrátového

součinitele pro koleno je možno určit ztrátový součinitel lineární regresí, viz obr. 5.8.

2

1112

2

2

2

SR

SR

SR


68

obr. 5.8 Graf pro určení průtokového součinitele

Pro jednotlivá otevření se označí 600,..., a vykreslí tato závislot graficky, viz obr. 5.9.

obr. 5.9 Graf pro určení ztrátového součinitele v závislosti na oteření


69

V programu SimHydraulics se takový kohout zadává několika variantami, z čehož pak

vyplyne další upřesnění vstupních dat:

A) maximální průtočná plocha a otevření (By maximum area and opening). Mezi

krajními polohami otevření a zavření je lineární závislost. Tato metoda je nejméně přesná,

nebo vhodná pouze pro polohu otevření a uzavření kohoutu.

B) závislostí průtočné plochy na otevření (By area vs. opening table). Zde se zadává

otevření kohoutu formou vektoru a k němu odpovídající bude i vektor průtočných ploch

příslušných ke každému otevření kohoutu. Dále je nutno definovat průtokový součinitel pro

plné otevření kohoutu.

C) charakteristikou Qfp (By pressure-flow characteristics). Zde je nutné zadat

opět vektor otevření kohoutu, k němu příslušný vektor tlakových spádů na kohoutu a

dvojrozměrný vektor, tedy matici, ve které budou zapsány vektory průtoku pro shodný vektor

tlaků. Podle počtu otevření bude mít matice počet řádků a podle počtu tlakových spádů bude

mít matice sloupců.

ad B) Nejoptimálnější variantou je druhá možnost, tedy závislost průtočné plochy na úhlu

otevření při konstantním průtokovém součiniteli (pro všechny varianty otevření). Jak již bylo

řečeno, pro určení průtokového součinitele je možno pokračovat metodou linearizovaných

grafů 2Qfp . Nechť je kohout zcela otevřený, pak průtočná plocha je maximální a je

rovna průtočné ploše okolního potrubí 0S . Koeficient 0 lze určit ze ztrátového

součinitele určeného z křivky pro plné otevření kohoutu 2

11

SR

2

11

00

0

SR

Tedy průtokový koeficient je určen a je konstantní i pro charakteristiky při částečném

otevření kohoutu. Při definování dalších charakteristik se tedy musí měnit průtočná plocha,

kterou lze určit např. z výkresové dokumentace, kde se nezohlední ztráty z důvodu zavíření

proudu, ale mnohem snažší je použít charakteristiky z experimentu. Další průtočné plochy

pro otevření 200 , 400 a 600 se určí z dalších charakteristik kohoutu, ale průtokový součinitel

bude konstantní, tedy pro otevření 200 platí

0

0

2020

2

20

2

0

2

0

2

20

202

11

2

11

SS

SSR

( 5.1.2)


70

Další průtočné plochy se určí analogicky.

Výsledky pro tento ventil je možno shrnout do tabulky

otevření S

0° 1.314430273 0.0002545

20° 1.314430273 0.0001717

40° 1.314430273 0.0000561

60° 1.314430273 0.0000272

obr. 5.10 Hodnoty průtokového součinitele a průtočné plochy pro různé otevření ventilu

Optimální je mít naměřeno více charakteristik pro další otevření ventilu, protože výpočet

bude přesnější.

ad C) Zde je nutné zadat opět vektor otevření kohoutu, k němu příslušný vektor tlakových

spádů na kohoutu a dvojrozměrný vektor, tedy matici, ve které budou zapsány vektory

průtoku pro shodný vektor tlaků. Podle počtu otevření bude mít matice počet řádků a podle

počtu tlakových spádů bude mít matice sloupců. Z měření na kohoutu je první slupec

definován 4 hodnotami otevření, což je počet charakteristik. Počet tlaků je libovolný


71

v rozmezí 0 až 8000 Pa. Problém je, že nelze definovat pro malá otevření hodnoty půtoku na

charakteristikách, jak je patrné z obr. 5.11.

Tab. 5.1 Maticový zápis hodnot pro definici kohoutu

Npppp 321

60

40

20

0

N

N

NOO

NNO

QQQQ

QQQQ

QQQQ

QQQQ

,603,602,601,60

,403,402,401,40

,203,22,21,20

,03,2,01,0

.

obr. 5.11 Charakteristiky Q-p pro různé otevření ventilu

Tato metoda by byla použitelná pro malý rozsah otevření kohoutu, např. pro 0o, 2o, 4o, 6o, 8o ,

10o , tj pro charakteristiky blízké. Je možné samozřejmě pro definování dalších potřebných

bodů charakteristiky použít regresní křivky, ale pak je otázka, jaký kohout bude definován.


72

5.2 Hyraulické prvky jako místní odpory

5.2.1 Otvor konstantního průřezu (clona)

Clona je používána jako průmyslový průtokoměr. Při řešení dynamiky obvodu je nutné

tlakovou ztrátu trvalou tlakovou ztrátu p zohlednit v obvodu. Prvek pro definování trvalé

tlakové ztráty na cloně je následující:

Otvor konstantního průřezu (clona) (Constant Area Orifice) definuje

průtok ostrohranným otvorem (clonou).

(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/)

Průtok je dán rovnicí:

cr

cr

ReRepro..2

ReRepro.2

..

pD

AC

psignpAC

QH

DL

D

kde

Q průtok

p tlaková diference

DC průtokový součinitel

A průtočná plocha otvorem

HD hydraulický průměr otvoru

crRe kritické Reynoldsovo číslo


73

5.2.2 Lineární hydraulický odpor

Lineární hydraulický odpor (Linear Hydraulic Resistence) definuje obecný

linární nebo linearizovaný místní odpor.

(Simulink/Simscape/Foudation library/ Hydraulic/Hydraulic elements/)

Lineární odor je definován

RQp

Odpor plyne z Bernouliho rovnice pro laminární proudění, pro turbulentní je nutno jej

linearizovat.


74

5.2.3 Redukce

Náhlá změna průřezu - redukce (Sudden Area Change) definuje odpor při

náhlém rozšíření nebo zúžení průřezu

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/ Local Hydraulic Resistances/)

Ztrátové součinitele jsou dány:

75,0

15,0.

L

ScorrSC

A

AKK

kde

SEK ztrátový součinitel při náhlém rozšíření (enlagement) (proudění od A do B)

SCK ztrátový součinitel při náhlém zúžení (contraction) (proudění od B do A)

LSA , malá (small) resp. velká (large) průtočná plocha kolenem

Model parametrizace definuje způsob vyčíslení odporového součinitele (analogie s prvkem

Local Resistance, viz kap. 3.4).

- By semi-empirical formulas – bude použit výše uvedený vztah a ztrátové

součinitele


75

- By loss coeff. vs. Re table – vloží se vektor ztrátového součinitele a

odpovídající Reynoldsovo číslo jak pro proudění ve směru rozšíření, tak i

zúžení zároveň.

5.2.4 Koleno

Koleno (Elbow) definuje odpor kolena v závislosti na úhlu a zaoblení

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Local Hydraulic Resistances/)

QQA

Kp22

kde VQ průtok


K ztrátový součinitel

A průtočná plocha kolenem

TfK 30 pro úhel 900

51070330142030 .,,TfK pro jiné úhly

kde Tf je třecí součinitel, který se počítá jako pro potrubí


76

5.2.5 Otvor proměnného průžezu

Odpor proměnného průřezu (Variable Area Hydraulic Orifice) definuje

odpor prvku (např. ventilu) při různém uzavření ventilu. Blokové připojení A

a B odpovídá hydraulickému vstupnímu a výstupnímu kanálu. Připojením

S (AR) můžeme řídit otevírání a zavírání ventilu.

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Orifices/ nebo

Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/)

cr

cr

ReRepro..2

ReRepro.2

..

pD

AC

psignpAC

QH

DL

D

kde

Q průtok



A průtočná plocha otvorem


77

HD hydraulický průměr otvoru

crRe kritické Reynoldsovo číslo

Průtočná plocha se mění v závislosti na otevření ventilu, tedy na řídícím parametru.

0

0*max

max

hA

hAh

Ah

hA

leak

leak

orxxh *0 , hA

DQ HVRe ,

cr

DDL

CC

Re,

hADH

4

kde

maxA maximální průtočná plocha otvorem

maxh maximální hodnota posunutí

0x počáteční otevření

x řízené posunutí z počáteční pozice

h otevření

or indikátor orientace, který je +1, jestliže posunutí v kladném smyslu otevírá otvor,

-1, jestliže posunutí v kladném smyslu zavírá otvor

leakA průtočná plocha při uzavřeném ventilu

V dialogovém okně si lze vybrat tři druhy parametrizace:

1. Maximální průtočná plocha a otevření (By maximum area and opening)


78

Lze experimentálně nebo v závislosti na dostupných datech editovat hodnoty pro maximální

průtočnou plochu ventilu a maximální otevření ventilu.

Maximální průtočná plocha (Orifice maximum area) - zadává se hodnota maximální

průtočné plochy, kterou je možno získat z katalogových listů výrobce nebo se může vypočíst.

Maximální otevření (Orifice maximum opening) - specifikuje maximální otevření, tedy

hodnotu maxh , která se definuje dle parametrů řízení uzavírání.

Orientace otevření (Orifice orientation) – +1 nebo -1

Výtokový součinitel (Flow discharge coefficient) – odhad např. z měření

Počáteční otevření (Initial opening) - parametr určuje počáteční otevření ventilu. Jelikož

potřebujeme, aby byl ventil v jedné z poloh plně otevřen a v druhé uzavřen, ponecháme

implicitně nastavenou hodnotu 0.

Kritické Reynoldsovo číslo (Critical Reynolds number) - jedná se o maximální hodnotu

Reynoldsova čísla pro laminární proudění. Předpokládá se přechod z laminárního proudění

na turbulentní při této hodnotě. Hodnota závisí na geometrických vlastnostech ventilu.

Lekáž (Leakage area) - specifikuje celkovou plochu z eventuálních netěsných spojů při

plném uzavření.

2. Závislost průtočné plochy na otevření (By area vs. opening table)


79

Zde se zadává otevření formou vektoru a k němu odpovídající bude i vektor průtočných

ploch, viz kap.5.1.3, obr. 5.10.

Otevření ventilu (Tabulated orifice openings) - zde se vypíší formou vektoru hodnoty od

příslušného zavření 0 až do max. hodnoty (hodnoty, ve kterých se provedlo měření, např.

úhel otevření)

Průtočná plocha (Tabulated orifice area) - pro každou hodnotu ve vektoru pro otevření

se zadá hodnota průtočné plochy opět ve formě vektoru. Počet průtočných ploch musí

odpovídat počtu otevření.

Interpolační metoda (Interpolation Method) - lze vybrat ze tří interpolačních metod,

které slouží pro interpolaci mezi vektorovými hodnotami

Extrapolační metoda (Extrapolation Method) – slouží k extrapolaci vektorových hodnot

mimo definovaný rozsah.

3. p – Q charakteristiky (By pressure-flow characteristic)


80

Zadává se pro každou hodnotu otevření p – Q charakteristika. Tedy charakteristika je

dána maticí. Použití této metody má velké omezení zvláště pro definování maximálního

otevření až po úplné uzavření.

Pro praktické použití je dostatečně přesná druhá metoda.

5.3 Pneumatické prvky jako místní odpory

5.3.1 Proudění plynu otvorem

Prvky pneumatické jsou zatím zpracovány pouze na úrovni základních a tedy také

zjednodušených prvků hydraulických a nacházejí se pouze v knihovně

Simulink/Simscape/Foudation library/Pneumatic/. Většina modelů je založena na

následujících předpokladech,:

- Plyn je ideální

- Měrné tepelné kapacity (cp, cv) při konstantním tlaku a objemu jsou konstantní.

- Proces musí být adiabatický, tzn. neexistuje žádný přenos tepla s okolím.


U tepelného toku (proudění tepla) do a z otvoru se předpokládá jejich rovnost na základě

následujících hledisek:

- Otvor je ostrohranný a jako takový je charakterizován náhlou změnou navazujícího

prostoru. To znamená, že prakticky všechen dynamický tlak se ztratí v expanzi.

- Ztrátová energie se objeví ve formě vnitřní energie, která zvedne výstupní teplotu a je

velmi blízká teplotě vstupní.

Tyto předpoklady nebudou dále u jednotlivých prvků opakovány.


81

POZN.: PROUDĚNÍ PLYNŮ ZÚŽENÍM (Janalík)

Adiabatická změna stavu je v technických aplikacích

velmi častá. Adiabatická stavová změna je popsána

Poissonovou rovnicí

11 konstpkonst

p

Adiabatický děj probíhá v plynu, je-li tento dokonale

tepelně izolován. Pro stav 1 a 2 z předchozí rovnice se

pro poměr tlaků a teplot dostane

1

2

1

2

p

p,

1

1

2

1

2

p

p

T

T

Bernoulliho rovnice pro adiabatické proudění dokonalého plynu pak je

.1212 2

222

1

121 konst

pvpv

(využije se následující:

111 konstkonstddp

konstp

konstkonstdkonstdp

1111 12 )

Pro plyny, které mají v porovnání s kapalinami malou hustotu, se Bernoulliho rovnice upraví

na tvar

.1212

2

22

1

21 konstrT

vrT

v

Neboť platí stavová rovnice Trp

Tr

p.

.

.Zavede-li se rychlost zvuku Tra ..2 ,

potom Bernouilliho rovnice nabývá další tvar

.1212

22

22

21

21 konst

avav

Klidový, nebo také stagnační stav bývá obvykle stavem fiktivním, dá se ale dobře představit

např. jako stav plynu v nekonečně velké nádrži, ze které do sledovaného systému vytéká

tekutina. Druhým příkladem je obtékání těles, kde na jeho obtékaném povrchu je bod s

nulové rychlosti proudu, nebo též stagnační bod.


82

Rovnice Saint Vénantova - Wantzelova

Úkolem je odvodit rovnici pro výtokovou rychlost

z Bernoulliho rovnice

0

020

2

1212

pvpv

a stavové rovnice rTp

rT

p

odkud vypočítáme kvadrát výtokové rychlosti

TTcvTTr

vpp

vv p

0

200

20

0

020

2 21

..2

1

2

Další úpravou pro rozdíl kvadrátů rychlostí dostaneme

1

00

0

1

0

0

0

0

2

0

2 11

.21.

1

212

p

pp

p

pTr

T

TTcvv p .

V nádobě je rychlost plynu nulová (vo=0 - stagnační bod), pro výtokovou rychlost

z předcházející rovnice dostaneme rovnici Saint Vénantovu – Wantzelovu

TTr

T

TrT

p

prT

p

ppv o

0

0

0

1

0

1

00

0

1

.21

1

21

1

21

1

2

.

Pro výtok do vakua, kde pe = 0, T = 0, bude výtoková rychlost největší a je dána rovnicí

00

0max

1

..2

1

2rT

pv

.

Poměr výtokové rychlosti a max. rychlosti je dán vztahem

0

1

0max

11T

T

p

p

v

v

.

Poměr kritických veličin k veličinám ve stagnačním bodě.

Když rychlost proudění dosáhne rychlosti zvuku, mluvíme o tzv. kritickém stavu, kdy

všechny stavové veličiny jsou veličinami kritickými. Když položíme a2 = v2 = a*2 = v*2 , po

úpravě pro kritickou rychlost dostaneme

0

00

**

1

.2

1

2

prTav

.


83

Dříve odvozené vztahy pro výpočet rychlosti zvuku platí i pro kritický stav

*

*

** .. Tr

pa

. Pak pro poměr tlaků a následně i dalších stavových veličin získáme

velmi důležitý základní vztah

1

0

*

1

2

p

p,

1

2

0

*

T

T,

1

1

0

*

1

2

,

1

2

0

*

0

*

T

T

a

a .

Z těchto rovnic plyne zajímavý

poznatek a sice, že kritický stav

izoentropního proudění ideálního

plynu závisí pouze na jeho

stagnačním stavu. Odvozené

rovnice za týchž podmínek pro

různé plyny jsou závislé pouze na

izoentropickém součiniteli a

tím pouze na počtu atomů

v molekule plynu.

Kritický stav ideálního plynu

Poměr veličin Vzorec Plyn

jednoatomový

Plyn

dvouatomový

Plyn

tříatomový

Součinitel adiabaty κ 1,6667 1,4 1,3333

Tlak p* / p0 0,4871 0,5283 0,539

Teplota T* / T0 0,75 0,8333 0,857

Hustota ρ*/ ρ0 0,6495 0,6165 0,629

Měrný objem v* / v0 1,5396 1,6221 1,5898

Rychlost zvuku a* / a0 0,866 0,9129 0,9258


84

Výtok zužující se tryskou

Trubice proměnného průřezu

se obecně nazývá tryska

nebo také dýza. Při proudění

tryskou se vnitřní a tlaková

energie proudící stlačitelné

tekutiny – plynu mění (

transformuje) na energii

kinetickou.

Nechť tekutina vytéká nerozšířenou tryskou z rozměrné nádoby do prostředí s teplotou Te a

tlakem pe, tento tlak se také nazývá protitlak. Výtokový otvor má průřez S2 , a je v něm tlak

p2 , teplota T2 , při čemž T2 ≠ Te a rychlost v2 . Tlak v ústí trysky p2 nemusí být totožný

s tlakem okolí pe . Šrafovaná plocha v p – v diagramu uvádí měrnou technickou práci at ,

která se přemění (transformuje) v kinetickou energii proudící tekutiny ( plynu). Pro kritický

výtok by technická práce byla větší, vyšrafovaná plocha by sahala až k tlaku p*, při výtoku

do vakua by technická práce byla největší.

U nerozšířené trysky se hlavně používá podzvukové rychlosti, tj. pro obor tlakových poměrů

0

*

0

1p

p

p

pe . V uvedeném rozsahu tlakových poměrů je i případ, že p2 = pe. Při

izoentropickém proudění ideálního plynu je výtoková rychlost v2 dána rovnicí Saint

Vénantovou – Wantzelovou

1

0

20

1

0

2

0

02 1.

1

21

1

2

p

pTr

p

ppv ,

hmotnostní průtok se stanoví z rovnice kontinuity ***

222 SvSvQm . Po dosazení do

rovnice spojitosti za rychlost v2 potom hmotnostní průtok je

1

0

22

2

0

02

1

0

2

0

022 1.

1

21

1

2.

p

ppS

p

ppSQm .

Po jednoduché úpravě s využitím stavové rovnice se tato rovnice upraví


85

1

0

2

2

0

202

1

0

2

2

0

2002 1

1

21

1

2

p

p

p

prTS

p

p

p

ppSQm .

Při výpočtu rychlosti plynu, stavových veličin nebo průřezu trysky podél osy trubice

v obecném průřezu se nahradí index 2 indexem obecného průřezu. Další úpravu rovnice pro

hmotnostní průtok Qm se může provést s využitím rovnice pro Machovo číslo a rovnice pro

bezrozměrný průřez

11

21

1

2

..

1

0

0

p

p

T

T

Tr

v

a

vMa ,

12

12

* 1

211

Ma

MaS

S.

Hmotnostní průtok Qm dosáhne své maximální hodnoty při Ma = 1, tj. v okamžiku,

kdy se výstupní průřez stane kritickým a tlak rovněž nabude kritické hodnoty - p = pe = p*.

Při libovolných jiných protitlacích pe nemůže hmotnostní průtok Qm přestoupit kritickou a

tím i maximální hodnotu. Pro hmotnostní průtok Qm lze odvodit rovnici

.....1

200

12

1

pSQm

,

kde S

S*

je poměr kritického a obecného průřezu a pro Ma=1 je Ө=1.

Z předcházející rovnice, když Ma = 1 , pro kritický průtok Q*m platí

....

1

200

12

1

*

pSQQ mMAXm

a

1

0

2

0

1

1

*1

2

1

1

2

p

p

p

p

Q

Q

Q

Q ee

mMAX

m

m

m

Pro další výklad bude užitečné graficky znázornit poslední rovnici, tj. stanovit

závislost

0p

pf

Q

Q e

mMAX

m .


86

Obr. 6.2 Závislost

0p

pf

Q

Q e

mMAX

m pro vzduch

5.3.2 Pneumatický otvor konstantního průřezu (clona)

Pneumatický otvor konstantního průřezu (Constant Area Pneumatic

Orifice) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou).

(Simulink/Simscape/Foudation library/ Pneumatic/Pneumatic elements/)

Blok slouží k modelování hmotnostního průtoku ideálního plynu přes ostrohranný otvor.

Průtok je úměrný oblasti (ploše) clony a diferenčnímu tlaku. (rozdílu tlaku před a za clonou).

Podkritický průtok je popsán rovnicí

1

0

2

01

1

2

iii

idp

p

p

p

RTApCG

kde G hmotnostní průtok


A průtočná plocha clony

oi pp , absolutní tlak před a za clonou

podíl specificých tepel při konstantním tlaku a průtoku

R měrná plynová konstanta

iT absolutní teplota za clonou

Nadkritický průtok nastane v definovaném kritickém poměru tlaků 1

0

1

2

i

crp

p.

Poté hmotnostní průtok závisí pouze na vstupním tlaku a je počítán


87

1

cr

i

idRT

ApCG

Odmocnina má nekonečně velkou hodnotu při nulovém průtoku, což způsobuje numerické

potíže. Proto pro malé tlakové diference pro 999.00 ip

p se tato rovnice za mění za

linearizovanou

0

5.0 ppATkCG iid

kde k je konstanta


Jak je patrné, na tomto bloku lze nastavit velikost výtokového součinitele a plochy clony.

Hodnota výtokového součinitele je závislá na geometrických vlastnostech otvoru a obvykle je

k dispozici v učebnicích a technických listech výrobců.

5.3.3 Pneumatický otvor konstantního průřezu (ISO 6358)

Pneumatický otvor konstantního průřezu (Constant Area Pneumatic

Orifice ISO 6358) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou).


Blok obsahuje pouze dva pneumatické porty A a B. Pozitivní směr bloku je od portu A k portu

B, to znamená, že průtok je pozitivní pokud vede z A do B. Blok Slouží k simulování

(modelování) průtoku ideálního plynu přes ostrohrannou clonu v souladu s normou ISO

6358. Model je popsán následujícími rovnicemi proudění:


88

)(

)(1

1

)min(1

0

0

2

0

00

01

režimnadzvukovýbp

pjestliže

T

TCp

režimpodzvukovýbp

pjestliže

b

bp

p

T

TCp

režimárnílap

pjestližeppsign

T

T

p

ppk

G

ii

ref

refi

i

lami

i

ref

refi

lam

i

i

i

ref

i

i

2

11

11

1

b

bCk lam

ref

lam

kde G hmotnostní průtok

lam podíl tlaků při laminárním proudění 999.0;995.0lam

b kritický podíl tlaků za a před clonou, kdy rychlost plynu dosáhne rychlosti

zvuku

C zvuková vodivost [dm3/s*bar], což je poměr mezi hmotnostním průtokem a

součinem vstupního tlaku a hustoty pro standartních podmínkách, když je proudění

nadzvukové,

ref hustota plynu, při kterém je vodivost měřena ( ref =1.185 kg/m3)

refT teplota plynu, při které je vodivost měřena ( refT =293.15 K)

oi pp , absolutní tlak před a za clonou

oi TT , absolutní teploty před a za clonou

Rovnice samotné, parametry b a C a metodika o tom jak měřit tyto parametry

experimentálně tvoří základ pro normu ISO 6358. Hodnoty kritických tlakových poměrů b a

zvukové vodivosti C závisí na konkrétním provedení součásti. Obvykle jsou stanoveny

experimentálně a někdy bývají uvedeny na technických listech součástí. Blok může být také

parametrizován efektivní plochou clony nebo pomocí průtokového koeficientu, namísto

zvukové vodivosti. Pak jsou blokové parametry převedeny na odpovídající hodnotu pro

zvukovou vodivost. Při zadávání efektivní oblasti se používá následující vzorec navržený

Gidlundem:

2128.0 dC


89

kde C je zvuková vodivost [dm3/s*bar], d je vnitřní průměr clony [mm]. Efektivní plocha za

předpokladu kruhového průřezu se používá ke stanovení vnitřního průměru d.

Gidlundův vzorec dává vztah mezi kritickým poměrem tlaků a pneumatickým průměrem:

D

db 272.041.0

Tato rovnice není součástí bloku a je nutné určit kritický tlakový poměr přímo.

Je-li clona parametrizována pomocí vodivosti průtokového součinitele Cv (US galon / min při

tlakové ztrátě 1 psi a při teplotě 60 °F), pak tento koeficient se přepočítá na efektivní plochu

clony užitím Girlundovy formulace:

VCeA *56986.1

Je-li clona parametrizována pomocí průtokového součinitele Kv (m3 / hod), pak tento

koeficient se přepočítá na efektivní plochu clony užitím Girlundovy formulace:

VCeA *61785.1

kv - faktor Metrický údaj v „normálních litrech za minutu“ (dmn

3/min). Tento údaj se vztahuje na měření, provedená s vodou o teplotě 5 až 30 °C. Faktor kv je roven 1, když při tlakové ztrátě 1 baru proteče ventilem za minutu 1 litr vody teplé 4 °C. Faktory Kv, kv Cv a f jsou porovnávací faktory. Kv - faktor Odpovídá faktoru kv, ale průtok je vyjádřen v m3/h. Cv - faktor Obdoba výše uvedených faktorů, ale vyjádřená v anglosaských jednotkách. Údaje jsou vztaženy na průtok 1 US galonu (3.79 l) vody za minutu při tlakové ztrátě 1 psi a při teplotě 60 °F (libra/palec2 = 0.007 MPa při teplotě 15.6 °C). f - faktor Měření za stejných podmínek jako Cv faktor ale s průtokem 1 imperiálního (britského) galonu (4.54 vody za minutu při tlakové ztrátě 1 psi a při teplotě 60 °F (libra/palec2 = 0.007 MPa při teplotě 15.6 °C). Poměrný průřez S (mm2) Tento údaj, získaný měřením průtoku vzduchu, představuje ventil nebo celou soustavu prvků, jako plochu otvoru měřicí clony, kterou proteče udaný objem vzduchu. Na obr. jsou uvedeny různé faktory, používané k vyjádření objemu vzduchu, který proteče daným prvkem. V šipkách mezi jednotkami jsou uvedeny násobné koeficienty pro jejich vzájemný převod.


90

zdroj SMC training


Provádí se v dialogových oknech v závislosti na zvolené specifikaci otvoru.

Clona může být specifikována:

- Podle zvukové vodivosti („Sonic conductance“) – zadáváme hodnotu zvukové

vodivosti otvoru. Jedná se o předdefinovanou metodu

- Efektivní plocha („Efective area“) – zadáváme hodnotu efektivní plochy clony. Tato

hodnota je vnitřně převedena do bloku jako ekvivalentní hodnota zvukové vodivosti.

- Pomocí součinitele Cv nebo Kv („Kv nebo Cv coefficient“) – zadáme příslušnou

hodnotu součinitele. Tato hodnota je vnitřně převedena do bloku jako ekvivalentní

hodnota zvukové vodivosti.


91

Dialogové okno bloku pro nastavení pomocí zvukové vodivosti

Dialogové okno pro nastavení pomocí efektivní plochy


92

Dialogové okno pro nastavení pomocí Cv koeficientu

Dialogové okno pro nastavení pomocí Kv koeficientu

Další parametry zadávané do dialogového okna:

- Do červeného rámečku zadáváme hodnotu kritického poměru tlaků. Jedná se o

poměr, při kterém dosáhne rychlost plynu rychlosti zvuku.

- Do zeleného rámečku zadáváme tlakový poměr při laminárním proudění. Tato

hodnota může být nastavena v rozsahu 0,995 - 0,999.

- Do fialového rámečku zadáváme teplotu za standardních podmínek. Jedná se o

teplotu plynu, při které byla naměřena zvuková vodivost

- Do oranžového rámečku zadáváme tlak za standardních podmínek. Jedná se o tlak

plynu, při kterém byla naměřena zvuková vodivost.

5.3.4 Pneumatický otvor proměnného průřezu

Pneumatický otvor proměnného průřezu (Variable Area

Pneumatic Orifice) definuje průtok ostrohranným otvorem (clonou). Slouží

k simulování hmotnostního průtoku ideálního plynu přes proměnlivou oblast


93

otvoru. Porty A a B jsou vstupní a výstupní pneumatické porty. Plocha

otvoru (clony) je počítána mimo tento blok a je přivedena přes port AR.

Průtok otvorem je úměrný ploše clony a diferenčnímu tlaku.


Samotný popis bloku je identický s blokem předchozím („Constant Area Pneumatic Orifice“).

K výpočtu tedy uplatňují předchozí rovnice.


Popis:

- V kolonce označené červeným rámečkem nastavujeme hodnotu výtokového

součinitele, který je závislý na geometrických vlastnostech otvoru a obvykle je

k dispozici v učebnicích a technických listech výrobců.

- V kolonce označené zeleným rámečkem nastavujeme minimální hodnotu průtočné

plochy. Pokud vstupní signál (port AR) poklesne pod tuto hladinu, je plocha

nastavena na tuto hodnotu.

Hydrogenerátor

94

6. Čerpadla - hydrogenerátory

Všeobecně typy čerpadel závisí na způsobu zvyšování energie kapalin, tj. rozlišují se

čerpadla hydrostatická a hydrodynamická.

U hydrostatických čerpadel se mechanická energie se mění na tlakovou energii

tlmech WW

tlmech WW = pohybem pístu ve

válci (sání a výtlak kapaliny)

Hydrostatická čerpadla se dělí na:

rotační čerpadla, dopravující kapalinu točivým pohybem činné části rotoru, rozlišují se

na zubová, vřetenová, lamelová, čerpadla s rotujícími písty, čerpadla s odvalujícím se

pístem.

čerpadla s kmitavým pohybem, která dopravují kapalinu kmitavým vratným pohybem

činné části v tělese čerpadla. Rozdělují se :

podle tvaru činné části na čerpadla pístová, plunžrová, membránová,

vlnovcová, křídlová

podle počtu válců

podle vykonané práce během jednoho dvojzdvihu

podle uspořádání činných částí vyvozujících tlak

podle způsobu rozvodů čerpané kapaliny

podle kinematiky hnacího mechanismu

čerpadla s jiným pohybem, např. hadicová čerpadla.

kombinovaná čerpadla stejného nebo různého konstrukčního provedení, zapojených

za sebou (sériově) nebo vedle sebe (paralelně).

Čerpadla hydrodynamická přeměňují mechanickou energii na kinetickou energii a

následně na tlakovou energii tlkinmech WWW

Hydrogenerátor

95

kinmech WW = v oběžném kole

tlkin WW = v rozváděči

mají menší účinnost

Rotační hydrogenerátor

96

7. Rotační hydrogenerátor

7.1 Teoretický rozbor

y

1

2

pV

2Q

2p

p1

Q1

M

0

Q

p

Z =0

Z =konst

Z =kons

V

V

V

obr. 7.1 Schéma rotačního HG Statická charakteristika HG

V hydraulickým mechanizmech se uskutečňuje převod energie z pevných částí na

sloupec kapaliny prostřednictvím hydrogenerátoru. Označení základních veličin je použito

dle schématu. Statická charakteristika hydrogenerátoru je dána závislostí průtoku Q na

tlakovém spádu p nebo opačně. Jedním ze základních parametrů hydrogenerátoru, který

je dán konstrukcí, je teoretický objem tV . Matematický model regulačního hydrogenerátoru je

určen rovnicemi pro moment hydrogenerátoru M a pohybovými rovnicemi pro průtoky 1Q a

2Q , podobnými rovnicím hydromotoru. Nutno přihlížet ke změně smyslu proudění, což se

projeví ve změně znaménka.

7.2 Matematický model hydrogenerátoru

Pro skutečný průtok hydrogenerátorem platí

laminární nebo linearizované proudění turbulentní proudění

pZynVQQQ vtzt pkpkynVQQQ tzt 21 ( 7.2.1)

kde 21,kk jsou součinitelé hydraulických ztrát hydrogenerátoru, vnitřní tzv. svodová

propustnost je určena vztahem v

vRp

QZ

1

a teoretický průtok je dán tt ynVQ .

Pro skutečný moment hydrogenerátu platí


pknbpV

y

MMM

nt

zt

32

pknbnbMp

Vy

MMM

oct

zt

3

2

12

( 7.2.2)


97

kde vnitřní tzv. svodová propustnost je určena vztahem Rp

QZ

1

a

332

kV

k t

, 03 k (zjednodušeně lze předpokládat 03 k ), y je parametr nastavení

hydrogenerátoru , i

MM z je moment hydrogenerátoru, což je moment zatížení redukovaný

na hřídel hydrogenerátoru [N.m].

Rovnice pro průtok a moment neregulačním hydrogenerátorem lze souhrnně zapsat


pZnVQ t

nbMpkM nc 3

pkpknVQ t 21 2

103 nbnbMpkM c ( 7.2.3)

Výše uvedená soustava je soustavou o neznámých pQ , . K vyřešení je třeba dvě

proměnné volit jako vstupní signál a zbývající dvě spočítat. Tyto dvě veličiny mohou být

definovány jako funkce určené regresí z měření.

7.3 Základní parametry čerpadel

Každé čerpadlo je charakterizováno průtokem Q , který má rozměr udávaný podle

velikosti čerpadla 131113 hm,lmin,ls,sm , otáčkami n 1s , měrnou energií Y 22sm ,

případně dopravní výškou H m , výkonem h

P W , příkonem p

P W , účinností a

kavitačními (sacími) vlastnostmi.

obr. 7.2 – Schéma kola hydrodynamického čerpadla a rychlostní trojúhelníky


98

Geometrie Tlak

Rychlost Energie

obr. 7.3 Rozložení rychlosti, tlaku a energie v oběžném kole hydrodynamického čerpadla

7.4 Charakteristika čerpadla

Charakteristika čerpadla je křivka závislosti skutečné měrné energie Y (resp.

skutečné dopravní výšky H , tlakového spádu p ) na průtoku Q . K této základní

QY charakteristice se připojují křivky výkonu QPh , účinnosti Qc a měrné


99

energie pro potrubí QYP , viz obr. 7.4. Charakteristiku čerpadla nelze určit přímo,

protože složité proudění v oběžném kole a difuzoru a především hydraulické ztráty

z geometrických charakteristik a provozních podmínek čerpadla nelze matematicky prozatím

kvantitativně přesně popsat. Rozbor hydraulických ztrát lze však provést kvalitativně.

Dílčí charakteristiky jsou:

měrná energie čerpadla konstnQfY

účinnost čerpadla konstnc Qf

výkon čerpadla konstnh QfP

charakteristika potrubí konstnP QfY

Provozní bod čerpadla cc QY ; je dán průsečíkem závislosti QY a charakteristiky potrubí

QYP .

0

40

80

120

160

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Objemový průtok Q [m3/s]

Mě

rná

en

erg

ie č

erp

ad

la Y

a p

ort

ub

í Y

p

[J/k

g]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Účin

no

st

čerp

ad

la [

%]

Y

Yp

pracovní bod

obr. 7.4 Charakteristika čerpadla

Charakteristiky čerpadla lze měřit dle návodu v kapitole 14.7.

Příklad 1D charakteristiky čerpadla WILO RS 25/4 230 V PN 10

Údaje o čerpadle, které je používáno v teplovodních topenářských systémech a

laboratorních podmínkách, je možno nálézt v internetu nebo získat měřením. Konkrétně

čerpadlo WILO RS 25/4 má podrobné informace v internetu včetně změřených charakteristik.

Čerpadlo bezúdržbové, mokroběžné topenářské Wilo

Rozteč 180 mm. Napájení 1x230 V/50 Hz. Provozní tlak PN


100

10. Teplota -10 až 110°C. Max. dopravní výška 4 m. Max.

otáčky 2000 ot/min. Světlost DN 1". Připojení závit G 1 1/2"

(6/4"). Těleso čerpadla z šedé litiny.

Technické parametry:

- Čerpané médium: užitková voda

- Provozní teplota: 20 - 100 °C

- Okolní teplota (max): 40°C

- Provozní max: 10 bar

- Druh napájení: 1~230V/50Hz

- Příkon: 27-32/40-48/56-68 W

- Otáčky: 1200/1650/2000 ot/min

- Potrubní přípojka - šroubení: G 1 1/2" (6/4")

Materiál:

- Těleso: legovaná šedá litina GG 20

- Hřídel: X 40 Cr 13

- Obežné kolo: polypropylén

- Ložisko: grafit

Charakteristiky, tj. křivky dopravní výšky a příkonu závislé na objemovém průtoku pro tři

hodnoty otáček jsou dány graficky, viz obr. 7.5.

obr. 7.5 Charakteristiky čepadla WILO RS 25/4 230 V PN 10 získané z internetu.


101

7.5 Odstředivé čerpadlo v SimHydraulics

Odstředivé čerpadlo se definuje charakteristikou čerpadla danou

- polynomickou závislostí tlakového spádu na průtoku

- dvěmi 1D charakteristikami p-Q and Pp-Q, vytvořenými tabulkou

závislosti tlakového spádu na průtoku a příkonu na průtoku. Pro

propojení bodů je možno vybrat 3 interpolační metody a 2

extrapolační metody

- dvěmi 2D characteristikami: P-Q-W and N-Q-W — vytvořenými

tabulkou závisloti tlakového spádu P a příkonu N na průtoku Q při

různých úhlových rychlostech W resp. otáčkách. Tlakový spád a

příkon jsou dány dvourozměrnými tabulkami (maticemi). Opět je

možno pro propojení bodů vybrat jednu ze tří interpolačních metod

a dvou extrapolačních metod.

7.5.1 Polynomická závislost tlakového spádu na průtoku

Pokud se použije parametrizační model (Model parametrization) v Menu jako

"Aproximating polynomial", pak musí být známa statická charakteristika čerpadla a pomocí

regrese se proloží obecným kvadratickým polynomem (polynomem druhého stupně

2

210 QaQaap - EXCEL). V Menu se vkládají upravené koeficienty, které

závisejí na otáčkách. Pro další otáčky může být pak charakteristika upravena afinními

vztahy.

Aproximace polynomem je odvozena z Eulerovy čerpadlové rovnice a je dána:

DHLEref pppkp . (7.5.1)

kde refp - tlakový spád na čerpadle v referenčním režimu, charakterizovaný referenčními

otáčkami a hustotou

k - korekční faktor, který zohledňuje prostorové fluktuace, vnitřní tření atd. Je

měřený a je předdefinován jako 1. Má být nastavený na 1, pokud aproximační koeficienty

jsou stanoveny z měření.

Ep - Eulerův tlak

HLp - tlaková ztráta hydraulická z důvodu odporů v kanálech čerpadla

Dp - ztráta způsobená odchylkou průtoku od nominální hodnoty průtoku rychlosti od

profilu mezi lopatkami, průtoku od jeho nominální hodnoty (jmenovitý průtok při maximální

účinnosti)


102

Eulerův tlakový spád je dán Eulerovou rovnicí, zohledňuje rozměry čerpadla. Pro

dané čerpadlo pracující při konstantních otáčkách a dané kapalině je rovnice dána vztahem:

refrefE Qccp 10 (7.5.2)

kde ref - hustota kapaliny

10 ,cc - aproximační koeficienty

refQ - objemový průtok (delivery) v referenčním režimu

Tlakové ztráty hydraulické jsou

2

2 refrefHL Qcp (7.5.3)

kde 2c - aproximační koeficient.

Tlaková ztráta Dp souvisí s odchylkou rychlosti kapaliny a profilu rychlosti mezi lopatkami a

je dána

23 refDrefD QQcp (7.5.4)

kde 3c - aproximační koeficient

DQ - jmenovitý (návrhový) průtok

Výsledný aproximační polynom je tedy

2

3

2

210. refDrefrefrefref QQcQcQcckp (7.5.5)

Tato charakteristika zohledňuje teoreticky odůvodněné ztráty a je dána čtyřmi koeficienty

3210 ,,, cccc , k , DQ jmenovitým průtokem, hustotou a otáčkami. Pro jiné hodnoty otáček

se užívají afinní vztahy.

Statisticky určená charakteristika je určená z měření (pomocí EXCELu), zohledňuje

všechny výše popsané ztráty a obsahuje tři koeficienty 210 ,, aaa . Je tedy nutné najít vztah

mezi těmito koeficienty a sadou koeficientů zadaných výše. Jednoduchým způsobem jsou

porovnány koeficienty a vyhodnoceny:

2

33

2

3

2

210 2.. QcQQcQcQcQckckp DDref

Po jednoduchých matematických úpravách platí:

2

210

2

3231

2

30 2.. QaQaaQccQQcckQcckp refDDref

Porovnáním koeficientů u mocnin průtoku je

2

300 . Dref Qccka

Dref Qccka 311 2.


103

322 cca ref

Jsou to tři rovnice, je tedy nutné definovat hustotu ref (1000 pro vodu), jmenovitý průtok

DQ (v katalogových listech bývá uváděn, jinak se musí odhadnou jako např. střední hodnota

pro daný rozsah průtoků), koeficient k (předdefinován je 1) a např. konstantu 3c . Pak lze

odvodit hodnoty zbývajících konstant, které je nutno zadat do menu charakteristiky.

kQc

ac D

ref

12

3

0

0

kQc

ac D

ref

12 3

1

1

3

2

2 ca

cref

(7.5.6)

Pro výpočet musí být určen návrhový průtok QD a koeficient c3.

Koeficient c3

vychází z rovnice pro měrnou energii čerpadla h

ts

p

YY

1

kde sY je skutečná měrná energie čerpadla; tY je měrná energie čerpadle získaná

z Eulerovy rovnice; p je Pfeiderův součinitel, který nabývá hodnot 3.02.0 ; h je

hydraulická účinnost.

Při zanedbání vlivu účinnosti se koeficient c3 se určí pY

Yc

t

s

1

13

Jestliže dosadíme za Pfeiderův součinitel hodnotu 0.25, pak koeficient

8.025.01

13

c

Návrhový průtok QD

se určí pro maximální otáčky a následně se přepočítá pomocí afinních vztahů.

Pro otáčky n = 2000 min-1 se z měření určí hodnoty Q a Yč. Následně se vypočítá hydraulický

výkon čh YQP . Od výrobce se určí závislost příkonu P na průtoku Q a pomocí rovnice

regrese určíme příkon pro naměřené průtoky (viz graf)

99.4985.4673494.31439393 2 QQP . Následně se vypočítá účinnost P

Ph a graf

n = 2000 min-1 Určeno od

výrobce Přepočítaný výkon


104

Q Ys Ph Q P P η

[m3/s] [J/kg] [W] [m3/s] [W] [W] [%]

7.01·10-4 10.85 7.61 8·10-4 67 67.31 11.30

6.49·10-4 13.07 8.48 7·10-4 67.5 67.08 12.64

6.03·10-4 14.79 8.92 6·10-4 67 66.75 13.37

5.73·10-4 15.89 9.11 5·10-4 65.5 66.45 13.70

5.47·10-4 17.01 9.31 4·10-4 63.5 66.16 14.07

5.11·10-4 18.63 9.52 3·10-4 61 65.67 14.49

4.63·10-4 20.80 9.64 2·10-4 58 64.90 14.85

3.58·10-4 25.38 9.08 1·10-4 54.5 62.69 14.48

2.65·10-4 29.01 7.70 0 50 60.18 12.79

1.11·10-4 34.64 3.84 54.78 7.00

4.15·10-5 37.49 1.56 51.88 3.00

0 38.30 0.00 50.00 0

Návrhový průtok QD = 4.63·10-4 m3/s je při maximální účinnosti η = 14.85%. Pro další otáčky

se návrhový průtok vypočítá pomocí afinních vztahů

1800

2000

1800

2000

Q

Q

n

n

2000

18001063.4 4

2000

18002000,1800,

n

nQQ DD

Otáčky čerpadla 1300 min-1 1500 min-1 1800 min-1 2000 min-1

Konstanta

ρref [kg.m-3] 1000 1000 1000 1000

Hodnoty určené z grafu

a0 [Pa] 21465 27509 35172 41167

a1 [Pa.s.m-3] -4.00E+07 -4.67E+07 -3.90E+07 -3.55E+07

a2 [Pa.s2.m-6] 9.65E+08 1.24E+06 -7.21E+09 -1.06E+10


105

Hodnoty zvolené

QD [m3.s-1] 0.00030 0.00035 0.00042 0.00046

c3 [Pa.s2.kg-1.m-3] 0.8 0.8 0.8 0.8

Hodnoty vypočítané

c0 [Pa.m3.kg-1] 21.47 27.51 35.17 41.17

c1 [Pa.s.kg-1] 39979 46719 38980 35484

c2 [Pa.s2.kg-1.m-3] -965430 -1244 7206786 10643813

Konstanta souvisí s Pfeiderovým součinitelem, který může být 0.25. Pak konstanta je 3c je

0.8 (vliv konečného počtu lopatek) . Pokud se konstanta 3c volí rovna 0, pak se vztahy

zjednoduší následovně 1000

00

ac ,

1000

1

1

ac

,

1000

2

2

ac

a je patrná přímá

souvislost s koeficienty z naměřené charakteristiky. Do menu se zadají hodnoty dané

tabulkou:

Model parameterizaton By approximating polynom (pomocíaprox. Polynomu)

First approximating coefficient První aprox. koefficient

Pa/(kgm-3)


106

Second approximating coefficient Druhý aprox. koefficient

Pa.s/kg

Third approximating coefficient Třetí aprox. koefficient

Pa.s2/(kgm-3)

Fourth approximating coefficient Čtvrtý aprox. koefficient

Pa.s2/(kgm-3)

Correction factor Korekční faktor

1

Pump design delivery Návrhový průtok čerpadla

lpm

Reference angular velocity Referenční úhlová rychlost

rpm

Reference density Referenční hustota

kgm-3

Leak resistance Lekáž odpor

Pa/(m3s-1)

Drive shaft torque Kroutící moment na hřídeli

N.m

Torque-pressure coefficient Podíl momentu a tlaku

N.m/Pa

První čtyři řádky jsou vypočtené koeficienty, korekční faktor 1k , jmenovitý průtok (Pump

design delivery), který je dán výrobcem nebo odhadnutý, otáčky (reference angular velocity)

se mohou shodovat s otáčkami při kterých byla naměřena charakteristika (jinak se užijí afinní

vztahy), odpor při ztrátách při lekáži (Leak resistance- je odhadnut, měří se špatně), moment

při nulové rychlosti (Drive shaft torque), který lze určit z příkonové charakteristiky pro dané

otáčky při nulovém průtoku n

PM

p

2 a tlakový koeficient (Torque - pressure coefficient),

který je odhadnut.

Referenční hodnoty souvisí s charakteristikami, které byly při těchto referenčních

hodnotách naměřeny. Ty ale mohou být použity i pro jiné hodnoty otáček čerpadla a hustot a

charakteristiky se přepočtou pomocí afinních vztahů:

Z podrobnosti rychlostních trojúhelníků vyplývají afinní vztahy pro parametry čerpadla,

tj. pro unášivé rychlosti 2u a 2u a pro meridiální rychlosti 2mc a 2mc v závislosti na

otáčkách n a n platí vztahy

n

n

u

u

2

2,

Q

Q

n

n

c

c

m

m

2

2 (7.5.7)


107

pro dopravní výšku resp. měrnou energii platí

22

22

22

Q

Q

n

n

cu

cu

Y

Y

H

H

u

u (7.5.8)

pro výkon čerpadla

3

n

n

Y

Y

Q

Q

P

P

h

h (7.5.9)

a pro kroutící moment

2

n

n

P

n

n

P

M

M

h

h

k

k (7.5.10)

7.5.2 Zadání čerpadla pomocí dvou 1D charakteristik

Tento nejjednodušší způsob pro zadání charakteristiky je následující. Graf

charakteristiky pro zadání do tabulky se získá měřením z experimentu nebo z katalogového

listu (internet) pro dané čerpadlo. Tento postup předpokládá pouze jednu zadanou

charakteristiku pro jedny otáčky (čerpadlo nemá možnost měnit otáčky), viz obr. 7.6.

výběr typu charakteristiky

referenční otáčky

referenční hustota

vektor průtoku

vektor tlaku

vektor průtoku

vektor příkonu


108

interpolační metoda

extrapolační metoda

obr. 7.6 Zadání 1D charakteristiky čerpadla

7.5.3 Zadání čerpadla pomocí dvou 2D charakteristik

Třetí varianta předpokládá, že je k dispozici čerpadlo, u kterého je proměřena řada

charakteristik pro různé otáčky měněné přepínačem na čerpadle nebo frekvenčním měničem

(nejméně čtyři charakteristiky). Pak je možno zadat všechny charakteristiky do jednoho menu

dle maticového popisu proměnných, např. matice tlaku pro 4 hodnoty otáček a 8 hodnot

průtoku je definována takto:

4321 nnnn zápis v okně (je to jeden řádek)

8

7

6

5

4

32

1

Q

Q

Q

Q

Q

QQ

Q

888281

.

.

.

.

.

242221

14131211

.

ppp

ppp

pppp

[ 8.3 8.8 9.3 9.9 ;

7.8 8.3 8.8 9.4 ;

7.2 7.6 8.2 8.7 ;

6.5 7.0 7.5 8.0 ;

5.6 6.1 6.6 7.1 ;

4.7 5.2 5.7 6.2 ;

3.4 4.0 4.4 4.9 ;

2.3 2.7 3.4 3.6 ; ]

Matice příkonu je definována analogicky. Na obr. 7.7 je příklad zadání charakteristiky.


109

referenční hustota

vektor průtoku pro tlak

vektor otáček

matice tlaku

vektor průtoku pro příkon

matice příkonu

interpolační metoda

extrapolační metoda

obr. 7.7 Zadání 2D charakteristiky čerpadla

Toto zadání je problematické a je použitelné pouze v případě, že se charakteristiky velmi

málo liší (jako u mistních prvků, viz kap. 5.2.5).

V programu SimHdraulics je možno připravit vyhodnocení charakteristiky. Toto schéma

kopíruje přesně měření charakteristiky čerpadla, která je určena závislostí tlakového spádu

na čerpadle, tj. rozdílu tlaku na výtlaku a sání na objemovém průtoku. Čerpadlo pracuje při

konstantních otáčkách a průtok se mění kulovým kohoutem na konci obvodu. Je zobrazena

v ikoně XY Graf. lze ji také zobrazit využitím Excelu, viz obr. 7.8. Ve schématu je připraveno

čerpadlo pro různé otáčky individuálně. Lze si odladit jejich zadání a tím je mít připraveny pro

použití v dalších aplikacích.

RC

S

uhl. rychlost

tlakS PS

rpm

reference

SPS

p 11200

otacky

SPS

m3/s

S PS

m

T

P

S

cerpadlo 2000

T

P

S

cerpadlo 1650

T

P

S

cerpadlo 1200

XY Graph

f(x)=0

Vypoc. konfigurace

Signal 2

Rizeni prutoku

Q

BA

Q

Prutokomer

Nadrz

P

BA

Manometr

BA

S

Kulovy ventilKapalina

BA

Hydraulic Resistive

Tube 0.5


110

obr. 7.8 Schéma pro vyhodnocení charakteristiky čerpadla pro otáčky 1200.

7.6 Obvody s čerpadly

7.6.1 Obvod s čerpadlem - tlakový spád

Měření tlakového spádu bylo řešeno pro konstantní průtok na vstupu do obvodu. Tuto

variantu lze použít, pokud nejsou k dispozici žádné informace o charakteristikách čerpadla.

Naopak musí být změřen průtok na vstupu, který není obecně definován údaji na čerpadle,

neboť se mění v závislosti na tlaku, který je dán složitostí obvodu a odpory vložených

hydraulických prvků. Tedy obvod (viz obr. 4.5) pro určení tlakového spádu se opraví tak, že

se zdroj průtoku nahradí čerpadlem:

obr. 7.9 Schéma pro určení tlakového spádu v obvodu s čerpadlem

Čerpadlo je dáno charakteristikou pro 1200 otáček tabelovanou z internetu pro 10 hodnot a vloženou

do menu


111

obr. 7.10 Menu 1D charakteristiky čerpadla pro 1200 otáček s vyplněnými parametry.

7.6.2 Obvod s čerpadlem - statická charakteristika

Statická charakteristika se určí analogicky předchozí úloze pro více hodnot průtoku, tedy do

předcházejícího obvodu (obr. 7.9) se musí vložit navíc prvek pro řízení průtoku, což je kulový kohout.

obr. 7.11 Schéma obvodu pro určení statické charakteristiky s kulovým ventilem a jeho řízením.

Kulový kohout je určen jednoduchou první variantou zadaní prvku Oriffice with variable area.

Protože obvod a hodnoty tlaku v jednotlivých elementech nejsou zkoumány komplexně, ale zajímá

nás pouze tlakový spád na potrubí, není podstatné definovat odpory na kohoutu pro jednotlivá


112

otevření. Stačí pouze zajistit jeho uzavírání a tím měnit hodnotu průtoku. Je tedy dán následujícím

menu:

obr. 7.12 Menu parmetrů ventilu.

Uzavírání je pak definováno lineární změnou od nuly do jedničky (maximální otevření je definováno

jako 1). Lineární změna se vytvoří v prvku Signal Builder příkazy Signal/New/Custom a dále

doplněním dvou vektorů, jeden pro čas a druhý pro otevření. Pro lineární závislost stačí dvě hodnoty,

jinak se křivka závislosti tabeluje podrobněji.

obr. 7.13 Definování otevírání ventilu pomocí Signal Builder.

Charakteristika čerpadla nezávisí na obvodu, tj. délce potrubí a dalších odporech v obvodu a je

znázorněna na dalším obrázku


113

obr. 7.14 Charakteristika potrubí řešená v obvodu s čerpadlem.

7.6.3 Testování sací výšky čerpadla

Sací výška se může testovat na obvodu pro tlakový spád, přitom na sání i na výtlaku bude

vloženo svislé potrubí, u kterého lze snadno měnit délku a zárovň svislou výšku a pak definovat

změnu tlaku na sání a výtlaku. Charakteristika čerpadla udává maximální dopravní výšku a také

tlakévý spád na čerpadle. Pro čerpadlo WILO RS 25/4 230 V PN 10 a otáčky 1200 min-1 je

maximální dopravní výška H=2.1 m a tlakový spád p=20601 Pa pro nulový průtok.

obr. 7.15 Charakteristiky čepadla WILO RS 25/4 230 V PN 10 získané z internetu.


114

Schéma pro řešení potrubí na sání je na obr. 7.16. Zátěž obvodu za výtlakem je

definována pro jednoduchost také svislým potrubím. Změnou délek obou potrubí je možno

testovat rozumnou délku potrubí na sání. Při testování je vhodný následující postup. Potrubí

na výtlaku se volí dle zadání a potrubí na sání se volí od téměř nulové délky až po maximální

hodnotu, kdy se průtok změní na záporný (čerpadlo začne pracovat v reverzním režimu).

Dále nemá smysl zvyšovat sací výšku.

ls hs ps lv hv pv Dp Q

0.001 -0.001 -9.925 0.001 0.001 9892 9902 0.0002183

0.5 -0.5 -4945 0.001 0.001 6589 11534 0.0001781

1 -1 -9854 0.001 0.001 3411 13265 0.0001281

1.5 -1.5 -14740 0.001 0.001 1313 16053 0.0000793

2 -2 -19620 0.001 0.001 85 19705 0.0000190

2.5 -2.5 -24494 0.001 0.001 -807 23687 -0.0000628

3 -3

0.001 0.001

Při výkonných čerpadlech je třeba ještě sledovat hodnotu tlaku na sání, která může

být pod hodnotou tlaku nasycených par (-98000 Pa , tj. 2360 Pa absolutního tlaku) a může

nastat kavitace.

obr. 7.16 Testování tlakového spádu s ohledem na sání čerpadla.


115

Na dalších dvou obrázcích je zobrazena hodná kombinace sací výšky a výtlačné výšky a

tlaku na sání a výtlaku . Je vidět, že velikost sloupců odpovídá dopravní výšce a tlakovému

spádu čerpadla.

obr. 7.17 hodnoty geodetické sací a výtlačné výšky. popis os a jednotky

obr. 7.18 Hodnoty tlaku na sání a výtlaku pro příslušné varianty geodetické sací a výtlačné výšky.

popis os a jednotky


116

7.6.4 Řazení čerpadel

Velmi často je třeba volit provoz čerpadel tak, že dvě nebo více čerpadel čerpá kapalinu do

jednoduchého či složeného potrubí současně. Pokud jsou čerpadla zapojena tak, že kapalina z

výtlačného hrdla jednoho čerpadla jde do sání čerpadla druhého, jedná se o sériové řazení čerpadel

(zapojení za sebou). Při tomto řazení se čerpá oběma čerpadly totéž množství kapaliny Q a měrná

energie Yč se zvětšuje (sčítají se měrné energie resp. dopravní výšky od jednotlivých čerpadel).

Sériové zapojení, které je v průmyslové praxi vcelku zřídka užívané, se však často používá v oblasti

požární ochrany v tom případě, kdy pro dodávané množství nestačí jedno čerpadlo překonat dopravní

výšku. Rovněž je toto řešení využíváno při čerpání vody z velkých hloubek.

Druhou možností je paralelní spojení čerpadel, které pracují do společného výtlačného potrubí. Zde

měrná energie Yč zůstává zachována, zvětšuje se však dopravované množství Q v systému. Paralelní

spojení (spojení vedle sebe) se používá tam, kde jedno čerpadlo nestačí dodat požadované množství

kapaliny, nebo to vyžaduje velká bezpečnost provozu (chladicí čerpadla hutních provozů, napáječky

parních generátorů), a dále při provozech s velkou nerovnoměrností odběrů (vodárny, kanalizace,

protipožární vodovody).

Pro názornost se bude uvažovat práce čerpadel do jednoduché potrubní sítě. Jak při sériovém, tak při

paralelním řazení je možno používat čerpadla s různými charakteristikami, dává se však z hledisek

provozních výhod (obsluha, opravy, náhradní díly) přednost řazení čerpadel stejných typů.

Sériové řazení čerpadel

Problém je možno rozdělit na dva případy a to, jsou-li čerpadla blízko sebe či jsou vzájemně vzdálená.

V obou případech mohou být čerpadla umístěna buď v jedné rovině a nebo může být jedno čerpadlo

vůči druhému situováno s převýšením. Jsou-li čerpadla blízko sebe, je spojovací potrubí P velmi

krátké a soubor tvoří tzv. dvojagregát - obr.

obr. Sériové řazení čerpadel


117

obr. Charakteristiky dvou identických sériově řazených čerpadel

Mají-li čerpadla stejné charakteristiky, potom společný motor je umístěn mezi oběma čerpadly. Při

sériovém spojení čerpadel, kdy obě čerpadla čerpají stejné množství Q, se sčítají měrné energie resp.

dopravní výšky od jednotlivých čerpadel. Sečtením měrných energii YČ1 a YČ1 se dostane výsledná

charakteristika sériově řazených čerpadel, jejíž průsečík s charakteristikou potrubí dává výsledný

pracovní bod. Pokud uvažujeme čerpadla o různých charakteristikách platí následující vztahy :

čerpadlo 1 IIIČČcQbQaHgY 2

11

čerpadlo 2 IIIIIIČČcQbQaHgY 2

22

výsledná charakteristika pro sériové řazení

IIIIIIIIIČČČČccQbbQaaYYY

2

2121

Paralelní spolupráce čerpadel

V praxi je toto spojení velmi časté. Stejně tak, jako v sériovém spojení, je možno řešit spolupráci při

zanedbání odporů spojovacích potrubí. Grafické řešení je na obr.. Zde jsou uvažována dvě odstředivá

čerpadla, umístěná blízko sebe, která pracují do krátkého spojovacího potrubí. Protože ve spojovacím

bodě musí být tlak stejný, dostane se výsledná charakteristika systému sčítáním obou průtoků při

stejné měrné energii, resp. dopravní výšce.

obr. Paralelní řazení čerpade


118

obr. Charakteristiky dvou identických paralelně řazených čerpadel

čerpadlo 1 IIIČČcQbQaHgY 1

2111

I

ČIIII

a

YcabbQ

2

41

2

1

čerpadlo 2 IIIIIIČČcQbQaHgY 2

2222

II

ČIIIIIIII

a

YcabbQ

2

42

2

2

výsledná charakteristika pro paralelní řazení

II

ČIIIIIIII

I

ČIIII

a

Ycabb

a

YcabbQQQ

2

4

2

42

21

2

21

Zdroj:zásobování hasivy

Matematický model sloupce kapaliny

119

8. Dynamické odpory hydraulických prvků v SimHydraulics

8.1 Odpor proti zrychlení

Příčinou odporu proti zrychlení je setrvačnost kapaliny nebo setrvačnost pohybujících se hmotností

(píst, pístnice, pružina, apod.).

8.1.1 Odpor proti zrychlení u přímočarého pohybu

Pro zrychlení sloupce kapaliny o délce l

v potrubí o průřezu S je zapotřebí síla

pSF .

Tlakový spád p na délce l je

dt

dQL

dt

dQ

S

m

dt

dv

S

m

S

ma

S

Fp H

2

l

p=p1-p2 V

S v

m

p1 p2

obr. 8.1 Odpor proti zrychlení sloupce

kapaliny

Odpor proti zrychlení neboli hydraulická indukčnost je tedy určena vztahem

4

22kgm

S

l

S

Sl

S

mLH

( 8.1.1)

8.1.2 Odpor proti zrychlení u rotačního pohybu

Odpor proti zrychlení při otáčivém pohybu se odvodí

analogicky z následujících momentových rovnic

dt

dQ

SrJ

dt

dv

rJ

dt

dJJM

11

kde J [kg.m2] je moment setrvačnosti rotujících hmot, tj.

kapaliny, případně částí hydrogenerátoru, hydromotoru,

zátěže atd.), pSrFrM . Objem za jednu otáčku

hydrogenerátoru je rSVt 2 , z čehož 2tV

Sr .

S

r

p1

p2

v

obr. 8.2 Odpor proti zrychlení

Pak moment je roven 2

tpVM

. Porovnáním výrazů pro momenty je tlakový spád

dt

dQJ

Vdt

dJ

Vp

tt

2

22

. Hydraulická indukčnost při otáčivém pohybu je tedy

4

2

kg.m2

J

VL

t

H

( 8.1.2)

Jestliže v obvodu se otáčejí jednotlivé části různými otáčkami, redukuje se moment setrvačnosti na

jeden hřídel, a to zpravidla na hřídel hydromotoru. Pak redukovaný moment setrvačnosti je


120

m

hhredn

niJiJ ,2

, kde J je moment setrvačnosti hmoty otáčející se otáčkami n , mn jsou otáčky

hydromotoru.

8.1.3 Hydraulická indukčnost sloupce kapaliny v SimHydraulics

tlak

AQ

B

prutokomer

prutokk

nadrz2

f(x)=0

Solver

Configuration

PSS

Simulink-PS

Converter

Signal 3

Signal Builder

A B

Resistive Tube

PS S

PS-S1

PS S

PS-S

AB

P

Manometr

S TP

Ideal Hydraulic Flow

Rate Source

A B

Fluid Inertia

Custom HydraulicFluid

Potrubí s hydraulickou indukčností (Fluid Inertia) je blok pro definici odporu

proti zrychlení při proudění v potrubí. Zadává se průtočná plocha a délka

potrubí.

Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/ Fluid Inertia)

8.2 Odpor proti deformaci a hydraulická kapacita

Odpor proti deformaci je určen vztahem V

pDH

, hydraulická kapacita je převrácenou

hodnotou.

8.2.1 Odpor proti deformaci sloupce kapaliny

Pro sloupec kapaliny o průřezu S a délce l se vyjádří odpor proti deformaci nebo hydraulická

kapacita z definice modulu objemové pružnosti kapaliny

241

H

H smkgK

V

DC

p

V

pV

V

K

111

Pro pružné potrubí je třeba uvažovat také odpor proti deformaci potrubí, což lze provést korekcí

modulu objemové pružnosti kapaliny K vztahem

KKs

2 , K

V

K

VC

s

H 2 ( 8.2.1)


121

Pro tenkostěnné potrubí kruhového průřezu platí

Es

Kd

1

1 , což je známo z hydraulického rázu.

E je modul pružnosti materiálu potrubí a s je tloušťka stěny. Hydraulickou kapacitu lze vyjádřit také

v závislosti na rychlosti zvuku, neboť platí

22 aKK

aa t , čili hydraulická kapacita

je

Es

Kd

K

V

a

V

K

VCH 1

22 .

Jestliže tlak v kapalině klesne pod tlak nasycených par (dosáhne se kavitačních parametrů), pak musí

být rovnice upraveny. Kapalina se bude předpokládat jako vícefázová směs kapaliny a plynu o malém

objemovém množství. Modul pružnosti se pak upraví na tvar

n

n

a

n

ak

n

a

a

k

ppn

pK

pp

p

KK

1

/1

/1

1

1

( 8.2.2)

kde kK je modul pružnosti čisté kapaliny

ap je atmosférický tlak

je relativní obsah plynu,

k

g

V

V

gV je objem plynu v kapalině při atmosférickém tlaku

kV objem kapaliny

n je podíl měrných tepel plynu

Hlavním důvodem k uvažování kapaliny jako směsi kapaliny a plynu je zavedení aproximativního

modelu kavitace pro případ, že tlak v systému klesne pod tlak nasycených par kapaliny.


122

0.0E+00

2.0E+08

4.0E+08

6.0E+08

8.0E+08

1.0E+09

1.2E+09

1.4E+09

0.E+00 1.E+06 2.E+06 3.E+06 4.E+06 5.E+06 6.E+06

p [Pa]

K [

Pa

] 0

0.000025

0.00005

0.000075

0.0001

0.0005

0.001

0.005

0.01

0.1

alfa

obr. 8.3 Modul objemové pružnosti v závislosti na tlaku a objemovém obsahu vzduchu.

Při vysokém tlaku je v kapalině malé objemové množství nerozpuštěného vzduchu a nemá praktický

vliv na modul pružnosti. Kavitace je v podstatě termodynamický proces vyžadující vícefázové

proudění, přenos tepla atd., což nemůže být přesně řešeno v SimHydraulics. Ale i tento zjednodušený

přístup je postačující pro řešení hydraulických obvodů. Jestliže je jasné, že v obvodu nenastace

situace, aby tlak klesl pod tlak nasycených par, lze objemový zlomek plynu nastavit přímo jako nulu

(resp. malé číslo, např. 1e-15), což samozřejmě urychlí výpočet.

8.2.2 Odpor proti deformaci pružiny

Kapacita pružiny je určena stejně jako u kapaliny dp

dV

p

VCp

. Změna objemu (stlačení

pružiny x ) je vyvolána pohybem pístu o ploše S , takže xSV . Pro sílu potřebnou na

stlačení pružiny platí vztahy xcpSF , z čehož stlačení je c

pSx

a změna objemu

c

pSxSV

2 . Pak kapacita pružiny se vypočte ze vztahu

c

S

p

VCp

2

, kde c je

konstanta pružiny.


123

8.2.3 Odpor proti deformaci plynu

Pro plynovou pružinu při izotermické změně stavu

( konstT ) platí rovnice 2211 VpVp . Změna objemu je

2

1

2

1121 1

p

pV

p

pVVVV

. Kapacita plynové pružiny

je

2

1

p

V

p

VCp

( 8.2.3)

Pro polytropickou změnu stavu platí nn

VpVp 2211 , tj.

n

p

pVV

1

2

112

. Změna objemu po dosazení je

p2

p1

V2

V1

obr. 8.4 Odpor proti deformaci

plynu

n

p

pVVVV

1

2

1121 1 . Kapacita se odvodí z definice pomocí průtoku

dt

dp

p

p

np

V

dt

dp

dp

Vd

dt

VdQ

n

V2

1

2

1

2

12

2

1

a je definována jako

2

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

11

np

V

V

V

np

V

p

p

np

V

dt

dp

QC

nV

p

( 8.2.4)

8.2.4 Kapacita nádrží

V hydraulických systémech se může vyskytovat nádrž

s volnou hladinou. Při konečném objemu resp. konečném

průřezu nádoby (ve vodorovné rovině) je nutno uvažovat

pohyb hladiny při rozdílném přítoku a odtoku z nádoby.

Schopnost nádrže pojmout určitý objem kapaliny, případně ho

vydat, představuje akumulační schopnost, která se dá vyjádřit

kapacitou nádrže. Přiteklý objem do nádrže je QdtdV a

po dosazení je SdhQdt . Po úpravě se dostane

QV

p0

h

dh

S

v

obr. 8.5 Kapacita nádrže

dt

dpC

dt

dp

g

S

dt

dhSQ

Kapacita nádrže je


124

g

SC

( 8.2.5)

kde S je vodorovný průřez nádoby.

8.2.5 Hydraulická kapacita objemu kapaliny v SimHydraulics

Kapacitu je možno jej definovat prvkem Constant Volume Chamber. Kapacita jako izolovaný

prvek potrubního systému nemá fyzikálně smysl, pouze v souvislosti s dalšími odpory (alespoň

odporem proti pohybu), takže se používá např. přímo jako potrubí s hydraulickou kapacitou (Hydraulic

Pipeline).

Constant VolumeChamber

Kapacita (Constant Volume Chamber) představuje odpor proti deformaci.

Převrácená hodnota odporu proti deformaci je hydraulická kapacita. Definice

odporu proti deformaci definovaná v SimHydraulics

(Simulink/Simscape/Foudation library/Hydraulic/Hydraulic elements/Constant

Volume Chamber):

pK

VVV c

cf a průtok pak dt

dVQ f

kde Q - objemový průtok do nádrže

fV - objem kapaliny v nádrži

cV - geometrický objem nádrže

K - modul objemové pružnosti kapaliny

p - přetlak kapaliny v nádrži

Stlačitelnost kapaliny a stěn je definována dle následujících parametrů

- nádrž s nepružnými stěnami (rigid walls), kapalina bez plynu

- nádrž s pružnými stěnami (compliant walls) a válcovým tvarem,


125

kapalina bez plynu

- nádrž s nepružnými stěnami (rigid walls), kapalina s plynem

- nádrž s pružnými stěnami (compliant walls) a válcovým tvarem,

kapalina s plynem

Obsah plynu v kapalině se zadává v bloku kapaliny, může být i roven nule.

Potrubí s hydraulickou kapacitou a odporem proti pohybu (Hydraulic

Pipeline) je blok pro definici odporu proti deformaci a pohybu při proudění

v potrubí. Zadávají se parametry jako pro Resistive Tube.

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Pipelines/Hydraulic Pipeline)


126

8.3 Značení hydraulických odporů

Odpory, které se vyskytují při přenosu energie, představují podle lineární teorie obvodů dvojpóly,

pro které platí, že průtoky na vstupu a výstupu jsou stejné a přenosový kanál je dokonale těsný. Pro

základní odpory je zavedeno v hydraulice následující označení, které se trošku liší od značení odporů

v SimHydraulic

R [Nsm-5] odpor proti pohybu

L [kgm-4] odpor proti zrychlení

C

D1

[kg1m-4s-2] odpor proti deformaci

Odpory se mohou řadit paralelně a sériově. Při obecném kombinovaném řazení odporů, kdy některé

odpory jsou řazeny sériově a jiné paralelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsaženo v teorii

grafů, využívané v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydraulice bude platit

zákon o uzlech a zákon o okruzích.

V SimHydraulics se objeví trochu odlišné znační odporů, jejich význam ale je stejný.

R [Nsm-5] odpor proti pohybu

tlak

AQ

B

prutokomer

prutokk

nadrz2

f(x)=0

Solver

Configuration

PSS

Simulink-PS

Converter

Signal 3

Signal Builder

A B

Resistive Tube

PS S

PS-S1

PS S

PS-S

AB

P

Manometr

S TP

Ideal Hydraulic Flow

Rate Source

A B

Fluid Inertia


L [kgm-4] odpor proti zrychlení

Constant VolumeChamberConstant VolumeChamber

CD

1 [kg1m-4s-2] odpor proti deformaci

Odpory se budou řadit graficky s tím, že číslování odporů kontrola zapojení sítě se bude

v SimHydraulics provádět automaticky.

8.4 Časové konstanty

Časové konstanty vyjadřují vztahy mezi základními odpory R , L , C a lze z nich odhadnout

dynamické chování hydraulického obvodu. Označují se

R

LTLR

RCD

RTRC


127

RCLRLC TTRCR

LLC

D

LT 2

Lze dosazovat např. hodnoty odporů pro kruhové potrubí a pak tyto konstanty specifikovat. Pro

laminární proudění v kruhovém potrubí lze časové konstanty následněí upřesnit

32128

4 24

2

d

l

d

d

l

R

LTLR

Dd

RCKd

l

K

ld

d

lRC

D

RT

2

22

432

4

128

a

l

KlLCT

D

LC

a z poslední konstanty odhadnout dynamiku děje, tj. dobu běhu vlny. Výraz a

l je polovina doby běhu

vlny u hydraulického rázu.

Příklad

Určete časové konstanty dané paramery potrubí a měřením při proudění vody v tomto potubi.

Hydraulický obvod se stlačitelnou viskózní kapalinou (voda) pro experimentální stanovení

dynamických parametrů a následně odezvy tlaku na skokový vstupní signál je uveden na obr. 8.6.

Obvod je složen z hydrogenerátoru HG, vlastní měřicí trati H, kulového ventilu R, snímačů tlaku a

clony pro měření průtoku C. Pro vyhodnocování jsou využity snímače s elektrickým výstupem a

vyhodnoceny počítačem PC, včetně software pro měření a vyhodnocování veličin. Odpady a svody

jsou odvedeny do nádrže N.

N

UTC HG

C

H

P

V

PC

obr. 8.6 Pohled na měřící zařízení


128

Určení odporu proti pohybu, zrychlení a vlastní frekvencePotrubí

kapalina 1000 kgm-3

kinematická viskozita 1.00E-06 m2s-1

modul pružnosti K= 2.10E+09 Pa

potrubí

poloměr r= 0.0125 m

délka l = 59 m

tloušťka stěny s= 0.006 m

modul pružnosti stěny E= 2.00E+11 Pa

průtočná plocha S = 4.90874E-04 m2

objem V= 2.89616E-02 m3

odpor proti pohybu R= 6.15392E+06 kgs-1m-4

kapacita C= 1.37912E-11

indukčnost L= 1.20194E+08 Ns2m-5

rychlost zvuku a= 1.44914E+03 ms-1

doba běhu vlny T B = 8.14277E-02 s

perioda T = 1.62855E-01 s

frekvence f = 6.14041E+00 s-1

frekvence f = 3.90911E+00 s-1

časové konstanty T LR = 1.95313E+01 s

T RC= 8.48701E-05 s

T LC = 0.040713868 s

Tf

1

S

lL

LCf

2

1

42

128

2 d

l

SR

K

VC

Ka

a

lT B

2

BTT 2

R

LT LR

RCTRC

LCTLC


129

9. Matematický model sloupce kapaliny

K sestavení matematického modelu proudění v potrubí je možno využít teorii dvojbranů (čtyřpólů),

kdy matematický popis spočívá ve vytvoření matematického modelu turbulentního proudění potrubím

pro zadané fyzikální vlastnosti proudící tekutiny, potrubí dané délky, průměru, síly stěny a materiálu a

jeho řešení (SimHydraulics).

Ze všech kombinací sériově-paralelních řazení odporů budou v následujících kapitolách vybrány ty

obvody, které mohou reprezentovat proudění v potrubí a matematické modely, které takto budou

vytvořeny, se nazývají modely se soustředěnými parametry, protože odpory R, L, C jsou soustředěny

do jednoho bodu a neuvažuje se vliv délky potrubí.

K řešení nelineárních rovnic popisujících turbulentní, laminární a přechodové proudění se využije

systém SimHydraulics, který je z hlediska zadávání obvodu a parametrů potrubí a kapaliny uživatelsky

přívětivější.

Jako první model bude popsán model T-článku, který je nejznámější a nejpoužívanější prvek.

Na něm bude vysvětlen přístup k řešení metodou analytickou a numerickým řešením v SimHydraulics.

Další prvky jsou pak již variantami.

9.1 R-(L+C) článek (tzv. T článek)

Nechť je dán obvod, složený z R, L a C

odporů (tzv. T článek). Ze zákonů o okruzích

dle schématu vyplývá

CRLR ppppp

CL pp

Ze zákona o uzlech platí

LC QQQ dt

dQ

dt

dQ

dt

dQ LC

R L

pR pL

pC

D=1/C

Q QL

QC

p

Pro průtoky a tlaky odporech platí vztahy


QRp linR 2RQpR

dt

dQLp L

L

dtQC

p CC

1

dtQC

QRp Clin 1

2

2

2

2

dt

QdCR

dt

pdC

dt

dQlin

C

dtQC

RQp C12

2

22

2

2

dt

QdCR

dt

pdC

dt

dQlin

C


130

dt

dQLQRp L

lin QL

R

L

p

dt

dQ linL

QL

R

L

p

dt

QdCR

dt

pdC

dt

dQ linlin

2

2

2

2

2

22

2

2

22dt

QdCRQ

dt

dQCR

dt

pdC

dt

dQC

dt

dQLRQp L 2 2Q

L

R

L

p

dt

dQL

2

2

2

2

2

2

22

QL

R

L

p

dt

dQCR

dt

QdCRQ

dt

pdC

dt

dQ

Po úpravě jsou výsledné rovnice následující


pdt

pdLCQR

dt

dQL

dt

QdLCR linlin

2

2

2

2

pdt

pdLC

RQdt

dQL

dt

dQRLC

dt

QdRLCQ

2

2

2

2

2

2

22

Rovnice jsou druhého řádu vzhledem k průtoku i tlaku. Tedy ze zákonů o okruzích a uzlech platí výše

uvedené diferenciální rovnice pro laminární resp. turbulentní proudění, přitom pro laminární nebo

linearizované proudění je lineární a pro turbulentní proudění je nelineární.

9.1.1 Numerické řešení - SimHydraulics

Příklad 9.1.1

Numericky řešte diferenciální rovnici druhého řádu odpovídající T článku RLC s nulovými

počátečními podmínkami a danými konstantami. V rovnici se předpokládá, že změna tlaku 0p je

vstupní signál a průtok je hledaná funkce. Vstupní signál je roven skokové změně na hodnotu 0p .

Pro turbulentní proudění nelinearizované se využije programu SimHydraulics shéma připravené pro

výpočet statické charakteristiky s následujícími úpravami:

potrubí (Resistive Tube) se doplní paralelně připojeným blokem kapacity (Constant Volume

Chamber) a sériově blokem indukčnosti (Fluid Inertia).

Zdroj průtoku se nahradí zdrojem ideálního tlaku (Ideal Hydraulic Pressure Source), který je

definován v bloku Signal Builder skokovou funkcí z Pap 0 na kPap 40 v čase

st 01.0 .

V bloku kapaliny je nutno nastavit objem nerozpuštěného plynu (např. 0.05) a teoretický

modul pružnosti vody K=2e9 Pa).

Základní parametry potrubí a proudicí kapaliny jsou dány z minulého příkladu a budou vloženy do

obvodu.:

Parametry kapaliny

kapalina 1000 kgm-3

kinematická viskozita 1.00E-06 m2s-1

modul pružnosti K= 2.10E+09 Pa


131

Parametry potrubí

potrubí

poloměr r= 0.0125 m

délka l= 100 m

tloušťka stěny s= 0.006 m

modul pružnosti stěny E= 2.00E+11 Pa

tlakovy spad

AQ

B

prutokomer1

AQ

B

prutokomer

nadrz2

nadrz1

Q_za_T

To Workspace3

tlakovy_spad_na_T

To Workspace2

Q_za_zdrojem

To Workspace1

f(x)=0

Solver

Configuration

Signal 2

Signal Builder

PSS

S-PS

Q za zdrojem

Q za ventilem

PS S

PS-S2

PS S

PS-S1

PS S

PS-S

AB

P

Manometr1

A B

Linear Hydraulic

Resistance

S TP

Ideal Hydraulic

Pressure Source

A B

Fluid Inertia



obr. 9.1 Schéma řešení linearizovaného obvodu Qlin, SimHydraulics

T článek je řešen pro turbulentní proudění s využitím SimHydraulics. Je zřejmé, že lze využí stejné

schéma dle obr. 9.1 pro konstatní odpor proti pohybu. Problém je v určení tohoto linearizovaného

odporu. Ale při harmonickém průtoku je jasné, že se mění rychlost a Reynoldsovo číslo a tudíž také

součinitel tření . Proto je použit obvod s obecnějším modelom potrubí pro turbulentní proudění.

obr. 9.2 Řešení T článku


132

Je možno konstatovat, že v SimHydraulics vytvořený model vystihuje jak laminární tak turbulentní

proudění. Z numerické řešení je možno odečíst periodu, ustálený stav a pod.

Je třeba poznamenat, že řešení nelze konfrontovat s výše popsaným experimentem, tj. se

změřenými průběhy hydraulického rázu. Důvodem je to, že rovnice pro T článek popisuje vztah mezi

vstupním tlakem a vstupním průtokem. Dynamická změna je vyvolána dynamickou změnou tlaku na

vstupu do potrubí. Hydraulický ráz je vyvolán dynamickou změnou na konci potrubí. Navíc průběhy

průtoků nelze odměřit, neboť není k dispozici průtokoměr pro měření dynamického průtoku.

Hydraulický ráz bude řešen a porovnán s experimentem později.

9.2 R-L – článek

Tento model je velmi často používaný model

pro krátké potrubí i v komerčních software. Pro

sériově řazené odpory R , L , se využije zákon o

okruzích ve tvaru LR ppp .Pro tlakové

R L

pR pL

p

spády na odporech platí vztahy


QRp linR 2RQpR

dt

dQLpL

dt

dQLQRp lin

dt

dQLRQp 2

Lineární diferenciální rovnici prvního řádu lze řešit analyticky (nebude se nadále používat z důvodu

sjednocení přístupů k řešení) a Laplaceovou metodou. Numericky se řeší jak lineární tak nelineární

rovnice bez problémů.

Rovnice budou řešeny pro nulovou počáteční podmínku 00 Q a vstupní signál je tlakové

diference p .

9.2.1 Numerické řešení laminárního i turbulentního proudění

Úloha bude řešena jako zjednodušený případ řešení T článku pomocí SimHydraulics s tím, že

prvek definující kapacitu bude vynechán.


133

9.3 C+(R-L) - Lčlánek

Pro sériově-paralelní řazení odporů

R,L,C dle schématu plyne ze zákona o

okruzích

CLR pppp .

Ze zákona o uzlech vyplývá pro tento

obvod

CRL QQQ .

R L

pR pL

p

pC=p

D=1/C

Q QRL

QC

p

Pro průtoky na jednotlivých odporech platí vztahy


lin

RRL

R

pQ

R

pQ R

RL

dtpL

Q LRL

1

dt

pdCQC

lin

R

R

p

dt

pdCQ

dt

pdCRQRp linlinR

dtpLdt

pdCQ L

1

L

p

dt

pdC

dt

dQ L

2

2

2

2

dt

pdLC

dt

dQLpL

R

p

dt

pdCQ R

2

dt

pdCQRpR

dtpLdt

pdCQ L

1

L

p

dt

pdC

dt

dQ L

2

2

2

2

dt

pdLC

dt

dQLpL

Pro odvození rovnice se sečtou tlakové spády a získá se diferenciální rovnice


QR

dt

dQLp

dt

pdCR

dt

pdLC linlin

2

2

2

2

2

2

2

2

RQdt

dQL

pdt

pdRC

dt

pdRCQ

dt

pdLC

Diferenciální rovnice vyjadřuje závislost průtoku Q a tlakového spádu p , přitom obě veličiny jsou

v derivacích, tedy z hlediska matematického lze volit libovolnou proměnnou (a potřebné derivace) jako

vstupní veličinu a druhou veličinu spolu se zadanými potřebnými počátečními podmínkami řešit.


134

Vzhledem ke komplikovanosti vztahů se analytické řešení nebude uvažovat a další kapitoly se

zabývají již pouze numerickým řešením realizovaným v SimHydraulics.

9.3.1 Numerické řešení turbulentního proudění

Úloha bude řešena metodicky stejně jako T článek pomocí SimHydraulics, případně se upraví typ

vstupního signálu.

9.4 Symetrický T článek

L/2 R/2

pL pR

pC

D=1/C

Q QR

QC

p

pR pL

L/2R/2

Rovnice odpovídající výše uvedenému schématu je rovnicí druhého řádu pro tlak a třetího

řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se již uvádí pouze rovnice pro linearizovaný odpor proti

pohybu odvozená ze schématu a pro turbulentní proudění se již odvození neprovádí.

QRdt

dQL

CR

dt

QdCLR

dt

QdCLp

dt

pdCR

dt

pdCLlin

linlinlin .42422

2

2

2

3

32

2

2

9.4.1 Numerické řešení symetrického T článku

Předpokládá se tlakový vstupní signál ve tvaru skokové funkce, tj. 0p , a průtok je výstupní

hledaná funkce. Schéma řešení v Simulinku je podobné. Při použití odporu proti pohybu Resistive

Tube se ale řeší nelineární tvar rovnic, tj. obecné turbulentní proudění .

Další variantou řešení je průtok jako skokový vstupní signál 0Q a změna tlaku je hledaná

funkce.

Tvar řešení závisí na tvaru vstupního signálu tlaku nebo průtoku (skoková, harmonická a

exponenciální funkce) a na hodnotách konstant R, L, C. Odezvou na skokovou změnu je přechodová

charakteristika.

Příprava schématu pro tento článek je mnohem snažší v SimHydraulics, neboť koeficienty jsou

složité a navíc není třeba přepracovat schéma pro změnu vstupního signálu.


135

9.5 článek

L/2

pL

pC

D=2/C

Q QR

QC

p

pR pL

L/2R

pC

D=2/C

QC

Rovnice odpovídající výše uvedenému schématu je obyčejnou diferenciální rovnicí třetího

řádu pro tlak a čtvrtého řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se opět uvádí pouze rovnice pro

linearizovaný odpor proti pohybu.

QRdt

dQL

dt

QdLCR

dt

QdCL

dt

QdCLRp

dt

pdCR

dt

pdLC

dt

pdLCR

lin

linlinlinlin

2

2

3

32

4

422

2

2

3

32

2416228

9.5.1 Numerické řešení

Numerické řešení je schůdné v SimHydraulics jako v předchozí kapitole.

9.6 Segmentované potrubí

Dělené potrubí (Segmented pipeline): je prvek, který slouží k vedení

pracovního média v systému. Reprezentuje hydraulické potrubí s kruhovým

průřezem rozděleným příčnými řezy jako soubor stejných, sériově zapojených

dílů - soustředných parametrů. Každá část se skládá z odporové trubky, bloku

setrvačnosti kapaliny a stlačitelnosti kapaliny.

(Simulink/Simscape/Simhydraulic/Pipelines/Segmented pipeline)

Pipe internal diameter Vnitřní průměr potrubí 0,025 m

Pipe length Délka potrubí 1000 m

Number of segments Počet segmentů 60 -

Aggregate eguivalent length of

local resistances

Ekvivalentní délka

místních ztrát 1 m

Internal surface roughness

height Drsnost vnitřního povrchu 0,025 mm

Laminar flow upper margin Horní laminární hranice 2.103 -

Turbulent flow lower margin Dolní turbulentní hranice 4.103 -

Pipe wall type Typ stěny trubky Rigid -


136

Specific heat ratio Měrné teplo 1,4 -

Dělené potrubí se skládá z odporů řazených za sebou dle obr. 9.3. Takovéto sestavení odpovídá

tomu, že v případě jednoho segmentu se bude jednat o symetrický T-článek. Každý další segment je

pak počítán jako tzv. L-článek.


137

obr. 9.3 Skladba děleného potrubí

Výše definovaná úloha je definovaná obvodem v SimHydraulics.

9.7 Srovnání řešení pro různé typy modelů

V následujícím obrázku je vidět rozdíly v řešení při použití klasických T-článků a segmentovaného

potrubí. Varianty řešení jsou definovány modelem s 1 T-článkem a segmentovaným potrubím s 1, 2,

10 a 20 segmenty..

0

0.00002

0.00004

0.00006

0.00008

0.0001

0.00012

0.00014

0.00016

0.00018

0.0002

0 50 100 150 200 250 300

t [s]

Q [

m3s

-1]

Qnelin

1T

2T

10T

20T

obr. 9.4 Zhodnocení tlaků za dlouhým potrubím pro všechny varianty modelů.

Závěrem lze říci, že se zvyšujícím se počtem T článků se zvyšuje přesnost řešení, neboť se

využívá kvalitnější matematický model. Dále se zvyšuje amplituda kmitání a snižuje frekvence. Stejný

počet T článků a segmentů v elementu segmentovaného potrubí dává stejný výsledek, ale výpočet

užitím segmentovaného prvku je časově náročnější. První vlastní frekvence se pohybuje v rozmezí od

20 do 30 Hz.

9.8 Rychlost zvuku v potrubí

Z numerického řešení charakterizovaného harmonickým průběhem lze určit rychlost zvuku. Nechť

perT je perioda harmonického signálu. Pak časová konstanta je dána vztahem

LCT

Doba běhu vlny je

s

Ba

lT

2


138

Pak rychlost zvuku je

perB

sT

l

T

la

42

Rychlost zvuku se měří a její hodnoty pro vybrané kapaliny je v tab. 9.1.

tab. 9.1 Fázová rychlost šíření změn

Fyzikální systém, látka Rychlost šíření (m.s-1)

Světlo ve vakuu 3.108

Elektrický kabel 1,5 až 2,95.108

Železo, sklo 0,5 až 1,25.108

Beton 4.103

Volná vodní hladina 1415

Ocelová trubice s kapalinou, p=50MPa 1100 až 1600

Atmosféra 344

Středotlaké hadice s kapalinou 300 až 550

Vysokotlaké hadice s kapalinou 650 až 800

Umělohmotné trubice s kapalinou 20 až 800

Tepny s krví až 8

Hydraulický ráz

139

10. Hydraulický ráz

Matematické modely pro zkoumání těchto jevů jsou velmi složité, neboť jsou silně závislé na

experimentálně zjištěných datech. Vzhledem ke složitosti celého děje je vhodné zvolit následující

postup

experimentálně definovat typickou úlohu se stlačitelností vody z důvodu definice modulu

pružnosti,

výsledky měření pak využít k definici okrajových podmínek,

vyřešit matematický model,

porovnat výsledky matematického modelu s experimentem.

Po vyřešení těchto testovacích úloh je pak možno přistoupit k modelování kavitace a aerace ve

složitějších geometriích, kde zabývat se podrobným ověřováním výsledků je nemožné.

10.1 Experimentální zkoumání hydraulického rázu ve vodě.

Zařízení pro demonstraci

hydraulického rázu bylo definováno

v předchozím příkladu včetně

geometrických parametrů dlouhého

potrubí a okrajových podmínek.

Průběhy tlaků na počátku potrubí před

a za clonou, uprostřed a na konci

potrubí před ventilem byly snímány do

počítače pomocí programu Labview a

graficky vyhodnoceny, viz. obr. 10.1.

Z grafu lze odečíst periodu děje při

hydraulickém rázu.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tlak

(pa)

čas (s)

pV

pSTR

pVENT

obr. 10.1 Měřené průběhy tlaku na manometrech pV, pSTR,

pVENT

10.2 Řešení metodou elektrohydraulické analogie

Dle fyzikálního experimentu bylo zvoleno jako zdroj tlakové kapaliny hydrodynamické čerpadlo.

Uzavírání obvodu se zabezpečilo kulovým ventilem s ovládáním, které je definováno řídícím signálem.

Dále jsou ve schématu použity průtokoměry a manometry s grafickým a digitálním textovým výstupem.

Manometry na začátku pV, uprostřed pSTR a konci pKON potrubí jsou rozmístěny ve shodě

s experimentem. Další významné bloky jsou nádrž, hydraulická kapalina pro definování fyzikálních

vlastností kapaliny a bloky pro parametry numerické simulace.

Hydraulický ráz

140

Tvořič signálu (Signal Builder): tento blok slouží k nastavení časového

průběhu otevírání a zavírání ventilu. Čas uzavírání ventilu byl nastaven podle

experimentu, např tuz = 20ms.

(Simulink/Sources/Signal Builder)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Čas [s]

otevřeno

zavřeno

Nejdůležitějším prvkem obvodu je segmentované potrubí, kde vzhledem k turbulentnímu

proudění budou využity odlišné vztahy pro součinitel tření, které se ale vybírají podle rychlosti

v daném místě obvodu a Reynoldsova čísla. Obvod je tedy stejný jako pro proudění vody včetně

subsystémů.

Pro numerické řešení užitím programu SimHydraulics je využije schéma připravené pro výpočet

statické charakteristiky s následujícími úpravami:

Potrubí (Resistive Tube) se vymění za segmentované potrubí (Segmented Pipe), tj. využije se

bloku, který obsahuje potrubí (Resistive Tube), dále se paralelně připojený blok kapacity

(Constant Volume Chamber) a sériově blok indukčnosti (Fluid Inertia), přitom počet segmentů

definuje právě počet těchto prvků. Čím více segmentů se zvolí, tím je přesnější výpočet, ale

také se velmi prodlužuje doba výpočtu a úloha může divergovat z důvodu zaokrouhlovacích

chyb.

Zdroj tlaku je čerpadlo

V bloku kapaliny je nutno nastavit objemový zlomek nerozpuštěného plynu na nulu (např. 1e-15),

neboť obsah plynu v kapalině je zohledněn ve změřeném modulu pružnosti.

Hydraulický ráz

141

Signal 2

zavirani ventilu

RC

S

uhl. rychlost

S PS

rpm

reference

p V

p STR

p S

p KON

SPS

m3/s

S PS

m

f(x)=0

Vypoc. konfigurace

BA

Segmented Pipeline2

BA

Segmented Pipeline1

Scope

QBA

Q

Prutokomer

SPS

PaV SPS

PaSTR

SPS

PaS

SPS

PaK1

NadrzV1

NadrzV

NadrzS

T

V

Nadrz s vyskou hladiny SNadrz

P

BA

ManometrV

P

BA

ManometrSTR

P

BA

ManometrS

P

BA

ManometrKON

BA

S

Kulovy ventil

2000

Konstanta

Kapalina

BA

Clona

T

P

S

Centrifugal Pump

obr. 10.2 Schéma obvodu na řešení hydraulického rázu užitím segmentovaného potrubí.

10.2.1 Okrajové podmínky a fyzikální vlastnosti kapaliny

Okrajové podmínky se definují na konci a začátku potrubí a jsou dány fyzikálním experimentem.

Okrajová podmínka na vstupu do oblasti je dána charakteristikou čerpadla a otáčkami. Změna je

definována uzavřením kulového ventilu, které je řízeno signálem se změnou polohy v čase

odpovídajícím přestavné době. Ventilem je definovaná okrajová podmínka na výstupu, kdy průtok je

změněn skokově z hodnoty ustáleného stavu na nulu a později zpět.

obr. 10.3 Řídící signál pro uzavření a otevření ventilu.

Fyzikální vlastnosti kapaliny jsou dány při atmosférickém tlaku v bloku hydraulické kapaliny.

Hydraulický ráz

142

Fluid density Hustota 1000 kg.m-3

Kinematic viscosity Kinematická viskozita 1.10-6 m2.s-1

Bulk modulus Modul pružnosti 12,4.106 Pa

Relative amount of trapped air

Relativní množství obsaženého vzduchu

0.000001 1

tab. 10.1 Parametry pro definování kapaliny

Modul pružnosti kapaliny byl v daném případě určen z experimentu. Hodnota tohoto modulu pružnosti

je nižší, než se uvádí pro vodu (2,1.109). Hodnota je ovlivněna přítomnosti vzduchu v kapalině.

Bohužel určit tuto hodnotu není snadné. Tedy numerický výpočet bude realizován pro změřenou

hodnotu modulu pružnosti a následně se bude realizovat pro teoretickou hodnotu modulu pružnosti a

pro různé hodnoty objemového zlomku vzduchu. Výsledky se porovnají s experimentem.

10.2.2 Vyhodnocení řešení

Na obr. 10.4 je vyhodnocen průběh tlaků před ventilem, uprostřed potrubí, za čerpadlem a za

ventilem. Je vidět, že průběh tlaku před ventilem je nejvýraznější.

obr. 10.4 Průběhy tlaků před ventilem (žlutá), uprostřed potrubí (fialová), za čerpadlem (modrá), za

ventilem (červená).

Objemový zlomek vzduchu ovlivňuje řešení podobně jako modul pružnosti. V grafu na obr. 10.4 je

zobrazen průběh tlaku pro následující varianty

Hydraulický ráz

143

fyzikální experiment

z měření určený modul pružnosti K=12.4.106 Pa a nulový obsah vzduchu

teoretický modul pružnosti K=12.4.106 Pa a objemový zlomeck vzduchu =0.02

Významným výsledkem simulace je vyhodnocení průběhu rychlosti na začátku potrubí v bodě P1, kde

je opět patrný vliv stlačitelnosti a tudíž je možno pozorovat periodické chování děje.

obr. 10.5 Průběh rychlosti na začátku potrubí.

Rychlost na konci potrubí kopíruje okrajovou podmínku uzavření rozvaděče a tedy skokové změny

rychlosti z ustálené hodnoty na nulu.

Hydromotory

144

11. Hydromotory a pneumotory

V následujících kapitolách bude prověřena funkce hydromotorů a pneumotorů, tj. plnění

jednočinných válců v pneumatickém a hydraulickém obvodu.

11.1 Simulace obvodu s jednočinným válcem – Pneumatics

Simulace plnění bude provedena pro přímočarý motor SMC C92B32-250. Plnění pneumomotoru

bude probíhat pomocí rozváděče SYA 3220-M5, který bude v simulaci nahrazen blokem „Constant

Pneumatic Orifice ISO 6358“, což je průtok otvorem s konstantním průřezem a bude reprezentovat

kanál rozváděče p – A. Clona bude nastavena pomocí změřených hodnot uvedených v Tab. 7.1. Tlak

na zdroji bude nastaven na hodnotu 4,001 bar. Motor bude zatížen závažím o hmotnosti 5,7 kg a 10

kg.

Na obr. 11.1 je schéma měřeného obvodu připraveného v Pneumatics. Pro zjednodušení byly

vytvořeny subsystémy pro přehlednost schématu.

tlak p vstup

rychlost m/s

prutok l/min

poloha m

f(x)=0konfigurace

BA

kanal rozvadece

p-A

1.19

hustota

A B

hadicka_p_A

T

P

B

A

Tlakomer

A R

Subsystem hydromotoru

BA

Pneumatic Pressure

Source

Pneumatic

Atmospheric

Reference1

SPS

PS-S 2

SPS

PS-S 111

SPS

PS-S 11

SPS

PS-S 1

N load -91.8

Mechanical

Translational

Reference1Mass 10

RCS

Load

P

V

C

R

Ideal Translational

Motion SensorQ

G

B

A

Hm. prutok

-K-

Gain

Divide2

Divide

100000

Constant2

Atmospheric

Reference

obr. 11.1 Model obvodu s jednočinným válcem

Obvod je složen z následujících bloků a subsystémů

- Blok „Pneumatic Pressure Source“ (tmavě modrá barva) k nastavení tlaku v obvodu

- Průtokoměr (oranžová barva)

- Tlakoměr na vstupu do systému (zelená barva)

- Subsystém hadičky (červená barva) je definován klasickým odporem proti pohybu (Pneumatic

Resistive Tube) a odporem proti deformaci - kapacitou (Constant Volume Pneumatic

Chamber)

Hydromotory

145

-

- Blok „Constant Area Pneumatic Orifice ISO 6358“ (žlutá barva) reprezentující kanál rozváděče

p – A

- Katalogové hodnoty

- Zvuková vodivost [ l/(s*bar) ] - 0,61

- Kritický poměr tlaků [-] - 0,44

- Změřené hodnoty

- Zvuková vodivost [ l/(s*bar) ] - 0,54

- Kritický poměr tlaků [-] - 0,42

Tab. 11.1 Katalogové a naměřené hodnoty pro rozváděč

- Blok „Mass“ (fialová barva) k nastavení hmotné zátěže

- Blok „Ideal Force Source“ (černá barva) pro nastavení síly působící proti vysunutí pístu

v modelu nastaveno na hodnotu – 56,01 N pro zatížení 5,71 kg a - 98,1 N pro zatížení 10 kg

- Blok „Pneumatic Atmospheric Reference“, „Solver Configuration“

- Subsystém jednočinného válce (světle zelená barva),

obr. 11.2 Subsystém jednočinného válce

Okrajové podmínky a nastavení modelu:

- Zdroj tlaku („Pneumatic Pressure Source“) byl nastaven na hodnotu 4,001bar.

Hydromotory

146

- Nastavení subsystému hadičky p – A je znázorněno na obr. 3.2.10

- Nastavení bloku „Constant Area Pneumatic Orifice ISO 6358“ (žlutá barva) reprezentující

kanál rozváděče p – A

obr. 11.3 Nastevení bloku reprezentující kanál rozváděče p-A

- Nastavení subsystému jednočinného válce

Hydromotory

147

obr. 11.4 Nastavení bloku Pneumatic piston Chamber

Výsledekem simulace je reakce systému na skokovou změnu tlaku na vstupu a je provedeno

porovnání s měřením pro závaží o hmotnosti 5,71 kg. Na obr. 11.5 až obr. 11.7 je vyhodnocen průběh

tlaku před vstupem do pneumatického válce, dále průběh polohy pístnice pneumatického válce,

hodnoty průtoku a rychlost pohybu pístnice.

Hydromotory

148

obr. 11.5 Porovnání průběhů tlaku u experimentu a simulace

obr. 11.6 Porovnání průběhu polohy experimentu a simulace

Hydromotory

149

obr. 11.7 Porovnání průběhu průtoku experimentu a simulace

obr. 11.8 Porovnání průběhu rychlosti experimentu a simulace

Průběh tlaku je zobrazen na obr. 11.6. Na samotný náběh tlaku může mít vliv, jak už bylo popsáno

výše nezahrnutí reakční doby rozváděče, velikost „mrtvého objemu“ válce. Průběh tlaku je ovlivněn

jako v předešlém případě nezahrnutím tlumení koncových poloh, ne zcela přesné nastavení tření a

způsob měření tlaku v simulaci a měření (před válcem experiment, ve válci simulace). Porovnání

průběhu rychlosti obr. 11.8 a polohy obr. 11.6 vykazují uspokojivou shodu. Nepřesnost mohla být

způsobena ze stejných důvodů jako u modelu dvojčinného válce. Porovnání průběhu průtoku je

zobrazeno na obr. 11.7. Průběhy se neshodují ze stejných důvodů, které byly popsány u modelu

dvojčinného válce.

Hydromotory

150

11.2 Simulace obvodu s hydraulickým válcem – Hydraulics

Následující obvod je jistou analogií s tím rozdílem, že je definová pohyb pístníce dvojčinného

hdromotoru. Zdroj energie je definován čerpadlem s konstantním průtokem, změna průtoku je pak

dána rozvaděčem, kde signál S je dán skokovou funkcí a následně modifikován rampovou funkcí, aby

byl ve shodě s reálnou hodnotou signálu. Čtyři potrubí reprezentují hydraulické hadice s nepružnou

stěnou. Odpor ve zpětné větvi reprezentuje místní odpory.

CR

Translational Spring

CR

Translational Damper

simout

To Workspace

Tlak P

Tlak B

Tlak A

Tlak

BA

T

f(x)=0

Solver

Configuration

SPS

Simulink-PS

Converter1

S PS

Simulink-PS

Converter

Signal 2

Signal Builder1

Rychlost

Rampa

Q

Proportional and

Servo-Valve Actuator

BA

Pressure Relief

Valve

Poloha

SPS

PS-Simulink

Converter6

SPS

PS-Simulink

Converter5

SPS

PS-Simulink

Converter4

SPS

PS-Simulink

Converter3

S PS

PS-Simulink

Converter2

SPS

PS-Simulink

Converter1

S PS

PS-Simulink

Converter

TPS

BA

PR

BA

P

Mechanical

Translational

Reference1

Mechanical

Translational

Reference

Mechanical

Rotational Reference

Mass

BA

Local Resistance

P

V

C

R

Ideal Translational

Motion Sensor

RCS

Ideal Angular

Velocity Source

Hydraulic Reference1

Hydraulic Reference

P

BA

Hydraulic Pressure

Sensor2

P

BA

Hydraulic Pressure

Sensor1

P

BA

Hydraulic Pressure

Sensor

BA

Q

Hydraulic Flow Rate

Sensor

B

R

A

C

HM

T

P

S

Fixed-Displacement

Pump

Custom Hydraulic

Fluid

30.3

Constant

BA

Check Valve

BA

B

BA

A

obr. 11.9 Schéma obvodu

V obvodu se vyskytují nové hydraulické prvky, které budou definovány dále.

Hydromotory

151

Hydrogenerátor s konstantním geometrickým objemem (Fixed displacement

pump)

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Bloks/Hydraulic/Pumps and Motors)

Parametry hydrogenerátoru zapsané tabulkou.

K bloku musí byt připojen zdroj otáček, do kterého vstupují požadované otáčky

zadané blokem tvořiče signálu „Signal builder“

Jednočinný přímočarý hydraulický motor (Single-Acting Hydraulic Cylinder)

Simuluje hydraulické zařízení vykonávající sílu v jednom směru.

(Simulink/Simscape/SimHydraulics/Bloks/Hydraulic Cylinders)

Viskózní tlumení v hydroválci je zadáno blokem Tlumiče, který je popsán rovnicí.

Tlumič (Translational Damper) Tlumič reprezentuje ideální přímočary viskózní

tlumič, zadává se součinitel tlumení.

(Simulink/Simscape/Foudation library/Mechanical/Mechanical translation

elements/)

b – součinitel viskózního tlumení, v – relativní rychlost

Hydromotory

152

Místo tlumení může být použit blok přesnější, vyjadřující tření Stribeckovým efektem.

Tření (Translational Friction) Tření mezi dvěma pohybující se tělesy je popsáno

jako suma složek Stribeckova, Coulombova a viskózního třeni.

(Simulink/Simscape/Foudation library/Mechanical/Mechanical translation

elements/)

Tření na obr. 11.10 je popsáno jako suma složek Stribeckova, Coulombova a viskózního třeni a je

dáno následující rovnicí.

obr. 11.10 Třecí síla

FT – třecí síla, FC – Coulombovo tření, Fbrk – sila na překonání statického tření FS, cv – koeficient který

je roven 4/vmin, vmin – rychlost, kdy je třecí síla nejmenší, v – relativní rychlost, fv- koeficient viskózního

tření je roven Fv/v.

Obr. 11.11 Zadané hodnoty v bloku tření

Na

Hydromotory

153

Hydromotory

154

Hydromotory

155

Hydraulický akumulátor

156

12. Hydraulický akumulátor

12.1 Význam akumulátoru

Hydraulický akumuláror akumuluje tlakovou energii kapaliny v hydraulických obvodech. Používá se

jako

tlumič tlakových pulzací

jako ochrana proti přetížení

zrovnoměrňuje dodávku energie při nerovnoměrném odběru

nouzový zdroj tlakové energie

Hydraulické akumulátory se rozdělují podle konstrukce na:

pístové akumulátory (závažové, pružinové)

plynové akumulátory (s přímým a nepřímým stykem s kapalinou)

12.2 Odpory hydraulického plynového akumulátoru

Ideální hydraulický akumulátor představuje ideální zdroj tlaku ap o konstantní hodnotě, neboli

01

a

a

a QCt

p. Pro průtok akumulátorem 0aQ musí kapacita akumulátoru splňovat

podmínku K

VCa

0. K dosažení velké kapacity akumulátoru by byl potřebný značně velký

objem akumulátoru 0V .

Skutečný akumulátor má konečný objem a tudíž i kapacitu, která se určí vztahem

n

aa

ap

p

np

VC

1

00

. Pro izotermickou (tj. pomalou) změnu je 1n a u polytropické změny záleží

hodnota koeficientu na rychlosti změny a určuje se experimentem. Ze zkušeností bylo stanoveno

rozmezí exponentu 21 nnn v závislosti na době změny stavu . Mezní hodnoty jsou

18.1

65.11n a

54.2

55.32n . Pomalé změny stavu trvají po dobu až 10 min. Rychlé změny

trvají pod 1 min.

Izoentropicý součinitel 41. (pro dvouatomové plyny) je závislý na teplotě a tlaku plynu. Pro dusík

lze závislost vyjádřit lineární funkcí

t410.7833.103833.04.1 pro 1000 t a 600 p ( 12.2.1)

kde t je teplota ve stupních Celsia a tlak v MPa. Do přetlaku 100 MPa se projevuje nelinearita a při

10 MPa se odchylka exponentu největší ( je o 0,05 až 0.1 menší než vypočtená hodnota dle (

12.2.1)). Do přetlaku 10 MPa se prakticky vliv teploty zanedbává.


157

Obecné schéma membránového akumulátoru je na

obrázku. Je třeba uvažovat hmotnost a tuhost membrány či

pryžového vaku. V případě, že se zanedbává tato hmotnost, pak

při přímém styku kapaliny a plynu odpadá pohybová rovnice.

Pro průtok aQ z akumulátoru platí vztah

dt

dpCQ a

aa , kde kapacita akumulátoru je dána při

polytropické změně vztahem n

aa

ap

p

np

VC

1

11

. Ve vzorci

la

l1

Vk

V1

Va

Sa

V0

p1

pa

Qa

S

p

je 1p statická složka tlaku na počátku děje a 1V odpovídající objem plynu. Při relativně malých

změnách tlaku a průtoku je kapacita akumulátoru konstantní.

Odpor proti pohybu aR se skládá z odporu vaku, odporu kapaliny v nádobě a především

z odporu v hrdle akumulátoru 22 a

aS

R

, neboť v tomto místě je největší rychlost i zrychlení. Pak se

využije vztahu pro odpor proti pohybu u potrubí.

Odpor proti zrychlení se skládá z odporu proti zrychlení pryžového vaku a sedla, dále

z odporu kapaliny v nádobě akumulátoru a hlavně kapaliny v hrdle akumulátoru

S

S

l

l

S

lL a

aa

aa 1 .

Příklad 12.2.1

Řešte dynamické parametry akumulátoru typu 215AGV-1. Tvar akumulátoru je koule o poloměru r =

0,15 m, objem plynu je dán vzorcem pro objem koule 3

03

4rV .

Zadané počáteční parametry jsou:

plnící tlak 0p = 1 MPa (rel.) = 1,1 MPa (abs.)

stlačení na tlak 1p = 2 MPa (rel.) = 2,1 MPa (abs.)

Při stlačení platí pro plyn stavová rovnice nn VpVp 1100 , pro pomalé plnění je adiabatická konstanta

n =1, tj. jedná se o izotermní stlačení, tedy

1

0011100

p

pVVVpVp


158

Dynamická změna je v systému vyvolána skokovou změnou tlaku

z p1 = 2 MPa (rel.) na pa = 10 MPa (rel.). Pro adiabatickou změnu

platí

n

aa

n VpVp 11 1

1

1 Vp

pV

n

a

a

Kapacita akumulátoru při těchto podmínkách je dána vztahem:

1

1

pp

VV

p

VC

a

aa

Místní odpor proti pohybu v hrdle akumulátoru se určuje odlišně

podle toho, zda se jedná o proudění turbulentní nebo laminární,

kdy ale odpor proti pohybu je třeba linearizovat

V2

R

R

turbulentní 2

22

42

2

a

a

a

a

dd

l

SR

,

laminární 42

128

2 a

a

a

ad

l

SR

Odpor proti zrychlení v hrdle akumulátoru je určený vztahem

S

S

l

h

S

lL a

aa

aa 1 nebo

jednodušeji

a

aa

S

lL .

12.3 Matematický model hydraulického plynového akumulátoru

Rovnice vyjadřující průtok a tlakový spád v akumulátoru jsou pak dány vztahem


a

a

a QCt

p

1resp. dtQ

Cp a

a

a

1 ( 12.3.1)

dt

dQLQRpp a

aaalina 1 dt

dQLQRpp a

aaaa 2

1

Rovnice ( 12.3.1) tvoří matematický model proudění v akumulátoru, kde neznámé veličiny jsou tlak 1p

na vstupu do akumulátoru, ap je tlak nad kapalinou v akumulátoru a aQ je průtok akumulátorem.

Jsou to dvě rovnice o třech neznámých, tedy jedna veličina, tj. tlak 1p , bude zvolena jako vstupní

signál a zbývající dvě se vypočítají.


159

Vzhledem k definicím tlakového

spádu na hydraulických odporech

této rovnici odpovídá schéma

sériového řazení všech tří odporů.

Ra La

pR pL

p=p1

pC

D=1/Ca p=0 p1

Kapacita akumulátoru je dána objemem akumulátoru. Dále je dán plnicí tlak akumulátoru a počáteční

objem kapaliny. Specific heat ratio je poměr měrných tepel při konstantním tlaku a teplotě a pro vzduch

je 1,4. Pokud je tlak na vstupu do akumulátoru větší než plnicí tlak, pak kapalina vtéká do akumulátoru

a naopak.

Akumulátor (Gas-Charged Accumulator) blok akumulátoru ve kterým jsou komory odděleny vakem, membránou nebo pístem. Akumulátor se skládá z předem naplněné plynové komory a komory na tekutinu. Komora na tekutinu je připojena k hydraulickému systému. Stlačitelnost tekutiny, vstupní hydraulický odpor a oddělovací vlastnosti jako setrvačnosti a tlumení nejsou modelovány. Tento proces se v plynové komoře předpokládá polytropický. (Simcape / SimHydraulics / Accumulators)


160

Total accumulator volume Celkový objem akumulátoru 0.008 m3

Minimum gas volume Minimální objem plynu 4e-5 m3

Precharge pressure (gauge) Plnicí tlak 4e4 Pa

Specific heat ratio Specifické teplo 1.4 1

Initial fluid volume Počáteční objem kapaliny 0 m3

Hard – stop stiffness coefficient Pevný - stop tuhosti koeficient 1e10 Pa/m3

Hard – stop damping coefficient Pevný - stop tlumící koeficient 1e10 s·Pa/m6

Parametry, které se zadávají do menu akumulátoru, jsou:

Capacity – objem vzduchu v akumulátoru (zpravidla objem daný geometrií)

Preload pressure – plnicí tlak

Initial volume – objem kapaliny v počátečním stavu (t=0). Tento objem je zpravidla roven

nule, ale významně ovlivňuje řešení. Je optimální v bloku řešiče (f(x)=0) zatrhnout parametr pro

výpočet stacionárního stavu pro čas t=0. Tím je hodnota Initial volume nastavena na hodnotu

odpovídající stacionárnímu stavu.

Matematický model je dán následně

dt

dVQ k

a

0KV pro prpp a

k

pr

AKp

pVV

/1

1 pro prpp

kde KV objem kapaliny

AV kapacita akumulátoru (objem)

p aktuální tlak na vstupu

prp tlak plnicí

k poměr měrných tepel

Q objemový průtok

t čas

Je vidět, že neobsahuje odpor proti pohybu ani zrychlení.


161

12.4 Hydraulický ráz s akumulátorem

Hydraulický ráz je typický dynamický jev, charakteristický periodickou změnou hydraulických veličin

při náhlém uzavření ventilu. Akumulátor je prvek, který slouží k utlumení tlakových špiček, tedy bude

využit v obvodu definovaném v minulé kapitole. Otázkou je, jak velký akumulátor bude použit a kde

bude umístěn. Podrobným rozborem dynamiky se akumulátor umístí do míst s největšími tlakovými

pulzacemi a velikost bude testována.

Dle předchozí kapitoly byl vyřešen obvod s náhlým uzavřením ventilu. Průběhy tlaků byly

vyhodnoceny v bodech, kde byly umístěny snímače. Před ventilem bylo vysledována největší

amplituda periodické tlakové funkce, viz obr. 12.2. Po vložení akumulátoru dle schématu na obr. 12.1

před ventil o parametrech

objem akumulátoru 0.008 m3/s

tlak 4e4 Pa

je možno vidět v druhé části obrázku obr. 12.2. významné tlumení tlakových pulzací ve všech

snímaných bodech. Významně se také změnila frekvence tlakové funkce. Důvodem je změna složení

obvodu, tj. významně se změnil objem obvodu z důvodu akumulátoru a tím kapacita (K

VC ).

Experiment není k dispozici.

Signal 2

uzavirani

RC

S

uhl. rychlosttlaky

S PS

rpm

reference

2000

otacky/min

T

V

nadrz s hladinou

SPS

m3/s

BA

S

kulovy ventil

BA

clona

T

P

S

cerpadlo

f(x)=0

Vypoc. konfiguraceBA

Seg. potrubi2

BA

Seg. potrubi1

S PS

S-PS zav

QA

Q

BA

Q

PrutokomerA

BA

Q

Prutokomer

SPS

PaV SPS

PaSTR

SPS

PaS

SPS

PaK1

NadrzV1

NadrzV

NadrzSNadrz

P

BA

ManometrV

P

BA

ManometrSTR

P

BA

ManometrS

P

BA

ManometrKON

Kapalina

Akumulator

SPS

1

obr. 12.1 Schéma obvodu s hydraulicky dlouhým potrubím a akumulátorem.


162

obr. 12.2 Náhlé uzavření obvodu - průběhy tlakového spádu v obvodu bez akumulátoru

s akumulátorem před ventilem.


163

Při zařazení akumulátoru na začátek obvodu se utlumení neprojeví, viz obr. 12.3 vlevo. Při umístění

akumulátoru uprostřed se objeví tlumení opět před akumulátorem, za ním (tedy před ventilem) je

zanedbatelné, viz obr. 12.3 vpravo.

obr. 12.3 Náhlé uzavření obvodu - průběhy tlakového spádu v obvodu s akumulátorem na začátku

obvodu za čerpadlem a uprostřed obvodu.

Při zvýšení tlaku např. na hodnotu 4e5 Pa akumulátor není aktivován, neboť tlaky v obvodu jsou při

rázu menší, než je tato hodnota. Dále je možno testovat minimální objem akumulátoru, aby se

zabezpečilo tlumení (z ekonomického hlediska).

12.5 Dynamické konstanty některých akumulátorů

Pro určení dynamických vlastností akumulátorů nejsou od výrobců k dispozici potřebné údaje.

Pro několik vybraných akumulátorů jsou známé jejich parametry z literatury a byly získány na základě

experimentů. Vlastní frekvence a časové konstanty netlumených kmitů jsou dopočítány na základě

známých vztahů

Akumulátory 215AVG-1

Jihlavan

215AVG-25

Jihlavan

TGL10-160

Orsta

TGL25-160

Orsta

p1 [MPa] 2 5 2 5

p2 [MPa] 10 10 10 10

V1 [m3] 0.001 0.0025 0.01 0.025

Ra (lin) [Nm-5s] (1.231.6).107 (11.2).107 (1.31.8).106 2.106

La [Nm-5s2] (45).105 (4.45.1).105 (1.41.9).105 (1.961.98).105

Ca [N-1m5] (0.260.21).10-10 (0.820.72).10-10 (1.71.2).10-10 (9.69,7).10-10

Ta (0.003220.00324) (0.006010.00606) (0.004880.00477) (0.013720.01386)

fa (49.3549.12) (26.5026.26) (32.6233.33) (11.6011.48)


164

12.6 Prvky s převažující kapacitou

Nádoba naplněná kapalinou je definována tak, že se uvažuje zpravidla pouze stlačitelnost kapaliny

a dokonale pružná nádoba. Kapacita je definována jako K

VC N

N .

Přenos

165

13. Laplaceova a Fourierova transformace, přenosy

13.1 Laplaceova transformace spojité funkce

Teorie Laplaceovy a následně Fourierovy transformace je platná pouze pro lineární resp.

linearizované systémy, tedy pro laminární nebo linearizované turbulentní proudění.

13.1.1 Definice komplexního čísla a funkcí

Komplexní čísla jsou čísla ve tvaru

0)(Im)(Re iaiaa (

13.1.1)

kde 0, jsou reálná čísla. Každé komplexní číslo různé

od nuly lze vyjádřit v goniometrickém tvaru

sincos0 iaeaia i (

13.1.2)

0

20

222

arctgaRe

aImarctg

,aImaRea

Im(a)

r=│a│

ψ

Re(a)

obr. 13.1 Zobrazení komplexního čísla

13.1.2 Laplaceova transformace spojité funkce

Laplaceovým obrazem funkce tx se nazývá funkce komplexní proměnné X(s), daná

integrálem

,0

tdtxesX st

( 13.1.3)

pokud uvedený integrál konverguje (ukáže se, že v některých případech je třeba se z tohoto důvodu

omezit na některé hodnoty s). Funkce tx se nazývá vzor. Často se také označuje txLsX .

Dále budou definovány obrazy jednoduchých často používaných funkcí, které lze integrací snadno

odvodit. Např.

tx txLsX

01

00

tpro

tprotu - jednotkový skok

s

1

t

tttu

0 pro 1

,0 pro 0 -impulz 1

te

s

1

t 2

1

s

Přenos

166

t

sin1

22

1

s

t

sinh1

22

1

s

tcos 22 s

s

tx - první derivace s nul. poč. podmínkami txsL

tx n - n-tá derivace s nul. poč. podmínkami txLsn

dxt

0

s

txL

V tabulkách lze nalézt přehled nejdůležitějších funkcí, které se vyskytují často v aplikacích i s jejich

Laplaceovými obrazy. Obrácené užití takového přehledu dovoluje řešit i inverzní úlohu, tj. vyhledat

k danému Laplaceovu obrazu jeho vzor. Tato úloha je obecně řešitelná též pomocí inverzní

transformace (Riemannův-Mellinův vzorec).

dssXei

tx

ia

ia

st

2

1 ( 13.1.4)

Již nyní je zřejmá výhoda, kterou bude pro aplikace zavedení operátorového počtu. Obecně obtížné

integrování, pro které ani nelze zavést obecná pravidla, je zde nahrazeno dělením Laplaceovým

parametrem s , derivace násobením s . V tomto smyslu připomíná zavedení operátorového počtu

zavedení logaritmů, kdy se násobení a dělení „vzorů“, tedy čísel, nahradí sčítáním a odčítáním jejich

„obrazů“, tedy logaritmů. Inverzní transformaci lze řešit pomocí Laplaceova slovníku přímo,

pomocnými úpravami, tj. rozkladem na parciální zlomky a pak využitím Laplaceova slovníku nebo

numericky.

13.2 Přenos systému

Metody vyhodnocení fyzikálních dynamických dějů popsaných matematickým modelem ve tvaru

diferenciálních rovnic jsou dvojího typu

a) obrazové přenosy - jsou definovány závislosti stavových veličin na čase

přechodová, odezva dynamického systému s nulovými počátečními podmínkami na

vstupní signál ve tvaru skokového signálu, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.

impulzní charakteristika je odezva dynatmického systému při nulových počátečních

podmínkách na vstupní signál ve tvaru Diracova impulzu, viz Chyba! Nenalezen

zdroj odkazů.

b) frekvenční přenosy - jsou definovány závislostí podílu Laplaceových obrazů

výstupního a vstupního signálu na frekvenci, vyšetřují se tzv. frekvenční charakteristiky

systému (tj. amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky). Přesněji jsou definovány

Fourierovými obrazy, což bude vysvětleno později.

Příklad 13.2.1

Přenos

167

Určete přenos linearizované diferenciální rovnice druhého řádu odpovídající T článku RLC s nulovými

počátečními podmínkami a danými konstantami.

pLCRdt

pd

RQ

LCdt

dQ

CRdt

Qd

linlinlin

1111

2

2

2

2

( 13.2.1)

Laplaceova transformace se odvodí při použití označení sPtpLsqtQL ,

následovně

sPLCR

sPsR

sqLC

ssqCR

sqslinlinlin

1111 22

LCRs

RsP

LCs

CRssq

linlinlin

1111 22

Přenos pro vstupní tlak je

LCs

CRs

LCRs

R

sP

sqsY

lin

linlinqp 11

11

2

2

Přenos pro vstupní průtok je převrácenou hodnotou

LCs

LC

Rs

CsR

LCRs

R

LCs

CRs

sq

sPsY

linlin

linlin

linpq 1

1

11

11

2

2

2

2

Příklad 13.2.2

Určete graficky přenos ieYYiYYsY ,Im,Re, rovnice uvedené

v příkladu pro T-článek.

a) Tlak je vstupní veličina a průtok je výstupní veličina

1

1

2

2

sR

LLCs

Rs

R

LC

sP

sqsY

lin

linlin

Přenos

168

obr. 13.2 a) ,ReY b) ,ImY

Velikost přenosu sYsYsY 22 ImRe (absolutní hodnota, resp. amplituda přenosu), viz

obr. 13.3, fáze přenosu sY

sY

Re

Imarctg

-15

-10

-5

0 0

20

40

60

0

2

4

6

8

10

12

14

omega

Laplaceova transformace

beta

abs(Y

)

-15

-10

-5

0 0

20

40

60-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

omega

beta

arc

tg(Y

)

obr. 13.3 Grafické vyhodnocení absolutní hodnoty obecného přenosu nad rovinou ,

13.3 Poznámky k počátečním podmínkám

Obyčejná diferenciální rovnice řešená numericky nebo Laplaceovou transformací vyžaduje zadání

počátečních podmínek. Z předešlého výkladu plyne, že při výpočtu obecného přenosu a frekvenčních

charakteristik je zvykem uvažovat počáteční podmínky rovny nule, což je omezující předpoklad. Proto

se uvažovaný děj, který obsahuje jak stacionární tak nestacionární složku, rozdělí na součet těchto

složek. Nechť p a Q jsou celkové tlaky a průtoky, pak lze psát:

Přenos

169

QQQ

ppp

u

u

( 13.3.1)

up a uQ jsou stacionární neboli časově ustálené veličiny a p a Q jsou dynamické neboli

neustálené, časově závislé veličiny. Pak lze uvažovat počáteční podmínky pro ustálené hodnoty jako

nenulové a pro dynamické hodnoty jako nulové (při vyšetřování dynamiky se ustálená složka neřeší).

Výchozí rovnice se rozdělí na dvě rovnice pro ustálené a neustálené veličiny a řeší se jako izolovaný

systém. Celý postup se pro ilustraci uvádí na příkladu určeném rovnicí

pRQdt

dQL 2

( 13.3.2)

Dosadí se součet ustálené a dynamické složky a upraví:

ppQRQRQRQdt

QdL

dt

dQL

ppQQRdt

QQdL

uuuu

uu

u

22

2

2

( 13.3.3)

Derivace ustálených veličin podle času jsou rovny nule, výraz 2QR je zanedbatelný (druhá mocnina

dynamických odchylek 2Q je mnohem menší než QQQ uu

2resp.2 - je to běžná metoda linearizace)

rovnice se tedy zjednoduší:

ppQQQRdt

QdL uuu

22. ( 13.3.4)

Rovnice se rozdělí na rovnice dynamické a ustálené tak, aby v součtu tvořily výchozí rovnici

uu

u

pRQ

pQRQQd

L

2

2dt ( 13.3.5)

Označme ulin RQR 2 . Pak předchozí soustava bude mít tvar:

uu

lin

pRQ

pQRQd

L

2

dt ( 13.3.6)

Pro takto definovanou diferenciální rovnici jsou počáteční podmínky rovny nule a ustálený děj je

popsaný dle předpokladu. Z důvodu snazšího zápisu se označení s apostrofem nebude používat.

Přenos

170

13.4 Stabilita systému

Soustava je stabilní, jestliže odezva na konečný vstupní signál je také konečná. Nechť soustava

je určena přenosem

sF

sfsY ( 13.4.1)

Nechť sF je tzv. charakteristický polynom. Kořeny polynomu F (nulové body) se nazývají póly

přenosu. Soustava, která je lineární, spojitá, reálná a časově invariantní, bude považována za stabilní

v případě, že kořeny polynomu sF resp. póly přenosu jsou záporné nebo se zápornou reálnou

částí tj.

0 ,0

kkkkk is ( 13.4.2)

Bude-li aspoň jedno číslo ležet na imaginární ose, tj.

0 ,0

kkkkk is ( 13.4.3)

pak v případě, že toto číslo je jednoduché, se soustava bude nazývat soustavou na mezi stability. k

se nazývá vlastní kruhovou frekvencí soustavy, fk 2 , f je vlastní frekvence, jejíž význam

bude zřejmý při rezonanci. Vlastní frekvence se projeví v grafu přenosu jako hodnota rovna

nekonečnu a pro 0 jako hodnota maximální.

Příklad 13.4.1

Určete stabilitu rovnice uvedené v příkladu pro T-článek.

a) Tlak je vstupní veličina a průtok je výstupní veličina

1

1

1

2

2

2

2

sR

LLCs

Rs

R

LC

RLsLCsR

LCs

sP

sqsY

lin

linlin

linlin

0.2

linlin RsLLCsRprosY2

4112

2,1

LCCRCRs

linlin

Reálná část je záporná, soustava je stabilní, i stabilitu neovlivní.

b) Průtok je vstupní veličina a tlak je výstupní veličina

12

2

LCs

RLsLCsR

sq

sPsY linlin

012LCsprosY iLC

iLC

s 11

2,1

Přenos

171

Reálná část je rovna nule, výstupní signál je netlumený. Imaginární část definuje harmonický signál.

13.5 Fyzikální význam přenosů vyšších řádů a jejich parametrů

V technické praxi se nejčastěji vyskytují přenosy prvního a druhého řádu odpovídající fyzikálnímu

ději, popsanému obyčejnou diferenciální rovnicí prvního nebo druhého řádu. Proto je vhodné se

seznámit s jejich významem a vyhodnocením.

13.5.1 Přenos prvního řádu

Přenos Ts

K

sP

sqsY

1 odpovídá diferenciální rovnici pKQ

dt

dQT , kde T je tzv.

časová konstanta a K je součinitel zesílení. Přechodová charakteristika je dána rovnicí

T

t

ust eQQ 1

kde ustQ je asymptota (ustálená hodnota pro

t ) a může se určit z výchozí diferenciální

rovnice (první derivace pro asymptotu je rovna nule)

pKQust . Časová konstanta se odečte

z přechodové charakteristiky. V počátku souřadnic se sestrojí tečna přechodové charakteristiky, která

protne přímku ustálené hodnoty ustQ v bodě A, jehož souřadnice udává časovou konstantu T .

13.5.2 Přenos druhého řádu

Přenos 2221 sTaTs

K

sP

sqsY

odpovídá diferenciální rovnici

pKQdt

dQaT

dt

QdT 2

2

22

, kde T je tzv. časová konstanta, a je tzv. součinitel

poměrného tlumení a K je součinitel zesílení. Časová konstanta bude definována jako LCT

a součinitel poměrného tlumení C

LRa

2

1 . Pokud se zavede tzv. kruhová frekvence

T

10 ,

pak přenos bude mít tvar

2

0

2

0

2

0

22 2

´

21

´

ssa

K

sTTsa

KsY

sP

sq

( 13.5.1)

T je časová konstanta (není to perioda), a je poměrné tlumení, T

10 je frekvence kruhová.

Přenos charakterizuje periodický nebo aperiodický průběh podle toho, jaké jsou póly přenosu, resp.

kořeny jmenovatele přenosu. Tedy

12

02,1 aas

T

A

y

ys

0 t

Přenos

172

I) pro 1a jsou kořeny reálné, přechodová

charakteristika bude aperiodická

Q

Qs

0 t

II) pro 1a jsou kořeny komplexně

sdružené, přechodová charakteristika

bude periodická, frekvence tlumeného

kmitání je

k

NTT

aa

211

2

0

2

k

Q

Qs

0 t

T

A

A

1

2

Z přenosu lze přímo určit přechodovou charakteristiku jako odezvu na impulzní vstupní signál, viz.

[10].

Na příkladu obvodu RLC se demonstruje určení přenosu a vlastní frekvence jak početně tak graficky.

Příklad 13.5.1

Rovnice T-článku v Laplaceově obrazu je

pdt

pdLCQR

dt

dQL

dt

QdLCR linlin

2

2

2

2

a přenos je určen podílem Laplaceova obrazu výstupní a vstupní veličiny

1

1

1

2

2

2

2

sR

LLCs

Rs

R

LC

RLsLCsR

LCs

sP

sqsY

lin

linlin

linlin

( 13.5.2)

Časová konstanta netlumených kmitů je dána vztahem LCT a poměrné tlumení

C

L

Ra

lin2

1 . Pro určení stability se naleznou póly přenosu, tj.

0.2

linlin RsLLCsRprosY2

4112

2,1

LCCRCRs

linlin

Reálná část je záporná, soustava je stabilní. Diskriminant může být kladný i záporný. Z toho vyplývá,

že

Přenos

173

I) v případě, že 01

2

12

LCCRlin

, jsou kořeny 2,1s reálné, tudíž vlastní frekvence neexistuje,

respektive je nulová.

II) v případě, že 01

2

12

LCCRlin

, jsou kořeny 2,1s komplexně sdružené, vlastní kruhová

frekvence je LCCRlin

1

2

12

.

13.6 Fourierova transformace spojitých signálů

Pro prezentaci spojitých lineárních funkcí je postačující uvažovat zvláštní případ Laplaceovy

transformace – Fourierovu transformaci, která je definovaná pro argument is , tedy parametr

je nulový. Zvláště pro určení přenosu a dalších vlastností z přenosu vyplývajících je tento přístup

vhodný.

Nechť funkce tx je absolutně integrovatelná a tx , tx jsou po částech spojité

v prostoru reálných čísel R, pak funkce-

dtetxiF ti ( 13.6.1)

se nazve komplexním Fourierovým obrazem funkce tx . Funkce tx je tedy originálem

(předmětem).

Zobrazení, které předmětu tx , tR, přiřazuje Fourierův obraz iF dle vztahu ( 13.6.1) se

nazývá Fourierovou transformací a značí se F. Fourierův obraz iF se nazývá též spektrální

funkce nebo spektrální hustota originálu tx a charakterizuje spojité spektrum funkce tx , tR:

hodnota iF tvoří amplitudovou spektrální hustotu,

iFarg (resp. iFarg ) je fázová spektrální hustota, , .

Snadno lze vyhodnotit 22ImRe iFiFiF ,

iF

iF

Re

Im graficky a

získat tzv. amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku.

Příklad 13.6.1

Vyhodnoťte přenos příslušný diferenciální rovnici pro T-článek. Počáteční podmínky průtoku

jsou nulové podle definice přenosu. Tudíž Laplaceův obraz zadané rovnice je

Přenos

174

111

11

1

11

1

1

12

2

2

2

2

2

2

2

sbsa

sac

sR

LLCs

LCsR

sR

LLCs

Rs

R

LC

RLsLCsR

LCs

sP

sqsY

l in

lin

lin

linlin

linlin

Přenos je určen podílem výstupní a vstupní veličiny a jeho amplitudovou a fázovou frekvenční

charakteristiku pro is lze graficky zobrazit.

13.7 Frekvenční analýza v SimHydraulics

SimHydraulics umožňuje metodou linearizace po blocích provést linearizaci obvodu sestaveného

v SimHydraulics a vyhodnotit přenosy, které jsou podle definice aplikovatelné jen na lineární systémy.

Existuje také možnost zpětně se zabývat kvalitou linearizace, tj. linearizovaný systém uložit, vytvořit

obvod analogický původnímu nelineárnímu se shodnými vstupními parametry, jen obvod bude

linearizovaný a porovnat reálné řešení. Pro naše účely bude postačovat grafické vyhodnocení

frekvenčních charakteristik. Postup vyřešení frekvenční analýzy bude aplikován na obvod

s nelineárním T článkem následovně:

určí se polohy vstupního a výstupního bodu v nelineární obvodu, které mohou ležet na

spojnici bloků Simulinku, nikoliv SimHydraulics (testovaný signál musí být bezrozměrný)

vloží se vstupní bod (input), tj. pravým tlačítkem myši se rozklikne spojnice mezi blokem

Signal Builder a převodníkem S-PS, čímž se rozbalí roleta kde se vybere Linearization

Points/Input Point.

Po odkliknutí se vytvoří specifická značka vstupu na spojnici . Podobně se vytvoří výstup,

který musí ležet kdekoliv v obvodě za PS-S převodníkem, v našem případě na zobrazovací

větvi za průtokoměrem1. Značka výstupu je odlišná .

Přenos

175

po nastavení vstupu a výstupu se spustí simulace, ODE15s,

v Tools/Control Design/ Linear Analysis se otevře tabulka Control and Estimation Tools

Manager a spustí Linearize Model.

vytvořený graf lze dále upravovat kliknutím myší (kurzorem) do okna vlevo dole a

z nabídky vybrat např. bode diagram pro amplitudovou a fázovou charakteristiku.

logaritmické osy běžné pro frekvenční analýzu případně další úpravy lze dále vytvořit

kliknutím myší (kurzorem) do okna grafu a z nabídky vybrat Properties (pro rozsah os,

stupnice, barvy atd.), resp. Charakteristics-Peak Response pro určení vlastní frekvence

Přenos

176

Příklad

Vytvořte frekvenční charakteristiky pro obvod prezentující T článek.

tlakovy spad

AQ

B

prutokomer1

AQ

B

prutokomer

nadrz2

nadrz1

Q_za_T

To Workspace3

tlakovy_spad_na_T

To Workspace2

Q_za_zdrojem

To Workspace1

f(x)=0

Solver

Configuration

Signal 2

Signal Builder

PSS

S-PS

Q za zdrojem

Q za ventilem

PS S

PS-S2

PS S

PS-S1

PS S

PS-S

AB

P

Manometr1

A B

Linear Hydraulic

Resistance

S TP

Ideal Hydraulic

Pressure Source

A B

Fluid Inertia



obr. 13.4 Obvod T článek s vloženými body vstupu a výstupu

Přenos

177

Bode Diagram

omega (rad/sec)

10-3

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Ph

ase (

deg

)

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

From: Signal Builder (pt. 1) To: PS-S (pt. 1)

Mag

nit

ud

e (

ab

s)

obr. 13.5 Upravená amplitudová a ftekvenční charakteristika.

Z výsledků je zřejmé, že hodnota vlastní frekvence odpovídá vlastní frekvenci určené z numerického

řešení i z přímého vyčíslení přenosu programem Simulink.

Přenos

178

Literatura:

[1] Angot , A.: Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry, Praha: SNTL, 1971

[2] Kubíček,M.: Numerické algoritmy chemicko-inženýrských úloh. SNTL 1983

[3] Ralston,A.: Základy numerické matematiky. Academia Praha, 1973.

[4] Braun, J.-Čížek,V.-Kvasil,HJ.-Novák,M.: Analýzy lineárních obvodů a soustav. SNTL 1973.

[5] Noskievič,J.:Dynamika tekutinových mechanismů. Skripta VŠB Ostrava 1993.

[6] Pochylý František: Dynamika tekutinových systémů. Skriptum, VUT Brno, 1990

[7] Rektorys K. a Kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968

[8] Turza, J.: Dynamika tekutinových systémov. Skriptum VŠDS v Žiline, 1994

[9] Zymák, V.: Dynamika pulzujícího průtoku. PC-DIR spol, s R.O. Brno, 1994

[10] Noskievič, P.: Modelováí a identifikace systémů. MONTANEX a.s. ,1999

[11] Šerek M., Šálek J.: Inženýrské sítě a závlahové stavby, vodohospodářské tabulky. Skripta VUT

Brno, 1979, 181 str.

[12] Miller D. S.: Internal Flow System, BHRA UK, 396 s., ISBN 0-947711-77-5

[13] References[1] Meritt, H.E., Hydraulic Control Systems, John Wiley & Sons, New York, 1967

[14] Holcke, Jan, Frequency Response of Hydraulic Hoses, RIT, FTH, Stockholm, 2002

[15] Kozubková, M. Dynamika 2003.

Přílohy

179

14. Přílohy

14.1 Rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice

Proudění kapalin obecně a tedy i v potrubních systémech je dáno následujícími rovnicemi:

rovnice kontinuity, tj. zákon zachování hmoty 0mdt

d

Navierovy Stokesovy pohybové rovnice vyjadřují rovnováhou sil, kdy setrvačná síla je

rovna součtu hmotnostní (gravitační, odstředivé), tlakové a třecí (viskózní) síly

tps FFFF

0 , resp.

vpavgradv

t

vΔgrad

1.

Tyto rovnice jsou definovány v prostou a mohou být závislé na čase. Potrubní systémy

(hydraulické obvody) jsou specifické v tom, že rovnice jsou definovány v jednorozměrném prostoru,

přitom tento rozměr souvisí s délkou potrubí.

obr. 14.1 Proudová trubice s průřezy 1, 2

Tedy předchozí rovnice se zjednoduší tak, že se uvažuje pouze jeden souřadný směr, vektor rychlosti

má jen jednu souřadnici a tudíž se píše bez indexu a rozměr je označen l :

2

22 1cos

2

1

l

vdl

l

pdladl

l

vdl

t

v

(14.1.1)

Jednotlivé členy výše uvedené rovnice lze popsat fyzikálně takto:

dlt

v

- zrychlující měrná energie v případě neustáleného proudění

dll

v

2

2

1 - kinetická měrná energie

Přílohy

180

dll

p

∂

∂

1 - tlaková měrná energie

dll

v2

2

∂

∂ - ztrátová měrná energie (v důsledku třecích sil)

dUdldla cos - potenciální měrná energie, u které se zavádí tzv. potenciál, jinak

reprezentuje gravitační sílu definovanou zrychlením sklopeným do směru souřadného

systému

Integrací výše uvedené upravené rovnice je

01

2

12

22

Udldll

vdl

l

pdl

l

vdl

t

v

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

(14.1.2)

Pro nestlačitelné proudění se bude hustota předpokládat konstantní, pak se vyčíslí integrály pro

průřez 1-2 proudové trubice

01

212

2

1

2

2

12

2

1

2

2

2

1

UUdl

l

vpp

vvdl

t

v

(14.1.3)

Vyčíslení integrálu vyjadřujícího třecí síly je obtížné, proto se prakticky určuje poloempirickými

vztahy a označuje se ze . Představuje práci třecích sil na jednotku hmotnosti proudící tekutiny, což je

rozptýlená (disipovaná) měrná energie, nebo též měrná ztrátová energie spotřebovaná na překonání

hydraulických odporů na úseku 1 – 2 proudové trubice. Tato měrná ztrátová energie zmenšuje

mechanickou energii (tlakovou + kinetickou + polohovou) tekutiny a mění se v teplo.

Bernoulliho rovnice pro proudění skutečné tekutiny, na kterou působí pouze tíhové zrychlení

ga a tedy ghU (tj. 1212 ghghUU ) má tvar

zeghvp

ghvp

2

222

1

211

22 (14.1.4)

Měrná ztrátová energie ze se může vyjádřit jako násobek kinetické energie 2

2vez nebo tlaková

ztrátová energie z

z

pe , popřípadě ztrátová výška zz ghe . Srovnáním uvedených vztahů se

dostane

2

2vghpgh

pe zzz

zz (14.1.5)

Poslední rovnice vyjadřuje hydraulický odpor tlakovým rozdílem zp , kterému se tradičně říká tlaková

ztráta. Podobně veličina zh , je označena jako ztrátová výška i když nejde o ztrátu, ale nežádanou

přeměnu mechanické energie v tepelnou. Obě veličiny zh a zp jsou mírou rozptýlené (ztrátové)

energie. Součinitel je ztrátový součinitel a závisí na druhu hydraulického odporu či ztráty.

Pravidla pro užití Bernoulliho rovnice

Přílohy

181

Pro praktické použití Bernoulliho rovnice je možno shrnout postup do těchto pravidel:

1. V proudové trubici se zvolí dva průřezy. V jednom průřezu je nutno znát všechny veličiny hvp ,, .

Druhý průřez se volí v proudové trubici v místě, kde je hledaná veličina, přičemž ostatní dvě

veličiny jsou známé.

2. Rozhodne se o způsobu dosazování tlaků, a to jejich absolutní nebo relativní hodnoty, avšak do

jedné a téže rovnice se dosazují oba tlaky shodně.

3. Zvolí se libovolná vodorovná rovina, která se považuje za ekvipotenciální plochu nulového

potenciálu. Zpravidla se volí tak, aby procházela jedním z vybraných průřezů, a to nejčastěji níže

položeným. Polohové výšky se určí ke zvolené vodorovné rovině.

4. Měrná ztrátová energie zz ghe zahrnuje součet všech hydraulických ztrát na úseku mezi

průřezem 1a 2, pro něž se píše Bernoulliho rovnice, a přičte se na té straně rovnice, která platí

pro průřez proudové trubice ve směru proudění vzdálenější.

Nyní se napíše Bernoulliho rovnice a vypočte neznámá veličina.

14.2 Jednoduché potrubí

Pro jednoduché potrubí stálého průřezu, obr. 14.2, platí Bernoulliho rovnice, která porovnává

energii kapaliny, např. na počátku (1) a konci (2) potrubního úseku.

obr. 14.2 Schéma jednoho potrubního úseku

zghghvp

ghvp

2

2

221

2

11

22 ( 14.2.1)

Pokud se předpokládá potrubí konstantního průřezu (jedná se o jedno potrubí), potom při

platnosti rovnice spojitosti ( 21 vv ) se Bernoulliho rovnice zjednoduší na tvar

zghghp

ghp

22

11

2

2

1221 v

hhgpp

c

V rovnici jsou uvažovány ztráty třením i součet ztrát místních . Celkový ztrátový součinitel

Přílohy

182

d

ll

d

l e

c

zahrnuje ztráty třením a všechny ztráty místní (vtok do potrubí, oblouky, armatury apod). Místní ztráty

je možné vyjádřit také pomocí ekvivalentní délky nahrazující místní ztráty

dle

Protože bývá zvykem vyjadřovat charakteristiku potrubí jako závislost tlakového spádu p na

průtoku Q , pak

QQkghQkgh

Qd

hhgppp

QQ

c

2

2

2

21221

4

2 ( 14.2.2 )

Tlaková ztráta je úměrná druhé mocnině průtoku 2Q . Pokud by proudění měmilo směr, pak bude

jednoduše tlaková ztráta úměrná výrazu QQ . Je-li uvažována jen třecí ztráta v potrubí, je koeficient

Qk určen vztahem

25

8

d

lkQ

( 14.2.3 )

Tento koeficient se nazývá odpor proti pohybu a často se označuje R v souladu s označním

s elektrickými obvody. Také metoda řešení hydraulických obvodů teoreticky souvisí s elektrickými

obvody a využívá se elektrohydraulické analogie.

Přepočet mezi měrnou energií, tlakovou ztrátou a tlakovou výškou je následující

gHp

Y

( 14.2.4 )

Je-li potrubí vodorovné, pak 0h a závislost Qfp je kvadratická parabola s vrcholem

na svislé ose. Je-li na začátku potrubí zpětná klapka, která brání průtoku v opačném smyslu, potom

charakteristika potrubí ve třetím kvadrantu splyne se zápornou osou p , viz obr. 14.3.

Charakteristika potrubní větve se stoupáním je posunuta ve svislém směru a to o tlak ghp . Při

tlakovém spádu záporném se nastaví průtok v opačném smyslu, pokud ve větvi není zpětná klapka.

Přílohy

183

potrubní úsek vodorovný

potrubní úsek se stoupáním

potrubní úsek se spádem

obr. 14.3 Schéma potrubního úseku vodorovného, se stoupáním a spádem a charakteristiky

Jednoduché potrubí je určeno pro hydraulický výpočet čtyřmi veličinami: délkou potrubí l ,

průměrem potrubí d , spádem h a rychlostí v nebo průtokem Q . Současně jsou známé fyzikální

vlastnosti tekutiny, absolutní drsnost stěny potrubí, třecí součinitel a ztrátový součinitel všech

místních ztrát . Jedna ze čtyř veličin vhdl nebo Q může být určená řešením rovnice (

14.2.2 ), ( 14.2.3 ), při čemž pro třecí součinitel je vhodné volit pro jednoduchost explicitní rovnici.

14.3 Měření pomocí LabView

Práce s externím analogově - digitálním převodníkem, na kterém je napojeno šest snímačů s

napěťovým výstupem.

Na ploše je adresář Měření, kde je předdefinována úloha

ráz spustit

Následuje aktivace programu Labview Signal Express 2009

Licence Dialog Evaluate

Spustí se úloha s předdefinovaným měřením

Jinak lze postupovat takto:

Přílohy

184

Plocha/Measurement & Automation Explorer

Software

Labview Signal Expres 2009 - pravé tlačítko - spustit

Licence Dialog/Evaluate

Tlačítko Add Step přidá měřicí kanál

Add Step - Acquire Signals + DAQmxAcquire + Analog Input + Voltage

Add Chanels to Task ai0-ai5 + Channels Settings + Voltage

Channels Settings

ai0 - rozsah, počet vzorků

:

ai5 - rozsah

Advancet Trigering 10s

Data View

nabídka RUN

Configure Run + Run Project + druhá nabídka for 10 s

Create Snapshot - zatrhnout

Pustí se výpočet RUN, automaticky se zastaví, klikne se SnapShot, levým tlačítkem se přetáhne na

graf, zobrazí se všechny grafy, pravým tlačítkem a příkazem Export se kkopíruje tabulaka dat do

Excelu. HOdnoty jsou ve voltech, dále se použije převod dle zadání snímačů na potřebné jednotky.

14.4 Měření třecích ztrát na vodní trati

Při proudění skutečných tekutin vznikají následkem viskozity třecí odpory, tj. síly,

které působí proti pohybu částic tekutiny. Práce těchto sil způsobuje rozptyl energie, která se

přemění na teplo. Tato energie se nazývá ztrátová.

Na rovných úsecích potrubních systémů závisejí ztráty energie u laminárního

proudění na rychlosti proudění, tj. na velikosti Reynoldsova čísla. V případě turbulentního

proudění může ztráta energie záviset i na vnitřní drsnosti potrubí. Celkově však třecí ztráty

závisejí na délce potrubí a projevují se jako tlakový úbytek.

Zkoumání a vyhodnocování třecích ztrát potrubí je zásadní pro správný návrh jak

samotného potrubního systému, tak čerpadla, které vhání do systému tekutinu určitou

omezenou rychlostí a tlakem, na který je dimenzováno. V extrémním případě by se mohlo

stát, že třecí odpory potrubního systému budou natolik veliké, že čerpadlo „nevytlačí“

tekutinu až do zvoleného místa.

Přílohy

185

Teoretické stanovení třecí ztráty na prvku je obtížné a nepřesné (rovnici pro výpočet

třecího součinitele nelze vyjádřit analyticky), proto je stanovena experimentálně. Pro

experimentální stanovení velikosti třecí ztráty byl vytvořen zkušební obvod, viz obr. 14.4.

obr. 14.4 Zkušební obvod

Popis měřicího zařízení

Zkušební měřicí obvod se skládá z několika typů potrubí, kterými se může rozvádět

např. voda v rodinném domě. Do obvodu je zapojeno hladké potrubí o vnějším průměru 20

mm (T1), 25 mm (T2) a 32 mm (T4) a drsné potrubí o vnějším průměru 25 mm (T3). Všechny

typy potrubí mají stejnou délku l. Dále je do obvodu zapojena nádrž na vodu (N), čerpadlo

(HG), U trubice (UT1 – UT5 a UTC) pro měření rozdílu tlakové energie a spojovací prvky

potrubí. Způsob zapojení je na obr. 14.5 a obr. 14.6. Obvod funguje tak, že čerpadlo nasává

vodu z instalované nádrže a vhání ji do potrubního systému. Potrubní systém je tvořen

potrubím T1, T2, T3 a T4. Postupně je na každém typu potrubí zjišťována tlaková diference

z odběru tlaku pomocí U trubic. Odběrná místa zapojených U trubic jsou na začátku a konci

každého typu potrubí. Z potrubního systému je voda odváděna zpět do nádrže.

Přílohy

186


obr. 14.6 Realizovaný obvod


regulovat jak pomocí regulace čerpadla (HG) (3 stupně průtoku), tak pomocí kulového

kohoutu KK (plynulá regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné

U trubici UT1-UT5. Měření rychlosti proudění v obvodu je realizováno pomocí clony a U

trubice zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci na UTC, která je úměrná rychlosti

proudění.

Specifikace použitých prvků

Při realizaci obvodu, viz byly použity tyto prvky:

Clona (C)

Vnitřní průměr clony: 14 mm

Vnitřní průměr potrubí: 18 mm

Výrobce: VŠB

UT1- 5 N

HG

C

KK

K4 KS VP K3

KK1 T1

T4

T3

T2 KK2

KK3

KK4

UTC

Přílohy

187

Potrubí (T4)

Typ: STRO25P16X

Vnější průměr: 32 mm

Vnitřní průměr: 23,2 mm

Délka: 1,104 m

Výrobce: WAVIN Ekoplastik, s.r.o.

Potrubí (T3,T2)

Typ: STRO25P16X


Vnitřní průměr: 18 mm

Délka: 1,104 m


Potrubí (T1)

Typ: STRO20P16X


Vnitřní průměr: 14,4 mm

Délka: 1,104 m


Kulový kohout (KK)

Typ: SVEK025XXX



Cejchovní křivka clony

Při použití clony jako měřidla průtoku je nutné znát tzv. cejchovní křivku clony, viz

obr. 14.7, pomocí které lze ze ztrátové výšky na cloně určit průtok, který je této ztrátové

výšce úměrný.

Přílohy

188

y = 0.0916x0.4405

R2 = 0.9971

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 50 100 150 200 250 300 350 400

h c [mm]

Qv

[m3h

-1]

obr. 14.7 Cejchovní křivka clony z obvodu na měření třecích ztrát

Postup měření

Při stanovení třecích ztrát jednotlivého potrubí postupujeme následujícím způsobem:

1. Seznámíme se s obvodem.

2. Vybereme jedno z měřených potrubí T1, T2, T3 nebo T4 a u tohoto potrubí otevřeme

příslušný kohout KK1, KK2, KK3 nebo KK4.

3. Provedeme kontrolu uzavřenosti všech ostatních kohoutů.

4. Připojíme odběry tlaku na začátku a konci měřeného potrubí pomocí hadiček na U

trubici (pomocí U trubice se určuje ztrátová výška, ze které se vypočítá ztráta tlaku).

5. Připojíme odběry tlaku před a za clonou pomocí hadiček na U trubici. (Clona slouží

k určení průtoku v obvodu.)

6. Provedeme kontrolu uzavřenosti všech ostatních odběrů tlaků.

7. Zapneme čerpadlo.

8. Odečteme rozdíly výšek hladin vody Δhp, na U trubici připojené k měřenému potrubí a

rozdíly výšek hladin vody Δhc na U trubici připojené ke cloně.

9. Postupným přivíráním kohoutu KK až do jeho úplného uzavření získáme další

hodnoty výšek hladin Δhp, Δhc a zapíšeme je do tabulky tab. 14.1. Je vhodné provést

maximální počet měření. (Alespoň 10)

10. Postup aplikujeme na všechna měřená potrubí a zapíšeme do obdobných tabulek.

Přílohy

189

Měření

Naměřené

hodnoty

Vypočítané

hodnoty

Δhc

[mm]

Δhp

[mm]

Δpp

[Pa]

Q

[m3h-1]

v

[ms-1]

Re

[1]

vypoč.

[1]

teoret

[1]

1

2

3

….

tab. 14.1 Vzorová tabulka pro naměřené a vypočtené hodnoty

Vyhodnocení měření

Pro výpočet třecích ztrát je nutné znát ztrátovou výšku Δh (tlakovou ztrátu Δp), rychlost

proudění v v potrubí, délku l potrubí a vnitřní průměr d potrubí. Všechny pomocné neznámé

vypočítáme a zapíšeme do tab. 14.1. Při výpočtu postupujeme takto:

1. Vybereme potrubí pro výpočet.

2. Přepočítáme pro měřené potrubí ztrátovou výšku Δhp na tlakovou ztrátu Δpp.

(Výpočet se provede pomocí rovnice pro výpočet hydrostatického tlaku.)

pp hgp

3. Do rovnice cejchovací křivky 4405,00916,0 xy dosadíme za proměnnou x rozdíl

ztrátových výšek na cloně Δhc [mm] a výpočtem této rovnice získáme hodnotu

průtoku Qv [m3h-1]

4. Pomocí vypočítané hodnoty průtoku QV vypočítáme z rovnice kontinuity rychlost

proudění tekutiny v potrubí.

2

4

d

Q

S

QvSvQ

5. Nyní vypočítáme ztrátový součinitel tření. Délka každého potrubí je l = 1,104 m.

2.

2

.

2

2 lv

dhg

g

v

d

lh

p

vypočvypočp

6. Vypočítejme Reynoldsovo číslo, z čehož určíme, zda jde o turbulentní či laminární

proudění.

Přílohy

190

vdRe typ proudění

7. Vypočítáme teoretický součinitel tření pouze pro výše určený typ proudění.

- pro laminární proudění dle vzorce: Re

64. teoret

- pro turbulentní proudění v hladkém potrubí podle vzorce: 4.

Re

3164,0teoret

- pro turbulentní proudění v drsném potrubí podle vzorce:

25,0

.Re

1001,0

d

kteoret

kde k = 0,001 mm.

8. Postup výpočtu opakujme pro naměřené hodnoty všech potrubí.

9. Sestrojíme závislost tlakové ztráty třením na objemovém průtoku vp Qfp ,

pomocí regrese stanovíme typ a koeficienty závislosti.

10. Naměřené hodnoty .vypoč se zakreslí do diagramu Ref a pro srovnání se

vyhodnotí součinitel tření .teoret .

Příklad výsledku měření třecích ztrát potrubí T1

Prezentování naměřených a vypočítaných hodnot je nevhodnější pomocí grafu

vyhotoveném např. v programu Excel. Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí

vyhodnocovat jednak jako závislost tlaku na průtoku, viz obr. 14.8 a dále jako závislost

ztrátového součinitele na Reynoldsově čísle, viz obr. 14.15.

Přílohy

191

y = 2927,3x1,7207

R2 = 0,9993

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Q v [m3hod

-1]

p

p [P

a]


0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Re [1]

[

1]

třecí součinitel pro naměřené hodnoty

spoučinitel tření vypočtený ze vzorce

obr. 14.9 Příklad závislosti ztrátového součinitele na Reynoldsově čísle

Přílohy

192

14.5 Určení cejchovní křivky clony

Většina průmyslových průtokoměrů je založena právě na měření rozdílu tlaků těsně před a za

primárním prvkem průtokoměru. Základní skupinou těchto průtokoměrů jsou škrtící orgány, mezi které

patří clona, dýza, Venturiho trubice, atd. Měření průtočných vlastností tvarovek a regulačních armatur

a jejich cejchování by měl provádět výrobce. Údaje výrobce bývají mnohdy neúplné a nespolehlivé,

proto je často nezbytné ověřit průtočné vlastnosti daného prvku. Základním předpokladem kvalitního

měřícího úseku je dostatečně dlouhý přívodní úsek, který umožňuje ustálení turbulentního nebo

laminárního proudění ještě před vstupním průřezem měřené armatury. Délka potrubí před a za

měřícími prvky (clonou, dýzou a Venturiho trubicí) se volí podle příslušných předpisů a norem.

Legenda:

v1……..rychlost proudění před clonou

v2……..rychlost proudění za clonou

d……..průměr otvoru škrtícího orgánu (na

obrázku je uvedena normalizovaná clona)

D…….průměr potrubí

ps….…vstupní statický tlak

p1….…snímaný tlak před škrticím orgánem

p2…….snímaný tlak za škrticím orgánem

p…....diferenční tlak (p1-p2)

pz…..trvalá tlaková ztráta

obr. 14.10 Tlakové poměry v okolí škrticího orgánu

obr. 14.11 Vývody tlakové diference.

Pokles tlaku za clonou je způsoben zavířením za clonou, což lze dokladovat podrobných

modelováním proudění programem Fluent, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Také lze odečíst

přesné hodnoty tlaku na stěně a tudíž specifikovat optimální umístění odběrných míst před a za

clonou.

Přílohy

193

obr. 14.12 Detail proudění se zavířením kolem clony a tlaková ztráta

Přílohy

194

obr. 14.13 Statický tlak podél stěny

Navíc lze odečíst skutečné hodnoty tlaku a

na základě toho odhadnou vhodný typ měřidla

tlakové diference. Podrobný návod pro měření

cejchovní křivky je uveden v kapitole 14.5.

Prezentování naměřených a vypočítaných

hodnot je nevhodnější pomocí grafu –

vyhotoveném v programu Excel. Naměřené a

vypočtené hodnoty se vyhodnocují jako

závislost průtoku na tlaku. Podobně se zobrazí

cejchovní křivka měřená na cloně diferenčním

manometrem. Na grafu na Chyba! Nenalezen

zdroj odkazů. je porovnání cejchovních křivek

získaných U-manometrem a diferenčním

manometrem. Z grafu je patrné, že na U trubici

nelze snímat velké tlakové diference.

Na diferenčním manometru můžeme nastavit rozsah do 50 resp. 100 kPa a navíc dosáhnout

vysoké přesnosti měření.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25 30 35

p [kPa]

Qv [

l.s

-1]

diferenční manometr U-Trubice

obr. 14.14 Cejchovní křivka clony, porovnání U trubice a diferenčního manometru

Měření prokázalo, že tvar cejchovní křivky nezávisí na typu použitého diferenčního manometru,

ale rozsah je větší při použití diferenčního manometru ST3000. Z měření je patrné, že tlakový spád

v těsné blízkosti clony je dosti velký. Clona jako taková nevykazuje v obvodu tak velkou tlakovou

ztrátu. Průběh tlaku v okolí před a za clonou je patrný z Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.. Cejchovní

Přílohy

195

křivka může být definována při měření na U trubici závislostí průtoku VpočQ pouze na hc třeba i v

milimetrech, neboť v cejchovní křivce dané rovnicí se toto zohlední.

V následujícím příkladu je prezentováno určení cejchovní křivky clony. Měřící trať je obecnější a

skládá se z nádrže N, na kterou je připojeno ocelové potrubí 50 mm. Potrubí je vedeno do čerpadla,

které je poháněné elektromotorem M. Elektromotor je ovládán frekvenčním měničem FM, kterým

měníme otáčky a tím i průtok. Z čerpadla HG je vyveden kousek ocelového potrubí, rovněž 50 mm,

ve kterém je umístěn škrtící ventil ŠV, který lze pro případ poruchy rychle uzavřít (zastavíme proudění

kapaliny v obvodu).

Další část měřícího úseku (od škrtícího ventilu) je tvořena skleněným potrubím T 50 mm, do

kterého jsou postupně vloženy zkoumané prvky pro měření průtoku, tj. Venturiho trubice VT, dýza D,

clona C určené k cejchování pomocí indukčního průtokoměru IP.

K měření diference tlaku se používají buď U-manometry UM nebo pro větší přesnost

diferenční manometry ST3000. Na výstupní části měřícího úseku je umístěn průtokoměr, ze kterého

odečítáme proteklý objemový průtok Qv [l.s-1]. Analogové hodnoty průtoku a tlakové diference na

jednotlivých prvcích jsou přenášeny A/D převodníkem do PC a zpracovávány speciálním programem v

MATLABU.

obr. 14.15 Schéma měřící tratě

Čerpadlo HG se nastaví na maximální otáčky pomocí frekvenčního měniče FM a postupným

snižováním frekvence na FM se snižují otáčky na čerpadle HG a zároveň průtok. Pro každou hodnotu

průtoku se odečtou hodnoty tlakové diference na průřezovém měřidle a průtoku na indukčním

průtokoměru.

Přílohy

196

obr. 14.16 Pohled na měřící zařízení (vodní trať) pro měření průtočných prvků

Závislost průtoku na tlakové diferenci se zobrazí graficky. Pro porovnání byly použity dva typy

měřidel tlakové diference, a to U-trubice a diferenční manometr ST3000 firmy Honeywell, který je

programovatelný v rozsahu 0 až 100 kPa.

Naměřené hodnoty Vypočtené hodnoty

tab.1 Tabulka pro naměřené a vypočtené hodnoty

1. Snížíme hodnotu frekvence a opět odečteme hodnoty tlakových výšek a průtoku. Tento

postup opakujeme nejméně 10x až do dosažení minimálního průtoku.


- Vypočítáme ztrátovou výšku na cloně Δhc (rozdíl hladin v U – trubici) ccc hhh 21

- Určíme tlakovou ztrátu cp z rovnice pro výpočet hydrostatického tlaku cc hgp

- Zakreslíme bod o souřadnici vc Qp , do grafu cvv pQQ

- Celý výpočet, tj. bod 1.-3. je nutné opakovat pro všechny naměřené hodnoty.

- Naměřenými hodnotami proložíme cejchovní křivku, tj. regresní křivku (např. polynom 4.

stupně), viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..

- Do rovnice cejchovací křivky polynomického tvaru čtvrtého řádu. např. rovnice clony

č.

Qv h1c h2c hc pc Qvpoč

[l.s-1] [m] [m] [m] [kPa] [l/s]

1

2

3

….

Přílohy

197

y = -0,0012x4 + 0,0261x3 - 0,2037x2 + 0,9353Δx + 0,4466, R2 = 0,9999 dosadíme za

proměnnou x rozdíl tlaku na cloně cp a výpočtem této rovnice získáme hodnotu průtoku VpočQ

pro všechny naměřené hodnoty, tj

Vpočc Qclonydiagramcejchovníp

Prezentování naměřených a vypočítaných hodnot je nevhodnější pomocí grafu –

vyhotoveném v programu Excel. Naměřené a vypočtené hodnoty se vyhodnocují jako závislost

průtoku na tlaku. Podobně se zobrazí cejchovní křivka měřená na cloně diferenčním manometrem. Na

grafu číslo 3 je porovnání cejchovních křivek získaných U-manometrem a diferenčním manometrem.

Z grafu je patrné, že na U trubici nelze snímat velké tlakové diference. Na diferenčním manometru

můžeme nastavit rozsah do 50 resp. 100 kPa a navíc dosáhnout vysoké přesnosti měření.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 5 10 15 20 25 30 35

p [kPa]

Qv [

l.s

-1]

diferenční manometr U-Trubice

obr. 14.17 Cejchovní křivka clony, porovnání U trubice a diferenčního manometru

14.6 Určení místních ztrát na koleni

Typickým prvkem, který se v hydraulických obvodech definuje jako místní prvek, je koleno. Při

určení ztrátového součinitele byl využit obvod, který souží k určení ztrátových součinitelů více

prvků, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..

Přílohy

198

obr. 14.18 Obvod pro měření místních ztrát, koleno

Schéma obvodu s výše specifikovanými prvky je na obr. 14.19. Zkušební měřicí obvod se skládá

z prvků, které mohou tvořit například rozvod vody v rodinném domě. Je v něm použito

několik prvků, na kterých dochází k místním ztrátám energie. Jmenovitě to jsou tyto prvky:

clona (C), koleno 90o (K4), kulový kohout (KK1), zúžení průřezu potrubí (RH1), rozšíření

průřezu potrubí (RH2), velký oblouk (KR, K1, K2), kompenzační smyčka (KS), ventil přímý

(VP) a koleno 45o (K3). Dále je obvod tvořen těmito prvky: nádrž na vodu (N), čerpadlo (HG),

U – trubice (UT1 – UT5 a UTC) pro měření rozdílu tlakové energie a spojovací prvky potrubí.

Princip funkce obvoduje, že čerpadlo nasává vodu z instalované nádrže a vhání ji do

potrubního systému. V tomto systému jsou umístěné prvky na nichž je zjišťována tlaková

diference z odběru tlaku před a za každým prvkem pomocí U – trubic připojených na tato

odběrná místa. Z potrubního systému je voda odváděna zpět do nádrže.

Přílohy

199


Tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je možno regulovat

jak pomocí regulace čerpadla (HG) (3 stupně průtoku), tak pomocí kulového kohoutu KK2

(plynulá regulace průtoku). Změny tlakové diference jsou zjišťovány na příslušné U trubici

(UT1-UT5). Měření rychlosti proudění v obvodu je realizováno pomocí clony a U – trubice

(UTC) zaznamenávající vzniklou tlakovou diferenci – ta je úměrná rychlosti proudění.

Postup při výpočtech místních ztrát

Příklad postupu výpočtu pro první polohu kulového ventilu pro škrcení průtoku:

- Výpočet průtoku Q z cejchovní rovnice dosazením ztrátové výšky na cloně

453008820

,, chQ [m3s-1, mm]

- Ztrátový tlak mp z odečtené ztrátové výšky mh [mm], hustoty vody 20H a gravitačního

zrychlení g , tj. 1000.20ghp Hmm [Pa, mm, kgm-3, ms-2].

- Ztrátový součinitel se vypočte dosazením ztrátové výšky mh , průtoku Q a gravitačního

zrychlení g do vzorce 2

2

Q

gShm resp.

v

m

Q

Sp

2

2

[1]

- Reynoldsovo číslo Re je

dvRe [1], kde rychlost proudění v potrubí se odvodí z rovnice

kontinuity, použijeme změřený průtok Q a průměr potrubí d , 2

4

d

Qv

[m.s-1]

Pro vyhodnocení se použije následující tabulky pro různé polohy škrtícího ventilu, tedy:

Měřené veličiny Počítané veličiny

Přílohy

200

Δhm Δhc Q Q Q2 Δpm v Re

[mm] [mm] [m3.h-1] [m3.s-1] [m6.s-2] [Pa] [m.s-1] [1] [-]

atd.

Z dané tabulky se vytvoří následující grafické závislosti tlaku na průtoku, viz obr. 5.1.

obr. 14.20 Charakteristika kolena, tj. závislost tlakové ztráty na průtoku

Pro určení ztrátového koeficientu se využije metoda regresní funkce 2RQpm . Pro

jednoduchost se zvolí formálně substituce Rxy , kde 2Qx . Při znalosti odporu „R “

odečteného z rovnice regresní funkce, viz obr. 5.2 lze snadno odvodit přibližnou hodnotu

ztrátového součinitele:

2

2

2

2

SR

SR (14.6.1)

Přílohy

201

obr. 14.21 Závislost tlakové ztráty na druhé mocnině rychlosti a proložení lineání regresní křivky

pro určení koeficientu R .

21.386783901000

90.00025446*2*1006866.1

2

e

14.7 Měření charakteristiky čerpadla

Charakteristika čerpadla je závislost skutečné měrné energie Y (resp. skutečné dopravní

výšky H ) na průtoku Q . K této základní QY charakteristice se připojují křivky výkonu

QPh , účinnosti Qc a měrné energie pro potrubí QYP . K měření měrné energie

resp. dopravní výšky se používají přesné, cejchované tlakoměry, zpravidla kontrolní,

s dvojím, na sobě nezávislým ukazovacím zařízením nebo kapalinové tlakoměry. Měrná

energie (dopravní výška) čerpadla Y [J.kg-1] ( H [m]) je rozdíl celkové energie tíhové

jednotky (1N) dopravované kapaliny, který získá kapalina při průchodu čerpadlem a určí se

ze vztahu

2

22svsv cc

zgpp

gHY

Přílohy

202

kde vp [Pa] přetlak ve výtlačném hrdle čtený na manometru,

sp [Pa] tlak v sacím hrdle čtený na manometru či vakuometru,

12 zzz [m] rozdíl výšek mezi místem měření tlaku vp , sp . Rozdíl je

kladný, je-li odběr ve výtlaku výše jak odběr v sání,

[kg.m-1] měrná hmotnost čerpané kapaliny při dané teplotě. Pro vodu

chladnější než C30 je možno dosadit 1000 [kg.m-1],

vc , sc [ms-1] rychlosti kapaliny v místech měření vp a sp , tj. ve výtlaku a

sání čerpadla. Pokud je sací i výtlačné potrubí stejného

průměru, pak člen 2

22sv cc

je roven nule.

Odběry pro měření tlaků nesmí být v místech, kde se mění směr proudění nebo

průřez. Pro experimentální stanovení m2rn0 energie čerpadla byl vytvořen zkušební obvod.

Popis měřicího zařízení

Zkušební měřicí obvod se skládá z následujících prvků: čerpadlo (HG), nádrž na vodu

(N), sací potrubí SP, výtlačné potrubí VP, clona (C) pro měření průtoku, kulový kohout (K),

piezometrická trubice (PT) pro měření tlaku na sání, U trubice se rtutí (UT) pro měření

rozdílu tlakové energie na výtlaku, obrácená U trubice (UTC) pro měření ztrátové výšky na

cloně a spojovací prvky potrubí. Způsob zapojení je na obr. 14.22 a obr. 14.23.

Princip funkce obvodu: čerpadlo nasává vodu z instalované nádrže a vhání ji do

potrubního systému, odkud voda odváděna zpět do nádrže. Obvod je doplněn potřebnými

tlakoměry.


Přílohy

203


Tlak a tlakovou diferenci je možno zjišťovat při různých průtocích. Průtok vody je

možno regulovat pomocí regulace čerpadla (HG) (3 stupně průtoku), tak pomocí kulového

kohoutu (K) (plynulá regulace průtoku). Tlak na sání je odečítán na piezometrické trubici (PT)

a změna tlakové diference na výtlaku je zjišťována na příslušné U trubici (UT). Měření

průtoku v obvodu je realizováno pomocí clony a obrácené U trubice (UTC) zaznamenávající

vzniklou tlakovou diferenci, která je úměrná rychlosti proudění.

Specifikace použitých prvků

Při realizaci obvodu viz obr. obr. 14.23 byly použity tyto prvky:

Nádrž (N)

Objem nádrže: 42 dm3

Výrobce: VŠB-TU Ostrava

Čerpadlo (HG)

Typ: cirkulační čerpadlo

WILO (EA 60/1)

Clona (C)


Vnitřní průměr potrubí: 18 mm

Výrobce: VŠB

Přílohy

204

Potrubí (PS), (PV)



Kulový kohout (K)

Piezometrická trubice (PT)

Výrobce: VŠB

U – trubice (UT, UTC)

Výrobce: VŠB


Při použití clony jako měřidla rychlosti je nutné znát tzv. cejchovní křivku clony, viz obr.

14.24, pomocí které lze ze ztrátové výšky na cloně určit průtok, který je této výšce úměrný. Cejchovní diagram

y = 0.0403x0.4655

R2 = 0.9925

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 100 200 300 400 500 600 700 800

h c [mm]

QV [

dm

3s

-1]

obr. 14.24 Cejchovní křivka clony z obvodu pro měření charakteristiky čerpadla

Postup měření a vyhodnocení charakteristiky čerpadla

Postup měření

Při stanovení charakteristiky čerpadla je vhodné postupovat následujícím způsobem:

Přílohy

205

1. Seznámíme se s obvodem.

2. Připojíme hadičku piezometrické trubice pro odběr tlaku na sání.

3. Připojíme pomocí hadičky U trubici se rtutí na odběr tlaku na výtlaku.

4. Připojíme pomocí hadiček obrácenou U trubici na odběr tlaku před a za clonou pro

určení průtoku.

5. Zkontrolujeme, zda jsou všechny ostatní odběry tlaku zatěsněné – pokud ano

spustíme čerpadlo.

6. Kohout otevřeme na plný průtok.

7. Odečteme rozdíl výšek hladin Δhc na obrácené U trubici připojené ke cloně, tlakovou

výšku hs na piezometrické trubici na sání a rozdíl výšek hladin Δhv (tlaku) na U –

trubici připojené k výtlaku. Pak přivřeme mírně kohout (K). Tento postup odečítání

provádíme s maximálním možným počtem opakování (přivírání kohoutu) až do

úplného uzavření kohoutu (K). Naměřené hodnoty zapíšeme do níže uvedené tab.

14.2.

Měřené veličiny Počítané veličiny

Měření Δhc

[mm]

hs

[mm]

Δhv

[mm]

Qv

[dm3s-1]

ps

[Pa]

pv

[Pa]

Ys

[Jkg-1]

1

2

3

….

tab. 14.2 Vzorová tabulka pro naměřené a vypočtené hodnoty


Pro určení charakteristiky čerpadla je nutné znát objemový průtok. Ten lze vypočítat

z průtoku, který je úměrný ztrátové výšce Δhc na cloně. Vyhodnocení naměřených hodnot a

doplnění Chyba! Nenalezen zdroj odkazů. lze tedy shrnout do následujícího postupu:

1. Do rovnice cejchovní křivky 4655,00403,0 xy , viz obr. 14.24, dosadíme za

proměnnou x rozdíl ztrátovou výšku na cloně Δhc [mm] a výpočtem této rovnice

získáme hodnotu průtoku Qv [dm3s-1]

Přílohy

206

2. Přepočítáme naměřenou tlakovou výšku na sání hs na tlak ps. Tento výpočet se

provede jednoduše pomocí rovnice pro výpočet hydrostatického tlaku tj. svs hgp

3. Vypočteme tlak na výtlaku dle vztahu, zghgp vvHgv . , kde z je rozdíl výšek

mezi místem měření tlaku vp , sp .

4. Měrná energie se pak určí ze vztahu v

svs

ppY

.

5. Celý výpočet je nutné opakovat pro všechny naměřené hodnoty.

6. Sestrojíme závislost měrné energie na objemovém průtoku vs QfY , pomocí

regrese lze také stanovíme typ a koeficienty závislosti v Excelu (spojnice trendu).

Příklad výsledku měření charakteristiky čerpadla

Prezentování naměřených a vypočítaných hodnot je nevhodnější pomocí grafu

vyhotoveném např. v programu Excel. Naměřené a vypočtené hodnoty je zvyklostí

vyhodnocovat jako závislost měrné energie na průtoku, ale je možno vytvořit závislost

dopravní výšky H [m] na průtoku, kde g

YH .

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008

Q v [m3s

-1]

Ys [

Jkg

-1]


Přílohy

207

14.8 Měření hydraulického rázu

Při neustáleném proudění kapaliny v potrubí odpovídají všem změnám průtoku i změny

tlaku. Změny tlaku vyvolané hydraulickým rázem mohou dosahovat značných hodnot a

mohou poškodit jak potrubí, tak zařízení instalované na něm. Tyto poruchy mohou vyřadit

celý hydraulický systém a způsobit tak značné materiálové a ekonomické ztráty.

Hydraulický ráz je simulován nejsnadněji na proudění vody v dlouhém potrubí,

připojeném k nádrži, kdy se náhle uzavře ventil. To způsobí náhlé zvýšení tlaku o Δp, které

se pohybuje jako tlaková vlna od místa uzavření A směrem k nádrži B (Chyba! Nenalezen

zdroj odkazů.) rychlostí zvuku as a proběhne po délce potrubí l a zpět k ventilu za dobu

rovnou době běhu vlny T. Tlaková vlna se nebude dále šířit do nádrže, kde je volná hladina.

U nádrže je nyní rozhraní stlačené a nestlačené kapaliny, a proto kapalina začne expandovat

do nádrže B. Kapalina se odpruží a začne se pohybovat nazpět směrem k bodu A, za

odraženou vlnou je tlak jako před rázem. Při expanzi posledních částic v místě uzavření

armatury je snížení tlaku o hodnotu Δp v celé délce potrubí l. Mimo pokles na původní tlak

před rázem dojde ještě v místě uzavření ventilu k poklesu o hodnotu Δp. Tento podtlak se

opět šíří od armatury k nádrži. Zde se opět vlna odrazí a vyrovnává tlak na původní hodnotu.

Při návratu odražené vlny do bodu A dojde opět k počáteční hodnotě tlaku před rázem v celé

délce potrubí l. Tento proces se periodicky opakuje s periodou rovnou dvojnásobku doby

běhu vlny T, viz Chyba! Nenalezen zdroj odkazů., Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..

U skutečných kapalin se vlivem vnitřního tření tlakové vlny utlumí až nakonec zaniknou.

Doba běhu rázové vlny pohybující se od armatury k nádrži a zpět se vypočítá ze vztahu:

[s]2

sa

lT

l [m] délka potrubí

as [m.s-1] skutečná rychlost zvuku v kapalině

Popis měřícího zařízení

Zkušební měřicí obvod je tvořen těmito prvky: nádrž na vodu (N), čerpadlo (HG),

clona (C), U – trubice (UTC) pro měření rozdílu tlakové ztráty na cloně, hadice (H), ventil (V),

převodník (P), počítač (PC), snímače tlaku (p1 – p4).

Přílohy

208

Princip funkce obvodu je následující: čerpadlo nasává vodu z instalované nádrže a

vhání ji do systému. Na cloně za čerpadlem se měří ztrátová výška pomocí U-trubice. Na

konci hadice je umístěný ventil, jehož poloha charakterizující uzavírání nebo otvírání, je

snímána do počítače. Celková délka tratě od čerpadla k ventilu je l = 48,4m. V systému jsou

umístěny snímače tlaku, jejichž výstupní analogový signál je převáděn přes analogově-

digitální převodník (karta AD 612 firmy Humusoft) do počítače. Ke zpracování signálu se

používá software Matlab-Simulink. V průběhu měření i po jeho skončení lze zobrazit průběhy

tlaků a polohu ventilu.

obr. 14.26 Hydraulické schéma trati pro měření hydraulického rázu

pozn. tlak p1 není vyhodnocován

Přílohy

209


Specifikace uvedených prvků a snímačů

Nádrž (N)

Objem nádrže: 42 dm3

Výrobce: Valter Špalek-plexi

Čerpadlo (HG)

Typ: cirkulační čerpadlo

WILO RS 25/4 230 V PN 10

Maximální tlakový spád: 10 kPa

Jmenovité otáčky: 1200/1650/2000 ot.min-1

Výrobce: WILO

N

UTC HG

C

H

P

V

PC

Přílohy

210

Snímače (p1 – p4)

Typ: TMG 518 Z3G, použit 3x

Rozsah: (0; 1.105) Pa

Typ: TMVG 567 Z3G

Rozsah: (-1.105; 5.105) Pa

Výstup: (0÷20) mA

Napájení: (12÷36) V

Závit: M12x1,5

Výrobce: CRESSTO Rožnov pod

Radhoštěm

Uzavírací ventil (V)

Typ: kulový kohout DN25

Tlaková třída: ANSI 800

- na ventilu jsou uchyceny 2 mechanické spínače

s kladičkou

- výrobce: MARTECH Hradec Králové

Clona (C)


Vnitřní průměr potrubí: 25,4 mm

Výrobce: VŠB

Zdroj napětí (slouží pro napájení snímačů)

Typ: BK125 (školní stabilizovaný

zdroj)

Napájení: 220V/50Hz

Přílohy

211

Hadice (H)

Typ: MP 20 EPDM

Pracovní tlak 2 MPa

Průměr 25/35 mm

Hmotnost 0,6 kg.m-1

Výrobce: KONEKT Hradec Králové

U – trubice (UTC)

Výrobce: VŠB


Při měření rychlosti proudění kapaliny pomocí clony (obr. 14.28) je nutné znát tzv.

cejchovní křivku clony, pomocí které lze ze ztrátové výšky na cloně určit průtok kapaliny

v potrubí. Rychlost proudění je úměrná tlakovému spádu na cloně.

y = 0,2424x0,433

R2 = 0,9987

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

h c [mm]

Qv

[m3h

-1]

obr. 14.28 Cejchovní křivka clony z obvodu na měření hydraulického rázu

Postup měření

Při měření hydraulického rázu postupujeme následovně:

Přílohy

212

1. Seznámíme se s tratí, na které bude probíhat měření.

2. Připojíme PC a čerpadlo do elektrické sítě a otevřeme uzavírací ventil. Zapneme

zdroj sloužící k napájení snímačů tlaku.

3. Zapneme PC, spustíme program Matlab 6.5.1 a nastavíme adresář

C:\MATLAB6p5p1\work\raz.

4. V programu Matlab spustíme Simulink a otevřeme soubor raz.

5. V programu Excel otevřeme soubor data.xls pro zápis měřených tlaků na snímačích.

6. Spustíme čerpadlo.

7. Na U-trubici odečteme rozdíl hladin Δhc a zapíšeme do tab. 14.3.

8. V souboru ráz spustíme měření ikonou ►. Měření trvá 10s. Provedlo se měření

ustáleného stavu proudění při otevřeném ventilu.

9. V programu Matlab do okna command window napíšeme příkaz „razgraf”

(dohromady), vykreslí se graf průběhu hydraulického rázu pro tři snímače (p2, p3, p4)

a graf doby uzavírání ventilu. V Excelu jsou zároveň ve sloupcích vypsané hodnoty v

pořadí: doba měření, tlaky p2, p3, p4 a signály polohy ventilu. Pomocí zoomu ( )

odečteme dobu uzavírání z grafu tu.

10. Grafy lze uložit: File – Export – zvolíme adresář, kde chceme grafy uložit, zvolíme

příponu obrázku, tzn. *.bmp nebo *.jpg.

11. Dále zjistíme ustálený stav při uzavřeném ventilu

12. Poté provedeme měření pro uzavírání ventilu, tj. otevřeme uzavírací ventil, spustíme

měření a asi po 2 sekundách uzavřeme ručně ventil a vyčkáme, dokud neproběhne

měření

13. Výsledkem jsou 2 měření pro ustálený stav, tj. otevřený ventil a uzavřený ventil a

minimálně 2 měření pro postupné uzavření ventilu, tj pro rychlé uzavírání ventilu a

pro pomalé uzavírání ventilu (cca 2 s).

tab.

14.3

Měření

Naměřené hodnoty stav ventilu Vypočítané hodnoty

Δhc

[m]

tu

[s]

tp

[s] -

Δpc

[Pa]

Q

[m3h-1]

v

[ms-1]

as

[ms-1]

Δp

[Pa]

Přílohy

213

ustálený stav

1 - - otevřen - -

2 - - uzavřen - -

neustálený stav

3 - uzavírání

rychlé

4 - uzavírání

rychlé

5 - uzavírání

pomalé

pozn.: pro výpočty použijeme měrnou hmotnost vody: ρ = 1000 kg.m-3.


Pro výpočet hydraulického rázu je nutné znát rychlost proudění v hadici. Tu lze vypočítat

z průtoku potrubím Qv, který je úměrný ztrátové výšce Δhc (rozdílu tlaků Δpc) na cloně.

Vyhodnocení naměřených hodnot a doplnění tab. 14.3 lze tedy shrnout do následujícího

postupu:

1. Do rovnice cejchovní křivky 433,02424,0 xy (viz obr. 14.28) dosadíme za

proměnnou x rozdíl ztrátových výšek na cloně Δhc [mm] a výpočtem této rovnice

získáme hodnotu průtoku Qv [m3h-1].

2. Rychlost proudění kapaliny v hadici vypočítáme z rovnice kontinuity:

2

4

d

Q

S

QvSvQ vv

v

3. Z grafu průběhu tlaku při hydraulickém rázu odečteme hodnotu periody jako

vzdálenost dvou sousedních maximálních nebo minimálních výchylek tlaku (pokud

jsme si uložili také soubor naměřených dat do Excelu, lze určit periodu tp z tabulky, tj.

najdeme nejnižší tlak v první vlně a určíme dobu pro tento tlak t1. Pro druhou vlnu a

nejmenší tlak je odečtená doba t2. Rozdíl odečtených časů udává hodnotu periody tp):

Přílohy

214

12 tttp

Doba běhu vlny je dána polovinou periody, tj. 2

ptT

4. Rychlost šíření tlakové vlny vypočítáme z délky potrubí l a z doby běhu vlny:

T

las

.2exp

5. Vypočítáme zvýšení tlaku Δp při hydraulickém rázu pomocí Žukovského vztahu:

vap s .. exp

kde 0vvv je rychlostní diference, v je rychlost proudění kapaliny při

otevřeném ventilu, 0v je rychlost proudění při uzavřeném ventilu (zpravidla nula)

a modul pružnosti ze vztahu

2exp saK

6. Pro teoretické určení stoupnutí tlaku při hydraulickém rázu najdeme v literatuře

rychlost šíření tlakové vlny v umělohmotné trubici s kapalinou v rozmezí:

1m.s80020 litsa

a modul pružnosti určíme ze vztahu

2litsaK

Doba běhu jedné vlny je:

litsa

lT

.2

Do Žukovského vztahu pro hydraulický ráz dosadíme:

vap lits ..

7. Výpočet proveďte pro krajní hodnoty rychlosti šíření tlakové vlny, tj. 20ms-1 a 800ms-1.

8. Srovnejte naměřené a vypočtené hodnoty.

Přílohy

215

experiment literatura

doba uzavírání ventilu tu [s] - -

skutečná rychlost zvuku as [ms-1]

doba běhu vlny T [s]

modul pružnosti K [Pa]

tlak pro hydraulický ráz Δp [Pa]

Příklad měření hydraulického rázu

Po provedení měření hydraulického rázu dostaneme graf průběhů tlaků, který je na obr.

14.29 a graf uzavírání ventilu tu = 4,2102 - 3,7047 = 0,5055s; obr. 14.30:

obr. 14.29 Hydraulický ráz

Přílohy

216

obr. 14.30 Doba uzavírání ventilu tu = 0,505

Přílohy

217

Documents

¡ní-a... · 2019-05-09 · 2 Obsah OBSAH