otik.uk.zcu.cz prace - ¢  Obsah OBSAH

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of otik.uk.zcu.cz prace - ¢  Obsah OBSAH

  • Západočeská univerzita v Plzni Fakulta pedagogická

    Katedra výpočetní a didaktické techniky

    Počítačové metody eliminace kvantifikátorů v R a možnosti jejich

    využití

    Mgr. Lukáš HONZÍK

    Specializace v pedagogice,

    obor Informační a komunikační technologie ve vzdělávání

    Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Hora, CSc.

    Plzeň, 2012

  • Prohlašuji, že jsem disertační práci vypracoval sám

    s použitím uvedené literatury a zdrojů informací.

    Plzeň, 1. listopadu 2012

    ..............................................

  • Děkuji za odbornou pomoc, vedení a řadu cenných podnětů

    mému školiteli doc. RNDr. Jaroslavu Horovi, CSc.

    Zároveň bych rád poděkoval mé rodině a přátelům za jejich

    podporu a trpělivost a v neposlední řadě také Mgr. Ondřeji

    Davídkovi, bez jehož pomoci by mé začátky v QEPCADu

    byly více než složité.

  • Obsah

    OBSAH ....................................................................................................................................................... 3

    1 ÚVOD ...................................................................................................................................................... 6

    2 SYSTÉM ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY ............................................................................................ 11

    2.1 ALGEBRAICKÉ ČLENY A ATOMICKÉ FORMULE .................................................................................. 11

    2.2 KVANTIFIKÁTORY A MATEMATICKÉ FORMULE................................................................................. 13

    3 HISTORICKÝ RÁMEC A VYUŽITÍ VÝPOČETNÍ TECHNIKY ................................................. 17

    3.1 VÝPOČETNÍ TECHNIKA VE VZDĚLÁVÁNÍ ........................................................................................... 17

    3.1.1 Počítačové programy jako výukové a učící prostředí .............................................................. 19

    3.1.2 Počítačové programy jako prostředek ..................................................................................... 20

    3.2 ALFRED TARSKI ............................................................................................................................... 21

    3.3 TARSKÉHO PRÁCE ............................................................................................................................ 24

    3.4 TARSKÉHO ELIMINAČNÍ POSTUP ....................................................................................................... 25

    3.5 NALEZENÍ ALGORITMU CAD ........................................................................................................... 35

    4 JEDNODUŠŠÍ PŘÍKLADY STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY ............................................... 36

    4.1 ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH PŘÍKLADŮ ROZKLADEM PODLE NULOVÝCH BODŮ ..................................... 38

    5 ZÁKLADNÍ MYŠLENKA CYLINDRICKÉ ALGEBRAICKÉ DEKOMPOZICE ....................... 42

    6 ALGORITMIZACE CYLINDRICKÉ ALGEBRAICKÉ DEKOMPOZICE ................................. 51

    6.1 PROJEKČNÍ FÁZE .............................................................................................................................. 51

    6.2 KONSTRUKCE HALD ......................................................................................................................... 57

    6.3 KONSTRUKCE VÝSTUPNÍ FORMULE .................................................................................................. 64

    6.4 FORMULE S VÍCE PROMĚNNÝMI ........................................................................................................ 67

    6.5 OBECNÝ ALGORITMUS CAD ............................................................................................................ 67

    6.6 VYLEPŠENÝ ALGORITMUS KOREKTNÍ CYLINDRICKÉ ALGEBRAICKÉ DEKOMPOZICE .......................... 69

    7 MATEMATICKÉ PROGRAMY PRACUJÍCÍ S CAD .................................................................... 74

    7.1 WOLFRAM MATHEMATICA .............................................................................................................. 75

    7.1.1 Program Wolfram Mathematica.............................................................................................. 75

    7.1.2 Příkazy programu Wolfram Mathematica ............................................................................... 75

    7.1.3 Příklady v programu Wolfram Mathematica ........................................................................... 82

    7.2 QEPCAD ......................................................................................................................................... 94

    7.2.1 Program QEPCAD a QEPCAD B ........................................................................................... 94

    7.2.2 Příkazy programu QEPCAD B ................................................................................................ 94

    7.2.3 Příklady v programu QEPCAD B ........................................................................................... 97

    7.3 MAPLE ........................................................................................................................................... 101

    7.3.1 Program Maple ..................................................................................................................... 101

  • 7.3.2 Příkazy programu Maple ....................................................................................................... 101

    7.3.3 Příklady v programu Maple .................................................................................................. 106

    7.4 MALÉ SROVNÁNÍ ............................................................................................................................ 109

    7.4.1 Soubor testovacích úloh ........................................................................................................ 109

    7.4.2 Tabulky výsledků ................................................................................................................... 111

    7.4.3 Porovnání výsledků ............................................................................................................... 113

    8 ZÁVĚR ................................................................................................................................................ 114

    LITERÁRNÍ A ELEKTRONICKÉ ZDROJE .................................................................................... 120

    SEZNAM OBRÁZKŮ ........................................................................................................................... 123

    SEZNAM PUBLIKACÍ ......................................................................................................................... 124

  • 5

    Anotace: Eliminace kvantifikátorů v oboru reálných čísel je jednou z mladších oblastí

    na pomezí matematiky, logiky a výpočetní techniky. Pomocí metody nazývané

    cylindrická algebraická dekompozice dovoluje zjednodušit matematické kvantifikované

    formule do jednoduššího tvaru neobsahujícího kvantifikátory. Jelikož se jedná o vcelku

    složitý postup, jsou velmi užitečné programy počítačové algebry (například program

    Mathematica od firmy Wolfram Research). Mnoho matematických úloh (jako třeba

    řešení rovnic a nerovnic) může být převedeno právě na matematické formule obsahující

    kvantifikátory, u nichž pak eliminace dovoluje zjistit řešení nebo určit, zda jsou

    řešitelné. Z toho důvodu může být tato metoda přínosem nejen pro matematiky

    samotné, ale též pro učitele matematiky a talentované žáky.

    Klíčová slova: eliminace kvantifikátorů, CAD, cylindrická algebraická dekompozice,

    Alfred Tarski, George E. Collins, počítačová algebra, Mathematica, trojúhelníková

    dekompozice, regulární řetězce

    Annotation: Quantifier elimination over real fields is a discipline connected with

    mathematics, logic and computer science. Using so called cylindrical algebraic

    decomposition it allows to simplify mathematical formulas with quantifiers into

    quantifier-free formulas. Since this is quite complex problem programs of computer

    algebra (such as Mathematica by Wolfram Research) are very helpful. Many

    mathematical problems (for example equations and inequations) can be transformed into

    quantified formulas and the elimination is a way to solve them or find out if they are

    solvable. Therefore this method may be useful not only for mathematicians but for math

    teachers and talented pupils too.

    Key words: quantifier elimination, CAD, cylindrical algebraic decomposition, Alfred

    Tarski, George E. Collins, computer algebra, Mathematica, triangular decomposition,

    regular chains

  • 6

    1 Úvod

    Eliminace kvantifikátorů je poměrně mladou problematikou na pomezí matematiky,

    logiky a v neposlední řadě i výpočetní techniky a její počátky nalezneme v první

    polovině 20. století. Tehdy se jí zabýval významný polský matematik