O zlatnom trokutu | math Hrvatski matematiki elektroniki asopis O zlatnom trokutu konstrukcije ravnalom i estarom zlatni rez Mirela Kati‡ ½lepalo i Bojan Kovai‡

  • View
    227

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of O zlatnom trokutu | math Hrvatski matematiki elektroniki asopis O zlatnom trokutu konstrukcije...

  • math.eHrvatski matematiki elektroniki asopis

    O zlatnom trokutu

    konstrukcije ravnalom i estarom zlatni rez

    Mirela Kati lepalo i Bojan KovaiTehniko veleuilite u Zagrebu

    U ovom lanku definirat emo zlatni trokut, objasnit emo neka njegova svojstva i pokazati neke

    konstrukcije vezane uz zlatni trokut, a koje se mogu izvesti ravnalom i estarom.

    Zlatni rez i zlatni pravokutnik su omiljena tema u matematici, odnosno geometriji, a i u umjetnosti i o

    njima je napisano zaista mnotvo radova. Poznat je i pojam zlatnog trokuta, ali se on u literaturi neto

    rjee spominje. Stoga emo u ovom radu definirati zlatni trokut, te navesti njegova najvanija svojstvai naine konstrukcije.

    Duina ( ) je podijeljena u zlatnom rezu ako je omjer veeg dijela duine ( ) prema manjem

    dijelu duine ( ) jednak omjeru cijele duine ( ) prema veem dijelu duine ( ) (vidjeti Sliku

    Saetak

    1 Uvod

    2 O zlatnom rezu

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    1

  • 1.).

    Slika 1: Podjela duine u zlatnom rezu

    Zapiimo:

    : = : .

    Taj omjer obino se oznaava s pa koristei oznake

    =

    =

    =

    zapisujemo:

    pri emu smo omjere zapisali u obliku razlomaka. Primijetimo da zbog prirode samoga problema i

    gornjih oznaka vrijede nejednakosti , i .

    Iz jednakosti slijedi

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    2

  • .

    Kad taj izraz uvrstimo u jednakost , dobivamo:

    pa zbog slijedi:

    .

    Sva rjeenja ove kvadratne jednadbe su:

    i .

    Budui da mora vrijediti nejednakost , rjeenje odbacujemo. Rjeenje

    nazivamo zlatni broj.

    Odavde slijedi da je omjer manjeg dijela duine ( ) prema veem dijelu duine ( ) jednak

    Konstrukcije koje emo ovdje pokazati lako se mogu izvesti ravnalom i estarom. Navodimo dva

    problemska zadatka i njihova rjeenja.

    3 Dvije osnovne konstrukcije vezane uz zlatni rez

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    3

  • Zadatak 1.

    Zadana je duina duljine a (vidjeti Sliku 2.). Konstruirajte duinu duljine b tako da omjer a:b budejednak zlatnom broju.

    Slika 2: Zadana duina duljine a

    Rjeenje: Iz bilo koje krajnje toke duine (bez smanjenja openitosti ovdje emo izabrati toku B),

    uzdignemo okomicu duljine a. Na taj nain dobivamo toku R. Odredimo polovite P duine .

    Nacrtamo kruni luk sa sreditem u toki P i polumjerom r= . Tim krunim lukom presijeemo

    pravac AB. Tako dobivamo toku C (vidjeti Sliku 3.). Duina je traena duina.

    Napomena 1. Primijetimo da toka C ne moe pripadati duini . Uoimo da prema konstrukcijivrijede jednakosti

    = ,

    =a.

    Opet prema konstrukciji, trokut PBR je pravokutan trokut kojemu je pravi kut kod vrha B. Primjenom

    Pitagorina pouka izraunamo duljinu r njegove hipotenuze :

    = + = = .

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    4

  • Odatle je . Tako slijedi:

    =r= = = .

    Dakle, C , pa zbog toga u konstrukciji koristimo pravac AB.

    Slika 3: Konstrukcija iz Zadatka 1.

    Dokaz konstrukcije: U Napomeni 1. pokazali smo da vrijedi jednakost:

    .

    Duljinu duine dobivamo kao razliku duljina duina i :

    = - = - = .

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    5

  • Stoga je omjer duljina i jednak:

    = = = = = ,

    to je i trebalo pokazati.

    Q.E.D.

    Za konstrukcije zlatnoga trokuta koje emo pokazati dovoljna je konstrukcija opisana u rjeenju

    Zadatka 1. Radi potpunosti, u Zadatku 2. izloit emo jo jednu konstrukciju.

    Zadatak 2. Zadanu duinu (vidjeti Sliku 4.) podijelite u zlatnom rezu.

    Slika 4: Zadana duina

    Rjeenje: Neka je . Iz toke uzdignemo okomicu duljine . Tako dobivenu toku

    oznaimo s . Spojimo toku s tokom (vidjeti Sliku 5).

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    6

  • Slika 5: Poetak konstrukcije

    Konstruiramo kruni luk sa sreditem u i polumjerom . Njime presijeemo duinu . Tako

    dobivenu toku oznaimo s (vidjeti Sliku 6.).

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    7

  • Slika 6: Nastavak konstrukcije

    Nacrtamo kruni luk sa sreditem u toki i polumjerom . Tim krunim lukom presijeemo

    duinu . Tako dobivenu toku oznaimo s (vidjeti Sliku 7.).

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    8

  • Slika 7: Duina podijeljena u zlatnom rezu

    Toka je traena toka, tj. toka dijeli duinu u zlatnom rezu.

    Dokaz konstrukcije: Primjenom Pitagorina pouka na trokut ACD dobijemo

    = = = .

    Zbog toga je

    = - = - = .

    Prema konstrukciji je

    = = ,

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    9

  • pa je

    = - = - = .

    Preostaje izraunati ili omjer duljina i :

    = = = = =

    ili omjer duljina i :

    = = = ,

    to je i trebalo pokazati. Q.E.D.

    Zlatni pravokutnik je takav pravokutnik kojemu je omjer duljina stranica i jednak zlatnom broju, tj.

    . U umjetnosti se smatra pravokutnikom koji ima oku najugodnije dimenzije, pa su mnoge

    slike naslikane upravo u dimenzijama zlatnog pravokutnika.

    Koristei konstrukciju opisanu u rjeenju Zadatka 1. vrlo je jednostavno rijeiti sljedee zadatke.

    Zadatak 3. Konstruirajte (krau) stranicu zlatnoga pravokutnika ako je zadana (dulja) stranica

    toga pravokutnika.

    Zadatak 4. Konstruirajte (dulju) stranicu zlatnoga pravokutnika ako je zadana (kraa) stranica

    toga pravokutnika.

    4 O zlatnom pravokutniku

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    10

  • Detalje preputamo itatelju za vjebu.

    Zlatni trokut je jednakokraan trokut kojemu je omjer duljine kraka ( ) i duljine osnovice ( ) jednak

    zlatnom broju (vidjeti Sliku 8.).

    Slika 8: Zlatni trokut

    Najprije emo dokazati da su svi zlatni trokuti slini. U tu svrhu treba nam jedna lema.

    Lema 1. .

    5 O zlatnom trokutu

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    11

  • Dokaz: Oznaimo . Tada je oito . Podsjetimo da za svaki vrijede

    nejednakosti:

    ,

    .

    Posebno, i za vrijede nejednakosti:

    ,

    .

    Ako je , onda je . Iz potonje jednakosti slijedi redom:

    .

    Poznato je da vrijede trigonometrijski identiteti (dokaze vidjeti npr. u [2]):

    .

    Uvrtavanjem tih jednakosti u jednakost dobije se:

    .

    Zbog nejednakosti , gornju jednakost smijemo podijeliti s . Dobijemo:

    .

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    12

  • Primjenom osnovnog trigonometrijskog identiteta gornju jednakost moemo

    transformirati u ekvivalentnu jednakost:

    .

    Zamjenom dobiva se kvadratna jednadba:

    .

    Sva rjeenja te jednadbe su:

    , .

    Zbog nejednakosti u obzir dolaze samo strogo pozitivna rjeenja. Lako se vidi da vrijedi

    nejednakost , pa to rjeenje odbacujemo. Zbog toga preostaje

    ,

    odnosno

    ,

    ime je lema dokazana. Q.E.D.

    Tvrdnju da su svi zlatni trokuti slini dokazat emo tako da izraunamo mjere kutova bilo kojega

    zlatnoga trokuta. Preciznije, dokazat emo sljedeu propoziciju.

    Propozicija 1. Mjere kutova bilo kojega zlatnoga trokuta su 36 , 72 i 72 .

    Dokaz: Prema pretpostavci, omjer brojeva i je zlatni broj, tj. vrijedi jednakost:

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    13

  • .

    Uz oznake sa Slike 8. slijedi:

    .

    Iz Leme 1. slijedi:

    ,

    odnosno rad.= 36 . Sada lako izraunamo mjeru preostaloga kuta trokuta:

    rad. ,

    to je i trebalo pokazati. Q.E.D.

    Korolar 1. Svi zlatni trokuti su slini.

    Dokaz: Tvrdnja slijedi izravno iz Propozicije 1. i pouka K-K-K o slinosti trokuta. (Svi pouci o slinosti

    trokuta mogu se nai npr. u [1].) Q.E.D.

    Zlatni trokut nalazimo kao karakteristian trokut unutar pravilnog deseterokuta (vidjeti Sliku 9.).

    Naime, mjera sredinjega kuta pravilnoga deseterokuta je radijana, pa primjenom

    Propozicije 1. zakljuujemo da je taj trokut zlatni trokut. Odatle izravno slijedi

    Propozicija 2. Omjer polumjera pravilnom deseterokutu opisane krunice i duljine stranice toga

    deseterokuta jednak je zlatnom broju.

    Korolar 2. Neka je duljina stranice pravilnoga deseterokuta. Tada je polumjer tom deseterokutu

    opisane krunice .

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    14

  • Slika 9: Zlatni trokut u pravilnom deseterokutu

    Zlatni trokut takoer nalazimo i unutar pravilnog peterokuta (vidjeti Sliku 10.).

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    15

  • Slika 10: Zlatni trokut u pravilnom peterokutu

    Propozicija 3. Crveno oznaeni trokut sa Slike 10. je zlatni trokut.

    Dokaz: Zbog Propozicije 1. dovoljno je dokazati da je . Zbroj svih unutranjih kutova

    pravilnog peterokuta jednak je

    .

    Jedan od tih unutranjih kutova je i kut . Njegova mjera je . Zbog toga je:

    .

    Uoimo da kutovi i zajedno daju jo jedan unutranji kut peterokuta. To znai da za njihove mjere

    mora vrijediti jednakost:

    O zlatnom trokutu | math.e Vol 30.

    16

  • .

    Zbog odatle odmah slijedi , to smo i eljeli dokazati. Q.E.D.

    Dvije su osnovne konstrukcije zlatnoga trokuta: -konstruirati zlatni trokut kojemu je zadana osnovica

    duljine ;

    -konstruirati zlatni trokut kojemu je zadan krak duljine .

    Obje konstrukcije moemo provesti primjenom konstrukcije opisane u rjeenju Zadatka 1. Precizirajmo

    to u obliku sljedeih dvaju zadataka.

    Zadatak 5. Konstruirajte zlatni trokut kojemu je zadana osnovica .

    Rjeenje: Konstrukcijom opisanom u rjeenju Zadatka 1. konstruiramo toku takvu da je

    (vidjeti Sliku 3.). Tada je duljina duine jednaka duljini kraka zlatnoga trokuta. Doista, iz definicije

    zlatnoga reza izravno slijedi da ako je , onda je i

    .

    Preo