8 9 7 · 1 Zadatak 241 (4A, TUPŠ) Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina 7 cm, 8 cm i 9 cm? Rješenje 241 Ponovimo! Trokut je dio ravnine ome ñen s

1

Zadatak 241 (4A, TUPŠ)

Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina 7 cm, 8 cm i 9 cm?

Rješenje 241 Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Nasuprot većoj stranici u trokutu leži veći kut. Nasuprot manjoj stranici u trokutu leži manji kut.

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos co, , s2 2 2

.b c a a c b a b c

b c a c a bα β γ

+ − + − + −= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Neka je a = 7 cm, b = 8 cm i c = 9 cm.

Budući da se nasuprot najmanje stranice a u trokutu nalazi najmanji kut α, slijedi:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2

8 9 71 1cos cos cos

2 2 2 8 9

cm cm cmb c a b c a

b c b c cm cmα α α

+ −+ − + −− −= ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 264 81 49 961 1

cos cos2 2

144 144

kratimo razlomak

2s 48

cm cm cm cm

cm cm cmα α

+ −− −⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒

21 0cos 48 11'23''.

3α α

−⇒ = ⇒ =

Vježba 241

Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina 14 cm, 16 cm i 18 cm?

Rezultat: 48° 11' 23''.


Na skici je prikazan konveksan četverokut ABCD u kojem je α + γ = β + δ = 180°.

b < c ⇒⇒⇒⇒ ββββ < γγγγ

a < c ⇒⇒⇒⇒ αααα < γγγγ

a < b ⇒⇒⇒⇒ αααα < ββββγγγγ

ββββαααα

c

b a

2

Pravci AB i CD sijeku se u točki T. Točka T je 3 cm udaljena od točke A, 6 cm od točke D i 10 cm od

točke C. Kolika je duljina stranice ?AB

. 13 . 15 . 17 . 19A cm B cm C cm D cm


Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

,, ,1 1 1

1 1 1

.a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

Prvi poučak sličnosti (K – K)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta.

Drugi poučak sličnosti (S – K – S)

Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu, a stranice koje odreñuju taj kut su

proporcionalne.

Treći poučak sličnosti (S – S – S)

Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti poučak sličnosti (S – S – K)

Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne, a podudaraju se u kutu nasuprot većoj

stranici.

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Dva su kuta suplementna, ako je njihov zbroj jednak 180°, još kažemo da su ti kutovi sukuti.

ββββαααα αααα + ββββ = 180°°°°

3

Sa slike vidi se:

3 , 6 , 10 ,TA TD TC AB TB TA= = = = −

, , ,DAB ABC BCD CDAα β γ δ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =

Dokažimo da vrijedi:

,TAD γ∠ =

.ADT β∠ =

TAD γ∠ =

•

0 0180 180

.0 0

180 180

metoda

komparacije

TAD TADTAD

α αγ

α γ γ α

∠ = − ∠ = −⇒ ⇒ ⇒ ∠ =

+ = = −

ADT β∠ =

•

0 0180 180

.0 0

180 180

metoda

komparacije

ADT ADTADT

δ δβ

β δ β δ

∠ = − ∠ = −⇒ ⇒ ⇒ ∠ =

+ = = −

γγγγ

ββββ

ββββ

γγγγ

4

Uočimo da su trokuti ∆TAD i ∆TBC slični jer imaju jednake kutove (kut DTA je zajednički za oba

trokuta, ,ABC ADT BCD TAD∠ = ∠ ∠ = ∠ ).

Nasuprot kutu β je:

• u trokutu TAD stranica TA

• u trokutu TBC stranica .TC

Nasuprot kutu γ je:

• u trokutu TAD stranica TD

• u trokutu TBC stranica .TB

Tada vrijedi razmjer:

: : : 10 6 : 3 3 60TB TC TD TA TB TB= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ : 33 60 20.TB TB⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo duljinu stranice .AB

20 3 17.AB TB TA AB AB= − ⇒ = − ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 242

Na skici je prikazan konveksan četverokut ABCD u kojem je α + γ = β + δ = 180°.

Pravci AB i CD sijeku se u točki T. Točka T je 6 cm udaljena od točke A, 12 cm od točke D i 20 cm

od točke C. Kolika je duljina stranice ?AB

. 26 . 30 . 34 . 38A cm B cm C cm D cm

Rezultat: C.


U pravokutnome trokutu mjera jednoga šiljastog kuta je sedam puta veća od mjere drugoga šiljastog kuta. Kolika je mjera manjega kuta toga trokuta?

0 0 0 0. 11 15 ' . 12 51' . 22 30 ' . 25 42 'A B C D



Zbroj kutova u trokutu je 180°.

.0

180α β γ+ + =

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

090 0, .

09γ α β= + =

5

Kako zapisati da je broj b ''n puta'' veći od broja a?

, , .b b

b n a a nn a

= ⋅ = =

Mjera najmanjega kuta pravokutnog trokuta dobije se iz sustava jednadžbi.

metoda/ : 8

supstitucije

00 0 0 090

7 90 8 90 8 90 11 15'.7

α ββ β β β β

α β

+ =⇒ ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

= ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 243

U pravokutnome trokutu mjera jednoga šiljastog kuta je osam puta veća od mjere drugoga

šiljastog kuta. Kolika je mjera manjega kuta toga trokuta?

0 0 0 0. 10 . 12 . 22 . 25A B C D

Rezultat: A.

Zadatak 244 (Helena, pedagoški fakultet)

Neka je zadan trokut ∆ABC takav da je │AC│<│BC│ i neka su nad stranicama iAC BC

konstruirani kvadrati (slika). Dokažite da je │AN│=│BP│.

c

γγγγ

ββββαααα

bb

b

ba

a

a

a

R

P

M

N

A

C

B

Rješenje 244

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Sukladnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da

su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1

, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.

Drugi poučak sukladnosti (S – K – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu izmeñu njih. Treći poučak sukladnosti (K – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici.

Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K)

6

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici.

Četverokut je dio ravnine omeñen sa četiri dužine. Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima

četiri kuta i četiri stranice. Kvadrat je četverokut kojemu su sve stranice sukladne, a dijagonale meñusobno sukladne i okomite.

c

γγγγ

ββββαααα

bb

b

ba

a

a

a

R

P

M

N

A

C

B

Sa slike vidi se:

,AC CP PR RA b BM MN NC CB a= = = = = = = =

, ,CAB ABC BCAα β γ∠ = ∠ = ∠ =

0 0 0 090 90 , 90 90 .NCA BCA BCP BCAγ γ∠ = + ∠ = + ∠ = ∠ + = +

a

a

a

ab

b

bb

αααα ββββ

γγγγ

c

R

P

M

N

C

A B

a

a

a

ab

b

bb

αααα ββββ

γγγγ

c

R

P

M

N

C

A B

Uočimo trokute ∆ANC i ∆BCP za koje vrijedi:

• ∆ANC

0, , 90NC a CA b NCA γ= = ∠ = +

• ∆BCP

0, , 90 .BC a CP b BCP γ= = ∠ = +

Tada je:

7

090

.0

90

NCANCA BCP

BCP

γ

γ

∠ = +⇒ ∠ = ∠

∠ = +

Dakle, promatrani trokuti ∆ANC i ∆BCP imaju dvije stranice jednake duljine

,NC BC a CA CP b= = = =

i jednake kutove meñu tim stranicama

.NCA BCP∠ = ∠

Po drugom poučku o sukladnosti trokuta (S – K – S) trokuti ∆ANC i ∆BCP sukladni su (podudaraju se

u dvije stranice i kutu meñu njima) pa im je i treća stranica jednake duljine, tj.

.AN BP=

Dokaz gotov.

Vježba 244

Svaki vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju unutarnjih kutova trokuta koji s njime nisu

susjedni.

Rezultat:

αααα'

γγγγ

ββββαααα

A B

C

αααα'

γγγγ

ββββαααα

A B

C

0180

... ' .0

' 180

α β γα β γ

α α

+ + =⇒ ⇒ = +

+ =

Zadatak 245 (Helena, pedagoški fakultet)

Neka je iCAB BED AB BE∠ = ∠ = (slika). Dokažite da je │AD│=│CE│.

ββββ

B E

A

C

D

Rješenje 245

Ponovimo!


Sukladnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da

8

su odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice jednakih duljina.

, , , ,1 1 1 1 1 1

, .a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S – S – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.

Drugi poučak sukladnosti (S – K – S)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu izmeñu njih.

Treći poučak sukladnosti (K – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici.

Četvrti poučak sukladnosti (S – S – K)

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici.

ββββ

B E

A

C

D

Uočimo trokute ∆ABC i ∆BED za koje vrijedi:

, , .AB BE ABC DBE CAB BEDβ= ∠ = ∠ = ∠ = ∠

ββββββββ

B E EB

A

C

D

A

C

D

Po trećem poučku o sukladnosti trokuta (K – S – K) trokuti ∆ABC i ∆BED sukladni su (podudaraju se

u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici) pa vrijedi:

, .DB BC AC ED= =

Sa slika vidi se:

AB BE AD DB E DB BBC CC= ⇒ + = + =⇒ ⇒

.AD BC BC CE A BD CC E AD CEBC⇒ + = + ⇒ + = + ⇒ =

Dokaz gotov.

9

Vježba 245

Zbroj vanjskih kutova trokuta jednak je punom kutu (360°).

Rezultat:

γγγγ'

ββββ'αααα'

γγγγ

ββββαααα

B

C

A

0180

0'' ' ' ... ' ' ' 360 .

'

'

α β γ

α β γα β γ β γ α γ α β α β γ

β α γ

γ α β

+ + =

= +⇒ + + = + + + + + ⇒ ⇒ + + =

= +

= +

Zadatak 246 (Nick, gimnazija)

Duljine katete a i hipotenuze c pravokutnog trokuta su dva uzastopna prirodna broja. Kvadrat

katete b trokuta je:

. . . 2 . 2A a c B a c C a c D a c− + ⋅ + ⋅ −

Rješenje 246

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .a b a a b b+ = + ⋅ ⋅ +




Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama.

Skup svih prirodnih brojeva označavamo sa N i pišemo:

{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , , , .. .1 .N n n= +

Zakon asocijacije za zbrajanje

( ) ( ) .a b c a b c+ + = + +

Kako zapisati dva uzastopna prirodna broja?

, 1, .1 ,n n n n+ −

Budući da su duljine katete a i hipotenuze c pravokutnog trokuta dva uzastopna prirodna broja, vrijedi:

( ) ( ), 1 2 22 2 2 2 2 2 2

1 1 2 12 2 2

a n c nn b n b n n b n n n

a b c

= = +⇒ + = + ⇒ = + − ⇒ = + ⋅ + − ⇒

+ =

( )2 2 2 22 1 2 1 1 1

2 2b n b n b n bn nn n n⇒ = + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ = + + ⇒ = + +− ⇒

1

2.b a

n

nc

a

c⇒

==

+⇒ +

=

Odgovor je pod B.

10

Vježba 246

Duljine katete b i hipotenuze c pravokutnog trokuta su dva uzastopna prirodna broja. Kvadrat

katete a trokuta je:

. . . 2 . 2A b c B b c C b c D b c− + ⋅ + ⋅ −

Rezultat: B.

Zadatak 247 (Petra, strukovna škola)

Nacrtani su usporedni pravci p i q i po dvije točke na svakome od njih. Koja je tvrdnja točna

za površine trokuta ABC i ABD prikazanih na skici?

. 0.5 .A P P B P P

ABC ABD ABC ABD= ⋅ =

. 1.5 . 2C P P D P PABC ABD ABC ABD

= ⋅ = ⋅

Rješenje 247

Ponovimo!


Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2

b va v c va b cP P P⋅⋅ ⋅

= = =

Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja

odgovara toj stranici.

P = a ⋅⋅⋅⋅ v

2

PABC = PABD = PABE

a

v vv

E

B

C

A

D

11

vvv

a a a

== P PP

Sa slike vidi se da trokuti ABC i ABD imaju jednaku osnovicu (bazu) AB , a visine su jednake duljine

jer su pravci p i q usporedni. Površine trokuta ABC i ABD jednake su.

Odgovor je pod B.

Vježba 247

Nacrtani su usporedni pravci p i q i po dvije točke na svakome od njih. Koja je tvrdnja točna

za površine trokuta CDA i CDB prikazanih na skici?

p

q

A B

C D

. 0.5 .A P P B P P

CDA CDB CDA CDB= ⋅ =

. 1.5 . 2C P P D P PCDA CDB CDA CDB

= ⋅ = ⋅

Rezultat: B.

Zadatak 248 (Ivana, gimnazija)

Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 8 cm, a duljina je druge katete

36 cm. Kolika je površina trokuta?

Rješenje 248

Ponovimo!

( )2 2 2

2 .x y x x y y+ = + ⋅ ⋅ +



12


Pitagorin poučak

Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama.

Ploština pravokutnog trokuta čije su katete a i b dana je formulom

2.

a bP

⋅=

Iz zadane pretpostavke dobije se sustav jednadžbi.

( )Pitagorin poučak

2

8 8 2 2 28 36

36 36 2 2

c a

c a b

c aa a

b b =

− = = +⇒ ⇒ ⇒ + = + ⇒

= = +

2 264 16 1296 64 16 1296 64 16 1

22 6

29a a a a aa a⇒ + ⋅ + = + ⇒ + ⋅ = + ⇒ ++ ⋅ = ⇒

16 1296 64 16 1232 16 1232 7/: 16 7.a a a a⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Površina pravokutnog trokuta iznosi:

77 , 3677 36 2

1386 .2

4

a cm b cmcm cm

P P cma bP

= =⋅

⇒ = ⇒ =⋅=

Vježba 248

Razlika duljina hipotenuze i jedne katete pravokutnog trokuta je 4 cm, a duljina je druge katete

8 cm. Kolika je površina trokuta?

Rezultat: 24 cm2.

Zadatak 249 (Lea, gimnazija)

Koliki su kutovi jednakokračnog trokuta, ako je a = 330 cm i va = 150 cm?

Rješenje 249

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meñu

duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta.

Visine su trokuta dužine kojima je jedan kraj vrh trokuta, a drugi sjecište okomice (koja prolazi

promatranim vrhom) s pravcem na kojem leži suprotna stranica trokuta.

Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Za jednakokračan trokut vrijedi:

02 180 .α β+ ⋅ =

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz taj kut.

Gledaj slike!

13

a

2

αααα

2

αααα

2

a

2

b

ββββ

va

a

b b

αααα

ββββ ββββ

vava

ββββββββ

αααα

bb

a

Iz pravokutnog trokuta, čije su katete va i ,2

a a hipotenuza b uz pomoć funkcije tangens, dobije se:

2 2 2 1501 11

330

2 2

vav v v cma a atg tg tg tg tga a a a cm

β β β β β⋅ ⋅ ⋅− −

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

300 300 3001 1 1 042 16 '25 ''.

330 330 330

cm

cm

cmtg tg tg

cmβ β β β

− − −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Računamo kut α.

02 180 0 0 0 0

2 42 16 '25 '' 180 84 32 '50 '' 1800

42 16 '25 ''

α βα α

β

+ ⋅ =⇒ + ⋅ = ⇒ + = ⇒

=

0 0 0 0 0180 84 32 '50 '' 179 59 '60 '' 84 32 '50 '' 95 27 '10 ''

01 60 '

1'.

60 ''α α α⇒ = − ⇒ ⇒ = − ⇒ =

=

=

Vježba 249

Koliki su kutovi jednakokračnog trokuta, ako je a = 660 cm i va = 300 cm?

Rezultat: 0 0

95 27 '10 '' , 42 16 '25 ''.α β= =

Zadatak 250 (Lea, gimnazija)

U jednakokračnom trokutu ABC je │AC│=│BC│= 30 cm i │AB│= 25 cm. Simetrale kutova

na osnovici trokuta sijeku se u točki D. Koliki je kut ADB?

Rješenje 250

Ponovimo!


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Na osnovi odnosa meñu

duljinama stranica trokut može biti:

1) raznostraničan,

2) jednakokračan,

3) jednakostraničan.

Kod jednakokračnog trokuta duljine dviju stranica su jednake. Stranice jednakih duljina zovemo

kracima trokuta.



14

Zbroj svih kutova u trokutu je 180º.

.0

180α β γ+ + =

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

FE

D

N

FE

D

N

FE

D

NA B BA BA

C C C

Sa slika vidi se:

130 , 25 , ,

2AC BC AB AN NB AB BAC CBA= = = = = ⋅ ∠ = ∠

1 1, ,

2 2NAD BAC DBN CBA NAD DBN∠ = ⋅∠ ∠ = ⋅∠ ∠ = ∠

Visina CN okomita je na osnovicu AB i trokut ABC dijeli na dva sukladna pravokutna trokuta:

∆ANC i ∆NBC. Promatrajmo, na primjer, pravokutan trokut ANC. Pomoću funkcije kosinus dobije

se:

1 125

2 2cos cos cos30

AB cmAN

NAC NAC NACAC AC cm

⋅ ⋅

∠ = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒

125

25 52cos cos cos cos30 6 0 12

25

60NAC NAC NAC

cm

cmNAC

⋅

⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒

51 0cos 65 22 '32 ''.

12NAC NAC

−⇒ ∠ = ⇒ ∠ =

Tada je

01

1 1 10 065 22 '32 '' 64 82 '32 ''0

26 '

2 2NAD NAC NAD NAD∠ = ⋅∠ ⇒ ∠ = ⋅ ⇒ ⇒ ∠ = ⋅ ⇒=

032 41'16.NAD⇒ ∠ =

Zbog

,NAD DBN∠ = ∠

slijedi

( )0 0180 180NAD ADB DBN ADB NAD DBN∠ + ∠ + ∠ = ⇒ ∠ = − ∠ + ∠ ⇒

0 0 0180 2 180 2 65 22 '32 ''ADB NAD ADB⇒ ∠ = − ⋅∠ ⇒ ∠ = − ⋅ ⇒

01 60 '

1' 6

0 0 0 0180 130 44 '64 '' 179 59 '60 '' 130 4

0 '5 ' 4

'''ADB ADB⇒ ∠ = − ⇒ ⇒ ∠ = −

=

=⇒

049 14 '56 '' .ADB⇒ ∠ =

15

Vježba 250

U jednakokračnom trokutu ABC je │AC│=│BC│= 60 cm i │AB│= 50 cm. Simetrale kutova

na osnovici trokuta sijeku se u točki D. Koliki je kut ADB?

Rezultat: 0 0

95 27 '10 '' , 42 16 '25 ''.α β= =

Zadatak 251 (Matija, gimnazija)

Duljine stranica trokuta jednake su 11 cm, 12 cm i 13 cm. Razlika duljina dviju kraćih stranica

sličnog trokuta iznosi 11 cm. Kolike su duljine stranica sličnog trokuta?

Rješenje 251

Ponovimo!


Sličnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su

odgovarajući kutovi jednaki, a odgovarajuće stranice proporcionalne.

11 1 1, ,

1 1 1, .

1

1

a k aa b c

k b k ba b c

c k c

α α β β γ γ

= ⋅

= = = = = = ⇒ = ⋅

= ⋅

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti.

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Ako trokut ABC ima duljine stranica a, b i c, tada njemu sličan trokut A1B1C1 ima duljine stranica

a1, b1 i c1 tako da vrijedi:

1

.1

1

a k a

b k b

c k c

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Tražimo koeficijent sličnosti k. Budući da je razlika duljina dviju kraćih stranica sličnog trokuta

jednaka 11 cm, vrijedi:

( )metoda

komparacije

111 1

11 11

1 1

b ak b k a k b a

b a k b k a

− =⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒

− = ⋅ − ⋅

( )12 11 11 1 11 11.k k k⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Duljine stranica sličnog trokuta iznose:

11

11 ,

11 11 1211 1 1

11 12 132 .1 1 1

11

12

13 1431 1

131

a k a a a cm

b k b b b cm

c k c c c

k

c c

a

b

m

= ⋅ = ⋅=

= =

=

=

= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅ = ⋅ =

16

Vježba 251

Duljine stranica trokuta jednake su 11 cm, 12 cm i 13 cm. Zbroj duljina dviju kraćih stranica

sličnog trokuta iznosi 253 cm. Kolike su duljine stranica sličnog trokuta?

Rezultat: 121 , 132 , 143 .1 1 1

a cm b cm c cm= = =

Zadatak 252 (Antun, tehnička škola)

U tupokutnome trokutu ABC mjera kuta u vrhu B je 23°, a duljine stranica su │AB│= 20 cm i

│BC│ = 30 cm. Kolika je duljina visine iz vrha B?

. 14.77 . 15.77 . 16.77 . 17.77A cm B cm C cm D cm

Rješenje 252

Ponovimo!



, .2

,2 2


= = =



Ploština trokuta zadanog dvjema stranicama i kutom izmeñu njih

1 1 1sin , sin si, .n

2 2 2P a b P b c P a cγ α β= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak)

U trokutu ABC vrijede ove jednakosti

2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 2, .s, coa b c b c b a c a c c a b a bα β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

23°°°°

30 cm

20 cmA B

C

Sa slike vidi se:

020 , 30 , 23AB BC ABC= = ∠ =

Duljinu │AC│, treće stranice trokuta ABC, izračunamo primjenom kosinusovog poučka.

2 2 22 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ ⇒

2 2 22 cos /AC AB BC AB BC ABC⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ ⇒

2 22 cosAC AB BC AB BC ABC⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ ⇒

2 2 020 30 2 20 30 cos 23 13.98 .AC AC cm⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

17

Uporabom formula za ploštinu trokuta odredimo duljinu visine iz vrha B, vb.

metoda

komparaci

1 02 sin 232 21 0

sin 232

je

AC vbP AC v

b AB BC

P AB BC

⋅= ⋅

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅

2/

0sin 231 0

sin 232 2

AC v AB BCb AB BC vb ACAC

⋅⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒

020 30 sin 23

16.77 .13.98

v v cmb b

⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 252

U tupokutnome trokutu ABC mjera kuta u vrhu B je 23°, a duljine stranica su │AB│= 40 cm i

│BC│ = 60 cm. Kolika je duljina visine iz vrha B?

. 29.54 . 31.54 . 33.54 . 35.54A cm B cm C cm D cm

Rezultat: C.

Zadatak 253 (Ivan, srednja škola)

Izračunaj visinu na stranicu AB u trokutu čiji su vrhovi A(– 3, 2), B(1, – 1) i C(– 3, – 3).

Rješenje 253

Ponovimo!

, , .1

a

n a d abn b ac b c b

d

⋅= = ⋅ =

⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +




Jednadžba pravca oblika

y k x l= ⋅ +

naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se

koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi y.

Pravac točkama A(x1, y1) , B(x2, y2) , x1 ≠ x2, ima koeficijent smjera:

2 1

2

.

1

y yk

x x

−=

−

Uvjet okomitosti:

Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama y = k1 · x + l1, y = k2 · x + l2, k1, k2 ≠ 0, tada su okomiti

ako i samo ako je 1 1

11 2 1 2

.

2 1

k k k kk k

⋅ = − ⇒ = − ⇒ = −

Koeficijenti, dakle, moraju imati suprotne predznake i moraju biti meñusobno recipročni.

Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(x1, y1) glasi

18

( )1.

1y y k x x− = ⋅ −

Odredimo koeficijent smjera k1 pravca AB (na kojem leži stranica AB trokuta ABC).

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 3, 2 1 2 3 31 1.

1 1 11 3 1 3

2 11

24, 1, 1

2 2 1

A x y A

k k ky y

x x xB

k

y B

−=

−

= − − − −⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = −

− − += −

Budući da je pravac kojemu pripada visina vc okomit na stranicu AB, za njegov koeficijent smjera k2

vrijedi:

1

11/

1 411 1 .1 2 1 2 2 2 2 23 3

41

31

4

k k k k k k k kkk

⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒⋅ ⇒ = =

−

Jednadžba pravca kojemu pripada visina vc je:

( ) ( )

( )( )( ) ( )

1 2 1

4, , 3, 3 4 42 1 13 3 3 3 3

3 3

k C x y Cy x y x

y y k x x

= = −

⇒ − = ⋅ − − ⇒ − = ⋅ + ⇒

− = ⋅ −

4 4 43 4 4 3 7.

3 3 3y x y x y x⇒ − = ⋅ + ⇒ = ⋅ + + ⇒ = ⋅ +

Vježba 253

Izračunaj visinu na stranicu BC u trokutu čiji su vrhovi A(– 3, 2), B(1, – 1) i C(– 3, – 3).

Rezultat: 2 4.y x= − ⋅ −

Zadatak 254 (Helena, gimnazija)

Na skici je prikazan paralelogram ABCD kojemu je stranica AB duljine 5 cm, a visina na tu

stranicu 8 cm. Točka S je sjecište njegovih dijagonala, a točka T polovište dužine .BS Izračunajte

površinu trokuta ABT.

19

5 cm

8 cmT

S

D

A B

C

Rješenje 254

Ponovimo!

, .

a

a c a c a db

cb d b d b c

d

⋅ ⋅⋅ = =

⋅ ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne).

Dijagonala paralelograma je spojnica dva nesusjedna vrha. Paralelogram ima dvije dijagonale koje se

meñusobno raspolavljaju.





, .2

,2 2


= = =



vvv

a a a

== P PP

20

h

v = 8 cm

5 cm

T

S

D C

BA

Sa slike vidi se:

visina okomita, na5 , 8 ,AB DC BC AD v h BD= = = = −

1

1 1 12.

1 2 2 4

2

BT BS

BT BD BT BD

BS BD

= ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

= ⋅

Izračunamo ploštinu trokuta ABD.

5 8 220 .

2 2

AB vP P P cm

ABD ABD ABD

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

Ploština trokuta ABD može se izračunati i na sljedeći način.

.2

BD hP

ABD

⋅=

Promatrajmo trokute ∆ABD i ∆ABT. Imaju zajedničku visinu h, a za baze vrijedi:

1.

4BT BD= ⋅

Pomoću omjera dobije se ploština treokuta ABT.

2 1

2 1

2

2

BT h BT BTP P P P BTABT ABT ABT ABT

BD h BD BD

h

hP P P P BDABD ABD ABD ABD

⋅ ⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅

14 4

4

1

4

1 1BDP P P

ABT ABT ABT

P BD P PABD ABD

BD

BT BD

ABD

DB

⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒= ⋅

1 1 1 2/

220 5 .

4 4 4

PABT P P P cm P cm

ABT AP

AB BD ABT ABTPA

DBD

⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

Vježba 254

Na skici je prikazan paralelogram ABCD kojemu je stranica AB duljine 5 cm, a visina na tu

stranicu 8 cm. Točka S je sjecište njegovih dijagonala, a točka T polovište dužine .BS Izračunajte

površinu trokuta ABT.

21

6 cm

8 cmT

S

D

A B

C

Rezultat: 6 cm

2.

Zadatak 255 (Sanja, gimnazija)

Opseg pravokutnog trokuta je jednak 200. Duljina hipotenuze je jednaka 78. Koliki je polumjer trokutu upisane kružnice?

Rješenje 255

Ponovimo!




Ako su a i b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta ABC, onda je formula za opseg

.O a b c= + +

Ako je zadan pravokutni trokut duljina kateta a i b i hipotenuze c, tada je polumjer r upisane kružnice dan formulom

2.

a b cr

+ −=

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

rS

1.inačica

200 20078 200 200 78 122.

78 78

O a b ca b a b a b

c c

= + + =⇒ ⇒ + + = ⇒ + = − ⇒ + =

= =

Polumjer trokutu upisane kružnice iznosi:

22

4122 122 78 4422.

7

4

8 22 22

a b ca br r r r

cr

+ = −⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

+ −=

2.inačica

200 200

78 78 2

2

2 2

O a b c a b a br r

c c

a b c c c cr

+ − −= + + = + +⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

+ − ⋅= = ⇒

= =

2 200 2 78 200 156 4422.

2 2 2 2

44

2

a b c cr r r r r r

+ + − ⋅ − ⋅ −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 255

Opseg pravokutnog trokuta je jednak 400. Duljina hipotenuze je jednaka 156. Koliki je

polumjer trokutu upisane kružnice?

Rezultat: 44.

Zadatak 256 (Lilly, gimnazija)

Duljine stranica trokuta su a = 5, b = 6 i c = 8. Kako se odnose visine trokuta?

Rješenje 256

Ponovimo!

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Trokut je dio ravnine omeñen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Ploština trokuta izračunava se po formuli

, .2

,2 2


= = =


odgovara toj stranici. Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d. Ako postoji n jednakih omjera

:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =

produženi razmjer je

: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

23

2/

2

2

22

2 2 2 2: : : :

2

/2

/2

2

2

2

a

b

c

a va v Paa PP vaa

b v b v P P P Pb bP P v v v va cb bb a b c

c v c v Pc c vP P cc

⋅⋅ ⋅== =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅=

⋅

⋅=

⋅

=⋅

članove razmjera

krat

2 1 2 1 2

imo s

1: : :

a 2 2 22:

P P Pv v va cb a P b P c PP

⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⋅ ⇒

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

1 1 1 1 1 12 2 2

2 2: : : : : : :

2:v v v v v va c a cb ba b c a b

P

c

P P

P P P⇒ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

⋅=

⋅

⋅ ⋅⇒ ⇒

1 1 1: : : :

5 6 8

5članove razmjera

6proširimo sa 120

8

a

b v va cb

c

v⇒ ⇒ =

=

⇒

=

= ⇒

1 1 1 1 1 1: : 120 : 120 : 120 : : :120 120 120

5 66 8:

5 8v v v v v va c a cb b

⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

: : 24 : 20 : 15.v v va cb⇒ =

Vježba 256

Duljine stranica trokuta su a = 3, b = 4 i c = 5. Kako se odnose visine trokuta?

Rezultat: : : 20 : 15 : 12.v v va cb=

Zadatak 257 (Sanny, gimnazija)

S krova kuće visine 15 m vidi se podnožje tornja pod kutom depresije od 12° 35' 28'', a

njegov vrh pod kutom elevacije od 18° 39' 24''. Kolika je visina tornja?

Rješenje 257

Ponovimo!




Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

katete uz taj kut.

Kut elevacije – kut od horizontalnog pravca prema gore.

Kut depresije – kut od horizontalnog pravca prema dolje.

kut

depresije

kut

elevacije horizontalni pravac

24

D

C

B

A ββββ

αααα d

h

h2

h1

I

D

C

B

A ββββ

αααα d

h

h2

h1

I

Sa slika vidi se:

0 012 35 '28 '' , 18 34 '24 '' , , , ,

1 2AC d BC h CD h BD hα β= = = = = =

Uočimo pravokutne trokute ∆ACD i ∆ABC. Pomoću funkcije tangens dobije se:

/m

2 22

1 1 1

etoda

komparacije/

h hCD htg tg dtg

AC d tgd

h h

d

tg

hBCtg tg tg d

AC d d t

d

tg g

β βββ

α α αα

β

α

= = ==

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= = = =

⋅

⋅

2 1 2 1 1 .2

/h h h h h tg

htg tg tg tg tg

tgβ

β α ββ

α α

⋅⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅

Visina h tornja iznosi:

1 11 2 1 1

h tg tgh h h h h h h

tg tg

β β

α α

⋅= + ⇒ = + ⇒ = ⋅ + ⇒

018 39 '24 ''

15 1 37.67 .0

12 35 '28 ''

tgh m h m

tg

⇒ = ⋅ + ⇒ =

Vježba 257

S krova kuće visine 30 m vidi se podnožje tornja pod kutom depresije od 12° 35' 28'', a

njegov vrh pod kutom elevacije od 18° 39' 24''. Kolika je visina tornja?

Rezultat: 75.35 m.

25

Zadatak 258 (Ivan, gimnazija)

Površina trokuta jednaka je 214.42 cm2, dva su njegova kuta α = 35° 15' i β = 101° 17'. Kolike

su duljine stranica ovog trokuta?

Rješenje 258

Ponovimo!

01 60 ' 1' 6 ', .0 '= =


Zbroj kutova u trokutu je 180°.

.0

180α β γ+ + =

Površina trokuta zadanog duljinom jedne njegove stranice i mjerama sva tri kuta dana je izrazom:

2 2 2sin sin sin sin sin sin

2 sin 2 sin 2 sin, , .

a b cP P P

β γ α γ α β

α β γ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅

Podsjetimo se poučka o sinusima (sinusovog poučka).

U trokutu ABC vrijedi

2sin si i

,n s n

a b cR

α β γ= = =

pri čemu je R polumjer opisane kružnice tog trokuta.

Najprije odredimo mjeru kuta γ.

( ) ( )0 0 0 0 0180 180 180 35 15 ' 101 17 'α β γ γ α β γ+ + = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒

0 0 0 0 0180 136 32 ' 179 60 ' 136 32 ' 43 28 '.γ γ γ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Iz zadane površine izračunamo, na primjer, duljinu stranice a.

2 2sin sin sin sin 2 sin2

2 sin 2 sin sin sin

2 sin/

sin sin

a a PP P a

β γ β γ α

α α γ γ

α

β β

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅⋅

/2 sin 2 sin2

sin sin sin sin

P Pa a

α α

β γ β γ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅

2 02 214.42 sin 35 15'

19.15 .0 0

sin101 17 ' sin 43 28'

cma a cm

⋅ ⋅⇒ = ⇒ =

⋅

Da bismo odredili duljine stranica b i c primijenit ćemo poučak o sinusima:

• sin

sin sin sin sin/ sin

sin

b a b a ab

ββ

β

α β α α

⋅= ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒

019.15 sin101 17 '

32.54 .0

sin 35 15 '

cmb b cm

⋅⇒ = ⇒ =

• sin

sin sin sin sin/ sin

sin

c a c a ac

γγ

γ

α γ α α

⋅= ⇒ = ⇒ =⋅ ⇒

019.15 sin 43 28 '

22.83 .0

sin 35 15 '

cmc c cm

⋅⇒ = ⇒ =

26

Vježba 258

Površina trokuta jednaka je 857.68 cm2, dva su njegova kuta α = 35° 15' i β = 101° 17'. Kolike

su duljine stranica ovog trokuta?

Rezultat: a = 38.30 cm, b = 65.08 cm, c = 45.66 cm.

Zadatak 259 (Ivan, gimnazija)

Na horizontalnom zemljištu nalazi se neboder. Njegov se vrh vidi iz udaljenosti d pod kutom elevacije α. Za koliko se trebamo približiti neboderu da bi se kut elevacije udvostručio?

Rješenje 259

Ponovimo!




Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut.

Kut elevacije – kut od horizontalnog pravca prema gore.

2.2

21

tgtg

tg

αα

α

⋅=

−

, , ,1

, .1

a

n a c a d b c a dn m n m bn a a a a acb d b d b c

d

⋅ − ⋅ ⋅+= = ⋅ = − = =

⋅ ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

2αααααααα

d

d - xx

h

BA

C

D

Sa slike vidi se:

, , ,AD x DB d x AB d BC h= = − = =

Uočimo pravokutne trokute ∆ABC i ∆DBC. Pomoću funkcije tangens dobije se:

27

2αααααααα

d

d - xx

h

BA

C

D

2αααααααα

d

d - xx

h

BA

C

D

( )

/

2 /2 2

BC h htg tg tg

AB d d

h hBCtg tgtg

d x d xDB

d

d x

α α α

α αα

⋅= = =

⇒ ⇒ ⇒

= == ⋅− −

−

( )( )

metoda

komparacije2

2

h d tgd tg d x tg

h d x tg

αα α

α

= ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒

= − ⋅

( )2 2 2 2 2 2d tg d tg x tg x tg d tg d tg x tg d tg tgα α α α α α α α α⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒

( )( )1 2

/ 222

22

2 12

d tg tgx tg d tg tg x

tgtg

tg ttg g

α αα α α

α

αα

α α

⋅ −⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒⋅

−= ⇒=⇒

⋅

( )22 12 2

2 2 211 1 1

2 2 2

2 2 21 1 1

tg tg tgtg tg tgd tg d d

tg tg tgx x x

tg tg tg

tg tg tg

α α αα α αα

α α α

α α α

α α α

⋅ − ⋅ −⋅ ⋅⋅ − ⋅ − ⋅

− − −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅

− − −

3 3 32

2 21 1

2 2 2

2 21

21

21 1

tg tg tg tg tg tg tgd d d

tg tgx x x

tg tg tg

g

gtg tg

t

t

α α α α α α α

α α

α α α

α

α

αα

⋅ − + + +⋅ ⋅ ⋅

− −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

−

⋅ ⋅

−

−

−

28

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 21 1 1

.2 2 2 2

d tg tg d tg tg d tg d tg

x x x xtg t

tg

g tg

α

α

α α α α α α

α α

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅

Vježba 259

Na horizontalnom zemljištu nalazi se neboder. Njegov se vrh vidi iz udaljenosti 600 m pod

kutom elevacije α. Za koliko se trebamo približiti neboderu da bi se kut elevacije udvostručio?

Rezultat: ( )2300 1 .x tg mα= ⋅ +

Zadatak 260 (Deny, gimnazija)

Izračunaj duljinu hipotenuze pravokutnog trokuta ako polumjer tom trokutu upisane kružnice

iznosi 4 cm, a jedan kut trokuta 67º 25'.

Rješenje 260

Ponovimo!

, .a b a b

a b b an n n

+= + = ⇒ =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅




Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

Ako je zadan pravokutni trokut duljina kateta a i b i hipotenuze c, tada je polumjer r upisane kružnice

dan formulom

2.

a b cr

+ −=

r r

r αααα

c

b

a

Sa slike vidi se:

04 , 67 25 ' , sin , cos

a br cm

c cα α α= = = =

Računamo duljinu hipotenuze c.

/2 2

2 2

2a b c a b c r a b c r a b cr r

c c c c c cc

+ − + − ⋅ + − ⋅= ⇒ = ⇒ = +⋅ ⇒ = − ⇒

29

z

2 2 21 sin cos 1

amjena

sin

cos

c a

c c

b

c

r a b r a b r

c c c c c c cα

α

α α⋅ ⋅ ⋅

⇒ = + − ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒

=

⇒=

2 2 2sin cos 1

sin cos 1 sin c/

sin cos os1 1

r r rc c

c

cα α

α α αα α α

⋅ ⋅⋅

+ −

⋅⇒ = + − ⇒ = ⇒ = ⇒

+ − + −

2 426.03 .

0 0sin 67 25 ' cos 67 25 ' 1

cmc c cm

⋅⇒ = ⇒ =

+ −

Vježba 260

Izračunaj duljinu hipotenuze pravokutnog trokuta ako polumjer tom trokutu upisane kružnice

iznosi 8 cm, a jedan kut trokuta 67º 25'.

Rezultat: 52.06 cm.

Documents

8 9 7 · 1 Zadatak 241 (4A, TUPŠ) Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina 7 cm, 8 cm i 9 cm? Rješenje 241 Ponovimo! Trokut je dio ravnine ome ñen s