1

Zlatni rezZlatni rezZlatni rez

dr. sc. Mirna Rodić Lipanović – TTF – Nacrtna geometrija A – 2009./2010.

I. dio

2

Zlatni rez

AB:AS=AS:SB

Dužina je podijeljena u zlatnom rezu ako je omjer duljine cijele dužine prema većem dijelu jednak omjeru duljine većeg dijela prema manjem dijelu.

A BS

M m

m

M

M

mM=

+

xx

=+1

1

012

=−− xx

2

51

1

+=x

2

51

2

−=x

SB

AS

AS

AB=

x

< 0

2

51+=Φ ...618.1≈

ZLATNI BROJ

3

A

B

S

AB:AS=AS:SB

Partenon,

Atena, 5.st.pr.Kr.

4

Konstrukcija zlatnog reza

A BS A BSP

C

D

C

( tzv. “unutarnji” zlatni rez )

A BS A BS

1.)

?

2.) ( tzv. “vanjski” zlatni rez )

?

a

2

a

2

a

a

2

a

a

5

Zlatni pravokutnik

kvadr

at

zl.p

ravo

kutn

ik

- pravokutnik kojemu je omjer duljina stranica jednak Φ.

Svojstvo zlatnog pravokutnika:

Kad od zlatnog pravokutnika odsiječemo kvadrat nad manjom stranicom,

preostali pravokutnik opet je zlatni.

Φ=a

ba

b

zlatna spirala

6

Pravilni peterokut (i zlatni trokut)

2) Omjer duljine dijagonale i duljine osnovice pravilnog peterokuta je zlatni omjer.

1) Svake dvije dijagonale u pravilnom peterokutu (koje se sijeku unutar peterokuta) sijeku se u omjeru zlatnog reza.

Vrijedi:

← Zlatni trokutje jednakokračan trokutkojemu je omjer duljina kraka i osnovice jednak Φ

A B

D

Φ=a

b

a

bb

7

Konstrukcija pravilnog peterokuta i pravilnog deseterokuta:

1.) zadan je radijus opisane kružnice

2.) zadana je duljina stranice

Zadatak:

8

FIBONACCIJEVI BROJEVI

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Niz brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … sa svojstvom da je svaki član niza (počevši od trećeg) jednak zbroju dva člana koji mu neposredno prethode, zove se FIBONACCIJEV NIZ.

Kvocijenti (omjeri) uzastopnih Fibonaccijevih brojeva zovu se Fibonaccijevi razlomci.

Niz Fibonaccijevih razlomaka konvergira (teži; približava se) broju Φ.

9

Prikažimo slikovno niz Fibonaccijevih brojeva:

Fibonacci pravokutnicipravokutnici kojima su duljine stranicasusjedni Fibonaccijevi brojevi.

Fibonacci spirala

10