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Numeri primi ed Numeri primi ed applicazioni nella crittografiaapplicazioni nella crittografia
Dipartimento di Matematica – S.U.N.Dipartimento di Matematica – S.U.N.Via Vivaldi, 43 – 81100 CasertaVia Vivaldi, 43 – 81100 Caserta
http://francesco.mazzocca.name e-mail : [email protected]
Anno Accademico 2008/09Anno Accademico 2008/09Corso diCorso di
CODICI LINEARICODICI LINEARI
Francesco MazzoccaFrancesco Mazzocca
è oggi il modo più semplice, comodo e veloce
di inviare e trasmettere informazioni.
Un esperto informatico non ha molte difficoltà nell’intercettare, leggere e a volte
modificare dati che passano da un computer ad un altro.
Abbiamo problemi seri quando i dati intercettati
contengono informazioni riservate come
numeri di carte di credito, password
e ogni altro tipo di “messaggio segreto”!
Abbiamo problemi seri quando i dati intercettati
contengono informazioni riservate come
numeri di carte di credito, password
e ogni altro tipo di “messaggio segreto”!
INTERNET
Sono al momento immaginabili nuove tecnologie che impediscano ai “pirati
informatici ” l’intercettazione di informazioni riservate?
La risposta è NO!
CONCLUSIONE:Non possiamo difenderci usando
l’hardware.Cerchiamo di farlo usando il
software!
CONCLUSIONE:Non possiamo difenderci usando
l’hardware.Cerchiamo di farlo usando il
software!
Come si nascondono le informazioni
riservate?
Questo si può fare con le funzioni unidirezionalifunzioni unidirezionali
Questo si può fare con le funzioni unidirezionalifunzioni unidirezionali
Bisogna trasformare “facilmente” (cifrarecifrare) il messaggio originale (testo in chiarotesto in chiaro) in uno che apparentemente non abbia alcun senso
(testo cifratotesto cifrato)
Il testo cifrato deve poter essere “facilmente” ritradotto (decifratodecifrato)
nel messaggio originale solo con l’uso di una speciale informazione (chiavechiave)
Una funzione unidirezionale F è una funzione biunivoca che si calcola
“facilmente”, mentre è praticamente impossibile calcolare la sua inversa (non esistono algoritmi di tipo polinomiale).
Il calcolo dell’inversa di F è “semplice” se si conosce un’opportuna informazione: la
“chiave”.
funzioni unidirezionali
I numeri primi permettono di
definire funzioni unidirezionali
I numeri primi permettono di
definire funzioni unidirezionali
difficilefacile
Catenaccio asimmetrico
La struttura additiva dei numeri naturali è molto
semplice :
Per costruire i numeri naturali usando l’addizione
abbiamo bisogno di un solo “mattone”:
13=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 13=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
addi
tiva
di
N
stru
ttu
ra Ogni numero naturale Ogni numero naturale n diverso da zero si n diverso da zero si
scrive come somma di scrive come somma di n volte 1. n volte 1.
Ogni numero naturale Ogni numero naturale n diverso da zero si n diverso da zero si
scrive come somma di scrive come somma di n volte 1. n volte 1.
1
stru
ttur
aAdesso chiediamoci:Adesso chiediamoci: quali sono i
“mattoni” che servono a costruire i numeri naturali usando la
moltiplicazione?
mol
tiplic
at
iva
di N
2736456789 = 3 x 11 x 1931 x 42943 2736456789 = 3 x 11 x 1931 x 42943
Ogni numero naturale Ogni numero naturale maggiore maggiore
di 1 si scrive in unico modo di 1 si scrive in unico modo come prodotto di primi, come prodotto di primi, a meno dell’ordine dei a meno dell’ordine dei
fattori. fattori.
Ogni numero naturale Ogni numero naturale maggiore maggiore
di 1 si scrive in unico modo di 1 si scrive in unico modo come prodotto di primi, come prodotto di primi, a meno dell’ordine dei a meno dell’ordine dei
fattori. fattori.
Risposta:Risposta: i numeri primi.
Per costruire i numeri naturali usando la moltiplicazione
abbiamo bisogno di infiniti mattoni :
2 3 5 7 11 13
perc
hé i
prim
i
si u
sano
in
critt
ogra
f
ia?
Moltiplicare due interi è ”facile” !
Dividere un intero per un altro è ”facile” !
Fattorizzare in primi un intero è “difficile”, a volte “impossibile” !
La funzione La funzione (p,q) pq(p,q) pq
che ad ogni coppia di primi che ad ogni coppia di primi associa il loro prodotto è associa il loro prodotto è
unidirezionale. unidirezionale.
La funzione La funzione (p,q) pq(p,q) pq
che ad ogni coppia di primi che ad ogni coppia di primi associa il loro prodotto è associa il loro prodotto è
unidirezionale. unidirezionale.
cioé
?85
1
un semplice esempio di codifica
Messaggi = alcuni numeri primi
Chiavi = alcuni numeri primi
Cifrare = moltiplicare per la chiave
Decifrare = dividere per la chiave
messaggio851:37=23
messaggio23
37
AB
A
851
B
23 37=851
RSA-576 - Premio: $10,000 - Cifre decimali: 174188198812920607963838697239461650439807163563379417382700763356422988859715234665485319060606504743045317388011303396716199692321205734031879550656996221305168759307650257059
RSA-576 - Premio: $10,000 - Cifre decimali: 174188198812920607963838697239461650439807163563379417382700763356422988859715234665485319060606504743045317388011303396716199692321205734031879550656996221305168759307650257059
The RSA Challenge Numbers
http://www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html
RSA-2048 - Premio: $200,000 - Cifre decimali: 617 25195908475657893494027183240048398571429282126204032027777137836043662020707595556264018525880784406918290641249515082189298559149176184502808489120072844992687392807287776735971418347270261896375014971824691165077613379859095700097330459748808428401797429100642458691817195118746121515172654632282216869987549182422433637259085141865462043576798423387184774447920739934236584823824281198163815010674810451660377306056201619676256133844143603833904414952634432190114657544454178424020924616515723350778707749817125772467962926386356373289912154831438167899885040445364023527381951378636564391212010397122822120720357
RSA-2048 - Premio: $200,000 - Cifre decimali: 617 25195908475657893494027183240048398571429282126204032027777137836043662020707595556264018525880784406918290641249515082189298559149176184502808489120072844992687392807287776735971418347270261896375014971824691165077613379859095700097330459748808428401797429100642458691817195118746121515172654632282216869987549182422433637259085141865462043576798423387184774447920739934236584823824281198163815010674810451660377306056201619676256133844143603833904414952634432190114657544454178424020924616515723350778707749817125772467962926386356373289912154831438167899885040445364023527381951378636564391212010397122822120720357
Fattotizzato il 3
dicembre 2003
E’ la sfida piu’ grande.
Ce ne sono anche altre
intermedie!
18819881292060796383869723946165043980716356337941738270076335642298885971523466548531906060650474304531738801130339671619969232120573403879550656996221305168759307650257059
398075086424064937397125500550386491199064362342526708406385189575946388957261768583317
X
472772146107435302536223071973048224632914695302097116459852171130520711256363590397527
=
RSA-576RSA-576
crittografia simmetrica o a chiave segreta
La chiave deve essere trasmessa a mittente e destinatario prima dell’inizio di ogni comunicazione tra i due
Il mittente (per cifrare) eil destinatario (per decifrare)
usano la stessa chiave segreta
TRE GROSSI INCONVENIENTI
In un sistema con molti utenti il numero di chiavi da distribuire è così alto che la loro gestione diventa molto complicata
Una buona chiave è molto lunga e vi sono seri problemi di sicurezza per la trasmissione
La sicurezza di un crittosistema non dipende dalla segretezza e dalla complessità del metodo
usato per cifrare ma solo dalla segretezza delle chiavi
il principio di KERCKOFFS
Chi vuole inviare un messaggio all’utente A deve cifrarlo con la chiave Apu; il messaggio così cifrato può essere decifrato solo dal A.
crittografia asimmetrica o a chiave pubblica
Il cifrario è di dominio pubblico e ogni utente A possiede una propria coppia di chiavi (Apu , Apr)Apu serve per cifrare ed è pubblica
Apr serve per decifrare ed è segreta (può essere utilizzata solo dal suo proprietario)
Un messaggio cifrato con la chiave Apu può essere decifrato solo e soltanto con la chiave privata Apr
Non occorre far viaggiare in segreto le chiavi per cifrare, basta far conoscere ad ogni
utente le chiavi pubbliche degli altri.
crittografia asimmetrica o a chiave pubblica
La crittografia asimmetrica permette una gestione semplice e sicura delle
chiavi, in accordo col principio di Kerckoffs.
crittografia asimmetrica o a chiave pubblica
A : Apu
A Apr
Apu (T)
trasferisce ad A il testo T cifrando con la chiave pubblica Apu
trasferisce ad A il testo T cifrando con la chiave pubblica Apu
decifra il testo Apu (T) usando la chiave privata Apr
decifra il testo Apu (T) usando la chiave privata Apr
A
B
C
D
EApr
Epr
Bpr
Cpr
Dpr
B : Bpu
C : Cpu
D : Dpu
E : Epu
A : Apu
il crittosistema RSA
Nel 1977 tre persone diedero il più spettacolare contributo alla crittografia a chiave pubblica: Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman … raccolsero la sfida di produrre un crittosistema a chiave pubblica completo. Il lavoro durò alcuni mesi durante i quali Rivest proponeva strade possibili. Adleman le attaccava e Shamir faceva o l’una o l’altra cosa.
Nel maggio del 1977 essi furono ricompensati dal successo … Avevano scoperto come una semplice parte della teoria classica dei numeri poteva essere usata per risolvere il problema.
[W.Diffie, The first ten years of public-key cryptography, Proceedings of IEEE 76 (5), 1988, 560-577]
algoritmo per cifrarealgoritmo per cifrareSe l'intero positivo T è un testo in chiaro, il corrispondente testo cifrato C è definito da C=TE modN .
il criptosistema RSAil criptosistema RSA
1) N=PQ, P,Q primi molto grandi. (dell’ordine di 1024 bit)2) E>1 , intero minore di N e primo con (P-1)(Q-1).
3) DE=1 mod (P-1)(Q-1).
algoritmo per decifrarealgoritmo per decifrarePer decifrare C bisogna calcolare CD modN = T .
EsempioEsempio
(a questo punto: distruggere P e Q)
generazione delle generazione delle chiavichiavi
E=17 D=2753E=17 D=2753
Apu=(3233,17) , Apr=2753
cifriamo T=123
C=123C=1231717
mod3233=855mod3233=855decifriamo C=855
T=855T=85527532753
mod3233=123mod3233=123
P=61 Q=53 P=61 Q=53 N=PQ=3233N=PQ=3233
chiavi : chiavi : Apu=(N,E) , Apr =D
Un algoritmo per risolvere un problema che dipende da un numero N è polinomiale se richiede un numero di
operazioni elementari dell’ordine di log(N)h, per qualche intero h.
Un algoritmo per risolvere un problema che dipende da un numero N è polinomiale se richiede un numero di
operazioni elementari dell’ordine di log(N)h, per qualche intero h.
Gli algoritmi “buoni” sono quelli polinomiali
Gli algoritmi “buoni” sono quelli polinomiali
La classe dei problemi che possono risolversi con l’uso
di algoritmi polinomiali si denota con
P
La classe dei problemi che possono risolversi con l’uso
di algoritmi polinomiali si denota con
P
http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html
Un risulta
to eccezionale
Un risulta
to eccezionale
(scoperto nei p
rimi m
esi del 2
002)
(scoperto nei p
rimi m
esi del 2
002)
da sinistra a destra:Nitin Saxena,Neeraj Kayal
e Manindra Agarwal
Gli autori del teorema“PRIMES IS IN P”
1. input: integer n > 1 2. if (n has the form ab with b > 1)
then output COMPOSITE
3. r := 2 4. while (r < n) {
if (gcd(n,r) is not 1) then output COMPOSITE
if (r is prime greater than 2) then { let q be the largest factor of r-1 if (q > 4sqrt(r)log n) and (n(r-
1)/q is not 1 (mod r)) then break } r := r+1}
5. for a = 1 to 2sqrt(r)log n {if ( (x-a)n is not (xn-a) (mod xr-1,n) )
then output COMPOSITE } output PRIME;
IL NUOVO TEST DI PRIMALITA’
Morale:Morale:Niente è così Niente è così pratico come pratico come una buona una buona
teoriateoria!!
![Distribuzione dei numeri primi e funzione Zetamonti/tesi/domenico_valloni.pdf · le ultime dimostrazioni del teorema dei numeri primi (PNT) (si veda il libro di New-man [7]), mentre](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5fa6362e22c9ce307548b3f2/distribuzione-dei-numeri-primi-e-funzione-zeta-montitesidomenico-le-ultime.jpg)
