Dai numeri primi alla zeta di Riemann, visti attraverso Maple

5/9/2018 Dai numeri primi alla zeta di Riemann, visti attraverso Maple - slidepdf.com

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Uno dei problemi sui numeri che risale al Seicento (epoca di Fermat) è sempre stato quello di comprendere se i

numeri primi, ovvero i numeri che hanno come divisori solo se stessi e l'1, seguissero una legge di distribuzione,

in modo da ricavarli in modo semplice, come calcolo di una funzione. Ad esempio era possibile conoscere il

miliardesimo numero primo o il tri-milionesimo, con una formula? I numeri primi seguono una legge regolare,

descrivibile con una funzione o attraverso la statistica? Oppure non esiste una funzione? A cosa servono i numeri

primi, l'ipotesi di Riemann e le funzioni Gamma, Beta, Zeta?

In realtà oggi si è compreso che i numeri primi e le funzioni scoperte nella teoria dei numeri sono utili in molte

applicazioni: scientifiche, statistiche, mediche, borsa, ludiche, sicurezza, crittazione, etc.

Gauss, giocando ogni sera con le sue "chiliadi" di numeri, osservò che i numeri primi seguivano un andamento

legato al logaritmo.



(2(2

(3(3

(1(1

4.587356305

Il Teoema dei Numeri primi (dimostrato nell'Ottocento da Hadamard e De Vallee Poussin) afferma che:

Inoltre l'ennesimo primo è pn wn*ln(n)

A verifica vediamo che l'n-esimo primo trovato con ithprime e confrontiamolo con la formula pn wn*ln(n).

Ovviamente il risultato si avvicina, ma esiste un errore.

7919

6907.755279

Una valutazione più accurata trovata da Gauss è rappresentata dal logaritmo integrale.

# Li(x): Logaritmo integrale per il conteggio dei primi (Teorema dei Numeri Primi)

6.591009216



t

500 1000 1500 2000 2500 3000

100

200

300

400



500 1000 1500 2000 2500 3000

100

200

300

400



x

0 200 400 600 800 10000

50

100

150

200

Von Kock affermò che:

Se l'ipotesi di Riemann è vera allora:

La O grande

La formula precedente suggerita da Von Kock significa che la differenza

contenuto nella O grande man mano che si procede all'infinito come nella figura successiva.



x

200 400 600 800 10000

100

200

Una delle attività importanti sui numeri primi è sia la ricerca di numeri primi in un intervallo, sia la dimostrazione

che un intero a molte cifre sia primo. Molte congetture sono ancora da dimostrare come l'infinità dei numeri primi

gemelli, la congettura di Goldbach (un numero pari è sempre somma di due numeri primi),la congettura di Levy,

la congettura di Cramer, la congettura di Legendre, la nuova congettura dei numeri di Mersenne etc. (vedi

Wikipedia per un elenco). Molti fanno parte dei cosiddetti "Problemi del millennio" come la RH.

Numeri primi e intervalli rarefatti

Esistono intervalli rarefatti, cioè grandi quanto si vuole dove non esistono numeri primi. Ad esempio tra n!+2 e n

+n.



(4(4

num 5042 primo ? false






Due numeri primi gemelli sono due numeri primi a distanza 2, esempio 3 e 5, 5 e 7 etc.

Ricerca di numeri primi gemelli in un intervallo

1000000007, 1000000009

1000000409, 1000000411

1000000931, 1000000933

false

number 1234567890

previous 1234567811

next 1234567891

true

I test di primalità, la crittografia e gli algoritmi che ne derivano sono un altro affascinante tema di Teoria dei

numeri e importante in molte applicazioni umane. Vedi articoli. Un test classico è il Piccolo Teorema di Fermat



(5(5

(PTF); mentre un algoritmo di crittografia asimmetrica è l'RSA. L'ipotesi di Riemann ha a che fare anche con la

fattorizzazione di un semiprimo (ovvero un numero RSA N=p*q) e con test di primalità come Miller-Rabin.

Il Piccolo Teorema di Fermat utilizza il modulo per stabilire se un numero è primo. Un numero è primo se è:

Supponiamo a=2 p=7 ora è:

1

1

1

1

false

5

15625

La Teoria dei numeri analitica inizia con Eulero, Bernoulli, Abel, Legendre, Grandi, Wallis, Leibniz, Newton, Stirling

Goldbach ed altri. Molti di essi sono affascinati dallo studio delle serie e dalla problematica della loro convergenzao di trovare forme chiuse a determinate costanti, tra cui il pi greco e le costanti della zeta di Eulero.



Eulero mette in evidenza, tramite la serie di Basilea, il legame tra il prodotto dei numeri primi e la serie

dell'inverso delle potenze dei numeri naturali, con cui dimostra anche che i numeri primi sono infiniti. Nascono la

zeta di Eulero in campo reale ed altre serie (serie armonica, etc).

In questo periodo nasce tutta la teoria dietro la funzione gamma e la funzione beta, come problema di

interpolazione dei fattoriali.

# Zeta di Eulero in campo Reale e sue costanti



Zeta come serie

Zeta nei corrispondenti valori di sopra

Zeri banali a Zeta(-2n)Zeri banali a Zeta(-2)

0

Zeri banali a Zeta(-4)

0

Zeri banali a Zeta(-6)

0

Costanti



(6(6

Serie armonica Hn

7.485470861

7.485470861

costante Eulero Mascheroni

Un confronto ulteriore

# plot della zeta di Eulero in campo reale



x

0 1 2 3

1

2

3



x

0

Zeta di Riemann nel piano complesso



ed è definita come

una somma infinita:

Zeta(z) = sum(1/(n^z),n = 1 .. infinity);

E' anche possibile estendere la definizione della funzione Zeta nell'intero piano

complesso eccetto z=1, attraverso un processo di continuzione analitica.

La zeta di Riemann è la base della Teoria dei Numeri analitica.

La Riemann Hypothesis (RH) o congettura di Riemann afferma che tutti gli zeri non

banali della zeta vivono

Solitamente all'infinito si diradano i numeri primi, ma si infittiscono gli zeri non

banali.



La Zeta di Riemann ha anche degli zeri banali (Trivial Zeroes) a -2n, con n>0,

sull'asse reale, che non sono di interesse nella congettura di Riemann (a n=0 non

c'è uno zero banale, nè sull'asse positivo).

# Grafico della zeta di Riemann - Level curves

capaci di pensare e rappresentare 3 dimensioni o meno.

Nei casi multidimensionali l'idea è di rappresentare una proiezione dell'oggetto su un piano; basta pensare ad una

sfera proiettata su un piano, ottenendo un cerchio.

di Riemann.

In Maple possiamo ottenere tali diagrammi con il comando "contourplot", magari evidenziando anche la striscia

critica tra 0 e 1 e la retta critica a x=1/2.

Se salite con l'occhio sulla retta critica a x=1/2 (z=x+iy nel diagramma) , laddove la Re(

14.1347251417347 (il puntino rosso). Se si aumenta il parametro nzeri (cioè fino a che zero si vuole arrivare: il

primo, il secomndo etc) e contemporaneamente grid e count per migliorare il grafico, si trova anche lo zero a

21.0220396 e così via.



x

0 1 2

y

2

4

6

8

10

12

14

16

La zeta di Riemann ha sia zeri banali sull'asse negativo che zeri non banali sulla retta critica, come abbiamo già

detto.

#Cerchiamo numericamente prima gli zeri banali

Si può scrivere una semplice procedura per un intervallo di z=x+I*y.



Trivial Zero a x= -10 y=0





Ora andiamo a caccia degli zeri non banali (non trivial zeroes). Dobbiamo fare prima qualche premessa.

# Valore assoluto della zeta di Riemann



t

0 10 20 30 40 50

1

2

3

Considerazioni sul diagramma precedente

Dove si annulla la curva sull'asse delle ascisse (t è la parte immaginaria) individuiamo zeri non banali, ad esempio

a:

14.1347251417347, 21.0220396387716, 25.0108575801457, 30.4248761258595, 32.9350615877392

37.5861781588257, 40.9187190121475, 43.3270732809150, 48.0051508811672, 49.7738324776

Diagramma polare (scopo)

L'origine del diagramma polare è il punto di intersezione con gli assi della parte reale e immaginaria della Zeta di

RIemann e quindi

individua gli zeri non banali.

retta critica). Se si sceglie un valore di

< > 1/2 il diagramma polare

che si ritengono presenti tutti gli infiniti zeri non

banali.

Vediamo nel seguito due diagrammi polari uno per

# Diagramma polare della zeta di Riemann a sigma=1/2



0 1 2

1



0 1 2 3

1





# Zeri non banali -- La parte immaginaria e la parte reale della zeta si incontrano dove ci sono gli

zeri non banali.



t

10 20 30 40 500

1

2

3

Il diagramma di sopra conferma quello già visto col diagramma polare, ma mentre il diagramma polare è

concentrato attorno all'origine e sono di nostro interesse le curve che passano per l'origine, invece nel diagramma

lineare si ha una dispersione delle informazioni. La cosa importante è però l'informazione che uno zero non banale

si ha quando le due curve si intersecano sull'asse delle ascisse (parte reale e immaginaria si annullano).



Gamma in campo reale



(7(7

t

0 5 10

5

10

Costanti dovute a Gamma

Gamma(1/2) :

Limite di Gamma a 0:

Limite di Gamma a -2:

Limite di Gamma a -4:

Limite di Gamma(n+1,n)/n! all'infinito:

0.5000000000

Gamma in campo complesso







(8(8

x

0 5 10

100

200

300

400

Costanti legate a Eulero Mascheroni

Altre Costanti

# Hadamard Gamma Function

Un'altra funzione interessante è la Hadamard Gamma function (vedi http://www.luschny.

de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html)

Così come la funzione Gamma nacque per l'interpolazione di n! anche la Hadamard Gamma nasce per lo stesso



scopo ma è più semplice ed è una funzione intera.

Definizione:

x

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

H(x)



(9(9

Se definiamo:

x

0 1 2 3 4

1

Q function

# Zeta Riemann-Siegel o Zeta Hardy

Definizioni:



(10(10



0 20 40

1

2



(11(11

7003 7004 7005 7006 70070

1

# Modulo della Zeta di Hardy

0.5385471385



0 20 40

1

2

3

# Quanti zeri a T=78? sono circa 20. Ci troviamo anche che il 20-esimo è dalle parti di 78 come

altezza sulla retta critica

18.85490741



T

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

200

250

N(T)

#Densità degli zeri



T

100 200 300 400 5000

Densità zeri ad altezza T

Un plot che si può fare è per mettere in evidenza gli "zeri banali" a -2,-4,-6,-8, etc; infatti il rapporto diverge.



x0 10 20

100

200

# Gram point e Funzione di Lambert

per cui sono interessnati come indicatori insieme ai punti stazionari di massimo o di minimo.

#Plot della Funzione di Lambert



0.5671432904

x

0 2 4 6 8 10

W

1

Real Lambert Function



x

0 1

y

1

# Cercare gli "zeri non banali" della zeta di Riemann con Maple

Con Maple per gli zeri si può lavorare:

sul valore assoluto della Zeta di Riemann,

sul valore complesso della Zeta di Riemann

sulla parte reale della Zeta di Hardy

N.B: il 15 in evalf è la precisione.

Prima di scrivere una procedura analizziamo come possiamo ricavare i valori



(13(13

(12(12

14.1347251417347

14.1347251417347

14.1347251417347

114.320220915453

82.9103808540860

21.0220396387716

21.0220396387716

21.0220396387716

25.0108575801457

30.4248761258595

30.4248761258595

43.3270732809150

# E' possibile ottenere gli zeri dalla forma complessa

14.1347251417347

21.0220396387716

25.0108575801457

32.9350615877392

37.5861781588257

A questo punto è possibile scrivere una procedura che trova n zeri, provando ciclicamente tutti i valori interi, da

14 in poi, e scartando le soluzioni ripetute precedenti o dove il segno della zeta di Hardy permane. Gli esempi

precedenti mostrano che occorre scartare anche valori non validi oltre alle soluzioni ripetute (ad esempio quella

114 o 82). Nella procedura successiva ci si basa per l'esclusione, sul segno che assume la funzione Zeta di Hardy

(è uno zero solo se il segno è opposto al precedente), mentre gli zeri sono cercati sul valore assoluto della zeta (i

che è lo stesso).



(14(14

14.1347251417347, 21.0220396387716, 25.0108575801457, 30.4248761258595, 32.9350615877392

37.5861781588257, 40.9187190121475, 43.3270732809150, 48.0051508811672, 49.7738324776

zero 1 : 14.1347251417347

zero 2 : 21.0220396387716

zero 3 : 25.0108575801457

zero 4 : 30.4248761258595zero 5 : 37.5861781588257

zero 6 : 40.9187190121475

zero 7 : 43.3270732809150

zero 8 : 49.7738324776723

zero 9 : 52.9703214777145

zero 10 : 56.4462476970634



0

Equivalente a

0

Equivalente a

Costante in gioco = -4/15*Pi^6

La funzione di Mobius è:



(15(15

1

2 numero primo, numero dispari di primi

3 numero primo, numero dispari di primi

0

4 quadrato

1

6=2*3, numero pari di primi

0

30=2*3*5, numero dispari di primi

Il risultato principale del documento di RiemannIl risultato principale fu l'espressione J(x) che esprimeva l'errore rispetto a Li(x).

J(x) è costituito da quattro parti:

il 'termine principale' Li(x),

la costante ln(2),

il quarto termine dell'espressione costituito dall'integrale, di cui vedremo un plot,

gli zeri non banali che qui appaiono

(senza la presenza di zeta).



Vedi John Derbyshire - L'ossessione dei numeri primi, oppure "Sulle spalle dei giganti".J(x) è il calcolo esatto

del numero dei primi in forma chiusa.

Questo risultato si otteneva dalla inversione di:

# J(x)=Li(x) -

t

1 2 3 4

1/[t*(t^2-1)*ln(t)]

0

1

2

3

4

5

Il termine secondario dell'Errore: - termini oscillanti

Questo termine non deve sorprendere: qualsiasi funzione polinomiale si può esprimere attraverso i suoi zeri. Ad esempio la funzione z^2-11z+28, conoscendo gli zeri dell'equazione, possiamo scomporla in



(16(16

fattori: (z-4)*(z-7). Consideriamo ora il termine secondario, esaminiamo, cioè, gli zeri che

contribuiscono a

Nel seguito anzicchè usare

Li(x^(1/2+I*t))

si può usare anche l' esponenziale Integrale definito come

Ei[ (1/2+I*t) * ln(x)].

Come si vede, sommando i due termini relativi allo zero e a quello coniugato, il risultato è un numero reale,

ovvero la parte immaginaria è nulla. Consideriamo per esempio solo i primi 20 zeri non banali della Zeta di

Riemann, con i rispettivi coniugati, riportandone solo il valore immaginario in una lista che chiamiamo nel seguito

ListaR. In sostanza la serie se considerata con la tecnica di uno zero e il suo coniugato può essere solo una serie

convergente condizionalmente.

Partiamo dal primo zero e il suo coniugato e procediamo verso Nord sulla retta critica.

Alla fine in vanno sommati tutti i valori che abbiamo trovato di ogni coppia e nel caso della zeta di

RIemann sono infiniti.

Se consideriamo almeno 50 zeri, avremo un errore solo dell'8% rispetto alla somma infinita; mentre con 20 zeri

l'errore è molto più grande, ma qui ci interessava mostrare il metodo che si usa solitamente per questo tipo di

trattazione.

E' facile vedere nel plot un "andamento oscillante" (tra valori negativi e positivi) di queste coppie di termini, da qu



il nome attribuitogli da Riemann di "termini oscillanti".



k

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

Lo studio di questi termini è stato importante per comprendere se tutti gli zeri sono tali da influenzarsi e portare

alla divergenza. Se si riportano i punti, come sopra, senza unirli, per k=1000 zeri, si ottiene la figura successiva.



Nella figura si osserva una lenta ma graduale convergenza a zero all'aumentare di k a valori elevati. Questo vuol

dire che J(x) si avvicinerà sempre di più al logaritmo integrale e il termine di errore peserà sempre meno. Il discorso fatto per x=20 si può rifare per x qualsiasi. All'aumentare di x, questi termini oscillanti sono sempre più

indisciplinati, ma l'andamento alla fine lentamente tende a convergere. Tutto ciò all'atto pratico significa, come da

la zeta in un dominio dove si possa evidenziare una contraddizione e dimostrare la RH vera o anche falsa.

Sfruttando z=1-1/s ovvero s= 1/(1-z), con questa trasformazione la Re(s) > 1/2 corrisponde ad un disco per |z|

< 1.



(17(17

Definizioni:

;

Documents

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