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A01167
Felice Russo
L’UNIVERSODEI NUMERI,
I NUMERIDELL’UNIVERSO
Copyright © MMXIARACNE editrice S.r.l.
via Raffaele Garofalo, 133/A–B00173 Roma(06) 93781065
ISBN 978–88–548–4150-5
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: luglio 2011
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Alle mie tre stelle:
Gilda Aldebaran Francesca Antares
Annamaria …all’infinito…..
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Chi non conosce la matematica difficilmente riesce a cogliere la bellezza, la più intima bellezza, della natura.
R.P. Feynman
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Indice
13 Presentazione 15 Introduzione 21 Capitolo I La regina delle Scienze 23 Capitolo II Gli atomi dei numeri 41 Capitolo III Generatore biologico di numeri primi 47 Capitolo IV Numeri primi e caos quantistico 57 Capitolo V Numeri primi da reazioni chimiche artificiali 61 Capitolo VI Ma i numeri primi sono veramente casuali? 71 Capitolo VII Numeri primi circolari 75 Capitolo VIII Piramidi di numeri primi palindromi 81 Capitolo IX I primi più grandi al mondo - I numeri di Mersenne
Indice 10
89 Capitolo X Numeri frattali - I numeri di Pascal 113 Capitolo XI I numeri e l’algoritmo di Kaprekar 135 Capitolo XII Colorare i bacini di attrazione 145 Capitolo XIII I numeri della natura 159 Capitolo XIV La sezione aurea e i numeri di Fibonacci 179 Capitolo XV La sequenza di Fibonacci e la tassellatura di Penrose 185 Capitolo XVI I quasi cristalli. Ancora la sezione aurea in azione 195 Capitolo XVII Legge di Benford e i numeri di Fibonacci 203 Capitolo XVIII La sequenza di Fibonacci della stella UW Herculis 207 Capitolo XIX I numeri 5n-5 nel cielo 217 Capitolo XX Il numero 3.14 nei cerchi di grano 227 Capitolo XXI Tutti i numeri dei nodi
Indice 11
247 Capitolo XXII I numeri più grandi dell’Universo 253 Capitolo XXIII Matematica e Google 263 Capitolo XXIV Matematica saporita e legge di Zipf 271 Capitolo XXV La potenza dei gruppi 287 Capitolo XXVI La matematica di un fiocco di neve 299 Capitolo XXVII La matematica del GPS 307 Capitolo XXVIII La matematica della scacchiera 315 Capitolo XXIX Il disordine completo non esiste. I numeri di Ramsey 323 Capitolo XXX La matematica del Sudoku 335 Capitolo XXXI Solo sei numeri per l’Universo 345 Capitolo XXXII La matematica delle reti complesse 361 Capitolo XXXIII Terremoti ed Internet. Simili ma non troppo
Indice 12
377 Capitolo XXXIV Terremoti nel cervello. Legge di potenza per l’epilessia 385 Capitolo XXXV La matematica della sopravvivenza 391 Capitolo XXXVI Può la matematica aiutare a combattere il terrorismo? 399 Capitolo XXXVII Il complesso mondo degli automi cellulari 427 Capitolo XXXVIII Modelli matematici per le reti genetiche 449 Capitolo XXXVIX Perchè l’evoluzione porta i sistemi all’edge del caos? 455 Capitolo XL Come la matematica può difenderci dallo spam 463 Capitolo XLI La matematica dei dendriti 469 Capitolo XLII Il volo degli insetti 477 Capitolo XLIII I disegni della Natura 485 Capitolo XLIV La superformula della Natura 493 Letture consigliate 497 Fonti iconografiche
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Presentazione La matematica è ritenuta da molti la regina delle scienze, ma allo
stesso tempo prevale anche la percezione che essa è una scienza astratta, arida, con applicazioni lontane dalla realtà. Ma non è cosi, come ci suggerisce Felice Russo nel suo giro d'orizzonte diligente e brillante attraverso il mondo dei numeri e dei concetti matematici. Scopriamo che tutto l’universo sembra essere permeato dalla matema-tica! Dalle lontane galassie a spirale alle spirali logaritmiche delle conchiglie di Nautilus; ovunque nell’universo troviamo manifestazioni di formulazioni matematiche e numerosi sono i legami con la realtà che ci circonda. Cosi scopriamo che in natura ci sono alcune specie di animali che sembrano conoscere i numeri primi! I frattali riproducono le forme delle felci e degli alberi. Il metabolismo degli esseri viventi, gli ecosistemi, Internet e la propagazione dell’infezione HIV hanno in comune la stessa descrizione matematica delle reti complesse. Non mancano applicazioni divertenti di come risolvere il gioco del 15 con la teoria dei gruppi o come risolvere problemi di Sudoku particolar-mente complicati. Insomma, questo libro non solo ci fa scoprire la magia della matematica ma ci trasmette anche la gioia di pensare, immaginare e ragionare.
Viktor F. Zacek Professore di fisica
Université de Montréal Groupe de physique de particules
CP 6128, succ. Centre ville Montréal P.Q. H3C 3J7
Tel: 514 343 7758 [email protected]
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Introduzione
Scopo di questo libro, come è facilmente intuibile dal titolo, è mo-
strare, attraverso vari contributi e con esempi anche molto differenti tra loro, come la Matematica con le sue leggi e con la sua fantastica magia sia presente ovunque nell’Universo: dalle spirali logaritmiche delle conchiglie ai frattali dei cavolfiori, dalle stelle a sei punte dei cristalli di neve ai numeri primi dei periodi di letargo di alcune cicale.
Tutto l’Universo sembra essere permeato dalla Matematica. Lungo questo viaggio, ci soffermeremo su alcune famiglie di nu-
meri molto famose, a partire da quella dei numeri primi fino ad arrivare a quella dei numeri circolari, dai numeri di Mersenne a quelli di Pascal. Questo ci aiuterà a dimostrare la nostra tesi, e allo stesso tempo ci farà scoprire la matematica in un’ottica completamente diversa, dove i numeri sono delle entità che hanno una loro “vita” all’interno della struttura segreta del mondo.
Provate in una sera d’estate a raccogliere una margherita in un campo, uno dei fiori più semplici in Natura e senza saperlo vi trovere-te immersi in uno dei misteri più profondi del mondo: al centro della margherita troverete un ordine, un equilibrio, una legge numerica la cui origine ci sfugge completamente. Basta, cominciare a contare i petali ed accorgersi che questi sono uguali a 13. Prendendo un’altra margherita si troveranno a volte 21 petali altre volte, 34, 55 e 89. Ma mai per esempio, 14, 35 o 90 petali. Perchè questo comportamento? Qual è il segreto alla base di tali numeri? La risposta sta nella famo-sissima serie di Fibonacci, nota fin dal Medioevo e che analizzeremo in dettaglio in uno dei capitoli di questo libro. Perchè mai un fiore dovrebbe avere i petali coincidenti con alcuni dei numeri di questa serie? Da dove deriva quest’ordine? L’interrogativo si fa ancora più misterioso scoprendo che la serie di Fibonacci esprime una legge
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numerica universale che i matematici hanno chiamato “spirale loga-ritmica”. Essa si trova un pò dappertutto: nella struttura delle conchi-glie, nell’elica del DNA, nella disposizione delle foglie intorno ad un ramo e su scala astronomica in quella delle galassie.
Ma ci si può spingere oltre, come hanno fatto i fratelli Bogdanov, un fisico teorico e un matematico dell’Università francese, che nel loro libro ”Prima del Big Bang” considerano la spirale numerica all’origine stessa dell’Universo. Essi hanno sviluppato una teoria della Singolarità secondo la quale l’inizio dell’Universo non è da ricercare nel mondo fisico ma in quello matematico. L’intero Universo sarebbe nato da una sola formula, incredibilmente semplice al cui interno era stata immagazzinata tutta l’informazione necessaria allo sviluppo del mondo intero. Cosi come esiste un codice genetico per gli esseri viventi è possibile immaginare che esista un codice matematico all’origine dell’intero Universo. L’ipotesi dei Bogdanov è che possa esistere un qualche numero trascendente nelle cui infinite cifre, è codificato l’intero Universo.
Si è dato spazio alla teoria dei fratelli Bogdanov, anche se ha rice-
vuto molte critiche e molti credono che sia infondata, solo perchè l’idea di un universo permeato e scritto nelle pieghe della matematica è affascinante, profonda e molto originale. Non dimentichiamo, tra l’altro, che il grande fisico Paul Dirac, era convinto che Dio fosse un matematico di primissimo piano, e che avesse usato una matematica molto sofisticata per costruire l’intero Universo!
Dunque la matematica è ovunque. È una scienza applicata che ha legami con la realtà che ci circonda. Ma non tutti i matematici sono d’accordo con ciò. Per alcuni studiosi, infatti, essendo la matematica la disciplina più pura e universale essa può fare a meno della realtà, può "essere" senza “esistere".
Come nota, infatti, l'algebrista e logico americano P. Halmos è in-
negabile ... che gran parte della matematica è sorta e continua ad incontrare una profonda ammirazione per il solo motivo che è interes-sante - è interessante di per se stessa... Mi piace l'idea che ci sono cose fatte solo per l'interesse che rivestono in sé. C'è davvero qualcosa di sbagliato nel dire che la matematica è una stupenda creazione dello
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spirito umano e che merita di esistere anche in assenza di ogni appli-cazione pratica?
Il matematico non ha bisogno, e per alcuni non deve ricorrere, ad una qualsivoglia sorte di esperimento per progredire o per dimostrare un qualche suo asserto: l'unico strumento di cui dispone, più potente di qualsiasi esperienza, è una rigorosa dimostrazione fatta di deduzioni e calcoli.
Comunque sono tanti i matematici, che contro coloro che difendo-no questa disciplina da ogni contatto con la realtà empirica, sostengo-no la necessità di uscire da una condizione di isolamento, di affacciar-si sul mondo delineato per mezzo di esperimenti e osservazioni dalle altre scienze. Ed io sono d’accordo con loro.
L'invenzione e l’utilizzo sempre più diffuso del calcolatore, per esempio, ha aperto nuovi orizzonti alla matematica. Non solo ha permesso la risoluzione di problemi classici come quello dei "quattro colori" (è sempre possibile colorare una mappa con quattro colori, in modo che due nazioni confinanti non abbiano mai lo stesso colore), ma ha anche portato alla creazione di una realtà virtuale.
Col passare del tempo, c’è stata una vera e propria evoluzione del concetto di matematica e del suo legame con la realtà. Si è venuta sempre più a creare una matematica della realtà ed una realtà matema-tica, non nettamente distinte e separate come si potrebbe immaginare. Esse non sono altro che due differenti inclinazioni tipiche dell'animo umano - uno spirito più pragmatico ed uno più astratto -, ma proprio dalla loro interazione la nostra scienza acquista nuovi stimoli e compie progressi. Come nota Hilbert è su questi reiterati scambi tra ragione ed esperienza che riposano tante analogie sorprendenti, come quel-l'armonia apparentemente prestabilita, tante volte notata dai matemati-ci, tra le questioni, i modi e le concezioni dei diversi rami della loro scienza.
Il motivo per cui siamo stati così bravi a sciogliere l'enigma dell'U-niverso è che abbiamo scoperto la lingua nella quale il Libro della Natura sembra essere scritto, “la matematica appunto”. “Il linguaggio della matematica, si adatta meravigliosamente alla natura del mondo e al suo funzionamento” per riportare una frase del famoso matematico John Barrow. Il linguaggio matematico, non assomiglia a nessun altro linguaggio umano, ma è simile alla lingua usata da un computer
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perché possiede una logica incorporata. In matematica, infatti, si sono avuti spesso casi di scoperte multiple: matematici diversi, lontani l'uno dall'altro nello spazio e nel tempo, educati all'interno di sistemi economici e politici completamente diversi hanno fatto le stesse scoperte. La stessa cosa è impensabile nell'ambito delle altre attività dell'uomo come per esempio la poesia e la pittura.
Molti studenti, in modo più o meno velato, denunciano il fatto che nella vita di tutti i giorni non ritrovano quello che apprendono a scuola sulla Matematica.
La matematica è una delle materie meno amate al mondo. Questo perchè, secondo recenti indagini, essa è considerata una scienza astratta e lontana dalle esperienze quotidiane, di scarsa utilità per la vita concreta e in definitiva inutile.
Emerge chiaro come per molte persone sia necessario vedere appli-cazioni concrete della matematica in meccanica, architettura, finanza, geografia, biologia e non tanto concetti astratti fini a se stessi. Per molti il mondo reale e quello delle strutture matematiche sono di-sgiunti tra loro. Ma così non è come specificato da Barrow nel suo libro “Perchè il mondo è matematico”. Esistono forti legami tra i due mondi nel senso che, esistono oggetti del mondo reale che possono essere rappresentati da un’astrazione matematica, come esistono nel mondo matematico nozioni astratte che trovano applicazione nel mondo reale.
Esistono esempi sorprendenti di come alcuni scienziati abbiano
fatte importanti scoperte matematiche senza prendere minimamente in considerazione la possibilità di applicarle in qualcuna delle scienze. E solo in un secondo momento rendersi conto che le loro scoperte si adattavano benissimo alla descrizione di fenomeni naturali fino ad allora rimasti senza un’infrastruttura matematica che li spiegasse. Due esempi: l’utilizzo da parte di Einstein delle geometrie non euclidee per la teoria della relatività e l’uso della teoria dei gruppi nella fisica delle particelle elementari. Ma esistono anche degli esempi nel verso opposto, nel senso che a partire da fenomeni fisici si è arrivati allo sviluppo di nuovi concetti in matematica. Per esempio lo sviluppo del calcolo infinitesimo, da parte di Newton, per descrivere i continui cambiamenti della velocità dei corpi, la creazione della serie di
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Fourier per spiegare i fenomeni dell’ottica ondulatoria, l’idea di un attrattore strano caotico per descrivere la turbolenza dei fluidi.
Contrariamente a quanto pensa la gente comune, non si può fare a meno della matematica se si vuole capire il mondo che ci circonda. Rifiutare la matematica vuole dire rinunciare a penetrare i segreti intimi e la bellezza più profonda della Natura. Forse se amassimo di più la matematica riusciremmo sicuramente ad amare di più e a rispettare di più tutto il mondo che ci circonda.
Da qui è nata la voglia di scrivere questo libro, che attraverso una vasta gamma di esempi diversi, vuole portare il lettore a scoprire la presenza della Matematica un pò ovunque. Dagli animali che la usano per comunicare o costruire il loro nido, alla struttura dei cavolfiori descritta dalla geometria frattale. Dalla struttura tridimensionale delle proteine che si può studiare con l’ausilio della teoria dei nodi alla dinamica delle reazioni biochimiche in una cellula che sembra obbedi-re alle leggi della teoria delle reti complesse. Questi solo alcuni esempi. Ce ne sono tanti altri da scoprire. Basta avere pazienza e iniziare la lettura di questo libro.
20 L’universo dei numeri, i numeri dell’Universo
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CAPITOLO I
La regina delle scienze
Per molti la Matematica è ritenuta la regina delle Scienze. E la Teo-
ria dei Numeri la regina della Matematica. Quest’ultima è una branca della Matematica che studia le proprietà dei numeri interi. Una caratte-ristica peculiare di questa Teoria è la particolare semplicità degli enunciati dei teoremi e allo stesso tempo l’enorme difficoltà di una loro dimostrazione. Un esempio per tutti.
Pierre de Fermat, un celebre matematico francese, nel diciassettesi-mo secolo enunciò il seguente teorema:
• Non è possibile trovare tre interi positivi x, y, z tali che valga
nnn zyx �� per qualsiasi numero n maggiore di 2. L’enunciato è semplicissimo. Eppure la dimostrazione di questo
teorema ha richiesto 4 secoli. Essa è stata prodotta dal matematico A. Wiles nel 1995 basandosi su una congettura relativa alle curve ellittiche del giapponese Taniyama. Ecco la bellezza della Teoria dei numeri. Teoremi semplici da enunciare ma complicati da dimostrare.
I numeri interi, come classe di numeri, sono molto semplici. Si tratta di quei numeri che utilizziamo per contare e che quindi impa-riamo fin da piccoli. Questi numeri possono essere raggruppati in famiglie a seconda delle particolari proprietà soddisfatte.
Come esempio riportiamo la famiglia dei numeri pari e quella dei numeri dispari. Se tra gli infiniti numeri interi consideriamo tutti quelli che possono essere divisi esattamente per 2, questi sono i
L’universo dei numeri, i numeri dell’Universo 22
numeri pari. Usando l’opportuna notazione matematica i numeri pari sono quelli esprimibili come n�2 per qualsiasi n maggiore o uguale a zero. Il complemento dei numeri pari determina quelli dispari. E quindi se i numeri pari sono dati da n�2 quelli dispari si ottengono facilmente dai pari sommandogli 1, cioè 12 ��n .
Come per i numeri pari e dispari, è possibile trovare tantissime altre famiglie di numeri con particolari proprietà. Molte di queste sono state studiate da matematici famosi che portano il loro nome (i numeri di Pascal, i numeri di Fibonacci, i numeri di Mersenne ecc); molte altre non hanno un nome famoso ma non per questo sono meno interessanti (i numeri primi, i numeri palindromi, i numeri triangolari ….).
In diversi capitoli del libro, passeremo in rassegna alcune famiglie di numeri famosi che allo stesso tempo hanno proprietà curiose ed interessanti. Dove possibile verranno sottolineate le diverse connes-sioni di queste famiglie di numeri con altri campi della scienza, quali il mondo dei frattali, gli automi cellulari, la crittografia, la biologia e la meccanica quantistica.
Si cercherà laddove possibile di evitare il rigido formalismo mate-matico per non tediare il lettore non esperto.
Sono convinto, infatti, che si possano far capire molti concetti di matematica senza far ricorso al freddo formalismo che maggiormente allontana e scoraggia il pubblico dal leggere un libro che tratta di matematica.
Con questa idea in mente, cercherò di convincere i non addetti ai lavori che la matematica è un universo, che riserva continue sorprese a chi lo attraversa ed è capace di colpire con la sua genialità.
La matematica è un mondo pieno di bellezze che l’uomo non deve creare come nell’arte, ma semplicemente scoprire. La matematica e la Natura sono una sola cosa. Secondo me, nessuno può aver inventato l'Universo matematico; esso era là e aspettava soltanto di essere scoperto.
H.M. Enzensberger nel suo libro “Il mago dei numeri” afferma che:
Tutti i bambini sognano di volare. In matematica si vola eccome. Io vorrei tanto far volare i non addetti ai lavori. Se anche uno solo dei lettori di questo libro riuscirà a farlo, vuol dire che avrò raggiunto il mio obiettivo
