CAPITOLO NUMERI NATURALI 1 E NUMERI INTERI

1

TEORIA

CAPITOLO

1

1. Numeri naturali

■ RAPPRESENTAZIONE E ORDINAMENTO

→ Esercizi a pagina 23

Sono nata il 13 dicembre 2005 alle 10:15. Abito al numero 18 di via Lombardia e per andare a scuola prendo l’autobus 25. Il mio numero di cellulare è 348 982…

I numeri evidenziati sono tutti esempi presi fra i numeri naturali:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Indichiamo il loro insieme con N.

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale segniamo con una freccia il verso di percorrenza.All’origine facciamo corrispondere il numero 0. Fissiamo poi un segmento come unità di misura e associamo il numero 1 al punto che dista dall’origine una unità di misura, il 2 a quello che dista due unità di misura e così via.

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unità di misura

20 64 5 87 9

La rappresentazione sulla semiretta orientata fa vedere che l’insieme dei numeri naturali è ordinato e possiamo sempre confrontare due numeri naturali fra loro.I simboli per indicare le relazioni d’ordine sono:

1 minore; 2 maggiore; # minore o uguale; $ maggiore o uguale.

NUMERI NATURALI

E NUMERI INTERI

ALLA RICERCA DEI PRIMI

Per i matematici i numeri primi sono preziosi, perché sono utili per ri-solvere molti problemi: non solo quelli della teoria dei numeri, ma anche quelli di carattere pratico. Per esempio, le informazioni e le transazioni finanziarie trasmesse per via elettronica vengono protette usando prodotti di numeri primi. Una procedura per determinare elenchi di numeri primi è il Crivello di Eratostene, al quale lo scultore Mark di Suvero ha dedicato un’opera d’arte.

▶▶ Come si fa a trovare tutti i numeri primi minori o uguali a 50?

→→ la risposta a pagina 13

Scarica GUARDA!e inquadrami per accedere alle risorse digitali del capitolo

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CAPITOLO 1. NUMERI NATURALI E NUMERI INTERI

TE

OR

IA

■ Possiamo scrivere: ; ; ; .3 5 7 2 4 4 8 11 2 # $

Per ogni numero naturale diverso da 0 esistono il precedente e il successivo.

■ 4 è il precedente di 5, 6 è il suo successivo.

Il numero naturale 0 ha 1 come successivo, ma non ha il precedente in N. 0 è il minimo, perché è minore di tutti gli altri numeri. Per ogni numero naturale, esiste sempre il suo successivo, quindi l’insieme N è in-

finito e non esiste il massimo, cioè un elemento maggiore di tutti gli altri.Se consideriamo un numero naturale e il suo successivo, tra essi non esiste alcun al-tro numero naturale. Tale proprietà si esprime dicendo che l’insieme N è un insieme discreto. Questo non succede per i punti della retta. Se rappresentiamo due numeri naturali consecutivi sulla retta, tra i due punti corrispondenti ci sono infiniti punti della retta che non rappresentano numeri naturali.

Numeri e lettereQuando, in matematica, si vuole considerare un numero generico si usano le lettere dell’alfabeto. Per esempio, se indichiamo con n un qualunque numero naturale, il suo successivo è n 1+ . In questo modo abbiamo un’espressione che ha un valore diverso a seconda del valore che assegniamo a n:

• se n 12= , il suo successivo è 12 1 13+ = ;

• se n 5= , il successivo è 5 1 6+ = .

La lettera utilizzata è detta variabile perché possiamo sostituirla con numeri di volta in volta diversi.

■ OPERAZIONI E OPERANDI → Esercizi a pagina 24

Con i numeri naturali si eseguono le operazioni di addizione, sottrazione, moltipli-cazione e divisione. I due numeri con i quali si opera, cioè gli operandi, assumono nomi particolari, così come i risultati delle operazioni.

OperazionePrimo

operando

Secondo

operandoRisultato Esempio

addizione addendo addendo sommaaddendi

sommasomma3 4 7+ =

sottrazione minuendo sottraendo differenza

minuendo sottraendosottraendo

13 2 11- =

differenza

moltiplicazione fattore fattore prodottofattori

5 9 45$ = prodotto

divisione dividendo divisore quoziente

dividendo

quozientequoziente

:48 6 8=

divisore

5 6

precedente di 5

successivo di 5

43

PROVA SUBITO

Indica con n un numero naturale qualsiasi. Scrivi le espressioni che rappresentano i numeri naturali pari e quelli dispari.

MATHS IN ENGLISH

In an addition, the numbers involved are called addends and sum; in a subtraction, minuend, subtrahend, and difference; in a multiplication, factors and product; in a division, dividend, divisor and quotient.

3

1. Numeri naturali

TEORIA

Definiamo anche l’operazione di potenza.

Potenza

Se a e n sono numeri naturali:

•• a a a a a a n 1sen$ $ $ $ $f 2= ;

n volte

•• a a1= ;

•• a a1 0se0 != .

Non si definisce 00.

si legge: «tre alla quarta»

3 3 3 3 8134$ $ $= =

4 volte

0 0 0 0 03$ $= =

9 91= 1 11

= 0 01=

26 10= 1 10

=

Nella potenza an, a è la base, n è l’esponente.

■ 12553=

base

esponente

Nella definizione vediamo che, se n 12 , la potenza è una moltiplicazione ripetuta: il suo risultato è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti sono quelli indicati dall’esponente.

La potenza a2, «a alla seconda», si legge anche «a al quadrato». La potenza a3, «a alla terza», si legge anche «a al cubo».

■ ESPRESSIONI NUMERICHE → Esercizi a pagina 26

Un’espressione con i numeri naturali indica un insieme di operazioni da svolgere in un ordine preciso.

La potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni. Moltiplicazioni e divisioni hanno la precedenza su addizioni e sottrazioni.

Quando una divisione e una moltiplicazione sono una dopo l’altra, vanno eseguite nell’ordine in cui compaiono, da sinistra a destra.

■ :5 3 1 5 3 1 5 12 1 188 2 4$ $+ + = + + = + + =

prima la divisione

Le precedenze nei calcoli possono essere cambiate usando le parentesi. Vanno svolti prima i calcoli relativi a operazioni fra parentesi tonde, poi quelli fra parentesi qua-dre e per ultimi quelli fra parentesi graffe.

Per semplificare un’espressione, eseguiamo i calcoli, seguendo le precedenze, e poi la sostituiamo con un’espressione più semplice che ha lo stesso valore. Ripetiamo il procedimento fino a giungere al risultato.

▶▶ Semplifichiamo l’espressione 4 [3 2 (7 4)]$ $+ - .

[ ] [ ]( ) [ ]4 3 2 7 4 4 3 2 3 4 3 6 4 9 36$ $ $ $ $+ - = + = + = =$

prima l’operazione nelle tondenelle tonde

prima laprima lamoltiplicazionemoltiplicazione

prima l’operazione prima l’operazione nelle quadrenelle quadre

MATHS IN ENGLISH

A power is the result obtained by the repeated multiplication of a natural number by itself.

DEFINIZIONE ESEMPIO

PROVA SUBITO

Calcola le seguenti potenze.

24; 33; 52; 15; 71; 80.

PROVA SUBITO

Semplifica le seguenti espressioni:

22 : 2 + 4 $ 3;

7 $ (12 - 2) : 2;

[4 $ (3 + 2)]2.

PROVA SUBITO

Aggiungi le parentesi in modo da ottenere il risultato indicato:

a. 6 + 18 : 6 $ 3 = 12;

b. 6 + 18 : 6 $ 3 = 27;

c. 6 + 18 : 6 $ 3 = 7.

ESEMPIO

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■ ESPRESSIONI LETTERALI → Esercizi a pagina 31

È anche possibile considerare espressioni letterali, con una o più variabili.In esse, il simbolo della moltiplicazione fra numeri e lettere o fra lettere è, di solito, sottinteso.Se alle lettere attribuiamo particolari valori numerici, dall’espressione letterale otte-niamo un’espressione numerica.

■ Nell’espressione letterale a b3 + , a e b sono le variabili.Se a 2= e b 9= , l’espressione diventa 3 2 9$ + che vale 15.Se a 5= e b 20= , otteniamo 3 5 20 35$ + = .

Le espressioni letterali sono usate per creare modelli che generalizzano le risoluzioni di problemi che incontriamo più volte, in cui le variabili assumono valori diversi.

Vogliamo acquistare online un certo numero di pacchi da 100 fogli di carta colorata di grande formato: dobbiamo scegliere tra vari prezzi e qualità e tenere conto delle spese di spedizione, che ammontano a € 4.

Per esempio:

•• per comprare 10 pacchi di fogli a € 3 l’uno, più le spese di spedizione, servono

10 3 30 34 4 4€$ + = + = ;

•• per 6 pacchi di fogli a € 4 l’uno, più le spese di spedizione, servono

6 4 24 24 4 8€$ + = + = .

▶▶ Qual è una formula che generalizza il procedimento di calcolo?

Serve una somma S data dal prodotto tra il numero f di pacchi di fogli e il prezzo p di ogni pacco, a cui vanno aggiunte le spese di spedizione:

S f p 4$= + .

Con le parole, con i simboliUn’espressione matematica scritta con le parole può essere «tradotta» in forma sim-bolica. Ecco alcuni esempi, in cui a e b sono due numeri naturali qualsiasi.

Con le parole Con i simboli Con le parole Con i simboli

La somma tra a e b a b+ Il doppio di a 2a

La differenza tra a e b a b- Il triplo di a 3a

Il prodotto tra a e b ab La metà di a :a 2

Il quoziente tra a e b :a b La terza parte di a :a 3

Il successivo di a a 1+ Il quadrato di a a2

Il precedente di a ,a a1 1$- Il cubo di a a3

PROVA SUBITO

Scrivi in simboli:

• il precedente del numero naturale n;

• il precedente del doppio di n;

• il successivo della metà di n.

Per quali valori di n le espressioni scritte rappresentano un numero naturale?

INTORNO A NOI

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TEORIA

2. Proprietà delle operazioni in N

Viceversa, un’espressione in forma simbolica può essere scritta mediante parole, fornendo le istruzioni che indicano come dobbiamo operare con lettere e numeri.

■ :a b3 2-

( )a b a3$-

2. Proprietà delle operazioni in N → Esercizi a pagina 34

Proprietà dell’addizione e della moltiplicazioneL’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme N perché la somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali. Diciamo anche che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.

0 è l’elemento neutro dell’addizione, perché sommando 0 a un numero qualsiasi si ottiene come risultato il numero stesso:

a a a0 0= =+ + .

■ 5 0 5+ = ; 0 7 7+ = ; 0 0 0+ = ; 0 1 1+ = ; 04 4+ = ; 90 9+ = ; …

1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicando 1 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto il numero stesso:

a a a1 1$ $= = .

■ 1 66 $ = ; 8 81 $ = ; 10 0$ = ; 1 1111 $ = ; 1 1 1$ = ; 1 3 3$ = ; …

0 è l’elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione, perché moltiplicando 0 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto 0:

a a 00 0$ $= = .

■ 15 00 $ = ; 132 0 0$ = ; 2 00 $ = ; ;0 0 0$ = ; 00 1$ = ; 100 0 0$ = ; …

Quindi in una moltiplicazione è sufficiente che almeno uno dei fattori sia 0 perché sia 0 il prodotto.Considerando due fattori, in simboli, abbiamo:

a b a b0 0 0o " $= = = .

D’altra parte, se il prodotto è 0, è necessario che almeno uno dei due fattori sia 0.In simboli:

a b a b0 0 0o"$ = = = .

Esprimiamo in modo sintetico queste due proprietà con la seguente legge.

Legge di annullamento del prodotto

In una moltiplicazione, il prodotto è 0 se e solo se almeno uno dei fattori è 0.

a b a0 0)$ = = o 0b = .

VIDEO

Dalle parole alle espressioni«Dati due numeri naturali a e b, al doppio del successivo di a aggiungi il prodotto tra il quadrato del precedente di b e 8.»Come si traduce questa frase in simboli? Che valore assume per a = 7 e b = 11?

sottrai dal quoziente di a e 3 il quadrato di b

moltiplica la differenza fra a e b per il cubo di a

REGOLA

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TE

OR

IA

Per l’addizione e la moltiplicazione vale la proprietà commutativa.

Proprietà commutativa dell’addizione

Cambiando l’ordine degli addendi, la somma non cambia.

a b b a+ = +

Proprietà commutativa della moltiplicazione

Cambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cam-bia.

a b b a$ $=

3 2 2 3+ = + 4 4 77 $ $=

Per l’addizione e la moltiplicazione vale anche la proprietà associativa.

Proprietà associativa dell’addizione

La somma di tre numeri non cambia se associamo diversamente gli addendi.

( ) ( )a b c a b c+ + = + +

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto di tre numeri non cambia se associamo diversamente i fattori.

( ) ( )a b c a cb$ $ $ $=

( ) ( )5 9 1 5 9 1+ + = + + ) ( )( 5 3 2 5 32 $ $ $ $=

Vale inoltre la seguente proprietà distributiva.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

Il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma dei prodotti fra il numero e ognuno degli addendi.La proprietà è distributiva a sinistra o a destra a seconda della posizione del fattore rispetto alla somma.

( )b c b ca a a$ $ $+ = +

( )a b a bc c c$ $ $+ = +

( )2 3 2 35 5 5$ $ $+ = +

( )4 5 4 52 2 2$ $ $+ = +

Se leggiamo una delle uguaglianze che esprimono la proprietà distributiva da destra verso sinistra, abbiamo un raccoglimento a fattore comune:

a $ b + a $ c = a $ (b + c).

■ ( )3 5 3 57 7 7$ $ $+ = + 7 è un fattore comune che raccogliamo

PROPRIETÀ

ESEMPIO

PROPRIETÀ

ESEMPIO

PROPRIETÀ

distributiva a sinistra

distributiva a destradistributiva a destra

ESEMPIO distributiva a sinistra


VIDEO

Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazioneCome si può interpretare graficamente il significato della proprietà commutativa e della proprietà associativa dell’addizione e della moltiplicazione?

PROVA SUBITO

Indica quali proprietà dell’addizione e della moltiplicazione sono state applicate nelle seguenti uguaglianze:

(9 + 6) + 8 = 8 + (9 + 6);

(2 + 3) + 7 = 2 + 10;

3 $ 8 + 2 = 2 + 8 $ 3;

(5 $ 6) $ 4 = 4 $ (5 $ 6);

54 $ 2 = 50 $ 2 + 4 $ 2;

3 $ 6 + 3 $ 14 = 3 $ 20.

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TEORIA


▶▶ Quante sono le finestre dei tre palazzi della figura?

Per contarle possiamo procedere in due modi.

•• Contiamo le finestre di ogni palazzo moltiplicando le finestre per piano per i sei piani; poi sommiamo le finestre dei tre pa-lazzi.

secondo palazzo

primo palazzoprimo palazzo terzo palazzoterzo palazzo

3 3 76 6 6$ $ $+ +

•• Contiamo le finestre dei tre palazzi che stanno sullo stesso piano, sommandole tra loro, poi le moltipli-chiamo per il numero dei piani.

piani

totale per pianototale per piano

( )3 3 7 6$+ +

Abbiamo che:

( )3 3 7 3 3 7 786 6 6 6$ $ $ $+ + = + + = il numero di piani è un fattore comune

Proprietà della sottrazione e della divisione

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione: la differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo dà il minuendo.

a b d- = perché b ad + = .

■ 9 4 5- = perché 5 4 9+ = .

In N la sottrazione non è un’operazione interna: è possibile eseguirla solo se il sot-traendo è minore o uguale al minuendo.

■ 5 8- non ha risultato in N, perché nessun numero naturale sommato a 8 dà 5.

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione: il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo.

Il divisore deve sempre essere diverso da zero.

Con b ! 0: :a b q= perché b aq $ = .

■ :14 2 7= perché 2 147 $ = .

:9 0 non viene definita. perché nessun numero moltiplicato per 0 può dare 9

: 00 non viene definita. perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0

Se il dividendo è 0 e il divisore è diverso da 0, la divisione è sempre possibile e il quoziente è 0.

■ :0 4 0= perché 4 00 $ = .

In N la divisione non è un’operazione interna.

■ :23 5 non ha risultato in N , perché non esiste un numero naturale che mol-tiplicato per 5 dà 23.

INTORNO A NOI

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È invece sempre possibile la divisione con resto.La relazione fra dividendo a, divisore b diverso da 0, quo-ziente q e resto r è:

dividendo divisore quoziente resto$= + ,

a b q r

a b q r$= + .

■ :23 5 4= con resto 3 perché 23 5 4 3$= + .

Se r 0= , la divisione è esatta e diciamo che a è divisibile per b.

■ :2 48 7 = con resto 0 perché 2 48 7 0$= + , quindi 28 è divisibile per 7.

Se q 0= , allora a r= : il resto coincide con il dividendo.

Questo avviene quando a b1 .

■ :7 18 0= con resto 7 perché 7 18 0 7$= + .

Per la sottrazione vale la proprietà distributiva della moltiplicazione.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

rispetto alla sottrazione

Se b # a:

c $ ( )a b- = c $ a - c $ b ; distributiva a sinistra

( )a b- c$ a= c$ b- c$ . distributiva a destra

distributiva a sinistradistributiva a sinistra

( )7 1 7 13 3 3$ $ $- = -

distributiva a destra

( )12 3 12 32 2 2$ $ $- = -

Per la divisione vale la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione, ma soltanto a destra.

Proprietà distributiva della divisione rispetto

all’addizione e alla sottrazione

Se c ! 0 e le sottrazioni e le divisioni sono pos-sibili:

( )a b+ : c a= : c b+ : c ; distributiva a destra

( )a b- : c a= : c b- : c. distributiva a destra


( ) : : :6 8 6 82 2 2+ = +

distributiva a destra

( ) : : :15 9 15 93 3 3- = -

Per la sottrazione e per la divisione vale la proprietà invariantiva.

Proprietà invariantiva della sottrazione

La differenza fra due numeri non cambia se a ognuno si aggiunge o si toglie lo stesso numero:

( ) ( )a b a c b c- = + - + ;

( ) ( )a b a c b c- = - - - ;

quando le sottrazioni sono possibili.

( ) ( )4 6 4 69 9- = + - +

( ) ( )7 4 7 48 8- = - - -

PROVA SUBITO

Calcola quoziente e resto delle seguenti divisioni:

a. 17 : 3; 2 : 6;

b. 15 : 5; 0 : 7.

a

r

b

q

dividendo

resto

divisore

quoziente

PROVA SUBITO

Esegui nel modo più rapido possibile le seguenti operazioni e indica quali proprietà utilizzi.

a. 38 116 12+ + ; 22 25$ .

b. 55 57 57 23 57 22$ $ $+ + ; :21100 25.

c. 28 50$ ; 20 67 5$ $ ; 14 99$ .

d. 143 105- ; 40 12 50$ $ .

PROPRIETÀ ESEMPIO

PROVA SUBITO

Le seguenti uguaglianze sono false, perché sono state applicate proprietà non valide. Quali?

a. : : :1750 25 5 1750 5=

b. ( ) : ( : ) ( : )16 4 2 16 2 4 2$ $=

c. ( ) ( )45 6 5 45 6 5- - = - -

d. ( ) ( ) ( )5 3 2 5 3 5 2$ $ $ $ $=

e. : ( ) : :30 3 2 30 3 30 2+ = +

PROPRIETÀ ESEMPIO

PROVA SUBITO

Completa, applicando la proprietà invariantiva nelle seguenti sottrazioni.

151 - 122 = …;

(151 - 120) - (122 - …) = … - 2 = 29;

(151 + …) - (122 + 50) = 201 - … = …

PROPRIETÀ ESEMPIO

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TEORIA


Proprietà invariantiva della divisione

Il quoziente fra due numeri non cambia se ognuno viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da 0:

: ( ) : ( )120 40 120 405 5$ $=

: ( ) : ( ): :480 20 480 202 2=

: ( ) : ( )a b a bc c$ $= ;

: ( ) : ( ): :a b a bc c= ;

con c ! 0 e quando le divisioni sono pos-sibili.

Nell’eBook e su GUARDA! un approfondimento e 70 esercizi su questo argomento.

• Sistemi di numerazione.

Lo zero e il sistema posizionaleNell’antica Roma non esisteva un simbolo per lo zero.

Non serviva un numero per indicare qualcosa che non c’è, perché il loro sistema era additivo-sottrattivo.

Nel sistema romano ogni simbolo indica sempre la stessa quantità (I è 1, V è 5, X è 10…), che va aggiunta o sottratta a seconda che il simbolo successivo rappresenti un numero minore o maggiore.

Per esempio, XI è 10 1 11+ = , mentre IX è 10 1 9- = .

Il sistema che usiamo ora è invece posizionale, perché una cifra ha significato diverso a seconda della posi-zione che occupa.

unitàcentinaiacentinaia

2019 = 2 1000 0 100 1 10 9 1 2 10 0 10 1 10 9 103 2 1 0$ $ $ $ $ $ $ $+ + + = + + + .

decinemigliaiamigliaia

La scrittura 2019 è dunque un modo sintetico per esprimere la somma dei prodotti dei numeri rappresentati dalle cifre per le potenze di dieci a cui corrispondono, ossia la scrittura in forma polinomiale del numero.Dieci è la base del sistema, che viene detto sistema di numerazione in base dieci.I numeri e il sistema che usiamo oggi sono detti «arabi», perché si diffusero nel mondo occidentale a partire dal Decimo secolo grazie a matematici e astronomi arabi. Tuttavia, le loro origini sono molto più antiche e vanno collocate in India.Nella scrittura posizionale lo zero ha la funzione di segnaposto e potrebbe essere sostituito da un segno per lasciare spazio. Per esempio, potremmo scrivere 301 così: 3 1. Ma, allora, perché consideriamo 0 come un numero naturale?

▶▶ Fai qualche esempio in cui lo zero è usato come numero. Quali proprietà perderebbe l’insieme N se

non ci fosse il numero 0?

PROPRIETË ESEMPIO

IDEE PER LE COMPETENZE

PROVA SUBITO

Completa, applicando la proprietà invariantiva nelle seguenti divisioni.

90 : 30 = …;

(… : 10) : (30 : 10) = 9 : … = …;

(90 $ 2) : (… $ 2) = … : 60 = 3.

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3. Proprietà delle potenze in N → Esercizi a pagina 36

Per le potenze valgono cinque proprietà.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti.

a a am n m n$ =

+

5 5 5 53 4 3 4 7$ = =

+

2. Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.

:a a am n m n=

- , con a ! 0 e n # m.

:12 12 12 125 3 5 3 2= =

-

3. Potenza di potenza

La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.

( )a am n m n=

$

( )4 4 43 3 62 2= =

$

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.

( )a b a bm m m$ $=

( )4 5 4 5 2022 2 2$$ = =

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi.

: ( : )a b a bm m m= , con b ! 0 e a divisibile per b.

: :( )6 3 6 3 222 2 2= =

Giustifichiamo le proprietà enunciate considerando degli esempi. Per la prima, la terza e la quarta proprietà, usiamo la definizione di potenza an con n 12 e scriviamo le potenze come moltiplicazioni ripetute.

Prima proprietà (3 32 3$ = 3 3$ ) ($ 3 3 3$ $ ) = 3 3 3 3 3$ $ $ $ 35

=

4 volte

Terza proprietà ( )23 4= 2 2 2 23 3 3 3

$ $ $ = 2 23 3 3 3 3 4=

$+ + +

Quarta proprietà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 7 7 7 7 7 72 2 2 2 2 2 2 23 3 3$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $= = =

PROPRIETË ESEMPIO

VIDEO

Proprietà delle potenze

Semplifica:

[(33 $ 27 $ 34)3 : 617] : 34.

PROVA SUBITO

Sommando potenze con la stessa base, si ottiene una potenza con la stessa base? Fai qualche esempio.

ESEMPIO2 volte 3 volte3 volte 2 + 3 = 5 volte 2 + 3 = 5 volte

4 volte4 volte

3 volte3 volte3 volte3 volte3 volte3 volte

PROVA SUBITO

Calcola il risultato delle seguenti espressioni, indicando le proprietà delle potenze utilizzate.

a. 3 35 4$

b. 5 63 3$

c. ( )23 4

d. :7 78 4

e. :10 25 5

PROVA SUBITO

Le seguenti uguaglianze sono false, perché?

a. :6 6 66 2 3=

b. 4 4 45 3 15$ =

c. 3 3 35 4 9+ =

d. ( )7 74 6 10=

e. 10 10 10 05 0 2$ $ =

11

TEORIA

3. Proprietà delle potenze in N

Per la seconda e la quinta proprietà, usiamo la definizione della divisione come ope-razione inversa della moltiplicazione.

Seconda proprietà prima proprietà

:2 2 24 46 6=

- perché 2 2 2 2( )6 4 4 6 4 4 6$ = =

- - + .

a : b = q q $ b = aq $ b = a

Quinta proprietà quarta proprietà

: ( : )2 28 85 5 5= perché ( : ) [( : ) ]8 2 2 8 2 2 85 5 5 5

$ $= = .

a : b = q q $ b = aq $ b = a

Le proprietà valgono anche se la potenza non si può scrivere come moltiplicazione ripetuta.Le definizioni a a1

= e a 10= sono state date proprio per fare in modo che valga la

seconda proprietà.

■ :2 2 25 4= perché ( )2 2 2 2 2 2 2 254

$ $ $ $ $= = .

a : b = q q $ b = a

D’altra parte, se vale la seconda proprietà delle potenze, allora:

:2 2 2 25 4 5 4 1= =

- .

Confrontando i due risultati, deve essere: 2 21= .

Quindi, in generale, dobbiamo definire:

a a1= .

■ :3 3 14 4= perché 1 3 34 4

$ = .

D’altra parte, se vale la seconda proprietà delle potenze, allora:

:3 3 3 34 4 4 4 0= =

- .

Confrontando i due risultati, deve essere: 3 10= .

Quindi, in generale, dobbiamo definire:

a 10= , con a 0! .

▶▶ Semplifichiamo la seguente espressione applicando le proprietà delle potenze.

: ( ) [( : ) ] :64 2 4 12 3 4 1624 2 2 3 5 5$ $- = prodotto e quoziente di potenze con lo stesso esponente

: ( ) [( ) ] :64 4 168 44 3 22 5$- = potenza di potenza e prodotto di potenze con la stessa base

: ( ) [ ] : ( )64 64 4 44 3 26 2- = potenza di potenza

: :64 464 44 3 6 4- = quoziente di potenze con la stessa base

64 4 64 16 481 2- = - =

ESEMPIO

PROVA SUBITO

Semplifica se è possibile le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

a. (37 $ 27) : 67;

b. (104 : 54) $ 23;

c. 25 : 23 + 22 $ 52;

d. (35)2 : (33 $ 37).

ESEMPIO

12


TE

OR

IA

4. Multipli, divisori, MCD, mcm → Esercizi a pagina 40

Multipli e divisori

•• Un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se esiste un nu-mero naturale q che moltiplicato per b dà a: a = q $ b.

•• Un numero naturale b, diverso da 0, è divisore di un altro numero naturale a se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0: a : b = q.

Se a è multiplo di b, diciamo anche che a è divisibile per b.I multipli di un numero sono infiniti e si ottengono moltiplicando il numero stesso per ognuno dei numeri naturali.

42 $ 0 42 $ 1 42 $ 2 42 $ 3 42 $ 4 42 $ 5

■ Multipli di 42: 0, 42, 84, 126, 168, 210, …

I multipli di 2 sono i numeri pari e si indicano con ,n n2 N6 ! .I numeri dispari si indicano con ,n n2 1 N6 !+ .

Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono in numero finito.

■ Divisori di 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Criteri di divisibilità

Un numero naturale

è divisibile per…se e solo se… Esempio

2 la cifra delle unità è pari132 271 310 4 6

0, 4, 6 divisibili per 2

3 la somma delle cifre è divisibile per 3 3642 3 + 6 + 4 + 2 = 15 divisibile per 3

4termina con 00 o il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 4

1600

2312 divisibile per 4

5 la cifra delle unità è 0 o 5 29 172 1200 5 0

9 la somma delle cifre è divisibile per 9 2952 2 + 9 + 5 + 2 = 18 divisibile per 9

11la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari (o viceversa) è divisibile per 11

3 + 6 + 7 = 16

35607 16 - 5 = 11 divisibile per 11

5 + 0 = 55 + 0 = 5

25termina con 00 o il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 25

3700


10, 100 termina con 0, 0030 divisibile per 10


MATHS IN ENGLISH

If a natural number a can be expressed as the number b times another number, then a is a multiple of b.

DEFINIZIONI

10 2 5$=10 è multiplo di 2

2 è divisore di 10

PROVA SUBITO

Stabilisci se i seguenti numeri sono divisibili per quelli indicati a fianco.

a. 420; 4, 7, 9.

b. 561; 11, 9, 3.

c. 1300; 25, 3, 4.

d. 4600; 5, 100, 2.

13

4. Multipli, divisori, MCD, mcm

TEORIA

Diamo ora la definizione di numero primo.

Un numero naturale diverso da 0 e da 1 è un numero primo se ha come di-visori solo se stesso e 1.

i numeri primi sono infiniti

, , , , , , , ,2 3 5 7 11 13 17 19 f

Vediamo con un esempio un metodo per cercare i numeri primi.

▶▶ Come trovare i numeri primi minori o uguali a un certo numero?

Se ne occupò il matematico greco Eratostene, che formulò un algoritmo noto come il crivello di Eratostene.

«Crivello» significa «setaccio», e quello che si fa con questo metodo è proprio setacciare i numeri in modo da escludere i numeri composti e lasciare solo i numeri primi.

Scriviamo, per esempio, tutti i numeri da 1 a 50 e cancelliamo il numero 1, che per convenzione non è primo. Nella casella successiva troviamo il 2, che è primo. Cancelliamo ora tutti i mul-tipli di 2.Dopo il 2 troviamo il 3, che è primo, e cancelliamo tutti i suoi multipli.Poi, la prima casella non cancellata che incontriamo è quella del 5, che è primo: cancelliamo i suoi multipli. Proseguiamo in questo modo: alla fine, le caselle non cancellate contengono tutti i numeri primi minori di 50.

2 3 44 5 6 7 88 9 109 10

1111 12 13 14 15 16 17 18 19 201311 12 13 14 15 16 17 18 19 201711 12 13 14 15 16 17 18 19 201911 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 2521 22 23 24 252321 22 23 24 25 26 27 28 29 302927 28 29 30

3131 32 33 34 35 36 3737 38 39 40

4141 42 43 44 45 46 47 48 49 504341 42 43 44 45 46 47 48 49 504741 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Se un numero diverso da 0 e da 1 non è primo, può sempre essere scritto, in modo unico, a meno dell’ordine, come prodotto di potenze di numeri primi. La sua scom-

posizione in fattori primi, quindi, è unica e possiamo ottenerla con divisioni suc-cessive.

60 2 2 3 5 2 3 52" $ $ $ $ $= =

22

dividiamo per…

60 2

30 2

15 3

5 5

1

DEFINIZIONE ESEMPIO

STORIA

ESEMPIO

14


TE

OR

IA

MCD e mcm

Fra due numeri naturali diversi da 0:

•• il massimo comune divisore (MCD) è il più grande fra i loro divisori comuni.

•• il minimo comune multiplo (mcm) è il più pic-colo fra i loro multipli comuni diversi da 0.

Consideriamo, per esempio, 12 e 18.Divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

divisori comuni

Divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

MCD(12; 18) 6= .

Consideriamo ancora 12 e 18.Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …

multipli comuni

Multipli di 18: 18, 36, 54, 72, 90, …

mcm(12; 18) 36= .

Per la ricerca del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo è utile la scomposizione in fattori primi.

Se scomponiamo in fattori primi due o più numeri naturali:

•• il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con l’esponente minore;

•• il mcm è il prodotto di tutti i fattori comuni e non co-

muni, presi una sola volta, con l’esponente maggiore.

Per calcolare MCD e mcm di 120 e 140, scomponiamo i numeri in fattori primi.Mettiamo poi i fattori in colonna.

120 2

60 2

30 2

15 3

5 5

1

140 2

70 2

35 5

7 7

1

120 2 3 5

140 2 5 7

2 5

2 3 5 7

MCD

mcm

3

2

2

3

$ $

$ $

$

$ $ $

=

=

=

=

fattori comuni con l’esponente minore

fattori comuni e non comuni con fattori comuni e non comuni con l’esponente maggiorel’esponente maggiore

Il MCD è 20, il mcm è 840.

Se due numeri non hanno fattori in comune diversi da 1, diciamo che sono primi

tra loro.

■ 10 e 21 sono primi tra loro.

Due numeri consecutivi sono sempre primi tra loro.

Il MCD di due numeri primi tra loro è 1 e il loro mcm è il prodotto dei due numeri.

DEFINIZIONE

ESEMPIO

REGOLA

ESEMPIO

PROVA SUBITO

Calcola MCD e mcm di:

a. 12, 40;

b. 20, 160;

c. 84, 18.

15

5. Numeri interi

TEORIA

Ecco un problema in cui calcoliamo il MCD.

Una pizzeria al taglio usa due tipi di teglie: una di 60 cm # 40 cm e l’altra di 50 cm # 30 cm. Si vogliono ricavare da entrambe dei tranci di pizza quadrati, i più grandi possibili, tutti uguali tra loro e senza scarto.

▶▶ Quanto deve misurare il lato di ciascun trancio e quanti tranci si otten-

gono da ciascuna teglia?

La misura del lato di ciascun trancio deve essere un divisore di 60, 40, 50 e 30. Tra questi, scegliamo il più grande:

MCD(30; 40; 50; 60) = 10.

Ogni trancio misura 10 cm # 10 cm. Si ottengono:

•• dalla prima teglia (60 : 10) $ (40 : 10) = 6 $ 4 = 24 tranci;

•• dalla seconda (50 : 10) $ (30 : 10) = 5 $ 3 = 15 tranci.

Nell’eBook e su GUARDA! un approfondimento e 4 esercizi su questi argomenti.

• Algoritmo di Euclide. • Proprietà che lega MCD e mcm.

5. Numeri interi■ DEFINIZIONI → Esercizi a pagina 45

Se ieri sera un termometro segnava una temperatura di 6 °C e durante la notte c’è stato un calo di 10 °C, questa mattina che temperatura leggiamo?I soli numeri naturali non sono sufficienti per risolvere problemi come quello pre-cedente, perché servono numeri che sono «sotto zero». Costruiamo allora, a partire dall’insieme dei numeri naturali, un insieme più ampio.

Per ogni numero naturale diverso da zero, consideriamo due numeri ottenuti facen-do precedere il numero dal segno + e dal segno -.

1 1

1

+

- 2

2

2

+

- 3

3

3

+

- 4

4

4

+

- f

Chiamiamo numeri interi i numeri così ottenuti, uniti al numero zero, che per convenzione non ha segno. Indichiamo con Z il loro insieme. Diciamo anche che Z è l’insieme dei numeri relativi.

Un numero intero è positivo se ha segno +, negativo se ha segno -.Indichiamo con Z+ l’insieme degli interi positivi, con Z- quello degli interi negativi, con Z0

+ quello degli interi non negativi, cioè i positivi e lo zero.Diciamo opposti i numeri con segno diverso ottenuti dallo stesso numero naturale.

■ 21+ e 21- sono opposti.

Si considera il numero 0 l’opposto di se stesso.

INTORNO A NOI

MATHS IN ENGLISH

Two numbers that have the same magnitude, different from zero, preceded one by a + sign and one by a – sign, are opposite numbers.

16


TE

OR

IA

Due interi diversi da zero sono concordi se hanno lo stesso segno, discordi se hanno segno diverso.

9- 9+ 7- 12+ 8+ 6+

discordiconcordi discordi e opposti

Creiamo una corrispondenza che associ a ogni numero naturale uno e un solo numero intero non negativo e viceversa, cioè una corrispon-

denza biunivoca fra N e Z0+, facendo corrispondere lo 0 di N allo 0 di

Z0+, il numero naturale 1 al numero intero 1+ , 2 a 2+ , 3 a 3+ e

così via.

Nell’insieme dei numeri interi possiamo indicare un numero positivo anche senza scrivere il segno.

■ 12 indica sia il numero naturale 12, sia l’intero 12+ .

Grazie a questa corrispondenza possiamo pensare a N come a un sottoinsieme pro-prio di Z .

In simboli: N Z1 .

Chiamiamo valore assoluto o modulo di un numero intero a, e lo indichiamo con a :

• il numero stesso, se è positivo o è zero;

• l’opposto del numero, se il numero è negativo.

Di solito, scriviamo il risultato del valore assoluto senza se-gno +, servendoci della corrispondenza creata con i numeri naturali.

■ 5 5+ = , 0 0= , 16 16- = .

Il valore assoluto di un numero intero è sempre positivo o è zero.

■ CONFRONTO FRA NUMERI INTERI

→ Esercizi a pagina 45

Z è un insieme ordinato mediante la seguente relazione.

Relazione d’ordine

•• 0 è maggiore di ogni intero negativo e minore di ogni intero positivo.

•• Ogni intero negativo è minore di ogni intero positivo.

0 52- 0 91+

1 21- +

•• Il minore di due interi positivi è quello con il valore assoluto minore.

•• Il minore di due interi negativi è quello con il valore assoluto maggiore.

3 71+ + perché 3 71

8 61- - perché 8 62

ℕℤ

ℤ

–2

–3

–1

0

+3

0

+22

...

+11

3

...

...

+0

PROVA SUBITO

Indica quali uguaglianze sono vere.

a. ;3 3- =

b. ;5 101- -

c. ;3 12-

d. ;4 4= -

e. 6 6=- .

a =

a

a-

se a positivo o zero

se a negativo

DEFINIZIONE ESEMPIO

17

TEORIA

6. Operazioni in Z e loro proprietà

Poiché Z è un insieme ordinato, è possibile rappresentare i suoi elementi su una retta orientata:

• fissiamo l’origine, corrispondente a 0, e l’unità di misura u;

• associamo 1+ , 2+ , 3+ , … ai punti che distano dall’origine 1, 2, 3, … unità di misura verso destra;

• associamo 1- , 2- , 3- , … ai punti che distano dall’origine 1, 2, 3, … unità di misura verso sinistra.

Osserviamo che:

• i numeri opposti sono equidistanti da 0;

• tutti i numeri positivi sono a destra dello 0 e i negativi a sinistra dello 0;

• ogni numero è minore di tutti i numeri alla sua destra e maggiore di tutti quelli alla sua sinistra;

• fra due interi qualunque c’è sempre un numero finito di interi (tra due consecu-tivi ce ne sono 0), quindi Z è un insieme discreto;

• ogni intero è seguito da un intero (il suo successivo) e preceduto da un intero (il suo precedente), quindi Z è un insieme infinito.

6. Operazioni in Z e loro proprietà■ ADDIZIONE → Esercizi a pagina 48

Distinguiamo due casi.

La somma di due interi concordi è un intero che ha:

•• segno uguale a quello degli addendi;

•• valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri.

3 + 5somma somma dei valori dei valori assolutiassoluti

( ) ( )3 5 8+ =- - -

9 + 12

( ) ( )9 12 21+ =+ + +

Notiamo che la definizione di addizione tra numeri interi positivi, cioè quelli in corrispondenza con i numeri naturali, coincide con la definizione di addizione che abbiamo dato tra numeri naturali.

La somma di due interi discordi è un intero che ha:

•• segno uguale a quello dell’addendocon valore assoluto maggiore;

7 - 3

( ) ( )7 3 4+ =- + -

perché 7 2 3

•• valore assoluto uguale alla diffe-renza tra il valore assoluto mag-giore e quello minore.

9 - 4

( ) ( )4 9 5+ =- + +

perché 9 2 4

0–4 –3 –2 –1 +1

u

+2 +3 +4

PROVA SUBITO

Rappresenta sulla retta orientata i numeri seguenti:

+ 3; 0; - 6; + 4; - 2; - 5; + 2.

PROVA SUBITO

Scrivi, se esistono, i numeri interi che sono contemporaneamente:

a. maggiori di -4 e minori di +3;

b. maggiori di 7 e minori di 10;

c. maggiori di 6 e minori di 5- ;

d. maggiori di -5 e minori di -1.

DEFINIZIONE ESEMPIO

DEFINIZIONE ESEMPIO

18


TE

OR

IA

Possiamo scrivere le addizioni sottintendendo le parentesi e il segno + di addizione.

■ ( ) ( )8 6 8 6 14- + - =- - =- ; ( ) ( )15 7 15 7 8- + + =- + =- .

Come per l’addizione in N, per l’addizione in Z :

• esiste l’elemento neutro, che è lo zero;

• valgono le proprietà commutativa e associativa.

Per l’addizione in Z ci sono poi due nuove proprietà rispetto a N.

L’operazione di addizione è interna: la somma di due numeri interi è sempre un numero intero.

La somma di un numero intero e del suo opposto è zero, cioè l’elemento neutro. Questa proprietà si indica anche dicendo che per ogni intero esiste il simmetrico.

( )aa 0+ =- ; a Z6 ! .

il suo oppostoun numero

■ ( ) ( )7 7 0+ + - =

■ SOTTRAZIONE → Esercizi a pagina 48

Nell’insieme dei numeri naturali non possiamo calcolare 4 8- : il risultato non è un numero naturale. L’introduzione dei numeri negativi ci autorizza ora a calcolare anche differenze come questa, in cui il minuendo è minore del sottraendo.

La differenza di due interi è la som-ma del minuendo con l’opposto del sottraendo:

( )a b a b- = + - .

( ) ( ) ( ) ( )12 3 12 3 9- - - = - + + =-

( ) ( ) ( ) ( )9 4 9 4 5+ - + = + + - =+

La definizione dice che le sottrazioni si trasformano in addizioni. Per un calcolo più rapido, eliminiamo le parentesi e cambiamo il segno del sottraendo.

■ ( ) ( ) 15 8 5 8 3- =- - =-- + ; ( ) ( )73 3 7 10=+ - - + + =+ .

In Z l’operazione di sottrazione è interna, mentre in N non lo è: infatti, le sottrazioni che non sono possibili in N hanno invece sempre risultato in Z .

Questo permette di risolvere il problema posto all’inizio del paragrafo 5.

La sera leggi sul termometro una temperatura esterna di 6 °C. Durante la notte la temperatura scende di 10 °C.

▶▶ Qual è la temperatura della mattina?

Eseguiamo una sottrazione:

( ) ( ) ( ) ( )6 10 6 10 6 10 4+ - = + - + = + + - =- .

Alla mattina, il termometro segna - 4 °C.

PROVA SUBITO

Completa le seguenti addizioni tra numeri interi:

(- 6) + (- 2) = …;

(- 1) + (…) = - 3;

(…) + (- 6) = - 6;

(…) + (…) = 0.

PROVA SUBITO

Completa le seguenti sottrazioni tra numeri interi:

(- 6) - (- 2) = …;(+ 1) - (…) = - 3;(…) - (- 6) = - 6;(…) - (…) = 0.

DEFINIZIONE ESEMPIO

INTORNO A NOI

19

TEORIA

6. Operazioni in Z e loro proprietà

Come in N , in Z la sottrazione gode della proprietà invariantiva.

Poiché la sottrazione si trasforma in addizione, in Z possiamo considerare addizione e sottrazione come una stessa operazione, l’addizione algebrica, e chiamare somma

algebrica il suo risultato.

■ MOLTIPLICAZIONE → Esercizi a pagina 52

Il prodotto di due interi diversi da 0 è un intero che ha:

•• segno positivo se i fattori sono concordi, segno negativo se sono discordi;

•• valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.

Se almeno uno dei fattori è 0, il pro-dotto è 0.

concordi

discordidiscordi

( ) ( )

( ) ( )

3 5 15

3 5 15

$

$

=

=

+ +

- - +

+

( ) ( )

( ) ( )

3 5 15

3 5 15

$

$

=

=

- + -

+ - -

( )

( )

5

3 0 0

0 0$

$

=

=

-

+

Usiamo la regola dei segni in qualche esempio.

■ ( ) ( ) 102 5$+ =++ ; ( ) ( )4 1 4$+ - =- ; ( ) ( )7 8 56$- - =+ ;

+ $ - = - - $ - = ++ $ + = +

Il segno di moltiplicazione $ può essere sottinteso.

■ ( ) ( ) ( )( ) 8 6 8 486 $ - = - - =+-

Nel prodotto di più fattori il segno è positivo se il numero di fattori negativi è pari, negativo se il numero di fattori negativi è dispari.Questo perché possiamo raggruppare a coppie i fattori negativi e ogni coppia for-nisce un segno +.

■ 4 fattori negativi:

pari

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 12 "+ =+- - - - prodotto positivo

- $ - = + - $ - = +

5 fattori negativi:

dispari

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 12 "=- - - - - - prodotto negativo

- $ - = + - $ - = +

Come in N , in Z l’operazione di moltiplicazione è interna.

Esiste l’elemento neutro, che è 1+ : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2$ $+ - = - + =- .

Esiste l’elemento assorbente, che è 0: ( ) ( )0 5 5 0 0$ $- = - = .

Valgono le proprietà commutativa e associativa e la proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione.

Vale la legge di annullamento del prodotto: a b 0$ = se e solo se

a b0 0o= = .

PROVA SUBITO

Semplifica.

[ ( )] ( )25 5 7 2 10- + - + - - - +

( ) [ ( ) ] ( )1 4 4 2 6- + - - - - + - -

[ ]2-

$ - +

- + -

+ - +

DEFINIZIONE ESEMPIO

PROVA SUBITO

Completa i seguenti prodotti.

(- 4) $ (- 7) = … ;(- 3) $ … = - 21; … $ (- 9) = 0;(+ 2) $ … = - 8; … $ (- 2) = + 10;(+ 5) $ … = + 5.

20


TE

OR

IA

Moltiplicando un numero intero qualsiasi, diverso da zero, per 1- , otteniamo il suo opposto.

■ ( )( )13 1 13+ - =- ; ( ) ( )6 1 6- - =+ .

Un segno - davanti a una parentesi può essere considerato come la moltiplicazione per 1- . Possiamo allora eliminare le parentesi cambiando il segno degli addendi.

■ ( ) ( ) ( )3 5 7 1 3 5 7 3 5 7 5$= - + - + = =-- + - + - + -

■ DIVISIONE → Esercizi a pagina 52

Come in N , la divisione tra numeri interi è definita come operazione inversa della moltiplicazione. Di conseguenza per la divisione c’è una regola dei segni analoga.

Il quoziente di due interi, diversi da 0, se esiste, è un intero che ha:

•• segno positivo se divisore e divi-dendo sono concordi, segno nega-tivo se sono discordi;

concordi

discordidiscordi

( ) : ( )

( ) : ( )

8 2 4

8 2 4

=

=

+ + +

- - +

( ) : ( )

( ) : ( )

8 2 4

8 2 4

=

=

- + -

+ - -•• valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti del dividendo e del divisore.

Se il dividendo è 0, il quoziente è 0. Il divisore non può essere 0.

■ : ( ) ;20 0- =

( ) : .8 0 non esiste-

In Z l’operazione di divisione non è interna.

■ ( ) : ( )5 3+ - non ha risultato in Z , perché 5 non è multiplo di 3.

Anche in Z la divisione gode delle proprietà invariantiva e distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione. Non vale invece, così come non vale in N, la proprietà distributiva a sinistra.

7. Potenze in Z → Esercizi a pagina 55

La definizione di potenza in Z discende da quella di moltiplicazione. Infatti, nel caso di esponente maggiore di 1, anche in Z la potenza può essere considerata una moltiplicazione ripetuta di fattori uguali alla base.

■ 5 fattori: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 325 5$ $ $ $= = =-- - - - - - -

dispari - $ - = + - $ - = +

■ 4 fattori: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 164 4$ $ $= = =+- - - - - +

pari - $ - = + - $ - = +

( )a a1$ - =-

un numero

il suo opposto

proprietà distributiva

DEFINIZIONE ESEMPIO

PROVA SUBITO

Semplifica.

a. [( ) : ( )]25 5 $+ - [ ( )] : ( )3 5$ - - -

b. [( ) : ( )] :100 25- +

: [( ) : ( )]84 21+ -

[a) +3; b) +1]

VIDEO

Moltiplicazione e divisione di numeri interi

Calcola:

a. ( ) ( )5 3$+ + ; ( ) ( )2 1$+ - ; ( ) ( )6 4$- - ; ( ) ( )3 7$ +- .

b. ( ) ( ):8 2+ + ; ( ) ( ): 312+ - ; ( ) ( ):5 1- - ; ( ) ( ):16 8+- .

VIDEO

Potenze di numeri interi

Qual è il segno di (-7)10?E di (-8)9?

21

TEORIA

Possiamo perciò dare la seguente definizione.

La potenza di un intero è un intero che ha:

•• segno negativo solo se la base è negativa e l’esponente è dispari; segno positivo altrimenti;

•• valore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto della base.

Esponente pari

( )

( )

7 7

7 7

2 2

2 2

=

=

+ +

- + il segno cambia

Esponente dispari

( )

( )

2 2

2 2

5 5

5 5

=

=

+ +

- -

Osserva le differenze nelle seguenti uguaglianze:

( ) ( )7 7 22= +- ; esponente pari

( ) ( )2 2 55= +- - . esponente dispari

Dalle definizioni di potenza date in N e dalla definizione precedente deriva che:

• a 10=+ , con a 0! ;

• a a1= ;

• 00 non è definita.

In Z , come in N, valgono le cinque proprietà delle potenze.

1. a a am n m n$ =

+

2. :a a am n m n=

- (con m n$ , a 0! )

3. ( )a am n m n=

$

4. ( )a b a bn n n$ $=

5. : ( : )a b a bn n n=

(con b 0! e a; ; multiplo di b; ;)

▶▶ Semplifichiamo un’espressione applicando le proprietà delle potenze.

( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( )6 6 3 2 2 3 23 2 5 8 6 2 2 3$ $- - - + + + - = 1ª, 2ª e 3ª proprietà

delle potenzedelle potenze: ( ) ( )( ) 3 2 3 26 5 2 2 65

$- + + - =- 4ª e 5ª proprietà delle potenzedelle potenze

( ) ( )2 6 25 2 6+ + + - = definizione

di potenzadi potenza32 36 64 4+ + - = +

PROVA SUBITO


-24; (-2)4; -23; (-2)3; (-3)0; -30; 30.

Osserva i segni nei risultati.

DEFINIZIONE

ESEMPIOPROVA SUBITO

Completa le uguaglianze, se è possibile (a volte c’è più di una risposta).

a. ( )3 3- = …;

b. (… ) 71=+ ;

c. (…)4 81=+ ;

d. ( )2 6- = …;

e. ( )4 12 33 0+ - + = …;

f. (… ) 15=+ ;

g. ( )1 2 2 1 0- - + + = …

PROPRIETË

ESEMPIO

ESPLORA CON IL FOGLIO ELETTRONICO

Controlla le spese!Imposta un foglio elettronico che contenga i guadagni e le spese di Luca in questo mese e che:a. determini il totale delle spese e il totale dei guadagni di Luca;b. determini se questo mese Luca ha speso più di quanto ha guadagnato.

Nell’eBook trovi lo svolgimento e altri esercizi come questo.

7. Potenze in Z

22

CAPITOLO 1. NUMERI NATURALI E NUMERI INTERI NUMERI NATURALI E NUMERI INTERI

TE

OR

IA

Teoria in sintesi

■ L’insieme dei numeri naturali 0, 1, 2, … viene indicato con N.L’insieme Z dei numeri interi è un ampliamento di N. Entrambi gli insiemi sono infiniti, ordinati e discreti.

0

0–1–2–3–4–5

5

+5

4

+4

3

+3

2

+2

1

+1

non ha il precedente in ℕℕ

ℤ

■ 3 51 ; 5 31- - ; 5 31- + ; 2 2 2- = + = ; 0 0= .

naturali interi concordi interi discordi opposti valore assoluto lo zero non ha segno

■ In N e in Z sono definite: addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione.

■ ( )6 2 4+ - = ; ( ) ( )6 2 12$- - = ; ( )6 2 8- - = ; : ( )6 2- =- 3

addendi somma dividendo divisore quozientefattori prodotto minuendo sottraendo differenza

L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà commutativa e associativa.La sottrazione e la divisione godono della proprietà invariantiva.Valgono inoltre la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione (a sinistra e a destra) e la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (solo a destra).

■ [( ) ] [( ) ] [ ( )] ( ) ;12 9 3 11 12 3 9 11 12 3 9 11 12 3 20 12 3 12 20 276$ $+ + = + + = + + = + = + =

( ) : ( : ) ( : )120 36 12 120 12 36 12 13+ = + = ; : ( : ) : ( : ) :150 60 150 30 60 30 5 2= = .

distributiva della divisione rispetto all’addizione

invariantiva non ha risultato in Z

■ La potenza an di un numero intero a è il prodotto di tanti fattori uguali alla base a quanti sono quelli indicati dall’esponente n. È un numero negativo se la base è negativa e l’esponente è dispari, altrimenti positivo.Per calcolare la potenza di una potenza e il prodotto o il quoziente di potenze con uguale base o uguale espo-nente, possiamo applicare le proprietà delle potenze.

■ 2 2 25 3 8$ = ; :2 2 25 3 2

= ; ( )2 25 3 15= ; 6 3 184 4 4

$ = ; :6 3 24 4 4= .

■ Un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se esiste un numero q che moltiplicato per b dà a. Un numero naturale b 0! è divisore di un numero naturale a se la divisione tra a e b ha resto 0.Un numero naturale diverso da 0 e 1 è primo se ha come divisori solo se stesso e 1. Ogni numero può essere scritto in modo unico, a meno dell’ordine, come prodotto di potenze di numeri primi.Dati due o più numeri, il massimo comune divisore (MCD) è il prodotto dei loro fattori comuni, presi una sola volta, con esponente minore, e il minimo comune multiplo (mcm) è il prodotto di tutti i fattori comuni e non, presi una sola volta, con esponente maggiore.

■ 180 2 3 52 2$ $= , 54 2 33

$= " MCD = 2 3 182$ = , mcm = 2 3 5 5402 3

$ $ = .

commutativa associativa distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione (a sinistra)

scomposizione in fattori primi

multiplo di 5 divisore di 180

23

ESERCIZI


ESERCIZIScarica GUARDA!e inquadrami per accedere alle risorse digitali del capitolo

1. Numeri naturali■ RAPPRESENTAZIONE E ORDINAMENTO → Teoria a pagina 1

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI

a. 8 è maggiore di 1.

b. 10 è minore di 12.

c. 7 è diverso da 6.

d. 5 è compreso tra 2 e 9.

e. x è minore o uguale a 6.

f. a è maggiore o uguale a 15.

YOU & MATHS Write the following numbers in words if they are in digits, and write them in digits if they are given in words.

a. Four hundred and two. d. 2005.

b. One thousand and two hundred and three. e. 43 010.

c. Fifteen hundred twenty-four. f. 10 002.

Scrivi i numeri naturali n che verificano le seguenti condizioni.

Sono minori di 7.

Sono minori o uguali a 6.

Sono maggiori di 2 e minori o uguali a 5.

n93 1001 # .

n22 271# .

n0 21 1 .

COMPLETA inserendo i simboli 1, 2 (n è un numero naturale).

13 18; 0 5; 101 110; 99 0.

n n 1+ ; n 3+ n 5+ ; n n7 + ; n8 + n.

COMPLETA inserendo il numero corretto.

Il precedente di 1000 è .

Il successivo di 77 è .

Il successivo di è 1010.

Il precedente di è 1.

Se n è un numero naturale, scrivi:

a. il precedente di n 2+ ;

b. il successivo di n 3+ ;

c. il precedente di n 1+ ;

d. il successivo di ( )n n1 1$- ;

e. il successivo del successivo di n 1+ .

INVALSI 2015 a è un numero dispari maggiore di 3. Quale delle seguenti espressioni rappresenta il nu-mero dispari successivo ad a?

A a + 1 B 2a + 1 C 2a - 1 D a + 2

Scrivi tutti i numeri naturali n che verificano le seguenti relazioni.

n 11 ; n2 51 1 ; n1 41 # ; n 3# ; n8 91# ; n5 7# # .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13

14

24

ES

ER

CIZ

I


Scrivi in ordine crescente e decrescente i seguenti numeri.

22; 202; 2; 20; 1002; 102. 1001; 1010; 1101; 1110; 1011; 1121.

TRADUCI DAI SIMBOLI AL GRAFICO Rappresenta sulla semiretta orientata i seguenti numeri, scegliendo un’op-portuna unità di misura.

1; 5; 12; 16; 7; 8.

0; 1000; 2500; 3000; 500; 250.

n4 81#

n2 71 1

n 61

n0 51 #

TRADUCI DAL GRAFICO AI NUMERI Per ogni punto indicato scrivi il numero corrispondente.

1

A B C D

0

■ OPERAZIONI E OPERANDI → Teoria a pagina 2

Scrivi il nome degli operandi e del risultato di ciascuna operazione.

a. 7 6 13+ = d. :10 5 =

b. 7 6 1- = e. 2 164=

c. 10 5 50$ =

COMPLETA inserendo il segno di operazione.

a. 10 2 12=

b. 10 2 20=

c. 10 2 8=

d. 10 2 5=

TRADUCI DALLE PAROLE AI SIMBOLI In ciascuno dei seguenti casi, in base alle informazioni fornite, scrivi in forma simbolica l’operazione ed eseguila.

Sottrazione con minuendo 89 e sottraendo 63;sottrazione con minuendo 18 e differenza 11;sottrazione con differenza 48 e sottraendo 29.

Divisione con dividendo 104 e quoziente 13;divisione con divisore 3 e quoziente 17;divisione con dividendo 105 e divisore 7.

Potenza con base 6 ed esponente 2;potenza con base 0 ed esponente 11;potenza con esponente 0 e base 13.

VERO O FALSO?

a. Elevare alla terza potenza un numero equivale a moltiplicare quel numero per 3. V F

b. Elevando a 0 un qualsiasi numero naturale, si ottiene 1. V F

c. ( )3 3 10- = V F

d. 0 03= V F

e. 4 22 4= V F

f. n 2n2= , con n N! . V F


27; 25; 34; 52; 53; 62; 26. 122; 43; 70; 132; 15; 210; 102.

15 16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30 31

25

ESERCIZI

1. Numeri naturali

Indica quali, tra i seguenti numeri, sono potenze di 5.1; 5; 10; 15; 25; 55; 125; 225; 500; 625.

Tra i seguenti numeri, indica quali sono potenze di 2 e quali sono potenze di 4.1; 2; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 64; 128; 400.Che cosa noti?

VERO O FALSO? Sia b un numero naturale.a. 0 10

= V F

b. 1 1b= V F

c. b 10= se b 0! V F

d. 1 1b0= V F

e. b b1= V F

f. b b2$ V F

CHIMICA Per ciascuno dei seguenti problemi individua l’operazio-ne da svolgere, gli operandi e il risultato.

a. Trova il volume totale, in mL, di una miscela composta da 300 mL di ammoniaca e 150 mL di alcol etilico.

b. Calcola il numero di provette da 50 mL che si possono ottenere da una bottiglia di 500 mL di acqua distillata.

c. Un recipiente pieno di sale pesa 578 g; il recipiente vuoto pesa 220 g. Quanto pesa il sale?

d. Trova il numero di cubetti di ghiaccio che ottieni da tre vaschette, ognuna con tre file da cinque cubetti l’una.

COMPLETA le seguenti espressioni.

6 + 10= ; 9 + 21= ; 8 - 5= ; 10 - 0= .

15 15$ = ; 10 $ 60= ; 5 0$ = ; 0 0$ = .

: 5 0= ; ( 7+ ) : 5 2= ; ( 8- ) : 2 1= ; : 12 3 4$= .

( 1- )2 49= ; ( : 7)5 4 8$= ; 12 1= ; 2 8= ; 2 36= .

( : 3)7 0= ; ( 12- )3 0= ; ( :42 6) 1= ; (3 + )3 125= .

INVALSI 2006 Sono dati due numeri di due cifre a2 e 4b in cui a rappresenta la cifra delle decine del pri-mo numero e b la cifra delle unità del secondo. Sapendo che b a23 4 2+ = , quanto vale la somma di a e b?

A 15 B 16 C 17 D 18

COMPLETA i quadrati magici in modo che la somma dei numeri in ogni riga, colonna e dia-gonale sia costante. Inserisci i numeri mancanti da 1 a 9 per il quadrato 3 3# e da 1 a 16 per quello .4 4#

COMPLETA la stella magica in modo che nei cer-chi compaiano i numeri da 1 a 12, ciascuno una sola volta, e che la somma dei numeri in quattro cerchi allineati sia co-stante.

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

3 13

6 8

5 6 7

4 4 15 14 1

43

3115

4 2 812

26

ES

ER

CIZ

I


La somma tra un numero e il suo successivo è 45. Trova i due numeri.

Scrivi tutte le coppie di numeri naturali la cui somma è 6.

Scrivi tutte le coppie di numeri naturali il cui prodotto è 44.

La somma tra due numeri pari consecutivi è 54. Trova i due numeri.

INTORNO A NOI

Se pieghiamo un foglio a metà per sei volte e poi tagliamo lungo le pieghe, quanti foglietti otte-niamo in tutto? Se partiamo da un foglio qua-drato che misura 24 cm per lato, quali sono le dimensioni dei foglietti? [ ; ]64 3 3cm cm#

Sandro deve preparare una torta di mele e un ti-ramisù. Per la torta serve un uovo in meno rispet-to al tiramisù, e Sandro in tutto usa 23 uova. Quante ne occorrono per ciascun dolce?

[torta: 11; tiramisù: 12]

Alessio ha comprato due libri usati spendendo € 23. Se un libro è costato € 3 in più dell’altro, quanto ha pagato per ciascuno? [€ 13; € 10]

Sara e Anita, due amiche di 19 e 23 anni, vanno a teatro. Stanno per accedere alla platea quando si accorgono che la maschera ha strappato i loro biglietti rendendo illeggibili i numeri di posto. Ricordano che erano due poltrone vicine, nella fila pari, e che la somma era uguale a quella del-le loro età. Quali sono i loro posti? [20; 22]

■ ESPRESSIONI NUMERICHE → Teoria a pagina 3

TEST Solo in una delle seguenti coppie di espressioni la differente posizione delle parentesi non influisce sul risultato. In quale?

A ( : )5 3 12 6$ + ; :5 3 12 6$ + .

B :80 10 23- ; : ( )80 10 23

- .

C :14 2 3 5 4$+ - ; : ( )14 2 3 5 4$+ - .

D ( ) :2 4 4 25+ - ; : ( )2 4 4 25

+ - .

Semplifica le seguenti espressioni. Osserva come cambiano i risultati in base alla posizione delle parentesi.

:22 48 6 8 2$+ - ;

( ) :22 48 6 8 2$+ - ;

( ) :22 48 6 8 2$+ - .

2 3 15 4 32$ $+ - ;

( )2 3 15 4 32$ $+ - ;

( )2 3 15 4 32$ $+ - .

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5 ESPRESSIONI NUMERICHE IN PIÙ

53

54

27

ESERCIZI

1. Numeri naturali

▶▶ Semplifichiamo l’espressione {[( ) : ] ( ) } :15 6 3 15 13 2 5 84 0$+ - + + .

{[( ) : ] ( ) } :15 6 3 15 13 2 5 84 0$+ - + + =

{[ : ] } :21 3 2 16 5 1$ + + =

{ } :7 2 16 5 1$ + + =

:30 5 1+ = 7

Semplifica le seguenti espressioni.

[( ) ] : [ ( ) ]20 8 6 3 11 2 3 1 3$- + + - + + [12]

{( ) : [ ( ) ] }3 12 20 8 5 3 1 1 2$- ++ + + - [4]

( ) [( ) : ]4 6 3 5 3 10 8 2 1$+ - - - - [19]

[( ) : ( )] : ( ) ( ) :16 10 3 5 3 3 7 4 1 5 3 20 12 2$- + - + - + - + - [9]

[ ( ) : ] : [ ( )] ( )3 119 6 3 9 3 18 13 6 3 16$ $-- + - - - [2]

[( ) : ] ( ) ( ) ( )10 7 4 7 5 6 8 5 4 10 6$ $ $- + - - + - [6]

[( ) : ] : [( ) : ]29 5 2 3 2 45 12 11 7+ + - - + [0]

[( ) : ] ( : )1 5 17 2 3 15 95 5 4 2 7$ $ $+ - - - - [11]

{( ) : [ ( )] }27 8 3 4 5 19 6 3 4 7 5 2 7$ $ $- - + - + - - + [0]

{[ ( ) : ( : )] [( ) : ( : ) ]} :3 8 2 7 1 28 7 10 2 7 27 9 3 1 6$+ - + - - + - + [3]

( ) [ : ( )]2 1 4 2 2 21 3 4 3 2 5 70 0 3$ $ $ $+ + + - + - [16]

: {[ ( ) ] [ : ] }24 3 3 2 14 16 2 3 2 5 2$ $ $+ - + - + [8]

( : ) { [( : ) ( : ) ]} : ( : )5 4 10 13 2 22 2 8 5 80 4 23 4 3 63 7$ $ $- - - + + - - [1]

{[( ) ] : } {[( : ) ] ( : )}22 3 7 5 7 18 5 14 2 8 5 7 42 3 11$ $ $ $- + + - - + - [32]

( : ) [ ( ) : ] : [ : ( ) ]2 4 2 21 7 5 7 1 3 2 4 2 8 36 15 3 2$ $ $ $ $+ - + + + + - [40]

[( : : ) : ( : : )] { : [ ( )]}5 6 2 18 3 20 4 14 7 2 10 5 7 8 3$ $ $+ - + - - [42]

{[ ( )] [ ]}( ) ( ) : [( ) : ( : )] : : ( )12 2 6 3160 10 5 3 15 6 14 2 39 3 15 4$$ - - +- - + - - [50]

:12 3 7 4 5 2 23$ $+ - + [30]

: : :3 125 5 18 6 4 2 12 2+ - + - [38]

: :7 10 2 7 5 2 3 1 52 2 2 2$ $+ - - + [26]

: : :127 127 39 13 128 2 3 24 2$+ + - [0]

COME SI FA

eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde e le potenze

svolgiamo l’operazione nelle parentesi quadre svolgiamo l’operazione nelle parentesi quadre

nelle graffe calcoliamo prima il prodotto, poi la somma nelle graffe calcoliamo prima il prodotto, poi la somma

eseguiamo la divisione e poi l’addizioneeseguiamo la divisione e poi l’addizione

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28

ES

ER

CIZ

I


[( ) : ] [ ( )] [ : ( ) ]5 2 3 2 4 3 9 36 1 11 12$- + - - + + - [14]

( ) : ( ) : ( ) [ ( )]2 3 2 2 7 5 3 3 6 5 6 22 1 2 23 1 2$ - + + - - + - + [17]

{ ( ) : ( ) [( ) ( ) ]}2 2 2 3 5 3 7 2 3 2 2 2 23 4 2 2 2$ $ $ $ $- - - - + + [76]

[ ( ) ] : [ ( )]6 34 10 4 5 7 5 3 6 8 2 32 2$ $ $ $+ - - + - - [1]

( ) : ( : ) ( )3 5 3 3 4 5 81 27 2 6 52 2 2 2 2$ $ $- + - + - [5]

{ [ ( )]}7 2 2 5 2 3 2 5 3 22 2 2 2 3 2 33$ $ $ $- + - - - [9]

( : : : ) : :8 10 5 2 10 25 2 2 4 20 4 32 2 2$ $+ - + - [6]

[ ( )] : ( ) ( ) :1 3 7 2 3 5 3 2 5 4 13 3 1 842 2 2$ $ $+ - - + - - + + [7]

[ ( )] : ( ) ( ) ( )12 3 2 7 5 5 3 3 7 2 11 3 50 2 2 2$ $ $- - - + - - + - [4]

{[ ( ) ( ) : ] : ( )} [ ( )]12 3 1 2 3 10 7 11 2 6 3 3 2 2 33 1 0 01$ $ $ $ $- + - + - - - [2]

( ) ( ) [( ) ]3 12 4 3 2 2 8 2 5 8 3 3 24 3 32 2 2 2 2 2$ $ $ $ $+ - + - - - + [11]

{[( : ) ] : } :21 3 5 2 3 2 1 23 12 23$ $- + - [7]

[ ( ) : ] : [( : ) ]2 3 5 7 5 2 3 9 3 2 2 2 303 42 2$ $ $ $- + - - - [6]

{[( ) : ] : } : ( )7 3 10 2 8 3 2 6 4 12 2 2 23$ $- - + + [2]

: {[ : ( : : ) ] : ( : ) }28 100 3 2 64 64 8 2 5 3 27 24 42$ $+ + + [30]

{[( : : : ) : : ] : }42 3 2 35 5 2 3 25 3 5 8 2 19 22$ $ $+ + - - [11]

{[( ) : ] : : : } :5 3 2 5 6 4 3 12 9 6 2 7 12 2 20 3 0$ $ $+ + - - [3]

{ {[ ( : ) ] } : } :15 7 8 12 3 2 3 2 3 5 4 2 3 62 2 24 3 4 0 5$ $ $ $ $ $- - + + [5]

{[ ( ) ] ( : ) } : ( : )4 2 5 18 6 4 3 3 5 80 8 282 2 23 0$ $ $ $- + + +- [5]

{[ ( ) ( ) : ] } : ( ) :2 17 2 3 2 6 24 2 3 4 2 33 1 62 2 2 22 3 0 32$ $ $+ - - + - - -- [2]

Dalle parole ai simboli

Espressioni con le parole e con i simboliTraduciamo la frase seguente in un’espressione e calcoliamone il valore.

«Moltiplica il quadrato della somma tra 2 e 4 per il quadrato della differenza tra 9 e 7 aumentato di 6.»

■■ Troviamo nella frase il verbo che indica l’operazione principale da eseguire.

Il verbo «moltiplica» indica l’operazione principale. Impostiamo allora una moltiplicazione di due fattori:

( ) $ ( ).

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92

93

94

95

I FONDAMENTALI

1

moltiplica per

29

ESERCIZI

1. Numeri naturali

■■ Scriviamo il primo fattore.

Il primo fattore è: «il quadrato della somma tra 2 e 4».Scriviamo la somma 2 4+ e poi eleviamo al quadrato:

( ) .2 4 2+

■■ Scriviamo il secondo fattore.

Il secondo fattore è: «il quadrato della differenza tra 9 e 7 aumentato di 6». Lo traduciamo in:

[( ) ] .9 7 62- +

Osserviamo che, se il testo fosse stato «il quadrato della differenza tra 9 e 7 aumentata di 6», la traduzione sarebbe stata:

( ) .9 7 6 2- +

■■ Determiniamo il valore dell’espressione.

Calcoliamo:

( ) [( ) ] [ ] .2 4 9 7 6 6 2 6 36 10 3602 2 2 2$ $ $+ - + = + = =

TRADUCI le frasi seguenti in espressioni e calcolane il valore.

Dividi per 6 la differenza tra 28 e il quadrato di 2. [4]

Sottrai a 15 il quoziente tra 20 e 4. [10]

Somma a 2 il prodotto tra 8 e 4. [34]

Somma il quoziente tra 16 e 2 con il prodotto tra 5 e 4. [28]

Moltiplica per 5 la differenza tra 8 e 6. Somma al risultato il prodotto tra 2 e 4. [18]

Moltiplica per 2 il prodotto tra la differenza tra 5 e 4 e il doppio di 6. Dividi il risultato per 8.

[3]

Somma 5 alla metà del rapporto tra 44 e il dop-pio di 11. [6]

Aggiungi il quadrato di 2 alla somma del cubo di 3 con 5. Dividi poi il risultato per il quadrato di 6. [1]

Sottrai alla somma tra 24 e 8 la somma tra 10 e 2. Dividi il risultato per 5, poi moltiplica per la semisomma di 6 con il quadrato di 2. [20]

Sottrai al quoziente fra 100 e 4 la somma di 2 con il quadrato di 3, poi dividi il risultato per 7. Eleva alla quarta potenza e calcola la differenza tra quello che ottieni e 10. [6]

Sottrai il quoziente tra la differenza di 35 con il cubo di 2 e il quadrato di 3 alla differenza fra 39 e la quinta potenza di 2. Moltiplica il risultato per il prodotto di 5 con la semidifferenza fra 14 e 10. [40]

Somma 2 al doppio prodotto tra la somma tra 5 e 4 e la differenza tra 8 e 5. Dividi il risultato per il prodotto tra 4 e 7 ed eleva l’espressione otte-nuta alla quinta potenza. [32]

Somma 5 alla differenza tra 15 e 10. Eleva il ri-sultato alla quarta potenza e poi dividilo per il quadrato del doppio di 10. [25]

La frase va scomposta in modo da determinare:• il verbo che indica l’operazione

da eseguire;• i due operandi.

somma

al quadratoal quadrato

Attenzione agli aggettivi!Va capito a cosa si riferiscono:«aumentato» riguarda il quadrato e non la differenza.

differenza


aumentato di 6aumentato di 6


differenzadifferenza

aumentata di 6aumentata di 6

96

97

98

99

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102

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ES

ER

CIZ

I


INVALSI 2011 Qual è l’espressione numerica che corrisponde alla frase: «Al 3 aggiungi il prodotto di 5 e 9, poi dividi per 6 e quindi sottrai 2»?

A [ ( )] : ( )3 4 9 6 2+ + + B :3 5 9 6 2$+ - C ( ) :3 5 9 6 2$ + - D ( ) :3 5 9 6 2$+ -

Dai simboli alle parole

▶▶ Traduciamo in parole l’espressione: : ( )1 8 14 4 3 3$+ - .

1 + … " «Somma a 1…

:1 8+ (… - …)3 " …il quoziente tra 8 e il cubo della differenza…

:1 8+ (14 - …)3 " …tra 14…

:1 8+ (14 4 3$- )3 " …e il prodotto tra 4 e 3»

TRADUCI in parole le seguenti espressioni.

2 3 5$+

:16 15 3-

:25 5 2 52$+

( : ) :15 5 3 62+

( )15 2 2 23$- +

( ) :11 3 2 5 2 5$- + +

[ ]20 23 2 32$- -

[ ( ) : ]5 2 3 122 2$+

( ) ( )8 2 2 32 3 2 8 2 2$ $-

Problemi INTORNO A NOI

Consideriamo il problema: «Laura ha 2 banconote da € 5 e 4 monete da € 2. Si ferma a pranzare e compra 2 tranci di pizza da € 2 ciascuno e una bottiglietta d’acqua da € 1. Nel pagare si accorge di avere in tasca anche altre tre monete da € 1. Quanto denaro resta a Laura?».

▶▶ Scriviamo l’espressione che permette di risolvere il problema e calcoliamo il suo valore.

2 2 12 5 4 2 3 1$$ $ $++ - -

Semplifichiamo l’espressione: 2 5 4 2 2 2 1 3 1 10 8 4 1 3 16$ $ $ $+ - - + = + - - + = .

A Laura restano 16 euro.

Risolvi i seguenti problemi scrivendo un’espressione e semplificandola.

Una pasticceria vende dei deliziosi amaretti ripieni in confezioni da tre. Quanti amaretti ha venduto in una giornata, considerando i dati in figura? [51]

inizio giornata:243 amaretti

fine giornata:64 confezioni

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COME SI FA

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COME SI FA

2 banconote da € 5da € 5

2 tranci 2 tranci da € 2da € 2

4 monete 4 monete da € 2da € 2

spendespende

bottiglietta bottiglietta da € 1da € 1

3 monete 3 monete da € 1da € 1

trovatrova

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31

ESERCIZI

1. Numeri naturali

Luca è in vacanza. Sa che tra un’ora deve uscire con gli amici, quindi pensa: «Ho un sacco di tempo! Posso giocare ai videogiochi per 40 minuti, suonare il basso per un po’, consultare un social network per 5 minu-ti. Poi farò la doccia in 3 minuti e uscirò». Quanto tempo ha Luca per suonare? [12 minuti]

Lucia, per gioco, vuole costruire una griglia come quella in figura con alcuni stuzzicadenti.Quanti ne servono per costruire una griglia con 20 quadretti di base e 12 di altezza? UN PASSO IN PIÙ Se ha a disposizione solo 500 stuzzicadenti, quante righe orizzontali da 20 quadretti riuscirà a completare? Quanti stuzzicadenti avanzeranno?

Giorgio parte per un’escursione, con la sua borraccia da un litro, insieme all’amico Marco. In base alle seguenti informazioni, quanta acqua rimane nella borraccia di Giorgio? [40 cL]

80 cLiniziali

beve metàacqua

aggiunge 60 cL a una fontana

beve 20 cL

cede metàacqua a Marco

EDUCAZIONE FINANZIARIA Ogni settimana Cristina fa 12 viaggi in autobus su un percorso urbano e 4 su uno extraurbano. Se il biglietto urbano costa € 1 e quello extraurbano € 2, quanto spende in un mese? (Considera il mese composto da 4 settimane.) [€ 80]

Un test viene valutato nel modo seguente: ogni risposta corretta vale 3 punti, ogni risposta sbagliata preve-de la sottrazione di un punto, mentre ogni risposta non data lascia inalterato il punteggio. Ludovica svolge la prova rispondendo correttamente a 7 domande, sbagliandone 3 e non rispondendo a 2 domande. Che punteggio ottiene? [18]

■ ESPRESSIONI LETTERALI → Teoria a pagina 4

Lettere e numeri

▶▶ Calcoliamo il valore dell’espressione letterale ( ) ( )a a b a4 2 3b2 1$- -

- quando

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a ab4 2 3 4 2 3 12 9 10 9 3 1 813 3 35b2 1 2 1 4 45"$ $ $ $ $ $ $- - - - = - - = =- -

Per ciascuna delle seguenti espressioni calcola il valore che si ottiene sostituendo alle lettere i numeri indicati.

( )a b c ab22$+ - ; a = 3, b = 2, c = 4. [55]

: ( )ab a b3 2 12- + ; a = 2, b = 3. [16]

( ) : ( )a a b3 3b+ + ; a = 12, b = 0. [5]

120

121

!!

122

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ATTIVITÀ INTERATTIVA

COME SI FA

a = 3 e b = 5.

sostituiamo3 ad a e 5 a b3 ad a e 5 a b

semplifichiamosemplifichiamol’espressionel’espressione

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ES

ER

CIZ

I


:a b a4 5b 22$ -

+ ; a = 25, b = 1. [95]

: ( ) ( ) : ( )b a b a b a3 1 3 5 22 2 2- + - - - ; a = 2, b = 5. [28]

Dalle parole ai simboli

▶▶ Scriviamo in simboli la frase seguente e calcoliamone il valore per a 3= e b 2= .

«Moltiplica la somma tra a e il doppio di b per il successivo del quadrato di a.»

«Moltiplica la somma… " (… + …) $…

…tra a e il doppio di b… " (a b2 $+ ) $…

…per il successivo… " (a b2 $+ ) $ (… 1+ )

…del quadrato di a» " (a b2 $+ ) $ (a 12+ )

Sostituiamo i valori a 3= e b 2= : ( ) ( ) ( ) ( )a ab2 1 2 13 322 2"$ $ $ $+ + + + .

Semplifichiamo l’espressione: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 1 3 4 9 1 7 10 702$ $ $ $+ + = + + = = .

TRADUCI Scrivi in forma simbolica le frasi seguenti e poi calcolane il valore per i numeri indicati.

Calcola il quadrato della quarta parte di un nu-mero x; x 20= . [25]

Sottrai al doppio di n la sua quarta parte;,n 20= n 28= . [35; 49]

Aggiungi al quadruplo di a il quintuplo di b;a 6= e b 10= , a 5= e b 2= . [74; 30]

Sottrai il triplo di x dalla terza parte di y;x 2= e y 30= , x 1= e y 15= . [4; 2]

Dividi la somma tra s e t per il successivo di t; s 5= e t 3= , s 1= e t 9= . [2; 1]

A b aumentato di 2 aggiungi la differenza dei cubi di c e b; c 2= e b 0= , c 4= e b 3= .

[10; 42]

Al quadruplo di x sottrai la differenza tra x e y aumentata di 2; x 8= e y 2= , x 10= e y 8= .

[24; 36]

Moltiplica il quadrato della differenza tra a e b per la differenza dei quadrati di a e b diminuita di 2.

a = 5, b = 4.

IN 3 PASSI

Individua il verbo che indica l’operazione da eseguire. Scrivi in forma simbolica i due termini dell’operazione inserendo ciascuno in una parentesi. Sostituisci i valori numerici assegnati e risolvi l’espressione.

Sottrai al triplo prodotto tra il quadrato di a e il doppio di b la somma tra a e 3; a 3= e b 2= , a 5= e .b 1= [102; 142]

Moltiplica il precedente e il successivo di un numero n; n 10= . [99]

Moltiplica il prodotto di a e b per il quoziente tra il triplo di a e la metà di b; a 2= e b 4= , a 1= e b 6= .[24; 6]

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ESERCIZI

1. Numeri naturali

Sottrai al triplo prodotto tra a e il suo successivo il quadrato di x; a 2= e x 4= , a 5= e x 5= .

[2; 65]

Dividi il prodotto tra a e il doppio di b per la somma tra a e il triplo di b; a 11= e b 0= , a 2= e b 2= . [0; 1]

Eleva al quadrato la differenza tra il triplo di x e il successivo del doppio di y; x 2= e y 1= , x 3= e y 4= . [9; 0]

Determina il doppio prodotto tra la differenza dei quadrati di due numeri x e y e il quadrato della loro differenza; x 4= , y 2= . [96]

Dai simboli alle parole

▶▶ Scriviamo la frase che descrive l’espressione ( ) ( : )a b a b2 22$+ .

L’operazione principale è la moltiplicazione di due fattori.

Descriviamo a parole il primo fattore: somma tra il quadrato di a e il doppio di b.

Descriviamo a parole il secondo fattore: quoziente tra il doppio di a e b.

Quindi la frase che descrive l’espressione è: «Moltiplica la somma tra il quadrato di a e il doppio di b per il quoziente tra il doppio di a e b».

TRADUCI Per ogni espressione scrivi la frase che la descrive.

( )a b3 13$ +

( )n 1 2+ ; [ ( )]a a 1 3

- .

:xy y2 33- ; :a b3 4 1+ .

( )a x3 3 2+ ; ( ) :a b 22 2

- .

Dalla figura ai simboli

▶▶ Scriviamo l’espressione letterale che corrisponde alla misura dell’area

colorata e calcoliamone il valore per a 27= , b 9= , c 18= , d 6= .

[( ) ( )] : ( ) : [( ) ( )] : ( ) :da ac cb 2 2 2 2627 2718 189"$ $ $ $+ + - + + -

Calcoliamo il valore dell’espressione ottenuta:

[( )( )] : ( ) : [ ] : :27 9 18 6 2 27 18 2 36 24 2 486 2 432 243 189$ $+ + - = - = - = .

Scrivi l’espressione letterale che corrisponde alla grandezza richiesta e calcolane il valore per i numeri indicati.

area (ABC)? area (HBC)?

a 3= , b 5= , c 4= .[16; 10]

cObW ?

x 145°=V , y 32°=V .

[113°]

perimetro (ABCD)? area (ABCD)?

x 4= , a 3= , b 5= .[20; 22]

area figura colorata?a 7= , b 6= , c 2= .

[81]

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COME SI FA

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COME SI FA

A B

C

E

D

c

b

d

a

area (ADE)area (ABC)area (ABC) a = 27, b = 9,a = 27, b = 9,c = 18, d = 6c = 18, d = 6

A

C

BHa b

c

149

aO

c

b

y

x

150

x

b

a

CD

BA

151

152

S

S

S

a

bc

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CAPITOLO NUMERI NATURALI 1 E NUMERI INTERI