I numeri naturali Proviamo a elencare aspetti della …montagnoli/GE/numeri naturali LM.pdfI numeri naturali Aspetto ordinale ASSIOMA 5. PRINCIPIO DI INDUZIONE. Se P(n) e una propriet

I numeri naturali

I numeri naturali

Proviamo a elencare aspetti della matematica legati ai numeri naturali

I numeri naturali

I numeri naturali

Molti matematici li hanno intesi come termini primitivi.

“I numeri naturali sono stati creati dal buon Dio, tutto il resto e operadell’uomo.” (Leopold Kronecker 1823-1891)

I numeri naturali

Successivamente, pero, e stato proposto di

1. derivarli dagli insiemi (proposta di Georg Cantor 1845-1918) oppure

2. costruirli a partire da altri termini primitivi (Giuseppe Peano1858-1932).

Le due costruzioni dell’insieme dei numeri naturali ne evidenziano i dueaspetti di significato:

1. aspetto cardinale: il numero indica quanti sono gli elementi di uninsieme senza tener conto di che cosa sono, indica una quantita.

2. aspetto ordinale: il numero indica quale posto occupa un datoelemento in un insieme ordinato.

I numeri naturali

Aspetto cardinale

Aspetto cardinale

DefinizioneDati due insiemi A e B si dice che sono equipotenti se esiste unafunzione biunivoca da A in B.

Dati A e B sottoinsiemi di U si introduce una relazioneR ⊆ P(U)× P(U) definita da:

ARB se e solo se A e equipotente a B.

Grazie a questa relazione possiamo classificare gli insiemi“raggruppandoli” a seconda dell’equipotenza (chiamiamo classi questi“gruppi” di insiemi equipotenti).

I numeri naturali

Aspetto cardinale

Definiamo:

I zero (con simbolo 0) la classe (d’equivalenza) dell’insieme vuoto,cioe la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all’insiemevuoto.

I uno (con simbolo 1) la classe (d’equivalenza) dell’insieme aventecome unico elemento ∅, cioe {∅}. E la classe che contiene tutti gliinsiemi equipotenti all’insieme {∅}.

I due (con simbolo 2) la classe (d’equivalenza) dell’insieme aventecome elementi ∅ e {∅} cioe {∅, {∅}}. E la classe che contiene tuttigli insiemi equipotenti all’insieme {∅, {∅}}.

I ...

I numeri naturali

Aspetto cardinale

DefinizioneChiamiamo insieme dei numeri naturali e lo indichiamo con N,l’insieme formato dai simboli ora descritti:

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }

I numeri naturali

Aspetto cardinale

Attivita. Gioco delle canoe

“Formate canoe da 4”.Quando tutte le canoe si sono formate si puo cantare una canzone nellaquale i bambini simulano l’azione del “vogare”.Al termine della canzone si puo riproporre la formazione di canoe con unanuova cardinalita. Ovviamente ad ogni partita tutte le canoe sarannoequipotenti.Puo accadere che il conduttore del gioco indichi una cardinalita rispettoalla quale restino esclusi dei bambini. Essi potranno rientrare in gioconella sfida successiva.

I numeri naturali

Aspetto ordinale

Aspetto ordinale

Introduzione assiomatica di G.Peano (1858-1932): non dice cos’e unnumero naturale ma si spiega qual e il suo comportamento in relazionead altri enti.

Assumiamo come termini primitivi dell’assiomatica di Peano:

I numero, che indicheremo con le lettere minuscole n,m,... ;

I zero, che indicheremo con 0;

I successore, che indicheremo con S( );

I uguaglianza, che indicheremo con =.

I numeri naturali

Aspetto ordinale

Chiamiamo insieme dei numeri naturali un qualsiasi insieme chesoddisfi i seguenti assiomi:

ASSIOMA 1. Zero e un numero (0 ∈ N).

ASSIOMA 2. Il successore di ogni numero e ancora un numero.

ASSIOMA 3. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora anche idue numeri sono uguali

ASSIOMA 4. Lo Zero non e successore di alcun numero.

I numeri naturali

Aspetto ordinale

ASSIOMA 5. PRINCIPIO DI INDUZIONE.Se P(n) e una proprieta che coinvolge un numero naturale n, dalle ipotesiche:

I P(n) vale per 0

I se vale per un qualsiasi n implica che essa vale anche per Sn,

allora la proprieta vale per ogni numero naturale.

OsservazioneL’assioma di Induzione permette di dimostrare proprieta che valgono pertutti i numeri naturali (che sono infiniti) facendo un numero di“verifiche” finito.

I numeri naturali

Aspetto ordinale

AttivitaSi osservi la seguente scheda la cui consegna e “In quale fila ti inserirestiper giocare il prima possibile?”

I numeri naturali

Aspetto ordinale

AttivitaSi osservi la seguente scheda sui numeri ordinali.

I numeri naturali

Aspetto ordinale

Quali sono gli aspetti su cui insistere nella scuola primaria?

I i numeri naturali indicano quantita, si usano per contare(Fondamentale acquisire questo significato! 2 + 1 = 21?)

I i numeri naturali indicano la posizioneI N e un insieme infinito

Albergo di Hilberthttps://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4

I ciascuno (n) ha un successivo (n + 1) e un precedente (n − 1)(tranne 0, che non ha precedente)

I sono rappresentabili su una semiretta e costituiscono un insiemediscreto

I N e ordinato, cioe e possibile definire su N una relazione (<) checonsenta di stabilire se, per ogni a, b ∈ N, a < b.

https://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4

Sistemi di numerazione

6.3 Sistemi di numerazione


Ascoltiamo la canzone ed individuiamo elementi positivi e negativi dellaproposta didattica...

https://www.youtube.com/watch?v=jXjvjadQig0.

https://www.youtube.com/watch?v=jXjvjadQig0


Abbiamo l’esigenza di avere un nome ed un simbolo per rappresentareciascun numero e poterlo distinguere da tutti gli altri.

Nella scuola primaria e necessario curare l’acquisizione del complessoconcetto di numero naturale, sia la capacita di rappresentarlo nel sistemadi scrittura decimale, con riferimanto al valore posizionale delle cifre e alsignificato dell’uso dello zero.


Aspetti necessari per affrontare questa questione:

I L’insieme dei numeri naturali N ha infiniti elementi

I Quanti simboli scelgo per riuscire a descrivere tutti gli elementi diN?

I E impossibile riuscire a ricordare infiniti simboli e infiniti nomi.


Nella storia della matematica si e cercato piu di un modo per nominaretutti i numeri mediante pochi vocaboli e rappresentarli mediante pochisimboli opportunamente combinati fra loro.

Attraverso l’elaborazione di un sistema di numerazione si cerca di farfronte al duplice problema:

I stabilire i termini (nomi e simboli) di partenza

I stabilire le regole di combinazione dei termini


Definizione

Un sistema di numerazione e una struttura costituita da:

1. un alfabeto, cioe un insieme finito non vuoto di simboli (detti cifre)e dei relativi nomi

2. una sintassi, cioe un insieme finito e non vuoto di regole mediantele quali si combinano i simboli dell’alfabeto per scrivere e leggere inumeri.


Esempio. IL SISTEMA DI NUMERAZIONE ROMANO:

1. CIFRE: {I ,V ,X , L(cinquanta),C ,D(cinquecento),M}. E lo zero?

2. SINTASSI la seguente:I ogni cifra posta immediatamente a destra di una cifra di valore

maggiore o uguale, si aggiunge a questa:

XVI = dieci + cinque + uno =sedici

I ogni cifra posta immediatamente a sinistra di una cifra di valoremaggiore si sottrae a questa:

IV = cinque-uno = quattro

I ogni cifra posta fra due di valore ad essa maggiore, si sottrae a quelladi destra:

XIV = dieci + cinque - uno = quattordici

I le unita di classi superiori vengono sopralineate una volta pertrasformarle in migliaia e due volte per trasformarle in milioni:

IIXIV= duemilaquattordici¯I D=unmilionecinquecentomila


Osservazione

I Il nome dato ai numeri dipende dalla lingua in cui questi sono usati.

I La questione dei simboli usati per indicare i numeri e universale

I noi ci occuperemo quindi della sola questione simbolica.

EsempioNella lingua italiana e quella inglese, per esempio, ci sono nomi ineditiper per indicare i numeri da 0 a 9, mentre le regole di formulazione deglialtri numeri sono proprie di ciascuna lingua.

2, due, two20, venti, twenty

8, otto, eight80, ottanta, eighty.


TEOREMA

Fissata una base b, ogni numero naturale a puo essere scritto in modounico (a meno dell’ordine) nella forma:

a = an × bn + an−1 × bn−1+. . . +a1 × b1 + a0 × b0

dove an, an−1, . . . , a1, a0 sono numeri minori di b.

Regola di sintassi

(conseguenza del teorema precedente)

Ogni numero naturale si rappresenta accostando da sinistra a destrasoltanto i coefficienti della scrittura polinomiale tralasciando le potenze dib:

a = anan−1 . . . a1a0;

la successione di cifre da la rappresentazione del numero in base b.


Esempio (base dieci)Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

centrotrentacinque = 1 · 102 + 3 · 101 + 5 · 100 =

(Regola di sintassi) = 135

Esempio (base quattro)Cifre: 0, 1, 2, 3. Potenze di quattro:

... 44 = 256 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1

centrotrentacinque = 2 · 43 + 0 · 42 + 1 · 41 + 3 · 40 =

(Regola di sintassi) = 2013

Cambia la scrittura, non la quantita, percio il numero in questionee lo stesso.


Si stabilisce in particolare che:

1. b unita semplici (dette unita del I ordine) formano un’unita del IIordine;

2. b unita del II ordine formano un’unita del III ordine;

3. b unita di un certo ordine formano un’unita dell’ordineimmediatamente successivo.

OsservazioneNel nostro sistema di numerazione:

I 10 unita semplici formano una decina (1 da)

I 10 decine formano un centinaio (1 h)

I 10 centinaia formano un migliaio (1 K)

I . . .


Il passaggio da b unita dell’ordine precedente ad una nuova unitadell’ordine successivo e un salto concettuale notevole poiche b unitaperdono la loro molteplicita dando vita ad un nuovo ente nel quale essesvaniscono.

Nella scuola primaria, quindi, il passaggio dal numero 9 al 10, dal 99 al100, . . . , sono da curare con grande attenzione didattica e con materialeappositamente predisposto.


I sistemi di numerazione che assumono questa convenzione sono dettisistemi di numerazione posizionali, dato che ogni cifra ha:

I un valore intrinseco assoluto, in quanto rappresenta un determinatonumero

I un valore relativo che dipende dalla posizione occupata dalla cifraall’interno della successione che rappresenta il numero.


AttivitaNella seguente scheda di scuola primaria ...


La base comunemente fissata e b = 10 (sistema di numerazioneposizionale decimale) e cio significa che:

1. si hanno a disposizione dieci cifre per indicare i numeri da 0 a 9; isimboli utilizzati sono detti cifre indo-arabe:{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. la successione delle cifre da i coefficienti di un polinomio ordinatosecondo le potenze decrescenti di 10

3. 10 unita di un certo ordine formano 1 unita dell’ordineimmediatamente successivo.


Esempio

I Il numero in base 10 scritto 129 e l’abbreviazione della scrittura:1× 102 + 2× 101 + 9× 100

I Considerando il 3 nei numeri 3200, 13, 839 in base 10, si ha che nelprimo numero si tratta di 3 migliaia, nel secondo di 3 unita e nelterzo di 3 decine.


OsservazioneIn alcune situazioni legate alla quotidianita la base scelta per scrivere inumeri naturali e diversa dalla base 10:

I per indicare il tempo, la base rispetto alla quale indicare ore, minutie secondi e la base 60

I per indicare l’ampiezza in gradi degli angoli, la base scelta e 60

I in informatica si usa la base 2 (sistema binario) e la base 16 (sistemaesadecimale)


Attivita Dalle prove INValSI:

Risposte Italia: A 40,2 % B 12% C 45,5% NR 2,3


Approfondimento: come scrivevano i numeri i Maya?

6.3.1 Come scrivevano i numeri i Maya?

Sistema di numerazione posizionale Maya.Osserviamo la seguente tavola dove vengono descritti i simboli utilizzatifino al 19 e la traduzione in sistema decimale:

Si osservi come vengono scritti il numero 20, 40 e il 100.



Sistema posizionale verticale la cui azione e descritta dalla seguentetabella.

Ogni livello corrisponde ad una potenza successiva del numero 20.



Si noti l’eccezione fra i secondo e il terzo livello, dove, per ottenere ilnumero 360, numero di giorni in un anno (cosı era l’anno Maya), simoltiplica 20× 18 e non 20× 20.

Dal terzo al quarto livello si ripete invece la moltiplicazione per 20, cioe360× 20 = 7200, cosı come fra i livelli successivi.

Documents

I numeri naturali Proviamo a elencare aspetti della …montagnoli/GE/numeri naturali LM.pdfI numeri naturali Aspetto ordinale ASSIOMA 5. PRINCIPIO DI INDUZIONE. Se P(n) e una propriet