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. Livio Pizzocchero APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA DEL CONTINUO (corso di laurea in Informatica Musicale) Capitolo 2 Numeri interi, razionali, reali: approfondimenti. Spazi R n (Note in continua evoluzione) 1

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Livio Pizzocchero

APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA DEL

CONTINUO

(corso di laurea in Informatica Musicale)

Capitolo 2Numeri interi, razionali, reali:

approfondimenti. Spazi Rn

(Note in continua evoluzione)

1

2

3

4

5

6

7

8

Indice

1 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI NATURALI. 21

Notazioni di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21La somma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Somme multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Il prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Prodotti multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Una nuova operazione: lelevamento a potenza . . . . . . . . . . 30Un problema che non ha sempre soluzione in N: la sottra-

zione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ordinamento dei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Un altro problema che non ha sempre soluzione in N: la

divisione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Problema della divisione con resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Rappresentazione in base dieci per i numeri naturali. . . . . . 38Rappresentazione in base arbitraria per i naturali. . . . . . . 39Numeri primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Curiosita sui numeri primi. La congettura di Goldbach . . 50Principio di induzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 APPROFONDIMENTI SUGLI INTERI RELATIVI. 60

Z e le operazioni di somma e prodotto. . . . . . . . . . . . . . . . . 60Lopposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Nozione generale di anello. Z e un anello commutativo. . . . 63Gli anelli commutativi Zm. Aritmetica modulare. . . . . . . 65Fatti generali sugli anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Nozione generale di anello ordinato. L esempio di Z. . . . . 71Altri fatti sugli anelli ordinati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Se m > 2, lanello Zm non e ordinabile. . . . . . . . . . . . . . . . 76Non risolvibilita in Z del problema della divisione . . . . . . . 77

9

3 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI RAZIONALI 78

Definizione dei razionali come classi di equivalenza . . . . . . . 78Linclusione Z Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Sulla notazione per i razionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Somma, prodotto e opposto in Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Il reciproco. Risolvibilita del problema della divisione per

un razionale non nullo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Concetto generale di campo. Q come esempio di campo. . . 86Fatti generali sui campi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Campi ordinati. Lesempio di Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Alcuni fatti sui campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Lunghezze dei segmenti, e razionali non negativi . . . . . . . . 93Numeri razionali e punti della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Un risultato di densita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100I numeri razionali come allineamenti di cifre: introduzione 101Allineamenti decimali finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Allineamenti decimali infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Calcolo della rappresentazione decimale di un razionale. . . 110Fatti elementari sulla rappresentazione decimale. . . . . . . . 119Impossibilita delle rappresentazioni decimali con periodo 9 122Qualunque allineamento periodico di periodo 6= 9 e la rap-

presentazione decimale di un x Q+ . . . . . . . . . . . . . . 125Identificazione di qualunque x Q+ con la sua rappresen-

tazione decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Sulla rappresentazione di un x Q+ come rapporto di

naturali, nota la sua rappresentazione decimale. . . . . . . 129Rappresentazione decimale di un razionale negativo . . . . . . 134Una caratteristica di incompletezza di Q emergente dallo

studio delle rappresentazioni decimali. . . . . . . . . . . . . . . 135Il problema della radice quadrata nei razionali. Una nuova

manifestazione di incompletezza di Q. . . . . . . . . . . . . . . 136

10

Unaltra manifestazione di incompletezza di Q: i numerirazionali non bastano per misurare le lunghezze di tuttii segmenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Esistono punti della retta che non hanno ascissa razionale . 141Sottoinsiemi separati ed elementi separatori negli insiemi

ordinati. Completezza di un insieme ordinato . . . . . . . . 143Q e un insieme ordinato non completo. . . . . . . . . . . . . . . . . 154Una digressione: morfismi e isomorfismi di anelli (o di cam-

pi), e di anelli (o campi) ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Z e immerso in ogni anello, Q e immerso in (quasi) ogni

campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI REALI 182

Definizione di R come campo ordinato completo . . . . . . . . 182Un punto di vista definitivo su R. Limmersione di Q in R. 188Gli irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Alcuni fatti su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Parte intera di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Mantissa di un numero reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Risultati di densita per razionali e irrazionali . . . . . . . . . . . 206La corrispondenza biunivoca tra R+ e linsieme delle lun-

ghezze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Numeri reali e punti della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Rappresentazione decimale di un numero reale non negativo.221Ogni allineamento decimale (che non abbia periodo 9) e la

rappresentazione decimale di un reale non negativo. . . . 228Identificazione di qualunque x R+ con la sua rappresen-

tazione decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Parte intera e mantissa di un x R+ dalla rappresentazione

decimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Rappresentazione decimale di un numero reale negativo . . 235Il teorema di Cantor sulla non numerabilita di R. . . . . . . . 236

11

Il problema della radice quadrata (di un reale non negativo)ha sempre soluzione in R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Valore assoluto di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Gli insiemi {|x x0| < }.Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Massimo e minimo di un sottoinsieme A di R . . . . . . . . . . 260Estremo superiore di un sottoinsieme di R. . . . . . . . . . . . . . 266Estremo inferiore di un sottoinsieme di R. . . . . . . . . . . . . . 279Qualche complemento sullestremo superiore e inferiore. . . 291Un primo incontro con la topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Parte interna, frontiera ed esterno di un sottoinsieme A di

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Sottoinsiemi aperti di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316La parte interna di ogni sottoinsieme di R e un aperto

(cos come la parte esterna) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Sottoinsiemi chiusi di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Chiusura di un sottoinsieme di R. Nozione di punto aderente331Un complemento: estremo superiore, estremo inferiore e

chiusura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Sottoinsiemi densi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Sottoinsiemi limitati di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Sottoinsiemi compatti di R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Punti di accumulazione. Insieme derivato. . . . . . . . . . . . . . 352Punti isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5 LA FORMULA DEL BINOMIO 364

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Qualche identita relativa alle sommatorie. . . . . . . . . . . . . . 365Deduzione della formula del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

6 ALCUNI FATTI RELATIVI A R2 E ALLA SUA CORRISPONDENZA

CON IL PIANO. 381

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Rappresentazione cartesiana della retta. . . . . . . . . . . . . . . . 383

12

La distanza tra due punti del piano, in termini delle lorocoordinate cartesiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

La funzione distanza tra punti del piano e le sue proprieta. 403Circonferenze e dischi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Nozione di intorno di un punto di R2. Punti interni, esterni

e di frontiera di un sottoinsieme di R2. . . . . . . . . . . . . . 409Sottoinsiemi aperti di R2. La parte interna di un sottoin-

sieme di R2 e un aperto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Sottoinsiemi chiusi di R2. Chiusura e punti aderenti per

un sottoinsieme di R2. Sottoinsiemi densi. . . . . . . . . . . 418Sottoinsiemi limitati di R2. Sottoinsiemi compatti. . . . . . . 423Punti di accumulazione per un sottoinsieme di R2. Insieme

derivato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Punti isolati di un sottoisieme di R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

7 QUALCHE FATTO SU R3. CENNI SU Rn PER n ARBITRARIO. 428

Un richiamo: la corrispondenza tra R3 e lo spazio ordinarioindotta da un terna di assi cartesiani. . . . . . . . . . . . . . . 428

La distanza tra punti dello spazio ordinario. . . . . . . . . . . . . 430Sfere nello spazio ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433Nozione di intorno di un punto di R3. Aperti e chiusi in

R3, ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Lo spazio Rn: distanza tra due punti, ipersfere, intorni,

aperti, chiusi... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

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20

1 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI NATURA-

LI.

Notazioni di base.

Come gia convenuto, si chiamano naturali i numeri 0, 1, 2, 3, ...,

e si indica con N linsieme di questi numeri. Dunque

N := {0, 1, 2, 3, ....} . (1.1)

Nel seguito, usereremo anche la notazione

N := N \ {0} = {1, 2, 3, ...} . (1.2)

Linsieme N porta due operazioni fondamentali, la somma e il

prodotto, di cui parleremo qui di seguito.

La somma.

Questa e una applicazione

+ : N N N , (1.3)

(m,n) 7 m + n ,

dotata delle proprieta descritte qui di seguito.

21

La somma e commutativa: per ogni m,n N,

m + n = n + m . (1.4)

La somma e associativa: per ogni m,n, p N,

(m + n) + p = m + (n + p) . (1.5)

La somma possiede un elemento neutro, che e lo zero. Con cio

si intende che, per ogni m N,

m + 0 = 0 + m = m . (1.6)

Vale la seguente legge di cancellazione : se m,m, p N,

m + p = n + p m = n (1.7)

(si ricordi che significa: equivale).

Somme multiple

Per via della associativita, una espressione come

m + n + p

e non ambigua: essa indica sia il numero (m+n)+p che il numero

m + (n + p).

22

Considerazioni simili si possono fare per somme coinvolgenti quat-

tro o piu numeri naturali. Ad esempio, se m,n, p, q N, i

numeri

((m + n) + p) + q, (m + (n + p)) + q,m + ((n + p) + q), ecc.

sono tutti tra loro uguali, e si possono indicare con

m + n + p + q .

Generalizzando queste considerazioni, per ogni k {1, 2, ...} si

puo definire in modo non ambiguo la somma di k numeri naturali

n1, ..., nk (k = 1, 2, 3, ...), che si indica con

n1 + ... + nk . (1.8)

Se k = 1, questa espressione indica semplicemente in numero n1.

Per vari motivi, e conveniente estendere la definizione di somma

multipla al caso k = 0, intendendo

n1 + ... + nk := 0 se k = 0. (1.9)

Per indicare una somma multipla n1 + ... + nk, si usa spesso la

notazione alternativaki=1

ni , (1.10)

23

che si legge cos : somma degli ni, per i da 1 a k. Lespressione

appena scritta si chiama anche una sommatoria, e

si chiama

il simbolo di sommatoria. Questa notazione e spesso utile: la

impiegheremo non solo per i numeri naturali, ma anche per altri

tipi di numeri (razionali, reali, complessi), considerati in seguito.

Naturalmente, la proprieta commutativa della somma implica

n(1) + ... + n(k) = n1 + ... + nk (1.11)

per ogni permutazione di {1, ..., k}.

Ora consideriamo un arbitrario insieme I di cardinalita finita k,

ed una famiglia (ni)iI di numeri naturali. PorremoiI

ni := ni1 + ... + nik (1.12)

dove si considera una qualunque biiezione {1, ..., k} I , 1 7 i1,

..., k 7 ik; la somma non dipende dalla biiezione scelta, pro-

prio per la proprieta commutativa. Il simbolo

iI ni si legge:

somma degli ni, al variare di i in I.

24

Infine, se abbiamo una successione infinita n1, n2, n3, ... di numeri

naturali, e ni 6= 0 solo per un numero finito di indici i1, ..., ik,

porremo (1)

n1 + n2 + ... +i=1

ni := ni1 + ni2 + ... + nik . (1.13)

Qui compare il simbolo di infinito, che in seguito useremo spes-

so; lespressione+

i=1 ni si legge somma degli ni, per i da 1 a +

infinito.

Ancora piu in generale, se e data una famiglia (ni)iJ di numeri

naturali, indiciata da un insieme infinito J ma con ni 6= 0 solo

per i in un insieme finito I , porremoiJ

ni :=iI

ni . (1.14)

1Il simbolo e usato spesso per indicare che due espressioni (in questo caso n1 +n2 + ... e+

i=1 ni)

denotano, per definizione, lo stesso oggetto (in questo caso, la somma ni1 + ni2 + ...+ nik).

25

Il prodotto

Questa e una applicazione

N N N , (1.15)

(m,n) 7 mn

(spesso indicata anche con m n o m n) che si puo definire in

termini della somma, nel modo seguente:

mn := n + n + ... + n m volte

. (1.16)

Per m = 0, nel secondo membro di questa equazione figura una

somma con zero addendi, che e nulla per definizione: dunque

0n = 0 . (1.17)

Ecco le principali proprieta del prodotto.

Il prodotto e commutativo e associativo: per ogni m,n, p N.

mn = nm (1.18)

(mn)p = m(np) (1.19)

26

Il prodotto possiede un elemento neutro, che e lunita. Con cio

si intende che, per ogni m N,

1m = m1 = m. (1.20)

Il prodotto e distributivo (sia a sinistra che a destra) rispetto alla

somma (2): per ogni m,m, p N,

(m + n)p = mp + np , (1.21)

p(m + n) = pm + pn . (1.22)

Vale la seguente legge di cancellazione : se m,m, p N e p 6= 0,

mp = np m = n . (1.23)

Prodotti multipli

Per via della associativita, sono non ambigue espressioni come

mnp, mnpq, coinvolgenti 3 o 4 numeri naturali.

Piu in generale e ben definito il prodotto di k numeri naturali

n1, ..., nk (k = 1, 2, 3, ...), che si indica con

n1...nk . (1.24)

Se k = 1, questa espressione indica semplicemente in numero

n1. La definizione dei prodotti multipli si estende al caso k = 0,2In effetti, la distributivita a sinistra (1.22) segue dalla distributivita destra (1.21) e dalla proprieta

commutativa del prodotto

27

intendendo

n1...nk := 1 se k = 0 (1.25)

(questa convenzione era gia stata usata nel Capitolo 1).

Per indicare il prodotto multiplo n1...nk, si usa spesso la notazione

alternativaki=1

ni , (1.26)

che si legge cos : prodotto degli ni, per i da 1 a k. Lespressione

appena scritta si chiama anche una produttoria, e

si chiama il

simbolo di produttoria. Come le sommatorie, anche le produttorie

si usano non solo nellambito di N, ma anche degli altri insiemi

numerici di cui ci occuperemo in seguito.

La proprieta commutativa del prodotto implica

n(1)..n(k) = n1...nk (1.27)

per ogni permutazione di {1, ..., k}.

Ora consideriamo un arbitrario insieme I di cardinalita finita k,

ed una famiglia (ni)iI di numeri naturali. PorremoiI

ni := ni1...nik (1.28)

dove si considera una qualunque biiezione {1, ..., k} I , 1 7

i1, ..., k 7 ik; il prodotto non dipende dalla biiezione scelta,

28

proprio per la proprieta commutativa. Il simbolo

iI ni si legge:

prodotto degli ni, al variare di i in I.

Infine, se abbiamo una successione infinita n1, n2, n3, ... di numeri

naturali, e ni 6= 1 solo per un numero finito di indici i1, ..., ik,

porremo

n1n2... +i=1

ni := ni1ni2...nik . (1.29)

Qui e comparso di nuovo il simbolo di infinito; lespressione+i=1 ni si legge prodotto degli ni, per i da 1 a + infinito).

Ancora piu in generale, se e data una famiglia (ni)iJ di numeri

naturali, indiciata da un insieme infinito J ma con ni 6= 1 solo

per i in un insieme finito I , porremoiJ

ni :=iI

ni . (1.30)

29

Una nuova operazione: lelevamento a potenza

Dati due naturali n, k, definiamo

nk := n...nk volte

. (1.31)

(Ad esempio: 23 := 2 2 2 = 8). Si dice che nk e la potenza

k-esima di n, o la potenza di n con esponente k. Per k = 0,

la definizione (1.31) coinvolge un prodotto di zero elementi che

abbiamo posto uguale ad 1 per definizione, dunque

n0 = 1 . (1.32)

Dalla definizione data, e facile dedurre che

nhnk = nh+k (1.33)

(nh)k = nhk (1.34)

per ogni n, h, k N. (3)

3Questo vale anche se h = 0 o k = 0. Ad esempio, se h = 0, la relazione (1.33) prende la forma

nk = n0nk, una uguaglianza chiaramente vera perche n0 = 1. Da qui si comprende perche e conveniente

definire n0 = 1 e, piu in generale, perche e utile definire uguale ad 1 un prodotto di 0 fattori. La buona

matematica funziona sempre cos : le definizioni non vengono date a caso, ma scelte in modo tale che

da esse si possano dedurre dei risultati interessanti.

30

Un problema che non ha sempre soluzione in N: la

sottrazione.

Consideriamo due numeri naturali n,m.

1.1 Definizione. Il problema della sottrazione da n di m e

il seguente:

?d N tale che n = m + d . (1.35)

(? significa: trova). Un d come sopra si chiama una soluzione

del problema (in N).

Fin dai primi anni di scuola, si impara quanto segue:

i) Dati n,m, il problema puo avere o non avere soluzione. Ad

esempio, il problema 5 = 2 + d ha soluzione d = 3, mentre il

problema 5 = 7 + d non ha soluzione.

ii) La soluzione d del problema, se esiste, e unica. Essa si chiama

la differenza tra n ed m, e si indica con nm.

31

Nello studio degli insiemi numerici (come N), quando si incontra

un problema non sempre risolvibile si usa tipicamente questa stra-

tegia: ampliare linsieme numerico, in modo che il problema

sia sempre risolvibile nellinsieme numerico ampliato.

Se il problema e quello della sottrazione in N, lampliamento

di N in cui il problema e sempre risolvibile e linsieme Z =

{...,2,1, 0, 1, 2, ...} degli interi relativi, su cui torneremo.

Ad esempio il problema 5 = 7 + d, non risolvibile in N, possiede

in Z una ed una sola soluzione d = 2.

32

Ordinamento dei numeri naturali

Ricordiamo che N sta per N \ {0}.

1.2 Definizione. Siano m,n N.

Diciamo che m e minore di n, e scriviamo m < n, se esiste d N

tale che n = m+ d (cioe, se il problema della sottrazione da n di

m ha una soluzione non nulla).

A proposito di m (n e maggiore di m) se

33

m < n e n > m (n e maggiore uguale ad n) se n > m oppure

n = m; e chiaro che n > m se e solo se m 6 n.

Le relazioni definite sopra soddisfano delle condizioni di compati-

bilita con le operazioni di somma e prodotto. Piu specificamente,

indicando con m,n, p degli arbitrari elementi di N:

m < n m + p < n + p ; (1.37)

se p 6= 0 , m < n pm < pn ; (1.38)

m 6 n pm 6 pn ; (1.39)

se p 6= 0 , m 6 n pm 6 pn (1.40)

34

Un altro problema che non ha sempre soluzione in N:

la divisione.

Consideriamo due numeri naturali n,m.

1.3 Definizione. Il problema della divisione di n per m e il

seguente:

?q N tale che n = mq . (1.41)

Se il problema (1.41) ha una soluzione q N si dice che m divide

n, o che m e un divisore di n.

Fin dai primi anni di scuola, si impara quanto segue:

i) Il problema puo avere o non avere soluzione. Ad esempio, il

problema 6 = 2q ha soluzione q = 3, mentre il problema 7 = 2q

non ha nessuna soluzione q (in N).

ii) Se n 6= 0 e m = 0, il problema non ha soluzione (non ce nessun

q tale che n = 0q). In altri termini, un n 6= 0 non si puo dividere

per zero.

iii) Se n = m = 0, il problema ha come soluzione qualunque

q N (perche 0 = 0q per ogni q).

iv) Sia m 6= 0. Se n = mq ha una soluzione q, questa e unica.

35

1.4 Definizione. Se m 6= 0 e il problema n = mq ha soluzione,

la soluzione q si chiama il quoziente tra n ed m e si indica anche

conn

m(o n/m, o n : m).

Ad esempio, essendo 6 = 2 3 possiamo scrivere 6/2 = 3. (Ov-

viamente, essendo anche 6 = 3 2 possiamo dire che 6/3 = 2)

Abbiamo gia detto che, nello studio degli insiemi numerici (come

N), per rendere un problema sempre risolvibile si cerca di amplia-

re linsieme numerico di partenza. Se il problema e quello della

divisione, lampliamento che raggiunge lo scopo e linsieme Q dei

numeri razionali (o delle frazioni, su cui torneremo); qui si puo

dividere per qualunque mumero non nullo.

Ad esempio il problema 7 = 2q non ha soluzione q N, ma

possiede in Q una (ed una sola) soluzione q =7

2.

36

Problema della divisione con resto.

E una versione piu generale del problema della divisione, sempre

risolvibile in N. Per formularlo, consideriamo n,m N con m 6=

0.

1.5 Definizione. Il problema della divisione di n per m con

resto e il seguente:

?(q, r) N N tale che n = mq + r, r < m. (1.42)

Si dimostra che questo problema ha sempre una ed una soluzione

(q, r). Si dice che q e il quoto, ed r il resto (relativamente alla

coppia (n,m)); si dice anche che m divide n a meno di un resto

r. (Ad esempio il problema 7 = 2q+ r, r < 2 ha lunica soluzione

q = 3, r = 1; 3 e il quoto, 1 il resto).

Naturalmente, m divide n nel senso di pag. 35 (cioe n = mq per

qualche q) se e solo se m divide n a meno di un resto r = 0.

37

Rappresentazione in base dieci per i numeri naturali.

Fin dalle scuole elementari, noi impariamo a rappresentare i nu-

meri naturali in base dieci; in sostanza, le cose funzionano cos.

Fissiamo lattenzione sui numeri naturali da 0 a dieci meno uno,

cioe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che chiamiamo cifre. Cio premes-

so, sia k {0, 1, 2, 3, ...} e consideriamo una famiglia di cifre

ck, ck1, ., c1, c0 {0, 1, ..., 9}, con ck 6= 0 se k 6= 0. Definiamo

ck c0 := ck diecik+ck1 diecik1+ ...+c1 dieci1+c0 dieci0 =

= ck diecik + ck1 diecik1 + ... + c1 dieci + c0 . (1.43)

In particolare,

10 := 1 dieci + 0 = dieci ; (1.44)

per questo motivo, la definizione precedente si puo riscrivere cos:

ck c0 := ck 10k + ck1 10k1 + ... + c1 10 + c0 . (1.45)

Ecco alcuni esempi:

100 := 1 102 + 0 10 + 0 = 102 . (1.46)

234 := 2 102 + 3 10 + 4 = 2 100 + 3 10 + 4 . (1.47)

(Naturalmente, questi due numeri si chiamano cento e duecen-

totrentaquatro).

Si dimostra che ogni numero naturale ha una ed una sola rappre-

sentazione in base dieci (questa affermazione e un caso particolare

38

di una affermazione piu generale, relativa alla rappresentazione in

base qualunque di cui parleremo qui di seguito).

Rappresentazione in base arbitraria per i naturali.

Generalizzando quanto detto nel paragrafo precedente, si puo in-

trodurre la rappresentazione dei naturali rispetto ad una base

qualunque b {2, 3, 4, ...} (4). Per farlo, fissiamo lattenzione

sui numeri naturali da 0, 1, 2, ..., b 1, che chiamiamo le cifre

della rappresentazione in base b.

Cio premesso, sia k {0, 1, 2, 3, ...} e consideriamo una famiglia

di cifre ck, ck1, ..., c1, c0 {0, 1, ..., b 1}, con ck 6= 0 se k 6= 0.

Definiamo

ck c0|b := ck bk + ck1 bk1 + ... + c1 b1 + c0 b0 =

= ck bk + ck1 bk1 + ... + c1 b + c0 . (1.48)

In particolare,

10|b := 1 b + 0 = b ; (1.49)

Per b = dieci, si ritrovano le costruzioni della pagina precente.

Trattando questo caso, si omette il simbolo |dieci (come avevamo

fatto alla pagina precedente).4Nota storica: questa idea e molto antica. Tanto per fare un esempio, il sistema sessagesimale

dei babilonesi si puo mettere in relazione con la rappresentazione in base sessanta. Nel 1600 ce gia

una visione matura sullargomento, in particolare nellopera del vescovo e matematico spagnolo Juan

Caramuel Lobkowitz (1606-1682); di poco successivi agli studi di Caramuel sono quelli di Gottfried

Leibniz, menzionati nella nota di pag. 42.

39

Esempio. Scegliamo la base b = 5 (in cui le cifre sono 0, 1, 2, 3, 4)

e determiniamo il numero 2104|5 convertendolo alla base dieci.

Risulta

2104|5 = 253+152+05+4 = 2125+125+4 = 250+25+4 = 279 .

Qualunque sia la base b, si dimostra che ogni numero natura-

le n ha una ed una sola rappresentazione n = ck c0|b. Le

cifre ck, ..., c0 si determinano dividendo ripetutamente per b, e

riportando il quoto e il resto.

Esempio. Consideriamo il numero trecentoquarantasei, con rap-

presentazione in base dieci 346, e troviamo la sua rappresentazione

in base 5. Si procede cos :

346 = 5 69 + 1 (divido 346 per 5; il quoto e 69, il resto 1)

= 5 (5 13 + 4) + 1 (divido 69 per 5; il quoto e 13, il resto 4)

= 5 5 13 + 5 4 + 1 (svolgo le parentesi)

= 55(52+3)+54+1 (divido 13 per 5; il quoto e 2, il resto 3)

= 5 5 5 2 + 5 5 3 + 5 4 + 1 (svolgo le parentesi)

= 2 53 + 3 52 + 4 5 + 1 .

Dunque,

346 = 2341|5 .

40

Di solito, per rendere piu veloci questi calcoli si costruisce una

tabella a due colonne, dove la colonna di sinistra parte dal nu-

mero dato (qui 346) e contiene i quoti delle successive divisioni

per 5, mentre la colonna di destra contiene i resti. Si continua

finche si trova come quoto lo zero; a questo punto la lista dei resti,

letta dallultimo al primo, fornisce la rappresentazione nella base

desiderata. Nellesempio in esame, la cosa funziona cos :

346

69 1 (346 = 5 69 + 1)

13 4 (69 = 5 13 + 4)

2 3 (13 = 5 2 + 3)

0 2 (2 = 5 0 + 2)

da cui

346 = 2341|5 .

Ecco un altro esempio. Per scrivere 239 in base 7 si procede cos :

239

34 1 (239 = 7 34 + 1)

4 6 (34 = 7 4 + 6)

0 4 (4 = 7 0 + 4)

da cui

239 = 461|7 .

41

Il caso della base due. Il valore minimo che possiamo scegliere

per la base e b = 2. Questa scelta da luogo ad una rappresenta-

zione molto semplice per i numeri naturali, in cui le uniche cifre

sono 0, 1. Naturalmente, se ck, ck1, ..., c1, c0 {0, 1} si ha

ck...c0|2 := ck 2k + ck1 2k1 + ... + c1 2 + c0 . (1.50)

Ad esempio,

1001|2 = 1 23 + 0 22 + 0 2 + 1 = 8 + 1 = 9 . (1.51)

La rappresentazione in base due, detta anche binaria, e particolar-

mente interessante dal punto di vista informatico; essa e impiegata

da molti elaboratori elettronici (5).

5 Si deve segnalare che la rappresentazione binaria e la sua rilevanza per il calcolo automatico

erano note gia molto tempo prima dellavvento degli elaboratori elettronici. Tale rappresentazione e

presente negli studi del grande matematico e filosofo tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-

1716), progettista e costruttore di calcolatrici meccaniche, che concep anche lidea di una macchina

basata sul sistema binario.

42

Per determinare la rappresentazione in base 2 di un numero natu-

rale si impiega la procedura gia illustrata nelle pagine precedenti

per il caso della base 5: si costruisce una tabella a due colonne,

dove la colonna di sinistra parte dal numero dato e contiene i

quoti delle successive divisioni per 2, mentre la colonna di destra

contiene i resti (sempre uguali a zero o uno). Si continua finche

si trova come quoto lo zero; a questo punto la lista dei resti, letta

dallultimo al primo, fornisce la rappresentazione cercata in base

due. Ad esempio, nel caso del numero tredici (13, in base dieci),

si procede cos:

13

6 1 (13 = 2 6 + 1)

3 0 (6 = 2 3 + 0)

1 1 (3 = 2 1 + 1)

0 1 (1 = 2 0 + 1)

da cui

13 = 1101|2 .

43

Numeri primi.

Definizione. Un numero naturale p si dice primo se p 2 e se

i suoi soli divisori sono 1 e p.

Esempi. 2 e un numero primo. Tutti gli altri numeri pari non

sono primi, essendo divisibili per 2. 3,5,7,11,13 sono primi. 9 non

e primo, perche divisibile per 3.

Qui di seguito, presentiamo qualche risultato relativo ai numeri

primi. Il primo risultato corrisponde ad un fatto con cui abbiamo

tutti familarita dalle scuole medie. Nonostante la familiarita del

risultato, la sua dimostrazione non e banale (e qui viene omessa).

44

1.6 Proposizione. Si consideri un n N = N \ {0}. Allora,

n si decompone in modo unico in un prodotto di potenze di numeri

primi. Piu precisamente, n ha una ed una sola rappresentazione

del tipo

n = p1t1p2

t2...pktk (1.52)

dove: k e un naturale, p1 < p2 < ... < pk sono numeri primi

e t1, ..., tk sono numeri naturali non nulli. (Il caso k = 0, in cui

le sequenze p1, ..., pk e t1, ..., tk sono vuote e il secondo membro

della (1.52) e 1 per definizione, si verifica se e solo se n = 1.)

La dimostrazione della Proposizione precedente comparve per la

prima volta negli Elementi del matematico greco Euclide (III

secolo avanti Cristo).

1.7 Definizione. La (1.52) si chiama la decomposizione in

fattori primi di n; si dice che p1, ..., pk sono i fattori primi di

n, e che t1, ..., tk sono i loro esponenti.

1.8 Esempi. i) Sia n = 180. La decomposizione di 180 in

fattori primi si trova cos :

180 = 290 = 2245 = 22315 = 22335 = 22325 . (1.53)

Come si vede, la decomposizione di n = 180 in fattori primi ha la

forma (1.52), con k = 3, p1 = 2, t1 = 2, p2 = 3, t2 = 2, p3 = 5,

t3 = 1.

45

ii) p sia un numero primo. Ovviamente, la decomposizione di p in

fattori primi e p = p1, cioe ha la forma (1.52) con k = 1, p1 = p,

t1 = 1.

1.9 Osservazione. Dalla decomposizione (1.52) n = p1t1p2

t2...pktk ,

e possibile determinare i divisori di n. Notiamo che qualunque

numero del tipo

m = p1s1p2

s2...pksk (0 6 s1 6 t1, ..., 0 6 sk 6 tk) (1.54)

e un divisore di n: infatti

n = (p1s1p2

s2...pksk)(p1

t1s1p2t2s2...pk

tksk) = mq (1.55)

dove m e come sopra e q := p1t1s1p2

t2s2...pktksk . Con un argo-

mento piu complicato, che omettiamo, si fa vedere che qualunque

divisore di n ha la forma (1.54).

Tra i divisori di n ci sono, abbastanza ovviamente, i fattori primi

p1, p2, ..., pk.

Ora presentiamo un secondo e importante risultato, anche questo

dimostrato negli Elementi di Euclide.

46

1.10 Proposizione. Linsieme P di tutti i numeri primi e

infinito.

Dimostrazione. Si fa per assurdo, supponendo che la tesi non

sia vera ed ottenendo da qui una contraddizione.

Supponiamo dunque, per assurdo, che P sia finito, conN elementi;

allora

P = {p1, ..., pN} . (1.56)

Poniamo

q := p1p2...pN + 1 . (1.57)

Allora q non e divisibile per nessuno dei numeri p1, ..., pN (perche,

se si divide q per p1, si trova p2...pN con resto 1; similmente,

dividendo q per p2, o p3, ..., o pN si trova sempre come resto 1. Il

resto non e mai zero!).

Ora consideriamo la decomposizione di q in fattori primi; sia p

uno di tali fattori primi. Dato che p e un divisore di q, non puo

essere p = p1, ne p = p2..., ne p = pN (perche abbiamo visto

prima che questi numeri non sono divisori di q).

In conclusione abbiamo trovato un numero primo (cioe p) diverso

da p1, ..., pN ; cio contraddice lipotesi iniziale P = {p1, ..., pN}.

47

1.11 Osservazione (importante) Consideriamo la succes-

sione di tutti i numeri primi, diciamo in ordine crescente:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Sia data una famiglia (tp)pP, dove tp N per ogni primo p, e

tp 6= 0 solo per un numero finito di primi p. Allora il prodotto

2t23t35t5... pP

ptp (1.58)

ha senso, perche ha solo un numero finito di fattori diversi da 1

(ed e uguale, per definizione, al prodotto dei fattori diversi da 1:

cfr. pag. 29.)

Con questa notazione, il teorema di decomposizione di un numero

naturale in fattori primi (Prop. 1.6) si puo riformulare cos : per

ogni n N esiste una ed una sola famiglia (tp)pP di numeri

naturali, non nulli solo per un numero finito di primi p, tale che

n = 2t23t35t5... . (1.59)

In questa formulazione, i fattori primi di n sono i primi p tali che

tp 6= 0. Tanto per fare un esempio, il numero 180 = 22 32 5 ha

una rappresentazione del tipo (1.59), con t2 = 2, t3 = 2, t5 = 1 e

tp = 0 per ogni altro primo p.

48

Anche la precendente osservazione (1.9) puo essere riformulata

nel nuovo stile, in questo modo: se n e come nella (1.59), allora i

divisori di n sono tutti e soli i numeri del tipo m = 2s23s35s5... ,

con sp N e sp 6 tp per ogni p.

49

Curiosita sui numeri primi. La congettura di Gold-

bach

Cominciamo con la seguente

1.12 Definizione. Si dice che un numero n N ha la pro-

prieta di Goldbach se n e somma di due numeri primi (eventual-

mente uguali).

Essendo 2 il piu piccolo numero primo, il piu piccolo numero

naturale con la proprieta di Goldbach e, ovviamente,

2 + 2 = 4 .

Ora, cerchiamo di capire quali naturali> 4 possiedano la proprieta

di Goldbach.

Per quanto riguarda i numeri dispari, la risposta e facile: se un

n dispari e la somma di due primi, questi devono essere uno pari

ed uno dispari e, quindi, uno uguale a 2 e laltro diverso da 2.

Dunque, i numeri dispari con la proprieta di Goldbach sono solo

quelli del tipo 2 + p, con p primo e p 6= 2; tra questi ci sono, ad

esempio, i numeri 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21 ma non i numeri 11, 17, 23.

50

Passiamo ai numeri pari. Per i piu piccoli numeri pari 4, e facile

verificare la proprieta di Goldbach:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 7 + 3 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7 .

Come si vede 10 e 14 si scrivono addirittura in due modi come

somme di primi. Verifiche simili possono essere fatte anche per

numeri pari piu grandi: ad esempio:

60 = 7 + 53 = 13 + 47 = 19 + 41

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 47 + 53 = 41 + 59 .

Esperimenti di questo tipo suggeriscono la seguente

1.13 Congettura. Ogni numero pari n 4 ha la proprieta di

Goldbach.

51

Questa e la cosiddetta congettura di Goldbach,; essa prende nome

dal matematico tedesco Christian Goldbach, che la formulo nel

1743.

A tuttoggi, non si sa se la congettura sia vera o falsa. Usando

un calcolatore, e stato verificato che la proprieta di Goldbach e

posseduta da tutti i numeri pari n tali che 4 6 n 6 1018.

Naturalmente, verifiche di questo tipo indicano che la congettura

e probabilmente vera, ma non ne forniscono una dimostrazione.

Infatti, se verifico che la proprieta di Goldbach e posseduta da

tutti gli n pari con 4 6 n 6 N , mi resta sempre il dubbio che la

proprieta non sia posseduta da n = N + 2.

Per un matematico di professione, dimostrare la congettura di

Goldbach sarebbe un risultato di importanza simile a quelli che

fanno vincere il premio Nobel ad un fisico, un chimico, ecc.!

52

Gli strumenti matematici con cui si potrebbe provare un attaccare

a problemi come questo sono molto al di la dei contenuti di questo

corso. A titolo di curiosita, si segnala un divertente romanzo,

scritto nel 1992 da un matematico greco, in cui il protagonista

cerca in modo ossessivo di dimostrare la congettura: D. Apostolos,

Zio Petros e la congettura di Goldbach, Ed. Bompiani.

In generale, lo studio dei numero primi e uno degli argomenti

piu affascinanti (e difficili) per i matematici. A tuttoggi, sono

indimostrate diverse congetture legate ai numeri primi (tra cui

la famosa congettura di Riemann, risalente allOttocento e cos

tecnica che qui non possiamo nemmeno formularla).

53

Principio di induzione.

Il punto di partenza del nostro discorso sara il seguente

1.14 Assioma di Peano. (6) Si consideri un sottoinsieme

X N tale che:

i) 0 X ;

ii) n X = n + 1 X . Allora,

X = N . (1.60)

6Questo assunto prende nome dal matematico e logico italiano Giuseppe Peano (1858-1932), gia

ricordato. In queste pagine non abbiamo dato una definizione formale di N, ne delloperazione di

somma + di cui esso e munito: ci siamo limitati a dire che N e la collezione dei numeri 0, 1, 2, ... (senza

dire cosa siano), e che in N ce loperazione +. Dal punto di vista del rigore matematico, tutto questo

quadro dovrebbe essere definito; di cio si occupo, in particolare, Peano. Nel suo approccio N viene

definito come un insieme dotato di una conveniente struttura, sufficiente per definire la somma e dotata

di certe proprieta; una delle piu importanti, chiamata appunto lassioma di Peano, e quella descritta

sopra.

54

Dallassioma di Peano si deduce qunato segue:

1.15 Proposizione (Principio di induzione). Sia (Pn)nN

una famiglia di affermazioni, indiciate dai naturali. Supponiamo

quanto segue:

a) P0 e vera;

b) per ogni n N, Pn = Pn+1.

Allora, Pn e vera per ogni n.

Dimostrazione. Sia

X := {n N | Pn e vera} . (1.61)

Allora:

i) 0 X (perche P0 e vera);

ii) n X = Pn e vera = (per (b)) Pn+1 e vera = n+1 X .

Dalle (i)(ii) e dallassioma di Peano segue che X = N, cioe che Pne vera per ogni n N.

Molte dimostrazioni di fatti matematicamente interessanti fanno

uso del principio di induzione; in tal caso si parla di dimostrazioni

per induzione (o anche, per ricorrenza). Qui di seguito vedremo

tre esempi; il primo e questo.

55

1.16 Proposizione. Per ogni n N, sia

Sn := 0 + 1 + ... + n =ni=0

i ; (1.62)

allora

Sn =n(n + 1)

2. (1.63)

Dimostrazione. Per ogni n N, indichiamo con Pn lafferma-

zione Sn = n(n + 1)/2. Notiamo quanto segue:

i) P0 e vera. Infatti S0 = 0 = 0 (0 + 1)/2.

ii) Per ogni n N, Pn = Pn+1. Infatti, supponendo Pn vera

deduciamo quanto segue:

Sn+1 = 0+1+...+n+(n+1) = Sn+n+1(per Pn)

=n(n + 1)

2+n+1 =

=n2 + n + 2n + 2

2=n2 + 3n + 2

2=

(n + 1)(n + 2)

2;

luguaglianza Sn+1 = (n + 1)(n + 2)/2 e proprio laffermazione

Pn+1.

A questo punto da (i),(ii) e dal principio di induzione deduciamo

che Pn e vera per ogni n.

56

Ecco il secondo esempio di dimostrazione per induzione (che ri-

chiede anche qualche familiarita con i numeri reali) (7).

1.17 Proposizione. Per x R ed n N, si definisca

Sn(x) := 1 + x + x2 + ... + ... + xn =

ni=0

xi . (1.64)

Se x 6= 1, per ogni n N risulta

Sn(x) =1 xn+1

1 x. (1.65)

Dimostrazione. Si fissi x R \ {1}. Per ogni n N, indichia-

mo con Pn laffermazione Sn(x) = (1xn+1)/(1x). Notiamo

quanto segue:

i) P0 e vera. Infatti S0(x) = 1 e (1x0+1)/(1x) = (1x)/(1

x) = 1.

ii) Per ogni n N, Pn = Pn+1. Infatti, supponendo Pn vera

deduciamo quanto segue:

Sn+1(x) = 1+x+...+xn+xn+1 = Sn(x)+x

n+1 (per Pn)=1 xn+1

1 x+xn+1 =

=1 xn+1 + (1 x)xn+1

1 x=

1 xn+1 + xn+1 xn+2

1 x=

1 xn+2

1 x;

luguaglianza Sn+1(x) = (1 xn+2)/(1 x) e proprio lafferma-

zione Pn+1.

A questo punto da (i),(ii) e dal principio di induzione deduciamo

che Pn e vera per ogni n.

7Qui e nel seguito si intende x0 := 1 per ogni numero reale x, incluso il caso x = 0.

57

Infine, ecco il terzo esempio di prova per induzione. Il risultato

che segue e un caso particolare della cosiddetta disuguaglianza di

Bernoulli, di cui ci occuperemo anche in seguito (e la sua prova

richiede, oltre al principio di induzione, una certa conoscenza dei

numeri reali e della loro relazione dordine).

1.18 Proposizione. Sia x R, x > 1. Per ogni n N

risulta

(1 + x)n > 1 + nx . (1.66)

Dimostrazione. Fissiamo x R, x > 1. Per ogni n N,

indichiamo con Pn laffermazione (1 + x)n > 1 + nx. Notiamo

quanto segue:

i) P0 e vera. Infatti (1 + x)0 = 1 = 1 + 0 x > 1 + 0 x.

ii) Per ogni n N, Pn = Pn+1. Infatti, supponendo Pn vera

deduciamo quanto segue:

(1 + x)n+1 = (1 + x)n > 1 + nx per Pn

(1 + x) >0

>

> (1+nx)(1+x) = 1+x+nx+ nx2>0

> 1+x+nx = 1+(n+1)x ;

la disuguaglianza (1+x)n+1 > 1+(n+1)x e proprio laffermazione

Pn+1.

A questo punto da (i),(ii) e dal principio di induzione deduciamo

che Pn e vera per ogni n.

58

Infine, presentiano una ovvia estensione del principio di induzione.

1.19 Proposizione (Principio di induzione, forma genera-

lizzata). Siano m N e (Pn)n=m,m+1,m+2,... una famiglia di affer-

mazioni (indiciate dallinsieme dei naturali > m). Supponiamo

quanto segue:

a) Pm e vera;

b) per ogni n {m,m + 1,m + 2, ...}, Pn = Pn+1.

Allora, Pn e vera per ogni n {m,m + 1,m + 2, ...}.

Dimostrazione. Sia

X := {` N | Pm+` e vera} . (1.67)

Allora:

i) 0 X (perche Pm e vera);

ii) ` X = Pm+` e vera = (per (b)) Pm+`+1 e vera =

` + 1 X .

Dalle (i)(ii) e dallassioma di Peano segue che X = N, cioe Pm+`e vera per ogni ` N; dunque Pn e vera per ogni n {m,m +

1,m + 2, ...}.

59

2 APPROFONDIMENTI SUGLI INTERI RELA-

TIVI.

Z e le operazioni di somma e prodotto.

Come gia fatto, indichiamo con Z linsieme degli interi relativi.

Dunque

Z := {...,2,1, 0, 1, 2, ...} . (2.1)

Ovviamente Z N; gli elementi di Z delle due forme n e n

(n N, n 6= 0) si chiamano, rispettivamente, gli interi positivi e

negativi.

Diamo per noto che si possono definire due operazioni di somma

e prodotto

Z Z Z, (s, t) 7 s + t (2.2)

ZZ Z, (s, t) 7 st (indicato anche con s t o s t). (2.3)

Queste sono estensioni delle operazioni analoghe in N (in questo

senso: le applicazioni (2.2) (2.3), se ristrette a NN, sono a valori

in N e coincidono con la somma e il prodotto gia considerati in

N).

60

Le operazioni (2.2) (2.3) sono commutative e associative; 0 e le-

lemento neutro della somma, 1 lelemento neutro del prodotto. Il

prodotto e distributivo rispetto alla somma.

Lopposto

Le proprieta della somma e del prodotto in Z evidenziate nel pa-

ragrafo precedente sono del tutto analoghe a quelle gia evidenziate

discutendo N. Tuttavia, nel passaggio da N a Z si manifesta un

fatto nuovo: lesistenza dellopposto.

Con cio, intendiamo quanto segue: per ogni s Z esiste uno ed

un solo elemento di Z, indicato con s, tale che

s + (s) = (s) + s = 0 ; (2.4)

s si chiama lopposto di s. La notazione n, usata fin dalli-

nizio per qualunque intero negativo, evidenzia il fatto che questo

e lopposto di n. Lopposto di un intero negativo n e n (cioe

(n) = n), e lopposto di 0 e 0.

61

In virtu dellesistenza dellopposto, per ogni s, t Z il problema

della sottrazione

?d Z tale che s = t + d (2.5)

ha una ed una sola soluzione

d = s + (t) , (2.6)

(8), che si indica anche con st e si chiama la differenza tra s e t.

Di fatto, Z si puo pensare come una estensione di N costruita pro-

prio per rendere sempre risolvibile il problema della sottrazione.

8In effetti, posto d := s + (t) si trova t + d = t + s + (t) = s + t + (t) = s + 0 = s. Inoltre, sed Z soddisfa lequazione s = t+ d si deduce s+ (t) = t+ d+ (t) = d+ t+ (t) = d+ 0 = d.

62

Nozione generale di anello. Z e un anello commutati-

vo.

2.1 Definizione. Un anello e un insieme A munito di due

applicazioni

A A A , (x, y) 7 x + y (2.7)

A A A , (x, y) 7 xy (2.8)

chiamate le operazioni di somma e prodotto, dotate delle pro-

prieta seguenti: (9)

i) La somma e commutativa e associativa. Esiste un unico elemen-

to di A, indicato con 0 e chiamato lo zero, che funge da elemento

neutro per la somma: x + 0 = 0 + x = x per ogni x A.

ii) Per ogni x A esiste un unico elemento di A, indicato con x

e detto lopposto di x, tale che x + (x) = (x) + x = 0.

iii) Il prodotto e associativo. Esiste un unico elemento di A, indi-

cato con 1 e chiamato lunita, che funge da elemento neutro per

il prodotto: x1 = 1x = x per ogni x A.

iv) Il prodotto e distributivo rispetto alla somma. Con cio si

intende che, per ogni x, y, z A, (x+y)z = xz+yz e z(x+y) =

zx + zy.

Lanello A si dice commutativo se il suo prodotto e commutativo:

xy = yx per ogni x, y A.

9con il linguaggio del Capitolo 1: le condizioni (i-iv) sono gli assiomi che definiscono la struttura di

anello.

63

Confrontando la definizione appena data con lanalisi di Z nei

paragrafi precedenti, arriviamo subito a questa affermazione:

2.2 Proposizione. Z e un anello commutativo (con le opera-

zioni usuali di somma e prodotto).

Anche Q e R (gli insiemi dei razionali e dei reali), con le loro

operazioni naturali di somma e prodotto, sono degli anelli com-

mutativi; su questo torneremo nel seguito del Capitolo. E oppor-

tuno segnalare che esistono molti esempi interessanti di anelli non

commutativi. (10)

Osservazione: anelli nulli. Un esempio molto banale di anel-

lo si ottiene considerando un insieme A con un solo elemento, di-

ciamo z, e definendo z + z := z, zz := z. Con queste operazioni

A e un anello commutativo, in cui lunico elemento funge da zero

ma anche da unita ed e lopposto di se stesso: z = 0 = 1, z = z.

Essendo z = 0, si puo illustrare questa situazione scrivendo che

A = {0} (11). Un anello di questo tipo si dira un nullo; nel segui-

to, questo concetto sara menzionato diverse volte (spesso, come

caso banale da escludere). Abbastanza ovviamente, ogni anello

con un solo elemento e un anello nullo.10Ad esempio, se n e un naturale non nullo, linsieme A delle matrici n n con elementi in Z, Q o

R si puo munire di due operazioni di somma e prodotto, che ne fanno un anello. Se n > 2 il prodotto

delle matrici n n non e commutativo, dunque si ha un anello non commutativo.Le matrici e le loro operazioni sono trattate in altra parte del corso; in questo Capitolo non saranno piu

menzionate.11ma si potrebbe anche scrivere A = {1}, perche z = 1

64

Gli anelli commutativi Zm. Aritmetica modulare.

Fissato m {1, 2, 3, ...} introduciamo in Z la relazione =m di

uguaglianza modulo m, che e una relazione di equivalenza (cfr.

il Capitolo Insiemi, applicazioni, relazioni...).

Indichiamo con Zm il quoziente Z/ =m, che ha esattamente m

elementi [0]m, [1]m, ..., [m1]m (cfr. il Capitolo citato). Zm si puo

munire di due operazioni di somma e prodotto, definite ponendo

[s]m+ [t]m := [s+ t]m, [s]m[t]m := [st]m per ogni s, t Z (12) (13).

Con queste operazioni Zm e un anello commutativo: lo zero e

lunita sono 0 := [0]m, 1 := [1]m, e un elemento [s]m ha opposto

[s]m = [s]m. Una caratteristica particolare di questo anello e

il fatto che 1 + ... + 1 m volte

= 0; infatti 1 + ... + 1 m volte

= [1 + ... + 1 m volte

]m =

[m]m = [0]m = 0.

12queste definizioni sono ben poste, cioe la somma e il prodotto di due classi non dipendono dalla

scelta dei loro rappresentanti. Infatti, si puo dimostrare quanto segue per ogni s, s, t, t Z: da s =m se t =m t segue s

+ t =m s+ t e st =m st.

13A titolo di esempio, sia m = 5. In Z5 abbiamo le relazioni seguenti:

[2]5 + [4]5 = [2 + 4]5 = [6]5 = [1]5 (perche 6 = 1 + 5) ;

[2]5 [4]5 = [2 4]5 = [8]5 = [3]5 (perche 8 = 3 + 5) .

65

Lespressione aritmetica modulare e impiegata spesso con riferi-

mento agli anelli Zm, con le operazioni appena definite.

Notiamo che Z1 ha un solo elemento, la classe [0]1 (14); dunque,

Z1 e un anello nullo (cfr. lOsservazione di pag. 64).

Nella pagina che segue sono riportate le tavole per la moltiplica-

zione in Zm per m = 2, 3, 4, 5; si propone ai lettori interessati di

costruire la tavola per la moltiplicazione in Z6.

(nel caso m = 4, la figura presenta i commenti 2 non ha recipro-

co e Z4 non e un campo; queste affermazioni saranno chiarite

alle pagg. 86-87).

Laritmetica modulare ha molte interessanti applicazioni. Una

delle piu notevoli e lalgoritmo RSA per la crittografia, descritto

in un addendo al presente Capitolo.

14In effetti, per ogni s Z risulta s =1 0 perche s 0 = s e divisible per 1.

66

67

68

Fatti generali sugli anelli

In ogni anello A, valgono una serie di fatti che qui riportiamo.

Tutte le affermazioni che seguono, se non sono definizioni, possono

essere dimostrate partendo dalla definizione di anello.

Se A non e nullo (cfr. pag. 64), allora 0 6= 1.

Per ogni x, y A il problema della sottrazione y = x + d,

nellincognita d A, possiede ununica soluzione d = y+ (x)

y x (che si chiama la differenza tra y e x).

0 = 0.

Per ogni x, y A, risulta: 0x = x0 = 0; (x) = x; x =

(1)x; (x)y = x(y) = xy, dove lultima espressione indica

lopposto di xy; (x)(y) = xy. (15)

Parafrasando le costruzioni presentate per N alle pagg. 22, 27 (e

seguenti), si possono definire somme e prodotti multipli di elementi

diA. Le somme multiple non dipendono dallordine degli addendi,

per la proprieta commutativa; i prodotti multipli non dipendono

dallordine dei fattori, se lanello e commutativo.

15Ribadiamo che tutte queste affermazioni possono essere dimostrate partendo dalla definizione di

anello: a questo proposito si veda L. Lombardo Radice, Istituzioni di algebra astratta, Ed. Feltrinelli.

A titolo di esempio, qui proveremo che (i) 0x = 0 per ogni x A; (ii) se A e non nullo, 0 6= 1.(i) Sia x A; allora x+ 0x = 1x+ 0x = (1 + 0)x = 1x = x. Da x+ 0x = x segue, sommando a membroa membro x: (x) + x+ 0x = (x) + x, cioe 0 + 0x = 0, cioe 0x = 0.(ii) 0 = 1 per ogni x A e x = 1x = 0x = 0 A ha un solo elemento, lo zero A e un anello nullo.

69

Si possono introdurre i simboli di sommatoria e produttoria gia

incontrati parlando di N. Per definizione una somma con zero

addendi vale 0, un prodotto con zero fattori vale 1.

Se x A e k N, possiamo definire la potenza

xk := x...xk volte

. (2.9)

In particolare x0 = 1. Per h, k N, vale quanto segue: xhxk =

xh+k; (xh)k = xhk; (x)h = xh se h e pari, (x)h = xh se h e

dispari. Se x, y A e xy = yx (fatto sempre vero quando A e

commutativo), per ogni h N risulta xhyh = (xy)h. (16)

16A titolo di esempio, vediamo la prova di questa affermazione nel caso h = 2. Risulta x2y2 = xxyy =

xyxy (perche, per ipotesi, xy = yx). Dunque x2y2 = (xy)(xy) = (xy)2.

70

Nozione generale di anello ordinato. L esempio di Z.

In Z ce il sottoinsieme Z+ := {1, 2, 3, ...}, i cui elementi si chia-

mano gli interi positivi ; questo e preservato dalle operazioni di

somma e prodotto, nel senso che somme e prodotti di interi posi-

tivi sono interi positivi. Gli opposti degli interi positivi formano

linsieme Z := {1,2,3, ...}, i cui elementi si chiamano gli

interi negativi.

Nella teoria generale degli anelli, si da la seguente

2.3 Definizione. Un anello ordinato e un anello commutati-

vo A in cui sia stato assegnato un sottoinsieme A+, detto degli

elementi positivi. Questo deve soddisfare le seguenti condizioni:

i) se x, y A+, allora x + y, xy A+.

ii) Si introduca linsieme A := {x | x A+}, i cui elementi si

dicono negativi. Allora

A = A+ {0} A (2.10)

e lunione sopraindicata e disgiunta: A+ A = , 0 6 A+,

0 6 A. (Dunque, dato x A, si verifica uno ed uno solo dei tre

casi x A+, x = 0 o x A).

71

Tornando agli interi relativi, possiamo affermare quanto segue:

2.4 Proposizione. Z e un anello ordinato se, come prima,

si definisce Z+ := {1, 2, 3, ...}. In questo caso linsieme Z :=

{x | x Z+} coincide con {1,2,3, ...}.

E opportuno segnalare subito che anche Q,R sono anelli ordinati;

su questo torneremo nel seguito del Capitolo.

In qualunque anello ordinato A, si definisce

A+ := A+ {0} = A \ A , A := A {0} = A \ A+ ;

per ovvii motivi, gli elementi di A+ si dicono non negativi e quelli

di A si dicono non positivi ; si deve notare che A+ A = {0}.

Ad esempio, nel caso di Z e Z+ = {0, 1, 2, ...} = N e Z =

{0,1,2, ...}.

Tornando al caso di un arbitrario anello ordinato, evidenziamo

un fatto molto importante: la possibilita di definire una relazione

dordine.

2.5 Definizione. A sia un anello ordinato. Dati x, y A,

porremo

x < y (scritto anche y > x) se y x A+ ; (2.11)

queste due espressioni si leggeranno, rispettivamente, x e minore

di y e y e maggiore di x.

72

2.6 Proposizione. Se A e un anello ordinato, la relazione

< definita dalla (2.11) e una relazione dordine stretto (cioe, e

asimmetrica e transitiva: cfr. il Capitolo Insiemi, applicazioni,

relazioni...). In piu, tale relazione e totale (cioe, per ogni x, y

A, si verifica uno ed uno solo dei casi x < y, x = y, y < x).

A questo risultato aggiungiamo i seguenti commenti.

A titolo di esempio, nel caso di Z possiamo dire che 4 < 2

perche (2) (4) = 2 + 4 = 2 Z+.

Consideriamo un qualunque anello ordinato A. Per ogni x A,

x A+ x > 0 (infatti, x A+ x0 A+ x > 0;

nellultimo passaggio si e applicata la definizione generale di x > y

con y = 0).

Inoltre x A x < 0.

In un qualunque anello ordinato A, usando lordine stretto x (y e maggiore o uguale a x) se

y > x o y = x; e chiaro che y > x se e solo se x 6 y.

Si deve notare che, per x A, si hanno le equivalenze

x A+ x > 0 e x A x 6 0.

Dai fatti esposti prima segue, tra laltro, che x < y yx > 0

e x 6 y y x > 0.

Osservazione: anelli ordinati nulli. Consideriamo un anel-

lo A nullo, e dunque costituito da un solo elemento z che funge

da zero e da unita: z = 0 = 1 (cfr. pag. 64). Possiamo pensare

A come un anello ordinato in modo molto banale: ci basta defi-

nire A+ := (cioe, a parole: ci basta assumere che non vi siano

elementi positivi). In questo caso, diremo che abbiamo un anello

ordinato nullo.

74

Altri fatti sugli anelli ordinati.

Si puo dimostrare che, in ogni anello ordinato A, accadono i fatti

seguenti.

Se A e non nullo (cfr. pag. 74) risulta 1 > 0 (cioe, 1 A+).

Ricordando che le somme di elementi positivi sono positive, da

1 > 0 si deduce anche 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0 e, in generale,

1 + ... + 1 n volte

> 0 per ogni n {1, 2, 3, ....}.

Per ogni x, y, v, z A:

x < y x + z < y + z;

xy > 0 x > 0 e y > 0, oppure x < 0 e y < 0;

xy < 0 x > 0 e y < 0, oppure x < 0 e y > 0;

x < y x > y (cioe: passando allopposto, una disugua-

glianza si rovescia);

x < y e z > 0 = xz < yz;

x < y e z < 0 = xz > yz (a parole: una disuguaglianza si

rovescia se la si moltiplica a membro a membro per un elemento

z negativo);

0 < x < y e 0 < v < z = xv < yz;

x > 0 = xh > 0 per ogni h N;

x < 0 = xh > 0 per h N pari, xh < 0 per h N dispari;

0 < x < y = 0 < xh < yh per ogni h N \ {0}.

75

Valgono affermazioni analoghe a quelle scritte sopra, sostituendo

ovunque < con 6 e > con >.

Tutte le affermazioni precedenti dovrebbero essere familiari al let-

tore se A = Z (e anche, nei casi A = Q,R di cui ci occuperemo

in seguito). Ribadiamo che tali risultati valgono in generale per

gli anelli ordinati; essi si potrebbero provare utilizzando le sole

definizioni di anello ordinato e della relazione < (17).

Se m > 2, lanello Zm non e ordinabile.

Consideriamo lanello Zm per m > 2; sappiamo questo ha m > 1

elementi [0]m, [1]m, ..., [m1]m (e dunque, e non nullo). In questo

paragrafo dimostreremo quanto segue: non e possibile dare a

Zm una struttura di anello ordinato (cioe, non esiste in Zmun sottoinsieme Z+m di elementi positivi, che soddisfi tutte le

condizioni nella definizione di anello ordinato a pag. 71).

La dimostrazione si fa per assurdo. Se fosse possibile dare a

Zm una struttura di anello ordinato, per quanto stabilito a pag.

75 avremmo [1]m + ... + [1]m n volte

> [0]m per ogni n {1, 2, 3, ...};

daltra parte, la disuguaglianza appena scritta non puo valere se

n = m perche, come gia notato a pag. 65, [1]m + ... + [1]m m volte

= [0]m.

17Si veda ancora L. Lombardo Radice, Istituzioni di algebra astratta, Ed. Feltrinelli. Qui, a titolo

di esempio, dimostriamo la prima affermazione di pag. 75: in un anello ordinato e non nullo A, risulta

1 > 0. Supponiamo per assurdo che non sia cos; allora 1 = 0, oppure 1 < 0. Se 1 = 0 A e un anello

nullo, contro le nostre ipotesi. Se 1 < 0, allora 1 > 0 da cui (1)(1) > 0, cioe 1 > 0, controlassunzione iniziale 1 < 0.

76

Non risolvibilita in Z del problema della divisione

Passando da N a Z si rende sempre risolvibile il problema della

sottrazione. Tuttavia, resta aperto il problema della divisione:

dati s, t, trovare q tale che t = sq.

Chiaramente, dati s, t Z non esiste sempre un q Z che soddisfi

lequazione precedente. Ad esempio, lequazione 6 = (2)q ha

soluzione q = 3, mentre lequazione 7 = (2)q non ha soluzioni

q Z.

Per trattare il problema della divisione si deve introdurre un am-

pliamento di Z, che e linsieme Q dei razionali (con le proprie

operazioni di somma e il prodotto); come vedremo, dati x, y Q

con x 6= 0, esiste un unico q Q tale che y = xq.

I razionali saranno largomento della prossima sezione.

77

3 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI RAZIONALI

Definizione dei razionali come classi di equivalenza

Da qui alla fine del capitolo, si intendera

Z := Z \ {0} = {...,2,1, 1, 2, ...} . (3.1)

Parlando informalmente possiamo definire i numeri razionali come

i rapportit

scon t Z e s Z, da trattare ritenendo uguali certi

rapporti; piu precisamente, dati t, t Z e s, s Z, si intende

t

s=t

sse ts = st . (3.2)

(Ad esempio:2

3=

4

6perche 2 6 = 3 4; 2

3=46

perche

2 6 = (3) (4); 46

=6

9perche 4 9 = 6 6).

E appena il caso di ricordare il simbolo Q, impiegato usualmente

per linsieme dei razionali.

La descrizione appena proposta per i razionali non e del tutto

soddisfacente dal punto di vista del rigore matematico: essa fa

riferimento ad un imprecisato concetto di rapporto, e anche la

(3.2) e da chiarire.

Un modo di procedere piu rigoroso e il seguente:

78

3.1 Definizione. Si consideri il prodotto cartesiano

Z Z = {(t, s) | t Z, s Z} (3.3)

e lo si munisca della relazione cos definita: se (t, s), (t, s)

Z Z, allora

(t, s) (t, s) se ts = st . (3.4)

Si noti che e una relazione di equivalenza (18). Cio premesso:

i) Si chiama numero razionale ogni classe di equivalenza di tale

relazione. Q indica linsieme di tali classi (cioe, lo spazio quoziente

Z Z/ ).

ii) Siano t Z, s Z. Porremo

t

s:= classe di equivalenza di (t, s) = (3.5)

= {(t, s) Z Z | (t, s) (t, s)} .

Tale classe si chiamera il rapporto tra t e s (ovvero, il rapporto t

su s); essa si indichera anche con t/s.

Notiamo che, per t, t Z e s, s Z,

t

s=t

s (t, s) (t, s) ts = st (3.6)

18Cfr. il Capitolo Insiemi, applicazioni e relazioni...; le proprieta riflessiva, simmetrica e transitiva

di sono facilmente verificabili.

79

(dove lultima affermazione dipende dalla definizione (3.4) di ; e

cos spiegato il criterio di uguaglianza di due rapporti, che nella

(3.2) era comparso in modo non del tutto chiaro).

Sia (t, s) Z Z; allora

(t, s) (ut, us) per ogni u Z (3.7)

(perche t(us) = s(ut)). Da qui segue, tra laltro, che ci sono

infinite coppie equivalenti alla coppia assegnata (t, s) (o, detto

equivalentemente, che la classe di equivalenza t/s ha infiniti ele-

menti). Indicando lequivalenza come una uguaglianza di rapporti,

possiamo scrivere

t

s=ut

usper ogni u Z. (3.8)

Linclusione Z Q.

Sia t Z; se facciamo lidentificazione

t ' t1

(3.9)

possiamo dire che t Q. Dora in avanti useremo sistematica-

mente tale identificazione; questo ci permettera di dire che

Z Q . (3.10)

80

Sulla notazione per i razionali.

Nel seguito, spesso useremo lettere come x, y, z, ... per indicare i

razionali. Si deve tenere presente che ciascuno di questi oggetti si

puo rappresentare (in infiniti modi) come un rapporto: x = t/s =

t/s = ... .

Somma, prodotto e opposto in Q.

La somma e il prodotto in Q sono due applicazioni

QQ Q , (x, y) 7 x + y (3.11)

QQ Q , (x, y) 7 xy (scritto anche x y o x y) (3.12)

Queste si definiscono cos :

se x =t

se y =

v

u(t, v Z, s, u Z), allora

x + y :=tu + sv

su, xy :=

tv

su(3.13)

Queste definizioni sono ben poste, nel senso che non dipendono

dal modo in cui rappresentiamo x e y come rapporti; infatti, si

dimostra che

t

s=t

s,v

u=v

u= tu + sv

su=tu + sv

su,tv

su=tv

su. (3.14)

81

Notiamo che le (3.13) corrispondono alle regole di manipolazione

per le frazioni, note fin dai primi anni di scuola. Evidenziamo

alcuni fatti importanti, legati a tali operazioni.

Abbiamo gia notato che Z Q. Si verifica che le operazioni

(3.11) (3.12) estendono la somma e il prodotto di Z (cioe, che

accade quanto segue: le applicazioni (3.11) (3.12), se ristrette a

ZZ, sono a valori in Z e coincidono con la somma e il prodotto

gia considerati l).

Si dimostra che, con le operazioni di cui sopra, Q e un anello

commutativo, dove lo zero e lunita sono 0 := 0/1 e 1 := 1/1 N.

Come in tutti gli anelli, ad ogni x Q e associato un unico

elemento x (lopposto di x) tale che x + (x) = 0. Questo si

costruisce cos : se x =t

s(t Z, s Z), allora

x = ts. (3.15)

Di solito, lopposto di x =t

ssi indica con t

s.

Sia N := N \ {0}. Si vede facilmente che ogni x Q non nullo

si puo rappresentare in una delle due forme

n

m, n

m(n,m N) (3.16)

(cioe, come un rapporto tra naturali non nulli, o come lopposto

di un rapporto di questo tipo).

82

Il reciproco. Risolvibilita del problema della divisione

per un razionale non nullo.

Da qui alla fine del capitolo, useremo sistematicamente la nota-

zione

Q := Q \ {0} . (3.17)

Abbiamo appena detto che Q e un anello commutativo, come Z.

Tuttavia Q ha una caratteristica non posseduta da Z, di notevole

rilevanza: lesistenza del reciproco.

Con cio, si intende quanto segue: per ogni x Q, esiste un unico

elemento di Q, indicato con1

x 1/x, tale che

1

xx = 1 (3.18)

(ovvero, per la commutativita del prodotto, x1

x= 1).

1

xsi chiama

il reciproco, o linverso di x. Questo numero si costruisce cos :

se x =t

s(t, s Z), allora 1

x=s

t. (3.19)

(In effetti, posto1

x:=

s

tsi trova

1

xx =

st

ts=

1

1= 1; inoltre,

supponendo sempre x =t

ssi dimostra che lequazione

1

xx = 1 e

soddisfatta solo ponendo1

x=s

t). Notiamo anche che

1

x Q.

83

Siano y Q, x Q e consideriamo il problema della divisione

di y per x:

?q Q tale che y = qx . (3.20)

Questo problema ha una ed una sola soluzione

q = y1

x(3.21)

(infatti, posto q := y1

xsi trova qx = y

1

xx = y1 = y; viceversa,

se q e tale che y = qx allora y1

x= qx

1

x= q1 = q).

Molto spesso, si usa la notazione

y

x y/x := lunica soluzione q del problema (3.20) (3.22)

(che e consistente con la notazione 1/x per il reciproco, essendo

questo lunica soluzione q di 1 = qx). Il numero definito dalla

(3.22) si chiama ancora il rapporto tra y e x, oppure il quoziente

tra y e x.

Introdotta la (3.22), confrontando con la (3.21) otteniamo

y

x= y

1

x. (3.23)

84

Riguardo alla (3.22), precisiamo anche quanto segue: se y = t Z

e x = s Z, allora y/x = y(1/x) coincide con t/s, inteso

alla vecchia maniera come la classe di equivalenza individuata

dalla coppia (t, s) Z Z. Infatti, indicando con / le classi di

equivalenza quando sono coinvolti t e s, abbiamo: y = t = t/1,

x = s = s/1 da cui 1/x = 1/s e y(1/x) = (t/1)(1/s) = t/s.

85

Concetto generale di campo. Q come esempio di cam-

po.

Introduciamo la nozione generale menzionata nel titolo, attraverso

la seguente

3.2 Definizione. Si chiama campo un insieme K munito di

due operazioni

K K K , (x, y) 7 x + y (3.24)

K K K , (x, y) 7 xy x y (3.25)

dette somma e prodotto, con le seguenti caratteristiche.

i) Con le operazioni sopraddette, K e un anello commutativo.

(Dunque: la somma e il prodotto sono associative e commmutative

e hanno elementi neutri 0, 1, detti lo zero e lunita; il prodotto e

distributivo rispetto alla somma; esiste lopposto).

ii) Sia K := K \ {0}. Per ogni x K esiste un unico elemento

di K, indicato con1

x 1/x, tale che

1

xx = 1 (3.26)

(ovvero, per la commutativita del prodotto, x1

x= 1). Lelemento

1

xsi chiama il reciproco, o linverso di x.

86

La discussione dei paragrafi precedenti ci permette di affermare:

3.3 Proposizione. Con le operazioni definite in precedenza,

Q e un campo.

Osservazione: campi nulli. Consideriamo un anello nullo

(cfr. pag. 64), qui indicato con K. E facile convincersi che K

e un campo. Infatti, laffermazione ogni x K \ {0} possiede

reciproco e vera per un motivo molto banale: K \ {0} e privo

di elementi!! Dora in avanti, un anello nullo sara chiamato anche

un campo nullo.

Lesempio di Zm (m primo). A pag. 65 abbiamo introdotto

lanello commutativo Zm := Z/=m per ogni m {1, 2, 3, ..}. Si

dimostra che Zm e un campo (cioe, che ogni elemento non nullo

di Zm possiede reciproco) se e solo se m e primo. (19)

Fatti generali sui campi.

Consideriamo un campo K, mantenendo la notazione K := K \

{0}. Presentiamo alcuni fatti relativi a K; alcuni di questi sono

gia stati evidenziati nel caso particolare di Q. Le affermazioni

riportate qui di seguito, se non sono definizioni, possono tutte

essere dimostrate partendo dalla definizione di campo.19Nella figura di pag. 66 i casi con m primo sono m = 2, 3, 5; in questi casi, lesistenza del reciproco

di ogni elemento non nullo si riscontra nelle corrispondenti tavole di moltiplicazione. Ad esempio, dalla

tavola per Z5 leggiamo che [3]5[2]5 = [2]5[3]5 = [1]5, il che significa che 1/[2]5 = [3]5. Sempre dalla figura

di pag. 66, vediamo che Zm non e un campo nel caso non primo m = 4; infatti [2]4 non ha reciproco

(cioe, non esiste un elemento di Z4 che, moltiplicato per [2]4, dia lunita [1]4).

87

Se K e non nullo, allora 1/1 = 1 (a parole: il reciproco di 1 e 1).

Per ogni x K, e 1/x K e 1/(1/x) = x.

Per ogni x, y K e xy K e 1/(xy) = (1/x)(1/y).

Dati y K e x K, consideriamo il problema della divisione

di y per x:

?q K tale che y = qx . (3.27)

Questo problema ha una ed una sola soluzione

q = y1

x. (3.28)

Molto spesso, si usa la notazione

y

x y/x := lunica soluzione q del problema (3.27) (3.29)

(consistente con la notazione 1/x per il reciproco, che e lunica

soluzione q di 1 = qx). Lelementoy

xsi chiama ancora il rapporto

tra y e x, oppure il quoziente tra y e x. Confrontando con la (3.28)

otteniamoy

x= y

1

x. (3.30)

Se y K e x, z K, allora zyzx

=y

x.

Un campo e un caso particolare di anello commutativo. Quindi,

le definizioni e i risultati presentati a pag. 69 per gli anelli possono

essere applicate al campo K.

Sia x K. Come in ogni anello, per ogni k N possiamo

definire la potenza xk := x....x k volte

.

88

Se x K = K \ {0} possiamo definire anche le potenze di

esponente intero negativo di x, sfruttando una caratteristica spe-

cifica dei campi, cioe l esistenza dellinverso. Piu precisamente,

dato un intero negativo h (h N \ {0}), poniamo

xh :=1

x 1

x h volte

=1

xh(3.31)

(la prima uguaglianza vale per definizione, la seconda per le pro-

prieta del reciproco). In questo modo, la potenza xs risulta de-

finita per ogni s Z. Notiamo che la (3.31) con h = 1 ci

dice

x1 =1

x; (3.32)

dunque, x1 si puo usare come notazione alternativa per il reci-

proco.

Se x, y K e s, t Z risulta: x0 = 1; xsxt = xs+t; (xs)t = xst;

xsys = (xy)s; (x)s = xs per s {0,2,4...} e (x)s = xs

per s {1,3, ...} (supponendo x 6= 0 o y 6= 0, quando siano

coinvolti esponenti negativi).

89

Campi ordinati. Lesempio di Q.

3.4 Definizione. Un campo ordinato e un anello ordinato che,

in piu, e un campo.

Con altre parole, un campo ordinato e un campo K munito di

un sottoinsieme K+, detto degli elementi positivi. Questo deve

soddisfare le stesse condizioni date per linsieme A+ nella defini-

zione di anello ordinato (pag. 71), e qui trascritte per comodita

del lettore.

Anzitutto, x, y K+ = x + y, xy K+. Inoltre K e lunione

disgiunta dei tre sottoinsiemi K+, {0} e K := {x | x K+};

questultimo e chiamato linsieme degli elementi negativi.

E facile verificare quanto segue:

3.5 Proposizione. Q e un campo ordinato, se si definisce

Q+ := { nm| n,m N = N \ {0}} (3.33)

(da cui segue Q = { nm| n,m N}).

90

In qualunque campo ordinato K (e in particolare in Q), possiamo

definire linsieme K+ := K+ {0} = K \ K, i cui elementi si

dicono non negativi, e linsieme K := K {0} = K \ K+

degli elementi non positivi.

Inoltre, possiamo definire le relazioni , 6, >, come gia fatto

negli anelli ordinati (cfr. pag. 72 e seguenti). Dunque, dati x, y

K, si pone per definizione x < y se yx K+, e x 6 y se x < y

o x = y (il che accade se e solo se y x K+): y > x equivale

per definizione a x < y, e y > x significa y > x o y = x.

Ad esempio, nel caso K = Q, considerando gli elementi 2/3 e 4/5

vediamo che

4

5 2

3=

12 1015

=2

15 K+, per cui 2

3 0; x K+ x > 0: x

K x < 0; x K x 6 0.

Osservazione: campi ordinati nulli. A pag. 87 abbiamo

notato che un anello nullo e, banalmente, un campo. Per lo stesso

motivo un anello ordinato nullo (costituito dal solo zero e privo di

elementi positivi, cfr. pag. 74) e un campo ordinato; si parla di

un campo ordinato nullo.

91

Alcuni fatti sui campi ordinati

Consideriamo un campo ordinatoK. E opportuno segnalare alcu-

ni fatti che collegano lordinamento diK con il prodotto, lopposto

e il reciproco.

Anzitutto ci sono i fatti sullordinamento, la somma, lopposto e

il prodotto gia stabiliti per gli anelli ordinati (cfr. pag. 75).

Ci sono altri fatti che coinvolgono lordinamento e il reciproco

(tutti dimostrabili partendo dalla definizione di campo ordinato).

Piu precisamente, dati x, y K, valgono queste affermazioni:

x > 0 = 1/x > 0;

0 < x < y = 1/x > 1/y (cioe: per le coppie x, y di elementi

positivi, passando ai reciproci si rovescia lordinamento);

0 < x < y = xh > yh per ogni h {1, 2, 3, ...} (cioe: per le

coppie x, y di elementi positivi, passando alle potenze negative si

rovescia lordinamento).

Molte delle affermazioni precedenti hanno delle ovvie analoghe, in

cui < e sostituito da 6 e > da >. Tutti questi fatti dovrebbero

essere noti al lettore, per lo meno nel caso K = Q.

92

Lunghezze dei segmenti, e razionali non negativi

Consideriamo i segmenti nella geometria euclidea (del piano o

dello spazio). Linsieme S di tutti i segmenti porta una relazione

di equivalenza , detta congruenza (da intendersi intuitivamente

cos : un segmento AB e congruente ad un segmento CD se AB

si puo sovrapporre a CD con uno spostamento rigido).

Ogni classe di equivalenza di segmenti rispetto a viene detta una

lunghezza; indicheremo con L linsieme delle lunghezze (cioe, lo

spazio quoziente S/ ). Qui si seguito le lughezze si indicheranno

con simboli come `, `,h, s,u, ....

La lunghezza di un segmento e, per definizione, la classe di

equivalenza di tale segmento.

In particolare la lunghezza nulla, indicata con 0, e la classe di

equivalenza formata da tutti i segmenti del tipo AA,BB, ... (cioe,

con i due estremi coincidenti).

93

La lunghezza di un segmento AB si indichera con |AB|. Dunque,

l uguaglianza |AB| = ` significa che ` e la classe di equivalenza

formata da tutti i segmenti congruenti con AB.

Si noti che, per definizione, |AA| = 0.

Naturalmente abbiamo una applicazione

S L , AB 7 |AB|

(che non e altro se non la mappa quoziente da S a S/ = L).

Proseguiamo segnalando quanto segue:

Date `,h L, si definisce ` + h L come la lunghezza del

segmento che si ottiene disponendo lungo una retta due segmenti

consecutivi, di lunghezze ` e h. Loperazione + : L L L e

commutativa e associativa. Per via della associativita , le somme

di tre o piu lunghezze sono definite in modo non ambiguo.

Ora siano ` L, n N. Si definisce n` := `+ ...+ ` (n volte),

intendendo n` := 0 se n = 0.

94

Siano ` L e m N := N \ {0}. Allora esiste ununica

lunghezza s tale che ` = ms; s si indica con`

m `/m (cosicche,

per definizione, ` = m(`/m)).

Ora siano ` L e x Q+ = Q+ {0}. Si definisce quanto

segue:

se x =n

m(n N,m N), allora x` := n `

m. (3.34)

La definizione precedente e ben posta, cioe non dipende dal modo

in cui si rappresenta x come rapporto di naturali (20). Se ora

fissiamo una unita di lunghezza u 6= 0, abbiamo una applicazione

Q+ L , x 7 xu ; (3.35)

questa e iniettiva (ma non suriettiva, come vedremo a pag. 140!).

Lo spazio delle lunghezze porta anche una relazione dordine

stretto < cos definita: date `, ` L, si pone ` < ` se esiste

h L \ {0} tale che ` = ` + h. (21) (22).20Si puo provare che, se x = n/m = n/m, con n, n N e m,m N, allora n(`/m) = n(`/m)21Naturalmente, possiamo definire un ordine largo 6 in L ponendo ` 6 ` se ` < ` oppure ` = `. Si

verifica che ` 6 ` se e solo se esiste h L (eventualmente nulla) tale che ` = `+ h22La (3.35) preserva lordine: se x, y Q+, x < y xu < yu

95

Numeri razionali e punti della retta

In questo paragrafo cominciamo un discorso che ci portera a pre-

cisare diverse affermazioni gia fatte nel capitolo Insiemi, applica-

zioni e relazioni..., relative alla corrispondenza tra numeri e punti

di una retta.

A tale fine consideriamo una retta r e muniamola di una orienta-

zione, o verso di percorrenza. Chiameremo questa lorientazione

positiva, o il verso positivo; laltro verso di percorrenza della

retta si dira lorientazione negativa, o anche il verso negativo.

Inoltre, fissiamo una volta per tutte:

. un punto O r, che si dira l origine;

. una lunghezza u 6= 0, che si dira lunita di lunghezza.

96

Con gli ingredienti precedenti possiamo definire una applicazione

Q r , x 7 P (x)

nel modo seguente:

Se x = 0, P (x) := O.

Se x Q+, P (x) e lunico punto di r tale che il verso da O a

P (x) coincida con quello positivo, e risulti |OP (x)| = xu.

Se x Q, P (x) e lunico punto di r tale che il verso da O a

P (x) coincida con quello negativo, e risulti |OP (x)| = (x)u

(si noti che x Q+).

97

Consideriamo sempre lapplicazione (3.36)

Q r , x 7 P (x) ; (3.36)

per ogni x Q, P (x) si dice il punto di ascissa x.

Segnaliamo quanto segue:

Si puo dimostrare che la (3.36) e una applicazione iniettiva: per

ogni x, y Q, P (x) = P (y) x = y.

Per x, y Q, x < y il verso da P (x) a P (y) e quello

positivo.

Abbiamo appena detto che la (3.36) e iniettiva. Invece, come

vedremo, tale applicazione non e suriettiva : esistono sulla retta

dei punti che non corrispondono ad alcun numero razionale.

Vedremo anche che la (3.36) ha una estensione con dominio lin-

sieme R dei numeri reali, che risulta biettiva tra R e r. (In effetti

R e un ampliamento di Q costruito per vari motivi, uno dei quali

e proprio la possibilita di istituire una corrispondenza biunivoca

con la retta).

98

Spesso, si fa lidentificazione

x Q ' P (x) r ;

cos, Q si identifica con un sottoinsieme di r (propriamente con-

tenuto in r, per il carattere non suriettivo della (3.36)).

Naturalmente, essendo N Z Q, la (3.36) si puo usare per

associare ad ogni naturale o intero relativo s un punto P (s) r

(spesso identificato con lo stesso s).

99

Un risultato di densita.

3.6 Esercizio. Siano x, y Q tali che x < y; verificare che

esiste z Q tale che

x < z < y . (3.37)

Soluzione. Poniamo ad esempio

z :=x + y

2. (3.38)

Allora

z x = x + y2 x = y x

2> 0 , da cui x < z ;

y z = y x + y2

=y x

2> 0 , da cui y > z .

Se identifichiamo gli elementi di Q con i punti di una retta r

(orientata, munita di origine e di unita di misura), la (3.37) del-

lEsercizio precedente si rappresenta come nella figura che segue.

Si noti che, se si definisce z come nella (3.38), z coincide con il

punto medio del segmento di estremi x e y.

100

I numeri razionali come allineamenti di cifre: intro-

duzione

Nello sviluppo dellargomento sopraindicato, lavoreremo sempre

in base dieci (anche se si potrebbe generalizzare, considerando

una base arbitraria). Inoltre, la maggior parte del nostro discorso

riguardera linsieme Q+ dei razionali non negativi; solo alla fine

includeremo nella trattazione anche Q.

Allineamenti decimali finiti

Consideriamo linsieme delle cifre in base dieci, cioe linsieme {0, 1, 2, ..., 9}.

(E appena il caso di dire che, in questa base, 10 sta per il numero

dieci).

3.7 Definizione. Si consideri una sequenza di cifre ck, ck1, ..., c1, c0,

d1, d2, ..., dm, dove k,m N e ck 6= 0 se k 6= 0. Porremo (23)

ck...c0, d1...dm := ck...c0 N

+d110

+d2102

+ ... +dm10m

= (3.39)

= ck10k + ck110

k1 + ...+ c1 10 + c0 +d110

+d2102

+ ...+dm10m

=

ki=0

ci10i +

mj=1

dj10j .

23Nel mondo anglosassone e piu usuale scrivere un punto . tra c0 e d1. La notazione con la virgola

tra c0 e d1, usata qui, e piu tradizionale in Italia.

101

Ogni numero razionale come nella (3.39) si dira un decimale

finito.

3.8 Esempio. Risulta

23, 74 = 23 +7

10+

4

100=

2374

100=

1187

50;

23, 7400 = 23 +7

10+

4

100+

0

1000+

0

10.000= 23, 74 .

Consideriamo, in generale, due sequenze di cifre ck, ..., c0, d1, ...dm

e CK, ..., C0, D1, ..., DM (con ck 6= 0 se k 6= 0 e CK 6= 0 se

K 6= 0). Luguaglianza

CK...C0, D1...DM = ck...c0, d1...dm (3.40)

vale se e solo se si verificano entrambe le condizioni i)ii) scritte qui

sotto:

i) K = k, CK = cK , CK1 = cK1, ..., C0 = c0;

ii) M > m e D1 = d1, D2 = d2, ..., Dm = dm, Dm+1 = 0,..,

DM = 0,

oppure M < m e D1 = d1, D2 = d2, ..., DM = dM , dM+1 = 0,..,

dm = 0.

102

Allineamenti decimali infiniti

Per leggere quanto segue, conviene ricordare che N := N \ {0} =

{1, 2, ...}.

3.9 Definizione. Si chiama allineamento decimale infinito ogni

espressione del tipo

ck...c0, d1d2... , (3.41)

dove: k N; ck, ck1, ..., c1, c0, {0, .., 9}; ck 6= 0 se k 6= 0;

dj {0, 1, ..., 9} per ogni j N = {1, 2, ...}.

Si indichera con A linsieme di queste espressioni.

Ora consideriamo linsieme Q+ := Q+ {0} dei razionali non

negativi.

3.10 Proposizione. Sia x Q+; allora esiste uno ed un solo

allineamento decimale infinito ck...c0, d1d2... tale che, per ogni

` N,

(3.42)

ck...c0, d1...d` 6 x < ck...c0, d1...d` +1

10`(3.42)`

(dove lequazione appena scritta si deve intendere cos per ` = 0:

ck...c0 6 x < ck...c0 + 1).

103

Se x =n

m(con n N, m N), lallineamento in questione e

determinato dalle relazioni seguenti, che coinvolgono anche una

successione di resti r0, r1, r2... {0, ...,m 1}:

(3.43)

n = m(ck...c0)+r0 , (3.43)0

cioe: ck...c0 N e r0 sono il quoto e il resto nella divisione di n

per m;

10 r0 = md1+r1 , (3.43)1

cioe: d1 e r1 sono il quoto e il resto nella divisione di 10 r0 per m;

10 r1 = md2+r2 , (3.43)2

cioe: d2 e r2 sono il quoto e il resto nella divisione di 10 r1 per m,

ecc. (Si noti che, per i = 0, 1, 2, ... e 0 6 10ri 6 10(m 1) s+t e ricordando la (3.65),

possiamo affermare quanto segue:

ds+t+1 = ds+1 = p1, ds+t+2 = ds+2 = p2, ..., ds+2t = ds+t = pt,

(3.68)

ds+2t+1 = ds+t+1 = ds+1 = p1 , ds+2t+2 = ds+t+2 = ds+2 = p2 , ecc. ...

Dunque, nella successione (di)i=s+1,s+2,... si ripete infinite volte

la sequenza p1...pt. Tenendo presente che le cifre d1, ..., ds si

chiamano a1, ..., as otteniamo finalmente

R(x) = ck...c1, a1...asp1...ptp1...pt... , (3.69)

il che prova la periodicita dellallineamento.

118

Fatti elementari sulla rappresentazione decimale.

Consideriamo sempre lapplicazione R : Q+ A.

Da qui in avanti daremo per acquisiti i risultati su R descritti dalla

Proposizione che segue (tutti corrispondenti a fatti che dovrebbero

essere ben noti, e che non e difficile provare in modo formale):

3.22 Proposizione. i) Si consideri un numero naturale, scritto

nella usuale rappresentazione in base dieci ck...c0. Allora

R(ck...c0) = ck...c0, 00... = ck...c0, 0 . (3.70)

(In particolare R(0) = 0, 00... = 0, 0).

ii) Si consideri un decimale finito ck...c0, d1...dm. Allora

R(ck...c0, d1...dm) = ck...c0, d1...dm00... = ck...c0, d1...dm0 . (3.71)

iii) Sia x Q+ tale che

R(x) = ck...c0, d1d2... (3.72)

Allora, per ogni u N,

R(10ux) = ck...c0d1d2...du, du+1... (3.73)

(cioe, a parole: moltiplicando per 10u, la virgola si sposta di u

posti a destra) (26).26 Nel secondo membro della (3.73), si sottointende la rimozione di eventuali zeri iniziali tra le cifre

ck...du1. Ad esempio se R(x) = 0, 013... e si sceglie u = 2, la applicazione letterale della (3.73)

ci porta alla uguaglianza R(102x) = 001, 3..., che deve essere riscritta rimuovendo i due zeri iniziali:

R(102x) = 1, 3...

119

iv) x, y Q+ siano tali che

R(x) = ck...c0, d1d2... (3.74)

R(y) = qh...q0, d1d2... (3.75)

(con le stesse cifre dopo la virgola), e con

ck...c0 N

> qh...q0 N

. (3.76)

Allora

x y = ck...c0 qh...q0 N . (3.77)

v) Sia x Q+ tale che

R(x) = ck...c0, d1d2... (3.78)

Allora, considerando il numero ck...c0 N si trova che x

ck...c0 Q+, e

R(x ck...c0) = 0, d1d2... (3.79)

120

3.23 Esempi. Per i lettori che avessero qualche difficolta ad

interpretare le affermazioni i)...v) nella Proposizione precedente

(e a riconoscerle come familiari), qui di seguito scriviamo delle

affermazioni I)...V) costituenti casi particolari delle i)...v):

I) R(321) = 321, 00... = 321, 0 .

II) R(321, 57) = 321, 5700... = 321, 570 .

III) Se R(x) = 43, 1598787... = 43, 15987 allora

R(102x) = 4315, 98787... = 4315, 987 .

IV) Se R(x) = 17, 152 e R(y) = 4, 152, allora

x y = 17 4 = 13 .

V) Se R(x) = 26, 328, allora R(x 26) = 0, 328

121

Impossibilita delle rappresentazioni decimali con pe-

riodo 9

Cominciamo con il nostro discorso con il seguente

3.24 Lemma. Non esiste x Q+ tale che

R(x) = 0, 99... = 0, 9 . (3.80)

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che un tale x esista.

Da R(x) = 0, 99... (e dalle (3.42)` di pag. 103) segue: 0 6 x > 0 .

Riscriviamo lultimo risultato cos :

0 < 61

10`per ogni ` N . (3.83)

Questa conclusione e contraddittoria: non esiste nessun razionale

positivo che sia minore o uguale di ciascuno dei numeri 1,1

10,

1

100, ecc.

123

Usando il Lemma preceden