Capitolo 2 Numeri interi, razionali, reali ... Livio Pizzocchero APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA

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Livio Pizzocchero

APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA DEL

CONTINUO

(corso di laurea in Informatica Musicale)

Capitolo 2Numeri interi, razionali, reali:

approfondimenti. Spazi Rn

(Note in continua evoluzione)

1

2

3

4

5

6

7

8

Indice

1 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI NATURALI. 21

Notazioni di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21La somma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Somme multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Il prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Prodotti multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Una nuova operazione: lelevamento a potenza . . . . . . . . . . 30Un problema che non ha sempre soluzione in N: la sottra-

zione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ordinamento dei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Un altro problema che non ha sempre soluzione in N: la

divisione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Problema della divisione con resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Rappresentazione in base dieci per i numeri naturali. . . . . . 38Rappresentazione in base arbitraria per i naturali. . . . . . . 39Numeri primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Curiosita sui numeri primi. La congettura di Goldbach . . 50Principio di induzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 APPROFONDIMENTI SUGLI INTERI RELATIVI. 60

Z e le operazioni di somma e prodotto. . . . . . . . . . . . . . . . . 60Lopposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Nozione generale di anello. Z e un anello commutativo. . . . 63Gli anelli commutativi Zm. Aritmetica modulare. . . . . . . 65Fatti generali sugli anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Nozione generale di anello ordinato. L esempio di Z. . . . . 71Altri fatti sugli anelli ordinati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Se m > 2, lanello Zm non e ordinabile. . . . . . . . . . . . . . . . 76Non risolvibilita in Z del problema della divisione . . . . . . . 77

9

3 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI RAZIONALI 78

Definizione dei razionali come classi di equivalenza . . . . . . . 78Linclusione Z Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Sulla notazione per i razionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Somma, prodotto e opposto in Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Il reciproco. Risolvibilita del problema della divisione per

un razionale non nullo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Concetto generale di campo. Q come esempio di campo. . . 86Fatti generali sui campi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Campi ordinati. Lesempio di Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Alcuni fatti sui campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Lunghezze dei segmenti, e razionali non negativi . . . . . . . . 93Numeri razionali e punti della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Un risultato di densita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100I numeri razionali come allineamenti di cifre: introduzione 101Allineamenti decimali finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Allineamenti decimali infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Calcolo della rappresentazione decimale di un razionale. . . 110Fatti elementari sulla rappresentazione decimale. . . . . . . . 119Impossibilita delle rappresentazioni decimali con periodo 9 122Qualunque allineamento periodico di periodo 6= 9 e la rap-

presentazione decimale di un x Q+ . . . . . . . . . . . . . . 125Identificazione di qualunque x Q+ con la sua rappresen-

tazione decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Sulla rappresentazione di un x Q+ come rapporto di

naturali, nota la sua rappresentazione decimale. . . . . . . 129Rappresentazione decimale di un razionale negativo . . . . . . 134Una caratteristica di incompletezza di Q emergente dallo

studio delle rappresentazioni decimali. . . . . . . . . . . . . . . 135Il problema della radice quadrata nei razionali. Una nuova

manifestazione di incompletezza di Q. . . . . . . . . . . . . . . 136

10

Unaltra manifestazione di incompletezza di Q: i numerirazionali non bastano per misurare le lunghezze di tuttii segmenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Esistono punti della retta che non hanno ascissa razionale . 141Sottoinsiemi separati ed elementi separatori negli insiemi

ordinati. Completezza di un insieme ordinato . . . . . . . . 143Q e un insieme ordinato non completo. . . . . . . . . . . . . . . . . 154Una digressione: morfismi e isomorfismi di anelli (o di cam-

pi), e di anelli (o campi) ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Z e immerso in ogni anello, Q e immerso in (quasi) ogni

campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI REALI 182

Definizione di R come campo ordinato completo . . . . . . . . 182Un punto di vista definitivo su R. Limmersione di Q in R. 188Gli irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Alcuni fatti su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Parte intera di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Mantissa di un numero reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Risultati di densita per razionali e irrazionali . . . . . . . . . . . 206La corrispondenza biunivoca tra R+ e linsieme delle lun-

ghezze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Numeri reali e punti della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Rappresentazione decimale di un numero reale non negativo.221Ogni allineamento decimale (che non abbia periodo 9) e la

rappresentazione decimale di un reale non negativo. . . . 228Identificazione di qualunque x R+ con la sua rappresen-

tazione decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Parte intera e mantissa di un x R+ dalla rappresentazione

decimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Rappresentazione decimale di un numero reale negativo . . 235Il teorema di Cantor sulla non numerabilita di R. . . . . . . . 236

11

Il problema della radice quadrata (di un reale non negativo)ha sempre soluzione in R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Valore assoluto di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Gli insiemi {|x x0| < }.Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Massimo e minimo di un sottoinsieme A di R . . . . . . . . . . 260Estremo superiore di un sottoinsieme di R. . . . . . . . . . . . . . 266Estremo inferiore di un sottoinsieme di R. . . . . . . . . . . . . . 279Qualche complemento sullestremo superiore e inferiore. . . 291Un primo incontro con la topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Parte interna, frontiera ed esterno di un sottoinsieme A di

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Sottoinsiemi aperti di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316La parte interna di ogni sottoinsieme di R e un aperto

(cos come la parte esterna) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322Sottoinsiemi chiusi di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Chiusura di un sottoinsieme di R. Nozione di punto aderente331Un complemento: estremo superiore, estremo inferiore e

chiusura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Sottoinsiemi densi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Sottoinsiemi limitati di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Sottoinsiemi compatti di R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Punti di accumulazione. Insieme derivato. . . . . . . . . . . . . . 352Punti isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5 LA FORMULA DEL BINOMIO 364

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364Qualche identita relativa alle sommatorie. . . . . . . . . . . . . . 365Deduzione della formula del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

6 ALCUNI FATTI RELATIVI A R2 E ALLA SUA CORRISPONDENZA

CON IL PIANO. 381

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Rappresentazione cartesiana della retta. . . . . . . . . . . . . . . . 383

12

La distanza tra due punti del piano, in termini delle lorocoordinate cartesiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

La funzione distanza tra punti del piano e le sue proprieta. 403Circonferenze e dischi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Nozione di intorno di un punto di R2. Punti interni, esterni

e di frontiera di un sottoinsieme di R2. . . . . . . . . . . . . . 409Sottoinsiemi aperti di R2. La parte interna di un sottoin-

sieme di R2 e un aperto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Sottoinsiemi chiusi di R2. Chiusura e punti aderenti per

un sottoinsieme