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Livio Pizzocchero
APPUNTI PER IL CORSO DI MATEMATICA DEL
CONTINUO
(corso di laurea in Informatica Musicale)
Capitolo 2Numeri interi, razionali, reali:
approfondimenti. Spazi Rn
(Note in continua evoluzione)
1
2
3
4
5
6
7
8
Indice
1 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI NATURALI. 21
Notazioni di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
La somma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Somme multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Il prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Prodotti multipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Una nuova operazione: l’elevamento a potenza . . . . . . . . . . 30
Un problema che non ha sempre soluzione in N: la sottra-zione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Ordinamento dei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Un altro problema che non ha sempre soluzione in N: ladivisione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Problema della divisione con resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Rappresentazione in base dieci per i numeri naturali. . . . . . 38∗Rappresentazione in base arbitraria per i naturali. . . . . . . 39
Numeri primi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44∗Curiosita sui numeri primi. La congettura di Goldbach . . 50
Principio di induzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 APPROFONDIMENTI SUGLI INTERI RELATIVI. 60
Z e le operazioni di somma e prodotto. . . . . . . . . . . . . . . . . 60
L’opposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Nozione generale di anello. Z e un anello commutativo. . . . 63∗Gli anelli commutativi Zm. Aritmetica modulare. . . . . . . 65
Fatti generali sugli anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Nozione generale di anello ordinato. L’ esempio di Z. . . . . 71
Altri fatti sugli anelli ordinati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75∗Se m > 2, l’anello Zm non e ordinabile. . . . . . . . . . . . . . . . 76
Non risolvibilita in Z del problema della divisione . . . . . . . 77
9
3 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI RAZIONALI 78
Definizione dei razionali come classi di equivalenza . . . . . . . 78
L’inclusione Z ⊂ Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Sulla notazione per i razionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Somma, prodotto e opposto in Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Il reciproco. Risolvibilita del problema della divisione perun razionale non nullo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Concetto generale di campo. Q come esempio di campo. . . 86
Fatti generali sui campi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Campi ordinati. L’esempio di Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Alcuni fatti sui campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lunghezze dei segmenti, e razionali non negativi . . . . . . . . 93
Numeri razionali e punti della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Un risultato di densita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
I numeri razionali come allineamenti di cifre: introduzione 101
Allineamenti decimali finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Allineamenti decimali infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Calcolo della rappresentazione decimale di un razionale. . . 110∗Fatti elementari sulla rappresentazione decimale. . . . . . . . 119
Impossibilita delle rappresentazioni decimali con periodo 9 122
Qualunque allineamento periodico di periodo 6= 9 e la rap-presentazione decimale di un x ∈ Q+ . . . . . . . . . . . . . . 125
Identificazione di qualunque x ∈ Q+ con la sua rappresen-tazione decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Sulla rappresentazione di un x ∈ Q+ come rapporto dinaturali, nota la sua rappresentazione decimale. . . . . . . 129
Rappresentazione decimale di un razionale negativo . . . . . . 134
Una caratteristica di “incompletezza” di Q emergente dallostudio delle rappresentazioni decimali. . . . . . . . . . . . . . . 135
Il problema della radice quadrata nei razionali. Una nuovamanifestazione di incompletezza di Q. . . . . . . . . . . . . . . 136
10
Un’altra manifestazione di incompletezza di Q: i numerirazionali non bastano per misurare le lunghezze di tuttii segmenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Esistono punti della retta che non hanno ascissa razionale . 141
Sottoinsiemi separati ed elementi separatori negli insiemiordinati. Completezza di un insieme ordinato . . . . . . . . 143
Q e un insieme ordinato non completo. . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Una digressione: morfismi e isomorfismi di anelli (o di cam-pi), e di anelli (o campi) ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Z e immerso in ogni anello, Q e immerso in (quasi) ognicampo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI REALI 182
Definizione di R come campo ordinato completo . . . . . . . . 182
Un punto di vista definitivo su R. L’immersione di Q in R. 188
Gli irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Alcuni fatti su R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Parte intera di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Mantissa di un numero reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Risultati di densita per razionali e irrazionali . . . . . . . . . . . 206
La corrispondenza biunivoca tra R+ e l’insieme delle lun-ghezze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Numeri reali e punti della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Rappresentazione decimale di un numero reale non negativo.221
Ogni allineamento decimale (che non abbia periodo 9) e larappresentazione decimale di un reale non negativo. . . . 228
Identificazione di qualunque x ∈ R+ con la sua rappresen-tazione decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Parte intera e mantissa di un x ∈ R+ dalla rappresentazionedecimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Rappresentazione decimale di un numero reale negativo . . 235
Il teorema di Cantor sulla non numerabilita di R. . . . . . . . 236
11
Il problema della radice quadrata (di un reale non negativo)ha sempre soluzione in R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Valore assoluto di un numero reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Gli insiemi {|x− x0| < ε}.Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Massimo e minimo di un sottoinsieme A di R . . . . . . . . . . 260
Estremo superiore di un sottoinsieme di R. . . . . . . . . . . . . . 266
Estremo inferiore di un sottoinsieme di R. . . . . . . . . . . . . . 279
Qualche complemento sull’estremo superiore e inferiore. . . 291
Un primo incontro con la topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Parte interna, frontiera ed esterno di un sottoinsieme A diR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Sottoinsiemi aperti di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
La parte interna di ogni sottoinsieme di R e un aperto(cosı come la parte esterna) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Sottoinsiemi chiusi di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Chiusura di un sottoinsieme di R. Nozione di punto aderente331
Un complemento: estremo superiore, estremo inferiore echiusura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Sottoinsiemi densi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Sottoinsiemi limitati di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Sottoinsiemi compatti di R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Punti di accumulazione. Insieme derivato. . . . . . . . . . . . . . 352
Punti isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5 LA FORMULA DEL BINOMIO 364
Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364∗Qualche identita relativa alle sommatorie. . . . . . . . . . . . . . 365
Deduzione della formula del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
6 ALCUNI FATTI RELATIVI A R2 E ALLA SUA CORRISPONDENZA
CON IL PIANO. 381
Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Rappresentazione cartesiana della retta. . . . . . . . . . . . . . . . 383
12
La distanza tra due punti del piano, in termini delle lorocoordinate cartesiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
La funzione distanza tra punti del piano e le sue proprieta. 403
Circonferenze e dischi nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Nozione di intorno di un punto di R2. Punti interni, esternie di frontiera di un sottoinsieme di R2. . . . . . . . . . . . . . 409
Sottoinsiemi aperti di R2. La parte interna di un sottoin-sieme di R2 e un aperto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Sottoinsiemi chiusi di R2. Chiusura e punti aderenti perun sottoinsieme di R2. Sottoinsiemi densi. . . . . . . . . . . 418
Sottoinsiemi limitati di R2. Sottoinsiemi compatti. . . . . . . 423
Punti di accumulazione per un sottoinsieme di R2. Insiemederivato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Punti isolati di un sottoisieme di R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
7 QUALCHE FATTO SU R3. CENNI SU Rn PER n ARBITRARIO. 428
Un richiamo: la corrispondenza tra R3 e lo spazio ordinarioindotta da un terna di assi cartesiani. . . . . . . . . . . . . . . 428
La distanza tra punti dello spazio ordinario. . . . . . . . . . . . . 430
Sfere nello spazio ordinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Nozione di intorno di un punto di R3. Aperti e chiusi inR3, ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Lo spazio Rn: distanza tra due punti, ipersfere, intorni,aperti, chiusi... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
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20
1 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI NATURA-
LI.
Notazioni di base.
Come gia convenuto, si chiamano naturali i numeri 0, 1, 2, 3, ...,
e si indica con N l’insieme di questi numeri. Dunque
N := {0, 1, 2, 3, ....} . (1.1)
Nel seguito, usereremo anche la notazione
N∗ := N \ {0} = {1, 2, 3, ...} . (1.2)
L’insieme N porta due operazioni fondamentali, la somma e il
prodotto, di cui parleremo qui di seguito.
La somma.
Questa e una applicazione
+ : N× N→ N , (1.3)
(m,n) 7→ m + n ,
dotata delle proprieta descritte qui di seguito.
21
•La somma e commutativa: per ogni m,n ∈ N,
m + n = n + m . (1.4)
•La somma e associativa: per ogni m,n, p ∈ N,
(m + n) + p = m + (n + p) . (1.5)
•La somma possiede un elemento neutro, che e lo zero. Con cio
si intende che, per ogni m ∈ N,
m + 0 = 0 + m = m . (1.6)
•Vale la seguente legge di cancellazione : se m,m, p ∈ N,
m + p = n + p⇐⇒ m = n (1.7)
(si ricordi che ⇐⇒ significa: equivale).
Somme multiple
Per via della associativita, una espressione come
m + n + p
e non ambigua: essa indica sia il numero (m+n)+p che il numero
m + (n + p).
22
Considerazioni simili si possono fare per somme coinvolgenti quat-
tro o piu numeri naturali. Ad esempio, se m,n, p, q ∈ N, i
numeri
((m + n) + p) + q, (m + (n + p)) + q,m + ((n + p) + q), ecc.
sono tutti tra loro uguali, e si possono indicare con
m + n + p + q .
Generalizzando queste considerazioni, per ogni k ∈ {1, 2, ...} si
puo definire in modo non ambiguo la somma di k numeri naturali
n1, ..., nk (k = 1, 2, 3, ...), che si indica con
n1 + ... + nk . (1.8)
Se k = 1, questa espressione indica semplicemente in numero n1.
Per vari motivi, e conveniente estendere la definizione di somma
multipla al caso k = 0, intendendo
n1 + ... + nk := 0 se k = 0. (1.9)
Per indicare una somma multipla n1 + ... + nk, si usa spesso la
notazione alternativak∑i=1
ni , (1.10)
23
che si legge cosı : “somma degli ni, per i da 1 a k”. L’espressione
appena scritta si chiama anche una sommatoria, e∑
si chiama
il simbolo di sommatoria. Questa notazione e spesso utile: la
impiegheremo non solo per i numeri naturali, ma anche per altri
tipi di numeri (razionali, reali, complessi), considerati in seguito.
Naturalmente, la proprieta commutativa della somma implica
nσ(1) + ... + nσ(k) = n1 + ... + nk (1.11)
per ogni permutazione σ di {1, ..., k}.
Ora consideriamo un arbitrario insieme I di cardinalita finita k,
ed una famiglia (ni)i∈I di numeri naturali. Porremo∑i∈I
ni := ni1 + ... + nik (1.12)
dove si considera una qualunque biiezione {1, ..., k} → I , 1 7→ i1,
..., k 7→ ik; la somma non dipende dalla biiezione scelta, pro-
prio per la proprieta commutativa. Il simbolo∑
i∈I ni si legge:
”somma degli ni, al variare di i in I”.
24
Infine, se abbiamo una successione infinita n1, n2, n3, ... di numeri
naturali, e ni 6= 0 solo per un numero finito di indici i1, ..., ik,
porremo (1)
n1 + n2 + ... ≡+∞∑i=1
ni := ni1 + ni2 + ... + nik . (1.13)
Qui compare il simbolo∞ di infinito, che in seguito useremo spes-
so; l’espressione∑+∞
i=1 ni si legge ”somma degli ni, per i da 1 a +
infinito.
Ancora piu in generale, se e data una famiglia (ni)i∈J di numeri
naturali, indiciata da un insieme infinito J ma con ni 6= 0 solo
per i in un insieme finito I , porremo∑i∈J
ni :=∑i∈I
ni . (1.14)
1Il simbolo ≡ e usato spesso per indicare che due espressioni (in questo caso n1 +n2 + ... e∑+∞
i=1 ni)
denotano, per definizione, lo stesso oggetto (in questo caso, la somma ni1 + ni2 + ...+ nik).
25
Il prodotto
Questa e una applicazione
N× N→ N , (1.15)
(m,n) 7→ mn
(spesso indicata anche con m · n o m × n) che si puo definire in
termini della somma, nel modo seguente:
mn := n + n + ... + n︸ ︷︷ ︸m volte
. (1.16)
Per m = 0, nel secondo membro di questa equazione figura una
somma con zero addendi, che e nulla per definizione: dunque
0n = 0 . (1.17)
Ecco le principali proprieta del prodotto.
•Il prodotto e commutativo e associativo: per ogni m,n, p ∈ N.
mn = nm (1.18)
(mn)p = m(np) (1.19)
26
•Il prodotto possiede un elemento neutro, che e l’unita. Con cio
si intende che, per ogni m ∈ N,
1m = m1 = m. (1.20)
•Il prodotto e distributivo (sia a sinistra che a destra) rispetto alla
somma (2): per ogni m,m, p ∈ N,
(m + n)p = mp + np , (1.21)
p(m + n) = pm + pn . (1.22)
•Vale la seguente legge di cancellazione : se m,m, p ∈ N e p 6= 0,
mp = np⇐⇒ m = n . (1.23)
Prodotti multipli
Per via della associativita, sono non ambigue espressioni come
mnp, mnpq, coinvolgenti 3 o 4 numeri naturali.
Piu in generale e ben definito il prodotto di k numeri naturali
n1, ..., nk (k = 1, 2, 3, ...), che si indica con
n1...nk . (1.24)
Se k = 1, questa espressione indica semplicemente in numero
n1. La definizione dei prodotti multipli si estende al caso k = 0,2In effetti, la distributivita a sinistra (1.22) segue dalla distributivita destra (1.21) e dalla proprieta
commutativa del prodotto
27
intendendo
n1...nk := 1 se k = 0 (1.25)
(questa convenzione era gia stata usata nel Capitolo 1).
Per indicare il prodotto multiplo n1...nk, si usa spesso la notazione
alternativak∏i=1
ni , (1.26)
che si legge cosı : “prodotto degli ni, per i da 1 a k”. L’espressione
appena scritta si chiama anche una produttoria, e∏
si chiama il
simbolo di produttoria. Come le sommatorie, anche le produttorie
si usano non solo nell’ambito di N, ma anche degli altri insiemi
numerici di cui ci occuperemo in seguito.
La proprieta commutativa del prodotto implica
nσ(1)..nσ(k) = n1...nk (1.27)
per ogni permutazione σ di {1, ..., k}.
Ora consideriamo un arbitrario insieme I di cardinalita finita k,
ed una famiglia (ni)i∈I di numeri naturali. Porremo∏i∈I
ni := ni1...nik (1.28)
dove si considera una qualunque biiezione {1, ..., k} → I , 1 7→
i1, ..., k 7→ ik; il prodotto non dipende dalla biiezione scelta,
28
proprio per la proprieta commutativa. Il simbolo∏
i∈I ni si legge:
”prodotto degli ni, al variare di i in I”.
Infine, se abbiamo una successione infinita n1, n2, n3, ... di numeri
naturali, e ni 6= 1 solo per un numero finito di indici i1, ..., ik,
porremo
n1n2... ≡+∞∏i=1
ni := ni1ni2...nik . (1.29)
Qui e comparso di nuovo il simbolo ∞ di infinito; l’espressione∏+∞i=1 ni si legge ”prodotto degli ni, per i da 1 a + infinito).
Ancora piu in generale, se e data una famiglia (ni)i∈J di numeri
naturali, indiciata da un insieme infinito J ma con ni 6= 1 solo
per i in un insieme finito I , porremo∏i∈J
ni :=∏i∈I
ni . (1.30)
29
Una nuova operazione: l’elevamento a potenza
Dati due naturali n, k, definiamo
nk := n...n︸︷︷︸k volte
. (1.31)
(Ad esempio: 23 := 2 · 2 · 2 = 8). Si dice che nk e la potenza
k-esima di n, o la potenza di n con esponente k. Per k = 0,
la definizione (1.31) coinvolge un prodotto di zero elementi che
abbiamo posto uguale ad 1 per definizione, dunque
n0 = 1 . (1.32)
Dalla definizione data, e facile dedurre che
nhnk = nh+k (1.33)
(nh)k = nhk (1.34)
per ogni n, h, k ∈ N. (3)
3Questo vale anche se h = 0 o k = 0. Ad esempio, se h = 0, la relazione (1.33) prende la forma
nk = n0nk, una uguaglianza chiaramente vera perche n0 = 1. Da qui si comprende perche e conveniente
definire n0 = 1 e, piu in generale, perche e utile definire uguale ad 1 un prodotto di 0 fattori. La buona
matematica funziona sempre cosı : le definizioni non vengono date “a caso”, ma scelte in modo tale che
da esse si possano dedurre dei risultati interessanti.
30
Un problema che non ha sempre soluzione in N: la
sottrazione.
Consideriamo due numeri naturali n,m.
1.1 Definizione. Il problema della sottrazione da n di m e
il seguente:
?d ∈ N tale che n = m + d . (1.35)
(? significa: ”trova”). Un d come sopra si chiama una soluzione
del problema (in N). �
Fin dai primi anni di scuola, si impara quanto segue:
i) Dati n,m, il problema puo avere o non avere soluzione. Ad
esempio, il problema 5 = 2 + d ha soluzione d = 3, mentre il
problema 5 = 7 + d non ha soluzione.
ii) La soluzione d del problema, se esiste, e unica. Essa si chiama
la differenza tra n ed m, e si indica con n−m.
31
Nello studio degli insiemi numerici (come N), quando si incontra
un problema non sempre risolvibile si usa tipicamente questa stra-
tegia: ampliare l’insieme numerico, in modo che il problema
sia sempre risolvibile nell’insieme numerico ampliato.
Se il problema e quello della sottrazione in N, l’ampliamento
di N in cui il problema e sempre risolvibile e l’insieme Z =
{...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} degli interi relativi, su cui torneremo.
Ad esempio il problema 5 = 7 + d, non risolvibile in N, possiede
in Z una ed una sola soluzione d = −2.
32
Ordinamento dei numeri naturali
Ricordiamo che N∗ sta per N \ {0}.
1.2 Definizione. Siano m,n ∈ N.
Diciamo che m e minore di n, e scriviamo m < n, se esiste d ∈ N∗
tale che n = m+ d (cioe, se il problema della sottrazione da n di
m ha una soluzione non nulla).
A proposito di <, dobbiamo rimarcare quanto segue:
•Si puo provare che < e una relazione di ordine stretto tota-
le su N (cfr. il Capitolo ”Considerazioni introduttive. Insiemi,
applicazioni e relazioni...”).
•Come si fa in generale in presenza di un ordine stretto, possiamo
usare < per definire una relazione d’ordine largo 6 su N, letta
”minore o uguale”; piu precisamente, dati m,n ∈ N diciamo che
m 6 n se m < n oppure m = n. Si vede facilmente che
m 6 n⇐⇒ esiste d ∈ N tale che n = m + d (1.36)
⇐⇒ il problema della sottrazione da n di m ha soluzione
(Naturalmente, il numero d di cui sopra e zero se e solo se m = n).
•Dati m,n ∈ N, definiamo n > m (”n e maggiore di m”) se
33
m < n e n > m (”n e maggiore uguale ad n”) se n > m oppure
n = m; e chiaro che n > m se e solo se m 6 n.
•Le relazioni definite sopra soddisfano delle condizioni di compati-
bilita con le operazioni di somma e prodotto. Piu specificamente,
indicando con m,n, p degli arbitrari elementi di N:
m < n⇔ m + p < n + p ; (1.37)
se p 6= 0 , m < n⇔ pm < pn ; (1.38)
m 6 n⇒ pm 6 pn ; (1.39)
se p 6= 0 , m 6 n⇔ pm 6 pn (1.40)
34
Un altro problema che non ha sempre soluzione in N:
la divisione.
Consideriamo due numeri naturali n,m.
1.3 Definizione. Il problema della divisione di n per m e il
seguente:
?q ∈ N tale che n = mq . (1.41)
Se il problema (1.41) ha una soluzione q ∈ N si dice che m divide
n, o che m e un divisore di n. �
Fin dai primi anni di scuola, si impara quanto segue:
i) Il problema puo avere o non avere soluzione. Ad esempio, il
problema 6 = 2q ha soluzione q = 3, mentre il problema 7 = 2q
non ha nessuna soluzione q (in N).
ii) Se n 6= 0 e m = 0, il problema non ha soluzione (non c’e nessun
q tale che n = 0q). In altri termini, un n 6= 0 non si puo dividere
per zero.
iii) Se n = m = 0, il problema ha come soluzione qualunque
q ∈ N (perche 0 = 0q per ogni q).
iv) Sia m 6= 0. Se n = mq ha una soluzione q, questa e unica.
35
1.4 Definizione. Se m 6= 0 e il problema n = mq ha soluzione,
la soluzione q si chiama il quoziente tra n ed m e si indica anche
conn
m(o n/m, o n : m). �
Ad esempio, essendo 6 = 2 · 3 possiamo scrivere 6/2 = 3. (Ov-
viamente, essendo anche 6 = 3 · 2 possiamo dire che 6/3 = 2)
Abbiamo gia detto che, nello studio degli insiemi numerici (come
N), per rendere un problema sempre risolvibile si cerca di amplia-
re l’insieme numerico di partenza. Se il problema e quello della
divisione, l’ampliamento che raggiunge lo scopo e l’insieme Q dei
numeri razionali (o delle “frazioni”’, su cui torneremo); qui si puo
dividere per qualunque mumero non nullo.
Ad esempio il problema 7 = 2q non ha soluzione q ∈ N, ma
possiede in Q una (ed una sola) soluzione q =7
2.
36
Problema della divisione con resto.
E’ una versione piu generale del problema della divisione, sempre
risolvibile in N. Per formularlo, consideriamo n,m ∈ N con m 6=
0.
1.5 Definizione. Il problema della divisione di n per m con
resto e il seguente:
?(q, r) ∈ N× N tale che n = mq + r, r < m. (1.42)
�
Si dimostra che questo problema ha sempre una ed una soluzione
(q, r). Si dice che q e il quoto, ed r il resto (relativamente alla
coppia (n,m)); si dice anche che m divide n a meno di un resto
r. (Ad esempio il problema 7 = 2q+ r, r < 2 ha l’unica soluzione
q = 3, r = 1; 3 e il quoto, 1 il resto).
Naturalmente, m divide n nel senso di pag. 35 (cioe n = mq per
qualche q) se e solo se m divide n a meno di un resto r = 0.
37
Rappresentazione in base dieci per i numeri naturali.
Fin dalle scuole elementari, noi impariamo a rappresentare i nu-
meri naturali in base dieci; in sostanza, le cose funzionano cosı.
Fissiamo l’attenzione sui numeri naturali da 0 a dieci meno uno,
cioe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che chiamiamo ”cifre”. Cio premes-
so, sia k ∈ {0, 1, 2, 3, ...} e consideriamo una famiglia di cifre
ck, ck−1, ., c1, c0 ∈ {0, 1, ..., 9}, con ck 6= 0 se k 6= 0. Definiamo
ck · · · c0 := ck ·diecik+ck−1 ·diecik−1+ ...+c1 ·dieci1+c0 ·dieci0 =
= ck · diecik + ck−1 · diecik−1 + ... + c1 · dieci + c0 . (1.43)
In particolare,
10 := 1 · dieci + 0 = dieci ; (1.44)
per questo motivo, la definizione precedente si puo riscrivere cosı:
ck · · · c0 := ck · 10k + ck−1 · 10k−1 + ... + c1 · 10 + c0 . (1.45)
Ecco alcuni esempi:
100 := 1 · 102 + 0 · 10 + 0 = 102 . (1.46)
234 := 2 · 102 + 3 · 10 + 4 = 2 · 100 + 3 · 10 + 4 . (1.47)
(Naturalmente, questi due numeri si chiamano “cento” e “duecen-
totrentaquatro”).
Si dimostra che ogni numero naturale ha una ed una sola rappre-
sentazione in base dieci (questa affermazione e un caso particolare
38
di una affermazione piu generale, relativa alla rappresentazione in
base qualunque di cui parleremo qui di seguito).
∗Rappresentazione in base arbitraria per i naturali.
Generalizzando quanto detto nel paragrafo precedente, si puo in-
trodurre la rappresentazione dei naturali rispetto ad una base
qualunque b ∈ {2, 3, 4, ...} (4). Per farlo, fissiamo l’attenzione
sui numeri naturali da 0, 1, 2, ..., b − 1, che chiamiamo le ”cifre”
della rappresentazione in base b.
Cio premesso, sia k ∈ {0, 1, 2, 3, ...} e consideriamo una famiglia
di cifre ck, ck−1, ..., c1, c0 ∈ {0, 1, ..., b− 1}, con ck 6= 0 se k 6= 0.
Definiamo
ck · · · c0|b := ck · bk + ck−1 · bk−1 + ... + c1 · b1 + c0 · b0 =
= ck · bk + ck−1 · bk−1 + ... + c1 · b + c0 . (1.48)
In particolare,
10|b := 1 · b + 0 = b ; (1.49)
Per b = dieci, si ritrovano le costruzioni della pagina precente.
Trattando questo caso, si omette il simbolo |dieci (come avevamo
fatto alla pagina precedente).4Nota storica: questa idea e molto antica. Tanto per fare un esempio, il sistema sessagesimale
dei babilonesi si puo mettere in relazione con la rappresentazione in base sessanta. Nel 1600 c’e gia
una visione matura sull’argomento, in particolare nell’opera del vescovo e matematico spagnolo Juan
Caramuel Lobkowitz (1606-1682); di poco successivi agli studi di Caramuel sono quelli di Gottfried
Leibniz, menzionati nella nota di pag. 42.
39
Esempio. Scegliamo la base b = 5 (in cui le cifre sono 0, 1, 2, 3, 4)
e determiniamo il numero 2104|5 convertendolo alla base dieci.
Risulta
2104|5 = 2·53+1·52+0·5+4 = 2·125+1·25+4 = 250+25+4 = 279 .
�
Qualunque sia la base b, si dimostra che ogni numero natura-
le n ha una ed una sola rappresentazione n = ck · · · c0|b. Le
cifre ck, ..., c0 si determinano dividendo ripetutamente per b, e
riportando il quoto e il resto.
Esempio. Consideriamo il numero trecentoquarantasei, con rap-
presentazione in base dieci 346, e troviamo la sua rappresentazione
in base 5. Si procede cosı :
346 = 5 · 69 + 1 (divido 346 per 5; il quoto e 69, il resto 1)
= 5 · (5 · 13 + 4) + 1 (divido 69 per 5; il quoto e 13, il resto 4)
= 5 · 5 · 13 + 5 · 4 + 1 (svolgo le parentesi)
= 5·5·(5·2+3)+5·4+1 (divido 13 per 5; il quoto e 2, il resto 3)
= 5 · 5 · 5 · 2 + 5 · 5 · 3 + 5 · 4 + 1 (svolgo le parentesi)
= 2 · 53 + 3 · 52 + 4 · 5 + 1 .
Dunque,
346 = 2341|5 .
40
Di solito, per rendere piu veloci questi calcoli si costruisce una
tabella a due colonne, dove la colonna di sinistra parte dal nu-
mero dato (qui 346) e contiene i quoti delle successive divisioni
per 5, mentre la colonna di destra contiene i resti. Si continua
finche si trova come quoto lo zero; a questo punto la lista dei resti,
letta dall’ultimo al primo, fornisce la rappresentazione nella base
desiderata. Nell’esempio in esame, la cosa funziona cosı :
346
69 1 (346 = 5 · 69 + 1)
13 4 (69 = 5 · 13 + 4)
2 3 (13 = 5 · 2 + 3)
0 2 (2 = 5 · 0 + 2)
da cui
346 = 2341|5 .
Ecco un altro esempio. Per scrivere 239 in base 7 si procede cosı :
239
34 1 (239 = 7 · 34 + 1)
4 6 (34 = 7 · 4 + 6)
0 4 (4 = 7 · 0 + 4)
da cui
239 = 461|7 .
41
Il caso della base due. Il valore minimo che possiamo scegliere
per la base e b = 2. Questa scelta da luogo ad una rappresenta-
zione molto semplice per i numeri naturali, in cui le uniche cifre
sono 0, 1. Naturalmente, se ck, ck−1, ..., c1, c0 ∈ {0, 1} si ha
ck...c0|2 := ck · 2k + ck−1 · 2k−1 + ... + c1 · 2 + c0 . (1.50)
Ad esempio,
1001|2 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 2 + 1 = 8 + 1 = 9 . (1.51)
La rappresentazione in base due, detta anche binaria, e particolar-
mente interessante dal punto di vista informatico; essa e impiegata
da molti elaboratori elettronici (5).
5 Si deve segnalare che la rappresentazione binaria e la sua rilevanza per il calcolo automatico
erano note gia molto tempo prima dell’avvento degli elaboratori elettronici. Tale rappresentazione e
presente negli studi del grande matematico e filosofo tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-
1716), progettista e costruttore di calcolatrici meccaniche, che concepı anche l’idea di una macchina
basata sul sistema binario.
42
Per determinare la rappresentazione in base 2 di un numero natu-
rale si impiega la procedura gia illustrata nelle pagine precedenti
per il caso della base 5: si costruisce una tabella a due colonne,
dove la colonna di sinistra parte dal numero dato e contiene i
quoti delle successive divisioni per 2, mentre la colonna di destra
contiene i resti (sempre uguali a zero o uno). Si continua finche
si trova come quoto lo zero; a questo punto la lista dei resti, letta
dall’ultimo al primo, fornisce la rappresentazione cercata in base
due. Ad esempio, nel caso del numero tredici (13, in base dieci),
si procede cosı:
13
6 1 (13 = 2 · 6 + 1)
3 0 (6 = 2 · 3 + 0)
1 1 (3 = 2 · 1 + 1)
0 1 (1 = 2 · 0 + 1)
da cui
13 = 1101|2 .
43
Numeri primi.
Definizione. Un numero naturale p si dice primo se p ≥ 2 e se
i suoi soli divisori sono 1 e p. �
Esempi. 2 e un numero primo. Tutti gli altri numeri pari non
sono primi, essendo divisibili per 2. 3,5,7,11,13 sono primi. 9 non
e primo, perche divisibile per 3. �
Qui di seguito, presentiamo qualche risultato relativo ai numeri
primi. Il primo risultato corrisponde ad un fatto con cui abbiamo
tutti familarita dalle scuole medie. Nonostante la familiarita del
risultato, la sua dimostrazione non e banale (e qui viene omessa).
44
1.6 Proposizione. Si consideri un n ∈ N∗ = N \ {0}. Allora,
n si decompone in modo unico in un prodotto di potenze di numeri
primi. Piu precisamente, n ha una ed una sola rappresentazione
del tipo
n = p1t1p2
t2...pktk (1.52)
dove: k e un naturale, p1 < p2 < ... < pk sono numeri primi
e t1, ..., tk sono numeri naturali non nulli. (Il caso k = 0, in cui
le sequenze p1, ..., pk e t1, ..., tk sono vuote e il secondo membro
della (1.52) e 1 per definizione, si verifica se e solo se n = 1.)
La dimostrazione della Proposizione precedente comparve per la
prima volta negli Elementi del matematico greco Euclide (III
secolo avanti Cristo).
1.7 Definizione. La (1.52) si chiama la decomposizione in
fattori primi di n; si dice che p1, ..., pk sono i fattori primi di
n, e che t1, ..., tk sono i loro esponenti. �
1.8 Esempi. i) Sia n = 180. La decomposizione di 180 in
fattori primi si trova cosı :
180 = 2·90 = 2·2·45 = 2·2·3·15 = 2·2·3·3·5 = 22·32·5 . (1.53)
Come si vede, la decomposizione di n = 180 in fattori primi ha la
forma (1.52), con k = 3, p1 = 2, t1 = 2, p2 = 3, t2 = 2, p3 = 5,
t3 = 1.
45
ii) p sia un numero primo. Ovviamente, la decomposizione di p in
fattori primi e p = p1, cioe ha la forma (1.52) con k = 1, p1 = p,
t1 = 1. �
1.9 Osservazione. Dalla decomposizione (1.52) n = p1t1p2
t2...pktk ,
e possibile determinare i divisori di n. Notiamo che qualunque
numero del tipo
m = p1s1p2
s2...pksk (0 6 s1 6 t1, ..., 0 6 sk 6 tk) (1.54)
e un divisore di n: infatti
n = (p1s1p2
s2...pksk)(p1
t1−s1p2t2−s2...pk
tk−sk) = mq (1.55)
dove m e come sopra e q := p1t1−s1p2
t2−s2...pktk−sk . Con un argo-
mento piu complicato, che omettiamo, si fa vedere che qualunque
divisore di n ha la forma (1.54).
Tra i divisori di n ci sono, abbastanza ovviamente, i fattori primi
p1, p2, ..., pk. �
Ora presentiamo un secondo e importante risultato, anche questo
dimostrato negli Elementi di Euclide.
46
1.10 Proposizione. L’insieme P di tutti i numeri primi e
infinito.
Dimostrazione∗. Si fa per assurdo, supponendo che la tesi non
sia vera ed ottenendo da qui una contraddizione.
Supponiamo dunque, per assurdo, che P sia finito, conN elementi;
allora
P = {p1, ..., pN} . (1.56)
Poniamo
q := p1p2...pN + 1 . (1.57)
Allora q non e divisibile per nessuno dei numeri p1, ..., pN (perche,
se si divide q per p1, si trova p2...pN con resto 1; similmente,
dividendo q per p2, o p3, ..., o pN si trova sempre come resto 1. Il
resto non e mai zero!).
Ora consideriamo la decomposizione di q in fattori primi; sia p
uno di tali fattori primi. Dato che p e un divisore di q, non puo
essere p = p1, ne p = p2..., ne p = pN (perche abbiamo visto
prima che questi numeri non sono divisori di q).
In conclusione abbiamo trovato un numero primo (cioe p) diverso
da p1, ..., pN ; cio contraddice l’ipotesi iniziale P = {p1, ..., pN}. �
47
1.11 Osservazione (importante) Consideriamo la succes-
sione di tutti i numeri primi, diciamo in ordine crescente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Sia data una famiglia (tp)p∈P, dove tp ∈ N per ogni primo p, e
tp 6= 0 solo per un numero finito di primi p. Allora il prodotto
2t23t35t5... ≡∏p∈P
ptp (1.58)
ha senso, perche ha solo un numero finito di fattori diversi da 1
(ed e uguale, per definizione, al prodotto dei fattori diversi da 1:
cfr. pag. 29.)
Con questa notazione, il teorema di decomposizione di un numero
naturale in fattori primi (Prop. 1.6) si puo riformulare cosı : per
ogni n ∈ N∗ esiste una ed una sola famiglia (tp)p∈P di numeri
naturali, non nulli solo per un numero finito di primi p, tale che
n = 2t23t35t5... . (1.59)
In questa formulazione, i fattori primi di n sono i primi p tali che
tp 6= 0. Tanto per fare un esempio, il numero 180 = 22 · 32 · 5 ha
una rappresentazione del tipo (1.59), con t2 = 2, t3 = 2, t5 = 1 e
tp = 0 per ogni altro primo p.
48
Anche la precendente osservazione (1.9) puo essere riformulata
nel nuovo stile, in questo modo: se n e come nella (1.59), allora i
divisori di n sono tutti e soli i numeri del tipo m = 2s23s35s5... ,
con sp ∈ N e sp 6 tp per ogni p.
49
∗Curiosita sui numeri primi. La congettura di Gold-
bach
Cominciamo con la seguente
1.12 Definizione. Si dice che un numero n ∈ N ha la pro-
prieta di Goldbach se n e somma di due numeri primi (eventual-
mente uguali). �
Essendo 2 il piu piccolo numero primo, il piu piccolo numero
naturale con la proprieta di Goldbach e, ovviamente,
2 + 2 = 4 .
Ora, cerchiamo di capire quali naturali> 4 possiedano la proprieta
di Goldbach.
Per quanto riguarda i numeri dispari, la risposta e facile: se un
n dispari e la somma di due primi, questi devono essere uno pari
ed uno dispari e, quindi, uno uguale a 2 e l’altro diverso da 2.
Dunque, i numeri dispari con la proprieta di Goldbach sono solo
quelli del tipo 2 + p, con p primo e p 6= 2; tra questi ci sono, ad
esempio, i numeri 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21 ma non i numeri 11, 17, 23.
50
Passiamo ai numeri pari. Per i piu piccoli numeri pari ≥ 4, e facile
verificare la proprieta di Goldbach:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 7 + 3 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7 .
Come si vede 10 e 14 si scrivono addirittura in due modi come
somme di primi. Verifiche simili possono essere fatte anche per
numeri pari piu grandi: ad esempio:
60 = 7 + 53 = 13 + 47 = 19 + 41
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 47 + 53 = 41 + 59 .
Esperimenti di questo tipo suggeriscono la seguente
1.13 Congettura. Ogni numero pari n ≥ 4 ha la proprieta di
Goldbach. �
51
Questa e la cosiddetta congettura di Goldbach,; essa prende nome
dal matematico tedesco Christian Goldbach, che la formulo nel
1743.
A tutt’oggi, non si sa se la congettura sia vera o falsa. Usando
un calcolatore, e stato verificato che la proprieta di Goldbach e
posseduta da tutti i numeri pari n tali che 4 6 n 6 1018.
Naturalmente, verifiche di questo tipo indicano che la congettura
e probabilmente vera, ma non ne forniscono una dimostrazione.
Infatti, se verifico che la proprieta di Goldbach e posseduta da
tutti gli n pari con 4 6 n 6 N , mi resta sempre il dubbio che la
proprieta non sia posseduta da n = N + 2.
Per un matematico di professione, dimostrare la congettura di
Goldbach sarebbe un risultato di importanza simile a quelli che
fanno vincere il premio Nobel ad un fisico, un chimico, ecc.!
52
Gli strumenti matematici con cui si potrebbe provare un attaccare
a problemi come questo sono molto al di la dei contenuti di questo
corso. A titolo di curiosita, si segnala un divertente romanzo,
scritto nel 1992 da un matematico greco, in cui il protagonista
cerca in modo ossessivo di dimostrare la congettura: D. Apostolos,
Zio Petros e la congettura di Goldbach, Ed. Bompiani.
In generale, lo studio dei numero primi e uno degli argomenti
piu affascinanti (e difficili) per i matematici. A tutt’oggi, sono
indimostrate diverse congetture legate ai numeri primi (tra cui
la famosa congettura di Riemann, risalente all’Ottocento e cosı
tecnica che qui non possiamo nemmeno formularla).
53
Principio di induzione.
Il punto di partenza del nostro discorso sara il seguente
1.14 Assioma di Peano. (6) Si consideri un sottoinsieme
X ⊂ N tale che:
i) 0 ∈ X ;
ii) n ∈ X =⇒ n + 1 ∈ X . Allora,
X = N . (1.60)
6Questo assunto prende nome dal matematico e logico italiano Giuseppe Peano (1858-1932), gia
ricordato. In queste pagine non abbiamo dato una definizione formale di N, ne dell’operazione di
somma + di cui esso e munito: ci siamo limitati a dire che N e la collezione dei numeri 0, 1, 2, ... (senza
dire cosa siano), e che in N c’e l’operazione +. Dal punto di vista del rigore matematico, tutto questo
quadro dovrebbe essere definito; di cio si occupo, in particolare, Peano. Nel suo approccio N viene
definito come un insieme dotato di una conveniente struttura, sufficiente per definire la somma e dotata
di certe proprieta; una delle piu importanti, chiamata appunto l’assioma di Peano, e quella descritta
sopra.
54
Dall’assioma di Peano si deduce qunato segue:
1.15 Proposizione (Principio di induzione). Sia (Pn)n∈N
una famiglia di affermazioni, indiciate dai naturali. Supponiamo
quanto segue:
a) P0 e vera;
b) per ogni n ∈ N, Pn =⇒ Pn+1.
Allora, Pn e vera per ogni n.
Dimostrazione. Sia
X := {n ∈ N | Pn e vera} . (1.61)
Allora:
i) 0 ∈ X (perche P0 e vera);
ii) n ∈ X =⇒ Pn e vera =⇒ (per (b)) Pn+1 e vera =⇒ n+1 ∈ X .
Dalle (i)(ii) e dall’assioma di Peano segue che X = N, cioe che Pn
e vera per ogni n ∈ N. �
Molte dimostrazioni di fatti matematicamente interessanti fanno
uso del principio di induzione; in tal caso si parla di dimostrazioni
per induzione (o anche, per ricorrenza). Qui di seguito vedremo
tre esempi; il primo e questo.
55
1.16 Proposizione. Per ogni n ∈ N, sia
Sn := 0 + 1 + ... + n =
n∑i=0
i ; (1.62)
allora
Sn =n(n + 1)
2. (1.63)
Dimostrazione. Per ogni n ∈ N, indichiamo con Pn l’afferma-
zione “Sn = n(n + 1)/2”. Notiamo quanto segue:
i) P0 e vera. Infatti S0 = 0 = 0 · (0 + 1)/2.
ii) Per ogni n ∈ N, Pn =⇒ Pn+1. Infatti, supponendo Pn vera
deduciamo quanto segue:
Sn+1 = 0+1+...+n+(n+1) = Sn+n+1(per Pn)
=n(n + 1)
2+n+1 =
=n2 + n + 2n + 2
2=n2 + 3n + 2
2=
(n + 1)(n + 2)
2;
l’uguaglianza Sn+1 = (n + 1)(n + 2)/2 e proprio l’affermazione
Pn+1.
A questo punto da (i),(ii) e dal principio di induzione deduciamo
che Pn e vera per ogni n. �
56
Ecco il secondo esempio di dimostrazione per induzione (che ri-
chiede anche qualche familiarita con i numeri reali) (7).
1.17 Proposizione. Per x ∈ R ed n ∈ N, si definisca
Sn(x) := 1 + x + x2 + ... + ... + xn =
n∑i=0
xi . (1.64)
Se x 6= 1, per ogni n ∈ N risulta
Sn(x) =1− xn+1
1− x. (1.65)
Dimostrazione. Si fissi x ∈ R \ {1}. Per ogni n ∈ N, indichia-
mo con Pn l’affermazione “Sn(x) = (1−xn+1)/(1−x)”. Notiamo
quanto segue:
i) P0 e vera. Infatti S0(x) = 1 e (1−x0+1)/(1−x) = (1−x)/(1−
x) = 1.
ii) Per ogni n ∈ N, Pn =⇒ Pn+1. Infatti, supponendo Pn vera
deduciamo quanto segue:
Sn+1(x) = 1+x+...+xn+xn+1 = Sn(x)+xn+1 (per Pn)=
1− xn+1
1− x+xn+1 =
=1− xn+1 + (1− x)xn+1
1− x=
1− xn+1 + xn+1 − xn+2
1− x=
1− xn+2
1− x;
l’uguaglianza Sn+1(x) = (1 − xn+2)/(1 − x) e proprio l’afferma-
zione Pn+1.
A questo punto da (i),(ii) e dal principio di induzione deduciamo
che Pn e vera per ogni n. �
7Qui e nel seguito si intende x0 := 1 per ogni numero reale x, incluso il caso x = 0.
57
Infine, ecco il terzo esempio di prova per induzione. Il risultato
che segue e un caso particolare della cosiddetta disuguaglianza di
Bernoulli, di cui ci occuperemo anche in seguito (e la sua prova
richiede, oltre al principio di induzione, una certa conoscenza dei
numeri reali e della loro relazione d’ordine).
1.18 Proposizione. Sia x ∈ R, x > −1. Per ogni n ∈ N
risulta
(1 + x)n > 1 + nx . (1.66)
Dimostrazione. Fissiamo x ∈ R, x > −1. Per ogni n ∈ N,
indichiamo con Pn l’affermazione “(1 + x)n > 1 + nx”. Notiamo
quanto segue:
i) P0 e vera. Infatti (1 + x)0 = 1 = 1 + 0 · x > 1 + 0 · x.
ii) Per ogni n ∈ N, Pn =⇒ Pn+1. Infatti, supponendo Pn vera
deduciamo quanto segue:
(1 + x)n+1 = (1 + x)n︸ ︷︷ ︸> 1 + nx per Pn
(1 + x)︸ ︷︷ ︸>0
>
> (1+nx)(1+x) = 1+x+nx+ nx2︸︷︷︸>0
> 1+x+nx = 1+(n+1)x ;
la disuguaglianza (1+x)n+1 > 1+(n+1)x e proprio l’affermazione
Pn+1.
A questo punto da (i),(ii) e dal principio di induzione deduciamo
che Pn e vera per ogni n. �
58
Infine, presentiano una ovvia estensione del principio di induzione.
1.19 Proposizione (Principio di induzione, forma genera-
lizzata). Siano m ∈ N e (Pn)n=m,m+1,m+2,... una famiglia di affer-
mazioni (indiciate dall’insieme dei naturali > m). Supponiamo
quanto segue:
a) Pm e vera;
b) per ogni n ∈ {m,m + 1,m + 2, ...}, Pn =⇒ Pn+1.
Allora, Pn e vera per ogni n ∈ {m,m + 1,m + 2, ...}.
Dimostrazione∗. Sia
X := {` ∈ N | Pm+` e vera} . (1.67)
Allora:
i) 0 ∈ X (perche Pm e vera);
ii) ` ∈ X =⇒ Pm+` e vera =⇒ (per (b)) Pm+`+1 e vera =⇒
` + 1 ∈ X .
Dalle (i)(ii) e dall’assioma di Peano segue che X = N, cioe Pm+`
e vera per ogni ` ∈ N; dunque Pn e vera per ogni n ∈ {m,m +
1,m + 2, ...}. �
59
2 APPROFONDIMENTI SUGLI INTERI RELA-
TIVI.
Z e le operazioni di somma e prodotto.
Come gia fatto, indichiamo con Z l’insieme degli interi relativi.
Dunque
Z := {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} . (2.1)
Ovviamente Z ⊃ N; gli elementi di Z delle due forme n e −n
(n ∈ N, n 6= 0) si chiamano, rispettivamente, gli interi positivi e
negativi.
Diamo per noto che si possono definire due operazioni di somma
e prodotto
Z× Z→ Z, (s, t) 7→ s + t (2.2)
Z×Z→ Z, (s, t) 7→ st (indicato anche con s · t o s× t). (2.3)
Queste sono estensioni delle operazioni analoghe in N (in questo
senso: le applicazioni (2.2) (2.3), se ristrette a N×N, sono a valori
in N e coincidono con la somma e il prodotto gia considerati in
N).
60
Le operazioni (2.2) (2.3) sono commutative e associative; 0 e l’e-
lemento neutro della somma, 1 l’elemento neutro del prodotto. Il
prodotto e distributivo rispetto alla somma.
L’opposto
Le proprieta della somma e del prodotto in Z evidenziate nel pa-
ragrafo precedente sono del tutto analoghe a quelle gia evidenziate
discutendo N. Tuttavia, nel passaggio da N a Z si manifesta un
fatto nuovo: l’esistenza dell’opposto.
Con cio, intendiamo quanto segue: per ogni s ∈ Z esiste uno ed
un solo elemento di Z, indicato con −s, tale che
s + (−s) = (−s) + s = 0 ; (2.4)
−s si chiama l’opposto di s. La notazione −n, usata fin dall’i-
nizio per qualunque intero negativo, evidenzia il fatto che questo
e l’opposto di n. L’opposto di un intero negativo −n e n (cioe
−(−n) = n), e l’opposto di 0 e 0.
61
In virtu dell’esistenza dell’opposto, per ogni s, t ∈ Z il problema
della sottrazione
?d ∈ Z tale che s = t + d (2.5)
ha una ed una sola soluzione
d = s + (−t) , (2.6)
(8), che si indica anche con s−t e si chiama la differenza tra s e t.
Di fatto, Z si puo pensare come una estensione di N costruita pro-
prio per rendere sempre risolvibile il problema della sottrazione.
8In effetti, posto d := s + (−t) si trova t + d = t + s + (−t) = s + t + (−t) = s + 0 = s. Inoltre, se
d ∈ Z soddisfa l’equazione s = t+ d si deduce s+ (−t) = t+ d+ (−t) = d+ t+ (−t) = d+ 0 = d.
62
Nozione generale di anello. Z e un anello commutati-
vo.
2.1 Definizione. Un anello e un insieme A munito di due
applicazioni
A× A→ A , (x, y) 7→ x + y (2.7)
A× A→ A , (x, y) 7→ xy (2.8)
chiamate le operazioni di somma e prodotto, dotate delle pro-
prieta seguenti: (9)
i) La somma e commutativa e associativa. Esiste un unico elemen-
to di A, indicato con 0 e chiamato lo zero, che funge da elemento
neutro per la somma: x + 0 = 0 + x = x per ogni x ∈ A.
ii) Per ogni x ∈ A esiste un unico elemento di A, indicato con −x
e detto l’opposto di x, tale che x + (−x) = (−x) + x = 0.
iii) Il prodotto e associativo. Esiste un unico elemento di A, indi-
cato con 1 e chiamato l’unita, che funge da elemento neutro per
il prodotto: x1 = 1x = x per ogni x ∈ A.
iv) Il prodotto e distributivo rispetto alla somma. Con cio si
intende che, per ogni x, y, z ∈ A, (x+y)z = xz+yz e z(x+y) =
zx + zy.
L’anello A si dice commutativo se il suo prodotto e commutativo:
xy = yx per ogni x, y ∈ A. �
9con il linguaggio del Capitolo 1: le condizioni (i-iv) sono gli assiomi che definiscono la struttura di
anello.
63
Confrontando la definizione appena data con l’analisi di Z nei
paragrafi precedenti, arriviamo subito a questa affermazione:
2.2 Proposizione. Z e un anello commutativo (con le opera-
zioni usuali di somma e prodotto). �
Anche Q e R (gli insiemi dei razionali e dei reali), con le loro
operazioni naturali di somma e prodotto, sono degli anelli com-
mutativi; su questo torneremo nel seguito del Capitolo. E’ oppor-
tuno segnalare che esistono molti esempi interessanti di anelli non
commutativi. (10)
Osservazione: anelli nulli. Un esempio molto banale di anel-
lo si ottiene considerando un insieme A con un solo elemento, di-
ciamo z, e definendo z + z := z, zz := z. Con queste operazioni
A e un anello commutativo, in cui l’unico elemento funge da zero
ma anche da unita ed e l’opposto di se stesso: z = 0 = 1, −z = z.
Essendo z = 0, si puo illustrare questa situazione scrivendo che
A = {0} (11). Un anello di questo tipo si dira un nullo; nel segui-
to, questo concetto sara menzionato diverse volte (spesso, come
caso banale da escludere). Abbastanza ovviamente, ogni anello
con un solo elemento e un anello nullo.10Ad esempio, se n e un naturale non nullo, l’insieme A delle matrici n × n con elementi in Z, Q o
R si puo munire di due operazioni di somma e prodotto, che ne fanno un anello. Se n > 2 il prodotto
delle matrici n× n non e commutativo, dunque si ha un anello non commutativo.
Le matrici e le loro operazioni sono trattate in altra parte del corso; in questo Capitolo non saranno piu
menzionate.11ma si potrebbe anche scrivere A = {1}, perche z = 1
64
∗Gli anelli commutativi Zm. Aritmetica modulare.
Fissato m ∈ {1, 2, 3, ...} introduciamo in Z la relazione =m di
uguaglianza modulo m, che e una relazione di equivalenza (cfr.
il Capitolo “Insiemi, applicazioni, relazioni...”).
Indichiamo con Zm il quoziente Z/ =m, che ha esattamente m
elementi [0]m, [1]m, ..., [m−1]m (cfr. il Capitolo citato). Zm si puo
munire di due operazioni di somma e prodotto, definite ponendo
[s]m+ [t]m := [s+ t]m, [s]m[t]m := [st]m per ogni s, t ∈ Z (12) (13).
Con queste operazioni Zm e un anello commutativo: lo zero e
l’unita sono 0 := [0]m, 1 := [1]m, e un elemento [s]m ha opposto
−[s]m = [−s]m. Una caratteristica particolare di questo anello e
il fatto che 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
= 0; infatti 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
= [1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
]m =
[m]m = [0]m = 0.
12queste definizioni sono ben poste, cioe la somma e il prodotto di due classi non dipendono dalla
scelta dei loro rappresentanti. Infatti, si puo dimostrare quanto segue per ogni s, s′, t, t′ ∈ Z: da s′ =m s
e t′ =m t segue s′ + t′ =m s+ t e s′t′ =m st.13A titolo di esempio, sia m = 5. In Z5 abbiamo le relazioni seguenti:
[2]5 + [4]5 = [2 + 4]5 = [6]5 = [1]5 (perche 6 = 1 + 5) ;
[2]5 [4]5 = [2 · 4]5 = [8]5 = [3]5 (perche 8 = 3 + 5) .
65
L’espressione aritmetica modulare e impiegata spesso con riferi-
mento agli anelli Zm, con le operazioni appena definite.
Notiamo che Z1 ha un solo elemento, la classe [0]1 (14); dunque,
Z1 e un anello nullo (cfr. l’Osservazione di pag. 64).
Nella pagina che segue sono riportate le tavole per la moltiplica-
zione in Zm per m = 2, 3, 4, 5; si propone ai lettori interessati di
costruire la tavola per la moltiplicazione in Z6.
(nel caso m = 4, la figura presenta i commenti “2 non ha recipro-
co” e “Z4 non e un campo”; queste affermazioni saranno chiarite
alle pagg. 86-87).
L’aritmetica modulare ha molte interessanti applicazioni. Una
delle piu notevoli e l’algoritmo RSA per la crittografia, descritto
in un addendo al presente Capitolo.
14In effetti, per ogni s ∈ Z risulta s =1 0 perche s− 0 = s e divisible per 1.
66
67
68
Fatti generali sugli anelli
In ogni anello A, valgono una serie di fatti che qui riportiamo.
Tutte le affermazioni che seguono, se non sono definizioni, possono
essere dimostrate partendo dalla definizione di anello.
•Se A non e nullo (cfr. pag. 64), allora 0 6= 1.
•Per ogni x, y ∈ A il problema della sottrazione y = x + d,
nell’incognita d ∈ A, possiede un’unica soluzione d = y+ (−x) ≡
y − x (che si chiama la differenza tra y e x).
• −0 = 0.
•Per ogni x, y ∈ A, risulta: 0x = x0 = 0; −(−x) = x; −x =
(−1)x; (−x)y = x(−y) = −xy, dove l’ultima espressione indica
l’opposto di xy; (−x)(−y) = xy. (15)
•Parafrasando le costruzioni presentate per N alle pagg. 22, 27 (e
seguenti), si possono definire somme e prodotti multipli di elementi
diA. Le somme multiple non dipendono dall’ordine degli addendi,
per la proprieta commutativa; i prodotti multipli non dipendono
dall’ordine dei fattori, se l’anello e commutativo.
15Ribadiamo che tutte queste affermazioni possono essere dimostrate partendo dalla definizione di
anello: a questo proposito si veda L. Lombardo Radice, “Istituzioni di algebra astratta”, Ed. Feltrinelli.
A titolo di esempio, qui proveremo che (i) 0x = 0 per ogni x ∈ A; (ii) se A e non nullo, 0 6= 1.
(i) Sia x ∈ A; allora x+ 0x = 1x+ 0x = (1 + 0)x = 1x = x. Da x+ 0x = x segue, sommando a membro
a membro −x: (−x) + x+ 0x = (−x) + x, cioe 0 + 0x = 0, cioe 0x = 0.
(ii) 0 = 1⇒ per ogni x ∈ A e x = 1x = 0x = 0⇒ A ha un solo elemento, lo zero⇒ A e un anello nullo.
69
Si possono introdurre i simboli di sommatoria e produttoria gia
incontrati parlando di N. Per definizione una somma con zero
addendi vale 0, un prodotto con zero fattori vale 1.
•Se x ∈ A e k ∈ N, possiamo definire la potenza
xk := x...x︸︷︷︸k volte
. (2.9)
In particolare x0 = 1. Per h, k ∈ N, vale quanto segue: xhxk =
xh+k; (xh)k = xhk; (−x)h = xh se h e pari, (−x)h = −xh se h e
dispari. Se x, y ∈ A e xy = yx (fatto sempre vero quando A e
commutativo), per ogni h ∈ N risulta xhyh = (xy)h. (16)
16A titolo di esempio, vediamo la prova di questa affermazione nel caso h = 2. Risulta x2y2 = xxyy =
xyxy (perche, per ipotesi, xy = yx). Dunque x2y2 = (xy)(xy) = (xy)2.
70
Nozione generale di anello ordinato. L’ esempio di Z.
In Z c’e il sottoinsieme Z+ := {1, 2, 3, ...}, i cui elementi si chia-
mano gli interi positivi ; questo e preservato dalle operazioni di
somma e prodotto, nel senso che somme e prodotti di interi posi-
tivi sono interi positivi. Gli opposti degli interi positivi formano
l’insieme Z− := {−1,−2,−3, ...}, i cui elementi si chiamano gli
interi negativi.
Nella teoria generale degli anelli, si da la seguente
2.3 Definizione. Un anello ordinato e un anello commutati-
vo A in cui sia stato assegnato un sottoinsieme A+, detto degli
elementi positivi. Questo deve soddisfare le seguenti condizioni:
i) se x, y ∈ A+, allora x + y, xy ∈ A+.
ii) Si introduca l’insieme A− := {−x | x ∈ A+}, i cui elementi si
dicono negativi. Allora
A = A+ ∪ {0} ∪ A− (2.10)
e l’unione sopraindicata e disgiunta: A+ ∩ A− = ∅, 0 6∈ A+,
0 6∈ A−. (Dunque, dato x ∈ A, si verifica uno ed uno solo dei tre
casi x ∈ A+, x = 0 o x ∈ A−). �
71
Tornando agli interi relativi, possiamo affermare quanto segue:
2.4 Proposizione. Z e un anello ordinato se, come prima,
si definisce Z+ := {1, 2, 3, ...}. In questo caso l’insieme Z− :=
{−x | x ∈ Z+} coincide con {−1,−2,−3, ...}. �
E’ opportuno segnalare subito che anche Q,R sono anelli ordinati;
su questo torneremo nel seguito del Capitolo.
In qualunque anello ordinato A, si definisce
A+ := A+ ∪ {0} = A \ A− , A− := A− ∪ {0} = A \ A+ ;
per ovvii motivi, gli elementi di A+ si dicono non negativi e quelli
di A− si dicono non positivi ; si deve notare che A+ ∩A− = {0}.
Ad esempio, nel caso di Z e Z+ = {0, 1, 2, ...} = N e Z− =
{0,−1,−2, ...}.
Tornando al caso di un arbitrario anello ordinato, evidenziamo
un fatto molto importante: la possibilita di definire una relazione
d’ordine.
2.5 Definizione. A sia un anello ordinato. Dati x, y ∈ A,
porremo
x < y (scritto anche y > x) se y − x ∈ A+ ; (2.11)
queste due espressioni si leggeranno, rispettivamente, “x e minore
di y” e “y e maggiore di x”. �
72
2.6 Proposizione. Se A e un anello ordinato, la relazione
< definita dalla (2.11) e una relazione d’ordine stretto (cioe, e
asimmetrica e transitiva: cfr. il Capitolo ”Insiemi, applicazioni,
relazioni...”). In piu, tale relazione e totale (cioe, per ogni x, y ∈
A, si verifica uno ed uno solo dei casi x < y, x = y, y < x). �
A questo risultato aggiungiamo i seguenti commenti.
•A titolo di esempio, nel caso di Z possiamo dire che −4 < −2
perche (−2)− (−4) = −2 + 4 = 2 ∈ Z+.
•Consideriamo un qualunque anello ordinato A. Per ogni x ∈ A,
x ∈ A+⇐⇒ x > 0 (infatti, x ∈ A+ ⇐⇒ x−0 ∈ A+ ⇐⇒ x > 0;
nell’ultimo passaggio si e applicata la definizione generale di x > y
con y = 0).
Inoltre x ∈ A− ⇐⇒ x < 0.
•In un qualunque anello ordinato A, usando l’ordine stretto <
possiamo definire una relazione di ordine largo 6 (cfr. ancora il
Capitolo “Insiemi, applicazioni e relazioni...”) ponendo x 6 y (“x
e minore o uguale ad y”) se x < y oppure x = y.
E’ chiaro che x 6 y ⇐⇒ y − x ∈ A+ ∪ {0} = A+.
73
Proseguiamo definendo y > x (“y e maggiore o uguale a x”) se
y > x o y = x; e chiaro che y > x se e solo se x 6 y.
Si deve notare che, per x ∈ A, si hanno le equivalenze
x ∈ A+ ⇐⇒ x > 0 e x ∈ A− ⇐⇒ x 6 0.
•Dai fatti esposti prima segue, tra l’altro, che x < y⇐⇒ y−x > 0
e x 6 y ⇐⇒ y − x > 0.
Osservazione: anelli ordinati nulli. Consideriamo un anel-
lo A nullo, e dunque costituito da un solo elemento z che funge
da zero e da unita: z = 0 = 1 (cfr. pag. 64). Possiamo pensare
A come un anello ordinato in modo molto banale: ci basta defi-
nire A+ := ∅ (cioe, a parole: ci basta assumere che non vi siano
elementi positivi). In questo caso, diremo che abbiamo un anello
ordinato nullo.
74
Altri fatti sugli anelli ordinati.
Si puo dimostrare che, in ogni anello ordinato A, accadono i fatti
seguenti.
•Se A e non nullo (cfr. pag. 74) risulta 1 > 0 (cioe, 1 ∈ A+).
Ricordando che le somme di elementi positivi sono positive, da
1 > 0 si deduce anche 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0 e, in generale,
1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
> 0 per ogni n ∈ {1, 2, 3, ....}.
•Per ogni x, y, v, z ∈ A:
x < y ⇐⇒ x + z < y + z;
xy > 0 ⇐⇒ x > 0 e y > 0, oppure x < 0 e y < 0;
xy < 0 ⇐⇒ x > 0 e y < 0, oppure x < 0 e y > 0;
x < y ⇐⇒ −x > −y (cioe: passando all’opposto, una disugua-
glianza si rovescia);
x < y e z > 0 =⇒ xz < yz;
x < y e z < 0 =⇒ xz > yz (a parole: una disuguaglianza si
rovescia se la si moltiplica a membro a membro per un elemento
z negativo);
0 < x < y e 0 < v < z =⇒ xv < yz;
x > 0 =⇒ xh > 0 per ogni h ∈ N;
x < 0 =⇒ xh > 0 per h ∈ N pari, xh < 0 per h ∈ N dispari;
0 < x < y =⇒ 0 < xh < yh per ogni h ∈ N \ {0}.
75
Valgono affermazioni analoghe a quelle scritte sopra, sostituendo
ovunque < con 6 e > con >.
Tutte le affermazioni precedenti dovrebbero essere familiari al let-
tore se A = Z (e anche, nei casi A = Q,R di cui ci occuperemo
in seguito). Ribadiamo che tali risultati valgono in generale per
gli anelli ordinati; essi si potrebbero provare utilizzando le sole
definizioni di anello ordinato e della relazione < (17).
∗Se m > 2, l’anello Zm non e ordinabile.
Consideriamo l’anello Zm per m > 2; sappiamo questo ha m > 1
elementi [0]m, [1]m, ..., [m−1]m (e dunque, e non nullo). In questo
paragrafo dimostreremo quanto segue: non e possibile dare a
Zm una struttura di anello ordinato (cioe, non esiste in Zmun sottoinsieme Z+
m di elementi “positivi”, che soddisfi tutte le
condizioni nella definizione di anello ordinato a pag. 71).
La dimostrazione si fa per assurdo. Se fosse possibile dare a
Zm una struttura di anello ordinato, per quanto stabilito a pag.
75 avremmo [1]m + ... + [1]m︸ ︷︷ ︸n volte
> [0]m per ogni n ∈ {1, 2, 3, ...};
d’altra parte, la disuguaglianza appena scritta non puo valere se
n = m perche, come gia notato a pag. 65, [1]m + ... + [1]m︸ ︷︷ ︸m volte
= [0]m.
17Si veda ancora L. Lombardo Radice, “Istituzioni di algebra astratta”, Ed. Feltrinelli. Qui, a titolo
di esempio, dimostriamo la prima affermazione di pag. 75: in un anello ordinato e non nullo A, risulta
1 > 0. Supponiamo per assurdo che non sia cosı; allora 1 = 0, oppure 1 < 0. Se 1 = 0 A e un anello
nullo, contro le nostre ipotesi. Se 1 < 0, allora −1 > 0 da cui (−1)(−1) > 0, cioe 1 > 0, contro
l’assunzione iniziale 1 < 0.
76
Non risolvibilita in Z del problema della divisione
Passando da N a Z si rende sempre risolvibile il problema della
sottrazione. Tuttavia, resta aperto il problema della divisione:
dati s, t, trovare q tale che t = sq.
Chiaramente, dati s, t ∈ Z non esiste sempre un q ∈ Z che soddisfi
l’equazione precedente. Ad esempio, l’equazione 6 = (−2)q ha
soluzione q = −3, mentre l’equazione 7 = (−2)q non ha soluzioni
q ∈ Z.
Per trattare il problema della divisione si deve introdurre un am-
pliamento di Z, che e l’insieme Q dei razionali (con le proprie
operazioni di somma e il prodotto); come vedremo, dati x, y ∈ Q
con x 6= 0, esiste un unico q ∈ Q tale che y = xq.
I razionali saranno l’argomento della prossima sezione.
77
3 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI RAZIONALI
Definizione dei razionali come classi di equivalenza
Da qui alla fine del capitolo, si intendera
Z∗ := Z \ {0} = {...,−2,−1, 1, 2, ...} . (3.1)
Parlando informalmente possiamo definire i numeri razionali come
i rapportit
scon t ∈ Z e s ∈ Z∗, da trattare ritenendo uguali certi
rapporti; piu precisamente, dati t, t′ ∈ Z e s, s′ ∈ Z∗, si intende
t
s=t′
s′se ts′ = st′ . (3.2)
(Ad esempio:2
3=
4
6perche 2 · 6 = 3 · 4;
2
−3=−4
6perche
2 · 6 = (−3) · (−4);4
6=
6
9perche 4 · 9 = 6 · 6).
E’ appena il caso di ricordare il simbolo Q, impiegato usualmente
per l’insieme dei razionali.
La descrizione appena proposta per i razionali non e del tutto
soddisfacente dal punto di vista del rigore matematico: essa fa
riferimento ad un imprecisato concetto di “rapporto”, e anche la
(3.2) e da chiarire.
Un modo di procedere piu rigoroso e il seguente:
78
3.1 Definizione. Si consideri il prodotto cartesiano
Z× Z∗ = {(t, s) | t ∈ Z, s ∈ Z∗} (3.3)
e lo si munisca della relazione ∼ cosı definita: se (t, s), (t′, s′) ∈
Z× Z∗, allora
(t, s) ∼ (t′, s′) se ts′ = st′ . (3.4)
Si noti che ∼ e una relazione di equivalenza (18). Cio premesso:
i) Si chiama numero razionale ogni classe di equivalenza di tale
relazione. Q indica l’insieme di tali classi (cioe, lo spazio quoziente
Z× Z∗/ ∼).
ii) Siano t ∈ Z, s ∈ Z∗. Porremo
t
s:= classe di equivalenza di (t, s) = (3.5)
= {(t′, s′) ∈ Z× Z∗ | (t, s) ∼ (t′, s′)} .
Tale classe si chiamera il rapporto tra t e s (ovvero, il rapporto t
su s); essa si indichera anche con t/s. �
Notiamo che, per t, t′ ∈ Z e s, s′ ∈ Z∗,
t
s=t′
s′⇐⇒ (t, s) ∼ (t′, s′)⇐⇒ ts′ = st′ (3.6)
18Cfr. il Capitolo “Insiemi, applicazioni e relazioni...”; le proprieta riflessiva, simmetrica e transitiva
di ∼ sono facilmente verificabili.
79
(dove l’ultima affermazione dipende dalla definizione (3.4) di ∼; e
cosı spiegato il “criterio di uguaglianza” di due rapporti, che nella
(3.2) era comparso in modo non del tutto chiaro).
Sia (t, s) ∈ Z× Z∗; allora
(t, s) ∼ (ut, us) per ogni u ∈ Z∗ (3.7)
(perche t(us) = s(ut)). Da qui segue, tra l’altro, che ci sono
infinite coppie equivalenti alla coppia assegnata (t, s) (o, detto
equivalentemente, che la classe di equivalenza t/s ha infiniti ele-
menti). Indicando l’equivalenza come una uguaglianza di rapporti,
possiamo scrivere
t
s=ut
usper ogni u ∈ Z∗. (3.8)
L’inclusione Z ⊂ Q.
Sia t ∈ Z; se facciamo l’identificazione
t ' t
1(3.9)
possiamo dire che t ∈ Q. D’ora in avanti useremo sistematica-
mente tale identificazione; questo ci permettera di dire che
Z ⊂ Q . (3.10)
80
Sulla notazione per i razionali.
Nel seguito, spesso useremo lettere come x, y, z, ... per indicare i
razionali. Si deve tenere presente che ciascuno di questi oggetti si
puo rappresentare (in infiniti modi) come un rapporto: x = t/s =
t′/s′ = ... .
Somma, prodotto e opposto in Q.
La somma e il prodotto in Q sono due applicazioni
Q×Q→ Q , (x, y) 7→ x + y (3.11)
Q×Q→ Q , (x, y) 7→ xy (scritto anche x · y o x× y) (3.12)
Queste si definiscono cosı :
se x =t
se y =
v
u(t, v ∈ Z, s, u ∈ Z∗), allora
x + y :=tu + sv
su, xy :=
tv
su(3.13)
Queste definizioni sono ben poste, nel senso che non dipendono
dal modo in cui rappresentiamo x e y come rapporti; infatti, si
dimostra che
t
s=t′
s′,v
u=v′
u′=⇒ tu + sv
su=t′u′ + s′v′
s′u′,tv
su=t′v′
s′u′. (3.14)
81
Notiamo che le (3.13) corrispondono alle “regole di manipolazione
per le frazioni”, note fin dai primi anni di scuola. Evidenziamo
alcuni fatti importanti, legati a tali operazioni.
•Abbiamo gia notato che Z ⊂ Q. Si verifica che le operazioni
(3.11) (3.12) estendono la somma e il prodotto di Z (cioe, che
accade quanto segue: le applicazioni (3.11) (3.12), se ristrette a
Z×Z, sono a valori in Z e coincidono con la somma e il prodotto
gia considerati lı).
•Si dimostra che, con le operazioni di cui sopra, Q e un anello
commutativo, dove lo zero e l’unita sono 0 := 0/1 e 1 := 1/1 ∈ N.
Come in tutti gli anelli, ad ogni x ∈ Q e associato un unico
elemento −x (l’opposto di x) tale che x + (−x) = 0. Questo si
costruisce cosı : se x =t
s(t ∈ Z, s ∈ Z∗), allora
−x =−ts. (3.15)
Di solito, l’opposto di x =t
ssi indica con − t
s.
•Sia N∗ := N \ {0}. Si vede facilmente che ogni x ∈ Q non nullo
si puo rappresentare in una delle due forme
n
m, − n
m(n,m ∈ N∗) (3.16)
(cioe, come un rapporto tra naturali non nulli, o come l’opposto
di un rapporto di questo tipo).
82
Il reciproco. Risolvibilita del problema della divisione
per un razionale non nullo.
Da qui alla fine del capitolo, useremo sistematicamente la nota-
zione
Q∗ := Q \ {0} . (3.17)
Abbiamo appena detto che Q e un anello commutativo, come Z.
Tuttavia Q ha una caratteristica non posseduta da Z, di notevole
rilevanza: l’esistenza del reciproco.
Con cio, si intende quanto segue: per ogni x ∈ Q∗, esiste un unico
elemento di Q, indicato con1
x≡ 1/x, tale che
1
xx = 1 (3.18)
(ovvero, per la commutativita del prodotto, x1
x= 1).
1
xsi chiama
il reciproco, o l’inverso di x. Questo numero si costruisce cosı :
se x =t
s(t, s ∈ Z∗), allora
1
x=s
t. (3.19)
(In effetti, posto1
x:=
s
tsi trova
1
xx =
st
ts=
1
1= 1; inoltre,
supponendo sempre x =t
ssi dimostra che l’equazione
1
xx = 1 e
soddisfatta solo ponendo1
x=s
t). Notiamo anche che
1
x∈ Q∗.
83
Siano y ∈ Q, x ∈ Q∗ e consideriamo il problema della divisione
di y per x:
?q ∈ Q tale che y = qx . (3.20)
Questo problema ha una ed una sola soluzione
q = y1
x(3.21)
(infatti, posto q := y1
xsi trova qx = y
1
xx = y1 = y; viceversa,
se q e tale che y = qx allora y1
x= qx
1
x= q1 = q).
Molto spesso, si usa la notazione
y
x≡ y/x := l’unica soluzione q del problema (3.20) (3.22)
(che e consistente con la notazione 1/x per il reciproco, essendo
questo l’unica soluzione q di 1 = qx). Il numero definito dalla
(3.22) si chiama ancora il rapporto tra y e x, oppure il quoziente
tra y e x.
Introdotta la (3.22), confrontando con la (3.21) otteniamo
y
x= y
1
x. (3.23)
84
Riguardo alla (3.22), precisiamo anche quanto segue: se y = t ∈ Z
e x = s ∈ Z∗, allora y/x = y(1/x) coincide con t/s, inteso
alla vecchia maniera come la classe di equivalenza individuata
dalla coppia (t, s) ∈ Z × Z∗. Infatti, indicando con / le classi di
equivalenza quando sono coinvolti t e s, abbiamo: y = t = t/1,
x = s = s/1 da cui 1/x = 1/s e y(1/x) = (t/1)(1/s) = t/s.
85
Concetto generale di campo. Q come esempio di cam-
po.
Introduciamo la nozione generale menzionata nel titolo, attraverso
la seguente
3.2 Definizione. Si chiama campo un insieme K munito di
due operazioni
K ×K → K , (x, y) 7→ x + y (3.24)
K ×K → K , (x, y) 7→ xy ≡ x · y (3.25)
dette somma e prodotto, con le seguenti caratteristiche.
i) Con le operazioni sopraddette, K e un anello commutativo.
(Dunque: la somma e il prodotto sono associative e commmutative
e hanno elementi neutri 0, 1, detti lo zero e l’unita; il prodotto e
distributivo rispetto alla somma; esiste l’opposto).
ii) Sia K∗ := K \ {0}. Per ogni x ∈ K∗ esiste un unico elemento
di K, indicato con1
x≡ 1/x, tale che
1
xx = 1 (3.26)
(ovvero, per la commutativita del prodotto, x1
x= 1). L’elemento
1
xsi chiama il reciproco, o l’inverso di x. �
86
La discussione dei paragrafi precedenti ci permette di affermare:
3.3 Proposizione. Con le operazioni definite in precedenza,
Q e un campo. �
Osservazione: campi nulli. Consideriamo un anello nullo
(cfr. pag. 64), qui indicato con K. E’ facile convincersi che K
e un campo. Infatti, l’affermazione “ogni x ∈ K \ {0} possiede
reciproco” e vera per un motivo molto banale: K \ {0} e privo
di elementi!! D’ora in avanti, un anello nullo sara chiamato anche
un campo nullo.
L’esempio di Zm (m primo)∗. A pag. 65 abbiamo introdotto
l’anello commutativo Zm := Z/=m per ogni m ∈ {1, 2, 3, ..}. Si
dimostra che Zm e un campo (cioe, che ogni elemento non nullo
di Zm possiede reciproco) se e solo se m e primo. (19)
Fatti generali sui campi.
Consideriamo un campo K, mantenendo la notazione K∗ := K \
{0}. Presentiamo alcuni fatti relativi a K; alcuni di questi sono
gia stati evidenziati nel caso particolare di Q. Le affermazioni
riportate qui di seguito, se non sono definizioni, possono tutte
essere dimostrate partendo dalla definizione di campo.19Nella figura di pag. 66 i casi con m primo sono m = 2, 3, 5; in questi casi, l’esistenza del reciproco
di ogni elemento non nullo si riscontra nelle corrispondenti tavole di moltiplicazione. Ad esempio, dalla
tavola per Z5 leggiamo che [3]5[2]5 = [2]5[3]5 = [1]5, il che significa che 1/[2]5 = [3]5. Sempre dalla figura
di pag. 66, vediamo che Zm non e un campo nel caso non primo m = 4; infatti [2]4 non ha reciproco
(cioe, non esiste un elemento di Z4 che, moltiplicato per [2]4, dia l’unita [1]4).
87
•Se K e non nullo, allora 1/1 = 1 (a parole: il reciproco di 1 e 1).
•Per ogni x ∈ K∗, e 1/x ∈ K∗ e 1/(1/x) = x.
•Per ogni x, y ∈ K∗ e xy ∈ K∗ e 1/(xy) = (1/x)(1/y).
•Dati y ∈ K e x ∈ K∗, consideriamo il problema della divisione
di y per x:
?q ∈ K tale che y = qx . (3.27)
Questo problema ha una ed una sola soluzione
q = y1
x. (3.28)
Molto spesso, si usa la notazione
y
x≡ y/x := l’unica soluzione q del problema (3.27) (3.29)
(consistente con la notazione 1/x per il reciproco, che e l’unica
soluzione q di 1 = qx). L’elementoy
xsi chiama ancora il rapporto
tra y e x, oppure il quoziente tra y e x. Confrontando con la (3.28)
otteniamoy
x= y
1
x. (3.30)
•Se y ∈ K e x, z ∈ K∗, allorazy
zx=y
x.
•Un campo e un caso particolare di anello commutativo. Quindi,
le definizioni e i risultati presentati a pag. 69 per gli anelli possono
essere applicate al campo K.
•Sia x ∈ K. Come in ogni anello, per ogni k ∈ N possiamo
definire la potenza xk := x....x︸ ︷︷ ︸k volte
.
88
•Se x ∈ K∗ = K \ {0} possiamo definire anche le potenze di
esponente intero negativo di x, sfruttando una caratteristica spe-
cifica dei campi, cioe l’ esistenza dell’inverso. Piu precisamente,
dato un intero negativo −h (h ∈ N \ {0}), poniamo
x−h :=1
x· · · 1
x︸ ︷︷ ︸h volte
=1
xh(3.31)
(la prima uguaglianza vale per definizione, la seconda per le pro-
prieta del reciproco). In questo modo, la potenza xs risulta de-
finita per ogni s ∈ Z. Notiamo che la (3.31) con h = 1 ci
dice
x−1 =1
x; (3.32)
dunque, x−1 si puo usare come notazione alternativa per il reci-
proco.
•Se x, y ∈ K e s, t ∈ Z risulta: x0 = 1; xsxt = xs+t; (xs)t = xst;
xsys = (xy)s; (−x)s = xs per s ∈ {0,±2,±4...} e (−x)s = −xs
per s ∈ {±1,±3, ...} (supponendo x 6= 0 o y 6= 0, quando siano
coinvolti esponenti negativi).
89
Campi ordinati. L’esempio di Q.
3.4 Definizione. Un campo ordinato e un anello ordinato che,
in piu, e un campo. �
Con altre parole, un campo ordinato e un campo K munito di
un sottoinsieme K+, detto degli elementi positivi. Questo deve
soddisfare le stesse condizioni date per l’insieme A+ nella defini-
zione di anello ordinato (pag. 71), e qui trascritte per comodita
del lettore.
Anzitutto, x, y ∈ K+ =⇒ x + y, xy ∈ K+. Inoltre K e l’unione
disgiunta dei tre sottoinsiemi K+, {0} e K− := {−x | x ∈ K+};
quest’ultimo e chiamato l’insieme degli elementi negativi.
E’ facile verificare quanto segue:
3.5 Proposizione. Q e un campo ordinato, se si definisce
Q+ := { nm| n,m ∈ N∗ = N \ {0}} (3.33)
(da cui segue Q− = {− nm| n,m ∈ N∗}). �
90
In qualunque campo ordinato K (e in particolare in Q), possiamo
definire l’insieme K+ := K+ ∪ {0} = K \ K−, i cui elementi si
dicono non negativi, e l’insieme K− := K− ∪ {0} = K \ K+
degli elementi non positivi.
Inoltre, possiamo definire le relazioni <, >, 6, >, come gia fatto
negli anelli ordinati (cfr. pag. 72 e seguenti). Dunque, dati x, y ∈
K, si pone per definizione x < y se y−x ∈ K+, e x 6 y se x < y
o x = y (il che accade se e solo se y − x ∈ K+): y > x equivale
per definizione a x < y, e y > x significa y > x o y = x.
Ad esempio, nel caso K = Q, considerando gli elementi 2/3 e 4/5
vediamo che
4
5− 2
3=
12− 10
15=
2
15∈ K+, per cui
2
3<
4
5.
Ricordiamo che in qualunque anello ordinato, e in particolare in
ogni campo ordinato K, per ogni elemento x si hanno queste
equivalenze: x ∈ K+ ⇐⇒ x > 0; x ∈ K+ ⇐⇒ x > 0: x ∈
K− ⇐⇒ x < 0; x ∈ K− ⇐⇒ x 6 0.
Osservazione: campi ordinati nulli. A pag. 87 abbiamo
notato che un anello nullo e, banalmente, un campo. Per lo stesso
motivo un anello ordinato nullo (costituito dal solo zero e privo di
elementi positivi, cfr. pag. 74) e un campo ordinato; si parla di
un campo ordinato nullo.
91
Alcuni fatti sui campi ordinati
Consideriamo un campo ordinatoK. E’ opportuno segnalare alcu-
ni fatti che collegano l’ordinamento diK con il prodotto, l’opposto
e il reciproco.
Anzitutto ci sono i fatti sull’ordinamento, la somma, l’opposto e
il prodotto gia stabiliti per gli anelli ordinati (cfr. pag. 75).
Ci sono altri fatti che coinvolgono l’ordinamento e il reciproco
(tutti dimostrabili partendo dalla definizione di campo ordinato).
Piu precisamente, dati x, y ∈ K, valgono queste affermazioni:
x > 0 =⇒ 1/x > 0;
0 < x < y =⇒ 1/x > 1/y (cioe: per le coppie x, y di elementi
positivi, passando ai reciproci si rovescia l’ordinamento);
0 < x < y =⇒ x−h > y−h per ogni h ∈ {1, 2, 3, ...} (cioe: per le
coppie x, y di elementi positivi, passando alle potenze negative si
rovescia l’ordinamento).
Molte delle affermazioni precedenti hanno delle ovvie analoghe, in
cui < e sostituito da 6 e > da >. Tutti questi fatti dovrebbero
essere noti al lettore, per lo meno nel caso K = Q.
92
Lunghezze dei segmenti, e razionali non negativi
Consideriamo i segmenti nella geometria euclidea (del piano o
dello spazio). L’insieme S di tutti i segmenti porta una relazione
di equivalenza ∼, detta congruenza (da intendersi intuitivamente
cosı : un segmento AB e congruente ad un segmento CD se AB
si puo sovrapporre a CD con uno spostamento rigido).
Ogni classe di equivalenza di segmenti rispetto a∼ viene detta una
lunghezza; indicheremo con L l’insieme delle lunghezze (cioe, lo
spazio quoziente S/ ∼). Qui si seguito le lughezze si indicheranno
con simboli come `, `′,h, s,u, ....
La lunghezza di un segmento e, per definizione, la classe di
equivalenza di tale segmento.
In particolare la lunghezza nulla, indicata con 0, e la classe di
equivalenza formata da tutti i segmenti del tipo AA,BB, ... (cioe,
con i due estremi coincidenti).
93
La lunghezza di un segmento AB si indichera con |AB|. Dunque,
l’ uguaglianza |AB| = ` significa che ` e la classe di equivalenza
formata da tutti i segmenti congruenti con AB.
Si noti che, per definizione, |AA| = 0.
Naturalmente abbiamo una applicazione
S → L , AB 7→ |AB|
(che non e altro se non la mappa quoziente da S a S/ ∼= L).
Proseguiamo segnalando quanto segue:
•Date `,h ∈ L, si definisce ` + h ∈ L come la lunghezza del
segmento che si ottiene disponendo lungo una retta due segmenti
consecutivi, di lunghezze ` e h. L’operazione + : L × L → L e
commutativa e associativa. Per via della associativita , le somme
di tre o piu lunghezze sono definite in modo non ambiguo.
•Ora siano ` ∈ L, n ∈ N. Si definisce n` := `+ ...+ ` (n volte),
intendendo n` := 0 se n = 0.
94
•Siano ` ∈ L e m ∈ N∗ := N \ {0}. Allora esiste un’unica
lunghezza s tale che ` = ms; s si indica con`
m≡ `/m (cosicche,
per definizione, ` = m(`/m)).
•Ora siano ` ∈ L e x ∈ Q+ = Q+ ∪ {0}. Si definisce quanto
segue:
se x =n
m(n ∈ N,m ∈ N∗), allora x` := n
`
m. (3.34)
La definizione precedente e ben posta, cioe non dipende dal modo
in cui si rappresenta x come rapporto di naturali (20). Se ora
fissiamo una unita di lunghezza u 6= 0, abbiamo una applicazione
Q+ → L , x 7→ xu ; (3.35)
questa e iniettiva (ma non suriettiva, come vedremo a pag. 140!).
•Lo spazio delle lunghezze porta anche una relazione d’ordine
stretto < cosı definita: date `, `′ ∈ L, si pone ` < `′ se esiste
h ∈ L \ {0} tale che `′ = ` + h. (21) (22).20Si puo provare che, se x = n/m = n′/m′, con n, n′ ∈ N e m,m′ ∈ N∗, allora n(`/m) = n′(`/m′)21Naturalmente, possiamo definire un ordine largo 6 in L ponendo ` 6 `′ se ` < `′ oppure ` = `′. Si
verifica che ` 6 `′ se e solo se esiste h ∈ L (eventualmente nulla) tale che `′ = `+ h22La (3.35) preserva l’ordine: se x, y ∈ Q+, x < y ⇔ xu < yu
95
Numeri razionali e punti della retta
In questo paragrafo cominciamo un discorso che ci portera a pre-
cisare diverse affermazioni gia fatte nel capitolo ”Insiemi, applica-
zioni e relazioni...”, relative alla corrispondenza tra numeri e punti
di una retta.
A tale fine consideriamo una retta r e muniamola di una orienta-
zione, o verso di percorrenza. Chiameremo questa l’orientazione
positiva, o il verso positivo; l’altro verso di percorrenza della
retta si dira l’orientazione negativa, o anche il verso negativo.
Inoltre, fissiamo una volta per tutte:
. un punto O ∈ r, che si dira l’ origine;
. una lunghezza u 6= 0, che si dira l’unita di lunghezza.
96
Con gli ingredienti precedenti possiamo definire una applicazione
Q→ r , x 7→ P (x)
nel modo seguente:
•Se x = 0, P (x) := O.
•Se x ∈ Q+, P (x) e l’unico punto di r tale che il verso da O a
P (x) coincida con quello positivo, e risulti |OP (x)| = xu.
•Se x ∈ Q−, P (x) e l’unico punto di r tale che il verso da O a
P (x) coincida con quello negativo, e risulti |OP (x)| = (−x)u
(si noti che −x ∈ Q+).
97
Consideriamo sempre l’applicazione (3.36)
Q→ r , x 7→ P (x) ; (3.36)
per ogni x ∈ Q, P (x) si dice il punto di ascissa x.
Segnaliamo quanto segue:
•Si puo dimostrare che la (3.36) e una applicazione iniettiva: per
ogni x, y ∈ Q, P (x) = P (y) ⇐⇒ x = y.
•Per x, y ∈ Q, x < y ⇐⇒ il verso da P (x) a P (y) e quello
positivo.
•Abbiamo appena detto che la (3.36) e iniettiva. Invece, come
vedremo, tale applicazione non e suriettiva : esistono sulla retta
dei punti che non corrispondono ad alcun numero razionale.
Vedremo anche che la (3.36) ha una estensione con dominio l’in-
sieme R dei numeri reali, che risulta biettiva tra R e r. (In effetti
R e un ampliamento di Q costruito per vari motivi, uno dei quali
e proprio la possibilita di istituire una corrispondenza biunivoca
con la retta).
98
•Spesso, si fa l’identificazione
x ∈ Q ' P (x) ∈ r ;
cosı, Q si identifica con un sottoinsieme di r (propriamente con-
tenuto in r, per il carattere non suriettivo della (3.36)).
•Naturalmente, essendo N ⊂ Z ⊂ Q, la (3.36) si puo usare per
associare ad ogni naturale o intero relativo s un punto P (s) ∈ r
(spesso identificato con lo stesso s).
99
Un risultato di densita.
3.6 Esercizio. Siano x, y ∈ Q tali che x < y; verificare che
esiste z ∈ Q tale che
x < z < y . (3.37)
Soluzione. Poniamo ad esempio
z :=x + y
2. (3.38)
Allora
z − x =x + y
2− x =
y − x2
> 0 , da cui x < z ;
y − z = y − x + y
2=y − x
2> 0 , da cui y > z .
�
Se identifichiamo gli elementi di Q con i punti di una retta r
(orientata, munita di origine e di unita di misura), la (3.37) del-
l’Esercizio precedente si rappresenta come nella figura che segue.
Si noti che, se si definisce z come nella (3.38), z coincide con il
punto medio del segmento di estremi x e y.
100
I numeri razionali come allineamenti di cifre: intro-
duzione
Nello sviluppo dell’argomento sopraindicato, lavoreremo sempre
in base dieci (anche se si potrebbe generalizzare, considerando
una base arbitraria). Inoltre, la maggior parte del nostro discorso
riguardera l’insieme Q+ dei razionali non negativi; solo alla fine
includeremo nella trattazione anche Q−.
Allineamenti decimali finiti
Consideriamo l’insieme delle cifre in base dieci, cioe l’insieme {0, 1, 2, ..., 9}.
(E’ appena il caso di dire che, in questa base, 10 sta per il numero
dieci).
3.7 Definizione. Si consideri una sequenza di cifre ck, ck−1, ..., c1, c0,
d1, d2, ..., dm, dove k,m ∈ N e ck 6= 0 se k 6= 0. Porremo (23)
ck...c0, d1...dm := ck...c0︸ ︷︷ ︸∈N
+d110
+d2102
+ ... +dm10m
= (3.39)
= ck10k + ck−110k−1 + ...+ c1× 10 + c0 +d110
+d2102
+ ...+dm10m
=
k∑i=0
ci10i +
m∑j=1
dj10−j .
23Nel mondo anglosassone e piu usuale scrivere un punto . tra c0 e d1. La notazione con la virgola
tra c0 e d1, usata qui, e piu tradizionale in Italia.
101
Ogni numero razionale come nella (3.39) si dira un decimale
finito. �
3.8 Esempio. Risulta
23, 74 = 23 +7
10+
4
100=
2374
100=
1187
50;
23, 7400 = 23 +7
10+
4
100+
0
1000+
0
10.000= 23, 74 .
�
Consideriamo, in generale, due sequenze di cifre ck, ..., c0, d1, ...dm
e CK, ..., C0, D1, ..., DM (con ck 6= 0 se k 6= 0 e CK 6= 0 se
K 6= 0). L’uguaglianza
CK...C0, D1...DM = ck...c0, d1...dm (3.40)
vale se e solo se si verificano entrambe le condizioni i)ii) scritte qui
sotto:
i) K = k, CK = cK , CK−1 = cK−1, ..., C0 = c0;
ii) M > m e D1 = d1, D2 = d2, ..., Dm = dm, Dm+1 = 0,..,
DM = 0,
oppure M < m e D1 = d1, D2 = d2, ..., DM = dM , dM+1 = 0,..,
dm = 0.
102
Allineamenti decimali infiniti
Per leggere quanto segue, conviene ricordare che N∗ := N \ {0} =
{1, 2, ...}.
3.9 Definizione. Si chiama allineamento decimale infinito ogni
espressione del tipo
ck...c0, d1d2... , (3.41)
dove: k ∈ N; ck, ck−1, ..., c1, c0,∈ {0, .., 9}; ck 6= 0 se k 6= 0;
dj ∈ {0, 1, ..., 9} per ogni j ∈ N∗ = {1, 2, ...}.
Si indichera con A l’insieme di queste espressioni. �
Ora consideriamo l’insieme Q+ := Q+ ∪ {0} dei razionali non
negativi.
3.10 Proposizione. Sia x ∈ Q+; allora esiste uno ed un solo
allineamento decimale infinito ck...c0, d1d2... tale che, per ogni
` ∈ N,
(3.42)
ck...c0, d1...d` 6 x < ck...c0, d1...d` +1
10`(3.42)`
(dove l’equazione appena scritta si deve intendere cosı per ` = 0:
ck...c0 6 x < ck...c0 + 1).
103
Se x =n
m(con n ∈ N, m ∈ N∗), l’allineamento in questione e
determinato dalle relazioni seguenti, che coinvolgono anche una
successione di resti r0, r1, r2... ∈ {0, ...,m− 1}:
(3.43)
n = m(ck...c0)+r0 , (3.43)0
cioe: ck...c0 ∈ N e r0 sono il quoto e il resto nella divisione di n
per m;
10 r0 = md1+r1 , (3.43)1
cioe: d1 e r1 sono il quoto e il resto nella divisione di 10 r0 per m;
10 r1 = md2+r2 , (3.43)2
cioe: d2 e r2 sono il quoto e il resto nella divisione di 10 r1 per m,
ecc. (Si noti che, per i = 0, 1, 2, ... e 0 6 10ri 6 10(m − 1) <
10m; quindi, dividendo 10ri per m si trova un quoto < 10, come
richiesto per le cifre d1, d2, ...). �
La dimostrazione di questa proposizione si trova nelle successive
pagine 105-107; il lettore non interessato puo saltare queste pagine
e andare direttamente a pag. 108.
Prescindendo dalla prova, le affermazioni contenute nella Propo-
sizione 3.10 dovrebbero essere familiari al lettore; se cosı non fos-
se, il quadro dovrebbe essere chiarito dai numerosi esempi che
presenteremo nel paragrafo di pag. 110.
104
Dimostrazione della Proposizione 3.10.∗
Prima parte. L’allineamento definito dalle (3.43)` (` = 0, 1, 2...)
soddisfa le condizioni (3.42)` per ogni ` ∈ N.
Infatti, ricordando la (3.43)0 possiamo scrivere
x =n
m=m(ck...c0) + r0
m,
ovvero
(3.44)
x = ck...c0+r0m. (3.44)0
D’altra parte 0 6 r0/m 6 (m− 1)/m < 1, da cui
ck...c0 6 x < ck...c0 + 1 ;
questa e proprio la relazione (3.42)0.
Proseguiamo notando che la (3.43)1 ci dice
r0 =md110
+r110
;
sostituendo questa equazione nella (3.44)0 troviamo x = ck...c0+d110
+1
10
r1m
, ovvero
x = ck...c0, d1+1
10
r1m. (3.44)1
D’altra parte 0 6 r1/m 6 (m− 1)/m < 1, da cui
ck...c0, d1 6 x < ck...c0, d1 +1
10;
questa e proprio la (3.42)1.
Iterando questo tipo di argomentazioni, si fa vedere che la (3.42)`
e soddisfatta per ogni ` ∈ N. (24)24Piu precisamente: la (3.42)` si puo provare per ogni ` procedendo per induzione.
105
Seconda parte. Dato x ∈ Q+, l’allineamento ck...c0, d1d2... che
soddisfa le (3.42)` per ogni ` e unico.
Per provarlo, supponiamo che la (3.42)` sia soddisfatta per ogni
` ∈ N da due allineamenti ck......c0, d1d2... e Ck...C0, D1D2....
Poniamo per brevita
c := ck...c0 , C := CK...C0 . (3.45)
Allora c, C ∈ N; inoltre per ogni ` ∈ N, la (3.42)` e la relazione
analoga per CK...C0, D1D2... ci dicono quanto segue:
(3.46)
(3.47)
c+d110
+...+d`10`6 x < c+
d110
+...+d`10`
+1
10`, (3.46)`
C+D1
10+...+
D`
10`6 x < C+
D1
10+...+
D`
10`+
1
10`. (3.47)`
In particolare, ponendo ` = 0 in queste due equazioni otteniamo
c 6 x < c + 1 , (3.46)0
C 6 x < C + 1 ; (3.47)0
dunque c(6 x) < C+ 1 e C(6 x) < c+ 1, da cui c 6 C e C 6 c,
da cui
c = C . (3.48)
In termini di allineamenti decimali, questo significa
k = K , ck = Ck , ck−1 = Ck−1 , ...c0 = C0 . (3.49)
106
Ora scriviamo le (3.46)1 (3.47)1, tenendo conto che c = C; cosı tro-
viamo
c +d1106 x < c +
d110
+1
10,
c +D1
106 x < c +
D1
10+
1
10,
da cui, sottraendo a membro a membro c,
d1106 x− c < d1
10+
1
10,
D1
106 x− c < D1
10+
1
10;
se ora moltiplichiamo a membro a membro per 10, otteniamo
d1 6 10(x− c) < d1 + 1 ,
D1 6 10(x− c) < D1 + 1 .
Dunque d1( 6 10(x− c) ) < D1 + 1 e D1( 6 10(x− c) ) < d1 + 1,
da cui d1 6 D1 e D1 6 d1, da cui d1 = D1.
In modo simile, dalle (3.46)2 (3.47)2 si deduce d2 = D2. Iterando
questo tipo di argomenti (25) si prova che d` = D` per ogni ` ∈ N∗.
�
25o, piu precisamente: procedendo per induzione
107
3.11 Definizione. Se x ∈ Q+, l’unico allineamento ck...c0, d1d2...
che soddisfa le (3.42)` per ogni ` ∈ N si chiamera la rappresen-
tazione decimale di x. Scriveremo anche
R(x) = ck...c0, d1d2... � (3.50)
3.12 Osservazioni. La notazione R(x) introdotta qui e in
qualche misura provvisoria. Quando avremo preso familiarita con
questo concetto, decideremo di identificare un x ∈ Q+ con la
sua rappresentazione decimale; per questo motivo, in luogo di
R(x) = ck...c0, d1d2..., in seguito scriveremo semplicemente x =
ck...c0, d1d2... .
Tuttavia, per il momento ci conviene ancora distinguere un x ∈
Q+ dalla sua rappresentazione R(x). �
108
Consideriamo l’applicazione
R : Q+ → A , x 7→ R(x) (3.51)
ricordando che A indica l’insieme di tutti gli allineamenti decimali.
3.13 Proposizione. L’applicazione (3.51) e iniettiva: se x, y ∈
Q+ e R(x) = R(y), allora x = y.
Dimostrazione∗ . Supponiamo R(x) = R(y) = ck...c0, d1d2...;
allora
ck...c0, d1..d` 6 x < ck...c0, d1...d` +1
10`∀` ∈ N , (3.52)
ck...c0, d1..d` 6 y < ck...c0, d1...d` +1
10`∀` ∈ N . (3.53)
Dalla (3.53) segue, passando agli opposti,
−ck...c0, d1..d` −1
10`< −y 6 −ck...c0, d1...d` ,
e sommando questo risultato alla (3.52) si ottiene
− 1
10`< x− y < 1
10`∀` ∈ N . (3.54)
Per l’arbitrarieta di ` la (3.54) implica x− y = 0, cioe x = y. �
Vedremo tra poco che la mappa R : Q+ → A non e suriettiva:
non tutti gli allineamenti corrispondono a qualche x ∈ Q+.
109
Calcolo della rappresentazione decimale di un razio-
nale.
Consideriamo un razionale non negativo
x =n
m, (n ∈ N,m ∈ N∗) ; (3.55)
ci interessa la rappresentazione decimale R(x) = ck......c0, d1d2....
Secondo le equazioni (3.43)0, (3.43)1, (3.43)2,... della Proposizione
(3.10), le cifre ck, ck−1, ...,c0, d1, d2,... si determinano insieme ad
una successione di resti r0, r1, r2, ... ∈ {0, ...,m − 1}, nel modo
seguente:
n diviso m da ck...c0 con resto r0;
10r0 diviso m da d1 con resto r1;
10r1 diviso m da d2 con resto r2, ecc. .
Un attimo di riflessione ci convince che questo schema non e altro
che il familiare algoritmo per la “rappresentazione decimale della
frazione n/m”, noto fin dalla scuola elementare.
Tradizionalmente, questo algoritmo si rappresenta cosı :
n m
r00 ck...c0, d1d2...
r10
r20
...
Gli zeri aggiunti nella tabella dopo r0, r1, r2, .. indicano la molti-
plicazione di questi resti per 10.
110
3.14 Esempio. Sia x := 41/3. La tabella corrispondente ha
questa forma:
41 3
20 13, 66...
20
20
...
Essa indica i fatti seguenti:
41 diviso 3 da 13 con resto 2;
20 diviso 3 da 6 con resto 2;
20 diviso 3 da 6 con resto 2, ecc. (questa situazione si ripete
infinite volte).
Dunque
R
(41
3
)= 13, 66... (3.56)
dove ... indica la ripetizione di 6 infinite volte.
Notiamo che (in accordo con le (3.42)1, (3.42)2, (3.42)2,...) la
(3.56) significa: 13 6 41/3 < 13 + 1; 13, 6 6 41/3 < 13, 6 + 0, 1;
13, 66 6 41/3 < 13, 66 + 0, 01 ..., cioe
13 641
3< 14 ; 13, 6 6
41
3< 13, 7 ; 13, 66 6
41
3< 13, 67 ... .
111
3.15 Esempio. Sia x := 23/18. La tabella corrispondente ha
questa forma:
23 18
50 1, 277...
140
140
...
Essa indica i fatti seguenti:
23 diviso 18 da 1 con resto 5;
50 diviso 18 da 2 con resto 14 (infatti 18×2+14 = 36+14 = 50);
140 diviso 18 da 7 con resto 14 (infatti 18× 7 + 14 = 126 + 14 = 140);
140 diviso 18 da 7 con resto 14, ecc. (questa situazione si ripete
infinite volte).
Dunque
R
(23
18
)= 1, 277... (3.57)
dove ... indica la ripetizione di 7 infinite volte.
Notiamo che (in accordo con le (3.42)1, (3.42)2, (3.42)2,...) la
(3.57) significa: 1 6 23/18 < 1 + 1 ; 1, 2 < 23/18 6 1, 2 + 0, 1 ;
1, 27 6 23/18 < 1, 27 + 0, 01 ; 1, 277 6 23/18 < 1, 277 + 0, 001
... , cioe
1 623
18< 2 ; 1, 2 6
23
18< 1, 3 ;
1, 27 623
18< 1, 28 ; 1, 277 6
23
18< 1, 278 ... �
112
3.16 Esempio. Sia x := 211/99. La tabella corrispondente e:
211 99
130 2, 1313...
310
130
310
130
..
Essa indica i fatti seguenti:
211 diviso 99 da 2 con resto 13 (infatti 99× 2 + 13 = 198 + 13 =
211);
130 diviso 99 da 1 con resto 31 (infatti 99×1+31 = 99+31 = 130);
310 diviso 99 da 3 con resto 13 (infatti 99× 3 + 13 = 297 + 13 = 310);
130 diviso 99 da 1 con resto 31;
310 diviso 99 da 3 con resto 13, ecc.
(da qui in avanti, quanto descritto nelle ultime due righe si ripete
infinite volte). Dunque
R
(211
99
)= 2, 1313... (3.58)
dove ... indica la ripetizione delle cifre 1 e 3 infinite volte.
Notiamo che (in accordo con le (3.42)1, (3.42)2, (3.42)2,...) la
(3.58) significa:
2 6211
99< 3 ; 2, 1 6
211
99< 2, 2 ; 2, 13 6
211
99< 2, 14 ... �
113
3.17 Esempio. Con il metodo descritto prima si trova
R
(63893
9900
)= 6, 453838..., (3.59)
dove i punti ... indicano la ripetizione delle cifre 38 infinite volte.
La verifica di questo risultati viene lasciata per esercizio ai lettori
interessati (segnalando che i calcoli relativi sono un po’ laboriosi).
�
114
3.18 Osservazione (importante). Negli esempi esaminati,
abbiamo incontrato sempre questa situazione: dopo la virgola, un
gruppo di una o piu cifre si ripete all’infinito.
Negli allineamenti 13, 66... e 2, 1313... delle equazioni (3.56) e
(3.58), le cifre ripetute indefinitamente compaiono subito dopo
la virgola.
Invece, negli allineamenti 1, 277... e 6, 453838... delle equazioni
(3.57) e (3.59) le cifre ripetute indefinitamente compaiono un po’
dopo la virgola. Nel caso 1, 277... subito dopo la virgola abbiamo
la cifra 2, seguita dalla ripetizione della cifra 7; nel caso 6, 453838...
subito dopo la virgola abbiamo le cifre 45, seguite dalla ripetizione
delle cifre 38.
Un allineamento di cifre con infinite ripetizioni, subito dopo la
virgola o un po’ dopo di essa, si chiama periodico. Qui di seguito
daremo una definizione piu formale di questa classe di allineamen-
ti; successivamente, dimostreremo che ogni x ∈ Q+ da luogo ad
un allineamento periodico.
115
3.19 Definizione. Consideriamo un allineamento del tipo
ck...c0, a1...asp1...ptp1...pt... (3.60)
dove: k, s ∈ N, t ∈ N∗; i punti ... finali indicano la ripetizione
infinita del gruppo di cifre p1...pt.
Un tale allineamento si dice periodico, e si indica anche con la
notazione
ck...c0, a1...asp1...pt . (3.61)
Se s, t sono i piu piccoli naturali che consentono di rappresentare
l’allineamento come sopra, si conviene quanto segue:
i) p1...pt si chiama il periodo dell’allineamento;
ii) Se s 6= 0, si dice che l’allineamento ha antiperiodo a1...as; se
s = 0, si dice che l’allineamento e privo di antiperiodo.
3.20 Esempio. Nelle equazioni (3.56) e (3.58) figurano gli
allineamenti
13, 66... = 13, 6 , 2, 1313... = 2, 13 ,
privi di antiperiodo, con periodi 6 e 13 rispettivamente.
Nelle equazioni 112 e 114 figurano gli allineamenti
1, 277... = 1, 27 , 6, 453838... = 6, 4538 ;
il primo ha antiperiodo 2 e periodo 7, il secondo ha antiperiodo
45 e periodo 38. �
116
3.21 Proposizione. Per ogni x ∈ Q+, la rappresentazione
decimale R(x) e un allineamento periodico.
Dimostrazione∗. Sia
x =n
m, n ∈ N,m ∈ N∗ ; R(x) = ck...c0, d1d2... ; (3.62)
ripetiamo ancora che le cifre di R(x) si determinano insieme ad
una successione di resti r0, r1, r2, ..., seguendo lo schema seguente:
(ck...c0, r0) = quoto e resto nella divisione di n per m ; (3.63)
(d1, r1) = quoto e resto nella divisione di 10r0 per m ;
(d2, r2) = quoto e resto nella divisione di 10r1 per m ,
ecc. . Ciascuno dei resti ri prende valori in {0, 1, ...,m − 1};
percio, dopo al piu m passi si trova un resto uguale ad uno dei
resti precedenti : piu precisamente, esistono s ∈ N e t ∈ N∗, con
s + t 6 m, tali che
rs+t = rs . (3.64)
Con s e t come sopra, accade quanto segue:
(ds+t+1, rs+t+1) = quoto e resto nella divisione di 10rs+t per m =
quoto e resto nella divisione di 10rs per m = (ds+1, rs+1) ;
(ds+t+2, rs+t+2) = quoto e resto nella divisione di 10rs+t+1 per m =
quoto e resto nella divisione di 10rs+1 per m = (ds+2, rs+2) ,
117
ecc.; in generale
(di+t, ri+t) = (di, ri) per i = s + 1, s + 2, ... . (3.65)
Ora poniamo
a1 := d1 , a2 := d2 , ... as := ds ; (3.66)
p1 := ds+1 , p2 := ds+2 , pt := ds+t ; (3.67)
Allora, considerando le cifre dj per j > s+t e ricordando la (3.65),
possiamo affermare quanto segue:
ds+t+1 = ds+1 = p1, ds+t+2 = ds+2 = p2, ..., ds+2t = ds+t = pt,
(3.68)
ds+2t+1 = ds+t+1 = ds+1 = p1 , ds+2t+2 = ds+t+2 = ds+2 = p2 , ecc. ...
Dunque, nella successione (di)i=s+1,s+2,... si ripete infinite volte
la sequenza p1...pt. Tenendo presente che le cifre d1, ..., ds si
chiamano a1, ..., as otteniamo finalmente
R(x) = ck...c1, a1...asp1...ptp1...pt... , (3.69)
il che prova la periodicita dell’allineamento. �
118
∗Fatti elementari sulla rappresentazione decimale.
Consideriamo sempre l’applicazione R : Q+ → A.
Da qui in avanti daremo per acquisiti i risultati su R descritti dalla
Proposizione che segue (tutti corrispondenti a fatti che dovrebbero
essere ben noti, e che non e difficile provare in modo formale):
3.22 Proposizione. i) Si consideri un numero naturale, scritto
nella usuale rappresentazione in base dieci ck...c0. Allora
R(ck...c0) = ck...c0, 00... = ck...c0, 0 . (3.70)
(In particolare R(0) = 0, 00... = 0, 0).
ii) Si consideri un decimale finito ck...c0, d1...dm. Allora
R(ck...c0, d1...dm) = ck...c0, d1...dm00... = ck...c0, d1...dm0 . (3.71)
iii) Sia x ∈ Q+ tale che
R(x) = ck...c0, d1d2... (3.72)
Allora, per ogni u ∈ N,
R(10ux) = ck...c0d1d2...du, du+1... (3.73)
(cioe, a parole: moltiplicando per 10u, la virgola si sposta di u
posti a destra) (26).26 Nel secondo membro della (3.73), si sottointende la rimozione di eventuali zeri iniziali tra le cifre
ck...du−1. Ad esempio se R(x) = 0, 013... e si sceglie u = 2, la applicazione letterale della (3.73)
ci porta alla uguaglianza R(102x) = 001, 3..., che deve essere riscritta rimuovendo i due zeri iniziali:
R(102x) = 1, 3...
119
iv) x, y ∈ Q+ siano tali che
R(x) = ck...c0, d1d2... (3.74)
R(y) = qh...q0, d1d2... (3.75)
(con le stesse cifre dopo la virgola), e con
ck...c0︸ ︷︷ ︸∈N
> qh...q0︸ ︷︷ ︸∈N
. (3.76)
Allora
x− y = ck...c0 − qh...q0 ∈ N . (3.77)
v) Sia x ∈ Q+ tale che
R(x) = ck...c0, d1d2... (3.78)
Allora, considerando il numero ck...c0 ∈ N si trova che x −
ck...c0 ∈ Q+, e
R(x− ck...c0) = 0, d1d2... (3.79)
�
120
3.23 Esempi. Per i lettori che avessero qualche difficolta ad
interpretare le affermazioni i)...v) nella Proposizione precedente
(e a riconoscerle come familiari), qui di seguito scriviamo delle
affermazioni I)...V) costituenti casi particolari delle i)...v):
I) R(321) = 321, 00... = 321, 0 .
II) R(321, 57) = 321, 5700... = 321, 570 .
III) Se R(x) = 43, 1598787... = 43, 15987 allora
R(102x) = 4315, 98787... = 4315, 987 .
IV) Se R(x) = 17, 152 e R(y) = 4, 152, allora
x− y = 17− 4 = 13 .
V) Se R(x) = 26, 328, allora R(x− 26) = 0, 328 �
121
Impossibilita delle rappresentazioni decimali con pe-
riodo 9
Cominciamo con il nostro discorso con il seguente
3.24 Lemma∗. Non esiste x ∈ Q+ tale che
R(x) = 0, 99... = 0, 9 . (3.80)
Dimostrazione∗. Supponiamo per assurdo che un tale x esista.
Da R(x) = 0, 99... (e dalle (3.42)` di pag. 103) segue: 0 6 x <
0 + 1 ; 0, 9 6 x < 0, 9 + 0, 1 ; 0, 99 6 x < 0, 99 + 0, 01 ecc.,
ovvero
0 6 x < 1 ; 0, 9 6 x < 1 ; 0, 99 6 x < 1 , ecc.
ovvero
1− 1 6 x < 1 ; 1− 1
106 x < 1 ; 1− 1
1006 x < 1 , ecc.;
dunque,
1− 1
10`6 x < 1 per ogni ` ∈ N . (3.81)
Ora, sia ε ∈ Q tale che
x = 1− ε (3.82)
(il che accade se e solo se ε = 1− x).
122
Allora, dalle (3.81) (3.82) si ottiene quanto segue, per ogni ` ∈ N:
1− 1
10`6 1− ε < 1 ,
da cui (sottraendo a membro a membro 1)
− 1
10`6 −ε < 0 ,
da cui (passando agli opposti)
1
10`> ε > 0 .
Riscriviamo l’ultimo risultato cosı :
0 < ε 61
10`per ogni ` ∈ N . (3.83)
Questa conclusione e contraddittoria: non esiste nessun razionale
positivo che sia minore o uguale di ciascuno dei numeri 1,1
10,
1
100, ecc. �
123
Usando il Lemma precedente, possiamo provare il risultato prin-
cipale del paragrafo che e il seguente:
3.25 Proposizione. Non esiste un x ∈ Q+ la cui rappresen-
tazione decimale abbia periodo 9, cioe sia della forma
R(x) = ck...c0, a1...as9 (3.84)
(per qualche k, s ∈ N e qualche scelta delle cifre ck, ..., c0, a1, ..., as).
Dimostrazione∗ . Supponiamo per assurdo che esista un x ∈
Q+ con una rappresentazione decimale del tipo (3.84). Allora (cfr.
il punto iii) della Proposizione 3.22, pag. 119)
R(10sx) = ck...c0a1...as, 9 (3.85)
da cui (per il punto v) della Prop. citata) 10sx− ck...c0a1...as ∈
Q+, e
R(10sx− ck...c0a1...as) = 0, 9 ; (3.86)
questo risultato contraddice il risultato del Lemma precedente,
secondo il quale nessun elemento di Q+ ha come rappresentazione
decimale 0, 9 . �
124
Qualunque allineamento periodico di periodo 6= 9 e la
rappresentazione decimale di un x ∈ Q+
3.26 Proposizione. Ogni allineamento periodico
ck...c0, a1...asp1...ps (3.87)
con periodo p1...pt 6= 9 e la rappresentazione decimale di un x ∈
Q+.
Dimostrazione (Traccia) ∗ . Consideriamo un allineamento
come nella (3.87); dobbiamo mostrare che esiste un x ∈ Q+ tale
che
R(x) = ck...c0, a1...asp1...ptp1...pt... . (3.88)
Passo 1. Costruzione di un candidato per x. Se esiste un
x ∈ Q+ soddisfacente la (3.88), risulta anche
R(10sx) = ck...c0a1...as, p1...ptp1...pt... . (3.89)
R(10s+tx) = ck...c0a1...asp1...pt, p1...pt... . (3.90)
(27). I due allineamenti nelle (3.89) (3.90) hanno le stesse cifre
dopo la virgola; inoltre
ck...c0a1...asp1...pt︸ ︷︷ ︸∈N
> ck...c0a1...as︸ ︷︷ ︸∈N
. (3.91)
Da questi fatti segue
10s+tx− 10sx = (3.92)
= ck...c0a1...asp1...pt − ck...c0a1...as ∈ N ;27 Le equazioni (3.89) (3.90) si devono intendere con le precisazioni di pag. 119 riguardo alla formula
(3.73) per R(10ux).
125
dunque
x =ck...c0a1...asp1...pt − ck...c0a1...as
10s+t − 10s(3.93)
(si noti che 10s+t > 10s: infatti t ∈ {1, 2, 3...}, da cui s+ t > s).
Passo 2. Il “candidato” x ∈ Q+ definito dalla (3.93) soddisfa
effettivamente la condizione (3.88)R(x) = ck...c0, a1...asp1...ptp1...pt... .
Questa parte della prova richiede calcoli un po’ laboriosi, e non vie-
ne riportata; il lettore interessato puo trovare tutti gli elementi per
fare la verifica nel libro di di P.M. Soardi, “Analisi Matematica”,
Ed. Citta Studi. �
126
Da qui in avanti, per comodita conveniamo quanto segue
3.27 Definizione Indicheremo con AP il sottoinsieme di A
formato dagli allineamenti periodici di periodo 6= 9. �
Secondo le Proposizioni 3.21 (pag. 117) e 3.26, gli allineamenti in
AP sono tutti e soli quelli della forma R(x) per qualche x ∈ Q+.
In altri termini, l’applicazione R : Q+ → A ha come immagine
AP. Secondo la Prop. 3.13 (pag. 109) R e iniettiva, e dunque
biettiva tra il suo dominio e la sua immagine. In conclusione,
possiamo affermare quanto segue:
3.28 Proposizione. L’applicazione R e una biiezione tra Q+
e l’insieme AP degli allineamenti periodici di periodo 6= 9. �
127
Identificazione di qualunque x ∈ Q+ con la sua rap-
presentazione decimale
3.29 Definizione. D’ora in poi, identificheremo ogni x ∈ Q+
con l’allineamento R(x).
Secondo questa convenzione, una equazione del tipo
R(x) = ck...c0, d1d2... (3.94)
si scrivera, piu semplicemente,
x = ck...c0, d1d2... . (3.95)
Adottando questo stile, molte delle affermazioni fatte fin qui acqui-
stano una forma piu familiare, e piu soddisfacente per l’intuizione.
Ad esempio:
•A pag. 112, avevamo stabilito che
R
(23
18
)= 1, 27 ;
nel nuovo stile, scriveremo piu semplicemente
23
18= 1, 27 . (3.96)
•L’affermazione (3.73) di pag. 119 si puo riformulare cosı : se
x = ck...c0, d1d2... e u ∈ N, allora
10ux = ck...c0d1d2...du, du+1... (3.97)
(cioe, a parole:10ux ha la virgola spostata di u posti a destra). (28)28 La (3.97) richiede una precisazione analoga a quella nella nota di pag. 119: nel secondo membro di
questa equazione si sottointende la rimozione di eventuali zeri iniziali tra le cifre ck...du−1. Ad esempio
se x = 0, 013... e u = 2, la applicazione letterale della (3.97) ci porta alla uguaglianza 102x = 001, 3...,
che deve essere riscritta rimuovendo i due zeri iniziali: 102x = 1, 3...
128
Sulla rappresentazione di un x ∈ Q+ come rapporto
di naturali, nota la sua rappresentazione decimale.
(Parte da sapere bene!!)
Nel corso della dimostrazione della Prop. 3.26 (pag. 125), ab-
biamo di fatto presentato un algoritmo per scrivere un x ∈ Q+
come rapporto di naturali, una volta nota la rappresentazione
decimale di x. Ribadiamo quanto detto in quella sede riformulan-
do il tutto secondo la convenzione appena introdotta, che consiste
nell’identificare x con R(x).
Supponiamo dunque
x = ck...c0, a1...asp1...ptp1...pt... (3.98)
(con un antiperiodo di s cifre a1, ..., as e un periodo di t cifre
p1, ..., pt; s = 0 se non c’e antiperiodo). Allora
10sx = ck...c0a1...as, p1...ptp1...pt... , (3.99)
10s+tx = ck...c0a1...asp1...pt, p1...pt... (3.100)
(moltiplicando per 10s o 10s+t la virgola si sposta verso destra
di s o s + t posti) (29). I due allineamenti nelle (3.99) (3.100)
hanno le stesse cifre dopo la virgola; inoltre ck...c0a1...asp1...pt︸ ︷︷ ︸∈N
>
ck...c0a1...as︸ ︷︷ ︸∈N
. Da questi fatti segue
10s+tx−10sx = ck...c0a1...asp1...pt−ck...c0a1...as ∈ N ; (3.101)
29 Le equazioni (3.99) (3.100) si devono intendere con le precisazioni di pag. 128 riguardo alla formula
(3.97) per 10ux.
129
dunque
x =ck...c0a1...asp1...pt − ck...c0a1...as
10s+t − 10s(3.102)
(30). La (3.102) e la rappresentazione cercata di x come rapporto
di due naturali.
3.30 Esercizio. Utilizzando lo schema precedente, rappresen-
tare come rapporti di naturali i seguenti razionali non negativi:
i) 2, 7 ; ii) 19, 31 ; iii) 13, 4879 ; iv) 2, 14725.
Soluzione. i) Nel caso 2, 7 non c’e antiperiodo e il periodo e
formato dalla sola cifra 7; dunque, lo schema generale di prima
dovra essere applicato con s = 0 e t = 1. Si procede cosı : sia
x := 2, 7 = 2, 77... ; (3.103)
allora
10x = 27, 77...
da cui
10x− x = 27, 77...− 2, 77... = 27− 2 ,
cioe
9x = 25 ,
cioe
x =25
9. (3.104)
30ripetiamo qui quanto notato a pag. 126 nello scrivere questo risultato: da t ∈ {1, 2, 3, ...} e s ∈{0, 1, 2, ...} segue s+ t > s, per cui 10s+t > 10s
130
ii) Nel caso 19, 31 non c’e antiperiodo e il periodo e 31, formato
da due cifre; dunque, lo schema generale di prima dovra essere
applicato con s = 0 e t = 2. Si procede cosı : sia
x := 19, 31 = 19, 3131... ; (3.105)
allora
100x = 1931, 3131... ,
da cui
100x− x = 1931, 3131...− 19, 3131... = 1931− 19 ,
cioe
99x = 1912 ,
cioe
x =1912
99. (3.106)
131
iii) Nel caso 13, 4879 abbiamo antiperiodo 48 e periodo 79, en-
trambi formati da due cifre; dunque, lo schema generale di prima
dovra essere applicato con s = t = 2. Si procede cosı : sia
x := 13, 4879 = 13, 487979... ; (3.107)
allora
100x = 1348, 7979... ,
10·000x = 134·879, 7979... ,
da cui
10·000x−100x = 134·879, 7979...−1348, 7979... = 134·879−1348 ,
cioe
9900x = 133·531 ,
cioe
x =133·531
9900. (3.108)
132
iv) Nel caso 2, 14725 abbiamo antiperiodo 147 e periodo 25, forma-
ti rispettivamente da tre e due cifre; dunque, lo schema generale
di prima dovra essere applicato con s = 3 e t = 2. Si procede
cosı : sia
x := 2, 14725 = 2, 1472525... ; (3.109)
allora
1000x = 2147, 2525... ,
100·000x = 214·725, 2525... ,
da cui
100·000x−1000x = 214·725, 2525...−2147, 2525... = 214·725−2147 ,
cioe
99·000x = 212·578 ,
cioe
x =212·578
99·000=
106·289
49·500(3.110)
(nell’ultimo passaggio, il rapporto e stato semplificato dividendo
il numeratore e il denominatore per 2).
133
Rappresentazione decimale di un razionale negativo
3.31 Definizione. Se x = ck...c0, d1, d2... ∈ Q+, l’opposto −x
si indichera anche con −ck...c0, d1, d2... . �
3.32 Esempio. La scrittura −2, 7 indica l’opposto del razio-
nale positivo 2, 7.
Essendo 2, 7 =25
9(cfr. pag. 130), possiamo dire che −2, 7 =
−25
9. �
Qualunque razionale negativo ha la forma −x, con x ∈ Q+; di
conseguenza, ogni razionale negativo ha una rappresentazione del
tipo −ck...c0, d1d2...
134
Una caratteristica di “incompletezza” di Q emergente
dallo studio delle rappresentazioni decimali.
Nelle pagine precedenti abbiamo stabilito una corrispondenza biu-
nivoca (diventata poi una identificazione) tra Q+ e l’insieme AP
degli allineamenti decimali periodici (di periodo 6= 9).
D’altra parte, tra gli allineamenti decimali infiniti ci sono anche
quelli non periodici. Di piu: la periodicita e una caratteristi-
ca assai peculiare, e gli allineamenti che la possiedono si devono
considerare in qualche modo “eccezionali”.
Il fatto che gli allineamenti non periodici non corrispondano ad
elementi di Q+ e una manifestazione di incompletezza dei razio-
nali. Nelle prossime pagine evidenzieremo altre caratteristiche di
Q, che possono essere tutte interpretate come manifestazioni di
incompletezza.
Come vedremo piu avanti, l’incompletezza di Q (da vari punti di
vista) e un problema che scompare se ampliamo Q sostituendolo
con il campo ordinato R dei numeri reali.
135
Il problema della radice quadrata nei razionali. Una
nuova manifestazione di incompletezza di Q.
3.33 Definizione. Sia y ∈ Q+. Il problema della radice
quadrata di y e il seguente:
?x ∈ Q tale che x2 = y � (3.111)
3.34 Osservazioni. i) Formulando il problema richiediamo che
sia y ∈ Q+ perche, se y ∈ Q−, il problema e sicuramente privo
di soluzioni (infatti: il quadrato di qualunque x ∈ Q e positivo o
nullo, quindi non puo essere uguale ad un razionale negativo).
ii) Se y = 0, il problema (3.111) ha come unica soluzione x = 0.
iii) Sia y > 0. Se il corrispondente problema (3.111) ha soluzione,
allora le soluzioni sono due e hanno la forma ±x, dove x > 0.
(31). �
In certi casi, si vede subito che il problema (3.111) ha soluzione.
Ad esempio: il problema x2 = 4 ha soluzione x = ±2; il problema
x2 = 4/9 ha soluzione x = ±2/3.31Ecco la prova. Sia x una soluzione di x2 = y; non puo essere x = 0, perche in tal caso si avrebbe
x2 = 0 6= y.
Ora consideriamo un qualunque x′ ∈ Q; allora x′ e soluzione di (3.111) ⇐⇒ x′2
= y ⇐⇒ x′2
= x2 ⇐⇒x′
2/x2 = 1 ⇐⇒ (x′/x)2 = 1 ⇐⇒ x′/x = ±1 ⇐⇒ x′ = ±x.
Dunque il problema ha esattamente due soluzioni ±x, di cui una positiva e l’alta negativa. Se
ridenominiamo x la soluzione positiva, la prova e conclusa.
136
In altri casi, si vede subito che la questione e piu delicata. In
particolare, consideriamo il problema
?x ∈ Q tale che x2 = 2 . (3.112)
Questo non ha soluzioni evidenti. Qui di seguito presentiamo delle
scelte di x ∈ Q che rendono x2 vicino, ma non uguale a 2:
x = ±1, 4 =⇒ x2 = 1, 96 ; (3.113)
x = ±1, 41 =⇒ x2 = 1, 9881 ; (3.114)
x = ±1, 414 =⇒ x2 = 1, 999396 . (3.115)
In effetti, nessun tentativo di risolvere il problema (3.112) in Q ha
possibilita di riuscita. Infatti, vale quanto segue:
3.35 Proposizione. Non esiste x ∈ Q tale che x2 = 2.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un tale x:
allora x e un razionale positivo o il suo opposto, quindi
x = ± nm, n,m ∈ N∗ = N \ {0} . (3.116)
La nostra ipotesi di assurdo e( nm
)2= 2 , (3.117)
137
da cui
n2 = 2m2 . (3.118)
Proseguiamo scrivendo le decomposizioni di n,m in fattori primi,
nella forma data a pagina 48:
n = 2t23t35t5... , m = 2s23s35s5... , (3.119)
tp, sp ∈ N per ogni p primo ,
tp 6= 0, sp 6= 0 solo per un numero finito di primi p .
Allora
n2 = 22t232t352t5... , (3.120)
2m2 = 2 · 22s232s352s5... = 22s2+132s352s5... . (3.121)
Dunque il numero n2 = 2m2 ∈ N∗ ha due distinte decomposizioni
in fattori primi: una in cui 2 ha esponente 2t2 pari, l’altra in cui
2 ha esponente 2s2 + 1 dispari.
Questa conclusione contraddice il teorema di unicita per la de-
composizione in fattori primi di qualunque elemento di N∗. �
3.36 Esercizio. Generalizzando l’argomento precedente, dimo-
strare la seguente proposizione: se p e un numero primo, non esiste
x ∈ Q tale che x2 = p.
Notare che la Prop. 3.35 e il caso particolare p = 2 di questa
affermazione.
138
Un’altra manifestazione di incompletezza di Q: i nu-
meri razionali non bastano per misurare le lunghezze
di tutti i segmenti.
Consideriamo la geometria euclidea del piano, e qui la collezione
di tutti i segmenti. Ricordiamo che ogni segmento AB ha una
lunghezza |AB| ∈ L, e che le lunghezze si possono moltiplicare
per i razionali non negativi (pag. 93 e seguenti).
Cio premesso, scegliamo una lunghezza u ∈ L non nulla, che
chiameremo l’unita di lunghezza.
3.37 Proposizione. Comunque si scelga l’unita di lunghezza
u, esiste un segmento la cui lunghezza non si puo rappresentare
nella forma xu con x ∈ Q+.
Piu precisamente: dato un triangolo rettangolo con entrambi i
cateti di lunghezza u, la lunghezza dell’ipotenusa non ha la forma
xu con x ∈ Q+.
139
Dimostrazione. Consideriamo un triangolo rettangolo come
nell’enunciato, che indichiamo con ACB; le lunghezze dei cateti
sono |AC| = |CB| = u. Prendiamo in esame l’ipotenusa AB;
per il teorema di Pitagora (32),
|AB|2 = |AC|2 + |CB|2 = 2u2 . (3.122)
Da qui si deduce che non puo essere |AB| = xu per alcun x ∈
Q+. Infatti, se cosı fosse la (3.122) ci direbbe
x2u2 = 2u2 da cui x2 = 2 . (3.123)
Questo e un assurdo, perche sappiamo che x2 = 2 non ha soluzioni
x ∈ Q. �
La Proposizione precedente prova l’affermazione anticipata a pag.
95: l’applicazione
Q+ → L , x 7→ xu
non e suriettiva.
32Qui si danno per scontati, oltre al teorema di Pitagora, certe nozioni di geometria euclidea: il
concetto di area, il fatto che il prodotto di due lunghezze e un’area, il fatto che l’area di un quadrato e
il quadrato della lunghezza di un suo lato.
140
Esistono punti della retta che non hanno ascissa ra-
zionale
Consideriamo un piano e qui una retta r, munita di una origine
O e di una orientazione; inoltre, fissiamo una unita di lunghezza
u ∈ L \ {0}.
Allora, come gia ricordato a pag. 96, possiamo definire una appli-
cazione iniettiva
Q→ r , x 7→ P (x) ; (3.124)
P (x) si chiama il punto di r di ascissa x.
L’affermazione che segue e una semplice variante della precedente
Proposizione 3.37 (e si puo considerare anch’essa una manifesta-
zione di incompletezza dei razionali):
3.38 Proposizione. Esistono punti di r che non possono essere
rappresentati nella forma P (x), con x ∈ Q. Dunque, la (4.4) non
e suriettiva.
141
Dimostrazione. Sia C = P (1), cosicche |OC| = u. Costruia-
mo il rettangolo ACO con cateti OC e CA, anche questo di
lunghezza u.
Dalla Prop. 3.37 sappiamo che la lunghezza |OA| non e rappre-
sentabile nella forma xu, con x ∈ Q+. Ora, sia G il punto di r
tale che |OA| = |OG|, e il verso da O a G e positivo (33). In pra-
tica G e l’intersezione tra la circonferenza di centro O, passante
per A, e la meta positiva della retta r.
Il puntoG non e rappresentabile nella forma P (x) con x razionale.
Infatti, se fosse G = P (x) per qualche x razionale, avremmo
x ∈ Q+ e |OG| = xu; allora avremmo anche |OA| = xu, il che
e impossibile. �
33questa seconda richiesta viene fatta solo per fissare le idee; in alternativa, potremmo considerare il
punto G ∈ r tale che |OA| = |OG| e il verso da O a G e negativo.
142
Sottoinsiemi separati ed elementi separatori negli in-
siemi ordinati. Completezza di un insieme ordinato
Ricordiamo che un insieme ordinato e un insieme X munito di una
relazione d’ordine stretto <; questa induce anche una relazione di
ordine largo 6.
Il discorso che faremo qui di seguito sui sottoinsiemi separati e
sui loro elementi separatori si puo applicare, in particolare, all’in-
sieme ordinato Q; nella continuazione di tale discorso che faremo
nel paragrafo successivo, l’analisi di Q da questo punto di vista
manifestera altre caratteristiche di “incompletezza” dei razionali.
3.39 Definizione. X sia un insieme ordinato. Due sottoinsie-
mi A,B di X si dicono separati se accade quanto segue:
per ogni a ∈ A, b ∈ B risulta a 6 b . (3.125)
143
3.40 Esempi. L’insieme ordinato in questione sia Q. Si hanno
coppie A,B di sottoinsiemi separati di Q in ciascuno dei cinque
casi seguenti:
i) A := {a ∈ Q |a 6 1}, B := {b ∈ Q |b > 3};
ii) A := {a ∈ Q | − 4 6 a 6 1}, B := {b ∈ Q |3 6 b < 5};
iii) A := {a ∈ Q |a < 1}, B := {b ∈ Q |b > 1};
iv) A := {a ∈ Q |a 6 1}, B := {b ∈ Q |b > 1};
v) A := {a ∈ Q | − 4 6 a 6 1}, B := {b ∈ Q |1 6 b < 5}.
Nel caso (iv) ce un elemento comune tra i due sottoinsiemi, perche
A ∩ B = {1}. Tuttavia la condizione di separazione a 6 b per
ogni a ∈ A, b ∈ B e soddisfatta (come uguaglianza) anche per
a = b = 1. Un discorso analogo vale per il caso (v).
144
Invece i sottoinsiemi
A := {a ∈ Q | a 6 5}, B := {b ∈ Q | b > 2}
non sono separati. Infatti, ad esempio: 4 ∈ A, 3 ∈ B ma non e
4 6 3. �
145
3.41 Definizione. Siano X un insieme ordinato, A e B due
suoi sottoinsiemi. Un elemento s ∈ X si dice un elemento
separatore per A,B se accade quanto segue:
per ogni a ∈ A, b ∈ B risulta a 6 s 6 b. (3.126)
Porremo
Sep(A,B) := {s ∈ X|s e un elemento separatore per A,B}. (3.127)
�
Nella figura sottostante abbiamo rappresentato due sottoinsiemi
A,B di X := Q (identificati con sottoinsiemi di una retta) ed
un loro elemento separatore s (identificato con un un punto della
stessa retta).
146
3.42 Osservazioni. i) Non e escluso che una data coppia A,B
sia priva di elementi separatori; in questo caso Sep(A,B) = ∅.
ii) Notiamo che
A,B hanno elementi separatori =⇒ A,B separati. (3.128)
infatti, se esiste s ∈ X tale che a 6 s 6 b per ogni a ∈ A e
b ∈ B, a maggior ragione e a 6 b per ogni a ∈ A e b ∈ B, e
dunque A e B sono separati. (34). �
3.43 Esempi. Nell’insieme ordinato Q, consideriamo le coppie
A,B di sottoinsiemi (separati) dei 5 casi gia considerati a pag.
144. Ciascuna di queste coppie possiede elementi separatori, che
sono descritti qui di seguito.
34La (3.128) si puo riformulare in questo modo:
A, B non separati =⇒ A,B non hanno elementi separatori.
Per giustificare questa riformulazione basta ricordare la seguente verita logica (Cap 1, pag. 32, Osserva-
zione 1.7): date due affermazioni P e Q, P =⇒ Q equivale a (non Q) =⇒ (non P ). Qui stiamo usando
questo fatto scegliendo per P l’affermazione “A,B hanno elementi separatori” e per Q l’affermazione
“A,B sono separati”.
147
i) A := {a ∈ Q |a 6 1}, B := {b ∈ Q |b > 3};
allora Sep(A,B) = {s ∈ Q | 1 6 s 6 3 }.
ii) A := {a ∈ Q | − 4 6 a 6 1}, B := {b ∈ Q |3 6 b < 5};
allora Sep(A,B) = {s ∈ Q | 1 6 s 6 3 }.
iii) A := {a ∈ Q |a < 1}, B := {b ∈ Q |b > 1};
allora Sep(A,B) = {1}.
iv) A := {a ∈ Q |a 6 1}, B := {b ∈ Q |b > 1}; allora
Sep(A,B) = {1}.
v) A := {a ∈ Q | − 4 6 a 6 1}, B := {b ∈ Q |1 6 b < 5}.
allora Sep(A,B) = {1}. �
Negli esempi i)ii) di prima abbiamo trovato molti elementi se-
paratori; invece, negli esempi iii)iv)v) abbiamo trovato un solo
elemento separatore.
148
La Definizione che segue e la successiva Proposizione 3.47 descrivo-
no una situazione in cui si puo garantire che l’elemento separatore,
se c’e, e unico.
3.44 Definizione. X sia un anello ordinato (con il sottoin-
sieme X+ degli elementi positivi, e l’usuale relazione d’ordine
stretto).
Due sottoinsiemi separati A,B di X si dicono contigui se accade
questo:
per ogni ε ∈ X+ esistono a ∈ A, b ∈ B tali che b− a < ε (3.129)
(si noti che in ogni caso b− a > 0, per la separazione di A e B).�
Nella figura sottostante abbiamo rappresentato la condizione (3.129)
per una coppia di sottoinsiemi A,B di Q (identificati con due
sottoinsiemi della retta). In sostanza, la definizione di contiguita
indica che si possono trovare degli elementi a ∈ A e b ∈ B arbi-
trariamente vicini. Piu precisamente: per ogni ε positivo (che puo
essere ”piccolo” quanto si vuole), si possono trovare degli elementi
a ∈ A e b ∈ B che differiscono meno di ε.
149
3.45 Esempio. Riprendendo l’esempio iii) di pag. 148, consi-
deriamo in Q i sottoinsiemi separati
A := {a ∈ Q |a < 1}, B := {b ∈ Q |b > 1} ;
mostriamo che questi sono contigui. Per verificarlo, preso in Q un
qualunque ε > 0 dobbiamo far vedere che esistono a ∈ A, b ∈ B
tali che b− a < ε. In effetti, posto
a := 1− ε
3, b := 1 +
ε
3
risulta a ∈ A, b ∈ B e
b− a =2ε
3< ε .
150
3.46 Esempio. Riprendendo l’esempio i) di pag. 148, conside-
riamo in Q i sottoinsiemi separati
A := {a ∈ Q |a 6 1}, B := {b ∈ Q |b > 3} ;
questi non sono contigui. Infatti per ogni a ∈ A, b ∈ B e
−a > −1, b > 3; di conseguenza
per ogni a ∈ A, b ∈ B e b− a > 3− 1 = 2 .
Pertanto, se si sceglie un ε razionale con 0 < ε 6 2, la condizione
di contiguita b− a < ε e violata da tutte le coppie a ∈ A, b ∈ B.
151
3.47 Proposizione. Nell’anello ordinato X , consideriamo due
sottoinsiemi A,B separati e contigui. Se esiste un elemento sepa-
ratore di A e B, questo e unico.
Dimostrazione∗ . Supponiamo per assurdo che esistano due
elementi separatori s 6= t. Allora uno dei due, diciamo s, e minore
dell’altro:
s < t . (3.130)
Consideriamo due arbitari elementi a ∈ A, b ∈ B. Allora a 6
s 6 b, a 6 t 6 b e, in particolare,
a 6 s, t 6 b .
Dunque −a > −s e b > t, da cui b− a > t− s. Riassumendo,
ε := t− s > 0 (3.131)
e tale che
b− a > ε per ogni a ∈ A, b ∈ B . (3.132)
Dunque la condizione di contiguita (3.129) e violata per questo ε;
abbiamo trovato una contraddizione. �
152
Nella teoria degli insiemi ordinati, una delle questioni principali
relative alla separazione e la seguente: data una coppia di sot-
toinsiemi separati, quando possiamo garantire l’esistenza di
almeno un elemento separatore?
E’ particolarmente gradevole il caso di un insieme ordinato X in
cui tale garanzia sia data sempre; si dice allora che X e completo.
Piu precisamente:
3.48 Definizione. Un insieme ordinato X si dice completo
se ogni coppia A,B di sottoinsiemi di X non vuoti e separati
possiede un elemento separatore. �
E’ appena il caso di dire che, se X e un anello ordinato completo e
A,B sono separati e contigui, l’elemento separatore di A,B oltre
ad esistere e unico.
Nel prossimo paragrafo mostreremo che Q non e completo nel
senso della definizione precedente. Dunque l’incompletezza di Q
evidenziata rispetto ad altre questioni (problema della radi-
ce quadrata, numeri razionali e lunghezze dei segmenti, ecc.)
sussiste anche dal punto di vista dell’ordine.
In effetti, e proprio l’ordinamento a fornire il punto di vista piu
profondo riguardo all’incompletezza dei razionali; questa stessa
visione ci servira per introdurre il campo ordinato R dei numeri
reali, che risultera completo.
153
Q e un insieme ordinato non completo.
In questo paragrafo costruiremo in Q due sottoinsiemi A,B
separati (e contigui), che non possiedono elemento separatore.
La non esistenza dell’elemento separatore per questa coppia A,B
segue dalla non esistenza di un numero razionale con quadrato 2;
infatti la coppia e costruita in modo tale da poter far vedere che,
se esistesse un elemento separatore s, risulterebbe s2 = 2.
Cominciamo questo discorso definendo A e B.
3.49 Definizione. Da qui alla fine del paragrafo si intende
A := {a ∈ Q+ | a2 < 2} , (3.133)
B := {b ∈ Q+ | b2 > 2} . �
Notiamo che (35)
A 3 1, 1, 4 , 1, 41 , 1, 414 ; (3.134)
B 3 2, 1, 5 , 1, 42 , 1, 415 . (3.135)
35si tenga presente che 12 = 1 < 2, 1, 42 = 1, 96 < 2, 1, 412 = 1, 9881 < 2, 1, 4142 = 1, 999396 < 2,
mentre 22 = 4 > 2, 1, 52 = 2, 25 > 2, 1, 422 = 2, 0164 > 2, 1, 4152 = 2, 002225 > 2.
154
3.50 Proposizione. A e B sono sottoinsiemi separati di Q.
Dimostrazione. Siano a ∈ A, b ∈ B; dobbiamo provare che
a 6 b . (3.136)
Supponiamo per assurdo che non sia cosı : allora a > b, da cui
a2 > b2 > 2, da cui a2 > 2; questo contraddice la definizione di
A. �
Per dimostrare che A e B non ammettono elemento separatore, ci
serviranno i successivi tre lemmi 3.51, 3.52 e 3.53; il terzo di questi
contiene il punto centrale dell’argomento perche fa vedere che un
elemento separatore s ∈ Q, se esistesse, soddisferebbe s2 = 2.
155
3.51 Lemma. Per ogni a ∈ A, esiste a′ ∈ A tale che a′ > a.
(36)
Dimostrazione∗. Fissiamo un a ∈ A; notiamo che
0 < a <3
2(3.137)
(infatti a > 0 per definizione di A; se fosse a > 3/2 avremmo
a2 > (3/2)2 = 9/4 > 2, da cui a 6∈ A).
Ora cerchiamo a′ della forma
a′ = a + h , h ∈ Q , 0 < h < 1 , (3.138)
dove h e da trovare. E’ chiaro che, per qualunque h come sopra,
e a′ > a (da cui a′ > 0). Ora mostriamo che si puo scegliere h in
modo che sia a′2 < 2, il che bastera per concludere a′ ∈ A.
36Per gli elementi a ∈ A considerati nella (3.134), questa affermazione si verifica in modo molto
diretto. In particolare: se a = 1 possiamo assumere a′ = 1, 4; se a = 1, 4 possiamo assumere a′ = 1, 41;
se a = 1, 41 possiamo assumere a′ = 1, 414. Questo lemma contiene un risultato che vale per qualunque
a ∈ A.
156
In effetti,
a′2
= (a + h)2 = a2 + 2ah + h2
< a2+2·32·h+h (perche 0 < a < 3/2 e 0 < h < 1, da cui h2 < h)
= a2 + 3h + h = a2 + 4h .
Essendo a′2 < a2 + 4h risulta a′2 < 2 se si sceglie h in modo che
a2 + 4h < 2 ,
il che accade se
h <2− a2
4. (3.139)
Si noti che 2− a2 > 0, perche a ∈ A. Inizialmente si era richiesto
0 < h < 1; d’altra parte (2 − a2)/4 < 2/4 = 1/2 < 1 quindi la
(3.139) assicura h < 1. Riassumendo: a′ := a + h ∈ A e a′ > a
se si sceglie un qualunque h tale che
h ∈ Q , 0 < h <2− a2
4. (3.140)
�
157
3.52 Lemma. Per ogni b ∈ B, esiste b′ ∈ B tale che b′ < b.
(37)
Dimostrazione∗. Cerchiamo b′ della forma
b′ = b− h , h ∈ Q , 0 < h < b . (3.141)
dove h e da trovare. E’ chiaro che, per qualunque h come sopra,
e 0 < b′ < b. Ora mostriamo che si puo scegliere h in modo che
sia b′2 > 2, il che bastera per concludere b′ ∈ B. In effetti,
b′2
= (b− h)2 = b2 − 2bh + h2︸︷︷︸>0
> b2 − 2bh .
Essendo b′2 > b2 − 2bh risulta b′2 > 2 se si sceglie h in modo che
b2 − 2bh > 2 ,
il che accade se b2 − 2 > 2bh, ovvero
h <b2 − 2
2b. (3.142)
37Per gli elementi b ∈ B considerati nella (3.135), questa affermazione si verifica in modo molto
diretto. In particolare: se b = 2 possiamo assumere b′ = 1, 5; se b = 1, 5 possiamo assumere b′ = 1, 42;
se b = 1, 42 possiamo assumere b′ = 1, 415. Questo lemma contiene un risultato che vale per qualunque
b ∈ B.
158
Notiamo che b2−2 > 0, perche b ∈ B; inoltre b > 0 per definizione
di b, quindib2 − 2
2b> 0.
Notiamo anche cheb2 − 2
2b=b
2− 1
b<b
2< b; in conclusione
0 <b2 − 2
2b< b . (3.143)
Riassumendo: b′ := b− h ∈ B e b′ > b se si sceglie un qualunque
h tale che
h ∈ Q , 0 < h <b2 − 2
2b. (3.144)
(Una scelta come sopra per h soddisfa anche la richiesta iniziale
h < b, per via della (3.143)). �
159
3.53 Lemma. Se gli insiemi A,B possedessero un elemento
separatore s ∈ Q, sarebbe
s > 0 , s2 = 2 . (3.145)
Dimostrazione. Supponendo l’esistenza di un elemento sepa-
ratore s, deduciamo le (3.145).
Anzitutto, s > 0 perche, preso un qualunque a ∈ A, risulta
s > a > 0.
Ora facciamo vedere che non puo essere s2 < 2, ne s2 > 2.
Infatti, se fosse s2 < 2 sarebbe s ∈ A; pertanto, per il Lemma 3.51
(con a = s) esisterebbe a′ ∈ A tale che a′ > s, contraddicendo la
definizione di elemento separatore.
160
Invece, se fosse s2 > 2 sarebbe s ∈ B; pertanto, per il Lemma 3.52
(con b = s) esisterebbe b′ ∈ B tale che b′ < s, contraddicendo
ancora la definizione di elemento separatore.
�
Finalmente, possiamo provare il risultato principale del paragrafo
3.54 Proposizione. Gli insiemi A e B (definiti dalla (3.133),
non vuoti e separati) non possiedono in Q un elemento separatore.
Dunque, l’insieme ordinato Q non e completo.
Dimostrazione. Se esistesse un elemento separatore s ∈ Q,
secondo il Lemma 3.53 sarebbe s2 = 2; da pag. 136, sappiamo
che questo non e possibile. �
161
A conclusione di questo paragrafo presentiamo un risultato che
non ha una utilita immediata ma la acquistera piu avanti, quando
rivedremo tutto l’argomento dal punto di vista della teoria dei
numeri reali. Il risultato che vogliamo provare, per il momento
operando in Q, e la contiguita di A,B.
In sostanza, vogliamo far vedere che ci sono elementi di A e B
arbitrariamente vicini.
Che le cose vadano cosı e suggerito da un’osservazione fatta all’i-
nizio del paragrafo (pag. 154), e qui riformulata per comodita del
lettore: risulta
A 3 a0, a1, a2, a3 , (3.146)
a0 := 1 , a1 := 1, 4 , a2 := 1, 41 , a3 := 1, 414 ;
B 3 b0, b1, b2, b3 , (3.147)
b0 := 2 , b1 := 1, 5 , b2 := 1, 42 , b3 := 1, 415 .
Notiamo che risulta
b0−a0 = 1 , b1−a1 = 0, 1 , b2−a2 = 0, 01 , b3−a3 = 0, 001 .
(3.148)
Questa constatazione ci porta a congetturare che per ogni ` ∈ N
esistano a` ∈ A, b` ∈ B che differiscono per 1/10`. In effetti e
proprio cosı : questo fatto e descritto dal lemma seguente, dal
quale seguira immediatamente la contiguita di A e B.
162
3.55 Lemma. Per ogni ` ∈ N esistono a` ∈ A, b` ∈ B tale che
b` − a` =1
10`. (3.149)
Dimostrazione∗ . Procederemo per induzione; per ogni ` in-
dichiamo con P` l’affermazione dell’enunciato, cioe l’esistenza di
elementi a` ∈ A, b` ∈ B che soddisfano la (3.149).
Passo 1. P0 e vera. Infatti, posto
a0 := 1 , b0 := 2 (3.150)
risulta a0 ∈ A, b0 ∈ B e b0 − a0 = 1 = 1/100.
Passo 2. Per ogni ` ∈ N, P` =⇒ P`+1. Supponiamo dunque di
avere a` ∈ A, b` ∈ B tali che b` − a` = 1/10`.
Notiamo che
a` < a`+1
10`+1< a`+
2
10`+1< ... < a`+
9
10`+1< a`+
10
10`+1= a`+
1
10`= b` .
163
Introduciamo l’insieme
I` := {i ∈ {0, 1, ..., 9} | a` +i
10`+1∈ A} ; (3.151)
questo e non vuoto, perche contiene 0 (infatti a`+0/10`+1 = a` ∈
A). Sia
j := Max I` (3.152)
(Max indica il massimo). Allora
a` +j
10`+1∈ A ; (3.153)
a` +j + 1
10`+16∈ A . (3.154)
(infatti, se fosse a` + j+110`+1 ∈ A avremmo anzitutto j 6= 9, in
quanto a` + 9+110`+1 = b` 6∈ A; inoltre sarebbe j + 1 ∈ I`, mentre
sappiamo che il massimo di I` e j). Dalla (3.154) segue
a` +j + 1
10`+1∈ B (3.155)
(infatti, la (3.154) ci dice che non e (a` + j+110`+1)2 < 2; non puo
essere (a` + j+110`+1)2 = 2 perche nessun razionale ha quadrato 2,
quindi (a` + j+110`+1)2 > 2).
A questo punto poniamo
a`+1 := a` +j
10`+1∈ A , b`+1 := a` +
j + 1
10`+1∈ B ; (3.156)
allora
b`+1 − a`+1 =j + 1− j
10`+1=
1
10`+1; (3.157)
cosı , l’affermazione P`+1 e provata. �
164
Dal Lemma precedente segue
3.56 Proposizione. Gli insiemi A,B non sono solo separati,
ma anche contigui.
Dimostrazione. Consideriamo un qualunque ε ∈ Q+; dobbia-
mo mostrare che esistono a ∈ A, b ∈ B tali che b− a < ε.
A questo fine notiamo che esiste ` ∈ N tale che
1
10`< ε ; (3.158)
considerato un tale `, per il Lemma 3.55 esistono a` ∈ A, b` ∈ B
che differiscono di 1/10`, cosicche
b` − a` =1
10`< ε . (3.159)
�
165
Una digressione: morfismi e isomorfismi di anelli (o
di campi), e di anelli (o campi) ordinati
In questo paragrafo introdurremo alcuni concetti della teoria ge-
nerale degli anelli (o campi), eventulamente ordinati. Questi con-
cetti, sebbene un po’ astratti, ci sono utili per due motivi:
i) essi gettano nuova luce su Q.
ii) (Fatto piu importante). Questo punto di vista ci servira per
descrivere in modo molto economico il passaggio dai razionali ai
reali.
I concetti di cui vogliamo occuparci sono quelli di morfismo o
isomorfismo. In poche parole:
a) un morfismo tra anelli, o campi, o anelli ordinati, o campi
ordinati, e una applicazione che preserva le strutture del caso
in esame (somma, prodotto e unita, a cui si deve aggiungere, nel
caso ordinato, la collezione degli elementi positivi).
b) Un isomorfismo e un morfismo biettivo.
Il concetto di morfismo (o isomorfismo) e fondamentale nell’al-
gebra astratta, intesa come studio generale degli insiemi muniti
di qualche struttura (cioe, di una o piu operazioni o di qualche
relazione, ad esempio una relazione d’ordine) (38).
38In proposito si vedano i libri di L. Lombardo Radice, “Istituzioni di algebra astratta”, Ed. Feltrinelli,
e di S. Mac Lane, G. Birkhoff, “Algebra”, Ed. Mursia
166
Cio premesso, vediamo le definizioni formali di questi concetti nei
casi che ci interessano.
3.57 Definizione. A,A′ siano due anelli. Un morfismo di
anelli tra A e A′ e una applicazione
F : A→ A′ (3.160)
che preserva la somma, il prodotto e l’unita, in questo senso. Per
ogni x, y ∈ A, risulta
F ( x + y︸ ︷︷ ︸somma in A
) = F (x) + F (y)︸ ︷︷ ︸somma in A′
, (3.161)
F ( xy︸︷︷︸prodotto in A
) = F (x)F (y)︸ ︷︷ ︸prodotto in A′
; (3.162)
inoltre
F ( 1︸︷︷︸unita di A
) = 1︸︷︷︸unita di A′
. (3.163)
Se in piu F e biettiva, si dice che F e un isomorfismo di anelli
tra A e A′. �
167
3.58 Proposizione. Un morfismo F tra due anelli A e A′
preserva anche lo zero, l’opposto, la differenza e le potenze di
esponente naturale. Con cio si intende che
F ( 0︸︷︷︸zero di A
) = 0︸︷︷︸zero di A′
(3.164)
e che, per ogni x, y ∈ A, h ∈ N,
F ( −x︸︷︷︸opposto di x in A
) = −F (x)︸ ︷︷ ︸opposto di F (x) in A′
. (3.165)
F ( y − x︸ ︷︷ ︸diff. tra y e x in A
) = F (y)− F (x)︸ ︷︷ ︸diff. tra F (y) e F (x) in A′
. (3.166)
F ( xh︸︷︷︸potenza di x in A
) = F (x)h︸ ︷︷ ︸potenza di F (x) in A′
. (3.167)
Dimostrazione∗. E’ lasciata per esercizio ai lettori interessati.
�
3.59 Osservazioni. i) In precedenza abbiamo gia incontrato
qualche morfismo di anelli, senza menzionare esplicitamente que-
sto fatto. In particolare a pag. 80, considerando gli anelli Z e Q,
abbiamo di fatto preso in esame l’applicazione
F : Z→ Q , F (t) :=t
1. (3.168)
168
Questa e un morfismo di anelli; ad esempio, la preservazione della
somma sotto F si verifica cosı : per ogni s, t ∈ Z, F (s+t) =s + t
1
=s
1+t
1= F (s) + F (t). Si deve segnalare che F e iniettiva, ma
non suriettiva.
ii) A pag. 80 abbiamo introdotto l’identificazione t ∈ Z '
F (t) ∈ Q, che ci ha permesso di pensare Z come un sottoinsieme
di Q, e le operazioni in Z come restrizioni di quelle di Q.
iii∗) Fissato m ∈ {1, 2, 3, ...} consideriamo l’anello Zm introdotto
a pag. 65. Consideriamo l’applicazione
F : Z→ Zm , F (t) := [t]m .
Questa e un morfismo di anelli. Ad esempio, la preservazione della
somma sotto F si verifica cosı : per ogni s, t ∈ Z, F (s + t) =
[s + t]m = [s]m + [t]m = F (s) + F (t) (si noti che l’uguaglianza
[s + t]m = [s]m + [t]m corrisponde alla definizione data a pag. 65
per l’operazione di somma in Zm).
La mappa F non e iniettiva: infatti, F (t + m) = F (t) per ogni
t ∈ Z. Invece, F e suriettiva. �
3.60 Osservazioni. i) Se F : A → A′ e G : A′ → A′′ sono
morfismi di anelli, allora G ◦ F : A→ A′′ e pure un morfismo di
anelli.
ii) Se F : A→ A′ e un isomorfismo di anelli, lo stesso accade per
l’applicazione inversa F−1 : A′ → A. �
169
3.61 Definizione K,K ′ siano due campi. Un morfismo di
campi tra K e K ′ e una applicazione F : K → K ′ costituente un
morfismo tra K e K ′ in quanto anelli (cioe preservante la somma,
il prodotto e l’unita).
Un isomorfismo di campi e un morfismo di campi biettivo.
3.62 Proposizione. F sia un morfismo tra due campi K e K ′;
supponiamo K ′ non nullo (cfr. pag. 87). Allora F preserva gli
elementi non nulli, l’inverso, i rapporti e le potenze di esponente
intero relativo. Con cio si intende che che, per ogni x, y ∈ K con
x 6= 0 ed ogni s ∈ Z, risulta
F (x) 6= 0 ; (3.169)
F ( 1/x︸︷︷︸reciproco di x in K
) = 1/F (x)︸ ︷︷ ︸reciproco di F (x) in K ′
, (3.170)
F (y
x︸︷︷︸rapp. tra y e x in K
) =F (y)
F (x)︸ ︷︷ ︸rapp. tra F (y) e F (x) in K ′
,
(3.171)
F ( xs︸︷︷︸potenza di x in K
) = F (x)s︸ ︷︷ ︸potenza di F (x) in K ′
. (3.172)
Inoltre, F e iniettivo.
Dimostrazione∗ . E’ lasciata ai lettori interessati (richiede un
certo impegno). �
170
3.63 DefinizioneA,A′ siano due anelli ordinati. Un morfismo
di anelli ordinati tra A e A′ e una applicazione F : A→ A′ con
le proprieta seguenti:
i) F e un morfismo di anelli tra A e A′;
ii) F preserva l’ordine in questo senso:
F ( A+︸︷︷︸elementi positivi di A
) ⊂ A′+︸︷︷︸
elementi positivi di A′(3.173)
(Si noti che la (3.173) equivale a questa affermazione: x ∈ A+ =⇒
F (x) ∈ A′+, ovvero: x ∈ A, x > 0 =⇒ F (x) > 0). Se, in piu, F
e biettiva si parla di un isomorfismo di anelli ordinati tra A e A′. �
3.64 Osservazioni. i) Se F : A → A′ e un isomorfismo
di anelli ordinati, si dimostra che la (3.173) vale infatti come
uguaglianza:
F (A+) = A′+. (3.174)
Supponendo sempre che F sia un isomorfismo, per ogni x ∈ A si
ha l’equivalenza x ∈ A+ ⇐⇒ F (x) ∈ A′+.
ii) F : A→ A′ sia un morfismo di anelli ordinati. Allora per ogni
x, y ∈ A accade quanto segue:
x < y =⇒ F (x) < F (y) ; (3.175)
x 6 y =⇒ F (x) 6 F (y) . (3.176)
Se F e un isomorfismo di anelli ordinati, le implicazioni nel-
le (3.175) (3.176) diventano equivalenze: in entrambi i casi, il
simbolo =⇒ puo essere sostituito con ⇐⇒.
171
iii) Riprendiamo l’applicazione
F : Z→ Q , F (t) :=t
1,
gia considerata alle pagg. 168 e 80. Abbiamo gia notato che
questa e un morfismo (iniettivo) di anelli. In piu, e evidente che
t ∈ Z+ = {1, 2, 3, ...} =⇒ t/1 ∈ Q+, cioe che
F (Z+) ⊂ Q+ ; (3.177)
dunque, F e un morfismo (iniettivo) di anelli ordinati.
(Abbiamo gia ricordato che, di solito, un t ∈ Z si identifica con
F (t) ∈ Q, il che ci permette di dire che Z ⊂ Q).
iv) Se F : A→ A′ e G : A′ → A′′ sono morfismi di anelli ordinati,
allora G ◦ F : A→ A′′ e pure un morfismo di anelli ordinati.
v) Se F : A → A′ e un isomorfismo di anelli ordinati, lo stesso
accade per l’applicazione inversa F−1 : A′ → A. �
3.65 Definizione. K eK ′ siano due campi ordinati. Un morfi-
smo o isomorfismo di campi ordinati traK eK ′ e una applicazione
F : K → K ′, costituente un morfismo o isomorfismo tra K e K ′
in quanto anelli ordinati. �
172
Z e immerso in ogni anello, Q e immerso in (quasi)
ogni campo.
3.66 Proposizione. Si consideri un anello A. Allora:
i) Esiste un unico morfismo di anelli
F : Z→ A . (3.178)
Questo e cosı determinato:
F ( 0︸︷︷︸zero di Z
) = 0︸︷︷︸zero di A
; (3.179)
se n ∈ Z+ = {1, 2, 3...}, allora
F (n) = 1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
, (3.180)
F (−n) = −(1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
) (3.181)
dove, nei secondi membri, 1 indica l’unita di A.
ii) Il morfismo F del punto (i) e iniettivo se e solo se F (n) 6= 0
per ogni n ∈ Z+.
iii) Se A e un anello ordinato non nullo, F ha la proprieta F (n) >
0 per ogni n ∈ Z+. Dunque F e un morfismo di anelli ordinati
(ed e iniettivo per il punto (ii)).
173
Dimostrazione∗.
Passo 1. Se F : Z → A e un morfismo di anelli, allora F e
come nelle (3.179) (3.180) (3.181).
Supponiamo dunque che F sia un morfismo di anelli. Allora, per
le proprieta generali di tali morfismi e F (1) = 1 e F (0) = 0, come
nella (3.179). Ora sia n ∈ Z+ = {1, 2, 3...}. Allora
F (n) = F (1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
)
= F (1) + ... + F (1)︸ ︷︷ ︸n volte
(perche F preserva +)
= 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
(perche F (1) = 1) ;
quindi vale la (3.180). Infine
F (−n) = −F (n) (perche F preserva l’opposto)
= −(1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
) (per la (3.180)),
dunque vale anche la (3.181).
174
Passo 2. Se F : Z → A e definito come nelle (3.179) (3.180)
(3.181), allora F e un morfismo di anelli.
Dopo avere definito F mediante le (3.179) (3.180) (3.181), consi-
deriamo m,n ∈ Z+ = {1, 2, 3, ...}. Allora
F (m + n) = 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸m + n volte
= (1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
) + (1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
) = F (m) + F (n) .
Inoltre:
F (m)F (n) = (1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
)(1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
)
= 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸mn volte
= F (mn)
dove l’ultima uguaglianza si ottiene usando la proprieta distribu-
tiva del prodotto, cioe ”svolgendo le parentesi”; nel fare questa
operazione ciascuno degli m termini ‘1’ nel primo fattore viene
moltiplicato per ciascuno degli n termini ‘1’ nel secondo fattore,
per un totale di m · n termini del tipo 1 · 1 = 1.
In conclusione, abbiamo provato che
F (m + n) = F (m)F (n) , F (mn) = F (m)F (n) (3.182)
per m,n ∈ Z+ = {1, 2, 3, ...} .
175
Dalla (3.179) (3.180) (3.181) e anche evidente che
F (0) = 0 , F (−s) = −F (s) per ogni s ∈ Z; (3.183)
da qui e dal risultato (3.54) segue, con un po’ di lavoro, che
F (s + t) = F (s) + F (t) , F (st) = F (s)F (t) (3.184)
per ogni s, t ∈ Z
(i dettagli di questa verifica sono lasciati al lettore interessato;
oltre alle (3.182) (3.183) si deve usare il fatto che ogni elemento
di Z e nullo o ha la forma ±n, con n ∈ {1, 2, ...}.
Infine, e evidente dalla (3.180) che
F (1) = 1 (3.185)
(dove nel secondo membro figura l’unita di A). Cosı, abbiamo
verificato tutte le condizioni richieste per poter dire che F e un
morfismo di anelli.
Passo 3. Il morfismo di anelli F : Z → A e iniettivo se e
solo se F (n) 6= 0 per ogni n ∈ Z+ = {1, 2, 3, ...}. Infatti, se
F e iniettivo, per ogni n ∈ Z+ accade quanto segue: essendo
n 6= 0 e F (n) 6= F (0) = 0. Viceversa, supponiamo F (n) 6= 0
per ogni n ∈ Z+ e deduciamo l’iniettivita di F . In effetti, siano
176
s, t ∈ Z distinti, cosicche t > s o s > t. Supponiamo t > s; allora
t = s+ n per qualche n ∈ {1, 2, 3, ...} da cui F (t) = F (s+ n) =
F (s) + F (n)︸︷︷︸6=0
6= F (s). Se s > t, procedendo in modo simile si
trova F (s) 6= F (t).
Passo 4. A sia un anello ordinato non nullo. Allora F (n) > 0
per ogni n ∈ Z+ = {1, 2, 3, ..}. Infatti F (n) = 1 + ... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
e,
come sappiamo da pag. 75, questo e un elemento positivo. �
3.67 Osservazioni. i) Il morfismo di anelli F : Z → A men-
zionato sopra si riduce, nel caso particolare A = Q, all’appli-
cazione gia considerata F : Z → Q, F (t) := t/1 (cfr. pag.
168).
Infatti, sappiamo gia che la posizione F (t) := t/1 definisce un
morfismo di anelli tra Z e Q; inoltre, per la propozione precede-
dente, tra Z e Q esiste un unico morfismo di anelli.
ii) Abbiamo gia ricordato come il morfismo F del punto i) si possa
usare per fare le identificazioni t ∈ Z ' F (t) ∈ Q, cosı da poter
pensare Z ⊂ Q.
Piu in generale, dato un anello A, se il morfismo di anelli F : Z→
A descritto dalla Proposizione 3.66 e iniettivo (in particolare, se
177
A e ordinato e non nullo), si fanno spesso le identificazioni
t ∈ Z ' F (t) ∈ A ; (3.186)
queste ci consentono di dire che
Z ⊂ A . (3.187)
Il fatto che F sia un morfismo garantisce quanto segue: una volta
assunto il punto di vista (3.186) (3.187) le strutture di A (somma,
prodotto, eventuale classe degli elementi positivi), se ristrette a
Z, coincidono con quelle usuali di Z (cioe: se s, t ∈ Z, la somma
e il prodotto di s, t in quanto elementi di A o di Z coincidono
rispettivamente; inoltre A+ ∩ Z = Z+).
iii∗). Fissato m ∈ {1, 2, 3, ...} consideriamo l’anello Zm introdotto
a pag. 65. Nel caso A = Zm, il morfismo F della Proposizione
3.66 e l’applicazione F : Z → Zm, F (t) := [t]m, che abbiamo
gia considerato a pag. 169. Abbiamo gia notato che la mappa F
non e iniettiva (F (t + m) = F (t) per ogni t ∈ Z), ed e invece
suriettiva. �
178
Ora presenteremo un risultato simile a quello della Prop. 3.66,
dove pero Z e l’anello A sono sostituiti, rispettivamente, da Q e
da un campo K. Ecco l’affermazione:
3.68 Proposizione. Si consideri un campo K con unita 1,
tale che 1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
6= 0 per ogni n ∈ Z+ = {1, 2, 3, ...} (questa
condizione e sicuramente soddisfatta se K e un campo ordinato
non nullo, perche in tal caso 1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
> 0 per ogni n ∈ Z+:
cfr. pag. 75) (39). Vale quanto segue:
i) Esiste un unico morfismo di campi
G : Q→ K . (3.188)
Questo e cosı determinato:
G( 0︸︷︷︸zero di Q
) = 0︸︷︷︸zero di K
; (3.189)
se n,m ∈ Z+ = {1, 2, 3...}, allora
G(n) = 1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
, (3.190)
G(−n) = − (1 + .... + 1)︸ ︷︷ ︸n volte
, (3.191)
39Invece, la condizione in esame non e soddisfatta dai campi Zm con m primo: cfr. pagg. 65 e 87.
179
G(n
m) =
G(n)
G(m)=
1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
, (3.192)
G(− nm
) = −G(n)
G(m)= −
1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸n volte
1 + .... + 1︸ ︷︷ ︸m volte
. (3.193)
(Si noti che G e una applicazione iniettiva come tutti i morfismi
tra un campo e un campo non nullo, cfr. pag. 170).
ii) SeK e un campo ordinato non nullo, la mappaG e un morfismo
di campi ordinati.
Dimostrazione∗ . E’ una variante di quella della proposizione
precedente, lasciata per esercizio ai lettori interessati.
Come suggerimento, si fa presente quanto segue. se G : Q→ K e
un morfismo di campi, la restrizione F := G � Z e un morfismo di
anelli tra Z e K, quindi ha le proprieta (3.179)(3.180)(3.181) che
implicano le (3.189) (3.190) (3.191); inoltre G preserva gli opposti
e i rapporti, e da qui seguono le (3.192) (3.193). �
180
3.69 Osservazione. Dato un campo K come nella Proposi-
zione 3.68, il morfismo iniettivo G : Q → K descritto lı viene
usato spesso per fare le identificazioni
x ∈ Q ' G(x) ∈ K ; (3.194)
queste ci consentono di dire che
Q ⊂ K . (3.195)
Il fatto che G sia un morfismo garantisce quanto segue: una volta
assunto il punto di vista (3.194) (3.195) le strutture di K (somma,
prodotto, eventuale classe degli elementi positivi), se ristrette a Q,
coincidono con quelle usuali di Q (cioe: se x, y ∈ Q, la somma
e il prodotto di x, y in quanto elementi di K o di Q coincidono
rispettivamente; inoltre K+ ∩Q = Q+).
181
4 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI REALI
Definizione di R come campo ordinato completo
Il modo piu efficace per introdurre i numeri reali e la loro carat-
terizzazione come l’unico campo ordinato completo.
Abbiamo gia parlato dei campi ordinati; in piu, conveniamo quan-
to segue:
4.1 Definizione. Un campo ordinato completo e un campo
ordinato K non nullo che, in quanto insieme ordinato, e completo
nel senso di pag. 153: ogni coppia di sottoinsiemi (non vuoti)
separati possiede un elemento separatore. �
Cio premesso, vale quanto segue:
4.2 Proposizione. i) Esiste un campo ordinato completo R.
ii) Questo e unico a meno di isomorfismi. Piu precisamente
si considerino due campi ordinati completi, indicati con R e R′;
allora esiste uno ed un solo isomorfismo di campi ordinati F :
R→ R′.
182
Alcune informazioni sulla dimostrazione della Prop.
4.2∗ . La prova della Proposizione e assai articolata, e viene
omessa. La prova del punto ii) si trova, ad esempio, nel libro
di E. Bloch, The real numbers and real analysis, Ed. Springer,
(pag. 108, Prop. 108).
Per quanto riguarda il punto i), diciamo che ci sono molti modi
per costruire un campo ordinato completo R (la scelta di uno o
dell’altro e irrilevante, visto che due costruzioni distinte producono
come risultati due campi ordinati collegati in un unico modo da
un isomorfismo).
Diciamo qualche parola su due dei metodi usati piu comunemente
per costruire R.
Una prima costruzione di R, con il metodo delle sezioni di
Dedekind (da Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 -1916),
matematico tedesco). Questo metodo e illustrato, ad esempio,
nel libro di Angelo Guerraggio, Matematica Generale, Ed. Bo-
ringhieri, pagg. 40 e seguenti, che puo essere consultato da chi
desiderasse avere maggiori informazioni.
183
Si chiama sezione di Dedekind, o piu semplicemente sezione, una
coppia (A,B) di sottoinsiemi non vuoti di Q con queste proprieta:
D1) Per ogni a ∈ A, b ∈ B risulta a < b (da cui segue che A,B
sono sottoinsiemi separati di Q). Inoltre A e B sono contigui (e
dunque il loro elemento separatore, se esiste, e unico).
D2) Se a ∈ A e a0 ∈ Q, a0 6 a, allora a0 ∈ A. Inoltre A non ha
massimo, in questo senso: per ogni a ∈ A esiste a′ ∈ A tale che a′ > a.
D3) Se b ∈ B e b0 ∈ Q, b0 > b, allora b0 ∈ B. Inoltre B non ha
minimo, in questo senso: per ogni b ∈ B, esiste b′ ∈ B tale che b′ < b.
Sia (A,B) e una sezione di Dedekind; allora, per (D1) A∩B = ∅.
Inoltre Q \ (A ∪ B) e formato dal solo elemento separatore di
(A,B) se questo esiste, ed e vuoto se non c’e elemento separatore
(40).
40Ecco la verifica. Sia s ∈ Q \ (A∪B). Allora s > a per ogni a ∈ A; infatti se fosse s 6 a per qualche
a ∈ A, da (D2) seguirebbe s ∈ A. Inoltre s < b per ogni b ∈ B, infatti, se non fosse cosı da (D3)
seguirebbe s ∈ B. Le relazioni a < s < b ci dicono che s e l’elemento separatore di (A,B).
Viceversa, supponiamo che (A,B) abbia elemento separatore s ∈ Q: allora a 6 s 6 b per ogni a ∈A, b ∈ B. Se fosse s ∈ A, per (D2) esisterebbe a′ ∈ A tale che s < a′, contro la definizione di
elemento separatore. Similmente, se fosse s ∈ B dedurremmo da (D3) che esiste b′ ∈ B tale che b′ < s,
contraddicendo ancora la definizione di elemento separatore. Dunque s 6∈ A, s 6∈ B, cioe s ∈ Q\ (A∪B).
184
Ora definiamo R come l’insieme di tutte le sezioni. E’ possibile
munire R di due operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, la
somma tra due sezioni (A,B) e (C,D) e la sezione
(A,B) + (C,D) := (A + C,B + D) ,
A+C := {a+c | a ∈ A, c ∈ C} , B+D := {b+d | b ∈ B, d ∈ D} .
La definizione del prodotto tra due sezioni (A,B) e (C,D) e piu
complicata, e qui non viene riportata.
Si puo far vedere che, con queste operazioni, R e un campo. Lo
zero e l’unita del campo sono
0 := (Q−,Q+) , 1 := (U, V )
U := {x ∈ Q | x < 1} , V := {x ∈ Q | x > 1} .
185
Inoltre, R e un campo ordinato se si definiscono i suoi elementi
positivi in questo modo:
R+ := {(A,B) ∈ R | a > 0 per qualche a ∈ A} .
Si puo far vedere che questo campo ordinato e completo.
Una seconda costruzione di R, con il metodo degli allinea-
menti decimali infiniti. In questo approccio, R e per definizione
la collezione formata da:
C1) tutti gli allineamenti infiniti
ck...c0, d1d2.... (4.1)
(ck, ..., c0, d1, d2... ∈ {0, 1, ..., 9}; ck 6= 0 se k 6= 0), non periodici
o periodici di periodo 6= 9.
C2) gli “opposti” degli allineamenti non nulli del punto C1), cioe
le espressioni del tipo
−ck...c0, d1d2.... (ck...c0, d1d2... 6= 0, 00...) . (4.2)
186
L’insieme R di questi oggetti si puo munire di operazioni di somma
e prodotto, che ne fanno un campo; inoltre, R diventa un cam-
po ordinato se si definisce R+ come l’insieme degli allineamen-
ti ck...c0, d1d2.... 6= 0, 00... Questo campo ordinato e completo.
Per i dettagli di questo approccio si veda, ad esempio, il libro di
P.M. Soardi, “Analisi Matematica”, Ed. Citta Studi, pagg. 4 e
seguenti. �
187
Un punto di vista definitivo su R. L’immersione di Q
in R.
Consideriamo un campo ordinato completo R. Applicando la
Proposizione 3.68 di pag. 179 con K = R, otteniamo subito:
4.3 Proposizione. Esiste un unico morfismo di campi
G : Q→ R (4.3)
(che si puo descrivere mediante le equazioni (3.189-3.193) delle
pagg. 179-180). Questo e iniettivo, ed e anche un morfismo di
campi ordinati. �
4.4 Osservazioni. i) Il morfismo G non e suriettivo. Infatti,
se esso fosse suriettivoG sarebbe una biiezione, e si potrebbe usare
per dedurre dalla completezza di R quella di Q (41).
Invece, dalla Prop. 3.54 di pag. 161 sappiamo che Q e un campo
ordinato non completo.
41L’argomento funziona cosı : dati due sottoinsiemi A,B ⊂ Q non vuoti e separati, le loro immagini
G(A), G(B) sono due sottoinsiemi non vuoti e separati di R che, per la completezza di R, possiedono
un elemento separatore s. Se G fosse biettivo, potremmo dedurre che G−1(s) e un elemento separatore
per A,B in Q; questa conclusione varrebbe per ogni coppia A,B di sottoinsiemi non vuoti e separati di
Q, dunque Q sarebbe completo.
188
ii∗ ) A titolo di esempio, supponiamo che R sia costruito come
l’insieme delle sezioni di Dedekind (pag. 183).
In questo caso, si puo far vedere che il morfismo G nella (4.3) e
cosı determinato:
G(x) := (Ax, Bx) per ogni x ∈ Q , (4.4)
Ax := {a ∈ Q | a < x} , Bx := {b ∈ Q | b > x} ,
Si puo provare che (Ax, Bx) e l’unica sezione di Dedekind avente
x come elemento separatore. L’immagine della applicazione G e
il sottoinsieme di R formato da tutte le sezioni dotate di elemento
separatore.
189
iii∗ ) In alternativa a quanto presentato in (ii), consideriamo la
costruzione di R in termini di allineamenti decimali infiniti (pag.
186). In questo caso il morfismo G nella (4.3) e cosı determinato:
G(x) = R(x) se x ∈ Q+ , (4.5)
G(x) = −R(y) se x = −y, y ∈ Q+ .
Qui R indica la rappresentazione decimale per i razionali non
negativi, introdotta alle pagg. 103-108. In questo caso l’immagine
di G e l’insieme degli allineamenti decimali periodici (di periodo
6= 9) e dei loro opposti. �
Prima di andare avanti, facciamo il punto della situazione. Fino
a qui, abbiamo visto che:
i) Esistono vari modi per costruire un campo ordinato completo
R. Questi sono tutti essenzialmente equivalenti, perche tra due
campi ordinati completi esiste uno ed un solo isomorfismo.
ii) Comunque si costruisca R, c’e un unico morfismo G : Q→ R
di campi ordinati, che risulta iniettivo (ma non suriettivo).
Per proseguire nel nostro discorso, conviene adottare il punto di
vista della Definizione seguente (cosa che faremo sistematicamente
da qui in avanti):
190
4.5 Definizione. i) D’ ora in avanti, si supporra di avere scelto
una volta per tutte un campo ordinato completo R.
Questo si dira il campo reale ; i suoi elementi si diranno numeri
reali. Per il prodotto tra due numeri reali x, y si impiegheranno,
oltre alla notazione standard xy, anche i simboli x · y o x× y.
ii) Una volta fissato il campo reale R, l’unico morfismo iniettivo
G : Q→ R sara usato per fare le identificazioni
x ∈ Q ' G(x) ∈ R ; (4.6)
queste ci permetteranno di dire che
Q ⊂ R (4.7)
�
4.6 Osservazioni. i) Dato che G e un morfismo di campi
ordinati, una volta assunto il di vista (4.6) (4.7) si puo dire che le
operazioni e l’ordinamento di R, se ristretti a Q, coincidono con
le analoghe strutture gia considerate in Q.
In particolare: se x, y ∈ Q, la somma e il prodotto di x, y in
quanto elementi di R o di Q coincidono rispettivamente.
191
Lo zero 0 e l’unita 1 di Q coincidono rispettivamente con lo zero
e l’unita di R; anche l’opposto e il reciproco di un x ∈ Q \ {0},
calcolati in Q o in R, coincidono rispettivamente.
Infine
Q+ = R+ ∩Q (4.8)
e le relazioni <,>,6,> di R, se ristrette alle coppie di razionali,
coincidono con quelle gia considerate in Q.
ii) Abbiamo gia notato a pag. 188 che il morfismo G : Q → R
non e suriettivo. Il punto di vista (4.6) (4.7) che abbiamo adottato
fornisce una identificazione tra Q e l’immagine della applicazione
G, che non e R. Dunque,
Q 6= R . (4.9)
iii) Aggiungendo alla inclusione Q ⊂ R altre inclusioni gia note,
otteniamo
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R . (4.10)
192
Gli irrazionali
Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto il punto di vista
secondo cui Q ⊂ R, notando che Q 6= R. A parole: Q e
strettamente contenuto in R.
4.7 Definizione. Consideriamo l’insieme
R \Q := {x ∈ R | x 6∈ Q} . (4.11)
Gli elementi di questo insieme si diranno i numeri irrazionali. �
4.8 Esercizio. Sia x ∈ R \Q. Verificare quanto segue:
i) x 6= 0, x 6= 1.
ii) −x, 1/x ∈ R \Q.
iii) Per ogni y ∈ Q, e x + y ∈ R \Q;
iv) Per ogni y ∈ Q \ {0}, e xy ∈ R \Q.
Soluzione. i) Infatti 0, 1 ∈ Q.
ii) Se −x fosse razionale, lo sarebbe anche l’opposto −(−x) = x.
Se 1/x fosse razionale, lo sarebbe anche il reciproco 1/(1/x) = x.
iii) Sia y ∈ Q. Se x + y fosse razionale, lo sarebbe anche
(x + y) + (−y) = x.
iv) Sia y ∈ Q \ {0}. Se xy fosse razionale, lo sarebbe anche
(xy) · (1/y) = x. �
193
Osservazione. Dai risultati precedenti segue, tra l’altro, che
l’insieme R \Q e infinito.
Infatti:
a) esiste almeno un irrazionale x;
b) x sia irrazionale. Allora gli infiniti numeri reali del tipo x+ y,
con y ∈ Q, sono tutti irrazionali per il punto iii) dell’Esercizio
precedente. �
4.9 Esercizio. Verificare che esiste v ∈ R\Q tale che 0 < v < 1.
Soluzione∗ . Sappiamo che esiste un u irrazionale. Non puo
essere u = 0; dunque u 6= 0, da cui u > 0 oppure u < 0.
Sia w := u se u > 0, e w := −u se u < 0; allora w e irrazionale
e w > 0.
Non puo essere w = 1; dunque 0 < w < 1 oppure w > 1.
Se 0 < w < 1, l’affermazione dell’enunciato e soddisfatta con
v := w. Se invece w > 1, poniamo v := 1/w. Allora v e
irrazionale, e 0 < v < 1. �
194
Alcuni fatti su R
In questo paragrafo presentiamo una serie di affermazioni che pos-
sono apparire al lettore come scontate; tuttavia, in un approccio
rigoroso anche cio che sembra ovvio richiede una dimostrazione.
Il lettore che non ha interesse per tali dimostrazioni e invitato ad
ignorarle!
4.10 Proposizione (Principio di Archimede). Per ogni x ∈
R, esiste n ∈ N tale che
x < n . (4.12)
Dimostrazione.∗ Supponiamo per assurdo che non sia cosı :
allora
esiste x ∈ R tale che x > n per ogni n ∈ N. (4.13)
Consideriamo l’insieme
B := {x ∈ R | x > n per ogni n ∈ N} , (4.14)
che sappiamo essere non vuoto. Di piu, fissiamo l’ attenzione sulla
coppia di insiemi N e B. Questi sono separati (per definizione di
B); dunque, per la completezza di R, essi possiedono un elemento
separatore s ∈ R:
n 6 s 6 x per ogni n ∈ N, x ∈ B . (4.15)
195
Ora consideriamo s− 1 ∈ R. Allora
s− 1 6∈ B (4.16)
(senno si avrebbe s 6 s− 1). D’ altra parte, tenendo presente la
definizione di B vediamo che
s− 1 6∈ B =⇒ esiste m ∈ N tale che s− 1 6 m (4.17)
=⇒ esiste m ∈ N tale che s 6 m + 1
=⇒ esiste p ∈ N tale che s 6 p (basta porre p := m + 1).
Da qui e dalla prima delle disuguaglianze (4.15) otteniamo n 6
s 6 p per ogni n ∈ N, da cui
n 6 p per ogni n ∈ N . (4.18)
Questo e palesemente un assurdo (ad esempio, la disuguaglianza
n 6 p e violata con n = p + 1 ∈ N). �
196
Ora presentiamo alcuni corollari del principio di Archimede (ri-
cordando che N∗ := N \ {0}).
4.11 Corollario.
i) Per ogni x ∈ R, esiste n ∈ N tale che x > −n.
ii) Per ogni x ∈ R+, esiste n ∈ N∗ tale che 0 < 1/n < x.
iii) Per ogni x ∈ R−, esiste n ∈ N∗ tale che x < −1/n < 0.
Dimostrazione∗ . i) Applicando il principio di Archimede a
−x ∈ R, si trova che esiste n ∈ N tale che −x < n. Da qui segue
−(−x) > −n, cioe x > −n.
ii) Applicando il principio di Archimede a 1/x, troviamo che esiste
n ∈ N tale che 1/x < n; essendo 1/x > 0 si deduce anche n > 0.
Da 0 < 1/x < n segue, passando ai reciproci, 1/(1/x) > 1/n,
cioe x > 1/n; e ovvio che 1/n > 0, quindi la prova e conclusa.
iii) La verifica e lasciata come esercizio (suggerimento: applicare
il risultato ii) a −x ∈ R+). �
197
4.12 Corollario.
0) Per ogni x ∈ R, esiste ` ∈ N tale che x < 10`.
i) Per ogni x ∈ R, esiste ` ∈ N tale che x > −10`.
ii) Per ogni x ∈ R+, esiste ` ∈ N tale che 0 < 1/10` < x.
iii) Per ogni x ∈ R−, esiste ` ∈ N tale che x < −1/10` < 0.
Dimostrazione∗. 0) Per il principio di Archimede, esiste n ∈ N
tale che x < n. D’ altra parte, esiste ` ∈ N tale che n < 10` (ad
esempio si puo prendere ` = n). Da qui segue x < 10`.
i) La verifica e lasciata per esercizio (Suggerimento: applicare il
risultato (0) a −x).
ii) Per il punto ii) del Corollario precedente, esiste n ∈ N∗ tale che
0 < 1/n < x. D’altra parte, esiste ` ∈ N tale che n < 10` (come
gia detto, si puo prendere ` = n); da qui segue 1/n > 1/10`, da
cui x > 1/n > 1/10` > 0; cio basta per arrivare alla tesi.
iii) La verifica e lasciata per esercizio (Suggerimento: applicare il
risultato (ii) a −x). �
198
4.13 Corollario. Sia x ∈ R, e supponiamo verificata una delle
condizioni seguenti:
0 6 x 61
nper ogni n ∈ N∗ ; (4.19)
−1
n6 x 6
1
nper ogni n ∈ N∗ ; (4.20)
0 6 x 61
10`per ogni ` ∈ N ; (4.21)
− 1
10`6 x 6
1
10`per ogni ` ∈ N . (4.22)
Allora x = 0.
Dimostrazione∗ . La prova si fa per assurdo, utilizzando i
Corollari precedenti.
A titolo di esempio, supponiamo che x soddisfi la (4.20) e dedu-
ciamo che x = 0.
In effetti, supponiamo per assurdo x 6= 0; allora x > 0 oppure
x < 0.
Se x > 0 per il Corollario 4.11, punto ii) esiste n ∈ N∗ tale che
1/n < x; cio contraddice l’ipotesi x 6 1/n per ogni n ∈ N∗.
Se invece x < 0 per il Corollario 4.11, punto iii) esiste n ∈ N∗ tale
che x < −1/n; cio contaddice l’ipotesi −1/n 6 x per ogni n. �
199
Parte intera di un numero reale
4.14 Proposizione. Sia x ∈ R. Allora esiste uno ed un solo
s ∈ Z tale che
s 6 x < s + 1 . (4.23)
�
Premettiamo alla prova la seguente
4.15 Definizione. L’intero relativo s che soddisfa la (4.23) si
chiama la parte intera di x.
Spesso si usa la notazione
[x] := s . (4.24)
�
200
Dimostrazione della Prop. 4.14∗.
Passo 1. Esistenza di s.
Per il principio di Archimede (Prop. 4.10, pag. 195) e per il
Corollario 4.11, pag. 197, punto (i) esistono due elementi di Z,
qui chiamati p + 1 e q + 1, tali che
p + 1 < x < q + 1 (4.25)
(42). Ora poniamo
I := {t ∈ Z | x < t + 1} . (4.26)
Allora:
a) I e non vuoto: infatti, la (4.25) ci dice che q ∈ I .
b) Risulta
p < t per ogni t ∈ I (4.27)
(infatti, da t ∈ I e dalla (4.25) segue p + 1 < x < t + 1 da cui
p + 1 < t + 1, da cui p < t).
42Anzi, la proposizione e il corollario citati ci dicono che possiamo soddisfare queste disuguguaglianze
con p+ 1 = −m e q + 1 = n, con m,n ∈ N. Questo non e rilevante per i nostri scopi attuali.
201
Ora sia
s := Min I ∈ Z (4.28)
(dove Min sta per il minimo; il minimo di I esiste per via della
(4.27))(43). Allora:
i) x < s + 1 (perche s ∈ I);
ii) s 6 x (senno avremmo x < s = (s− 1) + 1 da cui s− 1 ∈ I ,
quindi s non potrebbe essere il minimo di I).
Le osservazioni (i)(ii) ci dicono che s soddisfa le disuguaglianze
(4.23) dell’enunciato.
Passo 2. Unicita di s. Consideriamo s, S ∈ Z che soddisfino
entrambi le (4.23) dell’ enunciato:
s 6 x < s + 1 , S 6 x < S + 1 . (4.29)
In particolare abbiamo s 6 x < S + 1, S 6 x < s + 1, da cui
s < S + 1, S < s + 1, da cui
s 6 S , S 6 s . (4.30)
Cio basta per dedurre s = S. �
43Un sottoinsieme arbitrario J ⊂ Z possiede un elemento minimo se e solo se esiste p ∈ Z tale che
p 6 t per ogni t ∈ J . Ad esempio, posto J := {0,−1,−2,−3, ...} si vede che non c’e alcun p ∈ Z tale
che p 6 t per ogni t ∈ J , e che J non possiede minimo.
202
4.16 Osservazione. La parte intera [x] definita qui per ogni
x ∈ R ha senso, in particolare, se x ∈ Q (e, nel caso dei razionali,
avremmo potuto introdurla nella sezione precedente).
Ecco qualche esempio relativo al calcolo di parti intere di razionali:
[1/3] = 0, perche 0 < 1/3 < 1; [7/6] = 1, perche 1 < 7/6 < 2;
[5/2] = 2, perche 2 < 5/2 < 3;
[−5/2] = −3, perche −3 < −5/2 < −2;
[13/3] = 4 (perche 4 < 13/3 < 5);
[−13/3] = −5 (perche −5 < −13/3 < −4). �
4.17 Esercizio. Verificare che
x ∈ R, x > 0 =⇒ [x] > 0 . (4.31)
Soluzione∗ . Dato x ∈ Q con x > 0, sia s := [x]; allora
s ≤ x < s + 1.
Dobbiamo provare che s > 0; in effetti, se fosse s < 0 sarebbe
s ∈ {−1,−2, ...} da cui s 6 −1, da cui x < s+ 1 6 −1 + 1 = 0,
cioe x 6 0. �
203
Mantissa di un numero reale.
4.18 Definizione. Sia x ∈ R. La mantissa di x e
Mant(x) := x− [x] . (4.32)
�
4.19 Esempi. Riprendiamo alcuni dei casi razionali, per i quali
abbiamo gia calcolato la parte intera. Vale quanto segue:
. [1/3] = 0; Mant(1/3) = 1/3− 0 = 1/3.
. [7/6] = 1; Mant(7/6) = 7/6− 1 = 1/6.
. [−13/3] = −5; Mant(−13/3) = −13/3− (−5) = −13/3 + 5 =
(−13 + 15)/3 = 2/3.
4.20 Osservazione. Sia x ∈ R. Vale quanto segue:
i) Risulta
0 6 Mant(x) < 1 ; (4.33)
Infatti, per definizione della parte intera si ha [x] 6 x < [x] + 1,
da cui (sottraendo [x]) 0 6 x− [x] < 1, che e la relazione (4.33).
204
ii) Si verifica che ([x],Mant(x)) e l’unica coppia di numeri reali
tale che
x = [x] + Mant(x) , (4.34)
[x] ∈ Z, 0 6 Mant(x) < 1 . (4.35)
Spesso, la parte intera e la mantissa di x si determinano proprio
come l’unica coppia che soddisfa le (4.34) (4.35).
Ad esempio, sia x = 12/5. E’ chiaro che
12
5=
10 + 2
5= 2 +
2
5
ed essendo 2 ∈ Z, 0 < 2/5 < 1 si conclude [12/5] = 2, Mant(12/5) =
2/5. �
205
Risultati di densita per razionali e irrazionali
4.21 Proposizione. Siano x, y ∈ R, x < y. Allora:
i) Esiste z ∈ Q tale che x < z < y.
ii) Esiste w ∈ R \Q tale che x < w < y.
Dimostrazione.∗ (Adattata da E.D. Bloch, “The real numbers
and the real numbers system”, Ed. Springer).
i) Da x < y segue y − x > 0; applicando a y − x il Corollario
4.11 di pag. 197, punto (ii) otteniamo che esiste n ∈ N∗ tale che
1
n< y − x . (4.36)
Da qui segue, moltiplicando a membro a membro per n, che 1 <
ny − nx da cui
nx + 1 < ny . (4.37)
Ora sia s la parte intera di nx + 1, cosicche
s ∈ Z, s 6 nx + 1 < s + 1 . (4.38)
Dalla relazione nx + 1 < s + 1 nella (4.38) segue nx < s. Dalle
(4.38) (4.37) segue anche s 6 nx + 1 < ny; in conclusione
nx < s < ny . (4.39)
206
Se ora moltiplichiamo a membro a membro la (4.39) per 1/n (> 0),
otteniamo
x <s
n< y . (4.40)
Dunque l’asserto e soddisfatto con z := s/n (che e razionale,
essendo un rapporto di interi).
ii) Scegliamo v ∈ R \ Q tale che v > 0 (un tale v esiste: cfr.
l’Esercizio 4.9 di pag. 194).
Da x < y segue
vx < vy . (4.41)
Ora, applicando il risultato del punto i) a vx, vy otteniamo che
esiste
z ∈ Q tale che vx < z < vy ; (4.42)
possiamo sempre supporre
z 6= 0 . (4.43)
(Infatti se z = 0 abbiamo vx < 0 < vy e possiamo trovare z′ ∈ Q
tale che vx < z′ < 0 < vy; ora basta sostituire z con z′).
Da vx < z < vy segue, moltiplicando a membro a membro per
1/v > 0,
x <z
v< y . (4.44)
Dunque la tesi e soddisfatta con w := z/v (w e irrazionale perche
prodotto tra il razionale z 6= 0 e l’irrazionale 1/v: cfr. l’Esercizio
4.8 di pag. 193). �
207
4.22 Osservazione. Tra poco preciseremo che, data una retta
r munita di origine, orientazione e di una unita di misura per le
lunghezze, si puo istituire una corrispondenza biunivoca
R→ r , x 7→ P (x)
(che estende l’applicazione iniettiva Q → r gia considerata nella
sezione sui razionali). Per ogni x ∈ R, P (x) si chiama il punto di
ascissa x.
Dal punto di vista di questa corrispondenza, la Proposizione pre-
cedente ci dice quanto segue: dati due punti distinti di r (di op-
portune ascisse x < y), tra questi si trovano sempre un punto di
ascissa z razionale, ed uno di ascissa w irrazionale. �
208
La corrispondenza biunivoca tra R+ e l’insieme delle
lunghezze.
•Consideriamo la geometria euclidea (del piano o dello spazio).
Come a pag. 93 consideriamo l’insieme L delle lunghezze (che
sono le classi di equivalenza di segmenti rispetto alla relazione di
congruenza).
•L porta una relazione d’ordine stretto < (44). Si possono quindi
considerare in L le coppie di sottoinsiemi separati, e i loro elementi
separatori. Una delle condizioni che definiscono la geometria eu-
clidea (45) e la completezza dello spazio ordinato L: ogni coppia di
sottoinsiemi A,B di L non vuoti e separati possiede un elemento
separatore s (tale che a 6 s 6 b per ogni a ∈ A, b ∈ B).
Si dimostra che l’elemento separatore e unico se A e B, oltre che
separati, sono contigui in questo senso: per ogni ε ∈ L \ {0}
esistono a ∈ A, b ∈ B tali che b− a < ε (46).
44che, lo ricordiamo, si definisce cosı : date due lunghezze `, `′, si pone ` < `′ se esiste h ∈ L \ {0}tale che `′ = ` + h. Considerando la corispondente relazione di ordine largo 6, si vede che ` 6 `′ se e
solo se esiste h ∈ L (anche nulla) tale che `′ = `+ h45ovvero, uno degli assiomi che caratterizzano tale struttura46dove b− a sta per l’unica lunghezza h ∈ L tale che a+ h = b; questa h esiste per l’ipotesi b > a.
209
•Da qui in avanti riteniamo fissata una “unita di misura” per le
lunghezze, cioe una u ∈ L non nulla; come a pag. 95, consideria-
mo l’applicazione
Q+ → L , x 7→ xu . (4.45)
Questa e iniettiva ma non suriettiva: infatti, da pag. 139 sappiamo
che non tutte le lunghezze si possono rappresentare nella forma
xu per qualche x ∈ Q+. Da pag. 95, ricordiamo anche che la
(4.45) preserva l’ordine: se x, y ∈ Q+, x < y ⇐⇒ xu < yu.
•Qui di seguito vogliamo costruire una estensione della (4.45) a
R+ := R+ ∪ {0} definendo xu per ogni x ∈ R+. Procederemo
nel modo seguente.
210
i) Si fissi x ∈ R+, e si introducano in L i sottoinsiemi
Ax := {au | a ∈ Q+ , a 6 x} , (4.46)
Bx := {bu | b ∈ Q+ , x 6 b} ; (4.47)
questi sono non vuoti, separati e contigui. (47)
ii) Per la completezza di L, Ax e Bx possiedono un elemento
separatore; questo e unico per via della loro contiguita. Si pone
xu := l’elemento separatore di (Ax,Bx) . (4.48)
47Solo per i lettori interessati, ecco la prova. Anzitutto, esistono in Q+ degli elementi a, b tali che
a 6 x e x 6 b (si puo prendere a = 0 e scegliere per b il numero naturale che maggiora x secondo il
principio di Archimede di pag. 195).
Dunque, Ax e Bx sono non vuoti. Essi sono separati: infatti, se a, b ∈ Q+ sono tali che a 6 x 6 b, allora
a 6 b da cui au 6 bu.
Infine, proviamo la contiguita dei due sottoinsiemi mostrando che, per ogni lunghezza ε 6= 0, esistono
degli elementi au ∈ Ax e bu ∈ Bx tali che bu− au < ε.Per provarlo, si nota anzitutto che esiste n ∈ N∗ tale che u/n < ε (questo si ottiene da una variante del
Corollario 4.11, pag. 197, punto (ii) nell’ambito di L, in cui 1/n e x sono sostituiti da u/n ed ε; tale
variante segue da un conveniente “principio di Archimede” per L).
Fatto questo, si scelgano a, b ∈ Q tali che Max (x− 1
3n, 0) 6 a 6 x e x 6 b 6 x+
1
3n(ci sono dei razionali
con tali caratteristiche, per il risultato di densita di pag. 206). Allora 0 6 a 6 x 6 b, per cui au ∈ Ax e
bu ∈ Bx. Inoltre, da a > x− 1
3ne b 6 x+
1
3nsegue b−a 6 2
3n<
1
n, da cui bu−au = (b−a)u <
u
n< ε.
211
•Le considerazioni precedenti ci hanno permesso di costruire una
applicazione
R+ → L , x 7→ xu . (4.49)
Si puo dimostrare che:
i) La (4.49) e una biiezione tra R+ e L, e conserva l’ordine in
questo senso: se x, y ∈ R+, x < y ⇐⇒ xu < yu.
ii) La (4.49) e una estensione della applicazione Q+ → L nella
(4.45).
iii) La (4.49) e l’unica estensione definita da R+ a L della appli-
cazione (4.45) che conservi l’ordine (nel senso spiegato prima).
•Spesso, dopo avere fissato l’unita u si usa la (4.49) per le iden-
tificazioni
x ∈ R+ ' xu ∈ L , (4.50)
R+ ' L . (4.51)
212
Numeri reali e punti della retta
Consideriamo una retta r e muniamola di orientazione (che diremo
positiva, chiamando negativa l’altra orientazione). Inoltre fissiamo
un puntoO ∈ r, che si dira l’origine, ed una unita di lunghezza u.
A pag. 96 e seguenti abbiamo definito una applicazione iniettiva
Q→ r , x 7→ P (x) ; (4.52)
in seguito abbiamo mostrato che questa non e suriettiva (pag.
141).
Ora ripetiamo la costruzione che definiva la (4.52), usando pero i
numeri reali in luogo dei razionali.
213
In sostanza, per ogni x ∈ R definiamo come segue un punto
P (x) ∈ r, detto il punto di ascissa x:
•Se x = 0, P (x) := O.
•Se x ∈ R+, P (x) e l’unico punto di r tale che il verso da O a
P (x) coincida con quello positivo, e risulti |OP (x)| = xu.
•Se x ∈ R−, P (x) e l’unico punto di r tale che il verso da O a
P (x) coincida con quello negativo, e risulti |OP (x)| = (−x)u
(si noti che −x ∈ R+).
214
A questo punto abbiamo una applicazione
R→ r , x 7→ P (x) ; (4.53)
che estende la precedente applicazione (4.52) da Q a r.
Usando i risultati del paragrafo precedente sulla corrispondenza
tra R+ e le lunghezze, si dimostra che:
i) La (4.53) e biettiva.
ii) La (4.53) e l’unica estensione definita tra R e r della applica-
zione Q → r nella (4.52), che conserva l’ordine in questo senso:
per ogni x, y ∈ R, si ha l’equivalenza
x < y ⇐⇒ P (x) 6= P (y), e il verso da P (x) a P (y) e positivo.
•Spesso, si fanno le identificazioni
x ∈ R ' P (x) ∈ r , (4.54)
R ' r (4.55)
(che saranno usate in molte figure successive).
215
Intervalli
4.23 Definizione. Siano a, b ∈ R. Se a < b, porremo
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b} , (4.56)
[a, b) := {x ∈ R | a 6 x < b} , (4.57)
(a, b] := {x ∈ R | a < x 6 b} . (4.58)
Se a 6 b porremo
[a, b] := {x ∈ R | a 6 x 6 b} . (4.59)
Useremo questa terminologia:
(a, b) e l’intervallo aperto di estremi a, b;
[a, b] e l’intervallo chiuso di estremi a, b;
[a, b) e l’intervallo chiuso a sinistra, aperto a destra di estremi a, b;
(a, b] e l’intervallo aperto a sinistra, chiuso a destra di estremi a, b.
216
Un sottoinsieme di R di uno qualunque dei tipi indicati prima sara
chiamato un intervallo limitato. �
4.24 Osservazioni i) Nella definizione precedente, le condi-
zioni a < b o a 6 b vengono poste perche, senza di esse, il
corrispondente intervallo si ridurrebbe all’insieme vuoto.
La possibilita a = b e ammessa solo nella definizione dell’intervallo
chiuso con questi estremi. Si noti che [a, a] coincide con {a}
(l’insieme che ha come unico elemento a).
ii) Nella notazione per gli intervalli, alcuni autori scrivono ] in
luogo di (, e [ in luogo di ). In questo stile:
(a, b) si scrive ]a, b [ ;
[a, b) si scrive [a, b [ ;
(a, b] si scrive ]a, b] .
In questi appunti, tali notazioni non saranno usate mai.
iii) Per ora, le espressioni “aperto” e “chiuso” sono semplicemente
degli aggettivi usati per distinguere vari tipi di intervalli. Vedremo
in seguito che ad esse si puo dare un significato piu profondo. �
217
4.25 Definizione. Si introducano i simboli +∞ e −∞ che si
leggono, rispettivamente, “piu infinito” e “meno infinito”. Inoltre,
sia a ∈ R. Porremo
(a,+∞) := {x ∈ R | a < x} , (4.60)
[a,+∞) := {x ∈ R | a 6 x} , (4.61)
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a} , (4.62)
(−∞, a] := {x ∈ R | x 6 a} , (4.63)
(−∞,+∞) := R . (4.64)
Qualunque sottoinsieme di R di uno dei tipi sopraindicati sara
detto un intervallo illimitato. �
218
4.26 Osservazioni. i) In particolare
(0,+∞) = {x ∈ R | 0 < x} = R+ ; (4.65)
[0,+∞) = {x ∈ R | 0 6 x} = R+ ∪ {0} = R+ ; (4.66)
(−∞, 0) = {x ∈ R | x < 0} = R− ; (4.67)
(−∞, 0] = {x ∈ R | x 6 0} = R− ∪ {0} = R− . (4.68)
ii) Consideriamo l’insieme dei “reali estesi”
R := R ∪ {−∞,+∞} (4.69)
ed estendiamo a tale insieme la relazione d’ordine < di R conve-
nendo quanto segue:
x < +∞ e −∞ < x per ogni x ∈ R; −∞ < +∞. (4.70)
Si consideri un qualunque a ∈ R. Allora, confrontando con le de-
finizioni degli intervalli illimitati nella pagina precedente, vediamo
che possiamo scrivere quanto segue:
(a,+∞) = {x ∈ R | a < x < +∞} , (4.71)
[a,+∞) = {x ∈ R | a 6 x < +∞} , (4.72)
(−∞, a) = {x ∈ R | −∞ < x < a} , (4.73)
(−∞, a] = {x ∈ R | −∞ < x 6 a} , (4.74)
(−∞,+∞)(= R) = {x ∈ R | −∞ < x < +∞} . (4.75)
219
In ciascuna delle equazioni precedenti, la scrittura “x ∈ R” si
potrebbe sostituire con “x ∈ R”.
Notiamo che le equazioni (4.71-4.75) assomigliano molto alle equa-
zioni che a pag. 216 definiscono gli intervalli limitati di estremi
reali a, b (le strutture sono molto simili, anche se nei casi illimitati
almeno uno degli estremi viene sostituito da +∞ o −∞). �
Infine, conveniamo quanto segue.
4.27 Definizione. Si chiama intervallo un qualunque inter-
vallo limitato o illimitato in R. �
220
Rappresentazione decimale di un numero reale non
negativo.
Nelle pagine precedenti, abbiamo accennato al fatto che R po-
trebbe essere costruito operando con allineamenti decimali infiniti
(cfr. pag. 186).
Indipendentemente dal modo scelto per costruire R, il fatto che R
e un campo ordinato completo (con le conseguenze che da esso ab-
biamo gia dedotto) basta per istituire una corrispondenza tra nu-
meri reali e allineamenti decimali infiniti. Di questo ci occuperemo
nel paragrafo presente.
Ricordiamo la definizione gia data a pag. 103: un allineamento
decimale infinito e una espressione del tipo
ck...c0, d1d2... , (4.76)
dove: k ∈ N; ck, ck−1, ..., c1, c0,∈ {0, .., 9}; ck 6= 0 se k 6= 0;
dj ∈ {0, 1, ..., 9} per ogni j ∈ N∗ = {1, 2, ...}.
Abbiamo gia convenuto di indicare con A l’insieme di queste
espressioni.
Ora consideriamo l’insieme R+ := R+ ∪ {0}, formato dai reali
non negativi.
221
4.28 Proposizione. i) Sia x ∈ R+; allora esiste uno ed un
solo allineamento decimale infinito ck...c0, d1d2... tale che, per ogni
` ∈ N,
(4.77)
ck...c0, d1...d` 6 x < ck...c0, d1...d` +1
10`(4.77)`
(dove l’equazione appena scritta si deve intendere cosı per ` = 0:
ck...c0 6 x < ck...c0 + 1).
ii∗) L’allineamento in questione e determinato dalle relazioni se-
guenti, che coinvolgono anche una successione di numeri reali
µ0, µ1, µ2... ∈ [0, 1):
(4.78)
x = ck...c0︸ ︷︷ ︸∈N
+µ0 (cioe: ck...c0 = [x] e µ0 = Mant(x)) ; (4.78)0
10µ0 = d1+µ1 (cioe: d1 = [10µ0] e µ1 = Mant(10µ0)) ; (4.78)1
10µ1 = d2+µ2 (cioe: d2 = [10µ1] e µ2 = Mant(10µ1)) , (4.78)2
ecc. (Si noti che, per i = 0, 1, 2, ... e 0 6 10µi < 10; quindi 0 6
[10µi] 6 10µi < 10 ovvero [10µi] ∈ {0, 1, ..., 9}, come richiesto
per le cifre d1, d2, ...). �
222
Dimostrazione.∗
Prima parte. L’allineamento definito dalle (4.78)` (` = 0, 1, 2...)
soddisfa le condizioni (4.77)` per ogni ` ∈ N.
Infatti, la (4.78)0 ci dice
(4.79)
x = ck...c0 + µ0 (4.79)0
ed essendo 0 6 µ0 < 1 si deduce
ck...c0 6 x < ck...c0 + 1 ;
questa e proprio la relazione (4.77)0.
Proseguiamo notando quanto segue:
x = ck...c0 + µ0 = ck...c0 +1
10· (10µ0) =
per la (4.78)1= ck...c0 +
1
10(d1 + µ1) = ck...c0 +
d110
+µ110
,
cioe
x = ck...c0, d1 +µ110. (4.79)1
D’altra parte 0 6 µ1/10 < 1/10 , da cui
ck...c0, d1 6 x < ck...c0, d1 +1
10;
questa e proprio la (4.77)1.
Iterando questo tipo di argomentazioni, si fa vedere che la (4.77)`
e soddisfatta per ogni ` ∈ N. (48)48Piu precisamente: la (4.77)` si puo provare per ogni ` procedendo per induzione.
223
Seconda parte. Dato x ∈ R+, l’allineamento ck...c0, d1d2... che
soddisfa le (4.77)` per ogni ` e unico.
La prova e identica a quella della affermazione analoga, presentata
studiando le rappresentazioni decimali dei razionali (si veda la
dimostrazione della Prop. 3.10, Passo 2, pag. 106). �
4.29 Definizione. Se x ∈ R+, l’unico allineamento ck...c0, d1d2...
che soddisfa le (4.77)` per ogni ` ∈ N si chiamera la rappresen-
tazione decimale di x. Scriveremo anche
R(x) = ck...c0, d1d2... � (4.80)
4.30 Osservazione. La definizione di R(x) appena data coin-
cide, se x ∈ Q+, con quella gia incontrata nella sezione sui numeri
razionali. Infatti, le disuguaglianze (4.77)` (` ∈ N) sono identiche
a quelle impiegate a suo tempo per definire la rappresentazione
decimale di un razionale non negativo (si vedano le disuguaglianze
(3.42)` di pag. 103). �
224
Consideriamo l’applicazione
R : R+ → A , x 7→ R(x) (4.81)
ricordando che A indica l’insieme di tutti gli allineamenti decimali.
4.31 Proposizione. L’applicazione (4.81) e iniettiva: se x, y ∈
R+ e R(x) = R(y), allora x = y.
Dimostrazione∗ . Identica a quella della Prop. 3.13 nella
sezione sui razionali, pag. 109. �
I risultati nella pagina seguente hanno degli analoghi nella Prop.
3.22 della sezione sui razionali, pag. 119 (e si provano come tali
analoghi in Q).
225
4.32 Proposizione∗. i) Sia x ∈ R+ tale che
R(x) = ck...c0, d1d2... (4.82)
Allora, per ogni u ∈ N,
R(10ux) = ck...c0d1d2...du, du+1... (4.83)
(cioe, a parole: moltiplicando per 10u, la virgola si sposta di u
posti a destra) (49).
ii) x, y ∈ R+ siano tali che
R(x) = ck...c0, d1d2... (4.84)
R(y) = qh...q0, d1d2... (4.85)
(con le stesse cifre dopo la virgola), e con
ck...c0︸ ︷︷ ︸∈N
> qh...q0︸ ︷︷ ︸∈N
. (4.86)
Allora
x− y = ck...c0 − qh...q0 ∈ N . (4.87)
iii) Sia x ∈ R+ tale che
R(x) = ck...c0, d1d2... (4.88)
Allora, considerando il numero ck...c0 ∈ N si trova che x −
ck...c0 ∈ R+, e
R(x− ck...c0) = 0, d1d2... � (4.89)
49Questa affermazione deve essere intesa con le stesse precisazioni fatte nella nota di pag. 119, qualora
nel secondo membro della (4.83) figurino degli zeri iniziali.
226
Ecco un altro risultato, simile ad uno incontrato studiando i razio-
nali (per la nozione di allineamento periodico, si rimanda alla
definizione di pag. 116).
4.33 Proposizione. Non esiste un x ∈ R+ la cui rappresen-
tazione decimale sia periodica di periodo 9, cioe della forma
R(x) = ck...c0, a1...as9 (4.90)
Dimostrazione. Identica a quella della Prop. 3.84, pag. 124.
�
227
Ogni allineamento decimale (che non abbia periodo
9) e la rappresentazione decimale di un reale non
negativo.
Nel nostro discorso sulla rappresentazione decimale, fino a questo
punto abbiamo evidenziato delle analogie tra il caso dei razionali
e quello dei reali; ora e il momento di segnalare una differenza
importante.
A suo tempo, abbiamo visto che non tutti gli allineamenti in-
finiti rappresentano dei razionali: solo quelli periodici (di pe-
riodo 6= 9) sono rappresentazioni decimali di elementi di Q+.
Abbiamo descritto questo risultato come una manifestazione di
“incompletezza” di Q.
Passando ai reali la situazione cambia: tutti gli allineamenti deci-
mali (esclusi quelli di periodo 9) rappresentano elementi di R+.
Questo e l’ argomento della Proposizione che segue; la dimostra-
zione di tale Proposizione mostra come tale risultato dipenda dalla
completezza del campo ordinato R.
228
4.34 Proposizione. Si consideri un allineamento
ck...c0, d1d2...
non periodico, o periodico di periodo 6= 9. Allora esiste x ∈ R+
tale che R(x) = ck...c0, d1d2...
Dimostrazione. Passo 1 (dipendente dalla completezza di
R). Esiste x ∈ R+ tale che per ogni ` ∈ N risulta
(4.91)
ck...c0, d1...d` 6 x 6 ck...c0, d1...d`+1
10`. (4.91)`
Per provare l’asserto introduciamo gli insiemi
A := {ck...c0, d1...d` | ` ∈ N} , (4.92)
B := {ck...c0, d1...d` +1
10`| ` ∈ N} . (4.93)
Si vede facilmente che questi sono sottoinsiemi (non vuoti e) sepa-
rati di R: ogni elemento di A e minore di ogni elemento di B.
Per la completezza di R, la coppia A,B possiede un elemento
separatore x ∈ R. Questo e maggiore o uguale ad ogni elemento
di A e minore o uguale ad ogni elementi di B, quindi soddisfa la
(4.91) per ogni ` ∈ N.
Notiamo anche che, preso un qualunque ` ∈ N, possiamo dire
x > ck...c0, d1d2...d` > 0; dunque x ∈ R+.
229
(Nota finale: si potrebbe provare che A,B sono contigui; quindi,
essi hanno un unico elemento separatore. Tale osservazione non e
rilevante ai fini della presente dimostrazione).
Passo 2 (dipendente dal fatto che l’allineamento non ha perio-
do 9). x ∈ R+ sia come nel Passo 1; allora, per tutti gli ` ∈ N,
x soddisfa le (4.91)` in una forma piu stretta dove il secondo
simbolo 6 e sostituito dal simbolo <. Dunque, per tutti gli
` ∈ N valgono le disuguaglianze
ck...c0, d1...d` 6 x < ck...c0, d1...d` +1
10`,
che coincidono con le (4.77)` ed indicano cheR(x) = ck...c0, d1d2... .
∗La prova relativa a questo passo e scritta qui si seguito; la sua
lettura e facoltativa.
Fissiamo un ` ∈ N; il nostro obiettivo e dimostrare la disugua-
glianza stretta
x < c1...ck, d1...d` +1
10`. (4.94)
230
A tale fine notiamo che esiste p ∈ N \ {0} tale che
d`+p 6= 9 (4.95)
(infatti, se cosı non fosse avremmo di = 9 per ogni i > `, e l’al-
lineamento avrebbe periodo 9). Considerando un tale p e usando
la (4.91)`+p otteniamo
x 6 ck...c0, d1...d`...d`+p +1
10`+p
ovvero
x 6 ck...c0, d1...d` + δ , (4.96)
δ := 0, 0...0︸︷︷︸` volte
d`+1...d`+p +1
10`+p= (4.97)
= 0, 0...0︸︷︷︸` volte
d`+1... d`+p︸︷︷︸posizione ` + p
+ 0, 00.... 1︸︷︷︸posizione ` + p
.
L’ultima somma scritta si puo calcolare, e si trova
δ = 0, 0...0︸︷︷︸` volte
d`+1...d`+p−1d′`+p , (4.98)
d′`+p := d`+p + 1 ∈ {1, 2, ..., 9} .
(per quanto riguarda l’affermazione sulla cifra d′`+p, si ricordi che
d`+p 6= 9). Dall’ultima rappresentazione di δ segue
δ < 0, 0...0︸︷︷︸(`− 1 volte)
1︸︷︷︸(posiz. `)
=1
10`. (4.99)
Sostituendo δ < 1/10` nella (4.96), otteniamo finalmente la rela-
zione (4.94)
x < c1...ck, d1...d` +1
10`. �
231
Da qui in avanti, conveniamo quanto segue
4.35 Definizione. Indicheremo con AF l’insieme di tutti gli
allineamenti decimali infiniti non periodici, o periodici di periodo
6= 9. �
Secondo le Proposizioni 4.33 (pag. 227) e 4.34, l’applicazione R :
R+ → A ha come immagine AF. Secondo la Prop. 4.31 (pag.
225) R e iniettiva, e dunque biettiva tra il suo dominio e la sua
immagine. In conclusione, possiamo affermare quanto segue:
4.36 Proposizione. L’applicazione R e una biiezione tra R+
e AF. �
Naturalmente, per quanto sappiamo sulla rappresentazione dei
razionali, per ogni x ∈ R+ si ha l’equivalenza
x ∈ Q+ ⇐⇒ R(x) e periodica . (4.100)
Di conseguenza,
x ∈ R+ \Q ⇐⇒ R(x) non e periodica . (4.101)
232
Identificazione di qualunque x ∈ R+ con la sua rap-
presentazione decimale
4.37 Definizione. D’ora in poi, identificheremo ogni x ∈ R+
con l’allineamento R(x). �
Secondo questa convenzione, una equazione del tipo
R(x) = ck...c0, d1d2... (4.102)
si scrivera, piu semplicemente,
x = ck...c0, d1d2... . (4.103)
233
Parte intera e mantissa di un x ∈ R+ dalla rappresen-
tazione decimale.
Sia x ∈ R+, e scriviamo la rappresentazione decimale
x = ck...c0, d1d2... (4.104)
Consideriamo ck...c0 ∈ N; per definizione di rappresentazione
decimale (piu precisamente, per la (4.77)` di pag. 221, con ` = 0)
risulta
ck...c0 6 x < ck...c0 + 1 . (4.105)
Confrontando con la definizione della parte intera [x] (pag. 200),
vediamo subito che
[x] = ck...c0 (4.106)
(un fatto che, del resto, era stato gia indicato nella (4.78)0 di pag.
222). Per quanto riguarda la mantissa di x (pag. 204), abbiamo
Mant(x) = x− [x] = ck...c0, d1d2...− ck...c0, ovvero
Mant(x) = 0, d1d2... . (4.107)
Per via di questo risultato, la mantissa di x si chiama anche la
parte decimale di x.
4.38 Esempio. Se x = 23, 417... , allora [x] = 23 e Mant(x) =
0, 417... . �
234
Rappresentazione decimale di un numero reale nega-
tivo
4.39 Definizione. Se x = ck...c0, d1d2... ∈ R+, l’opposto −x
si indichera anche con −ck...c0, d1d2... . �
Qualunque numero reale negativo ha la forma −x, con x ∈ R+;
di conseguenza, ogni reale negativo ha una rappresentazione del
tipo −ck...c0, d1d2...
235
Il teorema di Cantor sulla non numerabilita di R.
Ricordiamo che due insiemi X, Y si dicono equipotenti, scrit-
to X ∼ Y , se esiste una corrispondenza biunivoca tra X e Y ;
l’equipotenza e una relazione di equivalenza.
Ricordiamo anche che un insieme X e numerabile se N ∼ X ; in
precedenza abbiamo dimostrato che Z e Q sono numerabili. Nel
caso di Q, l’esistenza di una corrispondenza biunivoca con N e
stata chiamata il “teorema di Cantor”.
Ora presenteremo un secondo risultato con lo stesso autore, che
riguarda R.
4.40 Proposizione (Teorema di Cantor per i reali). R non e
numerabile.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo N ∼ R. Allora esiste
una biiezione tra i due insiemi, che per comodita scriviamo
N→ R , n 7→ xn (4.108)
(Il numero reale corrispondente a n viene scritto nella forma xn,
con un indice in alto, per motivi che saranno chiari tra poco).
Questa biiezione ci permette di rappresentare l’insieme dei reali
in questo modo:
R = {x0, x1, x2, ...} . (4.109)
236
Ora, per ciascun numero reale xn scriviamo la rappresentazione
decimale
xn = Cn, dn1dn2 ... (4.110)
In questa equazione:
a) Cn indica il gruppo delle cifre prima della virgola, preceduto
da un eventuale segno − (che compare se xn < 0). Dunque, Cn
ha la forma cnkn...cn0 o la forma −cnkn...c
n0 , dove le cni (i = 0, .., kn)
sono cifre.
b) dn1 , dn2 , ecc. sono le cifre dopo la virgola.
Ora definiamo
x := C, d1d2... (4.111)
dove:
a) C indica il gruppo di cifre prima della virgola (eventualmente
preceduto dal segno −);
b) d1, d2, ... sono le cifre dopo la virgola;
c) C e d1, d2, ... sono scelti in modo da soddisfare le seguenti
condizioni:
C 6= C0 ; (4.112)
d1 6= d11 e d1 6= 9 ; (4.113)
d2 6= d22 e d2 6= 9 , (4.114)
237
ecc. (Nel caso ci fossero dubbi, precisiamo che: C0 e il gruppo di
cifre prima della virgola di x0; d11 e la prima cifra dopo la virgola
di x1; d22 e la seconda cifra dopo la virgola di x2, ecc.) (50).
Allora:
i) La (4.111) definisce un x ∈ R (perche qualunque allineamento
decimale rappresenta un numero reale, tranne quelli periodici di
periodo 9. Nel caso in esame non puo presentarsi il periodo 9,
perche per costruzione d` 6= 9 per ogni ` ∈ {1, 2, 3, ..}).
ii) Risulta
x 6= xn per ogni n ∈ N . (4.115)
Infatti:
x 6= x0, perche C 6= C0;
x 6= x1 perche d1 6= d11;
x 6= x2 perche d2 6= d22, ecc .
D’altra parte, la (4.115) contraddice l’affermazione R = {x0, x1, x2, ...}.
�
50Qui sotto si trascrivono le rappresentazioni decimali di x0, x1, x2, ... sottolineando le parti coinvolte
nelle condizioni (4.112)(4.113) (4.114)... :
x0 = C0, d01d02...
x1 = C1, d11d12...
x2 = C2, d21d22...
Come si vede, gli oggetti sottolineati si trovano sulla diagonale della tabella infinita costruita con le
rappresentazioni decimali dei reali x0, x1, x2, ....
238
4.41 Osservazione∗ . i) Ricordiamo che si chiama nume-
ro cardinale una classe di equivalenza di insiemi rispetto alla
relazione ∼ di equipotenza.
Ricordiamo anche che la cardinalita di un insieme X , indicata
con |X|, e la classe di equivalenza formata da tutti gli insiemi
equipotenti con X . Dati due insiemi X e Y , risulta |X| = |Y | se
e solo se X ∼ Y .
Si puo definire una relazione di ordine stretto < sui cardinali in
modo che, per ogni coppia di insiemi X e Y ,
|X| < |Y | ⇐⇒ non e X ∼ Y , e inoltre X ∼ Y ′ per qualche Y ′ ⊂ Y .
(4.116)
Abbiamo appena provato che non e N ∼ R; e ovvio che N ∼ N ⊂
R, quindi possiamo dire che
|N| < |R| . (4.117)
ii) Spesso, |R| si chiama la cardinalita del continuo. A suo tem-
po abbiamo precisato che |N| si indica con il simbolo ℵ0 (dove
ℵ e la lettera “aleph” dell’alfabeto ebraico). Per completezza,
aggiungiamo che |R| si indica con ℵ1. �
239
Approfondiamo le nostre considerazioni sulla non numerabilita di
R tenendo presente che R e l’unione (disgiunta) dei razionali e
degli irrazionali:
R = Q ∪ (R \Q) . (4.118)
Tenendo presente questo fatto, dal teorema di Cantor per i reali
segue
4.42 Corollario. R \Q non e numerabile.
Dimostrazione∗ (Cenno).Nella rappresentazione (4.118) di R il
primo termine al secondo membro (cioe Q) e numerabile; dunque
esiste una biiezione
f : N→ Q , n 7→ f (n) . (4.119)
Supponiamo per assurdo che anche il secondo termine R \ Q sia
numerabile; allora esiste una seconda biiezione
g : N→ R \Q , n 7→ g(n) . (4.120)
Ora definiamo
h : N→ R , n 7→ h(n) (4.121)
nel modo seguente:
240
h(0) := f (0) , h(1) := g(0) , (4.122)
h(2) := f (1) , h(3) := g(1) ,
h(4) := f (2) , h(5) := g(2) ,
ecc. . Si vede facilmente che h e una biezione tra N e R; cio
contraddice il teorema di Cantor. �
4.43 Osservazione. Si potrebbe dimostrare che i reali e gli
irrazionali sono equipotenti: |R| = |R \Q|.
(Chi fosse interessato alla prova veda, ad esempio, P.M. Soardi,
Analisi Matematica, Ed. Citta Studi, pag. 43) �
241
Il problema della radice quadrata (di un reale non
negativo) ha sempre soluzione in R.
Cominciamo dal problema della radice quadrata di 2 che, come
sappiamo, non e risolvibile nei razionali. La situazione e diversa
in R, per via della completezza di questo campo ordinato: sussiste
infatti la seguente
4.44 Proposizione. i) Esiste un unico s ∈ R+ tale che s2 = 2.
ii) Questo si puo caratterizzare come un elemento separatore. Piu
precisamente: gli insiemi
A := {a ∈ R+ | a2 < 2} , B := {b ∈ R+ | b2 > 2} (4.123)
sono una coppia di sottoinsiemi non vuoti, separati e contigui di R.
Il loro elemento separatore s (esistente in R, per la completezza
del campo reale; unico, per la contiguita di A e B) e tale che
s ∈ R+, s2 = 2.
Dimostrazione. Per provare cheA eB sono non vuoti, separati
e contigui basta parafrasare le dimostrazioni delle affermazioni
analoghe, presentate a suo tempo per i corrispettivi di A e B in
ambito razionale (pagg. 154,155 e 165).
242
Sia s ∈ R l’elemento separatore di A,B. Con un’altra parafrasi,
questa volta relativa al Lemma di pag. 160, si vede che s ∈ R+ e
s2 = 2.
Resta da dimostrare che s e l’unico reale positivo con quadrato
2. Equivalentemente, dobbiamo considerare un t ∈ R+ tale che
t2 = 2, e dedurre che allora t = s. In effetti, se fosse 0 < t < s
avremmo t2 < s2 = 2, mentre se fosse t > s avremmo t2 > s2 = 2;
in entrambi i casi avremmo t2 6= 2, contro l’ipotesi iniziale su t. �
A questo punto, abbastanza ovviamente diamo la seguente
4.45 Definizione. L’unico s ∈ R+ tale che s2 = 2 si chiamera
la radice quadrata di 2, e si indichera con√
2. �
Evidenziamo alcuni fatti importianti relativi a√
2.
i) Sappiamo gia che nessun numero razionale ha quadrato 2, quindi√
2 e irrazionale:√
2 ∈ R \Q . (4.124)
ii) Indichiamo ancora con A,B gli insiemi (4.123), e siano a ∈ A,
b ∈ B. Allora, in accordo con la caratterizzazione di s =√
2
come elemento separatore, risulta a 6√
2 6 b. D’altra parte non
puo essere a =√
2 ne b =√
2, perche sappiamo che a2 < 2 e
b2 > 2.
243
Dunque,
a <√
2 < b per ogni a ∈ A, b ∈ B (4.125)
(con A,B come nella (4.123)) .
iii) Abbiamo gia notato che A 3 1, 1, 4 , 1, 41 , 1, 414 , mentre
B 3 2, 1, 5 , 1, 42 , 1, 415 (cfr. pag. 154). Dunque
1 <√
2 < 2 , 1, 4 <√
2 < 1, 5 , (4.126)
1, 41 <√
2 < 1, 42 , 1, 414 <√
2 < 1, 415 , (4.127)
(cioe 1 <√
2 < 1+1, 1, 4 <√
2 < 1, 4+0, 1, ecc.) Confrontando
queste disuguaglianze con la definizione generale di rappresenta-
zione decimale di un numero reale (disuguaglianze (4.77)`, pag.
221), concludiamo√
2 = 1, 414.... (4.128)
Ciascuna delle cifre indicate qui con ... puo essere determinata in
linea di principio; in sostanza, per avere le cifre dopo la virgola
fino al posto ` dobbiamo determinare il decimale finito 1, d1d2...d`
tale che (1, d1d2...d`)2 < 2 e (1, d1d2...d`+1/10`)2 > 2, dopodiche
possiamo dire che√
2 = 1, d1d2...d`... .
244
Quanto si e detto fin qui riguardo al problema “trova un numero
con quadrato 2” si puo estendere considerando, piu in generale, il
problema “trova un numero con quadrato y”. A questo proposito,
vale il risultato seguente (da leggere ricordando che R+ := R+ ∪
{0}).
4.46 Proposizione. Sia y ∈ R+. Allora:
i) Esiste un unico s ∈ R+ tale che s2 = y.
ii) Se y = 0, e s = 0.
iii) Se y ∈ R+, allora s ∈ R+ ed s e l’unico elemento separatore
della coppia di insiemi
Ay := {a ∈ R+ | a2 < y}, By := {b ∈ R+ | b2 > y} , (4.129)
che sono sottoinsiemi non vuoti, separati e contigui di R.
Dimostrazione∗. E’ lasciata per esercizio al lettore interessato.
Essenzialmente, si devono costruire delle semplici varianti di ar-
gomentazioni date prima in modo esplicito, per il caso particolare
y = 2. �
245
4.47 Definizione. Sia y ∈ R+. L’unico s ∈ R+ tale che
s2 = y si chiamera la radice quadrata di y, e si indichera con√y.
�
Si noti che, per quanto detto prima,
√0 = 0 ,
√y > 0 se y > 0 . (4.130)
4.48 Esercizio. Sia y ∈ R+, e si consideri il problema
?x ∈ R tale che x2 = y . (4.131)
Verificare che x ∈ R e soluzione del problema se e solo se
x = ±√y (4.132)
(e dunque: se y = 0 l’unica soluzione e x = 0; se y > 0 si hanno
due soluzioni x =√y > 0 e x = −√y < 0)
Soluzione∗. Dalla proposizione precedente, sappiamo che l’unica
soluzione x ∈ R+ di x2 = y e x =√y; ora discutiamo le soluzioni
in R−.
Sia x ∈ R−. Allora:
x2 = y ⇐⇒ (−x)2 = y (perche (−x)2 = x2)
⇐⇒ −x =√y (perche −x ∈ R+,
e l’unico elemento di R+ con quadrato y e√y)
⇐⇒ x = −√y .
�
246
4.49 Osservazioni. i) Se y < 0 il problema: “?x ∈ R tale che
x2 = y” non ha soluzione (perche x2 > 0 per ogni x ∈ R).
Come vedremo molto piu avanti, se y ∈ R− il problema x2 = y
ha delle soluzioni x nel campo complesso C, un ampliamento del
campo reale che si costruisce proprio per trattare problemi come
questo.
ii) Restando nell’ambito reale, tra poco discuteremo il problema
“?x tale che xn = y”, dove n ∈ {1, 2, 3, ...}. Per ogni y ∈ R+
questo problema ha una ed una sola soluzione x ∈ R+, che si
chiama la radice n-esima di y e si indica con n√y. �
247
Valore assoluto di un numero reale
Il concetto di valore assoluto si potrebbe introdurre in ogni anello
ordinato (dunque avremmo potuto definirlo mentre studiavamo gli
interi relativi, e poi i razionali). In queste pagine ci occuperemo
del valore assoluto nell’ambito reale.
4.50 Proposizione. Sia x ∈ R. Il valore assoluto di x e
|x| :=
x se x > 0,
−x se x < 0.(4.133)
�
4.51 Osservazioni. i) Ad esempio, essendo√
2 > 0 e −3 < 0
abbiamo
|√
2| =√
2 ; | − 3| = −(−3) = 3 . (4.134)
ii) L’uguaglianza |x| = −x vale per ogni x minore o uguale a
zero. Infatti: se x < 0, essa e vera per la definizione (4.133); se
x = 0, essa e vera perche |0| = 0 = −0. �
248
4.52 Esercizio. Siano x, y ∈ R. Verificare quanto segue:
|x| > 0 ; (4.135)
|x| = 0⇐⇒ x = 0 ; (4.136)
| − x| = |x| ; (4.137)
|y| = |x| ⇐⇒ y = ±x ; (4.138)
x ∈ Z⇐⇒ |x| ∈ N ; (4.139)
x ∈ Q⇐⇒ |x| ∈ Q . (4.140)
�
4.53 Osservazione (Significato geometrico del valore asso-
luto). Nell’ambito della geometria euclidea consideriamo lo spazio
L delle lunghezze, e qui fissiamo una unita di lunghezza u 6= 0.
Nel seguito identificheremo una lunghezza del tipo zu (z ∈ R+)
con il numero reale z. In particolare, se un segmento AB ha
lunghezza |AB| = zu scriveremo, piu semplicemente, |AB| = z.
Ora consideriamo una retta r con una orientazione ed una ori-
gine O; utilizzando questi dati insieme all’unita di lunghezza u,
definiamo come a pag. 214 una biiezione
R→ r , x 7→ P (x) (”punto di ascissa x”). (4.141)
Cio premesso, vale quanto segue.
249
i) Per ogni x ∈ R e
|OP (x)| = |x| (4.142)
dove: nel primo membro, il simbolo | | e usato per indicare la
lunghezza del segmento OP (x), identificata con un elemento di
R+; nel secondo membro, | | indica il valore assoluto.
La verifica della (4.142) procede cosı : se x > 0, allora per defini-
zione di P (x) risulta |OP (x)| = x = |x|; se invece x < 0, sempre
per definizione di P (x) abbiamo |OP (x)| = −x = |x|.
250
ii) Piu in generale, siano x, y ∈ R. Allora
|P (y)P (x)| = |x− y| . (4.143)
Qui il primo membro indica la lunghezza del segmento P (x)P (y),
cioe la distanza tra P (y) e P (x); invece, il secondo membro indica
il valore assoluto di x− y.
La verifica della (4.143) si effettua considerando tutti i casi possibi-
li riguardo ai segni di x, y e x−y. A titolo di esempio, esaminiamo
tre casi:
ii.1) Supponiamo x > y > 0. Allora (cfr. la figura)
|P (y)P (x)| = x− y = |x− y|
(l’ultima uguaglianza vale perche x− y > 0).
251
ii.2) Supponiamo y > x > 0. Allora (cfr. la figura)
|P (y)P (x)| = y − x = −(x− y) = |x− y|
(l’ultima uguaglianza vale perche x− y 6 0).
ii.3) Supponiamo x > 0, y 6 0. Allora y = −y′ con y′ > 0;
inoltre (cfr. la figura)
|P (y)P (x)| = x + y′ = x− y = |x− y|
(l’ultima uguaglianza vale perche x− y = x + y′ > 0).
252
4.54 Proposizione. Siano x, y ∈ R. Allora
|x + y| 6 |x| + |y| ; (4.144)
piu precisamente,
|x + y| = |x| + |y| (4.145)
se x, y sono entrambi > 0, o entrambi 6 0 ;
|x + y| < |x| + |y| (4.146)
se x, y non sono entrambi > 0, ne entrambi 6 0 .
Inoltre:
| |x| − |y| | 6 |x− y| ; (4.147)
|xy| = |x||y| . (4.148)
Dimostrazione∗. Verifica della (4.145). Consideriamo il caso
x, y > 0; allora e anche x + y > 0, e risulta
|x + y| = x + y = |x| + |y| .
Ora consideriamo il caso x, y 6 0; allora e anche x + y 6 0, e
risulta
|x + y| = −(x + y) = (−x) + (−y) = |x| + |y| .
253
Verifica della (4.146). Consideriamo ad esempio il caso x > 0,
y < 0 (lasciando tutti gli altri casi al lettore interessato). Nel caso
in esame e y = −y′, con y′ > 0, e |y| = y′. Risulta
x + y = x− y′ ;
se x > y′ e x− y′ > 0, quindi
|x + y| = |x− y′| = x− y′ < x + y′ = |x| + |y| ,
come asserito dalla (4.146). Se invece x < y′ allora x − y′ < 0,
quindi
|x + y| = |x− y′| = −(x− y′) = −x + y′ < x + y′ = |x| + |y| ,
anche in questo sottocaso, la (4.146) e verificata.
Verifica della (4.144). Questa disuguaglianza segue dalle (4.145)
(4.146).
254
Verifica della (4.147). Siano x, y ∈ R; Allora
|x| = |(x− y) + y| 6 |x− y| + |y|
dove l’ ultimo passaggio si ottiene applicando la (4.144) con x, y
sostituiti da x − y, y. Da qui segue, sottraendo a membro a
membro |y|,
|x| − |y| 6 |x− y| . (4.149)
Applichiamo l’ultimo risultato scambiando tra loro x e y; cosı ot-
teniamo
|y| − |x| 6 |y − x| = | − (x− y)| = |x− y| . (4.150)
Ora consideriamo il valore assoluto | |x| − |y| |; questo e uguale a
|x| − |y| oppure a −(|x| − |y|) = |y| − |x| e queste due quantita,
per le (4.149) (4.150), sono entrambe 6 |x − y|; in conclusione
abbiamo
||x| − |y|| 6 |x− y| ,
come asserito dalla (4.147).
255
Verifica della (4.148). Si devono esaminare separatamente i casi
x > 0 e y > 0, x > 0 e y 6 0, x 6 0 e y > 0, x 6 0 e y 6 0.
A titolo di esempio, supponiamo x > 0 e y 6 0. Allora xy 6 0, e
|xy| = −(xy) = x(−y) = |x||y| ,
come asserito dalla (4.148). �
256
Gli insiemi {|x− x0| < ε}.Intorni
In questo paragrafo vogliamo stabilire alcuni fatti elementari in
cui e coinvolto il valore assoluto, ed introdurre una terminologia
che in seguito sara usata molto spesso.
4.55 Esercizio. Siano x ∈ R, ε ∈ R+. Verificare che
|x| < ε ⇐⇒ −ε < x < ε . (4.151)
Soluzione. Come sappiamo |x| e uguale a x o −x, nei due casi
x > 0 e x < 0. Pertanto,
|x| < ε ⇐⇒ x > 0, x < ε oppure x < 0,−x < ε
⇐⇒ x > 0, x < ε oppure x < 0, x > −ε
⇐⇒ 0 6 x < ε oppure − ε < x < 0
⇐⇒ −ε < x < ε . �
L’esercizio che segue generalizza il precedente considerando un va-
lore assoluto del tipo |x−x0| con x0, x ∈ R; si noti che questo rap-
presenta la distanza tra i punti di una retta con ascisse x0 e x.
4.56 Esercizio. Siano x, x0 ∈ R, ε ∈ R+. Verificare che
|x− x0| < ε ⇐⇒ x0 − ε < x < x0 + ε . (4.152)
Soluzione. Infatti,
|x− x0| < ε
⇐⇒ −ε < x−x0 < ε (per la (4.151), con x sostituito da x− x0)
⇐⇒ x0−ε < x < x0+ε (sommando x0 a membro a membro). �
257
Le equazioni (4.151) (4.152) ci dicono che, per ogni ε ∈ R+ e
x0 ∈ R,
{x ∈ R | |x| < ε} = (−ε, ε) , (4.153)
{x ∈ R | |x− x0| < ε} = (x0 − ε, x0 + ε) (4.154)
(Naturalmente, la seconda di queste uguaglianze si riduce alla
prima se x0 = 0).
4.57 Definizione. Sia x0 ∈ R.
i) In seguito, per ogni ε ∈ R+ l’intervallo (x0 − ε, x0 + ε) sara
chiamato spesso l’intorno di x0 di raggio ε.
Qualunque intervallo di questo tipo, con ε preso ad arbitrio in R+,
sara chiamato un intorno di x0.
ii) Per ogni ε ∈ R+, gli intervalli (x0− ε, x0] e [x0, x0 + ε) saranno
chiamati, rispettivamente, l’intorno sinistro e l’intorno destro
di x0 di raggio ε.
Ogni intervallo del primo o del secondo tipo, con ε arbitrario, sara
chiamato un intorno sinistro o destro di x0. �
258
4.58 Esercizio. Siano x, x0 ∈ R, ε ∈ R+. Verificare che
0 < |x−x0| < ε ⇐⇒ x 6= x0 , x0− ε < x < x0 + ε (4.155)
⇐⇒ x0 − ε < x < x0 oppure x0 < x < x0 + ε .
Soluzione. La due equivalenze nella (4.155) si stabiliscono ri-
cordando che che |x−x0| < ε⇐⇒ x0−ε < x < x0+ε e notando
che, in aggiunta, |x− x0| > 0⇐⇒ x− x0 6= 0⇐⇒ x 6= x0 ⇐⇒
x < x0 oppure x > x0. �
Notiamo che la (4.155) asserisce quanto segue, per ogni x0 ∈ R
ed ε ∈ R+:
{x ∈ R | 0 < |x− x0| < ε} = (x0− ε, x0 + ε) \ {x0} = (4.156)
= (x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) .
In seguito averemo spesso a che fare con l’insieme (4.156) che e
un intorno di x0, privato proprio del punto x0.
(Similmente avremo a che fare con insiemi del tipo (x0 − ε, x0) o
(x0, x0+ε) che sono intorni sinistri o destri di x0, anch’essi privati
del punto x0).
259
Massimo e minimo di un sottoinsieme A di R
In precedenza abbiamo gia avuto occasione di parlare del massimo
(o del minimo) di qualche sottoinsieme A di R (o Q), soprattut-
to nel caso di un A finito. Ora vogliamo affrontare l’argomen-
to in modo sistematico; in tutto il paragrafo, consideriamo un
sottoinsieme arbitrario A di R.
4.59 Lemma. i) Se esiste M ∈ A tale che a 6 M per ogni
a ∈ A, allora M e unico.
ii) Se esiste m ∈ A tale che m 6 a per ogni a ∈ A, allora m e
unico.
260
Dimostrazione∗. i) Siano M,M ′ ∈ A tali che
a 6M per ogni a ∈ A , (4.157)
a 6M ′ per ogni a ∈ A ; (4.158)
allora, dalla (4.157) con a = M ′ e dalla (4.158) con a = M
otteniamo, rispettivamente, M ′ 6M e M 6M ′, da cui
M = M ′ . (4.159)
ii) La verifica, molto simile a quella del punto i), e lasciata per
esercizio. �
4.60 Definizione. i) Si dice che A possiede massimo, ovvero
che MaxA esiste, se esiste M ∈ A tale che M > a per ogni
a ∈ A.
Questo M , unico per il Lemma precedente, si chiama il massimo
di A e si indica con MaxA.
ii) Si dice che A possiede minimo, ovvero che MinA esiste, se
esiste m ∈ A tale che m 6 a per ogni a ∈ A.
Questo m, unico per il Lemma precedente, si chiama il minimo
di A e si indica con MinA. �
In seguito, la scrittura “MaxA = M” sara usata come abbrevia-
zione dell’espressione “MaxA esiste, ed e uguale a M”; similmen-
te, scriveremo “MinA = m” per indicare che minA esiste ed e
uguale a m.
261
4.61 Esempi (relativi alla nozione di massimo). Qui di
seguito β ∈ R; inoltre α ∈ R, α < β oppure α = −∞.
i) Sia A := (α, β] = {a ∈ R | α < a 6 β}.
E’ facile verificare che MaxA = β.
ii) Sia A := (α, β) = {a ∈ R | α < a < β}.
Allora MaxA non esiste.
Per provarlo, supponiamo per assurdo MaxA = M . Dato che
M ∈ A, risulta α < M < β; ora poniamo a :=M + β
2(il pun-
to medio del segmento di estremi M,β, se impieghiamo l’usuale
identificazione di R con una retta).
Allora α < M < a < β; da α < a < β segue a ∈ A, mentre la
disuguaglianza M < a contraddice l’ ipotesi M = MaxA.
262
iii) Sia A := (β,+∞) = {a ∈ R | a > β}.
Allora MaxA non esiste.
Infatti, per ogni M ∈ A, esiste a ∈ A tale che a > M (basta
prendere per a un qualunque numero reale > M). �
4.62 Esempi (relativi alla nozione di minimo). Qui di
seguito α ∈ R; inoltre β ∈ R, β > α oppure β = +∞.
i) Sia A := [α, β) = {a ∈ R | α 6 a < β}.
Allora MinA = α.
263
ii) Sia A := (α, β) = {a ∈ R | α < a < β}.
Allora MinA non esiste.
Per provarlo, supponiamo per assurdo MinA = m. Dato che
m ∈ A, risulta α < m < β; ora poniamo a :=α + m
2(il pun-
to medio del segmento di estremi α,m, se impieghiamo l’usuale
identificazione di R con una retta).
Allora α < a < m < β; da α < a < β segue a ∈ A, mentre la
disuguaglianza a < m contraddice l’ ipotesi m = MinA.
iii) Sia A := (−∞, α) = {a ∈ R | a < α}.
Allora MinA non esiste.
Infatti, per ogni m ∈ A, esiste a ∈ A tale che a < m (basta
prendere per a un qualunque numero reale < m). �
264
4.63 Altri esempi (relativi alle nozioni di massimo
e minimo). Qui si seguito, come al solito si intende N∗ :=
{1, 2, 3, 4, ..} .
i) Sia A := { 1
n| n ∈ N∗} = {1, 1
2,
1
3,
1
4, ...}.
Allora:
i.1) e facile verificare che MaxA = 1.
i.2) Invece, MinA non esiste.
Infatti, supponiamo per assurdo che il minimo esista; essendo un
elemento di A, MinA avra la forma 1/N , per qualche N ∈ N∗.
Il minimo 1/N deve essere minore o uguale a qualunque elemento
di A, cioe si deve avere 1/N 6 1/n per ogni n ∈ N∗; da qui segue
N > n per ogni n ∈ N∗, che e palesemente un assurdo.
ii) Ora sia A := {−1
n| n ∈ N∗} = {−1,−1
2,−1
3,−1
4, ...}.
Allora, con argomenti simili a quelli per l’esempio (i) si trova che
MinA = −1, e MaxA non esiste. �
265
Estremo superiore di un sottoinsieme di R.
Il concetto di estremo superiore e una generalizzazione di quello di
massimo, avente senso anche nei casi in cui non esiste il massimo.
Per definire l’estremo superiore dovremo fare qualche considera-
zione preliminare, passando attravero la nozione di maggiorante
definita qui di seguito.
Da qui alla fine del paragrafo, A indica un sottoinsieme di R.
4.64 Definizione. i) Un maggiorante di A e un numero reale
L tale che
a 6 L per ogni a ∈ A . (4.160)
Indicheremo con Magg(A) l’insieme dei maggioranti di A.
ii) Se A possiede maggioranti (cioe, se Magg(A) e non vuoto), si
dice che A e superiormente limitato.
Se invece A non possiede maggioranti (Magg(A) = ∅), si dice che
A e superiormente illimitato. �
266
4.65 Osservazioni (importanti). MaxA, se esiste, e un
maggiorante di A; dunque, se A possiede massimo esso e supe-
riormente limitato.
L’affermazione inversa non vale: gli esempi di questo paragrafo
mostrano che A puo essere superiormente limitato, senza posse-
dere massimo. �
4.66 Esempi. Negli esempi (i)(ii) (iv) che seguono si intende
β ∈ R e α ∈ R, α < β oppure α = −∞.
267
i) Sia A := (α, β].
Allora Magg(A) = [β,+∞) (quindi, A e superiormente limitato).
ii) Sia A := (α, β).
Anche in questo caso Magg(A) = [β,+∞).
(Si ricordi pero che tra i casi (i) e (ii) c’e una differenza dal punto
di vista del massimo: infatti, come gia notato a pag. 262, nel caso
(i) e MaxA = β, mentre nel caso (ii) MaxA non esiste).
268
iii) Sia A := {−1/n | n ∈ N∗} = {−1,−1/2,−1/3,−1/4, ...}.
Allora Magg(A) = [0,+∞) (dunque A e superiormente limitato).
(Ecco la prova∗. Anzitutto, se L ∈ [0,+∞) risulta L > −1/n
per ogni n ∈ N∗, cioe L e un maggiorante di A.
Viceversa, supponiamo che L ∈ R sia un maggiorante di A:
L > −1/n per ogni n ∈ N∗. Allora L ∈ [0,+∞); infatti, se
fosse L < 0, per il Corollario 4.11 di pag. 197 esisterebbe n ∈ N∗
tale che L < −1/n < 0, ed L non sarebbe un maggiorante di A).
iv) Sia A := (β,+∞).
Allora A non possiede maggioranti: Magg(A) = ∅ (infatti, per
qualunque L ∈ R, esiste un a ∈ A tale che a > L: basta scegliere
per a un qualunque numero reale tale che a > Max (β, L)).
Dunque, A e superiormente illimitato. �
269
Ora presentiamo un risultato importante, che ci permettera di
dare la definizione di estremo superiore.
4.67 Proposizione. A ⊂ R sia non vuoto e superiormente
limitato. Allora:
i) Esiste S := Min Magg(A) (a parole: l’insieme dei maggioranti
di A possiede minimo, indicato con S).
ii) Risulta Magg(A) = [S,+∞).
Dimostrazione. Consideriamo la coppia di insiemi
A , Magg(A) . (4.161)
Notiamo quanto segue:
i) I due insiemi sono entrambi non vuoti, per le nostre ipotesi.
ii) I due insiemi sono separati. Infatti, se a ∈ A e L ∈ Magg(A),
per definizione di maggiorante risulta a 6 L.
Da qui e dalla completezza di R segue che i due insiemi possiedono
un elemento separatore S, tale che
a 6 S 6 L per ogni a ∈ A, L ∈ Magg(A) ; (4.162)
qui di seguito, mostreremo che S e il minimo di Magg(A).
270
In effetti, la disuguaglianza a 6 S per ogni a ∈ A ci dice che
S ∈ Magg(A); inoltre, la disuguaglianza S 6 L per ogni L ∈
Magg(A) ci dice S = Min Magg(A). (Tra l’altro questo risultato,
insieme all’unicita del minimo, ci dice che la coppia A,Magg(A)
possiede un unico elemento separatore.(51))
ii) Indicando sempre con S il minimo di Magg(A), mostriamo che
Magg(A) = [S,+∞).
Anzitutto, Magg(A) ⊂ [S,+∞). Infatti: L ∈ Magg(A) =⇒
S 6 L (perche S e il minimo dei maggioranti) =⇒ L ∈ [S,+∞).
Inoltre, [S,+∞) ⊂ Magg(A). Infatti: L ∈ [S,+∞) =⇒ L > S
=⇒ L > S > a per ogni a ∈ A (perche S ∈ Magg(A))
=⇒ L > a per ogni a ∈ A =⇒ L ∈ Magg(A). �
4.68 Definizione. A ⊂ R sia non vuoto e superiormente limi-
tato. L’estremo superiore di A, indicato con SupA, e cosı defi-
nito:
SupA := Min Magg(A) (4.163)
(A parole: l’estremo superiore di A e il minimo maggiorante di
A). �
51Solo per completezza, segnaliamo che l’unicita dell’elemento separatore puo essere giustificata anche
verificando che gli insiemi A e Magg(A) sono contigui nel senso di pag. 149. Il lettore interessato puo
provare la contiguita utilizzando, ad esempio, la successiva Proposizione 4.72 di pag. 275.
271
4.69 Esempi. Negli esempi (i)(ii) che seguono si intende β ∈ R
e α ∈ R, α < β oppure α = −∞.
i) Sia A := (α, β].
Abbiamo gia notato che Magg(A) = [β,+∞); da qui segue SupA =
Min Magg(A) = β.
In questo caso e anche MaxA = β (come notato a suo tempo).
ii) Sia A := (α, β).
Abbiamo gia notato che Magg(A) = [β,+∞); da qui segue SupA =
Min Magg(A) = β.
In questo caso MaxA non esiste, come notato a suo tempo.
272
iii) Sia A := {−1/n | n ∈ N∗} = {−1,−1/2,−1/3,−1/4, ...}.
Abbiamo gia notato che Magg(A) = [0,+∞); da qui segue SupA =
Min Magg(A) = 0.
In questo caso MaxA non esiste, come notato a suo tempo. �
Nelle pagine che seguono, evidenzieremo alcuni fatti generali rela-
tivi all’estremo superiore.
273
4.70 Proposizione. Per ogniA ⊂ R non vuoto, sono equivalenti i) e ii):
i) A possiede massimo;
ii) A e superiormente limitato, e SupA ∈ A.
Inoltre, se valgono i) ii) risulta SupA = MaxA.
Dimostrazione∗. Passo 1. Se vale i), allora vale ii) e SupA =
MaxA. Supponendo che valga i), poniamo M := MaxA. Come
gia notato M ∈ Magg(A) e, di conseguenza, A e superiormente
limitato.
Ora, consideriamo un qualunque L ∈ Magg(A). Allora a 6 L
per ogni a ∈ A; in particolare, scegliendo a := M ∈ A otteniamo
M 6 L.
Pertanto M = MaxA e il minimo maggiorante di A; da qui
segue M = SupA. Dato che M ∈ A, possiamo dire anche che
SupA ∈ A.
Se vale ii), allora vale i). Supponendo che valga ii), definiamo
S := SupA. Per ipotesi S ∈ A; inoltre S e un maggiorante,
quindi S ≥ a per ogni a ∈ A. Questi due fatti ci dicono che
MaxA esiste ed e uguale a S. �
274
4.71 Osservazione. Dunque SupA e il massimo di A, se que-
sto esiste; tuttavia, SupA esiste anche in casi in cui MaxA non
esiste (come nei due precedenti Esempi 4.69 ii) iii).)
In questo senso il concetto di estremo superiore generalizza quello
di massimo, come annuciato all’inizio del paragrafo. �
4.72 Proposizione. A ⊂ R sia non vuoto; sia S ∈ R. Sono
equivalenti queste due affermazioni:
i) A e superioremente limitato, e S = SupA;
ii) S e un maggiorante di A, e
per ogni ε ∈ R+, esiste a ∈ A tale che S − ε < a 6 S . (4.164)
(Si ricordi che, secondo il linguaggio introdotto a pag. 258, gli
insiemi del tipo (S − ε, S], con ε ∈ R+, sono gli intorni sinistri
di S. Dunque la (4.164) si puo riformulare cosı : ogni intorno
sinistro di S contiene punti di A).
275
Dimostrazione∗. Passo 1: i) =⇒ ii). Supponiamo A superio-
prmente limitato, e S = SupA. Allora S e un maggiorante di A:
a 6 S per ogni a ∈ A.
Ora, dato ε > 0, proviamo che esiste a ∈ A tale che S − ε < a.
Supponiamo per assurdo che non sia cosı : allora a 6 S − ε per
ogni a ∈ A, quindi S−ε ∈ Magg(A). Ma S−ε < S, quindi non e
vero che S = Min Magg(A): abbiamo trovato una contraddizione.
Passo 2: ii) =⇒ i). Supponiamo che S sia un maggiorante di A,
e che valga la (4.164). Avendo maggioranti, A e superiormente
limitato; per provare che S = SupA dobbiamo far vedere che S
e il minimo maggiorante di A. Supponiamo per assurdo che non
sia cosı : allora esiste L ∈ Magg(A) tale che L < S. In tal caso,
posto ε := S−L risulta ε > 0 e S− ε = L; dunque, dalla (4.164)
segue che esiste a ∈ A tale che L < a 6 S, contro l’ipotesi
L ∈ Magg(A). �
276
4.73 Osservazione∗ . Per concludere il nostro discorso sull’e-
stremo superiore di un A ⊂ R, conviene estenderne la definizione
ai due casi fino ad ora esclusi, e trattati qui di seguito nei punti
(i)(ii).
i) Supponiamo A non vuoto e illimitato superiormente. In que-
sto caso non ci sono maggioranti di A in R; per questo motivo
cambiamo un po’ il nostro punto di vista considerando l’insieme
dei reali estesi R := R∪{±∞} (cfr. pag. 219), e qui l’insieme dei
maggioranti estesi Magg(A) := {L ∈ R | a 6 L per ogni a ∈ A}.
Si vede subito che Magg(A) = {+∞}; il minimo di questo insie-
me e il suo unico elemento, cioe +∞. E’ dunque naturale dire che
+∞ e l’estremo superiore di A.
ii) Ora consideriamo il caso A = ∅. Ogni L ∈ R e un maggiorante
di ∅ (infatti, se un L ∈ R non fosse un maggiorante, esisterebbe
a ∈ ∅ tale che a > L, cosa impossibile perche ∅ non ha elementi).
Dunque Magg(∅) = R (il che indica, tra l’altro, che ∅ e superior-
mente limitato). Per quanto riguarda il minimo maggiorante, esso
non esiste (R non ha minimo).
Anche in questo caso conviene cambiare un po’ il punto di vista e
passare all’insieme dei maggioranti estesi Magg(∅), cioe all’insieme
dei maggioranti di ∅ tra i reali estesi. Si vede subito che Magg(∅) =
R; questo insieme ha minimo, uguale a −∞, quindi siamo portati
a dire che Sup ∅ = −∞. �
277
Motivati dalle considerazioni precedenti, conveniamo quanto se-
gue:
4.74 Definizione. i) Se A ⊂ R e non vuoto e superiormente
illimitato, porremo SupA := +∞.
ii) Se A = ∅, porremo SupA := −∞. �
Sulla base della definizione precedente, per qualunque sottoinsie-
me A di R sussistono queste equivalenze:
A superiormente limitato ⇐⇒ SupA < +∞ ; (4.165)
A superiormente illimitato ⇐⇒ SupA = +∞ . (4.166)
278
Estremo inferiore di un sottoinsieme di R.
Il concetto di estremo inferiore e una generalizzazione di quello di
minimo, che ha senso anche nei casi in cui il minimo non esiste.
Come vedremo, la teoria dell’estremo inferiore ricalca fedelmente
quella dell’estremo superiore: essenzialmente, si passa dall’una al-
l’altra rovesciando tutte le disuguaglianze e sostituendo il concetto
di maggiorante con quello di minorante, definito qui di seguito.
Da qui alla fine del paragrafo, A indica un sottoinsieme di R.
4.75 Definizione. i) Un minorante di A e un numero reale `
tale che
` 6 a per ogni a ∈ A . (4.167)
Indicheremo con Mino(A) l’insieme dei minoranti di A.
ii) Se A possiede minoranti (cioe, se Mino(A) e non vuoto), si dice
che A e inferiormente limitato.
Se invece A non possiede minoranti (Mino(A) = ∅), si dice che A
e inferiormente illimitato. �
279
4.76 Osservazioni (importanti). MinA, se esiste, e un mi-
norante di A; dunque, se A possiede minimo esso e inferiormente
limitato.
L’affermazione inversa non vale: A puo essere inferiormente limi-
tato, senza possedere minimo. �
4.77 Esempi. Negli esempi (i)(ii) (iv) che seguono si intende
α ∈ R e β ∈ R, β > α oppure β = +∞.
280
i) Sia A := [α, β).
Allora Mino(A) = (−∞, α] (quindi, A e inferiormente limitato).
ii) Sia A := (α, β).
Anche in questo caso Mino(A) = (−∞, α].
(Si ricordi pero che tra i casi (i) e (ii) c’e una differenza dal punto
di vista del minimo: infatti, come gia notato a pag. 263 e seguenti,
nel caso (i) e MinA = α, mentre nel caso (ii) MinA non esiste).
281
iii) Sia A := {1/n | n ∈ N∗} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}.
Allora Mino(A) = (−∞, 0].
(Ecco la prova∗. Anzitutto, se ` ∈ (−∞, 0] risulta ` 6 1/n per
ogni n ∈ N∗, cioe ` e un minorante di A.
Viceversa, supponiamo che ` ∈ R sia un minorante di A: ` 6 1/n
per ogni n ∈ N∗. Allora ` ∈ (−∞, 0]; infatti, se fosse ` > 0,
per il Corollario 4.11 di pag. 197 esisterebbe n ∈ N∗ tale che
0 < 1/n < `, ed ` non sarebbe un minorante di A).
iv) Sia A := (−∞, α).
Allora A non possiede minoranti: Mino(A) = ∅ (infatti, per qua-
lunque ` ∈ R, esiste un a ∈ A tale che a < `: basta scegliere per
a un qualunque numero reale tale che a < Min (α, `)).
Dunque, A e inferiormente illimitato. �
282
Ora presentiamo un risultato importante, che ci permettera di
dare la definizione di estremo inferiore (e che costituisce un analogo
della Prop. 4.67, pag. 270 nel paragrafo sull’estremo superiore).
4.78 Proposizione. A ⊂ R sia non vuoto e inferiormente
limitato. Allora:
i) Esiste s := Max Mino(A) (a parole: l’insieme dei minoranti di
A possiede massimo, indicato con s).
ii) Risulta Mino(A) = (−∞, s].
Dimostrazione∗. Consideriamo la coppia di insiemi
Mino(A) , A . (4.168)
Notiamo quanto segue:
i) I due insiemi sono entrambi non vuoti, per le nostre ipotesi.
ii) I due insiemi sono separati. Infatti, se ` ∈ Mino(A) e a ∈ A,
per definizione di minorante risulta ` 6 a.
Da qui e dalla completezza di R segue che i due insiemi possiedono
un elemento separatore s, tale che
` 6 s 6 a per ogni ` ∈ Mino(A), a ∈ A ; (4.169)
qui di seguito, mostreremo che s e il massimo di Mino(A).
283
In effetti, la disuguaglianza s 6 a per ogni a ∈ A ci dice che s ∈
Mino(A); inoltre, la disuguaglianza ` 6 s per ogni ` ∈ Mino(A)
ci dice s = Max Mino(A). (52)
ii) Indicando sempre con s il massimo di Mino(A), mostriamo che
Mino(A) = (−∞, s].
Anzitutto, Mino(A) ⊂ (−∞, s]. Infatti: ` ∈ Mino(A) =⇒ ` 6 s
(perche s e il massimo dei minoranti) =⇒ ` ∈ (−∞, s].
Inoltre, (−∞, s] ⊂ Mino(A). Infatti: ` ∈ (−∞, s] =⇒ ` 6 s
=⇒ ` 6 s 6 a per ogni a ∈ A (perche s ∈Mino(A))
=⇒ ` 6 a per ogni a ∈ A =⇒ ` ∈ Mino(A). �
4.79 Definizione. A ⊂ R sia non vuoto e inferiormente limi-
tato. L’estremo inferiore di A, indicato con InfA, e cosı definito:
InfA := Max Mino(A) (4.170)
(A parole: l’estremo inferiore di A e il massimo minorante di A).
�
52Con una analisi piu fine, non necessaria per il momento, si potrebbe dimostrare che gli insiemi
Mino(A) e A sono non solo separati, ma anche contigui; dunque, il loro elemento separatore e unico. Il
lettore interessato puo provare la contiguita utilizzando, ad esempio, la successiva Proposizione 4.83 di
pag. 288
284
4.80 Esempi. Negli esempi (i)(ii) che seguono si intende α ∈ R
e β ∈ R, β > α oppure β = +∞.
i) Sia A := [α, β).
Abbiamo gia notato che Mino(A) = (−∞, α]; da qui segue InfA =
Max Mino(A) = α.
In questo caso e anche MinA = α (come notato a suo tempo).
ii) Sia A := (α, β).
Abbiamo gia notato che Mino(A) = (−∞, α]; da qui segue InfA =
Max Mino(A) = α.
In questo caso MinA non esiste, come notato a suo tempo.
285
iii) Sia A := {1/n | n ∈ N∗} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}.
Abbiamo gia notato che Mino(A) = (−∞, 0]; da qui segue InfA =
Max Mino(A) = 0.
In questo caso MinA non esiste, come notato a suo tempo. �
286
Le due proposizioni che seguono evidenziano alcuni fatti generali
relativi all’estremo inferiore. Le prove, lasciate al lettore interes-
sato, sono simili a quelle delle analoghe Proposizioni 4.70 (pag.
274) e 4.72 (pag. 275) sull’estremo superiore.
4.81 Proposizione. Per ogni A ⊂ R non vuoto, sono equiva-
lenti i) e ii):
i) A possiede minimo;
ii) A e inferiormente limitato, e InfA ∈ A.
Inoltre, se valgono i) ii) risulta InfA = MinA.
4.82 Osservazione. Dunque InfA e il minimo di A, se questo
esiste; tuttavia InfA esiste anche in casi in cui MinA non esiste.
In questo senso il concetto di estremo inferiore generalizza quello
di minimo, come annunciato all’inizio del paragrafo. �
287
4.83 Proposizione. A ⊂ R sia non vuoto; sia s ∈ R. Sono
equivalenti queste due affermazioni:
i) A e inferiormente limitato, e s = InfA;
ii) s e un minorante di A, e
per ogni ε ∈ R+, esiste a ∈ A tale che s 6 a < s + ε . (4.171)
(Si ricordi che, secondo il linguaggio introdotto a pag. 258, gli
insiemi del tipo [s, s+ ε), con ε ∈ R+, sono gli intorni destri di s.
Dunque la (4.171) si puo riformulare cosı : ogni intorno destro di
s contiene punti di A).
288
4.84 Osservazione∗ . Per concludere il nostro discorso sull’e-
stremo inferiore di un A ⊂ R, conviene estenderne la definizione
ai due casi fino ad ora esclusi, e trattati qui di seguito nei punti
(i)(ii).
i) Supponiamo A non vuoto e illimitato inferiormente. In que-
sto caso non ci sono minoranti di A in R; per questo motivo
cambiamo un po’ il nostro punto di vista considerando l’insieme
dei reali estesi R := R∪{±∞} (cfr. pag. 219), e qui l’insieme dei
minoranti estesi Mino(A) := {` ∈ R | ` 6 a per ogni a ∈ A}. Si
vede subito che Mino(A) = {−∞}; il massimo di questo insieme
e il suo unico elemento, cioe −∞. E’ dunque naturale dire che
−∞ e l’estremo inferiore di A.
ii) Ora consideriamo il caso A = ∅. Ogni ` ∈ R e un minorante di
∅ (infatti, se un ` ∈ R non fosse un minorante, esisterebbe a ∈ ∅
tale che a < `, cosa impossibile perche ∅ non ha elementi).
Dunque Mino(∅) = R (il che indica, tra l’altro, che ∅ e inferior-
mente limitato). Per quanto riguarda il massimo minorante, esso
non esiste (R non ha massimo).
Anche in questo caso conviene cambiare un po’ il punto di vista
e passare all’insieme dei minoranti estesi Mino(∅), cioe all’insieme
dei minoranti di ∅ tra i reali estesi. Si vede subito che Mino(∅) =
R; questo insieme ha massimo, uguale a +∞, quindi siamo portati
a dire che Inf ∅ = +∞. �
289
Motivati dalle considerazioni precedenti, conveniamo quanto se-
gue:
4.85 Definizione. i) Se A ⊂ R e non vuoto e inferiormente
illimitato, porremo InfA := −∞.
ii) Se A = ∅, porremo InfA := +∞. �
Sulla base della definizione precedente, per qualunque sottoinsie-
me A di R sussistono queste equivalenze:
A inferiormente limitato ⇐⇒ InfA > −∞ ; (4.172)
A inferiormente illimitato ⇐⇒ InfA = −∞ . (4.173)
290
Qualche complemento sull’estremo superiore e infe-
riore.
4.86 Esercizio. Sia A ⊂ R non vuoto. Verificare che
InfA 6 SupA . (4.174)
Soluzione∗. La (4.174) e ovvia se InfA = −∞, o SupA = +∞.
Ora consideriamo il caso InfA > −∞ e SupA < +∞, in cui A e
limitato sia superiormente che inferiormente; in tal caso, la prova
della (4.174) si ottiene in questo modo.
Se ` e un minorante ed L un maggiorante diA, preso un qualunque
a ∈ A risulta ` 6 a 6 L, da cui ` 6 L; questo vale, in particolare,
con ` = InfA e L = SupA. �
291
4.87 Esercizio (contenente delle ovvieta che pero conviene fis-
sare una volta per tutte, visto l’uso frequente che se ne fara in
seguito).
Siano A ⊂ R non vuoto ed L, `,∈ R.
i) Supponiamo di sapere che a 6 L per ogni a ∈ A; da qui, cosa
possiamo dedurre sugli estremi inferiore e superiore di A?
ii) Supponiamo di sapere che a > ` per ogni a ∈ A; da qui, cosa
possiamo dedurre sugli estremi inferiore e superiore di A?
Soluzione. i) Ecco la risposta al quesito posto:
a 6 L per ogni a ∈ A =⇒ InfA 6 SupA 6 L . (4.175)
Infatti, la disuguaglianza a 6 L per ogni a ∈ A ci dice che
L e un maggiorante di A; l’estremo superiore di A e il mini-
mo maggiorante, quindi SupA 6 L. Inoltre, sappiamo gia che
InfA 6 SupA.
ii) Ecco la risposta al quesito posto:
a > ` per ogni a ∈ A =⇒ SupA > InfA > ` . (4.176)
Infatti, la disuguaglianza a > ` per ogni a ci dice che ` e un
minorante di A; InfA e il massimo minorante, per cui InfA > `.
Inoltre SupA > InfA, come gia notato. �
292
4.88 Esercizio. Supponiamo
A ⊂ B ⊂ R ; (4.177)
verificare che allora
SupA 6 SupB , (4.178)
InfA > InfB . (4.179)
Soluzione∗. Nel caso A = ∅ le (4.178) (4.179) sono banalmente
vere, essendo SupA = −∞ e InfA = +∞.
Da qui in avanti A e non vuoto (quindi lo e anche B ⊃ A).
Verifica della (4.178). Se SupB = +∞, la (4.178) e banalmente
vera. Ora supponiamo
SupB = T ∈ R .
Abbiamo
b 6 T per ogni b ∈ B ;
ma gli elementi di A sono anche elementi di B, quindi
a 6 T per ogni a ∈ A .
293
Da qui e dall’Esercizio precedente segue
SupA 6 T
cioe SupA 6 SupB, come desiderato.
Verifica della (4.179). Se InfB = −∞, la (4.178) e banalmente
vera. Ora supponiamo
InfB = t ∈ R .
Abbiamo
b > t per ogni b ∈ B ;
ma gli elementi di A sono anche elementi di B, quindi
a > t per ogni a ∈ A .
Da qui e dall’Esercizio precedente segue
InfA > t
cioe InfA > InfB, come desiderato. �
294
(∗La lettura di quanto segue, fino a pag. 300, e facoltativa)
I risultati successivi di questo paragrafo si basano sui concetti
di somma, opposto, prodotto per un numero fissato, prodotto e
reciproco per sottoinsiemi di R.
Piu precisamente, dati A,B ⊂ R e c ∈ R, poniamo:
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B} ; (4.180)
−A := {−a | a ∈ A} ; (4.181)
cA := {ca | a ∈ A} ; (4.182)
AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} ; (4.183)
1/A := {1/a | a ∈ A} se 0 6∈ A . (4.184)
Cio premesso, vale il risultato seguente:
295
4.89 Proposizione∗ . A,B ⊂ R siano non vuoti; inoltre, sia
c ∈ R. Allora:
Sup (A + B) = (SupA) + (SupB) ; (4.185)
Inf (A + B) = (InfA) + (InfB) ; (4.186)
Sup (−A) = −Inf (A) ; (4.187)
Inf (−A) = −Sup (A) ; (4.188)
Sup (cA) = c(SupA) se c > 0 ; (4.189)
Inf (cA) = c(InfA) se c > 0 ; (4.190)
Sup (cA) = c(InfA) se c < 0 ; (4.191)
Inf (cA) = c(SupA) se c < 0 ; (4.192)
Sup (AB) = (SupA)(SupB) se A,B ⊂ R+ ; (4.193)
Inf (AB) = (InfA)(InfB) se A,B ⊂ R+ ; (4.194)
Sup (1/A) = 1/(InfA) se A ⊂ R+ . (4.195)
Inf (1/A) = 1/(SupA) se A ⊂ R+ . (4.196)
296
Nelle relazioni precedenti, le operazioni sugli estremi superiori o
inferiori coinvolti si devono intendere cosı quando questi valgono
+∞ o −∞:
x + (+∞) = (+∞) + x := +∞ per ogni x ∈ R ; (4.197)
(+∞) + (+∞) := +∞ , (4.198)
x + (−∞) = (−∞) + x := −∞ per ogni x ∈ R ; (4.199)
(−∞) + (−∞) := −∞ ; (4.200)
−(+∞) := −∞ ; (4.201)
−(−∞) := +∞ ; (4.202)
x(+∞) = (+∞)x := +∞ se x ∈ R, x > 0 (4.203)
x(−∞) = (−∞)x := −∞ se x ∈ R, x > 0 (4.204)
x(+∞) = (+∞)x := −∞ se x ∈ R, x < 0 (4.205)
x(−∞) = (−∞)x := +∞ se x ∈ R, x < 0 (4.206)
1/(+∞) := 0 . (4.207)
Limitatamente alla affermazione (4.193) (Sup (AB) = (SupA)(SupB)
se A,B ⊂ R+), si deve intendere 0 · (+∞) = (+∞) · 0 := 0.
Limitatamente alla affermazione (4.195) (Sup (1/A) = 1/(InfA)
se A ⊂ R+), si deve intendere 1/0 := +∞. �
297
4.90 Osservazione∗ . Le prescrizioni (4.198-4.207) dell’enun-
ciato precedente sono “regole di aritmetizzazione per gli infiniti”
che incontreremo anche nella teoria dei limiti per le funzioni da R
a R.
Invece, le prescrizioni date prima sul prodotto 0 · (+∞) (oppure,
0 · (+∞)) e sul reciproco 1/0 si devono usare, come specificato
dall’enunciato, solo nell’uso delle relazioni (4.193) (4.195) con le
condizioni indicate lı su A e B.
A suo tempo, vedremo che nella teoria dei limiti: non si da signifi-
cato al prodotto 0 · (+∞) (che costituisce uno dei cosiddetti “casi
di indecisione”). Sempre nella teoria dei limiti, il reciproco 1/0
e un infinito di segno imprecisato, che si puo specificare solo con
informazioni opportune sul modo in cui e raggiunto il limite 0. �
Dimostrazione della Prop. 4.89∗. Tutte le relazioni scritte
nell’enunciato possono essere dedotte legando i maggioranti o i
minoranti degli insiemi A + B,−A, ecc. ai maggiornati o mino-
ranti di A,B, e poi determinando gli estremi superiori o inferiori
coinvolti sulla base di tali informazioni.
298
A titolo di esempio, considerando un A ⊂ R (non vuoto), qui di
seguito dimostreremo la relazione (4.187)
Sup (−A) = −Inf (A)
procedendo in due passi.
Passo 1. Risulta
Magg(−A) = −Mino(A) (4.208)
(anche nel caso Mino(A) = ∅, da trattare tenendo conto che
−∅ = ∅).
Per verificare la (4.208) basta notare che, per ogni L ∈ R, si hanno
queste equivalenze:
L ∈ Magg(−A) ⇐⇒ L > −a per ogni a ∈ A
⇐⇒ −L 6 a per ogni a ∈ A⇐⇒ −L ∈ Mino(A)⇐⇒ L ∈ −Mino(A) .
Passo 2. Deduzione della relazione (4.187).
Consideriamo prima il caso Mino(A) = ∅ (cioe, A inferiormente
illimitato). Allora, per la (4.208) e Magg(−A) = ∅ (cioe, −A e
superiormente illimitato). In questa situazione
InfA = −∞ , Sup (−A) = +∞ ,
e la (4.187) e vera perche +∞ = −(−∞).
299
Ora passiamo al caso Mino(A) 6= ∅. Allora esiste s := Max Mino(A) ∈
R, e
InfA = s, Mino(A) = (−∞, s] .
(per l’ultima affermazione, cfr. pag. 283).
Da qui e dalla (4.208) segue
Magg(−A) = −(−∞, s] = [−s,+∞) ;
Pertanto
Sup (−A) = Min Magg(−A) = −s = −InfA ;
la (4.187) e provata. �
300
Un primo incontro con la topologia
Nelle prossime pagine introdurremo le nozioni di parte interna,
parte esterna, frontiera di un sottoinsieme di R e molti concet-
ti ad esse collegati, ad esempio quelli di sottoinsieme aperto o
chiuso di R. Nel nostro approccio, tutte queste nozioni saran-
no definite facendo uso del concetto di intorno gia incontrato da
tempo.
Il settore della matematica che studia le nozioni di interno, esterno,
fontiera, gli aperti, i chiusi, ecc., in R e in ambienti molto piu
generali, si chiama topologia; questa espressione, di origine greca,
ha il significato letterale di “studio dei luoghi”.
301
Parte interna, frontiera ed esterno di un sottoinsieme
A di R.
Cominciamo con qualche precisazione sulla terminologia e le no-
tazioni usate nel paragrafo presente (e nei successivi).
i) Qui e nel seguito, gli elementi di R si chiameranno spesso “pun-
ti” (come suggerito, tra l’altro, dalla corrispondenza tra R e una
retta).
ii) Dato un “punto” x0 ∈ R, ricordiamo che un intorno di x0 e
un intervallo del tipo (x0 − ε, x0 + ε), dove ε e un numero reale
> 0.
iii) Nel seguito, espressioni come: “esiste ε > 0”, “per ogni ε > 0”
si dovranno intendere come abbreviazioni di: “esiste un numero
reale ε > 0”, “per ogni numero reale ε > 0”.
iv) Dato A ⊂ R, nel seguito useremo spesso il complementare
Ac := R \ A = {x ∈ R | x 6∈ A}.
302
4.91 Definizione. Si consideri un sottoinsieme A ⊂ R.
i) Si dice che x0 ∈ R e un punto interno ad A (o, piu in breve,
che x0 e interno ad A) se
esiste ε > 0 tale che (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A (4.209)
(cioe: se esiste un intorno di x0 contenuto in A).
La parte interna di A e
A◦ := {x0 ∈ R | x0 e interno ad A } . (4.210)
(Spesso, questo insieme si indica anche con◦A .)
303
ii) Si dice che x0 ∈ R e un punto esterno ad A (o, piu in breve,
che x0 e esterno ad A) se
esiste ε > 0 tale che (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ Ac (4.211)
(cioe: se esiste un intorno di x0 contenuto nel complementare di
A).
La parte esterna di A e
Ae := {x0 ∈ R | x0 e esterno ad A } . (4.212)
(Questo insieme si puo anche indicare cone
A .)
304
iii) Si dice che x0 e un punto di frontiera per A (piu in breve: e
di frontiera per A) se
per ogni ε > 0, (x0 − ε, x0 + ε) ∩ A 6= ∅
e (x0 − ε, x0 + ε) ∩ Ac 6= ∅ (4.213)
(cioe: se ogni intorno di x0 contiene sia punti di A che punti di
Ac).
La frontiera di A e
∂A := {x0 ∈ R | x0 e di frontiera per A } . � (4.214)
305
4.92 Osservazioni. a) Per ogni x0 ∈ R, si verifica una ed una
sola delle alternative i) x0 e interno ad A; ii) x0 e esterno ad A;
iii) x0 e di frontiera per A.
Dunque
R = A◦ ∪ Ae ∪ ∂A (4.215)
e l’unione indicata sopra e disgiunta (cioe, due qualunque dei tre
sottoinsiemi nel secondo membro sono disgiunti).
b) Se x0 ∈ R,
x0 e interno ad A =⇒ x0 ∈ A (4.216)
(perche, per qualche ε > 0, e x0 ∈ (x0− ε, x0 + ε) ⊂ A). Dunque,
A◦ ⊂ A . (4.217)
In modo simile si verifica che
Ae ⊂ Ac . (4.218)
c) Usando le definizioni di punto interno, esterno e di frontiera si
verifica facilmente che, se si sostituisceA con il suo compementare,
le parti interna ed esterna si scambiano mentre la frontiera resta
invariata:
(Ac)◦ = Ae , (Ac)e = A◦ , ∂(Ac) = ∂A . (4.219)
306
4.93 Esempio. Sia A := (α, β) (con α, β ∈ R e α < β).
Accade quanto segue:
. Se x0 ∈ (α, β) = A, allora x0 e interno ad A. (53)
. Se x0 < α oppure x0 > β, allora x0 e esterno ad A. (54)
. Se x0 = α oppure x0 = β, allora x0 e di frontiera per A. (55)
Dunque, nel caso in esame e
A◦ = (α, β) = A ; (4.220)
Ae = (−∞, α) ∪ (β,+∞) ; (4.221)
∂A = {α, β} . (4.222)
53Infatti, in questo caso esiste ε > 0 tale che α < x0 − ε < x0 + ε < β (per trovarlo basta scegliere
un ε tale che 0 < ε < min(x0 − α, β − x0)). Dalle disuguaglianze α < x0 − ε < x0 + ε < β segue
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ (α, β) = A)54Consideriamo ad esempio il caso x0 < α. Allora esiste ε > 0 tale che x0 + ε < α (per trovarlo,
basta scegliere un qualunque ε tale che 0 < ε < α − x0). Dalla disuguaglianza x0 + ε < α segue
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ (−∞, α) ⊂ Ac.55Ad esempio, sia x0 = α. Per ogni ε > 0, l’intorno (α − ε, α + ε) contiene sia punti di A che punti
di Ac; piu precisamente l’intervallo (α, α + ε) ⊂ (α − ε, α + ε) contiene punti di A, mentre l’intervallo
(α− ε, α] ⊂ (α− ε, α+ ε) e interamente formato da punti di Ac.
307
4.94 Esempio. Siano α, β ∈ R con α < β, e
A := [α, β), oppure A = (α, β], oppure A = [α, β] (4.223)
(la figura corrisponde al primo dei tre casi). Per ciascuna delle
scelte sopraindicate per A, si verifica facilmente quanto segue:
. Se x0 ∈ (α, β), allora x0 e interno ad A.
. Se x0 < α oppure x0 > β, allora x0 e esterno ad A.
. Se x0 = α oppure x0 = β, allora x0 e di frontiera per A.
Dunque, in ciascuno dei casi in esame e
A◦ = (α, β) ; (4.224)
Ae = (−∞, α) ∪ (β,+∞) ; (4.225)
∂A = {α, β} . (4.226)
Confrontando con l’ esempio precedente relativo al caso A =
(α, β), concludiamo che A◦, Ae e ∂A sono come nelle (4.224)
(4.225) (4.226) quando A e uno qualunque degli intervalli limitati
di estremi α < β.
308
4.95 Esempio. Siano α ∈ R e
A := (α,+∞), oppure A = [α,+∞) . (4.227)
Si verifica facilmente quanto segue:
. Se x0 ∈ (α,+∞), allora x0 e interno ad A.
. Se x0 ∈ (−∞, α), allora x0 e esterno ad A.
. Se x0 = α, allora x0 e di frontiera per A.
Dunque
A◦ = (α,+∞) ; (4.228)
Ae = (−∞, α) ; (4.229)
∂A = {α} . (4.230)
309
4.96 Esempio. Siano β ∈ R e
A := (−∞, β), oppure A = (−∞, β] . (4.231)
Si verifica facilmente che
A◦ = (−∞, β) ; (4.232)
Ae = (β,+∞) ; (4.233)
∂A = {β} . (4.234)
310
4.97 Esempio. Ora consideriamo il caso A = R. E’ ovvio che,
per ogni x0 ∈ R, risulta (x0−ε, x0+ε) ⊂ R per qualunque ε > 0.
Dunque ogni x0 ∈ R e interno a R e, di conseguenza R non ha
punti esterni ne punti di frontiera. In conclusione
R◦ = R ; (4.235)
Re = ∅ ; (4.236)
∂R = ∅ . (4.237)
4.98 Esempio. Passiamo al caso A = ∅. Per ogni x0 ∈ R ed
ogni ε > 0, risulta ovviamente (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ R = ∅c.
Dunque ogni x0 ∈ R e esterno a ∅ e, di conseguenza ∅ non ha
punti interni ne punti di frontiera. In conclusione
∅◦ = ∅ ; (4.238)
∅e = R ; (4.239)
∂∅ = ∅ . (4.240)
311
4.99 Esempio. Sia A := {α}, con α ∈ R.
Accade quanto segue:
. α e un punto di frontiera per A; infatti ogni intorno (α−ε, α+ε)
contiene un punto di A (il punto α) e punti di Ac (sono tali tutti
gli altri punti dell’intorno).
. se x0 ∈ R e x0 6= α, allora esiste ε > 0 tale che (x0 − ε, x0 + ε)
non contiene α, cosicche (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ Ac. Dunqne, ogni
x0 6= α e un punto esterno ad A.
In conclusione,
A◦ = ∅ , (4.241)
Ae = R \ {α} = Ac ; (4.242)
∂A = {α} = A . (4.243)
312
4.100 Esempio. Le considerazioni dell’esempio precedente si
generalizzano facilmente ai casi
A = {α1, .., αn} (n ∈ {1, 2, 3, ...}, α1, ..., αn ∈ R) (4.244)
oppure A = N, oppure A = Z .
In ciascuno di questi casi si trova
A◦ = ∅ , (4.245)
Ae = Ac ; (4.246)
∂A = A . (4.247)
313
4.101 Esempio. Ora consideriamo il caso A = Q. Per ogni
x0 ∈ R ed ogni ε > 0, l’intorno (x0− ε, x0 + ε) contiene sia punti
di Q che punti di Qc = R \Q. (56)
Dunque ogni punto di R e di frontiera per Q e, di conseguenza,
non vi sono punti interni ne punti esterni a Q:
Q◦ = ∅ ; (4.248)
∂Q = R ; (4.249)
Qe = ∅ . (4.250)
Il caso A = R \ Q (l’insieme degli irrazionali) si tratta con
considerazioni del tutto simili, arrivando alla conclusione
(R \Q)◦ = ∅ ; (4.251)
∂(R \Q) = R ; (4.252)
(R \Q)e = ∅ . (4.253)
56Ricordiamo i risultati di densita di pag. 206: questi ci dicono che ogni intervallo reale (a, b) contiene
sia elementi razionali, che elementi irrazionali.
314
4.102 Esempio. Sia
A := {1/n | n ∈ N∗} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} . (4.254)
Ecco una analisi di questo caso.
. Consideriamo un punto 1/n ∈ A; ogni intorno (1/n−ε, 1/n+ε)
contiene sia un punto di A (lo stesso punto 1/n) che punti non
appartenenti ad A. Dunque, ogni punto di A e di frontiera per A.
. Consideriamo il punto 0 6∈ A. Ogni intorno di tale punto, della
forma (−ε, ε), contiene qualche punto 1/n ∈ A (57), e contiene
anche punti non appartenenti ad A. Dunque, 0 e un punto di
frontiera per A.
. Sia x0 ∈ Ac, x0 6= 0. Allora esiste ε > 0 tale che (x0−ε, x0+ε) ⊂
Ac, per cui x0 ∈ Ae.
Da queste considerazioni segue
A◦ = ∅ ; ∂A = A∪{0} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}∪{0} ; (4.255)
Ae = Ac \ {0} .57infatti esiste un n ∈ N∗ tale che 0 < 1/n < ε, il che implica 1/n ∈ (−ε, ε).
315
Sottoinsiemi aperti di R
4.103 Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ R si dice aperto se
ogni suo punto e interno all’insieme stesso.
4.104 Osservazione. Sia A ⊂ R. Ricordando che l’insieme
dei punti interni ad A e la parte interna A◦, otteniamo facilmente
che (58)
A e aperto ⇐⇒ A = A◦ . (4.256)
58In effetti, la definizione (4.103) ci dice che
A e aperto ⇐⇒ A ⊂ A◦ ;
d’altra parte, in ogni caso e A◦ ⊂ A (cfr. pag. 306), per cui
A ⊂ A◦ ⇐⇒ A ⊂ A◦ e A◦ ⊂ A ⇐⇒ A = A◦ .
316
4.105 Esempi. Riprendiamo gli esempi delle pagg. 307-315,
per ciascuno dei quali abbiamo determinato la parte interna di
qualche sottoinsieme A di R.
Nei casi
A = (α, β) (α, β ∈ R, α < β) ,
A = (−∞, α) , A = (β,+∞) (α, β ∈ R) , (4.257)
A = R , A = ∅
risulta A = A◦; dunque, ciascuno degli insiemi nelle (4.257) e un
aperto.
Gli altri esempi delle pagine citate si riferiscono a dei sottoinsiemi
A di R per i quali A◦ 6= A; questi non sono aperti.
Notiamo che nella (4.257) figurano degli intervalli di tutti e soli
i tipi che, a suo tempo, avevamo detto aperti; dunque, la deno-
minazione di “intervallo aperto” introdotta a suo tempo per tali
oggetti e in accordo con la nozione generale di sottoinsieme aperto
di R.
317
4.106 Proposizione. (Ai)i∈I sia una famiglia di aperti di R
(indiciata da un insieme I arbitrario, eventualmente infinito).
Allora l’unione ∪i∈IAi e un aperto.
Dimostrazione∗ . Poniamo per brevita A := ∪i∈IAi; qui di
seguito mostreremo che ogni punto di A e interno ad A.
In effetti, sia x0 ∈ A. Allora x0 ∈ Aj per qualche j ∈ I ; es-
sendo Aj un aperto x0 e un suo punto interno, cioe esiste ε > 0
tale che (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ Aj. D’altra parte Aj ⊂ A, quindi
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A. �
4.107 Proposizione. (Ai)i∈I sia una famiglia di aperti di R,
indiciata da un insieme I finito.
Allora l’intersezione ∩i∈IAi e un aperto.
Dimostrazione∗ . Sia n il numero di elementi di I ; allora c’e
una corrispondenza biunivoca tra {1, 2, ..., n} e I , che useremo
per una identificazione I ' {1, 2, ..., n}.
Fatto questo, la nostra famiglia assume la forma (Ai)i=1,...,n. Ora
consideriamo l’intersezione A := ∩ni=1Ai e mostriamo che questo
insieme e aperto, facendo vedere che ogni suo punto e interno.
318
In effetti, sia x0 ∈ A. Per ogni i ∈ {1, ..., n} x0 e un punto
dell’aperto Ai, e dunque un punto interno ad Ai: in pratica, esiste
εi > 0 tale che (x0 − εi, x0 + εi) ⊂ Ai. Ora sia
ε := Min (ε1, ..., εn) > 0 .
Allora, per ogni i ∈ {1, ..., n} risulta
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ (x0 − εi, x0 + εi) ⊂ Ai ,
da cui
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A ;
la prova e conclusa. �
4.108 Osservazioni. i) Il contenuto delle due proposizioni pre-
cedenti si puo descrivere cosı in poche parole: una unione arbi-
traria, anche infinita di aperti e un aperto, e una intersezione
finita di aperti e un aperto.
319
ii) Una intersezione infinita di aperti puo non essere aperta, come
illustrato dall’esempio che segue.
Consideriamo l’insieme infinito N∗ = {1, 2, 3, ...}, e per ogni i ∈
N∗ introduciamo l’intervallo aperto
Ai := (− 1
i,
1
i) .
Ora consideriamo l’intersezione ∩i∈N∗Ai = (−1, 1)∩(−1/2, 1/2)∩
(−1/3, 1/3)...; si vede che
∩i∈NAi = {0} .
(come notato fin dal Capitolo “Insiemi, applicazioni, relazioni...”;
per una verifica rigorosa si puo usare il Corollario 4.13 di pag.
199). D’altra parte, un insieme formato da un solo punto non e
un aperto (perche la sua parte interna e vuota, cfr. pag. 312, e
dunque differisce dall’insieme stesso). �
320
Per concludere, segnaliamo il risultato seguente:
4.109 Proposizione. Sia A ⊂ R. Allora A e un aperto se e
solo se e una unione finita o numerabile di intervalli aperti.
Piu esplicitamente: A e un aperto se e solo se esiste una famiglia
di intervalli aperti ( (αi, βi))i∈I (con I finito, o numerabile) (59)
tale che A = ∪i∈I(αi, βi).
Dimostrazione. Il lettore interessato la puo trovare ad esempio
nel libro di G. De Marco, Analisi I, Ed. Zanichelli. �
59E’ appena il caso di ricordare che l’insieme I e numerabile se si puo porre in corrispondenza
biuniovoca con N.
321
La parte interna di ogni sottoinsieme di R e un aperto
(cosı come la parte esterna)
4.110 Proposizione. Sia A un sottoinsieme di R. Allora:
i) A◦ e un sottoinsieme aperto di R.
ii) Inoltre, A◦ e il piu grande sottoinsieme aperto di R contenuto
in A (Con cio si intende che: A◦ e un aperto di R contenuto in A;
se B e un qualunque aperto di R contenuto in A, allora B ⊂ A◦).
Dimostrazione∗ i) Dobbiamo dimostrare che ogni x0 ∈ A◦ e
interno a A◦. In effetti, sia x0 ∈ A◦; allora esiste ε > 0 tale che
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A . (4.258)
Qui di seguito mostreremo che la (4.258) implica
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A◦ , (4.259)
il che provera che x0 e interno a A◦. Per verificare la (4.259),
consideriamo un qualunque x1 ∈ (x0 − ε, x0 + ε); allora esiste
ε1 > 0 tale che (x1− ε1, x1 + ε1) ⊂ (x0− ε, x0 + ε) e da qui segue,
per la (4.258), (x1 − ε1, x1 + ε1) ⊂ A. Cio signfica che x1 ∈ A◦;
poiche cio vale per ogni x1 ∈ (x0− ε, x0 + ε), la (4.259) e provata.
322
ii) Abbiamo appena provato che A◦ e un aperto, e avevamo gia no-
tato che A◦ ⊂ A (cfr. pag. 306). Ora consideriamo un qualunque
aperto B tale che B ⊂ A, e mostriamo che allora B ⊂ A◦.
In effetti, sia x0 ∈ B; dato che B e aperto, esiste ε > 0 tale
che (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ B, ed essendo B ⊂ A deduciamo che
(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A. Dunque ogni x0 ∈ B e interno ad A cioe
B ⊂ A◦, c.v.d. �
4.111 Esempio. Siano α, β ∈ R, con α < β, e consideriamo
l’insieme
A := [α, β] . (4.260)
Come gia sappiamo, e
A◦ = (α, β) ; (4.261)
(e il fatto che A◦ 6= A ci dice che A non e aperto). In accordo con
la Proposizione precedente, (α, β) e il piu grande aperto contenuto
in A.
323
4.112 Esercizio. i) Verificare che, per ogni sottoinsieme A di
R, la parte esterna Ae e un aperto.
ii∗) Verificare anche che Ae e il piu grande aperto di R contenuto
in Ac.
Soluzione∗ . Da pag. 306, sappiamo che Ae e la parte interna
di Ac. Cio premesso, le affermazioni i)ii) di cui sopra si ottengono
applicando la proposizione precedente sulla parte interna, con A
sostituito da Ac.
324
Sottoinsiemi chiusi di R
4.113 Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ R si dice chiuso se
contiene la sua frontiera: ∂A ⊂ A.
4.114 Esempi. Riprendiamo gli esempi delle pagg. 307-315,
per ciascuno dei quali abbiamo determinato la frontiera di qualche
sottoinsieme A di R.
Nei casi
A = [α, β] (α, β ∈ R, α < β) ,
A = (−∞, α] , A = [β,+∞) (α, β ∈ R) , (4.262)
A = {α1, ..., αn} (n ∈ {1, 2, 3, ..}, α1, ..., αn ∈ R) ,
A = N , A = Z ,
A = R , A = ∅ ,
risulta ∂A ⊂ A. (Ad esempio, se A = [α, β] e ∂A = {α, β} ⊂
A.) Dunque, ciascuno degli insiemi nelle (4.262) e un chiuso.
Gli altri esempi delle pagine citate si riferiscono a dei sottoinsiemi
A di R per i quali non e ∂A ⊂ A; questi non sono chiusi.
Notiamo che nella (4.257) figurano degli intervalli di tutti e soli
i tipi che, a suo tempo, avevamo detto chiusi; dunque, la deno-
minazione di “intervallo chiuso” introdotta a suo tempo per tali
oggetti e in accordo con la nozione generale di sottoinsieme chiuso
di R. �
325
Ora mostriamo che tra chiusi e aperti di R c’e una relazione
fondamentale, descritta qui di seguito:
4.115 Proposizione. Sia A ⊂ R, e si consideri il complemen-
tare Ac := R \ A. Allora
A chiuso ⇐⇒ Ac aperto . (4.263)
Dimostrazione∗. Da pag. 306, ricordiamo che
R = A◦ ∪ ∂A ∪ Ae (unione disgiunta) . (4.264)
Cio premesso, procediamo in due passi.
Passo 1: A chiuso =⇒ Ac aperto. Supponiamo A chiuso. Allora
∂A ⊂ A, e da qui segue Ac ⊂ Ae (infatti un punto di Ac non e
mai in A◦ ⊂ A, e nel caso in esame non e nemmeno in ∂A ⊂ A).
D’altra parte, abbiamo anche Ae ⊂ Ac; dunque Ae = Ac, ed
essendo la parte esterna un aperto (pag. 324) concludiamo che Ac
e un aperto.
Passo 2: Ac aperto =⇒ A chiuso. Supponiamo Ac aperto; allora
Ac = (Ac)◦ = Ae (dove l’ultima uguaglianza segue dalla (4.219)).
Da Ae = Ac e dalla (4.264) segue ∂A ⊂ A, cosicche A e chiuso.
�
326
4.116 Esercizio. Sia A ⊂ R. Utilizzando la Proposizione
precedente, verificare che
A aperto ⇐⇒ Ac chiuso . (4.265)
Soluzione∗ Applichiamo l’equivalenza (4.263) della Prop. prece-
dente ad Ac; cosı otteniamo che Ac chiuso⇐⇒ (Ac)c = A aperto,
da cui la (4.265). �
327
4.117 Proposizione. (Ai)i∈I sia una famiglia di chiusi di R
(indiciata da un insieme I arbitrario, eventualmente infinito).
Allora l’intersezione ∩i∈IAi e un chiuso.
4.118 Proposizione. (Ai)i∈I sia una famiglia di chiusi di R,
indiciata da un insieme I finito.
Allora l’unione ∪i∈IAi e un chiuso.
Dimostrazione delle due Proposizioni∗ . La prova si puo
ottenere utilizzando le Proposizioni 4.106 e 4.107 di pag. 318 sulle
unioni e intersezioni di aperti, tenendo presente i fatti seguenti: la
corrispondenza A 7→ Ac trasforma i chiusi in aperti, gli aperti in
chiusi, l’unione di insiemi nell’intersezione e l’intersezione nell’u-
nione (per le ultime due affermazioni si veda il Capitolo “Insiemi,
applicazioni ...”). �
Osservazioni. i) Il contenuto delle due proposizioni precedenti si
puo descrivere cosı in poche parole: una intersezione arbitraria,
anche infinita di chiusi e un chiuso, e una unione finita di chiusi
e un chiuso.
328
ii) Una unione infinita di chiusi puo non essere chiusa, come
illustrato dall’esempio che segue.
Consideriamo l’insieme infinito N∗ = {1, 2, 3, 4, ...}, e per ogni
i ∈ N∗ introduciamo l’intervallo chiuso
Ai := [1
i, 1] .
Ora consideriamo l’unione ∪i∈N∗Ai = [1, 1] ∪ [1/2, 1] ∪ [1/3, 1] ∪
[1/4, 1].... Si vede che
∪i∈NAi = (0, 1] ;
questo non e un chiuso (infatti ∂(0, 1] = {0, 1} e 0 6∈ (0, 1]).
329
4.119 Osservazione. Alle pagg. 317 e 325 abbiamo stabilito
che gli insiemi R e ∅ (uno il complementare dell’altro) sono sia
chiusi che aperti.
Si puo dimostrare che questi sono gli unici sottoinsiemi di R
simultaneamente chiusi e aperti. �
330
Chiusura di un sottoinsieme di R. Nozione di punto
aderente
4.120 Definizione Si consideri un sottoinsieme A ⊂ R. La
chiusura di A e
A := A ∪ ∂A (4.266)
(si noti che A ⊃ A). �
4.121 Esempi. i) Siano α, β ∈ R, con α < β. Supponiamo
A = (α, β), oppure A = [α, β), (4.267)
oppure A = (α, β], oppure A = [α, β] .
In ciascuno di questi casi, sappiamo che ∂A = {α, β} (pagg. 307
e 308); pertanto
A = A ∪ {α, β} = [α, β] . (4.268)
ii) Siano α ∈ R, e
A = (α,+∞) oppure A = [α,+∞) . (4.269)
Da pag. 309, sappiamo che ∂A = {α}; dunque
A = A ∪ {α} = [α,+∞) . (4.270)
331
iii) Siano β ∈ R, e
A = (−∞, β), oppure A = (−∞, β] . (4.271)
Da pag. 310, sappiamo che ∂A = {β}; dunque
A = A ∪ {β} = (−∞, β] . (4.272)
iv) Consideriamo il caso A = R; da pag. 311 sappiamo che ∂R =
∅. Risulta
R = R ∪ ∅ = R . (4.273)
v) Passiamo al caso A = ∅. Da pag. 311 sappiamo che ∂∅ = ∅,
per cui
∅ = ∅ ∪ ∅ = ∅ . (4.274)
vi) Supponiamo
A = {α1, .., αn} (n ∈ {1, 2, 3, ...}, α1, ..., αn ∈ R) (4.275)
oppure A = N, oppure A = Z .
Da pag. 313 sappiamo che in ciascuno di questi casi e ∂A = A;
di conseguenza
A = A ∪ A = A . (4.276)
332
vii) Consideriamo il caso A = Q. A pagina 314 abbiamo visto che
∂Q = R; dunque
Q = Q ∪ R = R . (4.277)
Il caso A = R\Q si tratta in modo simile. A pagina 314 abbiamo
visto che ∂(R \Q) = R; dunque
R \Q = (R \Q) ∪ R = R . (4.278)
viii) Supponiamo
A = {1/n | n ∈ N∗} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} (4.279)
(cfr. pag. 315, dalla quale e ripresa la figura).
Sappiamo che in questo caso e ∂A = A ∪ {0}; dunque
A = A ∪ (A ∪ {0}) = A ∪ {0} . (4.280)
333
4.122 Osservazione. Abbiamo gia notato che, per ogni sot-
toinsieme A di R, e A ⊃ A.
In molti degli esempi appena dati, e evidente che A e un chiuso
(si pensi ad esempio ai casi A = (α, β), oppure A = [α, β) ecc.
di pag. 331, in cui A = [α, β]). In qualcun altro degli esempi
precedenti, non e immediatamente evidente che A sia un chiuso
(si pensi all’esempio (viii) di pag. 333).
Tuttavia, si puo dimostrare che A e sempre un chiuso; questo ed
altri fatti relativi alla chiusura sono l’oggetto della proposizione
che segue.
4.123 Proposizione. Per ogni sottoinsieme A ⊂ R, valgono
i)ii)iii).
i) A e un sottoinsieme chiuso di R.
ii) A e il piu piccolo chiuso contenente A (Con cio si intende
quanto segue: A e un chiuso contenente A; se B ⊂ R e un chiuso
contente A, allora B ⊃ A).
iii) A e chiuso se e solo se A = A.
334
Dimostrazione∗. Abbiamo gia segnalato a pag. 306 che
R = A ∪ ∂A ∪ Ae
(unione disgiunta); essendo per definizione A∪∂A = A , possiamo
dire che
R = A ∪ Ae
(unione disgiunta). Da qui deduciamo che il complementare (A )c =
R \ A coincide con la parte esterna di A, e viceversa:
(A )c = Ae , (Ae)c = A . (4.281)
Ora siamo pronti per provare i)ii)iii); lo faremo qui di seguito,
utilizzando il risultato (4.281).
335
i) Dalla (4.281), e dal fatto che la parte esterna e un aperto (pag.
324), segue che (A )c e un aperto. D’altra parte un sottoinsieme
con complementare aperto e un chiuso (pag. 326), quindi A e un
chiuso.
ii) Abbiamo appena provato che A e un chiuso: questo insieme
contiene A, come risulta evidente dalla definizione A := A∪ ∂A.
Ora consideriamo un chiuso B di R tale che B ⊃ A, e mostriamo
che allora B ⊃ A .
In effetti, con le ipotesi fatte su B l’insieme Bc e un aperto, e
Bc ⊂ Ac; d’altra parte il piu grande aperto contenuto in Ac e Ae
(pag. 324), quindi Bc ⊂ Ae. Da qui segue B ⊃ (Ae)c ovvero, per
la (4.281), B ⊃ A .
iii) Supponiamo A chiuso; allora, ovviamente, A e il piu piccolo
chiuso contente A cioe, per il risultato (ii), A = A .
Viceversa, supponiamo A = A ; allora A e chiuso (perche tale e
A , come provato in (i)). �
336
Proseguiamo nel nostro discorso introducendo il concetto di punto
aderente, che subito dopo collegheremo alla chiusura.
4.124 Definizione. Si consideri un sottoinsieme A ⊂ R, e sia
x0 ∈ R. Si dice che x0 e un punto aderente per A (o, piu in
breve, e aderente per A) se ogni suo intorno contiene punti di A:
per ogni ε > 0, (x0 − ε, x0 + ε) contiene punti di A . (4.282)
4.125 Osservazione. Se x0 ∈ A, allora x0 e un punto aderente
di A: infatti ogni intorno (x0−ε, x0+ε) contiene almeno un punto
di A, che e lo stesso x0.
337
4.126 Proposizione. Per ogni sottoinsieme A di R, la chiu-
sura A e l’insieme dei punti aderenti di A.
Dimostrazione. Passo 1. Se x0 ∈ A , allora x0 e un punto
aderente per A. In effetti, supponiamo x0 ∈ A ; allora x0 ∈ A,
oppure x0 ∈ ∂A . Se x0 ∈ A, allora x0 e aderente per A (Oss.
4.125). Se x0 ∈ ∂A , ogni intorno (x0 − ε, x0 + ε) contiene punti
di A (e anche punti di Ac, cosa che qui non ci interessa); anche in
questo caso, concludiamo che x0 e aderente per A.
Passo 2. Se x0 e un punto aderente per A, allora x0 ∈ A . In
effetti, x0 sia aderente perA. Se x0 ∈ A, allora x0 ∈ A∪∂A = A .
Se invece x0 6∈ A, allora ogni intorno di x0 contiene punti di
A (perche x0 e aderente) e punti di Ac (lo stesso x0), quindi
x0 ∈ ∂A ⊂ A . In ogni caso, x0 ∈ A . �
338
4.127 Esercizio. Sia
A := {1/n | n ∈ N∗} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} . (4.283)
(cfr. pag. 315 dalla quale, per la seconda volta, riportiamo la
figura). Determinare i punti aderenti per A; da qui, usando la
Prop. 4.126, ritrovare il risultato gia noto su A .
Soluzione.
. Consideriamo un punto 1/n ∈ A; questo e aderente per A,
secondo l’Osservazione 4.125.
. Consideriamo il punto 0 ∈ Ac. Ogni intorno di tale punto, della
forma (−ε, ε), contiene qualche punto 1/n ∈ A (60); dunque 0 e
aderente per A.
. Sia x0 ∈ Ac, x0 6= 0. Allora esiste ε > 0 tale che (x0− ε, x0 + ε)
non contiene punti di A, dunque x0 non e aderente per A.
Da queste considerazioni segue
{ punti aderenti per A } = A∪{0} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}∪{0} .
(4.284)60come gia detto a pag. 315: esiste un n ∈ N∗ tale che 0 < 1/n < ε, il che implica 1/n ∈ (−ε, ε).
339
Secondo la Proposizione 4.126, l’insieme dei punti aderenti per A
coincide con A (in effetti, a pag. 315 avevamo trovato proprio
A = A ∪ {0}). �
340
Un complemento: estremo superiore, estremo infe-
riore e chiusura.
4.128 Esercizio. A ⊂ R sia non vuoto, superiormente limita-
to; si ponga S := SupA.
Verificare che S e un punto aderente per A (cosicche S ∈ A ).
Soluzione. Si consideri un qualunque intorno (S − ε, S + ε);
esso contiene punti di A perche, in accordo con la Prop. 4.72 di
pag. 275, esiste a ∈ A tale che S − ε < a 6 S. �
4.129 Esercizio. A ⊂ R sia non vuoto, superiormente limitato
e chiuso. Verificare che A possiede massimo.
Soluzione. Sia S := SupA; per l’Esercizio precedente risulta
S ∈ A . D’altra parte A = A perche A e chiuso, quindi S ∈ A.
Da qui segue che S e il massimo di A (cfr. pag. 274; in due parole,
S = MaxA perche S ∈ A ed S e un maggiorante di A). �
341
In modo del tutto simile si possono svolgere i due esercizi seguenti,
lasciati ai lettori interessati.
4.130 Esercizio. A ⊂ R sia non vuoto, inferiormente limitato;
si ponga s := InfA.
Verificare che s e un punto aderente per A.
4.131 Esercizio. A ⊂ R sia non vuoto, inferiormente limitato
e chiuso. Verificare che A possiede minimo.
342
Sottoinsiemi densi
4.132 Definizione. Un sottoinsieme A di R si dice denso se
A = R. �
4.133 Esempio. A suo tempo abbiamo visto che
Q = R , R \Q = R . (4.285)
(pagg. 314 e 333). Dunque l’insieme dei razionali e l’insieme degli
irrazionali sono densi, nel senso della definizione 4.132.
Le considerazioni di pag. 314 da cui dipendono le (4.285) fanno
riferimento alla Prop. 4.21 di pag. 206, secondo la quale ogni
intervallo aperto di R contiene punti razionali, e anche punti irra-
zionali. Fin dalla pagina citata, queste affermazioni di esistenza
di punti razionali e irrazionali in ogni intervallo aperto erano state
descritte come “risultati di densita”. Ora l’espressione si com-
prende meglio: i risultati in questione si possono chiamare cosı ,
perche servono a dimostrare che i razionali e gli irrazionali sono
densi nel senso generale specificato dalla Def. 4.132.
343
4.134 Esempio. Sia
A := R \ Z .
Notiamo che:
. ogni x0 ∈ A appartiene a A ;
. ogni x0 ∈ Z appartiene anch’esso a A (e evidente che ogni
intorno di x0 contiene punti di A).
Dunque
A = R ;
anche in questo caso abbiamo un A denso. �
344
Ora presentiamo una definizione che generalizza la precedente
4.135 Definizione. Siano A,B ⊂ R. Diciamo che A e denso
in B se A ⊃ B.
4.136 Esempi. i) “A e denso in R” significa A ⊃ R, ovvero
A = R; questa situazione rientra nella Definizione 4.132. Le
considerazioni dei precedenti Esempi 4.133 ci dicono che Q, R\Q
e R \ Z sono densi in R.
ii) Siano
A := (α, β) , B := [α, β) ,
con α, β ∈ R e α < β. Allora A = [α, β] ⊃ B, cioe A e denso in
B. �
4.137 Osservazione. In generale, dati due sottoinsiemi A,B
di R, si hanno queste equivalenze:
A e denso in B ⇔ B ⊂ A = {punti aderenti per A}
⇔ ogni x0 ∈ B e un punto aderente per A ⇔ per ogni x0 ∈ B
ed ogni ε > 0, l’intorno (x0 − ε, x0 + ε) contiene punti di A.
345
Sottoinsiemi limitati di R
4.138 Definizione. Un sottoinsieme A di R si dice limitato
se e limitato sia inferiormente che superiormente. �
4.139 Esercizio. Dato A ⊂ R, verificare l’equivalenza di
queste affermazioni:
i) A e limitato;
ii) InfA > −∞ e SupA < +∞;
iii) Esistono `, L ∈ R tali che ` 6 a 6 L per ogni a ∈ A;
iv) Esiste M ∈ R+ tale che −M 6 a 6 M (ovvero, |a| 6M)
per ogni a ∈ A.
Soluzione∗ . (i) ⇐⇒ (ii). Questa equivalenza e evidente: in-
fatti, le condizioni scritte in (ii) indicano che A e limitato sia
inferiormente che superiormente.
(i) ⇐⇒ (iii). Anche questa equivalenza e immediata: infatti, le
condizioni in (iii) indicano che A possiede un minorante ` ed un
maggiorante L, cioe e limitato sia inferiormente che superiormen-
te.
346
(iii) =⇒ (iv). Supponiamo che valga la (iii) e siano `, L i numeri
reali ivi menzionati. Scegliamo `′ ∈ R− ed L′ ∈ R+ tali che `′ 6 `
e L 6 L′. Allora `′ 6 a 6 L′ per ogni a ∈ A; se ora poniamo
M := max(−`′, L′) risulta M ∈ R+ e −M 6 `′ 6 a 6 L′ 6 M
per ogni a ∈ A (61); dunque, la (iv) e soddisfatta.
(iv) =⇒ (iii). In effetti, se vale la (iv) la (iii) e soddisfatta con
` = −M e L = M . �
4.140 Esercizio. i) Sia data una famiglia (Ai)i∈I di sottoinsie-
mi limitati di R (indiciata da un insieme I arbitario, che puo anche
essere infinito). Verificare che ∩i∈IAi e anch’esso un sottoinsieme
limitato di R.
ii) Sia data una famiglia (Ai)i∈I di sottoinsiemi limitati di R,
indiciata da un insieme I finito (62). Verificare che ∪i∈IAi e
anch’esso un sottoinsieme limitato di R.
61La disuguaglianza −M 6 `′ si giustifica cosı : per costruzione M > −`′ da cui −M 6 `′.62Ricordiamo che, nella considerazione di familgie indiciate da un insieme finito I, ci si puo sempre
ridurre al caso I = {1, 2, ..., n}.
347
4.141 Esempi. i) A suo tempo, abbiamo chiamato “intervallo
limitato” ogni intervallo del tipo (α, β), o (α, β], o [α, β), o [α, β]
dove α, β ∈ R e α < β nei primi tre casi, α 6 β nel quarto.
Ogni intervallo come sopra e limitato nel senso della Definizione
4.138 (avendo come minorante α e come maggiorante β).
ii) Da (i) e dall’Esercizio 4.140 si ottiene quanto segue: una in-
tersezione arbitraria e una unione finita di intervalli limitati sono
sottoinsiemi di R limitati.
iii) Sia A := {1/n | n ∈ N∗} = {1, 1/2, 1/3, ...}. Risulta
0 < 1/n 6 1 per ogni n ∈ N∗, quindi A e limitato.
iv) L’insieme vuoto e limitato. �
348
Sottoinsiemi compatti di R.
4.142 Definizione. Un sottoinsieme K di R si dira compatto
se esso e chiuso e limitato. �
4.143 Esempi. i) Se α, β ∈ R e α 6 β l’intervallo [α, β] e
chiuso e limitato, e quindi compatto.
ii) L’insieme vuoto e chiuso e limitato, quindi compatto. �
4.144 Esercizio. i) Sia data una famiglia (Ki)i∈I di sottoin-
siemi compatti di R (indiciata da un insieme I arbitario, che
puo anche essere infinito). Verificare che ∩i∈IKi e anch’esso un
compatto.
ii) Sia data una famiglia (Ki)i∈I di sottoinsiemi compatti di R,
indiciata da un insieme I finito. Verificare che ∪i∈IKi e anch’esso
un compatto.
Soluzione. Basta ricordare che le intersezioni arbitrarie e le
unioni finite di sottoinsiemi di R chiusi o limitati sono, rispettiva-
mente, sottoinsiemi chiusi o limitati (pagg. 328 e 347). �
349
Dall’esempio e dall’esercizio precedenti otteniamo che ogni unione
finita di intervalli chiusi e limitati, cioe ogni insieme del tipo⋃i∈I
[αi, βi] (4.286)
(I finito, αi, βi ∈ R e αi 6 βi per ogni i ∈ I)
e un insieme compatto. Con una analisi piuttosto complicata, che
qui viene omessa, si puo provare anche l’affermazione inversa:
4.145 Proposizione. Ogni compatto di R e una unione finita
di intervalli chiusi e limitati. (63)
4.146 Osservazioni. i) La nozione di compattezza e molto im-
portante per vari motivi. Tra questi segnaliamo le applicazioni che
questa nozione trova nella teoria delle funzioni da un sottoinsieme
R a R (piu precisamente, nella teoria delle funzioni continue da
un sottoinsieme di R a R, di cui ci occuperermo in seguito).
63Questo vale anche per l’insieme vuoto, che si puo vedere come l’unione di una famiglia vuota di
intervalli chiusi e limitati.
350
ii) A pag. 301 abbiamo introdotto l’espressione topologia per
indicare il settore della matematica che studia i concetti di aperto,
chiuso e molti altri ad essi collegati, in R o in ambienti molto piu
generali. In topologia si pone grande attenzione ai compatti, che
vengono definiti in modo piu astratto rispetto all’approccio usato
qui. Nel caso di R, queste definizioni sono equivalenti alla nostra
definizione di compatto come chiuso e limitato. (64) �
64Solo per chi e interessato, presentiamo una di queste definizioni alternative. Consideriamo un
sottoinsieme K di R. Chiamiamo copertura aperta di K una famiglia (Ai)i∈I di aperti di R, indiciata
da un insieme I finito o infinito, che “copre K” nel senso che ∪i∈IAi ⊃ K. Cio premesso, definiamo K
compatto se ogni copertura aperta (Ai)i∈I di K contiene una sottocopertura finita: con cio si intende
che esiste un sottoinsieme F ⊂ I finito, tale che ∪i∈FAi ⊃ K.
Si puo dimostrare che un sottoinsieme K di R e compatto in questo senso se e solo se e chiuso e limitato;
dunque, la definizione di compatto appena presentata e equivalente alla nostra Definizione 4.142.
Questa equivalenza sussiste anche negli spazi R2,R3, ... (di dimensioni 2, 3, ...), se si definiscono con-
venientemente i sottoinsiemi aperti, chiusi e limitati (qualche cenno sull’argomento sara dato in
seguito).
Tuttavia, esistono spazi “infinito-dimensionali” in cui, dopo avere definito i sottoinsiemi aperti, chiusi
e limitati si trova che esistono sottoinsiemi chiusi e limitati, ma non soddisfacenti la definizione di
compatto in termini di coperture aperte e sottocoperture finite.
Tutte queste informazioni vengono date solo per completezza. Nel seguito, operando con R ci atterremo
sempre alla definizione 4.142 dei compatti come chiusi e limitati. (Lo stesso faremo nelle rare occasioni
in cui ci capitera di toccare questi argomenti nell’ambiente di R2,R3, ...) .
351
Punti di accumulazione. Insieme derivato.
Le nozioni descritte in questo paragrafo troveranno importanti ap-
plicazioni nella teoria dei limiti per le funzioni da un sottoinsieme
di R a R; anzi, queste applicazioni sono la motivazione principale
del presente paragrafo.
Da qui in avanti, si considera un sottoinsieme A ⊂ R.
4.147 Definizione. i) x0 ∈ R si dice un punto di accumula-
zione di (o per) A se, per ogni ε > 0, l’intorno (x0 − ε, x0 + ε)
contiene punti di A diversi da x0.
ii) L’insieme dei punti di accumulazione di A si chiama l’insieme
derivato di A (piu brevemente, il derivato di A); esso si indica
con A′. �
352
4.148 Osservazioni. i) Si noti la differenza tra la nozione di
punto di accumulazione e quella di punto aderente: x0 ∈ R e un
punto aderente per A se ogni intorno di x0 contiene almeno un
punto di A, che puo essere lo stesso x0. Naturalmente
x0 e di accumulazione per A =⇒ x0 e aderente per A ;
dunque
A′ ⊂ A (4.287)
dove indica come al solito la chiusura (insieme dei punti ade-
renti).
ii) Sia x0 ∈ R. Allora
x0 e di accumulazione per A
⇐⇒ ogni intorno di x0 contiene punti di A \ {x0}
⇐⇒ x0 e un punto aderente per A \ {x0}
Dunque
x0 ∈ A′ ⇐⇒ x0 ∈ A \ {x0} . (4.288)
353
4.149 Esempi. i) Si consideri un insieme formato da un solo
punto:
A = {α}
(con α in R).
Se x0 6= α, esiste un intorno di x0 che non contiene punti di A:
dunque x0 6∈ A′.
Ora consideriamo il caso x0 = α. Per qualunque ε > 0, l’intorno
(α − ε, α + ε) contiene un unico punto di A, che e lo stesso α;
dunque, α 6∈ A′.
In conclusione, nel caso in esame
A′ = ∅ .
Similmente si trova A′ = ∅ nei casi A = {α1, ..., αn} (un insieme
finito di punti), o A = N, o A = Z.
Notiamo che in tutti i casi sopraindicati avevamo trovato A = A.
354
ii) Siano α, β ∈ R con α < β; consideriamo l’intervallo
A := (α, β) .
Risulta quanto segue.
. Se x0 < α o x0 > β, esiste un intorno di x0 che non contiene
punti di A; dunque x0 6∈ A′.
. Se α 6 x0 6 β, ogni intorno di x0 contiene punti di A diversi
da x0. Dunque
A′ = [α, β] .
Si noti che, in questo caso, avevamo trovato anche A = [α, β].
355
iii) Siano α, β, γ ∈ R con α < β < γ; consideriamo l’insieme
A := (α, β) ∪ {γ} ,
formato dall’intervallo (α, β) e dal punto γ.
Accade quanto segue:
. se x0 < α o x0 > β e x0 6= γ, esiste un intorno di x0 che non
contiene punti di A; dunque x0 6∈ A′.
. Se α 6 x0 6 β, ogni intorno di x0 contiene punti di A diversi
da x0; dunque x0 ∈ A′.
. Passiamo al caso x0 = γ. Per ogni ε > 0 abbastanza piccolo
(65), l’intorno (γ − ε, γ + ε) contiene un unico punto di A, che e
lo stesso γ; dunque γ 6∈ A′.
In conclusione, nel caso in esame
A′ = [α, β] .
Si noti che in questo caso avevamo trovato A = [α, β]∪{γ} = A.
65piu precisamente, tale che 0 < ε < γ − β
356
iv) Consideriamo il caso A = Q. Se x0 ∈ R, ogni intorno
(x0 − ε, x0 + ε) contiene punti di Q diversi da x0 (infatti l’in-
tervallo (x0 − ε, x0) e l’intervallo (x0, x0 + ε) contengono punti
razionali, sicuramente distinti da x0).
Dunque ogni x0 ∈ R e di accumulazione per Q, ovvero
Q′ = R .
L’insieme degli irrazionali si tratta con argomenti del tutto ana-
loghi, arrivando alla conclusione
(R \Q)′ = R .
�
357
Nel seguito del corso saranno utili per vari motivi (legati, soprat-
tutto, alla teoria dei limiti) anche i concetti definiti qui sotto.
Come al solito, qui di seguito A e un sottoinsieme di R.
4.150 Definizione. i) Sia x0 ∈ R. x0 sara detto un punto
di accumulazione a destra di (o per) A se, per ogni ε > 0,
l’intervallo (x0, x0 + ε) contiene punti di A (il che equivale a dire
che l’intorno destro [x0, x0 + ε) contiene punti di A diversi da x0).
L’insieme dei punti di accumulazione a destra di (o per) A sara
detto il derivato destro di A, e indicato con A′+.
358
ii) Sia x0 ∈ R. x0 sara detto un punto di accumulazione a
sinistra di (o per) A se, per ogni ε > 0, l’intervallo (x0 − ε, x0)
contiene punti di A (il che equivale a dire che l’intorno sinistro
(x0 − ε, x0] contiene punti di A diversi da x0).
L’insieme dei punti di accumulazione a sinistra di A sara detto il
derivato sinistro di A, e indicato con A′−. �
359
4.151 Esempi. Sia
A := (α, β) ∪ {γ}
dove α, β, γ ∈ R e α < β < γ. Si vede facilmente che x0 ∈ R e
un punto di accumulazione a destra per A se e solo se x0 ∈ [α, β).
Dunque A′+ = [α, β).
Altrettanto facilmente si verifica che x0 ∈ R e un punto di ac-
cumulazione a sinistra per A se e solo se x0 ∈ (α, β]. Dunque
A′− = (α, β].
Notiamo che A′+ ∩ A′− = (α, β): gli elementi di questo insieme
sono punti di accumulazione sia a destra che a sinistra.
ii) E’ facile verificare che Q′+ = Q′− = R e (R\Q)′+ = (R\Q)′− =
R. �
360
4.152 Esercizio. Si consideri un qualunque sottoinsieme A di
R. Verificare che, per ogni x0 ∈ R,
x0 e un punto di accumulazione per A
⇐⇒ x0 e un punto di accumulazione a destra o a sinistra per A .
Cio significa che
A′ = A′+ ∪ A′− . (4.289)
Soluzione∗. Passo 1. x0 sia di accumulazione per A; allora x0
e di accumulazione a destra o a sinistra per A. Supponiamo
per assurdo che x0 non sia di accumulazione ne a destra ne a
sinistra. Allora esistono ε+, ε− > 0 tali che (x0, x0 + ε+) e (x0 −
ε+, x0) che non contengono punti di A. Sia ε := Min (ε+, ε−);
allora anche (x0, x0 + ε) ⊂ (x0, x0 + ε+) e (x0 − ε, x0) ⊂ (x0 −
ε−, x0) non contengono punti di A. Di conseguenza nemmeno
(x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) contiene punti di A. Detto altrimenti,
l’intorno (x0 − ε, x0 + ε) non contiene punti di A diversi da x0;
cio significa che x0 non e di accumulazione per A, contro l’ipotesi
iniziale.
361
Passo 2. Se x0 e di accumulazione a destra o a sinistra per A,
allora x0 e di accumulazione per A. Infatti, per ogni ε > 0, se
l’intervallo (x0, x0 + ε) o l’intervallo (x0, x0 + ε) contengono punti
di A, lo stesso si puo dire dell’unione (x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε);
cio basta per concludere che x0 e di accumulazione per A. �
362
Punti isolati
Consideriamo sempre un sottoinsieme A di R.
4.153 Definizione. Un x0 ∈ A si dice un punto isolato di A
se esiste un intorno (x0 − ε, x0 + ε) che non contiene punti di A
diversi da x0 (cosicche (x0 − ε, x0 + ε) ∩ A = {x0}). Porremo
Ais := {x0 ∈ A | x0 e isolato } . � (4.290)
E’ facile verificare che ogni punto x0 ∈ A e di accumulazione
(x0 ∈ A′) o isolato, e che le due possibilita si escludono a
vicenda. Dunque
A = (A ∩ A′) ∪ Ais (unione disgiunta). (4.291)
4.154 Esempio. Siano α, β, γ ∈ R con α < β < γ, e
A := (α, β) ∪ {γ} .
A pag. 356 abbiamo gia evidenziato che A′ = [α, β]; da qui segue,
tra l’altro, che A ∩ A′ = (α, β).
E’ facile convincersi che γ ∈ A e un punto isolato (lo si e so-
stanzialemente gia detto alla pagina citata), e che questo e l’unico
punto di A isolato. Dunque Ais = {γ}.
363
5 LA FORMULA DEL BINOMIO
Premessa
Tutti i lettori dovrebbero sapere che, se a, b ∈ R,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (5.1)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 . (5.2)
La formula del binomio serve per esprimere in modo simile, come
somma di termini con potenze di a, b e opportuni coefficienti, una
qualunque potenza di esponente naturale del binomio a + b.
Spesso, tale risultato viene indicato piu estesamente come la “for-
mula del binomio di Newton”. (66)
66da Isaac Newton (1642-1727), sommo matematico e fisico inglese. Come matematico Newton e
(insieme al tedesco Gottfried Leibniz, 1646-1716) il principale artefice del calcolo differenziale (il calcolo
delle derivate) per le funzioni da R a R. Inoltre, Newton si puo considerare il padre della fisica teorica:
in particolare, si devono a lui la formulazione delle leggi generali della meccanica classica, la teoria della
gravitazione universale e il suo uso per spiegare i moti dei pianeti.
L’associazione del nome di Newton alla formula del binomio richiede qualche precisazione. Infatti,
nei casi di esponente n ∈ N, la formula per (a + b)n era essenzialmente nota prima dell’opera di
questo studioso. Il merito principale di Newton in relazione a questa formula e avere mostrato come
generalizzarla al caso di un esponente reale arbitrario, sostituendo le somme finite del tipo (5.1) o (5.2)
con somme di infiniti addendi. Tale generalizzazione non e discussa nel paragrafo presente, ma sara
presentata verso la fine del corso.
364
∗Qualche identita relativa alle sommatorie.
(la lettura di questo paragrafo, fino a pag. 368, e facoltativa)
5.1 Lemma. Siano (xi)i∈I e (yj)j∈J due famiglie di numeri
reali, indiciate dagli insiemi finiti I, J . Allora(∑i∈I
xi
)∑j∈J
yj
=∑
(i,j)∈I×J
xiyj (5.3)
�
5.2 Osservazione. Nel secondo membro della (5.3) si consi-
dera il prodotto cartesiano I × J , cioe l’insieme delle coppie (i, j)
con i ∈ I e j ∈ J ; inoltre si esegue la somma della famiglia di
prodotti xiyj, indiciata da I × J . Il secondo membro della (5.3)
si scrive spesso come ∑i∈I,j∈J
xiyj .
Se I = {1, ..., p} e J = {1, ..., q}, la (5.3) si scrive spesso cosı :(p∑i=1
xi
) q∑j=1
yj
=∑
i=1,...,p;j=1,...,q
xiyj ; (5.4)
naturalmente, l’espressione nel secondo membro indica la somma
su tutte le coppie (i, j) con i ∈ {1, ..., p} e j ∈ {1, ..., q}. �
365
Dimostrazione del Lemma 5.1. Siano p, q le cardinalita di
I , J rispettivamente; allora ci sono delle biiezioni {1, ..., p} → I
e {1, ..., q} → J , che possiamo usare per fare le identificazioni
I ' {1, ..., p}, J ' {1, ..., q}. Fatte queste identificazioni, la tesi
prende la forma (5.4)(p∑i=1
xi
) q∑j=1
yj
=∑
i=1,...,p;j=1,...,q
xiyj .
Cio premesso, per provare la (5.4) poniamo
S :=
q∑j=1
yj . (5.5)
Qui si seguito riportiamo una catena di uguaglianze che conduco-
no alla (5.4), scrivendopropr.distr.
= nei passaggi che dipendono dalla
proprieta distribuitiva del prodotto rispetto alla somma.
366
Ecco la catena:(p∑i=1
xi
) q∑j=1
yj
=
(p∑i=1
xi
)S =
= (x1 + ... + xp)Spropr. distr.
= x1S + ... + xpS =
= x1(y1 + ... + yq) + x2(y1 + ... + yq) + ... + xp(y1 + ... + yq) =
propr.distr.= x1y1+ ...+x1yq+x2y1+ ...+x2yq+ ...+xpy1+ ...+xpyq =
=∑
i=1,...,p;j=1,...,q
xiyj .
�
E’ facile generalizzare i risultati precedenti a prodotti di tre o
piu sommatorie, Ad esempio supponiamo di avere tre famiglie di
numeri reali (xi)i∈I , (yj)j∈J e (z`)`∈L, indiciate dagli insiemi finiti
I, J, L. Allora, usando due volte il Lemma 5.1 otteniamo(∑i∈I
xi
)∑j∈J
yj
(∑`∈L
z`
)=
∑(i,j)∈I×J
xiyj
(∑`∈L
z`
)=
=∑
(i,j,`)∈I×J×L
xiyjz` .
367
Il caso generale, relativo ad un prodotto di n sommatorie, e de-
scritto dal Lemma seguente (che si potrebbe dimostrare per indu-
zione, utilizzando il Lemma 5.1)
5.3 Lemma. Sia n ∈ {1, 2, 3, ...} e supponiamo assegnate n
famiglie di numeri reali (x1i1)i1∈I1, ... (xnin)in∈In, indiciate dagli
insiemi finiti I1, ..., In (qui i simboli 1, ..., n collocati in alto non
sono esponenti, ma indici che servono a distinguere tra loro le
famiglie). Allora∑i1∈I1
x1i1
...
∑in∈In
xnin
=∑
(i1,...in)∈I1×...×In
x1i1...xnin. (5.6)
�
5.4 Osservazioni. i) Nel caso I1 = {1, ..., p1}, ..., In =
{1, ..., pn}, la (5.6) si scrive cosı : p1∑i1=1
x1i1
...
(pn∑in=1
xnin
)=
∑i1=1,...,p1;...;in=1,...,pn
x1i1...xnin. (5.7)
Qui il secondo membro indica la somma su tutte le n-uple (i1, ..., in)
con i1 ∈ {1, ..., p1},..., in ∈ {1, ..., pn}.
ii) In effetti i Lemmi 5.1 e 5.3 valgono non solo per le famiglie con
elementi in R ma, piu in generale, per le famiglie con elementi
in qualunque anello A. �
368
Deduzione della formula del binomio
La formula in questione e la (5.8) della Proposizione che segue:
5.5 Proposizione. Siano n ∈ N e a, b ∈ R. Allora
(a + b)n =
n∑k=0
n
k
an−kbk (5.8)
dove
.
.
sono i coefficienti binomiali.
5.6 Osservazioni. i) Abbiamo gia parlato dei coefficienti bino-
miali nel Capitolo “Insiemi, applicazioni...”. (Ora siamo in grado
di capire perche si usa l’aggettivo “binomiali” per tali coefficienti:
il motivo e proprio la connessione con la formula del biniomio).
Dal Capitolo “Insiemi, applicazioni,...”, ricordiamo quanto segue:
i1) Per k ∈ {0, 1, ..., n}, e n
k
:=
k fattori︷ ︸︸ ︷n(n− 1)....(n− k + 1)
k!=
n!
k!(n− k)!. (5.9)
i2) Per k ∈ {0, 1, ..., n} e n
n− k
=
n
k
. (5.10)
i3) Risulta n
0
=
n
n
= 1 ,
n
1
=
n
n− 1
= n . (5.11)
369
i3) (Importante per la successiva dimostrazione). X sia un insieme
con n elementi; allora il numero delle parti di X (:= sottoinsiemi
di X) con k elementi e
n
k
. Detto altrimenti: l’insieme Pk(X)
delle parti di X con k elementi ha cardinalita
n
k
.
ii) Nei casi n = 0, 1, 2, 3, 4, la formula (5.8) ci dice quanto segue:
(a + b)0 =
0
0
a0b0 = 1 · 1 · 1 = 1 ; (5.12)
(a+b)1 =
1
0
a1b0+
1
1
a0b1 = 1·a+1·b = a+b ; (5.13)
(a + b)2 =
2
0
a2b0 +
2
1
a1b1 +
2
2
a0b2 =
= a2 + 2ab + b2 ; (5.14)
(a+b)3 =
3
0
a3b0+
3
1
a2b1+
3
2
a1b2+
3
3
a0b3 =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; (5.15)
(a+b)4 =
4
0
a4b0+
4
1
a3b1+
4
2
a2b2+
4
3
a1b3+
4
4
a0b4 =
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 . � (5.16)
370
Dimostrazione della Prop. 5.5∗. Se n = 0 la (5.8) si riduce
alla affermazione (5.12) (a + b)0 = 1, che e ovviamente vera. Da
qui in avanti supponiamo n ∈ {1, 2, 3, ...}.
Per comodita poniamo
x0 := a , x1 := b , I := {0, 1} . (5.17)
Allora
a + b = x0 + x1 =
1∑i=0
xi =∑i∈I
xi ; (5.18)
inoltre
(a+ b)n = (∑i∈I
xi)n =
∑i1∈I
xi1
...
∑in∈I
xin
(n fattori) (5.19)
(67). Dalla (5.19) segue, per il Lemma 5.3 di pag. 368,
(a + b)n =∑
(i1,...,in)∈Inxi1...xin (5.20)
dove In sta per il prodotto cartesiano I × ...× I (n volte).
Gli elementi di In sono sequenze (i1, ..., in), dove ciascuno degli
elementi vale 0 o 1. Ora, per ogni k ∈ {0, 1, ..., n} poniamo
Ink := {(i1, ..., in) ∈ In | ir = 1 per k valori di r} ; (5.21)
67Si noti che, pur essendo uguali tutti i fattori nella (5.19), e conveniente dare i nomi distinti i1, ..., in
agli indici che vi compaiono; infatti, in questo modo si evitano confusioni che potrebbero indurre ad
applicare in modo erroneo il Lemma 5.3 citato subito dopo.
371
allora In = In0 ∪ In1 ∪ ... ∪ Inn (unione disgiunta), quindi
(a + b)n =
n∑k=0
Snk , Snk :=∑
(i1,...,in)∈Ink
xi1...xin . (5.22)
Ora calcoliamo Snk, per qualunque k ∈ {0, 1, ..., n}. Ogni se-
quenza (i1, ..., in) ∈ Ink ha k elementi uguali ad 1, e i restanti
n− k uguali a zero; pertanto
(i1, ..., in) ∈ Ink =⇒ xi1...xin = (x0)n−k(x1)
k = an−kbk . (5.23)
Dunque tutti i termini nella somma che definisce Snk sono uguali
ad an−kbk, e si conclude
Snk = |Ink |an−kbk , (5.24)
|Ink | = cardinalita di Ink = numero delle sequenze (5.25)
(i1, ..., in) con k elementi uguali ad 1, e n− k uguali a zero .
Resta da determinare la cardinalita in questione. A tale fine consi-
deriamo l’insieme {1, ..., n}, e la collezione Pk({1, ..., n}) dei suoi
sottoinsiemi con k elementi. Notiamo che c’ e una biezione
Pk({1, ..., n})→ Ink , E 7→ iE (5.26)
cosı definita: per ogni sottoinsieme E di {1, ..., n} con k elementi,
iE e la sequenza (i1, ..., in) con ir := 1 per r ∈ E, e ir := 0 per
r 6∈ E. (68)68Per maggiore chiarezza, presentiamo due esempi con n = 4 e k = 2. Sia E := {2, 3} ∈ P2({1, ..., 4});
allora iE ∈ I42 e la sequenza con i2 = i3 = 1 e i1 = i4 = 0, cioe iE = (0, 1, 1, 0). Ora supponiamo
E := {3, 4} ∈ P2({1, ..., 4}); allora iE ∈ I42 e la sequenza con i3 = i4 = 1 e i1 = i2 = 0, cioe
iE = (0, 0, 1, 1).
372
Ma due insiemi in corrispondenza biunivoca hanno la stessa cardi-
nalita, e la cardinalita di Pk({1, ..., n}) e il coefficiente binomiale
di n su k (cfr. l’Oss. 5.6, punto (ii), pag. 369). Dunque
|Ink | = |Pk({1, ..., n})| =
n
k
. (5.27)
Sostituendo questo risultato nella (5.24), otteniamo
Snk =
n
k
an−kbk per k = 0, ..., n ; (5.28)
da qui e dalla (5.22) segue
(a + b)n =
n∑k=0
Snk =
n∑k=0
n
k
an−kbk ;
questa e proprio la tesi (5.8). �
5.7 Osservazioni. i) Riesaminando le manipolazioni che abbia-
mo usato per dedurre la formula del binomio (5.8) vediamo che,
in effetti, questa formula vale per ogni n ∈ N ed ogni a, b in un
anello commutativo A (69).69La commutativita dell’anello e essenziale. Infatti un punto chiave nella deduzione della (5.8) e
l’affermazione (5.23), che qui riassumiamo: se il prodotto xi1 ...xin ha n−k fattori uguali a x0 e k uguali
a x1, allora xi1 ...xin = (x0)n−k(x1)k. Questa affermazione dipende dalla la proprieta commutativa del
prodotto: infatti, per provarla si deve riordinare il prodotto xi1 ...xin in modo che nei primi n− k posti
compaiano i fattori uguali a x0, e nei restanti k i fattori uguali a x1.
373
ii) Per qualunque n ∈ N, applichiamo la formula (5.8) con a =
b = 1. Allora a + b = 2 e an−kbk = 1 per ogni k; quindi, la (5.8)
diventa
2n =
n∑k=0
n
k
. (5.29)
Questa e una identita relativa ai coefficienti binomiali, che nel
Capitolo “Insiemi, applicazioni ...” avevamo stabilito seguendo
un’altra via, del tutto indipendente dalla formula del binomio. �
5.8 Esercizio∗. Sia n ∈ N. E’ ovvio che,per ogni a, b ∈ R, e
(a + b)n+1 = (a + b)n(a + b) . (5.30)
Cosa si deduce da qui, se si scrivono (a+b)n+1 e (a+b)n mediante
la formula del binomio?
Soluzione∗. Consideriamo degli arbitrari a, b ∈ R. Allora
(a + b)n+1 = (a + b)n(a + b) =
=
n∑h=0
n
h
an−hbh
(a + b) ; (5.31)
nell’ultimo passaggio abbiamo scritto (a+b)n mediante la formula
del binomio (5.8) (chiamando l’indice di somma h, e non k, per
motivi chiari nel seguito). Proseguendo, possiamo scrivere quanto
segue:
374
(a+b)n+1 =
n∑h=0
n
h
an−hbh
a+
n∑h=0
n
h
an−hbh
b =
=
n∑h=0
n
h
an+1−hbh +
n∑h=0
n
h
an−hbh+1 . (5.32)
Il nostro obiettivo e confrontare questo risultato con la formula
del binomio per (a + b)n+1, cioe
(a + b)n+1 =
n+1∑k=0
n + 1
k
an+1−kbk . (5.33)
Per fare il confronto conviene riscrivere le due somme nella (5.32),
in modo che entrambe abbiamo come termine generale an+1−kbk.
A tale fine riscriviamo la prima somma nella (5.32) ridenominando
k l’indice di somma h. Inoltre, riscriviamo la seconda somma nella
(5.32) in termini del nuovo indice k := h + 1; allora k varia da 1
a n + 1 e h = k − 1, n− h = n− k + 1 = n + 1− k.
Riesprimendo come sopra le due somme nella (5.32), otteniamo
(a + b)n+1 =
=
n∑k=0
n
k
an+1−kbk +
n+1∑k=1
n
k − 1
an+1−kbk . (5.34)
375
Nel secondo membro della (5.34), nella prima somma isoliamo
il termine con k = 0 che vale
n
0
an+1b0 = an+1; invece,
nella seconda somma isoliamo il termine con k = n + 1 che vale n
n
a0bn+1 = bn+1. Cosı otteniamo
(a + b)n+1 =
= an+1 +
n∑k=1
n
k
an+1−kbk +
n∑k=1
n
k − 1
an+1−kbk + bn+1
ovvero, raccogliendo
(a + b)n+1 = (5.35)
= an+1 +
n∑k=1
n
k
+
n
k − 1
an+1−kbk + bn+1 .
Ora riprendiamo la formula del binomio (5.33) per (a + b)n+1
che, ai fini di un confronto con la (5.35), riscriviamo isolando i
termini con k = 0 e k = n + 1; questi valgono, rispettivamente, n + 1
0
an+1b0 = an+1 e
n + 1
n + 1
a0bn+1 = bn+1. In questo
modo otteniamo
(a + b)n+1 = (5.36)
= an+1 +
n∑k=1
n + 1
k
an+1−kbk + bn+1 .
376
Sia la (5.36) che la (5.35) sono vere per ogni a, b ∈ R. Per l’arbi-
trarieta di a e b, devono essere uguali i coefficienti dei monomi in
a e b con i medesimi esponenti nelle due equazioni. I coefficienti
di an+1 e di bn+1 nelle (5.36) (5.35) sono evidentemente uguali,
valendo in tutti i casi 1. Imponendo l’uguaglianza dei coefficienti
di an−kbk nelle (5.36) (5.35), per ogni k ∈ {1, ..., n}, otteniamo
l’uguaglianza n + 1
k
=
n
k
+
n
k − 1
. (5.37)
Con cio, le nostre considerazioni sono concluse; rispondendo alla
domanda nel testo dell’esercizio, possiamo dire che la (5.37) e
la conseguenza diretta della formula del binomio e dell’identita
(a + b)n+1 = (a + b)n(a + b). �
377
Il risultato ottenuto dall’Esercizio precedente e piuttosto inte-
ressante. In sostanza, svolgendo l’esercizio abbiamo provato la
seguente
5.9 Proposizione. Per ogni n ∈ {1, 2, 3, ...} ed ogni k ∈
{1, ..., n}, risulta n + 1
k
=
n
k − 1
+
n
k
. (5.38)
�
La relazione (5.38) permette di determinare i coefficienti binomiali n + 1
k
per k = 1, ..., n, quando siano noti i tutti i coefficienti
binomiali dell’ordine precedente n. I coefficienti
n + 1
k
con
k = 0 e k = n + 1 non sono deducibili dalla (5.38), ma questo
non e un problema se ricordiamo che tali coefficienti valgono 1.
Possiamo rappresentare questi risultati disegnando una tabella
triangolare infinita, simmetrica rispetto alla verticale, dove, per
ogni n ∈ N, la riga n-esima contiene tutti i coefficienti binomiali n
k
(k = 0, ..., n).
378
Questa tabella ha le caratteristiche seguenti:
i) Per ogni n ∈ N, nella riga n-esima ci sono n + 1 elementi (che
possiamo pensare etichettati da un indice k ∈ {0, ..., n}). Inoltre,
il primo e l’ultimo elemento di ciascuna riga valgono 1 (perche n
0
=
n
n
= 1).
ii) Si consideri una qualunque riga dalla 2 in poi (diciamo, la riga
n + 1 per n = 1, 2, 3, ...). In questa riga, ogni elemento diverso
dal primo e dall’ultimo e la somma dei due elementi nella riga
soprastante (la riga n) che gli sono immediatamente a sinistra
e a destra (perche
n + 1
k
=
n
k − 1
+
n
k
se k 6=
0, n + 1).
Le regole (i)(ii) bastano per costruire completamente la nostra
tabella. Ad esempio, nella figura della pagina seguente abbiamo
costruito tutte le righe fino a quella di ordine 6, determinando
cosı tutti i coefficienti binomiali
n
k
per n ∈ {0, 1, ..., 6} e
k ∈ {0, ..., n}.
La tabella in questione viene chiamata il triangolo di Tartaglia
(70), o anche, il triangolo di Pascal (71).
70dal matematico italiano Niccolo Fontana Tartaglia (Brescia 1499/1500- Venezia 1557), piu famoso
per avere scoperto la formula risolutiva per l’equazione di terzo grado71da Blaise Pascal (1623-1662), matematico, fisico, filosofo e teologo francese. Tra i suoi contribuiti
scientifici si devono segnalare: gli studi di geometria, calcolo delle probabilita e meccanica dei fluidi
(soprattutto, sul concetto di pressione); la costruzione di una calcolatrice meccanica capace di eseguire
addizioni e sottrazioni, oggi chiamata “pascalina”.
379
380
6 ALCUNI FATTI RELATIVI A R2 E ALLA SUA
CORRISPONDENZA CON IL PIANO.
Premessa
Come al solito, qui e nel seguito indicheremo con R2 il prodotto
cartesiano R× R, che e l’insieme delle coppie di numeri reali.
Ora consideriamo un piano Π e muniamolo di due rette orientate;
queste si chiameranno “assi cartesiani”. La prima si dira l’“asse
delle ascisse” o l’“asse x”, la seconda si dira l’“asse delle ordinate”,
ovvero l’“asse y”. Supponiamo che gli assi si intersechino in un
punto O che si dira l’ ”origine”; in piu, scegliamo una unita di
lunghezza u.
A suo tempo abbiamo gia ricordato come, con questi dati, si possa
indurre una corrispondenza biunivoca
R2 → Π , (x, y) 7→ P (x, y) . (6.1)
Si dice che P (x, y) e il punto di coordinate cartesiane (x, y), o
anche il punto di ascissa x e ordinata y.
381
Nelle pagine seguenti supporremo di avere fissato il piano Π, gli
assi cartesiani e l’unita di lunghezza u una volta per tutte.
La lunghezza |AB| di un segmento sara sempre identificata con
il numero reale non negativo che rappresenta tale lunghezza come
multiplo dell’unita di misura; in altri termini, se |AB| = su (con
s ∈ R+) faremo l’identificazione |AB| ' s.
Spesso useremo la (6.1) per indurre le identificazioni Π ' R2,
P (x, y) ' (x, y).
382
Rappresentazione cartesiana della retta.
L’argomento di questo paragrafo dovrebbe essere ben noto; per-
tanto la lettura del paragrafo, fino a pag. 400, viene suggerita
soltanto a chi ritiene di avere difficolta con l’argomento.
6.1 Proposizione. Si considerino due punti distinti
P1 = (x1, y1) , P2 = (x2, y2) (6.2)
e sia r la retta passante per tali punti. Allora:
i) Si ha l’equivalenza
x1 = x2 ⇐⇒ r e parallela all’asse y . (6.3)
383
ii) Supponendo x1 6= x2 (ovvero, r non parallela all’asse y), per
ogni punto P = (x, y) del piano, si ha l’equivalenza
P ∈ r ⇐⇒ y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x− x1) . (6.4)
Dimostrazione. L’affermazione del punto (i) e autoevidente.
Qui di seguito supporremo
x1 6= x2 (6.5)
(cioe, r non parallela all’asse y) e proveremo l’equvalenza (6.4) del
punto (ii), procedendo in diversi passi.
384
Passo 1. Sia P = (x, y) ∈ r \ {P1}. Allora x 6= x1, e risulta
y − y1x− x1
=y2 − y1x2 − x1
. (6.6)
Proviamo anzitutto che x 6= x1. Infatti se fosse x = x1 la retta r,
passando per P1 e per P , sarebbe parallela all’asse y.
Ora giustifichiamo la (6.6). Per farlo, si devono trattare separata-
mente tutti i casi possibili riguardo all’ordinamento di x1 e x, y1 e
y, x1 e x2, y1 e y2. A titolo di esempio, qui di seguito esaminiamo
il caso x1 < x, y1 < y, x1 < x2 e y1 < y2.
Consideriamo i punti Q := (x2, y1) e S := (x, y1), insieme ai
triangoli PP1S e P2P1Q; questi sono simili avendo due angoli
rispettivamente uguali (PP1S = P2P1Q e PSP1 = P2QP1; questi
ultimi due angoli sono retti se gli assi cartesiani sono ortogonali).
Dalla similitudine dei triangoli segue, per i loro lati, la relazione
di proporzionalita|PS||P1S|
=|P2Q||P1Q|
. (6.7)
385
D’altra parte |PS| = y − y1, |P1S| = x− x1, |P2Q| = y2 − y1 e
|P1Q| = x2 − x1; sostituendo queste espressioni per le lunghezze
nella (6.7), si ottiene l’asserto (6.6) per il caso in esame. Tutti gli
altri casi si trattano in modo simile.
Passo 2. Sia P = (x, y). Supponiamo che sia x 6= x1, e che
valga la (6.6)y − y1x− x1
=y2 − y1x2 − x1
.
Allora P ∈ r \ P1.
Per provarlo, notiamo anzitutto che da x 6= x1 segue P 6= P1.
Proseguendo nel nostro ragionamento, dovremmo trattare sepa-
ratamente tutti i casi possibili riguardo all’ordinamento di x1 e
x, y1 e y, x1 e x2, y1 e y2; a titolo di esempio, esaminiamo il
caso x1 < x, y1 < y, x1 < x2 e y1 < y2. In tal caso, po-
sto Q := (x2, y1) e S := (x, y1) si vede che la (6.6) implica la
relazione (6.7)|PS||P1S|
=|P2Q||P1Q|
.
Quest’ultima relazione e sufficiente per dedurre che i triangoli
PP1S e P2P1Q sono simili e, in particolare, che sono uguali gli
angoli PP1S e P2P1Q. Dunque i segmenti PP1 e P2P1 formano
lo stesso angolo con la retta che contiene P1, Q, S; cio basta per
dedurre che P, P2 e P1 sono allineati. Detto altrimenti, P giace
sulla retta r individuata da P1 eP2.
386
Passo 3. Sia P = (x, y) ∈ r. Allora
y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x− x1) . (6.8)
In effetti, se P 6= P1 la (6.8) segue dalla (6.6) del Passo 1, mol-
tiplicando a membro a membro per x − x1. Se invece P = P1,
allora x = x1, y = y1 e la (6.8) e verificata banalmente, avendo i
due membri uguali a zero.
Passo 4. Sia P = (x, y). Se vale l’equazione (6.8) y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x− x1), allora P ∈ r.
Infatti: se x 6= x1, dividendo a membro a membro la (6.8) per
x − x1 otteniamo l’uguaglianza (6.6)y − y1x− x1
=y2 − y1x2 − x1
che, per
il Passo 2, implica P ∈ r \ {P1}.
Se invece x = x1, dalla (6.8) otteniamo y− y1 =y2 − y1x2 − x1
· 0 = 0,
cioe y = y1; da x = x1 e y = y1 segue P = P1 ∈ r.
Passo 5. Conclusione della prova. I Passi 3 e 4 ci dicono che
P = (x, y) ∈ r se e solo se y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x − x1). Questa e
proprio l’equivalenza dell’enunciato. �
387
6.2 Esempio. Consideriamo i punti
P1 = (1, 2) , P2 = (3, 5) , (6.9)
e sia r la retta passante per tali punti. Allora, per ogni punto
P = (x, y) del piano, l’equivalenza (6.4) prende questa forma:
P ∈ r ⇐⇒ y − 2 =5− 2
3− 1(x− 1) ⇐⇒ y − 2 =
3
2(x− 1)
⇐⇒ y = 2 +3
2x− 3
2⇐⇒ y =
3
2x +
1
2. �
6.3 Proposizione. r sia un sottoinsieme del piano; valgono (i)
e (ii).
i) r e una retta parallela all’asse y se e solo se esiste p ∈ R tale
che
r = {(x, y) | x = p , y ∈ R} (6.10)
388
ii) r e una retta non parallela all’asse y se e solo se esistono m, q ∈
R tali che
r = {(x, y) | x ∈ R , y = mx + q} . (6.11)
Inoltre, se r e una retta non parallela all’asse y:
ii0) I numerim, q nella rappresentazione (6.11) sono univocamente
determinati da r.
ii1) Presi in r due punti distinti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2),
risulta x1 6= x2, e
m =y2 − y1x2 − x1
, q = y1 −mx1 . (6.12)
ii2) q si puo anche caratterizzare come l’ordinata del punto di
intersezione tra r e l’asse y.
389
Dimostrazione. Le affermazioni in (i) sono evidenti; qui di
seguito mostreremo tutte le affermazioni del punti (ii), procedendo
in vari passi.
Passo 1. Se r e una retta non parallela all’asse y, esistono
m, q ∈ R per i quali vale la rappresentazione (6.11)
r = {(x, y) | x ∈ R , y = mx + q} .
Per provarlo, scegliamo in r due punti distinti P1 = (x1, y1) e
P2 = (x2, y2). Allora, per la Proposione 6.1 di pag. 383,
(x, y) ∈ r ⇐⇒ y − y1 =y2 − y1x2 − x1
(x− x1)
⇐⇒ y = y1 +y2 − y1x2 − x1
x− y2 − y1x2 − x1
x1
⇐⇒ y = mx+q dove m :=y2 − y1x2 − x1
, q := y1 −y2 − y1x2 − x1
x1 = y1 −mx1 .
390
Passo 2. Supponiamo che un sottoinsieme r del piano abbia
la rappresentazione (6.11)
r = {(x, y) | x ∈ R , y = mx + q} ,
per qualche m, q ∈ R. Allora, r e una retta non parallela
all’asse y.
Per provarlo, consideriamo i punti P1, P2 di r con ascisse x = 0
e x = 1 rispettivamente; ponendo x = 0 e x = 1 nella (6.11) si
ottiene, rispettivamente, y = q e y = m + q, percio P1 = (0, q) e
P2 = (1,m + q).
Sia rP1,P2 la retta che passa per questi due punti (non parallela
all’asse y, perche P1, P2 hanno ascisse distinte); qui di seguito
mostreremo che r = rP1P2.
391
Per farlo applichiamo la Prop. 6.1 di pag. 383 alla retta rP1,P2 e
ai suoi punti P1, P2; cosı troviamo che, per ogni punto P = (x, y)
del piano, si hanno queste equivalenze:
P ∈ rP1,P2
⇐⇒ y−q =(m + q)− q
1− 0(x−0) (per la (6.4) della Prop. 6.1 con x1 = 0, y1 = q, x2 = 1, y2 = m+ q)
⇐⇒ y − q = mx⇐⇒ y = mx + q ⇐⇒ P ∈ r (per la (6.11)).
Dunque rP1,P2 = r, come volevasi dimostrare.
Passo 3. r sia una retta non parallela rispetto all’asse y, con
una rappresentazione del tipo (6.11)
r = {(x, y) | x ∈ R , y = mx + q} .
Allora:
. Presi in r due punti distinti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2),
risulta x1 6= x2, e
m =y2 − y1x2 − x1
, q = y1 −mx1 ; (6.13)
da qui segue, tra l’altro, che m e q sono univocamente deter-
minati da r.
. q si puo anche caratterizzare come l’ordinata del punto di
intersezione tra r e l’asse y.
392
Per provare la prima affermazione, consideriamo in r due punti
distinti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2). Allora x1 6= x2 perche r
non e parallela all’asse y. Inoltre
y1 = mx1 + q , y2 = mx2 + q
da cui (sottraendo la prima equazione dalla seconda)
y1 = mx1 + q , y2 − y1 = mx2 −mx1 ,
da cui
q = y1 −mx1 , m =y2 − y1x2 − x1
,
come volevasi dimostrare.
Per provare la seconda affermazione (q e l’ordinata dell’intersezio-
ne tra r e l’asse y), dopo avere notato che l’asse y e il luogo dei
punti con ascissa x = 0, si procede come segue: dato un punto
P = (x, y),
P ∈ asse y∩r ⇐⇒ x = 0, y = mx+q ⇐⇒ x = 0, y = q . �
6.4 Definizione. r sia una retta non parallela all’asse y. Il
numero reale m nella rappresentazione r = {(x, y)| y = mx+ q}
si chiama il coefficiente angolare, o la pendenza di r.
(Qualche volta, il numero q si chiama l’intercetta di r). �
393
6.5 Esercizio. Si consideri una retta r non parallela all’ asse
y, di coefficiente angolare m. Verificare che
r parallela all’asse x ⇐⇒ m = 0 . (6.14)
Soluzione. Consideriamo in r due punti distinti P1 = (x1, y1) e
P2 = (x2, y2). Allora x1 6= x2, m =y2 − y1x2 − x1
, e vale quanto segue:
r e parallela all’asse x ⇐⇒ y2 = y1 ⇐⇒ m = 0 .
�
Dunque l’ equazione y = mx + q si riduce, nel caso di una retta
parallela all’asse x, alla forma y = q. In modo piu preciso: una
retta r e parallela all’asse x se e solo se esiste q ∈ R tale che
r = {(x, y) | x ∈ R , y = q} . (6.15)
394
6.6 Esercizio. Si consideri una retta r non parallela ad alcuno
dei due assi cartesiani; sia α l’angolo tra l’asse delle x e r (munendo
quest’ultima del verso in cui cresce y).
Detto m il coefficiente angolare di r, verificare che
α acuto =⇒ m > 0 ; (6.16)
α ottuso =⇒ m < 0 . (6.17)
Soluzione. Sappiamo che m =y2 − y1x2 − x1
dove P1 = (x1, y1) e
P2 = (x2, y2) sono punti distinti di r.
Se α e acuto possiamo scegliere P1, P2 in modo che x2 > x1 e
y2 > y1, da cui m > 0.
Se α e ottuso possiamo scegliere P1, P2 in modo che x2 < x1 e
y2 > y1, da cui m < 0. �
395
6.7 Esercizio. r sia un sottoinsieme del piano. Verificare che r
e una retta non parallela all’asse delle y, e passante per l’origine,
se e solo se ha la rappresentazione
r = {(x, y) ∈ R2 | y = mx} (6.18)
per qualche m ∈ R.
Soluzione. Sappiamo che r e una retta non parallela all’asse y
se e solo se esistono m, q ∈ R tali che r = {(x, y) | y = mx+ q}.
D’altra parte, una retta con la rapprentazione y = mx + q passa
per l’origine O = (0, 0) se e solo se 0 = m · 0 + q, il che accade se
e solo se q = 0. �
396
6.8 Esercizio. Talvolta si dice, un po’ impropriamente, che
una retta parallela all’asse y “ha il coefficiente angolare infinito”.
Perche ?
Soluzione. Una retta r non parallela all’asse y ha coefficiente
angolare
m =y2 − y1x2 − x1
dove P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) sono suoi punti distinti; per
questi e garantito che x1 6= x2.
Ora tentiamo di estrapolare l’equazione precedente per m al caso
di una r parallela all’asse y, di cui consideriamo sempre due punti
distinti P1, P2.
In questo caso y1 6= y2 ma x1 = x2, quindi l’equazione per il
coefficiente angolare diventa
m =y2 − y1
0.
397
Alla lettera, questo risultato e privo di senso. Tuttavia:
. il rapporto tra un numero reale non nullo ed uno molto piccolo
e molto grande;
. se estrapoliamo sostituendo la parola ”molto piccolo” con “zero”,
e la parola “molto grande” con “infinito” siamo portati a dire che
il rapporto tra un reale non nullo (come y2 − y1) e lo zero vale
infinito.
In questo senso, possiamo attribuire alla retta in esame un coef-
ficiente angolare infinito. Ci riserviamo di tornare sull’argomento
dopo avere formulato una teoria rigorosa dei limiti. �
398
6.9 Esercizio. Verificare che un sottoinsieme r del piano e una
retta se e solo se ha una rappresentazione del tipo
r = {(x, y) ∈ R2 | ax + by + c = 0} (6.19)
per qualche terna (a, b, c) di numeri reali con a, b non entrambi
nulli.
Mostrare che a.b, c non sono univocamente determinati da r.
Soluzione. Se r e una retta parallela all’asse y allora, per qualche
p ∈ R,
r = {(x, y) ∈ R2 |x = p} = {(x, y) ∈ R2 | x− p = 0} ;
questa e una rappresentazione del tipo (6.19) con a = 1, b = 0 e
c = −p.
Se r e una retta non parallela all’asse y allora, per qualche m, q ∈
R,
r = {(x, y) ∈ R2 |y = mx+q} = {(x, y) ∈ R2 |mx−y+q = 0} ;
questa e una rappresentazione del tipo (6.19) con a = m, b = −1
e c = q.
Ora supponiamo che un sottoinsieme r del piano abbia una rap-
presentazione del tipo (6.19), con a, b non entrambi nulli.
399
Se b = 0 allora a 6= 0, e
r = {(x, y) ∈ R2 | ax + c = 0} = {(x, y) ∈ R2 | x = −ca} ;
questa rappresentazione ci dice che r e una retta parallela all’asse
y. Se invece b 6= 0, possiamo scrivere
r = {(x, y) ∈ R2 | ax+by+c = 0} = {(x, y) ∈ R2 | y = −abx−c
b} ;
questa rappresentazione ci dice che r e una non retta parallela
all’asse y, con coefficiente angolare m = −a/b e intercetta q =
−c/b.
Infine, la rappresentazione di una retta r nella forma (6.19) non e
unica perche, per qualunque k ∈ R \ {0},
{(x, y) ∈ R2 | ax+by+c = 0} = {(x, y) ∈ R2 | (ka)x+(kb)y+(kc) = 0} .
400
La distanza tra due punti del piano, in termini delle
loro coordinate cartesiane.
In questo paragrafo supponiamo che gli assi cartesiani scelti siano
ortogonali. Consideriamo nel piano due punti
P1 = (x1, y1) , P2 = (x2, y2) (6.20)
(x1, y1, x2, y2 ∈ R). Ci interessa la lunghezza |P1P2| (identificata
con un numero reale nonnegativo), cioe la distanza tra P1 e P2.
Quanto segue dovrebbe essere ben noto (pertanto, la lettura della
dimostrazione viene suggerita come lettura solo a chi ritiene di
avere difficolta con l’argomento).
6.10 Proposizione. Risulta
|P1P2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 . (6.21)
401
Dimostrazione. Consideriamo il punto Q := (x2, y1); il trian-
golo P1QP2 e rettangolo, per l’ipotesi di ortogonalita tra gli assi
cartesiani. Per il teorema di Pitagora,
|P1P2|2 = |P1Q|2 + |P2Q|2 . (6.22)
D’altra parte
|P1Q| = |x2 − x1| , |P2Q| = |y2 − y1| (6.23)
dove, nei secondi membri, | | indica il valore assoluto (72); dunque
|P1P2|2 = |x2−x1|2+ |y2−y1|2 = (x2−x1)2+(y2−y1)2 (6.24)
(si noti che, per ogni numero reale z, |z|2 = (±z)2 = z2). Dalla
(6.24), prendendo la radice quadrata si ottiene l’asserto (6.21). �
72La figura rappresenta un caso particolare con x2 > x1 e y2 > y1, in cui i valori assoluti sono superflui.
402
La funzione distanza tra punti del piano e le sue pro-
prieta.
Fissiamo l’uso dell’espressione “distanza”, gia proposta a pag.
401.
6.11 Definizione. D’ora in avanti, dati due punti P1, P2 del
piano Π, useremo spesso l’espressione “la distanza tra P1 e P2”
per indicare la lunghezza |P1P2|. Tale lunghezza si indichera anche
con il simbolo d(P1, P2). �
Notiamo che, facendo variare i due punti nel piano Π, otteniamo
una funzione
d : Π× Π→ [0,+∞) , (P1, P2) 7→ d(P1, P2) . (6.25)
Qui di seguito evidenzieremo alcune caratteristiche di tale funzione
(indicando con P1, P2, P3 dei punti arbitrari di Π).
403
Anzitutto,
d(P1, P2) = 0⇐⇒ P1 = P2 (6.26)
(perche il segmento P1P2 ha lunghezza nulla se e solo se gli estremi
coincidono). Inoltre
d(P1, P2) = d(P2, P1) (6.27)
(perche i segmenti P1P2 e P2P1 coincidono se si prescinde dal verso
di percorrenza, e dunque hanno la stessa lunghezza). Infine,
d(P1, P2) 6 d(P1, P3) + d(P3, P2) . (6.28)
Per giustificare la (6.28) si considera il triangolo P1P2P3; e no-
to che in un triangolo la lunghezza di un lato e minore o ugua-
le della somma delle lunghezze degli altri due, quindi |P1P2| 6
|P1P3|+ |P3P2|; con le notazioni |P1P2| = d(P1, P2), ecc., questa
disuguaglianza prende la forma (6.28).
Per via di queste considerazioni, la (6.28) e chiamata usualmente
la disuguaglianza triangolare per la funzione distanza d.
404
Naturalmente, la Proposizione 6.10 di pag. 401 ci dice
d(P1, P2) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (6.29)
se si impiegano assi cartesiani tra loro ortogonali, rispetto ai quali
P1, P2 hanno coordinate (x1, y1) e (x2, y2).
Naturalmente, con l’usuale identificazione
Π ' R2 (6.30)
possiamo pensare la distanza come una funzione
d : R2 × R2 → [0,+∞) . (6.31)
405
Circonferenze e dischi nel piano
Consideriamo un punto P0 del piano Π. Secondo l’usuale schema
concettuale della geometria euclidea, la circonferenza di centro
P0 e raggio r ∈ [0,+∞) e l’insieme
C(P0, r) := {P ∈ Π | d(P0, P ) = r} . (6.32)
Definiamo anche il disco (o cerchio) aperto di centro P0 e raggio
r ∈ (0,+∞) come l’insieme
D(P0, r) := {P ∈ Π | d(P0, P ) < r} (6.33)
e il disco (o cerchio) chiuso di centro P0 e raggio r ∈ [0,+∞)
come l’insieme
D (P0, r) := {P ∈ Π | d(P0, P ) 6 r} . (6.34)
406
Notiamo che
D (P0, 0) = {P ∈ Π | d(P0, P ) = 0} = {P0} . (6.35)
Inoltre, per ogni r ∈ (0,+∞),
D (P0, r) = (6.36)
= {P ∈ Π | d(P0, P ) < r} ∪ {P ∈ Π | d(P0, P ) = r} =
= D(P0, r) ∪ C(P0, r) .
407
Supponiamo di utilizzare degli assi cartesiani ortogonali, e faccia-
mo l’usuale identificazione Π ' R2; allora, le circonferenze e i
dischi definiti prima diventano sottoinsiemi di R2.
Sia P0 = (x0, y0); se P = (x, y), allora d(P0, P ) =√
(x− x0)2 + (y − y0)2.
Pertanto la circonferenza, il disco aperto e il disco chiuso di centro
P0 e raggio r sono cosı caratterizzati:
C(P0, r) := {(x, y) ∈ R2 |√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r} =
= {(x, y) ∈ R2 | (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2} ; (6.37)
D(P0, r) := {(x, y) ∈ R2 |√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < r} =
= {(x, y) ∈ R2 | (x− x0)2 + (y − y0)2 < r2} ; (6.38)
D (P0, r) := {(x, y) ∈ R2 |√
(x− x0)2 + (y − y0)2 6 r} =
= {(x, y) ∈ R2 | (x− x0)2 + (y − y0)2 6 r2} (6.39)
(con r ∈ [0,+∞) nelle (6.37) (6.39), e r ∈ (0,+∞) nella (6.38)).
408
Nozione di intorno di un punto di R2. Punti interni,
esterni e di frontiera di un sottoinsieme di R2.
6.12 Definizione. Consideriamo un punto P0 ∈ R2 (' Π).
Per ogni ε > 0, il disco apertoD(P0, ε) = {P ∈ R2 | d(P0, P ) < ε}
si chiamera anche l’intorno di P0 di raggio ε.
Ogni disco aperto D(P0, ε), con ε ∈ (0,+∞), si chiamera un
intorno di P0. �
A questo punto, procedendo come nel caso di R possiamo intro-
durre le nozioni di punto interno, esterno o di frontiera per un
sottoinsieme A ⊂ R2. In sostanza ripeteremo le definizioni gia
date lavorando in R, reinterpretando pero la parola intorno: nel-
l’ambiente di R2 in cui stiamo operando, un intorno di un punto
P0 e un disco aperto D(P0, ε) (ε ∈ (0,+∞)).
409
Mettiamo in atto questa idea, scrivendo esplicitamente le defini-
zioni coivolte ed esaminando qualche esempio. Qui e nel seguito,
dato A ⊂ R2 si considera spesso il complementare Ac := R2 \ A.
6.13 Definizione. Si consideri un sottoinsieme A di R2.
i) Un punto P0 ∈ R2 si dice interno ad A se esiste ε > 0 tale che
D(P0, ε) ⊂ A.
La parte interna di A, indicata con A◦ (o con◦A ), e l’insieme dei
punti di R2 interni ad A.
410
ii) Un punto P0 ∈ R2 e esterno ad A se esiste ε > 0 tale che
D(P0, ε) ⊂ Ac.
La parte esterna di A, indicata con Ae (o cone
A ), e l’insieme dei
punti di R2 esterni ad A.
411
ii) Un punto P0 ∈ R2 si dice di frontiera per A se, per ogni ε > 0,
l’intorno D(P0, ε) contiene sia punti di A che punti di Ac.
La frontiera di A, indicata con ∂A , e l’insieme dei punti di
frontiera per A. �
6.14 Osservazioni. i) Se P0 e interno ad A, allora P0 ∈ A
(perche, per qualche ε > 0, risulta A ⊃ D(P0, ε) 3 P0); dunque
A◦ ⊂ A. Similmente, ogni P0 e esterno ad A appartiene ad Ac:
Ae ⊂ Ac.
ii) Risulta R2 = A◦ ∪ Ae ∪ ∂A , e l’unione indicata e disgiunta.
412
6.15 Esempi. i) Siano dati un punto Q ∈ R2 ed un raggio
r ∈ (0,+∞). Poniamo
A := D(Q, r) = {P ∈ R2 | d(Q,P ) < r} . (6.40)
Dato P0 ∈ R2, accade quanto segue.
. Sia d(Q,P0) < r, cioe P0 ∈ D(Q, r) = A. Allora, come
indicato dalla figura, esiste ε > 0 tale che D(P0, ε) ⊂ A; dunque
P0 e interno ad A.
. Sia d(Q,P0) > r (il che equivale a dire che non e d(Q,P0) ≤ r,
ovvero che P0 ∈ D(Q, r)c). Allora, come indicato dalla figura,
esiste ε > 0 tale che D(P0, ε) ⊂ Ac; dunque P0 e esterno ad A.
. Sia d(Q,P0) = r, cioe P0 ∈ C(Q, r). Allora, come indicato dalla
figura, ogni intorno D(P0, r) contiene sia punti di A che punti di
Ac; dunque P0 ∈ ∂A .
In conclusione,
A◦ = D(Q, r) = A; Ae = D(Q, r)c; ∂A = C(Q, r). (6.41)
413
ii) Come prima, Q sia un punto di R2 e sia r ∈ (0,+∞); poniamo
A := D(Q, r) = {P ∈ R2 | d(Q,P ) ≤ r} . (6.42)
Con considerazioni analoghe a quelle del punto i) si trova che
A◦ = D(Q, r); Ae = D(Q, r)c = Ac; ∂A = C(Q, r).
(6.43)
414
iii) Ora passiamo al caso in cui A e l’insieme formato da un solo
punto Q di R2 (ovvero, e il disco chiuso di centro Q e raggio zero):
A = {Q} = D(Q, 0) . (6.44)
Accade quanto segue:
. Ogni intorno D(Q, ε) del punto Q contiene punti di A (lo stesso
Q) e punti di Ac (tutti i punti dell’intorno diversi da Q). Dunque,
Q e un punto di frontiera per A.
. Per ogni P0 ∈ R2 \ {Q} esiste ε > 0 tale che l’intorno D(P0, ε)
non contiene Q, ed e quindi conteunto in Ac. Pertanto, ogni
P0 ∈ R2 \ {Q} e esterno ad A.
In conclusione, nel caso in esame e
A◦ = ∅; Ae = R2 \ {Q} = Ac; ∂A = {Q} = A. (6.45)
iv) Nei casi A = R2 o A = ∅, con considerazioni analoghe a quelle
di pag. 311 si trova quanto segue:
(R2)◦
= R2 ; (R2)e
= ∅ ; ∂(R2) = ∅ . (6.46)
∅◦ = ∅ ; ∅e = R2 ; ∂∅ = ∅ . (6.47)
415
Sottoinsiemi aperti di R2. La parte interna di un
sottoinsieme di R2 e un aperto.
6.16 Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ R2 si dice aperto se
ogni suo punto e interno all’insieme stesso.
Una osservazione fatta a suo tempo per gli aperti in R (pag. 316)
vale anche nel contesto presente, in cui si puo formulare cosı : per
ogni A ⊂ R2,
A e aperto ⇐⇒ A = A◦ . (6.48)
6.17 Esempi. i) Come a pag. 413 fissiamo un punto Q ∈ R2,
un raggio r ∈ (0,+∞) e consideriamo l’insieme
A := D(Q, r) = {P ∈ R2 | d(Q,P ) < r} .
Alla pagina citata abbiamo gia notato che per questo insieme e
A◦ = A; dunque A e un aperto. Tra l’altro, questo risultato
spiega perche un insieme del tipo D(Q, r) e chiamato un “disco
aperto”: in effetti, un tale insieme e un aperto nel senso generale
della Definizione 6.16.
ii) Da pag. 415 sappiamo che (R2)◦
= R2 e ∅◦ = ∅; dunque, R2 e
∅ sono sottoinsiemi aperti di R2. �
416
Per gli aperti di R2 valgono i risultati seguenti, analoghi a quelli
presentati alle pagg. 318 e 322 operando in R.
6.18 Proposizione. i) (Ai)i∈I sia una famiglia di aperti di
R2 (indiciata da un insieme I arbitrario, eventualmente infinito).
Allora, l’unione ∪i∈IAi e un aperto.
ii) (Ai)i∈I sia una famiglia di aperti di R2, indiciata da un insieme
I finito. Allora, l’intersezione ∩i∈IAi e un aperto.
6.19 Proposizione. Sia A un sottoinsieme di R2. Allora, A◦
e il piu grande sottoinsieme aperto di R2 contenuto in A. (Con
cio si intende che: A◦ e un aperto di R2 contenuto in A; se B e
un qualunque aperto di R2 contenuto in A, allora B ⊂ A◦).
417
Sottoinsiemi chiusi di R2. Chiusura e punti aderenti
per un sottoinsieme di R2. Sottoinsiemi densi.
6.20 Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ R2 si dice chiuso se
contiene la sua frontiera: ∂A ⊂ A.
6.21 Esempi. i) Siano Q ∈ R2, r ∈ (0,+∞) e
A := D (Q, r) = {P ∈ R2 | d(Q,P ) 6 r} .
Da pag. 414 sappiamo che ∂A = C(Q, r) ⊂ A; dunque A e
chiuso.
Ora passiamo al caso in cui A e l’insieme formato da un solo punto
Q (ovvero, e il disco chiuso di centro Q e raggio zero):
A = {Q} = D(Q, 0) .
Da pag. 415 sappiamo che ∂A = {Q} = A; dunque, anche in
questo caso A e chiuso.
Riassumendo, per ogni punto Q di R2 ed ogni raggio r ∈ [0,+∞),
l’insieme D(Q, r) e un sottoinsieme chiuso di R2; tra l’altro, que-
sto spiega la denominazione di “disco chiuso” data agli insiemi del
tipo D (Q, r).
ii) Da pag. 415 sappiamo che ∂R = ∅ ⊂ R e ∂∅ = ∅ ⊂ ∅;
dunque, R2 e ∅ sono chiusi. �
418
Per i chiusi di R2 valgono i risultati seguenti, analoghi a quelli
delle pagg. 326 e 328 sui chiusi di R.
6.22 Proposizione. Per ogni A ⊂ R2,
A chiuso ⇐⇒ Ac aperto . (6.49)
A aperto ⇐⇒ Ac chiuso . (6.50)
6.23 Proposizione. i) (Ai)i∈I sia una famiglia di chiusi di
R2 (indiciata da un insieme I arbitrario, eventualmente infinito).
Allora, l’intersezione ∩i∈IAi e un chiuso.
ii) (Ai)i∈I sia una famiglia di chiusi di R2, indiciata da un insieme
I finito. Allora, l’unione ∪i∈IAi e un chiuso.
419
Le pagione restanti di questa sezione presentano per il caso di R2
definizioni e proposizioni simili a quelle incontrate, operando in
R, nelle pagg. 331-345.
6.24 Definizione. La chiusura di un sottoinsieme A di R2 e
A := A ∪ ∂A . (6.51)
6.25 Esempio. Siano Q un punto di R2, r ∈ (0,+∞) e
A := {P ∈ R2 | d(Q,P ) < r} = D(Q, r) .
Da pag. 413 sappiamo che ∂A = {P | d(Q,P ) = r} = C(Q, r);
quindi
A = D(Q, r) ∪ C(Q, r) = D (Q, r) . (6.52)
6.26 Proposizione. Per ogni sottoinsieme A ⊂ R2:
i) A e il piu piccolo chiuso contenente A. (Con cio si intende
quanto segue: A e un chiuso contenente A; se B ⊂ R2 e un
chiuso contente A, allora B ⊃ A).
ii) A e chiuso se e solo se A = A.
420
6.27 Definizione. Si consideri un sottoinsieme A di R2. Un
punto P0 ∈ R2 e aderente per A se, per ogni ε > 0, l’intorno
D(P0, ε) contiene punti di A.
�
Notiamo che un P0 ∈ A e aderente per A; infatti, per ogni ε > 0
l’intorno D(P0, ε) contiene almeno un punto di A, che e lo stesso
P0.
6.28 Proposizione. La chiusura di qualunque A ⊂ R2 coin-
cide con l’insieme dei punti aderenti per A.
421
6.29 Definizione Siano A,B due sottinsiemi di R2. Si dice
che A e denso in B se A = B.
Se A e denso in R2 (cioe, se A = R2), spesso si dice piu breve-
mente che “A e denso”.
422
Sottoinsiemi limitati di R2. Sottoinsiemi compatti.
Anche in questo paragrafo, presentiamo nel caso di R2 gli analoghi
di alcuni concetti gia incontrati in R (pagg. 346-351).
6.30 Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ R2 si dice limitato se
esistono Q ∈ R2, r ∈ [0,+∞) tale che
A ⊂ D (Q,R) (6.53)
(notiamo che questa condizione significa: d(Q,P ) 6 r per ogni
P ∈ A). �
423
6.31 Definizione. Un sottoinsieme K ⊂ R2 si dice compatto
se e chiuso e limitato. �
6.32 Esempio. Se Q ∈ R2 e r ∈ [0,+∞), il disco chiu-
so D (Q, r) e un sottoinsieme di R2 chiuso e limitato, e quindi
compatto. �
6.33 Proposizione. i) L’intersezione di una famiglia arbitraria
e l’unione di una famiglia finita di sottoinsiemi limitati di R2 sono
sottoinsiemi limitati di R2.
ii) L’intersezione di una famiglia arbitraria e l’unione di una fa-
miglia finita di sottoinsiemi compatti di R2 sono sottoinsiemi
compatti di R2.
424
Punti di accumulazione per un sottoinsieme di R2.
Insieme derivato.
Qui di seguito presentiamo, nel caso di R2, una nozione il cui
analogo per il caso di R e stato discusso a pag. 352 e seguenti.
Da qui in avanti, si considera un sottoinsieme A ⊂ R2.
6.34 Definizione. i) P0 ∈ R2 si dice un punto di accumula-
zione di (o per) A se, per ogni ε > 0, l’intorno D(P0, ε) contiene
punti di A diversi da P0.
ii) L’insieme dei punti di accumulazione di A si chiama l’insieme
derivato di A (piu brevemente, il derivato di A); esso si indica
con A′. �
425
6.35 Osservazioni. Si noti la differenza tra la nozione di pun-
to di accumulazione e quella di punto aderente (gia evidenziata
ragionando sui sottoinsiemi di R): P0 ∈ R2 e un punto aderente
per A se ogni intorno di P0 contiene almeno un punto di A, che
puo essere lo stesso P0. Naturalmente
P0 e di accumulazione per A =⇒ P0 e aderente per A ;
dunque
A′ ⊂ A (6.54)
dove indica come al solito la chiusura (insieme dei punti ade-
renti).
426
6.36 Esempio. A sia formato da un solo punto Q di R2:
A = {Q} . (6.55)
Se P0 ∈ R2 e P0 6= Q, esiste un intorno di P0 che non contiene
punti di A: dunque P0 6∈ A′.
Ora consideriamo il caso P0 = Q. Per qualunque ε > 0, l’intorno
D(Q, ε) contiene un unico punto di A, che e lo stesso Q; dunque,
Q 6∈ A′. In conclusione, nel caso in esame
A′ = ∅ (6.56)
(mentre l’insieme dei punti aderenti di A, cioe la chiusura A , e lo
stesso A).
Punti isolati di un sottoisieme di R2
Consideriamo un sottoinsieme A di R2
6.37 Definizione. Un punto P0 ∈ A si dice isolato se esiste
un intorno D(P0, ε) che non contiene punti di A diversi da P0.
Ais indichera l’insieme dei punti isolati di A. �
Ogni punto diA e di accumulazione o isolato, cioeA = (A ∩ A′) ∪ Ais.
Nell’Esempio 6.36 e Ais = {Q} = A.
427
7 QUALCHE FATTO SU R3. CENNI SU Rn PER
n ARBITRARIO.
Un richiamo: la corrispondenza tra R3 e lo spazio
ordinario indotta da un terna di assi cartesiani.
Consideriamo lo spazio ordinario Σ della geometria euclidea.
Scegliamo una unita di lunghezza, che sara impiegata sistematica-
mente per identificare le lunghezze dei segmenti in Σ con numeri
reali in [0,+∞).
Inoltre fissiamo una terna di assi cartesiani, cioe tre rette orien-
tate, intersecantisi in un punto O assunto come origine. Chiamia-
mo queste rette: l’“asse x”, o “asse delle ascisse”; l’“asse y”, o
“asse delle ordinate”; l’“asse z” o “asse delle quote”.
Nel Capitolo “Insiemi, applicazioni, ...” abbiamo gia mostra-
to come, con questi dati, si possa indurre una corrispondenza
biunivoca
R3 → Σ , (x, y, z) 7→ P (x, y, z) ; (7.1)
P (x, y, z) si chiama il punto di coordinate cartesiane (x, y, z), o
anche il punto di ascissa x, ordinata y e quota z.
428
Nelle pagine seguenti supporremo di avere fissato gli assi cartesiani
(e l’unita di lunghezza) una volta per tutte. Molto spesso, useremo
la (7.1) per fare le identificazioni
R3 ' Σ , (x, y, z) ' P (x, y, z) . (7.2)
429
La distanza tra punti dello spazio ordinario.
In questo paragrafo supponiamo che gli assi cartesiani scelti in Σ
siano ortogonali. Consideriamo due punti
P1 = (x1, y1, z1) , P2 = (x2, y2, z2) . (7.3)
Ci interessa la lunghezza |P1P2| ∈ [0,+∞) (cioe, con la termi-
nologia che introdurremo tra poco, la distanza tra P1 e P2).
7.1 Proposizione. Risulta
|P1P2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 . (7.4)
430
Dimostrazione∗. Consideriamo i punti
S1 := (x1, y1, 0) , S2 := (x2, y2, 0) , Q := (x2, x2, z1) . (7.5)
Il triangolo P1QP2 e rettangolo; quindi, per il teorema di Pitagora,
|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2 . (7.6)
D’altra parte
|QP2| = |z2 − z1| , (7.7)
|P1Q| = |S1S2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ; (7.8)
qui, sopra la lunghezza |S1S2| e stata determinata tenendo pre-
sente che S1, S2 sono due punti del piano individuato dagli assi x
e y, e utilizzando la formula nota per la distanza tra due punti di
un piano in termini delle loro coordinate cartesiane (pag. 401).
431
Sostituendo le (7.7) (7.8) nella (7.6), otteniamo
|P1P2|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2, (7.9)
da cui l’asserto (6.21). �
Ora fissiamo l’uso dell’espressione “distanza”, gia comparsa a pag.
430.
7.2 Definizione. D’ora in avanti, dati due punti P1, P2 del-
lo spazio ordinario Σ, useremo spesso l’espressione “la distanza
tra P1 e P2” per indicare la lunghezza |P1P2|. Tale lunghezza si
indichera anche con il simbolo d(P1, P2). �
Abbiamo dunque una funzione
d : Σ× Σ→ [0,+∞) , (P1, P2) 7→ d(P1, P2) . (7.10)
Si vede che questa ha proprieta analoghe a quella evidenziate a
pag. 404 per la distanza tra punti del piano (d(P1, P2) = 0 se
e solo se P1 = P2; d(P1, P2) = d(P2, P1); vale la disuguaglianza
triangolare d(P1, P2) 6 d(P1, P3) + d(P3, P2)).
Naturalmente, con l’usuale identificazione
R3 ' Σ (7.11)
possiamo pensare la distanza come una funzione
d : R3 × R3 → [0,+∞) . (7.12)
432
Sfere nello spazio ordinario
Consideriamo un punto P0 nello spazio ordinario Σ. La superficie
sferica di centro P0 e raggio r ∈ [0,+∞) e l’insieme
S(P0, r) := {P ∈ Σ | d(P0, P ) = r} . (7.13)
La sfera (o bolla) aperta di centro P0 e raggio r ∈ (0,+∞) e
l’insieme
B(P0, r) := {P ∈ Σ | d(P0, P ) < r} ; (7.14)
la sfera (o bolla) chiusa di centro P0 e raggio r ∈ [0,+∞) e
l’insieme
B (P0, r) := {P ∈ Σ | d(P0, P ) 6 r} . (7.15)
433
Risulta
B (P0, 0) = {P0} ; (7.16)
B (P0, r) = B(P0, r) ∪ S(P0, r) se r ∈ (0,+∞). (7.17)
Con l’identificazione R3 ' Σ indotta da una terna di assi car-
tesiani, le superfici sferiche e le sfere definite sopra diventano
sottoinsiemi di R3.
Nozione di intorno di un punto di R3. Aperti e chiusi
in R3, ecc.
Consideriamo un punto P0 ∈ R3 (' Σ).
7.3 Definizione. Per ogni ε > 0, la sfera aperta B(P0, ε) =
{P ∈ R3 | d(P0, P ) < ε} di chiamera anche l’intorno di P0 di
raggio ε.
Ogni sfera aperta B(P0, ε), con ε > 0, si chiamera un intorno di
P0. �
434
A questo punto, usando gli intorni come avevamo gia fatto nei
casi di R e R2 possiamo definire le nozioni seguenti:
. parte interna, parte esterna e frontiera di un sottoinsieme
A ⊂ R3;
. sottoinsieme aperto di R3;
. sottoinsieme chiuso di R3; punti aderenti e chiusura di un
sottoinsieme di R3;
. punti di accumulazione e derivato di un sottoinsieme di R3;
. punto isolato di un sottoinsieme di R3.
Un sottoinsieme di R3 si dice limitato se e contenuto in un qualche
sfera, e compatto se e chiuso e limitato.
435
Lo spazio Rn: distanza tra due punti, ipersfere, intor-
ni, aperti, chiusi...
In questo paragrafo riteniamo fissato un
n ∈ {1, 2, 3, 4, ...} . (7.18)
e consideriamo lo spazio Rn, i cui elementi sono le n-uple di numeri
reali.
Si puo introdurre una nozione di spazio euclideo n-dimensionale;
se Σn e un tale spazio si fa vedere che, una volta scelti degli assi
cartesiani in Σn, si puo costruire una biiezione Rn → Σn.
Questa biiezione si puo usare per identificare gli elementi di Rn con
punti di Σn; percio, qui di seguito l’espressione “punto” sara usata
indifferentemente per indicare un elemento di Σn o di Rn. Tipi-
camente, gli elementi di Σn ' Rn si indicheranno con notazioni
come
P = (x1, x2, ..., xn) , (7.19)
P ′ = (x′1, x′2, ..., x
′n) , P ′′ = (x′′1, x
′′2, ..., x
′′n) .
436
E’ ben definita una funzione distanza
d : Σn × Σn ' Rn × Rn → [0,+∞) , (7.20)
(P ′, P ′′) 7→ d(P ′, P ′′) ;
la distanza tra due punti P ′ e P ′′ rappresenta la lunghezza del
segmento con estremi P ′ e P ′′.
La funzione (7.20) ha proprieta del tutto analoghe a quelle evi-
denziate a pag. 404 per la distanza nel piano Π ' R2. Dunque:
d(P ′, P ′′) = 0 se e solo se P ′ = P ′′; d(P ′, P ′′) = d(P ′′, P ′); per
ogni terna di punti P ′, P ′′, P ′′′, vale la disuguaglianza triangolare
d(P ′, P ′′′) ≤ d(P ′, P ′′) + d(P ′′, P ′′′).
Se P ′ = (x′1, x′2, ..., x
′n), P ′′ = (x′′1, x
′′2, ..., x
′′n) (e se l’identificazione
Σn ' Rn e stata costruita usando assi cartesiani ortogonali), allora
d(P ′, P ′′) =√
(x′′1 − x′1)2 + (x′′2 − x′2)2 + ... + (x′′n − x′n)2 =
=
√√√√ n∑i=1
(x′′i − x′i)2 . (7.21)
437
Usando la distanza si puo introdurre la nozione di (iper)sfera
aperta o chiusa. Piu precisamente, dati un punto P0 = (x01, ..., x0n)
ed un r ∈ (0,+∞), l’ipersfera aperta (o, piu brevemente: la sfera
aperta) di centro P0 e raggio r e
B(P0, r) := {P ∈ Σn | d(P0, P ) < r} ; (7.22)
se r ∈ [0,+∞), l’ipersfera chiusa (o, piu brevemente: la sfera
chiusa) di centro P0 e raggio r e
B (P0, r) := {P ∈ Σn | d(P0, P ) ≤ r} ; (7.23)
questa si riduce al punto P0 se r = 0 e, per r > 0, e l’unio-
ne tra l’ipersfera aperta B(P0, r) e la (iper)superficie sferica
S(P0, r) := {P ∈ Σn | d(P0, P ) = r}.
438
Dato P0 ∈ Σn ' Rn, le (iper)sfere aperte di centro P0 e raggio
arbitrario si chiamano anche gli intorni di P0.
Usando la nozione di intorno, si possono definire le nozioni di:
. parte interna, esterna e frontiera di un sottoinsieme A di Σn '
Rn;
. sottoinsieme A di Rn aperto o chiuso,
e tutte le altre nozioni che, nei casi di R,R2 o R3, abbiamo gia
formulato nel linguaggio degli intorni.
439
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