1 CAPITOLO 3 I NUMERI COMPLESSI Definizione e operazioni algebriche con i numeri complessi Come per i sistemi numerici fin qui noti, è stato un “bisogno” che ha portato all’introduzione dell’insieme dei numeri complessi: quello di poter lavorare con le radici dei numeri negativi. Per fissare le idee, è opportuno ricordare il rapporto di inclusione insiemistica dei vari insiemi numerici, e che ogni volta che un insieme numerico è stato ampliato, le sue leggi e le sue proprietà si sono trasferite nell’insieme esteso.

L’introduzione dei numeri complessi ha permesso, ad esempio, la risoluzione delle equazioni di secondo grado ax2 + bx + c = 0( )che non sono

risolubili nell’insieme dei numeri reali b2 −4ac < 0( ) , come ad esempio

l’equazione x2 +1= 0 . Superiamo lo scoglio rappresentato dalla non negatività del quadrato di un numero reale introducendo la cosiddetta unità immaginaria, “i” tale che

i2 = −1 . In questo modo l’espressione −1 diventa i2 . Al fine di lavorare con l’unità immaginaria i come con un ordinario numero reale, dobbiamo porci nella condizione di definire simboli come, ad esempio, 3i, 5-2i o, più in generale, del tipo a+ ib , dove a e b sono numeri reali qualsiasi. Questi simboli dovranno rispettare le proprietà

2 tipiche dell’addizione e della moltiplicazione quali la commutativa, la distributiva e l’associativa:

(a+ ib)+ (c + id ) = (a+ c )+ i(b+ d )(a+ ib) ⋅ (c + id ) = (ac − bd )+ i(ad + bc )

Con queste definizioni, l’insieme dei numeri complessi può essere così definito:

C = z = x + iy|x, y ∈ R{ } , dove x e y rappresentano, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso z. In particolare, dalla definizione di moltiplicazione tra numeri complessi notiamo che

(x + iy) ⋅ (x − iy) = x2 − (iy)2 = x2 + y2. Inoltre, anche la sottrazione e la divisione conducono a numeri della forma a+ ib :

(a+ ib)− (c + id ) = (a − c )+ i(b− d )a+ ibc + id

=(a+ ib)(c − id )(c + id )(c − id )

=(ac + bd )c2 + d 2

+ i (bc − ad )c2 + d 2

.

Con qualche calcolo in più è possibile scrivere anche un radicale con radicando complesso nella formaa+ ib , ad esempio 5+12i . Si procede formalmente ponendo

5+12i = x + iy . A questo punto eleviamo al quadrato ed otteniamo

5+12i = x2 − y2 + i2xy . La determinazione di x e y avverrà una volta risolto il sistema

x2 − y2 = +52xy = +12

"#$

%$

ottenuto uguagliando le parti reali del radicando e del numero x + iy , e le parti immaginarie, sempre del radicando e del numero complesso. Applicando il metodo di sostituzione otteniamo l’equazione a coefficienti reali

x4 −5x2 −36 = 0 , le cui soluzioni sono

x2 = 9⇒ x = ±3 .

3 Il numero, o meglio i numeri, che permettono di esprimere il radicale 5+12i nella forma x + iy sono

z1 = −3−2iz2 = 3+2i

.

Esercizio. Risolvere nell’insieme dei numeri complessi l’equazione di secondo grado x2 −2x +2 = 0 . E’ possibile definire l’insieme dei numeri reali come il sottoinsieme dei complessi costituito dai numeri aventi parte immaginaria uguale a zero. In simboli:

R = z = x + iy ∈C| y = 0{ } . Di conseguenza, la famiglia degli insiemi numerici acquista un nuovo elemento:

Purtroppo, una proprietà comune a tutti gli insiemi numerici visti finora non si trasferisce all’insieme dei numeri complessi: l’ordinamento. Per comprendere il significato di quest’ultima affermazione occorre considerare la seguente rappresentazione. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi Dovuta essenzialmente al lavoro di matematici come Argand e Gauss1, consiste nel riportare su un piano cartesiano la parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso, rispettivamente sull’asse delle ascisse e su quello delle ordinate. Si stabilisce così una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri complessi e quello dei punti del piano.

1 Jean- Robert Argand (matematico svizzero non professionista 1768-1822) Johann Carl Friedrich Gauss (matematico, astronomo e fisico tedesco 1777-1855)

4 Si definisce il coniugato di un numero complesso z = x + iy , il numero complesso z = x − iy . Il modulo ρ di un numero complesso è definito dalla distanza del punto che lo rappresenta dall’origine:

z = x2 + y2 =: ρ . Dalla forma algebrica a quella trigonometria di un numero complesso Ragionando come nel caso delle coordinate polari, giungiamo a rappresentare un numero complesso con il suo modulo e con l’angolo che il segmento congiungente l’origine con il punto che rappresenta il numero complesso nel piano d’Argand forma con l’asse delle ascisse, misurato a partire da quest’ultimo in senso antiorario (convenzione usuale): Il passaggio dalla forma algebrica di un numero complessoz = x + iy a quella trigonometrica è guidato dalle relazioni

x =Re(z) = ρ cosθy = Im(z) = ρ sinθ

!"#

$#ρ = x2 + y2 ; tanθ = y

x, che conducono alla

forma trigonometrica del numero complesso

z = ρ cosθ + i sinθ( ) . Esempio. Si vuole trasformare dalla forma algebrica a quella trigonometrica il numero complesso z = −2−2i . Per prima cosa si rappresenta il numero sul piano d’Argand.

5 Successivamente si calcolano il modulo e l’angolo:

ρ = x2 + y2 = (−2)2 + (−2)2 = 8

tanθ = −2−2

=1⇒θ =5π4

⇒ z = 8 cos 5π4+ i sin 5π

4

#

$%

&

'(

)

*+

,+

.

Esercizio Si rappresentino sul piano d’Argand e si scrivano in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: z =1+ i , z = 2 , z = 2 3 −2i , z = −1+ i 3 . Un numero complesso ed il suo coniugato sono legati dalla relazione

z ⋅ z = ρ2 ; sussistono inoltre le seguenti relazioni:

x = z+ z2

y = z − z2i

.

Si definisce inoltre il reciproco di un numero complesso z ≠ 0 : 1z=z

z2 .

Si osserva che l’insieme dei numeri complessi di modulo unitario è rappresentato sul piano d’Argand da una circonferenza di raggio uno. Sussiste il seguente risultato: il modulo del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei numeri stessi. Teorema: Dati due numeri complessi z1,z2 risulta

z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 Dimostrazione. z1 ⋅ z2 = (x1 + iy1) ⋅ (x2 + iy2 ) = (x1x2 − y1 y2 )+ i(x1 y2 + x2 y1) . Di conseguenza

€

z1 ⋅ z2 = (x12 + y1

2)(x22 + y2

2) = z1 ⋅ z2 cvd. Un numero complesso può essere espresso in forma trigonometrica:

z = x + iy = ρ(cosθ + i sinθ ) , dove

€

θ è detto argomento del numero complesso.

6 Ragionando sui vettori associati ai numeri complessi2 è di immediata dimostrazione la cosiddetta disuguaglianza triangolare:

€

z1 + z2 ≤ z1 + z2 . Rotazioni e omotetie

Come al solito, indichiamo con x = r cosαy = r sinα

!"#

$#le coordinate del punto P nel

sistema di riferimento tradizionale; r rappresenta la distanza del punto dall’origine e

€

α l’angolo che il segmento OP forma con l’asse delle ascisse con la convenzione usuale sul verso. Le coordinate del punto P’, ottenuto

ruotando il segmento OP di un angolo

€

θ sono !x = r cos(α +θ )!y = r sin(α +θ )

"#$

%$.

Sviluppando questa espressione con le formule di addizione del seno e del coseno si arriva alla relazione

!x = r cos(α +θ ) = r(cosα cosθ − sinα sinθ ) = xcosθ − ysinθ!y = r sin(α +θ ) = r(sinα cosθ + cosα sinθ ) = x sinθ + ycosθ

#$%

&%, che

rappresenta le equazioni della rotazione di centro l’origine e angolo

€

θ . In simboli:

ρO ,θ :!x = xcosθ − ysinθ!y = x sinθ + ycosθ

#$%

&%.

Poiché una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra punti del piano, esiste la trasformazione inversa che, nel caso delle 2 Si pensi alla corrispondenza biunivoca tra punti del piano e vettori applicati nell’origine.

7 rotazioni, si otterrà “scambiando” tra loro le coordinate dei due sistemi di riferimento e ruotando di un angolo

€

−θ . In simboli:

ρ−1O ,−θ :

x = "x cosθ + "y sinθy = − "x sinθ + "y cosθ

#$%

&%.

Sia l ≠ 0 . Si dice omotetia di centro C e rapporto l, l’applicazione biunivoca del piano in sé rappresentata dalle seguenti equazioni:

!x = l(x − xC )+ xC!y = l(y− yC )+ yC

#$%

&%.

Nel caso particolare in cui il centro coincide con l’origine, le equazioni dell’omotetia assumono la forma seguente.

!x = lx!y = ly

"#$

%$

Significato geometrico della moltiplicazione di numeri complessi: rotazioni Possiamo interpretare l’operazione di moltiplicazione di due numeri complessi in termini di rotazioni e di omotetie. Infatti, il risultato dell’operazione z1 ⋅ z2 = ρ1ρ2(cos(θ1 +θ2 )+ i sin(θ1 +θ2 )) può essere visto come l’azione sul punto z1 dell’omotetia di centro l’origine e rapporto ρ2 , e della rotazione di un angolo θ2 , in senso antiorario, a partire dalla semiretta di centro l’origine a cui appartiene z1.

8

In definitiva, il prodotto di numeri complessi è ancora un numero complesso il cui modulo è il prodotto dei moduli dei due numeri dati, e l’argomento è la somma degli argomenti. Esempio. Il prodotto di z1 =1+ i per z2 = −1+ i 3 in forma trigonometrica può essere scritto, una volta espressi i numeri complessi in coordinate polari

z = ρ,θ( ) , così: z1 = 2,π4

!

"#

$

%& , z2 = 2,2π

3!

"#

$

%& , quindi

z1 ⋅ z2 = 2 2 cos π4+2π3

"

#$

%

&'+ i sin

π4+2π3

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-.

Esercizio Moltiplicare a coppie i seguenti numeri complessi z =1+ i , z = 2 z = −1+ i 3 , z = 2 3 −2i . Se moltiplichiamo un numero complesso per se stesso, otteniamo il numero complessoz2 = ρ2 cos2θ + i sin2θ( ) , se calcoliamo la terza potenza,

il risultato è z3 = ρ3 cos3θ + i sin3θ( ) .

9 In definitiva risulta

zn = ρ n (cosnθ + i sinnθ ) . Nel caso particolare in cui

€

ρ =1 si ha la formula di De Moivre: (cosθ + i sinθ )n = (cosnθ + i sinnθ ) .

La dimostrazione di questa relazione segue dall’applicazione di uno dei “principi” più importanti della matematica, il principio di induzione, e verrà affrontata in seguito. Esempi svolti 1. Si esprima in forma algebrica e trigonometrica il radicale complesso z = −i .

• x + iy( )2= −i⇒

x2 − y2 = 02xy = −1

⇒

y = −x

x = ± 12

⇒

z1 =12− i 1

2

z2 = −12+ i 1

2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

;

di conseguenza z1 =

1

2− i 1

2= cos7π

4+ i sin7π

4

z2 = −1

2+ i 1

2= cos 3π

4+ i sin 3π

4

.

2. Dopo aver espresso in forma trigonometrica i numeri complessi z1 = −1+ i e z2 = 3 3 +3i , si calcoli il loro prodotto e si fornisca un’interpretazione geometrica del risultato, specificando le equazioni delle trasformazioni interessate.

10

• z1 = −1+ i = 2 cos 3π4+ i sin 3π

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ z2 = 3 3 +3i = 6 cos π

6+ i sin π

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

• z1 ⋅ z2 = 6 2 cos11π12

+ i sin11π12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . Il punto −1,1( )è trasformato

mediante omotetia OO ,6 :ʹx = 6xʹy = 6 y

⎧⎨⎪

⎩⎪e rotazione

ρO ,π6

:ʹ́x =

3 ʹx2

−ʹy2

ʹ́y = ʹx2+3 ʹy2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

.

Le radici n-esime dell’unità La formula di De Moivre si rivela particolarmente utile per la determinazione delle cosiddette radici n-esima dell’unità, ovvero quei numeri complessi b tale che bn =1. Le radici n-esime dell’unità sono rappresentate geometricamente dai vertici del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza unitaria. Tali radici sono le soluzioni dell’equazione

zn =1 , e si indicano così:

11

zk = cos2π kn

+ i sin 2π kn ,

con k = 0,1,...,n−1. Esercizio. Si scrivano nella forma irrazionale3, e si rappresentino sul piano di Gauss, le soluzioni dell’equazione complessa z5 =1 .

Soluzione: zk = cos2kπ5

+ isin 2kπ5, k = 01,2,3, 4 .

Esercizio. Rappresentare geometricamente le soluzioni dell’equazione zn = kn , dove k è un numero reale. Procedendo come sopra, le soluzioni di questa equazione sono

z = k

θ =2π hn, h = 0,1,...,n−1

"

#$$

%$$

, e possono essere rappresentate su una

circonferenza centrata nell’origine degli assi, e di raggio uguale a k. Tale

3 Si ricordi che cos36° = 5 +14

, e checos2θ = cos2θ − sin2θ .

12 circonferenza può essere vista come la trasformata per omotetia di centro l’origine e rapporto k della circonferenza unitaria, su cui si sono rappresentate le radici n-esime dell’unità. In generale quindi, le radici n-esime di un numero complesso sono espresse dalla relazione seguente.

z = ρ cosθ + i sinθ( )⇒ zn = z1n cos θ +2kπ

n⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ i sin

θ +2kπn

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Esempio. Rappresentare geometricamente le soluzioni dell’equazione (z+w)n = kn , dove k è un numero reale, e w = a+ ibun numero complesso. E’ possibile ricondursi inizialmente al caso presentato nell’esercizio precedente mediante la sostituzione u := z+w , giungendo quindi all’equazione un = kn . Dalle soluzioni di quest’ultima equazione è possibile giungere a quelle richieste in z, sottraendo alle parti reali e immaginarie, le rispettive parti del numero complesso z. L’interpretazione geometrica di questi passi può quindi essere data in termini della solita omotetia di centro l’origine e rapporto k, e della traslazione di vettore −a,−b( ) . Esempio Rappresentare geometricamente le soluzioni dell’equazione complessa (z+1− i )4 =16 . L’equazione è del tipo (z+w)n = kn con w =1− i e k = 2 . Esercizi svolti Si rappresentino graficamente tutte le situazioni proposte

1. Si esprima in forma algebrica e trigonometrica il radicale complesso z = −i .

• x + iy( )2= −i⇒

x2 − y2 = 02xy = −1

⇒

y = −x

x = ± 12

⇒

z1 =12− i 1

2

z2 = −12+ i 1

2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

;

di conseguenza z1 =

1

2− i 1

2= cos7π

4+ i sin7π

4

z2 = −1

2+ i 1

2= cos 3π

4+ i sin 3π

4

.

13

2. Dopo aver espresso in forma trigonometrica i numeri complessi z1 = −1+ i e z2 = 3 3 +3i , si calcoli il loro prodotto e si fornisca un’interpretazione geometrica del risultato, specificando le equazioni delle trasformazioni interessate.

• z1 = −1+ i = 2 cos 3π4+ i sin 3π

4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ z2 = 3 3 +3i = 6 cos π

6+ i sin π

6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

• z1 ⋅ z2 = 6 2 cos11π12

+ i sin11π12

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . Il punto −1,1( )è trasformato

mediante omotetia OO ,6 :ʹx = 6xʹy = 6 y

⎧⎨⎪

⎩⎪e rotazione

ρO ,π6

:ʹ́x =

3 ʹx2

−ʹy2

ʹ́y = ʹx2+3 ʹy2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

.

14

3. E’ data l’equazione z4 −2z3 +3z2 −2z+2 = 0 , dove z ∈C . Si verifichi che i e –i sono soluzioni e si determinino le rimanenti soluzioni.

a. Si scrive l’equazione nella forma z4 +2z2 +1−2z3 + z2 −2z+1= 0 = z2 +1( )

2−2z z2 +1( )+ z2 +1( ) , da cui

segue, raccogliendo opportunamente:

z2 +1( ) z2 −2z+2"#

$%= 0⇒

z1 = i = i sinπ2

z2 = −i = −i sinπ2

z3 =1+ i = 2 cos π4+ i sin π

4

'

()

*

+,

z4 =1− i = 2 cos7π4+ i sin7π

4

'

()

*

+,

-

.

/////

0

/////

.

4. E’ dato il numero complesso z = 32−i2

.

a) Si scriva la forma trigonometrica di z.

• z = 32− i 12= ρ(cosθ + i sinθ ) = 3

4+14cos −π

6

"

#$

%

&'+ i sin −

π6

"

#$

%

&'

"

#$

%

&' .

b) Si calcoli la potenza dodicesima

€

z1.

15

• zn = ρ n (cosnθ + i sinnθ )⇒ z12 =112 cos −12π6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ i sin −

12π6

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=1.

c) Si determinino le radici seste di

€

z1 e si rappresentino nel piano dei numeri complessi.

• Dalla formula di De Moivre segue (cosθ + i sinθ )6 = (cos6θ + i sin6θ )

da cui zk = cos2π k6

+ i sin 2π k6

, k = 0,1,2,3,4,5 .

5. Risolvere l’equazione (1+ i )z3 = 8 2i , con z ∈C .

• (1+ i )z3 = 8 2i⇒ z3 = 8 2i(1+ i )

=8 2i(1− i )

2= 4 2(1+ i ) . Si scrive 4 2(1+ i )

in forma trigonometrica: 4 2(1+ i ) = 8 cos π4+ i sin π

4

!

"#

$

%& e si uguaglia a

z3 = ρ3(cos3θ + i sin3θ ) . Di conseguenza

z3 = ρ3(cos3θ + i sin3θ ) = 8 cos π4+ i sin π

4

!

"#

$

%&⇒

ρ3 = 8⇒ ρ = 83 = 2

3θ = π4+2kπ ⇒θ =

π12+2kπ3

, k = 0,1,2

(

)*

+*

6. Risolvere la seguente equazione:

€

z4 =1− i. Cosa rappresentano sul piano di Gauss le soluzioni di questa equazione?

ρ4 cos4θ + iρ4 sin4θ =1− i = r cosα + ir sinα

r cosα =1r sinα = −1

"#$

⇒r = 2

α = −π4

"

#&

$&

⇒ρ4 = 2

4θ = −π4+2kπ , k = 0,1,2,3

"

#&

$&

ρ = 28

θ =−π4+2kπ

4, k = 0,1,2,3

"

#

$$

%

$$

• Le soluzioni dell’equazione in questione rappresentano, sul piano di

Gauss, i vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio ρ = 28 .

7. Risolvere la seguente equazione: z6 = −i .

16

• Dalla formula di De Moivre: z6 = ρ6 cos6θ + i sin6θ( ) . Scriviamo il numero complesso –i in forma trigonometrica:

−i = cos −π2+2kπ

"

#$

%

&'+ i sin −

π2+2kπ

"

#$

%

&' . Di conseguenza:

ρ6 =1

6θ = −π2+2kπ

"

#$

%$

⇒ρ =1

θ = −π12+kπ3, k = 0,1,2,3,4,5

"

#$

%$

.

8. Risolvere le seguenti equazioni nell’insieme dei numeri complessi: a) z4 = z 3 (suggerimento: si moltiplichino ambo i membri per z3 e si ricordi che zz = z

2…) • La soluzione z = 0 è di tutta evidenza. Archiviata e posto z ≠ 0 risulta:

z7 = z6⇒ z

7cos7θ + i sin7θ( ) = z

6cos2kπ + i sin2kπ( )⇒

z =1

θk =2kπ7,k = 0,1,2,3,4,5,6

"

#$

%$

b) z2 + i ⋅ z =1.

•

z = x + iy⇒ x2 − y2 +2xyi + ix + y−1= 0⇒ x2 − y2 + y−1= 0x(2 y+1) = 0

#$%

&%

x = 0y2 − y+1= 0

⇒ imp; x2 −1 4−1 2−1= 0y = −1 2

#$%

&%

#$%

&%

x = ± 7 8y = −1 2

#$%

&%

. Le

soluzioni sono dunque z = ± 78− i 12

.

9. Si determinino algebricamente e si rappresentino geometricamente le soluzioni dell’equazione complessa z −1 + z+1 = 4 .

• Nel piano complesso le soluzioni possono essere interpretate come i punti la cui somma delle distanze da −1;0( ), 1,0( ) è costante e vale 4: si tratta quindi di un’ellisse con fuochi nei

punti −1;0( ), 1,0( ) e semiasse a = 2 : x2

4+y2

3=1.

17

• Per via algebrica:

x −1+ iy + x +1+ iy = 4⇒ x −1( )2+ y2 =16+ x +1( )

2+ y2 −8 x +1( )

2+ y2

−2x =16+2x −8 x +1( )2+ y2 ⇒ 4+ x = 2 x +1( )

2+ y2

16+8x + x2 = 4x2 +8x +4+4 y2 ⇒ 3x2 +4 y2 =12⇒ x2

4+y2

3=1

.

10. Si calcoli l’area del poligono i cui vertici nel piano cartesiano sono

soluzioni dell’equazione z − i( )3= 8 .

• Poniamo

z − i := u⇒ u3 = 8⇒ρ = 2

θk =2π k3

k = 0,1,2

#

$%

&%

⇒

z1 = 2+ i

z2 = −1+ 1+ 3( ) iz3 = −1+ 1− 3( ) i

.

11. Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri complessi: z3 − iz2 − z+ i = 0 .

• z2 z − i( )− z − i( ) = z2 −1( ) z − i( )⇒ z1 =1, z2 = −1, z3 = i .

18

12. E’ data la funzione f :C − 0{ }→C − 0{ }

z! f (z) = 4z

. a) Si determinino i

punti fissi, b) si risolva l’equazione 16 f (z) = z3 . • a) f (z) = z⇒ 4

z= z⇒ 4 = zz = z 2 ⇒ z = x + iy ∈C x2 + y2 = 2{ }.

• b)

16 f (z) = z3 ⇒ 64z= z3 ⇒ 64 = z2 z

2= ρ4 cos2θ + i sin2θ( )

64 cos2kπ + i sin2kπ( ) = ρ4 cos2θ + i sin2θ( )⇒ ρ = 8θ1 = 0;θ2 = π

.

13. Si determinino i punti fissi della funzione f (z) = zz−1

.

Si risolve l’equazione f (z) = z⇒ zz −1

= z⇒ z − z2 + zz −1

= 0⇒ z − z2 + z = 0;z ≠1.

x − iy− x2 + y2 −2xyi + x + iy = 0⇒ −x2 + y2 +2x = 0−2xy = 0

⇒ y = 0x = 0

∨x = 0;x = 2y = 0

$%&

'&

$%&

'&

$%&

'&

19 I numeri complessi e le formule goniometriche La formula di De Moivre permette di calcolare espressioni quali, ad esempio,cos3ϕ o sin3ϕ . Infatti, cos3ϕ + i sin3ϕ = cosϕ + i sinϕ( )

3= cos3ϕ +3i cos2ϕ sinϕ −3cosϕ sin2ϕ − i sin3ϕ ; da

cui segue, uguagliando parte reale e parte immaginaria tra i due membri: cos3ϕ = cos3ϕ −3cosϕ sin2ϕ = 4cos3ϕ −3cosϕ

sin3ϕ = 3cos2ϕ sinϕ − sin3ϕ = 3sinϕ −4sin3ϕ

"#$

%$.

Esempi svolti

1. Risolvere le seguenti equazioni complesse: 2z4 + z3 − z −2 = 0

2iz+2(z+ i ) = (1− i )2.

• a) 2z4 + z3 − z −2 = 0⇒ 2 z4 −1( )+ z z2 −1( ) = z2 −1( ) 2z2 +2+ z( ) , le cui

soluzioni sono z =1,−1,−1+ i 154

,−1− i 154

.

• b) 2iz+2(z+ i ) = (1− i )2 ⇒ z =1− i( )

2−2i

2 1+ i( )=−4i 1− i( )

4= −1− i .

2. Calcolare −i5 .

• −i5 = z⇒ z5 = −i⇒ z5cos5θ + i sin5θ( ) = cos 3π2 +2kπ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ i sin

3π2+2kπ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥,

da cui segue z5=1

θ =3π10

+2kπ5, k = 0,1,2,3,4

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

3. Risolvere il sistema z8 =1z = −iz

⎧⎨⎪

⎩⎪ed interpretarlo geometricamente.

• z8 =1z = −iz

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

z = cos kπ4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ i sin

kπ4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟, k = 0,1,2,3,4,5,6,7

x + iy = −i x − iy( )⇒ x + y( )+ i x + y( ) = 0⇒ y = −x

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

20

Esercizi e quesiti

1. Si descriva il procedimento che ha condotto alla scrittura del radicale di un numero complesso z = a+ ib nella forma algebrica z = x + iy . Quale interpretazione geometrica è possibile dare delle equazioni nelle incognite x e y che si ottengono?

2. In cosa consiste la rappresentazione geometrica di un numero complesso?

3. Cosa s’intende per “coniugato” di un numero complesso? Quale trasformazione geometrica è richiamata dalla rappresentazione sul piano di Gauss di un numero complesso e del suo coniugato?

4. Che relazione intercorre tra le soluzioni complesse dell’equazione di secondo grado che non ammette soluzioni reali?

5. Qual è il risultato della moltiplicazione di un numero complesso e del suo coniugato?

6. Si dimostri che zn ⋅ z n = (z ⋅ z )n . 7. Si esprima un numero complesso in forma trigonometrica, e si sfrutti

questa rappresentazione per dimostrare la disuguaglianza triangolare. 8. Quale interpretazione geometrica può essere data del prodotto di due

numeri complessi? E della potenza n-esima di un numero complesso? 9. Dedurre la formula De Moivre nel caso n = 4 . 10. Si rappresentino geometricamente le radici n-esime dell’unità. 11. Si specifichi il tipo di struttura algebrica rappresentata dall’insieme

delle radici n-esime dell’unità, munito dell’operazione di prodotto. 12. Si consideri la funzione f (z) = z2 . a) Si dica se ammette punti fissi; b)

Si determini l’immagine dei numeri aventi modulo rispettivamente minore, uguale, o maggiore di uno.

21

z = 0, z =1!"#

$%&

13. Si consideri la funzione f (z) =1 z . a) Si dica se ammette punti fissi;

b) Si determini l’immagine dei numeri aventi modulo rispettivamente minore, uguale, o maggiore di uno.

z =1, z = −1"#$

%&'

14. Descrivere l’insieme dei numeri complessi tali che z ≥ z − i .

z = x + iy| y ≥ 12

"

#$

%

&'

22 15. Risolvere le seguenti equazioni:

a)z2 +3iz+4 = 0; i;−4i⎡⎣ ⎤⎦

b)z2 = z ; 0; 1; −1± i 32

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

c )z2 +2z+ i = 0; −1± 2 +12∓ i 2 −1

2

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

d )z3 = izz ; ± 3 + i2

; −i; 0⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

e ) z2z2 = i

ρ =1

θ =π4+ kπ ; k = 0,1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

f ) z3 − iz2 − z+ i = 0 1; −1; i⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

g ) z5 − z2z = 0 0(doppia);±1;±i⎡⎣ ⎤⎦

h) z4 + 1− i( )z2 −1= 0 ±1; ±12+ i 1

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

16. Risolvere, nell’insieme dei numeri complessi, l’equazione algebrica x4 − x2 +1= 0 , e rappresentare sul piano di Gauss le sue soluzioni. Si scrivano le equazioni della trasformazione geometrica ottenute componendo una rotazione di 45° in senso antiorario rispetto

all’origine, con una dilatazione di fattore 32

lungo la direzione

orizzontale, e 12

lungo quella verticale. Dimostrare infine, che

questa trasformazione geometrica muta il quadrato inscritto nella

23

circonferenza unitaria con un vertice nel punto di coordinate 1,0( ) , nel rettangolo i cui vertici corrispondono alle soluzioni dell’equazione algebrica di partenza.

• Mediante la sostituzione x2 = t , le soluzioni sono t = 12± i 3

2. Con la

formula di De Moivre si trovano le soluzioni dell’equazione di partenza:

ρ2 cos2θ + i sin2θ( ) = 12 ± i32⇒

ρ =1

θ1 =π6,θ2 =

5π6,θ3 =

7π6;θ4 =

11π6

"

#$

%$

.

• ρ45°

!x = 12x − y( )

!y = 12x + y( )

#

$

%%

&

%%

,a!!x =

32!x

!!y = 12!y

#

$

%%

&

%%

⇒!!x =

32x − y( )

!!y = 12x + y( )

#

$

%%

&

%%

.

• 1,0( )→ 32,12

"

#$$

%

&''; 0,1( )→ −

32,12

"

#$$

%

&''; −1,0( )→ −

32,−12

"

#$$

%

&''; 0,−1( )→ 3

2,−12

"

#$$

%

&'';

24

A-LEVEL MATHEMATICS

1. Find in the form x + iy the solutions of the following equations: (a)z2 = −25;(b)(2z−3)2 = −25;(c)(z− 2i)2 = 49 .

2. If zz− 2

= 2+ i , find z in the form x + iy .

3. Sketch the loci described by (a) z+ 2i =1;(b)arg(z−1) = − 2π

3;(c) z+ 2+ i = z− 4+ i .

4. If P represents the complex number 3 + i , find geometrically the two possible complex numbers represented by Q, the third vertex of the equilateral triangle OPQ.

5. Find the roots of the equations: (a)(1− i)z2 − 2iz+3− i = 0;(b)z2 + 2z+ 5= 0 . 6. Expand (cosθ + isinθ )5 by the binomial theorem. From this expansion,

show that cos5θ =16c2 − 20c3 + 5c , where c = cosθ . Obtain a similar expression for cos6θ .

Approfondimento: Il “terzo grado” Polinomi, equazioni, funzioni. Presentiamo un percorso limitato allo studio delle principali proprietà, e delle loro implicazioni, degli “oggetti di terzo grado”. Queste note possono essere lette a vari livelli, in base alle conoscenze acquisite. I richiami agli argomenti curriculari non mancheranno, ma sarà compito del lettore andare a rivedere quelle parti necessarie alla comprensione del testo, che possono creargli delle difficoltà. Tuttavia, alla fine del quinto anno del Liceo Scientifico è auspicabile che il lettore sia in grado di dominare il contenuto di questi appunti, e che ne possa apprezzare il carattere trasversale del contenuto.

25 Definizione. Un polinomio di terzo grado è un’espressione del tipo

P3 x( ) = ax3 + bx2 + cx + d .

E’ noto che, in generale, più grande è il grado, più difficile da trattare è il polinomio. Ma cosa significa trattare un polinomio? E’ qui che entrano in scena le equazioni e le funzioni. Definizione. Una funzione polinomiale di terzo grado è una legge che associa ad ogni numero reale x, un numero reale, che indichiamo con f x( ) . In Simboli:

x→ f x( ) = ax3 + bx2 + cx + d .

Ci occuperemo in seguito della rappresentazione grafica di una funzione polinomiale di terzo grado (d’ora in poi cubica), per il momento ci limitiamo alla questione della determinazione degli zeri della funzione, cioè dei punti del piano in cui questa taglia l’asse delle ascisse. Gli zeri si determinano annullando il valore dell’immagine di una funzione: f x( ) = 0 . Nel nostro caso si tratta di risolvere un’equazione di terzo grado (d’ora in poi un’equazione cubica). Definizione. Un’equazione (algebrica) di terzo grado è un’uguaglianza del tipo

ax3 + bx2 + cx + d = 0 . Termina qui questa breve introduzione, con la quale sono stati presentati in forma coesa i concetti di polinomio, equazione e funzione di terzo grado. Per iniziare a comprendere quanto possono essere legati tra loro le funzioni e le equazioni cubiche, richiamiamo qualche risultato preliminare sui polinomi. Osserviamo innanzitutto che un polinomio di terzo grado può essere scritto privandolo del termine di secondo grado.

Proposizione. Ogni polinomio cubico del tipo p3 x( ) = x3 + ax2 + bx + c 4può essere

scritto nella forma !p3 x( ) = x3 + px + q .

Dimostrazione. Consideriamo la sostituzione x −α : p3 x −α( ) = x −α( )

3+ a x −α( )

2+ b x −α( )+ c . Scriviamo il polinomio in forma

canonica: p3 x( ) = x3 + 3α + a( )x2 + 3α2 +2aα + b( )x +α3 + aα2 + bα + c . Si giunge

4 I polinomi in cui il coefficiente del termine di grado massimo è 1 si dicono monici.

26

alla tesi ponendo 3α + a = 0⇒α = −a3

, da cui segue !p3 x( ) = x3 + px + q avendo

posto b− a

2

3:= p

2a3

27−ba3+ c := q

"

#

$$

%

$$

.

Osservazione. La sostituzione utilizzata nella dimostrazione precedente ha un’interessante interpretazione geometrica: si tratta di una traslazione del

grafico della funzione f x( ) = x3 + ax2 + bx + c verso destra di fattore a3

.

Polinomi: generalità e principali risultati Consideriamo identici due polinomi che hanno lo stesso grado, e gli stessi coefficienti corrispondenti. Definizione. Si dice che il polinomio A(x) è divisibile per il polinomio B(x) se esiste un polinomio Q(x) , detto il quoziente, tale che A(x) =Q(x)B(x) .

Esercizio. Si dica per quale valore di h il polinomio x3 − 4x2 + 4x + h è divisibile per x +1.

• Posto x3 − 4x2 + 4x + h = (x +1)(ax2 + bx + c)⇒ h = 9 .

Definizione. Un polinomio si dice riducibile se ammette divisori diversi dalle costanti non nulle e da se stesso; in caso contrario si dice irriducibile. Analogamente al caso dei numeri interi, il polinomio A(x) è divisibile per B(x) se e soltanto se il resto R(x) è uguale a zero. Sussiste al riguardo il seguente risultato. Teorema 3. (Ruffini) Il polinomio A(x) è divisibile per (x −α) quando il resto R(x) è uguale a zero, quindi se e solo se A(α) = 0 . In questo caso si dice che α è una radice del polinomio. Dimostrazione. (⇒) A(x) è divisibile per (x −α) , allora A(x) = (x −α)Q(x)⇒ A(α) = (α −α)Q(α) = 0 . (⇐)Viceversa, posto A(x) = (x −α)Q(x)+ R(x) , segue che deg R(x)[ ] < deg x −α[ ] =1 , quindi il resto è una costante, per cui A(x) = (x −α)Q(x)+ h . Si giunge alla tesi facendo vedere che questa costante è 0: per ipotesiA(α) = 0 , allora 0 = A(α) = (α −α)Q(α)+ h⇒ h = 0 . Proposizione 1. Un polinomio di terzo grado è riducibile se e solo se ammette una radice.

27 Dimostrazione. (⇒) Un polinomio di terzo grado riducibile può essere scritto nel prodotto di un polinomio di primo grado uno per uno di secondo. La tesi segue dal fatto che un polinomio di grado uno ammette sempre una radice. (⇐) Viceversa, se il polinomio A(x) ammette una radice α , può essere scritto nella forma A(x) = (x −α)Q(x) , dove il quoziente è un polinomio di secondo grado. Proposizione 2. Se α è una radice di un polinomio a coefficienti interi, allora α divide il termine noto. Dimostrazione. P(x) = a0 + a1x +...+ anx

n ⇒ 0 = P(α)⇒−a0 =α a1 + a2α +...+ anαn−1( )⇒α | a0 .

La riducibilità di un polinomio è strettamente connessa all’equazione ad esso associata. Nel caso di un polinomio di terzo grado, si possono presentare i seguenti casi:

a) 3 soluzioni distinte: x3 + ax2 + bx + c = x − x1( ) x − x2( ) x − x3( ) . b) 2 soluzioni distinte: x3 + ax2 + bx + c = x − x1( ) x − x2( )2 . c) 1 soluzione: x3 + ax2 + bx + c = x − x1( ) x2 + px + q( ) , con p2 − 4q < 0 ,

oppure x3 + ax2 + bx + c = x − x1( )3(tre soluzioni coincidenti)

Dallo schema sopra emerge un fatto notevole: a differenza delle equazioni di secondo grado, una di terzo ammette sempre almeno una soluzione. Tra le varie dimostrazioni che si possono dare, segnaliamo questa giustificazione di tipo geometrico. Studiamo l’intersezione tra una parabola di equazione y = x2 + ax + b ed un’iperbole di equazione xy+ c = 0 . Risulta, sostituendo l’ordinata della parabola nell’equazione dell’iperbole: x3 + ax2 + bx + c = 0 . La risoluzione di un’equazione di terzo grado è quindi connessa ad un problema geometrico, quello dell’intersezione di una parabola e di un’iperbole. Esempio. Vogliamo studiare l’intersezione della parabola di equazione y = x2 + x +1 con l’iperbole xy =1.

28

Dal grafico (realizzato con il software dinamico geogebra) possiamo dare una risposta quantitativa al problema: esiste una sola intersezione, con ascissa compresa tra 0 e 1. Il problema algebrico equivalente sarebbe stato quello in cui si chiede di risolvere l’equazione di terzo grado x3 + x2 + x −1= 0 . Volendo seguire la via geometrica, si pone la questione di “smontare” l’equazione di terzo grado in modo da tirar fuori la parabola e l’iperbole. Per questo è sufficiente seguire a ritroso la strada

x3 + ax2 + bx + c = 0⇒ y = x2 + ax + bxy+ c = 0

"#$

%$. Nel nostro caso a =1, b =1e c =1.

Esempio. Stavolta consideriamo l’equazione di terzo grado x3 − x2 − x +1= 0 . In questo caso, è possibile scrivere l’equazione in forma tale da rendere immediate le sue soluzioni: 0 = x3 − x2 − x +1= x2 x −1( )− x −1( ) = x2 −1( ) x −1( ) = x −1( )

2x +1( ) . Le soluzioni

distinte sono x =1 e x = −1. Vale la pena spendere due parole sulla soluzione x =1. E’ radice doppia del polinomio x −1( )

2, ed ascissa del vertice della

parabola y = x −1( )2: poiché l’ordinata del vertice è 0, l’asse delle ascisse è

tangente alla parabola nel vertice. S’intuisce un’altra chiave interpretativa in senso geometrico: in corrispondenza della radice doppia, la parabola y = x2 − x −1e l’iperbole xy = −1sono tangenti nel punto 1,−1( ) , nel senso che in quel punto condividono la stessa retta tangente di equazione y = x −2 .

29

Esempio. Risolviamo infine l’equazione x3 +2x2 − x −2 = 0 . Anche in questo caso è immediato porre l’equazione nella forma di prodotto di binomi: 0 = x3 +2x2 − x −2 = x −1( ) x +1( ) x +2( ) . Le tre soluzioni distinte corrispondono al caso in cui la parabola e l’iperbole s’intersecano in tre punti distinti.

Un’applicazione all’idrostatica delle equazioni di terzo grado Concludiamo questa panoramica iniziale sulle equazioni di terzo grado con la seguente applicazione ad un problema di idrostatica, suggerita dall’ingegnere belga A. Demanet nel 1898.

30 Si hanno un cilindro di superficie di base S, e un cono di raggio di base r ed altezza a. I due recipienti sono collegati attraverso un tubicino sottile, di volume trascurabile rispetto a quello dei due recipienti. Si versa del liquido di volume V in uno dei due recipienti e, per il principio dei vasi comunicanti, il livello raggiunge una quota h. Vogliamo calcolare il valore della quota h raggiunta dal liquido nei due recipienti.

Il volume totale V è dato dalla relazione π3x !r 2 + Sx =V ⇒

π3r2

a2x3 + Sx =V . Si

tratta di un’equazione di terzo grado che può essere scritta nella forma, ormai familiare, seguente:

x3 + 3a2S

π r2x −V = 0 ,

e risolta con i metodi introdotti.

Esercizio. Risolvere l’equazione sopra nel caso particolare in cui ra=

3π

, e

S =1cm2 . Interpretare fisicamente le soluzioni trovate.