AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

AritmeticaI numeri interi: Z

I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,

. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

In questo modo, N ⊆ Z.

Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.

Lo 0 non è positivo né negativo!!

EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}

−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233

I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.

Aritmetica Novembre 2013 1 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.

I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.

I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.

I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero sichiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0.

Questo numero sichiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.

Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.

Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.

Regola: Due segni negativi si cancellano:

−(−n) = n.

EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.

Aritmetica Novembre 2013 2 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.

Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:

I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.

Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.

I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.

Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.

I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.

Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.

I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.

Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:

Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +

Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.

Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva

a · (b+ c) = a · b+ a · c,

per ogni interi a, b, c.

Aritmetica Novembre 2013 3 / 9

Teorema fondamentale della Aritmetica

TeoremaOgni numero intero a diverso di 0 e di 1 e −1 si può scomporre come unprodotto di potenze di numeri primi

a = ± pα11 · · · · · p

αk

k

dove tutti gli esponenti sono positivi e tutti i primi sono diversi tra loro. Questascomposizione è unica, a meno di permutazioni dei fattori.

Aritmetica Novembre 2013 4 / 9

Aritmetica

I numeri frazionari: Q

I numeri frazionari sono espressioni del genere:

a

b

dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.

Criterio di uguaglianzaa

b=

c

dse e solo se a · d = b · c.

Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stessonumero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:

a

b=

a · cb · c

Aritmetica Novembre 2013 5 / 9

Aritmetica

I numeri frazionari: Q

I numeri frazionari sono espressioni del genere:

a

b

dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.

Criterio di uguaglianzaa

b=

c

dse e solo se a · d = b · c.

Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stessonumero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:

a

b=

a · cb · c

Aritmetica Novembre 2013 5 / 9

Aritmetica

I numeri frazionari: Q

I numeri frazionari sono espressioni del genere:

a

b

dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.

Criterio di uguaglianzaa

b=

c

dse e solo se a · d = b · c.

Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stessonumero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:

a

b=

a · cb · c

Aritmetica Novembre 2013 5 / 9

EsempiI

8

9=

24

27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.

I3

5=

3003

5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.

I6

2=

3

1, perché 6 · 1 = 2 · 3.

Osservazione: Identificandoa

1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari

contiene l’insieme degli interi:

N ⊆ Z ⊆ Q

Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:

a

b=

a · db · d

ec

d=

c · bd · b

Aritmetica Novembre 2013 6 / 9

EsempiI

8

9=

24

27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.

I3

5=

3003

5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.

I6

2=

3

1, perché 6 · 1 = 2 · 3.

Osservazione: Identificandoa

1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari

contiene l’insieme degli interi:

N ⊆ Z ⊆ Q

Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:

a

b=

a · db · d

ec

d=

c · bd · b

Aritmetica Novembre 2013 6 / 9

EsempiI

8

9=

24

27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.

I3

5=

3003

5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.

I6

2=

3

1, perché 6 · 1 = 2 · 3.

Osservazione: Identificandoa

1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari

contiene l’insieme degli interi:

N ⊆ Z ⊆ Q

Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:

a

b=

a · db · d

ec

d=

c · bd · b

Aritmetica Novembre 2013 6 / 9

EsempiI

8

9=

24

27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.

I3

5=

3003

5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.

I6

2=

3

1, perché 6 · 1 = 2 · 3.

Osservazione: Identificandoa

1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari

contiene l’insieme degli interi:

N ⊆ Z ⊆ Q

Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:

a

b=

a · db · d

ec

d=

c · bd · b

Aritmetica Novembre 2013 6 / 9

EsempiI

8

9=

24

27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.

I3

5=

3003

5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.

I6

2=

3

1, perché 6 · 1 = 2 · 3.

Osservazione: Identificandoa

1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari

contiene l’insieme degli interi:

N ⊆ Z ⊆ Q

Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:

a

b=

a · db · d

ec

d=

c · bd · b

Aritmetica Novembre 2013 6 / 9

EsempiI

8

9=

24

27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.

I3

5=

3003

5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.

I6

2=

3

1, perché 6 · 1 = 2 · 3.

Osservazione: Identificandoa

1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari

contiene l’insieme degli interi:

N ⊆ Z ⊆ Q

Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:

a

b=

a · db · d

ec

d=

c · bd · b

Aritmetica Novembre 2013 6 / 9

Somma e prodotto in Q

La somma e il prodotto si definiscono così:

a

b+

c

d=

a · d+ c · bb · d

a

b· cd=

a · cb · d

Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni condenominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la sommadei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.Cioè:

a

d+

c

d=

a+ c

d,

perché il denominatore è lo stesso.

Quindi, in generale:

a

b+

c

d=

a · db · d

+c · bd · b

=a · d+ c · b

d · b

Aritmetica Novembre 2013 7 / 9

Somma e prodotto in Q

La somma e il prodotto si definiscono così:

a

b+

c

d=

a · d+ c · bb · d

a

b· cd=

a · cb · d

Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni condenominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la sommadei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.Cioè:

a

d+

c

d=

a+ c

d,

perché il denominatore è lo stesso.

Quindi, in generale:

a

b+

c

d=

a · db · d

+c · bd · b

=a · d+ c · b

d · b

Aritmetica Novembre 2013 7 / 9

Somma e prodotto in Q

La somma e il prodotto si definiscono così:

a

b+

c

d=

a · d+ c · bb · d

a

b· cd=

a · cb · d

Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni condenominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la sommadei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.Cioè:

a

d+

c

d=

a+ c

d,

perché il denominatore è lo stesso.

Quindi, in generale:

a

b+

c

d=

a · db · d

+c · bd · b

=a · d+ c · b

d · b

Aritmetica Novembre 2013 7 / 9

EsempiSomma:

I45

14+

3

21=

45 · 21 + 3 · 1414 · 21

=987

294

I33

6+

22

9=

33 · 9 + 22 · 66 · 9

=429

54

Le stesse operazioni usando il m.c.m.:

I45

14+

3

21=

45 · (42÷ 14) + 3 · (42÷ 21)

42=

45 · 3 + 3 · 242

=125 + 6

42=

141

42

I33

6+

22

9=

33 · (18÷ 6) + 22 · (18÷ 9)

18=

33 · 3 + 22 · 218

=143

18

Prodotto:

I45

14· 321

=45 · 314 · 21

=135

294

I33

6· 229

=33 · 226 · 9

=726

54

Aritmetica Novembre 2013 8 / 9

EsempiSomma:

I45

14+

3

21=

45 · 21 + 3 · 1414 · 21

=987

294

I33

6+

22

9=

33 · 9 + 22 · 66 · 9

=429

54

Le stesse operazioni usando il m.c.m.:

I45

14+

3

21=

45 · (42÷ 14) + 3 · (42÷ 21)

42=

45 · 3 + 3 · 242

=125 + 6

42=

141

42

I33

6+

22

9=

33 · (18÷ 6) + 22 · (18÷ 9)

18=

33 · 3 + 22 · 218

=143

18

Prodotto:

I45

14· 321

=45 · 314 · 21

=135

294

I33

6· 229

=33 · 226 · 9

=726

54

Aritmetica Novembre 2013 8 / 9

EsempiSomma:

I45

14+

3

21=

45 · 21 + 3 · 1414 · 21

=987

294

I33

6+

22

9=

33 · 9 + 22 · 66 · 9

=429

54

Le stesse operazioni usando il m.c.m.:

I45

14+

3

21=

45 · (42÷ 14) + 3 · (42÷ 21)

42=

45 · 3 + 3 · 242

=125 + 6

42=

141

42

I33

6+

22

9=

33 · (18÷ 6) + 22 · (18÷ 9)

18=

33 · 3 + 22 · 218

=143

18

Prodotto:

I45

14· 321

=45 · 314 · 21

=135

294

I33

6· 229

=33 · 226 · 9

=726

54

Aritmetica Novembre 2013 8 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.

I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.

I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.

I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero sichiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0.

Questo numero sichiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:

I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.

I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.

I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.

I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numerosi chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1.

Questo numerosi chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1.

In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9

Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:

I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si

chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.

Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero

si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,

se r =a

b, allora r−1 =

b

a.

Aritmetica Novembre 2013 9 / 9