Capitolo 2 Numeri reali - unibs.it

Capitolo 2

Numeri reali

In questo capitolo ci occuperemo dell’insieme dei numeri reali che indicheremo con il sim-bolo R: le funzioni definite su tali insiemi e a valori reali sono l’oggetto di studio dell’analisimatematica in una variabile.

Non forniremo una costruzione rigorosa dell’insieme R. Ci accontenteremo di descriverein modo preciso le proprieta delle operazioni di somma, prodotto e relazione d’ordine chelo caratterizzano.

2.1 Proprieta fondamentali dei numeri reali

1. Elenchiamo separatamente le proprieta dell’addizione, moltiplicazione e relazione d’ordine.

1. Operazione di addizione. E definita una funzione s : R ⇥ R ! R che ad ognicoppia di numeri x, y associa il numero s(x, y) indicato con x+ y (detto addizione osomma di x e y) in modo tale che valgano i seguenti fatti:

(a) x+ y = y + x per ogni x, y 2 R;(b) (x+ y) + z = x+ (y + z) per ogni x, y, z 2 R;(c) esiste un elemento 0 in R tale che 0 + x = x per ogni x 2 R;(d) per ogni x 2 R esiste un elemento y detto opposto di x tale che y + x = 0.

La proprieta (i) viene detta proprieta commutativa dell’addizione, mentre quella (ii)viene detta proprieta associativa. Con un linguaggio algebrico, le proprieta precedentisi riassumono dicendo che R e un gruppo abeliano rispetto all’addizione. L’elementoopposto risulta unico e si indica con �x.

2. Operazione di moltiplicazione. E definita una funzione p : R⇥R ! R che ad ognicoppia di numeri x, y associa il numero p(x, y) indicato con xy (detto moltiplicazione

o prodotto di x e y) in modo tale che valgano i seguenti fatti:

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2.1. PROPRIETA FONDAMENTALI DEI NUMERI REALI A.A. 2021-2022

(a) xy = yx per ogni x, y 2 R;(b) (xy)z = x(yz) per ogni x, y, z 2 R;(c) esiste un elemento 1 in R tale che 1x = x per ogni x 2 R;(d) per ogni x 6= 0 esiste un elemento y detto inverso di x tale che yx = 1;

(e) per ogni x, y, z 2 R si hax(y + z) = xy + xz.

L’ultima proprieta lega le operazioni di addizione e moltiplicazione. Globalmente,tenendo conto delle proprieta dell’addizione e della moltiplicazione, possiamo direcon linguaggio algebrico che R e un campo rispetto a somma e prodotto. L’elementoinverso di x 6= 0 risulta unico e si indica con x�1.

3. Relazione d’ordine. Ogni coppia di numeri x, y 2 R verifica una (o tutte e due)delle relazioni x y (che si legge x minore o uguale a y) o y x che godono delleseguenti proprieta :

(a) x x per ogni x 2 R, e da x y e y x discende x = y;

(b) da x y e y z segue che x z;

(c) da x y segue che x+ z y + z per ogni z 2 R;(d) da 0 x e 0 y segue che 0 xy.

Il fatto che due elementi di R siano sempre confrontabili tra loro e che valgano leproprieta (i) e (ii), viene riassunto dicendo che la relazione e una relazione di ordinetotale su R. Le proprieta (iii) e (iv) legano tale relazione alle proprieta di somma eprodotto sopra definite.

La relazione x y si puo anche scrivere nella forma y � x (y maggiore o uguale ax). La relazione x y e x 6= y si indica con x < y (x minore stretto di y) o y > x (ymaggiore stretto di x).

4. Assioma di Dedekind. Siano A,B ✓ R non vuoti e tali che per ogni x 2 A ey 2 B si abbia x y. Allora esiste un elemento z 2 R che separa A e B, cioe taleche per ogni x 2 A e y 2 B

x z y.

2. Useremo la seguente terminologia. Se x � 0 (x > 0), diremo che x e un numero non ne-gativo (positivo); e x 0 (x < 0), diremo che x e un numero non positivo (negativo).Il numero 0 e contemporaneamente non positivo e non negativo. Se x e positivo, allora �xe negativo; se x e negativo, allora �x e positivo. Indicheremo con R+ l’insieme dei numerireali positivi.

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A.A. 2021-2022 2.2. ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME

3. E utile rappresentare geometricamente R su una retta orientata: poniamo i numeri positivia destra di 0, posizionando x > 0 a distanza x da 0. Similmente poniamo i numeri negativia sinistra dell’origine, posizionando x < 0 a distanza �x da 0. L’assioma di Dedekindpuo rappresentarsi geometricamente nel seguente modo:

A Bz

L’assioma di Dedekind implica che a tutti i punti della retta corrispondono numerireali: dunque la retta reale forma un continuo di punti.

4. Nel seguito saranno importanti i seguenti sottoinsiemi di R: per ogni a, b 2 R con a bponiamo

[a, b] = {x 2 R : a x b}, ]a, b[= {x 2 R : a < x < b},

]a, b] = {x 2 R : a < x b}, [a, b[= {x 2 R : a x < b}.

[a, b] si dice intervallo chiuso di estremi a e b. ]a, b[ si dice invece intervallo apertodi estremi a e b. Infine [a, b[ e ]a, b] si dicono intervalli chiusi/aperti a sinistra eaperti/chiusi a destra.

Dagli assiomi precedenti discendono le usuali regole di calcolo per i numeri reali riguar-danti le operazioni elementari.

2.2 Estremi superiore ed inferiore di un insieme

In questa sezione ci occupiamo dei concetti fondamentali di massimo e minimo per uninsieme di numeri reali e della loro generalizzazione alle nozioni di estremo superiore edestremo inferiore.

1. La definizione di massimo e minimo di un sottoinsieme di numeri reali e la seguente.

Definizione 2.1. Sia E ✓ R un insieme. Diciamo che M 2 E e il massimo di E se

8x 2 E : x M.

Diciamo che m 2 E e il minimo di E se

8x 2 E : m x.

Se il massimo o il minimo di E esistono, essi sono unici: infatti se M1 e M2 sono adesempio due massimi di E, deve essere M1 M2 e M2 M1, cioe M1 = M2. Il massimoed il minimo si indicano con i simboli

maxE e minE.

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2.2. ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME A.A. 2021-2022

Non e detto che un insieme E in R ammetta massimo o minimo (vedi l’esempio seguente).Geometricamente, il massimo maxE (se esiste) di un insieme E sulla retta reale e il puntodi E che si trova piu a destra di tutti gli altri punti di E. Similmente, il minimo minE (seesiste) e il punto di E che si trova piu a sinistra di tutti gli altri punti di E.

Esempio 2.2. Se E = [0, 1], si ha

minE = 0 maxE = 1

Se invece F =]0, 1], F non ammette minimo, mentre il massimo vale 1. Se G = [0, 1[,si ha che minG = 0, mentre G non ammette massimo. Infine H =]0, 1[ non ammettene massimo ne minimo.

I concetti di estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme generalizzano lanozione di massimo e minimo quando questi ultimi non esistono.

2. Iniziamo con la definizione di maggiorante e minorante di un insieme.

Definizione 2.3 (Maggiorante e minorante per un insieme). Sia E ✓ R.

(a) Diciamo che M 2 R e un maggiorante per E se

8x 2 E : x M.

(b) Diciamo che m 2 R e un minorante per E se

8x 2 E : m x.

Definizione 2.4 (Insiemi limitati e illimitati). Sia E ✓ R.

(a) Diciamo che E e superiormente limitato se E ammette un maggiorante M 2 R. Se

l’insieme dei maggioranti e vuoto, diremo che E e illimitato superiormente.

(b) Diciamo che E e inferiormente limitato se E ammette un minorante m 2 R. Se

l’insieme dei minoranti e vuoto, diremo che E e illimitato inferiormente.

(c) Diciamo che E e limitato se e limitato sia superiormente che inferiormente.

Osservazione 2.5. Geometricamente, un insieme E sulla retta reale e superiormente li-mitato se si trova tutto a sinistra di un punto M ; similmente E e inferiormente limitato sesi trova tutto a destra di un punto m.

3. Il teorema fondamentale della sezione e il seguente.

Teorema 2.6. Sia E ✓ R un sottoinsieme non vuoto.

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A.A. 2021-2022 2.2. ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME

(a) Se E e superiormente limitato, allora l’insieme dei maggioranti di E e non vuoto e

ammette minimo.

(b) Se E e inferiormente limitato, allora l’insieme dei minoranti di E e non vuoto e

ammette massimo.

Dimostrazione. Dimostriamo il caso (a), essendo la dimostrazione di (b) del tutto simi-le. Supponiamo dunque che E sia superiormente limitato. Per definizione, l’insieme deimaggioranti di E e un insieme M(E) non vuoto. Notiamo che

8x 2 E, 8y 2 M(E) : x y.

Per l’assioma di Dedekind, esiste z 2 R tale che

(2.1) 8x 2 E, 8y 2 M(E) : x z y.

La prima disuguaglianza in (2.1) ci dice che z un maggiorante di E: dunque z 2 M(E).La seconda disuguaglianza in (2.1) ci dice che z e il piu piccolo dei maggioranti, cioe z =minM(E). La tesi e dunque dimostrata.

Grazie al teorema precedente, la seguente definizione e ben posta.

Definizione 2.7 (Estremo superiore e inferiore). Sia E ✓ R un insieme non vuoto. Se

E e superiormente limitato, diciamo estremo superiore di E il minimo dei maggioranti di

E. Similmente, se E e inferiormente limitato, diciamo estremo inferiore di E il massimo

dei minoranti di E. Indicheremo l’estremo superiore con supE e l’estremo inferiore con

inf E.

Chiaramente, se E e limitato, si ha inf E supE.

Osservazione 2.8 (Rapporto tra sup/inf e max/min). Valgono i seguenti fatti.

(a) Se E ammette massimo, allora maxE = supE. Infatti E e superiormente limitatoperche maxE e un maggiorante, ed anzi maxE e piu piccolo di tutti i maggioranti(poiche appartiene all’insieme).

(b) Si puo dire anzi che E ammette massimo se e solo se e superiormente limitato esupE 2 E: in tal caso maxE = supE.

Discorsi simili valgono per il minimo e l’estremo inferiore.

4. Ci sara utile nel seguito il seguente risultato. Diremo che una famiglia I di intervalli e unafamiglia di intervalli inclusi se per ogni I1, I2 2 I si ha I1 ✓ I2 o I2 ✓ I1.

Proposizione 2.9 (Principio degli intervalli inclusi di Cantor). Sia I una famiglia

non vuota di intervalli inclusi del tipo [a, b] (cioe intervalli chiusi). Allora esiste almeno

un x 2 R tale che x appartiene ad ogni intervallo della famiglia I.

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2.3. I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI A.A. 2021-2022

Dimostrazione. Siano

E = {c 2 R : [c, d] 2 I per qualche d 2 R}

eF = {f 2 R : [e, f ] 2 I per qualche e 2 R}.

Gli insiemi E e F sono non vuoti e per ogni c 2 E e f 2 F si ha c f : infatti cio e dovutoall’ipotesi che I sia una famiglia di intervalli inclusi perche se

I1 = [c, d] 2 I I2 = [e, f ] 2 I

sono gli intervalli associati a c e f , essendo uno incluso nell’altro si ha certamente c f .

c e f d e c d f

Per l’assioma di Dedekind, esiste x 2 R che separa E e F . Se [a, b] 2 I, essendo a 2 Ee b 2 F , si ha

a x b

cioe x 2 [a, b]. La tesi e dunque dimostrata.

Osservazione 2.10. Si puo vedere in realta che [supE, inf F ] ✓ I per ogni I ✓ I.

2.3 I numeri naturali, interi e razionali

In questa sezione descriviamo alcuni sottoinsiemi notevoli di R.

1. Diciamo insieme dei numeri naturali l’insieme

N := {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Notiamo che somma e prodotto di numeri naturali sono ancora numeri naturali. Inoltre Ne illimitato superiormente: in particolare per ogni x > 0 e y > 0 esiste n 2 N tale che

nx > y.

Questa viene detta la proprieta archimedea di N. Infine ogni sottoinsieme di N ammetteminimo: si dice che N e ben ordinato.

E utile la seguente caratterizzazione di N. Supponiamo che un insieme di numeri realiA sia tale che

(a) 0 2 A;

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A.A. 2021-2022 2.3. I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI

(b) se x 2 A allora x+ 1 2 A.

Si ha subito N ✓ A. Dunque potremmo caratterizzare N nel seguente modo:

L’insieme dei numeri naturali N e il piu piccolo sottoinsieme A di R che gode

delle proprieta (a) e (b).

2. Sulla precedente caratterizzazione di N si basa il seguente principio detto di induzionematematica.

Principio di induzione matematica. Sia P(n) una proprieta (predicato) dipendenteda un numero naturale n. Per dimostrare che P(n) risulta vera per ogni n 2 N e su�cientevedere che:

1. P(0) e vera;

2. se P(n) e vera, allora P(n+ 1) e vera.

Vediamo un esempio di applicazione del principio di induzione matematica.

Esempio 2.11. Dimostriamo che la somma dei primi n numeri naturali e data da

n(n+ 1)

2.

La formula e vera per n = 0. Supponiamola vera per n e dimostriamola per n + 1. Si hache la somma dei primi n+ 1 numeri e data da

1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) = [1 + 2 + · · ·+ n] + (n+ 1).

Per l’ipotesi induttiva si ha 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2 cosı che

1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1) =

n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2=

(n+ 1)(n+ 2)

2

e cioe si ha la formula voluta con n+ 1 al posto di n. La tesi e dunque dimostrata.

3. Diciamo insieme dei numeri relativi l’insieme

Z = N [ (�N).

Si ha chiaramente che somma, prodotto ed opposto di elementi di Z sono ancora elementidi Z. Inoltre Z e illimitato sia superiormente che inferiormente.

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2.3. I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI A.A. 2021-2022

4. Diciamo insieme dei numeri razionali l’insieme

Q =

⇢x 2 R : x =

p

qcon p, q 2 Z, q 6= 0

�.

Somma, prodotto, opposti e inversi di elementi diQ sono ancora elementi diQ. Contenendol’insieme dei numeri relativi, Q risulta illimitato superiormente ed inferiormente. Valgonoinoltre le seguenti proprieta :

(a) per ogni a, b 2 R con a < b si ha

]a, b[ \ Q 6= ;;

(b) per ogni a 2 R si ha

sup{x 2 Q : x < a} = a e inf{x 2 Q : x > a} = a.

La proprieta (a) viene solitamente indicata come la densita di Q in R. La proprieta (b),conseguenza di (a), dice invece che ogni numero reale puo essere approssimato per eccessoo per difetto con precisione grande a piacere tramite numeri razionali.

5. La densita di Q in R insieme all’approssimabilita di ogni numero reale tramite un numerorazionale con precisione grande a piacere puo far sorgere il dubbio che Q esaurisca tutto R.Questo non accade: ci sono operazioni che sono ben poste in R ma non in Q. Un esempioe dato dall’estrazione della radice quadrata. Vale il seguente risultato.

Proposizione 2.12 (Esistenza della radice n-esima). Siano a � 0 e n 2 N con n � 2.Allora esiste uno ed un solo x � 0 tale che xn = a, indicato con n

pa.

Possiamo ora vedere che Q e un sottoinsieme proprio di R.

Teorema 2.13. Si hap2 62 Q. In particolare Q ⇢ R.

Dimostrazione. Se fossep2 2 Q, si avrebbe

n2

m2= 2

per qualche n,m 2 N. In particolare

n2 = 2m2.

Il numero n2 risulta cosı divisibile per 2 un numero dispari di volte, e cio e assurdo poiche es-sendo il quadrato di numero naturale, esso risulta divisibile per 2 al piu un numero pari divolte.

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A.A. 2021-2022 2.4. INSIEME DEI NUMERI REALI ESTESI

2.4 Insieme dei numeri reali estesi

In vista della teoria dei limiti che tratteremo nel prossimo capitolo, e opportuno ampliarel’insieme dei numeri reali introducendo due oggetti che intuitivamente rappresentano unnumero infinitamente grande ed il suo opposto. Poniamo

R = R [ {�1} [ {+1}.

I simboli �1 e +1 indicano due oggetti che supporremo tali che

8x 2 R : �1 < x

e8x 2 R : x < +1.

L’insieme R si dice insieme dei numeri reali estesi.

1. Stabiliamo le seguenti regole di calcolo algebrico in R:

(a) per ogni x 2 R+1+ x = x+1 = +1

e�1+ x = x+ (�1) = �1;

(b) per ogni x 2 R con x > 0

(+1) · x = x · (+1) = +1

e(�1) · x = x · (�1) = �1,

mentre per ogni x 2 R con x < 0

(+1) · x = x · (+1) = �1

e(�1) · x = x · (�1) = +1;

(c) si ha

(+1) + (+1) = +1(�1) + (�1) = �1

�(+1) = �1�(�1) = +1

(+1)(+1) = (�1)(�1) = +1(+1)(�1) = (�1)(+1) = �1.

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2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE A.A. 2021-2022

Grazie alle convenzioni precedenti, e possibile verificare che le proprieta di base di sommae prodotto (ad esempio le proprieta commutativa e associativa) risultano ancora valide inR non appena le operazioni in gioco sono ben definite.

2. Estendiamo i concetti di estremo superiore ed estremo inferiore a sottoinsiemi E ✓ R nonvuoti ma illimitati nel seguente modo:

(a) se E e superiormente illimitato, diremo che supE = +1;

(b) se E e inferiormente illimitato, diremo che inf E = �1.

In base alle definizioni precedenti, ogni sottoinsieme non vuoto di R ammette estremoinferiore ed estremo superiore inf E e supE in R tali che

inf E supE.

3. Useremo infine la seguente notazione per gli intervalli:

[a,+1[ = {x 2 R : x � a} ]a,+1[ = {x 2 R : x > a}

e]�1, a] = {x 2 R : x a} ]�1, a[ = {x 2 R : x < a}.

Talvolta si scrive anche ]�1,+1[ per indicare l’insieme R.

2.5 Funzioni di variabile reale

Nel corso ci occuperemo dello studio delle funzioni reali di variabile reale, cioe studieremofunzioni f : E ! R con E ✓ R. Esse si presentano in modo naturale nello studio di alcunequestioni di geometria analitica e di fisica.

1. Da un punto di vista geometrico, una funzione f : E ! R puo rappresentarsi attraversoil suo grafico y = f(x): si tratta dei punti del piano della forma (x, f(x)) con x 2 E.Formalmente scriviamo

G(f) = {(x, y) 2 R2 : x 2 E, y = f(x)}.

G(f) e in generale una linea curva nel piano con la proprieta che ogni retta verticalex = x0 con x0 2 E interseca G(f) in un solo punto, il punto (x0, f(x0)). E dunque chiaroche non tutte le linee curve nel piano sono il grafico di una funzione di variabile reale.

I concetti generali introdotti in precedenza possono interpretarsi geometricamente nelcaso delle funzioni di variabile reale utilizzando il loro grafico.

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A.A. 2021-2022 2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE

x

y

a b c

E = [a, b] [ {c}

(a) Un valore c appartiene all’immagine di f se esiste x0 2 E tale che c = f(x0).Cio significa che (x0, c) 2 G(f), cioe la retta y = c interseca G(f). Quindi Im(f)si caratterizza come l’insieme delle quote c (visualizzabili sull’asse delle ordinate) taliper cui la retta y = c interseca G(f). Le preimmagini di c 2 Im(f) sono date dalleascisse dei punti di intersezione di y = c con G(f).

(b) In base al punto (a), vediamo che f e iniettiva se e solo se le rette orizzontaliintersecano G(f) al piu in un punto.

(c) Se f e invertibile, allora il grafico della funzione inversa f�1 : f(E) ! R si ottieneda quello di f operando una simmetria rispetto alla bisettrice y = x.

Piu in generale, i concetti del calcolo infinitesimale che introdurremo si potranno inter-pretare in termini di proprieta geometriche dei grafici delle funzioni di variabile reale epotranno utilizzarsi per capirne le proprieta qualitative e quantitative.

2. Spesso le funzioni di variabile reale vengono assegnate tramite una legge x 7! f(x) checoinvolge le operazioni tra numeri reali sopra introdotte, senza specificare esplicitamenteil dominio E su cui sono definite: si intende in tal caso che E e il massimo insieme su cuile operazioni scritte si possono svolgere. Ad esempio, scrivendo

f(x) =2x+ 7

x� 3

si intende che il dominio E di f e dato da E = R \ {3}.

3. Un modo per generare nuove funzioni a partire da alcune date e quello di utilizzare leoperazioni introdotte per i numeri reali. Date due funzioni f : E ! R e g : E ! R, si dice

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funzione somma di f e g la funzione

f + g : E ! Rx 7! f(x) + g(x)

mentre si dice funzione prodotto di f e g la funzione

fg : E ! Rx 7! f(x)g(x).

Cosı ad esempio le funzioni f : R ! R e g : R ! R date da f(x) = x e g(x) = 7 ammettonocome somma la funzione h : R ! R data da h(x) = x + 7 e come prodotto la funzionet : R ! R data da t(x) = 7x.

La funzione di↵erenza di f e g si definisce in modo simile. Si puo parlare di funzionequoziente se g(x) 6= 0 per ogni x 2 E: in tal caso si pone

f/g : E ! R

x 7! f(x)

g(x).

Si puo infine parlare si funzione potenza se f(x) > 0 per ogni x 2 E: in tal caso si pone

f g : E ! Rx 7! f(x)g(x).

4. Una classe importante di funzioni e data dalle funzioni elementari che di seguito ricor-diamo.

1. Polinomi. Si tratta delle applicazioni f : R ! R tali che per ogni x 2 R

f(x) = a0xn + a1x

n�1 + · · ·+ an�1x+ an

dove a0, a1, . . . , an 2 R, a0 6= 0. Il numero n si dice il grado del polinomio cosı che fe detto polinomio di grado n nella variabile x. I polinomi sono le piu semplicifunzioni che si possono costruire a partire dalla somma e dal prodotto di numeri reali;pertanto essi sono molto studiati in algebra e svolgono un ruolo di rilievo anche ingeometria.

2. Funzioni razionali fratte. Si tratta delle funzioni del tipo

f : R \ C ! R

x 7! a0xn + a1xn�1 + · · ·+ an�1x+ anb0xm + b1xm�1 + · · ·+ bm�1x+ bm

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dove C e l’insieme delle radici del polinomio che appare a denominatore. Tali funzioninascono dunque come quozienti di polinomi. Sono esempi di funzioni razionali frattele funzioni

f : R \ {0, 1} ! R

x 7! x3 + 3x+ 2

x(x� 1)

e

g : R ! Rx 7! x

x2 + 1

Diremo che una funzione razionale fratta e propria se il polinomio a numeratoreha grado strettamente minore di quello che compare a denominatore. In base alladivisibilita tra polinomi, si ha che ogni funzione razionale fratta puo vedersi comesomma di un polinomio e di una funzione razionale fratta propria. Ad esempio si ha

x3

x2 + 1= x� x

x2 + 1.

3. Potenze e radici. Dalla teoria delle potenze per i numeri reali si ha che risulta bendefinita la funzione

f : R+ ! R+

x 7! x↵

dove ↵ 2 R e R+ = {x 2 R : x > 0}. Se ↵ = 0, si tratta della funzione costantementeuguale a 1. Nel caso in cui ↵ = 1

n con n 2 N, n > 0, otteniamo la funzione radicen-esima: distinguendo tra indice pari e indice dispari, si tratta delle funzioni

2mp· : R+ ! R+

x 7! 2mpx

e (potendosi senza problemi allargare il dominio)

2m+1p· : R ! R

x 7! 2m+1px.

4. La funzione modulo: per ogni x 2 R poniamo

|x| =(x se x � 0

�x altrimenti.

Il numero |x| si dice il modulo di x. Valgono le seguenti proprieta di facile verifica:

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(a) |x| � 0 per ogni x 2 R e |x| = 0 se e solo se x = 0;

(b) se a 2 R, la disuguaglianza |x| a equivale alle relazioni �a x a;

(c) se a 2 R, la disuguaglianza |x| � a equivale alle relazioni x �a [ x � a;

(d) disuguaglianza triangolare del modulo: per ogni a, b 2 R si ha

|a+ b| |a|+ |b|.

Diremo funzione modulo la funzione

R ! R+ [ {0}x 7! |x|.

5. La funzione esponenziale. Dato a > 0, dalla teoria dei numeri reali si ha cherisulta ben definita la funzione

R ! R+

x 7! ax.

Tale funzione e detta funzione esponenziale di base a. Se a = 1, la funzione siriduce alla funzione costante pari a 1. Nel caso in cui la base dell’esponenziale sia ilnumero di Nepero e (che incontreremo piu avanti nella teoria dei limiti), si parla difunzione esponenziale: si tratta della funzione

exp : R ! R+

x 7! ex.

Questa particolare scelta della base si rivela utile in analisi matematica, poiche molteformule del calcolo di↵erenziale e integrale risultano semplificate.

6. La funzione logaritmica. Grazie alle proprieta di iniettivita e suriettivita dellafunzione esponenziale x 7! ax con a 6= 1, e possibile definire la funzione inversa

loga : R+ ! Rx 7! logax

dove logax e l’unica soluzione dell’equazione ay = x. Tale numero si dice il logaritmoin base a di x. Se la base e uguale al numero di Nepero e, si parla di logaritmonaturale o semplicemente logaritmo e si scrive lnx. La funzione associata si dicela funzione logaritmica

ln : R+ ! Rx 7! ln x.

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P = (a, b)

x

7. Le funzioni circolari. Nel piano R2 consideriamo la circonferenza di centro l’originee raggio unitario. Percorriamo la circonferenza in senso antiorario a partire dal puntoA = (1, 0) muovendoci di un arco di lunghezza x fino ad arrivare nel punto P = (a, b).

Poniamocos x = a e sin x = b.

Se x e negativo, conveniamo di percorrere la circonferenza in senso orario e di porreancora P = (cosx, sin x).

Le funzioni

sin : R ! Rx 7! sin x

e

cos : R ! Rx 7! cos x

si dicono le funzioni seno e coseno. Si parla anche di funzioni trigonome-triche o circolari, dal momento che il generico punto del cerchio unitario vieneparametrizzato tramite esse: vale cosı la relazione fondamentale

sin2 x+ cos2 x = 1 per ogni x 2 R.

Diciamo funzione tangente l’applicazione

tan : R \n⇡

2+ k⇡ : k 2 Z

o! R

x 7! sin x

cos x.

Le restrizioni di seno e coseno su [�⇡/2, ⇡/2] e [0, ⇡] sono biettive a valori su [�1, 1]:e possibile dunque definire le funzioni inverse arcoseno e arcocoseno

arcsin : [�1, 1] ! [�⇡/2, ⇡/2]

arccos : [�1, 1] ! [0, ⇡]

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determinate dalla proprieta

y = arcsin x , x = sin y

ey = arccosx , x = cos y.

Similmente, la funzione tangente e biettiva tra ]� ⇡/2, ⇡/2[ a valori in R: e possibilepertanto definire la funzione inversa arcotangente

arctan : R ! ]� ⇡/2, ⇡/2[

determinata dalla proprieta

y = arctan x , x = tan y.

8. Le funzioni iperboliche. Definiamo le funzioni seno iperbolico e coseno iper-bolico tramite le formule

sinh : R ! R

x 7! ex � e�x

2

e

cosh : R ! R

x 7! ex + e�x

2.

Si parla di funzioni iperboliche poiche il generico punto P del ramo d’iperbole x2 �y2 = 1 che giace nel primo quadrante ha coordinate (cosh s, sinh s) dove s misurala lunghezza dell’arco PA con A = (1, 0) misurato positivamente salendo nel primoquadrante. Si ha dunque un perfetto parallelismo con le funzioni circolari.

x

y

x2 � y

2 = 1

P = (a, b)

x

Vale la relazione fondamentale

cosh2 x� sinh2 x = 1.

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A.A. 2021-2022 2.6. ESTREMI DI UNA FUNZIONE

2.6 Estremi di una funzione

In questa sezione introduciamo le nozioni di massimo e minimo di una funzione, con irelativi punti di estremo associati. Nel caso in cui essi non esistano, parleremo di estremisuperiore ed inferiore della funzione.

1. I valori massimo e minimo di una funzione con i relativi punti di estremo sono definiti nelseguente modo.

Definizione 2.14 (Massimo e minimo assoluti). Siano E ✓ R e f : E ! R una

funzione.

(a) Diciamo che x0 2 E e punto di minimo di f su E se

8x 2 E : f(x0) f(x).

In tal caso si dice che f ammette minimo su E ed il valore corrispondente si indica

con

minE

f.

(b) Diciamo che x0 2 E e punto di massimo di f su E se

8x 2 E : f(x) f(x0).

In tal caso si dice che f ammette massimo su E ed il valore corrispondente si

indica con

maxE

f.

I punti di massimo e minimo di f su E si dicono punti di estremo di f .

Esempio 2.15. La funzione x 7! sin x ammette infiniti punti di massimo e minimo: ipunti di massimo sono quelli della forma x = ⇡/2+ 2k⇡ con k 2 Z e quelli di minimo sonodella forma x = 3/2⇡ + 2k⇡ con k 2 Z.

Esempio 2.16. La funzione x 7! x2 ammette x = 0 come punto di minimo, ma non hamassimo.

2. Le nozioni di massimo e minimo possono localizzarsi nel seguente modo.

Definizione 2.17 (Punti di estremo locale). Siano E ✓ R un insieme, f : E ! R una

funzione e sia x0 2 E.

(a) Diciamo che x0 e un punto di minimo locale per f se esiste " > 0 tale che

8x 2 ]x0 � ", x0 + "[\E : f(x0) f(x).

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2.6. ESTREMI DI UNA FUNZIONE A.A. 2021-2022

x

y

minE f

maxE f punti di minimo

punto di massimo

(b) Diciamo che x0 e un punto di massimo locale per f se esiste " > 0 tale che

8x 2 ]x0 � ", x0 + "[\E : f(x) f(x0).

Se x0 e un punto di minimo o massimo locale, si dice che x0 e un punto di estremolocale.

Notiamo che i punti di estremo di f su E (se esistono) sono chiaramente di estremolocale; il viceversa non e vero in generale. I punti di estremo locale si dicono anche diestremo relativo.

x

y

punto di massimo assoluto

punto di minimo localepunto di minimo assoluto

punto di massimo locale

3. Come nel caso degli insiemi, se i valori massimo e minimo di una funzione non esistono, siparla estremi superiore ed inferiore. La definizione e la seguente.

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Definizione 2.18. Siano E ✓ R e f : E ! R una funzione. Diciamo estremo superiore

di f su E l’elemento supE f 2 R dato da

supE

f = sup f(E).

Diciamo estremo inferiore di f su E l’elemento infE f 2 R dato da

infE

f = inf f(E).

Osservazione 2.19. Da un punto di vista geometrico, supE f si caratterizza in questomodo. Se risulta finito, si tratta della soglia tale che ogni retta y = c0 con c0 > supE f noninterseca il grafico di f , mentre ogni retta y = c00 con c00 < supE f e tale che esistono puntidel grafico di f sopra di essa.

x

y

supEf

y = c0

y = c00

Se risulta infinito, significa che fissata una qualsiasi retta orizzontale y = c0, ci sonopunti del grafico di f che si trovano sopra di essa.

x

y

y = c0

Un’interpretazione geometrica simile vale per infE f .

Osservazione 2.20. Chiaramente, f ammette massimo su E se e solo se supE f 2 Red esiste x0 2 E tale che f(x0) = supE f . In tal caso supE f = maxE f . Similmente fammette minimo su E se e solo se infE f 2 R ed esiste x0 2 E tale che f(x0) = infE f . Intal caso infE f = minE f .

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Si pone la seguente definizione.

Definizione 2.21 (Funzioni limitate e illimitate). Siano E ✓ R e f : E ! R una

funzione.

(a) f si dice limitata superiormente su E se supE f 2 R.

(b) f si dice limitata inferiormente su E se infE f 2 R.

(c) f si dice illimitata superiormente su E se supE f = +1.

(d) f si dice illimitata inferiormente su E se infE f = �1.

(e) f si dice limitata su E se e limitata sia superiormente che inferiormente, cioe se

infE f 2 R e supE f 2 R.

Osservazione 2.22. Notiamo che f e limitata se e solo se esiste M > 0 tale che

8x 2 E : �M f(x) M.

Da un punto di vista geometrico, cio significa che il grafico di f e contenuto nella strisciadeterminata dalle rette orizzontali y = �M e y = M .

x

y

y = f(x)

y = M

y = �M

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Esercizi

1. Siano A,B ✓ R non vuoti e tali che a b per ogni a 2 A e b 2 B: dimostrare chesupA inf B.

2. Dati due insiemi A,B ✓ R, poniamo A + B = {x 2 R : x = a + b, a 2 A, b 2 B}. Se A,B

sono limitati superiormente, dimostrare che

sup(A+B) = supA+ supB,

mentre se A,B sono limitati inferiormente

inf(A+B) = inf A+ inf B.

3. Dati due insiemi A,B ✓ R e definito A+B come nell’esercizio precedente, dimostrare chese A e illimitato superiormente/inferiormente, allora anche A+B e illimitato superiormen-te/inferiormente.

4. Dimostrare che ogni sottoinsieme di N ammette minimo.

5. Dimostrare che N e illimitato superiormente.

6. Dimostrare la proprieta archimedea di N.

7. Dimostrare che Q\]a, b[ 6= ; per ogni intervallo ]a, b[⇢ R.

8. Dimostrare la caratterizzazione di sup e inf per sottoinsiemi non vuoti di R (non necessa-riamente limitati inferiormente o superiormente).

9. Siano f, g : E ! R due funzioni tali che f < g su E. Dimostrare che

infE

f infE

g e supE

f supE

g.

Mostrare con esempi che le precedenti relazioni possono valere con il segno dell’uguaglianza.

10. Siano f, g : E ! R due funzioni. Dimostrare che

infE

f + infE

g infE(f + g) e sup

E(f + g) sup

Ef + sup

Eg.

Mostrare con esempi che le precedenti relazioni possono valere con il segno di disuguaglianzastretta.

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Capitolo 2 Numeri reali - unibs.it