Il primo insieme numerico che abbiamo scoperto è stato l’insieme dei numeri naturali, l’insieme N.

L’impossibilità di trovare in N il quoziente tra due numeri naturali ci ha portati a vedere la frazione come quoziente sempre possibile e abbiamo scoperto l’insieme dei numeri razionali, cioè l’insieme .

Di questo insieme sappiamo che:

• è infinito e ordinato;

• è chiuso rispetto all’addizione, alla moltiplicazione e alla divisone:

• in esso non sempre è possibile la sottrazione;

• è formato dai numeri decimali limitati e illimitati periodici;

• contiene l’insieme N, ovvero i numeri naturali fanno parte dell’insieme Q.

Q

Q +NNumeri decimali limitati

Numeri decimali periodici

Negli insiemi e N non è sempre possibile eseguire la sottrazione; questo problema e un altro di natura pratica, come vedremo, portano alla necessità di ampliare ulteriormente i nostri numeri.

Q+

Come sai già, per indicare:

• temperature sopra o sotto lo zero,

• altitudini sopra o sotto il livello del mare,

• bilanci in attivo o in passivo,

• date prima o dopo Cristo.

• ecc.

Si ricorre all’uso di numeri preceduti dal segno + o dal segno -.

Tutti i numeri naturali o razionali che conosciamo preceduti dal segno + o – si chiamo rispettivamente:

• + 9 - 8 + 24 - 35 + 230 numeri interi relativi o semplicemente numeri interi

• numeri razionali relativi0,8 8,4 1,5

9

1

5

3

Questi numeri formano altri insiemi numerici, esattamente:

I numeri naturali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri interi positivi che si indica con Z.

I numeri naturali preceduti dal segno meno formano l’insieme dei numeri interi negativi che si indica con Z

I due insieme Z e Z formano complessivamente l’insieme dei numeri interi che si indica con Z.

L’ insieme Z coincide con N, ovvero i numeri naturali coincidono con i numeri interi positivi che, quando non c’è possibilità di equivoco, si possono scrivere senza segno + davanti: + 7 = 7, N = Z . All’insieme Z appartiene quindi anche il numero 0 (zero) al quale non si attribuisce alcun segno.

+ -

+

+

+

-

-

I numeri razionali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri razionali positivi che si indica con Q

I numeri razionali preceduti dal segno – formano l’insieme dei numeri razionali negativi che si indica con Q

I due insiemi Q e Q formano complessivamente l’insieme dei numeri razionali relativi che si indica con Q

+

-

-+

Soffermiamoci, per il momento, sull’insieme dei numeri interi e rappresentiamoli sulla retta orientata dei numeri. Per fare ciò:

O

0

1) Disegniamo la semiretta orientata di origine O e prolunghiamola anche dalla parte opposta: avremo due semirette di origine O a cui facciamo corrispondere il numero 0;

2) Stabiliamo il verso di percorrenza sulla retta da O verso destra per i numeri positivi e verso sinistra per i numeri negativi;

+-

3) Fissiamo l’unità di misura e, in base a essa, troviamo le immagini dei numeri sulla retta.

- +

-4 -2 +1 +2 +4

Osserviamo che:

• i numeri interi sono costituiti da un segno (+ o -) e da un numero naturale;

• il segno + dei numeri naturali positivi si può anche sottintendere;

• la parte numerica senza il segno prende il numero di modulo o valore assoluto e si indica nel seguente modo:

(leggi “valore assoluto di +5 o di -5”)

Ed è ovviamente:

• i numeri aventi tutti lo stesso segno si dicono concordi, i numeri con segno fra loro diverso si dicono discordi:

- 4, - 2 e - 1 sono concordi;

+ 1, + 2 e + 4 sono concordi;

- 4 e + 1; + 2 e - 8 sono discordi.

5,5

55 ,55

• due numeri discordi ma con lo stesso valore assoluto si dicono opposti;

-4 e + 4; + 2 e – 2 sono opposti.

Sulla retta orientata avremo:

- +

0

+6

+5

+4

+3+1-6 -3 -2 u+7

-4

concordidiscordi

opposti

concordi

Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno. Due numeri interi relativi si dicono discordi se hanno segno diverso. Due numeri interi relativi si dicono opposti se sono discordi ma hanno lo stesso valore assoluto.

Per confrontare due numeri interi osserviamone la rappresentazione sulla retta orientata:

• Qualsiasi numero positivo è maggiore di un qualsiasi numero negativo, ovvero fra due numeri discordi è maggiore sempre il positivo.

• lo zero è minore di qualsiasi numero positivo e maggiore di un qualsiasi numero negativo.

• Fra due numeri concordi è maggiore quello che ha maggior valore assoluto.

• Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello che ha minore valore assoluto.

+7+6+5+4+3+2+10-4 -3 -2 -1

Possiamo affermare che:

numeri positivinumeri negativiAndando verso destra il valore aumentaAndando verso sinistra il valore diminuisce

Addizionare due numeri interi significa contare, dopo il primo, tante unità quante sono quelle del secondo.

Ma il secondo numero può essere positivo o negativo e il segno, ovviamente, va tenuto presente. In che modo? Contando, in riferimento alla retta orientata, verso destra, se il numero da addizionare è positivo, verso sinistra se è negativo.

1) (+ 3) + (+ 4) = ?

Partiamo dal numero + 3 e contiamo verso destra quattro unità; perveniamo così al numero + 7;

Vediamo alcuni esempi:

(+ 3) + (+ 4) = +7

0 +3 +7

+4

u

2) (-2) + (-6) = ?

Partiamo dal numero – 2 e contiamo, andando verso sinistra, sei unità; perveniamo così al numero – 8.

(- 2) + (- 6) = - 8u

+-

0-2-8

-6

3) (+ 5) + (- 2) = ?

Partiamo dal numero + 5 e contiamo, andando verso sinistra, due unità; perveniamo al numero + 3.

(+ 5) + (- 2 ) = + 3

0 +5

-2

+3

- +

u

4) (- 5) + (+ 2) = ?

Partiamo dal numero – 5 e contiamo, andando verso destra, due unità; perveniamo al numero – 3.

(- 5) + (+ 2) = - 3

-5 -3 0

u

+2 +-

• La somma di due numeri interi relativi concordi è un numero intero concorde a essi e avente per valore assoluto la somma dei valori assoluti:

(+ 4) + (+ 7) = + 11; (- 4) + ( - 6) = - 10

• La somma di due numeri interi relativi discordi è un numero intero concorde all’addendo che ha maggior valore assoluto e avente per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.

(- 5) + ( + 13) = + 8; (+ 4) + (- 19)= - 15

• La somma di due numeri interi opposti è uguale a zero:

(- 9) + (+9) = 0

Sottrarre due numeri relativi vuol dure trovare un terzo numero che, addizionato al secondo, dia come risultato il primo.

(+ 9) - ( + 4) = + 5; (+ 10) - ( - 8) = + 18; (- 3) - (+ 8) = - 11

La differenza fra due numeri interi si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo.

Si dice addizione algebrica una successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi.

Il risultato si chiama somma algebrica.

Semplificazione nel calcolo di una somma algebrica

Un ‘addizione algebrica può essere eseguita in modo più spedito, tenendo conto delle seguenti considerazioni.

1) Le parentesi, che servono a separare il segno di operazione dal segno del numero, le possiamo sopprimere, così come il segno di operazione, avendo però cura di trascrivere il secondo numero con lo stesso segno se sopprimiamo il segno di addizione, cambiandolo di segno se sopprimiamo il segno di sottrazione; se per esempio dobbiamo eseguire:

(+ 5) + (- 3) scriveremo: + 5 – 3 = + 2

Nel caso in cui si voglia eseguire:

( + 7) - ( - 4) scriveremo: + 7 + 4 = + 11

2) Nell’addizione algebrica valgono le proprietà commutativa e associativa viste in aritmetica, per cui si possono addizionare prima tutti i numeri positivi, poi tutti i numeri negativi e quindi addizionare i due numeri relativi ottenuti.

Per esempio:

( + 5) - ( + 4) - ( - 2) + ( + 10) + ( - 3) =

+ 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10

Moltiplicare due numeri relativi vuol dire trovare un terzo numero che contenga tante unità uguali al primo numero quante sono le unità del secondo.

1) (+ 7) ∙ (+ 3) = ?

( + 7) ∙ (+ 3) = ( + 7)+ ( + 7)+ ( + 7) = + 7 + 7 + 7 = + 21

2) (- 5) ∙ ( + 4) = ?

(- 5) ∙ ( + 4) = - 5 - 5 - 5 - 5 = - 20

3) ( + 3) ∙ ( - 5) = ?

( + 3) ∙ ( - 5) = - 5 - 5 - 5 = - 15

Il prodotto di due numeri relativi è un numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se i due numeri sono discordi.

x + -

+ + -

- - +

che si legge: “+ per + dà +

+ per – dà –

- per + dà –

- per – dà +”

Tabella dei segni:

Dividere due numeri relativi (il secondo diverso da zero) vuol dire trovare quel numero relativo che, moltiplicato per il secondo, ci dà come prodotto il primo.

(+15) : (+3) = +5 perché (+5) · (+3) = +15

(-21) : (-7) = +3 perchè (+3) · (-7) = -21

(-56) : (+8) = -7 perchè (-7) · (+8) = -56

(+16) : (-2) = -8 perché (-8) · (-2) = +16

Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi.

Tabella dei segni:

: + -

+ + -

- - +

che si legge: “+ diviso + dà +

+ diviso - dà -

- diviso + dà -

- diviso - dà + ”