La funzione dei numeri primi

FIORE ROSALBAEDITORIA & INFORMATICA

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Torino 16 Maggio 2010 Dott. Antonio Rita


L’Ultimo Teorema La “Meravigliosa Dimostrazione” Le altre principali congetture di Fermat Fermat e Galileo Fermat e Cartesio Fermat e Mersenne Fermat e Tartaglia Considerazioni sulla dimostrazione di Andrew Wiles Il lemma del 2 Il teorema delle coppie dispari ad esponenti pari Il lemma della parità semplice Il lemma del cateto pari Sintesi delle proprietà fondamentali di una terna pitagorica Il lemma del 3 Il teorema della somma delle potenze pari Il teorema della differenza delle potenze n-1 La Funzione dei Numeri Primi Il “Segreto” di Fermat La dimostrazione per n=4


Il teorema può essere sintetizzato in modo semplice:

per un qualsiasi numero intero n>2 non esiste alcuna terna di numeri interi positivi che

soddisfa l’equazione

xn+yn=znn


"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina“

(x+y)n=xn+yn+C(x+y)n

(x+y)n=(x+h+t)n+C[(x+h+t)+(x-t)]n+(x-t)n

xn=nyn-1t+………+nytn-1+tn

yn=nxn-1(h+t)+………+nx(h+t)n-1+(h+t)n


Il “piccolo teorema” di Fermat

an-a=a(an-1-1)

I numeri primi di Fermat

2p+1 con p=2n


Q2=1, 4, 9, 16, 25, 36, ………

Galileo Galilei è stato il primo a intuire l’esistenzadi una applicazione biunivoca tra l’insieme deiquadrati dei numeri interi positivi e l’insieme N

f:Q2→N

Se x>1 è un numero intero qualsiasi mai multiplo di 3, la differenza x2-1 è sempre multipla di 3; mentre la somma x2+1 non è mai multipla di 3

(x2-1), x2, (x2+1)


Tutti i numeri interi positivi sono equidistanti da almeno due numeri primi

p1+p2=2a

a=p1+h

a=p2-h


I numeri primi di Mersenne

2n-1

L’ultimo numero primo di Mersenne conosciuto

243112609-1

I numeri perfetti costruiti dai numeri primi di Mersenne

(2n-1)(2n-1)


Nicolò Fontana detto Tartaglia ha ideato un sistema geniale per ricavare i coefficienti binomiali: il Triangolo di Tartaglia.

La somma dei coefficienti di un binomioelevato alla ennesima potenza è pari a 2n.


Egli ha utilizzato sofisticati strumenti della geometria algebrica (curve ellittiche e forme modulari, ovvero la congettura dei giapponesi Taniyama-Schimura: ”ogni equazione ellittica è correlata ad una forma modulare”), concetti della teoria di Galois e dell’algebra di Hecke.

Le sue costruzioni matematiche sono ineguagliabili e meravigliose; suscitano ammirazione anche negli esperti.


Se a,b è una qualsiasi coppia di numeri interi positivi linearmente indipendenti con a>b, la somma a+b=sϵN e la differenza a-b=dϵN sono numeri interi positivi che non hanno fattori primi comuni ad eccezione di 2.

Il fattore 2, comunque, risulta comune solo nel caso che a e b siano entrambi dispari.


Se (x,y)єΝ2 è una coppia di numeri positivi dispari con y>x, la relazione di Fermat non ammette soluzioni intere per qualsiasi nєΝ pari.

znn=xn+yn=2xn+nxn-1h+………+nxhn-1+hn

In sintesi, non esistono soluzioni intere per la equazione zn

n = x2p+y2p con x e y dispari e con esponente n=2pϵN, numero pari qualsiasi.


Se x,y è una qualsiasi coppia di interi positivi dispari ed n un numero pari qualsiasi, la somma delle loro potenze ennesime xn+yn è un numero pari con “parità semplice”.

Il fattore primo 2 in detta somma ha sempre e solo esponente 1.


Se (a,b,c)ϵN3 è una terna pitagorica qualsiasi, abbiamo che i tre lati, interi e senza

fattori comuni, del triangolo rettangolo legati dalla relazione a2+b2=c2, godono delle seguenti proprietà:

1. l’ipotenusa c non risulta mai multipla di 3;

2. l’ipotenusa c non risulta mai pari;

3. i cateti a e b sono sempre uno pari e l’altro dispari;

4. uno tra i due cateti (a oppure b) è sempre multiplo di 3;

5. il cateto pari risulta sempre con “parità multipla”;


6. i numeri pari con “parità semplice” (2,6,10,14,…) non

appartengono a nessuna terna pitagorica;

7. i due “parametri di Pitagora” che sono le differenze c-a=t

e c-b=h+t (ovvero c-a=h+t e c-b=t) risultano uno pari e

l’altro dispari. Considerando la scomposizione degli

stessi in fattori primi, si evidenzia quanto segue: il

parametro pari ha il fattore 2 solo con esponenti dispari

(2i, con i≥1 dispari) e gli altri fattori primi con esponenti

pari. Nel parametro dispari troviamo solo e sempre

esponenti pari;

8. tutti i numeri dispari maggiori di 1 appartengono ad

almeno una terna pitagorica.


Se (a,b) è una qualsiasi coppia di numeri interipositivi con a>b e con la ulteriore ipotesi chenessuno dei due è multiplo di 3, risulta multiplodi 3 la somma (a+b) o in alternativa ladifferenza (a-b).

Con queste condizioni il risultato del prodottonotevole a²-b² è sempre multiplo di 3.


Sia 2mϵN un qualsiasi numero pari positivo e siano a≥b due numeri interi positivi non multipli di 3, la somma ottenuta con la relazione a2m+b2m=sϵN non risulta mai multipla di 3.

La differenza a2m-b2m=dϵN0 , invece, risulta sempre multipla di 3 a meno che non sia multiplo di 3 a oppure b.


Sia nϵN un numero primo maggiore di 2 ed (a,b)ϵN2 una coppia di numeri interi con a e

b che non siano entrambi multipli di n, la somma ottenuta con la relazione

an-1+bn-1=sϵN

non risulta mai multipla di n.


Sia n>2 un qualsiasi numero primo appartenente ad N, il rapporto (2n-2)/n è sempre un numero intero.

In generale, per ogni aϵN si ha che il rapporto(an-a)/n=q è intero quando n>2 è primo.

y=(2x-1-1)/x 2x-1-1=2x-2+2x-3+……+23+22+2+1 y=(2x-1-1)/x =(2(x-1)/2-1)(2(x-1)/2+1)/x

I falsi primi sono eliminabili.


Il“Segreto di Fermat” consiste in operazioni elementari che interessano di norma gli elementi degli insiemi Qn-1.

Inedite applicazioni hanno permesso al genio francese di ricavare da polinomi o parti di essi la messa in evidenza di numeri primi oppure di accertare che lo stesso polinomio o una sua parte non fosse divisibile per un fissato numero primo.


Se (a,b)ϵN2 è una coppia qualsiasi di numeri interi positivi linearmente indipendenti, non è possibile ottenere una potenza quarta dalla seguente relazione con c intero

a4+b4=c4

Abbiamo che a e b non possono essere entrambi dispari ed inoltre i due gruppi di fattori del prodotto notevole sono primi tra loro

a4=c4-b4=(c2-b2)(c2+b2) b4=c4-a4=(c2-a2)(c2+a2)

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