Storia dei numeri primi - .Esempio pratico Siano i soli primi non ¨ divisibile per . E in realt 

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0.5setgray1 Storia dei numeri primi

Michele Avancini, Alice Passalacqua, Silvia Ruvidotti

Seminario di Algebra

Storia dei numeri primi p. 1/57

Cosa sono i numeri primi?

Sono numeri interi e positivi che hanno comedivisori solo lunit e s stessi.

Storia dei numeri primi p. 2/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , , , , , ,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

,

, , , , , ,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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, , , , ,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , ,

, , , ,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , , ,

, , ,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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, ,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

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Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , , ,

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,

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Storia dei numeri primi p. 3/57

Numeri primi

Eccone un breve elenco:

, , , ,

,

,

,

Storia dei numeri primi p. 3/57

Origini

Ma quand che luomo ha iniziato a interessarsiai numeri primi?

Storia dei numeri primi p. 4/57

La pi antica testimonianza

Risale al 6500 a.C.

Osso di Ishango

Storia dei numeri primi p. 5/57

La pi antica testimonianza

Risale al 6500 a.C.

Osso di Ishango

Storia dei numeri primi p. 5/57

Osso di Ishango

Trovato nel 1950 tra i monti dellAfricaequatoriale centrale...

attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.

Storia dei numeri primi p. 6/57

Osso di Ishango

Trovato nel 1950 tra i monti dellAfricaequatoriale centrale...

attualmente conservato presso il museo distoria naturale di Bruxelles.

Storia dei numeri primi p. 6/57

Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui suddiviso lossocompaiono e tacche...

...cio i numeri primi tra e !

Storia dei numeri primi p. 7/57

Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui suddiviso lossocompaiono

e

tacche...

...cio i numeri primi tra e !

Storia dei numeri primi p. 7/57

Osso di Ishango

Ma che relazione ha con i numeri primi?

in una delle colonne in cui suddiviso lossocompaiono

e

tacche...

...cio i numeri primi tra

e

!

Storia dei numeri primi p. 7/57

Osso di Ishango: domanda aperta

Sar un caso...

...o effettivamente gi allora gli uominiconoscevano i numeri primi?

Storia dei numeri primi p. 8/57

Osso di Ishango: domanda aperta

Sar un caso...

...o effettivamente gi allora gli uominiconoscevano i numeri primi?

Storia dei numeri primi p. 8/57

Antichi greci

Ogni intero esprimibile come prodotto di primi.

Come lo si pu dimostrare?

Storia dei numeri primi p. 9/57

Antichi greci

Ogni intero esprimibile come prodotto di primi.

Come lo si pu dimostrare?

Storia dei numeri primi p. 9/57

Antichi greci

Sia non primo

.Se e

sono primi, la tesi dimostrata.Se e

non primi

,

con

e

Se sono primi la tesi dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene ... con primi.

Storia dei numeri primi p. 10/57

Antichi greci

Sia non primo

.Se e

sono primi, la tesi dimostrata.Se e

non primi

,

con

e

Se

sono primi la tesi dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene ... con primi.

Storia dei numeri primi p. 10/57

Antichi greci

Sia non primo

.Se e

sono primi, la tesi dimostrata.Se e

non primi

,

con

e

Se

sono primi la tesi dimostrata;altrimenti continuo la fattorizzazione e alla fine siottiene ... con primi.

Storia dei numeri primi p. 10/57

Euclide

Matematico e filosofo greco:

350-300 a.C.

Storia dei numeri primi p. 11/57

Euclide

Matematico e filosofo greco:

350-300 a.C.

Storia dei numeri primi p. 11/57

Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E possibile che ne esista solo un numero finito?

NO!!

Storia dei numeri primi p. 12/57

Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E possibile che ne esista solo un numero finito?

NO!!

Storia dei numeri primi p. 12/57

Euclide

Quanti numeri primi ci sono?

E possibile che ne esista solo un numero finito?

NO!!

Storia dei numeri primi p. 12/57

Euclide

La dimostrazione presentata da Euclide nel IXlibro degli Elementi.

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:...

Allora o a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure composto(cio divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi p. 13/57

Euclide

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

...

Allora o a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure composto(cio divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi p. 13/57

Euclide

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

...

Allora o a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure composto(cio divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi p. 13/57

Euclide

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

...

Allora o a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure composto(cio divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi p. 13/57

Euclide

Siano , ,..., i soli numeri primi.

Prendiamo il loro prodotto e sommiamoci 1:

...

Allora o a sua volta primo, e allora neabbiamo trovato un altro, oppure composto(cio divisibile per numeri diversi da , ,..., ).

Storia dei numeri primi p. 13/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per .

E in realt primo perch non divisibile per, e .

Storia dei numeri primi p. 14/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per .

E in realt primo perch non divisibile per, e .

Storia dei numeri primi p. 14/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per

.

E in realt primo perch non divisibile per, e .

Storia dei numeri primi p. 14/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per

.

E in realt

primo perch non divisibile per

,

e

.

Storia dei numeri primi p. 14/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per .

E in realt primo perch non divisibileper nessun primo minore o uguale a e

.

Storia dei numeri primi p. 15/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per .

E in realt primo perch non divisibileper nessun primo minore o uguale a e

.

Storia dei numeri primi p. 15/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per

.

E in realt primo perch non divisibileper nessun primo minore o uguale a e

.

Storia dei numeri primi p. 15/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per

.

E in realt

primo perch non divisibileper nessun primo minore o uguale a

e

.

Storia dei numeri primi p. 15/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per ...

...ma NON primo! E divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi p. 16/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per ...

...ma NON primo! E divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi p. 16/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per

...

...ma NON primo! E divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi p. 16/57

Esempio pratico

Siano

i soli primi

non divisibile per

...

...ma

NON primo! E divisibile per 59,infatti

.

Storia dei numeri primi p. 16/57

Euclide

Con la dimostrazione di Euclide svanisce lapossibilit di costruire una tavola periodica che

comprenda tutti i numeri primi.

Storia dei numeri primi p. 17/57

Eratostene

Scienziato e letterato greco:

275-195 a.C.

Storia dei numeri primi