Teoria dei numeri e numeri primi fattorizzazione e infinit  dei numeri primi

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  • Teoria dei numeri e numeri primi fattorizzazione e infinit dei numeri primi
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Un paio di lezioni per: presentare i contenuti mettere bene in rilievo come si orientata la ricerca matematica a proposito dei numeri primi mostrare i possibili legami fra laritmetica e lalgebra e tra laritmetica dei numeri primi e la geometria al fine di mostrare il rapporto fra numeri ed, in particolar modo, fra i numeri primi
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Si forniscono le definizioni di: divisione tra due numeri naturali; divisore e multiplo di un naturale; divisori banali e non banali. Si propongono alla classe una serie di esercizi per far scoprire loro alcune relazioni fra fattori e divisori, che poi si andranno a formalizzare.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Che relazione dordine c tra un naturale ed un suo fattore? Qual pi grande tra un naturale e un suo fattore? Consideriamo un naturale, per esempio 3, un suo multiplo per esempio 12, ed un multiplo di questultimo per esempio 24: 24 anche multiplo di 3; questa propriet vera in generale? cio un multiplo di un multiplo di un naturale un multiplo di quel naturale?
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Consideriamo i naturali 24 e 18: valgono 3 divisore di 24 e 3 divisore di 18, con quozienti 8 e 6; valgono anche 3 divisore di (24+18) e 3 divisore di (2418); questa propriet vera in generale? Ossia la somma e la differenza di due multipli di un naturale sono entrambi multipli di quel naturale? Moltiplichiamo i naturali 24 e 18 (entrambi divisibili per 3) rispettivamente per 2 e 5 e sommiamo i prodotti ottenuti: il risultato 24*2+18*5 = 138. E ancora divisibile per 3? S perch 138:3 = 46. In generale, allora, la somma dei prodotti di due multipli di un naturale per due naturali ancora un multiplo di quel naturale?
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Esempio ad effetto Si fa scrivere un numero di tre cifre e poi scrivere ancora queste cifre nello stesso ordine. Poi si dice E divisibile per 7, vero?. E poi: anche per 11, vero?, lo stesso poi si chiede per 13. Lo verificheranno rapidamente con la calcolatrice. Si vede facilmente che un numero cos costruito sempre multiplo di 7, 11, 13 in quanto non si fa altro che moltiplicare il numero di partenza per 1000 + 1 = 1001 multiplo di 7, 11, 13. Infatti: 235235 = 235*1000 + 235 = 235* (1000 + 1) = 235*1001 = 235*7*11*13
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Si forniscono: le definizioni di numeri primi e composti; il teorema fondamentale dellaritmetica; alcuni criteri di divisibilit; le definizioni di M.C.D. e m.c.m.. Si propongono alla classe una serie di esercizi per far scoprire loro alcune relazioni fra M.C.D. e m.c.m., che poi si andranno a formalizzare.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Qual il M.C.D.(30, 18)? E il M.C.D.(30-18,18)? E il M.C.D. (18-12, 12)? E possibile determinare una propriet vera in generale? Se s perch? Qual il M.C.D.(8, 12), quale il m.c.m.(8, 12) e quale il loro prodotto? Qual il M.C.D.(3, 15), quale il m.c.m.(3, 15) e quale il loro prodotto? Il prodotto fra i due numeri pari al prodotto del Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo tra tali numeri. Questa propriet vera in generale?
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi E poi si fornisce la definizione di numeri primi tra loro e a seguire sempre con delle domande, si pu cercare di far determinare ai ragazzi una propriet di tali numeri: Qual il m.c.m. tra 2 e 3? E tra 3 e 5? E tra 7 e 11? Questi numeri sono primi tra loro e il loro m.c.m. proprio il loro prodotto. Questa propriet vera in generale? Un modo molto immediato per vedere la propriet di due numeri di essere primi tra loro pu essere il seguente: una rappresentazione geometrica di tali numeri, mediante la quale possibile stabilire se questi ultimi siano o no primi tra loro.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi
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  • STORIA Si possono proporre agli studenti alcune domande atte a far sorgere in loro le stesse curiosit che hanno impegnato le menti dei matematici nel corso dei secoli: Determinate i numeri primi tutti.... possibile? Quanti sono? Secondo voi esiste un modo per determinare tutti i numeri primi? Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual il centesimo numero primo? Secondo voi qual la frequenza con cui ci si imbatte in un numero primo percorrendo la sequenza dei numeri naturali? E possibile determinarla?
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Primo problema: quanti sono i numeri primi? III sec. a.C. Euclide dimostra che i numeri primi sono infiniti Secondo problema: determinazione dei numeri primi mediante semplice formula Ipotesi di Fermat (XVII secolo): tutti i numeri della forma sono primi. Nel 1732 Eulero dimostr che gi per n=5 lipotesi non vera.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Nel 1859 Riemann presenta, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza", unipotesi per determinare la distribuzione dei primi tra gli altri numeri. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco dei numeri primi. Da un secolo e mezzo l'ipotesi di Riemann ossessiona i matematici. Stabilire una regola matematica che dimostri se esiste o no una logica nell'assenza di una cadenza nella distribuzione dei numeri primi, significherebbe comprendere se vi una "aritmia" totale in quest'ultima o meno; questo potrebbe avere importanti ricadute sulle applicazioni informatiche odierne e future.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Nel 1976 Jones, Sato, Wada e Wiens dimostrano lesistenza di un polinomio in 26 variabili i cui valori positivi, al variare delle variabili sui numeri interi, sono esattamente i numeri primi. Esso rappresenta attualmente il migliore risultato trovato nella ricerca di una formula per determinare i numeri primi.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Si pu far notare ai ragazzi che anche se non esiste una formula matematica per determinare tutti i numeri primi, esiste un metodo empirico per trovarli. Si introduce cos il crivello di Eratostene risalente al III sec. a.C..
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Passo decisivo: rinuncia alla ricerca di una formula che determini i numeri primi per chiarire, invece, la distribuzione media dei primi tra i numeri naturali. Uno dei risultati pi importanti: intorno al 1800 Gauss scopre una buona approssimazione del comportamento medio della distribuzione dei numeri primi allinterno della successione dei numeri naturali.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Sono ancora tante e varie le questioni aperte a proposito della teoria dei numeri primi, alcune delle quali, una volta ipotizzate, hanno visto anche una serie di verifiche empiriche, per quanto non ne sia stata dimostrata la validit. Si pu cos citare la pi illustre nonch famosa La congettura di Goldbach: ogni numero pari diverso da 2 pu essere rappresentato come somma di due numeri primi.
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi Per concludere si pu citare la seguente caratterizzazione dei numeri primi: Un numero n primo se e solo se (n - 1)! + 1 divisibile per n Si fa notare cos che questa proposizione pu essere facilmente utilizzata come test di primalit di un numero naturale, ossia per verificare se esso sia o no primo
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  • Teoria dei numeri e numeri primi: fattorizzazione e infinit dei numeri primi e per finire Sapete che cos questa?
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  • Questa la distribuzione dei numeri primi tra tutti i numeri naturali, rappresentati come una spirale che imita l'aspetto dei semi al centro di un girasole.