No Slide Title...osobina Laplasove transformacije preslikavaju u s-domen, dok se diferencne jednačine preslikavaju u z-domen. Koristeći osobine Z-transfomacije, sistem diferencnih

OPTIMALNO UPRAVLJANJE

Žarko ZečevićElektrotehnički fakultet u Podgorici

Univerzitet Crne Gore

Tema 1

Ishodi učenja:Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:

▪ Riješe jednačine stanja kontinualnog i diskretnog LTI sistema

▪ Diskretizuju kontinualni sistem

▪ Ispitaju kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost idetektabilnost sistema

▪ Linearnim transformacijama preslikaju sistem u neku od kanoničnihformi

▪ Linearizuju nelinearni model sistema u prostoru stanja

▪ Ispitaju lokalnu stabilnost ekvilibrijuma sistema

2

Modelovanje i analiza kontinualnih i diskretnih sistema u prostoru stanja

Kontinualni sistemi u prostoru stanja

U prostoru stanja dinamika kontinualnih sistema se modeluje na sljedećinačin:

Za promjenljive stanja treba usvojiti minimalan skup linearno nezavisnihpromjenljivih, pri čemu one ne moraju da imaju fizički smisao.

3

Specijalno za linearne vemenski invarijante (LTI) sisteme važi:

Linearnost podrazumijeva da se izvod svake jednačine stanja možepredstaviti kao linearna kombinacija promjenljivih stanja i ulaznihsignala, dok vremenska invarijanost znači da su ti koeficijentikonstantni. Odnosno, kod LTI sistema A, B, C i D predstavljajumatrice konstantnih koeficijenata.

0( ) ( ( ), ( ), ), (0)

( ) ( ( ), ( ), ).

t t t t

t t t t

= =

=

x f x u x x

y g x u

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

= + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du


Da bi riješili jednačine stanja, za početak posmatrajmo homogenudiferencijalnu jednačinu, odnosno slučaj kada je u(t)=0:

Rješenje prethodne vektorske jednačine je:

Matricu Φ(t) zovemo fundamentalna matrica i ona je jednaka:

Naziv matrična ekponencijalna funkcija potiče zbog analogije saskalarnom eksponencijalnom funkcijom:

Fundamentalna matrica se može definisati i u Laplasovom domenu.Prebacivanjem homogene diferencijalne jednačine u s-domen dobija se:

4

0( ) ( ) ( ), (0) .t t t= =x A x x x

2 2 3 31 11 .

2! 3 !ate at a t a t= + + + +

0 0( ) ( ) .tt e t= =Ax x Φ x

2 2 3 31 1( ) .

2! 3 !tt e t t t= + + + +AΦ I A A A

0( ) ( )s s− =sX x AX 10( ) ( )s s −= −X I A x ( )1 1( ) ( ) .t s− −= −Φ I AL

Do analitičkog izraza za promjenljive stanja pobuđenog sistema setakođe može doći posmatranjem jednačine stanja u s-domenu:

Iz prethodne jednačine se može izraziti vektor X(s):

Izraz za x(t) se dobija primjenom inverzne Laplasove transformacije naprethodnu jednačinu:

Ako su početna stanja zadata u trenutku t1, tada će promjenljive stanjabiti jednake (vremenska invarijantnost):


5

0 0 0( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ).t t t t s s s s= + = → − = +x Ax Bu x x X x AX BU

1 10( ) ( ) ( ) ( ).s s s s− −= − + −X I A x I A B U

00

( ) ( ) ( ) ( ) .t

t t t d = + −x Φ x Φ Bu

Nakon rješavanja jednačina stanja računa se izlazni signal:

Konvolucija

( ) ( ) ( ).t t t= +y Cx Du

11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

t

tt t t t d = + −x Φ x Φ Bu

Funkcija prenosa kontinualnog sistema

Da bi odredili vezu između prostora stanja i funkcije prenosa, jednačinestanja i izlaza iz vremenskog domena treba prebaciti u Laplasov domen:

Konačno, veza između funkcije prenosa matrica A, B, C i D.

Posmatrajući prethodni izraz, može se zaključiti da je karakterističnipolinom sistema jednak:

6

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

= +

= +

x Ax Bu

y Cx Du

( ) - (0 ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s s s s

s s s

− = +

= +

X x AX BU

Y CX DU

1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s s s

s s s

−

−

= −

= − +

X I A BU

Y C I A B D U

0

1 ( )( ) ( )

det( )

adj ss s

s− −

= − + = +−

I AG C I A B D C B D

I A

( ) det( ).f s s= −I A

Odrediti odziv zadatog sistema na step pobudu. Početni uslovi su x(0)=[1 0]T.

Prvo ćemo odrediti fundamentalnu matricu:

Odziv sistema je:

Primjer – rješjevanje jednačina stanja

7

2 1 0 1( ) ( ) ( ), ( ) ( ), (0)

0 3 1 0

( ) 0 1 ( ).

t t u t u t h t

y t t

− = + = = −

=

x x x

x

A=[-2 1;0 -3];B=[0;1];C=[0 1];

x0=[2;1];

syms t tau

Fi=expm(A*t); Fi1=subs(Fi,t-tau)

x=Fi*x0+int(Fi1*B*1,tau,0,t)

y=C*x

−= =

-2 -2 -3

-3

e e e( ) .

0 e

t t t

t

tt eAΦ

−= + − =3

00

1 2( ) ( ) ( ) ( ) + .

3 3

ttt t t d ey CΦ x C Φ Bu

Primjer – model DC motora

Parametri DC motora su R = 9.5 Ω, L = 0.008 H, J = 2×10-5 kgm2; b = 0.001Nm/s, k = 0.04 Nm/A. Odrediti model sistema u prostoru stanja. U Simulinkusimulirati step odziv sistema. Analitičkim putem odrediti vrijednost ugaonebrzine u stacionarnom stanju, a zatim uporediti dobijeno rješenje sa rezultatimasimulacija. Odrediti funkciju prenosa sistema i skicirati strukturni blok dijagram.

8

+

u(t)

R

M

L

e(t)

+

b

,

Ji(t)

.

J b ki

diL Ri u kdt

+ =

+ = −

=

1// / 0

0/ / 0 ,

00 1 0

0 1 0 .

i i LR L k L

k J b J u

i

y

− −

= − +

=

1

Ls R+k

1

Js b+

k

1

s

( )U s ( )I s ( )T s ( )s ( )s

-

Diskretni sistemi u prostoru stanja

Model diskretnog sistema u prostoru stanja ima sličan oblik kao kodkontinualnih sistema. Razlika je u tome što se radi o skupu diferencnih,a ne diferencijalnih jednačina, koje su u opštem slučaju takođenelinearne:

9

Za diskretne LTI sisteme važi:

gdje su A, B, C i D matrice konstantnih koeficijenata. Za početak,zanima nas kako analitičkim putem da odredimo vremenske oblikepromjenljivih stanja x(n) i izlaza sistema y(n), za zadate početne uslovex0 i pobudu sistema u(n).

0( 1) ( ( ), ( ), ), (0)

( ) ( ( ), ( ), ).

n n n n

n n n n

+ = =

=

x f x u x x

y g x u

0( 1) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ),

n n n

n n n

+ = + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

broj odbirka

- perioda odabiranja

n nT

n redni

T

−


Najprije posmatrajmo homogenu diferencnu jednačinu, odnosno slučaj kada je ulazni signal jednak nuli:

Gornju jednačinu možemo riješiti rekurzivno, za trenutke n=1, 2, ... , :

Analogno kontinualnim sistemima, matricu An zovemo fundamentalnommatricom:

Da su početni uslovi bili zadati u trenutku n1, tada bi odziv bio jednak:

10

0( 1) ( ), (0) .n n+ = =x Ax x x

0

20

0

(1) (0)

(2) (1)

( ) ( 1) .nn n

= =

= =

= − =

x Ax Ax

x Ax A x

x Ax A x

( ) .nn =Φ A

1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ).n nn n n n n−= − =x Φ x A x


11

Sada posmatrajmo diskretne jednačine stanja, uz pretpostavku da jeulazni signal u(n) definisan za svako n>0:

I ove jednačine se mogu riješiti rekurzivno:

( 1) ( ) ( ).n n n+ = +x Ax Bu

20

3 20

10

1 10 0

(1) (0) (0)

(2) (1) (1)

(0) (2)

(3) (2) (2)

(0) (1) (2)

( ) ( 1) ( 1)

(0) ( 1) ( )

( ).

n n

nn n m

m

n n n

n n

u m

−

− − −

=

= +

= +

= + +

= +

= + + +

= − + −

= + + − +

= +

x Ax Bu

x Ax Bu

A x ABu Bu

x Ax Bu

A x A Bu ABu Bu

x Ax Bu

A x A Bu ABu Bu

A x A B

Funkcija diskretnog prenosa

Za diskretne sisteme funkcija diksretnog prenosa se definiše na isti načinkao kod kontinualnih sistema – odnos izlaznog i ulaznog signala.Osnovna razlika je u tome što se diferencijalne jednačine primjenomosobina Laplasove transformacije preslikavaju u s-domen, dok sediferencne jednačine preslikavaju u z-domen. Koristeći osobine Z-transfomacije, sistem diferencnih jednačina se lako prebaca u z-domen:

Iz prve jednačine, uz pretpostavku nultih početnih uslova, slijedi:

Uvrštavanjem izraza X(z) u izraz za jednačine izlaza, dobija se:

Konačno, funkcija diskrenog prenosa je jednaka:

12

0( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

n n n z z z z z

n n n z z z

+ = + − = +

+ = + = +

x Ax Bu X x AX BU

y Cx Du Y CX DU

1( ) ( ) ( ).z z z−= −X I A BU

1( ) ( ) ( ) ( ).z z z z−= − +Y C I A BU DU

1( ) ( ) .z z −= − +G C I A B D( ) det( )

karakteristični polinom

f z z= −I A

Upravljanje sistemima

Upravljati sistemom znači dovoditi na njegov ulaz upravljački signal u(t)takav da se minimizuje razlika između izlazne i referentne (željene)vrijednosti, uprkos uticaju poremećaja koji djeluju na sistem. Iz tograzloga, upravljački signal je najčešće u funkciji od signala greške,odnosno razlike između referentne i izlazne vrijednosti: u(t)=f(e(t)).

Proces (sistem) kojim upravljamo je najčešće kontinualan, dokupravljački zakon može biti implementiran u analognoj ili digitalnojtehnici. Zbog ograničenja implementacije, zakoni upravljanja ukontinulanom domenu su linearni (linearne diferencijalne jednačine).

13

Matematičkerelacije

Procesu(t) y(t)

d(t)

Upravljački zakon

f(e(t))r(t) e(t)

-


Postoji više metoda za dizajn kontinualnih regulatora (upravljačkihzakona). Kod klasičnih metoda sinteza regulatora se vrši ufrekvencijskom (Bode) ili kompleksnom domenu (geometrijsko mjestokorijena). U ovom kursu ćemo se baviti sintezom linearnih zakonaupravljanja u vremenskom domenu, koji su u funkciji od signala greške ipromjenljivih stanja: u(t)=f(e(t), x(t)).

Digitalni zakoni upravljanja se implementiraju na računaru u vidulinearnih diferencnih jednačina. Kako je proces kojim se upravljakontinualan, potrebno je izvršiti A/D konverziju izmjerenog signala.Nakon toga signal greške se obrađuje na računaru. Računar generišediskretni uravljački signal koji se pomoću D/A konvertora pretvara ukontinualni signal.

14


Procesu(t) y(t)

d(t)

Upravljački zakon

f(e(n))r(n) e(n)

-D/A

A/D

u(n)


Postoji nekoliko metoda za dizajn digitalnih regulatora:

▪ Diskretizacija analognih regulatora: kod ovog metoda dizajnregulatora se vrši u kontinualnom domenu primjenom klasične teorije.Nakon toga dobijeni analogni regulator se diskretizuje i implementirau obliku digitalnog filtra koristeći neki od diskretizacionih postupaka(Tustin, Euler, Zero-Pole Matching, itd.)

▪ Dizajn u w-ravni: kod ove metode najprije se određuje funkcijadiskretnog prenosa procesa W(z), koja se nakon toga preslikava utakozvanu w-ravan. Karakteristike w-ravni su slične karakterstikamas-ravni, pa se za dizajn regulatora mogu koristiti frekvencijskemetode. Na kraju, dobijeni regulator se inverznom transformacijompreslikava nazad u z-ravan i implementira na računaru.

▪ Direktni dizajn u diskretnom domenu: kod ovog postupka sintezaregulatora se vrši direktno u diskretnom vremenskom domenu naosnovu diskretizovanog state-space modela sistema, zatvaranjemsprege po varijablama stanja (u(n)=f(e(n), x(n))).

15

Odabiranje analognih signala (A/D)

Kako računar razumije samo brojeve, mjereni signal prvo trebadiskretizovati, odnosno treba uzeti (odabrati) njegove vrijednosti uekvidistantnim trenucima vremena i proslijediti ih računaru. Što jeperioda odabiranja manja, to će diskretna reprezentacija signala sadržativiše informacija o kontinualnom signalu. Štaviše, teorema o odabiranjugarantuje mogućnost potpune rekonstrukcije analognog signala izdiskretnih odbiraka ukoliko je frekvencija odabiranja odabrana tako daje bar dva puta veća od najveće učestanosti u frekvencijskom spektrusignala. U praksi signali nemaju ograničen spektar, ali se često možesmatrati da je spektar signala zanemarljiv nakon neke učestanosti fm.

16

y(n)A/D

y(t)

Rekonstrukcija analognog signala (D/A)

Proces konverzije digitalnog u analogni signal se zove rekonstrukcija, dokse uređaj koji vrši rekonstrukciju naziva D/A konvertor. Ukoliko jezadovoljena teorema o odabiranju, kontinualni signal se može potpunorekonstruisati propuštanjem njegovih diskretnih odbiraka kroz idealniniskopropusni filtar. Međutim, idealni niskopropusni filtar se ne možeimplementirati u realnom vremenu. U praksi se za rekonstrukcijuanalognih signala najčešće koristi kolo zadrške nultog reda (zero-order-hold, ZOH). ZOH kolo uzima diskretni odbirak signala u(nT) i drži gakonstantnim u vremenskom intervalu nT<t<(n+1)T, sve dok ne naiđesljedeći odbirak signala.

17

u(t)D/A

u(n)

Diskretizacija state-space modela

Prilikom dizajna digitalnog regulatora potrebno je diskretizovatikontinualni model procesa, pritom uzimajući u obzir da je signal u(t)stepenastog oblika, odnosno da se za D/A konverziju koristi ZOH kolo.

Važno je napomenuti da će se na ovaj način dobiti diskretni model kojiegzaktno opisuje odziv kontunualnog procesa (sa ZOH-om) u trenucimaodabiranja nT.

18


Procesu(t) y(t)

d(t)

Upravljački zakon

f(e(n))r(n) e(n)

-D/A

A/D

u(n)


Posmatrajmo jednačine stanja kontinualnog LTI sistema, odnosnonjihovo rješenje:

Neka je t0 = nT i t = (n+1)T, gdje je T perioda odabiranja. Na osnovuprethodne jednačine može se zapisati sljedeće:

S obzirom je signal u(t) konstantan između dva uzastopna trenutkaodabiranja, gornji izraz se svodi na:

19

00

0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .t

tt

tt t t t d t e = − + − =

Ax Φ x Φ Bu Φ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .nT T

t

nTnT T nT T nT nT nT T d t e

+

+ = + − + + − =Ax Φ x Φ Bu Φ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) .nT T

t

nTnT T T nT nT T d nT t e

+ + = + + − =

Ax Φ x Φ B u Φ

( )( 1) ( ) ) ( ).nT T

T nT T

nTn e n e d n

++ − + = +

A Ax x B u


Posmatrajući diferencne jednačine:

i imajući u vidu state-space model diskretnog sistema, dobija sediskretizovani model kontinualnog state-space modela:

gdje su matrice Ad i Bd jednake:

Uvodeći smjenu γ =nT+T-τ, izraz za Bd se može pojednostaviti:

20

( )( 1) ( ) ) ( ).nT T

T nT T

nTn e n e d n

++ − + = +

A Ax x B u

( 1) ( ) ( ),d dn n n+ = +x A x B u

( ), ) .nT T

T nT Td d

nTe e d

++ −= =

A AA B B

0

0.

T

dTe d e d = − =

A AB B B


Posmatrajmo sada linearne izlazne jednačine kontinualnog sistema:

U trenutku t=nT izlazi su jednaki:

odakle slijedi da je:

Na kraju sumirajmo prethodno rečeno. Ponašanje kontinualnog sistemaopisanog u prostoru stanja matricama (A,B,C,D) na čiji ulaz dolazistepenasti signal periode T (izlaz iz ZOH-a) u trenucima t=nT se možeegzaktno opisati diskretnim modelom (Ad,Bd,Cd,Dd), pri čemu važi:

21

( ) ( ) ( ).t t t= +y Cx Du

( ) ( ) ( ),nT nT nT= +y Cx Du

, .d d= =C C D D

0,

, .

TT

d d

d d

e e d = =

= =

A AA B B

C C D D

ZOH preslikavanje

Nakon diskretizacije kontinualnog procesa, vrši se dizajn regulatora udomenu diskretnog vremena. Prilikom dizajna sistema obično sespecificira željena vrijednost polova spregnutog sistema. Međutim, iakose dizajn vrši u diskretnom domenu, odziv SAU-a je kontinualan. Stogaprirodno je da se željene lokacije polova zadaju u kontinualnom domenu,ali ih nakon toga treba preslikati u z-domen. Veza između polovakontinualnog sistema i polova odgovarajućeg ZOH (diskretizovanog)ekvivalenta je data sljedećom relacijom:

gdje su si polovi kontinualnog sistema, T je perioda odabiranja, dok zioznačava polove ZOH ekvivalenta.

22

,isTiz e=

Primjer - diskretizacija

Dinamika DC motora je opisana modelom u prostoru stanja:

pri čemu je R = 9.5 Ω, L = 0.008 H, J = 2×10-3 kgm2; b = 0.001 Nm/s, k = 0.04Nm/A. Ako je perioda odabiranja jednaka T = 0.1s, odrediti diskretizovanimodel sistema u prostoru stanja. U Simulinku simulirati odziv kontinualnog idiskretnog modela. Takođe, napisati m-file kojim se analitički i numerički računaodziv diksretizovanog modela. Na jednom grafiku prikazati i uporediti odzive izSimulinka i m-fajla. Razmotriti dva ulazna signala: h(t) i sin(10t).

Nakon uvrštavanja konkretnih vrijednosti u polazni model dobija se:

23

1// / 0

0/ / 0 , 0 1 0 ,

00 1 0

i i L iR L k L

k J b J u y

− −

= − + =

=

-118.75 -0.625 0 12.5

25 -0.5 0 , = 0 , = 0 1 0 .

0 1 0 0

A B C


Za periodu odabiranja T=0.1s, nakon primjene formula za diskretizaciju dobijajuse sljedeće matrice:

Funkcija prenosa motora je:

dok je funkcija prenosa diksretizovanog modela:

Statička pojačanja kontinualnog i diskretnog modela su:

24

=

-0.0010454 -0.0049727 0 0.10414

0.19891 0.93978 0 , = 0.23433 , = 0 1 0 .

0.018747 0.097003 1 0.01092

d d dA B C

−= −+ +

=2

1 125(

0

4 477 300) ,G s

s sC I A B

−= − =+

21

3 2

0.23433 - 0.21338 - 0.020959( ) .

- 1.9387 0.93874 - 6.6227 - 06d d d d

z zG z

z z z eC I A B

→ →= = = =

0 1lim ( ) 4.16 i lim ( ) 4.16.ds z

K G s K G z


25

% Odziv disketnog sistema za zadate matrice Ad,Bd,Cd

close all

syms z

% odrediti promjenljive stanja x(n), ako na je ulaz step f-ja u(n)

Fi=(z*eye(3)-Ad)^-1;

X=Fi*Bd*1/(1-z^-1); %z-transformacije heaviside-ove f-je,

ztrans(heaviside(t))

x=simplify(iztrans(X))

y=vpa(Cd*x,5);

n=0:100; % 10 sekundi (n*T)

yy=subs(y,n)

stairs(n*T,yy)

xlabel('Vrijeme')

% Simulacija sistema

clear y

x=[0;0;0]; % pocetni uslovi

for n=1:100

x=Ad*x+Bd*1;

y(n)=C*x; % koristimo n ako zelimo da cuvamo rezultat. U suprotnom treba

stedjeti memoriju

end

hold on

stem([1:100]*T,y,'--r')

Simulacioni blok dijagrami


Posmatrajmo funkcije prenosa prvog reda kontinualnog i diskretnogsistema:

Kvazi-analogni blok dijagram ili simulacioni dijagram sistema jedijagram koji se sastoji od elementarnih komponenti: integratora/kolaza kašnjenje, sabirača i pojačavača. Konkretno za dati primjer, on semože nacrtati na osnovu diferencijalne/diferencne jednačine:

27

( ) ( ) ( ) ( )k

G s x t ax t ku ts a

= = − ++

( ) i ( ) .k k

G s G zs a z a

= =+ +

+1/s

-

k

a

u(t) x(t)( )x t

( ) ( 1) ( ) ( )k

G z x n ax n ku nz a

= + = − ++

+z-1

-

k

a

u(n) x(n)( 1)x n +


Kvazi-analogni blok dijagram sistema većeg reda se crta na sličan način.Umjesto jednog integratora uvodi se n integratora, pri čemu ulaz usvaki integrator predstavlja jednu promjenljivu stanja. Nakon toga naulaze sabirača se povezuju stanja i ulazni signali u skladu sajednačinama sistema.

Često se radi jednostavnosti crta vektorski simulacioni blok dijagram.

28

( ) ( ) ( )

( ) ( )

t x t u t

t t

= +

=

x A B

y Cx

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

n x n n

n n

+ = +

=

x A Bu

y Cx

A

B+

1/s

+

u(t) x(t)C

y(t)( )tx

A

B+

z-1

+

u(n) x(n)C

y(n)x(n+1)

Kontrolabilnost i opservabilnost sistema

Kontrolabilnost kontinualnih sistema

Posmatrajmo LTI sistem opisan u prostoru stanja:

Drugim riječima treba da postoji u(t) takav da važi:

Posmatrajući izraz iznad, uočava se da kontrolabilnost zavisi samo odmatrica A i B. Naš zadatak je da ispitamo koji uslov treba da zadovoljematrice A i B, tako da gornja jednačina uvijek bude zadovoljena.

30

Za LTI sistem kažemo da je potpuno kontrolabilan (upravljiv) akopostoji upravljački signal u(t) takav da pomjeri sistem iz bilo kogpočetnog stanja x(t0)=x0 u željeno stanje x(t1)=x1, za neko konačnovrijeme t1-t0.

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

= + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

1

( )1 0 1

0

( ) ( ) .t

t tt e e d −= + =A Ax x Bu x

Definicija


Za izvođenje uslova kontrolabilnosti koristićemo Cayley-Hamiltonovuteoremu, na osnovu koje se može tvrditi da se prozivoljna matričnafunkcija može zapisati kao linearna kombinacija njenih eksponentata do(n-1)-og stepena:

Uvrštavanjem gornjeg izraza u izraz za jednačine stanja x(t), dobija se

Posljednja jednakost se može zapisati u matričnom obliku:

31

1

11 0 0 1 1

0

( ) ( ) ... ( ) ( ) .t

At nne d − −

− − = + + + x x I A A Bu

10 1 1( ) ( ) ... ( ) .n

ne − −

−= + + +A I A A

0

111 0

1

| | ... |...

At n

n

r

re

r

− −

−

− =

x x B AB A B

1

1

1

0 0

0

1 1

0

1 1

0

( ) ( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ( )

t

t

t

n n

r d

r d

r d

− −

=

=

=

u

u

u


Da bi sistem preveli iz stanja x0 u stanje x1, potrebno je riješitiprethodni sistem jednačina. Odnosno, prvo treba naći vektor r, a zatimpoznavajući r1, r2,.. r2 odrediti upravljanje (upravljački signal) u(t).

Međutim, u ovom kursu nas ne interesuje pronalaženje upravljanja u(t)koje prevodi sistem iz nekog početnog u željeno stanje, već nas samozanima pod kojim uslovima to upravljanje postoji.

Prethodna jednačina ima jedinstveno rješenje jedino pod uslovom da je matrica Mc invertibilna.

32

0

111 0

1

| | ... | ....

At nc

n

r

re

r

− −

−

− = =

x x B AB A B M r

1 111 0 1 0

t tc ce e− − − − = = −

A Ax x M r r M x x


Drugim riječima, sistem je potpuno kontrolabilan ako važi sljedeće:

Ako je rank(Mc) = n – p, onda da sistem ima n-p kontrolabilnih stanja.Preostalih p stanja nije kontrolabilno, što znači da na njih ne možemodirektno ili indirektno da utičemo ulaznim signalom ili su ona linearnakombinacija preostalih n-p kontrolabinih stanja. U drugom slučajusistem je premodelovan, odnosno usvojen je veći broj promjenljivihstanja nego što je potrebno.

Ukoliko sistem nije potpuno kontrolabilan, tada se nekontrolabilnepromjenljive stanja mogu identifikovati na osnovu simulacionog blokdijagrama. Dakle, potrebno je nacrtati simulacioni blok dijagram i uočitida li ulaz direktno ili indirektno utične na promjenljive stanja.

33

1( ) rank | | ... | ,ncrank n− = = M B AB A B

det( ) 0.c M

Kontrolabilnost diskretnih sistema

Posmatrajmo diskretni LTI sistem opisan u prostoru stanja:

Može se pokazati da je diskretni sistem potpuno kontrolabilan ukoliko jezadovoljen sljedeći uslov:

Dakle, kontrolabilnost kontinualnih i diskretnih sistema se definiše iispituje na isti način.

34

0( 1) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

n n n

n n n

+ = + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

1( ) rank | | ... | det( ) 0.nc crank n− = = M MB AB A B

Za diskretni LTI sistem kažemo da je potpuno kontrolabilan (upravljiv)ako postoji upravljački signal u(n) takav da pomjeri sistem iz bilo kogpočetnog stanja x(n0)=x0 u željeno stanje x(n1)=x1 za neko konačnovrijeme n1-n0.

Definicija

Determinanta matrice kontrolabilnosti je jednaka:

što znači da je sistem potpunokontrolabilan.

Primjer - kontrolabilnost sistema

Ispitati kontrolabilnost sistema zadatog u prostoru stanja matricama:

35

5 1 2, , 1 2 .

2 0 5

− − = = =

A B C

2 15

det( ) det | det 97,5 11c

− = = =

M B AB

A=[-5 -1;3 1];

B=[2;5];

Mc=[B A*B]

Mc =

2 -15

5 11

det(Mc)

Posmatrajući kvazi-analogni dijagram sa slike uočava se daizmeđu stanja x1, x2 i ulaza postoji direktna veza, što značida je sistem kontrolabilan.

Napomena: veza između stanja može biti i indirektna.Odnosno, ulaz može da upravlja stanjem x2 preko stanja x1.

1/s

1/s

5

3

2

5

u(t)

2

y(t)

-

-

1x

2x

1x

2x

Opservabilnost kontinualnih sistema

Neka je LTI sistem u prostoru stanja zadat jednačinama:

Neka je Mo matrica opservabilnosti koja se formira na sljedeći način:

Može se pokazati da je sistem poptuno opservabilan ukoliko važi:

Ako je rank(Mo) = n – p onda sistem ima n-p opservabilnih stanja.Preostalih p stanja nije opservabilno, što znači ona nemaju direktnu iliindirektnu vezu sa izlazom ili su ona linearna kombinacija preostalih n-popservabilnih stanja.

36

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

= + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

1

| C | ... | .−

=

nT T T T T

oM C A A C

1

( ) rank( ) rank | | ... | det( ) 0.NT T T T T T

o o orank n−

= = =

M M C A C A C M

Za LTI sistem kažemo da je potpuno opservabilan (osmotriv) ukoliko jena osnovu mjerenja izlaznog vektora y(t) u nekom konačnom intervalu t1-t0 moguće rekonstruisati vektor početnih stanja x0.

Definicija

Neka je LTI sistem u prostoru stanja zadat jednačinama:

Radi jednostavnosti, a pritom ne gubeći na opštosti, smatrajmo da jeulazni signal jednak nuli. Posmatrajmo izlaze sistem u prvih ntrenutaka:

Opservabilnost diskretnih sistema

37

0( 1) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

n n n

n n n

+ = + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

0

0

10

(0) (0) ,

(1) (1) ,

( 1) ( ) .n

y

y

y n n −

= =

= =

− = =

Cx Cx

Cx CAx

Cx CA x

Za diskretni LTI sistem kažemo da je potpuno opservabilan (osmotriv)ukoliko je na osnovu mjerenja izlaznog vektora y(n) u nekom konačnomintervalu n1-n0 moguće rekonstruisati vektor početnih stanja x0.

Definicija

Opservabilnost diskretnih sistema

Prethodne jednačine možemo zapisati u matričnom obliku:

Da bi na osnovu n mjerenja signala y(n) mogli rekonstruisati vektorpočetnih stanja x0, matrica Mo mora biti invertabilna:

Drugim riječima, diskretni sistem je opservabilan ukoliko je rank(Mo)=nili det(Mo) ≠ 0.

38

0

1

(0)

(1).

( 1) n

y

y

y n −

=

−

C

CAx

CA

−

−

= =

1

1

.n T

T T T T To

n

C

CAM C A C A C

CA

Stabilizabilnost i detektabilnost sistema

Neka je kontinualni/diskretni sistem zadat matricama A, B, C, D i nekaje broj kontrolabilnih stanja jednak k, odnosno:

Za kontinualni/diskretni sistem kažemo da je stabilizabilan ukoliko jepreostalih n-k nekontrolabilnih stanja sistema stabilno.

Neka je kontinualni/diskretni sistem zadat matricama A, B, C, D i nekaje broj opservabilnih stanja jednak k, odnosno:

Za kontinualni/diskretni sistem kažemo da je detektabilan ukoliko jepreostalih n-k neopservabilnih stanja sistema stabilno.

39

− = = 1( ) rank | | ... | .n

crank kM B AB A B

−

= =

1

( ) rank | | ... | .nT T T T T

orank kM C A C A C

Definicija

Definicija

Primjer - opservabilnost

Ispitati opservabilnost kontinualnog sistema zadatog u prostoru stanjamatricama:

Da li je sistem detektabilan?

40

1 2 2, , 1 2 .

1 0 3

− = = = −

A B C

Kanonične forme

Kanonične forme u prostoru stanja

Postoji beskonačan broj „realizacija“ sistema u prostoru stanja, jerpostoji beskonačan broj različitih prostora. Sa druge strane, svakarealizacija sistema u prostoru stanja se preslikava u jednu istu funkcijuprenosa.

Prostor stanja predstavlja n-dimenzionalni koordinatni sistem, te serazličite realizacije mogu dobiti primjenom različitih linearnihtransformacija, tj. Odgovarajućim smjenama i prelaskom u drugikoordinatni sistem.

Sve realizacije su ekvivalentne u matematičkom smislu. Međutim, postojinekoliko stanadardnih načina zapisivanja jednačina stanja, kojenazivamo kanonične realizacije ili kanonične forme u prostoru stanja.

Jedna reprezentacija može imati prednosti u odnosu na druge. Naprimjer, za potrebe analize, promjenljive stanja nekad treba odabratitako da imaju fizički smisao, a nekad za potrebe sinteze regulatorasistem treba predstaviti u nekoj od kanoničnih formi.

42

Dijagonalna kanonična forma

Paralelno programiranje je postupak za određivanje modela u prostorustanja sistema opisanih funkcijama prenosa koje imaju proste i realnepolove:

43

11 1 0

11 2

...( ) ,

( )( ). i

. ( )

.1

m m Nm m i

nin i

b s b s b s b kG s

s a s am a

s a s an

−

−

=

+ + + += =

+ + + +=

Simulacioni blok dijagram kont.sistema je prikazan na slici desno, dokje diskretna verzija data na sljedećemslajdu. Za promjenljive stanja seusvajaju izlazi iz integratora/kola zakašnjenje. Model sistema u prostorustanja se dobija očitavanjem jednačinasa simulacionog blok dijagrama.

11 1 0

11 2

...( ) ,

( )( ). i

. ( )

.1

m m Nm m i

nin i

b z b z b z b kG z

z a z am a

z a z an

−

−

=

+ + + += =

+ + + +=

..

.

+1/s

a1

-

k1

+1/s

a2

-

k2

+1/s

aN

-

kN

u(t) y(t)

x1(t)

x2(t)

xn(t)

1( )x n

2( )x n

( )Nx n


Nakon ispisivanja jednačina za svaki integrator/kolo kašnjenja, formirase model u prostoru stanju u matričnom obliku:

44

1 1

2

3

1 1

... 0 ... 0 0

0 ... ... ... 0 0

... ... ... 0 0,

0 ... ... ... 0 0 ...

0 ... ... ... 0

0 ... ... ... 0

i

N N

N N

a k

k

a k

a k

a k

− −

−

− = = −

A B

1 ... 1 ... 1 1 = C


..

.

+z-1

a1

-

k1

+z-1

a2

-

k2

+z-1

aN

-

kN

u(n) y(n)

x1(n)

x2(n)

xN(n)

1( 1)x n +

2( 1)x n +

( 1)Nx n +

( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu

( 1) ( ) ( )n n n+ = +x Ax BuMatrica A je dijagonalna, pričemu su njeni elementi jednakipolovima sistema.


Model u prostoru stanja predstavljen na prethodni način se zovedijagonalna kanonična forma, jer je matrica A dijagonalna. Još jedannaziv za ovaj oblik je modalna forma, jer su dijagonalni elementi matriceA jednaki polovima sistema, koji se nekad zovu i modovima.

Korisna osobina dijagonalne kanonične forme ja što se za nju računanjefundamentalne matrice pojednostavljuje:

Na ovaj način se značajno pojednostavljuje računanje odziva na početneuslove. Mana ovog pristupa je što promjenljive stanja u kanoničnomprostoru često nemaju fizički smisao, pa se odgovarajućimtransformacijama treba vratiti u fizički prostor stanja.

45

1

2

0 0

0 0

0 0 n

a

a

a

− − =

−

A

1

2

0 0

0 0

0 0 n

a t

a t

t

a t

e

ee

e

−

−

−

=

A

Fundamentalna matrica i odziv na početne uslove su jednaki:

Sistem je zadat funkcijom prenosa:

Odrediti model u prostoru stanja u obliku Jordanove kanonične forme.

Primjer - DKF

46

3 2 1( )

( 1)( 2) 1 2

sG s

s s s s

+= = −

+ + + +

1 0 2,

0 2 1

− = = − −

A B

1 1=C

1x1/s

1x+

-

2

2x1/s

2x+

-

+u(t)+1

2

y(t)-1

1 0

0 2 0( )

0

tt

t

t

et e e

e

− − −

−

= = =

AΦ1 1

0 2 22 2

0 (0) (0)( ) ( )

(0)0 (0)

t t

t t

e x x et t

xe x e

− −

− −

= = =

x Φ x

Jordanova kanonična forma

Sistem je moguće predstaviti u dijagonalnoj formi jedino ako susopstvene vrijednosti proste i realne. Ako funkcija prenosa imavišestruke polove, onda se ona u prostoru stanja može zapisati u blok-dijagonalnoj ili Jordanovoj kanoničnoj formi.

Neka je funkcija prenosa data kao proizvod elementarnih funkcijaprenosa:

Na gubeći na opštosti, pretpostavili smo da je prvi pol sistema trostruk.

47

11 1 0

31 2

1311 122 3

21 1 1

...( ) ,

( ) ( )...( )

,( ) ( )

m mm m

N

Ni

i i

b s b s b s bG s

s a s a s a

kk k km n

s a s a s a s a

−

−

=

+ + + +=

+ + +

= + + + + + + +

11 1 0

31 2

1311 122 3

21 1 1

...( ) ,

( ) ( )...( )

,( ) ( )

m mm m

N

Ni

i i

b z b z b z bG z

z a z a z a

kk k km n

z a z a z a z a

−

−

=

+ + + +=

+ + +

= + + + + + + +


.

48

1

1

1

2

1 0 0 0 0

0 1 0

0 0 0 0 1, ,

0 0 0 1

0 0 0 1

− − −

= = −

− N

a

a

a

a

a

A B

13 12 11= Nk k k kC


J

( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu

( 1) ( ) ( )n n n+ = +x Ax Bu

..

.

1/s

a1

-

1/s

a2

-

1/s

aN

-

1/s

a1

-

a1

1/s

-

k11

k12

k13

k2

kN

u4x 4x

y

3x3x

nxnx

2x2x

1x 1x


Model u prostoru stanja predstavljen na prethodni način se zove blok-dijagonalna kanonična ili Jordanova kanonična forma, jer matrica J imastrukturu Jordanove matrice. Fundamentalna matrica i u ovom slučajuse jednostavnije računa:

49

1

2

1 0

0 1

1

0 0 n

a

a

a

− − =

−

J

1 1 1

2 1

1

1!

0

0 0 n

na t a t a t

a t a tt

a t

te te e

n

e tee

e

−− − −

− −

−

−

=

J

2

0 0

0

0 n

a

a

− =

−

J

0A

0

2

0 0

0

0 n

t

a t

t

a t

e

ee

e

−

−

=

J

A 0

0

Kontrolabilna kanonična forma

Ako su funckije prenosa zadate u opštem obliku, tada se one mogupredstaviti u kontrolabilnoj kanoničnoj formi:

50

0 1 1 1

0 1 2 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

, , .

0 0 0 1 0

1

m n m n

n n n n n

b b b

a a a a

− −

− −

= = = − − − −

A B C 0

Samo kontrolabilni sistemi mogu da se zapišu u ovom kanoničnomobliku. Kontrolabilna kanonična forma je pogodna za dizajn kontrolera,direktno u vremenskom domenu.

11 1 0

11 1 0

...( ) ,

.

.. i 1,

m mm mn nn

n

b s b s b s bG s

s a s a s am n a

−

−

−

−

+ + + +=

+

+=

+ +1

1 1 01

1 1 0

...( ) ,

.

.. i 1,

m mm mn nn

n

b z b z b z bG z

z a z a z am n a

−

−

−

−

+ + + +=

+

+=

+ +

Kontrolabilna kanonična forma

Simulacioni blok dijagram koji odgovara kontrolabilnoj kanoničnoj formikontinualnog sistema je prikazan na slici ispod. Simulacioni blokdijagram diskretnog sistema je skoro identičan. Jedina razlika je u tomešto se integratori zamjenjuju kolima za kašnjenje.

51

u(t)1/s

a1a2

1/s

a0

+

+ +

+

+

+

+

+

1/s

-

+

0b1b2b

1/s ......

mb

+

+

...

...

...

1/s...

...

am

+

+

an-1

+

y(t)

bxNx 1x2x 1x2x3x1bx −

Ako su brojilac i imenilac funkcije prenosa istog reda, tada ih treba podijeliti.Koeficijent koji se dobije pri dijeljenju predstavlja matricu D, a od ostatka seformiraju matrice A, B i C, na neki od prethodno opisanih načina.

Primjer - KKF

Kontinualni sistem je zadat funkcijom prenosa:

Predstaviti sistem u prostoru stanja u obliku kontrolabilne kanonične forme.Nakon toga, predstaviti i ZOH ekvivalent kontinualnog sistema u KKF. Usvojitiperiod odabiranja od 1s.

Kako pronaći kontrolabilnu kanoničnu formu diskretizovanog sistema? Da li ćedirektna primjena formula za diskretizaciju sačuvati strukturu matrica A i B?

52

1 1 1

2 2 2

0 1 0, 3 1 .

2 3 1

= + = − −

x x xu y

x x x

2

2 6( ) .

2 6 6

sG s

s s

+=

+ +

2 2

2 6 3( ) .

2 6 6 3 3

s sG s

s s s s

+ += =

+ + + +

Opservabilna kanonična forma

Opservabilna kanonična forma je druga kanonična reprezentacijakontinualnih i diskretnih sistema, zadatih u opštem obliku:

53

Samo opservabilni sistemi mogu da se zapišu u ovom kanoničnom obliku.Opservabilna kanonična forma je pogodna za dizajn opservera, direktnou vremenskom domenu.

11 1 0

11 1 0

...( ) ,

.

.. i 1,

m mm mn nn

n

b s b s b s bG s

s a s a s am n a

−

−

−

−

+ + + +=

+

+=

+ +

11 1 0

11 1 0

...( ) ,

.

.. i 1,

m mm mn nn

n

b z b z b z bG z

z a z a z am n a

−

−

−

−

+ + + +=

+

+=

+ +

0 0

1 1

1

2

1 1 1

0 0 0

1 0 0

..., , 1 0 0 0 .

0 0 1

0 0 1

n

n m

n n mn n n

a b

a b

a b

a

−

− − −

− − = = =

− −

A B C

0

Opservabilna kanonična forma

540

,

, .

T To k o k

To k k

= =

= =

A A B C

C B D D

Primjetimo da za opservabilnu i kontrolabilnu kanoničnu formu važisljedeća veza:

1/s

u(t)

1/s

1a1a

1/s

am

1/s1/s 1/s

a2a1

1/s

an-2

1/s

an-1

1/s

-1a0

y(t)nxnx1nx −1x 1x 2x 2x 1mx +

b0 b1 b2 bm

Simulacioni blok dijagram koji odgovara kontrolabilnoj kanoničnoj formikontinualnog sistema je prikazan na slici ispod. Simulacioni blokdijagram diskretnog sistema je skoro identičan. Jedina razlika je u tomešto se integratori zamjenjuju kolima za kašnjenje.

Primjer - OKF

Sistem je zadat funkcijom prenosa:

Predstaviti sistem u prostoru stanja u obliku opservabilne kanonične forme.

55

1 1 1

2 2

00 2 1

, 1 0 .31 3 2

2

x x xu y u

x x x

− = + = + − −

2

2

2( )

2 6 4

sG s

s s

+=

+ +

22

2 2

2 2

1(2 6 4) 32 2( )

2 6 4 2 6 43

1 3 1 2 .2 2 6 4 2 3 2

s s ssG s

s s s s

ss

s s s s

+ + −+

= =+ + + +

−−

= + = ++ + + +

Primjer – DC motor

Na slici ispod je prikazana principijelna šema DC motora. Modelovatidati sistem u prostoru stanja:

a) za promjenljive stanja usvojite fizičke promjenljive

b) u obliku dijagonalne/Jordanove kanonične forme, ukoliko je moguće

c) u obliku kontrolabilne kanonične forme

d) u obliku opservabilne kanonične forme

56

+

u(t)

R

M

L

e(t)

+

b

,

Ji(t)

Linearne transformacije


LTI sistemi imaju beskonačno mnogo realizacija u prostoru stanja. Izjednog u drugi prostor možemo preći linearnim transformacijamapromjenljivih stanja. Posmatrajmo model kontinualnog sistema, pritomimajuću u vidu da sve relacije na isti način važe i za diskretne sisteme:

Neka je T regularna (nesingularna) matrica dimenzija n×n. U novikoordinatni sistem se prelazi na sljedeći način:

Nakon smjene koordinata dobija sa sljedeći model:

Odnosno, u novom prostoru sistem se opisuje sljedećim matricama:

58

1( ) ( ) ( ) ( ).t t t t−= =x Tx x T x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

= +

= +

x Ax Bu

y Cx Du

1 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ).

t t t t t t

t t t t t t

− − −

− −

= + = +

= + = +

T x AT x Bu x TAT x TBu

y CT x Du y CT x Du

1 1, , , .− −= = = =A TAT B TB C CT D D


Sada ćemo pokazati da originalni sistem i sistem u transformacionomdomenu imaju iste funkcije prenosa. Funkcija prenosa polaznog sistemaje:

dok je funkcija prenosa u transformacionom domenu:

Dakle, iako sistem ima više različitih realizacija u prostoru stanja, on seu s-domenu opisuje jednom funkcijom prenosa.

59

1( ) ( ) ,G s s −= − +C I A B D

( )

1

1 1 1

1 1 1 1

11 1

1 1 1

1

( ) ( )

( ) ,

( ) ,

( )

( ) ,

( ) .

G s s

s

s

s

s

s

−

− − −

− − − −

−− −

− − −

−

= − +

= − +

= − +

= − +

= − +

= − +

C I A B D

CT I TAT TB D

CT TT TAT TB D

CT T A T TB D

CT T I A T TB D

C I A B D

( )1 1 1 1− − − −ABC C B A

Transformacija u DKF

Prije nego što pokažemo kako se sistem transformiše u dijagonalnukanoničnu formu, uvešćemo par matematičkih pojmova. Neka je Akvadratna matrica dimenzija n×n. Sopstvenim vektorom nazivamonenulti vektor x koji odgovara sopstvenoj vrijednosti λ, pri čemu važi:

1. Slične matrice imaju iste sopstvene vrijednosti. Matrice A i ഥA suslične po definiciji ukoliko važi ഥA=T-1AT.

2. Skalar λ predstavlja sopstvenu vrijednost matrice A ako i samo akovaži det(λI-A)=0. Jednačinu det(λI-A)=0 zovemo karakterističnomjednačinom.

3. Matrica A ima n sopstvenih vrijednosti koji u stvari predstavljajukorijene karakteristične jednačine.

4. Sopstveni vektori qi koji odgovaraju različitim sopstvenimvrijednostima λi su linearno nezavisni:

60

.=Aq q

.i i i=Aq q


Na osnovu definicije 4. možemo zapisati sljedeće:

Dakle, matrica Q predstavlja skup sopstvenih vektora koji odgovarajurazličitim sopstvenim vrijednostima, dok je matrica Λ dijagonalnamatrica sopstvenih vrijednosti. Na osnovu prethodnih jednačina može seuočiti da se kvadratna matrica A može dijagonlizovati na sljedeći način:

Odnosno, model sistema zadat u opštem obliku se može transformisati udijagonalnu formu korišćenjem linearnog preslikavanja:

61

1

2

1 2 1 2

0 0

0 0.

0

0 0

n n

n

=

A q q q q q q

1 1 .− −= = =AQ QΛ A QΛQ Λ Q AQ

1 1 .− −= =A QΛQ Λ Q AQ

1 .−=x Q x


Važno je napomenuti da sopstvene vrijednosti matrice A u stvaripredstavljaju polove sistema u s ili z ravni. Sopstvene vrijednosti mogubiti kompleksne i tada se javljaju u vidu konjugovano kompleksnihparova. Ukoliko matrica A ima dvije ili više jednakih sopstvenihvrijednosti, tada nema garancija da se ona može dijagonalizovati.Matrica A se može dijagonalizovati jedino u slučaju kada sopstvenojvrijednosti koja je n-tostruka odgovara n linearno nezavisnih vekora qi.U svakom slučaju matrice sa višestrukim sopstvenim vrijednostim seuvijek mogu transformisati u Jordanovu kanoničnu formu.

62

Primjer – transformacija u DKF

Kontinualni sistem je zadat u prostoru stanja:

Transformisati dati sistem u dijagonalnu kanoničnu formu.

Sopstveni vektori i sopstvene vrijednosti se mogu izračunati na osnovu jednačinaizloženih na prethodnim slajdovima, međutim radi jednostavnosti koristićemougrađenu Matlab-ovu funkciju eig, kojom se dobija:

63

0 1 0 0

0 1 1 , 0 , 1 1 0 .

0 0 4 1

= − = = −

A B C

>> [Q L]=eig(A)

1 -0.7071 0.0788 0 0 0

0 0.7071 -0.3152 , 0 1 0 .

0 0 0.9457 0 0 4

= = −

Q Λ

− −= = = = =1 1, , , .A Q AQ Λ B Q B C CQ D D

Sistem se preliskava u dijagonalnu kanonočnu formu na sljedeći način:

Transformacija u KKF

Neka je kontinualni sistem zadat u prostoru stanja:

Naš zadatak je da odredimo transformacionu matricu Tc koja će zadatisistem transformisati u kontrolabilnu kanoničnu formu:

Može se pokazati da za dvije reprezentacije u prostoru stanja čije supromjenljive vezane linearnim operatorom T važi:

gdje su M𝑐 i Mc matrice kontrolabilnosti pomenuta dva sistema. Dakle,ako želimo da pređemo u kontrolabilni kanonični prostor, tada trebausvojiti sljedeću transfomacionu matricu:

gdje je Mc matrica kontrolabilnosti polaznog sistema, a M𝑐 matricakontrolabilnosti u kanoničnom koordinatnom sistemu.

64

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

= +

= +

x Ax Bu

y Cx Du

−= = 1( ) ( ) ( ) ( ).c ct t t tx Tx x T x

= ,c c cM TM

−= 1,c c cT M M

Transformacija u KKF

Matrice kontrolabilnosti početnog sistema se računa na osnovu zadatihmatrica A, B:

dok se matrica računa po istoj formuli, s tim što umjesto A i B u

prethodnom izrazu figurišu matrice ഥA i ഥB , a one se dobijaju na osnovufunkcije prenosa sistema.

Inverzna transformacija je jednaka:

pri čemu se može pokazati da inverzna matrica kontrolabilnosti ukontrolabilnom kanoničnom prostoru uvijek ima sljedeći oblik:

65

−

−

− =

− − − −

0

1

0

0 1 1

0 0 0 1

0 1

.

0 1

1

c

n

a

a

a a a

M

− = 1 ,n

cM B AB A B

− −=1 1,c c cT M M

Primjer - transformacija u KKF

Kontinualni sistem je zadat u prostoru stanja:

Odrediti ZOH ekvivalent sistema, a zatim odrediti transformacionu matricukojom se ZOH ekvivalent preslikava u kontrolabilnu kanoničnu formu. Periodaodabiranja je 0.1s.

Nakon primjene formula za ZOH diskretizaciju dobijaju se sljedeće matrice:

Da bi prešli u kontrolabilni kanonični prostor, treba prvo odrediti matriculinearnog preslikavanja:

66

0 1 0 0

0 1 1 , 0 , 1 1 0 .

0 0 4 1

= − = = −

A B C

0 0.0952 0.0042 0.0001

0 0.9048 0.0782 , 0.0042 , 1 1 0 .

0 0 0.6703 0.0824

d d d

= = =

A B C

−= 1.c c cT M M


Matrica Mc predstavlja matricu kontrolabilnosti početnog sistema:

dok se matrica M𝑐 se određuje na osnovu iste formule, pri čemu diskretni sistem prvo treba predstaviti u kontrolbilnoj formi. Sa tim ciljem prvo ćemo odrediti karakteristični polinom diskretnog sistema:

Na osnovu karakterističnog polinoma se fomiraju matrice ഥA𝑑 i ഥB𝑑 ukontrolabilnom prostoru stanja, a zatim se računa matrica kontrolabilnosti:

67

= 2 ,c d d d d dM B A B A B

( ) 3 2( ) det 2.5752 2.1817 0.6065.df z zI A z z z= − − + −=

= =

2

0 0 1

0 1 2.5750 .

1 2.5750 4.4486

c d d d d dM B A B A B

0 1 0 0

0 0 1 , 0 ,

0.6065 -2.1817 2.5752 1

d d

= =

A B


Konačno, matrica transformacije T ima seljedeći oblik:

68

>> A=[0 1 0;0 -1 1;0 0 -4];

>> B=[0;0;1];

>> C=[1 1 1];

>> syms t

>> Ad=expm(A*0.1)

>> Bd=eval(int(expm(A*t)*B,0,0.1))

>> Mc=[Bd Ad*Bd Ad^2*Bd]

>> syms z

>> f=vpa(collect(det((z*eye(3)- Ad))),5)

% vpa – zaokruzivanje brojeva

>> coeff=coeffs(f)

>> Ad1=[0 1 0;0 0 1;-coeff(1:end-1)]

>> Bd1=[0 0 1]';

>> Mc_=[Bd1 Ad1*Bd1 Ad1^2*Bd1]

>> format short g

>> Tc=eval(Mc_*inv(Mc))

−

= =

1

1275 -137.61 4.8104

1275 -3.1837 -2.1172 .

1275 118.45 3.7474

c c cT M M

Dobijeni rezultat se može verifikovatina sljedeći način:

Kao rezultat prethodnih formuladobiće se model sistema ukontrolabilnom kanoničnom prostoru.

Matrice ഥA𝑑 i ഥB𝑑 smo svakako većodredili, dok je matrica ഥC𝑑 jednaka:

−

−

= =

= =

1

1

, ,

, .

d c d c d c d

d d c d d

A TA T B TB

C C T D D

0.071 -0.157 0.086 .d = C

Transformacija u OKF

Sistem se na sličan način transformiše u opservabilnu kanoničnu formu.Linearni operator kojim se vrši traženo preslikavanje se računa nasljedeći način:

gdje Mo predstavlja matricu opservabilnosti polaznog sistema, a Mo

matricu opservabilnosti sistema u opservabilnom kanoničnom prostoru.

69

−= 1,o o oT M M

−

=

1

.n T

T T T T ToM C A C A C

−

=

1

.n T

T T T T ToM C A C A C

Linearizacija dinamičkih sistema


Veliki broj fizičkih sistema ima nelinearnu prirodu. Da bi se iskoristileprednosti koje pruža linearna teorija, nelinearni modeli se mogulinearizovati razvijanjem nelinearne jednačine u Tejlorov red, u okoliniradne tačke xs, i skraćivanjem Tejlorovog razvoja na prva dva člana.

Kod dinamičkih sistema (onih koji se matematički opisujudiferencijalnim jednačinama) linearizacija se najčešće vrši u okolinistacionarne tačke, ravnotežne tačke ili ekvilibrijuma, koja se dobijaizjednačavanjem izvoda sa nulom (izvod od konstante je jednak nuli). Upraksi, veliki broj dinamičkih sistema se može aproksimirati linearnimdiferencijalnim jednačinama u okolini radnog opsega od interesa. Naprimjer, DC motor je linearan na nekom radnom opsegu napona. Zavelike vrijednosti napona brzina motora ulazi u zasićenje, dok se za malevrijednosti napona motor uopšte ne rotira.

71

( )( ) ( ) ( )

s

s s

x

df xf x f x x x stariji članovi

dx= + − +

72


( ) 2f t t= +

(̂ ) 4 0.25( -4)f t t= +

( ) 0.25f t t =

Na slici je ilustrovan primjer linearizacije „obične“ funkcije f(t)= t+2.Ako usvojimo ts=4 kako radnu tačku, tada se funkcija f(t) može razviti uTejlorov red na sljedeći način:

' 1(̂ ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 4) 4 0.25( 4).

2ss st t

s

f t f t f t t t t tt=

= + − = + − = + −

Dodatno, možemo uvesti smjene koordinata:

i zapisati linearizovanu funkciju na sljedeći način:

U suštini, linearizovana funkcijapredstavlja tangentu u radnojtački, pri čemu njeno odstupanjeod vrijednosti funkcije f(t) rastesa porastom δ(t).

( )( ) 4 i (̂ ) 4, ( )f tt ft t = − = −

( ) 0. ( ) ( )5 .2f t t =

Posmatrajmo sada dinamički sistem opisan sljedećom nelinearnomdiferencijalnom jednačinom prvog reda:

73

( ) ( ( ), ( )), (0 ) .px t f x t u t x x−= =

( , ) ( , )( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( )

s s

s s s

x u

df x u df x uf x t u t f x u x x u u stariji članovi

dx du= + − + − +

Pretpostavimo da je ulaz u konstantan i jednak us, i da promjenljivastanja x u stacionarnom stanju ima konstantu vrijednost xs. Funkcijaf(x(t),u(t)) se u okolini stacionarne tačke (xs, us) može razviti u Tejlorovred:

S obzirom da par (xs, us) predstavlja stacionarnu tačku, to znači da važi:

pa se prethodna jednačina svodi na:

( , ) 0, s sx f x u= =

0

( ) ( , ) ( , )( ) ( ).

s s

ss s

u u

d x x df x u df x ux x u u

dt dx du

− − + −


( )sd x x dx

dt dt

−

Da bi dobili linearni model, u prethodnom izrazu treba uvesti smjene:

gdje δx i δu predstavljaju odstupanje promjenljive stanja i ulaza odnjihovih stacionarnih vrijednosti. Konačno, linearizovani model ima oblik:

gdje su a i b vrijednosti odgovarajućih parcijalnih izvoda u tačkama xs ius:

74

, ,x s u sx x u u = − = −

, (0 ) ,x x u x p sa b x x − + = −

( , ) ( , ), .

s sx u

f x u f x ua b

dx du

= =


Na sličan način se linearizuje izlazna jednačina:

( ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( ),

s s

s s s s

x u

g x g x uy g x u g x u x x u u

dx du

= + − + −

( , ) ( , )( ) ( ),

s s

s s s

u u

f x u f x uy y x x x u

dx du

− = − + −

( , )

( , )

s

s

y s

x

u

y y

g x uc

dx

g x ud

du

= −

=

=

.y x uc d = +

ys


U opštem slučaju, model u prostoru stanja nelinearnog sistema ima oblik:

Neka je xs i us set stacionarnih tačaka koje zadovoljavaju gornji sistemdiferencijalnih jednačina, i neka je ys vektor izlaza u stacionarnomstanju:

Multivarijabilne funkcije se na sličan način razvijaju u Tejlorov red:

75

( ) ( ( ), ( )), (0 ) ,

( ) ( ( ), ( )).

pt t t

t t t

−= =

=

x f x u x x

y g x u

( ) ( ( ), ( )) 0,

( ) ( ( ), ( )).

s s s

s s s

t t t

t t t

= =

=

x f x u

y g x u

( ) ( , ) ( ( ) ) ( ( ) ),

( ) ( , ) ( ( ) ) ( ( ) ).

s s

s s

s s

s s

s s s s

s s s s

t t t

t t t

= == =

= == =

+ − + −

+ − + −

x x x xu u u u

x x x xu u u u

f fx f x u x x u u

x u

g gy g x u x x u u

x u


Prethodne jednačine se mogu zapisati na isti način kao za jednodimenzionislučaj:

gdje su δx, δu i δy vektori odstupanja od odgovarajućih stacionarnihtačaka. Matrice A, B, C i D su Jakobijeve matrice, odnosno matriceparcijalnih izvoda:

76

( ) ( ), ,

( ) ( ), .

s s

s s

s s

s s

= == =

= == =

= =

= =

x x x xu u u u

x x x xu u u u

f x,u f x,uA B

x u

g x,u g x,uC D

x u

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

+

+

x x u

y x u

δ Aδ Bδ

δ Cδ Dδ

Primjer 1

Kontinualni sistem je opisan diferencijalnom jednačinom:

Linearizovati model pod pretpostavkom da ulazni signal varira u okolinivrijednosti u=2.

Najprije treba odrediti stacionarnu tačku sistema (iz uslova da je prvi izvodjednak nuli):

Linearizovani model sistem ima sljedeći oblik:

odnosno:

77

2( )( ) ( ( ), ( )) ( ) , (0 ) 0.5.

3

u tx t f x t u t x t x −= = − + =

22 162 0

3 9s s su x x= = − + =

162,

9= =s su x

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

x x u

y x u

t t t

t t t

+

+

δ Aδ Bδ

δ Cδ Dδ

,

1 3| ,

82s sx x u u

s

fA

x x= =

= = − = −

,

2 4| .

3 3s sx x u u s

fB u

u= =

= = =

3 4.

8 3x x u = − +

Matrice A i B su po definciji:

Primjer 1

78

( )x t ( )x t

(̂ )x t (̂ )x t

sx

ˆ( ) ( )L sx t x t x= +

su

(̂ ) ( ) su t u t u= −

( )x t

( )u t

( )u t

Na slici je prikazana simulacionašema diferencijalnih jednačina (uSimulink-u). Sa slike lijevo se možeuočiti da linearizovani i nelinearnimodel sistema imaju istu vrijednostodziva u stacionarnom stanju.

16 / 9

Jednačina rotacije klatna ima sljedeći oblik:

Nakon uvođenja promjenljivih , dobija je model u prostoru stanja:

Primjer 2

Modelovati klatno prikazano na slici, a zatim linearizovati dobijeni model uokolini stacionarne tačke. Smatrati da je F = 0.

79

θ l

F

mg

22

2sin , .

dJ Fl mgl J mldt

= − =

1 1 1 2 2

2 2 1 2 1

( , , )

( , , ) sin ,

x f x x F x

g Fx f x x F x

l ml

= =

= = − +

1 2,x x = =

Stacionarne tačke (ravnotežno stanje) su x1s=x2s=Fs=0. One su mogu dobiti izjednačina, mada jasno je da će u ravnotežnom stanju ugao i brzina klatna dabudu jednaki nuli.

1 1

22

0 1 0

.10

x x

Fxx

g

l ml

= + −

1 1

1 2, ,

2 2

1 2, ,

1

,

1

,

0 1

0

0

1

s s s s

s s s s

s s

s s

F F F F

F F F F

F F

F F

f f

x xg

f fl

x x

f

F

fml

F

= = = =

= = = =

= =

= =

= = −

= =

x x x x

x x x x

x x

x x

A

B

Stabilnost sistema

Stabilnost sistema

Posmatrajmo kontinualni nelinearni sistem zadat u prostoru stanja:

Vektor stanja x(t)=xs i vektor ulaza u(t)=us predstavljajuekvilibrijumski ili ravnotežni par, ako za početne uslove x(0)=xs ikonstantni ulaz u(t)= us stanja sistema ostaju konstantna: x(t)=xs, ∀t ≥0. Drugim riječima, ako se sistem usljed djelovanja konstatnog ulazau(t)= us nađe u tački x(t)=xs, on će tu i ostati.

Alternativna definicija ekvilibrijuma ili ravnotežnog stanja, koju smouveli u dijelu u kojem smo objašnjavali linearizaciju, je:

Ekvilibrijum može biti stabilan i nestabilan. Ako sistem malo pomjerimoiz ravnotežnog stanja i ako se on nakon toga ne vrati u isto ravnotežnostanje ili njegovu okolinu, onda za ekvilibrijum kažemo da je nestabilan.

81

0( ) ( ( ), ( ), ), (0)

( ) ( ( ), ( ), ).

t t t t

t t t t

= =

=

x f x u x x

y g x u

( ) ( ( ), ( )) .s st t t= =x f x u 0

Stabilnost sistema

Stabilni ekvilibrijumi se mogu klasifikovati u tri grupe: lokalno stabilne,lokalno asimptotski stabilne i globalne ekvilibrijume.

Ekvilibrijum xs je lokalno stabilan ako za bilo koje početne uslove x(0)koji su „dovoljno blizu“ ekvilibrijuma xs, trajektorije sistema x(t) ostajuu okolini xs, za svako t ≥ 0.

Analitička definicija:

Ekvilibrijum xs je lokalno asimptotski stabilan ako za bilo koje početneuslove x(0) koji su „dovoljno blizu“ ekvilibrijuma xs, trajektorije sistemase vraćaju u početno stanje xs, za svako t ≥ 0.


Ekvilibrijum xs je globalno stabilan ako za bilo koje početne uslove x(0)trajektorije sistema konvergiraju ka početnom stanju xs, za svako t ≥ 0.


82

0 0:|| (0) || || ( ) || , 0.s st t − − x x x x

0 :|| (0) || || ( ) || 0, 0.e et t − − = x x x x

( 0) || (0) || lim || ( ) || 0.e et

t →

− − =x x x x

Stabilnost sistema

Posmatrajmo kontinualni linearni sistem zadat u prostoru stanja:

Linearni sistem je stabilan ukoliko je njegov prirodni odziv konvergira kanuli (u(t)=0):

Uzimajući u obzir da se matrica A može zapisati na sljedeći način,

dobija se:

Promjenljive x(t) će konvergirati ka nuli pod uslovom da elementimatrice eΛt konvergiraju ka nuli. S obzirom da je eΛt dijagonalnamatrica, to dalje znači da sve sopstvene vrijednosti moraju imatinegativan realni dio:

83

0( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

t t t

t t t

= + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

0( ) .tt e= Ax x

1,−=A QΛQ

1 10( ) .t tt e e

− −= =QΛQ Λx x Q Q dokazati

Re{ } 0, 1, .i i n =

Za u(t) = 0, postoji samo jednoravnotežno stanje. Koje?

Stabilnost sistema

Sada posmatrajmo diskretni linearni sistem zadat u prostoru stanja:

Prirodni odziv diskretnog sistema je:

Uvrštavanjem A=QΛQ-1 u izraz za x(n) dobija se:

Prethodni set diferencnih jednačina konvergira pod uslovom da je moduosopstvenih vrijednosti manji od 1 (geometrijska progresija):

84

0( 1) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ).

n n n

n n n

+ = + =

= +

x Ax Bu x x

y Cx Du

0( ) .nn =x A x

1 1 1 10( ) .n

n

n − − − −= =x QΛQ QΛQ QΛQ QΛ Q x

10( ) ( ) .nn n− = =Q x Q x Λ x

1, 1, .i i n =

Stabilnost sistema

Dakle, da bi linearni kontinualni sistem bio stabilan realni dio svihsopstvenih vrijednosti matrice A mora biti negativan. Ako bar jednasopstvena vrijednost ima realni dio jednak nuli, tada je sistemmarginalno stabilan (na granici stabilnosti). Na kraju, ako je realni diobar jedne sopstvene vrijednosti pozitivan, tada je sistem nestabilan. Sobzirom da sopstvene vrijednosti predstavljaju polove sistemakontinualnog sistema, ovaj uslov stabilnosti je ekvivalentan uslovustabilnosti u s-domenu.

Sa druge strane, linearni diskretni sistem će biti stabilan ukoliko jemoduo svih sopstvenih vrijednosti matrice A mora manji od 1. Ako barjedna sopstvena vrijednost ima jedinični moduo, tada je sistemmarginalno stabilan ili na granici stabilnosti. Na kraju, ako je moduo barjedne sopstvene vrijednosti veći od 1, tada je sistem nestabilan. Ovajuslov stabilnosti je ekvivalentan uslovu stabilnosti u z-domenu, koji kažeda je za stabilnost sistema neophodno da polovi sistema leže unutarjediničnog kruga u z-ravni.

85

Ljapunov indirektni metod

Kako nelinearni sistemi imaju više ekvilibrijuma, jedan način zaispitivanje stabilnosti ekvilibrijuma je primjenom postupka linearizacijesistema. Neka je xs ekvilibrijum nelinearnog autonomnog sistemax(t)=f(x), i neka je linearizovani model sistema u okolini ekvilibrijumaxs:

gdje je δx=x-xs. Tada važi sljedeće:

▪ Ako je Re{λi}<0, i = 1, …, n, tada je ekvilibrijum xs lokalno stabilan,

▪ Ako je Re{λi} ≤ 0, i = 1, …, n, tada se ništa ne može zaključiti ostabilnosti ekvilibrijuma xs,

▪ Ako ∃i takvo da je Re{λi} > 0 tada je ekvilibrijum xs lokalnonestabilan.

86

( ) ( ),t t =x A x

Primjer – stabilnost nelinearnog sistema

Klatno prikazano na slici je opisano u prostoru stanja sljedećim jednačinama:

Оdreti ekvilibrijume sistema, a zatim ispitati njihovu stabilnost.

Smatrati da je F=0.

Izjednačavanjem prethodnih jednačina dobijaju se dva

ravnotežna stanja (xs1, xs2): (0,0) i (0, π).

87

θ l

F

mg

1 1 1 2 2

2 2 1 2 1

( , , )

( , , ) sin .

x f x x F x

g Fx f x x F x

l ml

= =

= = − +

1 1

1 2, ,

12 2

1 2, ,

1

,

1

,

0 1

cos 0

0

1

s s s s

s s s s

s s

s s

F F F F

s

F F F F

F F

F F

f f

x xg

xf fl

x x

f

F

fml

F

= = = =

= = = =

= =

= =

= = −

= =

x x x x

x x x x

x x

x x

A

B

Primjer – stabilnost nelinearnog sistema

Uvrštavanjem stacionarnih tačaka u Jakobijeve matrice dobijaju se sljedeća dvalinearizovana modela klatna:

88

1 1

22

0 1 0

,10

x x

Fxx

g

l ml

= + −

1 1

22

0 1 0

.10

x x

Fxx

g

l ml

= +

Sopstvene vrijednosti prvog modela su ±j gl, štoznači da je je ekvilibrijum (0,0) stabilan.

Sopstvene vrijednosti drugog modela su ± gl, štoznači da je ekvilibrijum (0, π) nestabilan.Ekvilibrijum (0, 0) je globalno stabilan, što semože zaključiti na osnovu fizičkog modela klatna.

>> A1=[0 1;-g/l 0]

>> eig(A1)

ans =

(-g)^(1/2)/l^(1/2)

-(-g)^(1/2)/l^(1/2)

>> A2=[0 1;g/l 0]

>> eig(A2)

ans =

g^(1/2)/l^(1/2)

-g^(1/2)/l^(1/2)

Documents

No Slide Title...osobina Laplasove transformacije preslikavaju u s-domen, dok se diferencne jednačine preslikavaju u z-domen. Koristeći osobine Z-transfomacije, sistem diferencnih