-

Slavko Kruni

Neke obine diferencijalne jednaine sa primenama

metodika obrada

master rad

Novi Sad, 2012.

1

1 Sadraj

Predgovor ....................................................................................................................... 3

1 Uvodni deo .............................................................................................................. 5

2 Obrada diferencijalnih jednaina u mainskoj koli ................................................ 7

2.1 Godinji program rada ...................................................................................... 7

2.2 Plan obrade teme Diferencijajlne jednaine ................................................. 8

2.3 Pojam diferencijalne jednaine prvog reda ...................................................... 8

2.3.1 Prvi as ....................................................................................................... 8

2.4 Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih ............... 14

2.4.1 Drugi as .................................................................................................. 14

2.5 Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih, veba .... 21

2.5.1 Trei as ................................................................................................... 21

2.6 Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih, veba .... 26

2.6.1 etvrti as ................................................................................................. 26

2.7 Homogena diferencijalna jednaina ............................................................... 33

2.7.1 Peti as...................................................................................................... 33

2.8 Homogena diferencijalna jednaina prvog reda, vebe ................................. 38

2.8.1 esti as .................................................................................................... 38

2.9 Linearna diferencijalna jednaina prvog reda ................................................ 41

2.9.1 Sedmi as.................................................................................................. 41

2.10 Linearna diferencijalna jednaina prvog reda, vebe ................................. 46

2.10.1 Osmi as ................................................................................................. 46

2.11 Bernulijeva diferencijalna jednaina .......................................................... 54

2.11.1 Deveti as ............................................................................................... 54

2.12 Diferencijalne jednaine oblika 2,y k y k y = = ................................... 61

2

2.12.1 Deseti as................................................................................................ 61

2.13 Linearna homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima 68

2.13.1 Jedanaesti as ......................................................................................... 68

2.14 Homogena jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, vebe .. 73

2.14.1 Dvanaesti as .......................................................................................... 73

2.15 Pismena priprema za as ............................................................................. 77

3 O diferencijalnim jednainama .............................................................................. 82

3.1 Pojam diferencijalne jednaine i egzistencija reenja .................................... 82

3.2 Poetni (Koijev) problem ............................................................................. 84

3.3 Granini problem............................................................................................ 85

3.3.1 Peanova teorema o egzistenciji ................................................................ 85

3.3.2 Koi-Pikarova teorema o egzistenciji i jedinstvenosti ............................. 88

3.4 Diferencijalne jednaine prvog reda .............................................................. 92

3.4.1 Jednaina sa razdvajanjem promenljivih .................................................. 95

3.4.2 Homogena diferencijalna jednaina prvog reda ....................................... 97

3.4.3 Linearna diferencijalna jednaina prvog reda .......................................... 99

3.5 Diferencijalne jednaine drugog reda .......................................................... 101

3.6 Osvrt na istoriju diferencijalnih jednaina ................................................... 105

4 Literatura ............................................................................................................. 110

5 PREGLED OZNAKA ......................................................................................... 111

6 Biografija ............................................................................................................. 112

3

Predgovor

U ovom radu obraene su neke obine diferencijalne jednaine prvog reda i pojedine jednostavne jednaine drugog reda zakljuno sa linearnim homogenim jednainama drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Njihova obrada predviena je programima nekih srednjih kola, (npr. u matematkoj gimnaziji, u pojedinim profilima tehnikih kola), a standardni su deo programa znatnog broja visokih kola i fakulteta.

Zahtevan su deo gradiva, posebno u sred njim kolama, jer je za njihovu uspenu obradu potrebno dobro poznavanje diferencijalnog i integralnog rauna.

Pored iznoenja osnovnih pojmova i nekih kljunih stavova teorije, uraena je metodika obrada u 12 asova, koliko je predvieno planom rada u mainskim kolama, (profil kompjutersko konstruisanje). Reeno je vie zadataka kako iz "iste" matematike tako i iz raznih podruja primene.

Diferencijalne jednaine su sa stanovita praktine primene jedna od najvanijih grana matematike. Tako su npr. mnogi fiziki zakoni iskazani upravo preko diferencijalnih jednaina. Njihova primena je velika u tehnikim naukama a u novije vreme i u prirodnim (hemija, biologija), medicini, farmaciji i u drutvenim naukama (ekonomija, psihologija, sociologija). Na njih se svode najraznovrsniji problemi ovih nauka.

Pri korienju diferencijalnih jednaina kao modela , moraju se uvek imati na umu razlike izmeu njih i stvarnih pojava koje one opisuju. Informacije koje sadri matematiki model ne moraju potpuno odgovarati stvarnosti na koju se odnose. Jednoj pojavi moe odgovarati i vie modela kao to i jedan model moe opisivati vie pojava, meusobno i veoma razliitih.

Jedan od ciljeva rada je da se prikau neke mogunosti primene nekoliko osnovnih tipova obinih diferencijalnih jednaina prvog i drugog reda ve u srednjoj koli ne ulazei detaljnije u pitanja koegzistencije matematikog modela i stvarnosti koju on opisuje.

Tako e se nastava matematike povezati sa nastavom nekih drugih predmeta (fizika, hemija, mehanika, osnove elektrotehnike, termodinamika, ekologija, geografija, sociologija), i na taj nain uiniti zanimljivijom i korisnijom. Istovremeno se ispunjavaju i programima predvieni ciljevi nastave ovog predmeta.

U delu rada "O diferencijalnim jednainama", teorija je data na nivou uglavnom iznad srednjokolskog jer smatramo da je u izloenom obimu vana kao podseanje profesoru. Teoreme (osim dve) nisu dokazane ve su date skice dokaza ili su samo navedene, poto ovde nije cilj detaljno teorijsko izlaganje.To je, po naem miljenju, onaj teorijski nivo koji nastavniku pomae da sagleda "odozgo" celu temu i time olaka njenu obradu, posebno u srednjoj koli. Neki njeni delovi mogu se koristiti i na tom nivou. Za itanje opirnijih teorijskih izlaganja preporuujemo udbenike [9] i [11] iz spiska literature.

Na kraju je dat kratak istorijski osvrt na razvoj teorije diferencijalnih jednaina.

4

Napominjemo da je na specijalistiki rad "Diferencijalne jednaine-obrada u mainskoj koli", odbranjen na ovom fakultetu 2009. godine, i koji je ovde korien, sasvim drugaiji od ovog rada. U navedenom radu nije bilo brojnih primena, dela teorije, i najveeg dela istorije diferencijalnih jednaina. Metodika objanjenja teorijskih pojmova, kao i znatan deo ostalih reavanih zadataka sa prateim komentarima, uputstvima za rad i slikama su takoe drugaiji ili novi. Uostalom, ovaj rad se u jednom svom delu vezuje za mainsku kolu prvenstveno zbog programa rada koji omoguuje takvu obradu. Dakle, slina obrada mogua je i u svim drugim programima sa istim ili veim brojem asova predvienih za ovu temu.

Zahvalnost dugujem profesoru dr Mirku Budineviu za veoma korisne i brojne sugestije u toku izrade rada i docentu dr Aleksandru Pavloviu za vane primedbe a posebno mentoru dr Dragoslavu Hercegu zbog podrke, organizacije, zapaanja i nastojanja da ovaj rad dobije eljeni izgled.

U Novom Sadu, juna 2012. Slavko Kruni

5

1 Uvodni deo

Diferencijalne jednaine su standardni deo programa rada u etvrtom razredu mainskih kola. Za njihovu uspenu obradu neophodno je dobro poznavanje diferencijalnog i integralnog rauna. Zbog toga su diferencijalne jednaine za uenike jedan od najteih delova gradiva u ovom razredu. Za nastavnika predstavljaju poseban struno-metodiki izazov za uspenu obradu. Njihova zastupljenost je razliita u pojedinim programima rada. U programima sa tri i sa etiri asa nedeljno, diferencijalne jednaine se obrauju sa etiri, odnosno sa pet asova.

Sadraj je sledei:

1. Pojam diferencijalne jednaine prvog reda, 2. Diferencijalne jednaine sa razdvajanjem promenljivih, 3. Diferencijalne jednaine drugog reda oblika y k = i 2 , y k y k R = .

U programima sa pet asova nedeljno, pored ovog, obrauju se jo i Homogene jednaine prvog reda i Homogene jednaine drugog reda sa konstantnim koeficijentima sa ukupno deset asova, kao posebna tema. U sledeoj glavi je prikazan program rada objavljen u Slubenom glasniku Republike SrbijeProsvetni glasnik 022-05-131/98, koji vai od kolske 1998/1999. godine.

Realizacija ovog programa u potpunosti u mainskim kolama se teko ostvaruje, zbog obimnosti gradiva predvienog za obradu. Zato nastavnici, u planovima rada, obino izostavljaju obradu matematike statistike kako bi sauvali kvalitet nastave. Pet asova, koji se tako dobijaju, raporeuju se za obradu ostalih tema. Predlaemo da se u okviru teme "Diferencijalne jednaine" obrade sa po dva asa jo i Linearna diferencijalna jednaina prvog reda i Bernulijeva jednaina koje su se nalazile u ranijim programima. Ovo gradivo smatramo korisnim za uenike poto e oni najveim delom nastaviti kolovanje na tehnikim fakultetima i visokim kolama pa e im odmah biti potrebno u nekim strunim podrujima.

U dananje vreme diferencijalne jednaine (obine, parcijalne i njihovi sistemi) su zastupljene u raznim naunim oblastima a posebno u fizici, tehnikim naukama, hemiji, biologiji, ekonomiji, medicini, farmaciji. Jedan od ciljeva ovoga rada je da ukae na neke mogunosti praktine primene steenih teorijskih znanja ve na srednjokolskom nivou obrazovanja. Prethodno je potrebno ovladati postupcima modeliranja, formalnog reavanja i tumaenja dobijenih rezultata. Tokom obrade uspostavljaju se veze izmeu raznih delova matematike kao i sa drugim naukama a posebno tehnikim i prirodnim. Tako se u nastavi razbija onaj tip formalizma u kome se obraa panja samo na nastavne sadraje ali ne i na njihovu meusobnu povezanost i na njihov primenjeni karakter. Ova tema verovatno moe najbolje posluiti i kao ilustracija aplikativnog karaktera matematike.

U radu emo esto koristiti i raunar za reavanje diferencijalnih jednaina i za prikazivanje nekih njihovih partikularnih reenja. Koristiemo programske pakete ScientificWorkPlace i GeoGebra.

6

Naa elja je da na to bolji nain kombinujemo rad na raunaru sa drugim nainima primanja i prezentacije nastavnih sadraja. Uz pomo raunara ui se sa vie oiglednosti i sa manje straha od eventualnih greaka u radu. Smatramo da je svaki zadatak koji emo reavati potrebno reiti i bez upotrebe raunara. Tako emo vriti kontrolu sopstvenog rada ali i reenja dobijenih putem raunara. Istovremeno se stvara koristan interaktivan odnos klasinog rada i rada na raunaru. Vano je napomenuti da je raunar, i pored svoje velike moi, samo pomono sredstvo u nastavi i da stalno treba voditi rauna o svrsishodnosti njegove upotrebe.

U mainskoj koli uenici koriste raunar i u brojnim strunim predmetima, posebno oni u raunarskim smerovima. Zato moemo da pretpostavimo da e oni za relativno kratko vreme, uz nastavnikovu pomo, nauiti korienje ovih programskih paketa.

7

2 Obrada diferencijalnih jednaina u mainskoj koli

2.1 Godinji program rada

GODINJI PROGRAM RADA (SMER ZA KOMPJUTERSKO KONSTRUISANJE)

1. FUNKCIJE (36)

Vaniji pojmovi i injenice o funkcijama jedne promenljive (definisanost, nule, parnost, monotonost, periodicnost). Sloena funkcija (pojam i jednostavniji premeri). Pregled elementarnih funkcija. Granina vrednost i neprekidnost funkcije (geometrijski smisao), asimptote.

2. IZVOD FUNKCIJE (34)

Prirataj funkcije. Izvod funkcije (problem tangente i brzine). Osnovne teoreme o izvodu, izvodi elementarnih funkcija. Diferencijal i njegova primena kod aproksimacija funkcija. Ispitivanje funkcija(uz primenu izvoda), grafik funkcije.

3. INTEGRAL(28)

Neodreeni integral, osnovna pravila o integralu, tablica osnovnih integrala, integrali nekih elementarnih funkcija. Metod zamene, metod parcijalne integracije. Odreeni integral, Njutn-Lajbnicova formula (bez dokaza). Primene odreenog integral (rektifikacija, kvadratura, kubatura).

4. DIFERENCIJALNE JEDNAINE(10)

Pojam diferencijalne jednaine. Diferencijalna jednaina kod koje se razdvajaju promenljive. Homogena diferencijalna jednaina. Diferencijalne jednaine drugog reda. Homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

5. VEROVATNOCA I STATISTIKA(32)

Sluajni dogadjaji. Verovatnoa. Uslovna verovatnoa i nezavisnost. Sluajne veliine, binomna,Puasonova i normalna raspodela. Srednja vrednost i disperzija. Populacija, obelezje i uzorak. Prikupljanje, sredjivanje i prikazivaanje podataka. Pojam ocene parametara, ocene verovatnoe, srednje vrednosti i disperzije. Intervalne ocene za verovatnou i srednju vrednost

6. PROBLEMSKI ZADACI

Posle svake nastavne oblasti uraditi odreen broj problemskih zadataka.

8

2.2 Plan obrade teme Diferencijajlne jednaine

Na osnovu godinjeg plana rada, napravili smo sledei plan obrade teme Diferencijalne jednaine.

1. Pojam diferencijalne jednaine prvog reda i njenog reenja

2. Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih

3. Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih, vebe

4. Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih, vebe

5. Homogena diferencijalna jednaina prvog reda

6. Homogena diferencijalna jednaina prvog reda, vebe

7. Linearna diferencijalna jednaina prvog reda

8. Linearna diferencijalna jednaina prvog reda, vebe

9. Bernulijeva diferencijalna jednaina

10. Diferencijalne jednaine oblika y k = i y k y =

11. Homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

12. Homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, vebe

2.3 Pojam diferencijalne jednaine prvog reda

2.3.1 Prvi as

Primer 1. Nai sve funkcije oblika ( )y f x= za koje vai ,y x x = .

Reenje. Znamo da je jedna od njih funkcija

1

2y x

=

,

jer je

1

2x x

=

.

Zbog

1,

2x C x C

+ =

,

zadatu jednainu zadovoljavaju i sve funkcije oblika

9

1

2y x C= + ,

i znamo da je jedino one zadovoljavaju. Primeujemo da je svaka od njih diferencijabilna na celom skupu . Jednaina y x = je jedan primer diferencijalne jednaine. Svaka funkcija koja je zadovoljava je njeno partikularno reenje ili reenje. Skup svih reenja

21

2x C C

+

zvaemo opte reenje ili opti integral ove diferencijalne jednaine. Do ovog integrala

moemo doi i na sledei nain: Zamenom y kolinikom dy

dx, dobijamo:

dyx

dx= ,

i dalje,

dy xdx= , dy xdx= , 21

, 2

y x C C= + ,

(familija kvadratnih funkcija).

Partikularna reenja za 2, C 0C = = i C 1= prikazana su na slici 1.

Slika 1.

Sada emo uoptiti nae razmatranje. Neka je funkcija f neprekidna u intervalu ( ),a b . Zadatak nalaenja njenog neodreenog integrala je ekvivalentan zadatku nalaenja funkcije iji je izvod ( )xf za svako ( ),x a b , odnosno zadatku odreivanja zavisnosti y od x tako da je ( )y f x = , ( ),x a b . Jednaine oblika ( )y f x = , gde je y nepoznata funkcija su primeri najprostijih diferencijalnih jednaina. Ovde se moemo podsetiti tablice izvoda elementarnih funkcija iji desni stubac moemo posmatrati i kao jedan spisak takvih jednaina pri emu za svaku od njih znamo po jednu funkciju y .

10

Pokazaemo sada na jednom primeru iz fizike i jednom iz geometrije kako se dolazi do pojma diferencijalne jednaine i do potrebe za njihovim reavanjem.

Primer 2. Poznato je da je brzina raspadanja radijuma proporcionalna koliini radijuma u posmatranom trenutku. Neka je u trenutku 0t bilo 0R grama radijuma. Potrebno je

odrediti koliinu radijuma u ma kom trenutku t .

Reenje. Trenutna brzina raspadanja R u trenutku t je

dR

vdt

= .

Ako sa ( ), 0k k > oznaimo koeficijent proporcionalnosti brzine raspadanja i koliine radijuma, dobijamo

dRkR

dt= .

Na desnoj strani ove jednaine nalazi se znak "minus" zato to se sa vremenom smanjuje

koliina R pa mora biti 0dR

dt< . Problem se svodi na reavanje jednaine

dRkR

dt= ,

tanije, na odreivanje funkcije koja daje zavisnost R od t i za koju vai poetni uslov

0 0( )R t R= .

Treba napomenuti da se jednaina koju emo reavati moe napisati i u obliku

( ) ( )R t kR t = ,

pomou osnovne formule za diferencijal, ili jednostavnije

R kR =

ako se t kao nezavisno promenljiva podrazumeva.

Reavanje dobijene jednaine zasniva se na osnovnim pravilima diferencijalnog i integralnog rauna.

Mnoenjem njenih obeju strana sa dt

R dobija se

dRkdt

R= , a nakon integracije obeju

strana

dRkdt

R=

11

Odavde je

1ln R kt C= + , 1kt CR e += , 1C ktR e e= .

Ako stavimo 1Ce C= , dobijamo ( ) ktR t Ce= . Ovom jednainom su odreena sva reenja za 0R > . Iz njih treba izdvojiti ono reenje za koje je ( )0 0R t R= . Uvrtavanjem 0t umesto t u dobijenu jednainu, dalje je 00

ktR Ce= , odakle je 00ktC R e= . Traena funkcija je,

dakle, ( 0)0( )k t tR t R e = . Ona daje poznati fiziki zakon radioaktivnog raspadanja radiuma. Na

slici 2. prikazan je zakon za radijumov izotop 226.

Slika 2.

Primer 3. Nai sve krive ( )y f x= u ravni xOy koje imaju sledee svojstvo: ma koja tangenta krive see Ox osu u taki ija je apscisa jednaka dvostrukoj apscisi take dodira.

Reenje. Neka je ( )y f x= jedna od traenih krivih i ( ),A x y proizvoljna taka na njoj.

Neka je a tangenta u taki A i neka je B presena taka te tangente i ose Ox .

Jednaina tangente je

( ) ( ) .Y y f x X x =

Apscisa take B je 0Y = , pa je jednaina tangente

( )y y X x = ,

gde je

( ).y f x =

Odavde je

200017501500125010007505002500

1

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7

0.65

0.6

0.55

0.5

0.45

0.4

x

y

x

y

12

yX x

y=

.

Prema uslovu u zadatku je

2y

x xy

=

,

pa je

( ), 0yy xx

= ,

gde je y nepoznata funkcija koju treba odrediti.

Iz dobijene jednaine je

dy y

dx x= ,

dy dx

x x= ,

dy dx

x x= ,

( ) { }1 1ln ln ln , 0y x C C R= + ,

1ln lny C x= ,

1 1

1 1y , C

C x C= = ,

0C

y Cx

= .

Dobili smo beskonano mnogo reenja postavljenog problema. Njihovi grafici su sve grane dveju familija hiperbola.

Situacija je prikazana na slici 3, ( )2DB DC= .

13

Slika 3.

Jednaine kao to su ,y x R kR = = i y

yx

= zovemo diferencijalne jednaine

prvog reda. Dobijene funkcije koje ih zadovoljavaju su njihova reenja. Posmtaremo sada diferencijalne jednaine prvog reda oblika

( ) ( ), 1y F x y =

Definicija 1. Diferencijalna jednaina prvog reda je svaka jednaina oblika

( ) ( ), 1y F x y =

u kojoj figuriu nezavisno promenljiva x , nepoznata funkcija y i prvi izvod

nepoznate funkcije y . Pritom x i y ne moraju biti eksplicitno zastupljeni.

Definicija 2. Reenje date diferencijalne jednaine prvog reda je svaka funkcija

diferencijabilna na nekom intervalu ( ),a b takva da kada se ona i njen prvi izvod uvrste u datu diferencijalnu jednainu, ta jednaina postaje identitet po x .

Definicija 3. Reiti (ili integraliti) diferencijalnu jednainu znai odrediti sva njena

reenja.

Definicija 4. Integralna kriva, ili grafik diferencijalne jednaine, je linija koja je

grafik ma kog njenog reenja.

Definicija 5. Skup svih integralnih krivih date diferencijalne jednaine je njeno

opte reenje.

Definicija 6. Svako pojedinano reenje diferencijalne jednaine je njeno

partikularno reenje.

Primer 4. Da li je funkcija lny x x= reenje diferencijalne jednaine xy x y = + ?

14

Reenje. Kako je ln 1y x = + , zamenom y i y u datu jednainu, dobijamo identitet

( )ln 1 lnx x x x+ = + . Znai, data funkcija je reenje ove diferencijalne jednaine.

Komentar

Reenja jednaina (algebarskih, trigonometrijskih, logaritamskih) sa kojima su se

uenici do sada susretali su bili realni ili kompleksni brojevi. Ovde se uenici prvi put

susreu sa reenjem jednaine koje predstavlja funkciju, i to ne sasvim odreenu funkciju,

koja nije morala ni biti zastupljena u datoj jednaini. Zato je potrebno na nekoliko primera

pokazati neka reenja, bez reavanja jednaine. U ovom sluaju treba uenike podsetiti na

tablice izvoda i integrala gde su se ve pojavljivale proizvoljne konstante.

2.4 Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih

2.4.1 Drugi as

Postupak nalaenja reenja jednaina iz prethodnih primera sugerie nam postupak reavanja svih jednaina koje je mogue tako reiti. Zvaemo ih diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih.

Definicija 7. Diferencijalna jednaina koja doputa razdvajanje promenljivih je

svaka diferencijalna jednaina koja se moe prikazati u obliku

( ) ( )y f x g y = .

gde su f i g date neprekidne funkcije na intervalima ( ),a b i ( ),c d respektivno i ( ) 0g y za ( ),y c d .

Diferencijalna jednaina koja doputa razdvajanje promenljivih se moe zapisati i u obliku

( )( ) ( ), 0dy f x dx g y

g y= .

Njeno opte reenje je

( )( ) ,dy f x dx

g y=

odakle se integraljenjem dobija

( ) ( ) ,G y F x C= +

gde su ( )G y i ( )F x redom primitivne funkcije za ( )1

g y i ( )F x .

Ako postoje realni brojevi 1 2, , , ka a a koji su reenja jednaine ( ) 0g y = , onda su i funkcije 1 2, , , ky a y a y a= = = reenja polazne jednaine, to je oigledno.

15

Komentar

Ovo su najjednstavnije diferencijalne jednaine i one su najvanije, jer se prilikom

reavanja veine drugih tipova diferencijalnih jednaina one svode na jednaine sa

razdvajanjem promenljivih. Osim toga, ove jednaine, i pored svog specijalnog oblika,

predstavljaju modele u raznovrsnim i veoma vanim podrujima primene. Zato je, prilikom

obrade ove nastavne jedinice, potrebno od uenika zahtevati da u potpunosti ovladaju

postupcima reavanja ovakvih jednaina. Potrebno je uraditi vie primera, na asu i kod

kue, kao domai zadatak. Nakon reavanja zadataka potrebno je uvek prodiskutovati

karakter dobijenih reenja.

Primer 5. Reiti diferencijalne jednaine

a) 2y xy = , b) 1y xy x y = +

c) ( )2 , 0ln

yx x

x

= > ,

d) ( ) ( )2 21 1 0y dx x dy+ + = .

Reenja.

a)

( )

2

2

1 1

12

1 1 ,

2

2y , 2 .

dyxy

dx

dyxdx

y

dyxdx

y

x C Cy

C Cx C

=

=

=

= +

= =+

Reenje datog zadatka je familija funkcija koje su odreene prethodnom jednainom. Na slici 4. prikazana su neka partikularna reenja.

16

Slika 4.

Reenje date jednaine je i funkcija 0y = poto i ona zadovoljava polaznu jednainu.

Reenje dobijeno pomou raunara u programskom paketu Scientific WorkPlace 5 :

Exact solution is: 2

1

2

2C x ,

to je izraz koji daje isto opte reenje kao prethodni.

U daljoj obradi retko emo navoditi reenja dobijena putem raunara ali emo ih stalno traiti i uporeivati sa reenjima dobijenim bez njegove upotrebe.

b)

( ) ( )

( )

2

2

2

1 1

1

1

,

1

2x

x

dyx y

dx

dyx dx

y

xln y x C

y CCe+

= +

= +

= + +

=

Reenje ove jednaine je i funkcija

1y =

poto i ona zadovoljava polaznu jednainu.

Na slici 5. prikazana su neka reenja : za 1C = (plavo) , za 1C = (crveno) , za 1

10C = (ljubiasto) i za

1

50C = (zeleno).

17

Slika 5.

c)

Razdvajanjem promenljivih dobija se jednaina

2 lndy x xdx= ,

a zatim parcijalnom integracijom dobija se opte reenje

3 31 1 ln , .9 3

y C x x x C= +

Prikaz partikularnog reenja za 0C = je na slici 6. Sva ostala reenja dobijaju se translacijom za proizvoljan vektor u pravcu y -ose.

Slika 6.

18

Komentar

Ovaj zadatak nije detaljno reavan.Izostavljen je postupak integracije poto su svi

programom predvieni postupci obraeni i detaljno uvebani u prethodnoj temi.

Napominjemo da su i svi tei integrali koji se javljaju u ovoj temi reavani u prethodnoj to

donosi znaajnu utedu vremena.

d)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{ }

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

22

1 1

,1 1

arctg 1 arctg 1 , ,

1 1,

1 1 1

2, \ .

y dx x dy

dy dx

y x

y x C C

y xtgC

x y

ctgCy C k k

x

+ = +

=+ +

+ = + +

+ =

+ + +

=

Opte reenje je familija krivih od kojih su, na slici 7. prikazane etiri, i to za izbor vrednosti integracione konstante1 i 2.

Slika 7.

Komentar

Vano je objasniti da, zbog egzistencije dveju funkcija, za jednu vrednost integracione

konstante C dobijamo dva partikularna reenja.

Primer 6. Nai ono partikularno reenje jednaine

( ) ( )2 2 0xy x dx x y y dy + =

19

za koje vai ( )0 2y = .

Reenje. Nakon razdvajanja promenljivih i integracije racionalnih funkcija dobija se familija funkcija

( ) { }2

2

11 , 0 .

1y C

C x= +

koja sa funkcijama 1y = i 1y = ini opte reenje. Na slici 7 prikazana su tri partikularna reenja dobijena za 1C = . Dalje je

( )( )

2 10 1 ,1

14 1 ,

1,

3

yC

C

C

= +

=

=

pa je traeno partikularno reenje

2

2

4, 1

1

xy x

x

= 0ktM t Ce C= .

Ta jednaina moe da se napie i u obliku dM

kMdt

= .

Odavde se vidi da je stopa promene veliine M s obzirom na vreme t proporcionalna

trenutnoj masi M. Zato emo tu jednainu zvati zakon eksponencijalnog rasta. Ona u praksi

nije dobar matematiki model za dui vremenski period, jer ne uzima u obzir neke

ograniavajue faktore rasta veliine koju posmatramo.

Primer 9. U ekonomiji se cena proizvoda obino prati u odreenom vremenskom periodu.Zato je cenu prirodno posmatrati kao funkciju vremena. Ako cena ( )p t nekog proizvoda dostie graninu vrednost p kada t , tada se kae da je cena proizvoda dinamiki stabilna a p se naziva ravnotena cena. Da bi se proizvod prodao po to povoljnijoj ceni, onda ona mora biti obrnuto srazmerna svojoj promeni u nekom (kraem) vremenskom periodu. Tako je omogueno formiranje odreene diferencijalne jednaine koju ta cena zadovoljava. Neka cena ( )p t proizvoda zadovoljava diferencijalnu jednainu

10 0,5 , 0dp

p tdt

= .

a) Nai ( )p t i izraunati p kao ( )limt p t .

23

b) U istom koordinatnom sistemu nacrtati tri parcijalna reenja koja redom zadovoljavaju poetne uslove

( ) ( ) ( )0 40, 0 10 0 20p p i p= = = .

c) Analizirati ponaanje cene tokom dugog vremenskog perioda.

Reenje.

a)

0.5

0.5

0.5

10 0.5

10 0,5

10 0,5

( ) 20

( ) (20 ) 20

t

t

t

t t

dpp

dt

dpdt

p

p Ce

p t Ce

p lim p t lim Ce

=

=

=

=

= = =

Polazna diferencijalna jednaina moe se napisati u obliku

( )0,5 20dp pdt

= ,

odakle zakljuujemo da je stopa promene veliine p s obzirom na vreme t proporcionalna razlici izmeu njene trenutne vrednosti i granine vrednosti 20. Zato kaemo da ova diferencijalna jednaina predstavlja zakon ogranienog rasta.

b)

0,5 0,5

(0) 20 (0) 20 (0) 20

40 20 10 20 20 20

20 10 0

( ) 20 20 , ( ) 20 10 , ( ) 20t t

p C p C p C

C C C

C C C

p t e p t e p t

= = =

= = =

= = =

= + = =

54.543.532.521.510.50

40

37.5

35

32.5

30

27.5

25

22.5

20

17.5

15

12.5

10

x

y

x

y

24

Slika 10.

c) Ravnotena cena p oigledno ne zavisi od konstante C niti od broja ( )0p koji je poetna vrednost funkcije cene. Uoavamo da, ako je ( )0 >p p , onda cena opada i ima graninu vrednost p . Ako je ( )0

25

Slika 11.

U cilju to boljeg uporeivanja partikularnih reenja prikazana su, na slici 11, jo i reenja za C=26 000, (zeleno) i za C=30 000, (ljubiasto).

c) I nakon dueg vremenskog perioda male su razlike izmeu ovih partikularnih reenja. Ako je ( )0A vee, onda se tokom vremena uveava razlika u reenjima u odnosu na ona reenja u kojima je ( )0A manje.

Domai zadatak

1. Reiti diferencijalne jednaine

a) ( )2 2 1 ;x y x y=

b) 3,xy y y = +

c) ( )

2

2

1; , 0

1

yy x y

xy x

+ =

+.

2. Matematiki model irenja glasina je diferencijalna jednaina

0.5tdN Nedt

= (Gonpercov zakon rasta),

gde je ( )N t broj osoba koje su ule glasinu u vreme t .

a) Nai opte reenje ove jednaine i izraunati ( )tlimN N t= .

b) Nacrtati grafove parcijalnih reenja koja zadovoljavaju poetne uslove

( )0 100N = i ( )0 200N = .

c) Analizirati uinak ( )0N na irenje glasina tokom dugog vremenskog perioda.

13.7512.511.25108.757.56.2553.752.51.250

5e+4

4.5e+4

4e+4

3.5e+4

3e+4

2.5e+4

2e+4

1.5e+4

1e+4

5000

0

x

y

x

y

26

2.6 Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih, veba

2.6.1 etvrti as

Na poetku asa obavezna je analiza domaeg zadatka u trajanju do 15 minuta. U analizi uestvuju svi uenici i profesor. Na kraju analize vrednuju se ocenom postignua uenika. Saoptavaju se rezultati prvog zadatka, a uenicima koji neke od njih nisu uradili daju se detaljna uputstva za reavanje, i to to vie od strane onih koji su ih uradili. U analizi drugog zadatka uenici saoptavaju svoje rezultate koje profesor zapisuje na tabli, (sa imenom uenika), a zatim daje video prikaz reenog zadatka uz neophodan komentar.

Reenje 2. zadatka

a) Nakon razdvajanja promenljivih i integracije nalazimo opte reenje

( )0.52 te

N t Ce= i ( ) ( )0.52 tet tlim N t lim Ce C = = .

Ovim je dokazano da je ovaj zakon rasta logistiki, tj da ima svoju gornju granicu.

b)

0.5 0.5

2 2

2 2

2 2 2 2

(0) 100 (0) 200

100 200

100 200

( ) 100 ( ) 200t te e

N N

Ce Ce

C e C e

N t e N t e

= =

= =

= =

= =

Slika 12.

c) Neka su ( )1 tN i ( )2 tN dva partikularna reenja sa razliitim vrednostima ( )1 0N i ( )2 0N i granicama logistikog rasta 1C i 2C .U toku dugog vremenskog perioda poveava se i razlika

izmeu njih i njena apsolutna vrednost tei broju 1 2 C C , (slika 12).

109876543210

1375

1250

1125

1000

875

750

625

500

375

250

125

x

y

x

y

27

Komentar

Uraeni primeri omoguuju da se komentarie da je matematika veoma znaajna u

nekim podrujima (biologija, ekonomija) kao i da je primenljiva i u sociologiji pri analizi

nekih njenih pojava.

Zatim se reavaju sledea dva primera.

Primer 11. 1. Telo koje ima temperaturu 0T u trenutku 0 0t = stavljeno je u sredinu ija je

temperatura , 0 .

Nakon razdvajanja promenljivih i integracije nalazimo opte reenje

( ) ktT t Ce = + ,

gde je C proizvoljna realna konstanta.

Zbog uslova

( ) 00T T= ,

mora biti

( ) 0

0

0

0

,

T Ce

T C

C T

= +

= +

=

tako da je traeno reenje

0( ) ( )ktT t T e = + .

Grafiki prikaz ovog zakona hlaenja dat je za 0 100T = , 30 = i za pretpostavljeno 0,1k = ,(slika 13).

28

Slika 13.

Primer 12. Epidemija gripe iri se populacijom od 50 000 ljudi po stopi proporcionalnoj broju trenutno inficiranih i broju onih koji to jo nisu. Ako je na poetku bilo inficirano 100 ljudi, a nakon 10 dana njih 500, odrediti:

a) Koliko ljudi e biti inficirano nakon 20 dana?

b) Kada e gripom biti zaraena polovina ukupne populacije?

Reenje.

a) Neka je P broj zaraenih u vreme t . Matematiki model tog problema je sledei model tzv. logistikog rasta:

( ) ( ) ( ) 50 000 , 0 100, 10 500dP kP P P Pdt

= = =

Treba da odredimo ( )20P . Za to treba da naemo reenje ovog problema.

Razdvajanjem promenljivih u datoj jednaini i integracijom dobijamo:

( )50 000dP

k dtP P

=

1

1ln

50000 50000

Pkt C

P= +

(Koriena je formula ( )

1 1ln

xC

x a bx a a bx= +

+ + .)

1ln 50000 5000050000

Pkt C

P= +

29

150000 50000

50000kt C P

eP

+ =

odakle je

( ) 5000050000

1 ktP t

Ce=

+.

Ovo je opti integral polazne diferencijalne jednaine. Konstantu C odrediemo iz navedenog uslova

( )0 100P = ,

odakle je

50 000100

1 C=

+,

499C = .

Zamena vrednosti za C u opte reenje daje:

( ) 5000050000

1 499 ktP t

e=

+.

Zbog

( )10 500P = ,

je

500000

50000500

1 499 ke=

+,

odakle je

99ln

49950000 0.1617510

k =

Dakle,

( ) 0.1617550000

1 499 tP t

e= +

.

Odavde je

30

( ) 3.233550000

20 24191 499

Pe

= =+

.

Znai, za 20 dana e biti zaraeno 2419 osoba.

b) Treba reiti jednainu

( ) 25 000P t = ,

odnosno

0.16175

5000025000

1 499 te=

+.

Priblino reenje je 38,409 dana.

Slika 14. grafiki ilustruje zavisnost broja inficiranih od vremena. Presena taka krive f

zavisnosti i prave 38,409x = je taka ( )38,409;25000 .A

Slika 14.

Komentar

Reeni primeri omoguuju uenicima da uoe da diferencijalne jednaine imaju

primenu u raznovrsnim oblastima (toplotnoj mehanici i u socijalnoj medicini).

Domai zadatak

Pred kraj asa uenicima e se podeliti sledea dva uraena primera.

Primer 13. Jednostavan primer dinamikog modela je opis dinamike rasta neke populacije u funkciji vremena, koja moe biti, na primer u biologiji: ljudska, ivotinjska, kolonija mikroorganizama, elija, koliina fermenata pri nekim hemijskim reakcijama, u ekonomiji: veliina kapitala, kamatnih stopa, poreskih stopa, itd. U velikom broju prostih modela, pri idealnim uslovima zatvorenih sistema na koje ne deluju uticaji iz prirodnog okruenja, logino se pretpostavlja da je brzina rasta

31

populacije srazmerna veliini populacije. Ako se sa k oznai stopa rasta (koeficijent proporcionalnosti), a u poetnom momentu 0t = veliina populacije je bila

( ) 00N N= , pri emu je 0N 0> , tada se veliina populacije u momentu 0t > opisuje jednainom

( ) ( )N t kN t = ,

a problem sa

( ) ( ) ( ) 0, 0, 0N t kN t t N N = =

Kako je

( ) 0N t > za 0k > i ( ) 0N t < za 0k < , to je ( ) 0N t , za svako 0t .

Reenje. Reavanje ove diferencijalne jednaine se zasniva na osnovnim principima diferencijalnog rauna.

Iz

( ) ( )dN t

kN tdt

=

sledi

( )( )

dN tkdt

N t= .

Odatle je

( ) 1ln N t kt C= + ,

dakle

( ) 1kt CN t e += ,

gde je 1C proizvoljna konstanta. Ako oznaimo 1CC e= , tada je

( ) , 0ktN t Ce t= ,

tako da reena diferencijalna jednaina ima klasu reenja koja zavisi od proizvoljne konstante C i koja je njeno opte reenje. Konstantu C emo odrediti iz poetnog uslova. Za 0t = je

( )0 0N N C= = , tako da je dinamika rasta populacije opisana eksponencijalnom funkcijom

( ) 0 , 0ktN t N e t= .

32

Jasno, ( )N t + kad t + ako je 0k > ; ( ) 0N t kada t + ako je 0k < . Priblinu vrednost za k dobijamo kao kolinik prirataja u nekom manjem periodu i veliine populacije na kraju tog perioda.

Procesi koji imaju tendenciju rasta sa protokom vremena, nazivaju se procesi raanja, a oni sa tendencijom opadanja sa protokom vremena, procesi umiranja.

Zanimljiva je primena ovog razmatranja na ljudsku populaciju.Podaci dobijeni iz reenja u poreenju sa podacima za period od 1700-te godine do sada pokazuju odlino slaganje. Meutim, nae reenje predvia 200 000 milijardi stanovnika ve u 2510-toj godini. Tada bi gustina naseljenosti nae planete bila oko jednog stanovnika po 1m njene celokupne povrine. To je oigledno nemogue.Zato se daje tzv. poboljani logistiki model rasta koji daje realniju procenu za budunost. Pri njegovom formiranju uzimaju se u obzir i neki ograniavajui faktori rasta.

Primer 14. U farmakokinetici se, izmeu ostalih matematikih modela koristi i tzv. jednokompartmanski otvoreni model sa intravenskim ubrizgavanjem jedne doze

leka. ini ga jednaina 10dq

k qdt

= sa poetnim uslovom ( ) 00q q= , pri emu je dq

dt

promena koliine leka po jedinici vremena, 10k ("ka jedan-nula") konstanta

eliminacije leka, 0q poetna doza i q koliina leka u trenutku t . Znak "-" se javlja jer

se sa vremenom koliina aplikovanog leka u krvi smanjuje. Odrediti koliinu leka u organizmu u proizvoljnom trenutku nakon aplikacije.

Reenje. Iz polazne diferencijalne jednaine sledi

10

dqk dt

q= ,

i dalje

( )

( )

0

0 0

10

10

10

10

0 10 0 0

100

0

0

,

ln ,

ln ln , 0

ln ,

,

.

q

q

q t

q t

k t

k t

dqk dt

q

qI k tI

q q k t t t

qk t

q

qe

q

q t q e

=

=

= =

=

=

=

Poslednja formula omoguuje odreivanje traene koliine leka pod uslovom da se odredi konstanta eliminacije leka 10k .

33

Neka je V poznati volumen distribucije leka za datog pacijenta. Tada, deobom u poslednjoj jednaini sa V , dobijamo

100 k tq q

eV V

= .

Promenljiva q

CV

= i konstanta 00q

CV

= su redom koncentracije leka u trenutku t i u

poetnom trenutku.

Iz jednaine

100

k tC C e

= ,

logaritmovanjem dobijamo

0 10ln lnC C k t= .

Ovo je formula linearne funkcije ( )10 0, ln , k , , lny ax b y C a x t b C= + = = = = .

Praenjem vrednosti broja C u nekom vremenskom intervalu nalazi se najbolja linearna aproksimacija dobijenih parova vrednosti za t i za C . Priblina vrednost konstante 10k je koeficijent pravca dobijene prave.

Znajui 10k moe se izraunati i tzv. poluvreme eliminacije 0,5t leka. To je ono vreme za koje

vai

0

2

CC = .

Tada je

00 10ln ln2

CC k t= ,

odakle je

0,510

ln 2t

k= .

2.7 Homogena diferencijalna jednaina

2.7.1 Peti as

Na poetku asa ukratko se komentariu zadaci dati za domai i vrednuje se dobro razumevanje i valjani komentari u vezi sa njima. Zatim se prelazi na novu nastavnu jedinicu.

34

Definicija 8. Diferencijalna jednaina prvog reda koja se moe svesti na oblik

yy f

x

=

gde je f zadata neprekidna funkcija u nekoj oblasti G je homogena jednaina prvog reda.

Ova jednaina se smenom

y ux= ,

gde je u nova nepoznata funkcija od x , svodi na diferencijalnu jednainu sa razdvajanjem promenljivih. Zaista, tada je

y u x u = + ,

pa je

( )u x u f u + = ,

i dalje

( )

( )

( )

,

,

ln , .

dux u f u

dx

du dx

f u u x

dux C C

f u u

+ =

=

= +

Ako su brojevi 1 2, ,..., ku u u , reenja jednaine ( ) 0f u u = , tada je ku u= , odnosno funkcija

ky u x= je reenje polazne jednaine.

Primer 15. Reiti jednaine

a) 2 , 0xy y x = (kao homogenu),

b) 0, 0x y xy x+ = ,

Reenje.

a) Uoavamo da je ovo istovremeno i jednaina u kojoj se promenljive mogu razdvojiti, ali emo je reavati kao homogenu.

2 yy

x = , ( smena:

yu

x= , odakle je y ux= , y u x u = + ).

Zamenom u datu diferencijalnu jednainu dobijamo ux+u=2u odnosno ux=u. Dalje je

35

xduu

dx=

du dx

u x=

du dx

u x=

1 1ln ln ln , 0u x C C= + >

1ln lnu C x=

, 0u Cx C=

yCx

x=

2y Cx= .

Komentar

Oigledno je i 0y = reenje, pa je opte reenje 2y Cx= , C . To je familija parabola sa temenom u koordinatnom poetku simetrinih u odnosu na osu Oy ,(za 0C ) i prava 0y = ,(za 0C = ). Na slici 15. prikazana su neka reenja.

Slika 15.

b) Iz date jednaine je x y

yx

+ = ili 1

yy

x = + .

Smenom y

ux= , ( ),y ux y u x u = = + dobijamo 1u x u u + = + ili 1u x = .

6.2553.752.51.250-1.25-2.5-3.75-5-6.25

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

x

y

x

y

36

Nakon integracije i zamene u sa y

x je lny x Cx= , ( )0C opte reenje.

Na slici 16. prikazana su tri partikularna reenja za 1C = (crveno), 2C = (ljubiasto) i 5C = (zeleno). Njima ne pripada koordinatni pocetak zbog uslova 0x .

Slika 16.

Primer 16. Nai partikularno reenje diferencijalne jednaine

ln , 0y y

xy yx x

= >

,

za koje vai poetni uslov

( ) 21y e= .

Reenje. Opte reenje koje dobijamo postupkom kao u 1. zadatku glasi:

1 ,Cxy xe C+= .

Zbog poetnog uslova

2 1 Ce e +=

je

1 2, 1C C+ = = .

Traeno partikularno reenje 1 xy xe += prikazano je na slici 17. Dobijenoj krivoj ne pripada koordinatni poetak zbog uslova 0x .

21.81.61.41.210.80.60.40.20

2

1.75

1.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25 x

y

x

y

37

Slika 17.

Komentar

Ve pri reavanju homogenih jednaina uenici poinju da pitaju kako da prepoznaju

tip diferencijalne jednaine. Zato treba insistirati na definicijama svih tipova jednaina koje

izuavamo. Prepoznavanje tipa svodi se na proveru vaenja neke od tih definicija. Npr.

provera, da li je data diferencijalna jednaina homogena, je izraavanje y a zatim provera,

da li se izraz na desnoj strani jednaine moe prikazati kao funkcija od y

x.

Domai zadatak

1. Da li su sledee diferencijalne jednaine homogene:

a) 2xxy y = ,

b) yy x = ,

c) 1xyy = ,

d)y

xxy e = ,

e)y

xxy xe y = + ?

2. Reiti homogene jednaine iz 1. zadatka.

3. Nai ono partikularno reenje jednaine 2 2x y

yxy

+ = , za koje vai ( ) 0y e = .

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10

8

7.5

7

6.5

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

38

2.8 Homogena diferencijalna jednaina prvog reda, vebe

2.8.1 esti as

Nakon analize domaeg zadatka i ocenjivanja rada uenika, saoptavamo da emo na ovom asu, na jednom zadataku, videti primenu homogene jednaine.

Primer 17. Nai sve krive linije u ravni kod kojih je odseak tangente od ose x do take dodira sa krivom jednak odseku koga ta tangenta gradi na osi Ox .

Reenje. Neka je

( ) ( )Y y f x X x =

jednaina tangente a u taki ( ),x y traene krive. U taki preseka sa osom Ox je 0Y = pa je

( ) ( ) ( )( )

,xf x y

y Xf x xf x Xf x

= =

.

Prema uslovu u zadatku je

( )( )

( )( )

2

2xf x y xf x yx yf x f x

+ =

odakle se kvadriranjem i sreivanjem dobija

( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 2f x y x f x xyf x = .

Odavde je, zbog ( ) 0f x

( ) ( )2 2 2f x y x f x xy = .

Tako dobijamo

2 2 x y 2y y xy =

( )2 2 2x y y xy = ,

odakle je

2 2

2xyy

x y =

.

Uoavamo da je ova jednaina homogena pa nakon deobe brojioca i imenioca razlomka na desnoj strani sa 2x dobijamo

39

2

2

1

y

xyy

x

=

.

Posle smene y

ux= , ( ),y ux y u x u = = + je

2

2

1

uu x u

u + =

.

Odavde je

3

21

u uu x

u

+ =

,

3

21

u uu x

u

+ =

,

ili, nakon razdvajanja promenljivih

( )( )

2

2

1

1

u du dx

xu u

=

+.

Nakon integracije i sreivanja dobijamo

( )21u Cx u= +

ili

2

21

y yCx

x x

= +

,

odakle je

2 22

2 4

C Cx y

+ =

,

Traeno reenje zadatka su sve krunice sa centrima u takama 0,2

C

i poluprenikom

{ }, \ 02

CC . One ine dva (parabolina) pramena krunica kojima je osa x zajednika

tangenta, (slika 18). Oigledno, ( ) 0y x = je takoe reenje. Moemo ga posmatrati i kao krunicu ( )0, i poluprenikom .

40

Slika 18.

Komentar

Jednaki odseci su tangentne dui povuene na ove krunice iz taaka preseka

tangenata sa osom Ox . Ovde je dokazano da su sa tom osobinom jedino dobijene krunice.

Situacija je predoena na slici 19.

Slika 19.

Ovaj zadatak je veoma zahtevan i zbog formiranja diferencijalne jednaine i njenog

reavanja. Zato je potrebno ranije nai integral ( )( )

2

2

1

1

x dx

x x

+ i u radu ga koristiti.

Domai zadatak

Nai krivu koja prolazi kroz taku ( )1,1 sa osobinom da je u svakoj njenoj taki kolinik odseka koga gradi tangenta te krive sa y -osom i odseka koga, u istoj taki, gradi normala na krivu sa x -osom, jednak koliniku apscise i ordinate take u kojoj je povuena tangenta.

41

Uputstvo

Jednaina tangente u proizvoljnoj taki ( ),x y krive je

( ) ( )( )- - ,Y y y X x y f x = = .

Jednaina normale u istoj taki je ( )1Y y X xy

=

.

Odseak tangente na y -osi je y xy . Odseak normale na x -osi je x yy+ . Diferencijalna jednaina ? ?y = (homogena)

(Traena kriva je 22 -y x x= ).

Komentar

Za davanje uputstva treba obezbediti dovoljno vremena kako bi u tome to vie

uestvovali uenici.

2.9 Linearna diferencijalna jednaina prvog reda

2.9.1 Sedmi as

Definicija 9. Linearna diferencijalna jednaina prvog reda je jednaina oblika

( ) ( )y f x y g x + = ,

gde su f i g date neprekidne funkcije nezavisno promenljive x na nekom intervalu

( ),a b .

Ako je ( ) 0g x , dobijamo jednainu oblika

( ) 0y f x y + = .

To je homogena linearna diferencijalna jednaine prvog reda. Uoavamo da se u njoj promenljive mogu razdvojiti, pa je kod homogene linearne diferencijalne jednaine

( ) dy f x ydx

= ,

( ) ( ), 0dy f x dx yy= ,

( ) ,dy f x dxy=

( )1ln y C f x dx+ = ,

42

( ) 1ln y f x dx C= ,

i konano,

( ),

f x dx

y Ce C= ,

opte reenje.

Ova formula nam sugerie nalaenje reenja i ako je jednaina ne homogena. Njeno opte reenje potraiemo u obliku

( ) ( )f x dxy C x e= .

Tada je

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx f x dxy C x e C x f x e =

Zamenom y i y u jednainu

( ) ( )y f x y g x + = ,

dobijamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ f x dx f x dx f x dxC x e C x f x e f x C x e g x = ,

odakle je

( ) ( ) ( )f x dxC x g x e = .

Dalje je

( ) ( ) ( )f x dxdC x

g x edx

=

i

( ) ( ) ( ) , f x dxC x C g x e dx C= + .

Konano je

( )( ) ( )f x dx f x dxy e C g x e dx = +

traeno opte reenje.

43

Komentar

Ovaj nain nalaenja reenja zovemo metod varijacije konstanti. Potrebno je odmah

rei uenicima da emo pri reavanju zadataka ovim postupkom koristiti jedino poslednji

obrazac.

Do istog obrasca dolazi se ako se reenje trai u tzv. obliku proizvoda neodreenih funkcija, tj.

( ) ( )y u x v x= .

Tada je

( ) ( ) ( ) ( )y u x v x u x v x = + ,

pa se jednaina moe pisati u obliku

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x f x u x v x v x u x g x + + = .

Funkciju u ( )x odreujemo tako da je

( ) ( ) ( ) 0u x f x u x + = .

Ova funkcija postoji jer je traena funkcija y proizvod dveju jo neodreenih funkcija pa se jedna od njih moe birati tako da ispunjava zadati uslov.

Odavde je

( ) ( )f x dxu x e= ,

pa zamenom u jednainu

( ) ( ) ( )v x u x g x = ,

dobijamo

( ) ( ) ( )f x dxv x g x e = ,

odakle je

( )( )

f x dx

v x C e dx= + ,

i konano

( ) ( ) ( ) ( )( )f x dx f x dxy u x v x e C g x e dx = = + .

Primer 18. Reiti jednainu

44

yy x

x + = .

Reenje. Smenom

( ), y uv y u v uv = = +

dobijamo diferencijalnu jednainu

uu v uv x

x

+ + =

.

Funkciju u odreujemo tako da je

uu + 0

x = ,

odnosno

( )

1

2 2

2

,

ln ln ,

ln ln ln , 0

ln ln ,

du dx

u x

u x C

u x C C

Cu

x

=

= +

= + >

=

,

pa je

{ }, C \ 0Cux

= .

Kakos u u i v privremeno neodreene funkcije i y uv= , za funkciju u moemo proglasiti ma koju iz dobijene familije funkcija. Najlaki je izbor ako u postupku integracije biramo broj nula za vrednost integracione konstante 1C , ili broj 1 za konstantu C u dobijenoj

familiji. U daljem reavanju linearnih jednaina ovim postupkom, uvek emo postupati na prvi od navedenih naina. Obino se kae da se integraciona konstanta izostavlja. Tako je i funkcija v , zbog uv x = , odreena sa tanou do na konstantu.

Zamenom funkcije u u gornju diferencijalnu jednainu dobijamo

31, tj .

3

xv x v C

x = = + .

Opte reenje date jednaine je

45

( ) ( ) 1 ,3

xy u x v x C C

x

= = +

.

Opte reenje dobijeno pomou raunara:

Exact solution is: 311 1

03

C x xx

.

Komentar

Ovde treba razjasniti sa uenicima da smo dobili isto reenje kao i bez upotrebe

raunara.

est partikularnih reenja ove jednaine prikazano je na slici 20.

Slika 20.

Primer 19. Odrediti ono reenje jednaine ( )sin 1 cos 0y x dx xdy + = za koje vai ( ) 1y = .

Reenje. Traeno partikularno reenje dobiemo pomou opteg reenja i uslova navedenog u zadatku. Znai, moramo prvo nai opte reenje. Jednainu piemo u obliku

cos sin 1dy

x y xdx

+ = ,

odakle je

1, ,

cos 2y ytgx x k k

x

+ = + (linearna diferencijalna jednaina).

Njeno opte reenje je

1

cos

tgxdx tgxdx

y e C e dxx

= +

46

ln cos ln cos1

cosx x

e C e dxx

= +

2cos

cos

dxx C

x

= +

( )cos x C tgx= +

i konano

cos siny C x x= + .

Iz ( ) 1y = nalazimo da je 1, 1C C = = pa je traeno partikularno reenje

sin cosy x x= , (slika 21).

Slika 21.

Domai zadatak

1. Nai opte reenje jednaine ( )2 1, 0yy x xx

+ = + :

a) metodom varijacije konstanti,

b) metodom neodreenih funkcija.

2. Nai partikularno reenje jednaine 2x xy e y e + = za koje vai (0) 1y = .

2.10 Linearna diferencijalna jednaina prvog reda, vebe

2.10.1 Osmi as

Nakon analize domaeg zadatka i ocenjivanja uenika, saoptavamo da emo na ovom asu, kroz nekoliko zadataka, sagledati neke primene linearnih jednaina.

3.532.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0

-0.25

-0.5

-0.75

-1

-1.25

x

y

x

y

47

Primer 20. Nai sve krive kod kojih je odseak koji tangenta gradi na osi Oy jednak apscisi take dodira.

Reenje. Neka je ( )y f x= jedna takva kriva i a tangenta u njenoj proizvoljnoj taki ( , )A x y . Neka je B taka preseka tangente sa osom Oy .

Jednaina tangente t je

( )( )Y y f x X x = .

U taki B je 0, X Y x= = , pa je

( )x y xf x = .

Dobijamo jednainu

x y xy = ,

odnosno

11y y

x = .

Uoavamo da je zadnja jednaina homogena ali i linearna diferencijalna jednaina prvog reda. Reiemo je kao linearnu.

Ovde je

1( ) , ( ) 1f x g x

x= = .

Njeno opte reenje je

( )

11

ln ln

1

ln | |, 0.

dxxdx C e dx

x

x x

y e

e C e dx

x C dxx

Cx x x x

=

=

=

=

Neka partikularna reenja, pri izboru vrednosti integracione konstante 1C = (crveno), 2C = (zeleno) 1C = (ljubicasto) i 2C = (oker), prikazana su na slici 22.

48

Slika 22.

Uslov DC DB= koji zadovoljavaju sva reenja predoen je na slici 23, pri emu je

( )0,0D i B normalna projekcija take A na apscisnu osu.

Slika 23.

Primer 21. Poetni ulog od 10000 evra stavljen je na raun uz kamatnu stopu od 8% pri emu je kamata pripisivana neprekidno.Nakon toga, novac je kontinuirano skidan po stopi od 1000 evra godinje, sve do njegovog ispranjenja.

a) Odrediti iznos na raunu u bilo kom trenutku t.

b) Kada e iznos na raunu pasti na nulu?

Reenje.

a) Neka je A iznos na raunu nakon t godina uz pretpostavku da nema skidanja sa rauna. Tada vai

0.08 , (0) 10000dA

A Adt

= = .

Kako se novac kontinuirano skida po navedenoj stopi, onda je

543210-1-2-3-4-5

3

2.5

2

1.5

1

0.50

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

x

y

x

y

49

0.08 1000dA

Adt

= ,

ili

0.08 1000dA

Adt

= .

Ovo je linearna diferencijalna jednaina prvog reda. Njeno opte reenje je

0.08( ) 12500 tA t Ce= +

i ono odreuje iznos na raunu u bilo kom trenutku t .

Primena poetnog uslova (0) 10000A = daje

0.0810000 12500 tCe= + ,

odakle je

10000 12500 C= +

2500C = .

Zamenom dobijene vrednosti za C u opte reenje dobijamo partikularno reenje

0.08( ) 12500 2500 tA t e=

Ono daje iznos na raunu u proizvoljnom trenutku t .

b) Treba reiti jednainu

( ) 0A t = ,

odnosno

0.080 12500 2500 te= ,

0.08 5te = ,

ln520

0.08t = godina i 43 dana.

Dakle, raun e biti anuliran nakon 20 godina i 43 dana.

Slika 24. grafiki prikazuje stanje na raunu.

50

Slika 24.

Komentar

Ovaj primer, nakon reavanja, pogodan je za komentar zbog primenjivosti u realnim

situacijama. Uenici mogu i sami izmiljati i samostalno reavati sline zadatke.

Domai zadatak

Na kraju asa uenicima e biti podeljena sledea tri uraena primera koje e prouiti kod kue i tako se pripremiti za komentar na poetku narednog asa.

Primer 22. Za prirataj stanovnitva velikog grada vae sledea dva zakona:

1Prirodni prirataj stanovnitva proporcionalan je broju stanovnika u vremenskom intervalu:

1 1y k y t = .

2 Brzina porasta stanovnitva putem imigracije proporcionalna je sa vremenom:

2 2y k t t = .

Napisati izraz ( )y t za stvarni (ukupni) prirataj stanovnitva pa zatim nai zavisnost broja stanovnika grada od vremena, ako je u trenutku 0t t= bilo 0 0( )y t y= stanovnika.

Reenje. Zamenom odnosa prirataja broja stanovnika i prirataja odgovarajueg vremena odnosima njihovih diferencijala (za mali prirataj vremena), dobijamo:

1 21 2 ,

dy dyk y k t

dt dt= = .

Ukupan prirataj je

1 2dy dy dy

dt dt dt= + ,

odnosno

20181614121086420

1e+4

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

x

y

x

y

51

1 2 dy

k y k tdt

= + .

Dobijamo jednainu

1 2y k y k t = (linearna diferencijalna jednaina prvog reda).

Njeno opte reenje je

( )1 2 121

1k tk

y Ce k tk

= + .

Koristei poetni uslov

( ) 00y y= ,

sledi

20 2

1

ky C

k= ,

odakle je

20 2

1

kC y

k= + .

Zamenom dobijene vrednosti za C u opte reenje dobijamo

( ) ( )12 20 12 21 1

1k tk k

y t y e k tk k

= + +

.

Ovo je traena funkcija koja daje zavisnost broja stanovnika grada od vremena.

Primer 23. Fabrika ima rezervoar kapaciteta 1000 amerikih galona, (jedan ameriki galon 3.785 l) koji se koristi za kontrolu isputanja zagaivaa u kanalizaciju. Rezervoar u poetku sadri 500 galona vode. Svaki galon sadri dve internacionalne funte zagaivaa,(jedna internacionalna funta 453.59 g).U rezervoar dodatno pristie zagaena voda koja sadri 5 funti zagaivaa po galonu po stopi od 100 galona u jednom satu. Ta voda se potpuno izmea sa postojeom vodom u rezervoaru. Istovremeno, iz rezervoara se u kanalizaciju isputa ve sasvim izmeana voda, po stopi od 75 galona u satu vremena. Cela procedura traje 5 sati. Na kraju tog perioda odrediti:

a) Ukupnu koliinu zagaivaa u rezervoaru,

b) Stopu (u funtama po galonu, odnosno gramima po litru) po kojoj se zagaiva isputa u kanalizaciju.

52

Reenje. Neka je ( )p t ukupna koliina (u funtama) zagaivaa u rezervoaru t sati nakon otpoinjanja procesa. Kako se u rezervoaru u poetku nalazi 500 galona vode a svaki galon sadri 2 funte zagaivaa, onda vai

( )0 2*500 1000p = = .

Zagaena voda utie u rezervoar i iz njega istie razliitim brzinama i sa razliitim koncentracijama zagaivaa. Zato e stopa promene koliine zagaivaa u rezervoaru biti razlika stope po kojoj zagaiva ulazi i stope po kojoj on izlazi iz rezervoara. Iz ove injenice sledie odgovarajua diferencijalna jednaina koju dalje treba reavati uz dati poetni uslov

( )0 1000p = .

Zagaiva ulazi u rezervoar po konstantnoj stopi od 1005=500 funti u jednom satu. Stopa po kojoj zagaiva izlazi iz rezervoara zavisie od njegove koliine u trenutku t i koliine vode u rezervoaru u istom trenutku. Poto koliina vode raste po stopi od 25 galona po satu, onda je ukupna koliina vode u trenutku t jednaka 500 25t+ galona.

Koliina zagaivaa po jednom galonu u trenutku t je kolinik ukupne koliine zagaivaa i ukupne koliine vode u rezervoaru, tj.

( )500 25

p t

t+.

Kako voda istie po stopi od 25 galona po satu, onda je stopa po kojoj zagaiva izlazi iz rezervoara

( ) ( )25500 25 20

p t p t

t t=

+ +.

Dakle, za stopu promene vai

( ) ( ) ( )500 , 0 100020

p tp t p

t = =

+.

Dobijena diferencijalna jednaina moe se napisati u obliku

( ) ( )1 50020

p t p tt

+ =+

(linearna diferencijalna jednaina prvog reda).

Njeno opte reenje je

( ) ( )250 2020

Cp t t

t= + +

+.

Konstantu C dobiemo iz poetnog uslova, pa je

1000 500020

C= + .

53

Odavde je

80000C = ,

pa je traeno parcijalno reenje

( ) ( ) 80000250 2020

p t tt

= + +

(slika 25).

Slika 25.

Nakon 5 sati, ukupna koliina zagaivaa u rezervoaru je

( ) 6800005 250*25 3050 3050*453.59 1. 3834 1025

p funti g= = = .

b) Nakon 5 sati u rezervoaru e biti 625 625 3.785 2365.6galona l = vode. Stopa po kojoj

se zagaiva isputa u kanalizaciju je 3050

4.88625

= funti po galonu 584.80 grama po litru.

Komentar

Cilj ovog primera je da se sagleda da matematika moe pomoi u reavanju nekih

najvanijih problema nae civilizacije kakvi su ekoloki.

Primer 24. Odrediti jainu struje u elektrinom kolu u kome se nalazi izvor elektromotorne sile E koji proizvodi struju jaine I , otpornik R koji izaziva pad elektromotorne sile veliine RI , kalem indukcije L koji izaziva pad elektromotorne

sile veliine dI

Ldt

, i kondenzator kapaciteta C koji izaziva pad elektromotorne sile Q

C

(Q -punjenje).

Reenje. Prema Kirhofovom pravilu, zbir svih elektromotornih sila u zatvorenom kolu jednak je nuli, tj.

0dI Q

E RI Ldt C

= .

109876543210

4750

4500

4250

4000

3750

3500

3250

3000

2750

2500

2250

2000

1750

1500

1250

1000

x

y

x

y

54

Ako u kolu nema kondenzatora, ova jednaina se svodi na linearnu jednainu

dI R E

Idt L L

+ = .

Njeno reenje je, uz uslov da je E stalna veliina:

Rt

LE

I CeR

= + .

Koristei poetni uslov

( ) 00I I= ,

dobijamo da je

0

EC I

R= ,

pa je konano

0

Rt

LE E

I I eR R

= +

traeni izraz za jainu struje.

Komentar

U saradnji sa profesorom fizike, potrebno je podsetiti uenike na pojmove iz fizike

koji se koriste u ovom zadatku.

2.11 Bernulijeva diferencijalna jednaina

2.11.1 Deveti as

Na poetku asa ukratko se komentariu zadaci dati za domai i vrednuje se dobro razumevanje i valjani komentari u vezi sa njima. Zatim se prelazi na novu nastavnu jedinicu.

Definicija 10. Bernulijeva diferencijalna jednaina je jednaina oblika

( ) ( ) ky f x y g x y + = ,

gde su f i g date neprekidne funkcije i k realan broj.

Ako je 0k = , tada dobijamo

( ) ( )y f x y g x + = ,

a to je linearna diferencijalna jednaina prvog reda. Za 1k = se dobija

55

( ) ( )y f x y g x y + = ,

odnosno

( ) ( )( )y f x g x y = .

U poslednjoj jednaini se oigledno promenljive mogu razdvojiti. Bernulijeva diferencijalna jednaina se moe reavati smenom

( ) ( ) ( ) ,y x u x v x y uv= = ,

ili smenom

( ) ( )1 1,k kz x y x z y = = ,

kojom se svodi na linearnu. Ako je

1 kz y = ,

onda je

( )1 kz k y y = ,

pa polazna Bernulijeva jednaina postaje

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0z x k f x z x k g x + = ,

to je, oigledno, linearna jednaina.

Primer 25. Reiti jednainu 2y

y xyx

+ = koristei smenu:

a) y uv= ,

b) 1 kz y = .

Reenje.

a) Zamenom ,y uv y u v uv = = + , u diferencijalnu jednainu dobijamo

2 2 ,uv

u v uv xu vx

+ + =

2 2uu v uv x yx

+ + =

.

Odrediemo u tako da je

0u

ux

+ = .

56

Odavde je

du dx

u x=

pa je

1u

x= .

Ako dobijenu funkciju u uvrstimo u jednainu

2 2uv x y =

dobijamo

( )

2

2

2

2

1 1,

,

,

,

1,

1, .

v vx x

v v

dvv

dx

v dv dx

x Cv

v Cx C

=

=

=

=

= +

= +

Reenje polazne diferencijalne jednaine je y uv= , odnosno

( )1

yx x C

=+

.

b) 1z y= , odakle je

21 , y y z zz

= = .

Polazna jednaina se svodi na jednainu

22

1 xz z

zx z

+ = ,

pa je

zz x

x =

(linearna diferencijalna jednaina) (smena: ,z uv z u v uv = = + )

57

uvu v uv x

x + =

uu v uv x

x

+ =

.

Iz uslova

0u

ux

=

sledi

dy u

dx x=

u x= .

Ako sada u jednaini

uv x =

zamenimo u sa x , dobijamo

xv x = ,

1, ,v v x C C = = + .

Dalje je

( )z x x C= + i ( )

1y

x x C=

+.

Za 1C = , partikularna reenja prikazana su na slici 26.

Slika 26.

58

Primer 26. Nai sve krive kod kojih je odseak koji tangenta gradi na osi Oy jednak kvadratu ordinate take na krivoj u kojoj je povuena tangenta.

Reenje. Neka je ( ),A x y taka dodira tangente t i traene krive i ( )20,C y taka preseka tangente i ose Oy . Jednaina tangente je

( ): a Y y k X x = .

U taki C je 20 ,X Y y= = , pa je

( ) ( ) ( )2 ,y y f x x k f x = = ,

odnosno

( )2y y xf x = .

Dobijamo

( )2 ,y y xy y f x = =

ili

2xy y y =

21 1y y yx x

= .

Zadatak je sveden na reavanje poslednje jednaine. Vidimo da je ona Bernulijeva diferencijalna jednaina, pa je sada moemo reiti. Smenom: y uv= , odnosno y u v uv = + , dobijamo

2 2

2 2

,

.

uv u vu v uv

x x

uv u vu v uv

x x

+ =

+ =

Odrediemo u tako da je

0u

ux

= ,

odakle je

,du u

u xdx x

= = .

Data diferencijalna jednaina se svodi na

2xv xv = ,

59

pa je

( )

2

2

,

,

1,

1.

v v

v dv dx

x Cv

vx C

=

=

= +

=+

Sada je

xy uv

x C= =

+.

Dobili smo da su sve traene krive grafici funkcija

, 0x

y Cx C

= +

.

etiri partikularna reenja prikazana su na slici 27.

Slika 27.

Na slici 28. dat je prikaz partikularnog reenja

( )2,1

xy BC BD

x= =

+,

gde je ( )0,0B a D normalna projekcija take A na ordinatnu osu.

60

Slika 28.

Domai zadatak

1. Reiti jednainu 11 1

2 2y y xy

x

= koristei smenu:

a) y uv= ,

b) 1 kz y = .

(Reenje : 2 2x y Cx+ = .)

2. Reiti poetni problem ( )22

33 3 , 1 8xy y x y y = = .

(Opte reenje : ( )32y x Cx= + , partikularno: ( )32y x x= .)

3.(daje se reen uenicima)

Primer 27. Brzina rastvaranja neke supstance direktno je proporcionalna proizvodu njene koliine u trenutku t i razlike koncentracija te supstance u trenutku t i u zasienom rastvoru. Nai koliinu nerastvorene supstance u funkciji vremena.

Reenje. Ako je 0y koliina supstance u poetnom trenutku, a koncentracija pri zasienju, a

V koliina rastvaraa, tada je, prema uslovima u zadatku

0dy y yky adt V

=

.

Dalje je

2ky ky ka y yV V

+ =

.

61

Ovo je Bernulijeva jednaina koju moemo reiti smenom

1 2, z y z y y = = .

Dobija se

0ky kz ka zV V

=

,

uz uslov

( ) ( )1 100 0z y y = = .

Reenje ovog problema je

( )( )0

0 0 0

1 1 1k y aV tVz t e

aV y y y aV

= + +

,

odakle se dobija ( )y t .

Komentar

Zadatak pre reavanja treba analizirati sa profesorom hemije.

2.12 Diferencijalne jednaine oblika 2,y k y k y = =

2.12.1 Deseti as

Prilikom obrade diferencijalnih jednaina drugog reda, predlaemo prvo razmatranje tri primera iz Mehanike.

Primer 28. Materijalna taka mase m slobodno pada iz take koja se nalazi na visini h iznad povrine Zemlje sa poetnom brzinom jednakom nuli. Nai njen zakon kretanja. Neka je ( )x t rastojanje te take od Zemlje u proizvoljnom trenutku t . Tada je ( )x t trenutna brzina a ( )x t ubrzanje take koje u svakom trenutku iznosi g ( g -gravitaciona konstanta). Ovo je zato to je smer ubrzanja suprotan smeru vertikalne ose Ox du koje se taka kree. Zato je zakon kretanja odreen formulom

( )x t g =

pri emu je

( )0x h= i ( )0 0x = .

Primer 29. Neka je na svakom vertikalnom preseku cilindrine homogene ipke temperatura ista ali se ona moe menjati od jednog preseka do drugog. Osa simetrije ipke duine b , ( )0b > je na x -osi i neka se poetak ipke u taki 0x = odrava na

62

stalnoj temperaturi 1T . Na kraju ipke ( )x b= , odrava se stalna temperatura 2T . Poznato je iz toplotne mehanike da nakon dovoljno dugog vremena temperatura unutar ipke dostie ravnoteno stanje i ne menja se sa daljim tokom vremena. Funkcija ( )y y x= ravnotene raspodele temperatura koja zavisi samo od mesta x , zadovoljava diferencijalnu jednainu

( )1y F xk

= i 0 x b< < ,

sa graninim uslovima

( ) ( )1 20 , y T y b T= = ,

gde je F stopa zagrevanja po jedinici zapremine i k pozitivna konstanta. Negativan znak u diferencijalnoj jednaini znai da se toplota iri od toplijih ka hladnijim delovima ipke. Odrediti ravnotenu raspodelu temperature u ipki duine 1, ako je ona termiki izolovana i nema drugih izvora toplote u njoj. Krajevi ipke se odravaju na stalnim temperaturama 1T i 2T .

Primer 30. Oscilacije materijalne take mase m pod dejstvom elastine opruge kojoj su teina i trenje zanemareni opisuje diferencijalna jednaina

ms ks =

gde je ( )s t poloaj take na osi du koje se ona kree i k pozitivan broj (konstanta opruge). Ova jednaina se moe napisati u obliku

0ms ks + = ,

to je specijalan sluaj opte jednaine oscilovanja

0ms rs ks + + = ,

gde je r koeficijent otpora sredine. Nai njen zakon oscilovanja.

U prethodnim primerima zadatak je sveden na nalaenje nepoznate funkcije iz jednaine u kojoj obavezno figurie njen drugi izvod uz poetne uslove u prvom primeru, granine uslove u drugom primeru i uslove koje postavljaju konstante m , r i k u treem primeru. To su primeri diferencijalnih jednaina drugog reda.

Diferencijalna jednaina drugog reda je svaka jednaina u kojoj figuriu jedino nezavisno promenljiva x , nepoznata funkcija y i njeni prvi i drugi izvod y i y . Pritom x , y i y ne moraju biti eksplicitno zastupljeni. Jednaina

1y =

je jedan takav primer. Neka je

63

21 2

1

2y x C x C= + + ,

gde su 1C i 2C proizvoljne realne konstante.

Tada je

1, 1y x C y = + = .

Zato emo svaku funkciju oblika

21 2

1

2y x C x C= + +

zvati reenjem jednaine 1y = .

Reenje date diferencijalne jednaine drugog reda je svaka funkcija koja ima sledee svojstvo: Kada se u jednainu uvrste funkcija i njeni prvi i drugi izvod, dobija se identitet po x . Reiti diferencijalnu jednainu drugog reda znai odrediti sva njena reenja.

Reavanje jednaine ,y k k =

Ako uvedemo smenu y z = , onda je y z = , pa jednaina postaje z k = i zatim

( )

1

1

1

1 2 1 2 , , .2

dzk

dx

dz kdx

dz k dx

z kx C

y kx C

dy kx C dx

ky x C x C C C R

=

=

=

= +

= +

= +

= + +

Skup reenja je familija kvadratnih funkcija.

Pomou uvedene smene, reavanje jednaine drugog reda svedeno je na reavanje jednaina prvog reda. Kaemo da smo tom smenom snizili red date diferencijalne jednaine. Uopte, neke diferencijalne jednaine vieg reda reavamo sniavanjem njihovog reda pa ih u krajnjoj liniji svodimo na diferencijalne jednaine prvog reda. to je vii red diferencijalne jednaine to je problem njenog reavanja sloeniji.

Primer 31. Posmatraemo reenja prethodna tri zadatka.

Reenje 1. zadatka. Neka je ( )x t rastojanje te take od Zemlje u proizvoljnom trenutku t . Tada je ( )x t trenutna brzina a ( )x t ubrzanje take koje u svakom trenutku iznosi g ( g -

64

gravitaciona konstanta). Ovo je zato to je smer ubrzanja suprotan smeru vertikalne ose Ox du koje se taka kree. Zato je zakon kretanja odreen formulom

( )x t g =

pri emu je

( )0x h= i ( )0 0x = .

Nakon smene

,x z x z = =

dobijamo

z g = ,

odakle je

1z gt C= + ,

1x gt C = + ,

( ) 2 1 22g

x t t C t C= + + ,

( ) ( )2 10 , 0 0x C h x C= = = = ,

pa je

( ) 22

gx t t h= +

traeni zakon kretanja uoene materijalne take.

Komentar

Zadatak pre reavanja komentarisati sa profesorom fizike.

Reenje 2. zadatka. ipka je izolovana i nema izvora toplote u njoj. To znai da u jednaini

( )1y F xk

=

vai

( ) 0F x = ,

pa se dobija jednaina

0y = .

65

Njeno opte reenje je

( ) 1 2y x C C x= + .

Pomou graninih uslova se dobija

( ) ( )1 1 1 2 20 , 1y C T y C C T= = = + = ,

odakle je

2 2 1C T T= .

Traeno reenje problema je

( )1 2 1y T T T x= + .

Komentar

Zadatak pre postavljanja i reavanja komentarisati sa profesorima mainske grupe

predmeta.

Reavanje jednaine { }2 , \ 0y k y k =

Pomou smene

xy e= ,

odakle je

2,x xy e y e = = ,

jednaina postaje

22 x xe ek = .

Dalje je

22 0x xke e = ,

( )22 0xek = .

Zbog 0xe , mora biti

22 0k = ,

1,2 k = .

Reenja su linearno nezavisne funkcije

kxy e= i kxy e= ,

66

pa je opte reenje njihova linearna kombinacija

1 2 1 2; ,kx kxy C e C e C C= + .

Napomena

Ucenici su ranije upoznati sa pojmovima linearne zavisnosti i linearne kombinacije

funkcija.

U srednjoskolskim udzbenicima polazna jednaina se esto reava ovako:

dodavanjem obema stranama ky dobijamo,

2 .y ky ky k y + = +

Odavde je

( ) ( )y ky k y ky + = + .

Smenom:

y ky z + = ,

dobijamo

z kz = ,

1kxz K e= ,

1kxy ky K e + = ...........(1),

gde je 1K proizvoljna realna konstanta.

Ako obema stranama polazne jednaine dodamo ky , dobiemo

2y ky ky k y = + ,

odnosno

( ) ( )y ky k y ky = ,

smena:

z y ky= ,

z kz = ,

2kxz K e= ,

2kxy ky K e = ............(2),

67

2K ( proizvoljna konstanta).

Oduzimanjem jednakosti ( )2 od jednakosti ( )1 dobijamo,

1 22kx kxky K e K e=

pa je

1 2

2 2kx kxK Ky e e

k k

= .

Ako 12

K

k oznaimo sa 1C a

2

2

K

k sa 2C , dobiemo

1 2 1 2; ,kx kxy C e C e C C= +

Ovo je opte reenje polazne diferencijalne jednaine .

Primer 32. Nai ono reenje jednaine

y y =

za koje vai

( ) ( )0 1 , 0 1y e y e= + = .

Reenje. Opte reenje ove jednaine je

1 2 1 2; ,kx kxy C e C e C C= +

Odavde je

1 2x xy C e C e = .

Navedeni uslovi daju sistem

1 2 1 21 , 1C C e C C e+ = + = ,

odakle je

1 21 ,C C e= = .

Traeno (partikularno) reenje je funkcija

1x xy e e = +

prikazana na slici 29.

68

Slika 29.

U prethodna dva primera reavali smo probleme u kojima je bila data diferencijalna jednaina drugog reda sa po dva poetna uslova. Nakon dobijanja opteg reenja, ti uslovi daju sistem jednaina iz koga se dobijaju vrednosti integracionih konstanti koje odreuju traeno partikularno reenje. Kaemo da smo reili Koijeve probleme drugog reda.

Uopte,poetni (Koijev) problem za diferencijalne jednaine drugog reda glasi: Nai ono reenje ( )y x date jednaine za koje u nekoj taki 0x u kojoj ono postoji vai:

( ) ( )0 0 0 1, y x y y x y= = ,

gde su 0y i 1y dati brojevi. Geometrijski posmatrano, funkcijom ( )y x je odreena integralna kriva koja prolazi kroz taku ( )0 0,x y i u kojoj ta kriva ima tangentu iji je koeficijent pravca 1y .

2.13 Linearna homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima

2.13.1 Jedanaesti as

Primer 33. Neka je 2x xy e e= + data funkcija. Tada je

22x xy e e = + ,

4x xy e e = + ,

pa vai

3 2 0y y y + = ,

to se lako proverava.

53.752.51.250-1.25-2.5-3.75-5

400

375

350

325

300

275

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

x

y

x

y

69

U ovoj jednaini javljaju se, pored funkcije y , i njeni izvodi y i y i u njoj ne postoje slobodne konstante razliite od nule. Za takvu jednainu kaemo da je linearna homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Za funkciju

2x xy e e= + , koja zadovoljava ovu jednainu, kaemo da je jedno njeno reenje.

Linearna homogena diferencijalna jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima je jednaina

0y py qy + + = ,

gde su p i q date konstante a y nepoznata funkcija.

Primeujemo da je jednaina 2y k y = y njen specijalan sluaj kada je 0p = i 2q k= .

Reavanje jednaine 0y py q + + =

Njeno trivijalno reenje je ( ) 0y x = .

Potraiemo sada ostala reenja u obliku

kxy e= ,

gde je k konstanta.

Kako je

kxy ke = ,

2 kxy k e = ,

zamenom u jednainu dobijamo

( )2 0kxe k pk q+ + = .

Odavde je

2 0.k pk q+ + =

Ovo je tzv. karakteristina jednaina polazne diferencijalne jednaine. U zavisnosti od prirode njenih korena koje nazivamo karakteristini koreni te jednaine, razlikovaemo tri sluaja.

a)Neka je njena diskriminanta 2 4 0p q > . Tada su njena reenja 1k i 2k realna i razliita.

Jasno je da su funkcije 1k xy e= i 2k xy e= linearno nezavisna reenja polazne jednaine.

Njeno opte reenje je linearna kombinacija ovih reenja:

70

1 2

1 2k x k xy C e C e= + ,

gde su 1C i 2C proizvoljne realne konstante.

b) Ako je 2 4 0p q = reenja 1k i 2k su realna i jednaka.

Pokazacemo da je pored funkcije 1k xy e= i funkcija 1k xy xe= reenje polazne jednaine. Zaista, kako je

1 1

1k x k xy e k xe = + ,

1 121 12

k x k xy k e k xe = + ,

zamenom u polaznu diferencijalnu jednainu,

nakon sreivanja, dobijamo

( ) ( )1 121 1 12 0k x k xk pk q xe k p e+ + + + = .

Ovo je identitet jer je

21 1 0k pk q+ + = i 1 2k k p+ = (Vietova formula),

odakle je

12 0k p+ = .

Opte reenje je

1 1

1 2k x k xy C e C xe= +

ili

( ) 11 2 k xy C C x e= +

gde su 1C i 2C proizvoljne konstante.

c) Ako je 2 4 < 0p q , reenja karakteristine jednaine su dva konjugovano kompleksna

broja 1 2, , ,k i k i = + = .

Tada su 1k xe i 2k xe reenja polazne jednaine i vai

( ) ( )1 cos sini xk x x i x xe e e e xe i x + += = =

cos sinx xe x ie x = + .

Zapaamo da je reenje 1k xy e= linearna kombinacija funkcija xy e cos x = i xy e sin x = .

71

To nam sugerie da su i ove funkcije takoe reenja zadate diferencijalne jednaine to se lako i proverava.

Kao i u sluaju a), opte reenje je

( )1 2 1 2cos sin , ,xy e C x C x C C = + .

Primer 34. Nai opta reenja jednaina:

a) 3 2 0y y y + = ,

b) 4 4 0y y y + = ,

c) 2 2 0y y y + = .

Reenje.

a) Karakteristina jednaina ove jednaine je 2 3 2 0k k + = . Njeni koreni su 1 21, 2k k= = , pa je opte reenje

21 2

x xy C e C e= + .

Na slici 30. prikazana su tri partikularna reenja, i to: za 1 2 1C C= = (zeleno), za

1 21, 1C C= = (crveno), i za 1 21, 1C C= = (plavo).

Slika 30.

b) Karakteristina jednaina je 2 4 4 0k k + = , odnosno ( )22 0k = odakle je 1 2 2k k= = .

Opte reenje je

( ) 21 2 xy C C x e= + .

Prikazana su tri partikularna reenja i to za 1 2 1C C= = (crveno), 1 21

1,2

C C= = (zeleno),

1 21, 2C C= = (plavo) , (slika 31).

72

Slika 31.

c) Ovde je karakteristina jednaina 2 2 2 0k k + = . Njeni koreni su 1 , 1i i+

pa je

1 = = .

Opte reenje je

( )1 2 1 2cos sin , ,xy e C x C x C C= + .

Na slici 32. prikazano je partikularno reenje za 1 21

10C C= = .

Slika 32.

Domai zadatak

Reiti jednaine:

a) 2 0y y y = ,

b) 6 9 0y y y + + = ,

c) 4 5 0y y + + = .

73

2.14 Homogena jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, vebe

2.14.1 Dvanaesti as

Uenici saoptavaju reenja iz domaeg zadatka. Profesor posveuje posebnu panju slabijim uenicima poto je ovo prilika i za njih i ocenjuje uspeno reavanje.

Primer 35. Nai ono reenje diferencijalne jednaine 2 5 0y y y + = za koje vai

( ) ( )0 1, 0 0y y= = .

Reenje.

Odgovarajua karakteristina jednaina je 2 2 5 0k k + = . Njena reenja su 1 1 2k i= + i

2 1 2k i= , pa je opte reenje date jednaine

( )1 2cos2 sin 2xy e C x C x= + .

Odavde je

( )1 2 1 22 2 2 2 2 2xy e C cos x C sin x C sin x C cos x = + + .

Iz poetnih uslova dobijamo sistem

1 1 21, 2 0C C C= + = ,

odakle je 21

2C = . Traeno partikularno reenje je

1cos2 sin 2

2xy e x x=

, (slika 33).

Slika 33.

74

Primer 36. Reiti 3. zadatak.

Reenje. U prvom delu zadatak je sveden na traenje zakona oscilovanja koga opisuje jednaina

ms ks = .

Odavde je

( ) ks t sm

= ,

odnosno

( ) 2s t s =

gde je

k

m = ,

pa je

( ) 2 0s t s + = .

Karakteristina jednaina ove diferencijalne jednaine je

2 2 0k + = .

Dalje je

2 2k = ,

, 0 ,k i = = = .

Opte reenje je

( ) 1 2cos sins t C t C t = + ,

1 2 1, , 0 C C C ili 2 0C .

Ova jednaina opisuje poloaj uoene take u proizvoljnom trenutku t .

Ako uvedemo oznaku 2 21 2

1A

C C=

+ , onda se ova jednaina moe pisati u obliku

( ) 1 2 1 2cos sin , cos , sinC C C Cs t A t tA A A A

= + = =

,

pa je

75

( ) ( )cos cos sin sins t A t t =

ili

( ) ( )coss t A t = + .

Odavde se vidi da je kretanje harmonijsko pri emu je broj A amplituda, je kruna brzina, poetna faza ovih harmonijskih oscilacija.

Jednaina s s = zove se jednaina harmonijskih oscilacija, (slika 34).

Slika 34.

U drugom delu ovog zadatka doli smo do jednaine 0ms rs ks + + = . Ovo je oigledno linearna homogena jednaina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njena karakteristina jednaina je 2 0m r k + + = . U zavisnosti od znaka njene diskriminante

2 4r km razlikovaemo tri sluaja:

a) Ako je 2 4 0r km > , tj. 4r km> , imamo neoscilatorno kretanje opisano jednainom

( ) 1 21 2t ts t C e C e = + ,

gde su 1 i 2 koreni karakteristine jednaine a 1C i 2C proizvoljne konstante.

2) Ako je 4r km= , onda je zakon kretanja

( ) ( ) 11 2 ts t C C t e = + ,

gde je 1 2 2

r

m = = . Ovo kretanje je takoe neoscilatorno. Jedno reenje je prikazano na

slici 35 , za pretpostavljene vrednosti 1 2 1C C= = i 0.01 = .

76

Slika 35.

3) Ako je 2 4r km< , koreni karakteristine jednaine su

2 2

1,2

4 4

2 2 2

r r km r m ri

m m m

= =

pa je

2

12,

2 4

r k r

m m m = = = .

Zakon kretanja opisan je jednainom

( ) ( )1 1 2 1cos sints t e C t C t = +

to se moe napisati u obliku

( ) ( )1sints t Ae t = + .

Amplituda A i poetna faza ovog kretanja dobijaju se iz uslova ( ) 00s s= i ( ) 00s v = pa je

2 0 00

1

v sA s

+

= + ,

0 0 0

1

sin , coss v s

A A

+

= = .

Ovo kretanje predstavlja tzv. priguene oscilacije. Iz zakona kretanja se vidi da ( ) 0s t kada t , (slika 36).

77

Slika 36.

Komentar

Pre reavanja ovog zadataka poeljne su konsultacije sa predmetnim nastavnicima fizike i

mainske grupe zbog povezivanja sa obraenim sadrajima u tim predmetima.

2.15 Pismena priprema za as

Zakon o osnovama sistema obrazovanja i vaspitanja, (Slubeni glasnik Republike Srbije broj 72/09), Pravilnik o pedagokoj normi svih oblika obrazovno-vaspitnog rada nastavnika i strunih saradnika u srednjoj koli, (Prosvetni glasnik Republike Srbije 1/92,23/97 i 2/2000) i Pravilnik o nainu voenja evidencije u srednjoj koli,(Slubeni glasnik Republike Srbije broj 59/99,40/2002 i 67/2010), nalau nastavnicima i saradnicima pisanje priprema za svaki as nastave u kolskoj godini, i to prema utvrenom obrascu za pripreme.

Ova priprema je pisana prema aktuelnom obrascu koji se koristi u Srednjoj mainskoj koli u Novom Sadu.

Predmet: Matematika

Odeljenje: 406 KK.

Nastavna tema: Diferencijalne jednaine

Nastavna jedinica: Diferencijalne jednaine koje doputaju razdvajanje promenljivih

Tip asa: Obnavljanje i utvrivanje gradiva

Metode rada: verbalno-tekstualna i ilustrativno-demonstrativna

Oblici rada: nastavnikovo izlaganje, razgovor sa uenicima i razgovor uenika, polusamostalan i samostalan rad uenika, rad u paru ili u grupi, rad na formiranju modela i rad na graficima.

Cilj asa: ( vaspitni i obrazovni zadaci)

Sagledavanje primene diferencijalnih jednaina u raznim podrujima i znaaja matematike u razvo