Sarajevo, 6. decembar 2004

Solitonska rješenjaKorteweg-de Vries jednačine

diplomski rad

kandidat: Bojan Đuričkovićmentor: Prof. dr. Kenan Suruliz

2

Sadržaj

1. Korteweg-de Vries (KdV) jednačina Balans nelinearnosti i disperzije Veza sa Sturm-Liouvilleovim problemom

2. Egzaktna solitonska rješenja

3. Numerička rješenja

3

Korteweg-de Vries jednačina

3

3 0u u uu

t x x

Nelinearna disperzivna jednačina Model valova na plitkoj vodi (solitoni, Russell, 1834) Solitonska rješenja Boussinesq (1877), Korteweg & de Vries (1895)

4

Balans nelinearnosti i disperzije Nelinearnost: uzrokuje lomljenje valova Disperzija: uzrokuje širenje valnog paketa U KdV jednačini:

nelinearnost i disperzija se kompenziraju solitonska rješenja neograničeno zadržavaju oblik

5

Gdje se javlja KdV jednačina

Modeli konkretnih fizikalnih sistema: valovi na plitkoj vodi jonsko-akustični valovi u plazmi magnetohidrodinamički valovi u plazmi anharmonična rešetka longitudinalni disperzivni valovi u elastičnom štapu valovi pritiska u tečno-plinovitim smjesama rotirajući tok niz cijev termički pobuđeni paketi fonona u niskotemperaturnim

nelinearnim kristalima Sturm-Liouvilleov problem

izospektralna deformacija Schroedingerovog operatora

6

Sturm-Liouvilleova jednačina

Schroedingerova jedn. = spec. slučaj S-L jednačine

2

2 0,

zadani rubni uvjeti ( ), ( )

d yU x y a x b

dxy a y b

7

Sturm-Liouvilleov problem

2

2

zadani rubni uvjeti ( ), ( )

Ly y

dL U x

dxa x b

y a y b

S-L problem: za dane rubne uvjete i dani potencijal,naći svojstvene vrijednosti i njima pripadne svojstvene funkcije

Općenito rješenja y postoje samo za određene vrijednosti Skup svih takvih vrijednosti = spektar

j

8

Izospektralne deformacijeSchroedingerovog operatora Mijenjajući potencijal U(x) općenito se mijenja

spektar Izospektralna deformacija = transformacija

potencijala koja ostavlja spektar invarijantnim Uz rubne uvjete jednake nuli u

beskonačnosti, uspostavlja se veza sa KdV jednačinom (...)

j

9

Veza KdV i Schroedingerove jednačine KdV jednačina je izospektralna deformacija

Schroedingerovog operatora: Ako potencijal U(x,t) zadovoljava KdV jednačinu,

onda se promjenom potencijala sa parametrom t ne mijenja spektar.

Svojstvene vrijednosti Schroedingerovog operatora predstavljaju prve integrale KdV jednačine

10

Sadržaj

1. Korteweg-de Vries (KdV) jednačina

2. Egzaktna solitonska rješenja KdV Solitonsko rješenje Dvosolitonsko rješenje Trosolitonsko rješenje

3. Numerička rješenja KdV

11

Pojam solitona

soliton = engl. solitary wave (osamljeni val) + “on” (zbog nekih čestičnih svojstava)

lokalizirani poremećaji (valni paketi, pulsevi)koji neograničeno zadržavaju oblik

pri sudarima prolaze jedan kroz drugoguz nelinearnu interakciju asimptotski zadržavaju brzinu i oblik pri rasijanju dolazi do pomaka u fazi

rješenja nelinearnih disperzivnih jednačina nelinearnost kompenzira disperziju

12

Solitonsko rješenje KdV jednačine

2

3,

cosh2

cu x t

cx ct

dobija se direktnom integracijom rubni uvjeti: nula u beskonačnosti (uvjet lokaliziranosti)

sech2 oblik se ravnomjerno translatirabez promjene oblika (soliton)

13

Solitonsko rješenje: animacija

14

Svojstva solitonskog rješenja

amplituda proporcionalna brzini amplituda obrnuto proporcionalna kvadratu širine soliton se kreće u pozitivnom smjeru x-osi

2

3,

cosh2

cu x t

cx ct

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

u

15

Višesolitonska rješenja KdV jedn. Jednačina nelinearna, princip linearne superpozicije

ne vrijedi Višesolitonska rješenja = rješenja koja asimptotski

teže linearnoj superpoziciji više solitona Nelinearnost dolazi do izražaja za vrijeme interakcije

narušenje linearne superpozicije fazni pomak

Metode nalaženja višesolitonskih rješenja: Bargmannovi potencijali Backlundov transformat

16

Dvosolitonsko rješenje

2 22 11 2 2 2 1 1

2

1 21 1 2 2

3 cosech sech2 2

,

tanh coth2 2

c cc c c x c t c x c t

u x tc c

c x c t c x c t

17

Dvosolitonsko rješenje: animacija

18

Dvosolitonsko rješenje: animacija (2)

19

Dvosolitonsko rješenje: 3-dim x-t prikaz

-10

0

10x

-4

-2

0

2

4

t

0

2

4

6

u

-10

0

10x

-4

-2

0

2

4

t

20

Dvosolitonsko rješenje: konturni x-t prikaz

-15 -10 -5 0 5 10 15

-4

-2

0

2

4

21

Trosolitonsko rješenje: analitički izraz izraz dobijen u Mathematici, pomoću Backlundove

transformacije:

3 c1 Sech12c1c1 t x2 72c2

2

c3272c1

2

c223 c2 Csch1

2c2c2 t x2 3 c1 Sech1

2c1c1 t x26c2 Coth1

2c2c2 t x 6

c1 Tanh1

2c1c1 t x̂2 72 c1

2

c323 c1 Sech1

2c1c1 t x2 3 c3 Sech1

2c3c3 t x26c1 Tanh1

2c1c1 t x 6

c3 Tanh1

2c3c3 t x̂272c1

2

c226c2 Coth1

2c2c2 t x 6c1 Tanh1

2c1c1 t x72 c1

2

c326c1 Tanh1

2c1c1 t x 6c3 Tanh1

2c3c3 t x̂2

22

Trosolitonsko rješenje: animacija

23

Trosolitonsko rješenje: 3-dim x-t prikaz

-20

-10

0

10

20

x -5

0

5

t

0

2

4

6

u

-20

-10

0

10

20

x

24

Trosolitonsko rješenje: konturni x-t prikaz

-20 -10 0 10 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

25

Sadržaj

1. Korteweg-de Vries (KdV) jednačina

2. Egzaktna solitonska rješenja

3. Numerička rješenja Raspad gausijana na solitone Rasijanje dva solitona Odstupanje od linearne superpozicije dva

solitona

26

Numerička metoda

Implicitna: izraz za naredni vremenski korak je implicitan iterativno rješenje

Spektralna: derivacije se računaju u k-prostoru

Prvi pokušaj bio sa eksplicitnom metodom i šemom konačnih razlika potreban tako sitan vremenski korak da se svakih

10.000 koraka jedva primjeti pomak akumulacija greške

27

Raspad gausijana na solitone: početni uvjet Pogledajmo numeričko rješenje KdV jednačine sa

gausijanom kao početnim uvjetom:

2

020, 10, 0, 40x xe x x

28

Raspad gausijana na solitone: animacija

29

Raspad gausijana na solitone: animacija 2

30

Raspad gausijana na solitone: animacija 3

31

Interakcija dva solitona: početni uvjet Uzmimo dva sech2 oblika koji su razmaknuti u t = 0 Kako vrijeme teče, očekuje se odstupanje od sume

dva sech2 oblika

1 22 21 1 2 2

1 1

2 2

3 sech 3 sech2 2

2,56 5

1,0 20

0, 50

c cc x x c x x

c x

c x

x

32

Interakcija dva solitona: animacija

33

Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: početni uvjet Uzmimo kao početni uvjet dva solitona iz

prethodnog primjera, s tim da se oni u početnom trenutku preklapaju:

1 22 21 1 2 2

1 1

2 2

3 sech 3 sech2 2

2,56 5

1,0 20

0, 50

c cc x x c x x

c x

c x

x

34

Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: animacija (1)

35

Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: animacija (2)

36

Odstupanje od linearne superpozicijedva solitona: animacija (3)

37

Zaključci

Solitonska rješenja asimptotski zadržavaju oblik i brzinu

Dvosolitonsko rješenje brzo (već pri malim udaljenostima) konvergira linearnoj superpoziciji dva solitona

Pri proizvoljnim početnim uvjetima, osim solitonskih oblika koji putuju na desno, javljaju se i putujući valovi koji se šire na suprotnu stranu

Gausijan se raspada na dva solitona Nelinearni efekti su najizraženiji kada su solitoni

superimponirani