9

U ovoj glavi date su osnovne jednačine linearne teorije elastičnosti. Prvo su definisane sile

koje djeluju na čvrsto tijelo, a koje uzrokuju njegovo kretanje i deformaciju. Uveden je pojam

vektora napona i određeno je naponsko stanje u tački. Date su definicije pomjeranja i

deformacije (dilatacije i klizanja) kao kinematskih varijabli kojima se opisuje kretanje

materijalnog tijela. Potom su date konstitutivne jednačine za homogeno izotropno linearno

elastično tijelo koje predstavljaju matematski opis između deformacija tijela i napona koji ih

uzrokuju. Primjenom zakona o bilansu količine kretanja i momenta količine kretanja

izvedene su diferencijalne jednačine ravnoteže. Nasuprot diferencijalnim jednačinama

ravnoteže, problem teorije elastičnosti opisan je i integralnim jednačinama putem principa o

minimumu potencijalne energije sistema. Izvedena je i Castiglianova teorema kao specijalan

slučaj principa o minimumu potencijalne energije.

Pored trodimenzionalnih matematskih modela koji opisuju stanje deformacija i naprezanja

tijela za slučaj elastične deformacije, opisani su i dvodimenzionalni matematski modeli kao

specijalni slučajevi modela trodimenzionalne teorije elastičnosti. Na kraju su dati osnovni

principi problema matematskog modeliranja naprezanja u konstrukciji.

Matematski modeli linearne teorije elastičnosti

10

2.1 Vektor napona

Stanje kretanja ili mirovanja tijela određeno je dejstvom okoline (ili ostatka svijeta) na njega.

Dejstvo ostatka svijeta na tijelo može se predstaviti preko vanjskog opteredenja. Vanjsko

opteredenje na tijelo može djelovati po jedinici zapremine (mase) tijela (zapreminske sile kao

što su sila zemljine teže, magnetne sile, itd.) ili po jedinici površine (površinske sile kao što su

hidrostatske sile, sile usljed težine snijega, sile kojim jedno tijelo djeluje na drugo tijelo, itd.).

Prilikom matematskog modeliranja i predstavljanja stvarnog fizikalnog problema putem

modela ponekad se uticaj zapreminskih i površinskih sila zamjenjuje jednom koncentrisanom

silom koja je rezultanta zapreminskih ili površinskih sila.

Na slici 2.1(a) prikazano je čvrsto tijelo koje se pod dejstvom vanjskih sila nalazi u ravnoteži.

Ako se tijelo presiječe sa ravni A za analizu ravnoteže preostalog dijela tijela potrebno je u

ravni presjeka nanijeti unutrašnje sile koje predstavljaju uticaj odbačenog dijela tijela. Ove

unutrašnje sile zavise od položaja materijalne tačke na presjeku. Neka u malom dijelu

površine djeluje ukupna sila (glavni vektor sila) sa napadnom tačkom u tački O. Da bi

se definisalo naprezanje tijela u tački O u ravni A određenom vektorom vanjske normale n

uvodi se pojam vektor napona u tački O površi A (slika 2.1(b)) koji se definiše jednačinom

Na osnovu jednačine (2.1) očigledno je da je pravac vektora napona jednak pravcu glavnog

vektora. Vektor napona se obično razlaže na dvije komponente od kojih je jedna

komponenta normalna na ravan, dok druga leži u ravni. Komponenta vektora napona koja je

normalna na ravan glavnog vektora naziva se normalnim naponom u tački O u ravni A. Ovaj

napon označen je sa na slici 2.1(c). Komponenta vektora napona koja leži u ravni glavnog

(2.1)

Slika 2.1 Tijelo pod dejstvom sila (a), analiza sila na unutrašnjoj

površini tijela (b), i projekcije vektora napona (c)

P

a

o F1

F2

F3

Fi

(a)

A

(b)

F1

F2

f

P

n

A

O

(c)

F1

F2

t A n

O

11

vektora naziva se tangencijalnim naponom ili naponom smicanja u tački O u ravni A. Ovaj

napon označen je sa na slici 2.1(c).

Prema jednačini (2.1) vektor napona u materijalnoj tački u datom vremenskom trenutku

zavisi od vektora normale n površi u odnosu na koju je definisan. Za potpuno definisanje

napona u tački potrebno je poznavati vektore napona u toj tački za proizvoljnu ravan

definisanu vektorom vanjske normale n.

Primjenom statičkih jednačina ravnoteže sila koje djeluju na Cauchyjev infinitezimalno mali

tetraeder (slika 2.2), kojeg čine tri ravni paralelne koordinatnim ravnima i u kojima su poznati

vektori napona, može se odrediti vektor napona u proizvoljnoj ravni definisanoj jediničnim

vektorom normale n na osnovu sljededeg sistema jednačina:

Iz statičkih uslova ravnoteže momenata sila koje djeluju na tetraedru slijedi stav o

konjugovanosti tangencijalnih napona: . Dakle, za poznavanje

napona u tački u proizvoljnoj ravni dovoljno je poznavati šest komponentnih napona koji

djeluju u tri međusobno ortogonalne ravni:

. U oznaci komponentnih napona prvi indeks označava pravac koordinatne ose koji

se podudara sa vektorom normale ravni u kojoj djeluje napon, a drugi indeks označava

pravac napona. U slučaju označavanja normalnih napona dovoljan je jedan indeks tako da se

ovi naponi često označavaju i sa jednim indeksom: . U skladu sa uobičajenom

konvencijom normalni komponentni naponi su pozitivni ako djeluju u smjeru vanjske

normale na ravan (zatežudi napon).

Stanje napona u tački određeno komponentnim naponima u tri međusobno normalne ravni

može se prikazati u formi simetrične kvadratne matrice na sljededi način:

[

]

(2.3)

(2.2)

Slika 2.2 Cauchyjev tetraedar

t2

t3

t1

t n

O

x y

z

12

2.2 Glavni naponi

Na slici 2.3(a) prikazan je diferencijalno mali pravougaoni element na čijim stranicama

djeluju normalni i tangencijalni naponi. Radi preglednosti na slici su nacrtani samo naponi na

stranicama elementa u koordinatnim ravnima. Očigledno je da ovi naponi zavise od izbora

koordinatnog sistema, odnosno položaja koordinatnih ravni. Sa stanovišta proračuna

nosivosti konstrukcije važno je poznavati najvede normalne i tangencijalne napone u tački,

kao i ravni u kojima ovi naponi djeluju. Pomodu sistema jednačina (2.2), koji određuje napon

u proizvoljnoj ravni, mogu se odrediti ravni u kojima djeluju ekstremne vrijednosti normalnih

i tangencijalnih napona. Može se pokazati da u svakoj tački tijela postoje tri međusobno

normalne ravni u kojima su tangencijalni naponi jednaki nuli, dok normalni naponi u ovim

ravnima imaju ekstremnu vrijednost, slika 2.3(b). Ove ravni nazivaju se glavnim ravnima, a

pravci normala na ove ravni nazivaju se pravcima glavnih napona. Vrijednosti normalnih

napona u ovim ravnima nazivaju se glavnim normalnim naponima. Algebarski

najvedi (maksimalni) normalni napon označava se sa , dok se algebarski najmanji

(minimalni) normalni napon označava sa .

Može se pokazati da ekstremne vrijednosti tangencijalnih napona leže u ravnima

koje polove uglove između osa glavnih ravni. Za razliku od ravni glavnih normalnih napona, u

ravnima glavnih tangencijalnih napona u opštem slučaju djeluju i normalni naponi.

Pod dejstvom vanjskog opteredenja tijelo doživljava kretanje i deformacije. U narednom

poglavlju date su definicije pomjeranja i deformacija (dilatacija i klizanja) kao kinematskih

varijabli kojima se opisuje kretanje i deformacija materijalnog tijela.

Slika 2.3 Naponsko stanje u ravnima koordinatnih osa (a) i

naponsko stanje u glavnim ravnima (b)

(b)

1

O

(a)

O

13

2.3 Pomjeranja i deformacije

Pod dejstvom opteredenja čvrsto tijelo mijenja svoj položaj u prostoru i premješta se iz

nekog početnog (referentnog) u novi (ravnotežni) položaj, slika 2.4.

Da bi se odredio položaj tijela u prostoru potrebno je da se zna položaj svake materijalne

tačke tijela u odnosu na njenu početnu ili referentnu konfiguraciju. Razlika između vektora

položaja materijalne tačke tijela između dvije konfiguracije određuje vektor pomjeranja

materijalne tačke, slika 2.4.

Tijelo se može premiještati iz jednog u drugi materijalni položaj na način da se rastojanje

između njegovih materijalnih tačaka ne mijenja. U ovom slučaju tijelo doživljava translaciju

i/ili rotaciju kao kruto tijelo. U slučaju stanja kretanja ili mirovanja kada se međusobna

rastojanja materijalnih tačaka tijela mijenjaju tijelo je izloženo deformacji.

Da bi se opisala deformacija tijela u okolini tačke O posmatra se mali pravougaoni element

prakazan na slici 2.5(a). Neka je vektor pomjeranja određen sa tri komponente pomjeranja

koje odgovaraju pravcima tri koordinatne ose i koje su diferencijabilne funkcije

položaja materijalnih tačaka tijela (prije deformacije). Za analizu deformacija u tački O

posmatra se linijski element OA (slika 2.5(a)) koji leži u pravcu ose prije deformacije, i koji

nakon deformacije zauzima položaj O'A' (slika 2.5(b)).

Sa stanovišta deformacija bitno je izduženje vlakna OA po jedinici njegove dužine. Izduženje

vlakna OA u pravcu ose jednako je razlici pomjeranja tačaka A i O: (slika

(2.5(b)). Pomjeranje tačke A u pravcu ose može se izraziti razvojem funkcije

u Tejlorov red u okolini tačke O: (

)

(

) . Prema

Slika 2.4 Početna (nedeformisana) i tekuda (deformisana)

konfiguracija tijela

materijalnog tijela.

u O

P

O’

P’

r’ r

ds dS

14

definiciji, dilatacija u tački O u pravcu ose predstavlja graničnu vrijednost izduženja vlakna

po jedinici dužine:

Na isti način dobijaju se dilatacije u pravcu ostale dvije koordinatne ose:

Iz definicije dilatacije očigledno je da je dilatacija pozitivna ako se linijski element isteže,

odnosno negativna ako se skraduje.

Za kompletan opis deformacije u tački interesantna je promjena ugla između elemenata OA i

OB. Granična vrijednost promjene ugla između elemenata OA i OB

naziva se klizanje i na osnovu slike 2.5(b) slijedi:

(2.4)

(2.5)

(

)

(

)

(2.6)

C

Slika 2.5 Mali pravougaoni element u okolini tačke O (a) i

deformacije u okolini tačke O u ravni (b)

(a) (b)

A

O B

A

O

B

A'

O’

B'

15

Na isti način određuju se klizanja za pravce OA i OC, odnosno OB i OC:

Šest mjera deformacije, tri dilatacije koje su mjera promjene zapremine tijela i tri

klizanja , koje su mjera promjene oblika tijela nazivaju se komponentnim

deformacijama u tački. Može se pokazati da je mogude na osnovu poznatih komponentnih

deformacija u tački za tri ortogonalna pravca izračunati dilataciju u toj tački u bilo kom

pravcu (slika 2.6(a)) i klizanje (promjenu ugla) između bilo koja dva pravca (slika 2.6(b)), što

znači da je sa šest komponentnih deformacija potpuno određeno stanje deformacija u tački.

Za analizu deformacija važno je znati pravce i vrijednosti ekstremnih dilatacija u tački. Može

se pokazati da u svakoj tački tijela postoje tri međusobno ortogonalna pravca koja i poslije

deformacije ostaju međusobno upravni i da dilatacije u ovim pravcima imaju ekstremne

vrijednosti. Dilatacije u ovim pravcima nazivaju se glavnim dilatacijama , od kojih je

algebarski najveda dilatacija u tački, a algebarski najmanja dilatacija u tački. Obzirom da

pravci glavnih dilatacija ostaju tokom deformacije međusobno upravni znači da je klizanje

između ovih pravaca jednako nuli. Odsustvo klizanja također znači da mali pravougaoni

element čije se tri ivice podudaraju sa tri pravca glavnih dilatacija tokom deformacije mijenja

zapreminu, ali ne i oblik. Za slučaj izotropnog materijala pravci glavnih dilatacija se

podudaraju sa pravcima glavnih napone, što je razumljivo jer je ranije zaključeno da su u

ravnima dejstva glavnih napona tangencijalni naponi jednaki nuli.

Jednačine (2.4) do (2.7) omoguduju da se na osnovu poznatog polja pomjeranja u tijelu,

određenog sa tri komponente vektora pomjeranja u svakoj tački, diferenciranjem

komponenti pomjeranja izračunaju šest komponenti deformacija. U slučaju da je poznato

(2.7)

O

O

Slika 2.6 Pravac koji određuje dilataciju u tački O (a) i dva

međusobno upravna pravca i koja određuju klizanje u

tački O (b)

(a) (b)

16

polje deformacija u svakoj tački tijela, problem određivanja tri komponente pomjeranja

svodi se na integraciju sistema od šest parcijalnih diferencijalnih jednačina (2.4) do (2.7).

Obzirom da je na raspolaganju šest diferencijalnih jednačina iz kojih treba odrediti tri

komponente pomjeranja, komponentne deformacije nije mogude proizvoljno zadati, ved

moraju biti ispunjeni uslovi integrabilnosti totalnog diferencijala funkcije pomjeranja.

Potreban i dovolja uslov da bi jednačine (2.4) do (2.7) bile integrabilne je da komponentne

deformacije zadovolje uslove kompatibilnosti (uslove poklapanja deformacija) date

sistemom od šest diferencijalnih jednačina:

Deformacije i pomjeranja tijela su rezultat djelovanja vanjskog opteredenja, odnosno napona

koji se javljaju u tijelu usljed djelovanja opteredenja. Tijela napravljena od različitih vrsta

materijala sa jednakom geometrijom izložena jednakim naponima, odnosno silama, doživjet

de različite deformacije što zavisi od građe (konstitucije) tijela. Matematske relacije između

napona i deformacija tijela zavise od građe (konstitucije) tijela i nazivaju se konstitutivnim

jednačinama. U narednom poglavlju date su konstitutivne jednačine za slučaj linearne veze

između napona i deformacija.

2.4 Konstitutivne jednačine za linearno elastično tijelo

U ovom poglavlju bide opisane konstitutivne jednačine koje opisuju makroskopsko ponašanje

materijala pod dejstvom opteredenja u vidu matematskih relacije između statičkih i

kinematskih varijabli. Uspjeh matematskog modela, koji treba da opiše ponašanje

(

)

(

)

(

)

(2.8)

17

određenog tijela ili konstrukcije pod dejsvom opteredenja zavisi i od konstitutivne relacije

koja se koristi. Ponašanje čvrstih materijala pod dejstvom opteredenja u širokom dijapazonu

temperatura i deformacija ili brzina deformacija je vrlo kompleksno. Zato nije mogude

napisati jedinstvenu konstitutivnu relaciju koja bi tačno opisala ponašanje realnih materijala

u funkciji širokog spektra uticajnih varijabli. Kada bi takva konstitutivna relacija postojala

ona, pored što treba da što realnije opiše ponašanje određenog materijala, ne smije da bude

komplikovana sa stanovišta matematskog aparata koji se koristi u matematskom modelu.

Umjesto traženja jedne univerzalne konstitutivne relacije koja bi obuhvatila širok dijapazon

uticajnih varijabli kao što su temperatura, deformacije ili brzina deformacija, izabira se

parcijalan pristup. Uspostavljaju se konstitutivne relacije koje treba da opišu ponašanje

takozvanog idealnog materijala, koji ima za cilj da što realnije opiše fizikalno ponašanje

određenog materijala u jednom ograničenom dijapazonu uticajnih varijabli. Naprimjer,

razlikuju se idealno elastično tijelo, viskoelastično, plastično ili viskoplastično čvrsto tijelo,

odnosno klasične konstitutivne jednačine elastičnosti, viskoelastičnosti, plastičnosti ili

viskoplastičnosti.

Konstitutivne jednačine koje definišu homogeno i izotropno linearno elastično tijelo spadaju

među matematski najjednostavnije jednačine. S druge strane, ove jednačine veoma dobro

opisuju ponašanja mnogih realnih materijala u širokom rasponu uticajnih varijabli, kao što

su, naprimjer, temperatura ili brzina deformacije. Materijali kao što su metal, drvo, plastika,

keramika, kamen ili beton pokazuju linearno elastično ponašanje za slučaj malih pomjeranja,

dilatacija i klazanja. Osnova za definiciju ovog tijela je linearna veza između napona i

dilatacija za slučaj jednoosnog naponskog stanja, poznatija kao Hookeov zakon. Ova veza

određuje se eksperimentalno. Na slici 2.7(a) prikazan je jedan od eksperimentalnih načina

određivanja mehaničkih karakteristika materijala, odnosno veze između napona i

deformacija.

Epruveta se čvrsto veže na krajevima i izlaže istezanju ili sabijanju. Pored sile intenziteta

koja se zadaje na krajevima epruvete, mjeri se i izduženje (deformacije) epruvete na

dovoljnoj udaljenosti od krajeva epruvete na dijelu sa homogenom deformacijom dužine .

Na ovom dijelu epruvete vlada jedoosno naponsko stanje. Uvodi se nominalni ili inžinjerski

napona:

, gdje je poprečni presjek epruvete prije deformacije. Na dijelu epruvete

sa homogenom deformacijom, svaki mali pravougaoni element (slika 2.7(b)) doživljava

dilataciju u pravcu dejstva sile (napona)

, gdje je izduženje epruvete na dužini .

Tipičan dijagram dobijen mjerenjem, koji daje vezu između dilatacije i napona, prikazan je

na slici 2.7(d). Linearna veza između dilatacije i napona na slici 2.7(d) koja vrijedi za slučaj

elastične deformacije epruvete predstavlja se linearnom jednačinom

(2.9)

18

gdje je modul elastičnosti ili Youngov modul. Karakteristične vrijednosti modula

elastičnosti su za čelik , za drvo , ili za neke gume

.

Prilikom istezanja epruvete njezin poprečni presjek de se smanjiti kao rezultat bočne

kontrakcije epruvete. Mali pravougaoni element isječen iz epruvete (slika 2.7(b)) dužine

u pravcu ose imat de nakon deformacije dužinu ' što ima za posljedicu dilataciju

. Eksperimentalno se utvrđuje zavisnost dilatacije u bočnom pravcu tijela u

funkciji dilatacije u podužnom pravcu:

gdje je koeficijent bočne kontrakcije ili Poissonov koeficijent. Znak minus u jednačini (2.10)

znači da pozitivna dilatacija (izduženje) u jednom pravcu izaziva negativnu dilataciju

(skradenje) u lateralnom pravcu, i obratno. U slučaju izotropnog tijela kao rezultat djelovanja

napona u jednom pravcu i pojave dilatacije u pravcu napona, javljaju se u svim pravcima

Slika 2.7 Eksperimentalno određivanje mehaničkih karakteristika

materijala (a), mali pravougaoni element isječen iz epruvete (b),

naponsko stanje i deformacija elementa (c), i dijagram (d)

(a)

(b) (c)

(d)

(2.10)

19

normalnim na pravac napona dilatacije jednakih vrijednosti, tako da i za dilataciju

pravougaonog elementa u pravcu ose vrijedi

Poissonov koeficijent je mehanička karakteristika materijala koji se utvrđuje mjerenjem. Za

uobičajene materijale ima vrijednost između 0 i 0.5. Karakteristične vrijednosti Poissonovog

koeficijenta za elastičnu deformaciju su za pluto za vedinu metala , i za

gumu .

U svakoj tački napregnutog tijela u opštem slučaju vlada troosno stanje napona, odnosno u

opštem slučaju potrebno je nadi vezu između šest komponentnih napona

i šest komponentnih deformacija . Postavlja

se problem kako na osnovu eksperimenta za slučaj jednoosnog naponskog stanja

(Hookeovog zakona) odrediti vezu između komponentnih napona i deformacija za

proizvoljno stanje napona. U poglavlju 2.2 napisano je da za proizvoljno stanje napona u

tački postoje uvijek tri međusobno normalne ravni, tzv. ravni glavnih napona, u kojima

djeluju samo normalni naponi, dok su komponente smičudih napona jednake nuli, slika

2.3(b). Pretpostavit de se da se pravci glavnih dilatacija poklapaju sa pravcima glavnih

napona i da su dilatacije koje izaziva jedan od glavnih napona nezavisne od druga dva glavna

napona. Dilatacija u pravcu (1) jednaka je zbiru dilatacije usljed dejstva normalnog napona

i dilatacija usljed bočne kontrakcije kao rezultat djelovanja napona i ,

.

Na isti način slijede i dilatacije za ostala dva pravca glavnih napon:

.

U gornjim jednačinama mogude je napone i dilatacije izraziti preko komponentnih napona i

deformacija definisanih u proizvoljno orijentisanom pravouglom koordinatnom sistemu

koristedi jednačine za transformaciju napona (jednačine 2.2) i dilatacija, odakle slijede

konstitutivne relacije za homogeno i izotropno linearno elastično tijelo

(2.11)

[ ] (2.12)

[ ]

[ ]

(2.13)

(2.14)

20

gdje se modul klizanja izražava u funkciji modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta,

.

Jednačine (2.15) predstavljaju generalisani Hookeov zakon za izotropno linearno elastično

tijelo za slučaj proizvoljnog stanja napona u tački prema kome su komponentne dilatacije i

klizanja linearne funkcije komponentnih napona, i za određivanje ove veze potrebno je znati

dvije mehaničke karakteristike materijala - modul elastičnosti i Poissonov koeficijent. Iz ovih

jednačina može se zaključiti da su komponentne dilatacije rezultat djelovanja normalnih

napona, dok klizanja uzrokuju samo naponi smicanja.

Iz sistema jednačina (2.15) mogude je jednostavno izraziti komponentne napone u funkciji

komponentnih dilatacija:

gdje su

Lam ́ovi parametri.

U slučaju ravnoteže tijela, površinske i zapreminske sile moraju zadovoljiti statičke jednačine

ravnoteže. Ove jednačine moraju biti zadovoljene za cijelo tijelo ali i za bilo koji dio tog tijela.

U narednom poglavlju analizirat de se ravnoteža diferencijalno malog elementa koji pripada

tijelu, gdje raspored napona na stranama elementa također mora zadovoljiti statičke uslove

ravnoteže.

[ ( )]

[ ]

[ ( )]

(2.15)

( )

( )

( )

(2.16)

21

2. 5 Diferencijalne jednačine ravnoteže

Neka se mali pravougaoni element isječen iz tijela nalazi u ravnoteži pod dejstvom

površinskih i zapreminskih sila, slika 2.8. Na slici su radi preglednosti nacrtani samo

komponentni naponi na površini elementa koji djeluju u pravcu ose. Iz statičkog uslova

ravnoteže slijedi da je suma svih sila u pravcu ose jednaka nuli:

gdje je komponenta zapreminske sile po jedinici zapremine u pravcu ose. Dijeljenjem

jednačine (2.17) sa zapreminom i traženjem graničnih vrijednosti veličina za slučaj

dobija se diferencijalna jednačina ravnoteže u pravcu u tački O

(prva od tri diferencijalne jednačine ravnoteže u sistemu jednačina (2.18)).

Ponavljanjem postupka i postavljanjem statičkih jednačina ravnoteže za sistem sila koje

djeluju u pravcu i ose dobijaju se posljednje dvije diferencijalne jednačine ravnoteže u

tački O u sistemu jednačina (2.18).

(

)

(2.17)

(2.18)

A

O

Slika 2.8 Komponentni naponi na stranama paralelopipeda koji

djeluju u pravcu ose

22

Za tijelo u ravnoteži raspored napona u tijelu mora biti takav da je zadovoljen sistem

jednačina (2.18) u svakoj tački tijela, kao i granični uslovi na površini tijela, gdje je veza

između napona i površinskih sila određena sistemom jednačina (2.2) gdje je vektor t na slici

2.3 zadan kao granični uslov.

Sistem od tri diferencijalne jednačine (2.18) sadrži šest komponentnih napona tako da je

problem statički neodređen. Na raspolaganju su pored tri jednačine ravnoteže (2.18) i šest

konstitutivnih jednačina (2.16), koje daju vezu između napona i dilatacija i klizanja, šest

jednačina (2.4) – (2.7) koje daju veze između šest komponentnih dilatacija i klizanja, što

ukupno čini sistem od 15 diferencijalnih jednačina sa 15 nepoznatih varijabli od kojih su tri

komponente pomjeranja , šest komponentnih deformacija , i

šest komponentnih napona .

Zadatak određivanja napona i deformacija u linearno elastičnom tijelu za slučaj malih

pomjeranja i deformacija može se pojednostaviti na način da se komponentni naponi i

dilatacije izraze preko tri komponente vektora pomjeranja tako da se problem svodi na

rješavanje sistema od tri linearne diferencijalne jednačine drugog reda sa tri nepoznate

komponente vektora pomjeranja:

Na sličan način problem se mogao opisati i sa šest linearnih diferencijalnih jednačina drugog

reda u kojima su osnovne nepoznate varijable šest komponentnih napona.

Problem teorije elastičnosti opisan je matematičkom formulacijom u obliku diferencijalnih

jednačina kao problem graničnih vrijednosti. Alternativni pristup u matematičkom opisu

problema teorije elastičnosti koji vodi do identičnog rješenja kao formulacija putem

diferencijalnih jednačina je varijaciona formulacija, odnosno principi o energiji, o čemu de

biti riječi u narednom poglavlju.

*

(

)+

*

(

)+

*

(

)+

(2.19)

23

2. 6 Principi o deformacionoj energiji

U ovom poglavlju objašnjena je Castiglianova teorema, a potom princip o minimumu ukupne

potencijalne energije sistema kao specijalan slučaj principa o virtualnom radu.

2. 6.1 Castiglianova teorema

Prema zakonu o održanju energije rad spoljašnjih sila koje djeluju na tijelo jednak je

promjeni toplotne, kinetičke i potencijalne energije deformacije (deformacionog rada) u

tijelu. Kinetička energija tijela može se zanemariti u slučaju statičkog opteredenja tijela gdje

se sile povedaju postepeno tako da se inercijski efekti mogu zanemariti. U slučaju statičkog

opteredenja i deformacije gdje se toplotna enegija ne mijenja, rad spoljašnjih sila jednak

je potencijalnoj energiji deformacije ili deformacionom radu.

Na slici 2.9(a) prikazana je opruga koja se nalazi u ravnoteži pod dejstvom sile intenziteta .

Usljed dejstva sile, opruga je doživjela istezanje tako da se napadna tačka sile pomjerila u

pravcu sile za vrijednost . Na slici 2.9(b) prikazan je dijagram izduženja opruge u funkciji

intenziteta sile koja djeluje na oprugu. Veza između izduženja opruge i intenziteta sile koja

djeluje na opruzi zavisi od materijala i geometrije opruge i karakteristika je opruge. Za slučaj

linearne veze između izduženja opruge i intenziteta sile vrijedi jednakost , gdje je

krutost opruge. U slučaju „statičkog“ opteredenja opruge intenzitet sile raste od nule do

konačne vrijednosti , kojoj odgovara pomjeranje napadne tačke sile za konačnu vrijednost

F

u

Slika 2.9 Linearna opruga napregnuta na istezanje (a) i dijagram

sile u funkciji izduženja opruge (b)

F

(a) (b)

24

. Sila vrši rad tokom opteredivanja opruge ∫

, koji može biti predstavljen

površinom (trougla) na slici 2.9(b). Ako se poveda intezitet sile (nakon što je opruga

pod dejstvom ove sile bila u ravnotežnom stanju) za vrijednost deside se dodatno

ukupno izduženje opruge za vrijednost . Usljed pomjeranja napadne tačke sile za sila

inteziteta izvršit de dodatni rad koji se može predstaviti površinom na slici

2.9(b). Rad takođe vrši i sila intenziteta na pomjeranju ,

, koji se može

predstaviti površinom na slici 2.9(b). Ukupan rad usljed povedanja intenziteta sile za

vrijednost iznosi

Neka se elastično tijelo prikazano na slici 2.10 nalazi u stanju ravnoteže pod dejstvom

proizvoljnog broja sila . Neka su veličine pomjeranja napadnih tačaka sila u

pravcu odgovarajudih sila jednaka . Rad spoljašnjih sila koje djeluju na tijelo

pretvoren je u potencijalnu energiju deformacije u tijelu, to jest, . Iz posljednjeg

izraza slijedi da se potencijalna energija deformacije može izraziti kao funkcija spoljašnjih

sila, . Za slučaj jednoznačne veze između opteredenja i deformacija,

potencijalna energija deformacije može se izraziti i kao funkcija deformacija, odnosno

pomjeranja, .

Neka tačka napadne sile doživi malo pomjeranja u pravcu ove sile usljed malog

povedanja sile , dok su napadne tačke ostalih sila koje djeluju na tijelo zadržane

nepokretnim. Usljed dejstva sile povedat de se potencijalna energija deformacije u tijelu

za koja de biti jednaka radu spoljašnjih sila usljed dejstva sile . Obzirom da su

napadne tačke ostalih sila zadržane nepokretnim rad spoljašnjih sila bide jednak zbiru rada

sile na pomjeranju , , i rada sile na pomjeranju ,

, (vidjeti izraz (2.20)):

(2.20)

Slika 2.10 Elastično tijelo u ravnoteži

a

o F1

F2

Fi

Fn

25

Djeljenjem jednačine (2.21) sa pomjeranjem , granična vrijednost veličine za

slučaj kada predstavlja parcijalni izvod potencijalne energije deformacije po

pomjeranju, dok drugi član u jednačini (2.21) teži nuli, tako da slijedi:

Izraz (2.22) predstavlja prvu Castiglianovu teoremu prema kojoj u elastično deformisanom

tijelu ili konstrukciji u stanju ravnoteže parcijalni izvod potencijalne energije deformacije u

elastičnom tijelu ili konstrukciji u tački po pomjeranju te tačke jednak je intezitetu sile u tački

u pravcu pomjeranja. Jednačina (2.22) predstavlja sistem od jednačina obzirom da je

. Da bi jednačina (2.22) bila primjenjiva potrebno je da potencijalna energija

deformacije bude izražena u funkciji pomjeranja . U slučaju dejstva

koncentrisanih spregova sila, jednačina (2.22) može se generalisati tako da je umjesto sile

moment sprega sila, a umjesto pomjeranja ugao rotacije oko ose normalne na ravan

dejstva sprega sila kroz tačku u smjeru rotacije sprega sila.

Da bi se potencijalna energija deformacije izrazila kao funkcija napona i deformacija u tijelu

analizirat de se prvo diferencijalno mali pravougaoni element pod dejstvom konstantnog

napona prikazan na slici 2.11(a). Usljed dejstva napona element je doživio dilataciju .

Kao razultat dilatacije element je doživio izduženje , odnosno pod pretpostavkom

linearne veze između napona i dilatacija sila čiji intenzitet je rastao od nule do

konačne vrijednosti vršila je rad na putu :

(2.21)

(2.22)

(a)

Slika 2.11 Diferencijalno mali element pod dejstvom normalnog

napona (a) i deformacija usljed dejstva smičudeg napona (b)

(b)

(2.23)

26

Na slici 2.11(b) prikazan je diferencijalno mali pravougaoni element pod dejstvom

konstantnog smičudeg napona čija vrijednost je tokom deformacije rasla od nule do konačne

vrijednsoti . Usljed dejstva napona element je doživio konačno klizanje . Kao

razultat klizanja sila vršila je rad na putu :

Na osnovu prethodnih rezultata, za slučaj kada na diferencijalno mali pravougaoni element

djeluju svih šest komponentnih napona potencijalna energija deformacije za diferencijalno

mali element jednaka je

odnosno potencijalna energija deformacije za tijelo zapremine jednaka je

Izraz (2.26) izveden je pod pretpostavkom o konstantnom naponu na elementu i bez

prisustva zapreminskih sila. Može se pokazati da se dobije isti izraz i za slučaj promjenjivih

napona i uz prisustvo zapreminskih sila.

Primjenom konstitutivne relacije, naponi u jednačini (2.26) se mogu izraziti u funkciji

dilatacija i klizanja. Dilatacije su funkcije komponenti vektora pomjeranja tako da se

potencijalna energija deformacije može izraziti u funkciji pomjeranja čime je pogodna za

primjenu jednačine (2.22).

U narednoj glavi bide pokazano kako se Castiglianova teorema može iskoristiti kao veoma

efikasan alat za rješavanje statički neodređenih problema.

2.6.2 Princip o minimumu ukupne potencijalne energije sistema

Neka se pod sistemom podrazumijeva tijelo ili konstrukcija zajedno sa opteredenjem koje

djeluje na njih. Ukupna potencijalna energija sistema definiše se kao zbir potencijalne

(2.24)

( ) (2.25)

∫( )

(2.26)

27

energije deformacije elastičnog tijela (deformacionog rada) i potencijala vanjskog

opteredenja ,

odnosno na osnovu izraza (2.26) je

,

gdje je zapremina tijela ograničena površinom , a dva posljednja integrala u jednačini

predstavljaju potencijalnu energiju (potencijal) vanjskog opteredenja usljed zapreminskih i

površinskih sila ( su komponente vektora zapreminskih sila, a su

komponente vektora površinskih sila). U slučaju da na tijelo djeluju koncentrisane sile

(slika 2.10) potencijal vanjskog opteredenja usljed koncentrisanih sila jednak je

sumi proizvoda intenziteta sile i pomjeranja napadne tačke sile u pravcu sile, ∑ .

Ako na tijelo djeluju koncentrisani spregovi momentima spregova sila

potencijal vanjskog opteredenja usljed koncentrisanih spregova sila jednak je sumi proizvoda

momenta sprega sila i uglova zaokretanja u smjeru dejstva sprega sila, ∑ .

Može se pokazati primjenom principa virtualnih pomjeranja (virtualnog rada) da u

(stabilnom) ravnotežnom položaju ukupna potencijalna energija sistema ima minimalnu

vrijednost, odnosno da od svih mogudih konfiguracija deformabilnog tijela koje zadovoljavaju

zadate granične uslove, konfiguracija koja zadovoljava jednačine ravnoteže ima minimalnu

vrijednost ukupne potencijalne energije sistema. Dakle, treba nadi one vrijednosti vektora

pomjeranja, saglasne datim graničnim uslovima, za koje izraz integralnog tipa (2.28) ima

ekstremnu vrijednost, što je osnovni problem varijacionog računa, to jest, P predstavlja

funkcional. Time je problem teorije elastičnosti sveden na varijacionu fomulaciju.

Primjer 2.1

Potrebno je izračunati izraz za ukupnu potencijalnu energiju sitema koji se sastoji od

aksijalno opteredenog prizmatičnog štapa dužine , površine poprečnog presjeka

, i sile intenziteta . Materijal štapa je linearno elastičan, modula

(2.27)

∫( )

∫( )

∫( )

(2.28)

28

elastičnosti . Sila F djeluje na štap preko krute ploče, a veze štapa

osiguravaju da je štap uniformno optereden po poprečnom presjeku.

Na osnovu izraza (2.26) izraz za potencijalnu energiju deformacije štapa je

∫

Za slučaj linearno elastičnog štapa , potencijalna energija

deformacije je

gdje je korištena jednakost . Pod pretpostavkom da se komponenta vektora

pomjeranja u pravcu ose mijenja linearno sa koordinatom, na osnovu jednačine (2.4)

slijedi

, gdje je pomjeranje tačaka poprečnog presjeka štapa na kraju štapa na

kojem djeluje sila. Uvrštavanjem posljednjeg izraza u jednačinu (2.29) slijedi:

(2.29)

∫

∫(

)

(2.30)

Slika 2.12 Aksijalno opteredeni prizmatični štap. Krugovi

predstavljaju simbole veze koja spriječava kretanje štapa u pravcu

normalnom na ravan u kojem se nalaze krugovi, dok dozvoljavaju

bočne kontrakcije štapa.

F

A

29

Obzirom da je potencijal vanjskog opteredenja , ukupna potencijalna energija

sistema je

odakle se vidi da je ukupna potencijalna energija sistema kvadratna funkcija pomjeranja

kraja štapa. Na slici 2.13 nacrtana je promjena ukupne potencijalne energije sistema u

funkciji pomjeranja kraja štapa za numeričke podatke date u primjeru.

Minimum potencijalne energije sitema prikazane na slici 2.13 slijedi iz sljedede jednačine:

Iz jednačine (2.32) dobija se dobro poznati izraz za izduženje aksijalno napregnutog štapa

(2.31)

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0.002 0.004 0.006

P (

Nm

)

uA (m)

Slika 2.13 Promjena potencijalne energije sistema sa pomjeranjem

kraja štapa

(2.32)

(2.33)

30

odakle uvrštavanjem numeričkih vrijednosti veličina datih u primjeru slijedi .

Formulacije teorije elastičnosti pomodu diferencijalnih jednačina i pomodu funkcionala su

ekvivalentne. Bitno je primijetiti da varijaciona formulacija ima oblik integralne forme u kojoj

figurišu izvodi nepoznate funkcije nižeg reda od izvoda u odgovarajudoj diferencijalnoj

formulaciji, što ima za posljedicu niz prednosti pri numeričkom rješavanju problema.

Formulacija teorije elastičnosti pomodu funkcionala je i dalje teško rješiv problem zato se

pristupa numeričkom rješavanju problema na način da se nađe polje pomjeranja

materijalnih tačaka deformabilnog tijela koje zadovoljava granične uslove i koje minimizira

ukupnu potencijalnu energiju sistema. Primjena principa o minimumu potencijalne energije

sistema bide u okviru formulacije metode konačnih elemenata objašnjena u narednim

glavama.

Castiglianova teorema, koja je izvedena u prethodnom poglavlju, može se vidjeti i kao

specijalan slučaj principa o minimumu potencijalne energije, a prema tome i principa

virtualnog rada. Neka se potencijalna energija deformacije tijela može izraziti i kao funkcija

deformacija, odnosno pomjeranja, . Ukupna potencijalna energija

sistema je na osnovu (2.27)

dok princip o minimumu ukupne potencijalne energije sistema zahtijeva:

odnosno,

Na osnovu izraza (2.36) imajudi u vidu izraz (2.34) slijedi:

što je jednako izrazu (2.22).

Mada je problem određivanja napona i deformacija u tijelu određen putem diferencijalne ili

integralne forme prikazane u prethodnom tekstu postoji samo ograničen broj analitičkih

∑

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

31

rješenja ovih jednačina. Analitička rješenja ovih jednačina odnose se na prostiju geometriju

tijela, odnosno granične uslove, često sa aproksimacijama sistema jednačina koji se rješava.

Iz tog razloga problem trodimenzionalne elastičnosti se uvijek, kada to priroda problema

dozvoljava, svodi na problem dvodimenzionalne ili jednodimenzionalne elastičnosti. U

narednom poglavlju dati su matematski modeli za probleme dvodimenzionalne elastičnosti.

2.7 Matematski modeli dvodimenzionalne elastičnosti

Osnovni modeli kojima se aproksimira trodimenzionalni matematski model sa

dvodimenzionalnim modelima su model ravnog naponskog, ravnog deformacionog stanja i

osnosimetričan problem.

2.7.1 Ravno naponsko stanje

Neka trodimenzionalno tijelo prikazano na slici 2.14 ima dimenziju u pravcu ose znatno

manju nego dimenzije u pravcu ostale dvije ose. Ako je tijelo opteredeno samo sa silama koje

djeluju u ravni i koje su ravnomjerno raspoređene u pravcu ose može se smatrati da su

svi komponentni naponi u pravcu ose jednaki nuli, . Također se

pretpostavlja da se preostala tri komponentna napona ne mijenjaju u pravcu

ose i dovoljno je analizirati stanje napona i deformacija na geometrijskom domenu tijela u

ravni .

Na osnovu trede, pete i šeste jednačine u sistemu konstitutivnih jednačina (2.16) imajudi u

vidu komponentne napone koji su jednaki nuli komponentne dilatacije su:

O

Slika 2.14 Primjer ravnog naponskog

stanja u čvrstom tijelu

( )

(2.38)

32

Za slučaj ravnog naponskog stanja konstitutivne jednačine (2.16) mogu se pisati u sljededem

(matričnom) zapisu:

2.7.2 Ravno deformaciono stanje

Kao primjer trodimenzionalnog problema koji se aproksimira dvodimenzionalnim modelom

može poslužiti duga brana prikazana na slici 2.15. Ako se poprečni presjek brane ne mijenja

značajno, i ako na branu djeluju površinske i zapreminske sile koje se ne mijenjaju u pravcu

ose i nemaju komponente u pravcu ove ose, može se pretpostaviti da polje pomjeranja ne

zavisi od koordinate i da vrijedi , to jest, svi poprečni

presjeci brane normalni na osu imaju identično polje pomjeranja. Ovakva deformacija se

naziva ravno deformaciono stanje, i vrijede izrazi:

Na ovaj način je za analizu napona i deformacija trodimenzionalnog problema brane

dovoljno analizirati samo stanje napona i deformacija u ravni na geometrijskom domenu

poprečnog presjeka brane.

[

]

[

] [

]

(2.39)

Slika 2.15 Primjer ravnog deformacionog

stanja u čvrstom tijelu

O

(2.40)

33

Imajudi u vidu jednačine (2.35) konstitutivne jednačine (2.16) mogu se pisati za slučaj ravnog

deformacionog stanja u sljededem obliku:

dok je napon ( ).

2.7.3 Osnosimetričan problem

U slučaju analize trodimenzionalnog problema gdje geometrija, materijal, opteredenje i

granični uslovi imaju istu osu simetrije, problem određivanja napona i deformacija je mogude

pojednostaviti koristedi cilidrični koordinatni sistem. Na slici 2.16 prikazan je primjer

osnosimetričnog problema homogenog cilindra.

Konstitutivne relacije za slučaj cilindričnog koordinatnog sistema imaju isti oblik kao

jednačine (2.16) za slučaj Descarteovog koordinatnog sistema s tim što se koordinate

zamjenjuju koordinatama , dok za komponentne deformacije u cilindričnom

koordinatnom sistemu vrijede sljededi izrazi:

[

] [

] [

],

(2.41)

Slika 2.16 Primjer osnosimetričnog problema (a) i cilindrični

koordinatni sistem i komponentni naponi u cilindričnom

koordinatnom sistemu (b)

O

(a) (b)

34

Za slučaj osnosimetričnog problema , kinematske i statičke veličine ne zavise od

koordinate tako da za komponentne deformacije na osnovu jednačina (2.42) vrijedi:

dok se konstitutivne relacije mogu pisati u sljededem obliku:

2.8 Matematsko modeliranje naprezanja u konstrukciji

Najvažniji dio u inžinjerskoj analizi je izbor odgovarajudeg matematskog modela kojim se

opisuje određena fizikalna pojava. U slučaju previše kompleksnog modela, mogu se očekivati

(

)

(2.42)

(2.43)

[

] [

] [

]

(2.44)

35

tačniji rezultati proračuna uz vedi utrošak vremena i drugih resursa. Previše jednostavan

model može dovesti do loše procjene ponašanja stvarne fizikalne pojave. Zato je ključno za

potpun uspjeh definisati odgovarajudi matematski model, kao i procijeniti kvalitet rješenja.

Važan korak u ovoj analizi je numeričko rješavanje sistema diferencijalnih ili integralnih

jednačina kojim matematski model opisuje stvarni fizikalni problem. Međutim, u slučaju

neuspjeha da dobijeni rezultat odgovara stvarnom ponašanju sistema, veoma je važno znati

da odgovornost ne leži na numeričkoj metodi, ved na lošem ili manjkavom matematskom

modelu koji nije uzeo u obzir sve bitne elemente za opis fizikalne pojave.

Matematski model koji treba da opiše stanje napona i deformacija u konstrukciji pod

opteredenjem obuhvata matematske jednačine koje opisuju polje napona i deformacija

uključujudi konstitutivne relacije, kinematske relacije između deformacija i komponenti

vektora pomjeranja, i početne i granične uslove. Niz pitanja se pojavljuje na početku

modeliranja: da li analizirati problem kao statički ili dinamički, da li se radi o malim ili velikim

deformacijama, kojom konstitutivnom relacijom opisati ponašanje materijala, itd. Veoma je

važno znati uslove i granice primjenjivosti određene teorije (teorije elastičnosti, plastičnosti,

viskoplastičnosti, itd.) koja treba da opiše ponašanje određenog tijela ili konstrukcije pod

dejstvom opteredenja. Naprimjer, kada je riječ o jednačinama teorije elastičnosti ved je

rečeno da postoji konsenzus da one realno opisuju fizikalni problem. Za slučaj linearno

elastičnog tijela konstitutivne relacije sasvim dobro opisuju vezu između napona i dilatacija i

klizanja za slučaj trodimenzionalnog naponskog stanja. S druge strane, ako se neka ramovska

konstrukcija želi modelirati diskretizacijom pomodu greda, važno je znati da teorija grede ne

može da prepozna koncentraciju napona, i da takav matematski model ne može u rješenju

dati više informacija nego što ih osigurava ova teorija.

Svaka od pomenutih teorija (elastičnosti, plastičnosti,...) bazirana je na sopstvenim

matematskim modelima. Prilikom korištenja određenog softverskog paketa za proračun

napona i deformacija važno je znati koji su standardni matematski modeli zasnovani na nekoj

teoriji uključeni u softver koji uz primjenu numeričke metode rješava matematski model. Da

bi neka fizikalna pojava bila modelirana, jednačine matematskog modela moraju da opišu tu

pojavu. Na slici 2.17(a) prikazane su pukotine u uzorku drveta izloženog sušenju. Da bi

matematski model opisao stanje napona u drvetu izloženom sušenju potrebno je znati

temperaturno polje i polje koncentracije vlage u drvetu. Da bi se izračunala temperature u

drvetu, matematski model mora da uključi jednačinu o održanju toplotne energije,

konstitutivnu relaciju koja daje vezu između toplotnog fluksa i gradijenta temperature, i

odgovarajude početne i granične uslove. Promjenom temperature tijelo mijenja zapreminu, a

usljed postojanja gradijenta temperature dodi de u opštem slučaju do različite promjena

zapremine u okolini svake tačke tijela što ima za posljedicu pojavu napona. Da bi se na

osnovu poznatog polja temperatura mogli izračunati naponi potrebno je da konstitutivne

jednačine za jednačinu količine kretanja opiše vezu između napona i temperature u tijelu.

Model koji je uključio i jednačinu energije, može opisati pojavu termičkih napona usljed

prisustva temperaturnih gradijenata.

36

Tokom sušenja drveta javlja se promjena sadržaja vlage u drvetu. Zapremina drveta se

mijenja i sa promjenom sadržaja vlage. Tokom sušenja drveta dodi de do neravnomjeranog

sadržaja vlage što ima za posljedicu pojavu napona. Da bi ovi naponi u modelu bili računati

potrebno je u model dodati jednačinu o održanju mase (sadržaja vlage u drvetu) uz

odgovarajudu konstitutivnu relaciju, početne i granične uslove čije rješenje daje raspored

vlažnosti u drvetu. Da bi se na osnovu poznatog rasporeda vlažnosti u drvetu mogli izračunati

naponi potrebno je da konstitutivna jednačina za jednačinu količine kretanja opiše vezu

između napona i vlažnosti u tijelu. Na kraju, da bi matematski model opisao pojavu pukotina

u drvetu tokom sušenja potrebno je definisati kriterij pojave loma u materijalu, to jest,

matematsku relaciju koja definiše pri kojim vrijednostima komponentnih napona, odnosno

njihovoj kombinaciji, dolazi do pukotina u materijalu pri čemu treba voditi računa o

promijeni fizikalnih i mehaničkih karakteristika drveta sa temperaturom i sadržajem vlage

(Slika 2.17(b)).

Kada su izabrane jednačine matemastkog modela koje opisuju fizikalnu pojavu, preostaju

važne odluke oko modeliranja geometrije i graničnih uslova. Modeliranje geometrije

problema, odnosno odluka koje detalje stvarne geometrije treba vjerodostojno prenijeti na

model, je veoma bitno. Obradanje pažnje na precizno modeliranje geometrije do najmanjih

detalja može nepotrebno opteretiti računarske resurse pa često zahtijevati nedopustivo

dugo vrijeme čekanja na rezultate proračuna. U suštini, konstrukcije i njihovi dijelovi su

Slika 2.17 Pukotine u kombinovanoj gredi nastale usljed

promjenljive sadržaja vlage (a) i uticaj sadržaja vlage u drvetu (bor)

na njegovu čvrstodu na zatezanje paralelno vlaknima (A), na

savijanje (B), na pritisak paralelno vlaknima (C), na pritisak

poprečno na vlakna, i na zatezanje poprečno na vlakna (D) (Izvor:

Sundstr ̈m i dr., 2011)

(a) (b)

Sadržaj vlage (%)

150

120

90

60

30

5 0 10 15 20 25 30

A

B

C D

(MPa)

37

trodimenzionalni u prostoru. Teško je zamisliti složenu rešetkastu konstrukciju koja de biti

modelirana na način da svaki štap u rešetci bude diskretizovan kao trodimenzionalno tijelo,

uključujudi i trodimenzionalnu diskretizaciju svih elemenata veze u rešetci. Umjesto ovog

pristupa, logično je štapove u rešetci ili grede u nekoj ramovskoj konstrukciji modelirati kao

jednodimenzionalne elemente. U slučaju ovog pristupa važno je znati da je teorija štapova ili

greda nastala kao specijalan slučaj teorije elastičnosti uz određena zanemarivanja koja su

opravdana samo uz određene uslove. Naprimjer, kada je veoma vitka greda izložena pritisku

može dodi do izvijanja grede koje teorija grede ne može da predvidi. S druge strane, za gredu

veoma male vitkosti uticaj transferzalnih sila može biti značajan što ne uzima u obzir klasična

teorija grede. U slučaju štapa u rešetci u kojem je napravljen otvor kako bi putem vijaka ili

zakovica bio ojačan drugim štapom teorija štapa ne može da predvidi koncentraciju napona

koja nastaje u okolini rupe. I u ovom slučaju, ako krutost štapa nije značajno smanjena sa

otvorima, mogude je nakon računanja sila u štapovima kao jednodimenzionalnim

elementima analizirati koncentraciju napona u pojedinačnom štapu modeliranjem

geometrije štapa kao trodimenzionalnog tijela. Poznavanje aksijalnih sila pritiska u štapu ili

gredi omogudava naknadnu provjeru ovih elemenata konstrukcije na izvijanje.

U slučaju proračuna polja pomjeranja pri simulaciji testa na sudar vozila (slike2.18 i 2.19),

trodimenzionalno modeliranje svih elemenata vozila bilo bi veoma zahtjevno za resurse

računara. Trodimenzionalna analiza problema troši resurse računara i vrijeme analize je

otprilike za red veličine više nego dvodimenzionalna analiza istog problema. Diskretizacija

geometrije dijelova automobila jednodimenzionalnim elementima (npr. elementima grede) i

dvodimenzionalnim elementima (npr. elementima ljuske) je mnogo efikasnija. Ako se

simulira čeoni sudar automobila, modeliranje geometrije zadnjeg dijela automobila može biti

manje detaljno nego u slučaju njegovog prednjeg dijela.

Slika 2.18 Tegljač čiji sudar je simuliran (a) i podjela geometrije

modela na konačne elemente (b) (Izvor: National transportation

research center, USA)

(a) (b)

38

Vrsta problema koji se rješava, vrsta deformacije, radne temperature, ili vrste materijala

određuju i potrebu za modeliranjem detalja geometrije. U slučaju rješavanja problema

prenosa toplote kroz klip motora mali radijusi u pravilu ne igraju veliku ulogu tako da ih je

često mogude u izboru geometrije modela zanemariti. Međutim, ako se želi kompletan

proračun klipa sa stanovišta termičkog i mehaničkog opteredenja, mali radijusi su mjesta

koncentracije napona i neophodno ih je uključiti u geometriju modela.

Poznato je da su krti materijali, nasuprot žilavim materijalima, veoma osjetljivi na

koncentraciju napona, zato je u ovom slučaju veoma važno pri modeliranju geometrije

posebnu pažnju obratiti na mjesta koncentracije napona. Nasuprot krtim materijalima, u

slučaju simuliranja obrade plastičnom deformacijom, materijali koji mogu doživjeti velike

plastične deformacije prije sloma sposobni su da putem plastičnog tečenja naprave

preraspodjelu napona na mjestima koncentracije napona. Materijali koji važe za žilave

materijale na sobnim temperaturama, mogu postati krti na sniženim radnim temperaturama

(slika 2.20). Slično vrijedi i u slučaju velikih brzina deformacije kada žilav materijal pokazuje

osobine krtog materijala.

Jedan od veoma važnih koraka u matematskom modeliranju može biti izbor graničnih uslova.

Definisati geometrijske granične uslove na temelju tornja u slučaju zemljotresa ili zadati

površinski pritisak na krilo aviona zavisno od režima letenja nije jednostavan zadatak.

Prilikom procjene opteredenja od velike pomodi mogu biti pojedini državni ili međunarodni

standardi u kojima je propisano opteredenje koje mora biti uzeto u obzir prilikom proračuna

polja napona i deformacija u konstrukciji. Kao primjer mogu poslužiti standardi u

građevinskoj i petrohemijskoj industriji, ili konstrukciji vozila. Ovi standardi pojedina

opteredenja kao što je pritisak od vjetra ili težina usljed snijega na konstrukciji propisuju u

skladu sa geografskim područjem gdje se nalazi konstrukcija, slika 2.21.

Slika 2.19 Polje efektivne plastične deformacije tegljača sa

prikolicom nakon simulacije udara prednjim desnim dijelom u

betonski zid. (Izvor: National transportation research center, USA)

39

Nekada je u modelima sasvim opravdano ukupno opteredenje zamijeniti koncentrisanom

silom. Sa stanovišta analize naprezanja i deformacija mosta kojeg preko točkova optereduje

vozilo pri prelazu mosta, sasvim je opravdano u matematskom modelu pretpostaviti da na

mjestu kontakta točka vozila i podloge djeluje jedna koncentrisana sila koja je rezultanta sila

na kontaktu točka i podloge mosta, slika 2.22(a). Međutim, raspored površinskih sila na

Slika 2.20 Kolaps rezervoara za gorivo usljed krtog loma kao posljedica

niskih temperatura (a) i mapa najniže prosječne dnevne temperature

po geografskim područjima (b) (Izvor: American Petroleum Institut,

API 650)

Slika 2.21 Opteredenje na konstrukciju usljed snijega (a) i mape

visine snijega zavisno od geografske lokacije (b) (Izvor: Division of

Building Research of the National Research Council of Canada)

(a) (b)

(a) (b) (b)

40

asfaltnu podlogu (slika 2.22(b)) važan je u slučaju analize naprezanja i deformacija, odnosno

nosivosti asfaltne podloge.

Kao drugi primjer može poslužiti ugaoni nosač prikazan na slici 2.23. U slučaju kada se

problem računanja napona i deformacija u ugaoniku diskretizira elementima grede,

predstavljanje opteredenja na spoju greda u vidu koncentrisane sile je zadovoljavajude.

Međutim, teorija grede ne može da predvidi koncentraciju napona u okolini otvora A, niti

može poslužiti za izbor radijusa na spoju greda na mjestu B kako bi se koncentracija napona

na ovom mjestu zadržala u željenim granicama. Da bi analizirali koncentraciju napona u

okolini ovog otvora problem bi se mogao analizirati kao dvodimenzionalni problem ravnog

Slika 2.22 Opteredenje mosta pri prelasku vozila predstavljeno

koncentrisanim silama (a) i dejstvo pogonskog točka vozila na

podlogu pretstavljeno kao površinski pritisak normalan na podlogu

i u ravni podloge (b)

(a) (b)

Slika 2.23 Ugaoni nosač

A

B C

41

stanja napona. U ovom slučaju, model bi na mjestu napadne tačke sile pokazao

koncentraciju napona. Obzirom da bi analitičko rješenje modela pokazalo da je napon

beskonačno veliki na mjestu napadne tačke sile, ufinjavanjem mreže numeričko rješenje

modela bi dalo napon koji bi na ovom mjestu stalno rastao. Obzirom da je cilj analize

izračunati polje napona u okolini otvora, na mjestu napadne tačke sile mogla bi se zadržati

gruba mreža ignorišudi pojavu koncentracije napona na ovom mjestu. Problem može nastati

ako softver kojim se rješava problem raspolaže sa automatskim ufinjavanjem mreže na

mjestima velikih gradijenata nezavisnih varijabli (koncentracije napona), jer bi automatski

ufinjavao mrežu na ovom mjestu. U ovom slučaju, umjesto zamjene stvarnog opteredenja

koncentrisanom silom bolje bi bilo pretpostaviti kontinuirano opteredenje po jedinici dužine

na mjestu gdje se prenosi sila. Ako bi se problem analizirao kao trodimenzionalni iz razloga

analize koncentracije napona u okolini otvora C, opteredenje koncentrisanom silom bi

trebalo zamjeniti kontinuiranim opteredenjem po jedinici površine na površini preko koje se

prenosi opteredenje na ugaonik.

Pored sila, na površini tijela može biti propisano pomjeranje koje ima za posljedicu

naprezanje tijela. Primjer je propisani hod matrice prese sa ciljem oblikovanja tijela. Za

uspješno modeliranje ovog procesa ključno je za uspjeh tačno definisati trenje na kontaktu

obratka i alata zašta je potrebno iskustvo.

I u slučaju kada je veoma teško definisati granične uslove matematsko modeliranje može da

pruži velike mogudnosti za poboljšanje konstrukcije. Naprimjer, pri analizi nekog mehanizma

koji je nastao kao rezultat inženjerskog iskustva, matematskim modeliranjem može se tačno

ustanoviti koliko se procentualno povedava ili smanjuje sigurnost konstrukcije pri promjeni

vrste materijala, dimenzija ili položaja u prostoru nekog elementa mehanizma, bez obzira na

veličinu opteredenja.

Najvažnije pitanje procesa modeliranja je koliko tačno model opisuje stvarnu situaciju koju

oponaša. Kvalitet rješenja matematskog modela može se provjeriti i eksperimentalno na

stvarnom problemu (slika 2.24).

Slika 2.24 Eksperimentalna provjera napona na trupu putničkog

aviona usljed dejstva pritiska u unutrašnjosti aviona (a) i krilu

borbenog aviona (b) (Izvor airliners.net)

(a) (b)

42

U slučaju kada matematski model ne opisuje dovoljno tačno fizikalnu pojavu koja se

modelira, potrebno je proširiti ili poboljšati matematski model. To nije uvijek jednostavan

zadatak. Ako neuspjeh matematskog modela leži u slaboj procjeni graničnih uslova

(naprimjer loša procjena trenja na kontaktima alata i obratka ili loše procijenjen uticaj vjetra

na dimnjak), može se koristiti eksperiment za bolju procjenu graničnih uslova u

matematskom modelu. Nekad je eksperiment nemogud, kao na primjer, kod dimnjaka u fazi

dizajna, koji tek treba da bude napravljen, ili kod similacije livenja bloka motora koji je u fazi

konstrukcije i tek treba da bude napravljen kalup za livenje. Za ovakvu vrstu problema

potrebno je iskustvo, da bi se uključio dovoljan broj pouzdanih elemenata u matematski

model kako bi konačni proizvod imao željene karakteristike. Mnogi problemi su rješavani u

prošlosti bez matematskog modeliranja, koristedi inženjersko iskustvo i intuiciju, ali i veliki

broj eksperimenata što je povedavalo vrijeme potrebno da se dođe do konačnog proizvoda i

poskupljivalo proizvod. U današnje vrijeme matematsko modeliranje se uveliko smatra

ključnim korakom u skradenju vremena dizajna proizvoda (a time i cijene proizvoda), i

eliminaciji pristupa problemu po metodi “trial and error” što je veoma skupo i smanjuje

konkurentnost proizvoda.