Upload
vannhi
View
321
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
192
9 Numeričko re�avanje običnih diferencijalnih jednačina
9.1 UVOD
Matematički modeli velikog broja procesa u hemijskom in�enjerstvu imaju formu diferencijalnih jednačina. Obična diferencijalna jednačina (ODJ) je jednačina u kojoj, u op�tem slučaju, figuri�u: nezavisno promenljiva x, funkcija y(x) i njeni izvodi, počev od prvog pa do nekog n- tog. Dakle, ODJ defini�e vezu između funkcije i njenih izvoda i mo�emo da je uop�teno prika�emo kao:
bxayyyyxF n ≤≤=′′′ ,0),...,,,,( )( , (9.1)
ili u eksplicitnom obliku (re�eno po najvi�em izvodu):
bxayyyyxfdx
ydy nn
nn ≤≤′′′== − ),,...,,,,( )1()( (9.1a)
gde interval definisanosti funkcija, [a, b] mo�e biti beskonačan. Diferencijalna jednačina (9.1) u kojoj je najvi�i izvod koji figuri�e, izvod n-tog reda zove se ODJ n-tog reda. Svaka funkcija y(x), koja zadovoljava diferencijalnu jednačinu (9.1), predstavlja njeno re�enje. Re�enje mo�e biti,
• op�te, kada sadr�i n proizvoljnih konstanti, ci, i = 1,2,...,n, koje se zovu integracione konstante,
• partikularno, koje se dobija iz op�teg, određivanjem brojnih vrednosti n integracionih konstanti iz isto toliko dodatnih uslova, koje moraju da zadovolje funkcija i njeni izvodi 1., 2.,..., (n - 1)-vog reda na granicama a i b oblasti definisanosti. Ti dodatni uslovi se zovu granični uslovi.
Primer 1: Promena koncentracije reaktanta A, koji se tro�i u nekoj hemijskoj reakciji, sa vremenom t , pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione sme�e i uz idealno me�anje sme�e, opisana je diferencijalnom jednačinom 1. reda:
193
),0[,)( 3 ∞∈
= t
smmolCr
dtdC
AA
gde je r(CA) kinetički izraz, tj. izraz za brzinu hemijske reakcije u funkciji koncentracije reaktanta i temperature. Ako jednačini dodamo i podatak o početnoj koncentraciji reaktanta (u momentu otpočinjanja reakcije, t = 0), kao granični uslov:
0)0( AA CC =
dobijamo matematički model izotermskog �ar�nog hemijskog reaktora. Tra�ena funkcija CA(t) je partikularno re�enje date ODJ, koje se dobija određivanjem jedne integracione konstante (u pitanju je ODJ 1. reda) u op�tem re�enju, iz zadatog graničnog uslova u početnom momentu, 0
AC . Primer 2: Promena koncentracije reaktanta A, koji se tro�i u istoj hemijskoj reakciji, du�
stacionarnog cevnog hemijskog reaktora, pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione sme�e, opisana je diferencijalnom jednačinom 2. reda:
Lzsm
molCrdz
dCwdz
CdD AAA
A ≤≤
=−− 0,0)( 32
2
gde su,
z - rastojanje od ulaza u reaktorsku cev L - du�ina cevi DA - koeficijent difuzije reaktanta w - srednja brzina proticanja reakcione sme�e kroz reaktor
kojoj treba dodati i dva uslova: jedan za ulaz u reaktor (z = 0), a drugi za izlaz iz reaktora (z = L). Data ODJ i granični uslovi čine matematički model izotermskog cevnog reaktora. Tra�ena funkcija CA(z), predstavlja partikularno re�enje, koje pored date ODJ zadovoljava i dva granična uslova.
Primer 3: Promena polo�aja y (ugao tj. otklon u odnosu na vertikalu) matematičkog klatna u toku vremena t, predstavlja partikularno re�enje homogene dif. jednačine 2 reda sa konstantnim koeficijentima (bilans količine kretanja klatna):
0),/(0)()( 2 ≥=+′+′′ tsradbtyaty
sa dodatnim uslovima:
y(0) = y0 (zadat početni polo�aj � otklon klatna)
y′(0) = 0 (zadata ugaona brzina kretanja klatna u početnom momentu )
Numeričko re�enje ODJ
Mali broj diferencijalnih jednačina, koje su od praktičnog interesa, se mo�e re�iti
analitički, tj. dobiti njeno re�enje u vidu analitički definisane funkcije y(x). Tako se partikularno re�enje diferencijalne jednačine (9.1) dobija pribli�no ili numerički u obliku tabele pribli�nih vrednosti tra�ene funkcije: (xi, yi), i = 0,1,...,N u nizu tačaka xi, i = 0,1,...,N. Pri tom se razlikuju dva tipa problema:
194
• početni problem (initial value problem), kada su svi neophodni granični uslovi (ukupno n) dati na levoj granici a, oblasti definisanosti funkcije. U ovom slučaju, za granične uslove se koristi termin početni uslovi.
• granični problem (boundary value problem), kada su neki uslovi dati na levoj, granici a, a neki na desnoj granici b oblasti definisanosti funkcije y(x). Ka�emo da su granični uslovi razdvojeni (split boundary conditions)
Tako, Primeri 1 i 3 predstavljaju početne probleme, a Primer 2 granični problem.
Sistem običnih diferencijalnih jednačina
Sistem ODJ, m-tog reda se sastoji od n običnih diferencijalnih jednačina, u kojima figuri�e isto toliko funkcija yi(x), i = 1,2,...,n, i njhovi izvodi, pri čemu je najvi�i red izvoda koji je uključen jednak m. Tako, u najop�tejem slučaju, sistem ODJ izgleda:
],[,,...,2,1,0))(),...,(...,),(),...,(),(),...,(,( )()(
111 baxnixyxyxyxyxyxyxF mn
mnni ∈==′′
ili u vektorskom obliku:
nibaxdxd
dxd
dxdxF m
m
i ,...,2,1],,[,0.,..,,,, 2
2
=∈=
yyyy (9.2)
Specijalno, sistem ODJ prvog reda je:
nibxadxdxFi ,..,2,1,,0,, =≤≤=
yy (9.3)
ili u eksplicitnom obliku:
).,.,.,,(
).,.,.,,(
21
2111
nnn
n
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
=
=
M (9.4)
Partikularno re�enje sistema ODJ je skup funkcija y1(x), y2(x),...,yn(x), koje zadovoljavaju sistem jednačina (9.2) i jo� ukupno n × m graničnih uslova. Kao i u slučaju jedne ODJ, razlikujemo početni i granični problem u zavisnosti da li su svi granični uslovi dati u levoj, ili su neki dati u levoj, a neki u desnoj granici oblasti definisanosti funkcija, [a, b]. Primer 4: Dobijanje temperaturnog profila T(x) fluida koji protiče kroz cev i temperaturnog
profila )(xT ′ , fluida koji protiče kroz omotač stacionarnog istostrujnog izmenjivača toplote tipa cev u cevi, du�ine L, predstavlja početni problem za sledeći sistem od dve diferencijalne jednačine 1. reda (energetski bilansi za jedan i drugi fluid):
195
( ) ( )
( )( ) ( )smJTT
RRRK
dzTdwc
smJTTR
KdzdTwc
Tp
Tp
32
3
12
2
′−−′
=′
′′ρ′
−′=ρ
sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao početnim uslovima:
x = 0: T(0) = T0 , T′(0) = T′0 (oba granična uslova u x = 0)
gde su, R, R′ - unutra�nji poluprečnici unutra�nje i spoljnje cevi izmenjivača ρ, ρ′ - gustine fluida cp, c′p - specifične toplote fluida w, w′ - srednje brzine fluida KT - koeficijent prolaza toplote
Primer 5: Dobijanje temperaturnog profila oba fluida u stacionarnom suprotnostrujnom izmenjivaču toplote tipa cev u cevi, du�ine L, predstavlja granični problem:
( )
( )( )TT
RRRK
dzTdwc
TTR
KdzdTwc
Tp
Tp
−′−′
=′
′′ρ′
−′=ρ
12
2
2
sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao graničnim uslovima:
T(0) = T0 , T′(L) = T′0 (granični uslovi su "razdvojeni")
9.2 PREVOĐENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDA
ODJ n- tog reda:
F(x, y, y′, y′′,..., y (n)) = 0, (a ≤ x ≤ b) (9.1)
sledećim smenama:
)1(
3
2
1
,,
,
−=
′′=
′==
nn yy
yyyyyy
M
(9.5)
prevodimo u sledeći ekvivalentan sistem od n ODJ 1. reda:
196
( )
( )
( )
( )),,,,(),,,,(
),,,,(
),,,,(
),,,,(
2121
2111
21232
21121
nnnn
nnnn
n
n
yyyxfyyyxfdxdy
yyyxfydx
dy
yyyxfydxdy
yyyxfydxdy
KK
K
M
K
K
==
==
==
==
−−
(9.6)
u kome se poslednja jednačina dobija, imajući u vidu da je:
( ) )()1( nnn yydxd
dxdy
== −
re�avanjem polazne diferencijalne jednačinu po najvi�em izvodu i uvođenjem datih smena:
),...,,,(),...,,,(0),...,,,( 21
smene)1()()(
nnnnn yyyxfyyyxf
dxdyyyyyxF →′==⇒=′ −
Primer 6: Diferencijalna jednačina 2. reda:
042 22 =+′−′′ yyyy
se smenama:
yyyy ′== 21 ,
prevodi u sistem:
1
21
22
222
21
24
24
yyy
yyyy
dxdy
ydxdy
−=
−′=′′=
=
U slučaju početnog problema,
10
)1(
0
0
)(
)()(
−− =
′=′=
nn yay
yayyay
M
početni uslovi za uvedene funkcije glase:
10
02
01
)(
)()(
−=
′==
nn yay
yayyay
M (9.6a)
197
9.3 NUMERIČKO RE�AVANJE ODJ 1. REDA OJLEROVA METODA
Tra�imo funkciju y(x), definisanu u oblasti [a, b], kao re�enje početnog problema: 0)(,),( yayyxfy ==′ (9.7) odnosno, koja zadovoljava datu ODJ 1. reda i dati početni uslov. Numeričko re�enje dobijamo u vidu pribli�nih vrednosti tra�ene funkcije, yi, i = 1,2,..., N u nizu ekvidistantnih tačaka:
bxax
NiN
abhihxx
N
i
==
=−
=+=
,
,...,2,1,)(,
0
0 (9.8)
odnosno u vidu tabele: (xi, yi), i = 0,1,...,N. Ka�e se da smo izvr�ili diskretizaciju domena [a, b] nezavisno promenljive. Na Sl. 9.1 prikazani su: tačno re�enje, tj. neka (nepoznata) funkcija ϕ(x) i numeričko re�enje, tj. niz tačaka (xi, yi), i = 0,1,...,N.
Pretpostavimo sada, za momenat, da je poznata vrednost funkcije u tački xi, )( ii xyy = . Kako odrediti vrednost funkcije yi+1 u sledećoj tački? Ojlerova (Euler) metoda se zasniva na aproksimaciji prvoga izvoda količnikom prira�taja:
( ) ( )iiiii
ii
ii yxfxyh
yyxxyy ,1
1
1 =′≈−
=−− +
+
+
iz koje sledi (rekurentna) formula za dobijanje pribli�nog re�enja: ( ) 1,...1,0,,1 −=+=+ Niyxhfyy iiii (9.9) korak diskretizacije h (9.8) naziva se korak integracije ili integracioni korak.
Slika 9.1 - Tačno i numeričko re�enje ODJ 1. reda
ϕ(x)
tačna vrednost ( ) ( )iti xy ϕ=
xi x0
yi
y0
y
198
Zadatak 9.1 Potrebno je re�iti numerički diferencijalnu jednačinu:
1)0(
10,25
=
≤≤−=
y
xydxdy
a) Dobiti numeričko re�enje, deleći interval definisanosti funkcije (interval integracije) na N=10 podintervala (koraka) i uporediti ga sa tačnim re�enjem:
xexy 25)( −=
b) Ponoviti proračun sa N = 15 integracionih koraka i uporediti ga sa tačnim re�enjem.
c) Ponoviti proračun i poređenje za N = 50
d) Povećavati broj integracionih koraka, dok maksimalno odstupanje pribli�nog od tačnog re�enja na intervalu integracije ne postane manje od 0.01
Rešenje (Mathcad):
i 0 N..:=ε y yt−:=
yt
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10.082
6.738·10 -3
5.531·10 -4
4.54·10 -5
3.727·10 -6
3.059·10 -7
2.511·10 -8
2.061·10 -9
1.692·10 -10
1.389·10 -11
=y
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1-1.5
2.25
-3.375
5.063
-7.594
11.391
-17.086
25.629
-38.443
57.665
=ytiφ xi( ):=yt0
1:=
Tacne vrednosti:
yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=
xi x0 i h⋅+:=
i 1 N..:=
Integracija:
y0 1:=x0 a:=h 0.1=hb a−
N:=Korak integracije:N 10:=
a)
b 1:=a 0:=f x y,( ) 25− y:=Podaci:
φ x( ) e 25− x:=Tacno resenje:
199
Priblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.
0 5 10 151
0
1
yi
yti
i
i 0 N..:=
ε y yt−:=Greske:
yt
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.189
0.036
6.738·10 -3
1.273·10 -3
2.404·10 -4
4.54·10 -5
8.575·10 -6
1.62·10 -6
3.059·10 -7
5.778·10 -8
1.091·10 -8
2.061·10 -9
3.893·10 -10
7.353·10 -11
1.389·10 -11
=y
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1-0.667
0.444
-0.296
0.198
-0.132
0.088
-0.059
0.039
-0.026
0.017
-0.012
7.707·10 -3
-5.138·10 -3
3.425·10 -3
-2.284·10 -3
=ytiφ xi( ):=Tacne vrednosti:
yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=
xi x0 i h⋅+:=
i 1 N..:=Integracija:
h 0.067=hb a−
N:=
N 15:=b)
Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.
0 5 1050
0
50
100
εi
i0 5 10
0
100
yi
yti
i
200
Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan
Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.
5 10 15 200.15
0.1
0.05
0
εi
i
Priblizno resenje ne osciluje
0 5 10 15 200
0.5
1
yi
yti
i
i 0 N..:=
max ε→( ) 0.118=ε y yt−:=yti
φ xi( ):=
Greske:
yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=xi x0 i h⋅+:=i 1 N..:=
Integracija :
h 0.02=hb a−
N:=Korak integracije:N 50:=
c)
max ε→( ) 0.856=Greska metode je velika
Racunski proces je stabilan
5 101
0
1
εi
i
d)
N 100:= Korak integracije: hb a−
N:= h 0.01=
201
Integracija:
i 1 N..:= xi x0 i h⋅+:= yi yi 1− h f xi 1− yi 1−,( )⋅+:=
Greske:
ytiφ xi( ):= ε y yt−:= max ε
→( ) 0.051=
Povecavati broj integracionih koraka dok se ne dobiju prihvatljivirezultati: ε 0.01<
Lokalna gre�ka i red numeričke metode
Lokalna gre�ka neke numeričke metode, 1+iE je gre�ka na (i + 1)-vom integracionom koraku (i = 0,1,...,N-1), tj. odstupanje tačnog prira�taja tra�ene funkcije kada se x promeni sa xi na xi+1, od prira�taja )( 1 ii yy −+ izračunatog posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost opada sa smanjivanjem integracionog koraka i u op�tem slučaju je proporcionalana nekom celobrojnom pozitivnom stepenu koraka, hn. Tako je ona, kada h te�i nuli, beskonačno mala veličina reda hn i pi�emo:
( )ni hOE =+1
Po dogovoru, ka�emo da je metoda p - tog reda tačnosti, ako je njena lokalna gre�ka reda hp+1:
( )1
1+
+ = pi hOE (9.10)
Globalna gre�ka i stabilnost numeričke metode
Pod globalnom gre�kom numeričke metode integracije dif. jednačine, podrazumeva se
odstupanje tačnog od numeričkog re�enja. Tako je globalna gre�ka, εi+1 u nekoj tački xi+1 u intervalu integracije, jednaka:
( ) 11111 )( +++++ −=−=ε itiiii yyyxy (9.11) Na Sl. 9.1, globalne gre�ke u pojedinim tačkama su odstupanja krive (tačno re�enje dif. jednačine) od tačaka (pribli�no re�enje).
Jasno je da ako lokalna gre�ka metode raste iz koraka u korak, to će prouzrokovati povećanje globalne gre�ke sa povećanjem x odnosno i, tj. propagaciju gre�ke u toku računskog procesa. U skladu sa definicijom stabilnosti računskog procesa, takva numerička
202
metoda je nestabilna. U problemu 9.1 uočava se nestabilnost Ojlerove metode pri pribli�nom re�avanju zadate ODJ, sa korakom integracije 0.1 (a).
Povećanje globalne gre�ke tokom računskog procesa mo�e biti prouzrokovano i akumulacijom gre�aka zaokru�ivanja. Tako, sa smanjenjem integracionog koraka, radi povećanja tačnosti metode mo�e doći do propagacije gre�aka zaokru�ivanja (veliki broj računskih operacija) i povećanja nestabilnosti procesa. Propagacija gre�aka zaokru�ivanja se mo�e minimizovati ako se proračun izvodi sa velikim brojem značajnih cifara, �to je slučaj pri kori�ćenju Mathcad-a, ili pri proračunu u dvostrukoj preciznosti u nekom programskom jeziku (Pogl. 1.5).
9.4 TAČNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE
Da bi izveli izraz za lokalnu gre�ku Ojlerove metode, pretpostavimo da je vrednost yi
tačna. Tačnu vrednost za yi+1 bi dobili integracijom diferencijalne jednačine (9.7) u granicama xi do xi+1:
( )( ) ( )( )∫∫∫+++
+=⇒= +
111
,, 1
i
i
i
i
i
i
x
xii
x
x
y
y
dxxyxfyydxxyxfdy
Ojlerov metod se bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije Tajlorovim polinomom nultog reda - konstantom. Naime, funkcija f(x, y), tj. prvi izvod tra�ene funkcije y(x) se uzima konstantnim i jednakim f(xi, yi) u celom intervalu ],[ 1+ii xx , odakle sledi formula (9.9). Tačna vrednost yi+1 bi bila:
( ) ( ) ( ) ( )1
ijeaproksimac greska
1
1
!1, ++ <ξ<
ξ′
−++= ∫+
ii
x
xiiiiti xxdxfxxyxfyy
i
i 4434421
odnosno,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ′′+=ξ′+=ξ′
−++= +++ ∫+
yhyfhydxfxxyxhfyy ii
x
xiiiiti
i
i22!1
,2
1
2
1
metodOjlerov
1
1
4434421
pa je lokalna gre�ka metode jednaka:
( ) ( ) 1
2
111 ,2 ++++ <ξ<ξ′′=−= iiitii xxyhyyE (9.12)
U skladu sa dogovorom, ka�emo da je Ojlerova metoda prvog reda tačnosti. Na Sl. 9.2 data je grafička ilustracija lokalne gre�ke Ojlerove metode. Metode prvog reda tačnosti su najmanje tačne metode i radi postizanja zahtevane tačnosti numeričkog re�enja ODJ, u nekim problemima neophodno je odabrati vrlo male integracione korake (Zadatak 9.1).
203
nagib = f(xi,yi )
f(xi,yi)
1+iE
ii yy −+1
xi xi+1 xi+1
f(x,y(x))
yi+1
( )tiy 1+
1+iE
xi
yi
y
Slika 9.2 - Lokalna gre�ka Ojlerove metode
Propagacija gre�ke u računskom procesu
Neka je globalna gre�ka procene funkcije u tački xi jednaka: ( ) itii yy −=ε . Ova gre�ka
prouzrokuje gre�ku procene funkcije u sledećoj tački xi+1 (pojava �irenja ili propagacije gre�ke), po�to vrednost funkcije koja se zamenjuje u formulu (9.9) nije tačna. Na gre�ku koja potiče od gre�ke vrednosti yi treba dodati lokalnu gre�ku metode i gre�ku zaokru�ivanja. Ako gre�ku zaokru�ivanja zanemarimo, globalnu gre�ku vrednosti funkcije u tački xi+1 dobijamo kao:
1,...,1,0,1),(1 −=+ε+ε=ε ++ NiEiyxhfii ii
Drugu od gre�aka procenjujemo kao:
[ ] iiiixyxhf yxyfhyxhf
y iiiε
∂∂
=ε∂∂
=ε ),(),(),(
pa je:
1,...,1,0,)],(1[ 11 −=+ε∂∂
+=ε ++ NiEyxyfh iiiii (9.13)
Ako kao primer uzmemo jednostavnu diferencijalnu jednačinu:
0)(, yayyy =λ=′ (9.14)
gde je λ neka konstanta, imaćemo:
.,),(,),()12.9(
1 constEEyxyfyyxf iii ==λ=
∂∂
λ= + (9.14a)
i (9.13) dobija jednostavan oblik:
204
1,...,1,0,]1[1 −=+εβ=+ελ+=ε + NiEEh iii (9.13a)
Uzastopnom primenom formule (9.13a) mo�emo, polazeći od ε0 = 0, da izračunamo gre�ku εn funkcije u nekoj tački xn, koja je rezultat �irenja gre�ke na intervalu ],[ 0 nxx :
NnhhEE n
n
n ,...,2,1,]1)1[(11
=−λ+λ
=β−β−
=ε (9.15)
Ako bi uveli neku srednju vrednost lokalne gre�ke E na posmatranom intervalu ],[ 0 nxx , kao i srednju vrednost ω , funkcije,
),()( yxyfx
∂∂
=ω
na istom intervalu, iz (9.13) bi dobili procenu globalne gre�ke na n-tom koraku nε , za op�ti oblik ODJ (9.7):
NnhhE n
n ,...,2,1,]1)1[( =−ω+ω
=ε (9.16)
Stabilnost računskog procesa
Iz (9.16) je jasno da će globalna gre�ka pribli�nog re�enja ODJ u toku Ojlerovog
postupka (n raste), da raste, ako je izraz )1( ω+ h , koji se stepenuje sa n, po apsolutnoj vrdnosti veći od jedinice. Tako iz (9.16) sledi dovoljan uslov stabilnosti Ojlerove metode na nekom intervalu ],[ 0 nxx :
)0(],,[,1)(1 0 >∈≤ω+ hxxxxh n (9.17)
U specijalnom slučaju λ=ω )(x (9.14), dovoljan uslov stabilnosti (9.16) je i potreban i glasi: )0(11 >≤λ+ hh , odnosno,
)0(02 >≤λ≤− hh
Dakle,
• za pozitivne vrednosti parametra λ, Ojlerova metoda je nestabilna, sa bilo koliko malim korakom integracije h,
• za negativne vrednosti λ, metoda će biti stabilna, ako i samo ako integracioni korak (h > 0) zadovoljava uslov: 02 ≤≤− λh , odnosno,
205
λ
≤2h (9.17a)
Primer 7: U Zadatku 9.1 smo Ojlerovom metodom integrisali ODJ oblika (9.14) sa λ = -25, sa početnim uslovom y0 = 1. Stabilnu (�to ne znači i dovoljno tačnu) računsku proceduru obezbeđuje izbor veličine integracionog koraka:
08.0252 =≤h
�to obja�njava nestabilnost proračuna sa N = 10, h = 0.1 (a). Nestabilan računski proces u (a) ima oscilatoran karakter. To se mo�e objasniti na sledeći način. Za datu ODJ, Ojlerova metoda (9.9), za pribli�nu vrednost funkcije u tački xi+1 daje:
( ) 1,...,1,0,1),(1 −=λ+=λ+=+=+ Niyhyhyyxhfyy iiiiiii
Očigledno je da re�enje osciluje, tj. naizmenično menja znak (a time i globalna gre�ka) u toku nestabilnog proračuna (a), jer je:
01)1( <−<λ+ h
Stabilan računski proces mo�e da ima oscilatoran ili monoton karakter. On je oscilatoran, ako je:
λ
≤<λ
⇒>λ≥⇒>λ−−≥⇒<λ+≤−21120110)1(1 hhhh
odnosno u posmatranom primeru: 0.04 < h ≤ 0.08, �to smo imali za N = 15 (b). Stabilan računski proces ima monoton karakter (vrednosti yi ne menjaju znak),za:
λ
<<⇒>λ>⇒−>λ−−>⇒<λ+<10011101)1(0 hhhh
�to smo imali u slučajevima (c) i (d).
9.5 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE
Poznate modifikacije Ojlerove metode, sa ciljem povećanja tačnosti su: • Ojlerova metoda srednje tačke • Ojlerova metoda srednjeg nagiba
i obe su drugog reda, tj. lokalna gre�ka im je proporcionalna 3. stepenu integracionog koraka.
Metoda srednje tačke
Geometrijski interpretirano, kod originalne Ojlerove metode se pribli�na vrednost funkcije yi+1 u tački xi+1 dobija kretanjem iz tačke (xi, yi), po tangenti krive y(x), povučene u tački xi (prva ilustracija na Sl. 9.2). Kod metode srednje tačke se pomeranje iz xi za korak h vr�i du� prave s nagibom izračunatim, kao nagib tangente na krivu y(x) u srednjoj tački
206
xi+0.5h posmatranog intervala ],[ 1+ii xx (Sl. 9.3), čime se povećava tačnost procenjenog prira�taja (yi+1 - yi). Rezultat je formula:
)(1,...,1,0),5.0,5.0(
00
1
xyyNihfyhxfhyy iiiii
=−=++⋅+=+ (9.18)
Slika 9.3 Ojlerova metoda srednje tačke
Metoda srednjeg nagiba
Kod ove metode se pomeranje iz tačke (xi, yi) vr�i du� prave, čiji je nagib izračunat kao srednji nagib tangenti na krivu y(x) u početnoj i krajnjoj tački posmatranog intervala
],[ 1+ii xx :
[ ])(
1,,1,0,),(),(2
00
1
xyy
Nihfyhxfyxfhyy iiiiiii
=
−=++++=+ K (9.19)
x
y
xi+1xi
yi+1
yi
k1
k2
k2
ks
( )( )
2
,,
21
2
1
kkk
hfyhxfkfyxfk
s
iii
iii
+=
++===
Slika 9.4 - Ojlerova metoda srednjeg nagiba
y
x
k2
yi+1
xi+1xi xi +h/2
yi
k1
k2
k1,k2- nagibi pravih
( )( )iii
iii
hfyhxfkfyxfk
5.0,5.0,
2
1
++===
207
9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA
Zbog svoje tačnosti i relativne jednostavnosti, ovo je najverovatnije naj�ire kori�ćena metoda za numeričku integraciju ODJ 1. reda. Formule su:
( )
),()2,2()2,2(
),(
1,...,1,0,2261
34
23
12
1
43211
KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfK
yxhfK
NiKKKKyy
ii
ii
ii
ii
ii
++=++=++=
=
−=++++=+
(9.20)
Geometrijska interpretacija je sledeća. Tačka (xi+1, yi+1) se dobija pomeranjem iz tačke (xi, yi) po pravoj, čiji je nagib izračunat kao srednja vrednost 4 nagiba, pri čemu su 2. i 3. nagib uzeti sa dvostrukom te�inom u odnosu na 1. nagib (nagib tangente u početnoj tački) i 4. nagib (nagib tangente u krajnjoj tački). Naime, u formulama (9.20), prepoznajemo:
1. f (xi, yi) nagib u početnoj tački
2. f (xi+h/2, yi+K1/2) nagib u sred.tački dobijenoj iz poč.tačke nagibom 1
3. f (xi+h/2, yi+K2/2) nagib u sred.tački dobijenoj iz poč.tačke nagibom 2
4. f (xi+h, yi+K3) nagib u krajnjoj tački dobijenoj iz poč.tačke, nagibom 3
Zadatak 9.2 Diferencijalna jednačina koja opisuje promenu koncentracije reaktanta u reakciji prvog reda BA → koja se odigrava u idealno me�anom i idealno izolovanom (adijabatski re�im) �ar�nom reaktoru glasi:
)()(
)0(,
00
0)(0
AAp
RA
AAACTR
EA
CCcHTCT
CCCekdt
dCA
−ρ
∆+=
=−=−
gde su:
00 , ACT - početna temperatura i koncentracija
k0, E - predeksponencijalni faktor i energija aktivacije u Arenijusovom izrazu R - univerzalna gasna konstanta RH∆ - toplota reakcije cp, ρ - specifična toplota i gustina reakcione sme�e
Potrebno je za date podatke (Praktkum) odrediti koncentraciju reaktanta nakon 2500s od startovanja reaktora, a) Ojlerovom metodom s različitim integracionim koracima b) Runge - Kuta (Runge- Kutta) metodom 4. reda sa različitiom integracionim koracima i uporediti rezultate
208
Rešenje: (Praktikum, XIII-3)
9.7 KLASIFIKACIJA NUMERIČKIH METODA ZA INTEGRACIJU ODJ 1. REDA
Jedna podela metoda je na:
• jednokoračne, koje za izračunavanje vrednosti funkcije yi+1 u narednoj tački koriste samo vrednost funkcije i izvoda u prethodnoj tački (yi, fi ) To su prethodno izlo�ene Ojlerove metode i metoda Runge-Kuta.
• vi�ekoračne, koje za izračunavanje yi+1 pored yi i fi koriste i vrednosti funkcije i izvoda u nizu prethodnih tačaka: yi-1, fi-1 = f(xi-1, yi-1), yi-2, fi-2 = f(xi-2, yi-2), ...
Druga podela je na:
• eksplicitne, kod kojih je formula za izračunavanje vrednosti funkcije u narednoj tački, yi+1 ekplicitno izra�ena po yi+1. Izlo�ene Ojlerove metode i metoda Runge � Kuta su eksplicitne jednokoračne metode
• implicitne, kod kojih je formula za izračunavanje yi+1 implicitna.
9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA
Implicitne jednokoračne metode se baziraju se na ideji da se pri aproksimaciji izvoda f(x,y) funkcije y(x), radi procenjivanja vrednosti funkcije u narednoj tački, yi+1 uključi tačka xi+1 u kojoj je vrednost funkcije f(xi+1, y(xi+1)) nepoznata i da se onda zahvaljujući iterativnom određivanju yi+1 iz tako dobijene implicitne formule (metod uzastopnih zamena) poveća stabilnost računskog procesa. Implicitne metode sadr�e dve formule:
• prediktor formulu, koja slu�i za određivanje prve procene za yi+1, pomoću neke eksplicitne jednokoračne metode
• korektor formulu, koja je implicitna i čijim se iterativnim kori�ćenjem (metod uzastopnih zamena) dobija yi+1 sa unapred zadatom precizno�ću.
Tako se implicitnom metodom srednjeg nagiba, koja je, kao i odgovarajuća eksplicitna metoda, drugog reda, vrednost funkcije yi+1 računa kao:
( )
)(
1,...,1,0,),(),(2
00
111
xyy
Niyxfyxfhyy iiiiii
=
−=++= +++ (9.21)
a prediktor i korektor formule su: prediktor: ),()0(
1 iiii yxhfyy +=+ (9.21a)
209
korektor: [ ] 1...,1,0;,...1,0),(),(2
)(11
)1(1 −==++= +++
+ Nikyxfyxfhyy kiiiii
ki (9.21b)
izlazni kriterijum: ε<− ++
+)(1
)1(1
ki
ki yy (9.21c)
Mo�e se izvesti sledeći dovoljan uslov stabilnosti metode:
],[x x 0),()( 0 Nxyxyfx ∈≤
∂∂
=ω (9.22)
koji je očigledno znatno manje restriktivan nego uslov stabilnosti Ojlerove eksplicitne metode (9.17).
Zadatak 9.3 Problem iz prethodnog zadatka re�iti primenom Ojlerove implicitne metode
Rešenje: (Praktikum, XIII-4)
9.9 VI�EKORAČNE EKSPLICITNE METODE
Pribli�na vrednost funkcije, koja predstavlja tačno re�enje diferencijalne jednačine:
00 )(,),( yxyyxfdxdy
==
u tački xi+1 mo�e da se odredi pribli�nom integracijom jednačine u granicama xi-k do xi+1 gde je k ≥ 0,
( )( )dxxyxfyyi
ki
x
xkii ∫
+
−
=− −+
1
,1
Pri tom ćemo podintegralnu funkciju aproksimirati pomoću NJIP2 r-tog stepena, sa čvorovima interpolacije: xi, xi-1 ,...,xi-r. Dakle, on ne prolazi kroz (nepoznatu) tačku (xi+1, yi+1), da bi rezultujuća formula bila ekplicitna. Tako se vi�ekoračne eksplicitne metode iz jednačine:
( ) ( ) ( )11
1
1 ,1,, ++−
−+ ≠−
=ααα+= ∫ iiri
krkii yxfP
hxxdPhyy (9.23)
Uslov ( ) ( )11 ,1 ++≠=α iir yxfP , znači da gornja granica integracije xi+1(α = 1) nije interpolacioni čvor pa je IP je na desnom kraju intervala integracije "slobodan" (uočite razliku od integracionih formula, izvedenih u Gl. 4). Ka�e se da je rezultujuća integraciona formula otvorenog tipa, za razliku od formula zatvorenog tipa, koje slu�e za pribli�no računanje određenih integrala (Gl. 4) Za različite izbore k i r , izvode se različite formule. Tako na primer, za r = 2 interpolacioni polinom izgleda:
210
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2112
2 2!2
1!2
1−−− +−
+αα+−α+=∇
+αα+∇α+=α iiiiiiiii fffffffffP
i za odabrano k = 3, izvodi se sledeća formula, 4 - tog reda:
( ) ( )52131 ,1,...,4,3,22
34 hOENifffhyy iiiii =−=+−+= −−−+
Ona očigledno zahteva prethodno izračunavanje prve tri vrednosti funkcije, nekom jednokoračnom metodom. �to se tačnosti eksplicitnih vi�ekoračnih metoda tiče, mo�e se, integracijom gre�aka interepolacije, izvesti:
( )( )
=+
+
neparno za,parno za ,
3
2
rhOrhO
E r
r
9.10 VI�EKORAČNE IMPLICITNE METODE
Izvode se analogno eksplicitnim vi�ekoračnim metodama, s tim �to se za aproksimaciju podintegralne funkcije f(x,y(x)) koristi IP koji prolazi i kroz tačku (xi+1, yi+1):
( ) ( ) ( )1111 ,,1
+++−+ =+= ∫+
−
iiir
x
xrkii yxfxPdxxPyy
i
ki
Rezultat je implicitna formula (korektor formula). Kao prediktor formula koristi se neka vi�ekoračna eksplicitna metoda.
Milne � ova metoda
To je metoda 4. reda i jedna je od najpoznatijih vi�ekoračnih implicitnih metoda. Njena prediktor formula je izvedena na opisani način, sa k = 3, r = 2, a korektor formula sa k = 1, r=2 je:
prediktor: 1,...,4,3),22(3
4213
)0(1 −=+−+= −−−+ Nifffhyy iiiii (9.24a)
korektor: ,...2,1,0,)4(3 1
)(11
)1(1 =+++= −+−+
+ kfffhyy iik
iik
i (9.24b)
Za dobijanje prve tri tačke numeričkog re�enja, koristi se neka jednokoračna metoda, najbolje, istog reda tačnosti. To je metoda Runge-Kuta 4. reda (Pogl. 9.6). Ako se Milne-ova implicitna vi�ekoračna metoda uporedi sa eksplicitnom Runge-Kuta metodom, mo�e se, imajući u vidu efekat korektora, konstatovati:
211
• obe metode imaju lokalne gre�ke istog reda, O(h5) • Milneova metoda je stabilnija, tj. otpornija na propagaciju gre�aka u toku
računskog procesa, pa u op�tem slučaju ima manju globalnu gre�ku. Zadatak 9.4 Problem formulisan u Zadatku 9.2 re�iti Milne-ovom metodom.
Rešenje: (Praktikum, XIII-5)
9.11 NUMERIČKA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOG REDA
Početni problem za sistem od n ODJ 1. reda se mo�e formulisatu kao:
0,0
21
)(
,...,2,1,),,,,(
ii
nii
yxy
niyyyxfdxdy
=
== K
ili u vektorskom obliku:
00 )(,),( yyyfy== xx
dxd (9.25)
Numeričko re�avanje problema zahteva diskretizaciju domena nezavisno promenljive:
x0 ≤ x ≤ xN , xk = x0 + kh , k = 0,1,..., N (9.26a)
yi,k = yi(xk), i = 1,2,...,n , k = 0,1,..., N (9.26b)
Dakle, za označavanje različitih funkcija koristićemo indeks i, a za označavanje diskretnih vrednosti x i odgovarajućih vrednosti funkcija, indeks k. Za numeričku integraciju sistema (9.25) koriste se metode numeričke integracije jedne ODJ 1. reda, pri čemu se primenjuju simultano na sve jednačine u sistemu. Opisaćemo primenu Ojlerove metode i metode Runge-Kuta.
Primena Ojlerove metode
( ) 1,...,1,0,,...,2,1,)(),...,(),(,)()( 211 −==+=+ Nknixyxyxyxhfxyxy knkkkikiki (9.27a)
ili u vektorskom obliku:
1,..,1,0),,(1 −=+=+ Nkxh kkkk yfyy (9.27b)
212
Primena Metode Runge - Kutta 4. reda
1,,0,...,2,1)22(61)()( 43211 −==++++=+ NkniKKKKxyxy iiiikiki K (9.28)
gde su:
( )
( ) ,...,2,1,)(,,)(,
,2
)(,,2
)(,2
,2
)(,,2
)(,2
,)(),...,(
31314
21213
11112
11
niKxyKxyhxhfK
KxyKxyhxhfK
KxyKxyhxhfK
x yx, yx = hfK
nknkkii
nknkkii
nknkkii
knkkii
=+++=
+++=
+++=
KK
KK
KK
(9.28a)
ili u vektorskom obliku:
1,...,1,0),22(61 )(
4)(
3)(
2)(
11 −=++++=+ Nkkkkkkk KKKKyy (9.29)
gde su:
,=
2,
2=
2+,
2+=
),(
)(3
)(4
)(2)(
3
)(1)(
2
)(1
)( kk
k
k
kk
k
kk
kkk
hxh
hxh
hxh
xh
KyfK
KyfK
KyfK
yfK
++
++
=
(9.29a)
9.12 NUMERIČKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Integracija ODJ 1. reda
Za pribli�no re�avanje ODJ prvog reda (9.7) ili uop�te re�avanje jedne ODJ vi�eg reda (za detalje videti Help System Mathcad-a), namenjen je Odesolve block:
• prvi deo bloka počinje rečju Given (analogija sa Solve block-om) iza koje se daje formulacija problema (diferencijalna jednačina i početni uslov), u obliku vrlo sličnom izvornom (9.7)
• drugi deo bloka je poziv funkcije Odesolve, koja defini�e funkciju y(x) kao interpolacionu funkciju za izračunatu tabelu - numeričko re�enje.
213
Značenja argumenata (x, xmax, nk) funkcije Odesolve su: • x - nezavisno promenljiva • xmax - gornja granica intervala integracije • nk - broj integracionih koraka, N (neobavezan)
Ako se nk izostavi iz pozivne liste u okviru funkcije se automatski bira integracioni korak da se zadovolji tačnost sa kriterijumom definisanim sistemskim parametrom TOL. Funkcija se bazira na Runge-Kuta metodi 4. reda sa konstantnim integracionim korakom du� intervala integracije. Postoji mogućnost izbora (desnim klikom na Odesolve) iste metode uz promenljivi korak, du� intervala integracije sa ciljem dostizanja zadovoljavajuće tačnosti. Pozivom funkcije y(x), čije ime je definisano u formulaciji problema, mo�e se dobiti vrednost funkcije, koja predstavlja re�enje date ODJ, u bilo kojoj tački iz intervala
]max.[ xa , (a = x0) .
Zadatak 9.5 Problem formulisan u zadatku 9.2. re�iti pomoću Odesolve block-a.
Rešenje: (Praktikum, XIII-6)
Početni problem za sistem ODJ 1. reda Od vi�e funkcija kojima raspola�e Mathcad za numeričko re�avanje sistema ODJ
(9.25), odabraćemo dve: • rkfixed, koja se bazira na Runge-Kuta metodi, sa konstantnim integracionim
korakom u celom intervalu integracije ],[ 0 Nxx (9.26a), • Rkadapt, koja za razliku od rkfixed menja korak du� intervala integracije da bi se
zadovoljio kriterijum tačnosti, definisan sistemskim parametrom TOL. Obe funkcije imaju identičnu listu argumenata: y, x0, xmax, nt, D:
• y - vektor početnih vrednosti funkcija • [x0, xmax] interval integracije (9.26a) • nt - broj izračunatih vrednosti funkcija tra�enih 1,...,1,0),( −= nixyi , koje korisnik
dobija • D - prethodno definisana vektorska funkcija f(x,y) (9.25)
Funkcije vraćaju matricu dimenzija [(nt+1)x(nt+1)] čija prva kolona sadr�i levu granicu x0 i nt ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive, a ostale kolone odgovarajuće vrednosti tra�enih funkcija 1,...,1,0),( −= nixyi .
Zadatak 9.6 Diferencijalne jednačine koje opisuju promene koncentracija učesnika u reakcijama prvog reda:
12
10 05.0,1.0,
10 −− ==→→ skskCBAkk
sa vremenom, u �ar�nom, idealno me�anom reaktoru, su:
214
0)0()0(,1)0( 3
1
10
0
===
=
−=
−=
CBA
BC
BAB
AA
CCmkmolC
Ckdt
dC
CkCkdt
dC
Ckdt
dC
a) Pomoću funkcije rkfixed naći numeričko re�enje datog sistema u vremenskom intervalu (s) ]60,0[ , sa N = 20 integracionih koraka i krajnje koncentracije komponenata.
b) Proveriti da li je odabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tačnost krajnjih koncentracija od 4 sigurne cifre.
c) Isti problem re�iti pomoću funkcije Rkadapt, pri čemu se tra�e koncentracije u 5 ekvidistantnih vremenskih momenata u datom intervalu. Uporediti re�enja.
Rešenje: (Prakt., XIV-2) Funkcije rkfixed i Rkadapt mogu da se koriste za integraciju jedne ODJ 1. reda, pri
čemu se ona posmatra kao specijalan slučaj sistema ODJ.
Zadatak 9.7 Problem definisan u Zadatku 9.2, re�iti pomoću funkcija rkfixed i Rkadapt
Rešenje: (Prakt., XIV-3)
9.13 GRANIČNI PROBLEM ZA ODJ 2. REDA
Za teoriju hemijskih reaktora je od posebnog interesa re�avanje ODJ 2. reda (videti Primer 2), čiji je op�ti oblik:
y′′ + g1(x, y)y′ + g2(x, y) = g3(x), a ≤ x ≤ b (9.30)
sa razdvojenim graničnim uslovima, koji u najop�tijem slučaju (Robinov problem) glase:
Ay(a) + B y′ (a) = c (9.31a)
A1y(b) + B1 y′ (b) = c1 (9.31b)
Specijalan slučaj ODJ (9.30) je linerna ODJ:
y′′ + g1(x)y′ + g2(x)y = g3(x) (9.30a)
Specijalni slučajevi problema (graničnih uslova) su:
• Dirihleov (Dirichlet) problem (A = A1 = 1, B = B1 = 0)
y(a) = c (9.32a)
y(b) = c1 (9.32b)
215
• Nojmanov (Neuman) problem (A = A1 = 0, B = B1 = 1)
y′(a) = c (9.33a)
y′(b) = c1 (9.33b)
Treba reći, da u op�tem slučaju, tip graničnog uslova na levoj granici ne mora da bude isti kao tip uslova na drugoj granici. Recimo na levoj granici mo�emo imati Dirihleov uslov (9.32a), a na desnoj Nojmanov (9.33b)
9.13 METOD PROBE I GRE�KE
Dirihleov problem (9.32a,b)
Uzmimo kao primer Dirihleov problem. Uz diskretizaciju domena nezavisno promenljive:
ihxxbxaxn
abh in +===−
= 00 ,,,
diferencijalna jednačina (9.30) se re�ava numeričkom integracijom ekvivalentnog sistema ODJ prvog reda (9.34):
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ?
,,
,
002
01
1221132
2121
=′==
−−=
′===
xyxycxy
yxgyyxgxgdxdy
yyyyydxdy
(9.34)
Međutim, za otpočinjanje numeričke integracije sistema nedostaje vrednost prvog izvoda tra�ene funkcije u tački x0 = a. Probajući sa različitim početnim vrednostima za )(xy′ , dobijali bi različite vrednosti funkcije )( nn xyy = na kraju intervala integracije i tra�imo onu vrednost )( 0xy′ za koju se za yn dobija zadata vrednost c1, tj. dok se ne zadovolji uslov (9.32b) na desnoj granici, x = b:
1. k = 0, usvaja se polazna procena )(0 )( kxy′
2. Integri�e se sistem ODJ 1. reda:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )kxyxy
cxy
yxgyyxgxgdxdy
ydxdy
002
01
1221132
21
,,
′=
=
−−=
=
216
3. Ako je zadovoljen uslov ε<− 1)()( cxy k
n , kraj postupka. Inače,
4. k = k+1, usvaja se nova procena )(0 )( kxy′ . Povratak na 2.
Kojim algoritmom da korigujemo procenu )(0 )( kxy′ ? Iz prethodne analize sledi da se problem
mo�e postaviti kao problem tra�enja korena jednačine:
F(y′ (x0)) = y(xn) - c1 = 0 (9.35)
odnosno nule funkcije F(y′ (x0)), koja nije definisana analitički nego se njena vrednost za neku vrednost nezavisno promenljive y′ (x0), dobija numeričkom integracijom sistema (9.34) za tu vrednost y′ (x0) (vidi Sl. 9.5).
b = xn a = x0
nagib y′(a)(k)
c1
F(k)
y Numeričko re�enje u k-toj iteraciji
y(b)(k)
Re�enje, koje zadovoljava uslov y(b) = c1
Slika 9.5 - Grafička ilustracija metode probe i gre�ke za re�avanje Dirihleovog problema
Tako, ako odaberemo metod sekante, korigovanu procenu početne vrednosti prvog izvoda tra�ene funkcije dobijamo formulom:
K,2,1,)(
])()([)()(
1)()(
)1()(
)1(0
)(0
)()(
0)1(
0
=−=−
′−′−′=′
−
−+
kcxyFFF
xyxyFxyxy
kn
k
kk
kkkkk
(9.36)
Nojmanov problem (9.33a,b)
Po�to je na levoj granici intervala integracije poznata vrednost izvoda, ali ne i vrednost same funkcije koju tra�imo, problem re�avamo kao problem tra�enja korena jednačine:
( ) 0)()( 10 =−′= cxyxyF n (9.37)
metodom sekante.
217
Robinov problem (9.31a,b)
Problem se mo�e re�avati kao problem re�avanja jednačine:
F(y(x0)) = A1y(xn) + B1y′(xn) - c1 = 0 (9.38)
Iz procene početne vrednosti funkcije y(x0)(k), dobijene metodom sekante, početnu vrednost njenog prvog izvoda dobijamo iz graničnog uslova (9.31a):
])([1)( )(0
)(0
kk xAycB
xy −=′
Alternativno, ako se kao nezavisno promenljiva uzme početna vrednost prvog izvoda y′(x0)(k), iz istog graničnog uslova se dobija procena početne vrednosti funkcije y(x0)(k).
Zadatak 9.8 U tankom filmu tečnosti, debljine L, koji je sa jedne strane (x = 0) u kontaktu sa turbulentnom masom fluida, a sa druge (x = 1), sa čvrstim zidom, odvija se reakcija:
BAk
→
i bezdimenzioni koncentracijski profil y(x) reaktanta A u filmu, opisan je diferencijalnom jednačinom:
0)1(1)0(
05.022
2
=′=
=Φ−
yy
ydx
yd
gde je bezdimenzioni parametar 2Φ (Tilov modul), definisan kao:
DkL2
2 =Φ
k - konstanta brzine reakcije
D - koeficijent difuzije reaktanta kroz film tečnosti
Izračunati koncentracijski profil reaktanta u filmu za 8.02 =Φ
Rešenje: (Mathcad)
Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed. 1. reda:
D x z,( )
z1
Φ2 z0( )0.5⋅
:=
Funkcija ciju nulu trazimo : f z0 1( )( ) 1 z0 0( )−
gde z0 0( ) predstavlja dobijenu vrednost y(0) numerickom integracijom sistema od desne
granice x=1 do leve granice x=0 (negativan korak integracije) uz zadatu pocetnu vrednost prvog izvoda : z1(1)=0 i pretpostavljenu pocetnu vrednost funkcije y(1), odnosno z0(1).
Iteraciona promenljiva : pocetna vrednost koncentracije y(1), tj. funkcije z 0(1)
218
2. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=
vrednosti: X 0.6617= ∆ X Xp−:= ∆ 1.742 10 3−×= F 2.035 10 5−
×=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
3. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=
vrednosti: X 0.6617= ∆ X Xp−:= ∆ 1.633 10 5−×= F 2.623− 10 9−
×=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.5:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
0.511
0.546
0.604
0.686
0.796
0
0.114−
0.23−
0.351−
0.479−
0.616−
=
Fpp 1 S 1⟨ ⟩( )n−:= Fpp 0.204=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.8:= zXp
0
:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fp 0.171−=
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=
vrednosti: X 0.6634= ∆ X Xp−:= ∆ 0.137= F 2.151− 10 3−×=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
219
(Smanji TOL) f X( ) 4.233 10 5−×=X 0.6616=X root f x( ) x,( ):=x 0.5:=
Poziv funkcije root:
f x( ) zx
0
←
f 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−←
freturn
:=
Definisanje funkcije cija nula se trazi:
Resenje problema koriscenjem funkcije root:
y x( )→
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.966
0.934
0.904
0.875
0.849
0.824
0.802
0.781
0.761
0.744
0.728
0.714
0.702
0.691
0.682
=
0.5 0 0.5 10.6
0.8
1
1.2
y x( )→
x
y z( ) interp k x, y, z,( ):=
k cspline x y,( ):=Definisanje kubnog splajna:
y reverse S 1⟨ ⟩( ):=x reverse S 0⟨ ⟩( ):=Definisanje vektora x i y:
S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=Racunanje konacnog profila:
n 20:=Povecanje broja tacaka profila radi preciznije interpolacije:
Definisanje funkcije koja daje koncentraciju u bilo kojoj tacki interpolacijom u tabeli x - y numericki dobijenog resenja.
Zadatak 9.9 Bezdimenzioni matematički model reakcije:
BAk
→
n - tog reda, u poroznom zrnu katalizatora oblika pločice, debljine L je:
zrna) inaspovrspoljnja(11:1
)zrna simetrijeravan (0:0
10,022
2
(−=−=
==
≤≤=Φ−
ydxdy
Bix
dxdyx
xydx
yd n
gde su 2Φ i Bi bezdimenzione grupe (Tilov modul i Bajotov broj). Izračunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,5.0,2 ===Φ Bin
220
Rešenje: (Mathcad)
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:=
vrednosti: X 0.0466= ∆ X Xp−:= ∆ 0.053= F 0.098=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
2. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:=
Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda:
D x z,( )
z1
Φ2
z0( )0.5⋅
:=
f y 0( )( ) y 1( ) 1−1Bi x
y 1( )dd
⋅+Funkcija ciju nulu trazimo :
gde je nezavisno promenljiva pretpostavljena pocetna vrednost funkcije y(0), odnosno z0(0). y(1), odnosno z0(1) predstavlja dobijenu vrednost funkcije na desnoj granici numerickom integracijom sistema od leve granice x=0, a dy(1)/dx, odnosno z1(1) dobijenu vrednost prvog izvoda na desnoj granici.
Iteraciona promenljiva :pocetna vrednost koncentracije y(0), tj. funkcije z 0(0)
Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=
f u v,( ) u 1−1Bi
v⋅+:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.01:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fpp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:= Fpp 0.313−=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.1:= zXp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:= Fp 0.457=
221
F 2.355 10 3−×=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
itd....
Resenje problema koriscenjem funkcije root:
Definisanje funkcije cija nula se trazi:f x( ) z
x
0
←
S Rkadapt z 0, 1, n, D,( )←
f S 1⟨ ⟩( )n 1−
1Bi
S 2⟨ ⟩( )n⋅+←
freturn
:=
Poziv funkcije root: TOL 0.0001:=
x 0.1:= X root f x( ) x,( ):= X 0.03535= f X( ) 1.083 10 6−×=
zX
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= S
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.035
0.051
0.103
0.208
0.385
0.663
0
0.161
0.376
0.685
1.114
1.686
=
vrednosti: X 0.032= ∆ X Xp−:= ∆ 0.015= F 0.032−=
priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=
3. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:=
vrednosti: X 0.0356= ∆ X Xp−:= ∆ 3.615 10 3−×=
9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE
Mo�e se pokazati, da ako je diferencijalna jednačina linearna (9.30), algebarska jednačina koja se re�ava metodom probe i gre�ke (9.35, 9.37 ili 9.38) je takođe linearna, pa se njeno re�enje dobija u prvoj iteraciji metode sekante, iz dve polazne procene, odnosno re�enje dif. jednačine se dobija u trećoj integraciji ekvivalentnog sistema od 2 ODJ 1. reda.
Metoda superpozicije
Za linearnu diferencijalnu jednačinu va�i princip superpozicije: linearna kombinacija dva partikularna re�enja,
222
( ) ( ) ( )xyxyxy 2211 λ+λ= (9.39)
takođe parikularno re�enje. Tako se re�enje Robinovog problema mo�e dobiti na sledeći način:
1. Sa polaznom procenom y′1(a) dobijamo numerički prvo partikularno re�enje y1 u obliku dva niza: y1=( y1,i , y′1,i )i = 0,n
2. Sa polaznom procenom y′2(a) dobijamo numerički drugo partikularno re�enje y2=(y2,i , y′2,i)i = 0,n
3. Iz uslova da tra�eno re�enje y = λ1y1 + λ2y2 zadovolji granične uslove (9.31a,b), tj. iz sistema od dve linearne jednačine:
( ) ( )( ) ( ) 1,22,111,22,111
0,220,110,220.11
cyyByyAcyyByyA
nnnn =′λ+′λ+λ+λ
=′λ+′λ+λ+λ
dobijamo parametre λ1 i λ2
4. Konačno, re�enje dobijamo superpozicijom:
niyyy iii ,...,1,0,,22,11 =λ+λ=
Zadatak 9.10 Za reakciju prvog reda u tankom filmu tečnosti (Zad.9.8), koncentracijski profil reaktanta je opisan linearnom ODJ 2. reda:
0)1(1)0(
022
2
=′=
=Φ−
yy
ydx
yd
Izračunati za 8.02 =Φ , koncentracijski profil, a) metodom probe i gre�ke b) metodom superpozicije
Rešenje: (Mathcad)
a) D x z,( )z1
Φ2 z0⋅
:= n 5:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.5:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
0.508
0.532
0.574
0.634
0.714
0
0.08−
0.163−
0.252−
0.348−
0.456−
=
Fpp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fpp 0.286=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.8:= zXp
0
:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:= Fp 0.142−=
223
Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=
y z( ) interp k x, y, z,( ):=
0.5 0 0.5 10.6
0.8
1
1.2
y x( )→
x
y x( )→
00123
45
67
8910
1112
1314
15
10.9690.94
0.913
0.8880.864
0.8420.822
0.8040.7870.772
0.7580.746
0.7350.726
0.718
=
b) n 5:=
1. polazna procena i integracija :
X1 0.5:= zX1
0
:= S1 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.714
0.634
0.574
0.532
0.508
0.5
0.456−
0.348−
0.252−
0.163−
0.08−
0
=
2. polazna procena i integracija
X2 0.8:= zX2
0
:= S2 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.142
1.014
0.918
0.852
0.813
0.8
0.729−
0.557−
0.403−
0.261−
0.129−
0
=
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,−:=
vrednosti: X 0.7006= ∆ X Xp−:= ∆ 0.099= F 0=
Resenje dobijeno u 1. iteraciji !
Racunanje profila:
n 20:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=
Definisanje vektora x i y: x reverse S 0⟨ ⟩( ):= y reverse S 1⟨ ⟩( ):=
224
Jednacine iz kojih se odredjuju parametri λ1 i λ2 su:
y 0( ) λ1 y1 0( )⋅ λ2 y2 0( )⋅+ 1 (1) y1 0( ) S10 1, S10 1, 0.714=
xy 1( )d
dλ1 x
y1 1( )dd
⋅ λ2 xy2 1( )d
d⋅+ 0 y2 0( ) S20 1, S20 1, 1.142=(2)
Druga se svodi na identitet pa ostaje samo prva jednacina, sto znaci da mozemo dabiramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz prve jednacine:
λ1 0:= λ21 λ1 S10 1,⋅−
S20 1,:= λ2 0.876=
Racunanje profila :
y λ1 S1 1⟨ ⟩⋅ λ2 S2 1⟨ ⟩
⋅+:= y
1
0.888
0.804
0.746
0.712
0.701
=
Zadatak 9.11 Za reakciju 1. reda u poroznoj pločici katalizatora (Zad.9.9), matematički model glasi:
11:1
0:0
10,022
2
−=−=
==
≤≤=Φ−
ydxdy
Bix
dxdyx
xydx
yd
Izračunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,2 ==Φ Bi a) metodom probe i gre�ke b) metodom superpozicije
Rešenje: (Mathcad)
Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jednacine 1. reda:
D x z,( )
z1
Φ2
z0⋅
:= n 5:= f u v,( ) u 1−1Bi
v⋅+:=
1. polazna procena i integracija :
Xpp 0.01:= zXpp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fpp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:= Fpp 0.948−=
225
Resenje dobijeno u 1. iteraciji !
Racunanje profila:
n 10:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Definisanje vektora x i y: x S 0⟨ ⟩:= y S 1⟨ ⟩
:=
Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=
y z( ) interp k x, y, z,( ):=
0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
y x( )→
x
y x( )→
001
23
456
78
910
0.1920.196
0.2070.227
0.2570.2960.347
0.4130.494
0.5960.722
=
b)
1. polazna procena i integracija :
X1 0.01:= zX1
0
:= S1 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
2. polazna procena i integracija
Xp 0.1:= zXp
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=
Fp f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:= Fp 0.479−=
Metod sekante
1. iteracija
X Xp FpXp Xpp−
Fp Fpp−⋅−:= z
X
0
:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1⟨ ⟩( )n S 2⟨ ⟩( )
n,
:=
vrednosti: X 0.1918= ∆ X Xp−:= ∆ 0.092= F 0=
226
y
0
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1920.196
0.207
0.227
0.257
0.296
0.347
0.413
0.494
0.596
0.722
=y λ1 S1 1⟨ ⟩⋅ λ2 S2 1⟨ ⟩
⋅+:=Racunanje profila :
λ2 1.918=λ2
1 λ1 S1n 1,1Bi
S1n 2,⋅+
⋅−
S2n 1,1Bi
S2n 2,⋅+
:=λ1 0:=
Prva jednacina se svodi na identitet pa ostaje samo druga jedn., sto znaci da mozemo da biramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz druge jednacine:
S2n 2, 0.725=xy2 1( )d
dS2n 2,S1n 2, 0.073=
xy1 1( )d
dS1n 2,
S2n 1, 0.376=y2 1( ) S2n 1,S1n 1, 0.038=y1 1( ) S1n 1,
(2) λ1 y1 1( )1Bi x
y1 1( )dd
⋅+
⋅ λ2 y2 1( )1Bi x
y2 1( )dd
⋅+
⋅+ 1
(1) xy 0( )d
dλ1 x
y1 0( )dd
⋅ λ2 xy2 0( )d
d⋅+ 0
Jednacine iz kojih se odredjuju parametri λ1 i λ2 su:
S2 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=zX1
0
:=X1 0.1:=
2. polazna procena i integracija :0
9.13 LINEARNA ODJ METODA KONAČNIH RAZLIKA
Alternativan način pribli�nog re�avanja graničnog problema za linearnu ODJ (9.30a) je metoda konačnih razlika, koja se zasniva na aproksimaciji izvoda konačnim razlikama. Izvodi koji figuri�u u dif. jednačini (9.30a) aproksimiraju se u unutra�njim tačkama xi, i=1,2,... n-1 diskretizovanog domena nezavisno promenljive, konačnim razlikama:
( ) ( )
( ) ( )22
1112
2
2111
,2
,22
hOEh
yyyh
hyhyh
yxy
hOEh
yyh
yyxy
iiiiiii
iiiii
=+−
=∆−∆
=∆
≈′′
=−
=∆+∆
≈′
−+−
−+−
(9.40)
227
(gre�ka aproksimacija je reda h2) čime se diferencijalna jednačina zamenjuje sledećim sistemom od (n -1) linearne algebarske jednačine sa, u uslučaju Robinovog problema, ukupno (n +1) nepoznatih: yi, i = 0,1,..., n,
1,...,2,1,)()()(232
1112
11 −==+−
++− −+−+ nixgyxg
hyyxg
hyyy
iiiii
iiii (9.41)
Nedostajuće 2 jednačine su granični uslovi (9.31a,b) u kojima su prvi izvodi aproksimirani konačnim razlikama unapred ili u nazad (gre�ke aproksimacija su reda h): c
hyyBAy =
−+ 01
0 (9.42a)
11
11 ch
yyByA nnn =
−+ − (9.42b)
Rezultujući SLJ ima trodijagonalnu strukturu i re�ava se Thomasovim algoritmom.U specijalnom slučaju Dirihleovih graničnih uslova, vrednosti funkcije u krajnjim tačkama, y0 i yn su zadate, pa se re�avaju samo jednačine (9.40) po y1,...,yn-1.
Zadatak 9.12 Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(z) u cevnom reaktoru, u koome se odvija reakcija prvog reda:
BAk
→
opisan je diferencijalnom jednačinom:
reaktora) iz (izlaz0:1
reaktor)u (ulaz11:0
10,012
2
==
=−=
≤≤=−−
dzdcz
dzdc
Pecz
zcDdzdc
dzcd
Pe a
Potrebno je, za vrednosti bezdimenzionih parametara: Pe = 1, Da = 2
a) Izračunati i nacrtati koncentracijski profil c(z)
b) Izračunati postignu stepen konverzije reaktanta u reaktoru:
)0()1()0(
cccx −
=
c) Uporediti dobijeni rezultat za x sa onim izračunatim iz analitičkog re�enja problema:
aeeeaeee
rrrre
xrrxrre
DPPPrDPPPr
eerrererPererPrrzc
421
21,4
21
21
)()()(),,(
22
21
2112
1221 2112
2112
+−=++=
−+−−
=++
228
d) Povećavati broj integracionih koraka (za po 100), dok se numeričkim postupkom ne dobije stepen konverzije sa tačno�ću od 3 sigurne cifre.
Rešenje: (Prakt., XVI-4)