Savijanje elastične linije - Почетна · PDF fileIzračunavanje ugiba i nagiba uz pomoć tablica ... Primer jednačine elastične linije proste grede Iz jednačine ugiba zamenom

12/11/2010

1

Savijanje – elastične linije

Analitička metoda odreĎivanja elastične linije

Izračunavanje ugiba i nagiba uz pomoć tablica

Prva jednačina savijanja

Normalni napon u nekoj tački poprečnog

preseka s M – moment sprega

Ix – aksijalni moment inercije površine za tu

osu

y – udaljenost posmatranog vlakna od ose

yI

M

x

z s

12/11/2010

2

Druga jednačina savijanja

K- krivina elastične linije

M – moment sprega

Ix – aksijalni moment inercije površine za tu

osu

E – modul elastičnosti

B=E.Ix – krutost savijanja grede

Rk – poluprečnik krivine

B

Μ

IE

Μ

RK

xk

1

Diferencijalna jednačina elastične linije

Pomoću druge glavne jednačine definisana je krivina

elastične linije savijenog nosača

Iz matematike je poznato da se pod krivinom

podrazumeva odnos

Gde je:

R poluprečnik krivine

ds elementarni luk

da elementarna promena ugla

B

Μ

IE

Μ

Rd

sdK

x

1

a

12/11/2010

3

Nagib tangente krive prema Ox osi iz

matematike

Nagib tangente krive f(x) je prvi izvod funkcije koja

predstavlja krivu

Kako je element luka krive

Odatle je krivina

ydx

dytg

a

aa

2cos

1,

222 1 ydxdydxds

2

2

1

cos1

y

y

ds

dxy

ds

d

RK

aa


Usled savijanja težište nekog preseka se spušta (u

peavcu y ose) za dužinu koju nazivamo

ugib elastične linije (strela) tangenta sa osom Az gradi ugao koji se naziva

nagib grede

12/11/2010

4


proste grede

Gde su:

Mf moment savijanja u preseku z

B = E.Ix savojna krutost grede

B

M

IE

My

L

f

x

L

f

L

fMyB

Analitičko odreĎivanje elastične linije

Odrediti otpore oslonaca za rešavani nosač

Napisati izraze za promenu momenta

savijanja u funkciji od podužne koordinate z

Proizvod savojne krutosti i drugog izvoda

jednak je negativnom momentu savijanja i to

predstavlja diferencijalnu jednačinu elastične

linije L

fMyB

12/11/2010

5

Analitičko odreĎivanje elastične linije

Integraljenjem dobija se jednačina promene

nagiba u zavisnosti od koordinate z

Ponovnim integraljenjem dobija se jednačina

promene ugiba u zavisnosti od koordinate z

Integracione konstante odreĎuju se iz uslova

da su ugibi oslonaca jednaki nuli i kod

nosača u nekom preseku na kraju polja

promene opterećenja oba kraja moraju imati

isti ugib i nagib

Primer jednačine elastične linije proste

grede

L

bFFA

Otpori oslonaca

L

aFFB

zL

bFzFM A 1

azFzL

bFazFzFM A 2

az 0

Lza

I polje

II polje

12/11/2010

6


grede

Uvedena je Klebšova crta ili masna crta

Ona obeležava kraj prvog polja i početak

drugog polja

azFzL

aFazFzFM A

Oba izraza za moment mogu se objediniti


grede:

Izvršiti integraciju

u I polju pre crte po z

u II polju posle crte po (z-a)

azFzL

aFazFzFMyB A

Diferencijalna jednačina L

fMyB

12/11/2010

7


grede

Integracione konstante se uvek stavljaju

ispred crte

OdreĎuju se iz graničnih uslova

22

2

1

2 azFC

z

L

aFyB

66

3

21

3 azFCzC

z

L

aFBy

0,

0,0

yLz

yz


grede

0

60

6

3

1

3

az

FLCL

L

aFByLy

Uslov za z=0 pripada prvom polju pa se primenjuje na deo

ispred crte

0006

00 221

3

CCCL

aFByy

Uslov za z=L pripada drugo polju pa se primenjuje ceo

izraz – briše se crta

066

3

1 L

bFL

bFC

12/11/2010

8


grede

JEDNAČINA NAGIBA

2222

3316 L

az

L

z

L

b

L

b

B

FLy


grede

Iz jednačine ugiba zamenom z=a dobije se

ugib ispod sile

223

3

L

b

L

b

B

FLy az

12/11/2010

9


grede

L

b

L

b

L

a

B

FLyz 1

6

2

0a

u osloncima zamenom z = 0 dobijamo nagib u

osloncu A

L

b

L

b

L

a

B

FLy Lz 1

6

2

u osloncima zamenom z = L dobijamo nagib u

osloncu B

Elastične linije statički odreĎenih

nosača

U tablicama iz Otpornosti materijala postoje

obraĎeni karakteristični nosači i definisane

jednačine elastične linije, ugiba i nagiba.

Za odreĎivanje karakteristične vrednosti

potrebnog ugiba ili nagiba za konkretan

nosač sa definisanim opterećenjima treba

koristiti princip superpozicije (sabiranja

dejstava)

12/11/2010

10

Elastične linije statički odreĎenih

nosača

Za posmatrani nosač uočiti koja opterećenja

deluju

Uzeti kolika su udaljenja opterećenja od

oslonaca

Za svako opterećenje na nosaču povaditi

podatke iz tablica

Napraviti konačan zbir na željenoj poziciji

Primer rešavanja istog zadatka

Primenom metode direktne integracije

Korišćenjem gotovih izraza u tablicama

12/11/2010

11

Postavka zadatka

Za datu gredu sa dve

sile odrediti ugib

ispod sile 2 i ugao

nagiba ispod sile 1

Primenom direktne

integracije

Korišćenjem tablica

Za dati nosač

OdreĎivanje otpora oslonaca i osnovnih

statičkih dijagrama

Pošto nije poznat poprečni presek izvršiti

dimenzionisanje kako bi se odredila savojna

krutost B

Poznato je da je greda od čelika sdoz =120 MPa

i E=2 .105 MPa, i da je greda kružnog

poprečnog preseka

12/11/2010

12

Primer grede sa dve koncentrisane sile

Maksimalni moment

savijanja

Maksimalna

transverzalna sila

Mfmax = 80 kNm

Ftmax = 40 kN

OdreĎivanje dimenzija poprečnog

preseka

U datom slučaju

Mfmax = 80 kNm

Standardno najbliže veće je d=0.2m

3

6

3

103

2

10120

1080

doz

f

xdoz

x

f MW

W

M

sss

md 189.03

102323

3

12/11/2010

13

OdreĎivanje dimenzija poprečnog

preseka grede

Za dobijeno d=0.2m moment inercije za x osu

Savojna krutost je

24

11 1570796364

102 Nmd

IEB x

64

2.0

64

44

dI x

2963,15707 kNmB

OdreĎivanje jednačine elastične linije

Za odreĎene otpore oslonaca napisati izraz

za moment savijanja po poljima

zzFM A 301

22030212 zzazFzFM A

azFazFzFM A 42 213

12/11/2010

14

Rešavanje zadatka direktnom

integracijom

Napisati izraze za momente savijanja po

poljima

Izvršiti integraciju po promenljivim

Odrediti integracione konstante iz graničnih

uslova

Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba


Izraz za moment predstavlja diferencijalnu

jednačinu elastične linije

Izraz za moment možemo napisati

predvajanjem momenata po poljima

Klebšovom ili masnom crtom

L

fMyB

azFazFzFM A 42 213

12/11/2010

15


Diferencijalna jednačina elastične linije dobija

oblik

Za konkretan slučaj zamenimo vrednosti

L

fMyB

azFazFzFyB A 42 21

45022030 zzzyB


Izvršiti integaljenje po promenljivoj z za prvo

polje, po (z-2) za drugo i (z-4) za treće polje

45022030 zzzyB

2

450

2

220

230

22

1

2

zzC

zyB

6

450

6

220

630

33

21

3

zzCzC

zBy

12/11/2010

16


Integracione konstante odreĎuju se iz

graničnih uslova

Pošto je to u prvom polju, uzima se izraz do

prve Klebšove crte

00 yz

0006

0300 221

3

CCCzBy


Integracione konstante odreĎuju se iz

graničnih uslova

Pošto je to u trećem polju, uzima se ceo izraz

06 yLz

06

4650

6

2620

6

6306

33

21

3

CzCzBy

36

48001 C

12/11/2010

17


Konačan oblik za dati primer je

45022030 zzzyB

2

450

2

220

36

4800

230

222

zzzyB

6

450

6

220

36

4800

630

333

zzz

zBy

Prema dobijenim izrazima izračunava se:

Ugib ispod sile 2 za koje je z=4, pripada kraju

drugog polja, pa se uzima izraz do druge

masne crte

6

450

6

220

36

4800

630

333

zzz

zBy

3

33

2406

24204

36

4800

6

430 kNmBy

12/11/2010

18


Nabib ispod sile 1 za koje je z=2, pripada

kraju prvog polja, pa se uzima izraz do prve

masne crte

2

450

2

220

36

4800

230

222

zzzyB

36

2640

36

4800

2

230

2

yB


Ugib ispod sile 2

Nabib ispod sile 1

oradB

y 267.000468.01570736

2640

36

2640

mmmkNm

B

kNmy 27.1501527.0

15707

240240 33

12/11/2010

19

Rešavanje zadatka korišćenjem tablica

Odrediti položaje i uticaj opterećenja

Očitati izraze za rešavani zadatak

Izvršiti zamenu vrednosti u primeru za mesto

dejstva sile 2

Prosta greda

tab1

12/11/2010

20

Prosta greda

Prosta greda

12/11/2010

21

OdreĎivanje ugiba na mestu sile 2

Primer je u tablicama na 43. strani

Izračunavamo ugib koji sila 1 pravi na mestu

sile 2

Izračunavamo ugib koji sila 2 pravi na mestu 2

Kao zbir odreĎujemo ukupni ugib

3223

16 l

az

l

z

l

b

l

z

l

b

B

Fly



sile 2, gde je a=2, b=4 mesto dejstva sile 1

od 20 kN i traženo z=4,

3223

16 l

az

l

z

l

b

l

z

l

b

B

Fly

81

7

6

620

6

24

6

4

6

41

6

4

6

4

6

620 23223

1

BByF

12/11/2010

22




od 50 kN i traženo z=4, pošto je to sada na

kraju polja 1 koristi se izraz do crte

3223

16 l

az

l

z

l

b

l

z

l

b

B

Fly

81

8

6

620

6

4

6

21

6

4

6

2

6

650 2223

2

BByF


Ukupan ugib je zbir koji prave obe sile za z=4

BBByyy FF

240

81

8

6

650

81

7

6

620 33

21

3240kNmBy

12/11/2010

23

OdreĎivanje nagiba na mestu sile 1

ugao u rad

Primer je u tablicama na 43. strani

Izračunavamo nagib koji sila 1 pravi na mestu

sile 1


1

Kao zbir odreĎujemo ukupan nagib

2222

3316 l

az

l

z

l

b

l

b

B

Fly




od 20 kN i traženo z=2, i pripada prvom polju

2222

1 3316 l

az

l

z

l

b

l

b

B

FlyF

27

4

6

620

6

23

6

41

6

4

6

620 2222

1

BByF

12/11/2010

24




od 50 kN i traženo z=2, i pripada prvom polju

2222

2 3316 l

az

l

z

l

b

l

b

B

FlyF

27

5

6

6

6

23

6

21

6

2

6

650 2222

2

B

F

ByF


Ukupan nagib je zbir koji prave obe sile na

z=4

BBByyy FF

27

1980

27

5

6

650

27

4

6

620 22

21

22 3333.7327

1980kNmkNmyB

12/11/2010

25


Ugib ispod sile 2

Nagib ispod sile 1

oradB

y 267.000468.01570727

1980

27

1980

mmmkNm

B

kNmy 27.1501527.0

15707

240240 33

Rezime:

Za odreĎivanje ugiba i nagiba nekog

statički odreĎenog nosača:

Prvo odrediti otpore oslonaca i nacrtati

statičke dijagrame

Dimenzionisati nosač ako to nije već učinjeno

Definisati savojnu krutost

12/11/2010

26

Rezime: Metoda direktne integracije

Napisati izraze za momente savijanja po

poljima

Izvršiti integraciju po promenljivim

Odrediti integracione konstante iz graničnih

uslova

Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba

Rezime: Rešavanje korišćenjem tablica

Odrediti položaje i uticaj opterećenja

Očitati izraze za rešavani zadatak za sva

definisana opterećenja

Izvršiti zamenu vrednosti

Sabrati dobijene ugibe, odnosno nagibe

Documents

Savijanje elastične linije - Почетна · PDF fileIzračunavanje ugiba i nagiba uz pomoć tablica ... Primer jednačine elastične linije proste grede Iz jednačine ugiba zamenom