Upload
sorena
View
55
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer. Kolarac, 4.12.2008. Šta su jednačine?. Primer:. Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?. Primer:. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
A. Krapež:A. Krapež:
Jednačine, grafovi Jednačine, grafovi i računari – jedan i računari – jedan
primerprimer
Kolarac, 4.12.2008.Kolarac, 4.12.2008.
Šta su jednačine?Šta su jednačine?
Primer:Primer:
Pre 2 godine Perica je bio 3 puta Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?i Milica?
Primer:Primer:
Pre 2 godine Perica je bio 3 puta Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?Milica?
P - 2 = 3 * (M - 3)P - 2 = 3 * (M - 3) P + M = 4 * (P - M)P + M = 4 * (P - M)
Rešenje:Rešenje:
P = 5P = 5 M = 3M = 3
Perica ima 5 a Milica 3 godine.Perica ima 5 a Milica 3 godine.
Problem:Problem:
Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?Dejan i Jovan?
Problem:Problem:
Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?Dejan i Jovan?
D = J + 4D = J + 4 D + 3 = 5 * (J + 3)D + 3 = 5 * (J + 3)
Rešenje?Rešenje?
D = 2D = 2 J = -2J = -2
Rešenje sistema jednačina nije Rešenje sistema jednačina nije rešenje problema zbog rešenje problema zbog ““nevidljivenevidljive”” pretpostavke J pretpostavke J > > -1-1 . .
ReRešenje:šenje:
Osobe Dejan i Jovan takvi da Osobe Dejan i Jovan takvi da zadovoljavaju uslove postavljenog zadovoljavaju uslove postavljenog problema problema ne postojene postoje..
Elementi koji određuju pojam Elementi koji određuju pojam jednačine:jednačine:
Jezik na kome je jednačina Jezik na kome je jednačina formulisanaformulisana
Oblast važenjaOblast važenja Skup rešenjaSkup rešenja
Šta su funkcionalne Šta su funkcionalne jednačine?jednačine?
Primer:Primer:
Košijeva jednačina:Košijeva jednačina:
f(x + y) = f(x) + f(y)f(x + y) = f(x) + f(y)
f – neprekidna realna funkcijaf – neprekidna realna funkcija
Rešenje:Rešenje:
f(x) = p * x f(x) = p * x (p – realan (p – realan parametar)parametar)
Formulom je dato Formulom je dato opšteopšte rešenje. rešenje.
Primer:Primer:
Peksiderova jednačina:Peksiderova jednačina:
f(x + y) = g(x) + h(y)f(x + y) = g(x) + h(y)
f, g, h – neprekidne realne funkcijef, g, h – neprekidne realne funkcije
Formule opšteg rešenja:Formule opšteg rešenja:
f(x) = p * x + a + bf(x) = p * x + a + b g(x) = p * x + bg(x) = p * x + b h(x) = p * x + ah(x) = p * x + a
p, a , b – realni parametrip, a , b – realni parametri
Šta su grafovi?Šta su grafovi?
Elementi koji određuju pojam grafa:Elementi koji određuju pojam grafa:
ČvoroviČvorovi GraneGrane IncidencijeIncidencije
Primeri:Primeri:
DipolDipol
K2 = D1DipolDipol
D3
““DumbbelDumbbell”l”
KK33
Primeri:Primeri:
KK55
KK11
KK44
KK3,33,3
DefinicijaDefinicija
Graf je planaran Graf je planaran ako se moako se može potopiti u že potopiti u euklidsku ravan tako da se grane seku euklidsku ravan tako da se grane seku samo u čvorovima.samo u čvorovima.
Teorema Kuratovskog:Teorema Kuratovskog:
Graf je planaran ako se u njega ne mogu Graf je planaran ako se u njega ne mogu upisati grafovi Kupisati grafovi K55 i K i K3,3 3,3 . .
Primene:Primene:
Problem kenigsberških mostovaProblem kenigsberških mostova Problem putujućeg trgovcaProblem putujućeg trgovca
TokoviTokovi Vodovodna mrežaVodovodna mreža InternetInternet Tokovi novcaTokovi novca ““JuJužni tokžni tok””
Šta su kvazigrupe?Šta su kvazigrupe?
GrupeGrupe
Grupe simetrijaGrupe simetrija
Rubikova kockaRubikova kocka Automorfizmi strukturaAutomorfizmi struktura Rešivost linearnih jednačina:Rešivost linearnih jednačina:
a * y = ca * y = c ,, x * b = cx * b = c
y = ay = a-1-1 * c* c ,, x = c * bx = c * b-1-1
KvazigKvazigruperupe
JednoznaJednoznačna rešivost linearnih čna rešivost linearnih jednačina:jednačina:
a * y = ca * y = c ,, x * b = cx * b = c
y = a y = a \ c\ c ,, x = c / bx = c / b
levo deljenjelevo deljenje desno deljenjedesno deljenje
KvazigrupeKvazigrupe
Grupa = kvazigrupa + asocijativnostGrupa = kvazigrupa + asocijativnostx * (y * z) = (x * y) * zx * (y * z) = (x * y) * z
Komutativna grupa = grupa + Komutativna grupa = grupa + komutativnostkomutativnost
x * y = y * xx * y = y * x
Važne kvazigrupe:Važne kvazigrupe:
kvazigrupe kvazigrupe “linearne” nad “linearne” nad grupamagrupama
x . y = fx . y = f-1-1(g(x) + h(y))(g(x) + h(y))
Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu).Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu).
Kvazigrupe A, B, C, D vezane Kvazigrupe A, B, C, D vezane uopštenom jednačinom uopštenom jednačinom asocijativnosti:asocijativnosti:
A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z))A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z))
su sve linearne nad istom grupom.su sve linearne nad istom grupom.
KvazigrupeKvazigrupe
Relativističko slaganje brzinaRelativističko slaganje brzina Kodovi koji otkrivaju (popravljaju) Kodovi koji otkrivaju (popravljaju)
greškegreške Geometrijske rešetkeGeometrijske rešetke Latinski kvadratiLatinski kvadrati Dizajn eksperimenataDizajn eksperimenata
Geometrijske reGeometrijske rešetkešetke
** 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1 0 1 2
2
1
0
Teorija Save KrstiTeorija Save Krstiććaa
Veza uopštenuh kvadratnih Veza uopštenuh kvadratnih funkcionalnih jednačina na funkcionalnih jednačina na kvazigrupama i konačnih povezanih kvazigrupama i konačnih povezanih kubnih grafovakubnih grafova
1. primer1. primer
Jednačina uopštene asocijativnosti:Jednačina uopštene asocijativnosti:A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z))A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z))
Krstićev graf jednačine:Krstićev graf jednačine: AA BB
x yx y z z DD
C C
1. primer1. primer
To je graf To je graf KK44
AA
BB DD
CC
2. primer2. primer
Jednačina uopštene tranzitivnosti:Jednačina uopštene tranzitivnosti:A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z)A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z)
Krstićev graf jednačine:Krstićev graf jednačine: AA BB C C
x yx y z z
DD
Teorema.Teorema.
Sličnim jednačinama odgovaraju Sličnim jednačinama odgovaraju slični grafovi.slični grafovi.
Teorema.Teorema.Operacije u jednačini su linearno Operacije u jednačini su linearno povezane ako u Krstićevom grafu postoje povezane ako u Krstićevom grafu postoje 3 disjunktna puta između njih.3 disjunktna puta između njih.Klasa povezanih operacija je linearna nad Klasa povezanih operacija je linearna nad istom grupom akistom grupom akkko ih ima o ih ima >2 u klasi akko >2 u klasi akko se se K4 uklapa u taj deo Krstićevog grafa.Klasa povezanih operacija je linearna nad istom komutativnom grupom akko taj deo grafa nije planaran akko se u njega uklapa graf K3,3 .
Svojstvima geometrijskih reSvojstvima geometrijskih reššetakaetaka odgovaraju odgovaraju konfiguracijekonfiguracije..
Konfiguracijama odgovaraju jednačine Konfiguracijama odgovaraju jednačine nad koordinatnim kvazigrupama.nad koordinatnim kvazigrupama.
Ako su ove jednačine kvadratne, Ako su ove jednačine kvadratne, umemo da ih rešimo i sledi da skoro umemo da ih rešimo i sledi da skoro uvek imaju za posledicu linearnost nad uvek imaju za posledicu linearnost nad grupomgrupom koja je koja je često komutativna.često komutativna.
TabelaTabela
BrojBroj
promenljipromenljivihvih
Broj Broj
jednačinajednačinaBroj Broj norm.norm.
jednačinajednačina
BrojBroj
grafovagrafova
1 1 1 12 30 9 23 3.780 330 54 1.081.08
022.785 17
5 551.350.800
2.303.910
71
Graf jGraf jednaednačinečine sa 1 promenljivom sa 1 promenljivom
x = xx = x
Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 2 promenljivesa 2 promenljive
A(x, x) = B(y, y)A(x, x) = B(y, y) A(x,y) = A(x,y) = B(x,y)B(x,y)
““DumbbellDumbbell””D3
Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 3 promenljivesa 3 promenljive
Grafovi jednačina Grafovi jednačina sa 3 promenljivesa 3 promenljive