MPI 5.-7. prednáška

MPI 5.-7. prednáška

MATEMATICKÁ ANALÝZA

Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej

premennej a jej vlastnosti.

• Množinové symboly (všetky symboly vedieť čo znamenajú)

• xA, xA, AB, AB, AB, AB, a,b,c, =, AB, AB

Príklad 1.A=x; x 0, B=x; x5, AB, AB=?, AB=?

Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti.

• Intervaly reálnych čísel, vnútro intervalu• Ak a,bR, vedieť čo znamenajú symboly (a,b),

a,b, a,b), (a,b, (a, ), a, ), (- ,b), (- ,b;• Treba vedieť čo sú to krajné body intervalu,

vnútro intervalu.• Príklad 2. • Príklady konkrétnych intervalov a ich grafické

znázornenie.


• Definícia reálnej funkcie reálnej premennej

Reálna funkcia definovaná na množine A (podmnožine reálnych čísel) je pravidlo (predpis), ktorým každému prvku x z množiny A priradíme jediný prvok y z množiny R (hodnota funkcie v bode x). Zapisujeme y=f(x). (f:AR)

• Príklad 3.

Uviesť príklady konkrétnych funkcií.


• Definičný obor a obor hodnôt funkcieMnožina A je definičný obor funkcie. Množina všetkých

hodnôt funkcie sa nazýva obor hodnôt funkcie. Ak nie je definičný obor daný a funkcia je daná vzorcom,

tak jej definičným oborom rozumieme „prirodzený“ definičný obor, tj. Množinu všetkých čísel pre ktoré má daný vzorec zmysel.

• Príklad 4.Definičné obory funkcií daných vzorcom (zlomok, druhá

odmocnina), hodnoty týchto funkcií v konkrétnych bodoch, obory hodnôt týchto funkcií.


• Graf funkcie

Graf funkcie y=f(x) je množina bodov x,y (roviny)pre ktoré platí y=f(x).

• Príklad 5.

Daná je funkcia y=x(x-6) , kde definičný obor je interval (0,6. Nakreslite graf tejto funkcie. Určte obor hodnôt tejto funkcie.


• Ohraničená funkcia (zdola, zhora)Hovoríme, že funkcia f(x) je zhora (zdola) ohraničená na

množine A, ak existuje číslo a (b) , že pre každé xA platí af(x) (f(x)b). Funkcia je ohraničená ak je ohraničená aj zdola aj zhora.

• Príklad 6.a. Funkcia y=1/x na intervale (0, ) je ohraničená zdola ale

nie zhora a na intervale (1,) resp. 1,) je ohraničená.b. Dokážte, že funkcia y = je na celom svojom definičnom

obore ohraničená!


• Monotónne funkcieHovoríme že funkcia f definovaná na množine A jea. rastúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x 2 je f(x1) f(x2);b. klesajúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x 2 je f(x1)

f(x2);c. nerastúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x 2 je f(x1)

f(x2);d. neklesajúca na Apre každé x1, x2 A, x1 x2 je f(x1)

f(x2).• Príklad 7a. Príklady na jednotlivé monotónne funkcie.• Poznámka o rýdzomonotónnych.


• Operácie s funkciamiDve funkcie f a g sa rovnajú (píšeme f = g) práve vtedy,

ak sa rovnajú ich definičné obory (ako množiny) a pre každé x z definičného oboru platí f(x)=g(x) .

Nech sú dané dve funkcie f a g, s príslušnými definičnými obormi Df a Dg. Nech množina D= Df ∩ Dg je neprázdna množina. Potom pre každé x D možno definovať nasledujúce funkcie: h1 = f + g, h2 = f - g, h3= f.g a za predpokladu g 0 aj funkciu h4=

Funkciu h1 nazývame súčtom funkcií, funkciu h2 nazývame rozdielom funkcií, funkciu h3 nazývame súčinom funkcií, funkciu h4 nazývame podielom funkcií.

f

g


• Zložená funkciaNech je na množine M definovaná funkcia g . Nech pre

každé x patriace do M, hodnota g(x) patrí do Df. Potom možno na množine M definovať funkciu h nasledovne:

Pre každé x z množiny M položme : h(x) =f[g(x ] .

Funkciu h nazývame zloženou funkciou, utvorenou z funkcií f a g.

Funkciu f nazývame vonkajšou zložkou a funkciu g vnútornou zložkou zloženej funkcie h.

• Upozorňujeme čitateľa, že zložená funkcia môže byť utvorená z viacerých ako dvoch „častí“. Presnejšie povedané, vonkajšia zložka , alebo vnútorná zložka , môžu byť zase zložené funkcie.

• Schematicky znázorniť.


• Príklad 8. • Určte definičný obor funkcie y =

• Príklad 9. • Zistite, či sa nasledujúce funkcie f a g

rovnajú: f , g= x+1.

1

3 1

2 5

1x

x

x

x

x

x x

x

2 1

1


• Inverzná funkciaNech f je reálna funkcia. Budeme hovoriť, že funkcia je

prostá na množine M , ak pre každú dvojicu x1≠x2, platí:f(x1)≠f(x2) .

• Veta . Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá. • Nech f je reálna funkcia, ktorá je prostá na neprázdnej

množine M. Označme znakom f(M) obraz množiny M pri zobrazení funkciou f (t.j. f(M) = ). Potom funkciu, ktorá každému y priradí práve to x, ktoré funkcia f zobrazila na tento bod y nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme f-1 .

y y f x x M; ,


• Veta Nech f je prostá funkcia. Potom pre každé a z Df platí:

• a pre každé b z Hf platí

• Príklad 10. Dokážte, že funkcia = 2x+4 je prostá a vypočítajte k nej inverznú funkciu.

• Pozorný čitateľ si môže klásť otázku, prečo možno určiť inverznú funkciu iba k funkcii prostej?

aaff 1

bbff 1


• 11. Párne a nepárne funkcie

• Nech definičný obor funkcie f má nasledujúcu vlastnosť: Ak x patrí do Df, tak aj –x patrí do Df . Potom hovoríme, že:

a.) je funkcia párna , ak pre každé x platí f(-x)=f(x),

b.) je funkcia nepárna, ak pre každé x platí f(-x)=´-f(x).


• Príklad 11.

• Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť nasledujúcich funkcií:

a)

b)

x

xxf

2

23)(

4

3)( 2 xxxf

Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti.

• Definícia postupnosti• Postupnosťou nazývame každú funkciu, ktorej

definičným oborom je množina prirodzených čísel.

• Hodnoty tejto funkcie nazývame členmi postupnosti. Teda hodnotu v čísle 1 nazývame prvým členom postupnosti a označujeme a1, hodnotu v čísle 2 druhým členom a označujeme a2, atď. Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti a označujeme 1nna


• Príklad 1:

nn

1

1 2 3 4, , , ,...

,...,,3

1

2

11

1

1nn

1

2

1

2

1

4

1

61n n

, , ,...

1 11 11

1

n

n, , , ,...


• Príklad 1.n

n n

1

1

2

2

3

3

41

, , ,...

,...27

26,4

5,0

11

1n

n

n

1 1111n

, , ,...

Pretože postupnosť je špeciálnym prípadom funkcie (presnejšie je to funkcia so špeciálnym definičným oborom), je ihneď zrejmý pojem monotónnej postupnosti.


• Limita postupnosti a symbol ∞• Budeme hovoriť, že postupnosť má limitu

rovnú číslu a, ak k ľubovoľnému existuje také číslo n0, že pre všetky prirodzené čísla n>n0 je , čo zapisujeme: . Ak má postupnosť limitu rovnú číslu a , tak postupnosť je konvergentná, resp. konverguje k číslu a. Ak postupnosť nemá limitu, tak nie je konvergentná, alebo hovoríme že je divergentná.

1nna

0

aan aann

lim


• Skutočnosť, že daná postupnosť má limitu zvykneme pomocou kvantifikátorov zapisovať nasledovne:

aaaa nnnn

nn

000

lim


• Poznámka .

• Upozorňujeme čitateľa, že pod pojmom „číslo “ sa myslí reálne číslo, teda nie ∞, ani -∞. Inými slovami: „konvergovať“ znamená mať za limitu konečné reálne číslo. (O postupnostiach, ktoré majú za limitu ∞, alebo -∞ sa zmienime neskôr.)

• Uvedomme čo znamená zápis a an


• Príklad 2.

• Ukážte (iba zakresliť), že:

11

n

nnlim


• Vlastnosti limity postupnosti• Veta . (O jednoznačnosti limity.) Každá

konvergentná postupnosť má práve jednu limitu.

• Veta . (O konvergentnej postupnosti)Každá konvergentná postupnosť je ohraničená.

• Poznámka Upozorňujeme čitateľa, že obrátené tvrdenie nemusí platiť. Napriek tejto „nedokonalosti“ majú však všetky ohraničené postupnosti reálnych čísel jednu peknú a významnú vlastnosť. A to, že z každej ohraničenej postupnosti reálnych čísel možno vybrať konvergentnú postupnosť.


• Veta . (Veta o limite súčtu a súčinu postupností.) Nech a sú dané konvergentné postupnosti, t.j. a

Potom platí: = A±B, • = A.B .

• Ak navyše predpokladáme, že všetky členy postupnosti {bn} sú rôzne od nuly a tiež B≠0, tak

• Ak c je reálne číslo, tak =c.A.

Aann

lim Bbnn

lim

nnn

ba

lim

lim .n

n na b

B

A

b

a

b

a

nn

nn

n

n

n

lim

limlim

nn

ac.lim


• Veta . (O limite vybranej postupnosti.) Nech je daná konvergentná postupnosť. Potom každá z nej vybraná postupnosť je tiež konvergentná a má tú istú limitu.

• Veta . Ak {an} je taká postupnosť, že

= 0 a postupnosť {bn} je ohraničená, tak pre limitu súčinu týchto postupností platí: = 0.

nna

lim

lim .n

n na b


• Príklad 3.

Vypočítajte

limn

n n

n

3 2 1

4 3

2

2

910

853lim

3

2

n

nnn

nn

nn

sin5

42lim

2


Rastúce, klesajúce a ohraničené postupnosti

Veta . Každá ohraničená monotónna postupnosť je konvergentná.

Dôsledok. (Definícia Eulerovho čísla) Postupnosť je konvergentná. Jej

limitu označujeme písmenom e, teda

1

11

n

n

n

en

n

n

11lim


• Príklad 4.

• Využitím vlastností limít a definície čísla e vypočítajte

32

1

4lim

n

n n

n


• Nevlastná limita postupnosti

• Budeme hovoriť, že postupnosť má nevlastnú limitu, rovnú ±∞ práve vtedy, ak k ľubovoľnému reálnemu číslu K existuje taký index n0, že pre všetky n>n0 platí cn > K (cn < K).

• Skutočnosť, že postupnosť má nevlastnú limitu , zapisujeme :

cn n

1

lim ( )n

nc


Veta . (vlastnosti nevlastných limít)• Ak limita postupnosti {|an|} je rovná ∞ a

všetky členy an≠0, potom postupnosť {1/an}je konvergentná a jej limita sa rovná nule.

• Nech a všetky čísla an sú nenulové. Ak existuje index n0 taký, že pre všetky n>n0 je an> 0 (an < 0), tak

0lim n

na

)1

lim(1

lim

nn

nn aa


Nech

Potom platí:- Ak c> 0, potom - Ak c< 0, potom

)lim(lim n

nn

naa

).lim(.lim n

nn

nacac

).lim(.lim n

nn

nacac


Nech postupnosť {an} má limitu ∞ a postupnosť {bn} je ohraničená, alebo má nevlastnú limitu rovnú +∞ . Potom

nn

nbalim


Poznámka . Symbolicky túto situáciu tiež zapisujeme: ∞+∞=∞, resp.∞+c=∞. Ale pozor! Výraz „∞-∞“ patrí totiž medzi tzv. nedefinované výrazy.

• Príklad 5.

Vypočítajte limitu postupnosti

)12552( 22lim

nnnnn

Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie.

• Myšlienka limity, interval bez bodu• Čo znamená zápis ?• Príklad 1.• Priblížiť na príklade f(x)=x+1, f(x)=x+1, x1,

f(x)= a f(1)=3.• Definičný obor musí obsahovať interval (x,a),

(a,x) alebo aj oba ale bod a nemusí obsahovať.

• Je zrejmé, že limita sa nemusí rovnať hodnote funkcie v danom bode. (nakresliť)

bxfan

)(lim

1

12

x

x


• Definícia limity

Hovoríme, že limita funkcie f(x) pre x idúce k a rovná sa b ( ), práve vtedy, ak pre každú postupnosť čísel {xn} z definičného oboru funkcie konvergujúcu k číslu a, postupnosť funkčných hodnôt {f(xn)} konverguje k číslu b.

bxfan

)(lim


• Poznámka.• -a, b môžu byť aj ±∞, (neskôr)• -jednostranné limity (vysvetliť na obrázkoch)• -teraz iba vlastná limita vo vlastnom bode• Príklad 2.• f(x)=1/x, x0,• f(x)=1/x2, x0,• f(x) je nespojitá v bode a,• f(x)=c,• f(x)=2x+5


Veta o ohraničenostiAk existuje vlastná limita funkcie f(x) v bode a potom

existuje interval okolo bodu a (bez bodu a) na ktorom je funkcia f(x) ohraničená.

Veta o zovretíNech na nejakom intervale okolo bodu a bez bodu a platí

f(x)h(x)g(x) (t.j pre všetky x). Nech

Potom aj (Nakresliť)

bxgxfax

ax

)(lim)(limbxh

an

)(lim


• Dôsledok.(+príklady)

1sin

lim0

x

x

x

x

x

x 2sin

5sinlim

0

2

2

0

3cos1lim x

x

x


• Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu,

polynómu, odmocniny z funkcie.

• Veta.

• Limita konštanty. .

• Limita funkcie x. .

• Limita funkcie s opačným znamienkom. Ak , potom .

ccan

lim

axan

lim

bxfan

)(lim bxfan

))((lim


• Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu,

podielu, polynómu, odmocniny z funkcie.

• Veta.

• Limita súčtu a rozdielu. Ak potom .

• Limita súčinu. Ak , potom .

1)(lim bxfan

2)(lim bxgan

21)()(lim bbxgxfan

1)(lim bxfan

2)(lim bxgan

21.)().(lim bbxgxfan


• Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu,

podielu, polynómu, odmocniny z funkcie.

• Veta.

• Limita podielu. Ak , , kde b20, potom .

• Limita odmocniny z funkcie. Ak f(x)0 a

, potom .

1)(lim bxfan

2)(lim bxgan

2

1

)(

)(lim b

b

xg

xf

an

bxfan

)(lim bxfan

)(lim


• Príklad 4.• Vypočítajte:

)123( 3

1lim

xxx

34

232

2

4lim

xx

xx

x

34

232

2

1lim

xx

xx

x

x

x

x

1

1lim

4


• Spojitosť funkcie• Funkcia f(x) je spojitá v bode a ak platí .• Poznámka.• Uviesť príčiny nespojitosti (nakresliť).• Veta.• Konštantná funkcia a funkcia f(x)=x sú spojité funkcie.• Súčet, rozdiel a súčin spojitých funkcií je spojitá funkcia

(špeciálne polynóm).• Podiel spojitých funkcií je spojitá funkcia na svojom definičnom

obore.• Ak je funkcia g spojitá v bode a a funkcia f spojitá v bode g(a),

potom je aj zložená funkcia f(g(x)) spojitá v bode a.• Ak je funkcia f(x) spojitá na uzavretom intervale a,b potom je na

tomto intervale ohraničená, dosahuje tu maximum aj minimum.

)()(lim afxfan


• Limita v nevlastnom bode a nevlastná limita funkcie

• Nakresliť prípad ak b= ± ∞, t.j. . Veta.

• Ak funkcia f(x) je v určitom okolí bodu a ohraničená a , potom ,

.• Ak a f(x) je kladná pre všetky x a,

z nejakého okolia bodu a, potom .

)(lim xfax

)(lim xgax

))()((lim xgxfax

0)(

)(lim

xg

xf

ax

)(lim xgax

))().((lim xgxfax


• Ak 0, , a pre každé xa z niektorého okolia bodu a platí g(x)0, (g(x)0), potom .

• Poznámka: Pozor na . Pripomenúť, že takéto príklady budeme vedieť riešiť neskôr.

• Nakresliť prípady ak a je , t.j. .

bxfax

)(lim 0)(lim

xgax

)()(

)(lim

xg

xf

ax

,

bxf

x

)(lim

Documents

MPI 5.-7. prednáška