EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 5

EKONOMETRIA

PREDNÁŠKA 5

NESPLNENIE PREDPOKLADOV LINEÁRNEHO KLASICKÉHO MODELU

1doc. Ing. Peter Obtulovič,CSc

NESPLNENIE PREDPOKLADOV LINEÁRNEHO KLASICKÉHO MODELU5.1 Nedodržanie predpokladov o náhodných zložkách5.1.1 Zovšeobecnený lineárny model a zovšeobecnená metóda najmenších štvorcov5.1.2 Heteroskedasticita5.1.2.1 Dôsledky a príčiny heteroskedasticity5.1.2.2 Zisťovanie heteroskedasticity5.1.2.3 Parkova metóda5.1.2.4 Glejserova metóda5.1.2.5 Goldfeldov – Quandtov test (GQ)5.1.2.6 Breuschov – Paganov test (BP)5.1.2.7 Whiteov test heteroskedasticity (W)5.1.2.8 Koenkerov – Bassettov test (KB)5.1.2.9 Riešenie problému heteroskedasticity

Obsah prednášky:


Naše doterajšie úvahy sa týkali klasického lineárneho ekonometrického modelu, kedy sme očakávali, že predpoklady 1až 6 boli splnené. V praktickej ekonometrickej analýze sa často stretávame s tým, že niektoré klasické predpoklady nie sú čiastočne, alebo úplne splnené. V takýchto prípadoch sa musíme zoberať otázkou, aký vplyv má nedodržanie jednotlivých predpokladov klasického modelu na vlastnosti estimátorov najmenších štvorcov.Najčastejšie sa postupuje tak, že odhadnutý ekonometrický model vhodnými testovacími technikami a diagnostickými postupmi verifikujeme, aby sme zistili, ktorý z klasických predpokladov 1 až 6 a do akej miery nie je splnený. Ak zistíme, že niektoré predpoklady nie sú pre daný model splnené, musíme obvykle urobiť určitú korekciu, spočívajúcu v úprave špecifikácie modelu, v úprave či transformovaní použitých dát, alebo modifikujeme zvolenú metódu odhadu parametrov modelu. Pre lepšiu názornosť a ľahšie pochopenie budeme vždy skúmať dôsledky nedodržania len jedného klasického predpokladu, pričom je však potrebné si uvedomiť, že môže a často aj dochádza k súčasnému nesplneniu niekoľkých klasických predpokladov súčasne. Aj napriek tomu je možné rozdeliť nesplnenie predpokladov klasického lineárneho ekonometrického modelu do dvoch okruhov:1.nedodržanie predpokladov o náhodných zložkách (heteroskedasticita a autokorelácia)2.nedodržanie predpokladov o matici pozorovaní vysvetľujúcich premenných (multikolinearita).


4

5.1 Nedodržanie predpokladov o náhodných zložkách

Pri odhade parametrov klasického lineárneho ekonometrického modelu metódou najmenších štvorcov požadujeme, aby náhodné poruchy regresného modelu

y Xβ u (5.1)

vyhovovali predpokladom 1 až 3 t.j.:

1.

0E u

(5.2)1.

2.

3.

2var( )iu

cov( ) 0i lu u

(5.3)

(5.4)

Predpoklad 2 (homoskedasticita) a predpoklad 3 (autokorelácia) sme sformulovali spoločne do jedného zápisu, ktorý obsahuje rozptyly a kovariancie prvkov náhodného vektora, ktoré možno usporiadať do tzv. variančno – kovariančnej matice:

2.TnE uu I

doc. Ing. Peter Obtulovič,CSc

5

Z predpokladu (5.2) vyplýva, že stredná hodnota, alebo priemery náhodných porúch sú v každom výbere pozorovaní nulové. Je ľahké sa presvedčiť, že ak tento predpoklad nie je splnený, potom platí:

E u

(5.5)

Vo vzťahu (5.5) platí , t.j. vo všetkých pozorovaniach sa premietne nenulová hodnota náhodnej zložky ako chyba úrovňovej konštanty modelu, takže dostaneme:

0

0 1 1

*0 1 1

*0 0

...

...

i i k ik

i i k ik

E Y X X

E Y X X

(5.6)

Ak je klasický nulový predpoklad (5.2) nahradený nenulovým predpokladom (5.5), nemá to vplyv na vlastnosti odhadov regresných koeficientov , len odhad úrovňovej konštanty je vychýleným odhadom , lebo použitím metódy najmenších štvorcov získame len odhad parametra . Porušenie prvého predpokladu nie je teda z praktického hľadiska kritické, lebo triviálne jednoduchá transformácia vedie k modelu s nulovou strednou hodnotou. Oveľa vážnejší negatívny dopad na vlastnosti estimátora najmenších štvorcov má nesplnenie druhého (5.3) a tretieho predpokladu (5.4).

1 2, ,..., kb b b

0b 00b


6

5.1.1 Zovšeobecnený lineárny model a zovšeobecnená metóda najmenších štvorcov

Klasický lineárny model (5.1) vychádzal z predpokladu o homoskedasticite a nekorelovanosti náhodných porúch, čo sme kompaktne zapísali do predpokladu o variančno – kovariančnej matici náhodných porúch

2.TnE uu I

(5.7)

V predpoklade (5.7) je variančno- kovariančná matica náhodných porúch skalárnym násobkom jednotkovej matice, pričom skalár je tiež neznámym parametrom modelu. Ukázali sme, že najlepším neskresleným a výdatným estimátorom je estimátor najmenších štvorcov:

2

1T Tb X X X y

s variančno – kovariančnou maticou:

12var T

b X X

Súčasne sme pripustili, že ekonomický vzťah zobrazený lineárnym modelom tieto predpoklady v určitých prípadoch spĺňať nemusí. Pri použití prierezových údajov nemusí byť splnený predpoklad o konštantnosti rozptylu náhodných porúch, v prípade použitia časových radov nebýva vždy splnený predpoklad o nekorelovanosti náhodných porúch. V takýchto prípadoch nebude variančno – kovariančná matica náhodných porúch skalárnym násobkom jednotkovej matice, ale skalárnym násobkom všeobecnej matice :

V


7

2var TE u uu V (5.8)

Heteroskedasticita bude špeciálnym prípadom zovšeobecneného lineárneho predpokladu (5.8), keď matica bude mať tvar:V

1

2

0 0

0 0

0 0 n

V

V

V

V

(5.9)

t.j.:2 2 , 1, 2,...,i iV i n

Podobne v prípade autokorelácie bude platiť pre maticu V:2 1

2

2 3

1 2 3

1

1

1

1

n

n

n

n n n

V

V prípade súčasnej autokorelácie a heteroskedasticity bude matica zahŕňať obidva uvedené prípady a bude mať tvar:

V

(5.10)


8

2 11

22

2 33

1 2 3

n

n

n

n n nn

V

V

V

V

V

(5.11)

V klasickom lineárnom modeli bola matica , ak bude platiť (5.8) model (5.1) budeme nazývať zovšeobecneným lineárnym modelom :

nV I

y Xβ u

2var u V

Aplikujme na zovšeobecnený model metódu najmenších štvorcov a estimátor označíme t.j.:

b

1

1

T T

T T

b X X X y

b β X X X u

(5.12)

Zo vzťahu (5.12) je vidieť, že estimátor klasického modelu a zovšeobecneného modelu je totožný, je teda aj neskreslený. Otázkou však je, či je aj efektívny? Vypočítajme jeho variančno- kovariančnú maticu


9

1 12varT

T T TE

β b β b β X X X VX X X (5.13)

Keďže , je táto variančno –kovariančná matica iná, ako variančno – kovariančná matica klasického modelu. Aplikácia najmenších štvorcov na zovšeobecnený model poskytuje síce neskreslený, ale neefektívny estimátor. Odhad parametrov lineárneho modelu (5.12), ktorý vyhovuje zovšeobecnenej podmienke je najjednoduchší pomocou zovšeobecnenej metódy najmenších štvorcov (ZMNŠ), nazývanej podľa svojho autora Aitkenovým odhadovým postupom. Podstatou uvedeného postupu je vhodná transformácia zovšeobecneného lineárneho modelu, ktorá zaistí splnenie predpokladu (5.7) a umožní následný odhad takto modifikovaného modelu klasickou metódou najmenších štvorcov.

nV I 12 T

X X

Transformácia zovšeobecneného modelu je založená na možnosti vyjadriť ľubovoľnú kladne definitnú maticu resp. , ako súčin dvoch navzájom transponovaných matíc, ktoré sú regulárne. Ak vynásobíme sprava vzťah (5.1) regulárnou štvorcovou maticou rádu n , zvolenú tak aby platilo:

V 1V

T1 T V T T (5.14)

dostaneme


10

Ty TXβ Tu

(5.15)alebo

y X β u (5.16)

Pre variančno – kovariančnú maticu náhodných porúch transformovaného modelu (5.16) platí, pri zohľadnení podmienky (5.14):

2 2T T T TnE E u u Tuu T TVT I

(5.17)

transformovaný model (5.16) spĺňa klasickú podmienku (5.7) a je teda možné jeho parametre odhadnúť metódou najmenších štvorcov. Ak označíme estimátor vektora v modeli (5.16) pri použití metódy najmenších štvorcov ako môžeme písať:

β

b

1T T

b X X X y

alebo po substitúcii (5.14)

11 1T T b X V X X V y

(5.18)

(5.19)

Vzťah (5.19) je estimátorom zovšeobecnenej metódy najmenších štvorcov vektora , ktorá v prípade známej matice má vlastnosti najlepšej lineárnej nestrannej odhadovej funkcie (NLNOF) s variančno- kovariančnou maticou:

β

V

12 1T

V b X V X (5.20)


11

Nestranný odhad neznámeho rozptylu náhodných porúch získame pomocou odhadovej funkcie:

2

2

1

T

sn k

e e

(5.21)

kde označujeme vektor rezíduí, vypočítaný na základe estimátora zovšeobecnenej metódy najmenších štvorcov. V prípade normálneho rozdelenia , majú normálne rozdelenie i náhodné poruchy , t.j. aj pre zovšeobecnený lineárny model platia štandardné induktívne verifikačné postupy, ako pre klasický lineárny model.

e

u

u

V praktických aplikáciách však maticu V obvykle nepoznáme, ale konštruujeme ju, ako aj maticu T ex post, t.j. až po odhade parametrov zovšeobecneného lineárneho modelu metódou najmenších štvorcov na základe vypočítaných rezíduí. Spôsob transformácie (5.1) na (5.19) je iný v prípade heteroskedasticity, ako v prípade autokorelácie náhodných porúch. Z toho dôvodu sa budeme zaoberať týmito problémami samostatne.


12

5.1.2 Heteroskedasticita

Jednou z klasických podmienok lineárneho ekonometrického modelu je požiadavka (5.3) konečného a konštantného rozptylu náhodných porúch a teda aj rezíduí, ktorú označujeme homoskedasticita. V opačnom prípade sa jedná o heteroskedasticitu. S týmto javom sa stretávame predovšetkým v prípade odhadu parametrov modelu z prierezových dát, kedy dochádza k veľkým zmenám v hodnotách vysvetľujúcich premenných. Omnoho menej sa heteroskedasticita vyskytuje pri odhade parametrov modelu z údajov časových radov.5.1.2.1 Dôsledky a príčiny heteroskedasticity

Heteroskedasticita spôsobuje, že odhady parametrov ekonometrického modelu získané metódou najmenších štvorcov, strácajú niektoré optimálne vlastnosti. Je možné dokázať (napr. Koutsoyiannis, 1997), že aj pri nedodržaní predpokladu o konečnom a konštantnom rozptyle náhodných porúch poskytuje metóda najmenších štvorcov nestranné a konzistentné odhady parametrov modelu, ktoré však strácajú výdatnosť a asymptotickú výdatnosť. Odhady parametrov a štandardných chýb odhadnutých regresných parametrov nie je možné získať pomocou vzorcov odvodených pre prípad homoskedasticity, takže bežné testy štatistickej významnosti, ani intervalové odhady nie sú použiteľné. Pri aplikácii obvyklých odhadových funkcií pre štandardné chyby, bez ohľadu na meniaci sa rozptyl náhodných porúch, dospejeme k vychýleným odhadom štandardných chýb, takže intervalové odhady sú podhodnotené, alebo nadhodnotené a výsledky testov sú nereálne.


13

V prípade heteroskedasticity je metóda najmenších štvorcov nevhodná. Najčastejšie príčiny výskytu heteroskedasticity je možné zhrnúť do týchto najdôležitejších okruhov:

1. Chybná špecifikácia modelu, spočívajúca vo vynechaní niektorej relevantnej vysvetľujúcej premennej.

2. Mikroekonomické prierezové dáta nadobúdajú značne rozdielne hodnoty v jednom náhodnom výbere pozorovaní, takže rozptyl vysvetľovanej premennej, a tým aj rezíduí, je často funkciou niektorej vysvetľujúcej premennej.

3. Pri výskyte chýb meraní dochádza k ich kumulácii s rastúcou hodnotou vysvetľovanej premennej a tým sa zväčšuje jej rozptyl aj rozptyl rezíduí.

4. Ak nepoužijeme pre odhad parametrov modelu pôvodné dáta, ale napríklad ich skupinové priemery, vypočítané z triedených údajov.

5.1.2.2 Zisťovanie heteroskedasticity

K zisťovaniu heteroskedasticity a k overovaniu jej rôznych foriem je možné použiť celý rad postupov, z ktorých však žiadny nemá univerzálny charakter. Heteroskedasticita je vlastnosťou náhodných porúch, ktoré však nepoznáme, preto postupy jej zisťovania vychádzajú zo známych rezíduí, získaných po odhade parametrov modelu metódou najmenších štvorcov. Reziduálne odchýlky sú pri veľkom výbere konzistentné.Ak nemáme v konkrétnom prípade žiadnu apriórnu informáciu, ani empirickú skúsenosť o povahe heteroskedasticity, možno v praxi začať pri tejto analýze najjednoduchším možným spôsobom. doc. Ing. Peter Obtulovič,CSc

14

Po odhade parametrov modelu analyzujeme reziduály a ich druhé mocniny grafickým znázornením. Pri výskyte heteroskedasticity je graf rezíduí vejárovitý, graf: 5.1.

Obr.: 5.1 Prejav porušenia homoskedasticity.

Na tomto grafe vidíme, že s rastom hodnôt vysvetľujúcej premennej sa reziduály vejárovite rozširujú, čo podporuje podozrenie na heteroskedasticitu. Metód a postupov, pomocou ktorých je možné zisťovať a analyzovať výskyt heteroskedasticity je celý rad.


15

Uvedieme z nich tie, ktoré sa v praktickej ekonometrickej analýze najčastejšie využívajú:•Parkova metóda•Glejserova metóda•Goldfeldov- Quandtov test (GQ)•Breuschov- Paganov test (BP)•Whiteov test (W)•Koenkerov – Bassettov test (KB)

5.1.2.3 Parkova metódaGrafické metódy naznačujú možnosť určitej formalizácie vzťahu medzi a niektorou z vysvetľujúcich premenných. Park navrhol nasledujúci vzťah medzi a h- tou vysvetľujúcou premennou:

22

2 , 1, 2,...,ivi ihcX e i n (5.22)

Kde c je konštanta, je parameter, je i – te pozorovanie h -tej vysvetľujúcej premennej, u ktorej je podozrenie, že spôsobuje heteroskedasticitu a je náhodná premenná. Vzťah (5.22) zlogaritmujeme :

ihXiv

2ln ln ln 1,2,...,i ih ic X v i n (5.23)


16

Keďže rozptyl nepoznáme Park ho navrhol aproximovať pomocou :2i 2

ie

20 1 0ln ln 1,2,..., lni ih ie X v i n c (5.24)

Parametre modelu (5.24) odhadneme metódou najmenších štvorcov a ak je parameter štatisticky významný, signalizuje to heteroskedasticitu, zamietame nulovú hypotézu:

1

2 2 2 20 1 2 3: ... nH

Ak t – test potvrdí, že parameter je štatisticky nevýznamný, nezamietame predpoklad homoskedasticity. S touto metódou súvisí niekoľko problémov. Náhodné poruchy v (5.24) môžu byť samy heteroskedastické. Aj voľba vysvetľujúcej premennej je často len veľmi empirická, preto je potrebné odskúšať viacero variantov. Pre jej jednoduchosť sa však táto metóda môže ukázať ako vhodná.

1

ivihX

5.1.2.4 Glejserova metóda

Táto metóda vychádza z podobného princípu. Autor však navrhuje viacero funkčných vzťahov a v úlohe závisle premennej použil absolútnu hodnotu reziduálov:


17

1

1

1

0 1

0 1

20 1

1

1,2,...,

i ih i

i ih i

i i

ih

i ih i

i ih i

i ih i

e X v

e X v

e vX

e X v

e X v

e X v i n

(5.25)

Každý z týchto vzťahov by indikoval heteroskedasticitu v prípade, že parameter je štatisticky významný,. Podobne, ako pri Parkovej metóde je tento problém empirický a súvisia s nim podobné problémy. Náhodné poruchy môžu byť samy heteroskedastické. Navyše posledné dva funkčné tvary sú nelineárne v parametroch a nemožno ich kvantifikovať metódou najmenších štvorcov. Obe uvedené metódy zisťovania heteroskedasticity sú viac – menej orientačné a ani jedna z nich nepredstavuje test štatistickej hypotézy o zhode rozptylov .

1


18

5.1.2.5 Goldfeldov – Quandtov test (GQ)

Často používaným testom je Goldfeldov – Quandtov (GQ) test, v ktorom formulujeme nulovú hypotézu v tvare:

2 2 2 20 1 2 3: ... nH

oproti alternatívnej hypotéze o heteroskedasticite, ktorú formulujeme v podobe konkrétneho funkčného tvaru medzi a faktorom, ktorý pravdepodobne spôsobuje jeho variabilitu.

2i

2 21 : i ihH cX (5.26)

Hypotéza popiera nulovú hypotézu, ale aj ukazuje príčinu heteroskedasticity. Celý postup testu je možné zostaviť do nasledovných krokov:

1.Dáta, riadky matice usporiadame podľa vzrastajúcich hodnôt vysvetľujúcej premennej , ktorá spôsobuje heteroskedasticitu.2.Zo stredu takto usporiadaných pozorovaní vynecháme m pozorovaní, obvykle . Ak je počet pozorovaní veľmi malý, nemusíme vynechať ani jedno pozorovanie. Počet vynechaných pozorovaní volíme tak, aby počet bol párny. Po vynechaní m pozorovaní, sa ostatné pozorovania rozdelia do dvoch súborov s rovnakým počtom pozorovaní, pričom horná polovica obsahuje nižšie a dolná polovica vyššie hodnoty premennej .

1H

1 2 h kyX X X X

hX

5

nm

n m

hXdoc. Ing. Peter Obtulovič,CSc

19

4. Za predpokladu, že náhodné poruchy sú normálne rozdelené, má testovacia štatistika F, vypočítaná ako podiel sumy štvorcov reziduálov z dolnej a hornej regresie Fisherovo rozdelenie:

(5.27)

Ak je vypočítaná hodnota testovacieho kritéria F väčšia ako kritická hodnota F rozdelenia pre zvolenú hladinu významnosti a pre príslušné stupne voľnosti, zamietame nulovú hypotézu o homoskedasticite.

3. Metódou najmenších štvorcov odhadneme parametre modelu zvlášť pre hornú a dolnú polovicu pozorovaní. Pre obidva súbory vypočítame súčty štvorcov rezíduí SŠR1 a SŠR2, s počtom stupňov voľnosti rovnakým pre obidve skupiny .

y Xβ u

12

n mk

1

1, 12 2 2

n m n mk k

SŠRF F

SŠR


20

5.1.2.6 Breuschov – Paganov test (BP)

Predchádzajúci test (GQ) však nie je možné použiť ak v i - tom pozorovaní závisí rozptyl náhodných porúch od viacerých premenných. Pre tento prípad navrhol Breusch a Pagan test, ktorý zahŕňa pomerne širokú škálu alternatívnych hypotéz k nulovej hypotéze homoskedasticity, jednak čo do počtu premenných spôsobujúcich heteroskedasticitu, jednak čo do funkčného tvaru alternatívnych hypotéz.Predpokladajme všeobecný lineárny model:

0 1 1 2 2 ... 1, 2,...,i i i k ik iY X X X u i n

a nulovú hypotézu:

2 2 2 20 1 2 3: ... nH

Predpokladajme, že rozptyly náhodných porúch v prípade heteroskedasticity závisia lineárne od viacerých premenných, čo vedie k nasledujúcemu tvaru alternatívnej hypotézy:

21 0 1 1 2 2: ...i i i p ipH Z Z Z (5.28)


21

Premenné sú merateľné premenné, niektoré z nich (často aj všetky) sú podmnožinou vysvetľujúcich premenných modelu. Pozorovania nie je možné usporiadať podľa všetkých premenných súčasne a postupovať tak podľa (GQ) testu. Parametre sú neznáme konštanty. Nulová hypotéza je ekvivalentná situácii, keď pre parametre platí: , pretože v tomto prípade . Alternatívna hypotéza platí, ak aspoň jeden z týchto parametrov je odlišný od nuly.

ZX

Z0 1 2, , ,..., p

i 1 2 ,..., 0p 20i

Postup BP - testu je možné sformulovať do nasledujúcich krokov:1.Odhadneme parametre pôvodného modelu metódou najmenších štvorcov a vypočítame rezíduá , , pričom je i – ty riadok matice .2.Vypočítame rozptyl reziduálov

ktorý je maximálne vierohodným odhadom rozptylu náhodných porúch .

Ti i ie Y X b

1,2,...,i n T

iX

X

2

2 1

n

ii

e

n

iu

3. V rovnici (5.28) nahradíme neznáme rozptyly ich odhadmi, ktorými sú . Dostaneme tak pomocnú rovnicu:

2i 2

ie


22

20 1 1 2 2 ...i i i p ipe Z Z Z (5.29)

kde je náhodný člen vyplývajúci z rozdielu medzi skutočným neznámym rozptylom a jeho odhadom :

iv 2i 2

ie2 2

i i iv e (5.30)

4. Metódou najmenších štvorcov odhadneme parametre pomocnej regresnej rovnice (5.29) a vypočítame vysvetlený (regresný) súčet štvorcov:

2

20 1 1 2 2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ...n

i i i p ipi

VSŠ e Z Z Z

(5.31)

5. Testovaciu štatistiku vypočítame:

42.BP

VSŠ

BP

Ak je nulová hypotéza pravdivá, testovacia štatistika má asymptotické rozdelenie s počtom stupňov voľnosti p rovnajúci sa počtu vysvetľujúcich premenných v pomocnej rovnici.

BP 2

6. Ak vypočítaná hodnota BP – testu je väčšia ako kritická hodnota rozdelenia pre zvolenú hladinu významnosti a počet stupňov voľnosti p nulovú hypotézu zamietame a náhodné poruchy považujeme za heteroskedastické.

2


23

5.1.2.7 Whiteov test heteroskedasticity (W)

Najvšeobecnejším testom heteroskedasticity je postup, ktorý navrhol White, lebo sa neopiera o predpoklad normálneho rozdelenia náhodných porúch a nevyžaduje ani špecifikáciu premenných, od ktorých závisia rozptyly , t.j. nepredpokladá informácie o štruktúre heteroskedasticity. Je to test veľkého výberu – test približný, asymptotický. Predpokladajme lineárny ekonometrický model s tromi vysvetľujúcimi premennými:

2i

0 1 1 2 2 3 3i i i i iY X X X u (5.33)

Nulová hypotéza je v obvyklom tvare:

2 2 2 20 1 2 3: ... nH

Podľa alternatívnej hypotézy rozptyly náhodných porúch závisia od všetkých vysvetľujúcich premenných modelu (5.33) , ale aj od druhých mocnín a od všetkých krížových súčinov vysvetľujúcich premenných (po vylúčení duplicitných):

2 2 2 21 0 1 1 2 2 3 3 4 1 5 2 6 3

7 1 2 8 1 3 9 2 3

: i i i i i i i

i i i i i i

H X X X X X X

X X X X X X

(5.34)


24

Skutočné rozptyly , nepoznáme, nahradíme ich však štvorcami reziduálov, vypočítaných po odhade parametrov modelu (5.33) metódou najmenších štvorcov. Alternatívnu hypotézu tak pretransformujeme na pomocnú regresiu tvare:

2i 1,2,...,i n

2 2 2 20 1 1 2 2 3 3 4 1 5 2 6 3

7 1 2 8 1 3 9 2 3

i i i i i i i

i i i i i i i

e X X X X X X

X X X X X X v

(5.35)

Pomocná regresia (5.35) obsahuje aj úrovňovú konštantu . Nulovú hypotézu nezamietame vtedy, ak test združenej hypotézy o parametroch pomocnej regresie vedie k záveru, že:

0

1 2 9, , 0 (5.36)

pretože v tomto prípade by rozptyly boli rovnaké:2

0 1,2,...,i i n

testovacie kritérium W - testu heteroskedasticity je veličina:

2.W n R (5.37)


25

kde je koeficient determinácie pomocnej regresie. Testovaciu štatistiku porovnávame s kritickou hodnotou rozdelenia a s počtom stupňov voľnosti rovnajúcom sa počtu vysvetľujúcich premenných v pomocnej regresii, (pre model (5.35) sa počet stupňov voľnosti rovná 9). Vo všeobecnom prípade vypočítame počet stupňov voľnosti zo vzťahu:

2R2

. 3

2

k k (5.38)

Ak je vypočítané testovacie kritérium (5.37) väčšie ako kritická hodnota rozdelenia pri zvolenej hladine významnosti t.j.:

2

2

3

2

W k k

(5.39)

nulovú hypotézu o homoskedasticite zamietame.

Ak sa v modeli (5.33) zväčšuje počet vysvetľujúcich premenných, t.j. rastie počet parametrov modelu až do takej miery, že W – test naráža na problém stupňov voľnosti, dokonca môže nastať situácia, kedy počet parametrov pomocnej regresie presiahne počet pozorovaní modelu, takže nie je možné odhadnúť parametre modelu.


26

5.1.2.8 Koenkerov – Bassettov test (KB)

Jedná sa o jednoduchý test, kedy opäť predpokladáme všeobecný lineárny ekonometrický model v tvare:

0 1 1 2 2 ...i i i k ik iY X X X u (5.40)

S nulovou hypotézou v bežnom tvare:2 2 2 2

0 1 2 3: ... nH (5.41)

Alternatívna hypotéza je jednoduchým popretím nulovej hypotézy, nešpecifikuje konkrétnu príčinu, resp. štruktúru heteroskedasticity. Metódou najmenších štvorcov kvantifikujeme model (5.40), vypočítame vyrovnané hodnoty a reziduály . Pomocou nich odhadneme parametre pomocnej regresie: iY ie

20 1

ˆi i ie Y v (5.42)

V prípade platnosti nulovej hypotézy, by platilo: 1ˆ 0

Testovanie heteroskedasticity sa redukuje na testovanie štatistickej významnosti parametra v pomocnej regresii (5.42) bežným t -testom. Ak je parameter štatisticky významný, zamietame nulovú hypotézu o homoskedasticite. KB – test je možné použiť aj v prípade, kedy náhodné poruchy pôvodného modelu nemajú normálne rozdelenie

1


27

5.1.2.9 Riešenie problému heteroskedasticity

Ak zistíme nedodržanie klasického predpokladu o homoskedasticite, estimátor najmenších štvorcov je nevhodný, lebo je nevýdatný a estimátor variančno – kovariančnej matice je skreslený. V dôsledku toho sú t – testy a F test neadekvátne. Prvým krom je preskúmanie špecifikácie ekonometrického modelu, či heteroskedasticita nie je spôsobená napríklad vynechaním niektorej relevantnej vysvetľujúcej premennej. V ďalšom kroku obvykle pristupujeme k transformácii modelu, ktorá zaistí , že transformované náhodné poruchy majú konečný a konštantný rozptyl, takže pri splnení klasických lineárnych predpokladov je možné model kvantifikovať metódou najmenších štvorcov. Ďalšou cestou riešenia problému heteroskedasticity je voľba vhodnej metódy odhadu parametrov.


Documents

EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 5