Andrzej Torój - Lato 2013/2014

Ekonometria stosowana

Wykład 2

Autokorelacja składnika losowego

Sferyczność macierzy E(eeT)

2

n

n

T EE

...... 21

2

1

221

22

221

1212

1

...

.........

...

nnn

n

n

E

221

22

221

1212

1

...

.........

...

EEEEEEEE

EEEEEEEE

EEEEEEEE

nnn

n

n

nnn

n

n

VarCovCov

CovVarCov

CovCovVar

...

.........

...

21

2221

1211

2

2

2

...00

.........

00

0...0

.

KMNKzał

Dodatnia autokorelacja

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1960 1970 1980 1990 2000

resz

tyReszty regresji = (obserwacje - wyrównane l_g_pop)

Dlaczego autokorelacja jest zła?(1)

4

E

yXXX TT 1ˆ

... nie skorzystaliśmy z założenia o sferycznej macierzy kowariancji składnika losowego, więc jego złamanie nie spowoduje, że parametry będą obciążone.

(Pamiętajmy, że autokorelacja może być symptomem błędu specyfikacji, a ten może powodować obciążenie.)

XXXXE TT 1

TTTT XXXXXXXE11

TT XXXE1

yXXXE TT 1

Dlaczego autokorelacja jest zła?(2)

Var

12121 XXXXIXXXX TTTT

przy sferycznych zakłóceniach:

112121 XXXXXXXXXXXX TTTTTT

przy niesferycznych zakłóceniach:

z diagonali tej macierzy otrzymujemy błędy standardowe oszacowań

WNIOSKI:

• utrata efektywności

• błędne wnioskowanie oparte na macierzy kowariancji skł. losowego

• nieadekwatność wnioskowania ze statystyk t i F

TE ˆˆ

11XXXXXXE TTTT

11

XXXEXXX TTTT

TT XXX1ˆ

Przyczyny autokorelacji

Inercja zjawisk gospodarczychÞ Podejście autokorelacyjne

Błąd specyfikacji modelu– Funkcyjnej– Dynamicznej– Pominięcie zmiennej objaśniającej

Þ Podejście respecyfikacyjne

6

Ćwiczenie

funkcja produkcji

rynek paliw w USA– model popytu na benzynę

brytyjskie dane makroekonomiczne– krzywa Philipsa wsparta (adaptacyjnymi)

oczekiwaniami

capitalllaborlvalueaddl ___ 210

PUClPNClincomelgasplpopgl ______ 43210

unempnflid 10._

Test mnożnika Lagrange’a (LM)

8

XySzacujemy podstawowe równanie regresji:

...i drugie pomocnicze równanie, w którym składnik losowy uzależniamy dodatkowo od jego P poprzednich wartości:

PtPKtKtKtt x ...2211'

0TX jeżeli nie ma autokorelacji, poprzednie wartości epsilona nie objaśnią bieżącej

wniosek: R2 pomocniczego modelu powinno być niskie

~2nRLM )(2 P UWAGA! test

asymptotyczny

Test Durbina-Watsona

9

ograniczenia:– model z wyrazem wolnym– bez opóźnionej zmiennej objaśnianiej– normalny rozkład składnika losowego– wykrywa maksymalnie autokorelację rzędu 1– posiada obszar niekonkluzywności

r

e

eed n

ii

n

iii

12

1

2

2

21

autokorelacja ? brak ? autokorelacjadodatnia autokorelacji ujemna

0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4

współczynnik autoregresji pierwszego rzędu

Test h-Durbina

10

Odpowiedź Durbina na zarzut, że test DW jest zbyt skłonny nie wykrywać autokorelacji, gdy regresorem jest opóźniona zmienna objaśniana.

(Nerlove, Wallis 1966 – zob. na stronie)

)1(ˆ12

1

tyVarn

nDWd

Wysokie wartości d świadczą o autokorelacji.

d~N(0,1).

Statystyka Ljunga-Boxa

Statystyka testowa, za pomocą której orzekamy, czy występuje autokorelacja do rzędu P włącznie:

Wysokie wartości (statystyczna istotność) Q świadczą o autokorelacji.

P

jn

tt

n

jtjtt

e

ee

jnnnQ

1

1

2

1' 12

Ćwiczenie

Czy w naszych modelach jest autokorelacja?

Czy możemy stosować test DW w każdym z tych trzech przypadków?

Rozważ autokorelację wyższych rzędów.Uzupełnij specyfikację krzywej Philipsa o

regresor d_infl opóźniony o 1 okres. Jaki jest wynik testu h-Durbina?

Odporne błędy oszacowań

Newey i West (1987) skonstruowali estymator macierzy wariancji-kowariancji parametrów w warunkach autokorelacji:

Ttlt

Tlttltt

L

l

n

lt

Tii

n

ii xxxxee

L

l

nxxe

nQ

1 11

2* 1

111ˆ

4/1nL

Ćwiczenie

Oszacuj jeszcze raz modele z odpornymi błędami oszacowań.

Porównaj poprzednie i nowe wartości statystyk t i ich nowe p-value. Jakie decyzje weryfikacyjne uległy (mogły ulec) zmianie?

Uogólniona MNK (UMNK, GLS)

15

Xy 2,0 ~Pomnóżmy obie strony równania lewostronnie:

2/12/12/1 XySkładnik losowy po przekształceniu danych X i y jest sferyczny:

IE

EEVarT

TT

22/122/12/12/1

2/12/12/12/12/1

Estymator UMNK to estymator MNK dla równania z przekształconymi danymi:

yXXXyXXX TTTT

GLS1112/12/1

12/12/1ˆ

UMNK – zastosowanie

Niekiedy znamy (zakładamy) macierz kowariancji parametrów.

Skąd wziąć macierz , W gdy po prostu mamy model z autokorelacją?– Zakładamy określony schemat autokorelacyjny dla składnika

losowego.

– Macierz W jest wtedy funkcją parametrów ri.

– Same parametry ri możemy oszacować na podstawie modelu KMNK.

ttt 1 tttt 2211 itd.

Metoda Cochrane’a-OrcuttaUMNK dla autokorelacji I rzędu

17

ttt 1ttt xy

111 ttt xy 1 ttt

1111 tttttt xxyy

ttttt xxyy 111

1. Model KMNK z autokorelacją, na jego podstawie przyjmujemy r (wsp. autokorelacji I rzędu reszt).

2. Transformujemy dane (y, x) jak wyżej.

3. Szacujemy model na transformowanych danych.

Metoda Praisa-Winstena

Cochrane i Orcutt przy transformacji danych pomijają pierwszą obserwację.

Prais i Winsten nie usuwają jej, a transformują w inny sposób:

1

12

21

*

...

1

nn yy

yy

y

y

1

12

21

*

...

1

nn xx

xx

x

x

Uogólniona metoda Cochrane’a- Orcutta

Ogólniejsza niż klasyczna metoda C-O, ale wciąż szczególny przypadek UMNK

Zakładamy dla składnika losowego proces AR rzędu P:

Z modelu KMNK z autokorelacją szacujemy parametry. Macierz W jest funkcją tych parametrów.

Szacujemy model UMNK za pomocą macierzy W.

t

P

pptpt

1

Ćwiczenie

Oszacuj nasze 3 modele (o ile to uzasadnione) za pomocą UMNK, zakładając autokorelację odpowiedniego rzędu.

Przyjmij autokorelację I rzędu i porównaj wyniki oszacowań metodą C-O, P-W i H-L.

Porównaj parametry modelu UMNK i MNK. Co się zmieniło? Porównaj wyniki różnych testów.

Sprawdź, czy w modelach oszacowanych za pomocą UMNK nie ma dodatkowej autokorelacji. W tym celu zapisz reszty modelu, oszacuj dla nich odpowiedni proces autoregresyjny i dokonaj analizy jego reszt.

21

Literatura do wykładu 2

Welfe 3.1, 3.2– … więcej o opisie problemów spowodowanych autokorelacją składnika

losowego i zróżnicowaniu ich przyczyn Welfe 3.3

– Jak uprościć ogólny schemat autoregresyjny do schematu I rzędu Welfe 3.5-3.7

– UMNK – niektóre warianty Dla chętnych:

– Klasyczny tekst uzasadniający nieadekwatność statystyki DW do modeli autoregresyjnych (na stronie)

– Welfe – cały rozdział 3