UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

MODELIRANJE PREOSTALOG ŢIVOTNOG VEKA OSIGURANIKA

-MASTER RAD-

Mentor: Student: dr Marija Milošević Jelena Tošić

Niš, .

Sadržaj

Uvod ............................................................................................................................................... 2

GLAVA 1 ........................................................................................................................................ 3

Tablice mortaliteta .................................................................................................................... 3

1.1 Elementi tablica mortaliteta ................................................................................................ 4

1.2 Tablice kohorti i tablice za odreĎeni period ...................................................................... 5

1.3 Formiranje tablica mortaliteta za odreĎeni period ........................................................... 7

1.4 ,,Populacione“ tablice naspram ,,trţišnih“ tablica ........................................................... 10

1.5 Tablice mortaliteta kao verovatnosni modeli ................................................................... 10

1.6 Jednogodišnje mere smrtnosti .......................................................................................... 12

1.7 Formalna osnova ţivotnog osiguranja: slučajni ţivotni vek ............................................ 15

1.8 Rezimiranje tablice mortaliteta ......................................................................................... 16

1.8.1 Očekivani ţivotni vek .................................................................................................. 16

1.8.2 Drugi markeri .............................................................................................................. 17

GLAVA 2 ...................................................................................................................................... 19

Zakoni mortaliteta ................................................................................................................... 19

2.1 Heligman – Pollardov zakon ........................................................................................... 19

2.2 Od osnovnog do opštijih modela ..................................................................................... 21

2.2.1 Heterogenost ............................................................................................................... 22

Neke preliminarne ideje ................................................................................................... 22

Klase rejtinga ..................................................................................................................... 23

Substandardni rizici .......................................................................................................... 24

Faktor - formula ................................................................................................................ 26

2.3 Smrtnost u odnosu na starost i duţinu ţivotnog veka ..................................................... 27

2.3.1 Neke preliminarne ideje ............................................................................................. 27

2.3.2 Tablice sa odabirom (select) i krajnje (ultimate) tablice mortaliteta ...................... 28

2.3.3 Praktično pitanje ......................................................................................................... 29

2.4 Dinamika smrtnosti............................................................................................................ 30

2.4.1 Trendovi smrtnosti ...................................................................................................... 30

2.4.2 Predstavljanje dinamike smrtnosti ............................................................................ 32

2.4.3 Verovatnoće i očekivani preostali ţivotni vek u dinamičkom kontekstu................. 34

2.4.4 Pristupi prognozama smrtnosti.................................................................................. 35

2.4.5 Ekstrapolacija primenom eksponencijalne formule ................................................. 37

2.4.6 Prognoze smrtnosti koje uzimaju u obzir slučajne fluktuacije................................. 38

GLAVA 3 ...................................................................................................................................... 41

Zakoni mortaliteta u neprekidnom vremenu ................................................................. 41

3.1 Funkcija doţivljenja ......................................................................................................... 41

3.2 Druge srodne funkcije ...................................................................................................... 43

3.3 Intenzitet mortaliteta ....................................................................................................... 44

3.4 Markeri .............................................................................................................................. 45

3.5 Parametarski modeli ........................................................................................................ 47

3.6 Stohastička smrtnost ........................................................................................................ 48

3.6.1 Deterministički nasuprot stohastičkih modela ......................................................... 49

3.6.2 Slučajne fluktuacije smrtnosti .................................................................................... 51

3.6.3 Sistematska odstupanja smrtnosti ............................................................................. 52

3.6.4 Uticaj rizika smrtnosti/dugovečnosti na ţivotno osiguranje ................................... 53

Zaključak .................................................................................................................................... 55

Biografija .................................................................................................................................... 56

Literatura ................................................................................................................................... 57

2

Uvod

Pojam osiguranja označava zaštitu, sigurnost i poverenje. Osiguranje, kao nauka, se bavi proučavanjem rizika, ekonomskih posledica ostvarenog rizika, kao i izučavanjem načina upravljanja rizikom kako bi se izbegle ili umanjile neželjene posledice.

U osnovi osiguranja je rizičan događaj. U tom smislu, osiguranje predstavlja zaštitu od rizika koji sa sobom nosi taj događaj. Rizični događaji koji se osiguravaju mogu biti različitog karaktera zbog čega postoji više tipova osiguranja. Najvažnija podela osiguranja je na životno i neživotno osiguranje. Neživotno osiguranje podrazumeva osiguranje stvari i osiguranje od građanske odgovornosti. Svrha ovog tipa osiguranja je naknada štete koja nastaje nad osiguranim stvarima. Životno osiguranje obuhvata osiguranje života i osiguranje od posledica nesrećnog slučaja. U nekim slučajevima životno osiguranje je način štednje jer po isteku perioda trajanja ugovora o osiguranju osiguranik dobija sumu osiguranja uvećanu za neku dobit.

Ugovori o osiguranju se kreiraju da bi se redukovali negativni uticaji nekog rizičnog događaja. Kod životnog osiguranja neizvesnost postoji samo u pogledu vremena realizacije rizičnog događaja, dok se iznos naknade u slučaju njegove realizacije precizira u polisi osiguranja. Preciznije, rizični događaji koji su obuhvaćeni ugovorima o životnom osiguranju, zavise od preostalog životnog veka osiguranika koji predstavlja osnovni pojam u životnom osiguranju. Od njega zavisi da li i kada će osiguravač morati da isplati naknadu korisniku osiguranja. Premija osiguranja u tom slučaju zavisi od sume osiguranja i od preostalog životnog veka osiguranika. Zbog toga je modeliranje preostalog životnog veka osiguranika od velikog značaja u teoriji životnog osiguranja, što će biti i tema ovog master rada.

Cilj ovog master rada je da predstavi primenu zakona mortaliteta, kao i tablica mortaliteta koje predstavljaju osnovu za izračunavanje premija i rezervi. Takođe, cilj je naglasiti da formule za izračunavanje premija i rezervi treba da obuhvate različite faktore rizika kao što su starost, pol, zdravstveno stanje i mnogi drugi, pri čemu starost osiguranika zauzima centralno mesto u takvim formulama.

Master rad se sastoji iz tri glave. U prvoj glavi je opisan postupak formiranja tablica mortaliteta koje se kreiraju za različite tipove osiguranja kao i njihova primena u izračunavanju premija, rezervi i drugih komponenata koje su od značaja za poslovanje osiguravajućih kompanija. U drugoj glavi je predstavljen Heligman – Pollardov zakon mortaliteta čiji je cilj da predstavi starosni obrazac smrtnosti tokom čitavog životnog veka osiguranika, kao i složeniji modeli koji u obzir uzimaju heterogenost unutar populacije u odnosu na smrtnost, buduće trendove smrtnosti, efekat medicinske procene u procesu preuzimanja rizika od strane osiguravača i slično. U trećoj glavi predstavljene su neke funkcije koje se često primenjuju u aktuarskim proračunima kada važi pretpostavka o neprekidnoj starosti, među kojima je najvažnija intenzitet mortaliteta.

Želela bih da zahvalim svom mentoru, dr Mariji Milošević pre svega na velikom strpljenju, razumevanju i stručnim savetima koji su poboljšali kvalitet master rada. Njen način prenošenja znanja je doprineo mom interesovanju za proučavanje problema iz ove oblasti.

Veliku zahvalnost dugujem kolegi Mirku Joviću na izuzetnoj podršci i pomoći prilikom izrade ovog master rada. Takođe bih zahvalila i svojoj porodici na podršci i razumevanju tokom čitavog mog školovanja.

3

GLAVA 1

Tablice mortaliteta

Osiguranje je institucija koja nadoknaĎuje štete nastale na imovini ili licima usled delovanja rušilačkih sila ili nesrećnih slučajeva. Ugovor o osiguranju se zaključuje kada obe ugovorne strane potpišu polisu osiguranja koja sadrţi uslove pod kojima se dati ugovor zaključuje. Ugovorne strane su osiguranik i osiguravač (osiguravajuća kompanija). Osiguranik je fizičko ili pravno lice koje zaključuje ugovor o osiguranju u svoje ime i za svoj račun i tom prilikom je u obavezi da plati premiju osiguranja. Osiguravač je pravno lice koje se ugovorom o osiguranju obavezuje na naknadu štete, odnosno isplatu ugovorenog novčanog iznosa – sume osiguranja osiguraniku onda kada se ostvari osigurani rizik. U osnovi ţivotnog osiguranja je rizik da će doći do narušavanja zdravlja ili do gubitka ţivota usled neočekivanog uzroka. Ostvareni rizik uvek ili skoro uvek za posledicu ima gubitak.

Prilikom sklapanja ugovora o osiguranju, osiguravač preuzima od osiguranika rizike koji se javljaju usled delovanja različitih determinističkih i slučajnih faktora. U ţivotnom osiguranju, uzroci rizika se odnose na finansijske aspekte, kao što su prinos investicija, inflacija; demografske aspekte (na primer, ţivotni vek osiguranika, nezgode i slično), kao i na rashode. U ovoj glavi će biti razmatrani demografski aspekti, fokusiranjem na ţivotni vek osiguranika radi utvrĎivanja učestalosti nastupanja smrti u portfoliju ţivotnog osiguranja. Brojni faktori rizika utiču na smrtnost pojedinca. Vaţni faktori rizika su: starost, pol, zdravstveno stanje, zanimanje i mnogi drugi. Zbog toga bi formule za izračunavanje premija i rezervi u okviru ugovora o ţivotnom osiguranju trebalo da obuhvate različite faktore rizika. Starost osiguranika, kao bitan faktor smrtnosti, zauzima centralno mesto u takvim formulama, gde se uspostavlja veza izmeĎu verovatnoća doţivljenja odreĎenih starosti, odnosno nastupanja smrti pri odreĎenoj starosti i same starosti osiguranika. Ţivotno osiguranje obuhvata osiguranje ţivota i osiguranje od posledica nesrećnog slučaja. Ugovorom o ţivotnom osiguranju se osiguravač obavezuje da će na osnovu plaćenih premija isplatiti osiguraniku ili licu koje odredi osiguranik sumu osiguranja u slučaju smrti odreĎene osobe. MeĎutim, postoji tip osiguranja poznat kao osiguranje doţivljenja kada se suma osiguranja isplaćuje odreĎenom licu ukoliko ono doţivi ugovorom preciziranu starost. Na taj način se zaključuje da se ţivotno osiguranje moţe shvatiti i kao vid štednje.

4

Osnovni tipovi ugovora o osiguranju su:

Doţivotno osiguranje – koje podrazumeva isplatu sume osiguranja od strane osiguravajuće kompanije nakon nastupanja smrti osiguranika. Dakle, ovakav ugovor nema unapred odreĎeno vreme trajanja tj. vaţi sve dok ne nastupi smrt osiguranika.

Osiguranje sa rokom n godina – podrazumeva isplatu sume osiguranja od strane osiguravajuće kompanije samo ukoliko smrt osiguranika nastupi u toku narednih n godina.

Osiguranje doţivljenja u trajanju n godina – je tip osiguranja za koji je karakteristično da se suma osiguranja isplaćuje na kraju n – te godine samo u slučaju kada je osiguranik doţiveo kraj n – te godine.

Mešovito osiguranje – predstavlja kombinaciju prethodna dva tipa osiguranja. Ovaj tip osiguranja podrazumeva isplatu sume osiguranja ukoliko smrt osiguranika nastupi u prvih n godina od sklapanja ugovora. MeĎutim, u slučaju da osiguranik doţivi kraj n – te godine njemu se u tom trenutku isplaćuje suma osiguranja.

Pored navedenih postoje i mnogi drugi tipovi ugovora o osiguranju koje se kreiraju u skladu sa konkretnim potrebama klijenata. Često su u aktuarskoj praksi prisutni ugovori koji podrazumevaju isplate suma osiguranja ili premijske uplate u vidu renti. Primeri takvih ugovora su penzioni planovi.

Zavisnost smrtnosti od starosti moţe biti odreĎena, u kvantitativnom smislu, korišćenjem raznih ,,alata”. U aktuarskoj praksi je uobičajena primena tablica mortalita kao osnove za izračunavanje premija i rezervi.

Istorijski podaci o smrtnosti i pretpostavke o intenzitetu mortaliteta su od velikog značaja u aktuarstvu. Pored toga, potreba za podacima o smrtnosti i različitim modelima smrtnosti javlja se ne samo u ţivotnom osiguranju, već i funkcionisanju institucija koje se bave socijalnom i zdravstvenom zaštitom, kao i penzionih fondova.

1.1 Elementi tablica mortaliteta

Tablice mortaliteta pokazuju kako se jedna kategorija istovremeno roĎenih iz godine u godinu smanjuje pod dejstvom mortaliteta i konačno iščezava. Prvu tablicu mortaliteta je konstruisao engleski astronom Endmond Halley . godine. Danas su one neizostavne u funkcionisanju osiguravajućih društava. Inače, tablice mortaliteta su statističke tabele koje pokazuju kolika je verovatnoća da će osoba koja pripada odreĎenoj kategoriji doţiveti odreĎenu starost. Kategorije se mogu formirati prema različitim kriterijumima kao što su: pol, rasa, vrsta posla i mnogi drugi o čemu će biti reči u nastavku.

Pojam tablica mortaliteta se najčešće koristi za označavanje skupa odreĎenih nizova, kao što su oni predstavljeni u Tabeli . Prva kolona ukazuje na starost

osoba razmatrane grupe, koja je označena sa x. U drugoj koloni, označava broj članova razmatrane grupe koji su doţiveli x godina starosti, tj. koji će doţiveti bar x

godina. Tačno značenje veličine biće objašnjeno nakon razmatranja dva pristupa

za izračunavanje njenih vrednosti. Bez obzira na precizno značenje, brojevi , , ... predstavljaju opadajući niz.

5

Tabela . Tablica mortaliteta

U Tabeli se moţe uočiti vrednost , što znači da predstavlja

maksimalnu starost članova grupe koja se razmatra ili graničnu starost. Ovaj broj

godina se obično označava sa , tako da je > , a = .

Nizovi i , za x = , , . . . , su blisko povezani sa . Oznaka predstavlja broj osoba čija je smrt nastupila izmeĎu x i x + godina starosti. Drugim

rečima, predstavlja broj osoba koje su doţivele starost x godina, ali nisu doţivele starost x+ godina, tako da je

= .

Jasno, vaţi da je

∑ = .

Veličina predstavlja verovatnoću da će smrt osobe starosti x nastupiti u roku od godine, i moţe se predstaviti na sledeći način:

=

.

Grafički prikazi vrednosti i u zavisnosti od starosti osiguranika x obično se nazivaju kriva doživljenja i kriva smrtnosti, respektivno, o čemu će biti više detalja u Primeru

1.2 Tablice kohorti i tablice za

odreĎeni period

Neka je niz , , , . . . , dobijen na osnovu statističkih podataka, evidentiranjem tačnog broja pojedinaca koji su doţiveli starost . . . , ω iz date

kohorte1 koja se sastoji od novoroĎenih osoba. Dakle, posmatranje se vrši

1 Kohorta je skup pojedinaca sa zajedničkom osobinom. Najčešće se odnosi na skup pojedinaca

roĎenih iste godine.

6

grupisanjem članova odreĎene populacije u zavisnosti od godine roĎenja. Niz , , , . . . , se naziva kohortna tablica mortaliteta. Ako je ω maksimalna starost, onda formiranje kohortne tablice zahteva ω+ godinu. Neka se, suprotno pretpostavci, statistički podaci sastoje od učestalosti smrti pri različitim starostima tokom odreĎenog perioda, na primer perioda od jedne godine. U tom slučaju se posmatranje smrtnosti vrši u zavisnosti od godine nastupanja smrti. Dalje, neka se učestalost smrti pri starosti x ocenjuje pomoću

verovatnoće . Tada je, za x = , . . . , ω ,

,

gde je (koren tablice mortaliteta) unapred odreĎen broj (na primer, = ),

a ω označava broj godina tako da je > i = (ili ≈ ). Stoga, je broj osoba polazne kohorte, koje su doţivele bar x godina. Polazna kohorta se često naziva

i sintetička kohorta. Niz , , . . . , , definisan rekurzivno sa naziva se tablica mortaliteta za odreĎeni period, jer je izvedena na osnovu posmatranja smrtnosti u odreĎenom periodu. Posmatranja u odreĎenom periodu se takoĎe nazivaju posmatranjima po poprečnom preseku jer analiziraju (u smislu učestalosti smrti) postojeću populaciju

pri različitim starostima. Tako se verovatnoće odreĎuju na osnovu smrtnosti osoba roĎenih ω, ω , . . . , x , . . . , godina pre godine posmatranja. Potrebno je naglasiti da je u osnovi relacije vaţna pretpostavka. Kao što

se za verovatnoće pretpostavlja da se ocenjuju na osnovu stopa smrtnosti u

odreĎenom periodu (na primer, od jedne godine), izračunavanje vrednosti se bazira na pretpostavci da se obrazac smrtnosti ne menja u budućnosti. Statistički podaci pokazuju da je ljudska smrtnost u mnogim zemljama opala tokom . veka, a naročito tokom poslednjih decenija. Prema tome, hipoteza ,,statičkog” mortaliteta, u opštem slučaju, nije opravdana, naročito ako se odnosi na duţi vremenski interval. Zbog toga, primenu tablica mortaliteta za odreĎeni period u ţivotnom osiguranju treba ograničiti na srednjoročne ugovore o osiguranju koji traju pet do deset godina. Takvi su, na primer, ugovori o osiguranju sa rokom i o mešovitom osiguranju, za razliku od dugoročnih ugovora, kao što su doţivotne rente i penzioni planovi. Oni zahtevaju tablice mortaliteta koje uzimaju u obzir predviĎeni trend buduće smrtnosti, odnosno projektovane tablice mortaliteta, formirane na osnovu dotadašnjeg trenda smrtnosti. O ovoj temi će biti više reči u Poglavljima i .

Primer Na Slici predstavljena je kriva doţivljenja. Vrednosti su izračunate na osnovu posmatranja stope smrtnosti u odreĎenom periodu.

Odgovarajuće vrednosti , koje predstavljaju krivu smrtnosti su grafički prikazane na Slici . Neke karakteristike, koje su zajedničke većini tablica mortaliteta, jasno su vidljive (posebno posmatrajući krivu smrtnosti):

1. smrtnost u detinjstvu; 2. smrtnost kod adolescenata, koja je najčešće posledica nesrećnih slučajeva; 3. doba maksimalne smrtnosti (u poznim godinama).

Potrebno je napomenuti da tačka najveće smrtnosti (u poznim godinama) na krivoj smrtnosti odgovara prevojnoj tački na krivoj doţivljenja.

7

Slika u muškoj populaciji Italijana – (izvor: ISTAT)

Slika u muškoj populaciji Italijana – (izvor: ISTAT)

∎

1.3 Formiranje tablica mortaliteta za

odreĎeni period Postoji nekoliko osnovnih metoda za formiranje tablica mortaliteta za odreĎeni period. Kako je detaljna diskusija na ovu temu izvan opsega ovog rada, biće pomenut metod koji se moţe implementirati u cilju ocene verovatnoća nastupanja smrti u roku od jedne godine.

Neka je broj smrtnih slučajeva kod osoba starosti izmeĎu x i x+godina, i broj osoba izloţenih riziku, meĎu kojima je broj stvarnih smrtnih slučajeva.

Broj se moţe oceniti primenom različitih pristupa. Ovde će ukratko biti opisan takozvani metod popisa. U tom smislu će se podrazumevati da je jedna godina period posmatranja.

Neka () označava veličinu populacije starosti izmeĎu x i x+ godina na

početku godine (tj. u trenutku ), a () veličinu populacije starosti izmeĎu x i x+

8

godina na kraju godine (u trenutku ). Na Slici su prikazane vrednosti (t), za

x = , , . . . , u odnosu na vreme t, posebno za muškarce - ([M]) i ţene - ([F]). Niţi uzrasti su u donjem delu grafika. Dobijeni grafik opisuje strukturu populacije u zavisnosti od starosti i pola i obično se naziva piramida starosti i pola ili populaciona piramida. Vaţno je naglasiti da oblik piramide odraţava evoluciju populacije tokom vremena. Na primer, mali broj mlaĎih članova populacije, u odnosu na broj u srednjem ili krajnjem delu razmatranog perioda ukazuje na populaciju koja stari.

Slika Struktura populacije u trenutku t, u odnosu na starost i pol

Broj osoba izloţenih riziku se definiše sa

=

.

Prema tome, broj izloţenih riziku se odreĎuje prvo kao aritmetička sredina broja članova populacije na početku godine i broja članova populacije na kraju

godine, pri čemu se populacija sastoji od osoba starosti izmeĎu x i x + godina. Zatim se ovom broju dodaje jedna polovina broja osoba čija je smrt nastupila u toj godini, jer se pretpostavlja da smrt nastupa u proseku sredinom godine.

Učestalost smrti kod osoba starosti x godina, označava se sa i definiše sa

=

.

Vrednosti , koje se odreĎuju na osnovu statističkih podataka, nazivaju se sirove stope smrtnosti. Kako one mogu odstupati od realne situacije, na primer zbog veoma malog obima populacije u veoma poznim godinama, dok prethodno iskustvo i

intuicija sugerišu glatku progresiju, na niz se obično primenjuje postupak

stepenovanja. Stepenovane stope smrtnosti u odreĎenom periodu imaju za cilj

9

prikazivanje promena smrtnosti u zavisnosti od starosti, bez naglih i/ili velikih skokova, koji se ne mogu objasniti intuitivno niti na osnovu iskustva iz prošlosti.

Postoje različiti pristupi stepenovanja meĎu kojima su najpoznatiji:

parametarsko stepenovanje, koje uključuje primenu zakona mortaliteta;

neparametarsko stepenovanje.

Prema parametarskom pristupu, bira se funkcionalna forma (neki primeri biće predstavljeni u Poglavljima i ) i relevantni parametri se ocenjuju kako bi se odredile vrednosti parametara koji najbolje opisuju posmatrane stope smrtnosti. Za ocenu parametara se mogu primeniti različiti metodi, kao što je, na primer, metod maksimalne verodostojnosti. Ako se primenjuje neparametarski metod stepenovanja izbegava se izbor odreĎene funkcionalne forme. Tradicionalni metodi u ovoj kategoriji su, na primer, metodi ponderisanih pokretnih sredina. U nastavku, zbog jednostavnosti se pretpostavlja da je neka procedura stepenovanja primenjena na sirove podatke smrtnosti, što za rezultat ima skup stepenovanih vrednosti.

Sa , x = . . . biće označene stepenovane vrednosti, pri čemu se

pretpostavlja da je verovatnoća da će kod osobe starosti x smrt nastupiti u roku od

jedne godine, odnosno pre nego što dostigne x + godinu ţivota. Dakle, su godišnje (ili jednogodišnje) verovatnoće nastupanja smrti.

Konačno, vrednosti se mogu izračunati primenom relacije Slika

rezimira postupak koji, počevši od strukture populacije, dovodi do niza .

Slika Postupak formiranja tablice mortaliteta na osnovu starosne strukture populacije

10

1.4 ,,Populacione“ tablice naspram

,,trţišnih“ tablica

Podaci o smrtnosti, a time i tablice mortaliteta, mogu biti rezultat posmatranja čitave populacije jedne nacije, posebnog dela populacije (na primer, radnika u penziji ili invalida), portfolija osiguravača, penzionih planova ili drugih grupa pojedinaca. Tablice mortaliteta konstruisane na osnovu posmatranja koje uključuje celu populaciju jedne nacije (obično podeljenu na ţensko i muško stanovništvo) se obično nazivaju populacione tablice mortaliteta. Trţišne tablice mortaliteta su konstruisane na osnovu podataka o smrtnosti koji potiču iz kolekcije portfolija osiguranja i/ili penzionih planova. Obično se posebne tablice konstruišu za ugovore o osiguranju koji podrazumevaju naknadu u slučaju smrtnog ishoda (na primer, osiguranje sa rokom), ţivotne rente bazirane na individualnoj osnovi, penzije (odnosno, rente koje se isplaćuju korisnicima penzionog plana). Obrazloţenje za postojanje posebnih trţišnih tablica leţi u činjenici da se nivo smrtnosti moţe značajno razlikovati u zavisnosti od tipa osiguranja. Ovaj uticaj će biti razmatran u Poglavlju . Trţišne tablice pruţaju podatke za izračunavanje premija i rezervi, kao i za procenu očekivanih profita osiguravajućih kompanija. Populacione tablice obezbeĎuju polaznu tačku u analizi smrtnosti kada trţišne tablice nisu dostupne. Štaviše, populacione tablice obično otkrivaju viši nivo smrtnosti od onog koji je izraţen trţišnim tablicama, zbog čega predstavljaju konzervativnu ocenu smrtnosti u portfolijima ugovora o osiguranju koji podrazumevaju naknadu usled smrtnog ishoda. Prema tome, populacione tablice se koriste za odreĎivanje cena takvih ugovora o osiguranju da bi se odredila marţa, odnosno rezerva koja će biti uključena u premije osiguranja.

1.5 Tablice mortaliteta kao

verovatnosni modeli

Neka niz , , . . . , , . . . , predstavlja bazu podataka. Na osnovu njega se mogu definisati različite verovatnoće, korisne u proračunima koji su od značaja za ţivotno osiguranje, a samim tim i za poslovanje osiguravajućih kompanija.

Sa će biti označena verovatnoća da će osoba starosti x godina doţiveti narednu godinu. Tada je

= ,

tako da, na osnovu , sledi da je

=

11

Dalje, sa će biti označena verovatnoća da će osoba starosti x doţiveti bar još h godina. Ovaj dogaĎaj se moţe izraziti pomoću dogaĎaja o doţivljenju jednogodišnjih perioda koji se tiču date osobe, odnosno:

osoba starosti x godina će doţiveti x + godinu;

osoba starosti x + godina će doţiveti x + godine;

. . .

osoba starosti x + h godinu će doţiveti x + h godina.

Tada je

= ,

odakle je, na osnovu ,

=

.

Potrebno je naglasiti da je = i = . Sledeća relacija je korisna u velikom broju aktuarskih proračuna:

= .

Neka je verovatnoća da osoba starosti x neće doţiveti narednih h godina. Tada je

= =

,

pri čemu je = i

= =

=

.

Napomena: U nekim slučajevima se jednogodišnje verovatnoće i nazivaju stope smrtnosti i stope doţivljenja, respektivno. Najčešće se ovi izrazi izbegavaju za označavanje verovatnoća nastupanja smrti i doţivljenja, dok je termin ,,stopa” adekvatniji naziv za odgovarajući broj dogaĎaja u jedinici vremena.

Verovatnoća da će kod osobe starosti x godina smrt nastupiti izmeĎu starosti

x + h i x + h + k godina biće označena sa . Ovaj dogaĎaj se moţe predstaviti na

sledeći način:

osoba starosti x godina će doţiveti x + h godina; osoba starosti x + h godina neće doţiveti x + h + k godina.

Tada je

= =

.

Verovatnoća se obično naziva ,,odloţena“ verovatnoća nastupanja smrti,

sa periodom odlaganja h godina. Na osnovu prethodno navedenih formula sledi da je

= = .

12

1.6 Jednogodišnje mere smrtnosti

Razmatra se verovatnoća definisana sa . Specijalno, za k = , vaţi da je

= =

=

.

Ako se prethodna formula primeni za novoroĎene osobe, tj. za x = , tada je

=

.

Moţe se uočiti da je

∑ =

∑

=

Zapravo, vrednosti predstavljaju raspodelu verovatnoća ţivotnog veka

novoroĎene osobe, koji se moţe modelirati slučajnom promenljivom sa celobrojnim

vrednostima , . . . , ω. Konkretno, je verovatnoća nastupanja smrti tokom

prve godine ţivota, je verovatnoća nastupanja smrti u drugoj godini ţivota i

tako dalje. Pored toga, za svaki ceo broj k, vaţi da je

∑ =

∑

=

= .

Posmatraju se sledeće verovatnoće:

, izraţena sa ;

, izraţena sa , gde je vrednost h zamenjena sa x.

Obe verovatnoće se odnose na nastupanje smrti u periodu od jedne godine, odnosno

izmeĎu starosti x i x + .

Slika Jednogodišnje verovatnoće nastupanja smrti

Slika ilustruje ponašanje ovih verovatnoća u funkciji starosti x (pod pretpostavkom, zbog jednostavnosti, da x moţe imati sve nenegativne realne

vrednosti). Vaţno je napomenuti da se verovatnoća (prikazana na Slici a)

13

odnosi na osobu koja je doţivela x godina starosti, a (videti Sliku b) se

odnosi na novoroĎenu osobu. Različito ponašanje ovih verovatnoća je lako objasniti na osnovu definicija odgovarajućih jednogodišnjih verovatnoća i ,

respektivno, uočavajući da se smanjuje kako se x povećava. Specijalno, ako je blizu , grafici su veoma slični, a kako naglo opada, se značajno povećava.

Vaţno je naglasiti da je ponašanje u skladu sa ponašanjem , što se moţe

videti na Slici .

Druga jednogodišnja mera smrtnosti moţe se definisati sa

=

i obično se naziva centralna stopa smrtnosti.

Zanimljivo je uporediti meru sa verovatnoćom , koja je odreĎena

relacijom . Obe veličine povezuju očekivani broj osoba , čija će smrt nastupiti izmeĎu x i x + godina starosti, sa očekivanim brojem osoba ,,izloţenih riziku”. Pri

odreĎivanju se podrazumeva da je broj izloţenih riziku , odnosno ,,početni” broj

osoba čija je starost u intervalu (x, x + ), dok se mera odnosi na prosečan broj

izloţenih riziku

, tj. na ,,srednji“ broj osoba starosti u istom intervalu.

Tabela Jednogodišnje mere smrtnosti

Na kraju će biti predstavljena još jedna veličina koja se odnosi na smrtnost u

toku jedne godine. Ako se moţe predstaviti u obliku =

, funkcija

predstavlja takozvane kvote smrtnosti, odnosno

=

.

Iz < < (za x < ω), sledi da je > . Primenom kvota, umesto godišnjih verovatnoća nastupanja smrti, moţe se olakšati izbor matematičkih formula kojima se modelira smrtnost, sa jedinim ograničenjem o pozitivnosti kvota. Tabela sumira ove jednogodišnje mere smrtnosti.

Primer Tablica mortaliteta sadrţi elemente predstavljene u Tabeli . Na primer, mogu se izračunati sledeće verovatnoće:

14

verovatnoća da će kod novoroĎene osobe (tj. osobe starosti godina) smrt nastupiti izmeĎu i godina starosti je

=

= ;

verovatnoća da će osoba starosti godine doţiveti godina je

=

= ;

Tabela Očekivani broj osoba koje su doţivele starost x u tablici mortaliteta

verovatnoća da će kod osobe starosti godina smrt nastupiti izmeĎu starosti i godina je

=

= ;

verovatnoća da će kod osobe starosti godine smrt nastupiti izmeĎu starosti i godina je

=

= . ∎

Primer U prvom i drugom delu prethodnog primera verovatnoće koje su

izračunate uključuju vrlo duge vremenske intervale ( godina kao period odlaganja kod verovatnoće u prvom delu i godine kod verovatnoće u drugom delu). Ako su

vrednosti preuzete iz tablice mortaliteta za odreĎeni period, ove verovatnoće (iako formalno korektne) mogu biti neprecizne zbog prisustva odreĎenog trenda mortaliteta. Nasuprot tome, druge dve verovatnoće odreĎene u prethodnom primeru, uključuju kratke intervale, što ih čini prihvatljivim. Stoga, odgovarajuću upotrebu tablice mortaliteta za odreĎeni period treba ograničiti na kraće intervale, u trajanju od najviše godina. Na primer, ako se razmatra osiguranik starosti godina kome je izdata polisa osiguranja sa rokom godina, od značaja su verovatnoće

=

, =

, . . . , =

. ∎

15

1.7 Formalna osnova ţivotnog

osiguranja: slučajni ţivotni vek

U teoriji ţivotnog osiguranja značajnu ulogu ima preostali ţivotni vek osiguranika. Prethodno razmatranje se moţe formalizovati uvoĎenjem u model

preostali ţivotni vek osiguranika starosti x. Neka je slučajna promenljiva koja opisuje preostali ţivotni vek. Bez obzira na ishod ove slučajne promenljive, (slučajni)

broj godina osiguranika u trenutku smrti je dat sa + x. Mogući ishodi slučajne

promenljive su pozitivni realni brojevi, mada se u nekim slučajevima podrazumeva da je ω – x maksimalni mogući ishod.

Specijalno, predstavlja ukupan ţivotni vek osobe starosti godina, odnosno novoroĎene osobe. Tada je

= – x | > x,

tj. preostali ţivotni vek osobe starosti x godina predstavlja razliku preostalog ţivotnog veka novoroĎene osobe i te starosti, pod uslovom da je novoroĎena osoba doţivela tu starost. U proračunima koji su od značaja za ţivotno osiguranje,

neophodno je odrediti verovatnoće oblika [ > h], [h < h + k], izmeĎu ostalih. Kada su tablice mortaliteta na raspolaganju, ove verovatnoće se mogu odrediti na osnovu podataka iz same tablice, pod uslovom da su starost osiguranika i trajanje ugovora o osiguranju celi brojevi. Na primer,

[ > h] = =

,

[ h] = = –

,

[h < h + k] = =

.

Ako je potrebno izračunati verovatnoće kao što su i kada su godine ili trajanje ugovora o osiguranju realni brojevi, potrebno je proširiti model, što će detaljnije biti razmatrano u Glavi .

Celobrojni preostali ţivotni vek osiguranika, obično se označava sa i

definiše se kao ceo deo broja . Moţe se zaključiti da su mogući ishodi slučajne

promenljive , {, . . . }, pri čemu je

< ,

< ,

< ,

Kako je slučajna promenljiva apsolutno neprekidnog tipa, potrebno je uočiti da prethodne ekvivalencije vaţe svuda sem na dogaĎajima verovatnoće nula.

Slična definicija se moţe primeniti na slučajnu promenljivu , što dovodi do

celobrojnog ukupnog ţivotnog veka . Raspodela verovatnoća slučajne promenljive

je odreĎena verovatnoćama

16

, , . . . , , . . . , ,

što se moţe zaključiti na osnovu relacije

= [x x + ] = [ = x]; x = ,, . . . , .

1.8 Rezimiranje tablice mortaliteta

U aktuarskim proračunima se često primenjuju različite funkcije starosti

osiguranika. Na primer, ako je starost diskretna, funkcije kao što su , i druge se obično koriste u cilju izračunavanja premija, rezervi i drugih komponenata koje su bitne za poslovanje osiguravajućih kompanija. Ipak, uloga indeksa, koji se nazivaju markeri i rezimiraju tablicu mortaliteta, odnosno raspodelu verovatnoća ţivotnog veka, ne bi trebalo da bude potcenjena. Na primer, vaţne karakteristike ranijih trendova smrtnosti se mogu sagledati proučavanjem promena odreĎenih indeksa tokom vremena, što će biti ilustrovano u Poglavlju

1.8.1 Očekivani ţivotni vek

Očekivana vrednost slučajnog ţivotnog veka osiguranika je jedan od markera.

Često se razmatra celobrojni ukupni ţivotni vek osiguranika uporedo sa

slučajnom promenljivom +

. Razlog za razmatranje +

potiče iz činjenice da

smrt osiguranika nastupa u intervalu ( , + ), tako da se pomoću +

aproksimira tačan ţivotni vek osiguranika . Očekivana vrednost slučajne

promenljive

je

𝔼[ +

] = ∑

+

) .

Izraz se naziva očekivani ukupni ţivotni vek osiguranika (ili očekivani

ţivotni vek na dan roĎenja) i obično se označava sa

. Moţe se uočiti, primenom

jednakosti , da je

=

+ ∑

.

Ukoliko se posmatra osoba starosti x, očekivani preostali ţivotni vek te osobe

(ili očekivani ţivotni vek osobe starosti x), obično se označava sa

i definiše se kao

= 𝔼[ +

] = ∑

+

) .

Na osnovu relacije slične onoj u dobija se

=

+ ∑

.

Očekivana starost u trenutku smrti, tj. očekivani ukupni ţivotni vek osobe

starosti x je x +

.

17

Verovatnoće koje figrišu u prethodnim formulama se obično odreĎuju na

osnovu posmatranja poprečnog preseka. Tada očekivane vrednosti

i

predstavljaju očekivane vrednosti ţivotnog veka u odreĎenom periodu, a samim tim se oslanjaju na hipotezu statičke smrtnosti.

Primer Pretpostavlja se da je na osnovu tablice mortaliteta, formirane posmatranjem smrtnosti populacije A u odreĎenom periodu, odreĎen očekivani

ukupni ţivotni vek

. Analogno zapaţanje o populaciji B dovodi do

. Neka je,

na primer,

= i

= . Postavlja se pitanje tumačenja zapaţanja da je

-

= , kao i kakav je uticaj ove razlike, na primer, na troškove vezane za

isplatu penzija i ţivotnih renti. Jedno od tumačenja moţe biti da veći očekivani ukupni ţivotni vek povlači da su troškovi isplata penzija za populaciju B veći od troškova koji se odnose na populaciju A, jer članovi populacije B primaju u proseku dve godišnje rate više. Ovo tumačenje moţe biti pogrešno, što će biti obrazloţeno u nastavku.

Očekivani ukupni ţivotni vek

zavisi od raspodele verovatnoća slučajne

promenljive u celini (videti relaciju ), pritom uključujući, specijalno,

smrtnost kod dece i adolescenata (videti Sliku b). Dakle, veća vrednost

se

moţe objasniti, pomoću: . niţe stope smrtnosti kod dece; . niţe stope smrtnosti kod adolescenata; . duţeg očekivanog ţivotnog veka osoba koje doţive, na primer, godina.

Jasno, stavke . i . ne mogu podrţati ranije navedeno tumačenje. Nasuprot tome, stavka . podrţava to tumačenje i istovremeno ističe jedan zanimljiv aspekt. Pri rešavanju penzionih problema, korisnu informaciju pruţa očekivani preostali ţivotni vek odrasle osobe, na primer, starosti do godina. Prema tome, ako je

>

, moţe se zaključiti da će troškovi isplate penzija kod populacije B

verovatno biti veći od troškova koji se odnose na populaciju A. ∎

Primenom formule (), lako se pokazuje da je

+

=

(

),

odakle sledi da je

x +

> x + ,

a iz sledi da je

x +

>

.

Nejednakosti i su očigledne: očekivani ukupni ţivotni vek raste sa starošću, jer je osoba prevazišla rizik nastupanja smrti u prethodnom periodu.

1.8.2 Drugi markeri

Brojni markeri, osim očekivanog ukupnog ţivotnog veka (ili očekivanog preostalog ţivotnog veka pri odreĎenoj starosti), mogu se primeniti za rezimiranje tablice mortaliteta. Neki od primera će biti navedeni u nastavku.

18

Leksička tačka predstavlja vaţnu karakteristiku raspodele verovatnoća ukupnog ţivotnog veka. Ona predstavlja starost sa najvećom smrtnošću, tj.

onu za koju je vrednost (a samim tim ) najveća.

Disperzija ukupnog ţivotnog veka (ili njegova standardna devijacija) je uobičajena mera promenljivosti ukupnog ţivotnog veka.

Verovatnoća da će kod novoroĎene osobe smrt nastupiti pre nego što doţivi

odreĎenu starost x', odnosno , za malo x' (na primer ili ), predstavlja meru smrtnosti kod dece.

Iako su ovi i drugi markeri, koji uzimaju u obzir raspodelu verovatnoća ţivotnog veka, od velikog interesa u demografskim studijama, njihova upotreba je prilično ograničena u polju aktuarstva. Zapravo, proračuni kod ţivotnog osiguranja uglavnom zahtevaju rad sa funkcijama slučajnog ţivotnog veka, a reĎe direktno sa samim slučajnim ţivotnim vekom.

19

GLAVA 2 Zakoni mortaliteta

Mnogi zakoni mortaliteta se baziraju na pretpostavci neprekidne starosti, odnosno na pretpostavci da se preostali ţivotni vek moţe modelirati slučajnom promenljivom apsolutno neprekidnog tipa. Neki od ovih zakona biće predstavljeni i razmatrani u Poglavlju . Ovde će biti reči samo o jednom tipu zakona mortaliteta, naime o Heligman – Pollardovoj formuli, koja, iako definisana za svaki realan broj

godina x, izraţava jednogodišnju verovatnoću nastupanja smrti i kvote smrtnosti

, i zbog toga je ona precizna kada su godine starosti i preostali ţivotni vek celi

brojevi.

Začetnikom analitičkog pristupa proučavanja smrtnosti neke populacije smatra se A. De Moivre čiji doprinos se vezuje za godinu. Od tada su demografi i aktuari ulagali veliki napor kako bi izveli analitičke formule (ili zakone mortaliteta) koje opisuju starosni obrazac smrtnosti. Prilikom usklaĎivanja zakona mortaliteta sa prikupljenim podacima o nekoj populaciji, kada se primenjuje parametarski pristup, starosni obrazac smrtnosti se predstavlja na osnovu malog broja parametara (na primer, od dva do deset, u zakonima mortaliteta koji se obično koriste u aktuarskim i demografskim primenama). Na taj način se moţe zameniti veći broj stavki iz tablica mortaliteta malim brojem parametara bez ţrtvovanja mnogo informacija.

2.1 Heligman – Pollardov zakon Heligman i Pollard su predloţili godine klasu formula čiji je cilj da predstave starosni obrazac smrtnosti tokom čitavog ţivotnog veka osiguranika. Prvi Heligman – Pollardov zakon, izraţen u terminima kvota, je

= + D

+ G ,

dok je drugi Heligman – Pollardov zakon, u terminima verovatnoća nastupanja smrti

, dat sa

= + D

+

,

20

pri čemu su su svi parametri pozitivni realni brojevi. Vaţno je napomenuti, u oba slučaja, da je za duboku starost

.

Zbog toga se formula moţe primenjivati kao aproksimacija pri izračunavanju vrednosti koje se odnose na doţivotne rente i penzije, na primer, za x Postoje još dva zakona koja predstavljaju uopštenje drugog Heligman – Pollardovog zakona. MeĎutim, o njima neće biti reči u ovom radu zbog toga što zahtevaju detaljniju analizu.

Slika Prvi Heligman – Pollardov zakon:

Slika Prvi Heligman – Pollardov zakon:

Primer Date su sledeće vrednosti parametara prvog Heligman – Pollardovog zakona (videti Sliku ): A = B =

C = D =

E = F =

G = H =

21

Ovi parametri su ocenjeni na osnovu realnih podataka o smrtnosti u Velikoj Britaniji (videti []). Slika ilustruje starosni obrazac smrtnosti u terminima verovatnoća

. Bolji prikaz, zbog opsega vrednosti, obezbeĎuju logaritmovane vrednosti ln

(videti Sliku ). Pored toga, verovatnoće su prikazane na Slici

Slika Prvi Heligman – Pollardov zakon: ∎

2.2 Od osnovnog do opštijih modela

Model koji je do sada bio razmatran moţe se smatrati ,,osnovnim”, zbog toga što uzima u obzir samo dostignutu starost prilikom odreĎivanja verovatnoća nastupanja smrti u toku jedne godine, doţivljenja naredne godine ili odreĎenog broja godina i drugih relevantnih verovatnoća.

Slika Od osnovnog do opštijih modela

22

MeĎutim, statističko iskustvo, a u izvesnoj meri i intuicija, sugerišu da su, u mnogim primenama meĎu kojima su ţivotno osiguranje i penzioni poslovi, potrebni sloţeniji modeli. Takvi modeli bi, na primer, uzimali u obzir heterogenost unutar populacije u odnosu na smrtnost, buduće trendove smrtnosti, efekat medicinske procene u procesu preuzimanja rizika od strane osiguravača i slično. Slika ilustruje glavne pravce dalje analize, sa ciljem da se izgrade opštiji modeli koji će se primenjivati u ţivotnom osiguranju i penzionim proračunima. Različiti termini koji se nalaze u blokovima na slici biće objašnjeni u narednim poglavljima.

2.2.1 Heterogenost

U ovom poglavlju će biti reči o faktorima rizika koji se uzimaju u obzir pri odreĎivanju premije prilikom sklapanja ugovora o osiguranju. Biće navedena i faktor-formula koja se odnosi na skup od k faktora rejtinga, a kojom je izraţena godišnja specifična verovatnoća nastupanja smrti osobe starosti x + t godina.

Neke preliminarne ideje

U svakoj populaciji postoji odreĎeni stepen heterogenosti, koji je od značaja u razmatranju smrtnosti pojedinca. Heterogenosti u populacijama se moţe pristupiti kroz dva glavna aspekta:

otkrivanje i modeliranje karakteristika koje se mogu opservirati (na primer: starost, pol, zanimanje, itd.),

uzimanje u obzir karakteristika koje se ne mogu opservirati.

U okviru osiguranja, faktori heterogenosti se nazivaju i faktori rizika. Što se tiče karakteristika koje se mogu opservirati, smrtnost zavisi od:

bioloških i fizioloških faktora, kao što su starost, pol, genotip; karakteristika ţivotne sredine, kao što su: klima i zagaĎenje, standardi ishrane

(uglavnom neumerenost ili nedostaci u ishrani), gustina naseljenosti populacije, higijenski i sanitarni uslovi;

zanimanja, u smislu mogućih profesionalnih invaliditeta ili izloţenosti povredama, kao i školske spreme;

individualnog načina ţivota, naročito u pogledu ishrane, konzumiranja alkohola i droga, pušenja, fizičke aktivnosti i navika;

trenutnog zdravstvenog stanja, lične i/ili porodične anamneze, graĎanskog statusa.

Tačka utiče na smrtnost celokupne populacije. Zbog toga se obično tablice mortaliteta kreiraju posebno za dato geografsko područje. Ostale stavke se odnose na pojedinca i, kada je reč o ţivotnom osiguranju, mogu se uzeti u obzir prilikom izdavanja polisa. Njihov uticaj se moţe sagledati kroz odgovarajuća pitanja koja se nalaze u formularu koji se odnosi na polisu osiguranja. Na primer, kada je u pitanju zdravstveno osiguranje, često je neophodna lekarska provera zdravstvenog stanja osiguranika. Specijalne stavke koje su od značaja za rejting osiguranja zavise od vrste nadoknade predviĎene ugovorom o osiguranju (videti Klase rejtinga).

23

Razlike meĎu pojedincima mogu se pripisati karakteristikama koje se ne mogu opservirati kao što su stav pojedinca prema zdravlju, kao i neke uroĎene karakteristike.

Karakteristika koje se ne mogu opservirati mogu se uzeti u obzir primenom različitih pristupa. MeĎutim, osnovna ideja je da tablicu mortaliteta populacije, ili zakon mortaliteta populacije, treba tumačiti kao mešavinu skupa tablica ili zakona, gde svaki od njih izraţava odreĎeni nivo smrtnosti.

Klase rejtinga

Karakteristike koje se mogu opservirati dovode do podele osigurane populacije u klase rizika. MeĎutim, iz raznih razloga se ne uzimaju u obzir svi faktori rizika prilikom odreĎivanja premija osiguranja, a time se uvodi efekat solidarnosti u sistem premija. Faktori rizika koji se uračunavaju pri odreĎivanju premija (ili ,,rejtinga“) nazivaju se faktori rejtinga. Na osnovu toga se osigurana populacija deli na klase rejtinga. Procedura utvrĎivanja rejtinga se, za bilo koji proizvod osiguranja, sprovodi na sledeći način.

Sprovodi se pravilan izbor faktora rejtinga sa ciljem grupisanja ljudi u klase na osnovu sličnog profila očekivane smrtnosti.

Za svakog pojedinca koji ţeli da se osigura, treba sprovesti proces selekcije, čiji je cilj da odredi kojoj klasi pripada podnosilac zahteva.

Prilikom definisanja procedure rejtinga, treba uzeti u obzir moguće negativne selekcije (ili anti-selekcije). Ovaj izraz označava veću sklonost kupovine osiguranja onih osoba koje imaju lošiji profil rizika.

Specifični faktori rizika koji se odnose na rejting u okviru ţivotnog osiguranja zavise, u izvesnoj meri, od vrste nadoknade koju obezbeĎuje ugovor o osiguranju. Starost se uvek razmatra, zbog očigledne zavisnosti smrtnosti od nje. Pol se obično uzima u obzir kao faktor rizika, naročito kada ugovor o osiguranju predviĎa novčane nadoknade dok je osiguranik ţiv, s obzirom na to da ţene u proseku duţe ţive od muškaraca. Ova razlika se jasno vidi na Slikama i gde su prikazane krive smrtnosti i doţivljenja, respektivno.

U okviru razmatranja genetskog aspekta, aktuelno je pitanje da li je legitimno da osiguravajuće kompanije koriste genetske testove osiguranika prilikom preuzimanja rizika.

Slika Krive smrtnosti kod muške i ţenske populacije Italijana –

24

Slika Krive doţivljenja kod muške i ţenske populacije Italijana – .

Podnosioci molbi za doţivotne rente su obično u dobrom zdravstvenom stanju, tako da lekarski pregled nije neophodan. Na drugoj strani, odgovarajuća istraga je potrebna za one koji kupuju polisu osiguranja sa izvesnim naknadama nakon smrti osiguranika, s obzirom na to da ljudi lošijeg zdravstvenog stanja mogu biti zainteresovaniji za njih i time su veće šanse da sklapaju ovakvu vrstu ugovora.

Kada se razmatra osiguranje sa izvesnim naknadama nakon smrti osiguranika, zdravstveno stanje, zanimanje i pušački status mogu se uzeti kao faktori rejtinga. Rezultat toga je klasifikacija na standardne i substandardne rizike u ţivotnom osiguranju. Za drugi tip rizika, koji potiče od nekvalitetnog ţivota, utvrĎuje se viši nivo premija sa ciljem da se izbegne negativna selekcija, s obzirom na to da on nosi veću verovatnoću ostvarenja prava naknade. Na nekim trţištima, standardni rizici se dodatno dele na regularne i prioritetne rizike. Prioritetni rizici sa aspekta osiguravača imaju bolji profil od regularnih (na primer, nepušači spadaju u klasu regularnog rizika) i zbog toga su kod njih iznosi premija niţi.

Smrtnost osoba u lošijim ili boljim uslovima od prosečnih se obično izraţava u odnosu na prosečnu (ili standardnu) smrtnost. To omogućava rad sa samo jednom tablicom mortaliteta (ili jednim zakonom mortaliteta) koja je pravilno usklaĎena sa

substandardnim ili prioritetnim rizicima. Prema tome, ako se , koja označava godišnju verovatnoću nastupanja smrti u starosnom obrascu smrtnosti, uzima kao

standardna, usklaĎena verovatnoća nastupanja smrti

, izraţava se sa:

= Ф( ),

gde Ф označava odgovarajuću funkciju pomoću koje se vrši usklaĎivanje.

Substandardni rizici

U ovom poglavlju će biti predstavljeno nekoliko modela koji su prihvatljivi za izraţavanje starosnog obrasca smrtnosti za substandardne rizike u funkciji standardne smrtnosti. Sa x se označava broj godina osiguranika u trenutku potpisivanja polise

osiguranja, a sa m trajanje polise. Dalje, sa ( t m) se označava jednogodišnja verovatnoća nastupanja smrti iz tablice mortaliteta (ili u skladu sa zakonom mortaliteta) koja se primenjuje za izraţavanje starosnog obrasca smrtnosti kod standardnih rizika.

25

Opštu transformaciju obezbeĎuje linearni model, dat sa

= (1 + β) + α; t m.

Iz ovog modela se mogu izvesti posebne transformacije. Aditivni model (videti Sliku

) se definiše postavljanjem β = i α > u Tako se dobija

= α; t m.

Vaţno je napomenuti da aditivni model podrazumeva dodatnu smrtnost, datu sa α, koja je konstanta i nezavisna je od početne starosti. Ovakav model je u skladu, na primer, sa dodatnom smrtnošću koja je nastala usled nezgode, kao što je povreda na radu ili pri ekstremnim sportovima.

Blaga modifikacija modela omogućava izraţavanje konstante dodatne smrtnosti u funkciji starosti x u trenutku sklapanja polise osiguranja, i to pomoću

verovatnoće nastupanja smrti , tako da je

= +α ; t m.

Sa druge strane, stavljanjem α = i β > u dobija se miltiplikativni model (videti Sliku ), gde je

= ( + β) ; t m.

U ovom modelu, dodatna smrtnost je data sa β . U intervalima starosti koji su od

značaja, verovatnoća se povećava sa povećanjem dostignute starosti x + t. Dakle, multiplikativni model podrazumeva rastuću dodatnu smrtnost.

Slika Aditivni model Slika Multiplikativni model

Slika Nestajanje dodatne smrtnosti Slika Model starosnog pomeraja

Evolucija nekih bolesti, koje dovode do prerane smrti osobe ili podrazumevaju kratko vreme oporavka, dovodi do potrebe za modelima koje karakteriše opadajuća dodatna smrtnost. Primer takvog modela je

= { β α

za < r < m, tako da je

26

= + početna dodatna smrtnost,

= .

Vaţno je naglasiti da, prema modelu , efekat dodatne smrtnosti nestaje unutar

perioda od r godina (videti Sliku . Obrazac smrtnosti substandardnih rizika se moţe smatrati bar pribliţno jednakim standardnom obrascu smrtnosti kada su u pitanju starije osobe. Model starosnog pomeraja (videti Sliku ) opisuje ovakav slučaj i moţe se smatrati aproksimacijom multiplikativnog modela. Definiše se kao

= ; t m, s >

Veći priraštaj s starosti osiguranika izraţava veću dodatnu smrtnost što odgovara

većoj vrednosti parametra β u multiplikativnom modelu .

Faktor - formula

Primena modela se ne mora ograničiti samo na predstavljanje veće

smrtnosti od standardne. Zaista, za – < β < se izraţava niţa smrtnost od standardne. Dakle, ovaj model se moţe usvojiti tako da predstavlja široku klasu

obrazaca smrtnosti u terminima standardnog obrasca smrtnosti datog sa . Zanimljiv primer je dat od strane takozvanog numeričkog sistema rejtinga, koji je Njujorško ţivotno osiguranje uvelo . godine i koji i dalje usvajaju mnogi osiguravači. On se odnosi na skup od k faktora rejtinga. Godišnja specifična

verovatnoća nastupanja smrti

osobe čija je trenutna starost x + t godina,

izraţena je formulom

= (+ ∑ ),

poznatom kao faktor – formula. U zavisnosti od vrednosti parametara dobijaju se veće ili manje verovatnoće nastupanja smrti, a svaki parametar označava odreĎeni faktor rejtinga. Pri tom za sve starosti x + t je neophodno da vaţi uslov

∑

Na osnovu se moţe zaključiti da se ovaj model odnosi na slučaj aditivnog efekta svakog faktora rejtinga.

Napomena: U praksi osiguranja, smrtnost koja je različita od standardne se često uzima u obzir direktnim prilagoĎavanjem premijskih stopa, a reĎe prilagoĎavanjem verovatnoća nastupanja smrti. Na primer, ovo moţe biti slučaj kod starosnog pomeraja, ili faktor-formule. Iako rezultati mogu biti prilično slični, barem u nekom opsegu starosti i za neke produkte osiguranja, pristup nije ispravan zbog toga što se za izračunavanje premija, osim demografskih elemenata, uključuju i drugi elementi, kao što su: troškovi osiguranja, kamatne stope i slično.

27

2.3 Smrtnost u odnosu na starost i

duţinu ţivotnog veka

Starost osiguranika u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju ima uticaja na tablice mortaliteta. U tom smislu će biti razmatrane tablice mortaliteta sa odabirom i krajnje tablice mortaliteta. U tablicama mortaliteta sa odabirom se nalaze verovatnoće koje zavise od starosti osiguranika u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju pri čemu se u obzir uzima i zdravstveno stanje osiguranika. Kako se efekat odabira gubi nakon nekoliko godina, tablice mortaliteta koje se koriste nakon isteka tog perioda nazivaju se krajnje tablice mortaliteta.

2.3.1 Neke preliminarne ideje Razmatra se grupa osiguranika iste starosti godina, izabranih iz populacije čija se smrtnost moţe opisati datom tablicom mortaliteta. Postavlja se pitanje da li je

(iz pomenute tablice) adekvatna ocena jednogodišnje verovatnoće nastupanja smrti za svakog osiguranika iz posmatrane grupe. Da bi se dao odgovor na postavljeno pitanje potrebno je uzeti u obzir sledeće:

Prilikom sklapanja ugovora o ţivotnom osiguranju sa osiguravajućom kompanijom, osiguranik moţe biti podvrgnut medicinskoj proveri (videti Klase rejtinga).

Primećeno je da je smrtnost kod osiguranika koji su nedavno sklopili ugovor o osiguranju (kao standardni rizici) niţa od smrtnosti osiguranika (iste starosti) kojima je ranije izdata polisa osiguranja.

Dakle, odgovor na ranije navedeno pitanje je negativan ako su osiguranici sklopili ugovore o osiguranju u različitim godinama. Prirodno je očekivati da je osiguranik, koji je upravo sklopio ugovor o osiguranju, boljeg zdravlja od osiguranika koji je sklopio ugovor o osiguranju nekoliko godina ranije, a čije se zdravstveno stanje moglo pogoršati za tih nekoliko godina. Da bi se izrazila zavisnost verovatnoće nastupanja smrti od vremena proteklog od izdavanja polise osiguranja, dostignutu starost (na primer, godina) treba podeliti na sledeći način:

dostignuta starost = starost prilikom izdavanja polise + proteklo vreme od izdavanja polise

Sledeći zapis je uobičajen za označavanje godišnjih verovatnoća nastupanja smrti osiguranika trenutne starosti godina:

, , . . . , , . . . ,

gde broj u uglastim zagradama označava starost osiguranika prilikom izdavanja polise o osiguranju, dok drugi broj označava proteklo vreme od izdavanja polise. U

opštem slučaju, označava verovatnoću da osoba starosti x + u, koja je sklopila

ugovor o osiguranju kada je imala x godina, neće doţiveti narednu godinu. U skladu sa stavkom , uobičajena je pretpostavka da je

< < . . . < < . . . .

28

2.3.2 Tablice sa odabirom (select) i krajnje

(ultimate) tablice mortaliteta

UvoĎenje pretpostavke o zavisnosti verovatnoće nastupanja smrti od proteklog vremena od izdavanja polise o osiguranju zahteva upotrebu tablica mortaliteta u kojima su verovatnoće u funkciji starosti x osiguranika prilikom izdavanja polise i vremena koje je proteklo od izdavanja polise.

Posmatra se tablica mortaliteta u terminima verovatnoća nastupanja smrti. Pretpostavlja se da tablica sadrţi elemente

, , , . . . , , . . . .

Sa i se označavaju minimalna i maksimalna starost osiguranika u

trenutku izdavanja polise, respektivno (na primer, = i = , ako se radi o ugovorima sa naknadama usled smrti osiguranika). Skup svih nizova , za

x = , , . . . , , naziva se tablica sa odabirom. MeĎutim, iskustvo pokazuje da je opravdana pretpostavka da efekat odabira

nestaje nakon nekoliko godina, na primer nakon r godina od trenutka izdavanja polise. Dakle, moţe se pretpostaviti da je

< < . . . < = = . . . = ,

gde označava verovatnoću da osoba starosti x, koja je sklopila ugovor o osiguranju pre više od r godina, ne doţivi narednu godinu. Period od r godina se naziva period odabira. Na primer, pod pretpostavkom da je period odabira r = godine, za osobu koja je sklopila ugovor o osiguranju kada je imala x godina, umesto verovatnoća , od značaja su verovatnoće

, , , , , . . . .

Skup svih nizova , za x = , , . . . , , naziva se krajnja tablica sa odabirom (select – ultimate table). Specijalno, tablica koja se koristi nakon isteka perioda odabira, odnosno niz

, , . . . , , . . . ,

gde z označava dostignutu starost, naziva se krajnja tablica mortaliteta (ultimate life table). Tablice mortaliteta kreirane na osnovu pretpostavke da smrtnost zavisi samo od dostignute starosti, a ne i od starosti u trenutku sklapanja ugovora (kao što je slučaj sa tablicama mortaliteta u Poglavlju ), nazivaju se agregatne tablice mortaliteta (aggregate life tables). Jasno, krajnja tablica mortaliteta je agregatna tablica mortaliteta.

Efekat odabira, zbog medicinskih konstatacija (u slučaju osiguranja sa naknadama ukoliko doĎe do smrti osiguranika) ili samoodabira (u slučaju ţivotnih renti), funkcioniše tokom prvih godina trajanja ugovora o osiguranju. Odgovarajući starosni obrazac smrtnosti se obično naziva propisani odabir (issue-select). Drugi tip odabira je od značaja kada neke nepredviĎene situacije mogu negativno uticati na smrtnost osiguranika. Na primer, u aktuarskim proračunima koji se odnose na osiguranja sa naknadama u slučaju invaliditeta, smrtnost osiguranika sa invaliditetom se obično smatra zavisnom od proteklog vremena od trenutka nastanka invaliditeta (kao i od dostignute starosti). U ovom slučaju, smrtnost se naziva

29

smrtnost sa odabirom na osnovu početka ostvarivanja prava naknade (inception – select).

Slika ilustruje uobičajeno ponašanje jednogodišnje verovatnoće nastupanja smrti, u delu sa odabirom i krajnjem delu kod krajnje tablice sa odabirom.

Slika Verovatnoće odabira i krajnje verovatnoće (r =

2.3.3 Praktično pitanje

Verovatnoće koje uzimaju u obzir efekat odabira treba oceniti na

osnovu posmatranja smrtnosti osiguranika. MeĎutim, to zahteva podelu osigurane populacije na veliki broj ćelija, zbog toga što je potrebno razmatrati posebno starost osiguranika prilikom izdavanja polise o osiguranju i proteklo vreme od izdavanja polise. Verovatno je da će se takva procena zasnivati na malom broju osiguranika u svakoj od ćelija, što će dovesti do slabe pouzdanosti rezultujuće ocene. Obrnuto, ako se pretpostavi da je dovoljno oceniti samo krajnju smrtnost (bez obzira na vreme proteklo od izdavanja polise o osiguranju, pod pretpostavkom da je ovaj period duţi

nego period odabira), verovatnoće su samo u funkciji dostignute starosti z. Tada se efekat odabira moţe izraziti primenom odgovarajućih redukcionih faktora. Verovatnoće koje uzimaju u obzir efekat odabira se mogu formalno izraziti kao

= (u); u = , , . . . , r – ,

pri čemu faktor (u) zavisi od starosti osiguranika prilikom izdavanja polise x i od

godina u proteklih od trenutka izdavanja polise. MeĎutim, primena faktora (u) ne umanjuje problem ocene verovatnoća nastupanja smrti. Umesto moţe se usvojiti (aproksimativna) relacija

= (u); u = , , . . . , r – ,

gde faktor (u) ( (u) < ) zavisi samo od godina u proteklih od trenutka izdavanja polise (ili se moţe pretpostaviti da ne zavisi od starosti x za široki raspon godina, na primer do ili do ).

30

2.4 Dinamika smrtnosti

U cilju smanjenja stope smrtnosti i produţetka ţivotnog veka potrebno je na osnovu ranije prikupljenih podataka o smrtnosti formirati model kojim bi se adekvatno prognozirala buduća smrtnost. Sa tim u vezi, u ovom poglavlju će biti reči o trendovima smrtnosti, kao i o nekim metodima prognoziranja smrtnosti.

2.4.1 Trendovi smrtnosti

U mnogim zemljama, proučavanje smrtnosti tokom poslednjih decenija pokazalo je neke aspekte koji utiču na oblik krivih koje predstavljaju smrtnost kao funkciju dostignute starosti. Slike i ilustruju nekoliko scenarija koji se odnose na mušku populaciju Italijana, u terminima krivih doţivljenja, tj. u odnosu na

, i krivih smrtnosti, tj. u odnosu na . Krive doţivljenja i krive smrtnosti se odnose na različite periode posmatranja smrtnosti od . do . (,,SIM t” se odnosi na period posmatranja muške populacije Italijana kalendarske godine t).

Slika Krive doţivljenja

Slika Krive smrtnosti

31

Posmatrani trendovi takoĎe utiču na ponašanje drugih veličina koje izraţavaju obrazac smrtnosti, kao što su očekivani ţivotni vek i stope mortaliteta. Na Slici , koja se odnosi na mušku populaciju Italijana, uporeĎeni su očekivani ţivotni vek novoroĎene osobe, očekivani ţivotni vek osobe starosti godina i leksička tačka krive smrtnosti.

Slika Očekivani ţivotni vek i leksička tačka

Slika Stope smrtnosti

Slika Profili smrtnosti

32

Konačno, Slike i ilustruju ponašanje stopa smrtnosti. Na Slici

stope smrtnosti se odnose na različite tablice mortaliteta i prikazane su u odnosu na starost x, dok Slika prikazuje takozvane profile smrtnosti za različite starosti

x u relativnom smislu, tj. stope smrtnosti (t), kao funkcije kalendarske godine t, podeljene stopom smrtnosti () koja se odnosi na najstariju posmatranu tablicu. Na osnovu zabeleţenih rezultata posebno se mogu istaći sledeći aspekti:

povećanje očekivanog ţivotnog veka novoroĎenih osoba, kao i osoba u poznijim godinama;

smanjenje smrtnosti u dečijem uzrastu i stopa smrtnosti posebno kod odraslih i osoba starijih godina.

Ukoliko se posmatra oblik funkcija doţivljenja i smrtnosti, sledeći aspekti smrtnosti se mogu izdvojiti u mnogim zemljama:

rastuća koncentracija smrtnosti oko modalnog dela (u poznim godinama) krive smrtnosti je evidentna, tako da funkcija doţivljenja teţi pravougaonom obliku, odakle potiče termin pravougaonizacija, koji se odnosi na ovaj aspekt (videti Sliku (a));

mod krive smrtnosti (koji, zbog pravougaonizacije teţi ka maksimalnoj

starosti ω) pomera se ka veoma poznim godinama i ovaj aspekt se naziva ekspanzija funkcije doţivljenja (videti Sliku (b));

od nedavno se posmatraju sa velikom paţnjom viši nivoi i veća disperzija slučajnih smrti kod mladih.

Slika Trendovi smrtnosti u terminima funkcije doţivljenja

2.4.2 Predstavljanje dinamike smrtnosti

Progresivni pad ljudske smrtnosti, o čemu svedoče brojne populacione statistike, dovodi do odbacivanja hipoteze o ,,statičkoj” smrtnosti, koja bi dovela do pristrasnih aktuarskih ocena. Trendovi smrtnosti zahtevaju primenu odgovarajućih ,,projektovanih” modela doţivljenja u različite svrhe kod ţivotnog osiguranja i izračunavanja anuiteta. Dinamički pristup smrtnosti podrţava prognoze ili projekcije smrtnosti. Kada se radi u dinamičkom kontekstu, osnovna ideja je izraţavanje smrtnosti kao funkcije (buduće) kalendarske godine t. Kako se u aktuarskim proračunima često primenjuju

33

mere smrtnosti koje zavise od starosti, u dinamičkom kontekstu se pretpostavlja da je smrtnost funkcija starosti x i kalendarske godine t. U nastavku će biti reči o jednogodišnjim verovatnoćama nastupanja smrti. Sa

(t) se označava verovatnoća da osoba starosti x u kalendarskoj godini t neće doţiveti narednu godinu. Matrica jednogodišnjih verovatnoća nastupanja smrti predstavljena je u Tabeli

Tabela Godišnje verovatnoće nastupanja smrti u dinamičkom kontekstu

Verovatnoće u Tabeli mogu se očitavati u skladu sa jednim od sledeća tri poretka:

vertikalni poredak (tj. po kolonama), pri čemu niz

(t), (t), . . . , (t), . . .

odgovara nizu tablica mortaliteta perioda, gde se svaka tablica odnosi na osobe koje su ţive u toku kalendarske godine t;

dijagonalni poredak, gde niz

(t), (t+), . . . , (t+x), . . .

odgovara nizu tablica mortaliteta kohorti, pri čemu se svaka tablica odnosi na kohortu pojedinaca roĎenih u godini t;

horizontalni poredak (tj. po vrstama), gde niz

. . . , (t-), (t), (t+), . . .

čini profile smrtnosti, pri čemu svaki od profila izraţava trend smrtnosti pri datoj starosti x.

Matrica prikazana Tabelom sadrţi elemente koji se odnose na prethodne godine (i najčešće potiče od posmatranja smrtnosti) i elemente koji se odnose na naredne godine. Neka je sa t označena tekuća kalendarska godina ili godina za koju je dostupna najskorija (pouzdana) tablica mortaliteta perioda. Tada se verovatnoće

(t), za t > , odnose na buduće godine ili godine za koje tablica mortaliteta još uvek nije dostupna. Zbog toga je ove verovatnoće potrebno proceniti primenom projekcione procedure.

Za datu godinu i datu maksimalnu godinu (vremenski horizont), projektovana tablica mortaliteta se sastoji od podmatrice

{ (t)}; x = , , . . . , ω ; t = + , + ,. . . , ,

34

što je prikazano na Slici .

Slika Projektovana tablica

2.4.3 Verovatnoće i očekivani preostali ţivotni vek

u dinamičkom kontekstu

Adekvatna primena jednogodišnjih verovatnoća u Tabeli zahteva da, u svakoj godini t, verovatnoće koje se odnose na ţivotni vek osobe starosti x u toj godini budu izvedene na osnovu dijagonalnog poretka

(t), (t+), . . . ,

tj. na osnovu relevantne tablice kohorte. Tada je verovatnoća da će osoba starosti x u tekućoj godini t doţiveti x+h godina

(t) = ( (t)) ( (t+)) . . . ( (t+h-)).

Pomoću verovatnoća se mogu izvesti verovatnoće da će osoba starosti x godina doţiveti narednih h godina, ali da neće doţiveti (h+) – nu godinu, tj.

(t) = (t) (t+h).

Tada je očekivani ţivotni vek osobe starosti x koja pripada odgovarajućoj kohorti (tj. osobe starosti x u tekućoj godini t)

(t) =

(t) + (

)

(t) + . . . .

Vaţno je napomenuti da se u dinamičkom kontekstu, kada se uzimaju u obzir budući trendovi smrtnosti, očekivani ţivotni vek izračunava na osnovu , a ne primenom formule

35

2.4.4 Pristupi prognozama smrtnosti

Postoje brojni pristupi projekcije smrtnosti čijom primenom se moţe prognozirati buduća smrtnost neke populacije. Bez obzira na izbor pristupa vaţnu ulogu očigledno igraju podaci o smrtnosti koji su zabeleţeni u prošlosti i oni predstavljaju bazu podataka za sprovoĎenje projekcionih procedura (videti Sliku ).

Slika Konstrukcija projektovane tablice

Obično se baza podataka sastoji od tablica perioda, koja moţe biti upotpunjena segmentima iz tablica kohorti. Prema nekim pristupima, prognoze smrtnosti se zasnivaju samo na podacima o smrtnosti iz prošlosti, dok drugi pristupi zahtevaju dodatne podatke. U nastavku će biti navedeno nekoliko pristupa koji mogu obezbediti uvid u metode prognoziranja.

Analiza profila smrtnosti za svaku starost x, odnosno nizova ,za t ,

moţe ukazati na uobičajeno ponašanje verovatnoća (t), za t > . U osnovi, projekciona procedura se sastoji od stepenovanja zabeleţenih stopa smrtnosti u odnosu na vreme, kao i primene ekstrapolacije2 za dobijanje jednogodišnjih verovatnoća nastupanja smrti u narednim godinama. U okviru procedure stepenovanja-ekstrapolacije, posebnu paţnju treba posvetiti interpretaciji elemenata iz baze podataka. U zavisnosti od interpretacije, mogu se definisati dve klase projekcionih procedura.

a) Ako su podaci brojevi, onda procedura ekstrapolacije ne dozvoljava primenu statističkih metoda nad dostupnim informacijama, kao što je, na primer, pouzdanost podataka. U ovom slučaju, izlazni podatak procedure biće samo tačkasta ocena buduće smrtnosti (videti Sliku ).

2 Ekstrapolacija je predviĎanje ponašanja neke funkcije na osnovu njenih poznatih pojedinačnih

vrednosti, ali izvan intervala tih poznatih vrednosti.

36

b) Obrnuto, kada se podaci interpretiraju kao ishodi slučajnih promenljivih (slučajne učestalosti smrti), procedura ekstrapolacije se mora oslanjati na ispravne statističke pretpostavke. Kao posledica toga, buduća smrtnost se moţe predstaviti u terminima tačkastih ocena i intervalnih ocena.

Pri projektovanju smrtnosti, za prognoziranje se mogu uzeti u obzir dostupne srodne informacije. Informacije se mogu odnositi na široku klasu trendova i dogaĎaja, kao što su, na primer, trendovi u navikama pušenja, trendovi u rasprostranjenosti neke bolesti, napretku medicine i hirurgije i drugi. Prema tome, projekcije se mogu vršiti prema nekom pretpostavljenom scenariju. UvoĎenje odnosa izmeĎu dogaĎaja (na primer, napredak u oblasti medicine) i efekata (smanjenje stopa smrtnosti) je u skladu sa projektovanjem smrtnosti u odnosu na pretpostavljene scenarije. Očigledno, neki stepen slučajnosti je prisutan i utiče na rezultate.

Procedure ekstrapolacije i scenarija se mogu primenjivati pri projektovanju smrtnosti na osnovu različitih uzroka posebno, umesto pri projektovanju smrtnosti bez obzira na uzroke. Projekcije na osnovu uzroka smrti nude koristan uvid u promenu udela smrtnosti usled odreĎenog uzroka u ukupnoj smrtnosti. Sa druge strane, neki vaţni problemi nastaju ukoliko se prihvati ovaj tip projekcije. Posebno treba naglasiti da postoji sloţeni odnos meĎu uzrocima smrti, dok je klasična pretpostavka o njihovoj nezavisnosti opšte prihvaćena. Na primer, smrtnost nastala usled srčanih bolesti i smrtnost kao posledica kancera pluća su pozitivno korelirane zbog toga što su obe u vezi sa pušačkim navikama. Još jedan problem predstavlja teška identifikacija uzroka smrti starijih osoba.

Slika Ekstrapolacija verovatnoća (t)

Napomena: Metode stepenovanja – ekstrapolacije se oslanjaju na pretpostavku da će se zabeleţeni trend nastaviti u narednim godinama. Čak i kada je dostupan veoma dugi niz opservacija (na primer, za vremenski interval duţi od godina), prošli trend koji figuriše u proceduri stepenovanja treba ograničiti na nedavne opservacije. Razlog tome je izostavljanje iz procedure onih uzroka smanjenja smrtnosti čiji je efekat vremenom postao zanemarljiv. Na Slici je ilustrovano moguće precenjivanje budućih smanjenja smrtnosti, zbog podataka iz predugog perioda koji je u osnovi stepenovanja.

37

Slika Rezultati ekstrapolacije zasnovani na periodu stepenovanja

Postojanje različitih pristupa u prognoziranju smrtnosti svedoči o tome da je ova tema veoma sloţena. Dublja analiza ovog problema je izvan okvira ovog rada. Zbog toga je u Poglavlju razmatran samo jednostavni metod ekstrapolacije, koji se moţe smatrati specijalnim slučajem prvog pristupa prognoziranju (a). Uprkos nedostatku stroge statističke podrške, ovakav metod ima široku primenu u aktuarskoj praksi. Osnovne ideje na kojima se zasniva metod (b) u okviru prvog pristupa prognoziranju biće predstavljene u Poglavlju .

2.4.5 Ekstrapolacija primenom eksponencijalne

formule

Neka su za datu populaciju dostupne opservacije za nekoliko perioda. Svaka opservacija se sastoji od starosnog obrasca smrtnosti za dati skup starosti, na primer,

, +, . . . , . Opservacija koja se odnosi na kalendarsku godinu t,

t = , , . . . , , izraţena je sa

(t), (t), . . . ,

(t)

tj. kolonom ili delom kolone matrice prikazane Tabelom . Potrebno je uočiti da, za svako x, niz

( ), ( ), . . . , ( )

predstavlja zabeleţeni profil smrtnosti osoba starosti x i odgovara vrsti matrice prikazane u Tabeli . Pretpostavlja se da se trend koji je zabeleţen u prethodnim godinama moţe stepenovati pomoću eksponencijalne funkcije. Dalje, pretpostavlja se da će se zabeleţeni trend nastaviti i u narednim godinama. Tada se buduća smrtnost moţe oceniti ekstrapolacijom samog trenda. Formalno, pretpostavlja se da je

(t) = ( )

,

38

gde je bazna godina, a je (godišnji) varijacioni faktor smrtnosti (redukcioni

faktor ako je < ) pri starosti x, ocenjen na osnovu zabeleţenog profila smrtnosti .

Slika Eksponencijalni modeli

Na osnovu formule sledi da, za < , vaţi

= ,

(videti Sliku (a)). Iako je validnost prognoze smrtnosti potrebno ograničiti na konačan vremenski interval, prirodnije je dodeliti neku pozitivnu granicu smrtnosti pri bilo kojoj starosti x. U tom smislu je od značaja sledeća formula sa dodeljenom (pozitivnom) asimptotskom smrtnošću

(t) = ( )( + ( )

),

gde je za svako x. Dakle, asimptotska smrtnost za osobu starosti x je data sa

= ( ) ,

(videti Sliku (b)).

2.4.6 Prognoze smrtnosti koje uzimaju u obzir

slučajne fluktuacije

Strogi pristupi prognoziranju smrtnosti bi trebalo da obuhvate stohastičku prirodu smrtnosti. Konkretno, u stohastički projekcioni model je potrebno uključiti sledeće stavke:

zabeleţene stope smrtnosti, kao ishode slučajnih promenljivih koje predstavljaju raniju smrtnost;

prognozirane stope smrtnosti, kao ocene slučajnih promenljivih koje predstavljaju buduću smrtnost.

Prema tome, potrebne su stohastičke pretpostavke o smrtnosti, odnosno pretpostavke o raspodelama verovatnoća slučajnih brojeva smrtnih ishoda (videti Poglavlja i ), kao i odreĎivanje statističke strukture koja povezuje prognozirane vrednosti sa opaţenim (što je predstavljeno na Slici ).

39

Slika Statistički pristup u postupku stepenovanja – ekstrapolacije

U stohastičkom okviru, rezultati projekcione procedure se sastoje od tačkastih i intervalnih ocena budućih stopa smrtnosti (videti Sliku ) i drugih funkcija tablice mortaliteta. Jasno, tradicionalne procedure stepenovanja – ekstrapolacije, koje ne uzimaju eksplicitno u obzir slučajnost smrtnosti, kao rezultat imaju samo jednu numeričku vrednost za svaku buduću stopu smrtnosti. Štaviše, takve vrednosti se teško mogu smatrati tačkastim ocenama, zbog nedostatka odgovarajuće statističke strukture i modela.

Slika Tačkasta i intervalna ocena

Efikasni grafički prikaz slučajnosti u budućem kretanju smrtnosti je dat takozvanim lepezastim (fan) graficima (videti Sliku ), koji se odnose na projekciju očekivanog ţivotnog veka. Lepezasti grafik prikazuje ,,centralnu projekciju“ zajedno sa nekim ,,intervalima predviĎanja“. Najuţi interval, koji je označen najtamnijom bojom, odgovara prognozi male verovatnoće, na primer %, i sadrţan je u intervalima predviĎanja sa većim verovatnoćama (na primer, %, %...).

40

Slika Grafik lepeze očekivanog ţivotnog veka

Metoda Lee – Cartera, predloţena , predstavlja značajan primer stohastičkog pristupa prognoziranju smrtnosti i ima široku primenu poslednjih godina.

41

GLAVA 3 Zakoni mortaliteta u neprekidnom vremenu

Na osnovu razmatranja u Poglavlju , ako je potrebno odrediti verovatnoće , i kada su starost ili duţina ţivotnog veka realni brojevi, potrebni su drugačiji instrumenti od tablice mortaliteta. U ovom poglavlju će biti opisani neki alati koji omogućavaju proširenje prethodno opisanih postupaka izračunavanja verovatnoća doţivljenja i nastupanja smrti u slučaju neprekidnog vremena. Iako će u sledećim poglavljima izračunavanja u vezi sa ugovorima o ţivotnom osiguranju biti predstavljena u kontekstu diskretnog vremena, neka vaţna pitanja sugerišu potrebu za proširenjem modela doţivljenja u smislu neprekidnog vremena. Vaţan primer predstavlja izraţavanje pretpostavki o smrtnosti pomoću takozvanog intenziteta mortaliteta, o čemu će biti reči u Poglavljuma i .

3.1 Funkcija doţivljenja

Funkcija doţivljenja S(t) se definiše, za t , kao

S(t) = [ > t],

pri čemu označava slučajni ţivotni vek novoroĎene osobe. Razmatra se verovatnoća , da će osoba starosti x godina doţiveti narednih h godina, koja se moţe izraziti formulom

[ > h] = [ > x+h| > x] =

.

Na osnovu relacije , dobija se da je prethodna verovatnoća

=

.

Verovatnoća da osoba starosti x godina neće doţiveti narednih h godina je

=

.

42

Isto rezonovanje dovodi do izraza za verovatnoću da će osoba starosti x godina doţiveti narednih h godina, ali da će njena smrt nastupiti u toku perioda od k godina nakon toga, i to u terminima funkcije doţivljenja, tj.

=

.

Funkcija doţivljenja i tablica mortaliteta su meĎusobno strogo povezane.

Potrebno je uočiti da za očekivani broj osoba koje su doţivele starost x iz kohorte

koja se na početku sastojala od pojedinaca, vaţi da je

= [ > x],

odnosno, u terminima funkcije doţivljenja,

= S(x),

(pod uslovom da sve osobe u kohorti imaju isti obrazac smrtnosti, opisan sa S(x)).

Prema tome, vrednosti su proporcionalne vrednostima funkcije doţivljenja za celobrojne starosti x, a samim tim se i tablica mortaliteta moţe predstaviti ureĎivanjem vrednosti funkcije doţivljenja. Tipičan oblik krive doţivljenja, odnosno grafik funkcije doţivljenja, prikazan

je na Slici . Analogija sa ponašanjem niza je očigledna (videti, na primer, Sliku ) i opravdava relaciju .

Slika Funkcija doţivljenja

Pretpostavlja se sada da je dostupna tablica mortaliteta. Na primer, neka su opservacije u odreĎenom periodu omogućile ocenu stopa smrtnosti na osnovu kojih

su izračunate vrednosti , za x = , , , . . . , u skladu sa procedurom opisanom u Poglavlju . Postavlja se pitanje kako odrediti funkciju doţivljenja za sve realne vrednosti x.

Relacija ukazuje na praktičan pristup. Najpre, za x = , , , . . . , ω, vaţi da je

S(x) =

,

gde se vrednosti preuzimaju iz dostupne tablice mortaliteta. Zatim se, za

x = , , , . . . , ω i t, definiše

S(x+t) = ( – t) S(x) + t S(x+),

uz pretpostavku da je S(x) = za x > ω. Na taj način je dobijena deo po deo linearna funkcija.

43

Pored linearnog modela koji je prikazan relacijom , mogu se uvesti i drugi

modeli stepenovanja. Osim toga, vrednosti S(x) se takoĎe mogu odrediti primenom nekih matematičkih formula. MeĎutim, primena formula za predstavljanje starosnog obrasca smrtnosti kada je starost neprekidna je adekvatnija u slučaju o kome će biti reči u okviru Poglavlja .

3.2 Druge srodne funkcije

Osim funkcije doţivljenja, u aktuarskim proračunima se često primenjuju i druge funkcije kada vaţi pretpostavka o neprekidnoj starosti. Najvaţnija meĎu tim funkcijama je intenzitet mortaliteta o kome će biti reči u Poglavlju . U ovom poglavlju će biti predstavljena funkcija gustine verovatnoće i funkcija raspodele

slučajne promenljive , x .

Najpre se razmatra slučajni ţivotni vek novoroĎene osobe . Neka (x) i

(x) označavaju, respektivno, funkciju gustine verovatnoće i funkciju raspodele

slučajne promenljive . Pritom, (x) predstavlja verovatnoću da će smrt novoroĎene osobe nastupiti u roku od x godina, tako da je

(x) = [ x],

ili, u skladu sa uobičajenim aktuarskim oznakama,

(x) = .

Naravno, vaţi da je

(x) = S(x).

Za funkciju gustine verovatnoće (x) i funkciju raspodele (x) vaţi

(x) = ∫

dt.

Obično se pretpostavlja da je, za x > , funkcija gustine verovatnoće (x) neprekidna. Tada je

(x) =

=

.

Grafik funkcije gustine verovatnoće (x) se često naziva kriva smrtnosti (videti takoĎe Poglavlje ).

Slika Funkcija gustine verovatnoće Slika Intenzitet mortaliteta

44

Na Slici je ilustrovano tipično ponašanje funkcije gustine verovatnoće

(x). Jednačina opisuje odnos izmeĎu krive smrtnosti i krive doţivljenja (videti Sliku ).

Prelaskom na preostali ţivotni vek osobe starosti x, (x > ), dobijaju se sledeće relacije izmeĎu funkcije raspodele i funkcije gustine verovatnoće slučajne

promenljive sa analognim funkcijama koje se odnose na :

(t) = [ t] =

=

,

(t) =

=

=

.

Na osnovu funkcija (t) i (t) (preciznije, na osnovu relacija i , i

funkcija (t) i (t)), mogu se izvesti sve verovatnoće koje su uključene u aktuarskim proračunima. Na primer, verovatnoća da će osoba starosti x doţiveti narednih t godina je

= (t) = ∫

du =

∫

du.

3.3 Intenzitet mortaliteta

Razmatra se funkcija koja se, za svako x ,definiše sa

=

.

i naziva se intenzitet mortaliteta. Ona se moţe oceniti, na primer, za x = , , . . . , koristeći opservacije o smrtnosti u odreĎenom periodu. Zatim se procenjene vrednosti mogu stepenovati i to, u nekim slučajevima primenom matematičkih zakona mortaliteta. Veliki broj zakona je predloţen u aktuarskoj i demografskoj literaturi, a primenjuju se i u aktuarskoj praksi. Neki vaţni primeri su predstavljeni u Poglavlju . Slika prikazuje tipično ponašanje intenziteta mortaliteta. Odnos izmeĎu njenog grafika i krive smrtnosti se moţe objasniti pomoću relacije . Zanimljiv odnos postoji izmeĎu funkcije doţivljenja i intenziteta mortaliteta. Na osnovu definicije , primenom , dobija se

=

,

odakle je

=

.

Tada, na osnovu , sledi da je

=

.

Dakle, kada je funkcija doţivljenja S(x) poznata, moţe se odrediti i intenzitet mortaliteta. Prema tome, intenzitet mortaliteta ne obuhvata informacije koje se

odnose na starosni obrazac smrtnosti, pod uslovom da je opisan u terminima S(x).

45

Uloga intenziteta mortaliteta je da obezbedi osnovne pretpostavke o ponašanju smrtnosti pojedinca u funkciji dostignute starosti. Gompertzov zakon za intenzitet mortaliteta (videti Poglavlje ) daje odličan primer. Zaista, kada je

intenzitet mortaliteta poznat, relacija je diferencijalna jednačina. Njenim

rešavanjem po S(x) (sa očiglednim graničnim uslovom S() = ) dolazi se do

S(x) = ∫

.

Jasno, mogućnost eksplicitnog odreĎivanja funkcije S(x) direktno zavisi od

matematičke strukture funkcije . Kada se odredi funkcija doţivljenja, mogu se izvesti sve verovatnoće doţivljenja i nastupanja smrti (videti jednačine , pri čemu su x, h i k pozitivni realni brojevi). Na primer, jednogodišnja verovatnoća nastupanja smrti je

= =

= ∫

.

Napomena: Funkcije starosti x, kao što su , , i druge, u kontekstu diskretne

starosti, kao i , , , u kontekstu neprekidne starosti, predstavljaju primere biometrijskih funkcija. Druge biometrijske funkcije se odnose na invaliditet, smrtnost osoba sa invaliditetom i slično. U kontekstu diskretne starosti, one se takoĎe nazivaju funkcijama tablice mortaliteta.

Kao što je ranije navedeno, kada je neka od ovih funkcija poznata, na osnovu nje se mogu izvesti druge funkcije (u istom kontekstu). Na primer, u proračunima

koji se odnose na diskretnu starost, na osnovu vrednosti se mogu izvesti funkcije

, i druge. U kontekstu neprekidne starosti, na osnovu intenziteta mortaliteta se moţe odrediti funkcija doţivljenja a potom i sve potrebne verovatnoće.

Veze izmeĎu veličina koje su od značaja u kontekstu diskretne starosti (kao što

su , , . . .) i veličina relevantnih u slučaju neprekidne starosti (kao što su ,

, . . .) mogu biti od interesa, posebno za uporeĎivanje i grafičko predstavljanje

podataka dobijenih statističkim metodama. Analogija izmeĎu i direktno sledi

na osnovu . Što se tiče (videti jednačinu ), analogija sa funkcijom gustine

verovatnoće sledi iz činjenice da je razlika prvog reda funkcije sa

negativnim predznakom, dok predstavlja prvi izvod funkcije doţivljenja sa negativnim predznakom. Dalje, na osnovu relacije , sledi i veza izmeĎu

i .

3.4 Markeri

Markeri koji rezimiraju raspodelu verovatnoća ţivotnog veka mogu se definisati i u kontekstu neprekidnog vremena. Očekivani ukupni ţivotni vek (ili očekivani ţivotni vek novoroĎene osobe) se definiše kao

= 𝔼[ ] = ∫

dt.

Parcijalnom integracijom se moţe izraziti u terminima funkcije doţivljenja kao

= ∫

dt.

Ova definicija se moţe proširiti na sve (realne) vrednosti starosti x, tako da je očekivani preostali ţivotni vek osobe starosti x

46

= 𝔼[ ] = ∫

dt =

∫

dt.

Za osobu starosti x, očekivani broj godina u trenutku smrti je

x + .

Moguće je dokazati da su očekivane vrednosti

i

(videti jednačine

) aproksimacije očekivanih vrednosti i , respektivno, primenom trapezoidnog pravila na integrale u jednačinama i

Još jedan bitan pokazatelj u aktuarstvu je leksička tačka koja se, u kontekstu

neprekidnog vremena, definiše kao (pozna) starost za koju vaţi da je

= .

Tradicionalnu meru promenljivosti predstavlja disperzija slučajnog ţivotnog veka koja se definiše sa

D[ ] = ∫

dt.

Interkvartilni raspon predstavlja još jednu meru promenljivosti ţivotnog veka i definiše se kao

IQR[ ] = ,

gde su i , respektivno, starosti za koje vaţi da je [ ] = i

[ ] = . Tada je S( ) = i S( ) = . Moţe se uočiti da IQR opada sa smanjenjem disperzije ţivotnog veka.

Starost za koju vaţi da je [ ] = se obično naziva

izdrţljivost, pri čemu je S( ) = .

Verovatnoća da novoroĎena osoba neće doţiveti starost je

= – S( ) = ∫

dt

i ona, za male vrednosti (na primer ili ), predstavlja meru smrtnosti u dečijem uzrastu. Na Slici su ilustrovani neki markeri koji su od praktičnog značaja.

Slika Markeri u kontekstu neprekidnog vremena

47

3.5 Parametarski modeli

Parametarski modeli, tj. parametarski zakoni mortaliteta, predstavljaju se pomoću različitih funkcija starosnog obrasca smrtnosti, kako u kontekstu diskretne, tako i u kontekstu neprekidne starosti. Vaţni primeri takvih modela, Heligman – Pollardovi zakoni, koji se fokusiraju na kvote i jednogodišnje verovatnoće nastupanja smrti, predstavljeni su u Poglavlju . U kontekstu neprekidne starosti, veliki broj

zakona mortaliteta se odnosi na intenzitet mortaliteta , iako su neki od njih prvobitno formulisani u terminima drugih funkcija starosti. Gompertzov zakon, predloţen . godine, podrazumeva da je intenzitet mortaliteta oblika

= B ,

pri čemu su B, c > nepoznati parametri. Ponekad se koristi sledeća ekvivalentna notacija

= α .

Zanimljivo je detaljnije proučavanje hipoteza koje se nalaze u osnovi Gompertzovog zakona. Pretpostavlja se da je, počevši od starosti x do starosti x + Δx,

povećanje intenziteta mortaliteta proporcionalno njegovoj početnoj vrednosti i duţini intervala Δx, tako da je

Δ = β Δx,

pri čemu je β > . Ova pretpostavka vodi ka diferencijalnoj jednačini

= β ,

čijim rešavanjem se dolazi do relacije , gde je α > . Gompertzov zakon se primenjuje za predstavljanje progresije smrtnosti u poznim godinama, odnosno smrtnosti kod starih osoba. Prvi Makehamov zakon, predloţen . godine, predstavlja uopštenje Gompertzovog zakona, u smislu da je intenzitet mortaliteta dat sa

= A + B ,

pri čemu konstanta A (nezavisna od starosti x) predstavlja smrtnost koja nije u vezi sa starošću već, na primer, zbog nezgoda. TakoĎe se koristi ekvivalentna notacija

= + α .

Na osnovu i dobija se da je funkcija doţivljenja

S(x) =

.

Specijalno, za A = , prethodni izraz predstavlja funkciju doţivljenja u skladu sa zakonom Gompertza. Drugi Makehamov zakon, predloţen . godine, bazira se na pretpostavci da je intenzitet mortaliteta

= A + Hx + B ,

i stoga predstavlja dalje uopštenje zakona Gompertza.

48

Thieleov zakon, predloţen . godine, moţe predstavljati starosni obrazac smrtnosti u toku čitavog ţivotnog veka (videti Sliku ), pri čemu je

= A + C + F ,

gde su svi parametri pozitivni realni brojevi. Prvi sabirak opada sa povećanjem starosti i predstavlja smrtnost u dečijem uzrastu. Drugi sabirak, koji ima oblik Gausove krive, predstavlja konkavnu komponentu smrtnosti (uglavnom zbog nesreća) kod adolescenata. Konačno, treći sabirak (Gompertzovog tipa) predstavlja smrtnost kao posledicu starosti. Vaţno je napomenuti da je struktura prvog Heligman – Pollardovog zakona (kao i njen cilj, a to je predstavljanje starosnog obrasca smrtnosti tokom čitavog ţivotnog veka) analogna strukturi Thielevog zakona. Perks je . godine predloţio dva zakona mortaliteta. U skladu sa prvim Perksovim zakonom je

=

.

Drugi Perksov zakon podrazumeva da intenzitet mortaliteta ima opštiju strukturu, tj.

=

.

Perksovi zakoni, čiji grafici imaju logistički oblik, igraju vaţnu ulogu u predstavljanju obrasca smrtnosti u veoma poznim godinama (na primer, preko ). Nedavna statistička proučavanja pokazuju da intenzitet mortaliteta sporo raste kod veoma starih osoba, teţeći horizontalnoj pravoj. Ova činjenica dovodi do odbacivanja pretpostavke o eksponencijalnom povećanju (podrazumevanom u prethodnim modelima).

3.6 Stohastička smrtnost

U ovom poglavlju će biti opisan postupak simulacije za modeliranje broja

preţivelih tokom vremena od početnih članova kohorte. Pritom je vrlo bitno da simulirani podaci što preciznije predstave stvarnu smrtnost, imajući u vidu da u zavisnosti od odnosa stvarne i prognozirane smrtnosti osiguravač moţe ostvariti profit ili pretrpeti gubitak.

Pretpostavlja se, u trenutku t = 0, da se ,,grupa“ (na primer, penzioni fond ili

portfolio ugovora o ţivotnom osiguranju) sastoji od pojedinaca. Dalje, pretpostavlja se da su na početku svi članovi ove grupe starosti x i da se u narednim godinama nijedna osoba neće priključiti ovoj grupi. Ova grupa predstavlja kohortu. Konačno, pretpostavlja se da je smrt osobe jedini izlaz iz grupe.

Broj ţivih osoba u trenutku t, t = 1, 2, . . . je slučajan broj, koji će biti označen

sa . Svaki niz prirodnih brojeva , , . . . , takav da je

. . . (3.43)

je mogući ishod slučajnog niza

, , . . . . (3.44)

49

Naravno, bilo koji pojedinačni ishod slučajnog niza (3.44) ne obezbeĎuje, sam po sebi, značajnu informaciju o razumnoj evoluciji kohorte. U suprotnom se značenje pojma ,,razuman“ moţe precizirati odmah nakon odreĎivanja probabilističke strukture koja opisuje ţivotne vekove članova kohorte.

3.6.1 Deterministički nasuprot stohastičkih

modela

Pretpostavlja se da je smrtnost svih osoba u kohorti u skladu sa istim starosnim obrascem smrtnosti, tako da se pretpostavlja da svakom pojedincu odgovara ista tablica mortaliteta (ili funkcija doţivljenja). Tada je verovatnoća

doţivljenja narednih t godina poznata za svakog člana kohorte i data je sa =

.

Iz toga sledi da je očekivani broj osoba koje će doţiveti narednih t godina, od

početnih članova kohorte, dat sa

𝔼[ ] = , t = 1, 2, . . . . (3.45)

Treba napomenuti da, iako formula (3.45) uključuje verovatnoće, model koji je izgraĎen do sada je deterministički, zbog toga što se verovatnoće primenjuju samo za odreĎivanje očekivanih vrednosti i pretpostavlja se da su poznate. Prvi korak ka stohastičkom modelu je dat u nastavku. Pretpostavlja se da su slučajni ţivotni vekovi pojedinaca u kohorti nezavisni.

Za svako dato t i za j = 1, 2, . . . , , sa se označava dogaĎaj ,,član j će doţiveti

narednih t godina, tako da je [ ] = , za svako j. Iz nezavisnosti ţivotnih

vekova sledi nezavisnost dogaĎaja , j = 1, 2, . . . , . Moţe se uočiti da se moţe

definisati kao slučajan broj realizovanih dogaĎaja od prethodno definisanih

dogaĎaja. Dakle, slučajna promenljiva ima binomnu raspodelu sa parametrima

i , tako da je

[ = k] = (

)

, k = 0, 1, . . . , . (3.46)

Disperzija slučajne promenljive je

D[ ] = ( ). (3.47)

Primer : Razmatra se kohorta koju čini osoba, čija je početna starost ista i iznosi x = godina. Pretpostavlja se da je starosni obrazac smrtnosti opisan prvim Heligman – Pollardovim zakonom, sa parametrima navedenim u Primeru

Slike i se odnose na kohortu koja se prvobitno sastojala od =

osoba. Na njima su prikazane raspodele verovatnoća slučajnih promenljivih i , respektivno, pri čemu je

𝔼[ ] = ; D[ ] = ; CV[ ] = ;

𝔼[ ] = ; D[ ] = ; CV[ ] = .

50

Slika Raspodela verovatnoća za Slika Raspodela verovatnoća za ( = =

Na Slikama i su prikazane, redom, raspodele verovatnoća slučajnih

promenljivih i , pri čemu se pretpostavlja da se u početku kohorta sastojala od

= članova.Tada je

𝔼[ ] = ; D[ ] = ; CV[ ] = ;

𝔼[ ] = ; D[ ] = ; CV[ ] = .

Slika Raspodela verovatnoća za Slika Raspodela verovatnoća za ( = =

Uticaj veličine portfolija na promenljivost rezultata je očigledan. Posebno treba naglasiti da relativna promenljivost, koja je izraţena koeficijentom varijacije, opada u svakom trenutku sa povećanjem veličine portfolija. Uticaj veličine portfolija je takoĎe prisutan kada se uporeĎuju grafici na Slikama i , na jednoj strani, sa onima na Slikama i na drugoj, uzimajući u obzir različite skale na koordinatnim osama. Vaţno je napomenuti da, za bilo koju fiksiranu veličinu portfolija, promenljivost (u apsolutnom i relativnom smislu) raste sa protokom vremena. ∎

Raspodela verovatnoća slučajne promenljive ukazuje na prisustvo slučajnih

fluktuacija u broju preţivelih oko njegove očekivane vrednosti [ ]. Slučajne fluktuacije su posledica procesa rizika koji, u demografskom okviru, predstavlja

51

jednu od komponenata rizika smrtnosti/dugovečnosti. Sa druge strane, sistematska odstupanja su posledica rizika neizvesnosti, što predstavlja još jednu komponentu rizika smrtnosti/dugovečnosti.

Prema nedavnim glosar3 standardima, u nastavku će biti korišćen termin rizik smrtnosti za označavanje smrtnosti veće od očekivane, koja ima negativne posledice (na primer, za osiguravača čije poslovanje podrazumeva naknadu u slučaju smrti osiguranika). Nasuprot tome, termin rizik dugovečnosti će označavati smrtnost koja je niţa od očekivane, pri čemu ona izaziva negativne posledice (na primer za osiguravača koji isplaćuje sume osiguranja u vidu doţivotnih renti). Izraz rizik smrtnosti/dugovečnosti će biti korišćen za opisivanje rizika koji se javljaju tokom ţivota osiguranika. Potrebno je uočiti da se rizik smrtnosti i dugovečnosti mogu sastojati od slučajnih fluktuacija, kao i od sistematskih odstupanja.

Napomena: Rizici smrtnosti i dugovečnosti pripadaju klasi biometrijskih rizika, koja uključuje sve rizike vezane za uslove ţivota. Tako, pored rizika smrtnosti i dugovečnosti u klasu biometrijskih rizika spadaju i rizici koji proizilaze iz invaliditeta, nataliteta i mnogi drugi.

3.6.2 Slučajne fluktuacije smrtnosti

Dodatni uvid u proces rizika moţe se ostvariti posmatranjem slučajnog ponašanja broja preţivelih u kohorti tokom vremena. Kako je ţivotno osiguranje obično srednjeročno ili dugoročno poslovanje, karakteristike ove delatnosti se mogu bolje upoznati iz dinamičke perspektive. U tu svrhu, moţe se sprovesti postupak simulacije, zasnovan na generisanju pseudo – slučajnih brojeva. Taj postupak se moţe sprovesti na sledeći način:

1. simulira se slučajni ţivotni vek (tj. broj godina u trenutku smrti) za svakog člana kohorte;

2. u odnosu na dostupne simulirane vrednosti za ţivotnih vekova izračunava se broj osoba koje su doţivele starosti 1, 2, . . . , odnosno simuliraju se ishodi

, , . . . slučajnog niza , , . . . ; 3. ponavljaju se koraci 1 i 2 odreĎeni broj puta s.

Rezultat ovog postupka je simulirani uzorak koji se sastoji od s ishoda, odnosno

trajektorija, slučajnog niza , , . . . .

Primer 3.6.2: Posmatra se kohorta od = 100 pojedinaca starosti x = 40 godina. Kao i u Primeru 1.9.1, pretpostavlja se da je starosni obrazac smrtnosti opisan prvim Heligman – Pollardovim zakonom, sa parametrima navedenim u Primeru 2.1.1. Na Slici 3.6.5 je ilustrovano ponašanje 50 trajektorija slučajnog niza

, , . . . , ,

koji se odnosi na prvih 10 godina. Isprekidana linija predstavlja niz očekivanih vrednosti

𝔼[ ],𝔼[ ], . . . ,𝔼[ ]

oko kojih se prostiru simulirane trajektorije. ∎

3 Glosar je lista specijalizovanih termina sa definicijama.

52

Slika 3.6.5 Simulirani broj preţivelih: slučajne fluktuacije

Za proizvoljno fiksirano vreme t, informacija o raspodeli slučajnog broja se

moţe dobiti posmatranjem simuliranih ishoda slučajne promenljive , odnosno

odreĎivanjem njene raspodele primenom statističkih metoda. MeĎutim, vaţno je napomenuti da, kada se samo jedna kohorta sastoji od osoba sa istim starosnim obrascem smrtnosti, raspodele verovatnoća slučajnog broja preţivelih se mogu odrediti pomoću analitičkih formula, što se moţe uočiti u Poglavlju 3.6.1. Dalje, mogu se primenjivati aproksimacije raspodela verovatnoća broja osoba čija je smrt nastupila pri različitim starostima, kada je uključeno nekoliko početnih starosti, a time i nekoliko obrazaca smrtnosti. Nasuprot tome, procedure simulacije su korisne kada je potrebno analizirati ponašanje odreĎenih veličina u zavisnosti od slučajnog broja ţivih ili umrlih, čak i kada je struktura starosti u kohorti veoma jednostavna. Vaţne primere tih veličina predstavljaju novčani tokovi u portfolijima ţivotnog osiguranja. Prema tome, opisana procedura simulacije trebalo bi da se prihvati kao polazna tačka za formiranje sloţenijih modela koji uključuju, na primer, prihode i rashode.

3.6.3 Sistematska odstupanja smrtnosti

Predstavljanje starosnog obrasca smrtnosti date grupe zahteva izbor adekvatne tablice mortaliteta ili zakona mortaliteta. MeĎutim, stvarna smrtnost u odreĎenoj grupi u narednim godinama moţe se ,,sistematski“ razlikovati od pretpostavljene. Ovo se moţe dogoditi iz različitih razloga. Na primer:

zbog nedovoljne količine podataka iz prošlosti izabrana je tablica mortaliteta koja se odnosi na smrtnost drugih populacija;

budući trend smrtnosti razlikuje se od predviĎenog (izraţenog projektovanom tablicom).

Prema tome, bez obzira koja od ovih hipoteza je tačna, budući nivo i trend smrtnosti su slučajni. Tada nastaje rizik neizvesnosti, odnosno rizik kao posledica neizvesnosti u reprezentaciji scenarija smrtnosti. Dakle, mogu se javiti sistematska odstupanja od očekivanih vrednosti, koja se kombinuju sa običnim slučajnim fluktuacijama.

53

Primer 3.6.3: Posmatra se kohorta koja je već razmatrana u Primeru 3.6.2. Prvo, pretpostavlja se da je starosni obrazac smrtnosti dat Heligman – Pollardovim zakonom sa parametrima usvojenim u Primeru 3.6.2. Zatim se pretpostavlja da je buduća smrtnost u skladu sa Heligman – Pollardovim zakonom u kome su parametri G i H zamenjeni sa

=0.000022875; = 1.0878.

Sa 𝔼[ |G, H] i 𝔼[ | , ], t = 1, 2, . . . su označene očekivane vrednosti na osnovu prve i druge pretpostavke, respektivno. Na Slici 3.6.6 je ilustrovano ponašanje 50 trajektorija slučajnog niza

, , . . . , ,

koji se odnosi na prvih 10 godina, simuliranih na osnovu nove pretpostavke o smrtnosti.

Slika 3.6.6 Simulirani broj preţivelih: sistematsko odstupanje (i slučajne fluktuacije)

Isprekidana linija predstavlja očekivane vrednosti

𝔼[ |G, H], 𝔼[ |G, H], . . . , 𝔼[ |G, H],

dok tačkasta linija predstavlja očekivane vrednosti

𝔼[ | , ], 𝔼[ | , ], . . . , 𝔼[ | , ]

oko kojih se prostiru simulirane trajektorije. Proces rizika je uzrok nastanka slučajnih fluktuacija oko vrednosti 𝔼[ | , ],

dok rizik neizvesnosti doprinosi sistematskom odstupanju od vrednosti 𝔼[ |G, H]. ∎

3.6.4 Uticaj rizika smrtnosti/dugovečnosti na

ţivotno osiguranje

Uticaj rizika smrtnosti/dugovečnosti na rezultate portfolija ţivotnog osiguranja zavisi od karakteristika koje su uključene u ugovore o osiguranju. Na primer, ako je stvarna smrtnost niţa od očekivane, osiguravač ostvaruje profit na ime ugovora o osiguranju koji podrazumevaju samo naknade u slučaju smrti osiguranika. Ovakav slučaj moţe biti posledica slučajnih fluktuacija smrtnosti

54

ili precenjivanja verovatnoća nastupanja smrti. Suprotno, smrtnost koja je viša od očekivane moţe izazvati gubitak osiguravača. Tako, termin rizik smrtnosti (videti Poglavlje 3.6.1) izraţava nepovoljnu stranu rizika za osiguravača kada obezbeĎuje naknade ukoliko nastupi smrt osiguranika. Sa druge strane, kada se posmatra portfolio doţivotnih renti, ako je stvarna smrtnost niţa od očekivane, javljaju se gubici samo kada su u pitanju naknade koje se vrše dok je osiguranik ţiv. Značajni negativni rezultati mogu biti posledica precenjivanja verovatnoća nastupanja smrti, a samim tim i potcenjivanja verovatnoća doţivljenja. Specijalno, ovakav slučaj moţe biti posledica trenda mortaliteta koji dovodi do neočekivanog porasta smrtnosti. Termin rizik dugovečnosti se koristi za izraţavanje negativne strane rizika za osiguravača koji obezbeĎuje naknade u slučaju doţivljenja odreĎene starosti osiguranika, na primer kada isplaćuje sume osiguranja u vidu doţivotne rente.

55

Zaključak

Osiguravajuće kompanije pruţaju mogućnost osiguranja od različitih rizičnih dogaĎaja. Prilikom sklapanja ugovora o osiguranju preciziraju se dani kada osiguranik plaća osiguravajućem društvu jednokratnu neto premiju ili periodično vrši premijske uplate, kao i iznosi tih uplata. Vaţan kriterijum prilikom sklapanja ugovora o osiguranju jeste zdravstveno stanje osiguranika, tj. da bi osoba mogla da se osigura njeno zdravstveno stanje mora zadovoljavati odreĎne standarde. Samim tim, zdravstveno stanje osigurane osobe u mnogome utiče na iznos sume osiguranja.

U skladu sa potrebama klijenata, mogu se kreirati veoma sloţeni ugovori o osiguranju, čime se stvara prostor za formiranje sloţenih matematičkih modela koji bi na adekvatan način opisali takve ugovore.

Primena takvih modela bi omogućila osiguravajućim kompanijama bolji uvid u dinamiku njihovog portfolija koji čine polise osiguranja. Naučna osnova ţivotnog osiguranja počiva na pretpostavci da u pogledu dešavanja nesrećnih slučajeva i dogaĎaja izazvanih prirodnim ili veštačkim rušilačkim silama koje dovode do povreda ili gubitka ţivota postoje odreĎene zakonitosti. Još od početka XVIII veka su aktuari i demografi ulagali veliki trud kako bi izveli adekvatne analitičke formule i zakone mortaliteta koji bi što bolje opisivali starosni obrazac smrtnosti. U ovom radu su predstavljeni neki zakoni mortaliteta, kao i tablice mortaliteta koji predstavljaju osnovu za odreĎivanje različitih funkcija koje su od značaja u aktuarskoj praksi. Istaknute su prednosti pojedinačnih zakona pri opisivanju odgovarajuće dinamike smrtnosti populacije i značaj kombinovanja analitičkih modela sa zabeleţenim podacima u tablicama mortaliteta.

56

Biografija

Jelena Tošić je roĎena u Nišu ... godine. Osnovnu školu “Rodoljub

Čolaković” i gimnaziju “. maj”, opšti smer, je završila sa odličnim uspehom.

Prirodno – matematički fakultet u Nišu je upisala školske . godine na

Departmanu za matematiku. Osnovne akademske studije, sa zvanjem Matematičar,

je završila . godine. Iste godine upisuje master akademske studije na smeru

Primenjena matematika matematika u finansijama.

57

Literatura

[] P. Dellaportas, A.F.M. Smith, P. Stavropoulos (), Bayesian Analysis of

Mortality Data, Journal of the Royal Statistical Society. Series A, vol. ()

[] A. Olivieri, E. Pitacco, Introduction to Insurance Mathematics: Technical and

Financial features of Risk Transfers, Springer, .

[] Sv. Janković, Teorija verovatnoća, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,

Prirodno – matematički fakultet, Niš

[] S. Janković, Uvod u verovatnoću, Univerzitet u Nišu, Prirodno – matematički

fakultet, . Niš

[] M. Milošević, Aktuarska matematika, autorizovana predavanja, Univerzitet u

Nišu, Prirodno – matematički fakultet, Niš

[] V. I. Rotar, Actuarial Models: The Mathematics of Insurance, Chapman & Hall,

[] R. Norberg, Basic Life Insurance Mathematics, London School of Economics,

.

58

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Јелена Тошић

Ментор, МН: Марија Милошевић

Наслов рада, НР: Моделирање преосталог животног века осигураника

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2016.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

57 стр.

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: примењена математика

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Таблице морталитета, вероватноће доживљења и наступања смрти, портфолио животног осигурања, закони морталитета

УДК 519.86 : 368.911

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН: Извод, ИЗ: Сваки уговор о животном осигурању подразумева

исплату суме осигурања уколико се деси одређени догађај. Тренутак исплате суме осигурања или трајање исплата, ако се оне врше периодично, у директној је вези са преосталим животним веком осигураника. Имајући у виду да је моделирање преосталог животног века осигураника од великог значаја у теорији животног осигурања, у овом раду су разматрани неки пробабилистички модели преосталог животног века, као и класе ризика које су у складу са тим моделима. Поред тога, представљени су различити типови таблица морталитета како би се што адекватније описали трендови морталитета различитих популација и укључили у наведене моделе.

Датум прихватања теме, ДП:

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије,

КО:

Председник: Члан: Члан, ментор:

Образац Q4.09.13 - Издање 1

59

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: textual / graphic

Contents code, CC: Master’s thesis

Author, AU: Jelena Tošić

Mentor, MN: Marija Milošević

Title, TI: Modeling the insurers lifetime

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2016

Publisher, PB: author’s reprint Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

57 p.

Scientific field, SF: mathematics

Scientific discipline, SD: applied mathematics

Subject/Key words, S/KW: Life tables, survival probabilities and probabilities of death life insurance portfolio, mortality laws

UC 519.86 : 368.911 Holding data, HD: library Note, N: Abstract, AB: Each contract of life insurance involves certain benefit if corresponding

event occurs. The moment of payment of the benefit or duration of payments, if they are carried out periodically, is directly related to the remaining lifetime of the insured person. Bearing in mind that remaining lifetime modelling is of great importance in the theory of life insurance, in this thesis some probabilistic lifetime models are considered, together with corresponding risk classes. Additionally, diferent types of life tables are introduced in order to describe mortality trends of diferent populations and include them into models under the consideration.

Accepted by the Scientific Board on, ASB:

Defended on, DE:

Defended Board,DB: President:

Member:

Member, Mentor:

Образац Q4.09.13 - Издање 1