Metode analitice de ajustare a seriilor cronologice

Metodele analitice ofera o ajustare mai exacta a seriilor cronologice decât cele mecanice, deoarece ele tin seama de toti termenii seriei. Metodele analitice presupun determinarea valorilor de trend cu ajutorul unor functii analitice (matematice) potrivite, corespunzatoare formei tendintei de evolutie. Problema fundamentala în aplicarea acestor metode este alegerea tipului potrivit de functie f (t ), numita si functie de ajustare a trendului, care estimeaza tendinta centrala a seriei.

Functiile utilizate mai des în practica pentru ajustarea SCR sunt functiile matematice uzuale: liniara, polinomiala, hiperbolica, parabolica, exponentiala, logistica. Alegerea functiei se poate face plecând de la reprezentarea grafica a evolutiei fenomenului si de la o analiza complexa a acestui fenomen.

Exemple de functii de ajustare sunt prezentate mai jos.

O data aleasa functia de ajustare, trebuie estimati, în continuare, parametrii. Estimarea parametrilor se efectueaza prin mai multe metode, dintre care cea mai utilizata este metoda celor mai mici patrate (MCMMP). Metoda presupune ca suma patratelor abaterilor valorilor ajustate y t= y tT =f ( t ) de la cele reale y t sa fie minima, adica

∑t=1

n

( y t−f (t ) )2sa fie minima.

AJUSTARE LINIARA

Dacă, prin intermediul graficului, avem motive să presupunem că tendinta seculară este liniară, atunci vom folosi modelul (sau functia analitică liniară):

y t= y tT =f ( t )=a+b⋅t

care reprezintă componenta de trend din valorile observate: y t= y tT + y tR

unde ytR este componenta reziduală, ,iar t reprezintă variabila timp. Parametrii a şi b ai trendului linear se determină prin metoda celor mai mici pătrate: minimizarea

functiei ∑t=1

n

( y t−f (t ) )2=∑t=1

n

( y t−a−b⋅t )2. unde t 1,2, … , n (orizontul de timp în care s-a observat

evolutia fenomenului studiat). Obtinem sistemul de ecuatii normale:

{n⋅a+b⋅∑t=1

n

t=∑t=1

n

y t ¿ ¿¿¿

unde ∑t=1

n

t=1+2+3+.. .+n=n⋅(n+1 )

2 si ∑t=1

n

t2=12+22+.. .+n2=n⋅(n+1 )⋅(2⋅n+1 )

6 .

Rezolvând acest sistem de ecuatii obtinem coeficientii a si b ai trendului linear. Înlocuind valorile

determinate în ecuatia tendintei y t= y tT =f ( t )=a+b⋅t , obtinem nivelurile ajustate ale variabilei studiate.

Exemplu. Evolutia numarului de componente de avioane vandute de compania W din Statele Unite în perioada 1968-1987 este data in coloana a treia a tabelului nr. 1.

Ne propunem sa determinam tendinta de lunga durata a seriei cronologice prin ajustare liniara y t= y

tT (linear )=a+b⋅t.

Parametrii a si b se determina din conditia ca suma patratelor abaterilor valorilor reale ale

seriei cronologice de la valorile ajustate sa fie minima, adica∑t=1

20

( y t− y tT (linear ) )2=∑t=1

20

( y t−a−b⋅t )2.

Sistemul ecuatiilor normale este

{20⋅a+b⋅∑t=1

20

t=∑t=1

20

y t ¿ ¿¿¿

cu solutia a=153 , 1 si b=47 ,014 , deci y t= y

tT (linear )=153 ,1+47 ,014⋅t.

Reprezentarea grafica din figura de mai jos ilustreaza modul cum se determina tendinta seculara, folosind functia liniara.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

Nu

ma

rul d

e c

om

po

ne

nte

va

nd

ute

Perioada de timp - anii

Ajustarea seriei cronologice prin trend linear

yt real ytT=153,1+47,014*t