Ajustarea seriilor cronologice

8/3/2019 Ajustarea seriilor cronologice

1/23

1 . Indicatorii dinamicii2. Aiustarea serii lor' cronoloqice3. Trendul4. Sezonalitatea5. Estirnarea


2/23

Indicatori ebsotuti, nivelul absolut ( Y t) modificarea absolute (sporul sau deficitul)

- cu baza fixa:~/l = = Y t -Y l

Indica tori re/ativi.' indicele dinamicii- cu baza fix,a:r: ==YttIl Y1 ritmul dinamicii:

- cu baza tixa:R~l = = ( I ~ l -1)00

,

- cu baza in lant:, Y _A trt-I _ Yt '_Yt-I

- cu baza in lant:/Y ==YttIt-I Y t-I- cu baza in lant:Ry _ (TY 1)00tIt-I _ \!tlt-I _ "


3/23

/ndicatori medii- absoluti,

. nivelul mediu absolut ( )Jse determina Tntunctie de tipul seriei cronologicefolosind una din mediile: aritmetica, patratlca, geometrica slrnpla (pentru serii deintervale, de timp) sau cronolcqica sirnpla sau ponderata (pentru serii de,momente)

~~/t-l0-1_ modificarea medie absoluta (sporul sau deficitul)...re/ativi

. ' indicele mediu al dinamicii

ritmul mediu al dinamicii: RY = ( i Y -1)00 valoarea medie absoluta a unui procent de crestere

Va(l%)L \R (A)


4/23

absoluf relativiP rod m arfaLuna (t) fabr, (Y ) .An/1 .A nln-1 In/1 In/n-1 Rn/1 R n/n-1ml l . le i

i

~ 430 * * * * * *~ . c L~. .~ 380 -50 ,00 -50 ,00 0,88 0,,88 -11 ' ,63 -11,63~ 4 '00 -30, '00 20 ,00 0 ,93 1 '0 5 -6 '9 8 526, ,~ 410 -20 ,00 1000 095 1 03 -46 5 2 '5 0, , , , - ,

,~ ~

@ ) 360 -70, '00 -50,00 0,84 0,88 -16,28 -12 ' ,20LJ ~@ 340 -90 ,00 --2 0 ,00 0, '79 0 '94 -20 '9 3 -5 ' 5 6l , , ,'"'. . . . l i t 380 -50 ,00 40 00 088 l' 1 2 -11 ' ,63 11 ,761. ~ , , ,-Sum,8 , lP r ;odus 2 , 7 0 0 * 50,00 * 0,88 * *-- -i1 Ri tm"


5/23

_, -~

_,lnd lcater i Y I RMed ii absolu ti 385 ,71 - 8 3 3 * *'M 'ed i i re latl v l * * 0 , 9 7 9 6 - ,2 ,04

~

V aloarea m ed ie absolu ti a u n u l 0 / 0 u I~* 4 l0 8 s * *de crestererscadere


6/23

Ajustarea seriilor cronoloqlce '= deterrninarea unui model care aproxlrneaza eel mai binetendinta acestora.

Utilitate:Odata determinat modelul dupa care s-a manifestat un fenomen in timp de-a lungul uneiperioade:se poate realiza 0 estimate a rnoditicarf acestuia in viitor (previziune)

.,; se pot aproxima, prin calcul, termenii lipsa a! seriei cronolcqice (interpolate)

Tlpuri de metode utilizate in ajustarea seriilor cronolcqlce:1. Metoda grafica,2,. Metode mecanice3. Metode analitice


7/23

2. Metode mecanice - se bazeaza pe utilizarea unor relatii matematice determinate Tntretermenii seriei, care permit atenuarea totala sau partiala a tluctuatlllor lntamplatoaregenerate de datele empmce cupmse ln seria cronoloqica sl determinarea unuimodel de tendinta.

Se utilizeaza maiofrecvent:'metoda mediilor esalonatemetoda mediHor mobilemetoda sporului mediu'metoda indicelui rnediu


8/23

M e to da m e d iilo r esalonate - are ta baza calculul u nor m e d ii artim e tice d in cate 2, 3 saum ai multi term e ni su ccesiv i a i seriei, tara a repeta v reu nu l d in tre e.i, apo i u t iliz are av alo rilo r a ce sto ra In lo cu l datelor lnltlale pen tru de te rm in are a tendlntei

Luna ( t ) Y Mediiesa lonate~ 4 3 0 4 0 5 :~ _j 3 8 0- -a 4 0 0 405. . . . . . !;~ 410f f i 3 6 0

__j 3 5 ' 06 3407 _J 3 8 0

4 4 0 - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - - . , - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - -, '@ YI I I I II I I I II I I I I, : : : : :-me'dl'I'esal'onate4 ' ' : . " 1 0 ' , , ' , ,' , ' _ ,_ _ _ _ _ _ _ _1__ , , ,_ J __ , , ,_L __ , , ,_ L __ , , ,_I I I I I-----~_________I I I I II I I I I

I I I I, ,4 0 0 ,3 " S " O " , " "___ , , 1_ _ _ _ _ _ J _, , ,__ L _ , .. " , , __ 1 _ _ , , , _ J __ ,_ _ _ __ ,_I I I II I I II I I II I I II I I I I3 " " " ( J '.~ J L L ' ,.':u.:. I I I .~- -i - - - - _,- - - _,- - - - - - _,- - - _,- -I I I . I, ", "I I I I" " " . ' " ' : , ' , 4 1 'i,",' ",. o ; ; . u - - - - - - - - - --1--- -- -- -- -- ...-- -- -- -- -- - r-----------r-----------1- - - - - - - - ...- - - - - - - - - - -I I I I .

I I I II I I II I I II I I I3 2 0 - - - - - - - - - - - : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - '~- - - - - - - - - - - '~- - - - - - - - - - - : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -I I I II I I II I I II I I I3 0 0 ,+--------t-- ---t---------.--- ---.--- ---t-- ---t-----;

1 . . . ./ 4 7

M etod a nu elimina cornplet flutuatllle tntarnplatoare.


9/23

M e to da m e d iilo r mobile - are la baza calculul uno r 'medii a rtim e tic e d in cate 2, 3 sau m aimulti te rm e ni su ccesiv i a i serlel, d in care unu lsau m ai multi sun t luati in ca lcu lu l m a imultor med i i succesive, apo i u tiliza re a valorllor acestora tn locul datelor lnltlalep en tru d e te rm in are a te nd in te i.

Luna (t) Y , M e d i im o b i l e1 4 3 0

405,00~ 3 8 0 390 100~ 4 Q O 405,00~ 4 1 0 385,00 3 6 0 350,00s 3 4 0 3 6 ' 0 00V J 3 8 0 ,

4 ' 4 ' C ' "~ , , - - - - - - - - - - -.- - - - - - - - - - - -.- - - - - - - - - - - T - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - -.-I I I I II I I I II I I I II I I I II I I I I

s y4 2 " 0 - " ' ,_ _ _ _ _ __ 1 , , .J , , ~ , , L. , , 1_I I I I I

I I I I II I I I I, ", " - n 1 3 d ii I i l O b i l e4 0 0

,~ O O ' ,O.. - - - - - - - - - - -1 - - - - - - -.,- - - - - - - - - - - T- - - - - - - - - - _ - - - - - - - - - -1 - - - - - - - - - -.,- - - - - - - -,, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,J O O - - - - - - - - - - - : ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - - - - - - , ~ - - : - - - - - - - - - - - - - - - - - - -I .... I . I, ,, ,, , ,~ , ' i . ~ O " , ' , ,.'t _ - - - - - - - - - - -1 - - - - - - - - - - ., - - - - - - - - - - - T- - - - - - - - - - - r- - - - - - - - - - - -1 - - - - - - - ., - - - - - - - - - - - ,I I I I I I II I I I I I II I I I I I II I I I I I I

~~ , i" j" -;', ' , , , , , ,, , J , , , l . , . l - - - - - - - - - - - : - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - : - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - ~I I I I I I II I I I I I II I I I I I II I I I I I I3 0 0 +-------r---,- ------,-----.-- ------,-----,- --,'

1 2 4 7

M etod a nu elimina cornplet flutuatllle tntarnplatoare.


10/23

Metoda sporului mediu - are la baza utilizarea unei relatii de reeurenta ce poate fistabllita intre termenii unei serli, sporul mediu si primul termen al seriei, apoiutilizarea valorilor acestora in locul datelor lnitlale pentru determinarea tendlntei

Luna (t) Y Yt ----,Y1 + ( t -1~1 430 ,430

- 2 , 38() 42,1 ,67;::- 3 4 Q O 413 ,33;::-

~ 410 40500g ;:: ,-

~ 360 39,6,67;::- e 340 388 ,33;::-f l i [ 38,0 380 ,00

o y4 ' 4 , . i . \ i . .U - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - i - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - -I I II I I II I I I, , ,4 2 0 - - , - - - - - - -~ - - - - - -- ~ - - - - - - -, - - - ~- - - -, - - - -, - - - ~- - - -, - - - - , - - - metoda S p O n J l u i: :: m ed iu,,4 1 ' " i . ' . . 1 ' " i . " " ,u u - -- - - - - - - -~ - - - - - - - - - r - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - ~ - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - ~I I I I I II I I I I II I I I I II I I I I~Oi' I I I I I.,: lo u - ,- - - - , - - - - ,- ~ - - ,- - - - - '-~ - - ,- - - - ,- - - _,J - - - ,- - - - ,- - - - L - - - - - - ,- - - ~ - - - - - - - - - - -~ - - - - - - ,- - J

I I I II I I II I I II I I I. . . . . . . . . . 0 ~ J L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _~~.. I I I

" ," ,, ," ,3 " ' 4 0 I I I I. . ' - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - r - - - - - - - - - - ~C . - .C " "I I I II I I II I I II I I I~ ' 2 n J L J L _

~J.U I I I II I I II I I II I I II I I I3 0 0 +-------t'---r- -----t-----t---------t-- -~--;

. . . .; 4 7

Metoda ellrnina cornplet tlutuatllle tntarnplatoare. Peate fi utilizata cu rezultate bune incazul tendintelor Iiniare.


11/23


12/23


13/23

Metodele analitice de ajustare a seriilor cronoloqlce au la baza ideea de a descoperimodelul de functie rnaternatica care ap-roxirneaza eel mal bine tendinta datelor reale.,Sunt folosite de obicei ca model:-functia Iinlara-tunctia parabollca de ordinul 2-tunctia hiperbolica-functia exponentlala,-~.a.

Este necesar un criteriu care sa perrnita selectarea functlel (din' multlmea tunctiilortestate) care aproxlmeaza cel mai bine evolutia datelor reale.Criteriul eel mai utilizat este minimizarea dlterentelor dlntre datele reale sl datelecalculate prin intermediul functlllor testate (Criteriul celor mal mici patrate)., - -


14/23

Testarea tunctiilor rnatematlce, pentru a vedea cat de bine aproxirneaza evolutia datelorreale, presupune parcurqerea mal multor etape:

1. Pentru fiecare tunctle 5e parcurg pasll:a. Se stabileste modelul general al tunctlel ce va fi testate;b. Se particularizeaza tunctia prin determinarea valorilor parametrilor sal astfellncat s a se atinqa precizia maxima Tn aproximare. In situatia tn care tunctia

permite calculul, 'se poate face prin metoda simplificata.c. Se calculeaza prin tunctle, pentru fiecare termen real, cate 0 valoare

corespondenta;d. Se determina suma erorilor pe care Ie genereaza utilizarea respectivei functll Tnaproximarea evolutiei datelor reale prin calculul sumei patratelor dlterentelordintre valorile reale si cele calculate prin functie;

2. Se cornpara suma erorilor pe care Ie genereaza fiecare functie Tn aproximareatendlntel datelor reale ~'i se aleqea acea tunctle pentru care erorile sunt cele mairmc i


15/23

Notatii utilizate:.y - valorile reate ale variabilei studiate prin intermediul serie cronologiceY, ...valorile asociate variabilei studiate, dar calculate prin intermediul

functiei testatet - rangurile perioadelor de tirnp cuprinse Tnseriea.b,c., .. parametrii tunctiei testateFunctia Iinlaraa. Y = = a+ b - tt -b.Determinarea parametrilor tunctiei (a sl b) se poate face aplicand tunctiei criteriul

minirnizarf celor mai mici patrate 2

L : ( Y - r , ) 2 = min < = > L : [v - ( a +b o t ) ] = minEste poslblla atingerea minimului pentru suma de mal sus daca derivatele partlale deordinul I Tn raport cu parametrii a si b sunt nule.


16/23

Derivand expresia celor mai mic.i patrate Tn raport ,cupararnetrul a obtinern:I,y-n.a-bI,t~O~ I,y=n.a+bI,t

apoi Tn raport cu parametrul b,I,y.t-aI,t-bI,t2 =O~ I,y.t=aI,t+bI,t2

Ambele ecuatii de mai sus pot fi integrate Tntr-un slstem, care poate fi rezolvat prin oricemetoda cunoscuta.

I,y.t=aI,t+bI,t2


17/23

o varianta d e re zo lv are rapida este cea utilizand deterrninanti;

Se c on stru ie sc urrnatorii determinant i :,

n L t L Y L t n L Y1\- 1\ = = I 1 b =L i L t 2 L y t L t 2 L t L y t

1 \a = = a

1 \


18/23

o alta varianta de rezolvare rapida este cea folosind calcul simplificat. Acestapresupune ca lui t (variabila timp) s a 'Ii dam, valori particulare asttel tncat l:t , = O.

Asttel, daca:... seria are nurnar impar de terrneni, lui t i se'vor asocia urrnatoarele valori:

o Tndreptul termenului din centrul seriei-1, ~2, -3 ... pentru te.rmenii aflati deasupra termenului central al serie!Atribuirea valorilor se face lncepand de la acesta catre primul termenal seriei.

... 1 ,2 ,3 ,... pentru termenii atlati sub termenul central, al seriei. Atribuireavalorllor se face tncepand de la acesta catre ultimul termen al seriei.

seria are nurnar par de terrnenl lui t i se vor asocia urrnatoarele valori:-1, 1 pentru ce! doi termeni din centrul seriei-3,-5,-7 ...pentru terrnenii aflatl deasupra termenilor centrali

... 3;5,7 ... pentru termenii aflati sub,termenii centrali

I n acest caz sistemul pentru determinarea parametrilor a si b devine: :L y L y ta= b=---n


19/23

Exemplu de calculValoarea

productlelAnul industrlale t t2 yt Y t (Y~Yt )2(m Id., lei)

Y1993 4 1 0 1 1 4 1 0 4 0 8 , 6 4 1 , 8 41994 4 3 0 2 4 8 6 0 4 2 8 , 5 7 2 0 4.1995 4 5 0 3 9 1 3 5 0 4 4 8 , 5 0 2 2 51996 4 6 0 4 1 6 1 8 4 0 4 6 8 , 4 3 7 1 , 0 419 ' .97 4 9 0 5 2 5 2 4 5 ' 0 4 8 8 , 3 6 2 7 01998 5 0 9 6 3 6 3 0 5 4 5 0 8 , 2 9 o 5 11999 ' 5 3 0 7 4 9 3 7 1 0 5 2 8 , 2 1 3 , 1 9Tota l 3279 28 1,40 13 .674 3279 83.,571

~, :388.7143+19.92857[

7 ,28


20/23

540'"" (1: ' . " t .. . " , '5 2 . . 0 ( . . : ." t .. ': .5 0 " ' 0 ' ", .: Ir :. , "....4 8 " ' 0 ' "' ; : " - . ,""-.:" " . " . _ .4604404 2 ' 0 , . . .. , . " "

4 0 , . . . . . 0 ' .. ,t , ,"

I I I I I___________________~ l L l l _I I I I II I I I I

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T - - - - - - - - - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T - - - - - - - - - - - - - - - - - -I I I II I I II I I II I I II I I II I I II I I I

----------------,-------------------IIIIIII- - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -I

I II II II II I

. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -I II I II I II I II I II I II I I I I I___________________ :- : L~ __ ... ...- : : : ,

I I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I- - - - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - -IIIIIII

- - - - - - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T - - - - - - - - - - - - - - - - - - - T - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - _I I I II I I II I I II I I II I I II I I I

--Valoarea productiei industriale y --'yt199'3... , , ..:., ':. :,. .' '", .: . :'.' 1 9 : ' 9 : .9 : : .... t' ..,, '", . '199' ', , '.: . . ':. .~.,. . '" " ':.~.' 1 9 ' : " : 9 : ' : " 7.. . ':':' ,:.:a- a- 1 9 : : : ' 9 " ' 8 ' . . ..:".' . :" , " .: .'


21/23

Functla parabolica de ordinul II '2Yt =a+b=t+c- tFunctla are trei pararnetrl a, b c. Valorile aferente acestora se pot determina in acelasimod ca ca si in' cazul tunctlel liniare, prin aplicarea criteriului celor mai mici patrate. Seobtine sistemul:- -

Rezolvarea sistemului se poate tace cuajutorul determlnantilor sau prin metoda decalcul simplificat.

~ ~b~'2~3.L .Jy . [ =aL .J! +L .J! + cL .J !


22/23

Functla hjperbollca

I n acest caz sistemul va fi:

=n.a+b~!L .Jt

Rezolvarea sa nu se mal poate face prin metoda de calcul simplificat decat tntr-oslnqura situatle, dar se pot utlllza in schimb alte metode: determlnantl, substltutle,reducere ...


23/23

Functia exponentlala,Pentru determinarea parametrilor a si b se recurge ta liniarizarea prin logaritmare (deobicei tolosind logaritmi Tnbaza 10) a expreslel de mal sus:.

log Yt = log(a. bt) = log a+ log bt = log a+ z log bapoi se fac urmatoarele substitutii:log r, =Ulog a = vlog b = z

caz Tncare expresia functiei devine:u '= v+z - r S-a obtinut 0 expresie sim ilara cu cea afunctiei llniare. Rezolvarea se tace la felcat n cazul functiei liniare, determinandu-se

pararnetrii v si z :Parametrii inltiall a! tunctlel exponentials vor fi deterrnlnatl prin antilogaritmareaparametrilor v si z:

a =10v

Documents

Ajustarea seriilor cronologice