IONEL HAIDU

ANALIZA SERIILOR DE TIMP APLICATII IN HIDROLOGIE

Serie coordonatå de : Radu DROBOT Jean Pierre CARBONNEL S_JEP 09781/95 GESTION ET PROTECTION DE LA RESSOURCE EN EAU

*H*G*A* Bucure¿ti 1997

Descierea CIP a Bibliotecii Na¡ionale

HAIDU, IONEL

Analiza seriilor de timp : aplica¡ii în hidrologie / Ionel Haidu. - Bucure¿ti : *H*G*A*, 1997 157 p. ISBN 973-98077-3-9 556.06 519.246.8:556

Editor :

Copyright © 1997. Toate drepturile asupra acestei edi¡ii

sunt rezervate Editurii *H*G*A* - Bucure¿ti

PREFAºÅ

Pentru a în¡elege modul de func¡ionare al unui sistem natural, tehnic sau

economic ¿i pentru a cunoa¿te modul în care unul sau mai multe input-uri afectezå varietatea output-urilor, cercetåtorii ¿i inginerii efectueazå måsuråtori în timp. Setul de observa¡ii care monitorizeazå în sens cronologic comportamentul sistemului poartå numele de serie de timp. Analiza seriilor de timp se referå în principal la construirea unor modele capabile så descrie comportamentul sistemului în scopul simulårii acestuia, al anticipårii evolu¡iei sale ulterioare, al evaluårii tendin¡elor ¿i pentru mai buna în¡elegere a dinamicii componentelor sale. Prin urmare, analiza seriilor de timp a devenit, pentru numeroase domenii ale vie¡ii social-economice ¿i ¿tiin¡ifice, un instument eficace pentru cercetare, proiectare sau valorificare. Lucrarea de fa¡å se referå la unele probleme teoretice ¿i metodologice ale analizei seriilor de timp cu aplica¡ii în hidrologie. Utilizarea modelelor stochastice în hidrologie este încurajatå de faptul cå acestea nu necesitå varietatea de date precum modele deterministe. Valoarea datelor ini¡iale din suma totalå a produsului finit cre¿te de la an la an. Acest fenomen este specific ¿i în ingineria resurselor de apå, care deseori se confruntå cu necesitatea de a oferi scenarii hidrologice doar pe baza unui numår limitat de variabile. ¥n aceste condi¡ii modelele stochastice î¿i dovedesc eficien¡a solicitatå de practicå. S-a considerat necesar de a trece în revistå anumite elemente statistice de bazå (cap. 1) fårå de care nu pot fi în¡elese conceptele legate de modelarea stochasticå (cap. 3). Fiind vorba de o lucrare de hidrologie, s-au subliniat caracteristicile diferitelor serii hidrologice (cap. 2) ¿i s-a argumentat legåtura dintre procesul stochastic ¿i fizica fenomenului hidrologic (cap. 4). Capitolul 5 este un ghid practic al utilizårii programului PEST în hidrologia stochasticå. ¥n cadrul ultimelor douå capitole (cap. 6 ¿i 7) se prezintå succint alte tipuri de modele stochastice, specifice reprezentårii seriei hidrologice în domeniul timpului, respectiv domeniul frecven¡elor. Analiza seriilor de timp cu aplica¡ii în hidrologie reprezintå una dintre disciplinele predate în cadrul ªcolii de Studii Academice “Ingineria Resurselor de Apå” din Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti - Facultatea de Hidrotehnicå. Directorul acestei ªcoli, prof.dr.ing. Radu DROBOT, este în acela¿i timp ¿i ini¡iatorul seriei de volume TEMPUS, în cadrul cåreia apare ¿i aceastå carte. Lucrarea de fa¡å, prin tematica ¿i exemplele tratate, se adreseazå ¿i altor speciali¿ti, cadre didactice, ingineri sau studen¡i din domeniul gospodåririi apelor, al mediului ¿i ¿tiin¡elor geofizice.

Autorul

Dedic aceastå carte, cu dragoste, so¡iei mele Daniela ¿i fiicei noastre Nadina.

CUPRINS

1. ELEMENTE DE BAZÅ ¥N HIDROLOGIA STOCHASTICÅ.............

1.1. NOºIUNEA DE VARIABILÅ ALEATOARE .................................. 1.2. DESCRIEREA REPARTIºIEI VARIABILEI ALEATOARE DISCRETE ....................................................................................... 1.2.1. Cazul unidimensional.................................................................. 1.2.2. Cazul multidimensional............................................................... 1.3. PREDICºIA VARIABILEI ALEATOARE........................................ 1.4. PROCESE STOCHASTICE............................................................... 1.5. STAºIONARITATE ªI ERGODICITATE........................................ 1.6. INDEPENDENºA STOCHASTICÅ.................................................. 2. SERIILE DE TIMP HIDROLOGICE. NOºIUNI GENERALE..........

2.1. DEFINIºII ªI CLASIFICÅRI............................................................ 2.2. CARACTERISTICI ALE SRIILOR DE TIMP HIDROLOGICE........ 2.2.1. Caracteristici statistice................................................................. 2.2.2. Caracteristici ale seriilor hidrologice anuale................................ 2.2.3. Caracteristici ale seriilor hidrologice periodice............................ 2.2.4. Caracteristici ale seriilor hidrologice multidimensionale.............. 2.2.5. Caracteristici ale seriilor hidrologice intermitente........................ 2.3. COMPONENTELE SERIILOR DE TIMP HIDROLOGICE.............. 3. MODELAREA SERIILOR DE TIMP...................................................

3.1. MODELUL STOCHASTIC AL SERIEI DE TIMP............................ 3.2. OBIECTIVELE MODELÅRII STOCHASTICE................................ 3.3. MODELAREA SERIILOR STAºIONARE....................................... 3.3.1. Procese de medie alunecåtoare - MA........................................... 3.3.2. Procese autoregresive - AR.......................................................... 3.3.3. Procese mixte, autoregresive ¿i de medie alunecåtoare - ARMA..

3.4. MODELAREA SERIILOR NESTAºIONARE - PROCESE - ARIMA.............................................................................................. 3.5. PROCESE ARIMA MULTIPLICATIVE........................................... 4. ARGUMENTE FIZICE ALE MODELÅRII STOCHASTICE

¥N HIDROLOGIE..................................................................................

4.1. PREMIZE CONCEPTUALE............................................................. 4.2. CAZUL PRECIPITAºIILOR STAºIONARE ªI INDEPENDENTE STOCHASTIC................................................. 4.3. CAZUL PRECIPITAºIILOR AR(p) ªI ARMA(p,q)..........................

7

7

8 9

13 17 20 22 25

28

28 32 32 34 37 40 42 43

56

56 58 59 60 65 68

70 74

77

77

79 85

5

5. GHID PRACTIC PENTRU MODELAREA ARIMA..............................

5.1. INTRODUCERE............................................................................... 5.2. ETAPE DE LUCRU.......................................................................... 5.3. UTILIZAREA PROGRAMULUI PEST............................................. 5.3.1. Meniul principal ¿i meniul datelor............................................... 5.3.2. Inspec¡ia vizualå.......................................................................... 5.3.3. Opera¡ii preliminare - sta¡ionarizare............................................ 5.3.4. Identificarea ordinului ¿i selectarea modelului............................. 5.3.5. Estimarea parametrilor................................................................ 5.3.6. Testarea ¿i validarea modelului................................................... 5.3.7. Valorificarea modelului............................................................... 6. ALTE MODELE SPECIFICE REPREZENTÅRII

¥N DOMENIUL TIMP........................................................................... 6.1. MODELUL THOMAS - FIERING.................................................... 6.2. MODELAREA FUNCºIILOR DE TRANSFER................................ 6.3. MODELAREA AUTOREGRESIVÅ MULTIVARIATÅ................... 7. ELEMENTE DE ANALIZÅ SPECTRALÅ CU EXEMPLE

¥N HIDROLOGIE..................................................................................

7.1. PERIODOGRAMA ªI PERIODOGRAMA CUMULATÅ................. 7.2. TESTAREA PREZENºEI PERIODICITźILOR ASCUNSE........... 7.3. DENSITATEA SPECTRALÅ............................................................ 7.4. ANALIZA SPECTRALÅ BIDIMENSIONALÅ................................. ANEXA I.......................................................................................................

BIBLIOGRAFIE...........................................................................................

87

87 89 93 93 94 96

105 107 110 116

123

123 127 136

139

140 143 145 148

153

155

6

1. ELEMENTE DE BAZÅ ¥N HIDROLOGIA

STOCHASTICÅ

1.1. NOºIUNEA DE VARIABILÅ ALEATOARE

¥n cadrul acestei lucråri, prin no¡iunea de variabilå hidrologicå se va în¡elege

orice variabilå care descrie sau influen¡eazå procese hidrologice. Variabilele hidrologice care pot fi prezise cu certitudine sunt numite

deterministe, iar cele care se prezic cu anumite incertitudini sunt numite variabile aleatoare sau stochastice.

Variabila aleatoare este acea variabilå ale cårei realizåri (valori) sunt guvernate de probabilitå¡i sau de ¿anså. Valorile ei nu pot fi prezise cu certitudine decât în termeni probabilistici. Dacå spa¡iul de realizare al unui experiment aleator este , mul¡imea numerelor reale, atunci realizarea este constituitå dintr-o singurå valoare numericå. O asemenea realizare este numitå unidimensionalå sau variabilå aleatoare scalarå. Variabilele aleatoare se vor nota în acest curs cu litere mici subliniate:

ℜ

x y z, , etc.

Schematic variabila aleatoare x se noteazå sub forma unui tablou de coresponden¡å astfel:

xx xp p

pn

nk

k

n1

1 11

................

, .⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =∑

= (1.1)

Fiecårui numår real îi corespunde o probabilitate . Tabloul (1.1) se

mai nume¿te distribu¡ia sau reparti¡ia variabilei aleatoare

xk pk

x . ¥ntr-un interval, o variabilå aleatoare poate så ia un numår finit (numårabil)

sau infinit (nenumårabil) de valori. ¥n primul caz, variabila aleatoare se nume¿te discretå, iar în al doilea caz, continuå.

Nivelurile înregistrate la sec¡iunea unui râu cu ajutorul limnigrafului pot fi apreciate ca fiind o variabilå aleatoare continuå, în timp ce nivelurile utilizate pentru elaborarea cheii limnimetrice constituie o variabilå aleatoare discretå. ¥n ambele cazuri, fiecårei valori numerice a nivelului îi corespunde o anumitå probabilitate conform tabloului (1.1), care se poate calcula prin tehnici statistice adecvate.

7

Generalizarea no¡iunii de variabilå aleatoare scalarå la mai multe dimensiuni necesitå introducerea no¡iunii de mul¡ime a numerelor reale bidimensionale,

. Spa¡iul bidimensional al numerelor reale este definit astfel: ℜ2

( ) ℜ = ∈ℜ ∈ℜ21 2 1 2x x x x, / , .

)

(1.2)

Cu alte cuvinte este mul¡imea tuturor cuplurilor posibile ( ,

constând din douå numere reale ¿i . ¥n acela¿i mod ℜ este mul¡imea

tuturor vectorilor n-dimensionali , constând din n numere reale

. Aceasta se reprezintå astfel:

ℜ2 x x1 2

x1 x2n

( , , ... , )x x xn1 2x x xn1 2, , ... ,

( ) ℜ = ∈ℜ ∈ℜ ∈ℜnn nx x x x x x1 2 1 2 1 3, , ... , / , , ... , . ( . )

Dacå spa¡iul de realizare al unui experiment aleator este , atunci o singurå realizare constå din n numere reale. O asemenea realizare este numitå variabilå aleatoare n-dimensionalå.

ℜn

Variabilele aleatoare multidimensionale se vor nota în acest curs cu litere mari subliniate, ca de exemplu: X Y Z, , . Componentele acestora se vor nota cu

litere mici subliniate, ca de exemplu: X x x xn= ( , , ... ,1 2 ) .

Componentele x x xn1 2, , ... , ale lui X sunt bineân¡eles variabile aleatoare

scalare. Prin urmare, pentru fiecare dintre acestea ne putem imagina existen¡a unui tablou similar tabloului 1.1, care descrie distribu¡ia de probabilitate a variabilei aleatoare.

Pentru întocmirea cheii limnimetrice sunt necesare nivelurile ¿i debitele înregistrate corespunzåtor acelora¿i momente de timp. ¥n cazul acestui experiment pentru fiecare moment de timp corespunde un cuplu nivel-debit,

spa¡iul de realizare este , deci este vorba de o variabilå aleatoare bidimensionalå.

ℜ2

1.2. DESCRIEREA REPARTIºIEI VARIABILEI

ALEATOARE DISCRETE

Metodele de înregistrare a realizårilor variabilelor hidrologice sunt în general

tehnici de discretizare. Prin urmare, în practica hidrologicå se opereazå mai ales cu variabile aleatoare discrete, unidimensionale sau multidimensionale.

8

Informa¡ia completå privind distribu¡ia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete este datå de:

- func¡ia de probabilitate - func¡ia de distribu¡ie în cazul unidimensional

⎫⎬⎭

¿i de: - func¡ia comunå de probabilitate - func¡ia comunå de distribu¡ie în cazul multidimensional - func¡ia de probabilitate marginalå

⎫⎬⎭

Totu¿i, în practica hidrologicå ¿i pentru scopuri practice în general, se då o

descriere numericå a distribu¡iei de probabilitate. ¥n urmåtoarele douå subcapitole se vor prezenta ambele procedee de descriere a distribu¡iei de probabilitate.

1.2.1. CAZUL UNIDIMENSIONAL Func¡ia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete p x( ) x este definitå

astfel:

p x P x x x( ) ( ) . ( . )= = ∀ ∈ℜ 1 4

Pentru o variabilå aleatoare discretå, func¡ia de probabilitate då o descriere

completå a distribu¡iei de probabilitate. Pentru a în¡elege mai u¿or în figura 1.1 se prezintå cazul aruncårii unui zar a , iar în figura 1.2 cazul imaginar al

numårului de ani cu viituri din urmåtorii 8. Probabilitatea ca cel pu¡in 3 ani så fie cu viituri este de 6% :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]P v P v v v≥ = = = ≥ = + =3 3 4 5 0 05 0 01 0 06U U . . . .

p(x)

=P

(a=

x)

0

0 .04

0 .08

0 .12

0 .16

0 .2

1 2 3 4 5 6

x

Fig. 1.1. Func¡ia de probabilitate pentru aruncarea unui zar.

9

p(x)

=P

(v=

x)0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x p(x) 0 0.34 1 0.40 2 0.20 3 0.05 4 0.01 5-8 0.0 x

Fig. 1.2. Func¡ia de probabilitate a numårului de ani cu viituri. Func¡ia de distribu¡ie a unei variabile aleatoare F x( ) x este definitå

astfel: F x P x x x( ) ( ) . ( . )= ≤ ∀ ∈ℜ 1 5

Din figurile 1.3 ¿i 1.4 se deduce faptul cå func¡ia a unei variabile

aleatoare discrete este o func¡ie în trepte, în punctele

F x( )( )xi fiind egalå cu . ( )p xi

F(x) = P (a <

F(x) = P (v <

Fig. 1.3. Func¡ia de distribu¡ie pentru Fig. 1.4. Func¡ia de distribu¡ie a

o aruncare a unui zar a . numårului de ani cu viituri v . Rela¡ia dintre func¡ia de probabilitate ¿i func¡ia de distribu¡ie a unei

variabile aleatoare discrete este datå de:

p u( )

F x p u p u u x

u x( ) ( ) ( ) , . ( . )= ∑ ∀ ≠ ≤

≤0 16

Descrierea numericå a distribu¡iei de probabilitate a unei variabile aleatoare

discrete se referå la parametrii tendin¡ei centrale, parametrii dispersiei (împrå¿tierii) ¿i la parametrii asimetriei ¿i boltirii.

10

¥n prealabil vom defini speran¡a (a¿teptarea) matematicå a unei func¡ii de variabilå aleatoare. Pentru o variabilå aleatoare discretå x , speran¡a matematicå

a func¡iei g x( ) este datå de:

E g x g x p x

x( ) ( ) ( ). ( . )= ⋅∑ 17

unde: suma se referå la toate valorile x pentru care p x( ) ≠ 0 .

Momentul ordinar de ordin k (k = 1, 2, ... ) al unei variabile aleatoare

discrete este dat de E x k (speran¡a matematicå a func¡iei x k ).

Momentul centrat de ordin k (k = 1, 2, ... ) al unei variabile aleatoare discrete

este dat de ( )E x E x k− , respectiv speran¡a matematicå a func¡iei

( )x E x g xk− = ( ) .

Måsurile tendin¡ei centrale sunt: media, mediana ¿i moda. Media lui x este :

E x x p xx

( ) ( ) . ( . )= ⋅∑ 1 8

unde: suma se referå la toate valorile lui x pentru care p x( ) ≠ 0 .

Media lui x este chiar speran¡a matematicå a variabilei aleatoare respective

(sau momentul centrat de ordinul întâi). Mediana este valoarea x pentru care:

P x x P x x( ) ( ) . ( .< = ≥ =12

1 9 )

Moda este valoarea lui x pentru care corespunde valoarea maximå a func¡iei

de probabilitate. Måsurile dispersiei sau împrå¿tierii unei variabile aleatoare sunt: varian¡a,

devia¡ia standard ¿i coeficientul de varia¡ie. Varian¡a unei variabile aleatoare discrete x este momentul centrat de

ordinul doi:

var ( ) . ( . )x E x E x= − 2 110

Varian¡a reprezintå valoarea medie a devia¡iilor fa¡å de medie ridicate la

påtrat. De aceea ea poate fi utilizatå ca o måsurå a distribu¡iei masei de probabilitate în jurul mediei.

11

Devia¡ia standard a unei variabile aleatoare x este radicalul varian¡ei:

std x x= var . ( . )111

Devia¡ia standard se exprimå în acelea¿i unitå¡i de måsurå ca ¿i variabila

aleatoare ¿i ca ¿i media acesteia. Coeficientul de varia¡ie (sau devia¡ia standard relativå) a unei variabile

aleatoare x este :

C al lui x std xE xv = . (112. )

Pentru orice variabilå aleatoare x , variabila aleatoare standardizatå x* este

datå de:

xx E xstd x

* . (= . )−

113

Se observå cå x* este adimensional ¿i de aceea se utilizeazå pentru a

compara diferite distribu¡ii. Måsurile asimetriei ¿i boltirii (formei) distribu¡iei sunt coeficientul de

asimetrie ¿i kurtozisul. Coeficientul de asimetrie ( )Cs al unei variabile aleatoare x este dat de:

C al lui x E x Exstd x

s =−( )

( ). (

3

3 114. )

Coeficientul de asimetrie måsoarå gradul de asimetrie al distribu¡iei, având

valori pozitive sau negative (asimetrie spre dreapta respectiv spre stânga). Kurtozisul unei variabile aleatoare ( )K x este dat de:

K al lui xE x E x

std x=

−( )

( ). ( .

4

4 115 )

Kurtozisul este egal cu trei pentru distribu¡ie normalå, este mai mic decât trei

dacå distribu¡ia este mai platå ¿i mai mare decât trei dacå distribu¡ia este mai ascu¡itå decât cea normalå.

12

1.2.2. CAZUL MULTIDIMENSIONAL Cazul multidimensional se exemplificå printr-o variabilå aleatoare discretå

bidimensionalå X x x( ,1 2 ) .

Func¡ia comunå de probabilitate a variabilei aleatoare discrete X x x( ,1 2 )

este definitå astfel:

[ ]p x x P x x x x x x( , ) ( ) ( ) ( , ) . ( . )1 2 1 1 2 2 1 22 116= = = ∀ ∈ℜI

¥n cazul unei variabile aleatoare discrete multidimensionale, func¡ia comunå

de probabilitate då o descriere completå a distribu¡iei de probabilitate. Pentru a în¡elege cât mai u¿or se alege exemplul aruncårii a douå zaruri. ¥n acest caz valorile func¡iei de probabilitate sunt reprezentate tabelar (tab.1.1) ¿i sub formå graficå în figura 1.5.

Tabelul 1.1

Valorile func¡iei de probabilitate pentru cazul aruncårii a douå zaruri

1 2 3 4 5 6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

X1X2

Func¡ia comunå de distribu¡ie a variabilei aleatoare X x x( ,1 2 ) este :

[ ]F x x P x x x x x x( , ) ( ) ( ) ( , ) . ( .1 2 1 1 2 2 1 22 117= ≤ ≤ ∀ ∈ℜI )

118

Rela¡ia dintre func¡ia comunå de probabilitate ¿i func¡ia comunå de

distribu¡ie este datå de:

p u v( , )

F x x p u v p u v u x v x

u x v x( , ) ( , ) ( , ) , , . ( . )1 2 1

1 2

0 2= ∑ ∑ ∀ ≠ ≤ ≤≤ ≤

13

( )p x x1 2,x2

x Fig. 1.5. Func¡ia de probabilitate pentru cazul aruncårii a douå zaruri.

1

Distribu¡iile marginale a componentelor ¿i a variabilei

bidimensionale

x1 x2X x x( ,1 2 ) sunt func¡iile de distribu¡ie ale componentelor

scalare ¿i x1 x2Pentru o variabilå aleatoare discretå func¡ia de distribu¡ie marginalå

a lui

F x1 1( )x1 este datå de:

[ ]F x P x x P x x x

F x p u vu x v

1 1 1 1 1 1 2

11

119

( ) ( ) ( ) ( )

( , ) ( , ) . ( .

= ≤ = ≤ ≤ +∞ =

= +∞ = ∑ ∑≤ ≤+∞

I

)

)

(în ultima egalitate s-a utilizat expresia precedentå).

Pentru distribu¡ia marginalå a variabilei aleatoare F x2 2( x2 , în mod

similar se ob¡ine: F x p u v

u v x2 2

1 2

120( ) ( , ). ( . )= ∑ ∑≤+∞ ≤

ºinând cont de expresiile (1.6) respectiv (1.19) ¿i (1.20), se poate demonstra

cå func¡ia de probabilitate marginalå a lui x1 ¿i x2 este datå de:

p x p x v

v1 1 1( ) ( ,= ∑ ) , ∀ v pentru care ( )p x v1 0 12, (≠ 1. )

)

¿i

, ∀ u pentru carep x p u xu

2 2 2( ) ( ,= ∑ ( )p u x, . ( .2 0 1 2≠ )2

14

Formulele (1.19) ¿i (1.21) aratå cum se pot calcula distribu¡ia marginalå ¿i func¡ia de densitate a lui x1 pornind de la func¡ia comunå de probabilitate

. Calculul func¡iei de probabilitate marginalå pentru cazul aruncårii a

douå zaruri utilizeazå expresiile (1.21) ¿i (1.22). Utilizarea termenului marginal se leagå de faptul cå rezultatele se ob¡in din marginile tabelelor de calcul (tab.1.2). ¥n acest tabel se observå faptul cå într-adevår func¡iile de probabilitate marginalå corespund exemplului simplu ales, acela al aruncårii unui singur zar.

( )p x x1 2,

Tabelul 1.2

Calculul func¡iei de probabilitate marginalå pentru douå zaruri

1

2

3

4

5

6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6

p1(x1) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

X1X2

p2(X2)

Parametrii distribu¡iilor bidimensionale sunt: media, varian¡a, covarian¡a ¿i

corela¡ia. Speran¡a (a¿teptarea) matematicå a unei func¡ii g x x( , )1 2 de douå

variabile aleatoare este datå de:

Eg x x g x x p x xxx

( , ) ( , ) ( , ). ( .1 2 1 2 1 221

1 23 )= ⋅∑∑

dacå X x x( ,1 2 ) este discretå.

Momentul ordinar de ordin (k,m) al unei vatiabile aleatoare bidimensionale este dat de:

E x xk m1 2 1 24⋅ . ( . )

Momentele de ordin (1,0) ¿i (0,1) sunt mediile distribu¡iilor marginale ale lui

x1 ¿i x2 :

Ex x p xx

1 1 1 11

= ⋅∑ ( ) ¿i Ex x p xx

2 2 2 22

1 25= ⋅∑ ( ). ( . )

15

( )E X E x E x= 1 2, este numit vectorul mediilor.

Momentul centrat de ordin (k, m) este:

( ) ( )E x Ex x Exk m1 1 2 2 1 26− ⋅ − . ( . )

Momentele centrate de ordin (2,0) ¿i (0,2) sunt varian¡ele distribu¡iilor

marginale ale lui x1 ¿i x2 :

E x Ex x( ) var , (1 12

1 1 27− = . )

E x Ex x( ) var . (2 22

2 1 28− = . )

Covarian¡a lui x1 , x2 , notatå prin ( )cov ,x x1 2 este momentul centrat de

ordin (1,1): cov ( , ) ( ) ( ) . ( . )x x E x Ex x Ex1 2 1 1 2 2 1 29= − ⋅ −

Momentele centrate de ordin doi sunt, de asemenea, covarian¡e:

cov( , ) ( ) ( ) var , (x x E x Ex x Ex x1 1 1 1 1 1 1 1 30= . )− ⋅ − =

cov( , ) ( ) ( ) var . (x x E x Ex x Ex x2 2 2 2 2 2 2 1 31= . )− ⋅ − =

Se poate demonstra faptul cå:

cov ( , ) cov ( , ). ( . )x x x x1 2 2 1 1 32=

Toate aceste covarian¡e alcåtuiesc matricea de covarian¡å:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

cov

var cov , cov ,cov , var cov ,

cov , cov , var

. ( . )X

x x x x xx x x x x

x x x x x

ij

n

n

n n n

= =

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

λ

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

1 33

care este o matrice simetricå ( )λ λij ji= .

Corela¡ia dintre x1 ¿i x2 notatå cu ρ12 se define¿te astfel:

16

cor x xx x

std x std xx x

x x( , )

cov( , ) cov( , )var var

, ( . )1 2 121 2

1 2

1 2

1 2

12

11 121 34= =

⋅=

⋅=

⋅ρ λ

λ λ

dacå var x1 11 0= ≠λ ¿i var x2 22 0= ≠λ .

Se observå faptul cå ρ ρ12 21= . Matricea de corela¡ie se ob¡ine din matricea

de covarian¡å prin împår¡irea tuturor elementelor λij la λ λii jj⋅ :

corX

n

n

n n

=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11

1

1 35

12 1

21 2

1 2

ρ ρρ ρ

ρ ρ

. ( . )

Corela¡ia då o måsurå a dependen¡ei liniare dintre x1 ¿i x2 . Cu cât ρ este

mai aproape de unu, cu atât mai mult x1 ¿i x2 sunt dependente liniar. Cu cât

ρ este mai aproape de zero, cu atât mai mult x1 ¿i x2 par a fi independente

liniar. Deoarece − ≤ ≤1 1ρ se deduce urmåtoarea concluzie: corela¡ia este

covarian¡a normalizatå. Dacå x1 ¿i x2 sunt douå variabile aleatoare independente, atunci

( )ρ = cor x x1 2 0, = . Reciproca acestei afirma¡ii nu este întotdeauna adevåratå,

dacå x1 ¿i x2 sunt douå variabile aleatoare necorelate, ( )cor x x1 2 0, = atunci x1

¿i x2 nu sunt în mod necesar independente. ¥n mod similar se pot descrie

distribu¡iile de probabilitate ale variabilelor aleatoare discrete multi-dimensionale. 1.3. PREDICºIA VARIABILEI ALEATOARE ¥n prealabil vom defini termenul de cuantilå a variabilei aleatoare discrete

x . Cuantila α ⋅100% a lui x este cea mai micå valoare dintre valorile x,

astfel încât

xα( )P x x≤ ≥ α . Modul de calcul al cuantilei poate fi ilustrat

grafic (fig. 1.6). Una dintre cele mai importante probleme privind fenomenele aleatoare se

referå la întrebarea care va fi urmåtoarea realizare a experimentului aleator ? α

17

Fig. 1.6. Modul de calcul al cuantilei α ⋅100% pentru o variabilå aleatoare discretå.

Sunt posibile trei tipuri de råspunsuri: 1) predic¡ia punctualå - se då o singurå valoare, cea mai reprezentativå; 2) predic¡ia de tip interval (regiune) ( )1 100−α % - adicå un interval care

con¡ine urmåtoarea realizare a variabilei aleatoare cu probabilitatea 1−α ; 3) predic¡ia pe baza distribu¡iei de probabilitate completå a variabilei aleatoare. Este clar cå predic¡ia punctualå este cel mai limitat råspuns al problemei

predic¡iei, în timp ce descrierea distribu¡iei de probabilitate este cel mai complet ¿i informativ råspuns.

¥n cazul predic¡iei punctuale, fie $x punctul de predic¡ie al unei variabile aleatoare x . Fiindcå x este urmåtoarea realizare a variabilei aleatoare, eroarea

de predic¡ie a punctului $x este datå de:

x x− $ . (1 36. )

Un mod de a ilustra o måsurå a predic¡iei $x este datå de påtratul erorii de

predic¡ie:

( )x x− $ . (2 1 37. )

Fiindcå aceastå cantitate este înså¿i o variabilå aleatoare, cea mai potrivitå

måsurå a predic¡iei $x este datå de speran¡a matematicå a påtratului erorilor de predic¡ie:

( )E x x− $ . (2 1 38. )

care este numitå eroarea medie påtraticå a predic¡iei $x . Este interesant a gåsi punctul de predic¡ie care då cea mai scåzutå medie a

påtratelor erorilor de predic¡ie.

18

Dacå se utilizeazå media E x ca punct de predic¡ie a variabilei aleatoare x ,

atunci media påtratelor erorilor de predic¡ie este cea mai micå posibil ¿i este egalå cu varian¡a lui x , var x :

( ) ( )min $ var . ( . )E x x E x E x x− = − =2 2 1 39 $x

O proprietate a mediei ca punct de predic¡ie este cå speran¡a matematicå a erorii sale de predic¡ie este egalå cu zero.

Cunoscând func¡ia de distribu¡ie a variabilei aleatoare bidimensionale

( )X x x= 1 2, , predic¡ia punctualå va fi ( )$ $ , $X x x= 1 2 corespunzåtoare celei mai

mici medii a påtratelor erorilor de predic¡ie. Predic¡ia punctualå în acest caz este

vectorul mediilor ( )$ ,X Ex Ex= 1 2 .

¥n cazul intervalului de predic¡ie, fie o regiune de predic¡ie ( )1 100−α %

notatå cu G, având nivelul de semnifica¡ie 1−α , este o astfel de regiune încât :

( )P x G∈ = −1 1α . ( 40. )

¥n igura 1.7 se prezintå diferite regiuni de predic¡ie G care satisfac (1.40). Acest interval va con¡ine urmåtoarea realizare a variabilei aleatoare cu probabilitatea 1

f

−α , α fiind mult mai mic decât 1.

Fig. 1.7. Diferite regiuni posibile de predic¡ie.

Pentru o variabilå aleatoare discretå cea mai îngustå regiune de predic¡ie este

[ ]G x x= α β/ , , ( .2 1 41)

unde:

( ) ( )β αα α= − +F x p x −/ /2 2 1 deoarece

( ) ( ) ( )F x p x P x xα α α/ / / . (2 2 2 1 42− = < . )

( )

( ) f x f x

19

O descriere mult mai informativå a problemei predic¡iei o oferå func¡ia de

distribu¡ie a variabilei aleatoare deoarece: - se poate calcula probabilitatea oricårui eveniment legat de o realizare

ulterioarå; - pornind de la aceasta se poate calcula u¿or predic¡ia punctualå sau

intervalul de predic¡ie.

1.4. PROCESE STOCHASTICE

O mul¡ime de realizåri ale unui element este numit proces, iar dacå

realizårile respective comportå unele incertitudini ¿i se ¡ine seama de timp atunci este vorba de un proces stochastic. Un proces stochastic reflectå evolu¡ia în timp a unui sistem dat. Realizårile unui proces stochastic pot fi exprimate în sens probabilistic, cu alte cuvinte, procesul stochastic este guvernat de legi probabilistice. Deoarece variabila aleatoare se analizeazå dinamic ¿i de obicei în func¡ie de timp, pentru termenul de proces stochastic se utilizeazå ¿i no¡iunea de func¡ie aleatoare. Astfel un proces stochastic comportå o familie de variabile aleatoare notat cu X t( , )ω , în care parametrul t reprezintå, de obicei, timpul.

Mårimea ω ∈Ω , unde Ω este mul¡imea tuturor evenimentelor posibile, exprimå caracterul aleator. Atât X t( , )ω cât ¿i t parcurg mul¡imea numerelor

naturale sau întregi. Pentru t fixat, X t( , )ω este o variabilå aleatoare, iar pentru

ω fixat, X t( , )ω este o func¡ie de t numitå realizarea (traiectoria) procesului

stochastic. De exemplu X t( , )ω poate så reprezinte numårul de valori dintr-un

¿ir de debite, numårul de vectori de vitezå ai apei din sec¡iunea unui râu dependen¡i de timp.

Datoritå ordonårii cronologice, ¿irul de valori de debite constituie o serie de timp sau o realizare par¡ialå din mai multe realizåri posibile ale procesului stochastic. Spunem cå este vorba de o realizare par¡ialå, deoarece în cele mai multe cazuri procesul stochastic este infinit, în timp ce seriile de timp sunt totdeauna finite (datoritå duratei finite a observa¡iilor).

De exemplu, putem afirma cå scurgerea unui râu într-o sec¡iune observatå este infinitå, în timp ce e¿antionul de debite înregistrate este finit.

Figura 1.8,a aratå douå realizåri posibile ale unui proces stochastic, alcåtuite din observa¡ii efectuate la momente de timp discrete. Chiar dacå este vorba de o serie discretå, se obi¿nuie¿te reprezentarea ei sub formå continuå (fig.1.8,b) pentru a avea o imagine de ansamblu a configura¡iei seriei ¿i pentru a observa mai u¿or succesiunea valorilor mari sau mici. ¥n cursul de fa¡å seriile discrete se vor reprezenta, de asemenea, sub formå de linie continuå.

20

¥n statisticå cuvântul stochastic este sinonim cu aleator, dar în hidrologie acesta este utilizat cu un sens special, referindu-se la serii de timp care sunt par¡ial aleatoare. Astfel, hidrologia stochasticå face legåtura dintre metodele deterministe ¿i cele probabilistice.

¥n hidrologia deterministå variabilitatea procesului hidrologic în timp se presupune a fi total explicatå, eventual cu ajutorul altor variabile sau constante ale modelului.

Fig. 1.8. Douå realizåri ale unui proces stochastic discret (a) reprezentate sub formå continuå (b).

¥n hidrologia probabilisticå timpul nu existå, variabilitatea unui proces

hidrologic fiind exprimatå numai sub formå de probabilitå¡i de egalare sau depå¿ire a unei mårimi.

¥n hidrologia stochasticå ordinea în care apar observa¡iile unei variabile hidrologice este crucialå, timpul fiind o variabilå independentå.

Tipuri importante de procese stochastice sunt procesele sta¡ionare (cap. 3) ¿i procesele Markov. Un proces Markov este un proces stochastic în care cunoa¿terea dezvoltårii ulterioare este determinatå de stadiul prezent.

Så presupunem cå în momentul t ∈τ procesul stochastic X t( , )ω ia valoarea

din spa¡iul stårilor Ω Ω( )ω ∈ . Dacå cunoa¿tem func¡iile de reparti¡ie ale

variabilelor aleatoare X t( , )0 ω , X t( , )1 ω , … , X tm( , )ω la diferite stadii de

timp t t tm0 1< < <... , atunci func¡ia de reparti¡ie a variabilei aleatoare X t( , )ω la

timpul poate fi calculatå numai pe baza celei de la timpul . t tm> tmDe exemplu, fie un lac de acumulare care con¡ine cantitatea de apå

X tm( , )ω la începutul al intervalului de timp tm ( )t t tm m, + ∆ . ¥n acest

21

interval afluxul de apå este Z tm( , )ω , iar defluxul o cantitate fixå M. Expresia

bilan¡ului hidrologic aratå faptul cå la momentul t t tm= + ∆ (deci la sfâr¿itul

intervalului) volumul de apå din lac este determinat cu ajutorul rela¡iei . ( )X t t X t Z t Mm m m+ = + −∆ , ( , ) ( , )ω ω ω

Prin metode adecvate se poate stabili probabilitatea ca apa din lacul de acumulare så nu depå¿eascå o anumitå valoare limitå y. Cantitå¡ile de apå Z t( , )ω , care constituie afluxul de apå, sunt aleatoare ¿i independente una fa¡å

de celelalte la diferite valori ale timpului t. Parametrul t parcurge în cazul unui lan¡ Markov numai o mul¡ime discretå de valori întregi crescåtoare.

1.5. STAºIONARITATE ªI ERGODICITATE ¥n general, speran¡a matematicå a unui proces stochastic este

compuså dintr-o mul¡ime de speran¡e matematice corespunzåtoare fiecårei pozi¡ii în timp, adicå . ¥n mod general mul¡imea varian¡elor

este alcåtuitå din . Se noteazå cu

X X1 2, , ...

E X E X( ), ( ), ...1 2var( ), var( ), ...X X1 2 µt tE X= ( )

t k

¿i

pentru a reprezenta speran¡ele matematice ¿i

varian¡ele corespunzåtoare.

σ t Xt t2 1 2= =var( ), , , ...

Consideråm douå momente de timp consecutive t ¿i t - k. Covarian¡a dintre variabilele ¿i este reprezentatå de Xt Xt k− cov ( ) cov( , )t tk X X= − .

Covarian¡a descrie dependen¡a liniarå a unui proces stochastic. Un proces stochastic este sta¡ionar în medie sau sta¡ionar de ordin întâi dacå

speran¡a matematicå nu variazå cu timpul, adicå: E X E X E X E Xt( ) ( ) ... ( ) ( ) . ( . )1 2 1 43= = = = = µ

¥n mod similar dacå var( este o constantå, atunci

procesul stochastic este sta¡ionar în varian¡å.

) , , , ...X tt = =σ 2 1 2

Un proces stochastic este sta¡ionar în covarian¡å dacå covarian¡a este independentå de pozi¡ia t, fiind dependentå numai de decalajul de timp numit aici lag : k

cov ( , ) cov ( ) . ( . )X X kt t k− = 1 44

Un proces stochastic este numit sta¡ionar de ordinul doi dacå este sta¡ionar în

medie ¿i în covarian¡å (sta¡ionaritatea în covarian¡å implicå sta¡ionaritatea în varian¡å). Sta¡ionaritatea de ordinul doi se mai nume¿te sta¡ionaritate în sens larg sau procesul este numit larg sta¡ionar.

22

Sta¡ionaritatea în covarian¡å a seriilor hidrologice nu implicå întotdeauna sta¡ionaritatea în medie. Dacå momentele centrate de ordin mai mare (ordinul 3, 4, ...), ale seriilor ob¡inute prin decalarea seriei ini¡iale cu un decalaj ( ,

unde , sunt independente de timp dar depind de , atunci procesul

stochastic este sta¡ionar de ordin superior (3, 4,...). Aceasta implicå, de asemenea, sta¡ionaritatea în medie ¿i în covarian¡å. Procesul stochastic de acest fel este numit puternic sta¡ionar, sau sta¡ionar în sens strict. Reciproc, dacå o anumitå proprietate din cele enumerate (medie, varian¡å, covarian¡å) sunt dependente de timp, atunci este vorba de un proces nesta¡ionar.

)lag kk = 1 2, ,... lag

Practica hidrologicå aratå faptul cå deseori un proces poate fi sta¡ionar din punct de vedere al unui proprietå¡i ¿i nesta¡ionar din punct de vedere al alteia. ¥n practicå, procesele stochastice sunt considerate sta¡ionare, chiar dacå proprietå¡ile de sta¡ionaritate se men¡in numai pe un domeniu finit, deoarece nici un proces nu începe exact de la - ∞ ¿i nici nu se sfâr¿e¿te la + ∞ .

Tråsåtura definitorie a unui proces stochastic sta¡ionar constå în faptul cå media ¿i varian¡a sunt invariante în raport cu timpul, iar covarian¡a nu depinde de originea citirii acesteia. O astfel de tråsåturå sugereazå ideea determinårii cu precizie satisfåcåtoare a caracteristicilor probabilistice pe baza unei singure realizåri, cu condi¡ia ca så existe o serie suficient de extinså în timp. Procesele hidrologice în care cauzele varia¡iilor sunt independente de timp sunt considerate sta¡ionare.

Procesele sta¡ionare pot fi divizate în douå clase: ergodice ¿i neergodice. Dacå proprietå¡ile tipice de timp ale unui proces stochastic X t( , )ω determinate

pe baza unei singure realizåri sunt aproximativ egale cu corespondentele lor ob¡inute pe întreaga mul¡ime de realizåri posibile, spunem cå acest proces este ergodic. Dacå condi¡ia de mai sus nu se respectå, atunci procesul stochastic este neergodic.

Lipsa de ergodicitate a unui proces stochastic sta¡ionar constå în faptul cå în structura procesului î¿i manifestå deseori prezen¡a o variabilå aleatoare obi¿nuitå.

Se considerå un proces dinamic sta¡ionar definit astfel: Zt

Z Xt t Y= + , (1.45)

unde: X t este un proces sta¡ionar ergodic;

Y - variabilå aleatoare obi¿nuitå; ¿i Y - nu sunt corelate între ele. X t

23

Media procesului este Zt m m mz x y= + , iar func¡ia de corela¡ie este

(cap. 1.2 ¿i cap. 3). k kz x yvar+k ( )τ

( ) ( )τ τ= 2

astProcesul stoch ic este sta¡ionar dar nu ¿i ergodic, deoarece fiecare

realizare se va deosebi de celelalte (va avea valori tipice diferite în timp) în func¡ie de valoarea pe care o va lua

Ztvar y2

Y . kz( )τ

Forma corelogramei (fig.1.9) la care då na¿tere varia¡ia func¡iei de corela¡ie kz ( )τ în compara¡ie cu varia¡ia func¡iei de corela¡ie kx ( )τ aratå cå kx ( )τ

tinde cåtre zero când τ →∞ , iar în acelea¿i condi¡ii . kx y( ) varτ → 2var2 y

τ

kx ( )τ

Fig.1.9. Corelograme teoretice ale func¡iilor de corela¡ie a

unui proces sta¡ionar neergodic kz ( )τ ¿i a unuia ergodic kx ( )τ .

Pe måsurå ce intervalul de timp dintre valorile func¡iei de corela¡ie cre¿te,

legåtura stochasticå dintre aceste valori scade necontenit iar func¡ia de corela¡ie

kz ( )τ tinde cåtre constanta . Prin urmare, procesul stochastic este ¿i

ergodic, dacå ¿i numai dacå reprezintå o constantå. Dacå media de timp depinde de valoarea pe care o ia variabila aleatoare , conchidem cå procesul stochastic nu este ergodic.

vary2 Zt

YY

Zt¥n practicå lipsa de ergodicitate se constatå observând cå de la un moment

dat func¡ia de corela¡ie råmâne constantå, semn cå în componen¡a procesului mai existå o variabilå aleatoare responsabilå de media sa.

Un argument în favoarea ergodicitå¡ii unui proces sta¡ionar (Mihoc et al., 1978) îl constituie tendin¡a de amortizare spre zero a func¡iei de corela¡ie când τ →∞ . ¥n practica hidrologicå acest lucru este greu de verificat deoarece nu se dispune de serii de timp care så tindå la infinit. De aceea se considerå

24

satisfåcåtoare concluzia stabilitå pe baza formei pe care o au corelogramele func¡iilor de corela¡ie ale componentelor seriilor de timp.

1.6. INDEPENDENºA STOCHASTICÅ

Pentru hidrologia stochasticå este de o deosebitå importan¡å în¡elegerea no¡iunii de variabilå aleatoare independentå. ¥n teoria probabilitå¡ilor se demonstreazå cå douå evenimente A ¿i B sunt independente dacå ¿i numai dacå:

( )P A B P A P BI = ⋅( ) ( ) . ( . )1 46

¥ntr-adevår, dacå ¿i P A( )≠0 P B( )≠0 ¿i dacå A ¿i B sunt independente

atunci se poate scrie:

( )P A B

P A BP B

P A P BP B

P A( / )( )

( ) ( )( )

( )= =⋅

=I

¿i P B A P B( / ) ( ) . ( . )= 1 47

Realizarea evenimentului A nu influen¡eazå în nici un fel realizarea

evenimentului B ¿i invers. Se poate spune cå n evenimente sunt

independente, dacå pentru orice numår r de evenimente (

A A An1 2, , ... ,r n≤ ), probabilitatea

intersec¡iei celor r evenimente este egalå cu produsul probabilitå¡ilor fiecårui eveniment luat individual. Se remarcå faptul cå independen¡a fiecårui cuplu de câte douå evenimente, din cele n, nu este suficientå pentru independen¡a celor n evenimente luate împreunå.

Fie variabilele aleatoare x ¿i y cu urmåtoarele distribu¡ii de probabilitå¡i:

xx xp p

yy yq q

n

n

m

m

1

1

1

1

......

,......

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Variabilele aleatoare x ¿i y sunt independente dacå :

[ ]P x x y y P x x P y y p qi j i j i j( ) ( ) ( ) ( ) , ( .= = = = ⋅ = =I 1 48 )

unde: i n j m= =1 1, , , . Independen¡a variabilelor se extinde la orice numår finit de variabile, fie ele:

25

Xx x

p pu ru

unu

unuu

u

1

11

...

..., ,

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ =

¿i revine la :

[ ]P X x X x X x

P X x P X x P X x

j jr

jr

j jr

jr

r

r

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( ), (

1 1 2 2

1 1 2 21 2

1 21 49

= = = =

= = ⋅ = ⋅ =

I I I

. )

unde: j n kk k= =1 1, , ,r .

Este evident cå, în exemplul privind nivelurile sau debitele înregistrate nu se realizeazå condi¡ia de independen¡å stochasticå dintre evenimentele succesiv înregistrate.

Conform celor de mai sus, douå componente x1 ¿i x2 ale unei variabile

aleatoare bidimensionale X x x= ( , )1 2 sunt independente stochastic, dacå ¿i

numai dacå:

[ ]P x A x A P x A P x A( ) ( ) ( ) ( ), ( .1 1 2 2 1 1 2 2 1 50∈ ∈ = ∈ ⋅ ∈I )

pentru orice mul¡imi ¿i . A1 A2Pentru orice mul¡imi ¿i este valabilå rela¡ia: A1 A2

P x A x AP x A P x A

P x AP x A( , )

( ) ( )( )

( ). ( .1 1 2 21 1 2 2

2 21 1 1 51∈ ∈ = )

∈ ⋅ ∈∈

= ∈

Deci, cunoscând faptul cå x A2 2∈ , nu se influen¡eazå în nici un fel

probabilitatea ca x A1 1∈ ¿i astfel se poate afirma cå x1 ¿i x2 sunt

independente stochasticå. O consecin¡å importantå pentru hidrologia stochasticå afirmå faptul cå func¡ia comunå de distribu¡ie a unei variabile aleatoare bidimensionalå X x x= ( , )1 2 este produsul func¡iilor de distribu¡ie a

variabilelor aleatoare scalare componente; dacå x1 ¿i x2 sunt independente:

F x x F x F x( , ) ( ) ( ). ( .1 2 1 1 2 2 1 52 )= ⋅

Dacå A x1 1= −∞( , ) x2 ¿i A2 = −∞( , ) , atunci

26

[ ] [ ] [ ] [ ]

P x x x x

P x x P x x F x F x1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 53

∈ −∞ ∈ −∞ =

= ∈ −∞ ⋅ ∈ −∞ = ⋅

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( ) ( ). ( .

I

)

Consecin¡a de mai sus este similarå ¿i se poate demonstra în cazul func¡iei

comune de densitate a variabilei aleatoare continue X x x= ( , )1 2 :

x1 ¿i x2 independente ⇔ f x x f x f x( , ) ( ) ( ). ( . )1 2 1 1 2 2 1 54= ⋅

Dacå X x x= ( , )1 2 este o variabilå aleatoare discretå, în cazul func¡iei

comune de probabilitate, atunci:

x1 ¿i x2 independente ⇔ p x x p x p x( , ) ( ) ( ). ( .1 2 1 1 2 2 1 55 )= ⋅

Dacå condi¡ia de independen¡å nu se realizeazå, atunci între variabile existå

o anume structurå de dependen¡å serialå, procesul respectiv fiind numit proces stochastic dependent serial ¿i în mod corespunzåtor serie de timp dependentå serial.

Revenind la exemplul precedent se poate afirma pe baza rezultatelor din practicå cå în cazul celor douå variabile aleatoare scalare (niveluri ¿i debite) nu existå independen¡å stochasticå. Dacå x1 ¿i x2 sunt independente atunci

ρ12 0 0= . sau valoarea lui ρ12 este foarte aproape de zero.

27

2. SERIILE DE TIMP HIDROLOGICE.

NOºIUNI GENERALE Luând în considerare no¡iunea de proces stochastic (cap.1.4) putem defini

seria de timp ca fiind o realizare a procesului stochastic. ¥n naturå se desfå¿oarå continuu procese ¿i fenomene hidrologice care, în ciuda bunei cunoa¿teri fizice, comportå numeroase incertitudini cantitative atât în spa¡iu cât ¿i în timp. Din acest punct de vedere fenomenele ¿i procesele hidrologice constituie procese stochastice având drept realizåri (în sens probabilistic) diverse serii de timp hidrologice.

2.1. DEFINIºII ªI CLASIFICÅRI

O serie de timp hidrologicå este o succesiune cronologicå de observa¡ii

efectuate asupra unei variabile hidrologice ¿i care poate fi caracterizatå prin anumite proprietå¡i statistice. ¥n mod conven¡ional, scurgerea timpului este reflectatå de momente sau intervale de timp reprezentate prin numere întregi ordonate crescåtor. Debitele maxime sau minime zilnice din timpul unui an, debitele medii lunare pe o perioadå multianualå, seria con¡inutului de oxigen dizolvat, nivelul mediu zilnic al unui lac sunt exemple de serii de timp.

O serie de timp poate fi în mod explicit o func¡ie de timp sau poate fi o func¡ie de o anumitå variabilå care înlocuie¿te timpul. De exemplu, måsura lå¡imii albiei minore a unui râu sau gradul de rugozitate al talvegului în func¡ie de distan¡a de la izvor, permeabilitatea sau porozitatea rocilor måsurate într-un foraj sunt variabile hidrologice, fiecare fiind o func¡ie de coordonate spa¡iale succesive.

Având în vedere coordonate spa¡io-temporale, observa¡iile hidrologice pot fi reprezentate sub forma unei matrici tridimensionale, în care cele trei dimensiuni corespund urmåtoarelor trei elemente: specificarea valorii variabilei hidrologice, specificarea locului de înregistrare ¿i precizarea momentului de timp în care s-a efectuat înregistrarea (fig. 2.1). Men¡ionåm cå specificarea exactå a locului de înregistrare a veriabilei hidrologice presupune cunoa¿terea latitudinii, longitudinii (sau a altor coordonate plane) ¿i a altitudinii fa¡å de un anumit niv el de referin¡å. ¥n¡elegerea naturii tridimensionale a datelor hidrologice ajutå la clarificarea no¡iunilor de serie de timp unidimensionalå ¿i serie de timp multidimensionalå.

28

x xxx x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x

x

x

x

x x x x x

x x x x x x

x

x

xx

x

xx

x

Valoarea unui parametrula un moment dat si intr-un

anumit loc.Locuri diferite

Parametri

Timp

Fig. 1. Natura tridimensionala a datelorgeografice.

Loc de înregistrare sau tip de variabilå inregistratå

Timp

Valoarea variabilei

Valoarea unei variabile hidrologice la un moment dat ¿i într-un anumit loc.

Fig. 2.1. Matricea tridimensionalå a datelor hidrologice.

O serie de timp este numitå unidimensionalå sau scalarå, dacå observa¡ia

realizatå la un moment de timp dat t este un singur numår real. Seria de timp scalarå poate fi reprezentatå astfel: xt

x x x x xt T t1 2, , . . . , , . . . , = , t ∈ Z . (2.1) unde: Z este o submul¡ime finitå de T elemente a mul¡imii numerelor întregi, Z ⊂ Z.

O serie de timp este numitå multidimensionalå, sau serie de timp-vector, dacå observa¡ia de la momentul de timp t reprezinå o mul¡ime ordonatå de n numere reale. Seria de timp-vector, poate fi reprezentatå astfel:

t , t ∈ Z . (2.2) x x x Xt t nt1 2, , . . . , =unde: Z ⊂ Z ¿i n>1.

¥n cazul unei serii de timp multidimensionale hidrologice n reprezintå numårul de variabile hidrologice înregistrate în acela¿i loc ¿i în acela¿i moment, sau numårul de locuri în care s-a înregistrat o singurå variabilå hidrologicå în acela¿i moment. Un asemenea tip de serie este, de exemplu, seria de observa¡ii înregistrate la ore standard (niveluri, precipita¡ii, temperatura apei etc.).

¥n figura 2.2 se reprezintå o serie hidrologicå multidimensionalå de trei variabile (precipita¡ii areale, evapora¡ie poten¡ialå arealå ¿i debite) înregistrate sau calculate lunar la sta¡ia Blaj de pe râul Târnava. Debitele medii lunare ale Mure¿ului de la diverse sec¡iuni, dar înregistrate pentru acelea¿i momente de timp formeazå o altå serie de timp-vector (fig.2.3).

29

mm

0

40

80

120

160

0 10 20 30 40 50 60 70

1 2 3

luni

Fig. 2.2. Serie hidrologicå tridimensionalå de valori lunare înregistrate la Blaj /Târnava

(1973-78): 1 - precipita¡ii bazinale, 2 - evapora¡ie poten¡ialå bazinalå, 3 - debite.

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60

1 2 3 4

m3/s

luni

Fig. 2.3. Serie multidimensionalå de debite lunare ale Mure¿ului (1976-1981)

la sta¡iile 1 - Stânceni, 2 - Ocna Mure¿, 3 - Alba Iulia, 4 - Arad. Având în vedere figura 2.1, în cazul unei serii de timp scalare pe axa locului

de înregistrare se fixeazå un punct (un punct de observa¡ie). O serie de timp-vector presupune în cazul unei singure variabile mai multe puncte de observa¡ie (fig.2.3), sau în cazul unui singur loc de observa¡ie înregistrarea a mai multor variabile (fig.2.2). Spa¡iul de realizare al observa¡iilor hidrologice este mul¡imea

numerelor reale ℜ în cazul seriilor de timp scalare ¿i mul¡imea ℜn în cazul

seriilor de timp-vector. Aproape toate variabilele hidrologice sunt continue în

30

timp, înså observa¡iile hidrologice care le reprezintå formeazå fie serii de timp continue fie discrete.

Seriile discrete se ob¡in fie prin cumularea sau medierea unor valori dintr-un interval de timp men¡inut constant, fie prin selectarea unor observa¡ii la anumite momente de timp men¡inute echidistante (sau nu). ¥n primul caz seriile se numesc cumulate sau integrate. De exemplu seria sumelor anuale de precipita¡ii, care se ob¡ine prin cumulare, respectiv seria debitelor medii lunare ale unui râu care se ob¡ine prin opera¡ia de mediere.

Prin selectarea unor valori la intervale de timp echidistante dintr-o serie continuå se ob¡ine o serie discretå e¿antionatå (de exemplu seria ob¡inutå prin selectarea observa¡iilor de la orele climatice în cadrul unei sta¡ii meteorologice cu program de observa¡ii orar). Dacå se efectueazå observa¡ii asupra unei variabile hidrologice la intervale de timp inegale se ob¡ine o serie intermitentå (de exemplu observa¡iile hidrochimice efectuate în general bilunar la sec¡iunea unui râu, dar la un numår de zile variabil între douå înregistråri consecutive). Variabilele discrete ¿i seriile discrete sunt, în general, aproximåri artificiale, efectuate din ra¡iuni practice, ale variabilelor ¿i seriilor hidrologice continue.

¥n cazul unei serii hidrologice continue, intervalul de timp dintre observa¡iile consecutive este egal cu zero. Printr-o înregistrare de forma x xi i, +∆t, 2∆t

etc. rezultå o serie discretå echidistantå, unde reprezintå observa¡ia de la

momentul i, iar ∆t intervalul dintre douå observa¡ii consecutive. ¥n practicå sunt considerate serii hidrologice continue cele ob¡inute cu ajutorul unor instrumente cum ar fi: pluviograful, limnigraful, termograful etc. ¥n realitate ¿i aceste serii sunt discrete, continuitatea scurgerii timpului fiind aproximatå prin rezolu¡ia instrumentului de înregistrare.

xi +xi

Selectarea intervalului ∆t pentru ob¡inerea seriilor discrete este, în general, un compromis dintre gradul de acurate¡e al informa¡iei dorite ¿i gradul de variabilitate al procesului hidrologic urmårit. Lungimea intervalului dintre douå observa¡ii consecutive se va stabili astfel încât så se ob¡inå o bunå descriere a distribu¡iei de frecven¡å a valorilor. Cu cât ∆t este mai mic, cu atât mai mult se reduce diferen¡a dintre proprietå¡ile seriei continue ¿i proprietå¡ile seriei discrete. Pentru studiul viiturilor ∆t poate fi o orå sau câteva minute (în bazinele mici), pentru modelarea de lungå duratå a rezervei de apå din rezervoare ∆t poate fi de ordinul a unu, trei sau ¿ase luni, iar pentru investigarea tendin¡elor de lungå duratå a variabilelor hidrologice se utilizeazå de regulå serii de valori anuale.

31

2.2. CARACTERISTICI ALE SERIILOR DE TIMP HIDROLOGICE

2.2.1. CARACTERISTICI STATISTICE

Caracteristica statisticå de bazå a unei serii de timp x , t = 1,...,N este media

e¿antionului notatå cui

x :

xN

xtt

N= ∑

=

12 3

1. ( . )

unde: N este lungimea seriei hidrologice.

Media x a e¿antionului este estimatorul mediei µ al popula¡iei statistice. Ea

caracterizeazå tendin¡a centralå a lui xt ¿i aratå localizarea seriei privitå ca întreg.

Varian¡a (distribu¡ia e¿antionului) notatå cu s2 este cea de-a doua caracteristicå importantå a seriei de timp, fiind datå de :

sN

x xtt

N2 2

1

12 4= −∑

=( ) . ( . )

Pentru serii relativ scurte estimatorul varian¡ei popula¡iei statistice, în

general utilizat în hidrologie este dat de :

sN

x xtt

N2 2

1

11

2 5=−

−∑=

( ) . ( . )

Devia¡ia standard (abaterea medie patraticå) este s s2 = .

Coeficientul de varia¡ie al e¿antionului este c sv x= / . Valorile s ¿i s2 sunt

estimatorii σ ¿i σ2

ale popula¡iei statistice. Devia¡ia standard s ¿i coeficientul de varia¡ie cv måsoarå dispersia sau gradul de împrå¿tiere al valorilor în jurul mediei x .

Coeficientul de asimetrie al unei serii de timp este dat de : cs

cN

x x

ss

tt

N

=−∑

=

1

2 6

3

13

( ). ( . )

32

Pentru serii hidrologice relativ scurte se recomandå utilizarea formulei:

cN x x

N N ss

tt

N

=−∑

− −=

( )

( )( ). (

3

131 2

27. )

Func¡ia de distribu¡ie prezintå o asimetrie de dreapta dacå cs < 0 ¿i inverså

dacå cs > 0. Dacå cs = 0 atunci func¡ia de distribu¡ie a seriei xt va fi centratå simetric în jurul mediei.

Func¡ia de autocovarian¡å ck indicå gradul de dependen¡å (autodependen¡å) liniarå a unei serii de timp

cN

x x x xk t t kt

N k= − −∑ +

=

−12 8

1( )( ) . ( . )

unde: k reprezintå intervalul de timp lag dintre perechile corelate ; ( )x xt t k, +

0 ≤ <k N .

Pentru k = 0, c0 este chiar varian¡a s2 . Pentru serii hidrologice scurte N de la

numitor se recomandå a fi înlocuit cu N-k. O måsurå adimensionalå a

dependen¡ei liniare se ob¡ine prin raportul dintre ck ¿i c0..

Coeficientul de autocorela¡ie rk reprezintå autocorela¡ia pentru decalajul k (lag k), numit ¿i func¡ia de autocorela¡ie (ACF):

rcc

x x x x

x xk

kt t k

t

N k

tt

N= =− −∑

−∑

+=

−

=

0

1

2

1

2 9( )( )

( ). ( . )

Reprezentarea graficå a lui rk în func¡ie de k se nume¿te corelogramå.

Coeficientul de autocorela¡ie rk al e¿antionului este estimatorul coeficientului de

autocorela¡ie ρk al popula¡iei statistice. Cea mai utilizatâ måsurå a dependen¡ei

temporale a unei serii este coeficientul de corela¡ie serialå de ordinul întâi r1

pentru e¿antion, respectiv ρ1 pentru popula¡ia statisticå. ¥n hidrologie se

folose¿te ca estimator al func¡iei de autocorela¡ie ρk expresia:

33

rx x x x

x x x xk

t t t k t kt

N k

t t t k t kt

N k

t

N k=

− −∑

− −∑∑⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+ +=

−

⋅ + +=

−

=

−

( )( )

( ) ( )

. (/1

2

11

1 2 2 10. )

unde:

xt este media e¿antionului x1 , . . . , xN-k ;

xt k+ - media e¿antionului xk+1 , . . . , xN .

Pentru k = 0 din (2.9) ¿i din (2.10) rezultå rk = 1, deci întotdeauna corelograma va avea originea egalå cu unu ¿i în general − ≤ ≤1 r 1k . Coeficientul

de corela¡ie serialå rk al ecua¡iei (2.10) este estimatorul verosimilitå¡ii maxime al

lui ρk dacå valorile au distribu¡ie normalå. ( )x xt t k, +

Pe lângå caracteristicile statistice prezentate (media, varian¡a, abaterea medie påtraticå, coeficientul de varia¡ie, coeficientul de asimetrie etc) în hidrologie se utilizeazå ca ¿i caracteristicå statisticå generalå distribu¡ia de probabilitate a

observa¡iilor x1, ..., xn. Aceasta se determinå pe baza distribu¡iei de frecven¡å a e¿antionului sau pe baza unei func¡ii de distribu¡ie teoreticå.

2.2.2. CARACTERISTICI ALE SERIILOR HIDROLOGICE ANUALE Seriile hidrologice anuale sunt cele mai simple din punct de vedere al

caracteristicilor statistice. Salas et al. (1980) au observat, analizând 1141 de serii de precipita¡ii din S.U.A., faptul cå precipita¡iile anuale, fiind independente în timp, sunt foarte apropiate de caracteristicile unui proces stochastic sta¡ionar.

Datele examinate au fost înregistrate pe ultimii 70-100 de ani. Caracteristica de independen¡å în timp aratå cå realizarea unei anumite cantitå¡i de precipita¡ii dintr-un an nu depinde de precipita¡iile din anii preceden¡i. Caracteristica de sta¡ionaritate indicå faptul cå proprietå¡ile statistice de bazå nu se schimbå în decursul timpului.

Coeficientul de autocorela¡ie de ordinul întâi calculat pe un interval de 54 de

ani în medie a fost foarte apropiat de zero (media r1 = 0.055). ¥n concluzie, mai pu¡in de 1 % din varia¡ia totalå a precipita¡iilor dintr-un an este legatå de precipita¡ia totalå din anul precedent. ¥n mod obi¿nuit pentru un interval de câteva decade, precipita¡iile anuale reprezintå o serie de timp independentå.

Debitele medii anuale pot fi independente sau dependente din punct de vedere stochastic. Aceastå tråsåturå este legatå de cåtre Salas et al. (1980) de

34

schimbårile anuale pe care le suferå stocul total de apå dintr-un bazin hidrografic. Dacå schimbårile sunt neglijabile atunci seria este independentå, iar dacå fluctua¡iile stocului de apå sunt însemnate de la un an la altul în raport cu media multianualå atunci seria este dependentå în timp.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

1 2 3 95%

rk 10 20 30

Fig. 2.4. Corelograme ale debitelor medii anuale înregistrate în perioada 1950 - 1992 pe râurile: 1- Cavnic / Cavnic, 2 - Vi¿eu / Poiana Bor¿a, 3 - Some¿u Mare / Rodna ¿i

limita de confiden¡å Anderson de 95 %.

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

1 2 95%

25 50 100 75rk

decalaj în timp = lag

decalaj în timp = lag

Fig. 2.5. Corelograme ale debitelor medii anuale ale fluviilor Dunårea / Or¿ova (1)

¿i Rin / Basel (2) înregistrate în perioada 1840-1990 ¿i limita de confiden¡å Anderson de 95%.

35

Prin urmare, dependen¡a în timp a unei serii de debite anuale este în mare måsurå o func¡ie de caracteristicile geologice ale bazinului, chiar în condi¡iile în care precipita¡iile anuale din bazin sunt independente stochastic (Haidu et al. 1995). Astfel, coeficientul de autocorela¡ie de ordinul întâi prezintå valori semnificative în cazul bazinelor hidrografice relativ mici, unde influen¡a alcåtuirii geologice (mai omogenå decât în cazul bazinelor mari) î¿i pune amprenta puternic asupra caracteristicilor scurgerii de la un an la altul (fig.2.4).

Pentru debitele medii anuale ale Dunårii ¿i Rinului (fig.2.5) se observå cå rk depå¿e¿te rareori ¿i nesemnificativ limitele de confiden¡å de 95 % ale testului Anderson. ¥n general, în cazul bazinelor mari, influen¡a factorilor locali asupra scurgerii anuale sunt neglijabili în compara¡ie cu influen¡a factorilor generali de

ordin climatic. ¥n cazul debitelor medii anuale, coeficientul r1 ≈ 0.2 pentru 140 de râuri cu bazine mari alese arbitrar (Salas et al., 1980). Evapora¡ia anualå, precum ¿i precipita¡ia anualå efectivå sunt, de asemenea, procese sta¡ionare.

700

900

1100

1300

15000 30 60 90 120 150 180

timpul în ani m3/s

1975 1910

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

0 30 60 90 120 150 180

Fig. 2.6. Investigarea momentelor de rupturå a sta¡ionaritå¡ii cu ajutorul testului

1857 1888 1942

S/N

timpul în ani

Iwashima pentru debitele medii anuale ale Rinului / Kembs (1808-1990); S/N - curba semnalului de zgomot pentru 30 de ani.

36

ut

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 200 400 600 800 1000

mai 1918 mar

1904 nov 1941 iun

1978 timpul în luni

dec 1992 mai

1927 aug

1958 feb 1909

Fig. 2.7. Identificarea oscila¡iilor mediilor locale cu ajutorul testului Kendall - Mann în cazul precipita¡iilor lunare de la Lodeve (Fran¡a) înregistrate

în perioada 1902 - 1992 (Haidu ¿i Mercier, 1996).

S-a observat cå, pe måsurå ce se måre¿te seria anualå cre¿te probabilitatea apari¡iei neomogenitå¡ii ¿i a inconsisten¡ei. Men¡ionåm faptul cå, pe måsurå ce s-a îmbogå¡it fondul de date s-a pus tot mai acut problema identificårii ¿i analizei tendin¡elor locale, care nu par a fi datorate neomogenitå¡ii sau inconsisten¡ei. Sunt necesare noi investiga¡ii pentru a observa dacå schimbårile caracteristicilor statistice ale unor serii de timp sunt specifice pentru regiuni extinse ¿i dacå se coreleazå cu schimbårile climatice, locale sau regionale.

De asemenea, în cazul seriilor anuale sta¡ionare neergodice s-au observat rupturi ale sta¡ionaritå¡ii în anii în care literatura de specialitate men¡ioneazå schimbåri climatice bru¿te. Testul lui Iwashima pune în eviden¡å anii în care semnalul de zgomot S/N ia valori care indicå schimbåri bru¿te ale evolu¡iei seriei de timp (fig.2.6). Haidu ¿i Mercier (1996) utilizeazå pentru identificarea oscila¡iilor locale ale mediei testul Kendall - Mann. Curba u(t) calculatå pe baza acestui test pune în eviden¡å momentele de rupturå ale sta¡ionaritå¡ii (fig.2.7).

2.2.3. CARACTERISTICILE SERIILOR HIDROLOGICE PERIODICE Principalele caracteristici ale unei serii periodice (sezonierå, lunarå sau

zilnicå) sunt prezen¡a periodicitå¡ii cu una ¿i acea¿i perioadå în medie, în devia¡ia standard ¿i în asimetrie. Se presupune cå în prealabil eventuala inconsisten¡å ¿i neomogenitate au fost eliminate. ¥n plus o serie periodicå prezintå o structurå de corela¡ie temporalå care poate fi constantå sau periodicå. ¥n figura 2.8 se prezintå debitele medii ale Some¿ului la Satu Mare, calculate pentru diferite peroade de timp, pentru a ilustra grafic existen¡a periodicitå¡ii.

37

Se observå existen¡a periodicitå¡ii de 12 în cazul valorilor lunare (fig.2.8,a) ¿i de 4 în cazul valorilor anotimpuale (fig.2.8,b). Seria de timp ob¡inutå prin calcularea mediei anuale nu con¡ine periodicitate (fig.2.8,c).

0

400

800

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252

m3/s

a)

0

300

600

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84

luni m

3/s

b)

0

150

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

sezoane m

3/s

c)

ani Fig. 2.8. Debite medii lunare (a), sezoniere (b) ¿i anuale (c) ale Some¿ului la

Satu Mare înregistrate în perioada 1968 - 1988. Caracteristicile statistice periodice diferå de caracteristicile statistice de bazå

ale seriilor de timp privite ca întreg. Pentru a ¡ine cont de efectul periodicitå¡ii asupra caracteristicilor statistice, acestea trebuie determinate pentru fiecare

interval al anului. Consideråm seria periodicå xm,y unde m reprezintå anul iar y

reprezintå intervalul de timp. Se presupune cå m N= 1, ¿i y = 1,V (V = numårul

de intervale dintr-un an). Caracteristicile statistice x s csy y, ,2y se calculeazå

astfel:

xN

xy m ym

N= ∑

=

12 11

1, ; ( . )

38

sN

x xy m y ym

N2 2

1

11

2 12=−

−∑=

( ) ; (, . )

csN x x

N N sy

m y ym

N

y=

−∑

− −=

( )

( )( ). (

,3

131 2

2 13. )

Structura de corela¡ie a seriei de timp xm,y se determinå pentru fiecare interval y astfel:

rN

x x x x

s sk y

m y y m y k y km

N

y y k,

, ,( )( ). (=

− −∑

⋅

− −=

−

1

2 141 . )

unde: rk,y este coeficientul de corela¡ie serialå pentru lag k.

Dacå y - k < 1 atunci N se înlocuie¿te cu N - 1; xm,y-k se înlocuie¿te cu

xm-1,V+y-k ; x y k− se înlocuie¿te cu xV y k+ − .

O serie de timp periodicå se modelezå cu ajutorul unui model autoregresiv

cu coeficient constant sau cu ajutorul modelelor cu coeficien¡i periodici. Dependen¡a de timp a seriei periodice se examineazå dupå eliminarea periodicitå¡ii din medie ¿i din devia¡ia standard pe baza rela¡iei:

zx x

sm ym y y

y,

, ( . )=−

2 15

unde:

zm,y este noua serie standardizatå; x y - media periodicå;

sy - devia¡ia standard periodicå.

Se observå faptul cå în cazul seriei de valori lunare y = 12 (deci pentru

fiecare lunå a anului se va calcula media ¿i abaterea standard) iar pentru seria de valori anotimpuale vom avea nevoie de patru medii ¿i patru abateri standard corespunzåtor anotimpurilor primåvara, vara, toamna ¿i iarna. ¥n cadrul capitolului 5 se vor prezenta ¿i alte procedee de eliminare a sezonalitå¡ii.

39

Examinarea corelogramei rk,y a seriei zm,y oferå informa¡ii privind dependen¡a sau independen¡a stochasticå a seriei hidrologice.

2.2.4. CARACTERISTICILE SERIILOR HIDROLOGICE MULTIDIMENSIONALE

¥n cazul unei serii multidimensionale, caracteristicile statistice se pot

determina pentru fiecare serie în parte. Intervine în plus dependen¡a structuralå dintre cele n serii ale seriei multidimensionale, care se calculeazå sub forma coeficientului de corela¡ie serialå pentru diferite decalaje de timp.

Fie seriile xti( )

¿i xtj( )

, coeficientul de corela¡ie serialå pentru lag k dintre

cele douå serii este rkij

:

rx x x x

x x x xkij

ti

ti

t kj

t kj

t

N k

ti

ti

t kj

t kj

t

N k

t

N k=

− ⋅ −∑

− ⋅ −∑∑⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+ +=

−

+ +=

−

=

−

( ) ( )

( ) ( )

. (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )/

1

2 2

11

1 2 2 16. )

unde:

xti( )

este media primelor N-k valori ale seriei i;

xt kj+

( ) - media ultimelor N-k valori ale seriei j.

Coeficientul de corela¡ie serialå al unei serii bidimensionale (coeficientul de

intercorela¡ie) se reprezintå tot sub formå de corelogramå (figurile 2.9 ¿i 2.10) ca ¿i în cazul autocorela¡iei. Pentru interpretarea acestora så examinåm simultan figura 2.2 ¿i figura 2.9. ¥n cazul corela¡iei debite (i) - precipita¡ii bazinale (j),

(fig.2.9,1), r0ij = 0.428 iar r1

ijeste nesemnificativ. Prin urmare debitele lunare ¿i

precipita¡iile areale ale bazinului Târnava la Blaj se coreleazå pentru acelea¿i momente de timp. De exemplu debitele lunii mai depind de precipita¡iile

bazinale ale acelea¿i luni, dar bazinul fiind relativ mic (3650 km2) precipita¡iile

din aprilie nu influen¡eazå scurgerea din mai. Corelograma debite (i) - evapora¡ie poten¡ialå bazinalå (j), (fig.2.9,2), indicå

maximum r4ij

= -0.523 ceea ce aratå faptul cå debitele medii sunt inflen¡ate de evapora¡ia poten¡ialå bazinalå înregistratå cu patru luni mai devreme.

40

¥n cazul corelogramei debite Arad (i) - debite Ocna Mure¿ sau Alba Iulia (j),

(fig.2.10), maximul se înregistreazå pentru lag = 0 (r0ij

= 0.95) datoritå distan¡elor relativ mici dintre sta¡ii. Se remarcå o valoare suficient de mare

pentru lag = 1 (r1ij

= 0.55) ceea ce indicå faptul cå debitele medii lunare de la Arad sunt dependente de debitele medii ale lunii precedente înregistrate la Alba Iulia sau Ocna Mure¿.

r kij

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 2

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1 2

r kij

Fig. 2.9. Corelograme ale seriei multidimensionale din figura 2.2;

r kij pentru corela¡ia debite - preci-

pita¡ii (1), respectiv debite - evapo-ra¡ie poten¡ialå (2).

Fig. 2.10. Corelograme ale seriei multidimensionale din

figura 2.3; r kij pentru corela¡ia

debite Arad - Ocna Mure¿, respectiv Arad - Alba Iulia.

¥n capitolul 6 se va prezenta modul de valorificare al corela¡iei

multidimensionale pentru elaborarea prognozei. Pentru n serii componente ale seriei hidrologice multidimensionale structura

de corela¡ie serialå se reprezintå sub formå de matrice, coeficien¡ii de corela¡ie fiind calcula¡i pe baza formulei de mai jos:

)R

r r rr r r

r r r

k

k k kn

k k kn

kn

kn

knn

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11 12 1

21 22 2

1 2

2 17

. . .

. . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .

. . .

. ( . )

41

Dacå seria hidrologicå multidimensionalå este alcåtuitå din serii

unidimensionale periodice, atunci dependen¡a structuralå dintre seriile x ¿i

se determinå asfel:

m yi,

( )

xm yj,

( )

rN

x x x x

s sk yij

m yi

yi

m y kj

y kj

m

N

yi

y kj,

,( ) ( )

,( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( . )=

− ⋅ −∑

⋅

− −=

−

1

2 181

unde:

x yi( ) ¿i x y k

j−

( ) sunt mediile periodice ale intervalelor y, respectiv y-k;

s ¿i s - devia¡iile standard periodice pentru intervalele y, y-k. yi( )

y kj−

( )

Dacå y - k < 1, N se înlocuie¿te cu N - 1; se înlocuie¿te cu

; x se înlocuie¿te cu

xm y kj,

( )−

xm V y kj− + −1,

( )y k

j−

( ) xV y kj+ −

( ).

2.2.5. CARACTERISTICILE SERIILOR HIDROLOGICE INTERMITENTE Seriile hidrologice intermitente sunt seriile care pentru anumite intervale au

valorile egale cu zero sau cu o constantå. De exemplu, precipita¡iile orare sau

cele înregistrate la un anumit numår de minute sunt serii intermitente. Râurile

mici cu regim de secare sunt caracterizate tot prin serii intermitente.

Seriile intermitente pot fi considerate ca serii trunchiate ale unor serii de

timp neintermitente. ¥n figura 2.11 se reprezintå seria intermitentå de precipita¡ii

zilnice înregistrate în primele ¿ase luni ale anului 1962 la sta¡ia Octon (Fran¡a).

Prin adåugarea unei constante (100 mm) aceastå serie devine neintermitentå

(fig.2.11,b). Succesiunea perioadelor cu valori zero sau constante trebuie

examinatå dacå prezintå sau nu structurå de independen¡å. Studiul acestora

necesitå o metodologie avansatå, care poate fi deosebit de complexå în cazul în

care seria intermitentå con¡ine ¿i alte componente. Pânå în prezent încå nu s-a

stabilit o metodologie general acceptabilå pentru modelarea seriilor hidrologice

intermitente.

42

mm

02 5 05 0 07 5 0

1 0 0 0

0 3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 1 8 0

a)

timpul în zile

mm

03 0 06 0 09 0 0

1 2 0 0

0 3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 1 8 0

b)

timpul în zile

Fig. 2.11. Precipita¡iile zilnice înregistrate la Octon (Fran¡a) pe 6 luni ale lui 1962; a - seria intermitentå, b - seria neintermitentå.

2.3. COMPONENTELE SERIILOR DE TIMP HIDROLOGICE

O ipotezå foarte des utilizatå în cazul seriilor scalare se referå la aditivitate.

Conform acesteia, seria de timp xt este o realizare a procesului aleator xt ,

unde xt este suma a cinci componente:

– tendin¡a globalå ( )gt ;

– componenta tendin¡elor locale ( )lt ;

– componenta periodicå ( )pt ;

– varia¡iei episodice bru¿te sau salturi ( )bt ;

– componenta stochasticå sau devia¡ia ( )st .

Astfel seria de timp are forma: x g l p b st t t t t t= + + + + . (2.19)

43

¥n cazul ipotezei multiplicative seria de timp are forma:

x g l p b st t t t t t= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (2.20)

Se observå faptul cå prin logaritmarea ambilor membrii, acest model se

transformå în modelul aditiv. Sunt utilizate, de asemenea, reprezentåri mixte aditiv - multiplicative.

Modul de discretizare al seriei hidrologice influen¡eazå puternic prezen¡a sau absen¡a unora dintre aceste componente. De exemplu, în cazul seriei de sume anuale de precipita¡ii sau al scurgerii medii anuale, integrarea respectiv medierea valorilor va elimina componenta periodicå (diurnå sau sezonierå). Dacå pasul de timp folosit pentru discretizare nu depå¿e¿te o zi, orice serie hidrologicå naturalå va con¡ine componenta periodicå diurnå. ¥n cazul în care pasul de timp nu depå¿e¿te o lunå, seria hidrologicå naturalå va con¡ine componenta periodicå anualå.

¥n general informa¡ia con¡inutå de o serie discretå este legatå de procedeul de discretizare a procesului hidrologic continuu, dar ¿i de lungimea seriei luate în considerare. Strict legate de lungimea seriei sunt tendin¡a globalå ¿i

componenta tendin¡elor locale. De asemenea, pot sau nu så aparå evenimente

episodice bru¿te sau salturi (de exemplu viituri deosebite ¿i de duratå relativ scurtå).

O serie de timp hidrologicå poate så fie, de asemenea, neomogenå sau

inconsistentå. Neomogenitatea poate fi datoratå unor interven¡ii umane în bazin

care afecteazå variabilitatea naturalå a procesului hidrologic, iar inconsisten¡a este consecin¡a erorilor sistematice de înregistrare. Dacå se observå asemenea caracteristici înainte de începerea analizei propriu-zise ele trebuie eliminate, deoarece în viitor nu se a¿teaptå ca så continue sub aceea¿i formå. ¥n viitor, neomogenitatea ¿i inconsisten¡a pot så continue diferit sau pot så nu aparå deloc.

Tendin¡ele globale ¿i locale, precum ¿i salturile trebuie întotdeauna så fie justificate statistic ¿i så se bazeze pe studii care så dovedeascå variabilitatea naturalå a procesului hidrologic. Dacå aceste componente sunt consecin¡a interven¡iei antropice din bazin (schimbarea caracteristicilor morfometrice a bazinului sau a albiei, urbanizarea, schimbarea modului de utilizare a terenului, apari¡ia reten¡iilor artificiale, defri¿area etc.) care au schimbat regimul natural al procesului hidrologic, ele trebuie men¡ionate explicit.

44

Prin defini¡ie, tendin¡a globalå ( )gt , numitå ¿i tendin¡å secularå, reprezintå o

cre¿tere sau o descre¿tere monotonå continuå a nivelului general al seriei pe o perioadå de timp extinså. Dacå de exemplu urbanizarea se resimte în varia¡ia procesului hidrologic pe o lungå perioadå de timp, sub forma cre¿terii progresive a debitelor maxime, aceasta poate fi consideratå ca o tendin¡å secularå.

Spre exemplu så studiem varia¡ia de lungå duratå a debitelor medii anuale ale unor fluvii din Africa. Tendin¡a de de¿ertificare a regiunii Sahel se resimte clar în diminuarea debitelor medii anuale ale fluviilor Chari / Ndjamena ¿i Senegal / Kayes. ¥n anul 1971 debitele anuale ale lui Oubangui / Bangui (afluent al Zairului) situat în regiunea subecuatorialå suferå un salt negativ dupå care se pune în eviden¡å o tendin¡å negativå (fig.2.12). Debitele medii anuale ale Zairului / Kinshasa (regiunea ecuatorialå) suferå un salt pozitiv în 1962 dupå care tendin¡a este tot negativå ca ¿i în regiunea subecuatorialå ¿i în Sahel (fig.2.13). ¥n schimb în cazul Nilului la Aswan apare o schimbare bruscå a mediei multianuale ¿i a tendin¡ei ca urmare a construirii barajului în perioada 1964 - 1968. Acest lucru este confirmat de modul de varia¡ie a debitelor medii anuale din amonte, Nilul Alb / Malakal, unde nu se resimte nici un efect antropic în perioada respectivå (fig.2.14).

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 10 20 30 40 50

1 2 3 4 5 6 7

1969m

3/s

g t = 4653.6 - 74.15 t + 2.66 t2

g t = 4012.2 - 71.29 t

g t = 4821.9 - 2.6 t

g t = 832.5 - 18.0 t

1934 1990

Fig. 2.12. Tendin¡a globalå de diminuare a debitelor medii anuale ale fluviilor

din regiunea Sahel: 1 - Chari / Ndjamena, ( 600 000 km2, baz. lacului Ciad ),

2 - Oubangui / Bangui, (500 000 km2, baz. Zair, Africa Centralå), 3 - tendin¡å, 4 - Senegal / Kayes (157 400 km2, Mali); 5, 6, ¿i 7 - alte tendin¡e.

45

20000

30000

40000

50000

0 20 40 60 80

1 2 3

m3/s 1962

g t = 49300 - 467.37 t g t = 37794 + 38.15 t

1903 1983

Fig. 2.13. Varia¡ia debitelor medii anuale ale fluviului Zair / Kinshasa - 3 475 000 km

2 (1), având tendin¡e locale diferite în perioada 1903 - 1958 (2) ¿i 1959 - 1983 (3).

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

1 2 3 4

m3/s

g = 3848 - 41.04 t + 0.34 tt2

1964-1968

g = 816 + 3.39 tt

1871 1984

Fig. 2.14. Varia¡ia de lungå duratå a debitelor medii anuale ale Nilului la Aswan baraj - 1 (Egipt) ¿i a Nilului Alb la Malakal - 2 (1080 000 km

2, Sudan);

3 ¿i 4 - tendin¡e.

¥n cazul unor serii de timp relativ scurte apar adesea tendin¡e sau quasicicluri conjuncturale, datoritå procedeului de e¿antionare ¿i discretizare. Aceste tendin¡e sau quasicicluri se dovedesc deseori a fi aparente, în cazul în care se måre¿te semnificativ perioada de observa¡ii luatå în considerare. De aceea apare ca o necesitate testarea statisticå ¿i justificarea fizicå a acestor componente.

¥n cazul fluviului Niger situat tot în Sahel se observå faptul cå debitele medii la Koulikoro (în zona de izvoare) sunt mai ridicate decât la Dire, unde chiar dacå suprafa¡a bazinalå este de aproape trei ori mai mare se resimte efectul

46

uscåciunii ¿i evapora¡iei puternice specifice Sahelului (fig. 2.15). De asemenea, se observå existen¡a unei inflexiuni a evolu¡iei debitelor în perioada 1943 - 1944. Prin urmare seriile se ajusteazå mai bine cu ajutorul a douå tendin¡e. Prima parte a seriei de la Dire se ajusteazå cu o tendin¡å liniarå care pare a fi doar conjuncturalå deoarece prima parte a seriei de la Koulikoro, cu care se coreleazå, fiind mai lungå, dovede¿te existen¡a unei tendin¡e parabolice.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1 2 3 4 5 6

m3

/s g = 1356.3 + 38.51 t - 1.21 tt

2 g = 947.4 +76.05 t - 1.9 tt2

g = 810.3 + 53.61 t - 1.61 tt2

g = 1475.8 - 34.54 ttani

1907 1990

Fig. 2.15. Varia¡ia de lungå duratå a debitelor medii multianuale ale fluviului Niger la Koulikoro - 1, (120 000 km

2, Mali) ¿i la Dire - 4 (340 000 km

2, Mali);

2, 3, 5 ¿i 6 - tendin¡e locale.

Debitele medii anuale ale Nigerului manifestå acea¿i tendin¡å generalå de diminuare specificå tuturor râurilor din Sahel.

Tendin¡ele periodice sunt foarte comune în seriile de timp hidrologice. Precipita¡iile, scurgerea râurilor, evapora¡ia con¡in tendin¡e periodice cu perioada helio-geofizicå de un an. Tendin¡ele sezoniere sau diurne caracterizeazå, de asemenea, variabilitatea naturalå a proceselor hidrologice. Dupå cum s-a mai spus e¿antionarea ¿i discretizarea pot så atenueze prezen¡a acestora în seria de timp. Cauza apari¡iei acestora ¡ine de un complex de factori helio-geofizici sau astronomici. Condi¡iile regionale sau locale influen¡eazå manifestarea acestor cauze, astfel încât periodicitatea absolutå este u¿or deformatå, rezultând o a¿a numitå componentå aproape periodicå.

Periodicitatea unui proces hidrologic înseamnå din punct de vedere statistic prezen¡a fenomenului de periodicitate în medie, dispersie, asimetrie ¿i în autocorela¡ie. Mareele reprezintå, de exemplu, un proces aproape periodic.

O perioadå lungå de timp, în literatura de specialitate, au existat controverse privind existen¡a unor periodicitå¡i sau quasi - periodicitå¡i interanuale. ¥mbogå¡irea fondului de date a infirmat aceastå ipotezå, dar a dovedit existen¡a

47

tendin¡elor locale (pe care unii le numesc tendin¡e ciclice) pe intervale relativ scurte de timp¿i care se justificå pentru anumite nivele de semnifica¡ie statisticå (figurile 2.16 ¿i 2.17).

0

40

80

120

160

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

mm

Fig. 2.16. Varia¡ia precipita¡iilor anuale de la Lodeve (Fran¡a) ajustatå cu ajutorul 1902 1992

a ¿apte tendin¡e locale care oscileazå de-a lungul tendin¡ei globale.

0

100

200

300

400

500

600

0 200 400 600 800 1000

mm

dec. 1992 ian. 1902

Fig. 2.17. Varia¡ia precipita¡iilor lunare de la Lodeve (Fran¡a) ajustatå cu ajutorul tendin¡elor locale care oscileazå de-a lungul tendin¡ei globale.

Tot mai mul¡i cercetåtori vorbesc despre anumite varia¡ii de lungå duratå ale

factorilor climatici, care induc rupturi de sta¡ionaritate în seria de timp ¿i care despart tendin¡ele locale monotone.

Componenta tendin¡elor locale ( )lt fluctueazå în jurul tendin¡ei globale. La

scarå de timp interanualå, încå din 1951, Hurst a men¡ionat existen¡a

48

fenomenului de perzisten¡å ¿i repeti¡ie în varia¡ia interanualå a unor elemente climatice ¿i hidrologice.

¥n cazul precipita¡iilor înregistrate la Lodeve (Languedoc, Fran¡a) prin anumite teste statistice (Scheffe, Wald-Wlofowitz, Spearman etc) s-a aråtat faptul cå seria anualå ¿i cea lunarå dessezonalizatå sunt sta¡ionare în ansamblul lor (Haidu ¿i Mercier, 1996). Cu ajutorul testului Kendall - Mann s-au pus în eviden¡å momentele de rupturå a sta¡ionaritå¡ii (v. fig.2.7) care au fost utilizate pentru segmentarea seriilor ¿i pentru identificarea tendin¡elor locale. Tendin¡ele locale ale seriei de precipita¡ii anuale sugereazå existen¡a unor quasi - cicluri climatice. Ansamblul tendin¡elor locale formeazå componenta de tendin¡å compozitå.

Tendin¡a globalå (¿i tendin¡ele locale) se reprezintå în general sub forma unui polinom:

g a a t a t a tt mm= + + + +0 1 2

2 2 21... . ( . )

unde: a , a , ..., a 0 1 m sunt parametrii care urmeazå a fi estima¡i. Tendin¡a are semnifica¡ie statisticå numai dacå parametrii a sunt semnificativ diferi¡i de zero. De obicei o tendin¡å globalå liniarå sau parabolicå este satisfåcåtoare. ¥n unele cazuri tendin¡a globalå a unor variabile hidrologice este redatå sub forma unei func¡ii exponen¡iale sau logistice.

, ... , a 1 m

Componenta tendin¡elor locale în cazul unei serii interanuale modificå pe intervale scurte de timp (10-30 ani) nivelul general al seriei. Corelograma seriei brute ¿i corelograma seriei din care s-a eliminat componenta tendin¡elor locale ¿i tendin¡a globalå (fig.2.18 ¿i fig.2.19) diferå semnificativ, astfel încât se poate aprecia cå fenomenul de neergodicitate al unei serii sta¡ionare este determinat de componenta tendin¡elor locale (v. cap. 1.4). ¥n cazul în care nu s-ar elimina aceastå componentå existå riscul ca func¡ia de autocorela¡ie ¿i func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå så conducå spre modele stochastice inadecvate. Existå încå controverse dacå componenta tendin¡elor locale trebuie privitå ca o componentå stochasticå sau matematicå.

¥n domeniul economic se vorbe¿te despre existen¡a tendin¡elor ciclice de perioadå ¿i amplitudine variabilå. Ciclul afacerilor este un exemplu clasic în acest sens.

Varia¡iile episodice bru¿te sau salturile ( )bt reprezintå schimbåri bru¿te ¿i

de mare amplitudine a nivelului mediu al seriei, urmate de o revenire imediatå la nivelul general al seriei de timp.

De exemplu ploile toren¡iale, fenomene de turbulen¡å atmosfericå etc. pot genera varia¡ii episodice în seria de timp. O eroare izolatå de înregistrare a fenomenului hidrologic apare de asemenea sub forma unui eveniment episodic sau salt pe graficul de varia¡ie al seriei hidrologice. De aceea, identificarea ¿i explicarea acestor evenimente necesitå informa¡ii suplimentare.

49

- 0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 2

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 2

rkrk

lag k

lag k

Fig. 2.18.Corelograma precipita¡iilor lunare a seriei non-ergodice- 1 ¿i a celei ergodice - 2 din figura 2.17.

Fig. 2.19.Corelograma precipita¡iilor anuale a seriei non-ergodice - 1 ¿i a celei ergodice - 2 din figura 2.16.

¥n cazul debitelor medii anuale ale fluviilor africane se semnaleazå o schimbare bruscå a varia¡iei multianuale a scurgerii Nilului datoritå amenajårii barajului de la Aswan (1964-968); un salt negativ se produce în scurgerea lui Obangui / Bangui în 1971; Zairul la Kinshasa înregistreazå o schimbare bruscå a mediei începând din 1962.

Componenta stochasticå st este deseori sursa dominantå de variabilitate a

seriei de timp. Ea se manifestå sub forma unor oscila¡ii neregulate ¿i aleatoare, ale cåror cauze nu pot fi explicate din punct de vedere fizic. Pentru descrierea componentei stochastice este nevoie de concepte probabilistice, de o func¡ie de probabilitate cunoscutå ¿i de parametrii acesteia. Componenta stochasticå este obiectivul principal al capitolelor 3, 4 ¿i 5.

Se poate spune cå o serie de timp constå din douå tipuri de varia¡ii:

sistematice ¿i nesistematice. ¥n prima categorie intrå tendin¡a generalå ( )gt ¿i

componenta periodicå ( )pt , iar în cea de-a doua componenta tendin¡elor locale

( )lt , evenimentele episodice ( )bt ¿i componenta stochasticå ( )st .

Analiza seriilor de timp trebuie våzutå ca un proces de identificare ¿i separare a componentelor seriei de timp, astfel încât så se poatå exprima întreaga varia¡ie a datelor înregistrate.

Yule ¿i Kendall (1969) atrag aten¡ia asupra faptului cå descompunerea unei variabile aleatoare sub formå de componente (aditive sau multiplicative) nu este întotdeauna corectå. Partea sistematicå poate så includå efecte stochastice ¿i

50

invers, partea nesistematicå poate så includå efecte ale tendin¡ei sau ale componentei periodice. Acest lucru se datoreazå unei specificåri incorecte ¿i cunoa¿terii deficitare a procesului natural.

Componenta periodicå se redå sub forma unei func¡ii periodice , astfel încât

p tp p tt t d= ∀+ , . Deoarece d se måsoarå în unitå¡i de timp ¿i dacå prima

rela¡ie este adevåratå, atunci p pt nd t t+ = ∀, ¿i ∀ n numår întreg. Componenta periodicå se reprezintå sub formå de serii Fourier: p t

[ ]p u A jt B jtt j jj

h= + +∑

=cos( / ) sin( / ) , ( . )2 2

1π ω π ω 2 22

unde: t = 1,... , ;ω

u este media aritmeticå a lui ; p t sunt coeficien¡i Fourier; A , B j j j reprezintå armonica; h este numårul total de armonici (h =ω / 2 pentru un numår par de armonici

¿i h =−ω 12

pentru un numår impar).

Media se calculeazå cu expresia :

u ptt

= ∑=

1 2 231ω

ω. ( . )

Coeficien¡ii Fourier au urmåtoarea formå:

A pjt

j tt

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑

=

2 22 24

1ωπω

ωcos , ( . )

B pjt

j tt

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∑

=

2 22 25

1ωπω

ωsin , ( . )

unde: j = 1, . . . , h.

Parametrii unei armonici de medie zero (de exemplu a primei armonici) sunt coeficien¡ii Fourier ¿i perioada notatå cu T . A , B j j 1

51

Notând frecven¡a oscila¡iei cu w = 2 / T1 1π ¿i t = 1, n se ob¡ine expresia armonicei: , p = A cos w t + B sin w t1 1 1 1 1

(fig. 2.26 ¿i ecua¡ia 2.27) de amplitudine Am A B= +12

12 .

O serie periodicå poate så con¡inå mai multe armonici. De exemplu scurgerea lunarå, care la latitudinile noastre prezintå douå maxime (primåvara ¿i toamna), poate fi exprimatå de douå armonici.

Componenta tendin¡elor locale l cuprinde, dupå cum s-a mai spus, tendin¡e monotone locale (liniare sau parabolice), care au sau nu puncte comune succesiv douå câte douå. Imagine globalå a acestor tendin¡e locale este datå de tendin¡å compozitå. S-a observat faptul cå 3 - 5 armonice ajusteazå acceptabil tendin¡a compozitå (fig.2.20 ¿i fig.2.21).

t

Intensitatea spectralå a seriei cronologice se calculeazå prin formula:

S A Bw j j( ) , (2 2 2 2 26= + . )

iar reprezentarea graficå a lui S este cunoscutå sub numele de periodograma

lui Schuster. (w)2

Så studiem intensitatea spectralå a seriilor de debite medii lunare ¿i anuale a Some¿ului înregistrate la Satu Mare în perioada 1926 - 1992 reprezentate de periodogramele din figurile 2.22 ¿i 2.23.

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 2 3

mm

timpul în ani

Fig.2.20. Tendin¡a compozitå (3) sub forma sumei a trei componente armonice

care fluctueazå în jurul tendin¡ei globale (2) în cazul precipita¡iilor anuale (1).

52

mm

0

100

200

300

400

500

600

0 200 400 600 800 1000

1 2 3

timpul în luni

dec 1992 ian 1902

Fig. 2.21. Varia¡ia precipita¡iilor lunare (1), tendin¡a globalå (2) în jurul cåreia

fluctueazå tendin¡a compozitå (3) reprezentatå de suma a trei armonici. Este evident faptul cå în cazul varia¡iei anuale a scurgerii nu existå

periodicitate, în timp ce periodograma scurgerii lunare indicå clar perioada T = 2π/w ≈ 12.

Utilizând expresia 2.22 se construie¿te seria Fourier cu perioada 12 (fig.2.24) prin eliminarea cåreia din seria ini¡ialå se ob¡ine o nouå serie (fig.2.25). Dupå cum se observå seria acesta nu este complet lipsitå de periodicitate deoarece prin diferen¡a de mai sus s-a eliminat doar periodicitatea din medie ¿i nu ¿i cea din devia¡ia standard. ¥n capitolul 5 se vor prezenta alte tehnici mult mai eficiente.

Så ajuståm în continuare seria de debite medii anuale cu ajutorul seriilor

Fourier. Pe baza figurii 2.22 alegem patru maxime ale care ne vor sluji

pentru construirea armonicelor corespunzåtoare urmåtoarelor perioade optime: 7.7 ani, 12.8 ani, 19.6 ani, 41.9 ani.

S w( )2

53

0

100

200

300

400

500

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1000

2000

3000

4000

0 0.5 1 1.5 2 2.5

T 25 12 4 2.5 T 25 12 4 2.5

S2

S2

w w

Fig. 2.22. Periodograma debitelor medii

me¿.

Fig. 2.23. Periodograma debitelor medii lunare la Satu Mare / Some¿. anuale la Satu Mare / So

0

100

200

-150

0

150

300

reziduu m3/s

120 0 12 24 timpul în luni timpul în luni Fig. 2.24. Componenta periodicå (în medie) a scurgerii lunare.

Fig. 2.25. Seria rezidualå ob¡inutå prin eliminarea componentei periodice.

-60

-40

-20

0

20

40

60

m3/s

0 20 40 60 ani

Fig. 2.26. Componenta Fourier (suma a 4 armonici) a scurgerii anuale.

54

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70

1 2 3

m3/s

ani

Fig. 2.27. Corela¡ia dintre varia¡ia debitelor anuale (1) ¿i componenta Fourier (3); tendin¡a globalå (2).

Suma celor patru armonici formeazå o componentå Fourier (fig.2.26) care

are expresia urmåtoare:

p t t t t

t t t t1 4 1 1 2 2

3 3 4 4

20 2 0 36 9 46 13 06

2 58 12 62 5 58 14 42 2 27− = + − + +

− + +

. cos . sin . cos . sin

. cos . sin . cos . sin . ( . )

ω ω ω ω

ω ω ω ω

Dupå cum se vede în figura 2.27, aceasta aproximeazå satisfåcåtor seria de observa¡ii, ceea ce oferå posibilitatea simulårii pe lungå duratå.

55

3. MODELAREA SERIILOR DE TIMP

¥n primul capitol s-au prezentat elementele statistice de bazå care intervin în

modelarea seriilor de timp, iar în cel de-al doilea s-au discutat caracteristicile ¿i unele dintre componentele seriilor de timp (tendin¡a, componenta periodicå etc.) cu referire la date hidrologice.

Acest capitol este consacrat proceselor sta¡ionare care în cele mai multe cazuri pot fi utilizate pentru exprimarea componentei stochastice despre care s-a men¡ionat în paragrafele precedente.

3.1. MODELUL STOCHASTIC AL SERIEI DE TIMP Un model matematic care reprezintå un proces stochastic este numit model

stochastic sau modelul seriei de timp. Acesta trebuie så aibå o anumitå structurå matematicå ¿i un set de parametri. O serie de timp care are o distribu¡ie

normalå cu media

xt

µ ¿i varian¡a poate fi exprimatå prin urmåtorul model: σ 2

xt t= +µ σ ε , (3 1. )

unde:

; ( ) ( )x N Nt t~ , , ~ ,µ σ ε2 0 1

ε t - independent, t=1, 2, … ¥n modelul de mai sus µ ¿i σ sunt numi¡i parametri, deoarece ace¿tia sunt

constante (nu depind de timp), modelul fiind sta¡ionar. Deoarece ε t -

independent se deduce faptul cå ( )x ft = εt este, de asemenea, independent.

O serie de timp cu structurå dependentå este:

ε φ ε ξt t t= +−1 3 2, ( . )

unde:

ξ t este independent cu media zero ¿i varian¡a ( )1 2− φ ;

ε t - dependent;

φ - parametrul modelului.

56

Se observå faptul cå ( )ε ε ξt tf= −1; t este o serie dependentå, ale cårei

valori depind de aceea¿i variabilå ε la momentul t-1. Dacå ε t se înlocuie¿te în formula precedentå atunci rezultå urmåtorul model

stochastic dependent:

( )xt t t= + +−µ σ φε ξ1 3 3, ( . )

unde: µ σ, ¿i φ sunt constante.

Deci modelul reprezintå o serie de timp sta¡ionarå sau un proces stochastic sta¡ionar. Un model nesta¡ionar va rezulta dacå ace¿ti parametri ar varia în timp.

Se considerå seria de timp periodicå , unde m reprezintå anul iar y

intervalul de timp din interiorul anului. ¥n acest caz modelul stochastic are forma:

xm y,

x zm y y y m y, , , (= . )+µ σ 3 4

unde: µ y este media periodicå;

σ y - devia¡ia standard periodicå;

- o serie dependentå de timp având o structurå de corela¡ie cu zm y,

parametru periodic sau constant. Similar cazului (3.2) seria se poate scrie astfel: zm y,

z zm y y y m y, , , , (= . )+−φ ξ1 1 3 5

unde: ξm y, este o serie independentå;

φ1,y - parametrul modelului (coeficient periodic de autocorela¡ie

de ordinul 1).

¥nlocuind în formula precedentå ob¡inem:

x zm y y y y y m y, , , , (= + +⎛⎝ . )⎞

⎠−µ σ φ ξ1 1 3 6

unde µ σy , y ¿i φ1,y reprezintå parametrii periodici.

57

3.2. OBIECTIVELE MODELÅRII STOCHASTICE Tehnicile sau procedurile de identificare a unui model matematic care så

reprezinte o serie de timp poartå numele de modelarea seriei de timp. Modelul este construit pentru a reproduce principalele caracteristici statistice ale seriei de timp hidrologice. Modelul trebuie så semene din punct de vedere statistic cu seria hidrologicå pe care o reprezintå.

De re¡inut este faptul cå o serie hidrologicå este doar un e¿antion (finit) al unei popula¡ii (infinite), ale cårei caracteristici statistice nu pot fi cunoscute. Caracteristicile statistice ale seriilor hidrologice sunt doar estimåri ale adevåratelor caracteristici statistice. Valorile observate ale unei serii hidrologice de lungime N constituie numai o realizare dintr-un numår infinit de posibile realizåri, care ar fi putut apårea în perioada N. Estimatorii statistici specifici perioadei N pot så difere mai mult sau mai pu¡in dacå ne referim la o perioadå mai micå sau mai mare decât N. Prin urmare, estimatorii e¿antionului seriei de timp hidrologice sunt variabile aleatoare care implicå anumite incertitudini.

Incertitudini mai reduse prezintå media ¿i devia¡ia standard, în timp ce coeficientul de asimetrie, care este mult mai dependent de lungimea seriei pentru care se calculeazå, prezintå o incertitudine mai accentuatå.

Coeficientul de autocorela¡ie este, de asemenea, incert pentru e¿antioane reduse. Men¡ionåm cå, coeficientul de autocorela¡ie decide ce tip de model trebuie utilizat ¿i ce formå trebuie så aibå acesta, apårând astfel riscul unei decizii inadecvate. Prin urmare identificarea unui model al seriei de timp este tot o problemå de estimare, dintr-un numår mai mare sau mai mic de modele posibile.

Modelarea seriei de timp reprezintå un proces, care poate fi mai simplu sau mai complex, în func¡ie de e¿antionul disponibil (unidimensional sau multidimensional), de modelul utilizat ¿i de tehnicile de modelare. De exemplu, seriile cu caracteristici statistice invariabile în timp necesitå în mod normal modele ¿i tehnici de modelare mai simple decât în cazul seriilor de caracteristici variabile. Existå numeroase modele stochastice care ar putea reprezenta o serie de timp ¿i mai multe tehnici de modelare. De asemenea sunt cunoscute tehnici de evaluare, mai simple sau mai complexe, a calitå¡ii unui model. ¥n ultimå instan¡å eficacitatea modelului, care poate fi mai simplu sau mai complex, este strâns legatå de cuno¿tin¡ele teoretice ¿i experien¡a practicå a utilizatorului.

Se ¿tie cå scurgerea unui râu într-o anumitå sec¡iune, ¿i la un moment dat, este cauzatå în principal de precipita¡iile dintr-o perioadå precedentå cåzute în bazinul râului. Rela¡ia func¡ionalå dintre aceste douå variabile este strâns legatå de distribu¡ia temporalå ¿i spa¡ialå a precipita¡iilor ¿i de anumite caracteristici fiziografice ale bazinului. ¥n plus intervin al¡i factori, cum ar fi varia¡ia diurnå ¿i sezonierå a evapora¡iei, transpira¡ia plantelor, infiltra¡ia, reten¡ia din bazin, care

58

depind, de asemenea, de caracteristicile solului sau ale bazinului (morfometrie, geologie etc.). Tot mai pregnant se resimte asupra ciclului hidrologic influen¡a exercitatå de modul de utilizare al terenului ¿i de ciclul antropic al apei.

Scurgerea râului observatå la o sec¡iune este privitå ca o consecin¡å a tuturor acestor factori, variabil sau constan¡i în spa¡iu ¿i timp, în principal ca rezultatul diferen¡ei dintre precipita¡ii ¿i evapotranspira¡ie, la care se adaugå varia¡ia pe care o prezintå reten¡ia naturalå a apei în bazin. Astfel, se justificå utilizarea modelelor stochastice în hidrologie.

Principalul scop al analizelor seriilor de timp este de a descrie ¿i explica mecanismul varia¡iilor istorice ale variabilelor hidrologice. Cunoa¿terea acestui mecanism este utilizatå în scopul simulårii seriei istorice pe baza unui model stochastic. Ulterior, modelul stochastic va sta la baza elaborårii prognozei hidrologice ¿i va înlesni generarea debitelor sintetice larg utilizate în practicå. Chiar ¿i parametrii modelului, dacå se dovedesc a fi lega¡i de unele caracteristici naturale, deschid o sferå nouå de aplica¡ii în hidrologia opera¡ionalå ¿i în amenajarea teritoriului în general (cap. 4).

3.3. MODELAREA SERIILOR STAºIONARE

Fie procesul aleator x t , unde t ∈Ζ . Acest proces este sta¡ionar

(capitolul 1.5) dacå:

Ex m

x

x x

t x

t x

t t k k

=

=

⎫⎬⎪

⎭⎪

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

+

var

cov( , )

σ

λ

2

Media ¿i varian¡a variabilei aleatoare sunt independente de timp

Covarian¡a dintre douå variabile aleatoare ale aceluia¿i proces este independentå de timp ¿i depinde numai de lag k

Se nume¿te autocovarian¡å covarian¡a dintre douå variabile aleatoare ale unui proces aleator. Func¡ia de autocovarian¡å se noteazå cu λk ; fiind func¡ie

numai de k, ea este simetricå λ λk k= − . Se nume¿te coeficient de autocorela¡ie coeficientul de corela¡ie dintre douå

variabile aleatoare ale unui proces aleator. Func¡ia de autocorela¡ie (reprezentatå prin corelogramå) a procesului este coeficientul de autocorela¡ie, notat cu ρk ,

care depinde numai de k.

¥n capitolul 1 s-a aråtat cå ¿i ρ λ σk k= / 2x ρ ρ ρk k= =− , 0 1 . Transla¡ia în

timp nu afecteazå primul sau al doilea moment centrat al variabilei aleatoare, ceea ce implicå sta¡ionaritatea de ordinul doi.

59

Se ¿tie cå un proces aleator normal (Gaussian) are toate variabilele aleatoare distribuite normal. Dacå un proces aleator având distribu¡ie normalå este slab sta¡ionar, atunci el este în acela¿i timp sta¡ionar în sens strict deoarece distribu¡ia sa este complet caracterizatå de momentele centrate de ordinul întâi ¿i doi.

¥n cele ce urmeazå se considerå cazul simplu pentru care Ext = 0 , ceea ce

înseamnå cå dacå x t este sta¡ionar atunci ¿i x E xt − t este sta¡ionar. Deci,

speran¡a matematicå nu face parte din componenta stochasticå, ea fiind parte a componentei de tendin¡å.

Se nume¿te proces sta¡ionar necorelat ¿i se noteazå cu z t , procesul

pentru care corela¡ia (¿i covarian¡a) dintre diferite variabile aleatoare ale procesului este egalå cu zero (unul dintre cele mai simple procese sta¡ionare):

Ez

zz z k

t

t z

t t k

=

=

= ∀ ≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ +

0

0 0

2varcov( , ) .

σ ( o anumitå valoare independentå de timp )

Acest proces se mai nume¿te zgomot alb ¿i este utilizat ca o componentå de

bazå a altor procese care vor fi prezentate în capitolele urmåtoare. Uneori acest termen este restâns numai pentru cazul proceselor sta¡ionare cu sens strict sau variabilelor aleatoare independente stochastic.

Func¡ia de autocovarian¡å a procesului sta¡ionar necorelat este:

λ σλ

k z

k

pentru kk

= == ∀ ≠

2 00 0.

Func¡ia de autocorela¡ie a acestui proces este:

ρρ

k

k

pentru kk

= == ∀ ≠

1 00 0.

Pentru ca o serie de timp så aibå varian¡a constantå, uneori este necesarå o

transformare de tip Box-Cox ( ln, ,3 sau altele).

3.3.1. PROCESE DE MEDIE ALUNECÅTOARE - MA

Un proces x t definit prin:

x z b z b z b zt t t t q t q= + + + +− − −1 1 2 2 37... , ( . )

60

unde z t este un proces sta¡ionar necorelat ( )var z t z= σ 2 , se nume¿te proces

de medie alunecåtoare de ordin q ¿i se noteazå cu MA(q).

Procesele stochastice aleatoare se reprezintå simplificat cu ajutorul filtrelor. A¿a sunt, de exemplu, operatorul de întârziere notat cu B,

( )y B x xt t t= = − 1 ¿i operatorul de diferen¡iere notat cu ∆,

( )y x x xt t t= = − −∆ 1 . t Utilizând operatorul de întârziere B, formula de mai sus se poate scrie astfel:

x z b Bz b B z b B z

b B b B b B z b B z

t t t t qq

t

qq

t ii

ti

q

= + + + + =

= + + + + = ∑=

1 22

1 22

01 3

...

( ... ) . ( . )8

Dacå notåm ¿i dacå b B b Bii

i

q( ) = ∑

=0b0 1= atunci:

x b B zt t= ( ) . ( . )3 9

Deci x t este output-ul filtrului b(B) având ca input z t , (fig.3.1). Filtrul

b(B) se nume¿te filtru de medie alunecåtoare sau filtru MA.

z t x t( )b B

Fig. 3.1. Reprezentarea schematicå a filtrului MA. Proprietå¡ile procesului MA sunt:

Ext = 0

var ( ... )x b b bt x q= = + + + +σ σ212

22 21 z

2

cov( , )x xt t k+ = 0 pentru k q>

z t - proces necorelat

61

[ ][ ]

λ

σ

k t t k t t t k t k t t k

t t q t q t k t k q t k q

k t k t q k q t k q z i k ii

q k

x x E x E x x E x E x x

E z b z b z z b z b z

E b z b b z b b z b b

= = − − = ⋅

= + + + ⋅ + + + =

= + + + = ∑

+ + +

− − + + − + −

+ − − + − +

=+

=

−

cov( , ) ( )( ) ( )

( ... ) ( ... )

( ... ) ( . )

1 1 1 1

21 1 1

2 2 2

03 10

unde . 0 ≤ ≤k qOrice termen mixt al ecua¡iei de mai sus este egal cu zero deoarece z t

este un proces sta¡ionar necorelat. Aceste proprietå¡i demonstreazå faptul cå procesul MA(q) este sta¡ionar.

Deoarece z t este un proces necorelat, consecin¡a acestor proprietå¡i

constå în faptul cå pentru covarian¡a ¿i autocorela¡ia sunt egale cu zero.

Deci, dupå k = q func¡ia de autocorela¡ie se reteazå brusc. Astfel se determinå ordinul procesului de medie alunecåtoare MA(q) în faza de identificare a modelului (fig. 3.2).

k q>

Auto- Stand. Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5

+----+----+----+----+----+----+ 1 -.508.105 ******.***¦ . 2 -.042.104 . *¦ . 3 .150.104 . ¦***. 4 -.145.103 .***¦ . 5 -.008.102 . * . 6 .103.102 . ¦**. 7 -.099.101 . **¦ . 8 .053.101 . ¦* . 9 -.039.100 . *¦ . 10 .126.099 . ¦***. Symbols: Autocorrelations * Two Standard Error Limits.

Fig. 3.2. Func¡ia de autocorela¡ie a seriei precipita¡ii anuale de la Lodeve sta¡ionarizatå prin eliminarea tendin¡ei compozite (fig. 2.20)

¿i diferen¡iere de ordinul întâi.

Graficul din figura 3.2 indicå un proces MA(1) pentru precipita¡iile anuale de la Lodeve supuse unor transformåri pentru satisfacerea condi¡iilor de sta¡ionaritate ¿i ergodicitate.

Pentru cazul particular MA(1) se ob¡ine:

62

x z b zEx

x bx x pentru k

x x bcor x x pentru k

cor x x bb

t t t

t

t x z

t t k k

t t z

t t k k

t t

= +

=

= = +

= = >

= = =

= = >

= = =+

−

+

+ −

+

+ −

1 1

212 2

1 1 1 12

1 1 11

12

0

10 1

0 1

1

var ( )cov( , )

cov( , )( , )

( , )

σ σ

λ

λ λ σ

ρ

ρ ρ

unde − ≤ ≤12

121ρ .

Procesul MA(1) pentru o serie de termeni al lui xt se reprezintå astfel:

x z b z z x b zx z b z z x b zx z b z z x b z

t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t

= + = −

= + = −

= + = −

− −

− − − − − −

− − − − −

1 1 1 1

1 1 1 2 1 1 1 2

2 2 1 3 2 2 1 3

;;; −

. . . . . . Prin substitu¡ie rezultå:

x z b x b x b xt t t t t= + − + −− − −1 1 12

2 13

3 3 11... ( . )

Dacå t este momentul prezent, din expresia de mai sus, rezultå cå starea prezentå a lui x t depinde de o combina¡ie liniarå a stårilor precedente

x xt t− −1 2, ,... ¿i de procesul sta¡ionar necorelat. Din acest motiv z t este

numit proces de inova¡ie. Expresia reprezintå o descompunere autoregresivå a procesului MA. Dacå b1 1< , stårile precedente, practic, nu influen¡eazå starea

prezentå a procesului. Aceastå condi¡ie reprezintå condi¡ia de inversabilitate a procesului MA, care permite utilizarea acestuia în practicå.

Se poate demonstra faptul cå un proces MA(q) este inversabil în sensul formulei (3.7) dacå rådåcinile ecua¡iei caracteristice (deduse din 3.8 ¿i 3.9)

b B( ) ( . )= 0 3 12

sau

1 + b B + b B + . . . + b B = 0 (3.13)1 22

qq

63

sunt situate în afara cercului unitate al planului complex (în acest caz B este considerat ca fiind o variabilå complexå ¿i nu operator de întârziere). Pentru MA(1) ecua¡ia caracteristicå este 1 1 0+ =b B , de unde B b= − 1 1/ , deci pentru

satisfacerea condi¡iilor de inversabilitate trebuie ca − >1 1/ b 1 adicå b1 1< .

Procesul MA(2) este:

x z b z b zt t t t= + +− −1 1 2 2 3 14, ( . ) cu varian¡a:

var ( ) , ( . )x b bt x z= = + +σ σ212

22 21 3 15

cu func¡ia de autocorela¡ie:

ρ ρ11 2

12

22 2

2

12

22

11 1

0=+

+ +=

+ +=

b bb b

bb b

k( )

, , ρ

3 17

, pentru k ≥ 3 3.16( )

¿i ecua¡ia caracteristicå:

1 01 22+ + =b B b B . ( . )

Rådåcinile acesteia sunt:

Bb b b

b1 21 1

22

2

42

318, . (=− ± −

. )

0 0

Ele sunt reale dacå ¿i imaginare dacå b b . Condi¡ia

de inversabilitate necesitå ca rådåcinile så satisfacå inegalitatea

b b12

24− ≥ 12

24− <

B1 1> ¿i

B2 1> ¿i în acela¿i timp så fie plasate în exteriorul cercului unitate (fig. 3.3).

Aceasta implicå satisfacerea urmåtoarelor inegalitå¡i: b b b b b1 2 1 2 21 1 1 1+ > − − < − < <, ,

Inegalitå¡ile formeazå un spa¡iu triunghiular în planul ( )b b1 2, al figurii 3.3.

Vandewiele (1988) transformå condi¡iile lui b ¿i în condi¡ii pentru 1 b2 ρ1 ¿i ρ2 :

ρ ρ ρ ρ ρ ρ1 2 1 2 2 12+ > -1 / 2, - <1 / 2, 4 < 1 + 1 - 2 . ( . )319

64

Fig. 3.3. Coeficien¡ii b1 ¿i b2 formeazå regiunea în care procesul MA(2) este inversabil (Vandewiele, 1988).

Un instrument important de identificare al ordinului procesului MA este

func¡ia de autocorela¡ie (ACF). Coeficientul de autocorela¡ie par¡ialå a douå variabile aleatoare, dintr-o mul¡ime de variabile aleatoare, måsoarå corela¡ia dintre primele douå variabile, influen¡a celorlalte fiind eliminatå. Fiind dat procesul aleator xt , coeficientul de autocorela¡ie par¡ialå π k måsoarå

corela¡ia dintre variabilele xt ¿i x t k− , în condi¡iile în care influen¡a

variabilelor aleatoare intermediare x xt t− −1 2, , ... , x t k− +1 a fost eliminatå.

3.3.2. PROCESE AUTOREGRESIVE - AR

Un proces x t definit prin:

x z a x a x a xt t t t p t p= − − − −− − −1 1 2 2 3 20... , ( . )

unde z t este un proces sta¡ionar necorelat, se nume¿te proces autoregresiv de

ordin p ¿i se noteazå cu AR(p). Utilizând operatorul de întârziere B, formula de mai sus se poate scrie astfel:

x z a Bx a B x a B xt t t t pp

t= − − − −1 22 3 21... . ( . )

Dacå notåm a B ¿i dacå a Bii

i

p( ) = ∑

=0a0 1= , atunci:

a B x zt t( ) . ( . )= 3 22

65

Deci, z t este output-ul filtrului a B având ca input ( ) x t . Se poate

demonstra faptul cå acest filtru este inversabil, inversul lui fiind notat cu

. Filtrul [ se nume¿te filtru autoregresiv (fig.3.4). Condi¡ia de

sta¡ionaritate se realizeazå dacå rådåcinile ecua¡iei caracteristice

[ ]a B( ) −1 ]a B( ) −1

( )a B = 0 3( . ) 23sau

1 + a B + a B + . . . + a B = 0 (3.24)1 22

pp

sunt situate în afara cercului unitate al planului complex.

z t x t( )[ ]a B −1

Fig. 3.4. Reprezentarea schematicå a filtrului AR. Pentru cazul particular AR(1) se ob¡ine:

x z a xt t t= − −1 1 , unde a1 1< (condi¡ia de sta¡ionaritate). (3.25) Dacå z t este un proces de inova¡ie necorelat ¿i în acela¿i timp

independent stochastic, atunci procesul AR(1) ar putea fi numit proces Markov. P

rin substitu¡ie rezultå :

( )x z a z a z a z a zt t t t ti

t ii

= − + − + = −∑− − − −=

∞1 1 1

22 1

33 1

03 26... . ( . )

Expresia este numitå descompunere de medie alunecåtoare a procesului AR(1), deoarece x t se scrie sub forma unei combina¡ii liniare de z t . Se observå, de

asemenea, faptul cå, pentru momentul prezent t, starea prezentå a lui x t depinde de o

combina¡ie liniarå a stårilor precedente x t−1 , x t−2 , . . . , x t p− ¿i de procesul sta¡ionar

necorelat. Din acest motiv, este numit proces de inova¡ie. Se poate demonstra, de

asemenea, cå procesul AR este întotdeauna inversabil în sensul capitolului 3.3.1.

z t

Considerând Ext = 0 , varian¡a lui x t este:

var . ( . )x aa

t zi

i

zx= ∑ =

−=

=

∞σ σ σ2

12

0

2

12

2

13 27

66

Func¡ia de autocovarian¡å a procesului AR(1), pentru k > 0 , se calculeazå pornind de la (3.26) astfel:

( ) ( ) ( )λk t k ti

t k ii

jt j

jE x x E a z a z= ⋅ = −∑ ⋅ −∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ + −=

∞−

=

∞1

01

0 (3.28)

care în final devine:

( ) ( )λ σ σk z

kk

xa

aa=

−

−= −2 1

12 1

2

13 29. ( . )

Deoarece λk este simetricå, λ λk k= − , pentru orice k se poate scrie:

( )λ σkk

xa= − ⋅12 3 30. ( . )

Astfel, func¡ia de autocorela¡ia a lui AR(1) este ( )ρkka= − 1 . Deci, nici

autocovarian¡a ¿i nici autocorela¡ia nu depind de timp. P

rocesul AR(2) este:

x z a x a xt t t t= − +− −1 1 2 2 3 31( . )

cu ecua¡ia caracteristicå:

1 + a B + a B = 0 . (3.32)1 22

Rådåcinile acesteia sunt:

Ba a a

a1 21 1

22

2

42

3 33, . (=− ± −

. )

0 0

1

Ele sunt reale dacå ¿i imaginare dacå . Condi¡ia

de sta¡ionaritate este satisfåcutå dacå:

a a12

24− ≥ a a12

24− <

a a a a a1 2 1 2 21 1 1+ > − − < − < <, , .

1ρ

Inegalitatea de mai sus formeazå o regiune triunghiularå în planul

similarå celei din figura 3.3. Vandewiele (1988) transformå aceste condi¡ii în condi¡ii ale coeficien¡ilor de autocorela¡ie:

( )a a1 2,

− < . < − < < < +1 1 1 1 21 2 12

2ρ ρ ρ, ,

67

Yule a observat cå procesele AR(2) au realizåri cu caracter ciclic, dar fårå periodicitate strictå fiind numite procese Yule. Pr-Aut- Stand. Lag Corr. Err. .5 -.25 0 .25 .5 .75 +----+----+----+----+----+ 1.397 .035 .¦.******* 2.050 .035 .¦* 3.038 .035 .¦* 4.016 .035 .*. 5.032 .035 .¦* 6.000 .035 .*. 7.018 .035 .*. 8.008 .035 .*. 9 -.033.035 *¦. 10.054 .035 .¦*

Symbols: Autocorrelations *Two Standard Error .

Fig. 3.4. Func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå a seriei de debite medii lunare dessezonalizate a râului Some¿ la Satu Mare indicå un proces AR(1).

Un instrument important de identificare al ordinului procesului AR este

func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå (PACF). Pentru cazul AR(1) rela¡ia dintre coeficien¡ii de autocorela¡ie este ρ ρk a k= − −1 1 , (fiindcå ρ0 1= ). Func¡ia de

autocorela¡ie se reteazå brusc dupå k = 1. Pentru procesul AR(p), func¡ia de autocorela¡ie se reteazå brusc dupå k = p (fig. 3.4). Astfel se determinå ordinul procesului autoregresiv AR(p) în faza de identificare a modelului. O serie de debite lunare care se descompune sub forma unei componente periodice ¿i a uneia stochastice are un model particular.

Astfel, s-a observat (Haidu ¿i colab., 1995) faptul cå partea stochasticå este reprezentatå satisfåcåtor de un model AR(1), mai rar AR(2).

3.3.3. PROCESE MIXTE, AUTOREGRESIVE ªI DE MEDIE ALUNECÅTOARE - ARMA

S-a aråtat cå func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå a unui proces MA(q) se reteazå

brusc dupå lag q, iar func¡ia de autocorela¡ie a unui proces AR(p) se reteazå brusc dupå lag p. Aceste constatåri sunt instrumente de bazå în faza de identificare a ordinului modelului. Pentru a modela serii, pentru care nici una

68

dintre aceste func¡ii nu oferå informa¡ii privind ordinul modelului, se folosesc procese mixte autoregresive ¿i de medie alunecåtoare (ARMA).

Un proces ARMA x t sta¡ionar ¿i inversabil notat ARMA(p,q) are forma:

x a x a x a x

z b z b z b zt t t p t p

t t t q t q

= − − − − +

+ + + + +− − −

− − −

1 1 2 2

1 1 2 2 3 34

. . .

. . . . ( . )

Utilizând operatorul de întârziere B, expresia de mai sus se poate scrie sub

forma: ( ... ) ( ... ) ( . )1 11 2

21 2

2− + + + = − + + +a B a B a B x b B b B b B zpp

t qq

t 3 35

sau:

( ) ( )a B x b B zt t= ( . )3 36

unde z t este un proces sta¡ionar necorelat (zgomot alb).

Deci, x t poate fi considerat outputul unui filtru ARMA, având ca input

z t :

[ ]x a B b B zt t= ⋅−( ) ( ) . ( . )1 3 37

Pentru ca procesul så fie inversabil trebuie ca rådåcinile ecua¡iei b(B) = 0 så

se afle în exteriorul cercului unitate, iar pentru ca procesul så fie sta¡ionar trebuie ca rådåcinile ecua¡iei a(B) = 0 så se afle, de asemenea, în afara cercului unitate.

Filtrul ARMA este o combina¡ie liniarå de filtre ( )b B ¿i ( )[ ]a B −1 (fig.3.5).

z t x t( )b B ( )[ ]a B −1

Fig. 3.5. Reprezentarea schematicå a filtrului ARMA. Un proces ARMA(p,q) este o generalizare a proceselor autoregresive ¿i de

medii alunecåtoare: procesul MA(q) este procesul ARMA(0,q), procesul AR(p) este procesul ARMA(p,0), iar procesul ARMA(0,0) este un proces necorelat.

Pentru cazul particular ARMA(1,1):

x a x z b zt t t t= − + +− −1 1 1 1 3 38, ( . )

69

condi¡ia de sta¡ionaritate este satisfåcutå dacå − < <1 1a 1 , iar cea de

inversabilitate se realizeazå dacå − < <1 11b .

Vandewiele (1988) ajunge prin calcule succesive la urmåtoarele forme simplificate ale varian¡ei:

var , ( . )xb a b

at x z= =+ −

−σ σ2 1

21 1

12

21 2

13 39

func¡iei de autocorevarian¡å:

( ) ( )

( )

λ σ

λ λ

11 1 1 1

12

2

11

1

1

1

1 3

=− ⋅ −

−

= − ⋅ >−

b a a b

a

a k

z

kk

,

, , ( .40 )

¿i func¡iei de autocorela¡ie:

( ) ( )

( )

ρ

ρ ρ

11 1 1 1

12

1 1

11

1

1

1 2

1 3

=− ⋅ −

+ −

= − ⋅ >−

b a a b

b a b

a kkk

,

, . ( .41)

Acela¿i autor transformå condi¡iile legate de ¿i , în condi¡ii legate de a1 b1

ρ1 ¿i ρ2 , mult mai utile în practicå, astfel:

ρ ρ2 1< ;

( )ρ ρ ρ2 1 12 1> + pentru ρ1 0< ;

( )ρ ρ ρ2 1 12 1> − pentru ρ1 0> .

3.4. MODELAREA SERIILOR NESTAºIONARE

- PROCESE ARIMA ¥n capitolul 2.3. s-a discutat despre componentele seriei de timp. De

exemplu, debitele medii anuale ale fluviului Oubangui / Bangui (v. fig. 2.12) con¡in o tendin¡å globalå liniarå sau douå tendin¡e locale diferite. ¥n acest caz ipoteza sta¡ionaritå¡ii este invalidatå ¿i prin urmare nici unul dintre modelele precedente nu se poate aplica. O asemenea serie de timp, notatå cu x t

70

con¡ine o tendin¡å de schimbare a nivelului general al seriei care imprimå caracterul nesta¡ionar.

reziduu

-2000

-1000

0

1000

2000

0 10 20 30 40 50

timpul în ani

Fig. 3.6. Seria de debite anuale de la Oubangui / Bangui sta¡ionarizatå prin diferen¡iere de ordinul întâi ¿i dupå eliminarea constantei.

Tendin¡a monotonå globalå (sau tendin¡ele locale) a seriei de timp dispare

dacå efectuåm diferen¡ele succesive x xt t− −1 , în urma cårora se creeazå o

nouå serie de timp:

y x x xt t t t= − =−1 3 42∆ . ( . )

Se observå faptul cå noua serie ob¡inutå (fig. 3.6) notatå cu y t are un

nivel constant diferit de zero. Deci procesul y t poate fi modelat ca o sumå

dintre o constantå (c) ¿i un proces sta¡ionar. ¥n cazul fluviului Oubangui / Bangui dupå efectuarea diferen¡ierii de ordinul întâi conform (3.42) se ob¡ine constanta c = −51 29. .

Dacå nivelul general al seriei este reprezentat sub forma unei tendin¡e parabolice atunci seria x t poate fi modelatå ca sumå dintre tendin¡å ¿i un

proces sta¡ionar. Astfel, debitele medii ale fluviului Oubangui / Bangui sunt exprimate de tendin¡a globalå gt t= −4821 9 2 6. . ¿i componenta stochasticå

(fig. 3.7). Comparând cele douå moduri de sta¡ionarizare pe baza graficelor din

figura 3.6 ¿i figura 3.7 se observå faptul cå simpla eliminare a tendin¡ei liniare nu då satisfac¡ie deoarece valorile reziduale cuprinse între momentele 24 - 36 (fig. 3.7) nu corespund nivelului general al seriei.

O cale de îmbunåtå¡ire al acestui rezultat ar putea fi utilizarea unei tendin¡e parabolice sau a tendin¡elor locale prezentate în figura 2.12. Men¡ionåm faptul cå tendin¡a seriei poate fi exprimatå, dupå caz, ¿i de tendin¡e locale (fig. 2.16, 2.17) sau o sumå de serii Fourier (fig. 2.20, 2.21, 2.27).

71

reziduu

-1000

0

1000

2000

3000

0 10 20 30 40 50

timpul în ani

Fig. 3.7. Seria de debite reziduale ob¡inutå prin eliminarea tendin¡ei liniare din seria de debite medii anuale ale fluviului Oubangui / Bangui.

¥n cele ce urmeazå consideråm cå media seriei ob¡inutå prin diferen¡iere este

egalå cu zero sau cå s-a procedat la eliminarea constantei. Seria rezultatå y t

poate fi modelatå ca un proces sta¡ionar, un model posibil fiind de tip ARMA:

( ) ( )a B y b B zt t= , ( 3 43. )

unde z t este un proces sta¡ionar necorelat.

Se poate nota:

( ) ( ) ( )( ) ( )a B y a B x a B B x b B zt t t t= = − =∆ 1 3 44. ( . )

Procesul y x xt t t= − −1 , scris dezvoltat, are forma:

x x y

x x y x y y

x x y x y y y

1 0 1

2 1 2 0 1 2

3 2 3 0 1 2 3

= +

= + = + +

= + = + + +

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x t tyt

= ∑ (dacå x0 0= ). (3.45)

Se observå faptul cå procesul x t este rezultatul unei însumåri, procesul y

t

fiind de tip ARMA. De aceea procesul x t se nume¿te proces ARMA

însumat sau integrat ¿i se noteazå cu ARIMA.

72

Generalizat, procesul x t este un proces ARIMA(p,d,q), unde d

simbolizaezå ordinul de diferen¡iere care a generat seria sta¡ionarå

yt

dt= ∆ x , noua serie fiind un proces de tip ARMA(p,q). ºinând cont de

nota¡iile precedente putem scrie :

( ) ( ) ( )( ) ( )a B y a B x a B B x b B zt

dt

dt t= = − =∆ 1 3. ( .46 )

Fiindcå filtrul b(B) este inversabil se ob¡ine :

( )[ ] ( ) ( )z b B a B B xtd

t= ⋅ ⋅ −−1 1 3. ( 47. )

Deci este outputul filtrului ARIMA, z t ( )[ ] ( )( )b B a B B d− −1 1 , având ca

input x t (fig. 3.8).

z t x t

( )1− B d ( )[ ]b B −1 ( )a B

Fig. 3.8. Reprezentarea schematicå a filtrului ARIMA. Pentru cazul d=0 se ob¡ine procesul ARMA ¿i deci acest proces este un

proces ARIMA(p,0,q). Se poate demonstra faptul cå un proces ARIMA(p,d,q) con¡ine o tendin¡å polinomialå de ordinul d. Combinarea în serie a celor trei filtre se scrie în felul urmåtor (Vandewiele, 1988):

( ) ( )[ ] ( ) ( )d B b B a B B d B d Bd= ⋅ ⋅ − = + +−1

1 221 1 ...+

deci, ( )z d B xt t= ⋅ sau

x z d x d xt t t t= − − −− −1 1 2 2 3 48... . ( . )

Astfel, se deduce faptul cå procesul ARIMA este reprezentat sub forma unui

proces AR ca o func¡ie de ståri trecute la care se adaugå inova¡ia z t .

73

Reprezentarea MA (sub formå de ¿oc aleator) a procesului ARIMA aratå cå starea lui x t este rezultatul unei combina¡ii liniare a inova¡iei prezente ¿i a

celor anterioare: x z c z c zt t t t= + + +− −1 1 2 2 3 49... . ( . )

unde sunt coeficien¡i. c , c , ... 1 2

Pentru cazul particular ARIMA(1,1,1) procesul xt este dat de expresia:

( )x a x a x b z zt t t t t= − + + +− − −1 31 1 1 2 1 1 . ( 50. )

unde ¿i − < <1 11a − < <1 11b .

3.5. PROCESE ARIMA MULTIPLICATIVE

Se considerå seria debitelor medii lunare ale râului Some¿ la Satu Mare

(fig. 3.9, tab.3.1). Este vorba de un fenomen sezonier nesta¡ionar cu perioada s = 12. O serie par¡ialå a scurgerii râului are forma ... , , , , ,...,x x x xt s t t s t s− + +2 (de exemplu, debitele medii ale lunii martie în

ani succesivi). Sta¡ionarizarea acesteia prin diferen¡e are ca rezultat urmåtoarea serie:

..., , , ,...x x x x x xt t s t s t t s t s− − −− + + +2 .

0

200

400

600

0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216

m3/s

timpul în luni

Fig. 3.9. Reprezentarea graficå a debitelor medii lunare ale Some¿ului la Satu Mare pentru perioada 1975 - 1992.

Rolul filtrului de diferen¡iere sezonierå ( )∆s se scrie astfel:

( )∆s ts

t t t sx B x x x= − = − −1 3. ( 51. )

74

Se considerå seriile de debite par¡iale pentru douå luni succesive: – pentru luna martie:

... , , , , , ... ,x x x xt s t t s t s− + +2

* pentru luna februarie:

... , , , , , ... ,x x x xt s t t s t s− − − + − + −1 1 1 2 1

Tabelul 3.1

Reprezentarea tebelarå a debitelor Some¿ului la Satu Mare

ian feb mar . . . dec 1975 151 55.5 112 . . . 44.9 1976 62 76.8 265 . . . 67.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992 39.9 83.6 156 . . . 116

An Luna

Modelul ARIMA pentru luna martie are forma:

( ) ( )a B x b B vss

dd

t ss

ts⋅ =∆ ( . )3 52

unde: ¿i ( )as ⋅ ( )bs ⋅ sunt func¡ii polinomiale de ordin , respectiv ; ps qs

v t este un proces sta¡ionar corespunzåtor lunii martie. Pentru luna februarie este convenabil a considera cå sunt valabile acelea¿i

func¡ii polinomiale ¿i acela¿i parametru ca în cazul lunii martie. Astfel,

expresia devine :

ds

( ) ( )a B v b B zdt t1 11 3 53∆ = , ( . )

unde : ¿i sunt func¡ii polinomiale de ordin ¿i ; ( )a1 ⋅ ( )b1 ⋅ p1 q1

este un proces sta¡ionar necorelat. z t

75

Aceasta aratå modul în care debitul mediu al lunii martie este legat de debitul lunii februarie ¿i în acela¿i timp de valoarea înregistratå în luna martie a anului precedent.

Ne imaginåm existen¡a unei dependen¡e între valorile succesive atât de-a lungul liniilor (de la o lunå la alta în cadrul aceluia¿i an) cât ¿i de-a lungul coloanelor (de la o lunå la alta între anii consecutivi). Se eliminå v t din

ultimele douå expresii ¿i se ob¡ine:

( ) ( ) ( ) ( )a B a B x b B b B zss d d

t ss

ts1 11 3 54⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∆ ∆ . ( . )

Acest model se nume¿te model ARIMA multiplicativ de ordin

( ) ( )p q d p d qs s s1 1 1, , , ,× .

76

4. ARGUMENTE FIZICE ALE MODELÅRII

STOCHASTICE ¥N HIDROLOGIE

Conceptul stochastic de modelare a scurgerii unui râu presupune faptul cå un anume tip de model reprezintå cele mai relevante caracteristici statistice ale seriei istorice.

Seria istoricå de observa¡ii reprezintå un e¿antion finit al unui proces temporal aleator (scurgerea). De aceea întotdeauna vor exista diferen¡e între modelul estimat ¿i cel real. Pentru a mic¿ora aceste diferen¡e, una dintre posibilitå¡i constå în selectarea modelului care reprezintå cel mai bine realitatea fizicå a sistemului (bazinul hidrografic). ¥n cazul scurgerii medii anuale, cele mai utilizate modele sunt cele autoregresive ¿i cele mixte autoregresive ¿i de medie alunecåtoare.

4.1. PREMISE CONCEPTUALE Pornind de la un bazin hidrografic, considerat ca sistem, vom studia cum

anume input-ul, precipita¡iile anuale bazinale, sunt transformate de cåtre bazinul hidrografic în output, debitele medii anuale.

Se ¿tie cå precipita¡iile (anuale sau cele lunare ¿i anotimpuale des-sezonalizate) reprezintå un proces sta¡ionar necorelat în cele mai multe cazuri. De asemenea, s-a observat cå debitele medii corespunzåtoare reprezintå dimpotrivå un proces mai mult sau mai pu¡in sta¡ionar, dar corelat. Aceasta, înseamnå cå, bazinul hidrografic prin mecanismul de bilan¡ hidrologic ¿i prin caracteristicile sale fiziografice transformå input-ul necorelat într-un output corelat.

Så consideråm cazul unui bazin hidrografic pentru care dispunem de serii anuale de precipita¡ii ¿i debite ¿i pentru care nu se semnalizeazå existen¡a unor schimbåri climatice. Existen¡a schimbårilor climatice ar determina existen¡a unor tendin¡e sau schimbåri bru¿te în seriile considerate, deci nesta¡ionaritate. Prin aceastå ipotezå evitåm influen¡e externe asupra sistemului (bazinul hidrografic). Astfel, consideråm seria precipita¡iilor ca fiind independente din punct de vedere stochastic sau ca fiind rezultatul unui proces stochastic sta¡ionar ¿i independent.

77

Sta¡ionaritatea înseamnå faptul cå proprietå¡ile statistice de bazå (medie, varian¡å, abatere medie påtraticå, coeficient de varia¡ie) nu se schimbå în timp. Independen¡a presupune faptul cå precipita¡iile înregistrate la un moment dat (într-un an) nu depind în nici un fel de cele înregistrate într-un moment (an) precedent.

Se în¡elege faptul cå debitul râului înregistrat la o anumitå sec¡iune ¿i la un anumit moment dat este, în principal, rezultatul precipita¡iilor dintr-o perioadå antecedentå. Debitul râului depinde de precipita¡ii ¿i de al¡i factori climatici ¿i neclimatici, dintre care unii evolueazå aleator în timp ¿i spa¡iu. Caracteristicile stochastice ale varia¡iei precipita¡iilor sunt în mare måsurå responsabile de caracteristicile stochastice ale scurgerii. Bazinul hidrografic converte¿te precipita¡iile areale, ca proces stochastic, în procesul stochastic al scurgerii râului.

Rela¡ia func¡ionalå dintre cele douå proces stochastice este legatå de contribu¡ia precipita¡iilor ¿i de distribu¡ia spa¡io-temporalå a acestora, precum ¿i de caracteristicile fiziografice ale bazinului. ¥n procesul scurgerii sunt implicate numeroase caracteristici ale bazinului hidrografic, care pot fi grupate în climatice sau ne-climatice.

¥n func¡ie de caracteristica timp, unii factori ai scurgeri sunt variabili sau invariabili. Morfometria bazinului hidrografic, caracteristicile geologice ¿i tipurile de soluri nu se schimbå în timp, dar ele influen¡eazå ciclul hidrologic. Volumul de apå infiltrat, pierderile prin evapora¡ie, transpira¡ia plantelor precum ¿i scurgerea de suprafa¡å ¿i cea subteranå sunt legate direct sau indirect de climatul ¿i de celelalte caracteristici ale bazinului hidrografic.

Debitul observat este cantitatea de apå care påråse¿te bazinul printr-o anumitå sec¡iune, fiind puternic influen¡at de precipita¡iile areale ¿i de evapotranspira¡ia arealå maximå, posibilå din punct de vedere fizic. Volumul de apå este transportat atât la suprafa¡a bazinului cât ¿i pe cale subteranå, de la locul unde a fost precipitat pânå la gura de vårsare a râului. Bineân¡eles, apar unele atenuåri ¿i decalaje în timp datoritå caracteristicilor geografice ¿i geologice ale bazinului.

Transferul de apå, ca o componentå a ciclului hidrologic la scarå bazinalå, reflectå un proces hidrologic stochastic prin care volumul de apå este transferat de la o unitate de timp la urmåtoarea. Volumul de apå care suferå un decalaj temporal sporit (între momentul precipitårii ¿i momentul înregistrårii debitului) ar putea reprezenta scurgerea subteranå amânatå sau încetinitå. ¥n bazinele hidrografice mari, volumul de apå care suferå transferul de la o unitate de timp la urmåtoarea unitate de timp, este reprezentat ¿i de scurgerea de suprafa¡å amânatå sau încetinitå.

¥n bazinele mari cauza încetinirii o reprezintå distan¡a mare pe care trebuie så o parcurgå apa de la locul de precipitare pânå la sec¡iunea de înregistrare. Scurgerea amânatå poate fi generatå, de asemenea, de procesul de topire al zåpezilor.

78

4.2. CAZUL PRECIPITAºIILOR STAºIONARE

ªI INDEPENDENTE STOCHASTIC Se considerå modelul conceptual al bazinului hidrografic reprezentat în

figura 4.1, adaptat ¿i modificat dupå modelul lui Salas ¿i Smith (1981). Numårul de variabile implicate în procesul scurgerii este deosebit de mare la scara bazinului hidrografic. Dar, neglijând procesele hidrologice minore putem defini douå filtre fiziografice care cumuleazå ¿i separå componentele principale ale ciclului hidrologic. Prin acest model simplificat, numårul de variabile care aproximeazå procesul major al scurgerii este finit ¿i similar pentru orice bazin.

Bazinul hidrografic este construit dintr-un filtru geografic ¿i un filtru geologic. Aceste filtre separå precipita¡iile ( )Zt ca input, în diferite componente ca în cazul ciclului hidrologic.

Existå douå output-uri care ies din bazinul hidrografic considerat ca sistem: evapora¡ia ( ¿i scurgerea medie )b Zt ( )Xt pentru un anumit interval de calcul.

Filtrul geografic însumeazå toate caracteristicile climatice ¿i neclimatice ale suprafe¡ei bazinului hidrografic: morfometrie, caracteristici pedologice, vegeta¡ia, modul de utilizare al terenului etc. Filtrul geografic separå precipita¡iile în trei pår¡i, în func¡ie de raportul dintre caracteristicile climatice ¿i ne-climatice ale bazinului: output-ul 1 - pierderile prin evapotranspira¡ie, output-ul 2 - scurgerea de suprafa¡å, output-ul 3 - volumul de apå infiltrat.

input

Zt

output 1 bZt

Fig. 4.1. Modelul conceptual al bazinului hidrografic.

output 2 (1-a-b) Zt = dZt

output 3 aZt

Filtru geologic

output 4 cSt-1

Scurgerea medie

Xt

79

Scurgerea de suprafa¡å din timpul perioadei (t) este datå de:

Z aZ bZ a b Z dZt t t t t− − = − − =( ) , (1 4. )1

1

unde: este precipita¡ia; Zt - infiltra¡ia; aZt - evapora¡ia, în condi¡iile : bZt

1 0 1 0− − = ≤ ≤ ≤ + ≤a b d a b a b; , ; . Se considerå cå nu existå acumulåri semnificative de suprafa¡å ¿i cå întregul

volum de apå precipitat contribuie la evapotranspira¡ie, infiltra¡ie sau scurgere de suprafa¡å. Bineân¡eles, volumul de apå infiltrat este influen¡at mai mult sau mai pu¡in de cåtre condi¡iile climatice. Volumul de apå infiltrat ( )aZt trece prin

filtrul geologic alimentând afluxul de apå subteranå ( )c St−1 mai mult sau mai

pu¡in încetinitå. Filtrul geologic este o imagine medie a diferitelor tipuri de soluri ¿i de roci,

mai mult sau mai pu¡in fracturate ¿i fisurate, incluzând proprietå¡ile lor hidrogeologice ca permeabilitatea, porozitatea ¿i capacitatea de stocare.

Scurgerea medie ( este compuså din contribu¡ia subteranå ( ,

care este echivalentå ipotezei cå stocul subteran are caracteristicile unui rezervor subteran, ¿i contribu¡ia de suprafa¡å egalå cu

)Xt )c St−1

( )dZ t :

X cS dZt t t= +−1 4 2, ( . )

unde: este stocul subteran de la începutul perioadei St−1 ( )t ;

c ≤ 1 . Debitul observat este consecin¡a volumului precipita¡iilor areale din perioada

(t) care este frac¡ionatå ¿i redistribuitå în timp ¿i în spa¡iul bazinului hidrografic de cele douå filtre. Astfel, cele douå filtre contribuie mai mult sau mai pu¡in, în func¡ie de caracteristicile pe care le au, la transferul de apå de la un moment de timp la urmåtorul. Filtrul geografic influen¡eazå acest transfer de apå în timp numai în cazul bazinelor mari sau în cazul în care volumul de apå din stratul de zåpadå topit este, de asemenea, important. ¥n practicå înså, nu este posibil a måsura contribu¡ia fiecårui filtru, pornind numai de la scurgerea medie.

80

Legea conservårii masei pentru stocul subteran ( )St din filtrul geologic are

forma: S S aZ cS c S aZt t t t t t= + − = − +− − −1 1 11 4( ) . ( .3 )

La momentul (t-1) scurgerea medie ( )Xt−1 este ob¡inutå din expresia (4.2):

X cS dZt t t− − −= +1 2 1 4 4, ( . )

de unde rezultå afluxul subteran la momentul (t-2):

cS X dZt t t− − −= −2 1 1 4 5. ( . )

Din expresia (4.3) se poate ob¡ine stocul subteran la momentul (t-1):

S c S aZt t t− − −= − +1 2 11 4( ) . ( .6 )

Combinând ¿i rearanjând expresiile (4.2-4.6) se ob¡ine scurgerea medie astfel:

X c c S acZ dZt t t t= − + +− −( ) . ( .1 42 1 )7

ºinând cont de ( din expresia (4.5) se ob¡ine: )c St−2

X c X c dZ acZ dZt t t t t= − − − + +− − −( ) ( ) , ( .1 11 1 1 )4 8

sau prin rearanjare:

( )[ ]X c X dZ d c ac Zt t t t= − + − − −− −( ) . ( .1 11 1 )4 9

Eshete (1992) propune eliminarea mediilor multianuale: µx (pentru

scurgere), µs (pentru stocul subteran) ¿i µz (pentru precipita¡ii):

X X S St x t t s t= + = +µ µ' '; Z Zt z t= +µ ' . ( . )4 1 0 ¿i

Astfel expresia (4.9) devine:

( )[ ]X c X dZ d c ac Zt t t t' ' ' '( ) . ( .= − + − − −− −1 11 1 )4 11

81

Expresia de mai sus are forma unui proces mixt autoregresiv ¿i de medie alunecåtoare de ordin (1,1) dacå precipita¡iile reprezintå o serie independentå ¿i nu se admite existen¡å schimbårilor climatice. Modelul ARMA(1,1) define¿te procesul sta¡ionar X t sub forma:

X a X Z b Zt t t t= − + +− −1 1 1 1 4 12, ( . )

1

unde:

a1 ¿i sunt parametri care îndeplinesc condi¡iile de sta¡ionaritate

¿i inversabilitate

b1− < <1 1a − < <1 11b ;

Z t este un proces sta¡ionar necorelat.

Procesul ARMA (1,1) formeazå o generalizare a procesului autoregresiv ¿i

de medie alunecåtoare:

AR X Z a X

MA X Z b X

t t t

t t t

( ) : , ( . )

( ) : . ( . )

1 4

1 4

1 1

1 1

13

14

= −

= +

−

−

Prin aceastå demonstra¡ie se aratå faptul cå modelarea stochasticå a scurgerii

apei con¡ine elemente fizice ale procesului hidrologic. ¥n ceea ce prive¿te transferul de apå între secven¡e de timp se deduc alte

rezultate importante. Astfel, la scara bazinului hidrografic, coeficientul de autocorela¡ie pentru lag-1 sau parametrul modelului AR(1) poate fi utilizat ca måsurå a transferului de apå.

Cu toate cå Box ¿i Jenkins (1976) postuleazå faptul cå nu se pot atribui semnifica¡ii fizice parametrilor modelelor ARMA (modele stochastice black-box) demonstra¡ia de mai sus aratå faptul cå parametrul AR(1) exprimå gradul de influen¡å a filtrului geologic (la care se adaugå într-o måsurå mai mare sau mai micå influen¡a filtrului geografic) asupra transferului de apå.

Haidu et al. (1995) aratå cå între parametrul AR(1) ¿i anumi¡i indici fiziografici ai bazinului hidrografic existå legåturi statistice. ¥n aceastå lucrare s-au luat în considerare 40 de serii de debite medii lunare înregistrate pe râurile din nordul Transilvaniei.

Seriile prezintå periodicitatea de 12 luni atât în medie cât ¿i în devia¡ia standard. ¥n prealabil s-a procedat la o transformare de tip Box-Cox (cap. 5.3.3). Dessezonalizarea s-a realizat cu ajutorul unei metode recomandate de Kendall (1973), rezultând astfel 12 indici sezonieri ¿i serii reziduale care s-au dovedit a fi sta¡ionare de ordinul doi.

82

Func¡ia de autocorela¡ie (ACF) ¿i func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå (PACF)

aplicate seriilor reziduale sta¡ionarizate indicå modelul ARMA(1,0) ca fiind cel

mai potrivit model stochastic. Modelul identificat îndepline¿te criteriile de

validare specifice metodologiei Box - Jenkins (cap. 5). Avantajul acestui model

îl reprezintå faptul cå având doar un singur parametru, AR(1), este cel mai

economicos posibil.

Prin analiza de regresie s-a studiat posibila legåturå dintre parametrul

stochastic identificat ¿i anumi¡i indici fiziografici ai bazinului hidrografic

(fig. 4.2).

Astfel, s-au luat în considerare urmåtoarele elemente:

* altitudinea medie a bazinului ( ; ,H mr )

* panta medie reflectatå de indicele ( )H Ar / : unde este altitudinea Hr

medie relativå în m;

* aria bazinului, A, în km2 ;

* scurgerea medie specificå, ( )q l s km, / ⋅ 2 ;

* un index de compactitate geologicå, notat cu C , care depinde de rezisten¡a mecanicå a rocilor, porozitate ¿i permeabilitate.

i

Primii trei indec¿i exprimå filtrul geografic, iar ultimul exprimå filtrul

geologic. Analiza de regresie permite, în primul rând, divizarea bazinelor în

douå categorii ¿i anume: bazine cu roci, în general, metamorfice ¿i eruptive

fisurate ¿i fracturate, ¿i bazine având roci sedimentare detritice, în general,

poroase. ¥n ceea ce prive¿te bazinele metamorfice ¿i eruptive, dreptele de

regresie par a fi semnificative doar în cazul altitudinii medii a bazinelor (a) ¿i în

cazul indexului de compactitate geologicå (e).

Pentru bazinele sedimentare parametrul AR(1) se diminueazå pe måsura

cre¿terii valorilor indicilor fiziografici. Men¡ionåm faptul cå în cazul indexului

de compactitate geologicå apar mai multe drepte de regresie, dar totu¿i

neconvingåtoare, datoritå numårului mic de serii analizate.

83

Fig. 4.2. Legåtura dintre parametrul AR(1) ¿i indici fiziografici ai bazinului hidrografic;

a, c, e, g - bazine dominant metamorfice ¿i eruptive; b, d, f, h - bazine dominant

sedimentare detritice; - altitudinea medie absolutå; Ha Hr / A - indice de pantå,

q - scurgerea medie specificå; C - index de compactitate geologicå. i

84

4.3. CAZUL PRECIPITAºIILOR AR(p) ªI ARMA(p,q) Salas ¿i Smith (1981), ¿i Eshete (1992) au dezvoltat modele conceptuale

ARMA ale scurgerii de ordin superior în care precipita¡iile sunt reprezentate de procese AR(p) ¿i ARMA(p,q).

Se considerå precipita¡iile ( )Zt ca fiind exprimate de un model AR(1):

Z Zt t t' ' , (= +−φ ε1 4 15. )

unde : φ este parametrul autoregresiv;

ε t - seria rezidualå independentå.

Substituind ecua¡ia (4.15) în ecua¡ia (4.3), stocul subteran se scrie astfel:

( ) ( )S c S c S at t t t' ' ' , ( .= − + − − +− −1 11 2φ φ ε )4 16

x

care este un proces AR(2).

¥n mod similar, combinând ecua¡iile (4.2), (4.3) ¿i (4.15) scurgerea

devine: X Xt t' = − µ

( ) ( ) ( )[ ]X c X c X d d c act t t t t' ' ' , ( . )= − + − − + − − −− − −1 1 11 2 1φ φ ε ε 4 17

. )

care corespunde unui proces ARMA(2,1).

Så presupunem faptul cå precipita¡iile sunt reprezentate de un proces

ARMA(1,1), atunci:

Zt

Z Zt t t t

' ' , (= + −− −φ ε θ ε1 1 4 18

unde : φ este parametrul autoregresiv;

θ - parametrul de medie alunecåtoare; ε t - seria rezidualå independentå.

Substituind ecua¡ia (4.18) în ecua¡ia (4.3), stocul subteran se

scrie astfel:

S St t' = − µs

( ) ( )S c a S c a S a at t t t t' ' ' , ( .= − + + − + −− − −1 11 2 1φ φ ε θε )4 19

85

care este un proces ARMA(2,1). ¥n mod similar, combinând ecua¡iile (4.2), (4.3) ¿i (4.18) scurgerea râului

devine:

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]X c X c X d

d c ac ac d ct t t t

t t

' ' '

, ( .

= − + − − + −

− − + − − − −− −

− −

1 1

1 11 2

1 2

φ φ ε

θ ε θ ε )4 20

)

care corespunde unui proces ARMA(2,2).

Så presupunem faptul cå precipita¡iile ( sunt exprimate de un model

MA(1), deci

Ztφ = 0 în ecua¡ia (4.18), atunci:

Zt t t' . (= − −ε θε 1 4 21. )

¥n ecua¡iile (4.19) ¿i (4.20) se observå faptul cå pentru φ = 0 dispar termenii

autoregresivi pentru momentul de timp (t-2). ¥n acest caz stocul subteran devine un proces ARMA(1,1), iar scurgerea medie un model ARMA(1,2).

Prin mårirea ordinului AR(p) sau ARMA(p,q) a input-ului (precipita¡iile care intrå în sistemul bazin hidrografic) apar efecte stochastice asupra varia¡iei afluxului subteran ¿i asupra varia¡iei scurgerii medii. Apreciem faptul cå efectele stochastice imprimate de schimbarea caracteristicilor input-ului vor exprima ¿i efecte de ordin fizic privind caracteristicile cantitative ale scurgerii.

86

5. GHID PRACTIC PENTRU MODELAREA ARIMA

5.1. INTRODUCERE Metodologia de modelare a lui Box ¿i Jenkins (1976) se utilizeazå numai

pentru serii de timp sta¡ionare, observa¡iile fiind generate de procese ARIMA (Autoregresiv, Integrat ¿i Medie alunecåtoare). Modelele (ARIMA) combinå trei tipuri de procese : autoregresia (AR), diferen¡ierea pentru a dezvålui integritatea seriei (I) ¿i media alunecåtoare (MA). Toate aceste trei procese se bazeazå pe conceptul de perturbare sau ¿oc aleator. Procesul are o desfå¿urare relativ echilibratå în jurul unei valori medii constante dar, între douå valori consecutive apare o perturbare sau un ¿oc care afecteazå nivelul local al seriei. Aceste perturba¡ii sunt descrise matematic de modelele ARIMA. Fiecare din cele trei procese componente råspunde într-un mod specific la ¿ocurile aleatoare. Cel mai general model ARIMA implicå toate cele trei procese, fiecare fiind descris de un numår întreg. Neglijând sezonalitatea, modelul se scrie sub forma ARIMA(p,d,q), unde p este ordinul autoregresiei, d este gradul de diferen¡iere iar q este ordinul mediei alunecåtoare. De¿i acestea sunt legate între ele în cadrul aceluia¿i proces, caracteristicile lor pot fi examinate separat.

Primul dintre cele trei procese incluse în modelele ARIMA este autoregresia. ¥n cadrul unui proces autoregresiv, fiecare dintre valorile unei serii este o func¡ie liniarå de valoarea sau valorile precedente. ¥ntr-un proces autoregresiv de ordinul întâi se utilizeazå doar prima valoare precedentå; în cadrul procesului autoregresiv de ordinul doi se utilizeazå primele douå valori precedente ¿i a¿a mai departe. ¥n mod obi¿nuit aceste procese se noteazå cu AR(n), unde numårul din parantezå indicå ordinul. Astfel, AR(1) este un proces autoregresiv de ordinul întâi, unde:

VALOAREA soc VALOAREAt t= + ⋅ −ϕ 1 5 1. ( . )

Coeficientul ϕ se estimeazå pe baza seriei de observa¡ii ¿i indicå cât de mult

depinde fiecare valoare de cea precedentå. Fiindcå ordinul autoregresiei (p=1) este primul parametru al modelului ARIMA, un model AR(n) este identic cu modelul ARIMA(n,0,0).

87

Din punct de vedere conceptual, procesul autoregresiv este un proces cu memorie deoarece fiecare valoare este corelatå cu toate celelalte precedente. ¥n cadrul unui proces AR(1), valoarea curentå este în func¡ie de cea precedentå, care la rândul ei depinde de cea precedentå ¿i a¿a mai departe. ¥n cazul unui model AR(p) al scurgerii unui râu se poate afirma cå parametrul p reflectå efectul de memorie. Din punct de vedere fizic, memoria bazinului este determinatå de caracteristicile geologice ¿i reflectatå de particularitå¡ile scurgerii de bazå.

Pentru a explica rolul diferen¡ierii în cadrul modelårii ARIMA trebuie så re¡inem faptul cå deseori o serie de timp exprimå efectul cumulat al mai multor procese. Procesele sunt responsabile de schimbårile nivelului mediu local al seriei. Efectul cumulat al schimbårilor locale genereazå nivelul mediu global al seriei (media).

Nivelul mediu global al unei serii, calculat pentru o lungå duratå, poate så nu sufere schimbåri. Valorile acelea¿i serii pot totu¿i så se abatå aleator ¿i semnificativ de la nivelele medii locale (calculate pentru intervale mai scurte). Schimbårile de nivel care survin în mod întâmplåtor de la o valoare la alta se studiazå prin procedeul de diferen¡iere dintre o valoare ¿i cea urmåtoare. Dacå diferen¡ele ob¡inute sunt relativ constante, atunci este vorba de sta¡ionaritate, ceea ce este de dorit din punct de vedere al modelårii stochastice.

Pentru modelele care reflectå efectul cumulat al mai multor procese, efect care mai poartå numele de integrat, se utilizeazå nota¡ia I(d) sau ARIMA(0,d,0). Cel mai simplu model de acest tip este I(1) sau ARIMA(0,1,0). Rareori este nevoie de un model de diferen¡e al diferen¡elor, care se noteazå cu I(2) sau ARIMA(0,2,0) ¿i a¿a mai departe. Modelul I(1) poate fi apreciat ca fiind un model cu memorie perfectå, pentru cå depinde de valoarea precedentå ¿i numai de valoarea precedentå. Cu excep¡ia fluctua¡iilor aleatoare, fiecare valoare a seriei noi generatå de modelul I(1) este relativ egalå cu valoarea precedentå. Un asemenea proces este, adesea, numit mers aleator deoarece fiecare valoare este rezultatul efectuårii unui pas aleator pe axa timpului dinspre valoarea precedentå. Un model I(1) poate fi privit ca un model AR(1) pentru care coeficientul de regresie ϕ = 1. ¥ntotdeauna este mai u¿or a studia diferen¡ele de ordinul întâi decât a lucra cu coeficien¡i de regresie apropia¡i valorii 1.0.

Ultimul proces utilizat de modelele ARIMA, ¿i cel mai dificil de vizualizat este media alunecåtoare. ¥n cadrul unui proces de medie alunecåtoare, fiecare valoare este determinatå în func¡ie de valoarea ¿ocului curent ¿i în functie de unul sau mai multe ¿ocuri anterioare. Ordinul mediei alunecåtoare notat cu MA(q) indicå numårul de ¿ocuri anterioare utilizate pentru calculul noii valori. Ecua¡ia procesului de medie alunecåtoare de ordinul întâi este:

VALOAREA soc soct t= + ⋅ −θ 1 5 2. ( . )

Nota¡ia standard MA(n) sau ARIMA (0,0,n) indicå faptul cå n ¿ocuri

anterioare se utilizeazå pe lîngå cel curent.

88

Diferen¡a dintre un proces autoregresiv ¿i unul de medie alunecåtoare este subtilå ¿i importantå. Fiecare valoare a unei serii de medie alunecåtoare este o medie ponderatå de cele mai recente ¿ocuri aleatoare, în timp ce orice valoare a unei serii autoregresive este o medie ponderatå de cele mai recente valori ale seriei de observa¡ii. ¥n cadrul unui proces de medie alunecåtoare, un ¿oc aleator influen¡eazå seria pentru un numår finit de perioade (numår indicat de ordinul q al mediei lunecåtoare) apoi aceastå influen¡å înceteazå brusc.

¥n cadrul unui proces autoagresiv o anumitå valoare curentå a seriei este influen¡atå de valorile anterioare ¿i de ¿ocul curent. Prin urmare, efectul acestei influen¡e înceteazå treptat, pe måsura trecerii timpului.

5.2. ETAPE DE LUCRU Dupå cum s-a spus, metodologia ARIMA se referå la serii sta¡ionare, deci

pentru ob¡inerea acestei caracteristici deseori se impun efectuarea unor opera¡ii preliminare. Dacå se satisfac anumite condi¡ii statistice se poate trece la etapele propriu-zise ale metodologiei ARIMA (fig.5.1).

Principalele condi¡ii statistice se referå la normalitate ¿i sta¡ionaritate. Prin aplicarea unei transformåri de tip Box-Cox asupra unei serii de timp cu anumitå distribu¡ie non-normalå, se ob¡ine o serie de distribu¡ie normalå sau apropiatå de normalitate. Uneori transformarea Box-Cox poate avea ¿i efectul de sta¡ionaritate. Dacå dupå transformarea efectuatå se constatå faptul cå seria este nesta¡ionarå se impun alte opera¡ii: eliminarea tendin¡ei globale, eliminarea componen¡ei sezoniere (dacå este cazul), diferen¡ierea etc. Se va avea în vedere, de asemenea, satisfacerea condi¡iei de ergodicitate (cap. 1.5 ¿i 2.2). O posibilå cauzå a non-ergodicitå¡ii o reprezintå tendin¡ele locale.

¥n metodologia clasicå de modelare a seriilor de timp se construie¿te un model aditiv (sau multiplicativ) identificând în prima fazå tendin¡a globalå ¿i componenta sezonierå. Eliminarea acestora printr-o simplå diferen¡å, transformå uneori seria ini¡ialå într-o serie sta¡ionarå.

Cel mai eficient mod de sta¡ionare îl reprezintå în cadrul metodologiei Box-Jenkins opera¡ia de diferen¡iere. Subliniem faptul cå ob¡inerea unei serii sta¡ionare ¿i ergodicå necesitå ¿i eliminarea tendin¡elor locale. Acest lucru presupune înså identificarea în prealabil a seriei tendin¡elor locale, sau a tendin¡ei compozite (dacå aceasta existå ¿i dacå are semnifica¡ie statisticå) printr-o metodå adecvatå (modelarea Fourier, transformata Fourier etc.) Opera¡ia aceasta este deosebit de complicatå ¿i riscantå, deoarece efectul ei poate fi introducerea unor pattern-uri artificiale în seria rezidualå. Opera¡ia de diferen¡iere sau diferen¡iere repetatå (în metodologia Box-Jenkins) eliminå tendin¡ele locale, dar are inconvenientul faptul cå nu permite vizualizarea

89

acestora (lucru dorit de utilizator pentru emiterea unor explica¡ii sau ipoteze). Dupå cum s-a våzut în cap.3, modelele ARIMA iau în considerare efectul diferen¡ierii sau diferen¡ierilor în faza de elaborare a simulårii sau predic¡iei.

Cele trei procese aleatoare care stau la baza modelelor ARIMA sunt strâns legate între ele în cadrul procesului aleator global care genereazå succesiunea de valori ale seriei de timp. Nu existå un algoritm de calcul care så poatå elabora modelul corect al seriei de timp.

Date ini¡iale Opera¡ii preliminare

Transformare Box-Cox Sta¡ionarizare

Sunt satisfåcute condi¡iile

statistice ?

Selectarea modelului Identificarea ordinului

Estimarea parametrilor

Testarea modelului Validare

DA

NU

DA

NU

A

R

M

A

Aplica¡ii

Fig. 5.1. Etapele modelårii Box-Jenkins.

90

Metodologia Box-Jenkins oferå o procedurå de elaborare a celui mai bun model posibil al seriei de timp. Presupunând cå seria hidrologicå de care dispunem satisface condi¡iile men¡ionate (eventual dupå aplicarea unor opera¡ii preliminare) urmeazå trei etape: selectarea modelului, estimarea parametrilor ¿i validarea, care se repetå pânå când modelul este satisfåcåtor (v. fig.5.1).

Prima ¿i una din cele mai subiective etape o reprezintå selectarea modelului. Aceastå etapå presupune identificarea ordinului modelului, adicå determinarea a trei numere întregi p, d, q, ale procesului ARIMA(p, d, q) care genereazå seria de timp. Seriile hidrologice lunare sau anotimpuale (sezoniere în general) necesitå un alt set de parametrii pentru a descrie ¿i varia¡ia sezonierå.

Dacå seria de timp este nesta¡ionarå (nivelul ei mediu variazå pe intervale de timp scurte sau varia¡ia este inconstantå în timp) se procedeazå la diferen¡iere. Astfel fiecare valoare a seriei este înlocuitå cu diferen¡a dintre valoarea curentå ¿i cea precedentå, rezultând o nouå serie de tip Box-Cox (logaritm, radical etc.) pot fi, de asemenea, utilizate dacå în situa¡ia în care pe intervale scurte existå diferen¡e între amplitudinea valorilor succesive. Numårul de diferen¡ieri efectuate se exprimå prin parametrul d al modelului ARIMA. ¥n mod obi¿nuit d este egal cu 0 sau 1, foarte rar cu 2.

Urmeazå apoi identificarea parametrilor p ¿i q, ordinele proceselor autoregresive respectiv de medie alunecåtoare. Ambii parametrii sunt în mod obi¿nuit 0, 1 sau 2 (foarte rar mai mari) în cazul seriilor nesezoniere. Pentru identificarea corectå a lui p ¿i q se utilizeazå func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå (PACF) respectiv func¡ia de autocorela¡ie (ACF), (vezi Anexa 1). ACF ¿i PACF dau autocorela¡ia ¿i autocorela¡ia par¡ialå pentru decalaje de timp-lag 1, 2, 3 ¿i a¿a mai departe (de obicei este suficient så se examineze valorile ACF ¿i PACF pentru lag maxim = 15.

Valorile ACF ale unui model AR(p) vor descre¿te exponen¡ial (cu posibila alternan¡å a valorilor pozitive ¿i negative). Ordinul p va corespunde unui numår de p vârfuri ¿i se va deduce din valorile PACF.

Valorile PACF ale unui model MA(q) vor descre¿te, de asemenea, exponen¡ial. Ordinul q va corespunde unui numår de q vârfuri ¿i se va deduce din valorile ACF. Dacå valorile ACF descresc foarte lent, atunci se impune efectuarea diferen¡ierii înaintea identificårii modelului.

Modelele mixte ARMA sau ARIMA au ACF ¿i PACF mult mai complexe, ¿i identificarea lor necesitå parcurgerea de mai multe ori a ciclului selectare-estimare-validare. Anexa 1 prezintå grafice ale ACF ¿i PACF teoretice ¿i ordinele modelelor ARMA corespunzåtoare.

91

Selectarea modelului

componenta non-aleatoare

Estimarea modelului componenta non-aleatoare

Testarea modelului Componenta non-aleatoare

Modelul este bun ?

DA

NU

Testarea modelului componenta aleatoare

1

2

3

4

Estimarea modelului componenta aleatoare 5

Estimarea modelului global

NU

DA

Testarea modelului global

Modelul este bun ?

Selectarea modelului global

6 8 7

Aplica¡ii

Fig. 5.2. Etapele modelårii unei serii de timp scalare (Vandewiele, 1988). Etapa de estimare a parametrilor necesitå parametrii p, d, q ¿i seria

sta¡ionarizatå. Metoda verosimilitå¡ii-maxime (sau altå metodå) determinå prin itera¡ie coeficien¡ii (estimatorii) modelului ARIMA. Tot în aceastå etapå se simuleazå o nouå serie (numitå serie fitatå, modelatå sau simulatå) pe baza modelului ARIMA(p,d,q) corespunzåtoare perioadei de timp observate.

92

Diferen¡a dintre seria ini¡ialå ¿i seria simulatå reprezintå seria rezidualå (seria erorilor). Modelarea ARIMA(p,d,q) solicitå, de asemenea, calculul limitelor de confiden¡å ale seriei simulate ¿i elaborarea predic¡iei pentru un interval dorit.

Etapa de testare a modelului ¿i de validare necesitå seria simulatå ¿i seria erorilor. Seria simulatå trebuie så aibå acelea¿i caracteristici statistice, specifice sriilor de timp, ca ¿i seria ini¡ialå. Valorile ACF ¿i PACF ale seriei reziduale nu trebuie så difere semnificativ de 0. Dacå primele 1-2 valori ale coeficien¡ilor de corela¡ie, în cazul seriei reziduale, depå¿esc nivelul limitelor de confiden¡å de 95% rezultå cå modelul a fost gre¿it selec¡ionat. Deci, se va proceda la selec¡ionarea unui nou model candidat pentru analiza stochasticå.

Rezultatele ob¡inute în studiul seriilor de timp hidrologice aratå cå dacå 1-2 coeficien¡i depå¿esc limita de 95% dar numai în cazul lag-urilor mari (peste 7-8) modelul poate fi apreciat ca fiind satisfåcåtor. Nici ACF, PACF ale rezidurilor ¿i nici seria rezidualå înså¿i nu trebuie så con¡inå pattern-uri. Seria rezidualå trebuie så aibå caracteristicile unui zgomot alb.

Existå teste adecvate pentru verificarea reziduului sau a seriei simulate. Tot în cadrul acestei etape se estimeazå erorile standard ale coeficien¡ilor ϕ ¿i θ ¿i se verificå dacå ace¿tia sunt semnificativi din punct de vedere statistic. Dacå coeficien¡ii nu sunt semnificativi rezultå necesitatea reluårii ciclului de modelare.

Vandewiele (1988) include etapele modelårii ARIMA într-un algoritm mai larg în care seria ini¡ialå este nesta¡ionarå. ¥n figura 5.2 se prezintå etapele modelårii unei serii scalare nesta¡ionare care con¡ine o componentå non-aleatoare ¿i o componentå aleatoare ¿i sta¡ionarå.

5.3. UTILIZAREA PROGRAMULUI PEST Unul dintre programele care modeleazå serii de timp scalare pe baza

metodologiei Box-Jenkins este programul PEST (Parameter ESTimation) din pachetul ITSM (Interactive Time Series Modelling) elaborat de Brockwell et al. (1991) care se va desrie în continuare. Alte pachete de programe care rezolvå în întregime, sau numai par¡ial, probleme similare de modelare sunt: SAS, SPSS, STATGRAPHICS, EXCEL, MHTS etc. Pachetul ITSM este accesibil, simplu ¿i u¿or de învå¡at, ¿i nu necesitå licen¡å de instalare.

5.3.1. MENIUL PRINCIPAL ªI MENIUL DATELOR

Meniul principal cuprinde : 1: Data entry; statistics; transformations 2: Entry of an ARMA(p,q) model

10: Model and data file status 11: Exit from program

93

¿i posibilitatea alegerii uneia dintre aceste rutine (Choose a number : ). Accesul în program se face fie prin op¡iunea 1 (citirea unui fi¿ier de date care

trebuie så fie în format ASCII, o valoare pe linie) fie prin op¡iunea 2 (citirea lui p ¿i q ale unui model ARMA). ¥n orice etapå de lucru se poate importa o nouå serie, dar atunci vechea serie este eliminatå. Importåm seria de debite medii lunare (l/s) numitå Sohodol (date fictive) prin op¡iunea 1, care apoi se confirmå cu yes ¿i apoi se introduce numele fi¿ierului de date (Sohodol). Dupå citirea datelor se deschide Meniul datelor (fig. 5.3).

1. Input new data set

2. Plot the 120 data values; find mean and variance 3. Plot sample ACF/PACF of current data file 4. File sample ACF/PACF of current data file 5. Box-Cox transformation 6. Remove seasonal compt. 7. Remove polynomial trend 8. Difference current data 9. Subtract the mean of 11. Return to main menu

Fig. 5.3. Meniul datelor din programul PEST. Op¡iunea 1 din Meniul datelor permite schimbarea fi¿ierului de date curente.

¥n prealabil, prin op¡iunea 10 se pot salva rezultatele ob¡inute pânå în acel moment (Aten¡ie, la prima citire a unui fi¿ier de date, op¡iunea 10 nu este vizibilå). Numele ales pentru fi¿ierul care urmeazå a fi salvat trebuie så fie diferit de celelalte denumiri ale fi¿ierelor de date din directorul curent pentru a evita pierderea de informa¡ii. Meniul datelor prezintå la început numele fi¿ierului, numårul de valori, iar pentru verificarea identitå¡ii seriei, se mai afi¿eazå primele trei, respectiv ultima valoare ale coloanei de date.

5.3.2. INSPECºIA VIZUALÅ Analiza unei serii de timp începe cu reprezentarea ei graficå. Op¡iunea 2 din

Meniul datelor oferå trei posibilitå¡i de reprezentare a observa¡iilor. ¥n primul rând apare histograma datelor (fig.5.4), în al doilea rând se prezintå unele caracteristici statistice ale e¿antionului (media, devia¡ia standard ¿i coeficientul de asimetrie) ¿i în al treilea rând se afi¿eazå graficul valorilor în func¡ie de timp (fig.5.5). Utilizatorul va trebui så verifice toate aceste informa¡ii în scopul identificårii celor mai potrivite opera¡ii pentru a transforma (dacå este cazul) seria nesta¡ionarå într-o serie sta¡ionarå.

94

F M =243.1 Std=121.7 Cs =1.2

0 5

Fig. 5.4. Distribu¡ia frecven¡elor debitelor medii lunare (standardizate)

ale râului Sohodol.

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

l/s

1 120timpul în luni

Fig. 5.5. Varia¡ia debitelor medii lunare (pe 10 ani) ale râului Sohodol .

Histograma oferå informa¡ii privind forma distribu¡iei de frecven¡å ¿i gradul

de asimetrie. Axa verticalå ¿i axa orizontalå sunt redimensionate pentru a indica cât de mult distribu¡ia de frecven¡å a seriei examinate se abate de la normalitate.

Observa¡ie: S-a renun¡at la prezentarea legendei pentru scårile orizontalå ¿i

verticalå a histogramelor standardizate, analizându-se numai forma acestora. Graficul seriei permite formularea unor idei generale privind: 1. prezen¡a sau absen¡a unei tendin¡e globale; 2. prezen¡a sau absen¡a tendin¡elor locale; 3. prezen¡a sau absen¡a sezonalitå¡ii; 4. existen¡a varia¡iilor episodice bru¿te sau a salturilor; 5. variabilitatea dispersiei în timp; 6. existen¡a legåturii (corela¡iei) între termenii succesivi. Media, devia¡ia standard ¿i coeficientul de asimetrie sunt elemente statistice

descriptive care se re¡in, de asemenea, în faza inspec¡iei vizuale. Efectuarea opera¡iilor preliminare (transformåri Box-Cox, dessezonalizare, eliminarea tendin¡ei, modificarea distribu¡iei de frecven¡å etc.) vor fi resim¡ite de elementele de statisticå descriptivå asociate.

95

.8

0

ACF PACF

-.8

Fig. 5.6. ACF ¿i PACF ale debitelor medii lunare ¿i limitele de confiden¡å de 95 %. Prin sinteza tuturor informa¡iilor vizuale utilizatorul va lua decizia optimå,

astfel încât seria hidrologicå transformatå så satisfacå cerin¡ele statistice ini¡iale impuse de modelarea Box-Jenkins.

¥n cazul râului Sohodol valorile înregistrate timp de 10 ani reprezintå medii lunare exprimate în l/s. Distribu¡ia de frecven¡å (v. fig. 5.4) ¿i elementele de statisticå descriptivå indicå o valoare mare a asimetriei ¿i o abatere semnificativå de la normalitate. Graficul din figura 5.5 indicå prezen¡a unei tendin¡e globale descrescåtoare, în acela¿i sens ¿i în paralel descre¿te dispersia ¿i existå o componentå sezonierå cu perioada aproximativ egalå cu 12 (deoarece datele sunt medii lunare, perioada se poate deduce ¿i din grafic).

Pentru o investiga¡ie ¿i mai riguroaså se utilizeazå func¡ia de autocorela¡ie (ACF) ¿i func¡ia de autocorela¡ie par¡ialå (PACF). ACF indicå clar existen¡a unei periodicitå¡i egale cu 12 care se amortizeazå pentru lag-uri mai mari, semn cå este vorba ¿i de o tendin¡å globalå (fig. 5.6). PACF indicå o autocorela¡ie puternicå de ordinul 1, semn cå în general, doi termeni învecina¡i sunt strâns corela¡i.

Observa¡ie: ¥n prezentare s-a renun¡at la afi¿area valorilor func¡iilor ACF ¿i

PACF, analizându-se numai forma corelogramei. 5.3.3. OPERAºII PRELIMINARE - STAºIONARIZARE

Se impune efectuarea unor opera¡ii preliminare pentru a transforma seria

ini¡ialå într-o serie compatibilå ipotezei de sta¡ionaritate.

5.3.3.1. Transformåri Box-Cox. Op¡iunea 5 din Meniul datelor realizeazå o transformare de tip Box-Cox. Dacå debitele ini¡iale sunt y , transformarea Box-Cox notatå cu

, y , ..., y , 1 2 nf λ , creazå o nouå serie

astfel: ( ) ( ) (f y f y f ynλ λ λ1 2, , . . . , )

96

( ) ( )( ) ( )

f y y pt

f y y pt

= − ≠

= =

λ λ λ

λ

1 0

0 5

/ . , (

log . . ( . )

5 3

4

. )

Aceastå transformare este utilå dacå dispersia prezintå varia¡ii în timp. Prin

alegerea unui λ potrivit (în urma a mai multor încercåri) se va cåuta ob¡inerea unei dispersii relativ constante în timp. Dupå efectuarea transformårii se reia faza inspec¡iei vizuale.

Dacå noua serie nu satisface condi¡iile preliminare, prin op¡iunea 5 se revine la datele ini¡iale pentru a încerca o nouå transformare.

Pentru valori pozitive (cazul debitelor râului Sohodol) ¿i pentru situa¡ia în care dispersia variazå liniar paralel cu tendin¡a globalå, transformarea logaritmicå ( )λ = 0 stabilizeazå variabilitatea dispersiei. Figura 5.7 prezintå efectul transformårii ln asupra formei distribu¡iei statistice.

F

M = 5.38 Std= .47 Cs = .21

0 5 Fig. 5.7. Distribu¡ia frecven¡elor debitelor medii lunare logaritmate.

Noua serie prezintå o distribu¡ie de frecven¡å apropiatå de cea normalå, dar

încå decalatå datoritå faptului cå media nu este zero ¿i nici asimetria reduså, a¿a cum ar fi de dorit.

Graficul din figura 5.8 aratå stabilizarea distribu¡iei, dar men¡inerea în continuare a tendin¡ei globale ¿i a sezonalitå¡ii. Aceste ultime caracteristici sunt eviden¡iate ¿i de ACF ¿i PACF (fig. 5.9). Re¡inem faptul cå în continuare se va lucra cu date logaritmate. PEST-ul ia în considerare acest lucru în faza de simulare ¿i predic¡ie. Op¡iunea 10 permite salvarea acestor date cu un nou nume de fi¿ier, de exemplu Sohodol.log .

97

l/s

4

5

6

7

120

timpul în luni 1

Fig. 5.8. Varia¡ia debitelor medii lunare logaritmate.

.8

0

ACF PACF -.4

Fig. 5.9. ACF ¿i PACF ale debitelor medii lunare logaritmate.

5.3.3.2. Descompunerea seriei. Inspec¡ia vizualå a graficului debitelor logaritmate impune eliminarea tendin¡ei ¿i a sezonalitå¡ii. Existå douå posibilitå¡i pentru a realiza acest lucru:

– descompunerea clasicå a seriei în componente (trei în acest caz) ¿i anume tendin¡a globalå, componenta sezonierå, componenta aleatoare rezidualå;

– diferen¡ierea. Descompunerea clasicå a seriei Xt se bazeazå pe modelul :

X m s Yt t t t= + + , ( . )5 5

unde:

Xt este observa¡ia (posibil logaritmatå) la momentul t;

mt - componenta de tendin¡å globalå;

st - componenta sezonierå;

Yt - componenta aleatoare rezidualå care este sta¡ionarå ¿i cu media egalå cu zero.

98

Obiectivele descompunerii clasice constå în estimarea lui mt ¿i st, apoi

eliminarea acestora din Xt pentru a ob¡ine seria rezidualå Yt. Aceasta va fi modelatå ca serie sta¡ionarå conform metodologiei ARMA.

Op¡iunea 6 oferå un algoritm de identificare ¿i eliminare a componentei sezoniere, op¡iunea 7 identificå ¿i eliminå tendin¡a liniarå sau parabolicå, iar op¡iunea 9 eliminå media aritmeticå a seriei.

Dupå aceste etape de lucru seria standardizatå devine automat seria curentå. Programul PEST memoreazå, de asemenea, transformarea efectuatå, parametrii componentei sezoniere, parametrii tendin¡ei polinomiale ¿i media. ¥n etapa de elaborare a seriei simulate sau a celei prognozate, utilizatorul va avea posibilitatea så încorporeze în noua serie modelatå, dupå caz, componentele sistematice ¿i transformårile efectuate în etapa de opera¡ii statistice preliminare.

¥n absen¡a sezonalitå¡ii, modelul (5.5) devine:

X m Yt t t= + , ( . )5 6

unde t = 1,2, ... , n ¿i fårå a pierde din generalitate se poate considera cå . EYt = 0

Prin metoda celor mai mici påtrate (Op¡iunea 7) se determinå tendin¡a globalå de forma:

m a a t a tt = + +0 1 22 57, ( . )

unde sunt astfel estima¡i încât se minimizeazå expresia a , a , a 0 1 2

( )x mt tt

−∑ 2.

¥n cazul debitelor netransformate ale râului Sohodol, tendin¡a globalå este:

m tt = − ⋅358 6 19 5 8. . . ( . ) Literatura de specialitate men¡ioneazå numeroase posibilitå¡i de eliminare a

componentei sezoniere. Algoritmul programului PEST (Op¡iunea 6) se bazeazå pe o metodå propuså de Kendall (1973).

Seria de debite a râului Sohodol este x x xn1 2, , ... , . ¥n prima fazå se

realizeazå o estimare preliminarå a trendului utilizând un filtru de medie alunecåtoare pentru a elimina componenta sezonierå ¿i pentru a atenua zgomotul. Perioada fiind d=12 sau d q= ⋅ = ⋅2 2 6 , se utilizeazå expresia :

( )$ . ... . / , ( . )m x x x x dt t q t q t q t q= ⋅ + + + + ⋅− − + + + +0 5 0 5 5 91 1

99

unde: q t n q< ≤ − ; este estimatorul preliminar al tendin¡ei. $mt

¥n a doua fazå se estimeazå componenta sezonierå. Pentru k=1,...,d se

calculeazå media wk a devia¡iilor:

( ) x m q k jd n kk jd k jd+ +− < + ≤ −$ ; , 5 10( . )

unde: j este indexul anilor (în cazul râului Sohodol (j=1,...,10);

k - indexul lunilor (k=1,...,12) .

Componenta sezonierå sk se estimeazå asfel:

$ , ,... , . ( . )s w d w k dk k ii

d= − ∑ =−

=

1

11 5 11

Seria desezonalizatå se ob¡ine din seria ini¡ialå (posibil transformatå) prin

eliminarea componentei sezoniere:

d x s t nt t t= − =$ , ,... , . ( .1 5 )12 ¥n faza finalå se reestimeazå trendul pornind de la dt printr-o ajustare

polinomialå sau printr-o altå metodå. ¥n cazul debitelor râului Sohodol componenta sezonierå a seriei logaritmate este caracterizatå de urmåtorii parametri:

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

-0.11 0.006 0.377 0.467 0.396 0.169 0.042 -0.237 -0.375 -0.35 -0.283 -0.101

FM = .0 Std= .28Cs = .32

-5 5 0

Fig. 5.10. Distribu¡ia frecven¡elor componentei sezoniere.

100

l/s

- 0 . 4- 0 . 2

00 . 20 . 4

timpul în luni

120

Fig. 5.11. Varia¡ia componentei sezoniere.

FM = 5.38 Std= .37 Cs = .58

5 0

Fig. 5.12. Distribu¡ia frecven¡elor componentei dessezonalizate.

.8

PACF ACF

0

-1 Fig. 5.13. ACF ¿i PACF ale componentei sezoniere.

l/s

4 . 5

5

5 . 5

6

6 . 5

1 120timpul în luni

Fig.5.14. Varia¡ia componentei desezonalizate în jurul tendin¡ei globale.

101

Distribu¡ia frecven¡elor valorilor componentei sezoniere se reprezintå în figura 5.10 iar în figura 5.11 se reprezintå graficul componentei sezoniere în func¡ie de timp. Graficul ACF ¿i PACF al componentei sezoniere (fig.5.13) ilustreazå periodicitatea de 12 luni.

Componenta desezonalizatå dt pe baza ecua¡iei (5.12) are o distribu¡ie de

frecven¡å (fig.5.12) care se apropie de distribu¡ia normalå dar se observå efectul tendin¡ei în valorile indicatorilor statistici. Tendin¡a acestei serii este:

$ . . . ( . )m tt = − ⋅582 0007 513

)m s t n

¥n figura 5.14 se reprezintå varia¡ia componentei dessezonalizate în jurul tendin¡ei globale. Valorile func¡iei ACF aratå cå tendin¡a încå nu s-a eliminat, iar valorile func¡iei PACF sugereazå o posibilå autocorela¡ie de ordinul întâi (fig. 5.16). ¥n final componenta rezidualå, respectiv seria sta¡ionarizatå (candidatå pentru modelarea ARMA) se ob¡ine prin diferen¡å:

Y x$ $ $ , ,... , . ( .t t t t= − − = 1 5 14

Distribu¡ia frecven¡elor seriei $Yt ¿i indicii statistici (fig. 5.15) confirmå

faptul cå aceastå serie satisface condi¡iile statistice pentru modelarea Box-

Jenkins. Graficul seriei sta¡ionarizate ¿i cu media zero (fig. 5.17) nu indicå nici

un fel de pattern care ar sugera reluarea opera¡iilor preliminare.

F

M = .0 Std= .27 Cs = .40

-5

5

0

Fig.5.15. Distribu¡ia frecven¡elor seriei sta¡ionarizatå prin metoda clasicå.

102

.8

0

ACF PACF -.4

Fig. 5.16 ACF ¿i PACF ale componentei desezonalizate.

l/s

- 0 . 9- 0 . 6- 0 . 3

00 . 30 . 60 . 9

120

timpul în luni

Fig. 5.17. Seria sta¡ionarizatå prin metoda clasicå. 5.3.3.3. Diferen¡ierea. Diferen¡ierea, larg utilizatå de Box ¿i Jenkins, este o

altå metodå de sta¡ionare a seriei. Ea se aplicå datelor xt pânå când

diferen¡ele devin o realizare a unui anumit proces sta¡ionar Wt . Apoi se

utilizeazå teoria proceselor sta¡ionare pentru modelarea, analiza ¿i predic¡ia

seriei ¿i astfel a procesului original. Wt ¥n cazul unei serii nesezoniere se utilizeazå operatorul de diferen¡iere

definit astfel: ( )∇ = − = −−X X X B Xt t t t12 1 5, ( 15. )

unde B este operatorul de diferen¡iere:

BX Xt t= −1 5 16. ( . )

Dacå operatorul ∇ se aplicå la o tendin¡å liniarå m a tt b= ⋅ + , se ob¡ine func¡ia constantå ∇ . ¥n acela¿i mod orice tendin¡å polinomialå de grad k

oate fi reduså la o constantå de un anumit operator

=mt a∇k . p

Pornind de la modelul nesezonier (5.6) notåm:

) m a tt jj

j

k= ∑

=05 17, ( .

103

¿i Y fiind o serie sta¡ionarå cu media zero, se ob¡ine: t

∇ = ⋅ + ∇kt k

ktX k a Y! , ( 5 18. )

care este un proces sta¡ionar cu media a (Brokwell ¿i Davis, 1987). k

Aceste considera¡ii sugereazå posibilitatea ca dându-se seria hidrologicå

, prin utilizarea repetatå a operatorului xt ∇ så se ob¡inå o serie ∇ ktx care

ar putea fi modelatå ca proces sta¡ionar. ¥n practicå s-a dovedit cå ordinul k de

diferen¡iere este de cele mai multe ori 1 sau 2.

¥n cazul unei serii sezoniere cu perioada d se va utiliza operatorul

diferen¡iere de lag-d (decalaj d) notat cu ∇d . Operatorul diferen¡ere lag-d se

define¿te asfel:

( )∇ = − = −−d t t t dd

tX X X B X1 5. ( 19. ) Aplicând operatorul ∇ modelului reprezentat prin (5.5) se ob¡ine: d

∇ = − + −− −d t t t d t t dX m m Y Y , ( .5 20 )

care realizeazå o descompunere a seriei de diferen¡e ∇d tX în tendin¡a

(m m ) ¿i seria rezidualå (Y Yt t− −d dt t− − ).

Debitele logaritmate ale râului Sohodol con¡in în continuare componenta

sezonierå cu perioada 12 ¿i o tendin¡å globalå. Op¡iunea 8 permite diferen¡ierea

de lag-12 care genereazå o nouå serie de forma:

Y X Xt t t= − −12 5 21. ( . )

PEST-ul solicitå reluarea seriei supuså transformårii Box-Cox cu op¡iunea

10 înaintea efectuårii diferen¡ierii. Op¡iunea 9 permite eliminarea mediei, pentru

a ob¡ine o serie sta¡ionarå cu media zero. Distribu¡ia de frecven¡å (fig. 5.18)

¿i indicii statistici aratå cå seria ob¡inutå are o distribu¡ie aproximativ normalå,

iar reprezentarea graficå în func¡ie de timp (fig. 5.19) nu eviden¡iazå nici un fel

de pattern. Deci, seria astfel ob¡inutå este sta¡ionarå ¿i cu media zero ceea ce

satisface cerin¡ele pentru modelarea Box-Jenkins.

104

F

M = .0 Std= .39 Cs = .04

-5 5 0

Fig.5.18. Distribu¡ia frecven¡elor seriei sta¡ionarizatå prin diferen¡iere de lag-12.

- 1 .0 0

- 0 .5 0

0 .0 0

0 .5 0

1 .0 0

Fig. 5.19. Seria sta¡ionarizatå prin diferen¡iere de lag-12.

5.3.4. IDENTIFICAREA ORDINULUI ªI SELECTAREA MODELULUI

Rezultatul opera¡iilor preliminare constå în ob¡inerea unei serii sta¡ionare cu

media zero, pe care o notåm cu X t . Problema care urmeazå a fi rezolvatå în

aceastå etapå este identificarea celui mai potrivit model ARMA(p,q) pentru a

reprezenta seria . Instrumentele pe care le oferå programul PEST sunt

ACF, PACF ¿i un criteriu statistic notat cu AICC care, reprezintå o formå corectatå al criteriului Akaike. Dupå efectuarea opera¡iilor preliminare în Meniul datelor (v. fig.5.3) råmân active doar op¡iunile 1, 2, 3, 4, 10 ¿i 11.

X t

Op¡iunea 3 din Meniul datelor oferå corelogramele ¿i valorile ACF ¿i PACF ale datelor analizate. Un lag = 1/4 din volumul seriei se dovede¿te deseori a fi satisfåcåtor. Pentru serii hidrologice se recomandå utilizarea unui lag mai mare decât periodicitatea suspectatå, de exemplu pentru valori lunare lag = 14 - 15.

Mårimea valorilor ACF ¿i PACF precum ¿i forma corelogramelor sunt instrumentele care sugereazå un prim model ARMA (p,q) care s-ar putea så fie cel optim prin satisfacerea etapei de testare ¿i validare (v. fig. 5.1). ACF este o måsurå a dependen¡ei dintre observa¡ii în func¡ie de diferite decalaje (lag-uri) realizate pe axa timpului. PACF reprezintå corela¡ia dintre rezidurile

ob¡inute prin regresia liniarå de X sit k+ X t X X Xt t t k+ + + −1 2, , . . . , 1. Astfel,

105

PACF este o måsurå a dependen¡ei dintre X sit k+ X t dupå eliminarea efectului variabilelor X X Xt t t k+ + + −1 2, , . . . , 1 (cap.3). Interpretarea corelogramelor necesitå o oarecare experien¡å sau mai multe încercåri. Anexa I oferå câteva exemple de identificare a ordinului modelului pe baza formei corelogramelor ACF ¿i PACF.

PEST -ul afi¿eazå, de asemenea, limitele de ±1 96. n care reprezintå limitele de confiden¡å de 95 % ale autocorela¡iei unui proces sta¡ionar necorelat. Dacå nici o valoare a ACF ¿i PACF nu depå¿e¿te aceste limite atunci putem considera seria respectivå ca fiind realizarea unui proces stochastic zgomot alb. Dacå limitele respective sunt depå¿ite semnificativ (sau chiar ¿i frecvent sau sistematic) se sugereazå necesitatea identificårii ordinelor p ¿i q ale unui posibil model ARMA (p,q) capabil så explice dependen¡a stochasticå. Op¡iunea 4 permite salvarea corelogramelor ¿i a valorilor ACF ¿i PACF pentru a fi citite ulterior.

Så comparåm valorile ACF ¿i PACF a seriilor sta¡ionarizate prin metoda clasicå (fig.5.20) ¿i a celei sta¡ionarizatå prin diferen¡iere de lag - 12 (fig.5.21) ¿i så examinåm forma corelogramelor. ¥n ambele cazuri p = 1 ¿i q = 0, modelul fiind ARMA (1,0).

.6 MA(0) AR(1)

0

ACF PACF -.6

Fig. 5.20. ACF ¿i PACF ale seriei sta¡ionarizate prin metoda clasicå.

.6

MA(0) AR(1)

0

ACF PACF

-.6

Fig. 5.21. ACF ¿i PACF ale seriei sta¡ionarizate prin diferen¡iere de lag-12.

106

Pentru râul Sohodol, atât metoda clasicå, cât ¿i diferen¡ierea au condus la serii sta¡ionare care îndeplinesc condi¡iile solicitate pentru modelarea Box - Jenkins. ¥n figura 5.21 se observå faptul cå limitele de confiden¡å sunt depå¿ite pentru lag = 11 - 12 ceea ce înseamnå cå prin diferen¡ierea de lag - 12 nu s-a eliminat complet influen¡a sezonalitå¡ii. Fie cå se procedeazå la încå o diferen¡iere, fie cå acceptåm acest rezultat deoarece depå¿irea limitelor de confiden¡å s-a produs pentru lag - uri mari (peste 7 - 8) ceea ce nu poate influen¡a prea mult etapele urmåtoare de modelare.

Aceastå etapå de lucru realizeazå, în cadrul programului PEST, pe lângå identificarea valorilor p ¿i q, respectiv selectarea modelului candidat ARMA

(p,q), ¿i estimarea preliminarå a parametrilor ϕI , θj : i = 1,..., p ; j = 1,..., q corespunzåtori. De exemplu în cazul râului Sohodol s-au ob¡inut urmåtoarele rezultate:

ϕ1 = .408, θ1 = .408 pentru datele sta¡ionarizate prin metoda clasicå; ϕ1 = .391, θ1 = .391 pentru datele sta¡ionarizate prin diferen¡iere de lag -12. Valorile ACF ¿i PACF ob¡inute în cadrul acestei etape sunt doar aproximåri

care vor servi etapei urmåtoare.

5.3.5. ESTIMAREA PARAMETRILOR Determinarea unui model ARMA(p,q) capabil så reprezinte o serie sta¡ionarå

de observa¡ii hidrologice implicå unele probleme legate între ele. Pentru fiecare cuplu posibil de valori p, q se vor estima coeficien¡ii

ϕI , θj : i = 1,..., p ; j = 1,..., q corespunzåtori ¿i varian¡a reziduurilor notatå cu

σ2, care reprezintå o estimare a varian¡ei procesului stochastic necorelat

(Var ( zt )). Coeficien¡ii autoregresivi se estimeazå cu ajutorul ecua¡iilor Yule - Walker, iar pentru coeficien¡ii de medie alunecåtoare se pleacå de la ecua¡iile Yule - Walker ¿i se utilizeazå un algoritm de inova¡ie (Box ¿i Jenkins, 1976; Brockwell ¿i Davis, 1987).

Se tasteazå 11 pentru a påråsi Meniul datelor ¿i automat se intrå în Meniul principal (în configura¡ie reduså). ¥n acest moment progamul PEST re¡ine ca date curente valorile ϕ ¿i θ preliminare. Cu ajutorul op¡iunii 3 al acestui meniu se va introduce ordinul modelului, respectiv p = 1 pentru modelul autoregresiv ¿i q = 0 pentru modelul de medie alunecåtoare, dupå care automat se reafi¿eazå Meniul principal în configura¡ie completå (fig.5.22).

Dupå introducerea ordinului modelului programul calculeazå ¿i afi¿eazå automat o serie de indicatori statistici care ne ajutå så luåm deciziile ulterioare.

107

1: Data entry; statistics; transformations 2: Entry of an ARMA(p,q) model 3: Preliminary estimation of ARMA parameters 4: Model ACF/PACF, AR/MA infinity representations 5: Model spectral density on (-pi, pi) 6: Data simulation 7: Nonparametric spectral estimation (SPEC) 8: Estimation of ARMA parameters 9: Prediction 10: Model and data file status 11: Exit from program

Fig. 5.22 Meniul principal al programului PEST.

Astfel, se evalueazå semnifica¡ia statisticå a coeficien¡ilor ϕI ¿i θj cu ajutorul raportului (r) dintre estimatorul coeficientului (est) ¿i valoarea sa criticå egalå cu 1.96 ⋅ Er. Std.:

r = est / 1.96 ⋅ Er. Std. Dacå r > 1 atunci, pentru nivelul de semnifica¡ie de 0.05, coeficientul în

cauzå este diferit de zero, iar dacå r < 1 atunci acesta ar putea fi zero. Pentru

modelul AR(1) al datelor sta¡ionarizate prin metoda clasicå ϕ1 = .408 ¿i

r1 = 2.49, ceea ce însamnå cå parametrul este semnificativ. Modelul acesta fiind cauzal se afi¿eazå estimatorul varian¡ei reziduurilor ¿i varian¡a reziduurilor rezultate în urma aplicårii ecua¡iilor Yule - Walker. Estimatorul varian¡ei reziduurilor (zgomot alb) este raportul dintre suma påtratelor erorilor reziduurilor ¿i volumul observa¡iilor. Programul atrage aten¡ia dacå modelul este necauzal. Un model necauzal are o rådåcinå a ecua¡iei caracteristice egalå cu zero ¿i plasatå în interiorul cercului unitate (cap.3.3). Programul solu¡ioneazå aceastå situa¡ie atribuind valoarea 0.01 tuturor coeficien¡ilor, ceea ce înseamnå model cauzal, ¿i apoi va låsa utilizatorului posibilitatea de a îmbunåtå¡i modelul cu ajutorul Op¡iunii 8.

Pe baza aproximårilor ini¡iale, cu ajutorul Op¡iunii 8 se realizeazå optimizarea neliniarå a parametrilor. Aceastå op¡iune activeazå Meniul de estimare a parametrilor (fig.5.23). Programul PEST oferå douå posibilitå¡i: metoda verosimilitå¡ii maxime ¿i metoda celor mai mici påtrate. De asemenea, prin alte op¡iuni, se pot alege numårul de itera¡ii dorit, criterii de convergen¡å sau gradul de acurate¡e al parametrilor.

108

-1: Help

0: Likelihood of Model (no optimization) a: (0<a<1) Reset Accuracy Parameter to a and Optimize 1: Optimize with Current Settings 2: Change Accuracy Parameter 3: Change Maximum No. of Iterations 4: Change Optimized Coefficients (e.g. for Multiplicative Model) 5: Change Convergence Criterion for th(n,j) : currently .00005 6: Change Method to LEAST SQUARES 7: Return to Main Menu n: (where n > 7) Optimize with at Most n Iterations

Fig. 5.23 Meniul de estimare al parametrilor. Trebuie re¡inut faptul cå în cazul unei serii pur autoregresive (q = 0), ca în

cazul exemplului nostru, estimarea preliminarå a coeficien¡ilor ϕI cu ajutorul

Op¡iunii 3 din Meniul datelor, sunt foarte apropiate de valorile ϕI de rezultatele ob¡inute în urma optimizårii neliniare efectuatå prin activarea Op¡iunii 8 din Meniul principal. Dacå, de exemplu, se modeleazå o serie pentru care q > 0, va trebui så specificåm o anume valoare ini¡ialå m necesarå algoritmului de inova¡ie sau pur ¿i simplu, avem posibilitatea de a låsa PEST - ul så facå acest lucru. Rezultatul optimizårii (fig.5.24, pentru exemplul nostru) se ob¡ine tastând 1 în Meniul de estimare al parametrilor. Efectul optimizårii se resimte în

modificarea coeficientului autoregresiv de la ϕ1 = .408 la ϕ1 = .418. ¥n urma optimizårii s-a ob¡inut urmåtorul model:

Modelul ARMA(1,0): ( )X Z Xt t t= + −0 418 5 221. . .

De asemenea, în urma optimizårii realizate prin activarea op¡iunii 1 se deschide automat Meniul rezultatelor (fig.5.25).

AUTOREGRESSIVE PARAM.:ϕ=0.18 1. Store Model 2. File and Analyze Residuals White noise variance = 0.064 3. Prediction FPE STATISTIC = 0.065 4. Parameter Optimization with this Model BIC STATISTIC = 15.04 5. Redo Screen with Standard Erors -2 ln (LIKELIHOOD) = 11.82 6. Show Covariance Matrix of Op. Parameters AICC STATISTIC = 15.92 8. Return to Main Menu

Fig. 5.24. Rezultatele optimizårii efectuate prin metoda verosimilitå¡ii maxime.

Fig. 5.25. Meniul rezultatelor.

109

Un instrument pentru evaluarea calitå¡ii unui model îl reprezintå criteriul AICC: ( ) ( )AICC L p q n n p q( , , ) ln ( , , ) ( ) / , .ϕ θ σ ϕ θ σ2 22 2 1 2=− + + + − − − 5 23

unde: L reprezinå verosimilitatea Gaussianå a vectorului observa¡iilor, care depinde

de estimårile parametrilor ϕ, θ, σ2 (Brockwell ¿i Davis, 1987);

−2 ln L este de asemenea afi¿at.

Criteriul AICC este o modificare a criteriului Akaike (AIC = -2 ln L + 2(p + q)). Se afi¿eazå, de asemenea, o modificare Bayesianå a criteriului AIC notatå cu BIC, accesibilå tot prin activarea Op¡iunii 8.

Utilizatorul va cåuta modelul având valoarea AICC cât mai micå posibilå. Decizia finalå nu se va lua pe baza valorii AICC din faza estimårii preliminare (Op¡iunea 3) ci pe baza estimårii finale (Op¡iunea 8). Programul re¡ine modelul

identificat alåturi de parametrii acestuia (ϕ, θ, σ2 ) ¿i oferå urmåtoarele

posibilitå¡i de a continua modelarea: 1 - introducerea altui model, 2 - salvarea modelului gåsit, 3 - intrarea în Meniul principal cu parametrii modelului curent.

De obicei, se utilizeazå op¡iunea 1 din Meniul estimårii parametrilor, ale cårei setåri curente sunt în majoritatea cazurilor satisfåcåtoare. Prin Meniul rezultatelor modelul poate fi salvat pentru utilizåri ulterioare cu op¡iunea 1. Op¡iunea 3 din acest meniu ca ¿i op¡iunea 9 din Meniul principal realizeazå predic¡ia linarå pe baza modelului identificat. Erorile standard sau estimatorii devia¡iilor standard sunt vizibile activând op¡iunea 5, iar prin Op¡iunea 6 se

afi¿eazå matricea de covarian¡å a estimatorilor coeficien¡ilor ϕI ¿i θj..

5.3.6. TESTAREA ªI VALIDAREA MODELULUI

Modelul stochastic identificat trebuie verificat dacå este bun sau nu din punct de vedere al unor criterii cantitative. Dacå modelul nu satisface aceste criterii cantitative atunci, conform succesiunii etapelor de modelare Box - Jenkins prezentate în figura 5.1, se va relua etapa de identificare a ordinului ¿i de selectare a modelului (cap. 5.3.4) care va avea ca rezultat construc¡ia unui model nou. Ciclul acesta se repetå pânå când sunt îndeplinite elementele de testare ¿i validare a unui model.

Numårul de parametrii al unui model este dat de suma ordinelor proceselor autoregresive ¿i de media alunecåtoare, la care se mai adaugå varian¡a

reziduurilor (p + q + σ2 ). Deoarece este vorba întotdeauna doar de o singurå

110

valoare σ2 , suma p + q este hotårâtoare. Conform principiului economiei numårului de parametrii (parsimony principle) un model stochastic este cu atât mai apreciat cu cât îndepline¿te elementele de testare ¿i validare pentru un numår mai mic de parametrii. Deci, utilizatorul va urmåri aflarea acelui model ARMA(p,q) care satisface etapa de testare ¿i validare pentru un p + q minim posibil.

Utilizatorul va judeca calitatea modelului comparând observa¡iile hidro- logice înregistrate (¿i apoi sta¡ionarizate) cu valorile fitate pentru aceea¿i perioadå de timp.

Comparând vizual seria de la care s-a pornit, cea sta¡ionarizatå prin metoda clasicå (fig. 5.17), cu seria fitatå pe baza modelului ARMA (1,0) reprezenatå în figura 5.26 observåm similitudini remarcabile. Histogramele frecven¡elor de distribu¡ie ale celor douå serii (fig. 5.15 ¿i fig. 5.27) sunt la rândul lor asemånåtoare.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Fig.5.26. Graficul seriei fitate pe baza modelului ARMA(1,0).

F

M = .0 Std= .12 Cs = .40

5 -5 0

Fig.5.27. Distribu¡ia frecven¡elor seriei fitate.

Reprezentarea ambelor serii în figura 5.28 sugereazå calitatea modelårii.

Valorile ACF ¿i PACF ale seriei fitate, respectiv forma corelogramelor (fig.5.29) sunt similare cu cele ale seriei sta¡ionarizate (fig. 5.20). Astfel, seria

111

fitatå reproduce caracteristicile istorice ale seriei ini¡iale, respectând unul dintre obiectivele modelårii stochastice (cap. 3.2).

Eroarea de predic¡ie, ca diferen¡å dintre cele douå serii, trebuie så fie cât

mai micå. O evaluare cantitativå a calitå¡ii modelului se realizeazå prin analiza reziduurilor.

Seria reziduurilor se define¿te ca fiind seria erorilor de predic¡ie rescalate:

( ) ( )) )

W X X rt t t t= − −/ , .1 5 24

unde:

) X t este cel mai bun predictor liniar al lui , având suma påtratelor erorilor minimå (seria fitatå pânå la momentul t-1),

r E

X t

( )X Xt t t− = −12 2)

/ σ ;

σ 2 - varian¡a zgomotului alb al modelului fitat.

Dacå modelul fitat este cel adevårat atunci seria rezidualå )W t va avea

caracteristicile unui zgomot alb. Programul PEST oferå posibilitatea analizårii seriei reziduale activând Op¡iunea 2 din Meniul rezultatelor (v. fig. 5.25). Dupå aceasta automat se deschide Meniul rezidurilor (fig. 5.30).

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

1

1 2 3 4

1

2

120 timpul în luni

Fig.5.28. Limita superioarå de confiden¡å -1 ¿i limita inferioarå de confiden¡å -2, în cazul corela¡iei grafice dintre seria sta¡ionarizatå - 3 ¿i seria fitatå

cu modelul ARMA(1,0) - 4.

112

.6 ACF PACF

0

-.4 Fig. 5.29. ACF ¿i PACF ale seriei fitate cu modelul ARMA(1,0).

RESIDUALS MENU: 1. File residuals 2. Plot rescaled residuals 3. Plot ACF/PACF of residuals 4. File of ACF/PACF of residuals 5. Tests of randomness of residuals 6. Return to result page

Fig. 5.30. Meniul reziduurilor.

Op¡iunea 2 a acestui meniu calculeazå în primul rând seria reziduurilor rescalate astfel:

( )) ) )

W n W Wtr

t tj

n( ) / .= ∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

2

15 25.

F

-5 5 0

Fig. 5.31. Distribu¡ia frecven¡elor seriei reziduale.

113

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

Fig.5.32. Graficul varia¡iei seriei reziduale.

.4 PACF ACF

0

-.4

Fig. 5.33. ACF ¿i PACF a seriei reziduale.

Se afi¿eazå prin aceea¿i op¡iune histograma frecven¡elor de distribu¡ie standardizate (între -5 ¿i 5) a reziduurilor rescalate (fig. 5.31), se calculeazå unele elemente de statisticå descriptivå: media, devia¡ia standard, coeficientul de asimetrie, ¿i se afi¿eazå graficul seriei reziduale rescalate (fig. 5.32). Aceste elemente precum ¿i ACF ¿i PACF al seriei reziduale (efectuate activând Op¡iunea 3 din Meniul reziduurilor) prezentate în figura 5.33, dovedesc caracteristicile de zgomot alb al seriei reziduale. Astfel, s-a atins încå un element privind validarea modelului.

Op¡iunea 5 din Meniul reziduurilor permite testarea caracterului aleator al rezidurilor. Programul PEST con¡ine urmåtoarele metode de verificare al caracterului aleator al unei serii: testul Portmanteau, testul punctelor de întoarcere, testul semnului diferen¡elor ¿i testul rangurilor. Aten¡ionåm asupra faptului cå nu se va accepta vreun model pe baza unui singur test, dupå cum nici nu se va respinge un anume model dacå seria rezidualå nu satisface unul dintre

114

cele patru teste. Men¡ionåm faptul cå, bineân¡eles, existå ¿i alte teste de verificare a caracterului aleator al unui ¿ir.

Testul Portmanteau utilizeazå urmåtoarea statisticå:

Q n kwk

h= ∑

=

)ρ 2

15 26( ) , ( . )

unde:

)ρw k2 ( ) este autocorela¡ia reziduurilor pentru lag k;

h - un numår întreg pozitiv (de obicei 20). Dacå datele sunt generate de modelul ARMA(p,q) identificat, atunci pentru

un volum n suficient de mare, Q ar trebui så aibå o distribu¡ie ℵ2 cu h - p - q

grade de libertate. Testul respinge modelul propus pentru nivelul de

semnifica¡ie α dacå valorile Q depå¿esc cuantila (1 - α) a distribu¡iei ℵ . − −h p q2

Testul punctelor de întoarcere, T, utilizeazå statistica numårului de puncte de întoarcere al seriei reziduale. Se poate demonstra faptul cå pentru cea de-a i secven¡å a seriei reziduale, T este asimptotic normalå cu media µT n= −2 2( ) / 3

¿i varian¡a σT n2 16 29 90= −( ) / . Ipoteza conform cåreia reziduurile constituie o

secven¡å a celor i observa¡ii se respinge dacå T T T− > −µ σ α/ /Φ1 2 , unde:

Φ1− 2α / este cuantila ( )1− 2α / a distribu¡iei normale standard. Testul semnului diferen¡elor ia în considerare numårul S, de diferen¡e

) )W Wt t− −1 pozitive. Dacå )Wt este a i secven¡å se poate aråta faptul cå S este

asimptotic normalå cu media ( )µS n= ⋅ −1 2 1/ ¿i varian¡a ( )σS n2 1 12= + / .

Ipoteza conform cåreia reziduurile constituie o secven¡å a celor i observa¡ii se respinge dacå S S S− > −µ σ α/ /Φ1 2 .

Testul rangurilor se utilizeazå pentru identificarea unei eventuale tendin¡e

liniare în seria rezidualå. Fie P perechile (i, j) astfel încât ) )

W Wj > i , ¿i j

> i, i = 1, . . . , n -1. Se poate demonstra faptul cå pentru cea de-a i secven¡å a seriei reziduale, P este asimptotic normalå cu media µP n n= ⋅ −1 4 1/ ( ) ¿i

varian¡a ( )σP n n n2 1 2 5 8= − +( ) / . Ipoteza conform cåreia reziduurile constituie

o secven¡å a celor i observa¡ii se respinge dacå P P P− > −µ σ α/ /Φ1 2 .

Rezultatele testårii caracterului aleator al seriei reziduale din exemplul nostru sunt urmåtoarele:

* testul Portmanteau (pentru h = 20): 11.88 ℵ2 df. = 19;

* testul punctelor de întoarcere = 69, non-normal (78.6, 4.582);

* testul semnului diferen¡elor = 57, non-normal (59.5, 3.182);

115

* testul rangurilor = 3617, non-normal (3570, 661.32).

Cu excep¡ia ultimului test, celelalte demonstreazå faptul cå este vorba de o

serie aleatoare. Astfel, se valideazå ¿i prin metoda testelor modelul ARMA(1,0) al debitelor râului Sohodol, sta¡ionarizate prin metoda clasicå.

Cea mai eficientå metodå de validare ¿i testare a modelului råmâne gradul de asemånare dintre seria fitatå ¿i cea originalå. De asemenea, valorile ACF ¿i PACF ale seriei reziduale trebuie så se încadreze între limitele de confiden¡å cel pu¡in pânå la lag 7 - 8, iar pentru serii de valori lunare cel pu¡in pânå la lag -12. Seria rezidualå nu trebuie så con¡inå nici un fel de pattern cum ar fi tendin¡å, componentå periodicå sau quasi - periodicå, schimbåri bru¿te ¿i salturi. Reziduurile trebuie så reprezinte o realizare a unui proces zgomot alb.

5.3.7. VALORIFICAREA MODELULUI

Etapele de lucru precedente au condus la identificarea ¿i validarea unui model ARMA(p,q), respectiv ARMA(1,0), al seriei de observa¡ii sta¡ionarizate

pe care o notåm cu X1, . . . Xn. Prognoza se realizeazå utilizând Op¡iunea 3 din Meniul rezultatelor sau Op¡iunea 9 din Meniul principal. Programul

prognozeazå valorile Xn+h pornind de la datele ini¡iale ¿i de la modelul

stochastic validat calculând combina¡ia liniarå Pn(Xn+h) de X1, . . . Xn, astfel

încât se minimizeazå eroarea medie påtraticå E(Xn+h - Pn(Xn+h))2. Astfel, pe

baza primelor 108 valori ale seriei de debite medii lunare ale râului Sohodol (v. fig.5.5) s-au prognozat urmåtoarele 12 valori. Noua serie ob¡inutå din cele 108 valori ini¡iale plus 12 valori prognozate a fost numitå pentru o referire mai simplå serie cu valori prognozate.

F

M =218.6 Std=108.4 Cs =1.38

0 5

Fig. 5.34. Distribu¡ia frecven¡elor seriei cu valori prognozate.

116

Distribu¡ia frecven¡elor standardizate ¿i elementele de statisticå descriptivå ale seriei prognozate (fig. 5.34) sunt asemånåtoare cu cele ale seriei ini¡iale (v. fig.5.4). Cele 12 valori prognozate (fig.5.35) sunt la rândul lor foarte apropiate de valorile reale înregistrate în aceea¿i perioadå de timp (v. fig.5.5). De asemenea, func¡iile de autocorela¡ie ¿i de autocorela¡ie par¡ialå a seriei cu valori prognozate (fig.5.36) sunt asemånåtoare acelora¿i func¡ii ale seriei ini¡iale (v. fig.5.6), pentru lag - 1 în primul caz ϕ = 0.622 iar în cel de-al doilea ϕ = 0.640.

l/s

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

120 timpul în luni

1

Fig. 5.35. Varia¡ia debitelor medii ale seriei cu valori prognozate.

.8

ACF PACF

0

-.4

Fig. 5.36. ACF ¿i PACF ale seriei cu valori prognozate.

Existå posibilitatea de schimbare a varian¡ei zgomotului alb, ceea ce va

afecta eroarea medie påtraticå. Se afi¿eazå sub formå tabelarå valorile prognozate (XHAT), radicalul erorii medii påtratice al prognozei (SQRT(MSE)) ¿i op¡ional, suma dintre valorile prognozate ¿i media seriei ini¡iale

(XHAT+MEAN). Radicalul erorii medii påtratice a valorilor Pn(Xn+h) cre¿te odatå cu numårul h de valori prognozate.

117

Limitele de confiden¡å de 95% se ob¡in prin adunarea, respectiv scåderea,

valorii de 1 96. MSE la valorile prognozate. Dacå s-a efectuat o transformare Box-Cox atunci prognoza realå se ob¡ine dupå inversarea transformårii respective. Dacå seria ini¡ialå a fost sta¡ionarizatå prin diferen¡iere atunci prin Op¡iunea 2 din Meniul de predic¡ie (fig. 5.37) se realizeazå inversarea valorilor pentru a ob¡ine prognoza realå. PREDICTION MENU

1. File predicted values 2. Undo differencing 3. Return to main menu

Fig. 5.37. Meniul predic¡iei pentru cazul sta¡ionarizårii prin diferen¡iere.

Programul PEST poate fi utilizat pentru analiza unui proces ARMA

specificat fårå referire concretå la o anumitå serie de timp. Se pot compara proprietå¡ile unor poten¡iale modele ARMA ale unei serii pentru a observa care dintre acestea reproduc mai bine caracteristicile datelor. Programul creeazå reprezentåri MA(∞) ¿i AR(∞), ¿i genereazå realizåri ale unui anumit proces ARMA specificat.

Op¡iunea 4 a Meniului principal deschide Meniul modelului ACF/PACF (fig.5.38) care permite calculul valorilor modelului pentru lag maxim 1150 (de regulå sunt suficiente primele 40 de valori). Prin acest meniu se mai pot efectua urmåtoarele opera¡ii: afi¿area ¿i reprezentarea graficå a valorilor ACF ¿i PACF, salvarea rezultatelor, schimbarea varian¡ei zgomotului alb, reprzentåri MA(∞) ¿i AR(∞).

MODEL ACF/PACF MENU 0. Reset maximum lag 1. Plot ACF/PACF (up to lag 40) 2. List ACF/PACF 3. File ACF/PACF 4. Change current white noise variance 5. MA or AR infinity representations

6. Return to main menu

Fig. 5.38. Meniul modelului ACF/PACF.

118

Så construim corelogramele modelului ARMA (1,0) cu ajutorul Op¡iunii 1 din Meniul modelului ACF/PACF pentru seria analizatå (fig. 5.39). Comparând aceste grafice cu cele din figura 5.20 deducem faptul cå modelul identificat reprezintå bine principalele caracteristici ale seriei de timp.

1

PACF ACF

0 -1

Fig. 5.39. Modelul ACF/PACF al procesului ARMA(1,0).

Dacå este un proces ARMA cauzal (cap. 3) atunci el are o reprezentare

MA(∞) de forma:

)

X t

X Z tt j t jj

= = ± ±∑ −=

∞ψ , , , , ... , ( .0 1 2 5 37

0

unde ψ ψjj

si=

∞∑ <∞ =

10 1.

¥n mod similar, dacå este un proces ARMA inversabil, atunci el are o

reprezentare AR(∞) de forma:

)

X t

Z X tt j t jj

= = ± ±∑ −=

∞π , , , , ... , ( .0 1 2 5 38

0

unde π πjj

si<∞ =∑=

∞0

11 .

Pentru orice model specificat se pot crea astfel de reprezentåri cu ajutorul

Op¡iunii 5 a Meniului modelului ACF/PACF. Op¡iunea 6 a Meniului principal (v. fig. 5.22) efectueazå simularea unei noi

serii de timp sub forma generårii sintetice a realizårilor unei serii de timp definitå de modelul stochastic identificat (Brockwell ¿i Davis, 1987).

119

Utilizatorul trebuie så introducå un numår aleator ini¡ial (numår întreg) care va servi algoritmului de generare a unei serii aleatoare, având distribu¡ie normalå. Utilizând aceea¿i valoare ini¡ialå se vor putea reproduce oricând acelea¿i realizåri ale procesului stochastic.

Cu ajutorul programului PEST s-au simulat 120 de valori sintetice (reinversate Box-Cox) la care s-a adåugat componenta sezonierå calculatå pe baza rela¡iilor (5.9) - (5.11). A rezultat seria sinteticå din figura 5.40 având caracteristicile statistice descriptive reprezentate în figura 5.41.

l/s

0

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

Fig. 5.40. Seria de valori sintetice fårå tendin¡å.

1 120

F

M =1.07 Std =0.46 Cs =1.18

5 0

Fig. 5.41. Distribu¡ia frecven¡elor seriei sintetice. Din corelogramele coeficien¡ilor de autocorela¡ie ¿i autocorela¡iue par¡ialå

(fig.5.42) deducem faptul cå seria sinteticå reflectå, a¿a cum este de a¿teptat, acela¿i proces ARMA(1,0). La seria astfel ob¡inutå, utilizatorul poate så adauge media seriei ini¡iale sau tendin¡a globalå determinatå în fazele anterioare. Prin adåugarea tendin¡ei globale s-a construit un model ARIMA (1,1,0) ¿i seria simulatå reprezentatå în figura 5.43.

120

.6

0

ACF PACF -.6

Fig. 5.42. ACF ¿i PACF ale seriei sintetice fårå tendin¡å.

l/s

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 120

Fig. 5.43. Seria simulatå pe baza modelului ARIMA (1,1,0).

F

0 5

Fig. 5.44. Distribu¡ia frecven¡elor seriei simulate.

121

.8

ACF PACF

0

--.4

Fig. 5.45. ACF ¿i PACF ale seriei simulate.

Se remarcå asemånarea dintre caracteristicile statistice descriptive ale seriei ini¡iale (v. fig. 5.4) ¿i ale seriei simulate (fig. 5.44). Sunt similare, de asemenea, corelogramele ACF ¿i PACF (v. fig. 5.6, respectiv fig. 5.45).

122

6. ALTE MODELE SPECIFICE REPREZENTÅRII

¥N DOMENIUL TIMP

¥n cadrul acestui capitol se vor prezenta trei tipuri de modele. Modelul Thomas-Fiering opereazå cu o singurå serie de timp. Modelul de tip func¡ie de transfer opereazå (în exemplul nostru) cu douå serii input ¿i output. Pentru modelarea autoregresivå multivariatå, programul prezentat suportå o serie multidimensionalå alcåtuitå din maximum 6 serii scalare (în exemplul de fa¡å se va trata o serie bidimensionalå).

6.1. MODELUL THOMAS - FIERING

Datele hidrologice care reprezintå o anumitå variabilå înregistratå lunar sau sub formå de medii lunare vor con¡ine o componentå sezonierå asociatå succesiunii anotimpurilor ¿i ciclului anual al radia¡iei solare. ¥n acest caz seriile de timp sunt nesta¡ionare. Existå anumite rela¡ii între observa¡iile lunilor succesive, dar ¿i legåturi între observa¡iile aceleia¿i luni în anii succesivi. De aceea modelarea unor astfel de serii este mai complicatå decât în cazul unei serii de medii anuale. Sunt cunoscute trei familii de modele sezoniere pentru serii de timp, care pot fi utilizate ¿i în cazul aplica¡iilor hidrologice: modelul SARIMA (sezonier, autoregresiv, integrat ¿i de medie alunecåtoare) prezentat din punct de vedere teoretic în capitolul 3, modele dessezonalizate (care presupun eliminarea medii lunare sau eliminarea mediei lunare ¿i împår¡ire la devia¡ia standard) ¿i modele periodice autoregresive (PAR) sau periodice autoregresive ¿i de medie alunecåtoare (PARMA). Modelul Thomas-Fiering, care se va prezenta în continuare, face parte din ultima categorie fiind cunoscut ¿i sub numele de PAR/1.

Fie xt valoarea observatå a lunii m din anul y conform tabelului de mai jos:

I II III . . . XII 1981

anul 1982 xt

y . .

. luna m

123

Seria xt poate fi supuså în prealabil unei transformåri Box-Cox pentru a ob¡ine o distribu¡ie apropiatå de cea normalå ¿i pentru a realiza o varian¡å constantå.

Dacå notåm x x xt y m= m y=− +12 1( ) , atunci putem scrie modelul sub

urmåtoarea formå:

( )x x rs

sx x s r em y m m

m

mt m m m, ,= + − + − ⋅ y

−− −

11 1

21 (6.1) efect de autocorela¡ie ¿oc aleator redus

efect mediu sezonier ¿oc aleator partea fitatå unde:

x , nn

xmm

m yy

= ∑1

, m este numårul total al valorilor y, (6.2)

( )s , (6.3) n

x xmm

m y my

= −∑1 2

,

( )( )r

nx x x x

s smm

m y m t my

m m=

− −∑

⋅

− −

−

11 1

1

,

, (6.4)

m - 1 trebuie înlocuit cu 12 dacå m = 1,

xt-1 este observa¡ia care precede pe xm,y ,

em,y ∼ N (0,1) ¿i independent . (6.5)

Reziduul acestui model este dat de:

( )s r

x x rs

sx xm y

m mm y m m

m

mt m, ,=

−− − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−− −

1

1 2 11 1e . (6.6)

Prognoza punctualå pentru luna urmåtoare se calculeazå astfel:

(( )rs

sx xm y m m

m

mt m, = + −x x

−− −

11 1 , (6.7)

124

iar pentru a doua lunå:

(( (x x rs

sx xm y m m

m

mt m, = + − )

−− −

11 1 , (6.8)

Pentru exemplificare s-a luat în considerare o serie de timp corespunzåtoare

umiditå¡ii solului din bazinul Fize¿ din partea centralå a Câmpiei Transilvaniei din perioada 1981-1986. Datele s-au calculat pe baza unui model determinist ploaie - scurgere. ¥n conformitate cu expresiile matematice de mai sus, pe parcursul modelårii s-au ob¡inut urmåtoarele rezultate par¡iale (tabelul 6.1). Tabelul 6.1 Valori speciale ob¡inute în fazele modelårii

Med SM RM Radic Beji

ian 130.648 29.446 0.799 17.692 0.447

feb 135.363 27.651 0.927 10.400 0.870

mar 138.880 18.832 0.973 4.382 0.662

apr 118.430 37.983 0.947 12.219 1.910

mai 112.787 18.255 -0.009 18.254 -0.004

iun 110.272 35.579 0.473 31.345 0.922

iul 87.294 39.482 0.603 31.501 0.669

aug 67.806 30.299 0.843 16.291 0.647

sep 49.887 28.130 0.919 11.107 0.853

oct 56.802 39.535 0.936 13.872 1.316

nov 66.701 40.283 0.895 17.979 0.912

dec 87.525 52.630 0.989 7.853 1.292

unde: Med, SM ¿i RM sunt date de expresiile (2.40, 2.41, 2.42);

Radic = 1 2− rm ;

Beji = r s . / sm m m-1 Analiza fizicå a stårii hidrice a teritoriului observat prin aceastå metodå este

înlesnitå prin faptul cå se pot studia o serie de valori speciale (vezi tabelul urmåtor) care ar putea fi corelate cu anumite caracteristici morfometrice, geomorfologice, climatice, de vegeta¡ie, de mod de utilizare al teritoriului etc.

¥n figura 6.1 se prezintå rezultatul grafic al modelului Thomas - Fiering. Se remarcå corela¡ia bunå dintre datele ini¡iale ¿i cele simulate, valorile mici ale ¿ocului aleator redus, ceea ce încurajeazå utilizarea acestui model pentru aplica¡ii practice.

125

Se observå faptul cå variabilitatea mare a stårii hidrice a solului lunii mai, în ani succesivi, determinå inexisten¡a legåturii statistice cu lunile învecinate. Pe grafic se observå cele mai mari devia¡ii în luna mai. Totu¿i, în ansamblu modelul este acceptabil.

-10

90

190

0 12 24 36 48 60 72

1 2 3

mm

timpul în luni

Fig. 6.1. Rezultatul sub formå graficå al modelårii Thomas - Fiering: 1 - datele ini¡iale, rezerva subteranå de apå; 2 - seria simulatå; 3 - ¿ocul aleator redus.

Dezavantajul unui asemenea model este numårul mare de parametri (tab. 6.1). De aceea, în continuare, se va proceda la simplificarea modelului Thomas - Fiering prin reducerea numårului de parametri necesari.

Modelul Thomas - Fiering simplificat (TFS) a fost, de asemenea, studiat în literatura de specialitate. Se porne¿te de la modelul complet, dar se considerå

(din ecua¡ia 6.3) ¿i r (din ecua¡ia 6.4). Prin aceastå înlocuire devia¡ia standard ¿i coeficientul de autocorela¡ie pentru lag = 1 nu vor mai depinde de varia¡ia sezonierå a fenomenului considerat. Astfel ecua¡ia (6.1.) devine:

sm = s m r=

x x r x x s r em y m t m m y, ,( ) .− = − + − ⋅− −1 121

Aceastå expresie corespunde utilizårii unui model AR(1) pentru seria

( x xm y m, − ) . Simplificând nota¡iile se poate scrie:

u r u zt t t= +−1 ,

unde: u x (dessezonalizare în medie), xt m y m= −,

zt ∼ N (0, σ2) (¿i independent stochastic).

126

-10

90

190

0 12 24 36 48 60 72

1 2 3

mm

timpul în luni

Fig. 6.2. Rezultatul sub formå graficå al modelului Thomas - Fiering simplificat:

1- datele ini¡iale, rezerva subteranå de apå; 2- seria simulatå; 3- ¿ocul aleator redus.

Estimatorii sunt:

r u , σ u ut tt

tt

= ∑ ∑− −12/ 1 ( )= −∑ −1 1

2/ n u r ut tt

.

ªocul aleator redus este în acest caz:

e u r u s rmy t t= − −−121/

Aplicând acest model simplificat s-a ob¡inut rezultatul grafic din figura 6.2. Avantajul modelului simplificat constå în numårul redus de parametri

necesari: pentru exemplul ales ace¿tia sunt r = 0.77 ¿i s = 20.44, la care se mai adaugå mediile lunare. Comparând cele douå figuri se observå marea asemånare dintre ele, ceea ce nu înseamnå cå ¿i în cazul altor variabile hidrologice este la fel.

6.2. MODELAREA FUNCºIILOR DE TRANSFER

Se considerå douå serii ¿i anume ( seria input ¿i ( seria

output. Pentru a elabora o func¡ie de transfer de Y se vor parcurge urmåtorii

pa¿i:

)Y t1 )Y t2Y2 1

– diferen¡ierea ¿i eliminarea mediei pentru a genera seriile transformate ¿i care urmeazå a fi modelate ca procese sta¡ionare cu media zero; X2 X1

127

– construirea unor modele ARMA care se aplicå seriilor ¿i

(acela¿i tip de model, ob¡inându-se reziduurile ¿i ;

X2 X1R2 R1

– elaborarea unui model tip func¡ie de transfer preliminar care leagå

de astfel :

X2X1

(6.9) X t t j X t j N tj

m2 1

0( ) ( ) ( ) ( ) ,= ⋅ − +∑

=

unde : este o serie zgomot sta¡ionar cu media zero; ( )N t

– înlocuirea func¡iei de transfer printr-o func¡ie ra¡ionalå B cu

coeficien¡i mai pu¡ini pentru a opera cu o func¡ie de transfer economicå (parsimonious) notatå cu T(B).

t j B j

j

m( )

=∑

0

Fiind date seriile ¿i ¿i func¡ia de transfer ra¡ionalå T(B), se

calculeazå valorile zgomotului ( în modelul:

X2 X1)N t

X t T B X t N t2 1( ) ( ) ( ) ( ) .= + (6.10)

– elaborarea unui model ARMA de forma φ θ( ) ( ) ( ) ( )B N t B W t=

pentru a exprima o serie ( care reprezintå un model func¡ie de transfer

preliminar:

)N t

X t T B X t B B W t2 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ ⋅−φ θ . (6.11)

– construirea modelului final pornind de la modelul preliminar prin

reestimarea coeficien¡ilor pe baza metodei celor mai mici påtrate; – reprezentarea medelului cu ajutorul unui filtru Kalman pentru a

determina predictorul liniar de eroare medie påtraticå minimå al seriei output (pentru selectarea modelului se utilizeazå criteriul AICC, verificarea modelului se referå la caracterul de zgomot alb al reziduului ¿i la verificarea intercorela¡iei func¡iei de transfer a reziduurilor).

Vom lua ca exemplu datele înregistrate timp de 150 de zile în cadrul unei parcele hidrologice experimentale dintr-o regiune umedå. Precipita¡iile totale zilnice reprezintå input-ul notat cu Y (fig. 6.3) iar volumul mediu scurs pe un

canal al parcelei experimentale reprezintå output-ul notat cu (fig.6.4). Aria

bazinului parcelei experimentale nu coincide cu aria bazinului canalului de scurgere, dar dupå cum se vede în cele douå figuri, seriile sunt corelate. Prima serie a fost numitå PRECI, iar cea de-a doua DEBI.

2Y2

128

100

200

300

0 30 60 90 120 150

5

10

15

0 30 60 90 120 150

l l

zile zile

Fig. 6.3. Seria de precipita¡ii - input. Fig.6.4. Seria de volume - output.

Pachetul de programe ITSM oferå programul TRANS pentru modelarea func¡iilor de transfer, având urmåtorul Meniu principal:

1. Calculeazå intercorela¡ia a 2 serii. 2. Construie¿te modelul func¡iei pentru seriile sta¡ionare: MA m( )

X t t X t t m X t m N t2 1 10( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ,= + + − + (6.12) în prealabil se va construi acela¿i tip de model ARMA pentru ambele serii ¿i ¿i se vor re¡ine reziduurile corespunzåtoare ¿i . X2 X1 R2 R13. Calculeazå reziduurile unei func¡ii de transfer ra¡ionale specificate pentru

seriile ¿i . X2 X14. Elaborarea unui model func¡ie de transfer pentru input ¿i output ¿i

utilizarea acestuia pentru realizarea predic¡iei. 5. Ie¿irea din program. Op¡iunea 1 utilizatå pentru intercorela¡ie necesitå seriile

(în cazul nostru PRECI) ¿i ( ) , ,..., Y t t n1 1=

( ) , ,..., Y t t n2 1= (în cazul nostru DEBI). Intercorela¡ia dintre serii se calculeazå astfel:

$ ( ) $ ( ) ( $ ( ) $ ( )) , ,, , , ,/ρ γ γ γY Y Y Y Y Y Y Yh h

1 2 1 2 1 1 2 20 0 1 2= <− h n (6,13)

unde :

$ ( )( ( ) )( ( ) ) , ,

( ( ) )( ( ) ) ,,γ Y Y

i i j jtn h

i i j jt hni j

hn Y t h Y Y t Y h

n Y t h Y Y t Y=

+ − −∑ ≥

+ − −∑ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

−=−

−=− +

11

11

0

0.h (6.14)

Se pot utiliza un numår de maxim doi operatori de diferen¡iere (acela¿i operator se aplicå la ambele serii). Utilizând operatorii de diferen¡iere ¿i l l1 2

129

se calculeazå intercorela¡iile:

(6.15) X t B B Y t t l l nl l1 1 11 1 11 2( ) ( )( ) ( ) , ,..., ,= − − = + +2

2

¿i

(6.16) X t B B Y t t l l nl l2 2 11 1 11 2( ) ( )( ) ( ) , ,..., .= − − = + +

Se ob¡ine graficul care exprimå intercorela¡ia dintre DEBI ¿i PRECI (fig.6.5).

Se pot lista ¿i valorile $ ( ) , ,..., .,ρY Y h h1 2

30 30= −

Pentru diferen¡iere se utilizeazå pentru ambele serii lag 1, se eliminå mediile ¿i astfel rezultå seriile , respectiv care, mai general, se noteazå cu: X1 X2

X t B Y t ii i( ) ( ) ( ) , , ,... .= − =1 1 2 (6.17)

Func¡ia de autocorela¡ie a seriilor ¿i se reprezintå în figura 6.6. X2 X1Op¡iunea 2 a Meniului TRANS realizeazå o estimare primarå a coeficien¡ilor

în modelul care exprimå rela¡ia dintre seriile sta¡ionare

(PRECI) ¿i (DEBI) : t t( ), ( ),... ,0 1 X1

X2

X t t j X t j N tj

2 10

6 18( ) ( ) ( ) ( ) , ( . )= ⋅ − +∑=

∞

unde este un proces sta¡ionar necorelat ¿i cu media egalå cu zero, având

ca input (Brockwell ¿i Davis, 1987).

N t( )X 1

Fig. 6.5. Graficul de intercorela¡ie al seriilor

PRECI t h DEBI t( ), ( ) h+ = − 30 30,... , .

130

Fig. 6.6. Graficul func¡iei de autocorela¡ie al seriilor sta¡ionarizate

RPRECI t h RDEBI t h( ), ( ) , , ... ,+ = − 30 30.

Seriile sta¡ionarizate s-au notat cu RPRECI respectiv RDEBI (fig.6.7 ¿i 6.8).

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

-5.00

-1.00

3.00

7.00

Fig. 6.7. Seria RPRECI ob¡inutå prin sta¡ionarizarea seriei PRECI.

Fig. 6.8. Seria RDEBI ob¡inutå prin sta¡ionarizarea seriei DEBI.

Programul solicitå în aceastå fazå introducerea seriilor reziduale ob¡inute în

urma utilizårii aceluia¿i model ARMA, respectiv (RPRECI) ¿i (RDEBI). Astfel se ob¡in urmåtoarele modele ale celor douå serii:

R1 R2

X t Y t Y t t1 1 1 1 0 0228 2 150 6 19( ) ( ) ( ) . , ,..., , ( . )= − − − =

X t Y t Y t t2 2 2 1 0 0228 2 150 6 20( ) ( ) ( ) . , ,..., . ( . )= − − − =

131

Modelul ARMA sau MA(1) al seriei PRECI este: X t Z t Z t1 0 474 1 6 21( ) ( ) . ( ) , ( . )= − ⋅ −

unde este zgomot alb cu parametrii (0. 0.0779). Z t( )

)

Seria rezidualå reprezintå reziduul modelului ARMA. Seria rezidualå

se ob¡ine prin aplicarea filtrului ( asupra seriei .

R1

R2 )1 0 474 1− −. B X2

Pentru a verifica dacå coeficien¡ii estima¡i sunt semnificativ diferi¡i de zero

se va reprezenta graficul de intercorela¡ie R t h2( + ¿i pentru

R t1( )h = −30 30,..., .

Coeficien¡ii de corela¡ie $( )ρ h trebuie så se afle în interiorul benzii

±1 96. n pentru unde b este un numår întreg non-negativ astfel încât h b<

$( ) .ρ b > 1 96 n . Valoarea b este parametrul de întârziere (seria urmeazå

seria cu un decalaj de trei unitå¡i de timp). Deoarece b

X2

X1 = 3 modelul (6.18)

se transformå, considerând t j j b( ) ,= <0 , în:

X t t j X t j N tj b

m2 1 6 22( ) ( ) ( ) ( ) . ( . )= ⋅ − +∑

=

Dacå introducem se ob¡ine modelul: m = 10

X t t X t t X t N t2 1 13 3 10 10 6 23( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) , ( . )= − + + − +

unde: t t t t t( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . ,0 0 51 1 0 66 2 0 33 3 4 86 4 3 38= = = = =

t t t t t t( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . .5 2 6 6 2 0 7 2 03 8 1 52 9 1 32 10 0 78= = = = = =

Se ob¡ine astfel graficul coeficien¡ilor de intercorela¡ie (fig. 6.9), care aratå

faptul cå coeficien¡ii de intercorela¡ie sunt neglijabili pentru ¿i cå

parametrul de întârziere este

h < 3b = 3 .

Op¡iunea 3 calculeazå seria rezidualå a unui model tip func¡ie de transfer. Se

utilizeazå ¿i ¿i urmåtorul model tip func¡ie de transfer: X t1( ) X t2( )

132

( )( )

X t B B r B

v B v s B X t N t

b r

s

2

11

0 1

1 1 6 24

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ... ( ) ( ) ( ) . ( . )

= + + + ⋅

⋅ − − − ⋅ +−

ϖ ϖ ϖ

Fig. 6.9. Graficul coeficien¡ilor de intercorela¡ie

RPRECI t h RDEBI t( ), (+ ) cu h = −30 30,..., .

Modelul estimeazå valorile ale seriei .

Utilizând programul PEST ob¡inem modelul

$ ( ), max( , )N t t m r b s> = + N t( )N t B W t( ) ( . ) ( )= − ⋅1 0 582 unde

este zgomot alb cu parametrii (0, 0.486). W t( )¥n exemplul nostru, modelul func¡ie de transfer de tip medie alunecåtoare

(MA(1)), care leagå de , poate fi exprimat cu ajutorul unui model

având un numår minim de coeficien¡i.

X2 X1

Func¡ia de transfer se poate înlocui printr-o func¡ie ra¡ionalå de

B; astfel func¡ia 2

t j B j

j

m( )

=∑

0

0 22 0 018 0 0022 3 4B B B B+ + +. . . devine T B BB

( ).

=−2

1 0 1.

Pentru exemplul nostru construim modelul cu un numår minim de

coeficien¡i:

X t B B X t N t23 1

14 86 1 0 7 6 25( ) . ( . ) ( ) ( ). ( . )= − ⋅ +−

133

Pentru a genera estimåri ale seriei N t t( ), 3 149< ≤ vom sta¡ionariza seriile

¿i (conform procedurii anterioare) ¿i apoi introducem în program

func¡ia de transfer . Se vor ob¡ine astfel valorile

.

X1 X2

4 86 1 0 73. ( . )B B− −1

$ ( ), ,... ,N t t = 4 149

Op¡iunea 4 realizeazå estimarea coeficien¡ilor func¡iei de transfer care leagå de ¿i pe baza acesteia realizeazå predic¡ia. Meniul principal pentru

estimare ¿i predic¡ie este reprezentat în figura 6.10.

X2 X1

ESTIMATION AND PREDICTION MENU: 0. File the current model. 1. Find least squares estimators. 2. AICC value and prediction. 3. File residuals and plot cross-correlations. Acces to the input residuals filed by PEST is required for the latter. 4. Try a new model. 5. Enter a new data set. 6. Return to main menu.

Fig. 6.10. Meniul de estimare ¿i predic¡ie pe baza unui model tip func¡ie de transfer.

Se solicitå din etapele precedente seriile DEBI ¿i PRECI care se

sta¡ionarizeazå, modelul pentru input, modelul func¡ie de transfer preliminar, seria . Apoi se introduc valorile anterior determinate ( , ¿i

coeficien¡ii estima¡i în faza preliminarå în modelul:

N t( ) , , , )b r s q p

( )X t

B B r B

v B v s BX t

B q BB p B

W t

b r

s

q

p

2 10 1

1 1

1 11 1

6 26

( )( ) ( ) ... ( )

( ) ... ( )( )

( ) ... ( )( ) ... ( )

( ). ( . )

=+ + +

− − −⋅ +

++ + +

− − −⋅

ϖ ϖ ϖ

θ θφ φ

Seria se leagå de seria prin urmåtorul model tip func¡ie de transfer

preliminar:

X2 X1

X t B B X t B W t23 1

14 86 1 0 7 1 0 582 6 27( ) . ( . ) ( ) ( . ) ( ) , ( . )= ⋅ − ⋅ + − ⋅−

134

unde : W t este zgomot alb cu parametrii (0, 0.0486); ( ) ; X t B Z t1 1 0 434( ) ( . ) ( )= − este zgomot alb cu parametrii (0, 0.0779). Z t( )

Urmeazå faza de optimizare (Op¡iunea 1) utilizând succesiv rezolu¡ii de 0.1,

0.01, 0.001. Rezultatul optimizårii constå în W( ) . ;0 4 71= ; U( ) .1 0 722=

θ ( ) . ;1 0 58= − varian¡a input-ului = 0.077; varian¡a otput-ului = 0.048;

coeficientul MA al input-ului = -0.47.

Fig. 6. 11. Graficul coeficien¡ilor de intercorela¡ie dintre reziduul modelului func¡ie transfer ¿i reziduul seriei input.

Cu ajutorul Op¡iunii 2 se calculeazå valoarea AICC (AICC=27.7) pentru a

avea un criteriu de selec¡ie a celui mai bun model. Predic¡ia se realizeazå cu

ajutorul unui filtru Kalman (Brockwell ¿i Davis, 1987) care oferå cel mai bun

predictor liniar al seriei output pe baza modelului func¡ie de transfer identificat.

Pentru a verifica ¿i valida calitatea modelårii se examineazå reziduurile

. Dacå acestea au caracteristicile zgomotului alb, ¿i dacå valorile nu se

coreleazå cu reziduurile modelului fitat al seriei input atunci modelul func¡ie de

transfer poate fi acceptat.

$ ( )W t

Op¡iunea 3 construie¿te graficul de intercorela¡ie dintre reziduurile

modelului func¡ie de transfer ¿i cele ale seriei input modelatå ARMA. Se ob¡ine

135

graficul din figura 6.11 care justificå calitatea modelårii deoarece nici o valoare

nu depå¿e¿te limita de confiden¡å de 95%. Valorile predic¡iei se afi¿eazå odatå

cu radicalul din eroarea lor medie påtraticå.

6.3. MODELAREA AUTOREGRESIVÅ MULTIVARIATÅ

O serie de timp multivariatå (vectorialå sau multidimensionalå) având m serii

scalare componente, notatå cu Xt reprezintå un proces multivariat AR(p)

dacå satisface rela¡ia:

X X X zt p t pp t p t= + + +− −φ φ1 1 6 28... , ( . )

unde : este zgomot alb; z N Vt ~ ( , )0 p

φ φp1 ,..., pp sunt coeficien¡ii matricelor m m× ;

V este matricea de covarian¡å a erorilor; p

( )det ... , ;I z z zpp

pp− − − ≠ ∀ ≤φ φ1 0 1

al doilea p din φ φp1 ,..., pp

)29

30

reprezintå ordinul autoregresiei. Coeficin¡ii matricelor ¿i matricea de covarian¡å a erorilor satisfac ecua¡iile

multidimensionale Yule - Walker:

φpjj

pi j i i pΓ Γ( ) ( ), ,..., , ( .− = =∑

=1 6

1

Γ Γ( ) ( ) . ( . )0 61

− − =∑=φ pj p

j

pj V

Pentru a calcula valorile φpj ¿i V se utilizeazå versiunea multivariatå a

algoritmului Durbin - Levinson. Fiind date observa¡iile ale unei serii

sta¡ionare m-dimensionale ¿i de medie zero, procesul AR(p) fitat ( este:

p

x xn1 , ... ,)

. )

p n<

X X X zt p t pp t p t= + + +− −$ ... $ , (φ φ1 1 6 31

unde :

136

z N Vt ~ ( , )0 p

1 $p

zgomot alb;

¿i V sunt solu¡iile ecua¡iilor Yule-Walker, cu $ , ... , $φ φp pp Γ ( )h înlocuit

de matricea de covarian¡å a seriei date - . $( ) , ,... ,Γ h h p= 0 Estimatorii coeficien¡ilor se calculeazå cu ajutorul algoritmului Durbin -

Levinson (Brockwell ¿i Davis, 1987). Pachetul de programe ITSM cuprinde programul ARVEC care realizeazå

modelarea autoregresivå a unei serii de timp multidimensionale notatå cu

¿i ordinul autoregresiei ( ) Y Y Y t nt t tm= =1 1, ... , , , ... , p < 21 .

Programul ARVEC acceptå o serie de dimensiune m ≤ 6 a lui Y .

Sta¡ionarizarea se poate realiza cu maximum douå diferen¡ieri. Acestea pot fi de exemplu lag 1 = 1 ¿i lag 2 = 12. Utilizarea lor transformå seria

t

Yt astfel:

( )( ) . ( .1 1 6 3121 12 13− − = − − +− − −B B Y Y Y Y Yt t t t t )2

Se eliminå automat ¿i media, rezultând seria Xt care va fi supuså modelårii

autoregresive. Consideråm datele luate ca exemplu în capitolul 6.2., deci PRECI ¿i DEBI. Diferen¡ierea de ordinul întâi transformå cele douå serii astfel:

XX

Y YY Y

t

t

t t

t t

1

2

1 1 1

2 1 2

0 022750 42013

6 33⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

−

,

,

.

., ( . )

0

n

unde . t = 2 15, ... ,

Considerând cå seriile sunt sta¡ionarizate pe baza criteriului AICC se determinå ordinul p optim, p < min( , )21 . Pentru un proces AR(p)

multidimensional valoarea AICC calculatå prin program este:

AICC L V pm n n pmp pp p= − + + ⋅ − −2 2 112 2ln ( $ , ... , $ , $ ) ( ) / ( ) , ( .φ φ 2 6 34 )

1 $p

unde : ¿i V sunt estimatorii Yule - Walker; $ , ... , $φ φp pp

L este verosimilitatea Gaussianå a modelului. Prin mai multe încercåri s-a ajuns la concluzia cå modelul cu AICC minim

(AICC = 114.9) este AR(5). Programul afi¿eazå matricile coeficien¡ilor:

137

$ . .. .

, $ . .. .

, ... , $ ,φ φ1 20 51 0 210 01 0 05

0 19 0 010 04 0 24

−− −

− −φ5

¿i matricea covarian¡ei zgomotului alb: $. .. .

V50 075 0 0020 002 0 09

−−

.

Predic¡ia apare sub formå tabelarå (tab. 6.2) sau sub formå graficå.

Tabelul 6.2

Predic¡ia pe baza modelului AR(5) ¿i

eroarea de predic¡ie

T Pred ErMp

151 152 153 154

.

.

.

262.9 264.1 263.3 263.6

.

.

.

0.308 0.425 0.564 1.459

.

.

. Banda de semnifica¡ie de 95% se calculeazå astfel: pentru T=153,

Pred=263.35, Erstd=0.564, deci considerând cå zgomotul este Gaussian limitele sunt 263 35 1 96 0 564. ( . ) ( .± )⋅ .

138

7. ELEMENTE DE ANALIZÅ SPECTRALÅ

CU EXEMPLE ¥N HIDROLOGIE

¥n capitolul 2.2.3. s-au prezentat unele caracteristici statistice ale seriilor hidrologice periodice. De asemenea, în cadrul capitolului 2.3. s-a discutat modul de exprimare al componentei periodice al unei serii hidrologice. De regulå, componenta periodicå se reprezintå sub formå de serii Fourier. Cu aceastå ocazie s-a definit intensitatea spectralå ¿i modul de reprezentare graficå al acesteia (periodograma lui Schuster). S-a aråtat cå una dintre aplica¡iile posibile ale descompunerii unei serii hidrologice în serii Fourier este modelarea tendin¡ei compozite. Componentele Fourier pot fi utilizate, de asemenea, în scopul simulårii sau al prognozei. Capitolele 5 ¿i 6 au prezentat diferite modele stochastice cu aplica¡ii în hidrologie elaborate pe baza reprezentårii seriei de timp în domeniul timpului. Capitolul 7 este consacrat modelelor stochastice bazate pe reprezentåri ale seriei de timp în domeniul frecven¡elor.

Pachetul de programe ITSM (Brockwell, Davis ¿i Hyndman - 1991) oferå în acest sens programul SPEC elaborat pentru analiza spectralå.

¥n continuare se vor prezenta aspecte metodologice ale analizei spectrale cu exemple din hidrologie.

Analiza spectralå se bazeazå pe proprietå¡ile din domeniul frecven¡elor ale seriilor de timp. Ea se referå, în principal, la douå probleme: detectarea caracterului ciclic al datelor ¿i estimarea densitå¡ii spectrale. Ambele probleme pot fi selec¡ionate cu ajutorul op¡iunii 7 (Estimare spectralå neparametricå) al Meniului principal al pachetului de programe PEST. Op¡iunea 7 afi¿eazå Meniul analizei spectrale (fig. 7.1).

SPECTRAL ANALYSIS 1. Plot periodogram/(2*pi) and/or ln[periodogram/(2*pi)] 2. Plot cumulative periodogram 3. File Fourier transform 4. Fisher’ s test 5. Enter weight function for smoothing 6. Plot weight function. Sum of squares= 7. Plot estimated spectrum and/or ln[spectrum]

8. Return to main menu

Fig. 7.1. Meniul analizei spectrale.

139 139

Men¡ionåm faptul cå Op¡iunile 6 ¿i 7 devin active numai dupå introducerea parametrilor func¡iei de ponderare cu ajutorul Op¡iunii 5.

7.1. PERIODOGRAMA ªI PERIODOGRAMA CUMULATÅ

Principalul instrument de lucru pe care se întemeiazå analiza spectralå este

periodograma. Periodograma seriei x xn1 ,... , este definitå astfel:

( )In

X ej tit

t

njϖ ω= ⋅∑

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

=

1 7 11

2, ( . )

unde : [ ]ω πj j n j n= =2 0 1/ , , , . . . , / 2

]

, sunt frecven¡ele Fourier în intervalul

[ ] ; 0,π [ este partea întreagå a lui n / 2 n / 2 .

O valoare maximå a lui ( )I jω sugereazå prezen¡a unei componente

sinusoidale în structura datelor pentru frecven¡a ω j . Prezen¡a unei astfel de

componente urmeazå, de regulå, a fi testatå cu ajutorul unui tabel de analizå a varian¡ei (Brockwell ¿i Davis, 1987) sau cu ajutorul testului Fisher care va da un råspuns dacå seria con¡ine sau nu periodicitå¡i ascunse.

Op¡iunea 1 a Meniului analizei spectrale reprezintå periodograma sau ln(periodograma) constituitå din valorile ( )I / 2π .

Periodograma se calculeazå numai pentru frecven¡e Fourier diferite de zero

deoarece pentru ω j = 0 , ( )I n xn0 2= care depinde numai de media

e¿antionului, nefiind din aceastå cauzå o valoare utilå. Construc¡ia periodogramei are la bazå transformata Fourier discretå definitå

în felul urmåtor:

( )[ ] [ ]a n x e n j nj tit

t

nj= ⋅∑ − − ≤ ≤− −

=

1 2

11 2 2 7 2/ , / / . (ω . )

Op¡iunea 3 a meniului discutat va salva coeficien¡ii [ ] a j nj , , . . . , /= 0 2

sub forma unei matrici de numere complexe.

140 140

Vom considera ca exemplu urmåtoarele trei serii (ob¡inute în diferite faze de modelare a seriei Sohodol, Cap. 5.): seria sta¡ionarizatå (SOSTA); seria rezidualå (SOREZ); seria ini¡ialå transformatå Box-Cox din care s-a eliminat numai tendin¡a liniarå pentru a eviden¡ia componenta periodicå (SOCIC). Pentru simplitatea exprimårii, în continuare se vor folosi denumirile din paranteze.

Op¡iunea 2 va reprezenta periodograma cumulatå ¿i standardizatå, care se define¿te astfel:

C xx

Y i x i i qx q

i( ),, , ,... ,,

, (=<≤ ≤ + = −≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0 11 1 1

17 3. )

unde :

; ( )[ ]q n= −1 2/

( ) ( )Y I Ii kk

ik

k

q= ∑ ∑

= =ϖ ϖ

1 1/ .

0.00

0.04

0.08

0 20 40 60

0.00

0.50

1.00

0 20 40 60

C(x)I / 2π

Fig. 7.2. Periodograma seriei SOSTA. Fig. 7.3. Periodograma cumulatå a seriei SOSTA.

0.00

0.02

0.04

0 20 40 60

0.00

0.50

1.00

0 20 40 60

C(x)I / 2π

Fig. 7.4. Periodograma seriei SOREZ. Fig. 7.5. Periodograma cumulatå a seriei SOREZ.

141 141

0.00

0.35

0.70

0 20 40 60

0.00

0.50

1.00

0 20 40 60

C(x)I / 2π

Fig. 7.6. Periodograma seriei SOCIC. Fig.7.7. Periodograma cumulatå a SOCIC.

Observa¡ie: în toate figurile 7.2 - 7.7 o unitate pe axa absciselor este egalå

cu 2 120π / . Seria SOSTA înainte de a fi supuså modelårii ARMA prezintå o frecven¡å

maximå (fig. 7.2) semn cå în structura datelor existå o componentå sinusoidalå. Aceasta poate fi sau nu poate fi semnificativå, de aceea se indicå utilizarea unui test de semnifica¡ie. Prin urmare periodograma cumulatå (fig. 7.3) prezintå o inflexiune. Seria SOREZ are periodograma (fig. 7.4) ¿i periodograma cumulatå (fig. 7.5) cu o alurå specificå unei serii reziduale. ¥n schimb periodograma ¿i periodograma cumulatå a seriei SOCIC (fig. 7.6 ¿i fig. 7.7) sunt tipice pentru o serie cu componentå periodicå (12 luni).

Reprezentarea periodogramei cumulate ¿i standardizatå este echivalentå cu testul Kolmogorov - Smirnov privind faptul cå xt este un zgomot alb

Gaussian (ipoteza nulå). Se reprezintå graficul func¡iei de distribu¡ie empiricå ¿i se verificå compatibilitatea acesteia cu func¡ia de distribu¡ie uniformå F x x x( ) ,= ≤ ≤0 1 . Testul Kolmogorov - Smirnov respinge ipoteza nulå la

nivelul de semnifica¡ie α dacå func¡ia de distribu¡ie empiricå depå¿e¿te limitele:

( )y x k q x= ± − < <−α 1 0 1 71 2/ , , ( 4. )

unde ¿i . k0 05 1 36. .= k0 01 163. .=

Dacå este un zgomot alb Gaussian, atunci Y i xt qi , , ... ,= −1 1 are o

distribu¡ie independentå cu parametrii ( )0 1, iar periodograma cumulatå este

aproximativ liniarå. Ipoteza zgomotului alb Gaussian este respinså pentru nivelul de semnifica¡ie 0.05 dacå ( )C x depå¿e¿te limitele:

142 142

( )y xy

q x q=−−

± ⋅ − ≤ ≤−11

1 36 1 1 7 51 2. , ./ ( . )

7.2. TESTAREA PREZENºEI PERIODICITźILOR ASCUNSE

¥n acest paragraf se vor prezenta unele teste (bazate pe periodogramå) care

pot fi utilizate pentru a testa ipoteza nulå conform cåreia datele reale

sunt generate de un zgomot alb Gaussian. Ipoteza alternativå

se referå la faptul cå datele sunt generate de un zgomot alb Gaussian în a cårui con¡inut existå o componentå periodicå. Forma testelor diferå în func¡ie de modul de specificare al componentei periodice.

H0

x xn1 ,... , H1

Så presupunem faptul cå seria de timp Xt poate fi exprimatå sub forma:

X A t B t zt t= + + +µ ω ωcos sin , ( . )7 6

unde:

este un zgomot alb Gaussian cu varian¡a ; zt σ 2

A ¿i B sunt coeficien¡i Fourier; ϖ este o frecven¡å Fourier specificatå, t n= 1,... , , . ( )ω π π= ∈2 0k n/ ,

Se testeazå prezen¡a unei componente sinusoidale cu frecven¡å specificatå.

Ipoteza nulå este:

H A B0 0 7: , 7( . )= =

iar ipoteza alternativå:

H A1 : ¿i B ≠ 0 sau A ≠ 0 sau B ≠ 0 7. ( 8. )

Brockwell ¿i Davis (1987) demonstreazå prin analiza de varian¡å,

posibilitatea de a respinge ipoteza în favoarea ipotezei pentru un

anumit nivel de semnifica¡ie

H0 H1α .

Pot exista serii hidrologice care så con¡inå o componentå periodicå (nesinusoidalå) cu perioada numår întreg specificat p n< . Modelul seriei de

timp poate fi scris în acest caz astfel:

143 143

X f z t nt t t= + =, , ... , , ( . )1 7 9

unde:

este un zgomot alb Gaussian cu varian¡a ; zt σ 2

, sunt valorile unei func¡ii f cu periodicitatea f t Zt , ∈ ( )p n∈ 1, .

Valorile func¡iei f sunt reprezentate de:

( ) ( )[ ]( )[ ]

( )

f A kt p B kt p

A

t k kk

p

pt

= + +∑ +

+ ⋅ −

=

−µ π πcos / sin /

, (

/

/

2 2

1 71

1 2

2 . )10

11( . )

unde dacå p este impar. Ap / 2 0=

Brockwell ¿i Davis (1987) aratå cå pentru a testa prezen¡a unei componente

periodice nesinusoidale cu perioada specificatå, ipoteza nulå este:

H A B kk k0 0 7: ,= = ∀

iar ipoteza alternativå:

este fals . (7.12) H H1 : 0

Pentru a testa seriile hidrologice, referitor la prezen¡a unor periodicitå¡i

ascunse, având frecven¡a nespecificatå, se poate utiliza testul Fisher. ¥n Meniul analizei spectrale testul Fisher se activeazå cu ajutorul Op¡iunii 4.

Ipotezele nulå ¿i alternativå a acestui test sunt : este un zgomot alb Gaussian, (7.13) H Xt0 : con¡ine o componentå periodicå H Xt1 : de frecven¡å nespecificatå. (7.14) Respingerea ipotezei nule se realizeazå dacå periodograma con¡ine o valoare

mai mare decât media valorilor periodogramei. Testul calculeazå valoarea

( ) ( )ζ ω ωqi q

i ii

qI q I=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ∑

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

≤ ≤

−

=max / . ( . )

11

17 15

144 144

Se calculeazå, apoi, probabilitatea p, ca ζq så fie mai mare decât valoarea x

observatå.

Op¡iunea 4 afi¿eazå ambele valori ζq ¿i ( )p xqζ > .

S-au ob¡inut urmåtoarele rezultate, care invalideazå clar ipoteza nulå în cazul SOCIC, valideazå clar în cazul SOREZ ¿i valideazå la limitå în cazul SOSTA conform tabelului de mai jos:

ζq ( )p xqζ >

SOSTA 6.27 0.084SOREZ 3.63 0.844SOCIC 25.27 0.0

7.3. DENSITATEA SPECTRALÅ

Reprezentarea spectralå a unui proces stochastic sta¡ionar

descompune seria X tt , , , ...= ±0 1 Xt într-o sumå de componente

sinusoidale având coeficien¡i necorela¡i. ¥n mod corespunzåtor func¡ia de autocovarian¡å a lui se descompune sub formå de sinusoide. Astfel,

descompunerea spectralå este un analog, pentru procesele stochastice sta¡ionare, cu reprezentarea Fourier a func¡iilor deterministe.

Xt

Analiza proceselor sta¡ionare prin intermediul reprezentårilor spectrale este cunoscutå sub numele de analiza seriilor de timp în domeniul frecven¡elor. Aceasta este echivalentå cu analiza seriilor de timp în domeniul timpului care se bazeazå pe func¡ia de autocovarian¡å.

SPECTRAL DENSITY 1. Plot the spectral densit 2. File the spectral density 3. Plot ln(spectral density) 4. File ln(spectral density) 5. Specify a diff. Number of positive frequencies 6. Change current white noise variance of 7. Return to main menu

Fig. 7.8. Meniul densitå¡ii spectrale.

145 145

¥n continuare se va trata densitatea spectralå a unui model ARMA(p,q) care se va putea compara cu densitatea spectralå estimatå pe baza unei serii. ¥n mod similar s-a comparat în paragraful 5.3.7. ACF/PACF al unui model ARMA(p,q) cu ACF/PACF estimate pe baza seriei de date.

Op¡iunea 5 a Meniului principal deschide Meniul densitå¡ii spectrale (fig. 7.8.). Op¡iunile 1 ¿i 3 ale acestui meniu calculeazå ¿i afi¿eazå, pentru modelul fitat, densitatea spectralå respectiv ln(densitatea spectralå). Prin op¡iunile 2 ¿i 4 se pot salva rezultatele precedente.

Densitatea spectralå a unei serii de timp sta¡ionare X tt , , , ...= ±0 1

având autocovarian¡ele însumabile (de exemplu cazul particular al unui proces ARMA) se poate scrie astfel:

( )f k e i k

kϖ

πγ π ϖ πϖ= ∑ − ≤ ≤−

=−∞

∞12

7 16( ) , , ( . )

unde γ ( )k este autocovarian¡a pentru lag k iar i = − 1 .

Reprezentarea spectralå a lui Xt descompune seria în componente

sinusoidale. Valoarea måsoarå contribu¡ia relativå a componentelor cu

diferite frecven¡e (måsurate în radiani pe unitate de timp) la varian¡a totalå a lui

. Pentru o serie de valori reale

( )f ω

Xt ( ) ( )( )f fω = −ω

π

este suficientå

reprezentarea graficului , (fig. 7.9 ¿i 7.10). ( )f ω ω, 0 ≤ ≤

( )f ω

0.00

0.02

0.03

0 100 200 300

0.00

0.35

0.70

0 100 200 300

( )f ω

( )π ( )π Fig. 7.9. Densitatea spectralå Fig. 7.10. Densitatea spectralå a seriei SOSTA. a seriei SOCIC.

¥n cazul seriei SOSTA componentele armonice de frecven¡å ( )ω joase sunt

mai importante. ¥n cazul seriei SOCIC este evidentå contribu¡ia armonicei de frecven¡å ω =0 52. , ceea ce corespunde perioadei de 12.

146 146

O valoare maximå a func¡iei de densitate spectralå, corespunzåtoare unei frecven¡e λ , indicå o contribu¡ie însemnatå la varian¡a totalå.

Rezolu¡ia graficului densitå¡ii spectrale poate fi influen¡atå cu ajutorul Op¡iunii 5 a Meniului densitå¡ii spectrale, iar Op¡iunea 7 influen¡eazå valoarea curentå a varia¡iei zgomotului alb.

Densitatea spectralå a unui proces sta¡ionar se estimeazå prin ajustarea

(ponderarea) periodogramei. Func¡ia de ponderare notatå cu ( ) W j j m, ≤ se

introduce prin op¡iunea 5 a Meniului analizei spectrale. Pentru valori pozitive ale lui m se vor introduce ponderile non-negative W W . Dupå

aceastå etapå de lucru se redeschide Meniul analizei spectrale în configura¡ie completå, inclusiv Op¡iunea 6 - Graficul func¡iei de ponderare ¿i Op¡iunea 7 - Graficul spectrului sau al ln(spectrului) estimat. Ultima dintre op¡iuni calculeazå ¿i afi¿eazå periodograma ponderatå (ajustatå).

W m( ), ( ), ..., ( )0 1

Utilizând m=2 ¿i ponderi identice egale cu 1 rezultå periodogramele ponderate (fig. 7.11. - 7.13.). Alura acestora ilustreazå caracteristicile de bazå ale datelor anterior men¡ionate.

0.00

0.02

0.04

0 20 40 60

0.00

0.01

0.02

0 20 40 6

$( )f jω$( )f jω

0ω ω

Fig. 7.11. Periodograma ponderatå a Fig. 7.12. Periodograma ponderatå seriei SOSTA. a seriei SOREZ.

0.00

0.08

0.16

0 20 40 60

$( )f jϖ

Fig. 7.13. Periodograma ponderatå a seriei SOCIC.

ω

147 147

Limitele benzii de confiden¡å de 95% ale densitå¡ii spectrale, , sunt

date de:

( )f jω

( ) ( )$ . ( ) $ . (/

f W k fjk m

jω ω± ∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅

≤1 96 7 172

1 2

. )

Aceastå bandå este compatibilå cu caracterul constant al densitå¡ii spectrale

al zgomotului alb (Brockwell ¿i Davis, 1987). Pentru ( )ln ( )f jω limitele de

confiden¡å sunt:

( )ln $ . ( ) . (/

f W kjk m

ω ± ∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

≤1 96 7 182

1 2

. )

7.4. ANALIZA SPECTRALÅ BIDIMENSIONALÅ Pachetul de programe ITSM con¡ine programul SPEC care efectueazå

analiza spectralå bidimensionalå. Dupå activarea programului SPEC se vor specifica numele celor douå serii (aflate în format ASCII în fi¿iere separate) pe

care le notåm astfel respectiv X t nt1 1 1, , ... ,= X t nt2 2 1, , ... ,= .

Ca exemplu vom lua în considerare seriile de valori lunare de precipita¡ii bazinale (PBLA) ¿i seria de debite (QBLA) înregistrate la Blaj, râul Târnava în

perioada 1973-1978 (v. fig. 2.2). Dupå introducerea datelor se deschide Meniul analizei spectrale

bidimensionale (fig. 7.14).

BIVARIATE SPECTRAL ANALYSIS 1. Plot estimated f11 for pblas 2. Plot estimated f22 for qblas 3. Plot estimated abs. Coherency |K12| 4. Plot estimated phase PHI12 5. Enter new weight function for smoothing 6. Plot weight function. Sum of squares = 7. Begin another analysis 8. End program

Fig. 7.14. Meniul analizei spectrale bidimensionale.

148 148

De remarcat este faptul cå Op¡iunea 6 apare numai dupå introducerea valorilor func¡iei de ponderare cu ajutorul Op¡iunii 5. ¥naintea introducerii func¡iei de ponderare, Op¡iunile 1 ¿i 2 calculeazå ¿i afi¿eazå doar densitå¡ile

spectrale estimate ale celor douå serii, ¿i . ¥n acest moment densitå¡ile

spectrale sunt doar periodogramele seriilor respective divizate cu

$f11$f22

2π :

( )12

12

7 19111

11

2

πω

πωI n X ek t

it

t

nk= ∑− −

=, ( . )

respectiv:

( )12

12

7 20221

21

2

πω

πωI n X ek t

it

t

nk= ∑− −

=, ( . )

unde : [ ]ω πk k n k n= =2 0 1/ , , , ... , / 2

]

sunt frecven¡ele Fourier în intervalul

; [ ]0,π [ este partea întreagå a lui n / 2 n / 2 .

Periodograma comunå (interperiodogramå) se define¿te pentru o frecven¡å

Fourier ϖ k astfel:

( )I n X e X ek tit

t

nt

it

t

nk k12

11

12

17 21ω ω ω= ∑

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

= =. ( . )

Fårå a se utiliza func¡ia de ponderare, spectrul de coeren¡å absolutå are

urmåtoarea valoare absolutå (Brockwell ¿i Davis, 1987):

( ) ( )( ) ( )

kI

I Ik

k

k k12

12

111 2

221 2 1 7ω

ω

ω ω=

⋅=/ / . ( 22. )

Datoritå oscila¡iilor numeroase pe care le prezintå periodogramele, spectrul

de coeren¡å absolutå (Op¡iunea 3), ¿i faza spectrului (Op¡iunea 4) nu se pot interpreta. De aceea, în cadrul acestei etape de lucru se obi¿nuie¿te utilizarea unei func¡ii de ponderare a oscila¡iilor periodogramei.

Cu ajutorul Op¡iunii 5 se introduc parametrii func¡iei de ponderare

( )W j j m, ≤ . Pentru o valoare pozitivå a lui m se vor introduce ponderile

149 149

W W W m( ), ( ), ..., ( )0 1 , sub formå de valori pozitive. Prin defini¡ie, func¡ia de

ponderare este simetricå W j W j( ) ( )− = , j m= 1, ... , . Programul rescaleazå

ponderile astfel încât suma lor så fie egalå cu unu. Cu ajutorul Op¡iunii 6 se poate vizualiza graficul func¡iei de ponderare.

Dupå introducerea func¡iei de ponderare densitå¡ile spectrale ale seriilor sunt:

( ) ( )$ ( ) , ( . )f W k Ij j kk m

11 111

27 23ω

πω ω= ⋅ +∑

≤

( ) ( )$ ( ) . ( . )f W k Ij j kk m

22 221

27 24ω

πω ω= ⋅ +∑

≤

De asemenea, spectrul de densitate comun (cross) dupå introducerea func¡iei

de ponderare va avea expresia:

( ) ( )$ ( ) . ( . )f W k Ij j kk m

12 121

27 25ω

πω ω= ⋅ +∑

≤

Så procedåm la sta¡ionarizarea seriilor luate ca exemplu prin utilizarea

diferen¡ierii de lag 1. Op¡iunile 1 ¿i 2 oferå densitå¡ile spectrale ale celor douå serii (fig. 7.15 ¿i fig. 7.16).

0.00

500.00

1000.00

1500.00

0 10 20 30

0.00

100.00

200.00

300.00

0 10 20 30

$f$f

ω ω

Fig. 7.15. Densitatea spectralå a Fig. 7.16. Densitatea spectralå precipita¡iilor bazinale din bazinul a debitelor râului Târnava / Blaj Târnava / Blaj înaintea ponderårii. înaintea ponderårii.

Cu ajutorul Op¡iunii 5 introducem m=6 ¿i apoi W W( ) ... ( )0 6 1= = = . Tot cu

ajutorul Op¡iunilor 1 ¿i 2 se calculeazå ¿i se afi¿eazå noile densitå¡i spectrale estimate (fig. 7.17 ¿i fig. 7.18).

150 150

$( )f jω

0.00

300.00

600.00

0 200.00

50.00

100.00

0 10 20 30

$( )f jω

ω ω

1 2 7unit 0= π / Fig. 7.17. Densitatea spectralå a Fig. 7.18. Densitatea spectralå precipita¡iilor bazinale din bazinul a debitelor râului Târnava / Blaj Târnava / Blaj dupå ponderare. dupå ponderare.

Intervalele de confiden¡å se calculeazå conform metodologiei prezentate în

paragraful precedent. Prin Op¡iunea 3 se calculeazå ¿i afi¿eazå spectrul de coeren¡å absolutå:

$ ( )$ ( )

$ ( ) $ ( ), (/ /k

f

f fj

j

j j12

12

111 2

221 2 7 26ω

ω

ω ω=

⋅. )

unde este estimatorul spectrului comun dat de: $ ( )f12 ⋅

$ ( ) ( ) ( ). ( .f W k Ij j kk m

12 121

27 27ω

πω ω= ⋅ +∑

≤)

Se poate spune cå pentru o frecven¡å λ datå, coeren¡a absolutå este corela¡ia

dintre armonicele (de aceea¿i frecven¡å λ ) celor douå serii. O coeren¡å absolutå aproape de valoarea unu indicå o corela¡ie liniarå puternicå între sinusoidele componente ale celor douå serii.

¥n figura 7.19 se reprezintå spectrul de coeren¡å absolutå $ ( )k j12 ω al

seriilor de precipita¡ii bazinale ¿i debite din bazinul Târnava la Blaj. Deoarece valorile ini¡iale sunt medii lunare (sta¡ionarizate prin diferen¡iere

de ordinul întâi) pe baza figurii 7.19 se poate spune cå cele douå serii sunt corelate pentru fiecare frecven¡å. Valori maxime se ob¡in pentru λ λ λ= = =0 18 1 43 2 96. , . , . sau corela¡ia dintre armonice este puternicå pentru

decalaje de 2π λ/ luni (35, 5 ¿i 2-3).

151 151

0.00

0.50

1.00

0 10 20 30

-3.14

-1.57

0.00

1.57

3.14

0 10 20 30

$ ( )k j12 ω $ ( )φ ω12 j

ω

ω1 2 70unit = π /

1 2unit 70= π /

Fig. 7.19. Spectrul de coeren¡å absolutå Fig. 7.20. Faza spectrului estimatå pentru precipita¡ii bazinale-debite. pentru precipita¡ii bazinale-debite.

Faza spectrului, notatå cu [ ]φ π12( ) ,⋅ ∈ − π , se define¿te ca fiind

. Ea este o måsurå a decalajului (lag) fazei componentei armonice

de frecven¡å

( )arg ( )f12 λ

λ al seriei fa¡å de seria Xt2 Xt1 . Valoarea φ λ12 ( ) se poate

interpreta ca fiind decalajul de timp prin care componenta de frecven¡å λ a seriei urmeazå dupå componenta de aceea¿i frecven¡å a seriei . Xt2 Xt1

Faza spectrului se estimeazå prin rela¡ia:

( )$ ( ) arg $ ( ) . ( .φ ϖ ϖ12 12 7 28j jf= )

Op¡iunea 4 calculeazå ¿i afi¿eazå faza spectrului în intervalul [ ] . ¥n

figura 7.20 se prezintå graficul de varia¡ie al fazei spectrului pentru precipita¡ii bazinale - debite în bazinul Târnava la postul Blaj. Brockwell ¿i Davis (1987) au dedus formulele de calcul ale limitelor de confiden¡å, atât pentru spectrul de coeren¡å absolutå, cât ¿i pentru faza spectrului.

−π π,

Men¡ionåm faptul cå dacå rezultatele ob¡inute nu sunt suficient de clare pentru a deduce concluzii se va proceda la schimbarea func¡iei de ponderare.

152 152

ANEXA I

ACF PACF

ARIMA (0, 0, 1) θ > 0

ARIMA (0, 0, 1) θ < 0

ARIMA (0, 0, 2) θ θ1 20 0> >,

153

ACF PAC

ARIMA (1, 0, 0) φ > 0

ARIMA (1, 0, 0) φ < 0

ARIMA (1, 0, 1) φ θ< >0 0,

ARIMA (2, 0, 0) φ φ1 20 0> >,

154

BIBLIOGRAFIE

1. Box, G.E.P., Jenkins G.M., Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco, 1976.

2. Brockwell, P. J., Davis, R. A., Time Series: Theory and Methods. Springer-

Verlag, New York, 1987. 3. Brockwell, P. J., Davis, R. A., Hyndman, R. J., ITSM: An Interactive Time

Series Modelling Package for the PC., Springer-Verlag, New York, 1991. 4. Delleur, J. W., Time Series Analysis Applied to Hydrology", Vrije Universiteit

Brusells, Laboratory of Hydrology and Center for Statistics and Operational Research, Paper No.19, 1991.

5. Eshete, Z., Generalization and Comparative Study of the Non-Gaussian

Multicomponent Model for River Flow. Vrije Universiteit Brussels, Laboratory of Hydrology and Interuniverity Postgraduate Programme in Hydrology, Paper No.23., 1992.

6. Gârla¿u, ª., Popp, C., Ionel, S., Introducere în analiza specralå ¿i de corela¡ie.

Editura Facla, Timi¿oara, 1982. 7. Haidu, I., Fårca¿ I., Studiul varia¡iei de lungå duratå a parametrilor

hidroclimatici în scopul elaborårii prognozei prin extrapolare analiticå, ¥n vol. Probleme de geografie aplicatå. Universitatea "Babe¿-Bolyai" Cluj-Napoca, 1986.

8. Haidu I., Tilinca Z., Szocs F., Spectral Analysis of the Multiannual Flow

Variations of the Rivers in the West of Romania, Studia Universitatis "Babe¿-Bolyai" Cluj-Napoca, Seria Geologia-Geographia, XXXII, Nr. 3, 1987.

9. Haidu I., Prognoze hidrologice, Universitatea "Babe¿-Bolyai" Cluj-Napoca,

Facultatea de Biologie, Geografie ¿i Geologie, 1993. 10. Haidu, I., ARMA Modeling and the Interannual Water Transfer in Danube

Basin", in Geographica Timisiensis, Universitatea Timi¿oara, vol. 3., 1994. 11. Haidu I., Haidu C., Raicu T., Water Transfer Analysis - Preliminary Results,

Studia Universitatis "Babe¿-Bolyai" Cluj-Napoca, Seria Geographia, Nr. 1-2, 1995. 12. Haidu I., Mercier J. L., Recherche de tendances et de fluctuations dans des

précipitations: exemple pris en région méditerranéenne. Traveaux du 9-ème Colloque

155

International de Climatologie, 11-14 Sept. 1996 Universitè "Louis Pasteur" de Strasbourg, 1996.

13. Hipel, K. W., McLeod, A. I., Time Series Modelling of Water Resources and

Environmental Systems. Elsevier, Amsterdam, 1994. 14. Kendall, M.G., Time - Series, Griffin, London, 1973. 15. Kottegoda, N. T., Stochastic Water Resources Technology, John Wiley and

Sons, New York, 1980. 16. Mélard, G., Méthodes de prévision à court terme. Editions de l’Université de

Bruxelles, 1990. 17. McCuen, R. H., Microcomputer Applications in Statistical Hydrology. Prentice

Hall, Engewood Cliffs, New Jersey, 1993. 18. Mihoc,. G., Bergthaller, C., Urseanu, V., Procese stochastice: Elemente de

teorie ¿i aplica¡ii. Editura ªtiin¡ificå ¿i Enciclopedicå, Bucure¿ti, 1978. 19. Popescu, T., Demetri, S., Practica modelårii ¿i predic¡iei seriilor de timp:

Metodologia Box - Jenkins. Editura tehnicå, Bucure¿ti, 1991. 20. Salas, J. D., Delleur, J. W., Yevjevich, V., Lane, W. L.(1980), Applied

Modeling Hidrologic Time Series, Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado.

21. Salas, J. D., Smith, R. A.(1981), Physical basis of stochastic models of annual

flows. Vol 17, No.2. 22. Selesi, Y., Stochastic Predictions of Summer Rainfall Amounts over the

Northeast African Highlands and over India. Vrije Universiteit Brussels, Laboratory of Hydrology and Interuniverity Postgraduate Programme in Water Resources Engineering, Paper No.30., 1996.

23. Teodorescu, D., Modele stochastice optimizate. Editura Academiei, Bucure¿ti,

1982. 24. Terti¿co, M., Stoica, P., Popescu, T., Modelarea ¿i predic¡ia seriilor de timp.

Editura Academiei, Bucure¿ti, 1985. 25. Thomas, H. A., Fiering, M. B., Mathematical Synthesis of Streamflow

Sequences for the Analysis of River Basins by Simulation. Design of Water Resources Systems, Harvard University Press, Cambridge, 1962.

156

26. Tiron, M., Analiza preciziei de estimare a func¡iilor aleatoare. Editura Tehnicå, Bucure¿ti, 1981.

27. Vandewiele, G.L., Time Series Analysis, Vrije Universiteit Brusells, 1988. 28. Wang, Z. M., Conceptual Stochastic Streamflow for Monte Carlo Simulation

and Forecasting. Vrije Universiteit Brussels, Laboratory of Hydrology and Interuniverity Postgraduate Programme in Water Resources Engineering, Paper No.31., 1996.

29. Yevjevich, V., Stochastic Processes in Hydrology, Water Resources

Publications, Fort Collins, Colorado, 1972.

157

Cår¡i editate în cadrul programului

TEMPUS S_JEP 09781/95

Ion GIURMA F. LEHMANN; Ph. ACKERER Ionel HAIDU Aurel VARDUCA * * *

Petre STANCIU Pierre HUBERT Mihai MANOLIU; Cristina IONESCU André MERMOUD Ioan BICA Petre GªTESCU Radu POPA

COLMATAREA LACURILOR DE ACUMULARE WAMOS 1D. SIMULATION OF WATER MOVEMENT IN SOIL ANALIZA SERIILOR DE TIMP. APLICAºII ¥N HIDROLOGIE HIDROCHIMIE ªI POLUAREA CHIMICÅ A APEI MÅSURI NON-STRUCTURALE ¥N GOSPODÅRIREA APELOR METODOLOGIA BOX-JENKINS. APLICAºII ¥N HIDROLOGIE EAUPUSCULE. UNE INTRODUCTION A LA GESTION DE L'EAU DEZVOLTARE DURABILÅ ªI PROTECºIA MEDIULUI ELEMENTS DE PHYSIQUE DU SOL POLUAREA ACVIFERELOR. TEHNICI DE REMEDIERE LIMNOLOGIE ªI OCEANOGRAFIE MODELAREA CALITźII APEI DIN RÂURI

ISBN : 973 - 98530 - 3 - X