STATISTICĂ

CUPRINS 1 Statistica ndash instrument de cunoaştere şi conducere icircn economie

11 Obiectul statisticii 12 NoŃiuni fundamentale ale statisticii 13 Scale de măsurare folosite icircn statistică

2 Observarea statistică 21 Culegerea datelor statistice 22 Sistematizarea datelor statistice şi prezentarea lor 23 Indicatorii statistici

3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale 31 Indicatorii tendin Ńei centrale

311 Mărimile Medii 312 Indicatorii de poziŃie

32 Indicatorii varia Ńiei 33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională 34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

4 Cercetarea prin sondaj

41 Sondajul aleator simplu 42 Sondajul tipic (stratificat)

5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice 52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre

fenomenele şi procesele economice 53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre

fenomene 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR) 62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

63 Ajustarea seriilor cronologice 64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

7 Metoda indicilor

STATISTICA TEORETIC Ă

Tema 1 Statistica ndash instrument de cunoaştere şi conducere icircn economie

Ca disciplină ştiinŃifică statistica icircn funcŃie de scopul cunoaş-terii se subdivide icircn Statistica descriptivă vizează descrierea stării şi variabilităŃii colectivităŃii statistice după una sau mai

multe caracteristici Realizarea acestui obiectiv presupune culegerea datelor statistice prelucrarea şi prezentarea lor sintetică fie sub

formă numerică prin indicatori statistici fie sub formă grafică prin diagrame şi tabele statistice Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor există - Statistică descriptivă unidimensională (pentru o variabilă) - Statistică descriptivă multidimensională (pentru două sau mai multe variabile) Statistică inferenŃială vizează estimarea caracteristicilor unei colectivităŃi pornind de la cunoaşterea

unui eşantion şi presupune măsurarea incertitudinii rezultatelor şi calcularea riscurilor pe care le implică luarea unor decizii fundamentale pe baza unei informaŃii

Analiza statistică urmăreşte descoperirea a tot ceea ce este permanent esenŃial logic icircn variaŃia proceselor statistice şi măsurarea influenŃei factorilor care le determină variaŃia icircn timp icircn spaŃiu şi din punct de vedere calitativ

Pentru aceasta se folosesc analiza de regresie analiza de core-laŃie analiza seriilor de timp

11 Obiectul statisticii

Obiectul de studiul al statisticii icircl reprezintă fenomenele de masă Spre deosebire de cele din natură fenomenele de masă sunt fenomene complexe atipice rezultate din

acŃiunea combinată şi repe-tată a unui număr mare de factori de influenŃă Conceptul de fenomen de masă presupune luarea icircn considerare a raporturilor ndash necesitate şi icircntacircmplare ndash legea statistică şi legea dinamică ndash model statistic şi model determinist Legea statistică nu poate fi cunoscută decacirct dacă se ia icircn studiu un număr mare de cazuri individuale

care sunt legate icircntre ele datorită acŃiunii diferite a aceloraşi factori de influenŃă Legile statistice se manifestă sub formă de tendinŃă şi sunt vala-bile pentru un ansamblu de unităŃi

individuale Icircn esenŃă rolul statisticii este de-a determina pe baza datelor empirice informaŃii cacirct mai precise asupra

legii statistice de repartiŃie a fenomenelor individuale a fenomenelor de masă ce ne interesează Statistica este ştiinŃa care studiază aspectele cantitative ale determinărilor calitative ale fenomenelor de

masă fenomene care sunt supuse legilor statistice ce se manifestă icircn condiŃii concrete variabile icircn timp spaŃiu şi organizare socio-economică

Cercetarea statistică trebuie să Ńină seama icircn mod obiectiv de principiile teoriei probabilităŃilor şi de cerinŃele legii numerelor mari

Această lege a statisticii arată că icircntr-un număr suficient de mare de cazuri individuale influenŃele factorilor se pot compensa astfel icircncacirct să ajungă la o anumită valoare tipică pentru icircntreg ansamblul

12 NoŃiuni fundamentale ale statisticii

Statistica foloseşte icircn studiul fenomenelor de masă un număr mare de concepte şi noŃiuni Dintre

acestea unele au caracter general şi formează vocabularul de bază al statisticii 1 Colectivitatea statistică (populaŃia statistică) desemnează totalitatea elementelor de aceeaşi natură

ce sunt supuse studiului sta-tistic au o serie de trăsături esenŃiale comune şi sunt generate de acelaşi complex de cauze esenŃiale

ColectivităŃile statistice au un caracter obiectiv şi finit delimi-tarea lor presupune definirea elementelor din punctul de vedere al conŃinutului spaŃiului timpului şi formei de organizare

Ele pot fi privite ca a) colectivităŃi statice ndash cele ce exprimă o stare şi au o anumită icircntindere icircn spaŃiu formacircnd un stoc la un

moment dat b) colectivităŃi dinamice ndash cele ce exprimă un flux o devenire icircn timp caracterizarea lor presupunacircnd

icircnregistrarea elementelor compo-nente pe un interval de timp

2 UnităŃile colectivităŃii sunt purtătoare de informaŃii reprezen-tacircnd elementele componente ale colectivităŃii statistice

UnităŃile colectivităŃii statice există la un moment dat iar unită-Ńile colectivităŃii dinamice desemnează evenimente procese sau flu-xuri şi se produc icircn decursul perioadei sau intervalului de timp icircn care au loc evenimentele statistice

UnităŃile statistice pot fi a) unităŃi simple ndash reprezentacircnd elemente constitutive specifice naturii fenomenului (ex angajatul

produsul etc) care formează aceeaşi colectivitate b) unităŃi complexe - sunt formate din mai multe unităŃi simple organizate icircn funcŃie de criterii social

economice (ex familie echipe de lucru grupe de studenŃi etc) 3 Caracteristica statistică desemnează icircnsuşirea proprietatea trăsătura comună unităŃilor unei

colectivităŃi statistice reŃinută icircn programul statistic pentru a fi icircnregistrată şi care are valori diferite de la o unitate la alta (exemple de caracteristici pot fi vacircrsta greutatea sexul naŃionalitatea ocupaŃia cifra de afaceri etc)

Formele concrete de manifestare a caracteristicilor statistice la nivelul fiecărei unităŃi se numesc variante sau valori

Caracteristica statistică se mai numeşte variabilă statistică deoarece are proprietatea de a-şi modifica valoarea icircn timp şi spaŃiu de la o unitate la alta iar numărul de apariŃii ale unei variante icircntr-o colectivitate se numeşte pondere frecvenŃă

Caracteristicile statistice se pot clasifica a) după conŃinut - caracteristici de timp arată apartenenŃa la un moment sau in-terval de timp - caracteristici de spaŃiu exprimă teritoriul căruia icirci aparŃin - caracteristicile atributive care pot fi caracteristici numerice ce se referă la cantităŃi note obŃinute

vacircrste etc caracteristici calitative exprimate icircn cuvinte cum ar fi naŃionalitate studii meserii etc b) după modul de manifestare - caracteristici alternative care presupun numai două valori individuale complementare (ex sexul

(FM) produsul (bun rebut)) - caracteristici nealternative ndash se prezintă cu variante numerice sau calitative distincte la nivelul

unităŃilor colectivităŃii c) după gradul de esenŃialitate - caracteristici esenŃiale ndash care răspund scopului propus icircn pro-gramul de observare - caracteristici neesenŃiale care sunt considerate ajutătoare aduc un plus de informaŃie d) după modul de obŃinere şi caracterizare a fenomenului - caracteristici primare obŃinute direct prin icircnregistrare - caracteristici derivate care rezultă icircn urma prelucrării celor primare e) după natura variaŃiei caracteristicile numerice - caracteristici cu variaŃie continuă care pot lua orice valoare icircntr-un interval dat Valorile unei

caracteristici numerice se stabilesc prin măsurare numărare sau calcul - caracteristici cu variaŃie discontinuă sau discretă care pot lua numai valori icircntregi 4 Date statistice Sunt mărimi concrete obŃinute din experi-mente observaŃii numărare măsurare sau

calcule Prin date statistice se icircnŃelege o caracterizare numerică cantitativă obŃinută de statistică despre unităŃile colectivităŃii observate

Datele statistice cuprind următoarele elemente - noŃiunea ndash care precizează fenomenul sau procesul la care se referă - identificare (de timp de spaŃiu organizatorică) - valoarea numerică (datele statistice pot fi absolute relative primare derivate) 5 Informa Ńia statistică reprezintă conŃinutul specific (semnifi-caŃia mesajul datelor) Pentru

icircnŃelegerea legităŃilor de manifestare ale fenomenelor economice informaŃia statistică trebuie structurată icircn funcŃie de conŃinutul şi organizarea lor

Datele statistice cu ajutorul cărora se cercetează un fenomen economic sau social sub raportul structurii interdependenŃelor al modificării lor icircn timp sau icircn spaŃiu se numesc indicatori statistici

Conceptul de indicator statistic este stracircns legat de conceptul de model statistic Acesta exprimă sub forma unei construcŃii logice sau matematice (funcŃie sistem de ecuaŃii etc) trăsăturile momentele corelaŃiile esenŃiale din manifestările reale ale fenomenelor şi proceselor

13 Scale de măsurare folosite icircn statistică

Datele cu care se operează icircn statistică se deosebesc icircn funcŃie de scala lor de măsurare cu ajutorul căreia se stabilesc valorile observate Scala se poate reprezenta printr-un şir de numere valori simboluri care se succed progresiv pentru a arăta gradul icircn care un fenomen posedă o caracteristică sau o proprietate Activitatea de formare a scalelor se numeşte scalare Icircn practica statistică se folosesc patru niveluri de măsurare gradate după creşterea nivelului lor de eficienŃă

Scala nominală se utilizează pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt exprimate icircn cuvinte şi codificate prin numere naturale (ex sexul are două variante (M şi F) ce pot fi codificate M = 0 şi F=1)

Scala ordinală se foloseşte pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt ordonate Valorile de pe această scală indică doar poziŃia unităŃii icircntr-un şir ordonat fără să acorde importanŃă diferenŃei ce există icircntre poziŃii succesive RelaŃiile tipice icircntre clase sunt mai mare (mic) mai dificil (u şor) primul al doilea etc

Scala de interval Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale ordinale şi icircn plus distanŃa sau diferenŃa dintre două numere ale scalei are semnificaŃie spunem că măsurătoarea s-a făcut pe o scală de interval Se foloseşte pentru reprezentarea numerelor cardinale la care valoarea zero nu semnifică absenŃa completă a caracteristicii urmărite

Scala de raport Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale de interval şi icircn plus punctul zero este dat icircn mod natural spunem că măsurarea se realizează pe o scală de raport Pe această scală valoarea zero indică absenŃa completă a caracteristicii urmărite Variantele obŃinute pot fi supuse operaŃiilor matematice

Cuvinte cheie statistica-obiect colectivitate statistică unitate statistică caracteristică statistică date statistice scală

Teste grilă 1 Punctajul obŃinut de 10 concurenŃi la un test de cultură generală este o scală nominală AdevăratFals Răspuns Fals 2 Pentru următoarele afirmaŃii precizaŃi unitatea statistică şi variabila statistică

a) Timpii de execuŃie a 100 de programe BASIC unitate statistică programul BASIC variabilă statistică timpul de execuŃie ndash cantitativă

b) Profesiile salariaŃilor dintr-o firm ă unitate statistică salariatul variabilă statistică profesia ndash calitativă

3 PrecizaŃi pentru următoarele afirmaŃii scala lor de măsurare şi tipul datei statistice [numerice (cantitative) şi nenumerice (calitative)]

a) marca de calculator cea mai nou cumpărată de 10 familii Răspuns scala nominală ndash calitativă

b) cheltuieli cu reclama făcută de 5 firme selectate aleatoriu Răspuns scala de raport ndash cantitativă

Tema 2 Observarea statistică

21 Culegerea datelor statistice

Cunoaşterea fenomenelor şi proceselor economico-sociale se realizează prin lucrări complexe de mare

amploare bazate pe un număr mare de operaŃii temeinic organizate ce poartă denumirea de cercetare statistică Cercetarea statistică cuprinde totalitatea operaŃiilor de culegere observare sistematizare prelucrare

stocare analiză interpretare a infor-maŃiilor necesare pentru cunoaşterea conducerea proceselor social-economice

Etapele cercetării statistice sunt Observarea statistică reprezentacircnd culegerea datelor primare Prelucrarea statistică - sistematizarea datelor prin gruparea statistică - calculul indicatorilor statistici - prezentarea datelor tabele statistice serii statistice grafice statistice Analiza şi interpretarea statistică - confruntarea compararea datelor - verificarea ipotezelor - formularea concluziilor asupra cercetărilor

- fundamentarea calculelor de prognoză Observarea statistică constă icircn culegerea de informaŃii după o metodologie unitară pentru toate

unităŃile colectivităŃii Planul obser-vării statistice poate cuprinde bull Scopul observării care este legat de scopul general al cercetării statistice Trebuie bine precizat pentru

că icircn funcŃie de el se deli-mitează obiectul observării erorile de observare etc bull Colectivitatea statistică reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull UnităŃile de observare reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull Caracteristicile statistice reprezintă răspunsurile la icircntrebările puse prin chestionare (ex salariu

vechime etc) bull Timpul observării vizează două momente esenŃiale timpul la care se referă datele şi timpul icircn care se

efectuează culegerea datelor bull Locul observării are ca scop stabilirea facilă a unităŃilor de observare bull Măsurile organizatorice asigură condiŃiile favorabile pentru desfăşurarea observării statistice Felurile observării statistice bull observare directă se face prin contactul direct cu unităŃile de observat bull observare pe bază de documente presupune prelucrarea de date din evidenŃa tehnico-operativă

contabilă statistică Metodele de observare statistică sunt icircn funcŃie de natura feno-menelor observate agenŃilor economici

de posibilităŃile tehnice de prelucrare de care se dispune Criterii de grupare a metodelor de observare pot fi a) după modul de organizare a activităŃii social-economice - observaŃii permanente care se efectuează prin intermediul sistemului informatic statistic - observaŃii special-organizate ca recensăminte anchete monografii b) după timpul la care se referă datele - observaŃii curente ca rapoarte statistice - observaŃii periodice care se efectuează la un anumit interval de timp (recensămacircntul) - observaŃii unice care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil c) după numărul unităŃilor icircnregistrate - observaŃii totale prin care se culeg date de la toate unităŃile colectivităŃii (recensămacircnt rapoarte

statistice) - observaŃii parŃiale prin care se realizează icircnregistrări numai la o parte a unităŃilor colectivităŃii

(sondajul)

22 Sistematizarea datelor statistice şi prezentarea lor

Datele culese sunt colectate la un centru de prelucrare şi sunt supuse unor prelucrări primare destinate sistematizării lor şi desprin-derii unor concluzii generale Etapele sistematizării implică

1 Centralizarea datelor statistice necesită ca datele utilizate să fie comparabile şi aditive pentru a putea totaliza unităŃile statistice sau valorile unei caracteristici la nivelul grupelor tipice sau a colectivită-Ńilor observate

Totalizarea valorilor se face prin icircnsumare directă sau cu ajuto-rul unor coeficienŃi de echivalenŃă Icircn urma centralizării se obŃin indi-catori statistici de nivel (ex producŃia de antibiotice icircntr-un interval dat)

Centralizarea pe subcolectivităŃi omogene are ca scop o cunoaş-tere mai detaliată a fenomenului ceea ce este o centralizare pe grupe şi permite analiza fenomenului pe elemente structurale

2 Gruparea datelor statistice este o centralizare pe grupe omogene a unităŃilor unei colectivităŃi după variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare Tehnica grupării necesită parcurgerea următoarelor etape

a) Alegerea şi folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare este aceea icircnsuşire care stă la baza icircmpărŃirii colectivităŃilor icircn grupe omogene

Drept caracteristică de grupare se alege o caracteristică esenŃială cu un caracter stabil pentru unităŃile colectivităŃii care exprimă natura fenomenului cercetat şi corespunde scopului urmărit Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor de grupare putem avea

- grupe simple ndash cu o singură caracteristică de grupare - grupe combinate ndash se realizează prin luarea icircn considerare a două sau mai multe caracteristici de

grupare ce se găsesc icircn relaŃii de interdependenŃă După natura caracteristicilor de grupare pot fi

- grupări teritoriale icircn care caracteristica de spaŃiu este defini-torie (grupare pe Ńări judeŃe etc) - grupări cronologice ce se fac după caracteristica de timp - grupări după caracteristici atributive exprimate numeric sau prin cuvinte b) Stabilirea numărului de grupe (r) Notăm cu r numărul de grupe ce se va stabili icircn funcŃie de amplitudinea

variaŃiei şi de numărul de unităŃii ale colectivităŃii Astfel dacă gruparea se va folosi ca metodă de sistematizare a datelor pentru calcularea indicatorilor derivaŃi şi aplicarea analizei statistice este indicat să se folosească un număr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaŃiei caracteristicilor) Dacă se va analiza structura mutaŃiile de structură icircn raport cu tipurile calita-tive este indicat să se folosească un număr restracircns de grupe

Icircn funcŃie de mărimea variaŃiei caracteristicilor studiate pot fi - grupări pe variante (se foloseşte cacircnd numărul variantelor este redus şi amplitudinea mică) - grupări pe intervale de variaŃie (cacircnd numărul unităŃilor colec-tivităŃii este mare şi amplitudinea

variaŃiei este mare) c) Alegerea intervalului de grupare Intervalul de variaŃie este un grup omogen de variante despărŃit de

restul colectivului prin cele două limite ale grupei inferioară şi superioară Mărimea intervalului de grupare (h) se află icircn funcŃie de amplitudinea variaŃiei (A) şi numă-rul de grupe (r)

A = Xmax ndash Xmin unde Xmax = limita superioară a caracteristicii Xmin = limita inferioară a caracteristicii

h = r

A

h ndash mărimea intervalului de grupare r ndash numărul de grupe

Pentru determinarea mărimii intervalului de grupare icircn cazul colectivităŃilor de dimensiuni relativ mari

se poate utiliza şi formula lui Sturges

h = nlg32231

A

+

n = numărul de unităŃi statistice ale colectivităŃii analizate

Intervalele de grupare pot fi egale şi inegale icircnchise şi deschise cu variaŃie continuă şi cu variaŃie directă

Cacircnd intervalele de grupare sunt deschise ele trebuiesc icircnchise icircn funcŃie de mărimea intervalului alăturat

Icircn intervalele cu variaŃie continuă limita superioară a fiecărui interval se repetă ca limită inferioară a intervalului următor Pentru a se evita includerea dublă a unor unităŃi ce au valoarea egală cu una din limitele intervalului se stabileşte o convenŃie (limită inferioară sau limită superioară inclusă icircn interval) prin care se precizează limita inclusă icircn interval

La intervalele cu variaŃie discretă limita inferioară este depla-sată cu o unitate de măsură faŃă de limita superioară a intervalului precedent

3 Prezentarea datelor statistice se utilizează pentru perceperea şi icircnŃelegerea manifestărilor dintr-o colectivitate pentru a decide prelucrarea ei ulterioară pentru popularizarea datelor cacirct şi pentru informarea opiniei publice Aceste metode sunt folosite şi ca mijloace auxiliare dar eficiente de investigare a legăturilor dintre fenomene şi a formelor de evoluŃie icircn timp

Prezentarea se poate face sub formă de bull Serii statistice Ca rezultat al sistematizării seria statistică defineşte corespondenŃa dintre două şiruri

de date statistice icircn care primul reprezintă variaŃia caracteristicii urmărite iar al doilea şir cu-prinde frecvenŃele de apariŃie a variantelor caracteristicii Seria trebuie să ofere informaŃii cu privire la succesiunea mărirea valorilor icircnre-gistrate şi a frecvenŃelor corespunzătoare

Icircntre cele două şiruri există o legătură univocă icircn sensul că unei valori individuale oarecare icirci corespunde o anumită frecvenŃă respec-tiv un număr care arată de cacircte ori se repetă valoarea individuală respectivă

bull Grafice statistice Graficul este o imagine spaŃială cu caracter convenŃional care prin diferite mijloace plastice de reprezentare reliefează ceea ce este caracteristic esenŃial pentru obiectul cercetării Graficele reprezintă datele şi proporŃiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi suprafeŃe volume Principalele metode de reprezentare sunt figuri geometrice grafice icircntr-un sistem de coordonate (cadranul I din sistemul de axe rectangulare) reprezentări cu ajutorul hărŃilor

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

STATISTICA TEORETIC Ă

Tema 1 Statistica ndash instrument de cunoaştere şi conducere icircn economie

Ca disciplină ştiinŃifică statistica icircn funcŃie de scopul cunoaş-terii se subdivide icircn Statistica descriptivă vizează descrierea stării şi variabilităŃii colectivităŃii statistice după una sau mai

multe caracteristici Realizarea acestui obiectiv presupune culegerea datelor statistice prelucrarea şi prezentarea lor sintetică fie sub

formă numerică prin indicatori statistici fie sub formă grafică prin diagrame şi tabele statistice Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor există - Statistică descriptivă unidimensională (pentru o variabilă) - Statistică descriptivă multidimensională (pentru două sau mai multe variabile) Statistică inferenŃială vizează estimarea caracteristicilor unei colectivităŃi pornind de la cunoaşterea

unui eşantion şi presupune măsurarea incertitudinii rezultatelor şi calcularea riscurilor pe care le implică luarea unor decizii fundamentale pe baza unei informaŃii

Analiza statistică urmăreşte descoperirea a tot ceea ce este permanent esenŃial logic icircn variaŃia proceselor statistice şi măsurarea influenŃei factorilor care le determină variaŃia icircn timp icircn spaŃiu şi din punct de vedere calitativ

Pentru aceasta se folosesc analiza de regresie analiza de core-laŃie analiza seriilor de timp

11 Obiectul statisticii

Obiectul de studiul al statisticii icircl reprezintă fenomenele de masă Spre deosebire de cele din natură fenomenele de masă sunt fenomene complexe atipice rezultate din

acŃiunea combinată şi repe-tată a unui număr mare de factori de influenŃă Conceptul de fenomen de masă presupune luarea icircn considerare a raporturilor ndash necesitate şi icircntacircmplare ndash legea statistică şi legea dinamică ndash model statistic şi model determinist Legea statistică nu poate fi cunoscută decacirct dacă se ia icircn studiu un număr mare de cazuri individuale

care sunt legate icircntre ele datorită acŃiunii diferite a aceloraşi factori de influenŃă Legile statistice se manifestă sub formă de tendinŃă şi sunt vala-bile pentru un ansamblu de unităŃi

individuale Icircn esenŃă rolul statisticii este de-a determina pe baza datelor empirice informaŃii cacirct mai precise asupra

legii statistice de repartiŃie a fenomenelor individuale a fenomenelor de masă ce ne interesează Statistica este ştiinŃa care studiază aspectele cantitative ale determinărilor calitative ale fenomenelor de

masă fenomene care sunt supuse legilor statistice ce se manifestă icircn condiŃii concrete variabile icircn timp spaŃiu şi organizare socio-economică

Cercetarea statistică trebuie să Ńină seama icircn mod obiectiv de principiile teoriei probabilităŃilor şi de cerinŃele legii numerelor mari

Această lege a statisticii arată că icircntr-un număr suficient de mare de cazuri individuale influenŃele factorilor se pot compensa astfel icircncacirct să ajungă la o anumită valoare tipică pentru icircntreg ansamblul

12 NoŃiuni fundamentale ale statisticii

Statistica foloseşte icircn studiul fenomenelor de masă un număr mare de concepte şi noŃiuni Dintre

acestea unele au caracter general şi formează vocabularul de bază al statisticii 1 Colectivitatea statistică (populaŃia statistică) desemnează totalitatea elementelor de aceeaşi natură

ce sunt supuse studiului sta-tistic au o serie de trăsături esenŃiale comune şi sunt generate de acelaşi complex de cauze esenŃiale

ColectivităŃile statistice au un caracter obiectiv şi finit delimi-tarea lor presupune definirea elementelor din punctul de vedere al conŃinutului spaŃiului timpului şi formei de organizare

Ele pot fi privite ca a) colectivităŃi statice ndash cele ce exprimă o stare şi au o anumită icircntindere icircn spaŃiu formacircnd un stoc la un

moment dat b) colectivităŃi dinamice ndash cele ce exprimă un flux o devenire icircn timp caracterizarea lor presupunacircnd

icircnregistrarea elementelor compo-nente pe un interval de timp

2 UnităŃile colectivităŃii sunt purtătoare de informaŃii reprezen-tacircnd elementele componente ale colectivităŃii statistice

UnităŃile colectivităŃii statice există la un moment dat iar unită-Ńile colectivităŃii dinamice desemnează evenimente procese sau flu-xuri şi se produc icircn decursul perioadei sau intervalului de timp icircn care au loc evenimentele statistice

UnităŃile statistice pot fi a) unităŃi simple ndash reprezentacircnd elemente constitutive specifice naturii fenomenului (ex angajatul

produsul etc) care formează aceeaşi colectivitate b) unităŃi complexe - sunt formate din mai multe unităŃi simple organizate icircn funcŃie de criterii social

economice (ex familie echipe de lucru grupe de studenŃi etc) 3 Caracteristica statistică desemnează icircnsuşirea proprietatea trăsătura comună unităŃilor unei

colectivităŃi statistice reŃinută icircn programul statistic pentru a fi icircnregistrată şi care are valori diferite de la o unitate la alta (exemple de caracteristici pot fi vacircrsta greutatea sexul naŃionalitatea ocupaŃia cifra de afaceri etc)

Formele concrete de manifestare a caracteristicilor statistice la nivelul fiecărei unităŃi se numesc variante sau valori

Caracteristica statistică se mai numeşte variabilă statistică deoarece are proprietatea de a-şi modifica valoarea icircn timp şi spaŃiu de la o unitate la alta iar numărul de apariŃii ale unei variante icircntr-o colectivitate se numeşte pondere frecvenŃă

Caracteristicile statistice se pot clasifica a) după conŃinut - caracteristici de timp arată apartenenŃa la un moment sau in-terval de timp - caracteristici de spaŃiu exprimă teritoriul căruia icirci aparŃin - caracteristicile atributive care pot fi caracteristici numerice ce se referă la cantităŃi note obŃinute

vacircrste etc caracteristici calitative exprimate icircn cuvinte cum ar fi naŃionalitate studii meserii etc b) după modul de manifestare - caracteristici alternative care presupun numai două valori individuale complementare (ex sexul

(FM) produsul (bun rebut)) - caracteristici nealternative ndash se prezintă cu variante numerice sau calitative distincte la nivelul

unităŃilor colectivităŃii c) după gradul de esenŃialitate - caracteristici esenŃiale ndash care răspund scopului propus icircn pro-gramul de observare - caracteristici neesenŃiale care sunt considerate ajutătoare aduc un plus de informaŃie d) după modul de obŃinere şi caracterizare a fenomenului - caracteristici primare obŃinute direct prin icircnregistrare - caracteristici derivate care rezultă icircn urma prelucrării celor primare e) după natura variaŃiei caracteristicile numerice - caracteristici cu variaŃie continuă care pot lua orice valoare icircntr-un interval dat Valorile unei

caracteristici numerice se stabilesc prin măsurare numărare sau calcul - caracteristici cu variaŃie discontinuă sau discretă care pot lua numai valori icircntregi 4 Date statistice Sunt mărimi concrete obŃinute din experi-mente observaŃii numărare măsurare sau

calcule Prin date statistice se icircnŃelege o caracterizare numerică cantitativă obŃinută de statistică despre unităŃile colectivităŃii observate

Datele statistice cuprind următoarele elemente - noŃiunea ndash care precizează fenomenul sau procesul la care se referă - identificare (de timp de spaŃiu organizatorică) - valoarea numerică (datele statistice pot fi absolute relative primare derivate) 5 Informa Ńia statistică reprezintă conŃinutul specific (semnifi-caŃia mesajul datelor) Pentru

icircnŃelegerea legităŃilor de manifestare ale fenomenelor economice informaŃia statistică trebuie structurată icircn funcŃie de conŃinutul şi organizarea lor

Datele statistice cu ajutorul cărora se cercetează un fenomen economic sau social sub raportul structurii interdependenŃelor al modificării lor icircn timp sau icircn spaŃiu se numesc indicatori statistici

Conceptul de indicator statistic este stracircns legat de conceptul de model statistic Acesta exprimă sub forma unei construcŃii logice sau matematice (funcŃie sistem de ecuaŃii etc) trăsăturile momentele corelaŃiile esenŃiale din manifestările reale ale fenomenelor şi proceselor

13 Scale de măsurare folosite icircn statistică

Datele cu care se operează icircn statistică se deosebesc icircn funcŃie de scala lor de măsurare cu ajutorul căreia se stabilesc valorile observate Scala se poate reprezenta printr-un şir de numere valori simboluri care se succed progresiv pentru a arăta gradul icircn care un fenomen posedă o caracteristică sau o proprietate Activitatea de formare a scalelor se numeşte scalare Icircn practica statistică se folosesc patru niveluri de măsurare gradate după creşterea nivelului lor de eficienŃă

Scala nominală se utilizează pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt exprimate icircn cuvinte şi codificate prin numere naturale (ex sexul are două variante (M şi F) ce pot fi codificate M = 0 şi F=1)

Scala ordinală se foloseşte pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt ordonate Valorile de pe această scală indică doar poziŃia unităŃii icircntr-un şir ordonat fără să acorde importanŃă diferenŃei ce există icircntre poziŃii succesive RelaŃiile tipice icircntre clase sunt mai mare (mic) mai dificil (u şor) primul al doilea etc

Scala de interval Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale ordinale şi icircn plus distanŃa sau diferenŃa dintre două numere ale scalei are semnificaŃie spunem că măsurătoarea s-a făcut pe o scală de interval Se foloseşte pentru reprezentarea numerelor cardinale la care valoarea zero nu semnifică absenŃa completă a caracteristicii urmărite

Scala de raport Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale de interval şi icircn plus punctul zero este dat icircn mod natural spunem că măsurarea se realizează pe o scală de raport Pe această scală valoarea zero indică absenŃa completă a caracteristicii urmărite Variantele obŃinute pot fi supuse operaŃiilor matematice

Cuvinte cheie statistica-obiect colectivitate statistică unitate statistică caracteristică statistică date statistice scală

Teste grilă 1 Punctajul obŃinut de 10 concurenŃi la un test de cultură generală este o scală nominală AdevăratFals Răspuns Fals 2 Pentru următoarele afirmaŃii precizaŃi unitatea statistică şi variabila statistică

a) Timpii de execuŃie a 100 de programe BASIC unitate statistică programul BASIC variabilă statistică timpul de execuŃie ndash cantitativă

b) Profesiile salariaŃilor dintr-o firm ă unitate statistică salariatul variabilă statistică profesia ndash calitativă

3 PrecizaŃi pentru următoarele afirmaŃii scala lor de măsurare şi tipul datei statistice [numerice (cantitative) şi nenumerice (calitative)]

a) marca de calculator cea mai nou cumpărată de 10 familii Răspuns scala nominală ndash calitativă

b) cheltuieli cu reclama făcută de 5 firme selectate aleatoriu Răspuns scala de raport ndash cantitativă

Tema 2 Observarea statistică

21 Culegerea datelor statistice

Cunoaşterea fenomenelor şi proceselor economico-sociale se realizează prin lucrări complexe de mare

amploare bazate pe un număr mare de operaŃii temeinic organizate ce poartă denumirea de cercetare statistică Cercetarea statistică cuprinde totalitatea operaŃiilor de culegere observare sistematizare prelucrare

stocare analiză interpretare a infor-maŃiilor necesare pentru cunoaşterea conducerea proceselor social-economice

Etapele cercetării statistice sunt Observarea statistică reprezentacircnd culegerea datelor primare Prelucrarea statistică - sistematizarea datelor prin gruparea statistică - calculul indicatorilor statistici - prezentarea datelor tabele statistice serii statistice grafice statistice Analiza şi interpretarea statistică - confruntarea compararea datelor - verificarea ipotezelor - formularea concluziilor asupra cercetărilor

- fundamentarea calculelor de prognoză Observarea statistică constă icircn culegerea de informaŃii după o metodologie unitară pentru toate

unităŃile colectivităŃii Planul obser-vării statistice poate cuprinde bull Scopul observării care este legat de scopul general al cercetării statistice Trebuie bine precizat pentru

că icircn funcŃie de el se deli-mitează obiectul observării erorile de observare etc bull Colectivitatea statistică reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull UnităŃile de observare reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull Caracteristicile statistice reprezintă răspunsurile la icircntrebările puse prin chestionare (ex salariu

vechime etc) bull Timpul observării vizează două momente esenŃiale timpul la care se referă datele şi timpul icircn care se

efectuează culegerea datelor bull Locul observării are ca scop stabilirea facilă a unităŃilor de observare bull Măsurile organizatorice asigură condiŃiile favorabile pentru desfăşurarea observării statistice Felurile observării statistice bull observare directă se face prin contactul direct cu unităŃile de observat bull observare pe bază de documente presupune prelucrarea de date din evidenŃa tehnico-operativă

contabilă statistică Metodele de observare statistică sunt icircn funcŃie de natura feno-menelor observate agenŃilor economici

de posibilităŃile tehnice de prelucrare de care se dispune Criterii de grupare a metodelor de observare pot fi a) după modul de organizare a activităŃii social-economice - observaŃii permanente care se efectuează prin intermediul sistemului informatic statistic - observaŃii special-organizate ca recensăminte anchete monografii b) după timpul la care se referă datele - observaŃii curente ca rapoarte statistice - observaŃii periodice care se efectuează la un anumit interval de timp (recensămacircntul) - observaŃii unice care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil c) după numărul unităŃilor icircnregistrate - observaŃii totale prin care se culeg date de la toate unităŃile colectivităŃii (recensămacircnt rapoarte

statistice) - observaŃii parŃiale prin care se realizează icircnregistrări numai la o parte a unităŃilor colectivităŃii

(sondajul)

22 Sistematizarea datelor statistice şi prezentarea lor

Datele culese sunt colectate la un centru de prelucrare şi sunt supuse unor prelucrări primare destinate sistematizării lor şi desprin-derii unor concluzii generale Etapele sistematizării implică

1 Centralizarea datelor statistice necesită ca datele utilizate să fie comparabile şi aditive pentru a putea totaliza unităŃile statistice sau valorile unei caracteristici la nivelul grupelor tipice sau a colectivită-Ńilor observate

Totalizarea valorilor se face prin icircnsumare directă sau cu ajuto-rul unor coeficienŃi de echivalenŃă Icircn urma centralizării se obŃin indi-catori statistici de nivel (ex producŃia de antibiotice icircntr-un interval dat)

Centralizarea pe subcolectivităŃi omogene are ca scop o cunoaş-tere mai detaliată a fenomenului ceea ce este o centralizare pe grupe şi permite analiza fenomenului pe elemente structurale

2 Gruparea datelor statistice este o centralizare pe grupe omogene a unităŃilor unei colectivităŃi după variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare Tehnica grupării necesită parcurgerea următoarelor etape

a) Alegerea şi folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare este aceea icircnsuşire care stă la baza icircmpărŃirii colectivităŃilor icircn grupe omogene

Drept caracteristică de grupare se alege o caracteristică esenŃială cu un caracter stabil pentru unităŃile colectivităŃii care exprimă natura fenomenului cercetat şi corespunde scopului urmărit Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor de grupare putem avea

- grupe simple ndash cu o singură caracteristică de grupare - grupe combinate ndash se realizează prin luarea icircn considerare a două sau mai multe caracteristici de

grupare ce se găsesc icircn relaŃii de interdependenŃă După natura caracteristicilor de grupare pot fi

- grupări teritoriale icircn care caracteristica de spaŃiu este defini-torie (grupare pe Ńări judeŃe etc) - grupări cronologice ce se fac după caracteristica de timp - grupări după caracteristici atributive exprimate numeric sau prin cuvinte b) Stabilirea numărului de grupe (r) Notăm cu r numărul de grupe ce se va stabili icircn funcŃie de amplitudinea

variaŃiei şi de numărul de unităŃii ale colectivităŃii Astfel dacă gruparea se va folosi ca metodă de sistematizare a datelor pentru calcularea indicatorilor derivaŃi şi aplicarea analizei statistice este indicat să se folosească un număr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaŃiei caracteristicilor) Dacă se va analiza structura mutaŃiile de structură icircn raport cu tipurile calita-tive este indicat să se folosească un număr restracircns de grupe

Icircn funcŃie de mărimea variaŃiei caracteristicilor studiate pot fi - grupări pe variante (se foloseşte cacircnd numărul variantelor este redus şi amplitudinea mică) - grupări pe intervale de variaŃie (cacircnd numărul unităŃilor colec-tivităŃii este mare şi amplitudinea

variaŃiei este mare) c) Alegerea intervalului de grupare Intervalul de variaŃie este un grup omogen de variante despărŃit de

restul colectivului prin cele două limite ale grupei inferioară şi superioară Mărimea intervalului de grupare (h) se află icircn funcŃie de amplitudinea variaŃiei (A) şi numă-rul de grupe (r)

A = Xmax ndash Xmin unde Xmax = limita superioară a caracteristicii Xmin = limita inferioară a caracteristicii

h = r

A

h ndash mărimea intervalului de grupare r ndash numărul de grupe

Pentru determinarea mărimii intervalului de grupare icircn cazul colectivităŃilor de dimensiuni relativ mari

se poate utiliza şi formula lui Sturges

h = nlg32231

A

+

n = numărul de unităŃi statistice ale colectivităŃii analizate

Intervalele de grupare pot fi egale şi inegale icircnchise şi deschise cu variaŃie continuă şi cu variaŃie directă

Cacircnd intervalele de grupare sunt deschise ele trebuiesc icircnchise icircn funcŃie de mărimea intervalului alăturat

Icircn intervalele cu variaŃie continuă limita superioară a fiecărui interval se repetă ca limită inferioară a intervalului următor Pentru a se evita includerea dublă a unor unităŃi ce au valoarea egală cu una din limitele intervalului se stabileşte o convenŃie (limită inferioară sau limită superioară inclusă icircn interval) prin care se precizează limita inclusă icircn interval

La intervalele cu variaŃie discretă limita inferioară este depla-sată cu o unitate de măsură faŃă de limita superioară a intervalului precedent

3 Prezentarea datelor statistice se utilizează pentru perceperea şi icircnŃelegerea manifestărilor dintr-o colectivitate pentru a decide prelucrarea ei ulterioară pentru popularizarea datelor cacirct şi pentru informarea opiniei publice Aceste metode sunt folosite şi ca mijloace auxiliare dar eficiente de investigare a legăturilor dintre fenomene şi a formelor de evoluŃie icircn timp

Prezentarea se poate face sub formă de bull Serii statistice Ca rezultat al sistematizării seria statistică defineşte corespondenŃa dintre două şiruri

de date statistice icircn care primul reprezintă variaŃia caracteristicii urmărite iar al doilea şir cu-prinde frecvenŃele de apariŃie a variantelor caracteristicii Seria trebuie să ofere informaŃii cu privire la succesiunea mărirea valorilor icircnre-gistrate şi a frecvenŃelor corespunzătoare

Icircntre cele două şiruri există o legătură univocă icircn sensul că unei valori individuale oarecare icirci corespunde o anumită frecvenŃă respec-tiv un număr care arată de cacircte ori se repetă valoarea individuală respectivă

bull Grafice statistice Graficul este o imagine spaŃială cu caracter convenŃional care prin diferite mijloace plastice de reprezentare reliefează ceea ce este caracteristic esenŃial pentru obiectul cercetării Graficele reprezintă datele şi proporŃiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi suprafeŃe volume Principalele metode de reprezentare sunt figuri geometrice grafice icircntr-un sistem de coordonate (cadranul I din sistemul de axe rectangulare) reprezentări cu ajutorul hărŃilor

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

2 UnităŃile colectivităŃii sunt purtătoare de informaŃii reprezen-tacircnd elementele componente ale colectivităŃii statistice

UnităŃile colectivităŃii statice există la un moment dat iar unită-Ńile colectivităŃii dinamice desemnează evenimente procese sau flu-xuri şi se produc icircn decursul perioadei sau intervalului de timp icircn care au loc evenimentele statistice

UnităŃile statistice pot fi a) unităŃi simple ndash reprezentacircnd elemente constitutive specifice naturii fenomenului (ex angajatul

produsul etc) care formează aceeaşi colectivitate b) unităŃi complexe - sunt formate din mai multe unităŃi simple organizate icircn funcŃie de criterii social

economice (ex familie echipe de lucru grupe de studenŃi etc) 3 Caracteristica statistică desemnează icircnsuşirea proprietatea trăsătura comună unităŃilor unei

colectivităŃi statistice reŃinută icircn programul statistic pentru a fi icircnregistrată şi care are valori diferite de la o unitate la alta (exemple de caracteristici pot fi vacircrsta greutatea sexul naŃionalitatea ocupaŃia cifra de afaceri etc)

Formele concrete de manifestare a caracteristicilor statistice la nivelul fiecărei unităŃi se numesc variante sau valori

Caracteristica statistică se mai numeşte variabilă statistică deoarece are proprietatea de a-şi modifica valoarea icircn timp şi spaŃiu de la o unitate la alta iar numărul de apariŃii ale unei variante icircntr-o colectivitate se numeşte pondere frecvenŃă

Caracteristicile statistice se pot clasifica a) după conŃinut - caracteristici de timp arată apartenenŃa la un moment sau in-terval de timp - caracteristici de spaŃiu exprimă teritoriul căruia icirci aparŃin - caracteristicile atributive care pot fi caracteristici numerice ce se referă la cantităŃi note obŃinute

vacircrste etc caracteristici calitative exprimate icircn cuvinte cum ar fi naŃionalitate studii meserii etc b) după modul de manifestare - caracteristici alternative care presupun numai două valori individuale complementare (ex sexul

(FM) produsul (bun rebut)) - caracteristici nealternative ndash se prezintă cu variante numerice sau calitative distincte la nivelul

unităŃilor colectivităŃii c) după gradul de esenŃialitate - caracteristici esenŃiale ndash care răspund scopului propus icircn pro-gramul de observare - caracteristici neesenŃiale care sunt considerate ajutătoare aduc un plus de informaŃie d) după modul de obŃinere şi caracterizare a fenomenului - caracteristici primare obŃinute direct prin icircnregistrare - caracteristici derivate care rezultă icircn urma prelucrării celor primare e) după natura variaŃiei caracteristicile numerice - caracteristici cu variaŃie continuă care pot lua orice valoare icircntr-un interval dat Valorile unei

caracteristici numerice se stabilesc prin măsurare numărare sau calcul - caracteristici cu variaŃie discontinuă sau discretă care pot lua numai valori icircntregi 4 Date statistice Sunt mărimi concrete obŃinute din experi-mente observaŃii numărare măsurare sau

calcule Prin date statistice se icircnŃelege o caracterizare numerică cantitativă obŃinută de statistică despre unităŃile colectivităŃii observate

Datele statistice cuprind următoarele elemente - noŃiunea ndash care precizează fenomenul sau procesul la care se referă - identificare (de timp de spaŃiu organizatorică) - valoarea numerică (datele statistice pot fi absolute relative primare derivate) 5 Informa Ńia statistică reprezintă conŃinutul specific (semnifi-caŃia mesajul datelor) Pentru

icircnŃelegerea legităŃilor de manifestare ale fenomenelor economice informaŃia statistică trebuie structurată icircn funcŃie de conŃinutul şi organizarea lor

Datele statistice cu ajutorul cărora se cercetează un fenomen economic sau social sub raportul structurii interdependenŃelor al modificării lor icircn timp sau icircn spaŃiu se numesc indicatori statistici

Conceptul de indicator statistic este stracircns legat de conceptul de model statistic Acesta exprimă sub forma unei construcŃii logice sau matematice (funcŃie sistem de ecuaŃii etc) trăsăturile momentele corelaŃiile esenŃiale din manifestările reale ale fenomenelor şi proceselor

13 Scale de măsurare folosite icircn statistică

Datele cu care se operează icircn statistică se deosebesc icircn funcŃie de scala lor de măsurare cu ajutorul căreia se stabilesc valorile observate Scala se poate reprezenta printr-un şir de numere valori simboluri care se succed progresiv pentru a arăta gradul icircn care un fenomen posedă o caracteristică sau o proprietate Activitatea de formare a scalelor se numeşte scalare Icircn practica statistică se folosesc patru niveluri de măsurare gradate după creşterea nivelului lor de eficienŃă

Scala nominală se utilizează pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt exprimate icircn cuvinte şi codificate prin numere naturale (ex sexul are două variante (M şi F) ce pot fi codificate M = 0 şi F=1)

Scala ordinală se foloseşte pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt ordonate Valorile de pe această scală indică doar poziŃia unităŃii icircntr-un şir ordonat fără să acorde importanŃă diferenŃei ce există icircntre poziŃii succesive RelaŃiile tipice icircntre clase sunt mai mare (mic) mai dificil (u şor) primul al doilea etc

Scala de interval Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale ordinale şi icircn plus distanŃa sau diferenŃa dintre două numere ale scalei are semnificaŃie spunem că măsurătoarea s-a făcut pe o scală de interval Se foloseşte pentru reprezentarea numerelor cardinale la care valoarea zero nu semnifică absenŃa completă a caracteristicii urmărite

Scala de raport Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale de interval şi icircn plus punctul zero este dat icircn mod natural spunem că măsurarea se realizează pe o scală de raport Pe această scală valoarea zero indică absenŃa completă a caracteristicii urmărite Variantele obŃinute pot fi supuse operaŃiilor matematice

Cuvinte cheie statistica-obiect colectivitate statistică unitate statistică caracteristică statistică date statistice scală

Teste grilă 1 Punctajul obŃinut de 10 concurenŃi la un test de cultură generală este o scală nominală AdevăratFals Răspuns Fals 2 Pentru următoarele afirmaŃii precizaŃi unitatea statistică şi variabila statistică

a) Timpii de execuŃie a 100 de programe BASIC unitate statistică programul BASIC variabilă statistică timpul de execuŃie ndash cantitativă

b) Profesiile salariaŃilor dintr-o firm ă unitate statistică salariatul variabilă statistică profesia ndash calitativă

3 PrecizaŃi pentru următoarele afirmaŃii scala lor de măsurare şi tipul datei statistice [numerice (cantitative) şi nenumerice (calitative)]

a) marca de calculator cea mai nou cumpărată de 10 familii Răspuns scala nominală ndash calitativă

b) cheltuieli cu reclama făcută de 5 firme selectate aleatoriu Răspuns scala de raport ndash cantitativă

Tema 2 Observarea statistică

21 Culegerea datelor statistice

Cunoaşterea fenomenelor şi proceselor economico-sociale se realizează prin lucrări complexe de mare

amploare bazate pe un număr mare de operaŃii temeinic organizate ce poartă denumirea de cercetare statistică Cercetarea statistică cuprinde totalitatea operaŃiilor de culegere observare sistematizare prelucrare

stocare analiză interpretare a infor-maŃiilor necesare pentru cunoaşterea conducerea proceselor social-economice

Etapele cercetării statistice sunt Observarea statistică reprezentacircnd culegerea datelor primare Prelucrarea statistică - sistematizarea datelor prin gruparea statistică - calculul indicatorilor statistici - prezentarea datelor tabele statistice serii statistice grafice statistice Analiza şi interpretarea statistică - confruntarea compararea datelor - verificarea ipotezelor - formularea concluziilor asupra cercetărilor

- fundamentarea calculelor de prognoză Observarea statistică constă icircn culegerea de informaŃii după o metodologie unitară pentru toate

unităŃile colectivităŃii Planul obser-vării statistice poate cuprinde bull Scopul observării care este legat de scopul general al cercetării statistice Trebuie bine precizat pentru

că icircn funcŃie de el se deli-mitează obiectul observării erorile de observare etc bull Colectivitatea statistică reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull UnităŃile de observare reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull Caracteristicile statistice reprezintă răspunsurile la icircntrebările puse prin chestionare (ex salariu

vechime etc) bull Timpul observării vizează două momente esenŃiale timpul la care se referă datele şi timpul icircn care se

efectuează culegerea datelor bull Locul observării are ca scop stabilirea facilă a unităŃilor de observare bull Măsurile organizatorice asigură condiŃiile favorabile pentru desfăşurarea observării statistice Felurile observării statistice bull observare directă se face prin contactul direct cu unităŃile de observat bull observare pe bază de documente presupune prelucrarea de date din evidenŃa tehnico-operativă

contabilă statistică Metodele de observare statistică sunt icircn funcŃie de natura feno-menelor observate agenŃilor economici

de posibilităŃile tehnice de prelucrare de care se dispune Criterii de grupare a metodelor de observare pot fi a) după modul de organizare a activităŃii social-economice - observaŃii permanente care se efectuează prin intermediul sistemului informatic statistic - observaŃii special-organizate ca recensăminte anchete monografii b) după timpul la care se referă datele - observaŃii curente ca rapoarte statistice - observaŃii periodice care se efectuează la un anumit interval de timp (recensămacircntul) - observaŃii unice care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil c) după numărul unităŃilor icircnregistrate - observaŃii totale prin care se culeg date de la toate unităŃile colectivităŃii (recensămacircnt rapoarte

statistice) - observaŃii parŃiale prin care se realizează icircnregistrări numai la o parte a unităŃilor colectivităŃii

(sondajul)

22 Sistematizarea datelor statistice şi prezentarea lor

Datele culese sunt colectate la un centru de prelucrare şi sunt supuse unor prelucrări primare destinate sistematizării lor şi desprin-derii unor concluzii generale Etapele sistematizării implică

1 Centralizarea datelor statistice necesită ca datele utilizate să fie comparabile şi aditive pentru a putea totaliza unităŃile statistice sau valorile unei caracteristici la nivelul grupelor tipice sau a colectivită-Ńilor observate

Totalizarea valorilor se face prin icircnsumare directă sau cu ajuto-rul unor coeficienŃi de echivalenŃă Icircn urma centralizării se obŃin indi-catori statistici de nivel (ex producŃia de antibiotice icircntr-un interval dat)

Centralizarea pe subcolectivităŃi omogene are ca scop o cunoaş-tere mai detaliată a fenomenului ceea ce este o centralizare pe grupe şi permite analiza fenomenului pe elemente structurale

2 Gruparea datelor statistice este o centralizare pe grupe omogene a unităŃilor unei colectivităŃi după variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare Tehnica grupării necesită parcurgerea următoarelor etape

a) Alegerea şi folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare este aceea icircnsuşire care stă la baza icircmpărŃirii colectivităŃilor icircn grupe omogene

Drept caracteristică de grupare se alege o caracteristică esenŃială cu un caracter stabil pentru unităŃile colectivităŃii care exprimă natura fenomenului cercetat şi corespunde scopului urmărit Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor de grupare putem avea

- grupe simple ndash cu o singură caracteristică de grupare - grupe combinate ndash se realizează prin luarea icircn considerare a două sau mai multe caracteristici de

grupare ce se găsesc icircn relaŃii de interdependenŃă După natura caracteristicilor de grupare pot fi

- grupări teritoriale icircn care caracteristica de spaŃiu este defini-torie (grupare pe Ńări judeŃe etc) - grupări cronologice ce se fac după caracteristica de timp - grupări după caracteristici atributive exprimate numeric sau prin cuvinte b) Stabilirea numărului de grupe (r) Notăm cu r numărul de grupe ce se va stabili icircn funcŃie de amplitudinea

variaŃiei şi de numărul de unităŃii ale colectivităŃii Astfel dacă gruparea se va folosi ca metodă de sistematizare a datelor pentru calcularea indicatorilor derivaŃi şi aplicarea analizei statistice este indicat să se folosească un număr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaŃiei caracteristicilor) Dacă se va analiza structura mutaŃiile de structură icircn raport cu tipurile calita-tive este indicat să se folosească un număr restracircns de grupe

Icircn funcŃie de mărimea variaŃiei caracteristicilor studiate pot fi - grupări pe variante (se foloseşte cacircnd numărul variantelor este redus şi amplitudinea mică) - grupări pe intervale de variaŃie (cacircnd numărul unităŃilor colec-tivităŃii este mare şi amplitudinea

variaŃiei este mare) c) Alegerea intervalului de grupare Intervalul de variaŃie este un grup omogen de variante despărŃit de

restul colectivului prin cele două limite ale grupei inferioară şi superioară Mărimea intervalului de grupare (h) se află icircn funcŃie de amplitudinea variaŃiei (A) şi numă-rul de grupe (r)

A = Xmax ndash Xmin unde Xmax = limita superioară a caracteristicii Xmin = limita inferioară a caracteristicii

h = r

A

h ndash mărimea intervalului de grupare r ndash numărul de grupe

Pentru determinarea mărimii intervalului de grupare icircn cazul colectivităŃilor de dimensiuni relativ mari

se poate utiliza şi formula lui Sturges

h = nlg32231

A

+

n = numărul de unităŃi statistice ale colectivităŃii analizate

Intervalele de grupare pot fi egale şi inegale icircnchise şi deschise cu variaŃie continuă şi cu variaŃie directă

Cacircnd intervalele de grupare sunt deschise ele trebuiesc icircnchise icircn funcŃie de mărimea intervalului alăturat

Icircn intervalele cu variaŃie continuă limita superioară a fiecărui interval se repetă ca limită inferioară a intervalului următor Pentru a se evita includerea dublă a unor unităŃi ce au valoarea egală cu una din limitele intervalului se stabileşte o convenŃie (limită inferioară sau limită superioară inclusă icircn interval) prin care se precizează limita inclusă icircn interval

La intervalele cu variaŃie discretă limita inferioară este depla-sată cu o unitate de măsură faŃă de limita superioară a intervalului precedent

3 Prezentarea datelor statistice se utilizează pentru perceperea şi icircnŃelegerea manifestărilor dintr-o colectivitate pentru a decide prelucrarea ei ulterioară pentru popularizarea datelor cacirct şi pentru informarea opiniei publice Aceste metode sunt folosite şi ca mijloace auxiliare dar eficiente de investigare a legăturilor dintre fenomene şi a formelor de evoluŃie icircn timp

Prezentarea se poate face sub formă de bull Serii statistice Ca rezultat al sistematizării seria statistică defineşte corespondenŃa dintre două şiruri

de date statistice icircn care primul reprezintă variaŃia caracteristicii urmărite iar al doilea şir cu-prinde frecvenŃele de apariŃie a variantelor caracteristicii Seria trebuie să ofere informaŃii cu privire la succesiunea mărirea valorilor icircnre-gistrate şi a frecvenŃelor corespunzătoare

Icircntre cele două şiruri există o legătură univocă icircn sensul că unei valori individuale oarecare icirci corespunde o anumită frecvenŃă respec-tiv un număr care arată de cacircte ori se repetă valoarea individuală respectivă

bull Grafice statistice Graficul este o imagine spaŃială cu caracter convenŃional care prin diferite mijloace plastice de reprezentare reliefează ceea ce este caracteristic esenŃial pentru obiectul cercetării Graficele reprezintă datele şi proporŃiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi suprafeŃe volume Principalele metode de reprezentare sunt figuri geometrice grafice icircntr-un sistem de coordonate (cadranul I din sistemul de axe rectangulare) reprezentări cu ajutorul hărŃilor

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Datele cu care se operează icircn statistică se deosebesc icircn funcŃie de scala lor de măsurare cu ajutorul căreia se stabilesc valorile observate Scala se poate reprezenta printr-un şir de numere valori simboluri care se succed progresiv pentru a arăta gradul icircn care un fenomen posedă o caracteristică sau o proprietate Activitatea de formare a scalelor se numeşte scalare Icircn practica statistică se folosesc patru niveluri de măsurare gradate după creşterea nivelului lor de eficienŃă

Scala nominală se utilizează pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt exprimate icircn cuvinte şi codificate prin numere naturale (ex sexul are două variante (M şi F) ce pot fi codificate M = 0 şi F=1)

Scala ordinală se foloseşte pentru reprezentarea variabilelor ale căror variante sunt ordonate Valorile de pe această scală indică doar poziŃia unităŃii icircntr-un şir ordonat fără să acorde importanŃă diferenŃei ce există icircntre poziŃii succesive RelaŃiile tipice icircntre clase sunt mai mare (mic) mai dificil (u şor) primul al doilea etc

Scala de interval Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale ordinale şi icircn plus distanŃa sau diferenŃa dintre două numere ale scalei are semnificaŃie spunem că măsurătoarea s-a făcut pe o scală de interval Se foloseşte pentru reprezentarea numerelor cardinale la care valoarea zero nu semnifică absenŃa completă a caracteristicii urmărite

Scala de raport Cacircnd o scală are toate caracteristicile unei scale de interval şi icircn plus punctul zero este dat icircn mod natural spunem că măsurarea se realizează pe o scală de raport Pe această scală valoarea zero indică absenŃa completă a caracteristicii urmărite Variantele obŃinute pot fi supuse operaŃiilor matematice

Cuvinte cheie statistica-obiect colectivitate statistică unitate statistică caracteristică statistică date statistice scală

Teste grilă 1 Punctajul obŃinut de 10 concurenŃi la un test de cultură generală este o scală nominală AdevăratFals Răspuns Fals 2 Pentru următoarele afirmaŃii precizaŃi unitatea statistică şi variabila statistică

a) Timpii de execuŃie a 100 de programe BASIC unitate statistică programul BASIC variabilă statistică timpul de execuŃie ndash cantitativă

b) Profesiile salariaŃilor dintr-o firm ă unitate statistică salariatul variabilă statistică profesia ndash calitativă

3 PrecizaŃi pentru următoarele afirmaŃii scala lor de măsurare şi tipul datei statistice [numerice (cantitative) şi nenumerice (calitative)]

a) marca de calculator cea mai nou cumpărată de 10 familii Răspuns scala nominală ndash calitativă

b) cheltuieli cu reclama făcută de 5 firme selectate aleatoriu Răspuns scala de raport ndash cantitativă

Tema 2 Observarea statistică

21 Culegerea datelor statistice

Cunoaşterea fenomenelor şi proceselor economico-sociale se realizează prin lucrări complexe de mare

amploare bazate pe un număr mare de operaŃii temeinic organizate ce poartă denumirea de cercetare statistică Cercetarea statistică cuprinde totalitatea operaŃiilor de culegere observare sistematizare prelucrare

stocare analiză interpretare a infor-maŃiilor necesare pentru cunoaşterea conducerea proceselor social-economice

Etapele cercetării statistice sunt Observarea statistică reprezentacircnd culegerea datelor primare Prelucrarea statistică - sistematizarea datelor prin gruparea statistică - calculul indicatorilor statistici - prezentarea datelor tabele statistice serii statistice grafice statistice Analiza şi interpretarea statistică - confruntarea compararea datelor - verificarea ipotezelor - formularea concluziilor asupra cercetărilor

- fundamentarea calculelor de prognoză Observarea statistică constă icircn culegerea de informaŃii după o metodologie unitară pentru toate

unităŃile colectivităŃii Planul obser-vării statistice poate cuprinde bull Scopul observării care este legat de scopul general al cercetării statistice Trebuie bine precizat pentru

că icircn funcŃie de el se deli-mitează obiectul observării erorile de observare etc bull Colectivitatea statistică reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull UnităŃile de observare reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull Caracteristicile statistice reprezintă răspunsurile la icircntrebările puse prin chestionare (ex salariu

vechime etc) bull Timpul observării vizează două momente esenŃiale timpul la care se referă datele şi timpul icircn care se

efectuează culegerea datelor bull Locul observării are ca scop stabilirea facilă a unităŃilor de observare bull Măsurile organizatorice asigură condiŃiile favorabile pentru desfăşurarea observării statistice Felurile observării statistice bull observare directă se face prin contactul direct cu unităŃile de observat bull observare pe bază de documente presupune prelucrarea de date din evidenŃa tehnico-operativă

contabilă statistică Metodele de observare statistică sunt icircn funcŃie de natura feno-menelor observate agenŃilor economici

de posibilităŃile tehnice de prelucrare de care se dispune Criterii de grupare a metodelor de observare pot fi a) după modul de organizare a activităŃii social-economice - observaŃii permanente care se efectuează prin intermediul sistemului informatic statistic - observaŃii special-organizate ca recensăminte anchete monografii b) după timpul la care se referă datele - observaŃii curente ca rapoarte statistice - observaŃii periodice care se efectuează la un anumit interval de timp (recensămacircntul) - observaŃii unice care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil c) după numărul unităŃilor icircnregistrate - observaŃii totale prin care se culeg date de la toate unităŃile colectivităŃii (recensămacircnt rapoarte

statistice) - observaŃii parŃiale prin care se realizează icircnregistrări numai la o parte a unităŃilor colectivităŃii

(sondajul)

22 Sistematizarea datelor statistice şi prezentarea lor

Datele culese sunt colectate la un centru de prelucrare şi sunt supuse unor prelucrări primare destinate sistematizării lor şi desprin-derii unor concluzii generale Etapele sistematizării implică

1 Centralizarea datelor statistice necesită ca datele utilizate să fie comparabile şi aditive pentru a putea totaliza unităŃile statistice sau valorile unei caracteristici la nivelul grupelor tipice sau a colectivită-Ńilor observate

Totalizarea valorilor se face prin icircnsumare directă sau cu ajuto-rul unor coeficienŃi de echivalenŃă Icircn urma centralizării se obŃin indi-catori statistici de nivel (ex producŃia de antibiotice icircntr-un interval dat)

Centralizarea pe subcolectivităŃi omogene are ca scop o cunoaş-tere mai detaliată a fenomenului ceea ce este o centralizare pe grupe şi permite analiza fenomenului pe elemente structurale

2 Gruparea datelor statistice este o centralizare pe grupe omogene a unităŃilor unei colectivităŃi după variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare Tehnica grupării necesită parcurgerea următoarelor etape

a) Alegerea şi folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare este aceea icircnsuşire care stă la baza icircmpărŃirii colectivităŃilor icircn grupe omogene

Drept caracteristică de grupare se alege o caracteristică esenŃială cu un caracter stabil pentru unităŃile colectivităŃii care exprimă natura fenomenului cercetat şi corespunde scopului urmărit Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor de grupare putem avea

- grupe simple ndash cu o singură caracteristică de grupare - grupe combinate ndash se realizează prin luarea icircn considerare a două sau mai multe caracteristici de

grupare ce se găsesc icircn relaŃii de interdependenŃă După natura caracteristicilor de grupare pot fi

- grupări teritoriale icircn care caracteristica de spaŃiu este defini-torie (grupare pe Ńări judeŃe etc) - grupări cronologice ce se fac după caracteristica de timp - grupări după caracteristici atributive exprimate numeric sau prin cuvinte b) Stabilirea numărului de grupe (r) Notăm cu r numărul de grupe ce se va stabili icircn funcŃie de amplitudinea

variaŃiei şi de numărul de unităŃii ale colectivităŃii Astfel dacă gruparea se va folosi ca metodă de sistematizare a datelor pentru calcularea indicatorilor derivaŃi şi aplicarea analizei statistice este indicat să se folosească un număr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaŃiei caracteristicilor) Dacă se va analiza structura mutaŃiile de structură icircn raport cu tipurile calita-tive este indicat să se folosească un număr restracircns de grupe

Icircn funcŃie de mărimea variaŃiei caracteristicilor studiate pot fi - grupări pe variante (se foloseşte cacircnd numărul variantelor este redus şi amplitudinea mică) - grupări pe intervale de variaŃie (cacircnd numărul unităŃilor colec-tivităŃii este mare şi amplitudinea

variaŃiei este mare) c) Alegerea intervalului de grupare Intervalul de variaŃie este un grup omogen de variante despărŃit de

restul colectivului prin cele două limite ale grupei inferioară şi superioară Mărimea intervalului de grupare (h) se află icircn funcŃie de amplitudinea variaŃiei (A) şi numă-rul de grupe (r)

A = Xmax ndash Xmin unde Xmax = limita superioară a caracteristicii Xmin = limita inferioară a caracteristicii

h = r

A

h ndash mărimea intervalului de grupare r ndash numărul de grupe

Pentru determinarea mărimii intervalului de grupare icircn cazul colectivităŃilor de dimensiuni relativ mari

se poate utiliza şi formula lui Sturges

h = nlg32231

A

+

n = numărul de unităŃi statistice ale colectivităŃii analizate

Intervalele de grupare pot fi egale şi inegale icircnchise şi deschise cu variaŃie continuă şi cu variaŃie directă

Cacircnd intervalele de grupare sunt deschise ele trebuiesc icircnchise icircn funcŃie de mărimea intervalului alăturat

Icircn intervalele cu variaŃie continuă limita superioară a fiecărui interval se repetă ca limită inferioară a intervalului următor Pentru a se evita includerea dublă a unor unităŃi ce au valoarea egală cu una din limitele intervalului se stabileşte o convenŃie (limită inferioară sau limită superioară inclusă icircn interval) prin care se precizează limita inclusă icircn interval

La intervalele cu variaŃie discretă limita inferioară este depla-sată cu o unitate de măsură faŃă de limita superioară a intervalului precedent

3 Prezentarea datelor statistice se utilizează pentru perceperea şi icircnŃelegerea manifestărilor dintr-o colectivitate pentru a decide prelucrarea ei ulterioară pentru popularizarea datelor cacirct şi pentru informarea opiniei publice Aceste metode sunt folosite şi ca mijloace auxiliare dar eficiente de investigare a legăturilor dintre fenomene şi a formelor de evoluŃie icircn timp

Prezentarea se poate face sub formă de bull Serii statistice Ca rezultat al sistematizării seria statistică defineşte corespondenŃa dintre două şiruri

de date statistice icircn care primul reprezintă variaŃia caracteristicii urmărite iar al doilea şir cu-prinde frecvenŃele de apariŃie a variantelor caracteristicii Seria trebuie să ofere informaŃii cu privire la succesiunea mărirea valorilor icircnre-gistrate şi a frecvenŃelor corespunzătoare

Icircntre cele două şiruri există o legătură univocă icircn sensul că unei valori individuale oarecare icirci corespunde o anumită frecvenŃă respec-tiv un număr care arată de cacircte ori se repetă valoarea individuală respectivă

bull Grafice statistice Graficul este o imagine spaŃială cu caracter convenŃional care prin diferite mijloace plastice de reprezentare reliefează ceea ce este caracteristic esenŃial pentru obiectul cercetării Graficele reprezintă datele şi proporŃiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi suprafeŃe volume Principalele metode de reprezentare sunt figuri geometrice grafice icircntr-un sistem de coordonate (cadranul I din sistemul de axe rectangulare) reprezentări cu ajutorul hărŃilor

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

- fundamentarea calculelor de prognoză Observarea statistică constă icircn culegerea de informaŃii după o metodologie unitară pentru toate

unităŃile colectivităŃii Planul obser-vării statistice poate cuprinde bull Scopul observării care este legat de scopul general al cercetării statistice Trebuie bine precizat pentru

că icircn funcŃie de el se deli-mitează obiectul observării erorile de observare etc bull Colectivitatea statistică reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull UnităŃile de observare reprezintă elementele colectivităŃii investigate bull Caracteristicile statistice reprezintă răspunsurile la icircntrebările puse prin chestionare (ex salariu

vechime etc) bull Timpul observării vizează două momente esenŃiale timpul la care se referă datele şi timpul icircn care se

efectuează culegerea datelor bull Locul observării are ca scop stabilirea facilă a unităŃilor de observare bull Măsurile organizatorice asigură condiŃiile favorabile pentru desfăşurarea observării statistice Felurile observării statistice bull observare directă se face prin contactul direct cu unităŃile de observat bull observare pe bază de documente presupune prelucrarea de date din evidenŃa tehnico-operativă

contabilă statistică Metodele de observare statistică sunt icircn funcŃie de natura feno-menelor observate agenŃilor economici

de posibilităŃile tehnice de prelucrare de care se dispune Criterii de grupare a metodelor de observare pot fi a) după modul de organizare a activităŃii social-economice - observaŃii permanente care se efectuează prin intermediul sistemului informatic statistic - observaŃii special-organizate ca recensăminte anchete monografii b) după timpul la care se referă datele - observaŃii curente ca rapoarte statistice - observaŃii periodice care se efectuează la un anumit interval de timp (recensămacircntul) - observaŃii unice care se fac pentru consemnarea statistică a unui eveniment nerepetabil c) după numărul unităŃilor icircnregistrate - observaŃii totale prin care se culeg date de la toate unităŃile colectivităŃii (recensămacircnt rapoarte

statistice) - observaŃii parŃiale prin care se realizează icircnregistrări numai la o parte a unităŃilor colectivităŃii

(sondajul)

22 Sistematizarea datelor statistice şi prezentarea lor

Datele culese sunt colectate la un centru de prelucrare şi sunt supuse unor prelucrări primare destinate sistematizării lor şi desprin-derii unor concluzii generale Etapele sistematizării implică

1 Centralizarea datelor statistice necesită ca datele utilizate să fie comparabile şi aditive pentru a putea totaliza unităŃile statistice sau valorile unei caracteristici la nivelul grupelor tipice sau a colectivită-Ńilor observate

Totalizarea valorilor se face prin icircnsumare directă sau cu ajuto-rul unor coeficienŃi de echivalenŃă Icircn urma centralizării se obŃin indi-catori statistici de nivel (ex producŃia de antibiotice icircntr-un interval dat)

Centralizarea pe subcolectivităŃi omogene are ca scop o cunoaş-tere mai detaliată a fenomenului ceea ce este o centralizare pe grupe şi permite analiza fenomenului pe elemente structurale

2 Gruparea datelor statistice este o centralizare pe grupe omogene a unităŃilor unei colectivităŃi după variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare Tehnica grupării necesită parcurgerea următoarelor etape

a) Alegerea şi folosirea caracteristicilor de grupare Caracteristica de grupare este aceea icircnsuşire care stă la baza icircmpărŃirii colectivităŃilor icircn grupe omogene

Drept caracteristică de grupare se alege o caracteristică esenŃială cu un caracter stabil pentru unităŃile colectivităŃii care exprimă natura fenomenului cercetat şi corespunde scopului urmărit Icircn funcŃie de numărul caracteristicilor de grupare putem avea

- grupe simple ndash cu o singură caracteristică de grupare - grupe combinate ndash se realizează prin luarea icircn considerare a două sau mai multe caracteristici de

grupare ce se găsesc icircn relaŃii de interdependenŃă După natura caracteristicilor de grupare pot fi

- grupări teritoriale icircn care caracteristica de spaŃiu este defini-torie (grupare pe Ńări judeŃe etc) - grupări cronologice ce se fac după caracteristica de timp - grupări după caracteristici atributive exprimate numeric sau prin cuvinte b) Stabilirea numărului de grupe (r) Notăm cu r numărul de grupe ce se va stabili icircn funcŃie de amplitudinea

variaŃiei şi de numărul de unităŃii ale colectivităŃii Astfel dacă gruparea se va folosi ca metodă de sistematizare a datelor pentru calcularea indicatorilor derivaŃi şi aplicarea analizei statistice este indicat să se folosească un număr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaŃiei caracteristicilor) Dacă se va analiza structura mutaŃiile de structură icircn raport cu tipurile calita-tive este indicat să se folosească un număr restracircns de grupe

Icircn funcŃie de mărimea variaŃiei caracteristicilor studiate pot fi - grupări pe variante (se foloseşte cacircnd numărul variantelor este redus şi amplitudinea mică) - grupări pe intervale de variaŃie (cacircnd numărul unităŃilor colec-tivităŃii este mare şi amplitudinea

variaŃiei este mare) c) Alegerea intervalului de grupare Intervalul de variaŃie este un grup omogen de variante despărŃit de

restul colectivului prin cele două limite ale grupei inferioară şi superioară Mărimea intervalului de grupare (h) se află icircn funcŃie de amplitudinea variaŃiei (A) şi numă-rul de grupe (r)

A = Xmax ndash Xmin unde Xmax = limita superioară a caracteristicii Xmin = limita inferioară a caracteristicii

h = r

A

h ndash mărimea intervalului de grupare r ndash numărul de grupe

Pentru determinarea mărimii intervalului de grupare icircn cazul colectivităŃilor de dimensiuni relativ mari

se poate utiliza şi formula lui Sturges

h = nlg32231

A

+

n = numărul de unităŃi statistice ale colectivităŃii analizate

Intervalele de grupare pot fi egale şi inegale icircnchise şi deschise cu variaŃie continuă şi cu variaŃie directă

Cacircnd intervalele de grupare sunt deschise ele trebuiesc icircnchise icircn funcŃie de mărimea intervalului alăturat

Icircn intervalele cu variaŃie continuă limita superioară a fiecărui interval se repetă ca limită inferioară a intervalului următor Pentru a se evita includerea dublă a unor unităŃi ce au valoarea egală cu una din limitele intervalului se stabileşte o convenŃie (limită inferioară sau limită superioară inclusă icircn interval) prin care se precizează limita inclusă icircn interval

La intervalele cu variaŃie discretă limita inferioară este depla-sată cu o unitate de măsură faŃă de limita superioară a intervalului precedent

3 Prezentarea datelor statistice se utilizează pentru perceperea şi icircnŃelegerea manifestărilor dintr-o colectivitate pentru a decide prelucrarea ei ulterioară pentru popularizarea datelor cacirct şi pentru informarea opiniei publice Aceste metode sunt folosite şi ca mijloace auxiliare dar eficiente de investigare a legăturilor dintre fenomene şi a formelor de evoluŃie icircn timp

Prezentarea se poate face sub formă de bull Serii statistice Ca rezultat al sistematizării seria statistică defineşte corespondenŃa dintre două şiruri

de date statistice icircn care primul reprezintă variaŃia caracteristicii urmărite iar al doilea şir cu-prinde frecvenŃele de apariŃie a variantelor caracteristicii Seria trebuie să ofere informaŃii cu privire la succesiunea mărirea valorilor icircnre-gistrate şi a frecvenŃelor corespunzătoare

Icircntre cele două şiruri există o legătură univocă icircn sensul că unei valori individuale oarecare icirci corespunde o anumită frecvenŃă respec-tiv un număr care arată de cacircte ori se repetă valoarea individuală respectivă

bull Grafice statistice Graficul este o imagine spaŃială cu caracter convenŃional care prin diferite mijloace plastice de reprezentare reliefează ceea ce este caracteristic esenŃial pentru obiectul cercetării Graficele reprezintă datele şi proporŃiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi suprafeŃe volume Principalele metode de reprezentare sunt figuri geometrice grafice icircntr-un sistem de coordonate (cadranul I din sistemul de axe rectangulare) reprezentări cu ajutorul hărŃilor

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

- grupări teritoriale icircn care caracteristica de spaŃiu este defini-torie (grupare pe Ńări judeŃe etc) - grupări cronologice ce se fac după caracteristica de timp - grupări după caracteristici atributive exprimate numeric sau prin cuvinte b) Stabilirea numărului de grupe (r) Notăm cu r numărul de grupe ce se va stabili icircn funcŃie de amplitudinea

variaŃiei şi de numărul de unităŃii ale colectivităŃii Astfel dacă gruparea se va folosi ca metodă de sistematizare a datelor pentru calcularea indicatorilor derivaŃi şi aplicarea analizei statistice este indicat să se folosească un număr suficient de mare de grupe (pentru a surprinde corect forma variaŃiei caracteristicilor) Dacă se va analiza structura mutaŃiile de structură icircn raport cu tipurile calita-tive este indicat să se folosească un număr restracircns de grupe

Icircn funcŃie de mărimea variaŃiei caracteristicilor studiate pot fi - grupări pe variante (se foloseşte cacircnd numărul variantelor este redus şi amplitudinea mică) - grupări pe intervale de variaŃie (cacircnd numărul unităŃilor colec-tivităŃii este mare şi amplitudinea

variaŃiei este mare) c) Alegerea intervalului de grupare Intervalul de variaŃie este un grup omogen de variante despărŃit de

restul colectivului prin cele două limite ale grupei inferioară şi superioară Mărimea intervalului de grupare (h) se află icircn funcŃie de amplitudinea variaŃiei (A) şi numă-rul de grupe (r)

A = Xmax ndash Xmin unde Xmax = limita superioară a caracteristicii Xmin = limita inferioară a caracteristicii

h = r

A

h ndash mărimea intervalului de grupare r ndash numărul de grupe

Pentru determinarea mărimii intervalului de grupare icircn cazul colectivităŃilor de dimensiuni relativ mari

se poate utiliza şi formula lui Sturges

h = nlg32231

A

+

n = numărul de unităŃi statistice ale colectivităŃii analizate

Intervalele de grupare pot fi egale şi inegale icircnchise şi deschise cu variaŃie continuă şi cu variaŃie directă

Cacircnd intervalele de grupare sunt deschise ele trebuiesc icircnchise icircn funcŃie de mărimea intervalului alăturat

Icircn intervalele cu variaŃie continuă limita superioară a fiecărui interval se repetă ca limită inferioară a intervalului următor Pentru a se evita includerea dublă a unor unităŃi ce au valoarea egală cu una din limitele intervalului se stabileşte o convenŃie (limită inferioară sau limită superioară inclusă icircn interval) prin care se precizează limita inclusă icircn interval

La intervalele cu variaŃie discretă limita inferioară este depla-sată cu o unitate de măsură faŃă de limita superioară a intervalului precedent

3 Prezentarea datelor statistice se utilizează pentru perceperea şi icircnŃelegerea manifestărilor dintr-o colectivitate pentru a decide prelucrarea ei ulterioară pentru popularizarea datelor cacirct şi pentru informarea opiniei publice Aceste metode sunt folosite şi ca mijloace auxiliare dar eficiente de investigare a legăturilor dintre fenomene şi a formelor de evoluŃie icircn timp

Prezentarea se poate face sub formă de bull Serii statistice Ca rezultat al sistematizării seria statistică defineşte corespondenŃa dintre două şiruri

de date statistice icircn care primul reprezintă variaŃia caracteristicii urmărite iar al doilea şir cu-prinde frecvenŃele de apariŃie a variantelor caracteristicii Seria trebuie să ofere informaŃii cu privire la succesiunea mărirea valorilor icircnre-gistrate şi a frecvenŃelor corespunzătoare

Icircntre cele două şiruri există o legătură univocă icircn sensul că unei valori individuale oarecare icirci corespunde o anumită frecvenŃă respec-tiv un număr care arată de cacircte ori se repetă valoarea individuală respectivă

bull Grafice statistice Graficul este o imagine spaŃială cu caracter convenŃional care prin diferite mijloace plastice de reprezentare reliefează ceea ce este caracteristic esenŃial pentru obiectul cercetării Graficele reprezintă datele şi proporŃiile dintre ele cu ajutorul unor lungimi suprafeŃe volume Principalele metode de reprezentare sunt figuri geometrice grafice icircntr-un sistem de coordonate (cadranul I din sistemul de axe rectangulare) reprezentări cu ajutorul hărŃilor

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Utilizarea graficelor presupune cunoaşterea elementelor con-structive şi respectarea unor reguli şi principii referitoare la proporŃii

Principalele tipuri de grafice statistice bull Diagrame prin benzi şi coloane Se folosesc icircn scopul popula-rizării unor aspecte din viaŃa social-

economică pentru a reda imaginea unui fenomen icircn evoluŃia lui icircn timp cacircnd distanŃele dintre perioade sunt mari şi inegale

bull Diagrame prin figuri geometrice bull Diagrame de suprafaŃă

- Grafice prin areale - Diagrame de structură

bull Diagrame de volum (piramidă cilindru stereograme) Graficele prin areale Se construiesc sub forma unor figuri geometrice icircn plan a căror suprafaŃă este

proporŃională cu mărimea caracteristicii Diagrame de structură Presupun un raport de proporŃionalitate icircntre suprafaŃa figurii geometrice şi

totalul structurii de 100 Fiecare figură geometrică se va icircmpărŃi icircn atacirctea părŃi cacircte are colectivitatea cercetată părŃile se vor distinge prin haşurarea sau colorarea suprafe-Ńelor respective

bull Diagramele seriilor de timp diagrame prin coloane crono-grama diagrame polare Cronograma se foloseşte pentru a desprinde tendinŃa de dezvol-tare a fenomenelor pentru fiecare etapă

dată Icircn seria dinamică valo-rile indicatorilor sunt reprezentate icircn succesiunea lor icircn timp Diagrama polară ajută la interpretarea gradului şi formei de variaŃie sezonieră ce este datorată schimbării

anotimpurilor icircnceperii şcolilor etc bull Diagramele seriilor de repartiŃie de frecvenŃe - Pentru seriile de frecvenŃă unidimensionale se folosesc histo-grama poligonul frecvenŃelor curba

cumulativă a frecvenŃelor (ogivă) - Pentru seriile de frecvenŃă bidimensionale se folosesc corelo-grama (diagrama norului de puncte) bull Diagramele seriilor de spaŃiu cartogramele (hărŃi ale terito-riului) cartodiagramele (combinaŃie icircntre

cartogramă şi diagrame de suprafaŃă) pictogramele (folosesc figuri naturale şi convenŃionale fotografii ndash asociate cu diagrame prin areale pentru a mări efectul)

bull Tabele statistice constituie un ansamblu de judecăŃi prezentat icircntr-o formă succintă icircn cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomenele şi procesele studiate Se folosesc atacirct pentru prezentarea rezultatelor cercetării cacirct şi icircn cadrul analizei indicatorilor derivaŃi Tabelul trebuie să respecte elementele de conŃinut (subiectul şi predi-catul tabelului) şi cele de formă (macheta tabelului) Tabelele statistice sunt variate şi se folosesc icircn etapa culegerii datelor icircn cursul pre-lucrării sau al analizei statistice

23 Indicatorii statistici

Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene procese activităŃi sau categorii economice

şi sociale delimitate icircn timp spaŃiu şi structură organizatorică Pentru cunoaşterea fenome-nelor de masă indicatorii statistici icircndeplinesc mai multe funcŃii de măsurare de comparare de analiză sau sinteză de estimare de verifi-care a ipotezelor de testare a semnificaŃiei parametrilor utilizaŃi

După etapa icircn care apar icircn procesul cercetării statistice indicatorii statistici sunt Indicatori primari ce se obŃin icircn procesul prelucrării primare prin centralizarea datelor provenite din

observare totală sau parŃială Indicatori derivaŃi ce se obŃin prin comparări abstractizări generalizări prin aplicarea unor procedee

specifice de prelucrare a mărimilor absolute a indicatorilor primari Ei pun icircn evidenŃă aspec-tele calitative ale fenomenelor analizate

- relaŃia dintre părŃile colectivităŃii dintre caracteristici - legăturile de interdependenŃă dintre fenomene sau valori tipice - contribuŃiile diverşilor factori la variaŃia unui fenomen etc ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin raportare (mărimile relative) sau prin diferenŃă (modificare

absolută) Mărimea relativă (MR) este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi

arată printr-un singur număr cacircte unităŃi din indicatorul raportat revin la o unitate a indicatorului bază de raportare Se poate exprima sub formă de

CoeficienŃi care arată cacircte unităŃi din indicatorul de raportat revin unei singure unităŃi baza de raportare Procente care arată cacircte unităŃi din indicatorul bază de raportare revin la 100 de unităŃi din indicatorul

de bază de raportare Icircn analiza statistică se utilizează icircn funcŃie de scopul analizei

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

bull Mărimi relative de structură (MRS) ndash sunt numite ponderi sau greutăŃi specifice frecvenŃe relative exprimacircnd raportul dintre parte şi icircntreg şi se calculează ca raport icircntre fiecare element sau grup de elemente ale colectivităŃii faŃă de volumul icircntregii colectivităŃi

Ponderea sau greutatea specifică

100x

xg

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde gi = ponderea xi = elementul sau grupul de elemente Σxi = totalul colectivităŃii

FrecvenŃe relative 100

n

nn

n

1ii

ii lowast

sum

=

=

unde ni = frecvenŃa relativă ni = frecvenŃa absolută Σni = suma frecvenŃelor absolute

Proprietate Suma frecvenŃelor relative sum in = 1 dacă se exprimă icircn coeficienŃi Suma frecvenŃelor

relative sum in = 100 dacă este icircn procente

bull Mărimi relative de intensitate (MRI) ndash evidenŃiază gradul intensitatea de răspacircndire a fenomenului icircn raport cu variabila la care se raportează Sunt considerate caracteristici derivate ce se obŃin prin raportarea a doi indicatori absoluŃi de natură diferită ce se află icircntr-un raport de interdependenŃă cu semnificaŃie economică concretă

Se poate calcula sub formă de raport

i

ii z

yx = unde xi= mărimea de intensitate

z i yi= cei doi indicatori absoluŃi

ex W = T

Q unde W = productivitatea muncii Q = producŃia

T = nr de salariaŃi bull Mărimi relative de coordonare (MRC) ndash caracterizează raportul icircn care se află doi indicatori de acelaşi

fel aparŃinacircnd unor grupe ale aceleaşi colectivităŃi statistice sau unor colectivităŃi de acelaşi fel dar situate icircn

spaŃii diferite Astfel MRC B

A

BA X

Xk = sau

A

B

AB X

Xk =

bull Mărimi relative ale prevederii (MRPL) ndash fiind specifice orică-rei economii moderne icircn economia de piaŃă se calculează numai la nivelul fiecărei unităŃi sau firme icircn funcŃie de programele elaborate privind aprovizionarea producŃia desfacerea de mărfuri

NoŃiuni X0 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada de baza Xpl = nivelul fenomenului programat pentru perioada

curentă X1 = nivelul fenomenului realizat icircn perioada curentă Icircn funcŃie de aceste notaŃii putem calcula

a) Mărimi relative ale sarcinii de plan 100X

XK

0

pl

0pl =

b) Mărimi relative ale realizării planului 100X

XK

pl

1

pl1 =

c) Gradul de realizare a producŃiei icircn perioada curentă faŃă de bază

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

100X

XK

0

1

01 =

ToŃi aceşti coeficienŃi ne arată dacă activitatea firmei s-a desfă-şurat conform planului stabilit sau dacă s-au constatat pierderi ca să se poată interveni icircn mod util pentru recuperarea lor Adesea reŃinem numai valoarea ce depăşeşte sau este sub 100 Acest procent se mai numeşte ritm de creştere sau scădere sau ritm de depăşire sau realizări a planului

Cuvinte cheie observare statistică grupare statistică număr de grupe (r) interval de grupare (h) serii statistice grafice indicator mărimi relative

Teste grilă

1 Recensămacircntul ca metodă de observare statistică a) este o metodă de observare totală b) este o metodă de observare totală cu caracter periodic c) are exclusiv un caracter demografic d) este o observare totală cu caracter permanent

Răspuns b) 2 Formula lui Sturges se poate aplica pentru determinarea

a) amplitudinii variaŃiei unei caracteristici b) mărimea intervalului de grupare c) numărul de grupe d) numărul de caracteristici

Răspuns b) 3 Avacircnd următoarea distribuŃie statistică

Grupe de salariaŃi după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 3 5 16 10 2 36

calculaŃi frecvenŃele relative ( )in procentuale corespunzătoare acestei distribuŃii (rotunjire la icircntreg)

Răspuns ni 8 14 44 28 6

Remarcă calculul se va face cu formula 100n

nn

i

ii sdot=sum

exemplu pentru intervalul (5-10)

8100363

ni =sdot= etc

4 Un şef de serviciu studiază munca a 30 de angajaŃi icircn legătură cu timpul de muncă pierdut (min) icircntr-o

lună

20 26 26 30 35 35 37 37 37 37 39 41 45 45 45 48 48 48 50 50 54 55 57 57 60 60 65 65 69 70

GrupaŃi aceste date statistice pe 5-6 intervale egale de variaŃie şi calculaŃi frecvenŃa absolută corespunzătoare

Răspuns [20-30] 3 [30-40] 8 [40-50] 7 [50-60] 6 [60-70] 6

Model de lucru

10550

52070

rXX

rA

h minmax ==minus=minus==

Grupe de salariaŃi după timp (min) Numărul salariaŃi (ni) 20-30 3 30-40 8 40-50 7 50-60 6

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

60-70 6 Total Σ ni = 30

Notă Limita inferioară inclusă icircn interval (excepŃie ndash valoarea 70 fiind una singură nu influenŃează puternic distribuŃia astfel se va include icircn ultimul interval (60-70))

Tema 3 Analiza statistică a seriilor unidimensionale

31 Indicatorii tendin Ńei centrale

Analiza tendinŃei centrale icircn seriile de repartiŃie presupune luarea icircn consideraŃie nu numai a valorilor

individuale ci şi a formei icircn care se repartizează frecvenŃele de apariŃie a acestor valori 311 Mărimile Medii sunt instrumente statistice ce exprimă icircn mod sintetic şi generalizat ceea ce este

normal esenŃial tipic şi general icircn evoluŃia fenomenelor Pentru aplicarea corectă a mediilor este necesar să se respecte următoarele condiŃii

a) calculul mediilor să se bazeze pe folosirea unui număr mare de cazuri individuale diferite sub care s-a icircnregistrat caracteristica a căror variaŃie este icircntacircmplătoare icircn raport cu fenomenul icircn totalitatea lui

b) valorile din care se va calcula media să fie omogene c) alegerea acelei forme de medie care corespunde cel mai bine formei de variaŃie a caracteristicii

cercetate şi informaŃiilor de care se dispune Media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării icircntr-un singur nivel

reprezentativ ceea ce este esenŃial tipic icircn apariŃia manifestarea şi dezvoltarea lui Mediile cele mai frecvent icircntacirclnite

Media aritmetică (X ) Se foloseşte icircn general cacircnd fenomenul supus cercetării icircnregistrează modificări aproximativ constante icircntr-o progresie aritmetică Poate fi

Media aritmetică simplă n

xX

n

1iisum

= =

unde X = media aritmetică n = nr variantelor individuale sum ix = suma valorilor individuale ale caracteristicii

Media aritmetică ponderată se foloseşte pentru seriile de distri-buŃie cacircnd variante ale caracteristicii se

icircnregistrează de mai multe ori

i

p

1i

i

p

1ii

n

nxX

sum

sum

=

=

=

unde x1 x2 xp ndash niveluri individuale ni ndash frecvenŃa grupelor

Formula de calcul a mediei simplificate ahn

nh

aX

X

ii

ii

i

+sum

sum

minus

=

unde a = valoarea caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii bull sensibilitatea ei faŃă de valorile extreme ale seriei bull devine nereprezentativă dacă termenii seriei sunt foarte icircmprăştiaŃi bull omogenitatea colectivităŃii este o condiŃie a reprezentativităŃii pentru orice tip de mărime medie bull este indicat a se calcula cacircnd frecvenŃele maxime sunt icircn cen-trul seriei

Media armonică ( hX ) Se calculează din valorile inverse ale ter-menilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Pentru serii simple sum

=

i i

h

x

1n

X i = 1p

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum

=

ii

i

ii

hn

x

1

nX

ObservaŃii bull pentru distribuŃiile de frecvenŃă este indicat a se folosi cacircnd icircn serie predomină valorile mici seria fiind

asimetrică către valorile minime ale caracteristicii (frecvenŃa maximă este icircn prima grupă)

Media pătratic ă ( pX ) Se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din media aritmetică a pătratelor

termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată

Pentru seriile simple n

xX

2i

psum=

Pentru seriile de frecvenŃă i

i2

ip

n

nxX

sum

sum=

ObservaŃii bull Se foloseşte cacircnd dăm o importanŃă mare termenilor mari ai seriei sau icircn cazul icircn care termenii seriei

au valori pozitive şi negative bull FrecvenŃa maximă va fi la ultima grupă a seriei

Media geometrică ( gX ) Se bazează pe relaŃia de produs a ter-menilor seriei şi se mai numeşte şi

medie logaritmică

Pentru seria simplă n1i xX nig =prod=

Pentru seria frecvenŃelor n1i xX i in

in

g =sum prod=

Dacă logaritmăm rezultă

Pentru seria simplă lg gX = n

xlg isum

Pentru seria frecvenŃelor lg gX = sum

sum

i

ii

n

xlgn

Media ( gX ) se află prin antilogaritm

ObservaŃii bull nu poate fi folosită dacă icircn cadrul seriei există cel puŃin un termen negativ expresia devine imaginară bull sau dacă există un termen zero anulează produsul termenilor bull mai este denumită şi medie de ritm fiind folosită pentru cal-culul ritmului mediu de creştere

RelaŃiile existente icircntre aceste medii sunt date de inegalităŃile pgh XXXX lelele

312 Indicatorii de poziŃie

Sunt denumiŃi şi medii de structură iar dintre aceştia amintim bull quantile de ordinul K pentru K = 2ndashmediana (Me) pentru

K = 4ndash quartilele (Q1 Q2 = Me Q3) pentru K = 10ndashdecilele (D1 hellipD5 = Me hellip D9) bull modul (Mo) Aceşti indicatori evidenŃiază tendinŃa de aglomerare sau con-centrare a valorilor individuale către

anumite valori tipice Se folosesc pentru estimarea nivelului mediu evaluarea asimetriei seriei etc Mediana (Me) ndash reprezintă acea valoare a caracteristicii situată icircn mijlocul seriei după ce termenii seriei

au fost aranjaŃi crescător sau descrescător Cazul seriei simple bull număr impar de termeni 1 5 9 12 16 20 25 rArr Me =12

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

bull număr par de termeni 1 5 8 12 16 20 102

20

2

128Me ==+=

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă bull Seria statistică fără intervale (ex distribuŃia loturilor de pro-duse după numărul rebuturilor)

Nr rebuturi din lot

xi

Nr de loturi ni

FrecvenŃe cumulate

0 10 10 1 20 30 2 40 70 3 15 85 4 10 95 5 5 100

TOTAL 100

Pentru această serie valoarea Me va fi acea valoare a caracteris-ticii corespunzătoare primei frecvenŃe

cumulate ascendent ce depă-şeşte valoarea lui 2

1ni +sum Această relaŃie ne dă locul medianei pen-tru seriile de

frecvenŃă cu intervale

ex 2

1ni +sum =

2

1100+ = 505 ndashprima frecvenŃă mai mare este 70 Me = 2

bull Cazul seriei statistice cu intervale Pentru calculul Me se urmăresc etapele bull cumularea crescătoare a frecvenŃelor

bull determinarea locului Me cu relaŃia 2

1ni +sum

bull calculul medianei cu formula Me

pMei

0 n

n2

1n

hXMesumminus+sum

+=

2

1ni +sum = locul Me

unde X0 ndash limita inferioară a intervalului median h ndash mărimea intervalului sum pMen = suma frecvenŃelor cumulate precedente intervalului median

Men = frecvenŃa absolută a intervalului median

Exemplu

Gruparea muncitorilor după vechime

Număr muncitori

FrecvenŃe cumulate

0-5 5 5 5-10 7 12 10-15 10 22 15-20 12 34 20-25 18 52 25-30 15 67 30-35 7 74

TOTAL 74

Locul Me = )2520(5372

174

2

1ni isin=+=sum +

Me = 20+5 972018

34537 =minus Me = 2097

Quartile sunt acele valori ale caracteristici ce icircmpart seria ordo-nată icircn patru părŃi egale Sunt icircn număr

de trei (Q1 Q2 Q3) şi se calculează cu relaŃiile

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

1Q

1pQi

01 n

n4

1n

hXQsumminussum +

+=

X 0 = limita inferioară a intervalului Q1 h = mărimea intervalului

4

1nisum + = locul primei quartile Q1

sum 1pQn = frecvenŃe cumulate precedente ale intervalului Q1

1Qn = frecvenŃa absolută a intervalului Q1

Q2 = Me

Q3 = ( )

3Q

3pQi

0 n

n1n4

3

hXsumsum minus+

+

X 0 = limita inferioară a intervalului Q3 ( )sum +1n4

3i = locul Q3

sum 3pQn = frecvenŃe cumulate precedente intervalului Q3

3Qn = frecvenŃa absolută a Q3

Valoarea modală Reprezintă acea valoare a caracteristicii care are cea mai mare frecvenŃă de apariŃie

Se calculează numai icircn distri-buŃie de frecvenŃă Pentru o repartiŃie de frecvenŃă pe variate M0 se identifică pe calea simplei examinări a şirului de frecvenŃe Mo = 2

Număr rebuturi xi 0 1 2 3 4 5 TOTAL Număr loturi ni 10 20 40 15 10 5 100

Pentru o serie de frecvenŃă pe intervale determinarea M0 se face pe etape - determinarea intervalului modal fiind intervalul de variaŃie al caracteristicii cu frecvenŃă maximă - estimarea valorii modale cu relaŃia

21

1hXoMo∆+∆

∆+=

unde

0X = limita inferioară a intervalului modal

1∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului precedent

2∆ = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal şi frecvenŃa intervalului următor h = mărimea intervalului Exemplu Calculul M0 pe exemplul seriei de frecvenŃe pe intervale de la Me cu intervalul modal (2025)

Mo = 20 +5 ( )( ) ( ) 3323

15181218

1218 =minus+minus

minus 20 lt 2333 lt 25

ObservaŃii bull Mо poate icircnlocui media cacircnd ea nu se poate calcula sau nu are sens a fi calculată industria

confecŃiilor nu există mărime medie ci talia cea mai căutată (la fel la icircncălŃăminte) bull Mо este util pentru seria de repartiŃie asimetrică bull Mе şi Mо se exprimă icircn aceleaşi unitate de măsură ca şi variabila studiată

32 Indicatorii varia Ńiei

Cu cacirct gradul de complexitate al unui fenomen este mai mare cu atacirct gama factorilor de influenŃă este mai largă şi implicit cu atacirct mai mare este variabilitatea termenilor unei serii de repartiŃie Indicatorii tendinŃei centrale nu dau nici o explicaŃie asupra icircmprăştierii respectiv a modului icircn care termenii seriei se abat icircntre ei sau de la medie Astfel apare necesitatea calculării indicatorilor statistici ai variaŃiei care rezolvă

- verificarea reprezentativităŃii mediei ca valoare tipică a seriei de distribuŃie

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

- verificarea gradului de omogenitate al seriei - verificarea sistematizării informaŃiilor prin gruparea statistică - caracterizarea gradului şi formei de variaŃie a unei variabile statistice Clasificarea indicatorilor variaŃiei 1 După numărul variantelor cuprinse icircn metodologia lor de calcul - indicatori simpli - indicatori sintetici ai variaŃiei 2 După metodologia de calcul şi forma de exprimare deosebim - indicatori ai icircmprăştierii calculaŃi ca mărimi absolute - indicatori de variaŃie calculaŃi ca mărimi relative icircn raport cu valoarea unui indicator al tendinŃei

centrale (media) 3 După modul de sistematizare a datelor complexe - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidi-mensionale - indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multidimensionale Indicatorii simpli ai varia Ńiei se caracterizează prin acea că se calculează icircn cifre absolute sau relative

prin compararea valorilor individuale extreme sau prin compararea fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie

Amplitudinea icircmprăştierii este expresia cantitativă a domeniului de variaŃie al unui fenomen şi se calculează ca mărime absolută sau relativă

Amplitudinea absolută A = Xmax - Xmin

Amplitudinea relativă A = 100X

A sdot

Se utilizează la alegerea numărului de grupe (r) la stabilirea mărimii intervalului de grupare (h) la dirijarea statistică a procesului de fabricaŃie

Abaterile individuale (di) ne arată cu cacircte unităŃi de măsură sau de cacircte ori valoarea individuală a caracteristicii este mai mare sau mai mică decacirct mărimea unui indicator al tendinŃei centrale Abaterile individuale se calculează icircn cifre absolute sau relative

Abaterile individuale absolute (di) di = Xi - X pentru i = n1

Abaterile individuale relative (di) di = 100x

di sdot pentru i = n1

Indicatorii simpli ai variaŃiei permit o caracterizare parŃială şi aproximativă a variaŃiei pentru că se

calculează pe baza relaŃiei icircntre doi termeni ai seriei sau icircntre fiecare termen şi media lor Indicatorii sintetici ai icircmpr ăştierii caracterizează gradul de va-riaŃie luacircnd icircn considerare toŃi termenii

seriei Indicatorii sintetizează icircntr-o singură expresie numerică variaŃia valorilor individuale faŃă de tendinŃa centrală a caracteristicilor urmărite icircntr-o populaŃie statistică Icircn funcŃie de metodologia de calcul icircn statistică se calculează

bull Abaterea medie absolută ( )d reprezintă media aritmetică sim-plă sau ponderată a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendinŃa lor centrală

Pentru serii simple n

xxid i

sum minus= pentru i = 1 k

Pentru serii de frecvenŃă sum

sum minus=

i

i2

ii

ni

nxxd pentru i = 1 k

unde k = numărul de variante distincte sau intervale de grupare ni = frecvenŃe absolute

ObservaŃii ndash Pentru seriile de distribuŃie pe intervale se iau centrele de interval ndash Este concludentă numai pentru seriile cu grad mare de omogenitate

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

bull Dispersia ( )2σ se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor de la media lor

Pentru seria simplă ( )2

ii

2

n

xxsum minus=σ pentru i = p1

Pentru seria de frecvenŃă ( )

sum

sum minus=σ

i

i2

ii

2

ni

nxx

Pentru serii de frecvenŃe relative ( )

100

nxx i

2

ii

2

sum minus=σ

Formula de calcul simplificat al dispersiei

( )22

i

i

2

i

i

2 axhni

nh

ax

minusminussum

sum

minus

=σ

unde a = centrul de interval al caracteristicii cu frecvenŃă maximă

ObservaŃii

bull 2σ şi x calculate pe baza seriilor de repartiŃie pe intervale sunt mai puŃin exacte decacirct dacă s-ar folosi date individuale negrupate

bull cu cacirct intervalele de grupare sunt mai mari cu atacirct 2σ şi x sunt mai puŃin semnificative

bull 2σ este un indicator abstract fără conŃinut economic

bull 2σ măsoară variaŃia totală a caracteristicilor studiate datorate cauzelor esenŃiale şi icircntacircmplătoare bull Abaterea medie pătratică (abaterea standard) Se defineşte ca medie pătratică simplă sau ponderată a

abaterilor valorilor individuale de la tendinŃa centrală sau ca rădăcină pătrată a dispersiei

Astfel 2σ=σ unde 2σ = dispersia calculată prin orice metodă

ObservaŃii bull abaterea medie pătratică se exprimă icircn unitatea de măsură a caracteristicii studiate iar valoarea sa este

cu atacirct mai mare cu cacirct variaŃia valorilor individuale din care s-a calculat este mai mare

bull comparacircnd σ cu d calculate pentru aceeaşi serie d σle bull icircn analizele statistice se preferă σ ca fiind un parametru al legii normale (majoritatea metodelor

statistice au la bază ipoteza normalităŃii) bull se pretează mai bine la calculul algebric bull icircn analizele financiar-bursiere σ poate fi utilizată ca o măsură a riscului bull Coeficientul de variaŃie (v) Este o măsură a dispersiei relative care descrie abaterea medie pătratică ca

procent din media aritmetică Permite compararea icircmprăştierii valorilor individuale a mai multor caracteristici cantitative ce nu sunt exprimate icircn aceeaşi UM

Se calculează cu relaŃia

100x

Vσ=

ObservaŃii bull coeficientul de variaŃie ia valori icircn intervalul 0-100 bull dacă tinde spre 0 este o variaŃie slabă o colectivitate omogenă şi o medie cu un grad mare de

reprezentativitate bull dacă tinde spre 100 variaŃia este intensă colectivitatea eterogenă bull practica a stabilit pragul de trecere de la omogenitate la etero-genitate - dacă bdquovrdquo le 35 colectivitate este omogenă media reprezen-tativă gruparea bine efectuată

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

- dacă bdquovrdquo ge 35 colectivitate este eterogenă media nerepre-zentativă gruparea trebuie refăcută

33 Analiza variaŃiei icircntr-o serie de repartiŃie bidimensională

Analiza detaliată a fenomenelor social-economice cu grad mare de complexitate necesită structurarea colectivităŃii pe grupe relativ omogene icircn funcŃie de variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare

Astfel studiul icircmprăştierii unei caracteristici icircn icircntreaga colecti-vitate trebuie să se completeze cu analiza icircmprăştierii din fiecare grupă şi dintre grupe identificacircndu-se astfel rolul diferiŃilor factori de influenŃă asupra variaŃiei caracteristicii icircn colectivitatea respectivă

Măsurarea influenŃei factorilor asupra variaŃiei colectivităŃii se realizează cu un sistem de indicatori factoriali ai variaŃiei ce se calcu-lează la nivelul fiecărei grupe dar şi pe icircntreaga colectivitate Se poate calcula

Media de grupă (cacircte una pentru fiecare grupă după (x) sum

sum=

ij

ijii n

nyy m1i =

Media generală a colectivităŃii sum

sum

==

ii

iii

0 n

nyyy i = p1

Dispersia fiecărei grupe (dispersie parŃială) se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor variantelor caracte-risticii de la media de grupă

( )sum

sum minus=σ

jij

jij

2ij

i2

n

nyy

- arată măsura icircn care factorii icircntacircmplători icircn interiorul fiecărei grupe influenŃează variaŃia valorilor individuale ale caracteristicii

- Cu cacirct dispersia din interiorul fiecărei grupe este mai mare cu atacirct grupa este mai puŃin omogenă - Media dispersiilor parŃiale se calculează ca medie aritmetică ponderată a dispersiilor de grupă şi

sintetizează influenŃa factorilor icircntacircmplători pe toată colectivitateasum

sumσ=σ

ii

ii

2i

2

n

n unde

σi2 = dispersii de grupă

ni = volumul grupelor

- Dispersia dintre gupe se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor mediilor de grupă faŃă de media caracteristicii generale

( )sum

sum minus=δ

ii

ii

20i

2

n

nyy

- reflectă variaŃia caracteristicii dependente datorată acŃiunii cauzelor esenŃiale pe icircntreaga colectivitate deci influenŃa factorului de grupare asupra caracteristicii rezultative (y)

- Dispersia totală măsoară icircntreaga icircmprăştiere a valorilor caracteristicii rezultative (y) care este produsă atacirct de acŃiunea facto-rilor esenŃiali cacirct şi a celor neesenŃiali variabili de la o grupă la alta sau icircn cadrul aceleaşi grupe

( )sum

sum minus=σ

jj

jj

20j

20 n

nyy

- cu cacirct dispersia totală ( 20σ gt 0) cu atacirct colectivitatea are un caracter mai eterogen

Regula de adunare a dispersiilor arată relaŃia dintre dispersia totală şi cele două dispersii factoriale cu

formula 2220 δ+σ=σ

unde

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

20σ = dispersia totală

2σ = media dispersiilor parŃiale

δ = dispersia dintre grupe

Pe baza ei se calculează

bull Coeficientul de determinaŃie 100R20

22 sdot

σδ=

- arată care este ponderea factorului principal de grupare icircn variaŃie totală a caracteristicii

bull Coeficientul de nedeterminaŃie 100K2

20

2 sdotσ

σ=

- arată care este ponderea factorilor icircntacircmplători icircn variaŃia totală a caracteristicii

Icircntre cei doi coeficienŃi există următoarea relaŃie 1KR 22 =+

Dacă 22 KR gt factorul principal de grupare acŃionează hotă-racirctor asupra variaŃiei caracteristicii rezultative

22 KR lt variaŃia caracteristicii rezultative se datorează influen-Ńei exercitate de alte cauze aceasta fiind independentă de variaŃia caracteristicii factoriale

34 Analiza asimetriei repartiŃiilor empirice

Icircn urma prelucrării informaŃiilor se obŃin serii de repartiŃie de frecvenŃă empirice ce se pot compara cu

repartiŃii teoretice a căror formă de repartiŃie este cunoscută Cea mai frecventă serie de repar-tiŃie către care tind seriile empirice este distribuŃia normală sau funcŃia GAUSS-LAPLACE ale cărei frecvenŃe se distribuie simetric de-o parte şi de alta a frecvenŃei maxime plasată icircn centrul seriei Graficul acestei distribuŃii are formă de clopot icircn raport cu ordonata maximă iar MoMeX ==

NoŃiunea de asimetrie se referă la felul icircn care frecvenŃele unei distribuŃii empirice se abat de la curba normală a frecvenŃelor Sunt cunoscute distribuŃii empirice uşor asimetrice pronunŃat asimetrice

Serii icircn formă de bdquoUrdquo apar atunci cacircnd frecvenŃele maxime sunt la capetele intervalului de variaŃie iar frecvenŃa minimă icircn centrul intervalului

Reprezentările grafice ne oferă o imagine asupra asimetriei dar gradul de asimetrie este măsurat cu indicatori specifici din care amintim pe cel mai important

Coeficientul de asimetrie (Cas) a lui PEARSON - se calculează ca raport icircntre asimetria absolută (AS) şi aba-terea medie pătratică

MoXAs minus= σ

minus= MoXCas

- Cas are o valoare abstractă arătacircnd mărimea şi felul asime-triei iar valorile lui sunt cuprinse icircn intervalul (-1 1)

- Dacă Cas = 0 seria este simetrică Cas rarr0 asimetrie mică Cas rarr(+- 1) asimetrie pronunŃată Cas icircn intervalul (01) asimetrie pozitivă Cas icircn intervalul (-10) asimetrie negativă Cuvinte cheie tendinŃă centrală media aritmetică ( X ) media armonică ( hX ) media pătratică ( pX )

media geometrică ( gX ) mediana (Me) modul (Mo) quantile (Q) amplitudine (A) abateri individuale (di)

dispersie ( 2σ ) abaterea standard (σ) coeficientul de variaŃie (v) coeficientul de determinaŃie (R2) coeficientul de nedeterminaŃie (K2) coeficientul lui Pearson

Teste grilă 1 Icircntr-un ştand de icircncălŃăminte s-au vacircndut icircntr-o zi 11 perechi de pantofi cu următoarele mărimi 38

39 35 36 37 38 38 39 37 38 39 DenumiŃi mărimea medie cea mai indicată a se calcula icircn acest caz şi precizaŃii valoarea

Răspuns Modul Mo = 38

Model de rezolvare

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Icircn industria de icircncălŃăminte nu se poate calcula media ea se icircnlocuieşte cu numărul mărimii icircncălŃămintei cea mai căutată Ordonăm seria 35 36 37 37 38 38 38 38 39 39 39 Observăm că numărul icircncălŃămintei cel mai căutat este 38 a cărei frecvenŃă de apariŃie este 4 fiind cea mai mare

2 Dinamica producŃiei realizate de o firmă icircn primele 6 luni ale anului a fost 111 118 108 116 121 130 Tipul de medie cel mai ridicat a se calcula icircn acest caz

a) aritmetică b) armonică c) pătratică d) geometrică Răspuns d) ObservaŃie Media geometrică este o medie de ritm 3 DistribuŃia studenŃilor dintr-o serie de studiu după nota la disciplina statistică este

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Număr studenŃi 2 10 15 25 30 20 9 5 3 1 20

Valoarea mediană (Me) va fi Me = Răspuns Me =5 Model de rezolvare Avem cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă fără intervale Valoarea Me va fi acea valoare a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent ce depăşeşte valoarea lui 2

1nisum + care

ne dă locul Me

Nota Număr studenŃi uarr 1 2 2 2 10 12 3 15 27 4 25 52 5 30 82 6 20 102 7 9 111 8 5 116 9 3 119 10 1 120

rArr=+=+sum 560

2

1120

2

1ni

prima valoare mai mare este 82 şi corespunzător ei este valoarea variabilei bdquonotardquo egală cu 5 Deci 5Me =

Total 120

4 Se cunosc următoarele date referitoare la repartiŃia salariaŃilor după vechimea icircn muncă

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 Total

Număr salariaŃi 5 9 16 7 3 40

CalculaŃi vechimea medie a salariaŃilor şi verificaŃi reprezen-tativitatea ei Răspuns X = 285 v = 3807 (medie nereprezentativă)

Model de rezolvare h = 10 a = 30 Gruparea

salariaŃilor după vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-15 5 10 -2 -10 20 15-25 9 20 -1 -9 9 25-35 16 30 0 0 0 35-45 7 40 1 7 7 45-55 3 50 2 6 12 Total 40 -6 48

528301040

6ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdotminus=+

minus

=sum

sum

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

75117)30528(10040

48)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminuslowast=minusminussdot

minus

=σsum

sum

8510751172 ==σ=σ

0738100528

8510100

xV =sdot=sdotσ= gt35 medie nereprezentativă

5 La o firmă se analizează situaŃia angajaŃilor după vechime

Gruparea salariaŃilor după vechime

5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Total

Număr salariaŃi 5 7 15 10 8 45

VerificaŃi asimetria seriei (Cas) Răspuns Cas = 00687 (uşoară asimetrie pozitivă)

Model de rezolvare h = 5 a = 175

Gruparea salariaŃilor după

vechime

Număr salariaŃi

ni

xi

h

ax i minus i

i nh

ax

minus

in

2

h

aix

minus

5-10 5 75 -2 -10 20 10-15 7 125 -1 -7 7 15-20 17 175 0 0 0 20-25 10 225 1 10 10 25-30 8 275 2 16 32 Total sumni = 45 9 69

518517545

9ah

n

nh

ax

Xi

ii

=+sdot=+

minus

=sum

sum

3337)517518(2545

69)ax(h

n

nh

ax

222

ii

ii

2i

2 =minusminussdot=minusminussdot

minus

=σsum

sum

11633372 ==σ=σ

( ) ( ) ( )0818

13

8515Mo

1015715

715515hxMo2015Mo

21

10

=+=rArr

minus+minusminus+=

∆+∆∆+=rarrisin

( )11Mox

Cas minusisinσ

minus=

rArr=minus= 06870116

0818518Cas seria este uşor asimetrică pozitivă isin(01)

Tema 4 Cercetarea prin sondaj

Icircntr-o economie de piaŃă sondajul este o formă preponderentă de obŃinere a datelor statistice datorită

operativităŃii şi economicităŃii obŃinerii lor Sondajul este o procedură prin care se caracterizează o populaŃie icircn baza cercetării unei părŃi a acesteia deci a unui eşantion prelevat din populaŃia de origine Rezultatul

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

obŃinut pe baza sonda-jului se extrapolează la dimensiunea icircntregii populaŃii Extinderea rezultatelor de la parte la icircntreg nu are caracter determinist ci probabilist fiind supuse unui risc de-a fi eronate Principalele erori de sondaj sunt erorile de reprezentativitate ce se pot măsura

Absolut ca dimensiune a deplasării paramentului de sondaj (X ) de la mărimea adevărată a lui icircn

populaŃie generală ( 0X ) respectiv 0XXxd minus=

Relativ se poate exprima 0

0

X

XXxd

minus= 100

O astfel de eroare sub plusmn5 permite a se aprecia că sondajul este reprezentativ deci arată o imagine aproximativ fidelă a realităŃii

Statistica oferă variante de prelevare a unităŃilor şi alcătuirea eşantioanelor astfel icircncacirct să asigure un grad ridicat de reprezentativitate prin sondaje aleatoare sondajul simplu sondajul tipic (stratificat) sondajul de serii sondaje dirijate sondaje sistematice

Fiecare din aceste tipuri de sondaj se poate efectua - repetat cacircnd unitatea prelevată este restituită populaŃiei de origine şi are şanse să reintre icircn eşantion - nerepetat cacircnd unităŃile nu sunt restituite icircn populaŃia generală Modelul teoretic al acestor două variante de prelevare se află icircn bdquoURNA LUI BERNOULLIrdquo cu bila

revenită şi nerevenită

41 Sondajul aleator simplu

Este varianta aleatoare elementară celelalte tipuri putacircnd fi icircnŃelese ca soluŃii obŃinute prin particularizarea unor elemente ale acestui tip de sondaj

Simboluri de bază

Media caracteristicii Dispersia caracteristicii Indicatori din

Nr de unităŃi Numerică Alternativ ă Numerică Alternativ ă

PopulaŃia generala

N 0X p 20σ ( )p1p2

p minus=σ

Eşantion n X w 2xσ ( )w1w2

w minus=σ

Indicatorii sondajului aleator simplu sunt

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

1 Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2

xx

( ) =minussdot=micron

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ=micro

N

n1

2ww

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

2 Eroarea limită xZx microsdot=∆ xZx microsdot=∆ wZw microsdot=∆ wZw microsdot=∆

3 Volumul eşantionului (n)

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

4 Intervalul de icircncredere

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

pt media generală xx

0xxx ∆+ltlt∆minus wwpww ∆+ltlt∆minus

ObservaŃie

bull Dacă se ajunge la situaŃia ca n = N atunci factorul

minusNn

1 devine nul şi dispare pentru că

cercetarea parŃială s-a transformat icircn cercetare totală

bull Dacă N ndash volumul colectivităŃii este ridicat iar n al sondajului este redus atunci

minusNn

1 rarr 1 practic

coincide icircn ambele tipuri de sondaj bull Z ndash este argumentul funcŃiei de probabilitate Gauss-Laplace Φ(Z) care are o repartiŃie normală fiind o

valoare tabelară (Tabelul cu valorile funcŃiei Gauss-Laplace) bull Intervalul de icircncredere delimitează zona probabilă icircn care se va plasa valoarea adevărată dar

necunoscută a mediei populaŃiei generale )x( 0

42 Sondajul tipic (stratificat)

Sondajul tipic se aplică cel mai frecvent icircn cercetarea fenomenelor social-economice de masă Acest sondaj se aplică colectivităŃilor neomogene care au grupe omogene (tipuri de unităŃi) după o caracteristică esenŃială ndash notate cu N1 N2 Nr şi reprezentate icircn sondaj prin volumul subeşantioanelor n1 n2 nr

Dacă grupele colectivităŃii sunt omogene mediile de grupă ( )ix au valori apropiate de valorile individuale din care s-au calculat abaterile lor sunt mici iar gradul de variaŃie este mic

VariaŃia mediilor de selecŃie posibile va fi icircn funcŃie de variaŃia fiecărei grupe măsurată prin dispersiile de

grupă ( )2iσ şi sintetizată prin media dispersiilor parŃiale ( )2σ

Remarcă

bull Din regula de adunare a dispersiilor ştim că 20

2σltσ de aici rezultă că vom avea erori mai mici icircn

selecŃia tipică

bull Media de selecŃie ( )x se va calcula ca o medie aritmetică ponderată a mediilor subeşantioanelor respective

sumsum=

i

ii

n

nxx pentru r1i =

bull Media dispersiilor de grupă

σ

2 se calculează ca o medie aritmetică ponderată a dispersiilor de

grupă

sumsumσ

=

σ

i

i2i2

n

n

Eşantionul se obŃine prin extragerea de subeşantioane din nivelurile populaŃiei totale folosind procedee de

selecŃie aleatoare Repartizarea eşantionului pe subeşantioane se poate face prin trei procedee 1 SelecŃia tipică simplă Repartizarea icircn mod egal a eşantionului pe subeşantioane indiferent de numărul unităŃilor ce compun

straturile populaŃiei totale

r

nni = unde r = numărul de straturi icircn populaŃia totală

2 SelecŃia tipică proporŃională Formează subeşantioanele icircn raport de ponderea fiecarei grupe icircn colectivitatea totală şi se respectă

proporŃia de selecŃie nN Volumul fiecărui subeşantion va fi r1i undeN

Nnn

i

iip =sdotprime=

sum

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

3 SelecŃia tipică optimă La formarea subeşantioanelor se are icircn vedere atacirct ponderea fiecărei grupe icircn colectivitatea generală cacirct

şi gradul de omogenitate al fiecărei grupe măsurat prin abaterea standard

r1ipentru N

Nnn

ii

iii o

=σ

σsdot=sum

unde Ni = numărul unităŃilor pe grupe din colectivitatea totală

iσ = abaterea standard pe grupe ale colectivităŃii totale ObservaŃie SelecŃia tipică dă cele mai mici erori dar icircn activitatea practică este greu de aplicat Indicatorii selecŃiei tipice

Indicatori

Caracteristică numerică Caracteristică alternativă

SelecŃie repetată

SelecŃie nerepetată SelecŃie repetată SelecŃie nerepetată

Eroarea medie de sondaj

n

2x

x

σ=micro

minus

σ=micro

N

n1

n

2x

x

( ) =minussdot=micro

n

w1ww

n

2wσ

=

=minusσ

=micro

N

n1

n

2w

w

( )

minus

minussdot=

N

n1

n

w1w

Eroarea limită xZx microsdot=∆

xxZ microsdot=∆ wZw microsdot=∆ ww Z microsdot=∆

Volumul eşantionului

x2

2x

2Z

n∆

σsdot=

N

2x

2Z

x2

2x

2Z

nσsdot

+∆

σsdot= =

∆

σsdot=

w2

2w

2Z

n

( )w

2

w1w2

Z

∆

minussdot=

=σsdot

+∆

σsdot=

N

2w

2Z

w2

2w

2Z

n

( )

( )N

w1w2

Zw

2

w1w2

Z

minussdot+∆

minussdot=

Intervalul de icircncredere pentru media colectivităŃii generale

xx0xxx ∆+ltlt∆minus

wwpww ∆+ltlt∆minus

Intervalul de icircncredere pentru nivelul totalizat al caracteristicii

( ) ( )NxxN

1iixxxN ∆+ltsum

=lt∆minus

( ) sum ∆+ltlt∆minussdot )ww(NiMwwN

ObservaŃie bull pentru caracteristica alternativă vom calcula

ndash media mediilor de sondaj (w )sumsum=

i

ii

n

nww

ndash media dispersiilor de selecŃie

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

( )[ ]sum

sumsumsum minus

=σ

=σi

iii

i

i

2iw2

w n

nw1w

n

n

Cuvinte cheie sondaj eroare medie eroare limită volumul eşantion interval de icircncredere sondaj tipic selecŃie tipică optimă selecŃie tipică proporŃională

Teste grilă

1 Pentru determinarea volumului eşantionului icircn varianta bdquotipic nerepetatrdquo caracteristică alternativă se foloseşte relaŃia

a) x

2

2x

2Zn

∆σsdot

= b) sum σ

σsdot=2ii

2ii

2

N

Nnn

c)

N

Z

Zn

2x

2

x2

2x

2

σ+∆

σsdot= d)

N

Z

Zn

2w

2

x2

2w

2

σ+∆

σsdot=

e) NZ

Zn

2x

2x

2

2x

2

σ+∆σsdot=

Răspuns d)

2 DeterminaŃi numărul de piese ce trebuie extrase aleator şi nerepetat dacă se cunosc următoarele date bull icircntregul lot de piese N = 3000 bull diametrul mediu al pieselor din eşantion nu trebuie să difere mai mult de 1 cm faŃă de diametrul mediu

al icircntregului lot 1x

=∆ cm

bull variaŃia caracteristicii studiate 2x

σ = 20 cm

bull probabilitatea garantării rezultatelor Z = 29 Răspuns n = 160 piese

Model de rezolvare N = 3000

1x

=∆ 2x

σ = 20

Z = 29

160

000320292

1

20292

N

2x

2Zx2

2x

2Zn =

sdot+

sdot=σ

+∆

σsdot=rArr piese

3 Pentru o unitate economică se cunosc datele referitoare la un sondaj de 10 selectat aleator şi repetat

Grupe angajaŃi după mărimea producŃiei

8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 Total

Număr angajaŃi 2 6 12 22 18 6 66

EstimaŃi limitele icircntre care se va icircncadra producŃia medie a colectivităŃii totale pentru o probabilitate Φ(Z) = 09545 pentru care Z = 2

Răspuns 6815x3214 0 ltlt Model de rezolvare h = 2 a = 15

Grupe angajaŃi

după producŃie

Număr angajaŃi

ni

xi h

ax i minus i

i nh

ax sdot

minus

i

2i nh

ax sdot

minus

8-10 2 9 -3 -6 18 10-12 6 11 -2 -12 24 12-14 12 13 -1 -12 12 14-16 22 15 0 0 0 16-18 18 17 1 18 18 18-20 6 19 2 12 24

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Total sum = 66ni 0 96

1515266

0ah

n

nh

ax

xi

ii

=+sdot=+sdotsdot

minus

=sum

sum

( ) 825)1515(46696

axhn

nh

ax

222

i

i

2i

2 =minusminussdot=minusminussdotsdot

minus

=σsum

sum

68066825

2n

Z2

x=sdot=σsdot=∆

rArr∆+ltlt∆minusxox

xxx 15-068 lt ox lt 15 + 068

1432 ltox lt1568 Tema 5 Analiza statistică a seriilor multidimensionale

51 Tipuri de legături dintre fenomenele social-economice

Statistica dispune de o serie de metode de studiere a dependen-Ńelor dintre două sau mai multe variabile

Printre acestea sunt şi cele cuprinse icircn bdquoanaliza de regresie şi corelaŃierdquo Icircn cadrul ei se studiază legătura dintre o variabilă bdquoyrdquo numită efect rezultativă dependentă şi variabilă bdquoxrdquo numită factorială cauză-independentă

Regresia ne arată cum o variabilă este dependentă de altă variabilă (sau alte variabile) CorelaŃia ne arată gradul icircn care o variabilă este dependentă de altă variabilă Legăturile dintre fenomenele şi procesele economice apar ca legături statistice (stochastice) a căror

particularitate este faptul că re-zultatul este determinat ca urmare a influenŃei unui ansamblu de fac-tori Legăturile statistice se manifestă ca tendinŃă valabilă numai la nivelul colectivităŃii

Clasificarea legăturilor statistice Se poate face icircn funcŃie de următoarele criterii bull După numărul caracteristicilor independente (x) luate icircn studiu - Legături simple Y=f(x) cacircnd se studiază dependenŃa dintre o variabilă rezultată (y) şi o variabilă

factorială (x) - Legături multiple Y =f(x1x2xn) cacircnd se studiază legătura dintre o caracteristică dependentă (y) şi

două sau mai multe caracte-ristici independente (x) bull După direcŃia legăturii - Legături directe cacircnd caracteristica dependentă (y) se modifică icircn acelaşi sens cu caracteristica

independentă (x) - Legături inverse cacircnd caracteristica dependentă (y) se modi-fică icircn sens invers caracteristicii

dependente (x) bull După expresia analitică a legăturilor - Legături liniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu ajutorul funcŃiei liniare (y = a + bx) - Legături neliniare acele dependenŃe care pot fi exprimate cu aju-torul funcŃiilor neliniare (parabole

hiperbolă funcŃie exponenŃială etc) Pentru studiul legăturilor dintre fenomenele economice se pot utiliza bull Metode simple Se folosesc pentru sistematizarea datelor veri-ficarea existenŃei legăturii stabilirea

direcŃiei legăturii precum şi aprecierea funcŃiei analitice care exprimă legăturile studiate Princi-palele metode sunt

- metoda seriilor paralele independente - metoda grupărilor - metoda tabelului de corelaŃie - metoda grafică Dintre acestea vom trata doar metoda grafică sau graficul de corelaŃie (corelograma) Graficul se

construieşte pornind de la pere-chile de valori (x y) care se reprezintă icircn cadranul I al sistemului de axe rectangulare

- Pe ox se reprezintă valorile variabilei (x) - Pe oy se reprezintă valorile variabilei (y)

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Forma grafică a legăturii icircn cacircmpul de corelaŃie are aspectul unui nor de puncte de unde se mai numeşte bdquoDiagrama norului de puncterdquo TendinŃa norului de puncte permite vizualizarea şi stabilirea formei analitice a funcŃiei de regresie Corelograma dă posibilitatea stabilirii existenŃei direcŃiei a formei şi intensităŃii legăturilor dintre cele două variabile

52 Metode parametrice de măsurare şi analiză a legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice

Dintre metodele parametrice amintim - metoda regresiei - metoda coeficientului de corelaŃie - metoda raportului de corelaŃie - metoda analizei dispersionale bull Metoda regresiei Se bazează pe utilizarea funcŃiei de regresie care exprimă modificarea cantitativă a caracteristicii

rezultative bdquoyrdquo ca urmare a influenŃei exercitate de caracteristica factorială bdquoxrdquo Legătura dintre variabile se manifestă sub formă de tendinŃă astfel funcŃia de mode-lare este o ecuaŃie medie de tendinŃă identificată prin grafic şi confir-mată de TESTUL bdquoFrdquo

Icircn funcŃie de numărul factorilor care influenŃează caracteristica rezultativă bdquoYrdquo deosebim Regresie simplă sau unifactorială dacă funcŃia include un factor Regresie multiplă sau multifactorial ă dacă funcŃia include mai mulŃi factori Modelul liniar de regresie Are ca scop estimarea printr-un model sau funcŃie matematică a legăturii

dintre cele două variabile EcuaŃia modelului liniar va fi y = a + bx Dreapta utilizată este o estimaŃie a funcŃiei de regresie unde Y = variabila dependentă X = variabila independentă ab = parametri de regresie Parametrul bdquoardquo Este valoarea lui y cacircnd x = 0 deci intersecŃia dreptei cu axa oy Interpretarea

economică a lui bdquoardquo se realizează icircn stracircnsă legătură cu problema analizată Parametrul bdquobrdquo Este numit bdquocoeficient de regresierdquo a cărui interpretare este următoarea b=0 variabila y nu depinde de variabila x ele sunt independente b0 cele două variabile sunt dependente astfel

bgt 0 legătura este directă blt 0 legătura este inversă

Estimarea parametrilor se realizează prin metoda celor mai mici pătrate pe baza valorilor (xy) observate icircntr-un eşantion de volum bdquonrdquo Studiul fenomenelor şi proceselor economico-sociale se face pe baza unui număr mare de date statistice ce impune folosirea urmă-torului sistem

na + bΣxi = Σyi aΣxi+ bΣx2

i= Σxiyi

Astfel cu ajutorul determinanŃilor sau cu orice altă metodă se calculează cei doi parametri

sum summinus

sum sumsum sum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii2i

)x(xn

yxxyx

p

aa

sum summinus

sum sumsum minus=

∆∆=

2i

2i

iiii

)x(xn

yxyxn

p

bb unde ∆a b p =determinantul lui a b şi principal

Cu valorile coeficienŃilor a şi b se calculează valoarea ecuaŃiei de regresie pentru fiecare mărime a lui x Valorile ecuaŃiei de regresie se mai numesc şi valori teoretice ale caracteristicii y icircn funcŃie de x iar operaŃia de icircnlocuire a termenilor reali (y) cu valorile ecuaŃiei de regresie se numeşte ajustare ( bxayx += )

bull CorelaŃia liniar ă simplă Scopul analizei de corelaŃie este să măsoare gradul intensitatea legăturii dintre cele două variabile (x y) Coeficientul de corelaŃie măsoară intensitatea legăturii dintre cele două variabile (xy) şi se calculează

ca o medie aritmetică a produsului abaterilor normale normate a celor două variabile ( )( )

yxxy n

yyxxr

σσsum minusminus= iar icircn practică se foloseşte următoarea relaŃie

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

( )[ ] ( )[ ]sum summinussum summinus

sum sum summinus=2222

xyyynxxn

yxxynr

Coeficientul xyr ia valori icircn intervalul (-11) arătacircnd intensitatea şi direcŃia legăturii

ObservaŃie Coeficientul xyr se calculează doar pentru legăturile liniare

bull Raportul de corelaŃie Este un indicator al intensităŃii legăturii ce poate fi aplicat atacirct icircn cazul regresiei liniare cacirct şi icircn cazul

regresiei neliniare Pentru un număr mic de date negrupate prezentate ca serii paralele independen-Ńele

raportul de corelaŃie se determină ( )( )sum minus

sum minusminus=2

2x

xyyy

yy1R unde

xy = valorile ajustate ale lui y icircn funcŃia de regresie

y = media caracteristicii y Raportul de corelaŃie ia valori icircn intervalul (0 1) Rxy = 0 ndash variabilele sunt independente astfel Rxy rarr 0 ndash legătură slabă Rxy rarr 1 ndash legătură puternică Deşi Rxy ia valori icircn intervalul (01) semnul pentru Rxy se stabileşte icircn concordanŃă cu semnul

coeficientului bdquobrdquo din funcŃia de regresie ObservaŃie Se calculează icircn cazul oricărui tip de legături Icircn cazul legăturii liniare Rxy = rxy Dacă cei

doi nu sunt egali icircnseamnă că legătura nu este liniară şi trebuie determinat raportul de corelaŃie

53 Metode neparametrice de măsurare a intensităŃii legăturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc dacă variabilele se exprimă prin cuvinte sau o variabilă este

calitativă şi alta cantitativă sau am-bele sunt cantitative dar nu există suficiente date pentru a se cunoaşte forma distribuŃiei

Dintre metodele neparametrice amintim Coeficientul de asociere Presupune icircntocmirea unui tabel de asociere care prezintă colectivitatea

după două caracteristici corelate logic sau de forma caracteristicilor alternative cu două posibilităŃi

Tabelul de asociere a variabilelor (xy)

xy Y1 Y2 TOTAL X1 a b a+b X2 c d c+d

TOTAL a+c b+d n

Coeficientul de asociere măsoară intensitatea legăturii a două caracteristici liniare şi se deduce din tabelul de asociere pe criteriul dependenŃăindependenŃă cu formula propusă de YULLE

[ ]11)bcad(

)bcad(Q minusisin

+minus=

bull CoeficienŃii de corelaŃie ai rangurilor se folosesc pentru - analiza legăturilor dintre caracteristici calitative - sau cantitative pentru care nu se dispune de informaŃii sufi-ciente pentru a stabili forma legăturii - sau o caracteristică calitativă şi una cantitativă - valorile caracteristicilor sunt icircnlocuite cu numere de ordine (ranguri) ale acestor valori cacircnd sunt

ordonate icircntr-o serie crescătoare sau descrescătoare Măsurarea intensităŃii legăturii se realizează utili-zacircnd aceste ranguri Dintre coeficienŃii utilizaŃi amintim

- Coeficientul de corelaŃie a lui SPEARMAN

]11[)1n(n

d61r

2i

s minusisinminus

summinus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

- Coeficientul de corelaŃie KENDALL Se calculează astfel - se ordonează crescător sau descrescător perechile de valori (x y) după caracteristica x - se stabilesc rangurile celor două caracteristici (Rx şi Ry) - pentru fiecare rang a lui y Ry se calculează Pi ndash număr de ranguri superioare ale lui Ry şi Qi ndash număr

de ranguri inferioare ale lui Ry şi se calculează scorul Si=Pi-Qi S = ΣSi

Coeficientul KENDALL se determină ]11[)1n(n

S2rk minusisin

minus=

Cu cacirct sr rarr+- 1 cu atacirct legătura este mai puternică

Cuvinte cheie regresia corelaŃia corelogramă coeficient de corelaŃie (rxy) raport de corelaŃie (Rxy) coeficient de asociere (Q) coeficienŃii rangurilor Spearman şi Kendall

Teste grilă 1 Legătura dintre două variabile este foarte slabă sau inexistentă dacă valoarea coeficientului de

corelaŃie este icircn intervalul a) [0-02) b) [02-05) c) (075-1] d) (-02-0) e) (05-075) AlegeŃi combinaŃia corectă A(a e) B(a d) C(b c e) D(a b e) Răspuns B 2 Coeficientul de corelaŃie calculat pentru o legătură inversă poate lua valori icircn intervalul a) [-1 0) b) (0 1) c) [-1 1] d) mulŃimea numerelor reale

Răspuns a) 3 Pentru opt salariaŃi care efectuează aceleaşi operaŃii s-au icircnregistrat

Nr curent 1 2 3 4 5 6 7 8 Timp nelucrat (y) 7 1 2 5 8 6 3 4 Număr operaŃii (x) 4 10 9 6 4 5 9 8

ArătaŃi tendinŃa legăturii dintre cele două variabile printr-o funcŃie matematică Răspuns ix x990311y minus=

Timp nelucrat yi

Număr operaŃii x i

x2 xy

1 7 4 16 28 2 1 10 100 10 3 2 9 81 18 4 5 6 36 30 5 8 4 16 32 6 6 5 25 30 7 3 9 81 27 8 4 8 64 32 T sum yi = 36 sum xi = 55 419 207

bull analizăm graficul celor două variabile (corelogramă)

yi 8 7 6 5 4 3 2

1cm OX 1 um 1cm OY 1 um

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

1 4 5 6 7 8 9 10 xi 1

718

OX diviziuni nrA

K OY

=minus=

==

Icircntre cele două variabile există o legătură puternică inversă (b va avea o valoare negativă)

na + bsumx = sumy asumx + bsumx2 = sum x y

( ) =minus

minus==

∆∆=

sumsumsum sumsumsum

sumsumsumsumsumsumsum

22

2i

2

2

xxn

xyxy

xx

xn

xxy

xy

pa

a

( ) 311327

3699

554198

20755364192 ==

minussdotsdotminussdot=

( ) 327324

32736552078

xxn

yxxyn

pb

b 22

minus=sdotminussdot=minus

minus=

∆∆=

sumsumsum sumsum = 099

Rezultă că funcŃia va fi

ix x990311y minus= 4 Rezultatele unei grupe de studenŃi au fost următoarele

Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marketing 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5 Statistica 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

DependenŃa dintre cele două variabile se măsoară cu coeficientul de corelaŃie al rangurilor a lui SPEARMAN rS

Răspuns rS = 0855

Model de rezolvare

Student Marketing RY Statistica RX

1 8 8 9 9 2 3 3 5 5 3 9 9 10 10 4 2 2 1 1 5 7 7 8 8 6 10 10 7 7 7 4 4 3 3 8 6 6 4 4 9 1 1 2 2 10 5 5 6 6

Rx Ry di=Rx-Ry di

2

1 2 -1 1 2 1 1 1 3 4 -1 1 4 6 -2 4 5 3 2 4 6 5 1 1 7 10 -3 9 8 7 1 1

( )

( )8550

990

1441

110010246

1

1nn

d61r 2

2i

S

=minus=

=minus

sdotminus=

=minus

minus= sum

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

9 8 1 1 10 9 1 1

Total 24

Tema 6 Analiza statistică a seriilor cronologice

61 Concepte şi particularit ăŃi ale seriilor cronologice (SCR)

O SCR se prezintă sub forma unui şir sistematizat de valori ale unei caracteristici realizate la momente

sau intervale de timp succe-sive Curgerea timpului se măsoară icircn succesiune cu ajutorul unei scale de intervale UnităŃile de timp utilizate sunt anul trimestrul luna săptămacircna ziua

Caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen presupune ca timpul să fie variabil iar spaŃiu şi structura organizatorică să fie constante Astfel variabila timp (t) este legată funcŃional de variabila y (y = f(t))

Particularit ăŃile SCR Variabilitatea termenilor arată procesul de dezvoltare icircn timp a unui fenomen Omogenitatea termenilor icircnseamnă dispersia minimă a terme-nilor presupune existenŃa icircn perioada

analizată a unor termeni cu aceeaşi esenŃă calitativă Asigurarea omogenităŃii determină implicit comparabilitatea acestora

InterdependenŃa termenilor presupune că fiecare termen depinde de valoarea termenului anterior că sunt valori succesive ale aceluiaşi fenomen care se petrec icircn aceeaşi unitate de timp şi spaŃiu

Clasificarea SCR După natura caracteristicilor studiate şi perioada la care se referă - SCR de intervale (serii de flux) icircn care observarea statistică se face continuu icircn decursul unui interval

de timp - SCR de momente (mărimi de stoc) cacircnd observarea se face la momente de timp distincte Termenii

acestei SCR nu sunt icircnsumabili ei conŃin elemente ale stocului care coexista icircn momente diferite de timp

Reprezenterea grafică Se foloseşte CRONOGRAMA care se bazează pe cadranul I din sistemul de axe rectangulare unde

- pe OX ndash se reprezintă timpul - pe OY ndash se reprezintă termenii SCR

62 Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp a unui fenomen de masă icircn complexitatea sa din termenii unei serii cronologice se calculează un sistem de indicatori statistici analitici şi sintetici

Indicatorii SCR sunt - indicatori absoluŃi (de nivel de volum modificarea absolută) - indicatori relativi ( indicele de dinamică ritmul relativ valoarea absolută a unui procent din ritmul

sporului) - indicatori medii (nivel mediu spor mediu indicele mediu de dinamică ritmul mediu) Alegerea bazei de comparare impune ca indicatorii unei SCR care se obŃin prin raportare să se

determine folosind - bază fixă adică un nivel de referinŃă neschimbat pentru icircntreaga perioadă analizată - bază icircn lanŃ presupune ca nivelul de referinŃă să fie mobil avansacircnd icircn timp simultan cu perioada la

care se referă indicatorul De regulă baza de comparare este nivelul din perioada imediat anterioară Astfel Yt se compară cu Yt-1

bull Indicatori absoluŃi Aici se includ acele mărimi numerice care exprimă starea feno-menului icircn unităŃi de măsură specifice

acestuia - Indicatorul de nivel (yt) exprimă mărimea fenomenului analizat icircn unităŃi de timp bdquotrdquo - Indicatorul de volum (Σyt) reprezintă suma termenilor SCR de intervale - Modificarea absolută (∆ttrsquo) arată cu cacircte unităŃi s-a modificat valoarea individuală icircntr-o perioadă bdquotrdquo

faŃă de o perioadă bdquot prime rdquo luată ca bază de comparaŃie Avem cazul gen T1tt yy tty

tt =primeminus=∆ primeprime

Modificare absolută cu bază fixă Ttyytyt 111 =minus=∆

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Modificare absolută cu bază mobilă T1tyy11tt

y1tt =minus=∆ minusminus

Proprietate Suma modificărilor absolute cu baza icircn lanŃ reprezintă sporul cu bază fixă

y1T

y1tt ∆=sum∆ minus

bull Indicatori relativi Pot fi utilizaŃi icircn analiza comparativă a evoluŃiei mai multor fenomene Ei redau

proporŃia sau decalajul din nivelurile realizate ale unei caracteristici icircn perioade distincte Indicatorii relativi exprimă de cacircte ori valoarea unei variabile este mai mare sau mai mică faŃă de cea aleasă bază de comparaŃie

bull Indicele de dinamică T1t100y

yI

t

tytt ==

bull Indice de dinamică cu bază fixă T1t100y

yI

1

ty1t ==

bull Indicele de dinamică cu bază mobilă T1t100y

yI

1t

ty1tt ==

minusminus

Proprietate Produsul indicilor cu bază mobilă este egal cu indicele cu bază fixă YT

ytt II 11 =Π minus

bull Ritmul de modificare relativă exprimă cu cacirct la sută s-a modificat nivelul icircnregistrat de caracteristică analizată

icircntr-o anumită perioadă faŃă de perioada bază de comparaŃie T1t t100I100y

R Ytt

t

ytty

tt =minus=∆

= primeprime

- Ritmul cu bază fixă T1t 100IR Y1t

y1t =minus=

- Ritmul cu bază mobilă T1t 100IR Y1tt

y1tt =minus= minusminus

bull Valoarea absolută a 1 din ritmul de creştere arată cacircte unităŃi revin la 1 de creştere sau scădere cacirct şi repartizare uniformă a modificării absolute pe procentele ritmului de modifică relativă

100

y

100RA t

ytt

ytty

tt =∆

=prime

prime

- Valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază fixă 100

yA 1y

1t =

- Valoarea absolută a 1 din ritmul relativ100

yA 1ty

1ttminus

minus =

bull Indicatorii medii ai SCR se exprimă sub formă de medie deci se ia icircn considerare icircntregul interval al SCR

bull Nivelul mediu se calculează numai pentru SCR omogene Se cal-culează diferenŃiat pentru SCR de intervale şi pentru SCR de momente

bull Pentru serii cronologice de intervaleT

yy tsum=

bull Pentru serii cronologice de momente ndash medie cronologică simplă dacă momentele sunt echidistante

1n

2

yy

2

y

y

n2

1

cr minus

+++=

ndash medie cronologică ponderată dacă momentele sunt inegal distanŃate

2

t

2

tt

2

t

2

ty

2

tty

2

ty

y

1n211

1nn

212

11

cr

minus

minus

+++

+

++++=

bull Modificarea medie absolută reflectă creşterea sau scăderea medie icircnregistrată icircntr-o perioadă de timp Se calculează ca o medie aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază icircn lanŃ

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

1T1T

Y1T

y1tt

minus∆

=minus

sum∆=∆ minus

ObservaŃie Reprezentativitatea modificărilor medii absolute este asigurată numai dacă modificările absolute cu baza mobilă sunt omogene

bull Indicele mediu de dinamică arată de cacircte ori s-a modificat icircn medie fenomenul analizat Se determină

ca o medie geometrică a indicilor de dinamică cu bază mobilă 1T Y1T

1T1

Ty1tt

1T Iy

yII minusminusminus

minus ==Π=

ObservaŃie Este reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului studiat numai dacă indicii de dinamică cu baza mobilă sunt aproxi-mativ egali

bull Ritmul mediu al dinamicii exprimă cu cacircte procente fenome-nul analizat s-a modificat icircn medie de

la un interval de timp la altul şi se calculează pe baza indicelui mediu de dinamică 100100IR minus=

63 Ajustarea seriilor cronologice

EvoluŃia unui fenomen de masă prezentată icircntr-o serie cronolo-gică ca urmare a diverşilor factori de influenŃă oglindeşte schim-barea transformarea dezvoltarea Icircntr-o SCR suficient de mare se identifică mai multe componente trendul variaŃii periodice variaŃii reziduale

TRENDUL sintetizează variaŃiile sistematice desfăşurate de fenomenul analizat pe icircntreg orizontul SCR Mărimea componentei de trend este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali care acŃionează icircn icircntreaga perioadă analizată Estimarea tendinŃei centrale aflarea termenilor ajustaŃi se efectuează prin icircnlocuirea termenilor reali yt icircn cadrul operaŃiei de ajustare a SCR Ajustarea se face prin metode mecanice şi analitice

Metode mecanice de ajustare a SCR - metoda grafică - metoda mediilor mobile - metoda modificării absolute medii - metoda indicelui mediu Dintre metodele mecanice prezentăm Metoda modificărilor absolute medii se utilizează cacircnd modi-ficările absolute cu bază mobilă sunt

aproximativ egale sau şirul terme-nilor SCR se aseamănă cu o progresie aritmetică T1ttyy 0t =∆+= ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al seriei Metoda indicelui mediu se recomandă dacă indicii de dina-mică cu bază mobilă sunt aproximativ egali

sau dacă şirul termenilor SCR este asemănător unei progresii geometrice RelaŃia de calcul t0t Iyy =

ObservaŃie Primul şi ultimul termen ajustat sunt egali cu primul şi ultimul termen real al SCR Avantajul celor două metode mecanice icircl reprezintă operativitatea cu care se desprinde o tendinŃă centrală

Metode analitice de determinare a trendului Aceste metode estimează mai exact tendinŃa generală din evoluŃia unui fenomen pentru că ia icircn

considerare toŃi termenii seriei Metodele analitice se bazează pe funcŃiile matematice ( )tfy = numite şi funcŃii de ajustare a trendului de estimare a tendinŃei centrale Variabila bdquotrdquo timp este folosită pentru ordonarea termenilor unei SCR FuncŃiile de ajustare sunt funcŃii matematice uzuale ce se stabilesc icircn raport cu traiectoriile reale ale evoluŃiei icircn timp a fenomenelor După alegerea funcŃiei de ajustare icircn baza unor criterii fundamentale este necesară estimarea parametrilor care se face cu metoda celor mai mici pătrate

Icircn locul variabilelor cauzale se ia variabila timp bdquotrdquo pentru care se face o simplificare icircn care sum = 0t ce face translatarea punctului de origine t = 0 icircn mijlocul seriei

Astfel sistemul de ecuaŃii normale icircn cazul trendului liniar y = a + bt va fi

sum sum=+ ytbTa

sum sum=+sum yttbta 2

Simplificarea sistemului se face dacircnd lui t valori astfel icircncacirct sum = 0t Ta =sum y

sum sum= yttb 2 unde T

ya sum= si

sum

sum=2t

ytb

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Astfel funcŃia de ajustare devine btay t +=

64 Previzionarea indicatorilor prin extrapolare

Extrapolarea implică operaŃia de stabilire a unor termeni vii-tori situaŃi icircn afara orizontului de analiză Presupune adoptarea unui model de analiză y = f(t) şi introducerea icircn model a variabilei timp corespunzătoare momentului pentru care se face extrapolarea

Presupune - CondiŃiile de manifestare ale fenomenului să rămacircnă neschim-bate şi icircn orizontul de prognoză - Lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare peste 10 ani - Orizontul de prognoză să nu depăşească o treime din lungimea SCR analizate Elaborarea variantelor de prognoză prin extrapolare presupune prelungirea variabilei timp bdquotrdquo cuprinsă

icircn modelul de ajustare Metoda modificării medii

( )prognoza de orizontulKKT1Tttyy 0t =++=∆+=

Metoda indicelui mediu t0t Iyy prime=

Metode analitice tbay t prime+= ObservaŃie Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenelor necesită pentru prognoză elaborarea mai

multor variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică

Cuvinte cheie serie cronologică (SCR) SCR de intervale SCR de momente cronogramă indicatori absoluŃi relativi medii trendul MSM ndash metoda sporului mediu MIM ndash metoda indicelui mediu MA ndash metoda analitică extrapolarea

Teste grilă 1 Nu este posibilă icircnsumarea termenilor unei SCR a) de momente b) de intervale c) de fluxuri d) exprimată icircn unităŃi fizice Răspuns a) 2 O firmă a icircnregistrat icircn semestrul I următoarele stocuri de mărfuri

Data 10104 10204 10304 10404 10504 10604 10704 Stoc (kg) 120 210 185 148 110 160 80

Să se calculeze stocul mediu al semestrul I al acestei serii de momente cry =

Răspuns cry = 15217

Model de rezolvare

171526

91317

280

1601101481852102

1201T

2y

yyyyy2y

y

765432

1

cr

==minus

++++++=

=minus

++++++=

3 Numărul de abonamente telefonice particulare icircn perioada 2000-2004 se prezintă astfel

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonamente 205 217 230 240 246

CalculaŃi sistemul de indici medii ce caracterizează SCR dată RIy ∆

Răspuns 664R 66104I 2510 6227y ===∆= Model de rezolvare

sum =++++= 1381246240230217205y t

1 62275

1138y T

y=== sum

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

2 25104

2052464

yy 1T1T

y 1T =minus=minus==∆ minussum

3 04661205

246

Y

yII 41T

T

T1T y1T ==== minusminus sau 10466

4 66410066104100100IR =minus=minussdot= 4 Numărul de abonaŃi la cablu dintr-un oraş icircn perioada 2000-2004 a fost de

Anii 2000 2001 2002 2003 2004 Număr abonaŃi 20 50 78 91 120

Consideracircnd că fenomenul evoluează liniar calculaŃi valorile teoretice ( ty ) de estimare a tendinŃei centrale a SCR analizată

Răspuns ty 236 477 718 959 120 Model de rezolvare

Anii yt t t2 t bull y ty = 718 + 241 bull t

2000 20 -2 4 -40 718 + 241 bull (-2) = 236 2001 50 -1 1 -50 718 + 241 bull (-1) = 477 2002 78 0 0 0 718 + 241 bull 0 = 718 2003 91 1 1 91 718 + 241 bull 1 = 959 2004 120 2 4 240 718 + 241 bull 2 =120 Total sumyt =359 10 241 sum ty =359

ty = a +bt

==sdot

=

===rArr

sumsum

sum

12410241

t

ytb

8715

359

T

ya

2

ObservaŃie Din compararea sumyt =sum ty se observă că am ales o funcŃie matematică corectă

Tema 7 Metoda indicilor

Metoda indicilor este o metodă de analiză factorială a modifică-rii unui fenomen complex icircn funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă

Indicii se calculează sub formă de raport deci sunt mărimi relative adimensionale pentru că au la numărător şi la numitor două valori ale aceluiaşi indicator Fiind o metodă factorială se foloseşte pentru măsurarea influenŃei factorilor asupra modificării unui fenomen complex

Astfel y = x f y este o variabilă complexă analizată icircn funcŃie de - un factor calitativ (x) - un factor cantitativ (f) Ex V = pg (valoarea = preŃul + cantitatea)

Clasificarea indicilor 1) După sfera de cuprindere a fenomenului

indici simpli sau individuali indici compuşi sau de grup

2) După caracteristica a cărui varia Ńie se urmăreşte indici ai volumului fizic indici ai preŃurilor indici valorici indici ai productivităŃii muncii indici ai salariului mediu

3) După modul de calcul indici agregaŃi indici sub formă de medii indici ca raport a două medii

4) După felul structurii pot fi

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

indici cu structură variabilă indici cu structură fixă indici ai modificărilor structurale

Indici individuali se calculează la nivelul unei unităŃi a colecti-vităŃii analizate astfel00

11

0

1y01 fx

fx

y

yi ==

Cei doi factori icircn funcŃie de care se exprimă Y indicii indivi-duali vor fi ( )

0

1fy01 f

fi = si ( )

0

1xy01 x

xi =

Indici sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al icircntregii colectivităŃi analizate sintetizacircnd variaŃia medie a fenomenului anali-zat Se calculează ca raport icircntre suma mărimilor absolute ale indicato-rilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă şi suma mărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază de comparaŃie

sum

sum=sum

sum=sum

00

11

0

1y01 fx

fx

y

yI

Pentru măsurarea modificării fiecăruia din cei 2 factori se utili-zează ca punct de plecare indicele lui y consideracircnd constant un factor şi variabil factorul a cărui modificare ne interesează

Factorul constant se numeşte pondere are rol de comăsurător general şi poate fi la nivelul perioadei curente sau de bază

Regula generală a sistemului de ponderare ndash Cacircnd se modifică factorul cantitativ ponderea rămacircne con-stantă icircn bază ndash Cacircnd se modifică factorul calitativ ponderea de regulă ră-macircne constantă icircn perioada curentă Indici calculaŃi ca medie a indicilor individuali

VAR1 sum

sum=sum

00

00y

y01 fx

fxiI

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali şi nivelul indicatorului complex icircn bază Se foloseşte pentru calculul indicelui volumului fizic indicele valorii

VAR2 sum

sum=sum

1yi

1y01

y1y

I

ObservaŃie Se cunosc indicii individuali ai factorului calitativ şi nivelul indicatorului complex icircn perioada curentă Se foloseşte pentru calculul indicelui preŃurilor

Indici calculaŃi ca raport a două medii Pentru măsurarea variaŃiei unei caracteristici calitative care se formează ca mărime medie la nivelul

unei grupe de unităŃi pe total colectivitate se folosesc indici calculaŃi ca raport a două medii Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu se realizează cu ajutorul unui indice sintetic ca raport a două medii care datorită faptului că surprinde modificarea structurii se numeşte indicele cu structură variabilă

sum

sum

sum

sum==0

00

1

11

0

1x01 f

fx

f

fx

x

xI

Măsurarea influenŃei celor 2 factori se realizează cu următorii indici Indicele cu structură fixă arată influenŃa factorului calitativ x asupra luix păstracircnd ponderea

constantă ( )

sum

sum

sum

sum=1

10

1

11xx01 f

fx

f

fxI

Indicele modificărilor structurale

( )sum

sum=sum

sum

sum

sum=f00

f10

0

00

1

10gfx01

gx

gx

f

fx

f

fxI

Exprimă influenŃa factorului cantitativ (f) asupra luix

RelaŃia dintre indici ( ) ( )gfx01

xx01

x01 III lowast=

Icircn statistică indicii se folosesc sub formă de sisteme icircn vederea caracterizării evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei icircn timp şi spaŃiu a fenomenelor social-economice

Printre cele mai uzuale sisteme de indici sunt bull indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor produselor sau mărfurilor bull indicii productivităŃii muncii bull indicii salariului mediu etc

Indicii valorii volumului fizic şi preŃurilor

Cunoaşterea modificării preŃurilor a cantităŃilor (produse vacircndute sau consumate) şi a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind modificarea producŃiei a consumului caracterizarea nivelului inflaŃiei

Analiza se bazează pe faptul că valoarea ca indicator complex poate fi exprimată icircn funcŃie de cantitatea de produse (q) şi de preŃ (p) V = p times q

unde p ndash preŃul factor calitativ q ndash cantitatea factor cantitativ Indicii individuali

bull Indicii valorii 00

11

0

101 qp

qp

v

vi v ==

bull Indicii preŃurilor ( )

10

1101

0

101 sau

qp

qpi

p

pi pvp ==

bull Indicii volumului fizic ( )

00

1001

0

101 sau

qp

qpi

q

qi qvq ==

RelaŃia dintre indicii individuali ( ) ( )qvpvv iii 010101 sdot=

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot calcula şi modificările absolute

00110101 qpqpvvd v minus=minus=

( )0111011)(

01 ppqqpqpd pv minus=minus=

( )0100010)(

01 qqpqpqpd qv minus=minus=

RelaŃia dintre modificările absolute )(

01)(

0101qvpvv ddd +=

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic evoluŃia generală a valorii cantităŃilor vacircndute a preŃurilor pentru produsele vacircndute se analizează cu ajutorul indicilor sintetici

bull Indicele sintetic al valorii ( sumvI 01 )se poate calcula astfel

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 qp

qp

v

vI

v

cu modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 001101 qpqpv

Indicele sintetic al valorii se poate calcula şi ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv) atunci cacircnd este cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

vv

iar modificarea absolută aferentă sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi vv

PreŃurile şi cantităŃile sunt de obicei neicircnsumabile Pentru sintetizarea modificării la nivelul icircntregii unităŃi atacirct a preŃurilor cacirct şi a cantităŃilor vacircndute se vor utiliza indicii valorii consideracircnd constant un factor şi variabil numai factorul a cărui modificare ne interesează Astfel obŃinem următorii indici sintetici

bull Indicele sintetic al volumului fizic (( )sum qv

I 01 ) care exprimă modificarea medie a calităŃii vacircndute Icircn

practică indicele volumului fizic se calculează numai ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

( )

sumsum=sum

00

1001 qp

qpI

qv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 001001 qpqpqv

Indicele sintetic al volumului fizic se mai poate calcula ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai volumului fizic (iq)

( )

sumsum=sum

00

000101 qp

qpiI

qqv

iar modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000001 01 qpqpi qqv

Indicele sintetic al preŃurilor (( )sum pv

I 01 )

Exprimă modificarea medie a preŃurilor şi se poate calcula ca indice de tip Laspeyres

( )

sumsum=sum

00

0101 qp

qpI

pv cu modificarea absolută

aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 000101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul indicelui preŃurilor de consum Indicele sintetic al preŃurilor mai poate fi calculat ca un indice de tip Paasche

( )

sumsum=sum

10

1101 qp

qpI

pv

cu modificarea absolută aferentă ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 qpqppv

ObservaŃie Acest indice este utilizat pentru calculul preŃurilor cu ridicata ale produselor industriale sau pentru preŃurile produsului intern brut (PIB)

Indicele sintetic al preŃurilor poate fi calculat ca o medie armonică ponderată a indicilor individuali ai preŃurilor (ip)

( )

sum

sum=sum

1101

1101 1

qpi

qpI

p

pv

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 1101

1101

1qp

iqp

p

pv

Deoarece indicele valorii totale reprezintă rezultatul variaŃiei raportului de combinare a factorilor intensivi şi extensivi ce determină un ansamblu de manifestări icircntre cei trei indici există relaŃia

( ) ( )sum+sum=sum qvpvvIII 010101

Şi relaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )sum∆+sum∆=sum∆ qvpvv

010101

Indicele preŃului mediu PreŃul mediu se stabileşte ca medie aritmetică ponderată a preŃurilor individuale Astfel dacă preŃul

i

ii q

vp = rezultă că preŃul mediu va fi

sumsumsum

sumsum === q

iii

ii

i

i gpq

qp

q

vp

ObservaŃie Nivelul şi dinamica preŃului mediu sunt determinate de preŃurile la nivel de unitate (pi) şi

structura valorii sum

=i

iqi q

qg

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Dinamica preŃului mediu bull Indicele cu structură variabilă (caracterizează modificarea preŃului mediu)

sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

00

11

0

00

1

11

0

101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqp gpgp 001101

Indicele cu structură fixă (caracterizează influenŃa preŃului individual asupra preŃului mediu)

( )

sumsum

sumsum

sumsum ==

q

qpp

gp

gp

q

qp

q

qpI

10

11

1

10

1

1101

iar modificarea absolută va fi

sumsum minus=∆ qqpp gpgp 1011)(

01

Indicele modificărilor structurale (caracterizează influenŃa structurii asupra preŃului mediu)

( )sumsum

sumsum

sumsum ===

q

qgp

gp

gp

q

qp

q

qp

p

pI

q

00

10

0

00

1

10

0

101

iar modificarea absolută va fi

summinussum=∆

q00

q1001 gpgp

qgp

RelaŃia dintre cei trei indici

( ) ( )q

010101gpIppIpI sdot=

RelaŃia dintre modificările absolute ( ) ( )q

010101gpppp ∆+∆=∆

Indicii productivităŃii muncii

Productivitatea muncii este o caracteristică derivată cu caracter de mărime medie care se caracterizează cu ajutorul indicilor calculaŃi ca raport icircntre două medii Icircn domeniul comerŃului şi turismului productivitatea muncii se poate calcula ca raport icircntre valoarea desfacerilor sau cea a icircncasărilor din activitatea turistică şi numărul de salariaŃi

Vom nota cu Q = valoarea vacircnzărilor cu amănuntul T = număr mediu de muncitori W = productivitatea muncii

W = productivitatea medie a muncii Productivitatea muncii se poate calcula cu relaŃia

i

ii

i

ii T

TW

T

QW ==

icircn care - factorul complex este iii TWQ =

- factorul calitativ este iW

- factori cantitativi ii TQ

Indicii individuali

bull Indicele numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti T =

bull Indicele valorii desfacerii de mărfuri 0

101 Q

Qi Q =

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

bull Indicele productivităŃii muncii 0

101 W

WiW =

RelaŃia existentă icircntre cei trei indici TWQ iii 010101 sdot=

Modific ările absolute aferente unei unităŃi a colectivităŃii bull Modificarea absolută a valorii desfacerilor de mărfuri

00110101 TWTWQQdQ minus=minus=

bull Modificarea absolută a productivităŃii muncii

( ) 101110101 TWTWTWWdW minus=minus=

bull Modificarea absolută a numărului de salariaŃi

( ) 000100101 WTWTWTTdT minus=minus=

RelaŃia existentă icircntre modificările absolute

TWQ ddd 010101 +=

Indicii sintetici bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic al numărului de salariaŃi

0

101 sum

sum=sumT

TI

T cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 0101 TTT

bull Productivitatea medie

sum

sum=

sum

sum=

iT

iT

iW

iT

iQ

W

bull Indicele productivităŃii medii

0

00

1

11

0

1W

01 T

TW

T

TW

W

WI

sumsum

sumsum== cu modificarea absolută

0101 WWW minus=∆

Dinamica productivităŃii muncii cu descompunerea ei pe factori de influenŃă bull Indicele cu structură fixă al factorului intensiv exprimă variaŃia pură a productivităŃii muncii prin

menŃinerea constantă a structurii salariaŃilor

( )

0

1

1

10

1

11wW01

W

W

T

TW

T

TWI ==

sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )

0101 WWwW minus=∆

Notăm cu sumsum=

1

100 T

TWW reprezentacircnd productivitatea muncii icircn perioada de bază cu păstrarea

structurii icircn perioada curentă bull Indicele modificărilor structurale al factorului extensiv exprimă efectul modificării structurii

salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

( )

0

0

0

00

1

1001

W

W

T

TW

T

TWI

TgW ==sumsum

sumsum

cu modificarea absolută corespunzătoare ( )0

001 WW

TgW minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici sunt

( )

sdot=TgW

IwWIWI 010101

Cumulacircnd influenŃele icircn mărimile absolute ale celor 2 factori rezultă modificarea absolută a nivelului mediu al caracteristicii

( )

∆sdot∆=∆TgWwWW

010101

Dinamica valorii desfacerilor de mărfuri cu descompunerea ei pe factori de influenŃă Se poate face o analiză separată a valorii desfacerilor de mărfuri ca fenomen complex (y = fx) care este

influenŃat de factorul intensiv (calitativ) productivitatea muncii (W) şi de factorul extensiv (cantitativ) numărul de salariaŃi (T)

bull Indicele sintetic al valorii desfacerilor de mărfuri

sumsum

sumsum ==sum

00

11

0

101 TW

TW

Q

QI

Q

cu modificarea absolută

sumsum minus=sum∆ 001101 TWTWQ

bull Indicele sintetic cu structură fixă arată influenŃa factorului intensiv productivitatea muncii păstracircnd structura salariaŃilor constantă icircn perioada curentă

( )

sumsum=sum

10

11WQ

01 TW

TWI

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 101101 TWTWWQ

Indicele sintetic al modificărilor structurale arată influenŃa factorului extensiv structura salariaŃilor păstracircnd productivitatea constantă icircn bază

( )

sumsum=sum

00

1001 TW

TWI

TQ

cu modificarea absolută ( )

sumsum minus=sum∆ 0010

TQ

01 TWTW

RelaŃiile existente icircntre indici şi modificările absolute vor fi ( ) ( )sumsdotsum=sum TW QQQ

III 010101 ( ) ( )TQWQQ sum∆+sum∆=sum∆ 010101

Indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Fondul de salarii al unei societăŃi este format din totalitatea salariilor cuvenite sau calculate după cantitatea şi calitatea muncii prestate Statistic fondul de salarii este o variabilă complexă care se determină ca produs a doi factori salariul icircncasat ca factor calitativ şi numărul de salariaŃi ca factori cantitativ

Salariul este remunerarea muncii depuse de fiecare angajat icircn funcŃie de rezultatul negocierii vechimea icircn muncă categoria de icircncadrare numărul de ore efectuate calitatea şi cantitatea muncii depuse etc

Salariul mediu este o variabilă statistică formată icircn funcŃie de valorile individuale ale salariilor şi numărul de salariaŃi pe categorii pe grupe de salariaŃi

Folosim următoarele notaŃii Si = salariu icircncasat de o grupă de salariaŃi

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

Ti = numărul de salariaŃi corespunzător unei grupe de salariaŃi

S = salariul mediu Fs = fondul de salarii Calculul salariului se face icircn funcŃie de fondul de salarii şi numărul de salariaŃi pe grupa respectivă

i

ii T

FsS = de unde

sumsum

sumsum ==

i

ii

i

i

T

TS

T

FsS

Putem calcula indicii individuali ai

bull Salariului icircncasat 0

101 S

Si S =

bull Fondului de salarii 0

101 Fs

Fsi Fs =

bull Numărului de salariaŃi 0

101 T

Ti S =

RelaŃia dintre indicii individuali TSFs iii 010101 sdot=

Analiza salariului mediu cu descompunerea ei pe factori bull Indicele sintetic al salariului mediu

sumsum

sumsum==

0

00

1

11

0

101

T

TS

T

TS

S

SI S

bull Modificarea absolută

0101 SSS minus=∆

bull Indicele sintetic cu structura fixă

( )0

1

1

10

1

11SS01

S

S

T

TS

T

TSI ==

sumsum

sumsum

Notăm cu sumsum=

1

100

T

TSS

bull Modificarea absolută ( )

0101 SSsS minus=∆

bull Indicele modificărilor structurale

( )

0

0

0

00

1

1001

S

S

T

TS

T

TSI

TgS ==sumsum

sumsum

bull Modificarea absolută ( )

0

001 SS

TgS minus=∆

RelaŃiile existente icircntre indici ( ) ( )TgSSSS III 010101 sdot=

Icircntre modificările absolute ( ) ( )TgSSSS

010101 ∆+∆=∆

Se mai poate analiza şi fondul de salarii după relaŃia TSFs sdot=

sumsum

sumsum ==

00

11

0

101 TS

TS

Fs

FsI Fs

sumsum minus=∆ 001101 TSTSFs

Cei doi factori ce influenŃează fondul de salarii sunt bull Indicele sintetic al factorului intensiv

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

( )

sumsum=

10

1101 TS

TSI SFs

( ) sumsum minus=∆ 101101 TSTSSFs

bull Indicele sintetic al factorului extensiv

( )

sumsum=

00

1001 TS

TSI TFs

( ) sumsum minus=∆ 001001 TSTSTFs

RelaŃiile dintre indici ( ) ( )TFsSFsFs III 010101 sdot=

RelaŃiile dintre modificările absolute ( ) ( )TFsSFsFs

010101 ∆+∆=∆

Cuvinte cheie indicii indici individuali indici sintetici indicii valorii volumului fizic şi ai preŃurilor indicii productivităŃii muncii indicii salariului mediu şi ai fondului de salarii

Teste grilă 1 Indicii sunt incluşi icircn categoria a) indicatorilor tendinŃei centrale b) mărimilor medii c) indicatorilor variaŃiei d) mărimilor relative e) indicatorilor asimetrici

Răspuns d) 2 De la un punct de desfacere a unei societăŃi comerciale avem următoarele date

Produse Valoarea vacircnzărilor icircn perioada de bază (mil lei)

- v0 -

modificării volumului fizic q

01r

P1 150 +15 P2 240 -8 CalculaŃi modificarea absolută totală a vacircnzărilor icircn perioada curentă faŃă de cea de bază datorită

modificării volumului fizic( )sum∆ qv

01 =

Răspuns ( )sum∆ qv

01 =33 mil lei Model de rezolvare

Produs v0 q01r

100100ri q01

q01 +=

0

q01 vi sdot mil lei

P1 150 +15 115 115 bull 150 = 1725 P2 240 -8 092 092 bull 240 = 2208

Total sum v0 = 390 sum 0q

01 vi sdot =3933

( )333903393vvi 00

q01

qv01 =minus=minussdot=∆ sumsumsum mil lei

3 Se cunosc următoarele date

Unitatea Valoarea producŃiei (mil lei) modificării a preŃurilor

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688

v0 v1 p01r ()

A 120 189 +23 B 88 164 +18

CalculaŃi dinamica modificării relative pe seama modificării volumului fizic al producŃiei care a fost de

( )sum qv01I =

Răspuns ( )sum qv

01I = 16627

Model de rezolvare

Unitatea v0 v1 p01r

0v

1vv01i = ( ) 100100

p01r

p01i +=

pvp01 iii =

A 120 189 +23 1575 1023 154 B 88 164 +18 1864 1018 183

Total 208 353 - -

pqpv

01v

010101q

0101 iiiiii =rArrsdot=

( )66271

20884345

v

viI

0

0q

0101

qv

==sdot

=sumsumsum

sau 16627

4 Se cunosc următoarele date

- mil lei Indicatori NotaŃia 2003 2004 1 Salariul nominal SN 800 1800 2 Modificarea preŃurilor icircn perioada

curentă faŃă de cea de bază ()

bull mărfuri alimentare ralim - +48 bull mărfuri nealimentare rnealim - +41 bull servicii rS - +31 3 Structura cheltuielilor familiilor 100 100 bull mărfuri alimentare galim 45 40 bull mărfuri nealimentare gnealim 38 40 bull servicii gS 17 20

CalculaŃi indicele salariului nominal SN01I şi indicele salariului real SR

01I

Răspuns SN01I = 225 SR

01I =15688 Model de rezolvare

252800

8001

SN

SNI

0

1SN01 === sau 225

SR0 = SN0

0

1SR01 SR

SRI = sau

IPCI

ISN

01SR01 = unde

IPCSN

SR 11 =

( ) ( ) ( )=sdot+sdot+sdot=sdot=sum S0

Sneal0

neallima0

limav0

p gigigigiIPC

= (148 045) + (141 038) + (131 017) = 14346

255143461

8001SR1 ==

56881800

2551

SR

SRI

0

1SR01 === sau 15688