LUCRAREA nr.3: Analiza în domeniul timp a elementelor unui ... · funcţiei y(t) determină pe dreapta de yst un segment egal chiar cu constanta de timp T. Se poate spune deja că,

LUCRAREA nr.4: Analiza în domeniul timp a elementelor unui SRA

Analiza şi Sinteza Sistemelor Automate. Aplicaţii utilizând Matlab/Simulink - 49 -

LUCRAREA nr.3: Analiza în domeniul timp a elementelor unui

sistem de reglare automată

1. Scopul lucrării

Se va face analiza comportării în timp a sistemelor liniare de ordinul 1 si 2

prin determinarea variaţiei mărimii de ieşire a acestora în funcţie de semnalul

aplicat la intrare (semnal treaptă, semnal rampă).

Se vor face aprecieri asupra performanţelor tranzitorii şi staţionare ale

elementelor studiate, observându-se modul în care acestea sunt influenţate de

modificarea diverşilor parametrii ai sistemelor.

2. Breviar theoretic

Orice sistem este caracterizat printr-o anumită dependenţa funcţională între

variaţia în timp a mărimii de ieşire y(t) şi variaţia în timp a mărimii de intrare

u(t). Această legatură de regim dinamic poate fi exprimată printr-o ecuaţie

diferenţială, obţinută pe baza legilor fizico-chimice ce caracterizează

funcţionarea unor elemente caracteristice sistemului. Pentru un sistem liniar

monovariabil intrare/ieşire, ecuaţia diferenţiala are în cazul general forma:

ad y t

dta

d y tdt

a y t bd u t

dtb

d u tdt

b u tn

n

n n

n

n m

m

m m

m

m( ) ( )

... ( )( ) ( )

... ( )+ + + = + + +−

−

− −

−

−1

1

1 0 1

1

1 0

(1)

în care coeficientii an, ...., ao, bm, ...., bo au semnificaţie fizică, iar condiţia ca

sistemul să fie fizic realizabil este n m≥ .

LUCRAREA nr. 4: Analiza în domeniul timp a elementelor unui SRA

- 50 - Analiza şi Sinteza Sistemelor Automate. Aplicaţii utilizând Matlab/Simulink

Aplicând transformata Laplace ecuaţiei (1), în condiţii iniţiale nule, se

obţine funcţia de transfer a sistemului:

H sy su s

b s b s b s b

a s a s a s am

mm

m

nn

nn( )

( )( )

...

...= =

+ + + +

+ + + +−

−

−−

11

1 0

11

1 0 (2)

Dacă se dau factori comuni termenii ao si respectiv bo se obţine forma "cu

constante de timp" a funcţiei de transfer:

H sy su s

kT s T s

T s T s

T s

T s

mm

nn

jj

j

m

ii

i

n( )( )( )

...

...

' '

' '

'

'= =

+ + +

+ + +=

+

+

=

=

∑

∑

1

1

1

1

1

1

1

1 (3)

unde: kba

= 0

0 - factorul de amplificare al sistemului;

T

bb

j m

T aa

i n

jj

ii

'

'

( )

( )

= ≤ ≤

= ≤ ≤

0

0

1

1- coeficienţii având dimensiunea unor constante de timp.

Se pun în evidenţă următorii termeni tip:

• Termen constant: H s kk ( ) = ;

• Termen liber:

-integrator H ssli ( ) ;=1 -derivativ H s sld ( ) = ;

• Termen liniar:

-element de întârziere de ordinul 1: H sTsLi ( ) ;=

+1

1

-element de anticipare de ordinul 1: H s TsLa ( ) = + 1

• Termen cuadratic:

-element de întârziere de ordinul 2: H sT s T s

Qi ( ) ;'=+ +

112 2

-element de anticipare de ordinul 2: H s T s T sQa ( ) '= + +2 2 1



În anexa nr.1 se dau răspunsurile în timp ale acestor termeni tip la intrări

standard treaptă şi rampă.

Observaţii a) Zerourile unei funcţii de transfer sunt soluţiile polinomului de la numărătorul funcţiei de

transfer. b) Polii funcţiei de transfer reprezinta zerourile polinomului de la numitorul funcţiei de

transfer. c) Se defineste tipul funcţiei de transfer prin numărul polilor in origine ai funcţiei de transfer. d) Ordinul funcţiei de transfer este dat de ordinul ecuaţiei diferenţiale din care s-a obţinut

prin transformata Laplace funcţia de transfer. Deci pentru sisteme fizic realizabile, n>m, ordinul coincide cu gradul polinomului de la numitorul funcţiei de transfer.

Analiza in timp reprezintă determinarea răspunsului in timp a sistemelor

considerate, la diverse tipuri de semnale de intrare si determinarea principalelor

proprietăţi (stabilitate, performanţe, etc. ).

Performanţele regimului dinamic sunt descrise prin indici sintetici de

calitate ce caracterizează răspunsul indicial al sistemului:

• suprareglajul σ

• timpul primului maxim sau de atingere a abaterii maxime a mărimii de ieşire

in regim tranzitoriu tσ ;

• durata regimului tranzitoriu tt definita prin timpul ce se scurge din momentul

aplicării excitaţiei (intrarea) pe canalul de referinţa si pînă cind ieşirea intra

într-o bandă de ± ÷( )%2 5 y s ;

• indicele de oscilaţie Ψ reprezintă variaţia relativă a amplitudinilor a două

depăşiri succesive de acelaşi semn a valorii de regim staţionar,

• perioada oscilaţiilor T pentru regimul oscilant amortizat;

• numarul de oscilaţii N dacă răspunsul traversează de un numar finit de ori

componenta staţionară;

Pe lângă aceşti indici de calitate principali, se mai pot defini şi alţii cum ar

fi:



- timpul de stabilire: momentul în care se atinge pentru prima dată valoarea

staţionară a iesirii;

- timpul de creştere: valoarea subtangentei dusă la y(t) la 0,5 yst, tangenta

fiind limitată de axa t şi de axa ys.

Aprecierea acestor indici de calitate se face pe baza răspunsului indicial al

SRA, deci a funcţiei de transfer în circuit închis.

Performanţele regimului staţionar:

- eroarea staţionară - valoarea erorii de reglare în regim staţionar

(neperturbat, stabilizat)

ε ε ε εst s s

rt s s sy s H s= = =→∞ → →lim lim lim( ) ( ) ( ) ( )

0 0

- Răspunsul indicial reprezintă răspunsul unui sistem liniar atunci când

intrarea este de tip treaptă (ce se poate considera, datorită liniarităţii, de

amplitudine unu - treapta unitară).

Prezenta analiză vrea să evidenţieze dependenţa acestui răspuns de

parametrii SL, creând primele conexiuni ce se vor dovedi utile în problematica de

sinteză a sistemelor.

1. Sistemul de ordinul I:

Un element de ordinul întîi este descris de o ecuaţie de tipul:

ady t

dta y t b u1 0 0

( )( )+ = care, prin aplicarea transformatei Laplace, conduce la o

funcţie de transfer de tipul: H sy su s

kTs1 1

( )( )( )

= =+

unde Taa

= 1

0este constanta de

timp, iar kba

= 0

0 este factorul de amplificare.

Pentru k=1 sistemul este descris de funcţia de transfer

H sTs

T( ) ,=+

>1

10 (4)

Considerând intrarea sistemului u(t)=1(t) rezultă u(s) = 1/s şi



y s H s u ss Ts s

TTs

( ) ( ) ( )( )

= =+

= −+

11

11

deci y t e tt T( ) ( ) ( )/= − −1 1 (5)

care este reprezentat în Fig.1.

Din (5) se vede că: y y t s y sstt s

= = ⋅ =→∞ →lim ( ) lim ( )

01 (6)

şi cum dy tdt T

e tt T( ),/= >−1

0 (7)

tangenta în origine la graficul lui y(t) este y t y tT

t( ) ( )= =+01 (8)

Pentru y t y st( )1 1= = rezultă t T1 = adică subtangenta în origine la graficul

funcţiei y(t) determină pe dreapta de yst un segment egal chiar cu constanta de

timp T. Se poate spune deja că, pe măsura ce constanta de timp creşte, răspunsul

sistemului este din ce în ce mai lent .

Fig.1.Răspunsul indicial al sistemului de ordinul 1

a) k=1; b) k=0.5 Convenţional se consideră că regimul tranzitoriu a încetat atunci când

y y k y tst st st t( ) ,τ τ− ≤ ∀ ≥ (9)

care defineşte durata regimului tranzitoriu (sau timpul tranzitoriu) şi unde uzual

[ ] [ ]k sau kst st= =0 05 5 0 02 2, ( % ) , ( % ) . (10)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1u(t)=1(t); y(t)

t [sec] T

kstyst

tt

kst=0.05

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u(t)=1(t);y(t)

t [sec]

εst



În cazul acestui sistem, devine e k tTst t

− ≤ ∀ > +τ τ/ , adică

τ ≥ − ⇒ = − ≅ ÷T k t T k Tst t stln ln ( )3 4

unde s-a ţinut cont de valorile constantei kst. Trebuie reţinută si relaţia dintre

polul sistemului, ce este p = -1/T < 0 şi durata regimului tranzitoriu, care se

exprima prin:

tp

t ≅÷3 4 (11)

şi deci, pe masura ce polul se indepărtează de axa imaginară (in cadrul

semiplanului stâng) regimul tranzitoriu este mai scurt.

Observaţii:

a) DacăH skTs

T( ) ,=+

>1

0 ; cu u(t)=1(t) si u(s)=1/s;

y s H s u sk

s Ts sT

Tsk( ) ( ) ( )

( )= =

+= −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

11

y y t s y s kstt s

= = ⋅ =→∞ →lim ( ) lim ( )

0; k se

numeşte factor de amplificare în regim staţionar. Deci y t k e tt T( ) ( ) ( )/= − −1 1 (12) Pentru acest sistem , performanţele dinamice si staţionare sunt următoarele:

t Tt ≅ 3 σ = 0 ε st K= − ⋅( ) [%];1 100 dacă K st= ⇒ =1 0ε b) Dacă avem un sistem liniar mai complicat dar cu poli reali si una dintre constantele de

timp este mult mai mare decât toate celelalte atunci din punct de vedere al răspunsului acest sistem se poate aproxima cu sistemul de ordinul I cu constanta de timp cea mai mare.

2. Sistem de ordin II.

Ecuaţia diferenţială caracteristică sistemului de ordin doi este:

ad y t

dta

dy tdt

a y t b u t2

2

2 1 0 0( ) ( )

( ) ( )+ + = (13)

Scrisă sub forma de pulsaţii, ecuaţia devine:

d y tdt

dy tdt

y k un n n

2

22 22

( ) ( )+ + =ζω ω ω (14)

unde: 1

0 22aa a

ζ = , (15) şi ωnaa

= 0

2

, (16)



Funcţia de transfer obţinută aplicând transformata Laplace expresiei (14)

este: H sy su s

k

s sn

n n( )

( )( )

= =+ +

ω

ζω ω

2

2 22 (17)

Pentru k=1 H sT s Ts s s

n

n n( ) =

+ +=

+ +12 1 22 2

2

2 2ζωζω ω

(18)

în care [ )T Tn> = ∈0 1 0 1, / , ,ω ζ se numesc constanta de timp, pulsaţie

naturală, respectiv factorul de amortizare.

Uzual se consideră ca [ )ζ ∈ 0 1, , în cazul in care ζ ≥ 1 conducând la poli reali,

deci sistemul se descompune în două sisteme de ordinul I.

Când intarea este treaptă (unitară) se deduce

( )y s H s u ss s s

n

n n

( ) ( ) ( )= =+ +

ωζω ω

2

2 22 (19)

şi se obţin urmatoarele regimuri tipice:

a) Regim neamortizat (ζ=0)

( )y ss s s

ss

n

n n( ) =

+= −

+ωω ω

2

2 2 2 2

1 ( )⇒ = −y t t tn( ) cos ( )1 1ω (20)

adică un raspuns armonic cu pulsaţia ωn.

b) Regim subamortizat ( )0 1< <ζ Cum în acest caz polii sunt complecşi

p jn n1 221, = − ± −ζ ω ω ζ

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

y ss s s

s

s

s

s

s

n

n n

n

n n

n n

n n

( ) =+ + −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= −+

+ + −=

= −

+ +−

−

+ + −

ω

ζω ω ζ

ζω

ζω ω ζ

ζωζζ

ω ζ

ζω ω ζ

2

2 22 2 2

2

22

2 2

1

1 2

1

1 11

1

y t e t t t

et arctg t

n

n

tn n

t

n

( ) cos sin ( )

sin ( )

= − − +−

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

= −−

− +−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

−

1 11

1 1

11

11

1

22

2

22

2

ζω

ζω

ω ζζζ

ω ζ

ζω ζ

ζζ

(21)



care este raspunsul tipic al sistemului de ordinul II.

c) Regim critic ( )ζ = 1 . Polii sunt p p n1 2= = −ω

( ) ( ) ( )[ ]y ss s s

s

sadica y t e t tn

n

n

n

tn

n( ) ( ) ( )=+

= −+

+= − +−ω

ω

ω

ωωω

2

2 21 2

1 1 1 (22)

d) Regim supra amortizat ( )ζ > 1 . Polii devin reali şi distincţi p n n1 22 1, = − ± −ζω ω ζ

y te

sh t arcth tnt

n( ) ( )= −−

− +−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

11

11

12

22ζω

ζω ζ

ζζ

(23)

Structura acestor răspunsuri este cea din fig.2.

Fig.2.Răspunsurile indiciale ale sistemului

de ordinul II Fig.3. Performanţele regimului dinamic

pentru răspunsul tipic al sistemului de ord II

Considerând răspunsul tipic al sistemului de ordinul II (0<ζ<1), un calcul

analitic al duratei regimului tranzitoriu se poate face pe baza definirii

convenţionale (9) presupunând că tt se identifică chiar cu un extrem al

răspunsului. Aceste momente de timp se deduc din (21) prin derivare

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2u(t) y(t)

ζ=0

ζ=0.5

ζ=1

ζ=2

t[s]

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

u(t)y(t)

t[s]

δ1 δ2 yst

tt



y t tk

k Nkn

•= ⇒ =

⋅

−∈( ) ,0

1 2

Π

ω ζ şi valorile extremelor sunt

y t ekk

k

( ) ( )= + − +−

−1 1 1 1 2Πζ

ζ

yst=1 ⇒ ≤−

−e k

k

st

Πζ

ζ1 2; e k t

kntk st kst

n

− ≤ ⇒ ≥−ζωζωln ⇒ =t t

n

3 4...ζω

(24)

Conchidem că durata regimului tranzitoriu depinde de abscisa polilor complecşi

adică tot de depărtarea de axa imaginară ca şi in cazul sistemului de ordinul I.

Un alt parametru semnificativ al răspunsului sistemului de ordin II este

suprareglajul definit astfel: σδ

=−

=y y

y yst

st st

max 1 (25)

În cazul răspunsului tipic (21) cum y y t emax ( )= = + = +

−−

11 2

11 1

Πζ

ζ δ ;

yst=1 ⇒ =

−

−σ

ζ

ζe

Π

1 2 (26)

(şi ca urmare se vede că suprareglajul depinde exclusiv de factorul de amortizare

ζ ∈( , )0 1 .

De asemenea se poate defini un coeficient de amortizare a oscilaţiilor

ψδ δδ

δδ

=−

= −1 2

1

2

11 (27)

unde δ1 şi δ2 sunt primele două depăşiri ale valorii de yst. În cazul răspunsului

(21) cum δ δ ψ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ1 1

1 22 3

3

1 22

1 21= − = = − = ⇒ = −

−

−

−

−

−

−y t y e y t y e est st( ) , ( )

Π Π Π

(28)

şi deci amortizarea depinde numai de factorul de amortizare ζ.

Pentru regimul subamortizat principalele performante dinamice si staţionare

sunt:

ttn n

=− −

≅ln( , )0 05 1 42ζ

ζω ζω; [%]100

21 ⋅= −

−

ζ

ζπ

σ e



ε st K= − ⋅( ) [%];1 100 dacă K st= ⇒ =1 0ε

3. Chestiuni de studiat

1. Sa se evidenţieze forma răspunsurilor elementelor tip la intrări de tip treaptă

(modul de lucru se poate urmării conform anexei 1).

2. Ce efecte se obţin modificând parametrii T si k ai sistemului de întarziere de

ordinul I asupra răspunsului în timp al sistemului şi asupra performanţelor

tranzitorii şi staţionare ale acestuia (εst, tt).

3. Calculul performanţelor de regim dinamic şi staţionar pornind de la funcţia de

transfer a sistemelor de ordinul II, caracterizate prin:

•factor de amplificare k=1; k=0.2

•factor de amortizare ζ=0.25

•pulsaţia naturală ωn=1 rad/s

Observaţii:

Pentru o mai buna reprezentare grafică în timp a semnalelor de intrare şi de ieşire ale sistemelor se vor folosi funcţiile MATLAB:

- plot(X,Y) desenează vectorul Y in funcţie de vectorul X. Se pot alege culorile dependenţelor ce vor fi reprezentate, astfel se poate scrie plot(X,Y,'S') unde S este un şir de 1,2, sau 3 alcătuit din urmatoarele caractere: y yellow . point m magenta o circle c cyan x x-mark r red + plus g green - solid

b blue * star w white : dotted k black -. dashdot -- dashed

Pentru mai multe variabile reprezentate pe acelaşi grafic se pot combina perechile de variabile:

- plot(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,X3,Y3,S3) - grid - trasează caroiajul graficelor pentru fiecare axa

Semnal de Intrare (treapta sau rampa)

Funcţia de trensfer a elementului tip

Semnal de Iesire u(t) y(t)



Exemplu: plot(t,tr,'c',t,s1,'r',t,s2,'m',t,s3,'g')

4. Mod de lucru:

Se menţine constant T=1 si

se variaza k :

a) ]1..0[∈k de ex.k=0.5;

k=0.75 si k=1;

b) 1≥k de ex.k=1; k=2 si

k=3;

Ce se intâmplă cu eroarea

staţionara a sistemului în

cazul variaţiei lui k pentru

ambele cazuri (a+b). Dar cu

durata regimului tranzitoriu.

Se menţine constant k=1 şi

se variază T de ex.T=0.1;

T=1 si T=2;

Ce se intâmplă cu durata

regimului tranzitoriu in cazul

variaţiei lui T. Dar cu

eroarea staţionară.



În cazul sistemului de întarziere de ordinul II să se evidenţieze formele răspunsurilor

indiciale pentru regimurile tipice, variind valorile parametriilor k şi ζ (ωn=1 rad/s)

Pentru k=1 si T=1:

a) ζ=0

b) ζ=0.5

c) ζ=1

d) ζ=2

Pastrând constante valorile

lui ζ modificaţi valoarea lui

k sau T (de ex. k=2 sau T=2)

Observaţi ce se intamplă cu

performanţele de regim

tranzitoriu şi staţionar ale

sistemelor reprezentate.



Tabelul 1 : Răspunsul în timp al termenilor tip Raspunsul termenului tip la semnal Denumirea termenului tip

Functia de transfer Elementul MATLAB corespunzator

TREAPTA RAMPA

Element constant:

H s kk ( ) = Pentru k=3

Element integrator

H ssli ( ) ;=1

Element derivativ

H s sld ( ) =

Element de intarziere de ordinul 1:

;1

)(+

=Ts

ksHiL

Pentru k=2 si T=3

Element de intarziere de ordinul 2:

;12

)(22 ++

=TssT

ksHiQ ζ

y u

k 1

y(t) u(t)

t

y u y(t) u(t)

t

y u

1

y(t) u(t)

t

y u

1

u(t) y(t)

t y u

1

y(t)

u(t)

t

y u

1

u(t) y(t)

t

k 1

y u

y(t) u(t)

t T

u(t) y(t)

t

y u

y u

k 1

y(t) u(t)

t

u(t) y(t)

t

y u

Documents

LUCRAREA nr.3: Analiza în domeniul timp a elementelor unui ... · funcţiei y(t) determină pe dreapta de yst un segment egal chiar cu constanta de timp T. Se poate spune deja că,