Meccanica delle Vibrazioni - Progetto d'anno - Lotus72

Politecnico di Milano

FACOLTA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica

Progetto d’anno – Meccanica delle Vibrazioni

Analisi dinamica di una sospensione automobilistica

Lotus72

Laureandi

Lorenzo Golfierimatr.727581

Francesco Guanzirolimatr.726896

Luca Maggiorimatr.726825

Ivan Majmatr.729300

Docenti

Prof. Stefano BroglioIng. Giancarlo GalliIng. Sara Muggiasca

Anno Accademico 2010–2011

Indice

1 Risoluzione della cinematica 51.1 Quadrilatero principale - Sostegno ruota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Equazione in posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Equazione in velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Equazione in accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Secondo quadrilatero - Collegamento barra di torsione . . . . . . . . . . . 81.2.1 Equazione in posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Equazione in velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Equazione in accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Scrittura dell’equazione di moto 112.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Energia potenziale gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Energia potenziale e dissipativa del sistema molla-smorzatore a terra . . . 162.4 Energia potenziale elastica della molla torsionale . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Energia dissipativa dello smorzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Equazione di moto e forma di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Precarico statico ∆γ20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Equazione di moto linearizzata 223.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Funzione dissipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Analisi del comportamento del sistema 254.1 Frequenza propria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Piccole perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Perturbazioni di media entità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.3 Grandi perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Moto forzato - zona quasi-statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Moto forzato - zona di risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

INDICE 2

4.5 Moto forzato - zona sismografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Scripts del programma Matlab 315.1 main.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 cinematica.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 precarico.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4 energiacinetica.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5 energiapotenziale.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.6 smorzatore.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.7 manovellismoNONlineare.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.8 manovellismolineare.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.9 rk4.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Elenco delle figure

1 Vettura di F1 Lotus72 del 1971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Disegno della sospensione in analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Chiusura del quadrilatero articolato principale . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Chiusura del secondo quadrilatero articolato . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Posizione generica dei baricentri per i due quadrilateri . . . . . . . . . . . 122.2 Quote dei baricentri rispetto ad un asse orizzontale fisso . . . . . . . . . . 152.3 Rappresentazione semplificata della sospensione . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Metodi di calcolo di ∆l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Risposta alla condizione iniziale (α− αs) = +3 deg . . . . . . . . . . . . . 264.2 Risposta alla condizione iniziale (α− αs) = −26 deg . . . . . . . . . . . . 274.3 Risposta alla condizione iniziale (α− αs) = −65 deg . . . . . . . . . . . . 274.4 Risposta in condizioni quasi-statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Risposta in condizioni di risonanza (Ω = ω0 = 51.1465 rad/s) . . . . . . . 294.6 Risposta in condizioni sismografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

ELENCO DELLE FIGURE 4

Figura 1: Vettura di F1 Lotus72 del 1971

(a) Terminologia relativa a genericasospensione a quadrilatero

(b) Sospensione in analisi (rappresentazione speculare)

Figura 2: Disegno della sospensione in analisi

Capitolo 1

Risoluzione della cinematica

La sospensione in esame risulta caratterizzata, dal punto di vista cinematico, da un dop-pio quadrilatero articolato (Figura 2 nella pagina precedente).Più in particolare, un primo quadrilatero (considerato principale) permette il sostegno edil collegamento della ruota alla cassa della vettura; su di esso quindi agirà direttamenteil “forzamento” associato alle vibrazioni provenienti dal terreno. L’elemento smorzatoredella sospensione è inoltre incernierato alla biella di tale cinematismo.Il secondo quadrilatero ha il compito invece di azionare la barra torsionale, l’elementoelastico della sospensione.Si nota che il braccetto superiore costituisce la manovella superiore di entrambi i qua-drilateri. Si decide pertanto di assumere la rotazione di tale elemento (α) come uni-ca coordinata libera di tutto il sistema in analisi: le equazioni di moto (non lineare elinearizzata) saranno ricavate in funzione di essa.

1.1 Quadrilatero principale - Sostegno ruota

Per la risoluzione della cinematica si utilizzerà il metodo delle equazioni di chiusura,scegliendo come asse reale quello passante per le due cerniere a terra del quadrilatero.

1.1.1 Equazione in posizione

Chiusura del quadrilatero articolato:

aeiα + beiβ = ceiγ + d

Proiettando sui due assi reale e immaginario si ha:b cosβ = −a cosα+ c cos γ + db sinβ = −a sinα+ c sin γ

L’equazione è non lineare in α, β e γ e quindi si ricorrerà alla soluzione numerica imple-mentata nei capitoli seguenti. Si propone però anche un metodo algebrico che consente

5

CAPITOLO 1. RISOLUZIONE DELLA CINEMATICA 6

Figura 1.1: Chiusura del quadrilatero articolato principale

ugualmente di ricavare le grandezze di interesse, ma che non verrà utilizzato.

Approccio analitico

Quadrando e sommando è possibile eliminare β:

a2 − b2 + c2 + d2 − 2ac cosα cos γ − 2ac sin γ sinα− 2ad cosα+ 2cd cos γ = 0

si pone:

A = −2ac sinα

B = 2cd− 2ac cosα

C = a2 − b2 + c2 + d2 − 2ad cosα

D =√A2 +B2 − C2

si nota che i quattro parametri ottenuti hanno dipendenza soltanto dal gdl α, quindi sicercherà di esprimere le grandezze cinematiche ricercate in funzione di essi. Attraversopassaggi algebrici si ottiene:

sin γ = −AC +BD

A2 +B2

cos γ = −BC +BD

A2 +B2


quindi noto γ:

sinβ =c sin γ − a sinα

b

cosβ =d+ c cos γ − a cosα

b

1.1.2 Equazione in velocità

Derivando rispetto al tempo i termini dell’equazione in posizione si ottiene:

iαaeiα + iβbeiβ = iγceiγ

moltiplicando l’equazione trovata una volta per e−iβ e una volta per e−iγ si ottiene:iαaei(α−β) + iβb− iγcei(γ−β) = 0

iαaei(α−γ) + iβbei(β−γ) − iγc = 0

Proiettando sull’asse reale:αa sin(α− β)− γc sin(γ − β) = 0

αa sin(α− γ) + βb sin(β − γ) = 0

da cui

β = αa sin(α− γ)

b sin(γ − β)

γ = αa sin(α− β)

c sin(γ − β)

Poichè β = β(α) e γ = γ(α), applicando la regola di derivazione a cascata si ha β = ∂β∂α α

e γ = ∂γ∂α α, quindi si possono esplicitare i coefficienti fb = ∂β

∂α e fc = ∂γ∂α che risultano

costanti ad ogni data posizone α:

fb =a sin(α− γ)

b sin(γ − β)(1.1)

fc =a sin(α− β)

c sin(γ − β)(1.2)

1.1.3 Equazione in accelerazione

Derivando una seconda volta l’equazione di chiusura rispetto al tempo si ha:

iαaeiα − α2aeiα + iβbeiβ − β2beiβ = iγceiγ − γ2ceiγ

come in precedenza si moltiplica una volta per e−iβ e una volta per e−iγ :iαaei(α−β) − α2aei(α−β) + iβb− β2b− iγcei(γ−β) + γ2cei(γ−β) = 0

iαaei(α−γ) − α2aei(α−γ) + iβbei(β−γ) − β2bei(β−γ) − iγc+ γ2c = 0


Proiettando sull’asse reale si determinano le accelerazioni angolari:

β =αa sin(α− γ) + α2a cos(α− γ) + β2b cos(β − γ)− γ2c

b sin(γ − β)

γ =αa sin(α− β) + α2a cos(α− β) + β2b− γ2c cos(γ − β)

c sin(γ − β)

Ricorrendo ancora alle regole di derivazione in cascata si ha

β =∂β

∂αα+

∂2β

∂α2α2

γ =∂γ

∂αα+

∂2γ

∂α2α2

E’ possibile quindi riscrivere le equazioni in accelerazione come

β =a sin(α− γ)

b sin(γ − β)α+

a cos(α− γ)− f2c c+ f2

b b cos(β − γ)

b sin(γ − β)α2

γ =a sin(α− β)

c sin(γ − β)α+

a cos(α− β) + f2b b− f2

c c cos(γ − β)

c sin(γ − β)α2

dove si riconoscono i coefficienti fb e fc determinati in precedenza (1.1 e 1.2 nella paginaprecedente) e si introducono i coefficienti ffb = ∂2β

∂α2 e ffc = ∂2γ∂α2 :

ffb =a cos(α− γ)− f2

c c+ f2b b cos(β − γ)

b sin(γ − β)(1.3)

ffc =a cos(α− β) + f2

b b− f2c c cos(γ − β)

c sin(γ − β)(1.4)

1.2 Secondo quadrilatero - Collegamento barra di torsione

L’analisi della cinematica per il secondo quadrilatero risulta simile alla precedente. Simantiene l’angolo α come coordinata libera, tenendolo in evidenza grazie all’introduzionedell’angolo costante α∗ che rappresenta l’inclinazione tra i braccetti superiori dei duequadrilateri. Pertanto si mantiene lo stesso sistema di riferimento Re-Imm.

1.2.1 Equazione in posizione

Anche in questo caso, si scrive l’equazione di chiusura del quadrilatero:

a2ei(α−α∗) + b2e

iβ2 = c2eiγ2 + d2e

iδ2

Proiettando sui due assi reale e immaginario si ha:b2 cosβ2 = −a2 cos(α− α∗) + c2 cos γ2 + d2 cos δ2

b2 sinβ2 = −a2 sin(α− α∗) + c2 sin γ2 + d2 sin δ2

Per la determinazione degli angoli β2 e γ2 si sfrutta il calcolo numerico mediante ilsoftware Matlab.


Figura 1.2: Chiusura del secondo quadrilatero articolato

1.2.2 Equazione in velocità

Derivando rispetto al tempo i termini dell’equazione in posizione si ottiene:

iαa2ei(α−α∗) + iβ2b2e

iβ2 = iγ2c2eiγ2

moltiplicando l’equazione trovata una volta per e−iβ2 e una volta per e−iγ2 si ottiene:iαa2e

i(α−α∗−β2) + iβ2b2 − iγ2c2ei(γ2−β2) = 0

iαa2ei(α−α∗−γ2) + iβ2b2e

i(β2−γ2) − iγ2c2 = 0

Proiettando sull’asse reale:αa2 sin(α− α∗ − β2)− γ2c2 sin(γ2 − β2) = 0

αa2 sin(α− α∗ − γ2) + β2b2 sin(β2 − γ2) = 0

da cui

β2 = αa2 sin(α− α∗ − γ2)

b2 sin(γ2 − β2)

γ2 = αa2 sin(α− α∗ − β2)

c2 sin(γ2 − β2)

Poiché β2 = β2(α) e γ2 = γ2(α), applicando la regola di derivazione a cascata si haβ2 = ∂β2

∂α α e γ2 = ∂γ2∂α α, quindi si possono esplicitare i coefficienti fb2 = ∂β2

∂α e fc2 = ∂γ2∂α


che risultano costanti ad ogni data posizione α:

fb2 =a2 sin(α− α∗ − γ2)

b2 sin(γ2 − β2)(1.5)

fc2 =a2 sin(α− α∗ − β2)

c2 sin(γ2 − β2)(1.6)

1.2.3 Equazione in accelerazione

Derivando una seconda volta l’equazione di chiusura rispetto al tempo si ha:

iαa2ei(α−α∗) − α2a2e

i(α−α∗) + iβ2b2eiβ2 − β2

2b2e

iβ2 = iγ2c2eiγ2 − γ2

2c2eiγ2

come in precedenza si moltiplica una volta per e−iβ2 e una volta per e−iγ2 :iαa2e

i(α−α∗−β2) − α2a2ei(α−α∗−β2) + iβ2b2 − β2

2b2 − iγ2c2e

i(γ2−β2) + γ22c2e

i(γ2−β2) = 0

iαa2ei(α−α∗−γ2) − α2a2e

i(α−α∗−γ2) + iβ2b2ei(β2−γ2) − β2

2b2e

i(β2−γ2) − iγ2c2 + γ22c2 = 0

Proiettando sull’asse reale si determinano le accelerazioni angolari:

β2 =αa2 sin(α− α∗ − γ2) + α2a2 cos(α− α∗ − γ2) + β2

2b2 cos(β2 − γ2)− γ2

2c2

b2 sin(γ2 − β2)

γ2 =αa2 sin(α− α∗ − β2) + α2a2 cos(α− α∗ − β2) + β2

2b2 − γ2

2c2 cos(γ2 − β2)

c2 sin(γ2 − β2)

Ricorrendo ancora alle regole di derivazione in cascata si ha

β2 =∂β2

∂αα+

∂2β2

∂α2α2

γ2 =∂γ2

∂αα+

∂2γ2

∂α2α2

E possibile quindi riscrivere le equazioni in accelerazione come

β2 =a2 sin(α− α∗ − γ2)

b2 sin(γ2 − β2)α+

a2 cos(α− α∗ − γ2)− f2c2c2 + f2

b2b2 cos(β2 − γ2)

b2 sin(γ2 − β2)α2

γ2 =a2 sin(α− α∗ − β2)

c2 sin(γ2 − β2)α+

a2 cos(α− α∗ − β2) + f2b2b2 − f2

c2c2 cos(γ2 − β2)

c2 sin(γ2 − β2)α2

dove si riconoscono i coefficienti fb2 fc2 determinati in precedenza (1.5 e 1.6) e si intro-ducono i coefficienti ffb2 = ∂2β2

∂α2 e ffc2 = ∂2γ2∂α2 :

ffb2 =a2 cos(α− α∗ − γ2)− f2

c2c2 + f2b2b2 cos(β2 − γ2)

b2 sin(γ2 − β2)(1.7)

ffc2 =a2 cos(α− α∗ − β2) + f2

b2b2 − f2c2c2 cos(γ2 − β2)

c2 sin(γ2 − β2)(1.8)

Capitolo 2

Scrittura dell’equazione di moto

L’equazione di moto verrà ricavata mediante l’equazione di Lagrange, scritta rispetto allacoordinata libera scelta, ovvero l’angolo α indicato in figura:

d

dt

(∂Ec∂α

)−∂Ec∂α

+∂V

∂α+∂D

∂α= Qα.

Con Ec si indica l’energia cinetica totale, con V e D rispettivamente l’energia potenzialetotale e quella dissipativa totale; Qα è la componente lagrangiana delle forze esternerispetto alla coordinata libera α.Si nota fin da subito che non sono applicate forze esterne non conservative: si può quindiscrivere:

Qα = 0

Convenzioni di segno

Si considerano positivi gli spostamenti verso destra, verso l’alto e le rotazioni antio-rarie.Gli allungamenti degli elementi elastici sono stati considerati positivi se di trazione,negativi se di compressione.

2.1 Energia cinetica

L’energia cinetica del sistema è la somma delle energie cinetiche dei vari corpi:

Ec =1

2mAv

2GA

+1

2JAω

2A +

1

2mBv

2GB

+1

2JBω

2B +

1

2mCv

2GC

+1

2JCω

2C+

+1

2mB2v

2GB2

+1

2JB2ω

2B2 +

1

2mC2v

2GC2

+1

2JC2ω

2C2

Si procede ricavando le velocità assolute dei baricentri. Per il corpo A l’equazione dichiusura è:

dAei(α+α0) = xGA + iyGA

11

CAPITOLO 2. SCRITTURA DELL’EQUAZIONE DI MOTO 12

(a) Quadrilatero principale (b) Secondo quadrilatero

Figura 2.1: Posizione generica dei baricentri per i due quadrilateri

Proiettando sugli assi: xGA = dA cos(α+ α0)yGA = dA sin(α+ α0)

Derivando: xGA = −dA sin(α+ α0)yGA = dA cos(α+ α0)

Elevando al quadrato e sommando:

v2GA

= x2GA

+ y2GA

= d2Aα

2

Equazione di chiusura per il corpo B:

aeiα + dBei(β+β0) = xGB + iyGB

Proiettando sugli assi: xGB = a cosα+ dB cos(β + β0)yGB = a sinα+ dB sin(β + β0)

Derivando rispetto al tempo:xGB = −a sinαα− dB sin(β + β0)β

yGB = a cosαα+ dB cos(β + β0)β

Da cui:v2GB

= x2GB

+ y2GB

=

[a2 + d2

Bf2b + 2adBfb cos(α− β − β0)

]α2.

Per il corpo C, con ragionamento analogo a quello per vGA , e considerando che γ è lavelocità angolare assoluta per l’asta considerata, si ottiene:

vGC = dC γ


da cui:v2GC

= d2Cf

2C α

2

Equazione di chiusura per il corpo B2:

a2ei(α−α∗) + dB2e

i(β2+β02) = xGB2+ iyGB2

Proiettando sugli assi:xGB2

= a2 cos(α− α∗) + dB2 cos(β2 + β02)yGB2

= a2 sin(α− α∗) + dB2 sin(β2 + β02)

Derivando rispetto al tempo:xGB2

= −a2 sin(α− α∗)α− dB2 sin(β2 + β02)β2

yGB2= a2 cos(α− α∗)α+ dB2 cos(β2 + β02)β2

Da cui:

v2GB2

= x2GB2

+ y2GB2

=

[a2

2 + d2B2f

2b2 + 2a2dB2fb2 cos((α− α∗)− β2 − β02)

]α2.

Per il corpo C2, considerando che γ2 è la velocità angolare assoluta per l’asta considerata,si ottiene:

vGC2= dC2γ2

da cui:v2GC2

= d2C2f

2C2α

2

Passiamo infine al calcolo delle velocità angolari delle aste:

ω2A = α2

ω2B = β2 = f2

b α2

ω2C = γ2 = f2

c α2

ω2B2

= β22

= f2b2α

2

ω2C2

= γ22 = f2

c2α2

É possibile ora esplicitare l’espressione dell’energia cinetica:

EAc =1

2

[mAd

2A + JA

]︸︷︷︸

JA(α)

α2 =1

2JA(α)α2

EBc =1

2

[mB

(a2 + d2

Bf2b + 2adBfb cos(α− β − β0)

)+JBf

2b

]︸︷︷︸

JB(α)

α2 =1

2JB(α)α2

ECc =1

2

[mCd

2Cf

2c + JCf

2c

]︸︷︷︸

JC(α)

α2 =1

2JC(α)α2


EB2c =

1

2

[mB2

(a2

2 + d2B2f

2b2 + 2a2dB2fb2 cos((α− α∗)− β2 − β02)

)+JB2f

2b2

]︸︷︷︸

JB2(α)

α2 =

=1

2JB2(α)α2

EC2c =

1

2

[mC2d

2C2f

2c2 + JC2f

2c2

]︸︷︷︸

JC2(α)

α2 =1

2JC2(α)α2

dove i termini Ji(α) sono i momenti d’inerzia generalizzati dei corpi rispetto alla coordi-nata libera α.Si ha quindi J(α) =

∑i Ji(α) = JA(α) + JB(α) + JC(α) + JB2(α) + JC2(α).

Il contributo dell’energia cinetica all’equazione di Lagrange è dato dai seguenti termini:

d

dt

(∂Ec∂α

)−∂Ec∂α

= J(α)α+1

2

∂J(α)

∂αα2 (2.1)

occorre pertanto esplicitare la derivata parziale dei momenti d’inerzia generalizzati, fattarispetto ad α. Ricordando la definizione dei coefficienti ffb = ∂2β

∂α2 e ffc = ∂2γ∂α2 si ottiene:

∂JA(α)

∂α= 0

∂JB(α)

∂α= mB

[2d2

Bfbffb + 2adBffb cos(α− β − β0)− 2adBfb sin(α− β − β0)(1− fb)]+

+ 2JBfBffB

∂JC(α)

∂α= 2mCd

2cfcffc + 2JCfCffC

∂JB2(α)

∂α= mB2

[2d2

B2fb2ffb2 + 2a2dB2ffb2 cos(α− α∗ − β2 − β02)+

− 2a2dB2fb2 sin(α− α∗ − β2 − β02)(1− fb2)

]+2JB2fB2ffB2

∂JC2(α)

∂α= 2mC2d

2c2fc2ffc2 + 2JC2fC2ffC2

Si può scrivere infine ∂J(α)∂α =

∑i∂Ji(α)∂α .

2.2 Energia potenziale gravitazionale

Si considereranno separatamente i due contributi (elastico e gravitazionale) all’energiapotenziale del sistema (V = Vk + Vg). L’equazione che esprime l’energia potenzialegravitazionale è:

Vg = mAghGA +mBghGB +mCghGC +mB2ghGB2+mC2ghGC2


(a) Quadrilatero principale (b) Secondo quadrilatero

Figura 2.2: Quote dei baricentri rispetto ad un asse orizzontale fisso

Le altezze dei baricentri, calcolate rispetto ad un asse orizzontale fisso, risultano:

hGA = h1 − dA cos(θ + α+ α0)

hGB = h1 − a cos(θ + α)− dB cos(θ + β + β0)

hGC = h2 − dC cos(θ + γ + γ0)

hGB2= h1 − a2 cos(θ + α− α∗)− dB2 cos(θ + β2 + β02)

hGC2= h3 − dC2 cos(θ + γ2 + γ02)

le cui derivate rispetto ad α sono:

∂hGA∂α

= dA sin(θ + α+ α0)

∂hGB∂α

= a sin(θ + α) + dB sin(θ + β + β0)fb


(a) Schema completo della sospensione (b) Chiusura usata per l’analisi del sistema molla-smorzatore a terra

Figura 2.3: Rappresentazione semplificata della sospensione

∂hGC∂α

= dC sin(θ + γ + γ0)fc

∂hGB2

∂α= a2 sin(θ + α− α∗) + dB2 sin(θ + β2 + β02)fb2

∂hGC2

∂α= dC2 sin(θ + γ2 + γ02)fc2

Derivando l’energia potenziale rispetto alla coordinata libera si ottiene il termine utileall’equazione di Lagrange:

∂Vg∂α

= mAg∂hGa∂α

+mBg∂hGb∂α

+mCg∂hGc∂α

+mB2g∂hGB2

∂α+mC2g

∂hGC2

∂α(2.2)

2.3 Energia potenziale e dissipativa del sistema molla-smorzatorea terra

Ai fini energetici, si rappresenta il pneumatico con un sistema di molla e smorzatore(figura 2.3). Tali elementi vengono definiti con il pedice 1, mentre z è lo spostamentodel vincolo a terra. Si osserva che il vincolamento a terra avviene mediante un pattino,quindi l’allungamento della molla è dato dalla sola traslazione verticale degli estremi.L’allungamento della molla 1 è così definito:

∆l1 = ∆l01 + ∆ld1(α) = ∆l01 + lF (α)− lI(αs)

Dove il pedice s rappresenta il valore degli angoli calcolati nella posizione di equilibriostatico. Il precarico statico ∆l01 è noto e si ottiene considerando che la molla in condizione


statiche equilibria un quarto del peso della vettura, più il peso della sospensione stessa:

∆l01 = −0.25Pauto + Psospk1

Si determina quindi la lunghezza iniziale e finale:

lF (α) = [h1 − a cos(θ + α)− b∗ cos(θ + β∗ + β)]− zlI(αs) = [h1 − a cos(θ + αs)− b∗ cos(θ + β∗ + βs)]

Sostituendo si ottiene:

∆ld1 = −a cos(θ + α)− b∗ cos(θ + β∗ + β) + a cos(θ + αs) + b∗ cos(θ + β∗ + βs)− z∆l1 = ∆l01 − a cos(θ + α)− b∗ cos(θ + β∗ + β) + a cos(θ + αs) + b∗ cos(θ + β∗ + βs)− z

Si ha quindi un contributo all’energia potenziale pari a:

Vk1 =1

2k1∆l21

L’equazione di Lagrange richiede il calcolo del termine ∂∆l1∂α :

∂∆l1∂α

= a sin(θ + α) + b∗ sin(θ + β∗ + β)fb

Il termine utile all’equazione di moto risulta pertanto:

∂Vk1

∂α= k1∆l1

∂∆l1∂α

Molla e smorzatore sono in parallelo, quindi al fine di determinare la quota parte didissipazione dello smorzatore 1 sarà sufficiente derivare rispetto al tempo l’allungamentogià trovato. Noto ∆l1 = ∆l1(α(t), z(t)), si ottiene:

∆l1 =d∆l1dt

=∂∆l1∂α

α+∂∆l1∂z

z

Determinato ∂∆l1∂z = −1, si ricava il termine

∆l12

=

(∂∆l1∂α

)2

α2 + 2∂∆l1∂α

∂∆l1∂z

αz +

(∂∆l1∂z

)2

z2

da cui la funzione dissipativa

D1 =1

2r1∆l1

2=

1

2r1

(∂∆l1∂α

)2

α2 + r1∂∆l1∂α

∂∆l1∂z

αz +1

2r1

(∂∆l1∂z

)2

z2

ed il termine richiesto dall’equazione di Lagrange:

∂D1

∂α= r1

(∂∆l1∂α

)2

α+ r1∂∆l1∂α

∂∆l1∂z

z


2.4 Energia potenziale elastica della molla torsionale

Si conclude l’analisi dell’energia potenziale inserendo il contributo della seconda molla,rappresentante la rigidezza k2 della barra torsionale. Detto ∆γ l’allungamento angolaredella molla:

Vk2 =1

2K2∆γ2

2

Si procede quindi esplicitando l’allungamento della molla come:

∆γ2 = ∆γ20 + γ2(α)− γ2(αs)

dove compare il precarico statico incognito ∆γ20, che potrà essere calcolato inponendo∂V∂α = 0, essendo noto il precarico relativo alla molla k1.Per ottenere il termine relativo all’equazione di Lagrange occorre valutare la derivataparziale dell’allungamento rispetto alla coordinata libera:

∂∆γ2

∂α=∂γ2

∂α= fc2

Il termine utile all’equazione di moto risulta pertanto:

∂Vk2

∂α= k2∆γ2

∂∆γ2

∂α

2.5 Energia dissipativa dello smorzatore

L’energia dissipativa associata al vero e proprio smorzatore della sospensione è espressacome: D2 = 1

2r2∆l22.

La variazione della lunghezza dello smorzatore nel tempo viene calcolata mediante ilteorema di Pitagora:

l2(α) =√

(xR2 − xR1)2 + (yR2 − yR1)2

in cui xR1 e yR1 sono noti e costanti; xR2 e yR2 si calcolano invece come:xR2 = a sin(θ + α) + b00 sin(θ + β + β00)yR2 = −a cos(θ + α)− b00 cos(θ + β + β00)

mentre le loro derivate parziali rispetto ad α valgono: ∂xR2∂α = a cos(θ + α) + b00 cos(θ + β + β00)fb∂yR2∂α = a sin(θ + α) + b00 sin(θ + β + β00)fb

Ora, ∆l2 può essere scritta come ∂l2∂α α, per cui:

∂l2∂α

=1

2

[(xR2 − xR1)2 + (yR2 − yR1)2

]− 12[2(xR2 − xR1)

∂xR2

∂α+ 2(yR2 − yR1)

∂yR2

∂α

]


(a) Risoluzione con equazioni di chiusura (b) Risoluzione mediante Teorema di Pitagora

Figura 2.4: Metodi di calcolo di ∆l2

ed infine:

D2 =1

2r2∆l22 =

1

2r2

(∂∆l2∂α

)2

α2 ⇒ ∂D2

∂α= r2

(∂∆l2∂α

)2

α

Osservazione

Si propone un’altro metodo per valutare ∆l2 mediante un’equazione di chiusura.

yceiπ + xce

iπ2 + ∆l2e

iε = aeiα + b00ei(β+β00)

Si proietta sugli assi ottenedo il seguente sistema:−yc + ∆l2 cos ε = a cosα+ b00 cos(β + β00)xc + ∆l2 sin ε = a sinα+ b00 sin(β + β00)


Da questo sistema grazie all’utilizzo della funzione fsolve di Matlab è possibile ricavare∆l2(α) e ε(α). Si passa quindi alla soluzione in velocità:

∆l2eiε + iε∆l2e

iε = iαaeiα + iβb00ei(β+β00)

moltiplicando per e−iε e proiettando sull’asse reale si ottiene ∆l2:

∆l2 = [−a sin(α− ε)− b00fb sin(β + β00 − ε)]α = f∆l2α

dove f∆l2 = [−a sin(α− ε)− b00fb sin(β + β00 − ε)] = ∂∆l2∂α . Si può quindi scrivere

D2 =1

2r2

(∂∆l2∂α

)2

α2 =1

2r2f

2∆l2α

2

da cui, derivando rispetto ad α, si ottiene il termine richiesto dall’equazione di Lagrange:

∂D2

∂α= r2f

2∆l2α

2.6 Equazione di moto e forma di stato

Nell’applicare l’equazione di Lagrange, è ora sufficiente sommare i termini evidenziatinelle sezioni precedenti per ottenere l’equazione del moto in grande del sistema:

d

dt

(∂Ec∂α

)−∂Ec∂α

+∂Vg∂α

+∂Vk1

∂α+∂Vk2

∂α+∂D1

∂α+∂D2

∂α= Qα (2.3)

Ricordando che Qα = 0 e sostituendo i singoli contributi si ottiene l’equazione di moto:

J(α)α+1

2

∂J(α)

∂αα2 +

∑i

mig∂hi∂α

+ k1∆l1∂∆l1∂α

+ k2∆γ2∂∆γ2

∂α+

+ r1

(∂∆l1∂α

)2

α+ r1∂∆l1∂α

∂∆l1∂z

z + r2

(∂∆l2∂α

)2

α = 0 (2.4)

Isolando ora α si può scrivere l’equazione nella forma di stato, come richiesto per larisoluzione numerica con il metodo di Runge-Kutta. α = −

(12∂J(α)∂α α2 +

∂Vg∂α + ∂Vk1

∂α + ∂Vk2∂α + ∂D1

∂α + ∂D2∂α

)1

J(α)

α = α


2.7 Precarico statico ∆γ20

Il precarico statico della molla torsionale viene calcolato imponendo l’annullarsi delladerivata dell’energia potenziale rispetto alla coordinata libera nella posizione di equilibriostatico.

∂V

∂α

∣∣∣∣αs

=∂Vg∂α

∣∣∣∣αs

+∂Vk1

∂α

∣∣∣∣αs

+∂Vk2

∂α

∣∣∣∣αs

=∑i

mig∂hi∂α

∣∣∣∣αs

+k1∆l01∂∆l1∂α

∣∣∣∣αs

+k2∆γ20∂∆γ2

∂α

∣∣∣∣αs

Da cui:

∆γ20 = −

∑imig

∂hi∂α

∣∣∣∣αs

+ k1∆l01∂∆l1∂α

∣∣∣∣αs

k2∂∆γ2∂α

∣∣∣∣αs

= −mAg

∂hGa∂α

∣∣∣∣αs

+mBg∂hGb∂α

∣∣∣∣αs

+mCg∂hGc∂α

∣∣∣∣αs

+mB2g∂hGB2∂α

∣∣∣∣αs

+mC2g∂hGC2∂α

∣∣∣∣αs

k2∂∆γ2∂α

∣∣∣∣αs

−k1∆l01

∂∆l1∂α

∣∣∣∣αs

k2∂∆γ2∂α

∣∣∣∣αs

Capitolo 3

Equazione di moto linearizzata

Si procede alla linearizzazione dell’equazione di moto nell’intorno della posizione di equi-librio statico rappresentata dal valore αs della coordinata libera.Prima di procedere, è opportuno evidenziare la necessità di considerare come coordinataindipendente nel processo di linearizzazione, l’angolo α = α − αs che permette di de-scrivere il sistema in funzione di spostamenti rispetto alla configurazione di equilibrio.Questo permette di fatto la linearizzazione delle forme di energie tramite l’espansione inserie di Taylor.

α = α− αs˙α = α¨α = α

3.1 Energia cinetica

Dallo sviluppo in serie dell’energia cinetica si può mostrare che, trascurando i termini diordine superiore che impedirebbero di ottenere una forma quadratica, risulta:

Ec ≈ 1

2

∂2Ec

∂α2

∣∣∣∣αs

˙α2 =1

2J(αs) ˙α2

e quindi

d

dt

(∂Ec∂α

)−∂Ec∂α

= J(αs) ¨α

3.2 Energia potenziale

Ricordando che V = V (α, z), si procede a sviluppare fino al secondo ordine l’energiapotenziale rispetto ad entrambe le variabili.

V ≈ V (αS , zs)+∂V

∂α

∣∣∣∣αs,zs

α+1

2

∂2V

∂α2

∣∣∣∣αs,zs

α2+∂V

∂z

∣∣∣∣αs,zs

z+1

2

∂2V

∂z2

∣∣∣∣αs,zs

z2+∂2V

∂α∂z

∣∣∣∣αs,zs

zα

22

CAPITOLO 3. EQUAZIONE DI MOTO LINEARIZZATA 23

Eliminando i termini nulli e quelli che non dipendono da α:

V ≈ +1

2

∂2V

∂α2

∣∣∣∣αs,zs

α2 +∂2V

∂α∂z

∣∣∣∣αs,zs

zα

Sviluppando i singoli termini:

∂2V

∂α2= k1

(∂∆l1∂α

)2

+k1∆l1∂2∆l1∂α2

+ k2

(∂∆γ2

∂α

)2

+k2∆γ2∂2∆γ2

∂α2+∑i

mig∂2hi∂α2

Il secondo termine diventa:

∂2V

∂α∂z= k1

∂∆l1∂α

∂∆l1∂z

= k1∂∆l1∂α

(−1) = −k1∂∆l1∂α

Si analizzano quindi le singole derivate da inserire:

∂∆l1∂α

= a sin(θ + α) + b∗ sin(θ + β∗ + β)fb

∂∆2l1∂α2

= a cos(θ + α) + b∗ cos(θ + β∗ + β)f2b + b∗ sin(θ + β∗ + β)ffb

∂∆γ2

∂α= fc2 =

a2 sin(α− α∗ − β2)

c2 sin(γ2 − β2)

∂∆2γ2

∂α2= ffc2 =

a2 cos(α− α∗ − β2) + f2b2b2 − f2

c2c2 cos(γ2 − β2)

c2 sin(γ2 − β2)

Per la parte di energia potenziale gravitazionale:

∂2hGA∂α2

= dA cos(θ + α+ α0)

∂2hGB∂α2

= a cos(θ + α) + dB cos(θ + β + β0)f2b + dB sin(θ + β + β0)ffb

∂2hGC∂α2

= dC cos(θ + γ + γ0)f2c + dC sin(θ + γ + γ0)ffc

∂2hGB2

∂α2= a2 cos(θ + α− α∗) + dB2 cos(θ + β2 + β02)f2

b2 + dB2 cos(θ + β2 + β02)ffb2

∂2hGC2

∂α2= dC2 cos(θ + γ2 + γ02)f2

c2 + dC2 sin(θ + γ2 + γ02)ffc2

CAPITOLO 3. EQUAZIONE DI MOTO LINEARIZZATA 24

3.3 Funzione dissipativa

L’energia dissipativa risulta funzione di 4 grandezze: il suo sviluppo in serie completo alsecondo ordine sarebbe

D ≈D(αs, zs, αs, zs) +∂D

∂α

∣∣∣∣s

α+∂D

∂z

∣∣∣∣s

z +∂D

∂α

∣∣∣∣s

˙α+∂D

∂z

∣∣∣∣s

z +1

2

∂2D

∂α2

∣∣∣∣s

α2+

+1

2

∂2D

∂z2

∣∣∣∣s

z2 +1

2

∂2D

∂α2

∣∣∣∣s

˙α2 +1

2

∂2D

∂z2

∣∣∣∣s

z2 +∂2D

∂α∂z

∣∣∣∣s

zα+∂2D

∂α∂α

∣∣∣∣s

α ˙α+∂2D

∂α∂z

∣∣∣∣s

αz+

+∂2D

∂z∂α

∣∣∣∣s

z ˙α+∂2D

∂z∂z

∣∣∣∣s

zz +∂2D

∂α∂z

∣∣∣∣s

z ˙α

dove con il pedice s si è indicato che le espressioni sono calcolate delle espressioni nellecondizioni di equilibrio statico. Considerando solo i termini non nulli che dipendono daα si ottiene:

D ≈ 1

2

∂2D

∂α2

∣∣∣∣αs,zs

˙α2 +1

2

∂2D

∂z2

∣∣∣∣αs, ˙zS

z2 +∂2D

∂α∂z

∣∣∣∣αs, ˙zS

z ˙α

e quindi:

∂D

∂α=∂2D

∂α2

∣∣∣∣αs,zs

˙α+∂2D

∂α∂z

∣∣∣∣αs,zs

z

dove

∂2D

∂α2= r1

(∂∆l1∂α

)2

+r2

(∂∆l2∂α

)2

∂2D

∂α∂z= r1

∂∆l1∂α

∂∆l1∂z

= −r1∂∆l1∂α

3.4 Equazione di moto

L’equazione del moto linearizzata risulta:

J(αs) ¨α+

[r1

(∂∆l1∂α

∣∣∣∣s

)2

+r2

(∂∆l2∂α

∣∣∣∣s

)2]˙α− r1

∂∆l1∂α

∣∣∣∣s

z +

[k1

(∂∆l1∂α

∣∣∣∣s

)2

+k1∆l01∂2∆l1∂α2

∣∣∣∣s

+

+ k2

(∂∆γ2

∂α

∣∣∣∣s

)2

+k2∆γ20∂2∆γ2

∂α2

∣∣∣∣s

+∑i

mig∂2hi∂α2

∣∣∣∣s

]α− k1

∂∆l1∂α

∣∣∣∣s

z = 0

Esplicitando α e mettendo a sistema l’identità ˙α = ˙α si può scrivere l’equazione nellaforma di stato, come richiesto per la risoluzione numerica con il metodo di Runge-Kutta.

Capitolo 4

Analisi del comportamento delsistema

La risposta del sistema in esame è valutata in varie condizioni di forzamento e perturba-zione iniziale. Si confrontano in particolare il comportamento del sistema non lineare conquello linearizzato, osservando la variazione nel tempo della posizione angolare associataalla coordinata libera α utilizzata nel corso della trattazione.Nella caratterizzazione del sistema sono stati utilizzati i dati numerici forniti, inseriti inunità di misura SI.L’angolo α nelle condizioni di equilibrio risulta pari a 106 deg.

4.1 Frequenza propria

La frequenza propria del sistema in analisi viene calcolata a partire dall’equazione li-nearizzata del sistema considerato non smorzato e non forzato. Tale equazione risultaessere:

J(αs)α+

[k1

(∂∆l1∂α

∣∣∣∣s

)2

+k1∆l01∂2∆l1∂α2

∣∣∣∣s

+

+ k2

(∂∆γ2

∂α

∣∣∣∣s

)2

+k2∆γ20∂2∆γ2

∂α2

∣∣∣∣s

+∑i

mig∂2hi∂α2

∣∣∣∣s

]α = 0

Denominando keq(αs) il termine racchiuso nelle parentesi quadre si ottiene le scritturasemplificata:

J(αs)α+ keq(αs)α = 0

Per risolvere l’equazione differenziale omogenea imponiamo la soluzione α(t) = Aeiω0t:(−J(αs)ω0 + keq(αs)

)Aeiω0t = 0

25

CAPITOLO 4. ANALISI DEL COMPORTAMENTO DEL SISTEMA 26

Da cui si ottiene (tramite Matlab):

ω0 =

√keq(αs)

J(αs)= 51, 1465

rad

s

f0 =ω0

2π= 8, 1402Hz

4.2 Moto libero

4.2.1 Piccole perturbazioni

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5103

104

105

106

107

108

109

rota

zio

ne

de

lla m

an

ove

lla α

[d

eg

]

tempo [s]

non lineare

linearizzato

Figura 4.1: Risposta alla condizione iniziale (α− αs) = +3 deg

Si comincia sollecitando il sistema senza forzamento e con condizioni iniziali prossimealla condizione di equilibrio statico ((α−αs) = +3 deg). Si osserva correttamente (Figura4.1) che in questo caso le risposte lineare e non lineare tendono a coincidere.

4.2.2 Perturbazioni di media entità

Aumentando la sollecitazione iniziale ((α− αs) = −26 deg) si nota giustamente come larisposta non lineare si discosti in ampiezza da quella linearizzata (Figura 4.2).Inoltre gli effetti delle non linearità determinano una variazione della frequenza di oscil-lazione nel tempo, mentre correttamente la risposta linearizzata mantiene costante lapulsazione.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130ro

tazio

ne

de

lla m

an

ove

lla α

[d

eg

]

tempo [s]

non lineare

linearizzato

Figura 4.2: Risposta alla condizione iniziale (α− αs) = −26 deg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120

140

160

180

rota

zio

ne

de

lla m

an

ove

lla α

[d

eg

]

tempo [s]

non lineare

linearizzato

Figura 4.3: Risposta alla condizione iniziale (α− αs) = −65 deg

4.2.3 Grandi perturbazioni

Imponendo uno spostamento angolare iniziale di elevata entità, si raggiunge (Figura 4.3)una condizione tale per cui la derivata seconda dell’energia potenziale diventa negativa


e quindi il sistema (non lineare) diverge verso una nuova condizione di equilibrio (α =18 deg).La risposta linearizzata non risente di tale fenomeno e pertanto mantiene inalterato ilsuo andamento, portandosi sull’iniziale condizione di equilibrio. Ciò mostra come perelevate perturbazioni la linearizzazione non è più accettabile.Si nota infine che l’andamento della risposta non lineare non è più sinusoidale, ed inparticolare le frequenze di oscillazione non sono più confrontabili con la frequenza propriadel sistema linearizzato.

4.3 Moto forzato - zona quasi-statica

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 595

100

105

110

115

120

rota

zio

ne

de

lla m

an

ove

lla α

[d

eg

]

tempo [s]

non lineare

linearizzato

Figura 4.4: Risposta in condizioni quasi-statiche

Applicando una forzante con pulsazione Ω = 10 rad/s e ampiezza 0.03 metri, si ottienela risposta in figura 4.4. E’ stata imposta una perturbazione iniziale piccola: questo hagenerato risposte simili nei due casi (lineare e non lineare). Si osserva che nei primiistanti la risposta transitoria si somma all’integrale particolare, il quale poi permane aregime.Nel caso si applicassero forzanti di ampiezza maggiore, le due risposte diventerebberosensibilmente differenti.

4.4 Moto forzato - zona di risonanza

Le condizioni di risonanza si ottengono imponendo una pulsazione del vincolo pari allapulsazione propria del sistema linearizzato (Ω = 51.1465 rad/s) e ampiezza 0.01 m. La


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 560

70

80

90

100

110

120

130

140

150ro

tazio

ne

de

lla m

an

ove

lla α

[d

eg

]

tempo [s]

non lineare

linearizzato

Figura 4.5: Risposta in condizioni di risonanza (Ω = ω0 = 51.1465 rad/s)

risposta linearizzata ottenuta (Figura 4.5) presenta un aumento dell’ampiezza di oscil-lazione fino al valore massimo, corrispondente a circa 40 gradi. Correttamente tale am-piezza risulta finita, grazie alla presenza di elementi smorzatori nel sistema.La risposta reale (non lineare) coincide con la precedente nei primi istanti, in cui leampiezze di oscillazione sono piccole; successivamente gli effetti delle non linearità deter-minano uno scostamento dalla soluzione approssimata. L’oscillazione a regime (anch’essaalla stessa frequenza della forzante) è caratterizzata da ampiezze inferiori (circa 28 gradi).

4.5 Moto forzato - zona sismografica

Si impone in questo caso un forzamento a Ω = 300 rad/s e ampiezza 0.03 m, con condizio-ni iniziali mediamente perturbate. Terminato il transitorio, in entrambi i casi (lineare enon lineare) le oscillazioni a regime permangono ma le ampiezze risultano correttamentemolto minori del caso quasi-statico (Figura 4.6). Tale riduzione aumenta all’aumentaredella frequenza della forzante.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 580

90

100

110

120

130

140

rota

zio

ne

de

lla m

an

ove

lla α

[d

eg

]

tempo [s]

non lineare

linearizzato

Figura 4.6: Risposta in condizioni sismografiche

Capitolo 5

Scripts del programma Matlab

Gli scripts originari forniti sono stati modificati inserendo tutti i risultati ottenuti nelcorso della trattazione, realizzando quindi un programma in grado di simulare il compor-tamento della sospensione in esame qualora siano note tutte le condizioni geometriche,inerziali, elastiche e viscose. Ovviamente molti dei parametri e delle grandezze introdotterisulteranno nulli in questo caso, data la scarsità di informazioni riguardo le caratteristi-che inerziali degli elementi costituenti.Per l’analisi dello smorzatore, è stato implementato il primo dei due metodi proposti, esono state usate in tutto il programma unità di misura SI.Per la risoluzione numerica delle equazioni differenziali è stato preferito l’utilizzo dellafunzione ode45 di Matlab alla rk4 fornita: anch’essa utilizza un metodo di Runge-Kuttadel quarto ordine (insieme ad uno del quinto ordine usato per stimare l’errore ad ognipasso), ma risulta più efficiente e meglio integrata nell’ambiente Matlab.Infine sono state apportate alcune modifiche alla funzione main.m volte a rendere piùsemplice il cambiamento delle condizioni di perturbazione ad ogni esecuzione, e la visua-lizzazione delle singole risposte nei casi lineare e non lineare.

5.1 main.m

1 clear a l l2 close a l l3 clc4 set (0 , ’ DefaultFigureWindowStyle ’ , ’ Docked ’ ) ;5 warning o f f67 global g8 global a b c d a2 b2 c2 d2 bst b00 %geometr ia9 global da db dc db2 dc2 %ba r i c e n t r i ( l unghe z z e )

10 global a l f a 0 beta0 gamma0 beta02 gamma02 %ba r i c e n t r i ( ango l i )11 global a l f a s t t e t a be ta s t beta00 de l t a2 %ango l i c o s t a n t i12 global ma Ja mb Jb mc Jc mb2 Jb2 mc2 Jc2 k1 k2 r1 r213 global z0 wz p s i z14 global a l f a s betas fb s f f b s gammas f c s f f c s

31

CAPITOLO 5. SCRIPTS DEL PROGRAMMA MATLAB 32

15 global betas2 fb2s f f b 2 s gammas2 f c 2 s f f c 2 s16 global beta_old gamma_old beta2_old gamma2_old17 global DL01 Dgamma2018 global x1 y11920 % da t i21 g = 9 . 8 1 ;22 a = 0 .2254855 ;23 b = 0 .2640701 ;24 c =0.3220062;25 d=0.2931100;26 a2 =0.1259365;27 b2=0.2585440;28 c2 =0.078;29 d2=0.3310906;30 bst =0.2466085;31 b00=0.2141454;32 da=1;33 db=0.2466085;34 dc=1;35 db2=1;36 dc2=1;37 a l f a 0 =0;38 beta0=58∗pi /180 ;39 gamma0=0;40 beta02=0;41 gamma02=0;42 a l f a s t =54∗pi /180 ;43 be ta s t=beta0 ;44 de l t a2=1∗pi /180 ;45 t e ta =340∗pi /180 ; %−2046 ma = 0 ;47 Ja =0;48 mb =40;49 Jb =5;50 mc =0;51 Jc=0;52 mb2=0;53 Jb2=0;54 mc2=0;55 Jc2=0;56 k1 = 1e5 ; % r i g i d e z z a57 k2=10;58 r1=1e2 ;59 r2 = 10 ; % smorzamento60 x1=0.0559407;61 y1=0.0782934;62 DL01=−0.023544;63 beta00=6∗pi /180 ;6465 % forzamento66 disp ( ’FORZAMENTO’ )67 z0 =input ( ’ Ampiezza d i o s c i l l a z i o n e de l v i n co l o ( metr i )= ’ ) ; % ampiezza


68 wz =input ( ’ Pu l saz ione de l v i n co l o ( r i sonanza : 51 . 1465 rad/ s )= ’ ) ; %pu l sa z i one

69 p s i z = input ( ’ Fase de l v i n co l o ( rad )= ’ ) ; % fa s e7071 % e q u i l i b r i o72 a l f a s =106∗pi /180 ; % angolo d i e q u i l i b r i o73 beta_old = 20∗pi /180 ;74 gamma_old=110∗pi /180 ;75 beta2_old = 358∗pi /180 ; %% −276 gamma2_old=86∗pi /180 ;77 [ betas , fbs , f f b s , gammas , f c s , f f c s , betas2 , fb2s , f f b2 s , gammas2 , f c2s , f f c 2 s ] =

c inemat ica ( a l f a s ) ;78 Dgamma20 = pr e c a r i c o ( ) ;7980 % Dati d i s imu laz ione % cond i z i on i i n i z i a l i [VELOCITA; POSIZIONE]81 % a l f a d i e q u i l i b r i o =106 grad i82 x0=zeros ( 2 , 1 ) ;83 disp ( ’CONDIZIONI INIZIALI ’ )84 x0 (2 )=input ( ’ Angolo i n i z i a l e ( e q u i l i b r i o :106 grad i )= ’ ) ;85 x0 (2 )=x0 (2 ) ∗pi /180 ;86 x0 (1 )=input ( ’ Ve l o c i t a ango la re i n i z i a l e ( rad/ s )= ’ ) ;87 disp ( ’ Ca lco lo . . . ’ ) ;88 %x0 = [+1.5 ; 60∗ p i /180 ] ;89 T = 5 ; % durata90 dt = 5e−3; % passo d i i n t e g r a z i on e9192 % % In t e g ra z i one d e l s i s tema non l i n e a r e93 %[ t_nl , y_nl ] = rk4 ( ’ manovellismoNONlineare ’ ,T, dt , x0 ) ;94 [ t_nl , y_nl]=ode45 ( ’ manovell ismoNONlineare ’ , [ 0 T] , x0 ) ;95 % In t e g ra z i one d e l s i s tema l i n e a r i z z a t o96 %[ t_l , y_l ] = rk4 ( ’ manove l l i smo l ineare ’ ,T, dt , x0 ) ;97 [ t_l , y_l]=ode45 ( ’ manove l l i smo l ineare ’ , [ 0 T] , x0 ) ;9899 % Confronto

100 posiz_non_lin=y_nl ( : , 2 ) .∗180/ pi ;101 veloc_non_lin=y_nl ( : , 1 ) .∗180/ pi ;102 pos i z_ l in=y_l ( : , 2 ) .∗180/ pi ;103 ve l o c_l in=y_l ( : , 1 ) .∗180/ pi ;104 f igure105 plot ( t_nl , posiz_non_lin , ’b ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) ;106 ylabel ( ’ r o t a z i one d e l l a manovella \ alpha [ deg ] ’ )107 xlabel ( ’ tempo [ s ] ’ )108 legend ( ’ non l i n e a r e ’ )109 f igure110 plot ( t_l , pos i z_l in , ’ g ’ , ’ LineWidth ’ , 2 ) ;111 ylabel ( ’ r o t a z i one d e l l a manovella \ alpha [ deg ] ’ )112 xlabel ( ’ tempo [ s ] ’ )113 legend ( ’ l i n e a r i z z a t o ’ )114 f igure115 plot ( t_nl , posiz_non_lin , ’b ’ ) ;116 hold on117 plot ( t_l , pos i z_l in , ’ g ’ ) ;118 ylabel ( ’ r o t a z i one d e l l a manovella \ alpha [ deg ] ’ )


119 xlabel ( ’ tempo [ s ] ’ )120 legend ( ’ non l i n e a r e ’ , ’ l i n e a r i z z a t o ’ )121 %%%%%% frequenza propr ia122 [M,dM] = en e r g i a c i n e t i c a ( a l f a s , betas , fbs , f f b s , f c s , f f c s , betas2 , fb2s , f f b2 s ,

f c2s , f f c 2 s ) ;123124 [ dhga , ddhga , dhgb , ddhgb , dhgc , ddhgc , dhgb2 , ddhgb2 , dhgc2 , ddhgc2 , DLdin1 , dDL1 ,

ddDL1 ,Dgamma2,dDgamma2, ddDgamma2 ] = en e r g i a p o t en z i a l e ( a l f a s , betas ,betas2 , gammas , gammas2 , fbs , f f b s , fb2s , f f b2 s , f c s , f f c s , f c2 s , f f c 2 s ) ;

125126 dDL2 = smorzatore ( a l f a s , betas , f b s ) ;127128 keq=(k1∗dDL1^2+k1∗DL01∗ddDL1+k2∗dDgamma2^2+k2∗Dgamma20∗ddDgamma2+ma∗g∗ddhga

+mb∗g∗ddhgb+mc∗g∗ddhgc+mb2∗g∗ddhgb2+mc2∗g∗ddhgc2 ) ;129130 wpropria=sqrt ( keq/M)131132 f p r op r i a=wpropria /(2∗pi )

5.2 cinematica.m

1 function [ beta , fb , f fb ,gamma, f c , f f c , beta2 , fb2 , f fb2 , gamma2 , fc2 , f f c 2 ] =c inemat ica ( a l f a )

23 global a b c a2 b2 c24 global alfa_tmp a l f a s t5 global beta_old gamma_old beta2_old gamma2_old67 alfa_tmp = a l f a ;8 %%%%%%% 1 quad r i l a t e r o %%%%%%%%%%%%%%%%%%9 opt ions = opt imset ( ’TolFun ’ ,1 e−6, ’ Display ’ , ’ o f f ’ ) ;

10 s o l= f s o l v e ( @posiz ione , [ beta_old gamma_old ] , opt ions ) ;11 beta=so l (1 ) ;12 gamma=so l (2 ) ;13 fb= a∗ sin ( a l f a−gamma) /(b∗ sin (gamma−beta ) ) ;14 f c=a∗ sin ( a l f a−beta ) /( c∗ sin (gamma−beta ) ) ;15 f f b= ( a∗cos ( a l f a−gamma)−f c ^2∗c+fb^2∗b∗cos (beta−gamma) ) /(b∗ sin (gamma−beta ) ) ;16 f f c =(a∗cos ( a l f a−beta )+fb^2∗b−f c ^2∗c∗cos (gamma−beta ) ) /( c∗ sin (gamma−beta ) ) ;17 beta_old = beta ;18 gamma_old=gamma;1920 %%%%%%% 2 quad r i l a t e r o %%%%%%%%%%%%%%%%%%21 opt ions = opt imset ( ’TolFun ’ ,1 e−6, ’ Display ’ , ’ o f f ’ ) ;22 s o l 2 = f s o l v e ( @posiz ione2 , [ beta2_old gamma2_old ] , opt ions ) ;23 beta2=so l 2 (1 ) ;24 gamma2=so l 2 (2 ) ;25 fb2= a2∗ sin ( a l f a−a l f a s t −gamma2) /( b2∗ sin (gamma2−beta2 ) ) ;26 f c 2=a2∗ sin ( a l f a−a l f a s t −beta2 ) /( c2∗ sin (gamma2−beta2 ) ) ;27 f f b 2= ( a2∗cos ( a l f a−a l f a s t −gamma2)−f c 2 ^2∗c2+fb2^2∗b2∗cos ( beta2−gamma2) ) /( b2∗

sin (gamma2−beta2 ) ) ;


28 f f c 2 =(a2∗cos ( a l f a−a l f a s t −beta2 )+fb2^2∗b2−f c 2 ^2∗c2∗cos (gamma2−beta2 ) ) /( c2∗sin (gamma2−beta2 ) ) ;

29 beta2_old = beta2 ;30 gamma2_old=gamma2 ;3132 function f = po s i z i on e ( ang )3334 global a b c d35 global alfa_tmp3637 f = [ a∗cos ( alfa_tmp )+b∗cos ( ang (1 ) )−c∗cos ( ang (2 ) )−d ;38 b∗ sin ( ang (1 ) )+a∗ sin ( alfa_tmp )−c∗ sin ( ang (2 ) ) ] ;394041 function f = po s i z i on e2 ( ang2 )4243 global a2 b2 c2 d2 de l t a244 global alfa_tmp a l f a s t4546 f = [ a2∗cos ( alfa_tmp−a l f a s t )+b2∗cos ( ang2 (1 ) )−c2∗cos ( ang2 (2 ) )−d2∗cos ( de l t a2 )

;47 b2∗ sin ( ang2 (1 ) )+a2∗ sin ( alfa_tmp−a l f a s t )−c2∗ sin ( ang2 (2 ) )−d2∗ sin ( de l t a2

) ] ;

5.3 precarico.m

1 function Dgamma20 = pr e c a r i c o ( )23 global g DL014 global ma mb mc mb2 mc25 global k1 k26 global a l f a s betas betas2 gammas gammas2 fb s f f b s fb2s f f b 2 s f c s f f c s f c 2 s

f f c 2 s78 [ dhga , ddhga , dhgb , ddhgb , dhgc , ddhgc , dhgb2 , ddhgb2 , dhgc2 , ddhgc2 , DLdin1 , dDL1 ,


9 %[ dya , ddya , dyb , ddyb ,DL,dDL,ddDL ] = energ i a_po tenz i a l e ( a l f a0 , beta0 , dbeta0 ,ddbeta0 ) ;

1011 Dgamma20 = −1∗(g ∗(ma∗dhga+mb∗dhgb+mc∗dhgc+mb2∗dhgb2+mc2∗dhgc2 )+k1∗DL01∗dDL1

) /( k2∗dDgamma2) ;

5.4 energiacinetica.m

1 function [M,dM] = en e r g i a c i n e t i c a ( a l f a , beta , fb , f fb , fc , f f c , beta2 , fb2 , f fb2 ,fc2 , f f c 2 )

2


3 global a da db dc db2 dc2 a2 b2 c2 b c4 global ma Ja mb Jb mc Jc mb2 Jb2 mc2 Jc25 global beta0 beta02 a l f a s t67 Ma = ma∗da^2/4+Ja ;8 dMa = 0 ;9

10 Mb = mb∗( a^2+db^2∗ fb^2+2∗a∗db∗ fb ∗cos ( a l f a−beta−beta0 ) )+Jb∗ fb ^2;11 dMb = mb∗(2∗db^2∗ fb ∗ f f b+2∗a∗db∗ f f b ∗cos ( a l f a−beta−beta0 )−2∗a∗db∗ fb ∗ sin ( a l f a−

beta−beta0 )∗(1− fb ) )+2∗Jb∗ fb ∗ f f b ;1213 Mc = mc∗dc^2∗ f c^2+Jc∗ f c ^2;14 dMc = 2∗mc∗dc^2∗ f c ∗ f f c +2∗Jc∗ f c ∗ f f c ;1516 Mb2 = mb2∗( a2^2+db2^2∗ fb2^2+2∗a2∗db2∗ fb2 ∗cos ( ( a l f a−a l f a s t )−beta2−beta02 ) )+

Jb2∗ fb2 ^2;17 dMb2 = mb2∗(2∗db2^2∗ fb2 ∗ f f b 2+2∗a2∗db2∗ f f b 2 ∗cos ( a l f a−a l f a s t −beta2−beta02 )−2∗

a2∗db2∗ fb2 ∗ sin ( a l f a−a l f a s t −beta2−beta02 )∗(1− fb2 ) )+2∗Jb2∗ fb2 ∗ f f b 2 ;1819 Mc2 = mc2∗dc2^2∗ f c 2^2+Jc2∗ f c 2 ^2;20 dMc2 = 2∗mc2∗dc2^2∗ f c 2 ∗ f f c 2 +2∗Jc2∗ f c 2 ∗ f f c 2 ;2122 M = Ma+Mb+Mc+Mb2+Mc2 ;23 dM = dMa+dMb+dMc+dMb2+dMc2 ;

5.5 energiapotenziale.m

1 function [ dhga , ddhga , dhgb , ddhgb , dhgc , ddhgc , dhgb2 , ddhgb2 , dhgc2 , ddhgc2 , DLdin1, dDL1 , ddDL1 ,Dgamma2,dDgamma2, ddDgamma2 ] = en e r g i a p o t en z i a l e ( a l f a , beta ,beta2 ,gamma, gamma2 , fb , f fb , fb2 , f fb2 , fc , f f c , fc2 , f f c 2 )

23 global a bst da db dc a2 db2 dc24 global a l f a s betas gammas2 t e ta a l f a 0 beta0 beta02 gamma0 gamma02 a l f a s t

be ta s t56 dhga=da∗ sin ( t e ta+a l f a+a l f a 0 ) ;7 ddhga=da∗cos ( t e ta+a l f a+a l f a 0 ) ;89 dhgb=a∗ sin ( t e ta+a l f a )+db∗ sin ( t e ta+beta+beta0 ) ∗ fb ;

10 ddhgb=a∗cos ( t e ta+a l f a )+db∗cos ( t e ta+beta+beta0 ) ∗( fb ^2)+db∗ sin ( t e ta+beta+beta0 ) ∗ f f b ;

1112 dhgc=dc∗ sin ( t e ta+gamma+gamma0) ∗ f c ;13 ddhgc=dc∗cos ( t e ta+gamma+gamma0) ∗( f c ^2)+dc∗ sin ( t e ta+gamma+gamma0) ∗ f f c ;1415 dhgb2=a2∗ sin ( t e ta+a l f a−a l f a s t )+db2∗ sin ( t e ta+beta2+beta02 ) ∗ fb2 ;16 ddhgb2=a2∗cos ( t e ta+a l f a−a l f a s t )+db2∗cos ( t e ta+beta2+beta02 ) ∗( fb2 ^2)+db2∗ sin (

t e t a+beta2+beta02 ) ∗ f f b 2 ;1718 dhgc2=dc2∗ sin ( t e ta+gamma2+gamma02) ∗ f c 2 ;


19 ddhgc2=dc2∗cos ( t e ta+gamma2+gamma02) ∗( f c 2 ^2)+dc2∗ sin ( t e ta+gamma2+gamma02) ∗f f c 2 ;

2021 DLdin1=−a∗cos ( t e ta+a l f a )−bst ∗cos ( t e ta+beta s t+beta )+a∗cos ( t e ta+a l f a s )+bst ∗

cos ( t e ta+beta s t+betas ) ;22 dDL1=a∗ sin ( t e ta+a l f a )+bst ∗ sin ( t e ta+beta s t+beta ) ∗ fb ;23 ddDL1=a∗cos ( t e ta+a l f a )+bst ∗cos ( t e ta+beta s t+beta ) ∗( fb ^2)+bst ∗ sin ( t e ta+beta s t

+beta ) ∗ f f b ;24 %de r i v a t e r i s p e t t o ad a l f a25 Dgamma2=gamma2−gammas2 ;26 dDgamma2=fc2 ;27 ddDgamma2=f f c 2 ;

5.6 smorzatore.m

1 function dDL2 = smorzatore ( a l f a , beta , fb )2 global a b00 beta00 t e ta x1 y134 x2=a∗ sin ( t e ta+a l f a )+b00∗ sin ( t e ta+beta+beta00 ) ;5 y2=−a∗cos ( t e ta+a l f a )−b00∗cos ( t e ta+beta+beta00 ) ;67 dx2=a∗cos ( t e ta+a l f a )+b00∗cos ( t e ta+beta+beta00 ) ∗ fb ;8 dy2=a∗ sin ( t e ta+a l f a )+b00∗ sin ( t e ta+beta+beta00 ) ∗ fb ;9

10 dDL2=0.5∗(( x2−x1 )^2+(y2−y1 ) ^2)^(−0.5) ∗ (2∗ ( x2−x1 ) ∗dx2+2∗(y2−y1 ) ∗dy2 ) ;

5.7 manovellismoNONlineare.m

1 function dy = manovell ismoNONlineare ( t , y )23 global g4 global ma mb mc mb2 mc25 global k1 k2 r1 r26 global z0 wz p s i z7 global DL01 Dgamma2089 a l f ap = y (1) ;

10 a l f a = y (2) ;1112 z = sum( z0 .∗ sin (wz∗ t+p s i z ) ) ;13 zp = sum( z0 .∗wz .∗ cos (wz∗ t+p s i z ) ) ;1415 [ beta , fb , f fb ,gamma, f c , f f c , beta2 , fb2 , f fb2 , gamma2 , fc2 , f f c 2 ] = c inemat ica ( a l f a

) ;1617 [M,dM] = en e r g i a c i n e t i c a ( a l f a , beta , fb , f fb , fc , f f c , beta2 , fb2 , f fb2 , fc2 , f f c 2 ) ;18


19 [ dhga , ddhga , dhgb , ddhgb , dhgc , ddhgc , dhgb2 , ddhgb2 , dhgc2 , ddhgc2 , DLdin1 , dDL1 ,ddDL1 ,Dgamma2,dDgamma2, ddDgamma2 ] = en e r g i a p o t en z i a l e ( a l f a , beta , beta2 ,gamma, gamma2 , fb , f fb , fb2 , f fb2 , fc , f f c , fc2 , f f c 2 ) ;

2021 dDL2=smorzatore ( a l f a , beta , fb ) ;2223 dV= g ∗(ma∗dhga+mb∗dhgb+mc∗dhgc+mb2∗dhgb2+mc2∗dhgc2 )+k1 ∗(DLdin1−z+DL01) ∗dDL1

+k2 ∗(Dgamma2+Dgamma20) ∗dDgamma2 ;2425 dD = r1 ∗dDL1^2∗ a l fap−r1 ∗dDL1∗zp+r2 ∗dDL2^2∗ a l f ap ;2627 dy=[−1∗(dM/2∗ a l f ap^2+dD+dV)/M; a l f ap ] ;

5.8 manovellismolineare.m

1 function dy = manove l l i smo l ineare ( t , y )23 global g DL01 Dgamma204 global ma mb mc mb2 mc2 k1 k2 r1 r25 global z0 wz p s i z6 global a l f a s betas betas2 gammas gammas2 fb s f f b s fb2s f f b 2 s f c s f f c s f c 2 s

f f c 2 s78 a l f ap = y (1) ;9 a l f a = y (2) ;

1011 z = sum( z0 .∗ sin (wz∗ t+p s i z ) ) ;12 zp = sum( z0 .∗wz .∗ cos (wz∗ t+p s i z ) ) ;1314 [M,dM] = en e r g i a c i n e t i c a ( a l f a s , betas , fbs , f f b s , f c s , f f c s , betas2 , fb2s , f f b2 s ,

f c2s , f f c 2 s ) ;1516 [ dhga , ddhga , dhgb , ddhgb , dhgc , ddhgc , dhgb2 , ddhgb2 , dhgc2 , ddhgc2 , DLdin1 , dDL1 ,


1718 dDL2 = smorzatore ( a l f a s , betas , f b s ) ;1920 dV = ( k1∗dDL1^2+k1∗DL01∗ddDL1+k2∗dDgamma2^2+k2∗Dgamma20∗ddDgamma2+ma∗g∗

ddhga+mb∗g∗ddhgb+mc∗g∗ddhgc+mb2∗g∗ddhgb2+mc2∗g∗ddhgc2 ) ∗( a l f a−a l f a s )−k1∗dDL1∗z ;

21 dD = ( r1 ∗dDL1^2+r2 ∗dDL2^2)∗ a l fap−r1 ∗dDL1∗zp ;2223 dy = [−(dD+dV)/M;24 a l f ap ] ;

5.9 rk4.m


1 function [ t , x , xp]=rk4 ( s tato fun , t f , dt , x0 )2 % in t e g r a z i on e con i l metodo d i Runge−Kutta d e l 4 . ord ine a passo f i s s o345 t =[0 : dt : t f ] ;6 np=length ( t ) ;789 kut=[dt /6 ;2∗ dt /6 ;2∗ dt /6 ; dt / 6 ] ;

1011 x ( : , 1 )=x0 ;12 xp ( : , 1 )=feval ( s tato fun , 0 , x0 ) ;1314 at t= waitbar (0 , ’ Attendere , r i s o l u z i o n e in cor so . . . ’ ) ;1516 for i =2:np1718 tempx ( : , 1 )=feval ( s tato fun , t ( i −1) , x ( : , i −1) ) ;19 tempx ( : , 2 )=feval ( s tato fun , t ( i −1)+dt /2 , x ( : , i −1)+dt /2∗tempx ( : , 1 ) ) ;20 tempx ( : , 3 )=feval ( s tato fun , t ( i −1)+dt /2 , x ( : , i −1)+dt /2∗tempx ( : , 2 ) ) ;21 tempx ( : , 4 )=feval ( s tato fun , t ( i −1)+dt , x ( : , i −1)+dt∗tempx ( : , 3 ) ) ;2223 x ( : , i )=x ( : , i −1)+tempx∗kut ;24 xp ( : , i )=feval ( s tato fun , t ( i ) , x ( : , i ) ) ;2526 waitbar ( i /np)2728 end2930 close ( a t t ) ;

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Meccanica delle Vibrazioni - Progetto d'anno - Lotus72