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Meccanica delle Vibrazioni
Lo studio del comportamento statico non esaurisce l’analisi di una struttura elastica ed
in particolare di una struttura aerospaziale che, essendo soggetta a forze variabili nel
tempo, subisce spostamenti che dipendono dal tempo oltre che dello spazio.
E’ quindi indispensabile “capire” anche da un punto di vista dinamico la struttura per
essere in grado di comprenderne il comportamento in presenza di carichi che
dipendono dal tempo.
Un problema dinamico è caratterizzato fondamentalmente dalla presenza delle forze
d’inerzia che non intervengono nei problemi della statica.
prof. Renato Barboni 2
Principio di Hamilton A)Moto di una particella.
Per la 2° legge di Newton il moto è retto dalla:
Se la forza esterna è conservativa ponendo:
2V(x, t) 1f (x, t) ; mx
x 2
T
d d0
dt x x dt x x
T V T V
d0
x dt x
L L
tF
t0
J[x, x, t] (x, x, t)dt L
(x,x, t) (x) (x, t) L T VPosto (funzione di Lagrange o potenziale cinetico):
notando che V è indipendente da
dx/dt e T da x:
nella quale riconosciamo l’equazione di Eulero
corrispondente alla stazionarietà del
funzionale, (integrale di Hamilton)
mx(t) f (x, t)
prof. Renato Barboni 3
Esempio: Sistema massa-molla
mx kx 0 2x x 0
k
m
2 2mx kxT ; U
2 2
2 2mx kxL T U
2 2
d L L0 T U mx kx 0
dt x x
prof. Renato Barboni 4
Principio di Hamilton A)Sistemi discreti non vincolati soggetti a forze conservative.
Per la 2° legge di Newton il moto del sistema è retto dalle:
ricordando la definizione di energia cinetica ed energia potenziale:
N,...,2,1n;....;)t,q,...q,q(f)t(qm N21nnn
N
1
2
nnN21 qm2
1)q,...q,q( T
n
N21
N21nq
)t,q,...q,q(V)t,q,...q,q(f
0qqdt
d
qqdt
d
nnnn
VTVT
n n
d0
q dt q
L L
t1
t0
J[q,q, t] (q,q, t)dt L
(q,q, t) (q) (q, t) T VLPosto (funzione di Lagrange o potenziale cinetico):
notando che V è indipendente da
dq/dt e T da q:
nella quale riconosciamo l’equazione di Eulero
corrispondente alla stazionarietà del funzionale,
(integrale di Hamilton)
5
Principio di Hamilton
B)Sistemi elastici continui
soggetti a forze conservative.
(q,q, t) (q) [ (q, t) (q, t)] L T V U
t L1
t 00
J[ , , ', x, t] ( , , ', x, t)dxdt L
0x t
L L L L t
0 0
0
L L
A)Sistemi elastici discreti
soggetti a forze conservative.
( , , , ,..) ( ) L T V U
Equazione di Eulero Lagrange
Le funzioni all’interno del
funzionale dipendono dallo
spazio e dal tempo
prof. Renato Barboni 6
Esempio: Vibrazioni assiali della trave
L L
2 2
0 0
L
2 2
0
1 EAT A u dx ; U u dx
2 2
A= ( u Eu )dx
2
T U
u u0 (EA ) ( A ) 0
u x u t u x x t t
L L L
L L t t
0 0 0 0
u uu EA u 0 ; u u 0
u x u t
L L
2 2
2 2
u uEA 0
x t
Energie cinetica Energie elastica
(u,u,u ,x, t)L 2 2A
( u Eu )2
7
Principio di d’Alembert
“In ogni istante, in condizioni di quiete o di moto, le forze perdute equilibrano le corrispondenti reazioni vincolari”.
valgono le due seguenti regole pratiche:
1)“Le equazioni della statica per un elemento soggetto a forze attive e vincoli qualsiasi possono essere ricavate dalle corrispondenti equazioni della dinamica ponendo a zero velocità ed accelerazioni”.
2)“Le equazioni della dinamica per un elemento soggetto a forze posizionali e vincoli privi di attrito possono essere ricavate dalle corrispondenti equazioni della statica sostituendo alla forza attiva la forza perduta (o, in maniera equivalente, aggiungendo la forza d’inerzia)”.
prof. Renato Barboni 8
Esempi:
Fk=ku
z
u
F
mu
u x
px
ku F ku F mu
2 2 2
x x2 2 2
d u(x) u(x, t) uAE p 0 AE p 0
dx x t
• massa-molla
• Trave assiale
prof. Renato Barboni 9
Moto armonico 1 2x c cos t c sen t
con ,c1,c2, costanti di cui la prima ed almeno una delle altre due non nulle.
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2, cioè:
cos(t) = cos(t+2) = cos[(t+2/)] x(t)=x(t+2/)=x(t+T).
2T (s)
1f (Hz)
T
1(s ) pulsazione
periodo frequenza
10
Moto armonico
1 2x c cos t c sen t
a è l’ampiezza massima;
(t+) la fase all’istante t;
la fase iniziale a t=0:
2T (s)
1f (Hz)
T
1(s )
1 2c a cos ; c asen
x a(cos cos t sen sen t)
a cos( t )
t
P
a sent
a cost
R=a
x
Moto a velocità angolare costante, di
P su una circonferenza di raggio a.
La frequenza indica il numero di giri
nell’unità di tempo del punto P e si
misura in hertz (Hz: 1 Hz=1 s1 e
corrisponde al moto di un punto che
compie un giro in un secondo).
Il periodo è il tempo impiegato per
percorrere un giro, si misura quindi
in secondi (s).
11
Rappresentazione complessa del
Moto armonico x a cos( t ) Re(X)
X ae a t j tj t ( ) cos( ) sen( )
j( t ) j j t j tX ae ae e Ae
Xjdt
dX
d X
dtAe j t
2
2
2
12
A)Sistema massa-molla
a)
b)
k
W
x0
x
kx0
W
k(x0+x)
W mw
La molla, sotto il carico statico W,
raggiunge la posizione di equilibrio
x0, dato dall’equazione:
kx0 = W
A seguito del’applicazione di una forza
F(t) e/o di uno spostamento o velocità
iniziale, la massa vibra spostandosi di
x e nascono le forze d’inerzia.
mx kx F 2
0 0
x x F/ m
x(0) x ; x(0) v
0k(x x ) W F mx
Si dice che il sistema compie:
vibrazioni libere se F(t)=0;
vibrazioni forzate se F(t)0.
prof. Renato Barboni 13
A1)Vibrazioni libere
2
1 2x x 0 x c cos t c sen t
Le condizioni iniziali governano l’ampiezza e la fase ma NON influenzano la
pulsazione che è una caratteristica del sistema.
Pertanto se F(t)=0, il moto è armonico e caratterizzato da:
un parametro (la pulsazione o periodo T o frequenza f) che dipende solo dalle
caratteristiche m,k del sistema;
da altre quantità, ampiezza e fase, che invece dipendono dalle condizioni iniziali.
1 2 0 1 0
1 2 0 2 0
x(0) c cos( 0) c sen( 0) x c x
x(0) [ c sen( 0) c cos( 0)] v c v /
00
vx x cos t sen t
a
varcsen
a
xarccos;
vxa 00
2
2
02
0
prof. Renato Barboni 14
Moto armonico: x0=1,v0=0 00
vx x cos t sen t
Caso a) f1=10Hz, (T1=0,1 sec ; 1=20 sec1);
Caso b) f2=50Hz, (T2=0,02sec ; 2=100 sec1).
prof. Renato Barboni 15
A2)Vibrazioni forzate in modo periodico
M
PP;tsenPxxtsenPKxxM 02
0
Max
2
Stat
x 1
x [1 ( ) ]
16
Sistema dissipativo: Vibr. libere
Il moto è diverso a seconda del valore del parametro di smorzamento :
• 1)Se = lo smorzamento è detto critico.
• 2)Il sistema è detto sotto-smorzato se <.
• 3)Il sistema è detto sovra-smorzato se >.
0xx2x0kxxh2xM 2
x ept
p p p2 2
1 2
2 22 0 ,
17
1) Se =: smorzamento critico
t)xv(xe)t(x 000
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
x(t)
t
f=10Hz
f=50Hz
Smorzamento critico =1
Smorzamento proporzionale alla frequenza naturale di vibrazione =
prof. Renato Barboni 18
2) Se <: sotto-smorzato 2 2 2
1,2 1 0p j dove
t t
1 2x(t) e C cos t C sen t Ae cos t
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
0,00 0,10 0,20 0,30
x(t)
t
=0,5
T~
=0,1155 s
=0,05
T~
=0,100125 s
=0,25
T~
=0,1033 s
f=10Hz
2T
19
3) Se >: sovra-smorzato 2 2 2
1,2 1 0p dove
1 2 1 2( ) cosh senht t t tx t e c e c e e C t C t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
f=10Hz
=1,5
=1,25
=1,05
f=50Hz
x(t)
t
20
Sistema dissipativo: Vibr. forzate
2 00
Pmx 2hx kx P sen t x 2 x x Psen t ; P
m
)tsen()(4])(1[
KP)t(x
2222
0
p
2
1
)(1
)(2tan
21
Sistema dissipativo: Vibr. forzate
0
2
4
6
8
10
12
14
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
St
M
x
x
=0
=0,05
=0,1
=0,2
=0,4
=0,8
22
N Gradi di Libertà:Vibrazioni libere
N N T
ij i ji 1 j 1
1 1m q q Q M Q
2 2
T T N N
T
ij i ji 1 j 1
1 1k q q Q K Q
2 2
U U
N,...,2,1n;0qmqkq
L
dt
d
q
LN
1j
nnj
N
1j
nnj
nn
0QMQK
j tQ Y e
2( K M ) Y 0
0MK 2
Problema agli autovalori
Soluzione non banale
prof. Renato Barboni 23
N Gradi di Libertà:Esempio
2 2
2 2 3 3
1 1m u m u
2 2 T
2 2 2
1 2 2 3 2 3 3
1 1 1k u k (u u ) k u
2 2 2 U
2 2 1 2 2 2 3
2 2
3 3 2 2 2 3 3
3 3
d0 m u (k k )u k u 0
dt u u
d0 m u k u (k k )u 0
dt u u
L L
L L
1 2 2 2 21
2 2 3 3 32
k k k u um 00
k k k u u0 m
2 2 2 2 2
2 2 3 3 1 2 2 3 2 3 3
1 1 1 1 1(u,u) m u m u k u k (u u ) k u
2 2 2 2 2L T U
24
N Gradi di Libertà:Vibrazioni libere
n n n nnSoluzione nel tempo: Y (a cos t b sen t)
2
n n( K M ) Y 0
N N
n n n n n nn n
n 1 n 1
Q Y (a cos t b sen t) Y (sen t )
Ad ogni valore caratteristico n2 corrisponde una soluzione
caratteristica (o autovettore) Yn del sistema:
l’integrale generale è dato dalla combinazione lineare di tali soluzioni:
n
YGli autovettori costituiscono una base di vettori ortogonali
25
Esempio k1=k2=k ; m1=m2=m
2 21
3 3
u u2k k m 00
u uk 2k 0 m
2
2 4 2 2
2
2k m km 4mk 3k 0
k 2k m
0 j t 0 j t
2 2 3 3u u e ; u u e
22 2 2 2 1
2
1,2 22
2
k
2mk 4m k 3m k m
3km
m
26
Esempio k1=k2=k ; m1=m2=m
2 1 1 2 2
3 1 1 2 2
u [a cos t bsen t] [ccos t dsen t]
u [a cos t bsen t] [ccos t dsen t]
2 1 1 1 2 2 2
3 1 1 1 2 2 2
u c [ cos t sen t] c [ cos t sen t]
u c [ cos t sen t] c [ cos t sen t]
2
1 11
2
2 22
1kU c primo autovettore
1m
13kU c secondo autovettore
1m
Le costanti a,b,c,d si possono trovare quando sono note le condizioni iniziali
27
N Gradi di Libertà:Vibrazioni libere
sviluppando si ha un polinomio di ordine N in 2 (ovvero 2N in ).
Da tale polinomio, detto polinomio caratteristico, si hanno N valori caratteristici
2 (o autovalori) (non necessariamente di molteplicità uno).
Ad ogni valore caratteristico 2 corrisponde una soluzione caratteristica (o
autovettore) Yn definita a meno di una costante moltiplicativa.
Le proprietà [K], [M] (simmetriche, definite positive) garantiscono poi:
a)che gli autovalori risultano reali, per cui ad ogni 2 corrisponde due numeri
reali .
b)che è sempre possibile (indipendentemente dalla molteplicità dell’autovalore)
trovare N autovettori Yn linearmente indipendenti, definiti a meno di una
costante moltiplicativa.
c)che la matrice [Y] degli N autovettori Yn gode della seguente proprietà di
ortogonalità:
0MK 2
T T* *K Y K Y ; M Y M Y
Problema di autovalori generalizzato
Matrici diagonali
prof. Renato Barboni 28
Dinamica libera delle vibrazioni assiali
della trave
0t
)t,x(u
x
)t,x(uAE
2
2
2
2
u(x, t) T(t)X(x) 2AE X (x) T(t)costante =
X(x) T(t)
2
2 2
T T 0
AEX X 0 X X 0
AE
22
tsenbtcosa)t(T
xsencxcosc)x(X 21
0C)(A
Il parametro (legato alla pulsazione ) non è noto.
Nello studio della dinamica libera le condizioni agli estremi
sono omogenee; quindi occorre trovare le soluzioni non
banali di un sistema omogeneo dove assume il significato
di valore caratteristico.
Sistema omogeneo nelle incognite c1,c2 ottenuto imponendo
le condizioni agli estremi alla X(x).
prof. Renato Barboni 29
Problema di autovalori
AE
22 0C)(A
Per ogni n-esimo valore di n per cui A()= 0, si trova una soluzione non banale
c1, c2; di tali due costanti solo una può essere determinata quindi la soluzione
Xn(x)=c1 cosnx + c1 cosnx è nota a meno di una costante.
Il parametro n, che in termini matematici è un autovalore, nel caso presente è
sinonimo di pulsazione n; la corrisponde soluzione Xn, che in termini
matematici è un’autofunzione, rappresenta la “forma” lungo x secondo cui la
struttura vibra ed è detta modo.
Non si confonda il modo con la deformata conseguente all’applicazione di un
carico px, ; infatti:
la deformata è soluzione di un problema non omogeneo che indica “forma”
e “valore univoco” dello spostamento;
il modo indica solo “forma” mentre il valore è definito a meno di una costante.
I modi di vibrazione di un continuo godono della proprietà di ortogonalità:
L L
n m n m
0 0
X X 0 per m n ; X X 0 per m n
30
Dinamica libera delle vibrazioni
flessionali della trave 4 2
4 2
w(x, t) w(x, t)EI 0
x t
4 2
IV 4 4 AL x dX X 0 ; con ; ; []'
EI L d
j tw(x, t) X(x)e
1 2 3 4w c sen c cos c senh c cosh
0C)(A
Condizioni agli estremi omogenee
31
Trave appoggiata su entrambi gli estremi
32
33
34
Modi trave incastro libera Modi trave appoggiata
Modi membrana circolare
35
Modi e frequenze flessionali della trave
36
nodi
Condizioni iniziali
I modo flessionale 1
II modo flessionale 2
III modo flessionale 3
Gli autovalori sono le frequenze con le quali la trave può vibrare anche se non c’è forzante; gli autovettori sono le deformate che la trave assume in corrispondenza di ogni frequenza naturale. Se la trave vibra alla frequenza naturale i, la corrispondente deformata è necessariamente proporzionale all’autovettore (la ‘forma’ della deformata della trave non cambia nel tempo ). In generale la legge di moto di un corpo libero contiene tutte e solo le frequenze naturali e la deformata è costituita da una combinazione lineare dei modi propri del sistema
37
Dinamica libera delle vibrazioni
flessionali della piastra appoggiata
Dcon;0)y,x(W)y,x(W
2444
x x
y x
W 0 W 0x 0 ; x a
M 0 M 0
W 0 W 0y 0 ; x b
M 0 M 0
b
ynsen
a
xmsena)y,x(W
M
1m
N
1n
mn
222
4
mnb
n
a
m
22
2
mnb
n
a
mD