mathem-kstuca.ucoz.uamathem-kstuca.ucoz.ua/Liter/Trigonom_ua.pdf · 4 I ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ 1.1 Кути довільної величини. Вимірювання

3

Г.В.Лисянська, В.О.Гаєвська

ТРИГОНОМЕТРІЯ

Навчально-методичний посібник

до вивчення дисципліни «Елементарна математика» для слухачів підготовчого відділення

та підготовчих курсів

Харків 2010

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

4

I ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

1.1 Кути довільної величини. Вимірювання кутів

Кутом на площині називається геометрична фігура, яка утворена двома променями (сторони кута), що мають спільний початок (вершина кута) та обмеженою ними частиною площини. За величину кута приймається величина меншого з двох кутів, утворених цими променями.

Якщо сторони кута утворюють пряму, то такий кут називається розгорнутим.

Кут між двома співпадаючими променями приймається рівним нулю. Поділимо розгорнутий кут на 180 рівних кутів. Величина одного з них

приймається за одиницю вимірювання величин кутів – градус і позначається так: 1 . Таким чином величина розгорнутого кута дорівнює 180 .

Два промені, що мають спільний початок, утворюють два кути, сума величин яких дорівнює 360 .

601 частина градуса називається мінутою і позначається : 1 .

601 частина мінути називається секундою і позначається : 1 .

Таким чином, мають місце співвідношення : 061 ;

036061 . Поряд з практичним градусним вимірюванням кутів в теоретичних

питаннях застосовується радіанне вимірювання. Кутом в один радіан

називається центральний кут, що відсікає на колі дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (рис. 1.1).

1 pag

R

R

L = R

Рис. 1.1

Радіанна міра кута, тобто величина кута, обчислена в радіанах, не залежить від довжини радіуса. Це випливає з того, що фігури, обмежені кутом і дугою кола з центром у вершині цього кута, подібні між собою (рис. 1.2).

R2

R1

L1

L2

Рис. 1.2

5

Встановимо зв’язок між градусним та радіанним вимірюваннями кутів. Довжина кола обчислюється за формулою Rlкола 2 .

Куту, що дорівнює 180 , відповідає півколо, тобто дуга, довжина l якої дорівнює R :

Rl . Для того, щоб знайти радіанну міру цього кута, треба довжину дуги l

поділити на довжину радіуса R . Отримаємо

Rl .

Отже, радіанна міра кута 180 дорівнює : 180 рад.

Звідси отримаємо, що радіанна міра кута 1 дорівнює 180 :

1 =180 рад .

Приблизно 1 дорівнює 0,01745 рад. З тотожності 180 рад також випливає, що градусна міра кута 1 рад

дорівнює

180 :

1 рад =

180 .

Приблизно 1рад дорівнює 447157 . Розглянемо приклади переходу від радіанної міри до градусної та

навпаки. Приклад 1 Виразити в градусах 2,5 рад.

Розв’язання. Користуючись формулою 1 рад =

180 , маємо

5,2 рад =

1434501805,2

.

Приклад 2 Знайти радіанну міру кута 72 .

Розв’язання. Користуючись формулою 1 =180 рад, маємо

180

7272 рад =

52 рад 1,3 рад.

6

Під час запису радіанної міри кута позначення ”рад” зазвичай

опускають, наприклад, замість рівності 725

2 рад пишуть 725

2 .

Аналогічно 4 рад =

4 ; 2рад =2.

Виходячи з означення кута на площині, величина кута як геометричної фігури лежить у межах від 0 до 180 . Для таких кутів у курсі геометрії були введені поняття синус, косинус і тангенс. В курсі тригонометрії розглядаються такі поняття для кутів, величини яких можуть виражатися будь-яким дійсним числом.

Позначимо на осі x декартової системи координат праворуч від початку координат точку А та проведемо через неї коло з центром в точці О (рис. 1.3). Радіус ОА назвемо початковим радіусом. Повернемо початковий радіус навколо точки О на кут проти руху стрілки годинника. При цьому він перейде до радіуса ОВ. Кажуть, що кут повороту дорівнює . Якщо повернути початковий радіус навколо точки О на кут за рухом стрілки годинника, то він перейде до радіуса ОС. У цьому випадку кажуть, що кут повороту дорівнює . Кути повороту зображені стрілками на рисунку 1.3 .

0

A

x

B

C

y

Взагалі за умови повороту

проти руху стрілки годинника кут повороту вважають додатним, а за рухом стрілки годинника – від’ємним.

Рис. 1.3 Враховуючи означення кута між двома променями, градусна міра кута

визначається числом від 0 до 180. Що стосується кута повороту, то він може визначатися у градусах будь-яким дійсним числом від до . Так, якщо початковий радіус обернути проти руху стрілки годинника на 180 , а потім ще на 30 , то кут повороту буде дорівнювати 210 . Якщо початковий радіус зробить повний оберт проти руху стрілки годинника, то кут повороту буде дорівнювати 360 ; якщо він зробить півтора оберту у тому ж напрямку, то кут повороту буде дорівнювати 540 і т. д.

7

Розглянемо радіуси ОА і ОВ (рис. 1.4). Існує нескінченно багато кутів повороту, при яких початковий радіус ОА переходить до радіуса ОВ.

Так, якщо АОВ = 30 , то відповідні

кути повороту будуть дорівнювати n 36030 , де n – будь-яке ціле число Zn .

Наприклад, при 2,2,1,1,0 n отримаємо кути повороту

690,750,330,390,30 .

0 A x

B

y

300

Рис. 1.4

Нехай у разі повороту на кут початковий радіус ОА переходить до радіуса ОВ. В залежності від того, в якій координатній чверті опиниться радіус ОВ, кут називають кутом цієї чверті. Так, якщо 900 , то – кут І чверті; якщо 18090 , то – кут ІI чверті; якщо 270180 , то - кут ІII чверті; якщо 360270 , то – кут ІV чверті. Зрозуміло, що уразі додавання до кута цілого числа обертів отримаємо кут тієї ж саме чверті. Наприклад, кут 430 є кутом І чверті, бо 70360430 , а 90700 ; кут 920 є кутом ІІІ чверті, бо 2002360920 , а 270200180 .

Кути ,360,270,180,90,0 не відносяться ні до якої чверті. Приклад 3 Зазначити координати точок P одиничного кола, якщо :

1) 90 ; 2) 180 ; 3) 270 ; 4) 90 ; 5) 180 ; 6) 270 . Розв’язання. 0;1oP – початок відліку вздовж дуги (рис. 1.5).

AB

x

y

P90o= P

-270o

P0

= P360o0P

-180o= P180o

(-1;0)

(0;1)

(1;0)

(0;-1) P-90o= P

270o

Рис. 1.5

1) точка 90P отримана з

точки oP пересуванням вздовж кола

за годинниковою стрілкою на 90 . Координати цієї точки 1;0 .

Цієї ж точці відповідає 270P ; 2) )0;1(180180 PP ; 3) )1;0(90270 PP .

8

Приклад 4 Яким точкам одиничного кола відповідають кути

1) 1015 ; 2) 4

19 ?

Розв’язання. 1) 1015 – кут, більший за повний оберт. Запишемо

його градусну міру у вигляді 3600,,360 Znn , тобто вилучимо ціле число обертів (вздовж або проти руху годинникової стрілки):

)150,3(,6533601015 n . Точка 651015 PPA – точка першої координатної чверті (рис. 1.5).

2) 19 3 3 34 2 2 , ( 2, )4 4 4 4

n . Точка

43

419 PPB –

точка другої координатної чверті (рис. 1.5).

Приклади для самостійного розв’язання 1 Знайти радіанну міру кутів:

1) 3 ; 2) 8 ; 3) 5.22 ; 4) 70 ; 5) 150 ; 6) 2500 ; 7) 5400 . 2 Виразити в градусах величини дуг, радіанна міра яких :

1) 32 ; 2)

73 ; 3)

10 ; 4)

8 ; 5) 3 ; 6) 1; 7) 3 8) 4,5 .

3 Заповнити таблицю:

4 Виразити в радіанах величини кутів, які утворюють стрілки, коли годинник показує : 1) 3 години; 2) 5 годин; 3) 6годин; 4) 7 годин; 5) 10 годин.

5 Кутом якої координатної чверті є кут, який дорівнює : 1) 78 ; 2) 250 ; 3) 92 ; 4) 240 ; 5) 325 ; 6) 10 ; 7) 00010 ?

6 Серед кутів повороту 310,240,1560,50,480,770 знайти

такі, що відповідають куту 1) 50 ; 2) 120 .

град 0 30 45 60 90 120 150 180 210 270 360 рад

9

1.2 Означення тригонометричних функцій 1.2.1 Тригонометричні функції кута у межах від 0 до 180

У курсі геометрії синус, косинус і тангенс гострого кута спочатку означуються як відношення сторін прямокутного трикутника, а саме (див. рис. 1.6):

синусом гострого кута прямокутного трикутника називається

відношення протилежного катета a до гіпотенузи c : ca

sin ;

косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається

відношення прилеглого катета b до гіпотенузи c : cb

cos ;

тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається

відношення протилежного катета a до прилеглого b : batg .

A

B

C

a

b

c

Рис. 1.6

Синус, косинус і тангенс гострого кута трикутника залежать лише від

величини кута і не залежать від довжини сторін прямокутного трикутника, тобто кожному гострому куту відповідає єдине значення синуса, косинуса і тангенса цього кута. Тому кажуть, що sin , cos і tg є функціями кута, які мають назву тригонометричних функцій, оскільки вони використовуються під час розв’язання трикутників, тобто при знаходженні невідомих елементів трикутника, якщо задані інші – відомі. У перекладі ж з грецької мови „тригонометрія” означає „вимірювання трикутників” ( „trigonom” – трикутник, “metreo” – вимірюю).

Крім синуса, косинуса і тангенса гострого кута розглядатимемо ще одну

тригонометричну функцію – котангенс кута. Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається

відношення прилеглого катета b до протилежного a : abctg (рис. 1.6).

10

Введемо координатний спосіб означення тригонометричних функцій. Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (рис. 1.7).

Якщо радіус OP утворює з додатним напрямом осі x гострий кут і точка P має координати yx; , то у прямокутному трикутнику ONP катети ON і NP відповідно дорівнюють x та y , а гіпотенуза – R . Тому

sin ;

cos ;

;

.

yRxR

ytgxxctgy

(1)

0 N x

P(x;y)

y

x

yR

Рис. 1.7

За формулами (1) визначають

синус, косинус, тангенс і котангенс будь-якого кута у межах від 0 до

180 . Зокрема, якщо – тупий кут (рис. 1.8), то 0x , а 0y . Тому згідно з формулами (1) синус тупого кута – додатний, а косинус, тангенс і котангенс – від’ємні.

0 x

P(x;y)

y

x

y

R

Рис. 1.8

Як було відмічено, тригонометричні функції кута (рис. 1.7) не залежать від лінійних розмірів прямокутного трикутника ONP , а отже – і від довжини радіуса кола R . У такому разі доцільно розглядати одиничне коло, тобто покласти 1R , і тоді формули (1) набудуть більш простого вигляду:

ysin ; xcos ; xytg ;

yxctg . (2)

За цими формулами sin – це ордината точки P одиничного кола,

cos – її абсциса,

cossin

tg ,

sincos

ctg .

Таке трактування тригонометричних функцій кута у межах від 0 до 180 поширюють на тригонометричні функції довільного кута.

Перейдемо до відповідних означень.

11

1.2.2 Тригонометричні функції довільного кута Нехай );( yxP – точка

одиничного кола, що відповідає куту , тобто точка, одержана при повороті початкової точки oP навколо центра O на кут (рис. 1.9).

0 x

P ( x ; y )

y

sin

cos

Рис. 1.9

Означення. Синусом кута називається ордината y точки );( yxP одиничного кола, що відповідає куту ; косинусом кута називається абсциса x цієї точки. ysin ; xcos . Означення. Тангенсом кута називається відношення синуса цього кута до його косинуса; котангенсом кута називається відношення косинуса цього кута до його синуса.

xytg ;

yxctg .

Приклад 1 Виходячи з означень, знайти тригонометричні функції кута 30 . Розв’язання.

y

x

yP

0

P

N

1

1-1

-1

x30o

Рис. 1.10

Обчислимо координати точки Р одиничного кола, яка одержана шляхом повороту початкового радіуса проти руху годинникової стрілки на кут 30 (рис. 1.10). Абсциса цієї точки буде дорівнювати довжині катета ON, а ордината – довжині катета NP прямокутного трикутника ONP. Як відомо з курсу геометрії, катет, який лежить проти кута 30 , дорівнює половині гіпотенузи. Зважаючи на те , що OP = 1 як

радіус одиничного кола, NP = 21 OP =

21 .

12

Довжину катета ON обчислимо за теоремою Піфагора: 222 NPONOP .

Тоді 222 NPOPON . 43

411

211

222

ON ;

23

ON .

Таким чином, точка Р має координати 23

x і 21

y , які і відповідають

значенням косинуса та синуса кута 30 . Значення тангенса і котангенса цього

кута обчислимо як відношення координат: 3

13

221

23:

21

xy ; 3

yx .

Відповідь: 2130sin ;

2330cos ;

3

130 tg ; 330 ctg .

Приклад 2 Знайти тригонометричні функції кута 60 . Розв’язання. Для того, щоб з’ясувати координати точки Р одиничного

кола, яка відповідає куту 60 (рис. 1.11), нагадаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 . З цього випливає, що 30P і, таким чином, прямокутний трикутник OPN дорівнює трикутнику, який був розглянутий у прикладі 1 за стороною ОР та двома прилеглими до неї кутами (рис. 1.12). Отже, 30cos60sin ; 3060 ctgtg ; 30sin60cos ; 3060 tgctg .

y

x

yP

0

P

N

1

1-1

-1

x60o

30o

P

P30o

60o

x

y

0

21

23

23

21 1

Рис. 1.11 Рис. 1.12

Відповідь: 2360sin ;

2160cos ;

360 tg ; 3

160 ctg .

13

Приклад 3 Знайти тригонометричні функції кута 45 . Розв’язання. Як і у двох попередніх прикладах, обчислимо

координати точки Р одиничного кола, яка одержана шляхом повороту початкового радіуса проти руху годинникової стрілки на кут 45 (рис. 1.13).

y

x

yP

0

P

N

1

1-1

-1

x45o

0

y

x

P

1

1

22

22

45o

45o

Рис. 1.13 Рис. 1.14

Величина кута Р прямокутного трикутника ONP також дорівнює 45 : 454590180 P . Таким чином маємо рівнобічний прямокутний

трикутник ONP з основою OP = 1. Нехай ON = NP = a . Тоді за теоремою

Піфагора: 222 NPONOP ; 2221 aa ; 221 a ; 212 a ;

2

1a .

Отже, точка Р має координати

22;

22 , які і відповідають значенням

косинуса та синуса кута 45 (рис. 1.14). Значення тангенса і котангенса цього кута дорівнюють одиниці як

відношення рівних величин: 122:

22

yx

xy .

Відповідь: 2245cos45sin ;

145045 ctgtg .

Оскільки

cossin

tg , то для тих кутів, для яких 0cos тангенс не

визначений. Косинус кута дорівнює нулю, якщо цьому куту відповідає точка одиничного кола з абсцисою 0. На одиничному колі таких точок є дві: )1;0( і

)1;0( . Вони відповідають кутам ;2

5;2

3;2

, тобто кутам k

2

,

де Zk . Отже, тангенс не визначений для кутів k 2

, де Zk .

14

Аналогічно котангенс не визначений для кутів k , де Zk (для цих кутів 0sin ).

Отримані результати наведених вище прикладів систематизуємо у вигляді таблиці 1.1:

Таблиця 1.1 – ЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

ДЕЯКИХ КУТІВ

Приклад 4 Знайти значення виразу:

1) 27045sin60sin304530cos360cos2 ctgtgctg ;

2) 3sin2sin32

tgtg , якщо 2 ,

6

;

3) 2245cos21145sin2 .

Розв’язання. Скористуємося таблицею:

1) 2240

211

2310

22

23

311

233

212 ;

2)

2

sin3

sin646

3sin6

2sin3222

tgtgtgtg

6

3532

532321

23

311

;

3) 45cos21145sin245cos21145sin222

2112211222211

222

22112 .

Аргумент 0

6

4

3

2

23

2

Функція

0 30 45 60 90 180 270 360 sin

0

21

22

23

1

0

-1

0

cos

1

23

22

21

0

-1

0

1

tg

0

31

1 3

–

0

–

0

ctg

–

3

1

31

0 –

0

–

15

Враховуючи означення, додатність чи від’ємність тригонометричних функцій кута визначає координатна чверть, якій належить відповідний кут.

Знаки тригонометричних функцій схематично зображені на рис. 1.15 .

sin α

Y Y

YY

X

X X

X

tg α

cosα

ctg α

Рис. 1.15

Приклади для самостійного розв’язання 1 Знайти значення виразу:

1)

45cos30sin3060sin60cos1

22

22

tg ;

2) 634

sin3

cos6

sin2 22422 ctgtg ;

3)

6cos0

6

23sin

42

tgtg

tg;

4) 2260sin21130cos2 .

2 Заповнити таблицю:

Аргумент

3

2

6

5

4

5

3

5

Функція

135 210 240 315 sin cos tg ctg

16

3 Позначити на одиничному колі множину точок P , для яких:

а) 0sin ; б) 0cos ; в) 21sin ; г)

21cos .

4 Позначити на одиничному колі множину точок xP , для яких:

а) 21cos x ; б)

21sin x .

5 Виходячи з означень тригонометричних функцій, знайти знак добутку

33

8cos170sin tg .

1.3 Властивості тригонометричних функцій 1.3.1 Область визначення та область значень

Синус та косинус визначені для довільного числа x (кута в x радіанів), тобто областю визначення функцій xy sin та xy cos є множина всіх дійсних чисел. У пункті 1.2.2 було встановлено, що тангенс не визначений

для кутів k 2

, де Zk , а котангенс – для кутів k , де Zk . Отже,

RxD )(sin ; RxD )(cos ;

RxtgD )( \

Zkk

2;

RxctgD )( \ Zkk . Синус і косинус числа x є відповідно ординатою і абсцисою точки xP

одиничного кола (рис.1.16). Координати точок цього кола набувають усіх значень від -1 до 1, тому областю значень функцій xy sin та xy cos є проміжок 1;1 . Областю значень функцій tgxy та ctgxy є множина всіх дійсних чисел як частка двох .

1;1)(sin xE ; 1;1)(cos xE ;

RxtgE )( ; RxctgE )( .

Зауваження. На рисунку 1.16 вісь

абсцис позначена буквою t, оскільки буква x , якою зазвичай позначають цю вісь, вже використана для позначення кута в x радіанів.

0 t

P

y

sin

cos

x

xP0x

x

-1

-1 1

1

Рис. 1.16

17

1.3.2 Парність і непарність тригонометричних функцій Означення. Функція xfy називається парною, якщо для будь-якого значення fDx : xfxf . Функція xfy називається непарною, якщо для будь-якого значення fDx : xfxf . Функції xy sin , tgxy та

ctgxy є непарними, а функція xy cos – парною (рис. 1.17),

тобто

0

P0

t

Px(cosx; sinx)

xx

P-x(cos(-x); sin(-x))

1

y

Рис. 1.17

1.3.3 Періодичність тригонометричних функцій Означення. Функція xfy називається періодичною, якщо вона задовольняє умову Txfxf ; число Т називається періодом функції. Зазвичай періодом називають найменше число Т, яке задовольняє цю умову. Точки одиничного кола, які відповідають кутам x і Zkkx 2 ,

збігаються. Тому значення будь-якої тригонометричної функції для кутів x і Zkkx 2 дорівнюють одному й тому ж числу, тобто кожна

тригонометрична функція не змінює свого значення, якщо до аргументу додати число 2 . Крім того, для функцій тангенс та котангенс найменшим періодом є число .

;cos2cos

;sin2sinxkx

xkx

.

;Zkctgxkxctg

tgxkxtg

Функція xnmBx

nmAy

2

2

1

1 cossin має період 21

21,

,2mmНОД

nnНОКT

.

Функція xplctgNx

pltgMy

2

2

1

1 має період 21

21,

,llНОД

ppНОКT .

xx coscos ; xx sinsin ; xtgxtg ; xctgxctg .

18

Приклад 1 Знайти область визначення функції

33 xtgy .

Розв’язання. Тангенс визначений для всіх кутів, крім кутів виду

k

2, де Zk . Знайдемо значення x , для яких значення виразу

33

x

дорівнює k 2

: ;23

3 kx ;

233 kx

;

653 kx .,

3185 Zkkx

Отже, функція визначена для всіх дійсних чисел, крім Zkkx ,318

5 ,

тобто RyD )( \

Zkk

3185 .

Приклад 2 Знайти область значень функції xy sin23 . Розв’язання. Область значень функції xy sin є проміжок 1;1 .

Помноживши усі частини подвійної нерівності 1sin1 x на -2, матимемо: 2sin22 x , або 2sin22 x . Додамо до усіх частин подвійної

нерівності число 3: 5sin231 x . Отже, областю значень функції є проміжок 5;1 .

Приклад 3 Дослідити функцію на періодичність:

1) x

tgxy ; 2) xxy

sin1cos2

.

Розв’язання. 1) xyxxtgxy

, функція не є періодичною;

2) xy

xx

xxxy

sin1

cos22sin1

2cos22

, функція є періодичною з

періодом 2 . Приклад 4 Визначити період функції:

1) xy 2cos ; 2) 3

sin xy ; 3) xxy 3cos2sin ; 4) 2y .

Розв’язання. 1) xxxx 2cos2cos22cos2cos , T ;

2) 631sin2

3sin

3sin

xxx , 6T ;

3) 21

23,2

2

НОДT .

19

4) лінійна функція 2y є періодичною і її періодом є будь-яке дійсне число, крім 0. Найменшого ж додатного періоду ця функція не має, оскільки серед додатних чисел не існує найменшого числа. RT \ 0 .

Приклад 5 Дослідити функцію на парність чи непарність:

1) 23sin

xxy ; 2)

xtgxxy 3

sin ; 3)

xctgxy

2sin1 2

; 4) tgxxxy 5sin .

Розв’язання. 1)

xyx

xx

xxy

22

3sin3sin ,

функція є непарною;

2)

xyxtg

xxxtg

xxtgx

xxxtg

xxxy

3333

sinsinsin)(

)sin( ,

функція є парною;

3)

xyxctg

xxctgx

xctgxxy

2

sin12

sin12

sin1 222,

функція є непарною; 4) tgxxxtgxxxxtgxxxy 5sin5sin5sin , xyxyxy функція не є ні парною, ні непарною. Це функція загального вигляду.

Приклад 6 Знайти значення виразу: 1) 750sin ; 2) 990ctg ; 3) 1260cos ;

4) )405( tg ; 5) 6

11sin ; 6)

317cos .

Розв’язання. 1) 2130sin303602sin750sin ;

2) 090901805990 ctgctgctg ;

3) 1180cos1803603cos1260cos ;

4) 145)45360(405)405( tgtgtgtg ;

5) 21

6sin

6sin

62sin

611sin

;

6) 21

3cos

3cos

36cos

317cos

317cos

.

20

Приклади для самостійного розв’язання

1 Знайти область визначення функції:

1) xy 3cos ; 2)

42 xtgy ; 3)

xctgy 2

3 ;

4) xxy

sin2sin2

; 5) 2xtgy .

2 Знайти область значень функції :

1) 1cos4 xy ; 2) xy cos21

21 ; 3) xy 2sin31 ;

4) xy 2sin41 ; 5) xxy coscos . 3 Дослідити функцію на періодичність: 1) xy 2cos ; 2) 2cos xy ; 3) tgxxy ; 4) 32 ctgxy ; 5) 4y ; 6) 152 xtgy . 4 Визначити найменший період функції:

1) xy sin1 ; 2) ctgxxy cos ; 3) 3

2 xtgy ;

4) 2

sin xy ; 5) 4

sin5cos xxy .

5 Дослідити функцію на парність чи непарність: 1) ctgxxy 3 ; 2) 1sin2 xxy ; 3) tgkxxy 1 ;

4) xxy

cossin 2

; 5)

2sin

3sinxtgx

tgxxy

; 6) 3

2sincosx

xxxy .

6 Знайти знак добутку: 1) 4cos2sin ; 2) 75,12sin ctg ; 3) 10cossin10cos . 7 Обчислити:

1) 063

43

cos233

tgctgaa

;

2)

24

4sin

4cos

ctgtgmnm

tgknm .

8 Знайти значення виразу :

1)

425

643cos tg ; 2)

421

319sin tg

; 3)

225)420(sin765cos

ctg.

21

II ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ

ВИРАЗІВ

2.1 Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Якщо для деякого значення аргументу відомо значення однієї з

тригонометричних функцій, то за певних умов можна знайти значення решти тригонометричних функцій. При цьому використовують тотожності, що пов’язують тригонометричні функції одного й того самого аргументу

Нехай P – точка одиничного кола, що відповідає куту . Ця точка має координати : sin;cos yx . Оскільки точка P належить одиничному

колу, то її координати задовольняють рівняння 122 yx цього кола. Таким чином, для довільного кута виконується основна тригонометрична тотожність:

1sincos 22 .

За означенням:

cossin

tg ,

sincos

ctg .

Почленно перемноживши ці рівності, одержимо: 1 ctgtg .

Поділимо обидві частини основної тригонометричної тотожності на

2cos (за умов, що 0cos ), одержимо:

22

cos11 tg .

Поділимо обидві частини основної тригонометричної тотожності на

2sin (за умов, що 0sin ), одержимо:

22

sin11 ctg .

Розглянуті тригонометричні тотожності є рівностями, які правильні для всіх допустимих значень .

Крім стандартних тригонометричних функцій синус, косинус, тангенс та котангенс досить часто використовують функції секанс та косеканс:

1sec , 2 1 ,cos 2

n n Z

,

1cos , ,sin

ec n n Z

.

22

Приклад 1 Чи можуть синус та косинус одного й того самого гострого

кута дорівнювати відповідно 1) 257 та

2524 ; 2)

22 ba

a

та

22 ba

b

?

Розв’язання. 1) 1625625

62557649

2524

257 22

;

2) 122

222

22

2

22

baba

ba

b

ba

a .

Відповідь: Дані числа задовольняють основну тригонометричну тотожність, тому їх можна вважати за синус та косинус певного гострого кута.

Приклад 2 Чи можуть тангенс та котангенс одного й того самого

гострого кута дорівнювати відповідно 1) 53 та

321 ; 2) 23 та 23 ?


53

321

53

;

2) 123232323 22 .

Відповідь: Дані числа задовольняють тотожність 1 ctgtg , тому їх можна вважати за тангенс та котангенс певного гострого кута.

Приклад 3 Знайти тригонометричні функції кута , якщо відомо, що

1) 53sin ,

23

; 2) 4ctg , 223

.

Розв’язання. 1) Користуючись основною тригонометричною

тотожністю, маємо: 22 sin1cos ; 2sin1cos . Враховуючи, що кут належить третій координатній чверті,

54cos .

43

54:

53

cossin

tg ;

341

tg

ctg .

2) 1 ctgtg , тому 41

tg .

Користуючись тотожністю

22

sin11 ctg , маємо

2

2

11sin

ctg .

171

1611

411sin 2

2

; 1717

171sin .

2sin1cos ; 17

174174

1716

1711cos .

Враховуючи, що 223

, 1717sin ,

17174cos .

23

Приклад 4 Спростити вираз:

1) tg

cossin1 2

; 2)

cos1sin

sincos1

; 3) 244 coscossin ;

4) 24 tgtg ; 5) 22 ctgtgctgtg .


sin

cossin

coscos

cossin1 22

tg ;

2)

cos1sinsincoscos21

cos1sinsincos1

cos1sin

sincos1 2222

sin

2cos1sin

cos12cos1sin

1cos21

;

3) 22222244 cos)cos(sin)cos(sincoscossin

2222 sincoscossin ;

4)

222

22224 seccos

11 tgtgtgtgtgtg ;

5) 22 ctgtgctgtg

)2(2 2222 ctgctgtgtgctgctgtgtg 422 2222 ctgtgctgtg .

Якщо використати формулу різниці квадратів: 22 baba ababbabababa 422 ,

отримаємо той же самий результат. Приклад 5 Довести тотожність:

1)

222

41 tgctgtg

tg

; 2) ctgtg

cossincos21 2

;

3) 2244 cossin21cossin .

Доведення. 1)

24

24

22

4

22

4

1)1(

111 tg

tgtgtg

tgtg

tgctgtg

tg

;

24

2)

cossincossin

cossincos2cossin

cossincos21 222222

ctgtg

sincos

cossin

cossincos

cossinsin 22

;

3) 22222222244 cossin2cossincossincossin 2 21 2sin cos .


1 Чи можуть синус та косинус одного й того самого гострого кута

дорівнювати відповідно 1) 0,6 та 0,8 ; 2) a1 та

aa 12 ?

2 Чи можуть тангенс та котангенс одного й того самого гострого кута

дорівнювати відповідно 1)

mm 1 та

12 mm ; 2) 12 та 12 ?

3 Знайти тригонометричні функції кута , якщо відомо, що

1) 8,0cos ,

2 ; 2) 2tg ,

20 .

4 Спростити вираз:

1)

tgtg

cos1

cos1 ; 2)

22 cos1

11

tg

; 3) 1cos

ctg

ctg ;

4) cossin2cossin 22 ctgtg .

5 Довести тотожність:

1) cossin1

cossincossin 33

; 2)

622

22

cossin tg

ctgtg

;

3) 3

cossecsincos ctgec

; 4) 2222 coscos ctgctg .

25

2.2 Формули додавання

Формули додавання виражають тригонометричні функції суми або різниці двох кутів через тригонометричні функції самих кутів:

.,2

,,;1

)(

;sinsincoscos)cos(;sincoscossin)sin(

Znntgtg

tgtgtg

Приклад 1 Обчислити значення виразу: 1) 75cos ; 2) 105tg . Розв’язання. 1) 3045cos75cos cos45 cos30 sin 45 sin30

2 3 2 1 2 3 1 2 3 12 2 2 2 2 2 2 4

;

2) 32311

134560145604560105

tgtgtgtgtgtg .

Приклад 2 Обчислити значення виразу sin ,

якщо 6,0sin , 8,0sin , 2

0 , 2

0 .

Розв’язання. sincoscossin)sin( .

2sin1cos ; 8,064,036,016,01cos 2 ;

2sin1cos ; 6,036,064,018,01cos 2 . Враховуючи, що кути та належить першій координатній чверті,

8,0cos , 6,0cos . Отже, 164,036,08,08,06,06,0)sin( . Приклад 3 Обчислити значення виразу 35cos , якщо m10sin .

Розв’язання. 22 110sin110cos m .

mm21

2210sin45sin10cos45cos1045cos35cos .

Приклад 4 Обчислити значення виразу 20cos25sin25cos20sin . Розв’язання. Даний вираз являє собою синус суми двох аргументів,

якщо 20 , 25 . Таким чином,

2245sin2520sin20cos25sin25cos20sin .

26

Приклад 5 Обчислити значення виразу:

1)

154

151

154

15

tgtg

tgtg

; 2)

162228342481

tgtgtgtg

;

3)

4cos

4cos , якщо ncos ;

4)

80sin11sin699sin21cos371cos10cos .


415

154

151

154

15

tgtgtgtg

tgtg;

2)

184818481

181804818018360481

162228342481

tgtgtgtg

tgtgtgtg

tgtgtgtg

330301

18481

184818481

ctg

tgtgtgtgtgtg ;

3)

sin

4sincos

4cossin

4sincos

4cos

4cos

4cos

n2cos2cos222cos

4cos2 ;

4)

80sin11sin699sin21cos371cos10cos


2

10cos10cos2

10cos1121cos10cos


.

Приклад 6 Перетворити у добуток cossin . Розв’язання. 1-й спосіб: Щоб перетворити у добуток вираз

cossin ba , де 0ba , можна винести за дужки множник 22 ba . Після цього у дужках утворюється вираз, який є тригонометричною функцією суми або різниці двох кутів.

Для виразу cossin 1 ba , 211 2222 ba .

27

22cos

22sin2cossin

4sin2

4sincos

4cossin2 .

2-й спосіб:

cos

4cos

4sin

sincos4

sincos1sincossin tg

4

sin2

22

4sin

4cos

4sincos

4cossin

.

Приклад 7 Спростити вираз

ctgctgctgctg

.

Розв’язання. 1-й спосіб:

ctgtgtgtgtg

ctgtgtgtgtg

ctgctgctgctg

1

1

tgtgctgtgtg

tgtgctgtgtg

tgtgctgtgctgtgtgtg

tgtgctgtgctgtgtgtg

1

1

tgtgtgtg

tgtgctgtgtgtgtgctgtgtg

sinsin

sincoscossinsincoscossin

coscossincoscossin

coscossincoscossin

cossin

cossin

cossin

cossin

.

2-й спосіб: Перейти одразу до синусів та косинусів (пропонується

зробити самостійно).

28


1 Обчислити значення виразу: 1) 12

13cos ; 2) 105sin ; 3) 225ctg .

2 Обчислити значення виразу: sin , cos , ctg , якщо

135sin ,

53cos ,

;

2, .

3 Обчислити значення виразу :

1) 0412cos0217sin0217cos0412sin ;

2) 9

cos9

2cos9

sin9

2sin ;

3)

1,0sin

3,0sin2,0cos2,0sin3,0cos ;

4)

17152119728tgtg

tgtg

; 5)

9185

98

1851

tgtg

tgtg

.


1)

4cos

sin4

coscos4

sin

;

2)

2452516525

tgtgtgtg ; 3)

4sincossincos tg .


1)

ctg3

cos36

cos2

3sin2sin

;

2) yxtgyxtgytgxtg

ytgxtg

22

22

1;

3) yxy

ctgyyxtgx

cos

23seccos ;

4) tgtg 2cos2sin .

29

2.3 Формули зведення

Формулами зведення називають формули, які виражають

тригонометричні функції аргументів вигляду

2; ;

2

3 через

тригонометричні функції аргументу . Формули зведення виводяться за допомогою формул додавання, наприклад:

2cos sinsin1cos0sin

2sincos

2cos ;

sin sinsin1cos0sincoscossin ;

23sin cossin0cos1sin

23coscos

23sin .

Оформимо отримані таким чином формули у вигляді таблиці (табл. 2.1).

Таблиця 2.1 – ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ

Користуючись цими формулами, доцільно керуватись правилами:

1 Для кутів

2 та

2

3 функція, що зводиться, змінює назву

(синус – на косинус, косинус – на синус, тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс). Для кутів назва функції, що зводиться, не змінюється.

2 Перед зведеною функцією ставиться той знак, який мала б функція, що зводиться, при гострому куті .

Наприклад, треба записати формулу зведення для

23cos . Назва

функції (косинус) змінюється на синус. Якщо – гострий кут, то

23 –

це кут третьої чверті, де дана функція косинус має знак мінус. Отже,

sin2

3cos

.

Використовуючи властивості періодичності, парності чи непарності тригонометричних функцій та формули зведення, можна звести обчислення значень тригонометричних функцій будь-яких кутів до обчислень значень

Аргумент Функція

2

2

2

3

23

tsin cos cos sin - sin - cos - cos tcos sin - sin - cos - cos - sin sin ttg ctg - ctg - tg tg ctg - ctg tctg tg - tg - ctg ctg tg - tg

30

тригонометричних функцій гострих кутів. Наприклад:

21

3cos

3cos

32cos6

32cos

320cos

320cos

;

2330cos30270sin240sin3602240sin960sin .


21555215sin235cos70sin200cos70cos380sin

ctgtg

.

Розв’язання. Застосовуючи властивість періодичності

тригонометричних функцій та формули зведення, маємо: 20sin20360sin380sin ; 20sin2090cos70cos ; ;35sin35180sin215sin;35sin35270cos235cos

;20cos2090sin70sin;20cos20180cos200cos

.3535180215;35359055 ctgctgctgctgtgtg Отже,

353535sin35sin20cos20cos20sin20sin

ctgctg

35sin

35cos35sin35cos

3535sin1

3535sin20cos20sin 2

2

22

2

2

2

222

ctgctg.


27cos

2

cos2

3sin

32

3

tg.

Розв’язання. Щоб застосувати формули зведення, запишемо

наведений вираз наступним чином:

sincos

sincos

232cos

coscos

27cos

2

cos2

3sin 2

32

4

32

3

32

3

ctgctgtg.

31

Приклад 3 Довести тотожність:

1)

sin2

sin3sin2

sin2

5

cos4

52

3cos

tgtg

tg;

2) 20sin1060cos810sin560cos405 2tg . Доведення. Скористаємося формулами зведення:

1)

sin2sin

cos2

2

cos4

sintgtg

tg

sincos

cos1sin

sinsin

cos2

cos4

sin ctgtgtgtg

tg

cos1sincos1cos1

cos1sincos1sin

sincos1

cos1sin 2222

sin

2cos1sin

cos12cos1sin

cos22cos1sin

coscos21cos1 22

;

2) 203603cos903602sin200360cos45360tg

20cos120cos120cos90sin20180cos45tg 20sin20cos1 22 .

Приклад 4 Обчислити значення виразу

49...434241 tgtgtgtg . Розв’язання.

494847464544434241 tgtgtgtgtgtgtgtgtg 49...464544...41 tgtgtgtgtg

4190...44904544...41 tgtgtgtgtg

41...444544...41 ctgctgtgtgtg

111...1454444...4141 tgctgtgctgtg .

При обчисленні скористались тим фактом, що 1 ctgtg і 145 tg .

32



1)

230338140112140cos170sin320cos190sin

tgtgctgctg

;

2) 2

3sin2

3

2sinsin

2cos21 2

tg ;

3)

sin2

sin2

3

cos2

3cos 33

ctgctg.


1)

1

23

sin23sin

2

2

2

2

ctgctg;

2)

22

3sin29cos

tgctg

;

3) 5,21200cos660cos

1788562675cos405sin

tgtg .

3 Обчислити:

1) 7

10sin7

4sin9

8cos9

cos ;

2) 8

7cos8

5sin8

3cos8

sin 2222 ;

3) 350sin...50sin30sin10sin ; 4) 89...531 tgtgtgtg .

33

2.4 Формули подвійного і половинного аргументів

Формулами подвійного аргументу називають формули, що виражають тригонометричні функції аргументу 2 через тригонометричні функції аргументу . Формули подвійного аргументу виводяться за допомогою формул додавання:

cossin2sincoscossin)sin(2sin ;

22 sincossinsincoscos)cos(2cos ;

Znntgtg

tgtgtgtgtgtg

,2

;1

21

)(2 2

.

Одержані тотожності називають формулами синуса, косинуса та тангенса подвійного аргументу:

.,2

;,24

,1

22

;sincos2cos

;cossin22sin

2

22

ZnnZkktgtgtg

Якщо у формулу косинуса подвійного аргументу замість 2cos

підставити вираз 2sin1 , а замість 2sin - 2cos1 , одержимо ще дві формули для 2cos :

.1cos22cos

;sin212cos2

2

Виражаючи з цих формул відповідно 2sin і 2cos , отримаємо формули пониження степеня:

.2

2cos1cos

;2

2cos1sin

2

2

Ці формули дозволяють виражати квадрати синуса та косинуса через перший степінь тригонометричної функції (косинус подвійного аргументу).

Узявши в попередніх формулах замість аргументу аргумент 2 ,

одержимо формули половинного аргументу:

.2cos1

2cos

;2cos1

2sin

2

2

34

Поділивши почленно першу рівність на другу, отримаємо:

.cos1cos1

22

tg

За означенням

2cos

2sin

2

tg . Помноживши чисельник і знаменник цього

дробу на 2

cos2 , матимемо:

cos1sin

2cos2

2cos

2sin2

2cos

2sin

2 2 tg .

У такий же спосіб:

sincos1

2sin

2cos2

2sin2

2cos

2sin

2

2

tg .

Отже, формули тангенсу половинного аргументу мають вигляд:

.,,sin

cos1cos1

sin2

Znntg

Приклад 1 Записати формули подвійного та половинного аргументів

для кутів 4

)4;)3;3)2;40)1 .

Розв’язання. 1) 20cos20sin2202sin40sin ; 20sin20cos40cos 22 ;

2

80cos12

80sin40sin

;

280cos140cos

;

2) 2

3cos2

3sin22

32sin3sin ; 2

3sin2

3cos3cos 22 ;

2

6cos12

6sin3sin

;

26cos13cos

;

3) 2

cos2

sin22

2sinsin

;

2

sin2

coscos 22

;

22cos1

22sinsin

;

22cos1cos

;

35

4)

28cos

28sin2

282sin

4sin ;

28sin

28cos

4cos 22 ;

2

2cos1

212

221sin

4sin ;

2

2cos1

21

4cos .

Приклад 2 Обчислити 2sin , 2cos і 2tg , якщо

6,0sin ; 180;90 . Розв’язання. Скористаємося формулою 22 sincos2cos .

Обчислимо cos :

8,064,036,016,01sin1cos 22 .

Враховуючи, що 180;90 , 8,0cos . 96,08,06,02cossin22sin .

28,036,064,06,08,0sincos2cos 2222 .

733

28,096,0

2cos2sin2

tg .

Приклад 3 Обчислити sin , якщо 178

2cos

; 270;180 .

Розв’язання. Скористаємося формулою 2

cos2

sin2sin .

1715

289225

289641

1781

2cos1

2sin

22

.

Враховуючи, що 270;180 , 135;902

і тоді 1715

2sin

.

289240

178

17152

2cos

2sin2sin

.

36

Приклад 4 Обчислити значення виразу : 1) 0322cos0322sin4 ;

2) 75cos15cos 22 ; 3)

11515

2

tgtg .

Розв’язання. Дані вирази являють собою праві частини формул подвійного аргументу.

1) 222245sin203222sin20322cos0322sin4 ;

2) 15sin15cos1590cos15cos75cos15cos 222222

2330cos ;

3) 6330

21

151152

21

1512152

11515

222

tg

tgtg

tgtg

tgtg .

Приклад 5 Обчислити значення виразу 36cos18sin .Розв’язання. Помножимо та поділимо даний вираз на 18cos2 :

18cos472sin

18cos436cos36sin2

18cos236cos36sin

18cos236cos18sin18cos2

41

18cos418cos

18cos41890sin

.

Приклад 6 Обчислити 03292sin . Розв’язання. 0322cos0322270sin03292sin

2221

422

245cos1

203222cos1

.

Приклад 7 Спростити вираз :

1)

20sin240sin20sin240sin

; 2)

4cos4sin14cos4sin1

; 3)

3cos6cos15,03sin3cos

2;

4)

24sin2

sin1 ; 5)

24

sin21

2sinsincos2

22.


20sin220cos20sin220sin220cos20sin2

20sin2202sin20sin2202sin

10

10sin210cos2

120cos20sin2120cos20sin2 2

2

2ctg

;

37

2) вирази 4cos1 у чисельнику та 4cos1 у знаменнику запишемо, скориставшись формулами пониження степеня, а вираз 4sin представимо як синус подвійного аргументу:

2

2cos2sin2sin22sin2cos2cos2

2cos2sin22sin22cos2sin22cos2

4cos4sin14cos4sin1

2

2ctg

;

3)

3cos3sin3sin3cos

3cos3sin25,03sin3cos

3cos6cos15,03sin3cos

22222

6

21

6cos

6sin21

3sin3cos3sin3cos

22 tg

;

4)

24

sin

24sin2

24sin2

24sin2

2cos1

24sin2

sin12

;

5)

42

cos

4sin21

24

2cos11

2sin2cos

24

sin21

2sinsincos2

22

21

4sin4sin

21

.

Приклад 8 Довести тотожність :

1) 12sin2cos

cossin8122

22

; 2) 2cos45sin45sin2 ;

3)

tg

tgctg

tgtg

21

22

21

; 4) 1

cos2cos

cos4

cos4

2

3

2

ctg;

5) 22sin2sin2

cossin2sin2 2 tg

; 6)

4sin

2114cos

tgctg

.


4coscossin221

2sin2coscossin81 2

22

22

14cos4cos

4cos2sin2cos

4cos2sin22cos2sin

4cos2sin21 222222

;

38

2) 4590cos45sin245sin45sin2 2cos290sin452sin45cos45sin2 ;

3)

2

21

21

22

21

22

1

22

1

22

1

22

21

2

2

22

2

tg

tg

tg

tgtg

tgtg

tgtg

tg

tgctg

tgtg

tgtg

tg

tgtg

tgtg

21

21

2

21

21

221

222

2

;

4)

2

2

3

2

cos21cos

cos42

sin4

2

cos2cos

cos4

cos4

2 ctgctg

222 cos2cossin4

sin4

cos21

2cos2cos

cossin

22

sin

22

;

5)

cos1sin2cos1sin2

cossin2sin2cossin2sin2

2sin2sin2cossin2sin2

22

cos2

2sin2

cos1cos1 2

2

2

tg

;

6)

2cos1

21

2cos21

2cos214cos 222

22

tgtg

tgtg

tgtg

tgctg

4sin5,02cos2sin2cos2 2 tg .

39


1 Обчислити:

1) ,2,2cos,2sin tg якщо 23;

135cos ;

2) ,2

,2

cos,2

sin tg якщо 2

0;135sin

;

2) ,4tg якщо

43

2;

322sin ;

3) 8

9cos8

sin21 ; 4) 105cos105sin 22 ; 5)

12cos

24cos

24sin

;

6) 03221

03222

tgtg ; 7) 03247 tg ; 8) 15sin .


1)

8sin4sin28sin4sin2

; 2)

2cos

2sin1

2cos

2sin1

; 3) 2

224

sin4

cos

1cos

;

4)

2cos

2sin

sin1

; 5)

423cos

3sin1

.

3 Довести тотожність: 1) 2coscossin 44 ;

2)

ctg

sincossin

sin2

cos2

sin2cos;

3) 8sin2sin4sin22cos2sin4 23 ;

4) 13cos

sincos2cos2cos 2

;

5)

tgtg

tg

tg

tg

2

1

2

21

2 ; 6)

21

48sin142cos1 2ctg

;

7)

44cos2

sin21

12

sin2cos2

tg ; 8)

2cos1cos

2cos12sin

tg

.

40

2.5 Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток та навпаки

Сума та різниця тригонометричних функцій перетворюються у добуток

згідно формул:

.,2

;;coscos

)sin(

;2

sin2

sin22

sin2

sin2coscos

;2

cos2

cos2coscos

;2

cos2

sin2sinsin

Znntgtg

Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму здійснюється

за формулами:

.)]sin()[sin(21cossin

;)]cos()[cos(21sinsin

;)]cos()[cos(21coscos

Приклад 1 Перетворити вираз в добуток :

1) 2sin4sin ; 2) 15sin75sin ; 3) 1575 tgtg ;

4)

3cos

3cos ; 5) 3sincos ; 6) 22 sinsin ;

7) cos21 ; 8) 231 tg ; 9) 10sin7sin3sin .


2

24cos2

24sin22sin4sin

6 22sin cos 2sin3 cos2 2 ;

2) 22

22

21245cos30sin2

21575cos

21575sin215sin75sin

;

3) 3230sin3

15cos15sin60sin

15cos75cos)1575sin(1575

tgtg ;

41

4)

233sin

233sin2

3cos

3cos

sin3sin

232sin

3sin2 ;

5)

2

32cos

2

32cos23

2coscos3sincos

2

4cos

4cos2

42cos

4cos2 ;

6) 1-й спосіб: 2cos2cos21

22cos1

22cos1sinsin 22

sinsin

222sin

222sin2

21 ;

2-й спосіб: sinsinsinsinsinsin 22

2

cos2

sin22

cos2

sin2 2

cos2

sin22

cos2

sin2

sinsin ;

7)

260cos

260cos22cos60cos2cos

212cos21

230cos

230cos4 ;

8)

tgtgtgtg

31

313

31331 22

2cos

)30sin()30sin(4cos30cos

)30sin(cos30cos

)30sin(330303

tgtgtgtg ;

9) 52sin7sin3sin10sin7sin3sin

5cos2cos5sin25cos5sin22

73cos2

73sin2

2

52cos2

52cos25sin25cos2cos5sin2

27cos

23cos5sin4

23cos

27cos5sin4

.

42

Приклад 2 Перетворити вираз в добуток : 1) xbxa sinsin ; 2) xx 2sin32cos .

Розв’язання. 1) Винесемо за дужки множник 22 ba :

x

ba

bxba

abaxbxa cossinsinsin2222

22 .

Враховуючи, що 122

ba

a , 122

ba

b та 12

22

2

22

ba

b

ba

a ,

величини 22 ba

a

і

22 ba

b

можна вважати за синус та косинус деякого

гострого кута . Наприклад, cos22

ba

a , sin22

ba

b . Тоді

xbaxxbaxbxa sincossinsincossinsin 2222 , де abarctg ;

Якщо призначити sin22

ba

a , cos22

ba

b , то початковий вираз

набуде вигляду:

xbaxxbaxbxa coscoscossinsinsinsin 2222 , де baarctg .

2)

xxxx 2sin

232cos

21312sin32cos 22

xxxx

3cos2

6sin22sin

6cos2cos

6sin2 .

Приклад 3 Перетворити в добуток вираз xxxx 10cos14cos318cos322cos . Розв’язання. xxxx 10cos14cos318cos322cos

xxxxxxxx 2cos16cos66cos16cos214cos18cos310cos22cos xxxxxx 2cos36cos16cos22cos36cos16cos2 xxxxxxxxx 2cos34sin2sin4cos2cos16cos22cos36cos16cos2

xxxxxxxx 2cos32cos2sin22sin2sin2cos2cos16cos2 22

xxxxxxx 2cos32cos2sin22cos2sin2cos16cos2 223

xxxxx 2cos32cos2sin32cos16cos2 23

xxxxx 2cos32cos2cos132cos16cos2 23

xxxxxxx 2cos16cos82cos32cos32cos32cos16cos2 333 .

43

Приклад 4 Обчислити значення виразу:

1) 037cos0352sin ; 2) 9

4sin9

2sin9

sin .

Розв’язання. Скористаємося формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

1) 0370352sin0370352sin21037cos0352sin

4

3223

22

2160sin45sin

21

;

2)

94sin

92

9cos

92

9cos

21

94sin

92sin

9sin

94sin

41

94sin

9cos

21

94sin

21

9cos

21

94sin

3cos

9cos

21

83

94sin

95sin

23

41

94sin

41

994sin

994sin

21

21

,

враховуючи, що 9

4sin9

4sin9

5sin

.

Приклад 5 Довести тотожність :

1) xxxxxxxxx cos3sin5sin2sin2sin3sin4sin4sin5sin ;

2) 3sin3

sin3

sinsin4

;

3) 4sin413cossin

313sincos

31 33 .

Розв’язання. 1) xxxxxx sin2sin3sin4sin4sin5sin

xxxxxx 3coscos7coscos9coscos21

xxxxxxxx 9cos7cos3coscos213cos7cos9coscos

21

xxxxxxxxxx cos3sin5sin28cos2coscoscos8cos2cos2cos221

;

2)

32cos2cos

21sin4

3sin

3sinsin4

3sinsinsin3sin212sin2cossin2

212cossin2

;

44

3) 3cossin313sincos

31 33

3cossinsin313sincoscos

31 22

2sin4sin21sin

312sin4sin

21cos

31 22

2sinsin4sinsin2sincos4sincos61 2222

4sin414sin

23

614sin

214sin

612cos2sin4sin

61

.

Приклад 6 Спростити вираз :

1)

475sin

415sin4

60sin

;

2) xtgxtgtgx 6060 .


475sin

415sin4

60sin

26090sin2

60sin

260cos2

60sin

90cos2

60cos214

60sin

230cos

230sin2

230cos

230sin2

230sin2

60sin

;

2)

xx

xx

xxxtgxtgtgx

60cos60sin

60cos60sin

cossin6060

xtg

xxx

xxx

xxx

xxx

xx

xx3

coscos3cos21

sinsin3sin21

cos212coscos

sin212cossin

120cos2cos21cos

120cos2cos21sin

.

45


1 Перетворити в добуток:

1) 75cos105cos ; 2) 125cos

1211cos ;

3) 3sinsin ; 4) 4cos22 ;

5) 2sin43 ; 6) 23 ctg ; 7) sinsinsin ; 8) sincos1 ; 9) xnxm 3cos3sin ; 9) xx 5sin5cos3 .

2 Обчислити значення виразу: 1) 15cos105cos ; 2) 70cos50cos10cos4 ; 3) 80sin60sin40sin20sin16 .

3 Довести тотожність: 1) xxxx 2cos6cos2sin4sin2 ;

2)

2sin

23sin

23sin

26cos4

;

3) 3cos2coscos12

cos2

3coscos4 ;

4) 3sin31

32sin

34sinsin

;

5) 2

cos4coscossinsin 222 yxyxyx ;

6) 41

3cos

3cossin2

;

7) 2

sin2

sinsinsin 22 tztztz

;

8) 215cos15sin30sin45sin 22 .

46

III ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

3.1 Обернена функція Розглянемо дві функції 12 xy (рис. 3.1) та 2xy (рис. 3.2).

1-1 2-2 0

x

y

1

4

1-1 0

x

y

1

3y=x2y=2x+1

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Функція 12 xy значення 3y набуває лише при 1x . Взагалі, ця

функція кожного свого значення набуває при єдиному значенні аргументу. Функція 2xy такої властивості не має. Наприклад, значення 4y вона набуває при двох значеннях аргументу: 2x і 2x .

Функцію, яка кожного свого значення набуває при єдиному значенні аргументу з області її визначення, називають оборотною.

Отже, функція 12 xy є оборотною, а функція 2xy - ні. Оберненою є будь-яка зростаюча або спадаюча функція. Зокрема, зростаючі функції

xy 3 , 3xy , xy та спадні функції xy , xy є оборотними. Розглянемо оборотну функцію xfy ( рис. 3.3).

0 1

2

4

5

x

y

y=f(x)

x0

y0

0 1

2

4

5

x

y

x=g(y)

x0

y0

Рис. 3.3 Рис. 3.4 Областю її визначення є проміжок 4;1 , а областю значень – проміжок

5;2 . Ця функція кожному числу 0x із проміжку 4;1 ставить у відповідність

47

число 00 xfy із проміжку 5;2 . Якщо, навпаки, кожному числу 0y із проміжку 5;2 поставити у відповідність те єдине число 0x із проміжку 4;1 , для якого 00 yxf , то матимемо нову функцію ygx , областю визначення якої є проміжок 5;2 , а областю значень – проміжок 4;1 (рис.3.4.). Цю нову функцію називають оберненою до функції xfy .

Означення. Нехай xfy – довільна оборотна функція. Функцію ygx , яка кожному значенню y з області значень функції xfy ставить у відповідність те єдине число x з області її визначення, для якого yxf , називають оберненою до функції xfy . З означення випливає, що область визначення і область значень оборотної

функції є відповідно областю значень і областю визначення оберненої до неї функції.

Якщо функція xfy є зростаючою, то й обернена до неї функція xgy є зростаючою. Якщо ж функція xfy є спадною, то й обернена до

неї функція xgy є спадною. Графіки двох взаємно обернених функцій симетричні відносно

прямої y x . Щоб одержати формулу, якою задається обернена функція, потрібно:

1) з формули xfy виразити змінну х через змінну у і прийти до деякої формули ygx ;

2) в одержаній формулі ygx букви х та у поміняти місцями: xgy – шукана формула для оберненої функції.

3.2 Обернені тригонометричні функції

1 Арксинус. Функція xy sin (рис. 3.5.) не є оборотною, бо, наприклад, значення 0 вона набуває при багатьох значеннях х, а саме – при

Znnx ,2 .

x

22

1

2

y

23

2

-12

3

Рис. 3.5

48

Розглянемо функцію xy sin , де 22

x (рис. 3.6). Ця функція є

зростаючою і набуває значень від -1 до 1. Отже, для неї існує обернена функція.

Означення. Функцію, оберненою до функції xy sin , де 22

x ,

називають арксинусом і позначають xy arcsin . Графік функції xy arcsin (рис. 3.7) можна одержати з графіка функції

xy sin ,

2;

2x за допомогою симетрії відносно прямої y x .

2

1

y

2

-1

x

2

2

x

y

-1

1

Рис. 3.6 Рис. 3.7 У таблиці 3.1 подані властивості функції xy arcsin , що випливають із

властивостей прямої функції xy sin ,

2;

2x .

Таблиця 3.1 – властивості функцій xy sin ,

2;

2x і xy arcsin

Функція xy sin ,

2;

2x

xy arcsin

Область визначення

2;

2

1;1

Область значень

1;1

2;

2

Зростаюча, спадна Зростаюча Зростаюча Крім того, функція xy arcsin є непарною, тобто для будь-якого

значення х із проміжку 1;1 виконується рівність: xx arcsinarcsin .

49

Нехай а – деяке число з проміжку 1;1 . З означення оберненої функції

випливає, що арксинусом числа а є такий кут (число) з проміжку

2;

2

,

синус якого дорівнює а. Отже, рівність aarcsin , є вірною тоді і тільки тоді, коли виконуються

дві умови: 1) asin , 2) 22

.

Наприклад, 62

1arcsin , бо

2;

26 і

21

6sin

;

62

1arcsin21arcsin

.

Рівність 3

223arcsin є невірною (хоча

23

32sin , але кут

32

не

належить проміжку

2;

2 ).

2 Арккосинус. Функція xy cos (рис. 3.8) не є оборотною, бо,

наприклад, значення 1 вона набуває при багатьох значеннях х, а саме – при Znnx ,2 .

22

1

2

y

23

2

-1

x0

23

Рис. 3.8 Розглянемо функцію xy cos , де x0 (рис. 3.9). Ця функція є

спадною і набуває значень від -1 до 1. Отже, для неї існує обернена функція. Означення. Функцію, оберненою до функції xy cos , де x0 , називають арккосинусом і позначають xy arccos . Графік функції xy arccos (рис. 3.10) можна одержати з графіка функції

xy cos , ;0x за допомогою симетрії відносно прямої y x .

50

2

1

y

-1

0x

1

y

-1 0

2

x

Рис. 3.9 Рис. 3.10 У таблиці 3.2 подані властивості функції xy arccos , що випливають із

властивостей прямої функції xy cos , x0 . Таблиця 3.2 – властивості функцій xy cos , x0 і xy arccos

Функція xy cos , ;0x xy arccos Область визначення ;0 1;1

Область значень 1;1 ;0 Зростаюча, спадна Спадна Спадна

Функція xy arccos не є ні парною, ні непарною, тобто являє собою

функцію загального вигляду. Але для будь-якого значення х із проміжку 1;1 виконується рівність:

xx arccosarccos .

Нехай а – деяке число з проміжку 1;1 . З означення оберненої функції випливає, що арккосинусом числа а є такий кут (число) з проміжку ;0 , косинус якого дорівнює а.

Отже, рівність aarccos , є вірною тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови: 1) acos ; 2) 0 .


2arccos , бо ;0

4 і

22

4cos

;

4

342

2arccos22arccos

.

Рівність 32

1arccos є невірною (хоча

21

3cos

, але кут 3

не

належить проміжку ;0x ).

51

3 Арктангенс. Розглянемо функцію tgxy , де 22

x (рис. 3.11).

Ця функція є зростаючою і набуває будь-яких дійсних значень. Отже, для неї існує обернена функція.

Означення. Функцію, оберненою до функції tgxy , де 22

x ,

називають арктангенсом і позначають arctgxy . Графік функції arctgxy (рис. 3.12) можна одержати з графіка функції

tgxy ,

2;

2x за допомогою симетрії відносно прямої y x .

2

2

x

y

0

Рис. 3.11

2

2

x

y

0

Рис. 3.12

У таблиці 3.3 подані властивості функції arctgxy , що випливають із

властивостей прямої функції tgxy ,

2;

2x .

Таблиця 3.3 – властивості функцій tgxy ,

2;

2x і arctgxy

Функція tgxy ,

2;

2x

arctgxy

Область визначення

2;

2 ;

Область значень ;

2;

2

Зростаюча, спадна Зростаюча Зростаюча Крім того, функція arctgxy є непарною, тобто для будь-якого значення

х виконується рівність: arctgxxarctg .

52

Нехай а – деяке число. З означення оберненої функції випливає, що

арктангенсом числа а є такий кут (число) з проміжку

2;

2

, тангенс

якого дорівнює а. Отже, рівність arctga , є вірною тоді і тільки тоді, коли виконуються

дві умови: 1) atg , 2) 22

.


3 arctg , бо

2;

23 і 3

3

tg .

4 Арккотангенс. Розглянемо функцію ctgxy , де x0 (рис. 3.13).

Ця функція є спадною і набуває будь-яких дійсних значень. Отже, для неї існує обернена функція.

Означення. Функцію, оберненою до функції ctgxy , де x0 , називають арктангенсом і позначають arcctgxy . Графік функції arcctgxy (рис.3.14.) можна одержати з графіка функції

ctgxy , ;0x за допомогою симетрії відносно прямої y x . y

0

x2

y

0 x

2

Рис. 3.13 Рис. 3.14 У таблиці 3.4 подані властивості функції arcctgxy , що випливають із

властивостей прямої функції ctgxy , ;0x . Таблиця 3.4 – властивості функцій ctgxy , ;0x і y arcctgx

Функція ctgxy , ;0x arcctgxy Область визначення ;0 ;

Область значень ; ;0 Зростаюча, спадна Спадна Спадна

53

Функція arcctgxy є функцією загального вигляду, але для будь-якого значення х виконується рівність:

arcctgxxarcctg . Нехай а – деяке число. З означення оберненої функції випливає, що

арккотангенсом числа а є такий кут (число) з проміжку ;0 , котангенс якого дорівнює а.

Отже, рівність arcctga , є вірною тоді і тільки тоді, коли виконуються дві умови: 1) actg , 2) 0 .


3 arcctg , бо ;0

6 і 3

6

ctg ;

6

56

33 arcctgarcctg .

Приклад 1 Знайти область визначення функцій :

1) 32arcsin xy ; 2) 1

arccos

x

xy ; 3) 4

12

x

xarctgy .

Розв’язання. 1) 132 x 1321 x 422 x 21 x , тобто 2;1x ;

2) 11

xx

11

11

xx

xx

0112

01

1

xxx

;121;

1

x

x

21;x ;

3)

04

02x

x

42

xx

2;44; x .

Приклад 2 Обчислити:

1) 257sinarcsin ; 2)

56cosarccos ; 3)

31arcsin2sin ;

4)

52cos arctg ; 5)

43

31 arctgarctgtg .

Розв’язання. 1) xx sinarcsin , якщо 2

x .

77sinarcsin77sinarcsin77180sinarcsin257sinarcsin

18077

18077sinarcsin

;

54

2) 54

54cosarccos

542cosarccos

56cosarccos

;

3) позначимо 1arcsin3

, де

2;0 . Тоді

31sin ,

322

311cos

2

.

Враховуючи, що кут належить I координатній чверті, 3

22cos .

924

982cossin2

31arcsin2sin

;

4) позначимо 52arctg , де

2;0 .

295

2541

1

1

1cos2

tg

.

5) позначимо 31arctg ,

43arctg , де

2;0, .

31

tg ; 43

tg .

31

43

311

43

31

143

31

tgtgtgtgtgarctgarctgtg


1 Знайти область визначення функцій :

1)

x

xy 12arccos ; 2) 21 xarctgy ;

3) 3arcsin 2 xy ; 4) xearctgy x 1 ;

5) 3 2

141 xxx

arctgy

; 6)

31arccos

xy .

2 Обчислити :

1)

21arccos3

21arcsincos acrtg ;

2)

23arcsin1

22arccos arctgtg ; 3)

333arctgctg ;

4)

3

22arcsin2cos arctg ; 5)

1312arcsin

135arcsinsin ;

6)

21arcsin2tg ; 7)

53arccos2sin ; 8)

41arcsin2cos .

55

3.3 Простіші тригонометричні рівняння Будь-яке тригонометричне рівняння можна привести до простішого,

тобто до рівнянь вигляду: ax sin , ax cos , atgx , actgx . Тому насамперед треба навчитися розв’язувати простіші тригонометричні рівняння :

ax sin , 1a .

0a 0a Znnax n ,arcsin1 1 Znnax n ,arcsin1 1 1

ax cos , 1a .

0a 0a Znnax ,2arccos 2 Znnax ,2arccos 2

atgx , Ra .

0a 0a Znnaarctgx , 3 Znnaarctgx , 3

actgx , Ra .

0a 0a Znnaarcctgx , 4 Znnaarcctgx , 4

В часткових випадках при 0a , 1a , 1a маємо наступні

формули : 0sin x Znnx , ; (5)

1sin x Znnx ,22

; (6)

1sin x Znnx ,22

; (7)

0cos x Znnx ,2

; (8)

1cos x Znnx ,2 ; (9) 1cos x Znnx ,2 ; (10)

0tgx Znnx , ; (11)

0ctgx Znnx ,22

; (12)

1tgx та 1ctgx Znnx ,4

; (13)

1tgx та 1ctgx Znnx ,22

. (14)

56

Приклад 1 Знайти нулі наступних функцій:

1) xy 2sin ; 2) 12

cos xy ; 3) 1

3

xtgy .

Розв’язання. 1) 02sin x nx 2 ; nx2

, Zn ;

2) 012

cos x , 1

2cos

x nx 22 ; nx 4 , Zn ;

3) 013

xtg , 13

xtg nx

43

3; 3

4 3x n

;

512

x n , Zn .

Приклад 2 Визначити, при яких значеннях змінної функція набуває

найменшого та найбільшого значення:

1) 2

3sin xy ; 2)

42cos xy .

Розв’язання. При розв’язанні прикладу скористуємося тим фактом, що 1sin1 x , 1cos1 x .

1) 12

3sin x Znnxnx

,34

3,2

223

;

12

3sin x Znnxnx

,34

3,2

223

;

2) 14

2cos

x nx 24

2 , nx 24

2 , nx

8, Zn ;

14

2cos

x nx 24

2 , nx 24

2 , nx 24

32 ,

nx

83 , Zn .

Приклад 3 Розв’язати рівняння:

1) 21sin x ; 2) 2

3cos2

x ; 3) 33

3

xctg ;

4) 82

xtg ; 5) 584

3sin

x .

Розв’язання. 1) Скористаємось формулою (1) :

21sin x Znnxnx nn ,

61,

21arcsin1

;

2) 23

cos2 x

22

3cos

x . Згідно з формулою (2)

57

Znnxnxnx ,2

43,2

43,2

22arccos

3 ;

3) narctgxxtg 82

82

narctgx 82

Znnarctgx ,282 ;

4) 584

3sin

x , 1sin xx .


Розв’язати рівняння:

1) 11cos2 x ; 2) 543 xtg ; 3) 230sin2 x ;

4) 663

5

xtg ; 5) 3

41

4

tgtgx

tgxtg ; 6)

212cos2sin xx ;

7) 023sin

23cos 22 xx .

3.4 Деякі прийоми розв’язання тригонометричних рівнянь

3.4.1 Рівняння, що зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функцій

Розв’язання тригонометричних рівнянь полягає в перетворенні тригонометричних виразів, що знаходяться в рівнянні, таким чином, щоб розв’язуване рівняння звелося до простішого або розкладалось на декілька простіших. Досягти цього можна зведенням тригонометричного рівняння до алгебраїчного методами заміни змінних та розкладання на множники. Розглянемо використання цих методів на прикладах.

Приклад 1 Розв’язати рівняння 0sincos2sin xxx . Розв’язання. Винесемо загальний множник xsin за дужки: 0cos21sin xx . Це рівняння зводиться до еквівалентної сукупності

рівнянь:

.,242

22

1cos;0cos21

;,0sin

Zkkxxx

Znnxx

Відповідь:

Zknkn ,2

4; .

58

Приклад 2 Розв’язати рівняння 16252cos62cos 24 xx .

Розв’язання. Зробимо підстановку tx 2cos2 , одразу зауваживши,

що 10 t . Тоді

10

,0162562

t

tt

1041

,4

25

t

t

t

41

t .

Повертаючись до заміни xt 2cos2 , маємо:

412cos2 x ;

212cos x

.,2322

21arccos

,,2312

21arccos

2Zkkk

Znnnx

y

x

1

Znn ,23

Znn ,23

Zkk ,2

32

Zkk ,23

2

Рис. 3.15 Користуючись рисунком 3.15, цю сукупність розв’язків можна записати

у вигляді: Znnx ,3

2 ; .,

26Znnx

Якщо розв’язувати рівняння 412cos2 x не як квадратичне відносно

змінної x2cos , а скористатися тригонометричною формулою пониження

степеня, обчислення можна значно спростити: 41

24cos1

x ;

214cos x

;,2322

21arccos4 Znnnx

.,

261 Znnx

Відповідь: .,26

Znnx

Приклад 3 Розв’язати рівняння 01coscos8cos8 24 xxx . Розв’язання. Представимо ліву частину рівняння у вигляді добутку,

виконавши групування: 01cos1coscos8 22 xxx ; 01cos1cos1coscos8 2 xxxx ; 01cos8cos81cos 23 xxx .

Тоді:

.01cos8cos8

;,21cos;01cos23 xx

Zmmxxx

Розв’яжемо рівняння 01cos8cos8 23 xx . Зробивши заміну yx cos , отримаємо алгебраїчне рівняння третього степеня 0188 23 yy .

59

Раціональні корені цього рівняння шукатимемо серед чисел

81;

41;

21;1 . Безпосередньою підстановкою переконуємося, що

21

y

є коренем даного рівняння і виконуємо ділення лівої частини рівняння на 3 2

3 2 2

2

2

1 1: 8 8 12 2

8 4 8 4 2

4 14 2

2 12 1

0 .

y y y y

y y y y

yy y

yy

Таким чином, кубічне рівняння 0188 23 yy набуває вигляду

024821 2

yyy або 0124

212 2

yyy ; 012412 2 yyy .

Квадратний тричлен 124 2 yy має корені 4

512,1

y .

Повертаючись до заміни xy cos , маємо:

.,24

51arccos4

51cos

;,2322

21arccos

21cos

Zkkxx

Znnnxx

Відповідь:

Zknmknm ,,24

51arccos;232;2 .

Зауваження. Це рівняння можна розв’язати, не зводячи його до

алгебраїчного, а використовуючи формули тригонометричних перетворень: 01coscos8cos8 24 xxx ; 01cos1coscos8 22 xxx ;

01cossincos8 22 xxx ; 0coscossin81 22 xxx ; 0cos2sin21 2 xx ; 0cos4cos xx ;

02

3sin2

5sin2 xx

02

3sin

,02

5sin

x

x

.,32

,,52

Zkkx

Znnx

Відповідь:

Zknkn ,

32;

52 .

60

Як бачимо, форма запису розв’язку тригонометричного рівняння може бути різною і залежить від способу розв’язання. Якщо виникне необхідність, за допомогою додаткових перетворень завжди можна довести еквівалентність двох різних форм запису відповіді.

Крім того, як видно з прикладів 2 та 3, розв’язання деяких рівнянь за

допомогою основних тригонометричних тотожностей є більш простішими, ніж розв’язання їх як алгебраїчних, але при цьому необхідно пам’ятати, що використання деяких з тригонометричних перетворень може привести до зміни (звуження чи розширення) області визначення початкового рівняння (див. табл. 3.1).

Таблиця 3.1 Зміна області визначення Тотожності (формули)

Звуження Розширення

1 ctgtg _____________

Znn ,

2

ctgtg 1

Znn , ____________

tgtgtgtgtg

1

)(

Znn

n

,2

,2

____________

2

2

11costg

;

2

22

1sin

tgtg

Znn ,2

____________

cossec

1

______________ Znn ,

2

21

22tgtgtg

Znn ,

2

____________

Існують різноманітні способи зведення рівнянь до однієї

тригонометричної функції. Зокрема, якщо не очевидно, до якої саме функції його можна привести, корисно використовувати наступні рекомендації.

Якщо рівняння не змінюється при заміні : 1) х на –х, то воно зводиться до раціонального відносно xcos : 0cos xR ; 2) х на x – до раціонального відносно xsin : 0sin xR ; 3) х на x – до раціонального відносно tgx : 0tgxR .

61

Приклад 4 Розв’язати рівняння xctgxtgx sec523 . Розв’язання. Замінивши х на x , бачимо, що рівняння не

змінилося. Згідно з рекомендаціям зводимо рівняння до раціонального

відносно xsin : xx

xxx

cos5

sincos2

cossin3 xxx sin5cos2sin3 22 ;

xxx sin5sin12sin3 22 ; 02sin5sin 2 xx

2175sin

x

.1sin,12

175,

,,2

175arcsin1

xaбоx

Znnx n

Відповідь: Znnx n

,2

175arcsin1 .

Приклад 5 Розв’язати рівняння xxx seccossin3 . Розв’язання. При заміні х на x всі члени рівняння змінюють

знак, тобто рівняння в цілому не змінюється. Зводимо його до раціонального

відносно tgx : 01coscossin3 2 xxx 0cos

1coscos

coscossin3

22

2

2 xx

xx

xx ;

0113 2 xtgtgx ; 0232 tgxxtg

2893

tgx

.,22

,,4

1

Znnarctgxtgx

Znnxtgx

Відповідь:

Zknkarctgn ,2;

4 .

Приклад 6 Розв’язати рівняння 05,1sin ctgxx . Розв’язання. Це рівняння не змінюється при заміні х на –х, тому

зводимо його до раціонального відносно xcos :

0sin2cos3sin

xxx ; 0cos3sin2 2 xx ; 02cos3cos2 2 xx

2

,21

41693cos x

.1cos,

,,2322

21arccos

xбоx

Znnnx

Відповідь: Znnx ,232

.

62

За допомогою формул, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного аргументу, будь-яке рівняння 0cos,sin xxR завжди

зводиться до раціонального відносно 2xtg : 0

2

xtgR .

Ці формули називаються формулами універсальної тригонометричної підстановки:

.

21

21

cos;

21

22

sin2

2

2 xtg

xtgxxtg

xtgx

Приклад 7 Розв’язати рівняння 1cos3sin4 xx . Розв’язання. Скористаємось формулами універсальної підстановки.

Нехай txtg 2

. Тоді 2

2

2 11cos,

12sin

ttx

ttx

.

В нових змінних рівняння набуде вигляду 1113

124 2

2

2

tt

tt , звідки:

22 1138 ttt ; 0482 2 tt ; 0242 tt ; 622,1 t .

Повернувшись до заміни, матимемо: 622

xtg ;

narctgx 622

; Znnarctgx ,2622 .

Зауваження. Ліві частини тотожностей

21

22

sin2 xtg

xtgx

і

21

21

cos2

2

xtg

xtgx

мають зміст при будь-якому дійсному значенні х, а праві – при

Zkkx ,2 (при Zkkx ,2 вираз 2xtg не має змісту). Тому,

використавши універсальну тригонометричну підстановку, ми виключили з розгляду значення Zkkx ,2 . Обов’язково треба перевірити, чи не має серед цих значень коренів рівняння. Зробимо таку перевірку для початкового рівняння: 1313042cos32sin4 kk , тобто

Zkkx ,2 – не корені рівняння. Відповідь: Znnarctgx ,2622 .

63

Приклад 8 Розв’язати рівняння 13cos23sin xx .

Розв’язання. Нехай txtg 2

3 , тоді 1

23sin 2ttx

,

1 13cos 2

2

ttx

.

Підставляючи в дане рівняння вирази для x3sin та x3cos , отримаємо :

1 1

) 1(2 1

22

2

2

t

ttt . Після спрощення : 0123 2 tt

.31

,1

t

t

Таким чином, для знаходження x отримаємо два простіших рівняння :

.,32

31

32

31

23

;,32

61

23

Zkkarctgxxtg

Znnxxtg

Перевіримо тепер, чи не має серед значень Zkkx ,23 коренів даного рівняння. Підстановкою переконаємося, що вказані значення не задовольняють заданому рівнянню. Дійсно,

120cos2sin2cos22sin kk .

Відповідь:

Zknkarctgn ,

32

31

32;

32

6 .


Розв’язати рівняння: 1) 013332 24 xtgxtg ; 2) 3322 23 tgxxtgxtg ;

3) 16252cos62cos 24 xx ;

4) 62 3322 xctgxtgxctgxtgctgxtgx

5) 2

cos4cos32cos 2 xxx ;

6) 41sincos2 xx ;

7) 0sin24cos 2 xx ;

8) 32

3cos

11 23

xctg

xxtg .

64

3.4.2 Рівняння, однорідні відносно синуса та косинуса Однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня відносно

синуса та косинуса називають рівняння виду 0cossin xbxa , (1) де а і b – деякі числа, з яких хоча б одне відмінно від нуля. Якщо одне з чисел а, b дорівнює нулю ( тоді інше – відмінне від нуля),

то рівняння (1) зводиться до найпростішого тригонометричного рівняння 0sin x або 0cos x .

Якщо ж обидва числа а і b відмінні від нуля, то для розв’язання рівняння (1) обидві його частини ділять на xcos або на xsin і одержують рівносильні йому рівняння

0 btgxa або 0 ctgxba відповідно.

Обґрунтуємо, що поділивши обидві частини рівняння (1) на xcos , отримаємо рівносильне йому рівняння. Виконавши ділення на xcos , можна тим самим виключити з розгляду значення х, для яких 0cos x . Однак ці значення не є коренями рівняння (1). Справді, якщо 0cos x , то

Znnx ,2

, звідки 1sin x або 1sin x . Для таких значень х рівняння (1)

перетворюється у рівність 001 ba , яка при 0a і 0b є невірною. Приклад 1 Розв’язати рівняння 0cossin2 xx . Розв’язання. Поділивши обидві частини рівняння на xcos ,

матимемо: .,21

21;012 Znnarctgxtgxtgx

Відповідь: .,21 Znnarctgx

Однорідним тригонометричним рівнянням другого степеня відносно

синуса та косинуса називають рівняння виду

0coscossinsin 22 xcxxbxa , (2) де а, b і с – деякі числа, з яких хоча б одне відмінно від нуля.

Якщо одне з чисел а=0, або с=0, то рівняння (2) можна розв’язати способом розкладання на множники.

Якщо ж обидва числа 0a і 0c то, поділивши обидві частини рівняння (2) x2cos або на x2sin , одержують рівносильне йому рівняння

02 ctgxbxtga або 02 xtgcctgxba відповідно.

Обґрунтування рівносильності проводиться так само, як і для однорідного тригонометричного рівняння першого степеня.

65

Приклад 2 Розв’язати рівняння 0coscossin3sin2 22 xxxx . Розв’язання. Поділивши обидві частини рівняння на x2cos ,

одержимо рівняння: 0132 2 tgxxtg . Це квадратичне рівняння відносно

змінної tgx і має корені 21 і 1. Таким чином, маємо:

.,4

1

;,21

21

Zkkxtgx

Znnarctgxtgx

Відповідь:

Zknknarctg ,

4;

21 .

Приклад 3 Розв’язати рівняння 2sin5cossin2cos3 22 xxxx . Розв’язання. Домножимо праву частину рівняння на тригонометричну

одиницю ( xx 22 sincos ) : xxxxxx 2222 sincos2sin5cossin2cos3 . Розкриємо дужки, перенесемо всі члени до лівої частини рівняння і приведемо подібні доданки : 0sin3cossin2cos 22 xxxx .

Після ділення обох частин рівняння на x2cos отримаємо : 0123 2 tgxxtg , тобто рівняння квадратичне відносно xtg .

0812442 acbD . Це означає, що рівняння не має дійсних розв’язків. Відповідь: дійсних розв’язків немає. До однорідних також зводяться рівняння вигляду cxbxa cossin .

Дійсно, використавши формули подвійного аргументу і записавши це рівняння

у вигляді

2sin

2cos

2sin

2cos

2cos

2sin2 2222 xxcxxbxxa ,

зводимо його до 02

cos2

cos2

sin22

sin 22 xbcxxaxbc .

Проілюструємо використання цього методу на розв’язанні рівняння з прикладу 7 пункту 3.4.1.

Приклад 4 Розв’язати рівняння 1cos3sin4 xx .

Розв’язання.

2sin

2cos1

2sin

2cos3

2cos

2sin24 2222 xxxxxx ;

2sin

2cos

2sin3

2cos3

2cos

2sin8 2222 xxxxxx

;

02

cos42

cos2

sin82

sin2 22 xxxx .

66

Розділимо обидві частини рівняння на 2

cos2 x і отримаємо квадратичне

рівняння відносно 2xtg : 04

28

22 2

xtgxtg , яке має корені 622

xtg .

Отже, Znnarctgx ,2622 . Ту ж саме відповідь ми отримали, розв’язуючи це рівняння за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки.

Приклад 5 Розв’язати рівняння

02cos82cos2sin82cos2sin2sin 4334 xxxxxx . Розв’язання. Поділивши обидві частини рівняння на x2cos2 ,

отримаємо рівняння четвертого степеня відносно xtg2 : 082822 34 xtgxtgxtg ;

01281223 xtgxtgxtg ; 012823 xtgxtg . Це рівняння зводиться до еквівалентної сукупності рівнянь:

.,28

;,4

212

;,2

221;,2222;823

ZkkxZkkxxtg

ZnnarctgxZnnarctgxxtgxtg

Відповідь:

Zknknarctg ,

28;

22

21 .


1coscossincossincossinsin 432234 xxxxxxxx . Розв’язання. Представивши праву частину рівняння у вигляді

xxxxxx 42242222 coscossin2sincossin11 , отримаємо: 0cossincossincossin 3223 xxxxxx ;

0coscossinsincossin 22 xxxxxx

2 2 2

sin 0 , ;

cos 0 ,2

sin sin cos cos 0 1 0; .

x x n n Z

x x k k Z

x x x x tg x tgx tgx

Znnx ,2 .

Відповідь: Znnx ,2 .

67

Приклади для самостійного розв’язання Розв’язати рівняння: 1) ;2sin42cos2cos5sin3 22 xxxx

2) ;0cos7cossin2sin8sin3 222 xxxxx

3) 0)2

sin(5sin3 xx ; 4) ;0cos2sinsin3 2 xxxx

5) ;0cossin3cos2 xxx 6) ;cos6sin4sec xxx

7) ;2sin21cos4sin3 22 xxx 8) ;2

2coscossin

xxx

9) ;3cos10cossin8sin 22 xxx 10) xxx 22 sin22sin3cos4 ;

11) ;1cossin2 xx 12) 33cos313sin4 xx .

3.4.3 Рівняння, що розв’язуються за допомогою формул додавання Приклад 1 Розв’язати рівняння .02sin3cos2cos3sin xxxx Розв’язання. Скориставшись формулою

sincoscossin)sin( ,

запишемо рівняння у вигляді ,05sin x звідки ;5nx

Zn

Відповідь: Znnx ,5 .

Приклад 2 Розв’язати рівняння .7sin4cos3sin xxx Розв’язання. Розкладемо аргумент 7х на суму 3х + 4х :

xxxxxxx 4sin3cos4cos3sin)43sin(7sin . Тоді задане рівняння набуває вигляду 03cos4sin xx і розпадається на простіші:

.,4

04sin

;,36

03cos

Zkkxx

Znnxx

Відповідь:

Zknkn ,

4;

36 .

68

З використанням формул додавання тісно пов’язаний метод введення допоміжного кута, третій за рахунком метод, який дозволяє розв’язувати рівняння вигляду cxbxa cossin .

Розглянемо вираз xbxa sincos , де a і b - деякі відмінні від нуля числа. Перепишемо його так:

x

ba

bxba

abaxbxa cossincossin2222

22 .

Оскільки 12

22

2

22

ba

b

ba

a , то існує такий кут , що

2222sin,cos

ba

b

ba

a

.

Тоді xxxbaxbxa sinsincoscossinsincos 22 .

2 2

2 2

2 2

cos sin sin ,

cos ,

sin .

a x b x a b x

aa bде допоміжний кут визначається із системи

ba b

Цю формулу називають формулою допоміжного кута.

Слід зауважити, що значення sin та cos призначено довільно. Якщо

ж число 22 ba

a

вважати за sin , а

22 ba

b

– за cos , то отримаємо

наступне перетворення:

xxxbaxbxa coscoscossinsinsincos 22 , і формула допоміжного кута набуде вигляду:

2 2

2 2

2 2

cos sin cos ,

sin ,

cos .

a x b x a b x

aa bде допоміжний кут визначається із системи

ba b

69

Приклад 3 Розв’язати рівняння .1cossin3 xx Розв’язання. В лівій частині рівняння винесемо за дужки множник

21313 22 : 1cos

21sin

232

xx ;

21cos

21sin

23

xx .

Введемо допоміжний кут такий, що 21sin,

23cos . Це кут

6

.

21cos

6sinsin

6cos xx ;

21

6sin

x ,6

16

nx n Zn ;

,66

1 nx n Zn

.,2266

1266

1:12

,,23

266

266

1:2

12

2

Zkkkkkn

Zkkkkknx

k

k

Таким чином, коренями даного рівняння є кути

Zknkn ,2;2

3 .

Розглянемо, як виглядатиме розв’язання, якщо ввести інший кут , такий,

що 21cos,

23sin . Ці тригонометричні функції відповідають куту

3

.

21cos

3cossin

3sin xx ;

21sin

3sincos

3cos

xx ;

21

3cos

x ,23

23

nx Zn ; ,2

332 nx

Zn

.,23

233

2

,,22233

2

Zkkk

Znnnnx

Як бачимо, відповіді, отримані в першому та другому випадках, співпадають.

Відповідь:

Zknkn ,2;2

3 .

70

Приклад 4 Розв’язати рівняння 1cos3sin4 xx . Розв’язання. Нагадаємо, що це рівняння розв’язувалось за

допомогою універсальної тригонометричної підстановки (приклад 7 пункту 3.4.1) та як однорідне (приклад 4 пункту 3.4.2). Розв’яжемо його тепер методом введення допоміжного кута.

Оскільки 52591634 22 , то рівняння зводиться до вигляду 1sin5 x , де допоміжний кут належить першій координатній

чверті і визначається із системи

.54cos

,53sin

51sin x nx n

51arcsin1 ; Znnx n ,

51arcsin1 .

Отже, відповідь можна записати у вигляді

Znnx n ,53arcsin

51arcsin1 або

Znnx n ,54arccos

51arcsin1 .

Як бачимо, форма запису розв’язку тригонометричного рівняння може бути різною і залежить від способу розв’язання (нагадаємо, що в попередніх розв’язаннях було отримано відповідь у вигляді

Znnarctgx ,2622 ). Але слід розуміти, що це лише різні форми запису тих же самих коренів.



1) ;37sin2sin

3cos xxx

2) ;03sin23cos3cos

2sin

xxxx

3) ;1cos3sin xx

4) ;2cossin3 xx

5) .1cossin xx

71

3.4.4 Рівняння, що розв’язуються перетворенням тригонометричної суми в добуток

Спрощення тригонометричних рівнянь, ліва частина яких є сумою чи

різницею однойменних тригонометричних функцій, можна досягти, використовуючи відомі формули :

2

cos2

sin2sinsin ;

2

cos2

cos2coscos ;

2

sin2

sin2coscos ;

Znntgtg

,2

;;coscos

)sin(

.

Приклад 1 Розв’язати рівняння 06

sin3sin

xx

.

Розв’язання. ;026

3cos

26

3sin2

xxxx

012

2cos12

sin

xx

.,224

7;212

72;212

2 012

2cos

;,12

;12

012

sin

Zkkxkxkxx

Znnxnxx

Відповідь:

Zknkn ,

2247;

12 .

Як наголошувалося вище, розв’язання довільних тригонометричних

рівнянь зазвичай зводиться до розв’язання еквівалентної сукупності найпростіших тригонометричних рівнянь. При цьому може виявитися, що серед одержаної сукупності можливих розв’язків деякі серії розв’язків

містяться в інших (наприклад, розв’язки Znnx ,22

містяться серед

розв’язків Zkkx ,2

при Znnk ,2 ). Такі розв’язки потрібно

виключити з сукупності одержаних розв’язків .

72

Нехай, наприклад, одержано дві серії розв’язків:

Znnx ,341 і Zkkx ,

6122 .

З'ясуємо, чи міститься одна з цих серій кутів в іншій. Для цього

розглянемо рівність kn61234

kn 2143 12 nk .

Отримана рівність показує, що розв’язок 1x міститься в розв’язку 2x при 12 nk , Zn , і тому розв’язок 1x має бути виключений.

В загальному випадку припустимо, що серія розв’язків 1x містить параметр Zn , а серія розв’язків 2x – параметр Zk . Щоб з’ясувати, чи міститься одна з цих серій в іншій, треба зрівняти ці розв’язки і знайти залежність n від k. Якщо ця залежність лінійна ( bakn і Zba , ), то серія розв’язків 2x міститься в серії розв’язків 1x . Якщо ж хоча б один з коефіцієнтів (а чи b) не цілий, то треба знайти залежність k від n . Якщо ця залежність має вигляд Znk ,, , то серія розв’язків 1x міститься в серії розв’язків 2x . При умові, що один з коефіцієнтів Z , серії розв’язків не містять одне одного.

В отриманій відповіді попереднього прикладу може здатися, що одна

серія розв’язків міститься в іншій. Перевіримо це припущення.

kn224

712

kn 127242 ; 92412 nk ;

432 nk ,

тобто при Zn Zk і навпаки. Отже, жодна з серій розв’язків не входить в іншу.

В деяких випадках з отриманого розв’язку тригонометричного рівняння

треба виключити сукупність коренів (які, наприклад, не належать області визначення рівняння). Нехай з серії розв’язків 1x , що містить параметр Zn , треба виключити сукупність тих коренів, що належать до серії розв’язків 2x з параметром Zk . Щоб виконати це виключення, серії розв’язків зрівнюються і з отриманої рівності n виражається через k : kAn . Якщо існують Zk , при яких ZkA , то з серії розв’язків 1x мають бути виключені корені, що відповідають kAn .

Наприклад, з серії розв’язків Znnx ,2

треба виключити

сукупність коренів Zkk ,22

3 . Запишемо рівність kn 22

32

12 kn . Таким чином, непарні n мають бути виключені.

В результаті виключення Zkkx ,22

.

73

Приклад 2 Розв’язати рівняння 0cos1

sin3sin

xxx

.

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі

.0cos1;0sin3sin

xxx

Розв’яжемо рівняння 0sin3sin xx :

02

3cos2

3sin2 xxxx ;

02cossin2 xx . Це рівняння зводиться до еквівалентної сукупності рівнянь:

02cos

0sinx

x

.,24

;,

2

1

Zkkx

Znnx

Розв’яжемо нерівність 0cos1 x : 1cos x Zmmx ,2 .

Тепер з серії розв’язків 1x та 2x треба виключити сукупність коренів Zmmx ,2 . Запишемо рівність mn 2 mn 21 . Таким

чином, непарні n мають бути виключені. В результаті виключення Znnx ,2 . Корені, що мають бути виключеними, не входять до серії розв’язків 2x :

mk 224

mk 8421 , тобто mk 423 , що неможливо при

Zmk , . Такий аналітичний метод виключення заданих коренів може бути

використаний в будь-яких складних випадках. Але, коли серії розв’язків рівняння достатньо прості, щоб їх можна було зобразити на одиничному колі, відповідь можна отримати, закресливши на рисунку корені, які мають бути виключені (рис. 3.16).

y

x1

Zkk ,24

Zmm

,2

Znn,

Рис. 3.16

Відповідь:

Zknkn ,

24;2 .

74

Приклад 3 Розв’язати рівняння 0cos3cos7cos9cos xxxx . Розв’язання. Згрупуємо ліву частину рівняння:

0cos3cos7cos9cos xxxx ;

02

3sin2

3sin22

79sin2

79sin2

xxxxxxxx ;

0sin2sin2sin8sin2 xxxx ; 02sin8sinsin2 xxx ;

02

28cos2

28sin2sin2

xxxxx ;

03cos5sinsin4 xxx . Це рівняння зводиться до еквівалентної сукупності рівнянь:

03cos05sin

0sin

xx

x

.,36

;,5

;,

3

2

1

Zmmx

Zkkx

Znnx

З’ясуємо, чи не містяться які-небудь з одержаних серій розв’язків х1, х2, х3 в інших :

1) nkkn 55

, тобто серія 1x міститься в серії 2x і тому 1x треба

виключити з розв’язку;

2) mkmk 1056365

, що неможливо при Zmk , .

Відповідь:

Zmkmk ,12

6;

5 .

Приклад 4 Розв’язати рівняння .sin4cos7sin xxx Розв’язання. 04cossin7sin xxx ;

;04cos4cos3sin2 xxx 013sin24cos xx

.,318

1213sin;013sin2

;,48

04cos

Zkkxxx

Znnxx

n

Відповідь:

Zknkn n ,

3181;

48 .

75

Приклад 5 Розв’язати рівняння 0sin3cos xx . Розв’язання. Щоб скористатися формулами перетворення

тригонометричної суми в добуток, треба за допомогою формул зведення

отримати в лівій частині рівняння однойменні функції: ;0sin32

sin

xx

04

cos24

sin2

xx

.,4

;24

04

cos

;,28

;4

2024

sin

Zkkxkxx

Znnxnxx

Відповідь:

Zknkn ,

4;

28 .

Приклад 6 Розв’язати рівняння .5cos5sin3cos1 2xxx Розв’язання. xxxxx 5cos5cos5sin25sin3cos1 22 ;

xx 10sin13cos1 ;

;010sin3cos xx

;010sin32

sin

xx

027

4cos

213

4sin2

xx

.,7

214

027

4cos

;,132

260

213

4sin

Zkkxx

Znnxx

Відповідь:

Zknkn ,

72

14;

132

26 .

76


Розв’язати рівняння: 1) 04sin3sin2sinsin xxxx ; 2) ;6cos7cos5cos xxx

3) ;3sin2sin2sin xxx 4) ;13sin

2sinsin

x

xx

5) ;sin323coscos 2 xxx 6) ;3cos3sin2sin1 2xxx

7) ;1sin25sin9sin 2 xxx 8) ;3cos28sin2sin xxx

9) ;3sin29sin xx 10) ;03cos2coscos1 xxx

11) ;0cossin 44 xx 12)

xx

2cos23sin ;

13) xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin .

3.4.5 Рівняння, що розв’язуються за допомогою формул подвійного

аргументу

Приклад 1 Розв’язати рівняння 1618cos4cos2coscos xxxx .

Розв’язання. Домножимо обидві частини рівняння на xsin :

xxxxxx sin1618cos4cos2coscossin .

Враховуючи, що xxx 2sin21cossin , xxxxx sin

1618cos4cos2cos2sin

21

;

xxx 4sin212cos2sin xxxx sin

1618cos4cos4sin

41

;

xxx 8sin214cos4sin xxx sin

1618cos8sin

81

;

xxx 16sin218cos8sin xx sin

16116sin

161

; xx sin16sin ;

0sin16sin xx ; 02

15sin2

17cos2 xx

.,152;

215 0

215sin

;,172

17;

2217 0

217cos

Zkkxkxx

Znnxnxx

77

Зауважимо, що, помноживши початкове рівняння на xsin , ми виконали

нееквівалентне перетворення – «нав’язали» рівнянню додаткові корені Zmmx , , які, як легко перевірити безпосередньою підстановкою, не є

коренями початкового рівняння. Тому з отриманих розв’язків ці корені мають бути виключені.

mn

172

17

2117

mn .

При Zllm ,12 Zllln

,8172

11217 . Отже, з першої серії

розв’язків слід виключити ті значення, що відповідають Zlln ,817 .

mk 152

215mk . При Zssm ,2 Zssk ,15 . Отже, з другої

серії розв’язків слід виключити ті значення, що відповідають Zssk ,15 .

Відповідь:

ZsskZllnZknkn ,15;,817;,,

152;12

17 .

Приклад 2 Розв’язати рівняння 12cos2

cos2 2 xx.

Розв’язання. Згадаємо, що 2cos1

2cos2 xx

xx cos12

cos2 2 , а 1cos22cos 2 xx .

Таким чином, маємо: 11cos2cos1 2 xx , тобто 01coscos2 2 xx . Розв’язавши це квадратне рівняння відносно xcos , для знаходження x отримаємо два простих рівняння:

1cos21cos

x

x

.),21(2

,,23

Znnnx

Znnx

Відповідь:

Zpnpn ,)21(;2

3 .

Приклад 3 Розв’язати рівняння 02

sincos1

xx .

Розв’язання. Враховуючи, що xx coscos та

2cos

22sin

2sin xxx

, рівняння має вигляд 02

coscos1 xx .

78

Скористаємось формулою пониження степеня 2cos1

2cos2

:

02

cos2

cos2 2 xx ; 01

2cos2

2cos

xx

.,432;4

34;2

32

221

2cos

;,202

cos

Zkkxkxkxx

Znnxx

Відповідь:

Zknkn ,4

32;2 .

Приклад 4 Розв’язати рівняння xxx 2cos222cos22sin3 2 .

Розв’язання. Скористувавшись формулою половинного аргументу і синуса половинного аргументу, можна переписати дане рівняння у вигляді:

xxxx cos4cos2cossin32 2

;0cos,cos4cos2cossin32

;0cos,cos4cos2cossin322

2

xякщоxxxx

xякщоxxxx тобто

.,22

3;22

,cos4cos2cossin32

;,22

;22

,cos4cos2cossin32

2

2

Znnnxякщоxxxx

Znnnxякщоxxxx

Розглянемо перше рівняння системи (умова 0cos x ): xxxx cos4cos2cossin32 2 ;

04cos232cos xx . Це рівняння вочевидь розпадається на два:

.1cos21sin

230cos xxix

Перше з них має корені Zkkx ,2

, і, так як при цих значеннях

x умова 0cos x виконується, вони є коренями даного рівняння. Друге з рівнянь належить до типу cxbxa cossin ; його ліву частину

можна перетворити до синуса різниці, визначив допоміжний кут в границях

від 0 до 2 : 1

6sin

x , звідки знаходимо серію розв’язків:

Znnx ,226

. Легко бачити, що вказані кути при будь-якому цілому

n розташовані в другій чверті. А косинус в другій чверті від’ємний, і умова 0cos x не виконується , тобто ці значення не є коренями вихідного рівняння.

79

Якщо 0cos x , то наше рівняння матиме вигляд xxxx cos4cos2cossin32 2 , звідки після скорочення на 0cos x

отримаємо 1cos21sin

23

xx , або 16

sin

x . Корені цього рівняння

Zmmx ,22

36

розташовані в четвертій чверті, а тому умова

випадку 0cos x для них не виконується і вони повинні бути відкинуті.

Відповідь:

Zkk

2.


24cos3cos2coscos 2222 xxxx .

Розв’язання. Скористаємось формулою 2

2cos1cos2 :

22

8cos12

6cos12

4cos12

2cos1

xxxx ;

48cos16cos14cos12cos1 xxxx ; 08cos6cos4cos2cos xxxx .

Перетворюючи суму перших двох і суму останніх двох доданків лівої частини в добуток, отримаємо:

0cos7coscos3cos xxxx ; 0)7cos3(coscos xxx ;

0cos2cos5cos xxx . Це рівняння зводиться до еквівалентної сукупності рівнянь:

05cos02cos

0cos

xx

x

.,510

;,24

;,2

Zkkx

Znnx

Zmmx

Перша серія розв’язків Zmmx ,2

може бути отримана з третьої

Zkkx ,510

при 25 km , тому має бути виключена з відповіді.

Відповідь:

Zmnmn ,

510,

24 .

80

Приклад 6 Розв’язати рівняння 87cossin 44 xx .

Розв’язання. Скористаємося формулами пониження степеня:

2

2cos1sinsin2224 xxx

; 2

2cos1cos2

4 xx .

При цьому рівняння набуде вигляду 87

22cos1

22cos1 22

xx ;

;32cos4 2 x 232cos x

.,125,

232cos

;,12

,232cos

Zkkxx

Znnxx

Це рівняння можна б було розв’язати і за допомогою формул

скороченого множення і наступної підстановки tx 2sin :

87cossin 44 xx ;

87cossin2cossin 22222 xxxx ;

87cossin21 22 xx ;

81cossin2 22 xx ;

41cossin4 22 xx ;

41cossin2 2 xx ;

412sin2 x ;

212sin x . Це рівняння еквівалентне

рівнянню 232cos x і має ті ж саме корені.

Відповідь:

Zknkn ,

125,

12 .

Взагалі, за допомогою формул скороченого множення і наступної

підстановки tx 2sin розв’язуються рівняння , що містять вирази вигляду

xx nn cossin , де Zn . Проведемо відповідні перетворення для деяких виразів такого вигляду:

1cossin 22 xx ;

xxxxxxxxx 2sin211cossin4

211cossin2cossincossin 2222222244 ;

xxxxxxxxxx 422422323266 coscossinsincossincossincossin

xxxxxxxx 222222222 cossin31cossincossin2cossin1

x2sin431 2 ;

81

xxxxxxxx 44244242488 cossin2cossincossincossin

xxxxxx 44

222222 cossin2cossin2cossin

xxxxxx 2sin812sin

211cossin16

1612cossin4

211 4

2244

222

.

Отже, при розв’язанні рівнянь доцільно користуватися результатами

наведених викладок:

.2sin812sin

211cossin

;2sin431cossin

;2sin211cossin

42

288

266

244

xxxx

xxx

xxx

Приклад 7 Розв’язати рівняння 128412cos2sin 88 xx .

Розв’язання. Згідно з попередніми викладками рівняння набуває

вигляду: 128414sin

814sin

211 4

22

xx ;

128414sin

814sin4sin1 442 xxx ;

0128874sin4sin

87 24 xx ;

0874sin1284sin16 24 xx .

Це рівняння, квадратичне відносно x4sin 2 і має корені 43 і

429 . Враховуючи,

що 14sin2 x , отримаємо розв’язок 434sin 2 x , звідки

234sin x ;

Znnx ,3

4 ; Znnx ,

412 .

Відповідь:

Znn

412 .

82

Приклад 8 Розв’язати рівняння xxxxx 2coscossin3cossin2 4466 .

Розв’язання. Згідно з проведеними перетвореннями рівняння набуває

вигляду xxx 2cos2sin21132sin

4312 22

;

xxxx 2cos2sin2112sin

2332sin

232 222 ;

12cos x nx 22 ; Znnx ,2

.

Відповідь:

Znn

2.


xxxxxx6cos46sin

3cos3sin43cos3sin 22

661010

.

Розв’язання. Для даного рівняння область допустимих значень змінної RD : 06cos46sin 22 xx ; 06sin146sin 22 xx ;

06sin34 2 x ; 1346sin 2 x , тобто немає таких значень змінної х, при яких

знаменник дробу перетворюється на нуль. Ліва частина рівняння є сумою п’ятих ступенів величин x3sin 2 та

x3cos2 : 52521010 3cos3sin3cos3sin xxxx Для проведення необхідних перетворень згадаємо формулу бінома

Ньютона: 543223455 510105 babbababaaba . Тоді 432234555 510105 abbababababa

bababababaabbabababaabba 2222522335 105105 225225 525 bababaabbaabbababaabba abbabaabba 25 5 .

Враховуючи, що 13cos3sin 22 xxba і xxxab 6sin413cos3sin 222 ,

xxxxxx 6sin1656sin

4516sin

4116sin

4513cos3sin 42221010

.

Крім того, xxx 6sin4313cos3sin 266 .

83

Згідно з проведеними перетвореннями початкове рівняння набуває вигляду:

x

xxx

6sin34

6sin4314

6sin1656sin

451 2

2

42

;

16sin1656sin

451 42 xx ;

06sin456sin

165 24 xx ;

016sin416sin

45 22

xx

xxx

Znnxnxxx

26sin;46sin

;,6

;606sin;06sin

2

2

Відповідь:

Znn

6 .

Приклад 10 Розв’язати рівняння 22cos7sin xx .

Розв’язання. На перший погляд може здатися, що в цій задачі немає нічого особливого, але в ході проведення перетворень стає ясно, що це рівняння не зовсім звичайне : воно не „розпадається” на декілька простіших, а приводиться до системи двох простіших тригонометричних рівнянь з одним невідомим.

Переписуючи дане рівняння у вигляді 02cos172

cos1

xx і

перетворюючи кожне з виразів у квадратних дужках, прийдемо до

співвідношення 0cos42

7cos 22

xx . Як відомо, сума квадратів двох

величин дорівнює нулю лише в тому випадку, коли обидві ці величини дорівнюють нулю. Таким чином дане рівняння еквівалентне системі двох

рівнянь з однією невідомою :

.0cos

,042

7cos

x

x

Отже, необхідно отримати всі розв’язки системи, тобто такі x , що задовольняють обидва рівняння цієї системи.

84

Розв’язуючи перше та друге рівняння системи, відповідно отримаємо:

.,2

;,7

2143

Znnx

Zkkx

Тепер необхідно зібрати всі значення x , що містяться водночас в обох цих серіях (тобто знайти всі такі значення x , які будуть отримані при деякому цілому k із першої серії і при деякому цілому n із другої).

Для цього скористуємося тригонометричним колом (рис. 3.17). Відмітимо на ньому точками значення x , що входять до першої серії при 0, 1, 2, ,6k . Можна побачити, що точки, які зображують решту значень x , що містяться в цій серії (для решти значень k ) повторюються через 7 одиниць (наприклад, точка, що відповідає значенню x при 9k , співпадає з точкою, що відповідає значенню x при 2k і так далі). Значення x із другої серії помічаємо хрестиками для n = 0, 1; точки, що відповідають решті значень n повторюються через дві одиниці.

y

x0 1

n=1k=4 k=5

k=6

k=0

k=1n=0

k=2

k=3

Рис. 3.17

Із рисунка ясно, що розглянуті

серії мають спільними ті значення x , яким відповідають верхній кінець вертикального діаметра, ці значення отримаємо з другої серії при Zppn ,2 а із першої серії – при Zqqk ,17 . Таким чином, розв’язок системи, а отже, і даного рівняння є таким :

Zppx ,22

.

Відповідь:

Zpp 2

2 .

Приклади для самостійного розв’язання Розв’язати рівняння:

1) ;412cossin 2 xx 2) ;1cos

2sin xx

3) ;3sin2sinsin 222 xxx 4) ;02sinsin2 22 xx

5) ;1sincos 44 xx 6) .13cos2cos 22 xx

85

3.4.6 Рівняння, що розв’язуються перетворенням добутку тригонометричних функцій в суму

Для розв’язання цього типу рівнянь використовуються формули:

.)]sin()[sin(21cossin

;)]cos()[cos(21sinsin

;)]cos()[cos(21coscos

Приклад 1 Розв’язати рівняння .4sin413sincossin2 2 xxxx

Розв’язання. ;4sin413sincossinsin2 xxxxx

;4sin413sinsincossin2 xxxxx ;2cos2sin

213sinsin2sin xxxxx

;02cos213sinsin2sin

xxxx ;02cos4cos2cos2sin

21

xxxx

04cos2sin21

xx

.,48

04cos

;,2

02sin

Zkkxx

Znnxx

Відповідь:

Zknkn ,

48;

2 .

Приклад 2 Розв’язати рівняння .5sin3cos7sincos xxxx Розв’язання.

;53sin53sin217sin7sin

21 xxxxxxxx

xxxx 8sin2sin8sin6sin ; xx 2sin6sin ; 02sin6sin xx ;

04cos2sin2 xx

.,48

04cos

;,2

02sin

Zkkxx

Znnxx

Відповідь:

Zknkn ,

48;

2 .

86


xxxxx 12sin418cos2coscossin .

Розв’язання. Перетворимо рівняння, враховуючи, що

xxx 2sin21cossin : xxxx 12sin

418cos2cos2sin

21

; xxx 12sin8cos4sin .

Скористаємось формулою )]sin()[sin(21cossin :

xxx 12sin12sin4sin21

;

04sin12sin xx ;

04cos8sin2 xx

.,48

04cos

;,8

08sin

Zkkxx

Znnxx

Друга серія розв’язків Zkkx ,48

може бути отримана з першої

Znnx ,8

при Zkkn ,12 , тому має бути виключена з відповіді.

Відповідь:

Znn

8 .



1) 32coscossin8 xxx ; 2) ;3sin212sin

31

23cos

2sin xxxx

3) ;4sin417sin5cos3sincos xxxxx 4) ;

21cossin xx

5) ;12coscossin4 xxx 6) .7cos5cos8coscos xxxx

87

3.5 Системи тригонометричних рівнянь Під час розв’язання тригонометричних рівнянь використовують відомі

вже способи розв’язання систем, а саме: спосіб підстановки, спосіб додавання, метод заміни змінних.

Приклад 1 Розв’язати систему рівнянь

.;2sinsin

yxyx

Розв’язання. Виразимо з другого рівняння системи змінну y через змінну х: xy . Підставивши в перше рівняння замість y вираз x ,

матимемо: 2sinsin xx ; 2sinsin xx ; 22sin x ;

Zkkx k ,4

1 . Тоді Zkkxy k

,

41

Відповідь: Zkkk kk

,

41;

41 .


.43coscos

;41sinsin

yx

yx

Розв’язання. Додамо до першого рівняння системи друге рівняння, а до другого – перше, помножене на 1 . Матимемо:

;21sinsincoscos

;1sinsincoscos

yxyx

yxyx

;21cos

;1cos

yx

yx

.,23

;,2

Znnyx

Zkkyx

Одержану систему рівнянь розіб’ємо на дві системи:

1)

;,23

;,2

Znnyx

Zkkyx

2)

.,23

;,2

Znnyx

Zkkyx

Додаючи рівняння системи першої системи і віднімаючи від другого рівняння системи перше рівняння, знаходимо:

;223

2

;223

2

kny

knx

;6

;6

kny

knx

ZkZn , .

88

Аналогічно знаходимо розв’язки другої системи:

;6

;6

kny

knx

ZkZn , .

Відповідь:

knyknx

6;

6,

knyknx

6;

6, ZkZn , .


.12cos2cos

;22sinsin

yx

yx

Розв’язання. Нехай ux sin , vy sin . Тоді 22 21sin12cos uxx , 2212cos vy і друге рівняння системи матиме вигляд 12121 22 vu або 12 22 vu .

Отримали систему

.21

;22

22 vu

vu

Піднесемо обидві частини першого рівняння до квадрата: 212 22 vuvu .

Віднявши від одержаного рівняння друге рівняння системи, отримаємо: 02 uv , звідки 0u або 0v . Із першого рівняння системи знаходимо:

1) якщо 0u , то 22

v ;

2) якщо 0v , то 22

u .

Повертаючись до заміни, матимемо:

1)

;22sin

;0sin

y

x

;,4

1

;,

1 Znny

Zkkxn

2)

;0sin

;22sin

y

x

;,

;,4

1

Znny

Zkkx k

Відповідь:

nk n

41; 1 ,

nkk ;

41 , ZkZn , .

89

Приклади для самостійного розв’язання Розв’язати систему рівнянь:

1)

;0sincos

;2

yx

yx 2)

;;1sinsin

yxyx

3)

;0cossin;1cossin

yxyx

4)

;1cossin3;2cos3sin

yxyx

5)

;2sincos

;2

yx

yx 6)

;1cossin4

;6

yx

yx

7)

;0

;4

tgytgx

yx 8)

;41sincos

;43cossin

yx

yx 9)

;3

;75,0sinsintgytgx

yx

10)

;1cossin

;1cossin22 yx

yx 11)

;1sinsin

;41sinsin

yx

yx 12)

.45coscos

;21coscos

22 yx

yx

Вправи для узагальнення та систематизації набутих вмінь та навичок

I Спростити вираз :

1 22

22

22

cossinsincos ctgctg

. Відповідь: 1.

2

sin1

cos

ctg . Відповідь:

sin1

ctg .

3 )sin1)(sin1(sin 112 ctgctg . Відповідь: 2sin .

4

sinsin2)cos()sin(cossin2

. Відповідь: )( tg .

5 )

23sin()(

)cos()2

3cos()2

(

ctg

tg . Відповідь: sin .

6

2cos)6cos(

2sin6sin

. Відповідь: 2.

7


. Відповідь: 4ctg .

90

8 1cos2cos

3cos2coscos12

. Відповідь: cos2 .

9

223

223

25sin4

22

ctgtg . Відповідь: 2sin .

10 1sin1cos

22

22

tgctg . Відповідь: 2ctg .

II Довести тотожність :

1 1

4sin

42

1cos22

2

tg.

2 01)cos(sin3)cos2(sin2 4466 .

3

sin

13sin3cossincos

)1cos22(sin2 2

.

4

8sin48cos22

122

ctg

ctgctg .

5 212sin

4cos112cos

4cos122

.

6 cossin)1(cos)1(sin 33 tgctg .

7

tgtg

tgtgtg

tgtgtg 2

)()(

.

8 )(sin)cos(sinsin2sinsin 222 .

III Перетворити в добуток :

1 2cos88cos4cos43 4 . Відповідь: 4cos8 .

2

24122

tgtgtgctg

. Відповідь: 42ctg .

3

2

45sin2

45sin 22 . Відповідь: 4sin .

4

6

25sin)2cos(

232cos4 2 . Відповідь: 2sinsin8 22 .

91

IV Розв’язати рівняння :

1 65 ctgxtgx . Відповідь: ; 5 ; ,4

n arctg k n k Z

.

2 03cossin3cossin1 xxxx . Відповідь: ; 5 ; ,4

n arctg k n k Z

.

3 xxx 4cos3cos7cos . Відповідь: ; ; ,7 3n k n k Z

.

4 xxxx sin3cos3cos3sin . Відповідь: ;2

n n Z

.

5. 812coscossin xxx . Відповідь: ( 1) ;

24 4n n n Z

.

6 22sinsin2 22 xx . Відповідь: (2 1); ; ,2 4 2

n k n k Z

.

7 xxxtgtgx cos3sin2 . Відповідь: ;3

n n Z

.

8 xxx 3cos2)8sin(2sin .

Відповідь: (2 1); ( 1) ; ,6 20 5

kn k n k Z

.

9 1)45sin()15sin( 00 xx . Відповідь: 0 015 360 ;n n Z .

10 032cos72sin3 2 xx . Відповідь: (2 1);4

x n n Z

.

11 3cos22sin3 2 xx . Відповідь: (4 1); 5 ; ,4

n arctg k n k Z

.

12 0cos3cos7cos9cos xxxx . Відповідь: ; (2 1); ,5 6k n n k Z

.

13 2)3sin3(cos2sin1 xxx . Відповідь: ; (2 1); ,2 8k n n k Z

.

14 2coscossinsin6 22 xxxx . Відповідь: 3; ; ,4 4

n arctg k n k Z

.

92

15 xxxx 22 cos3cossin2sin . Відповідь: ; 3 ; ,4

n arctg k n k Z

.

16 xxxx 2cos2sin2cos2sin 44 . Відповідь: (4 1);8

n n Z

.

17 2

2cos4sin

2sin 2

22

2 xtgxx

x

. Відповідь: (2 1);2

n n Z

.

18 ctgxx

x

2

cos1sin . Відповідь: ( 1) ;

6n n n Z

.

19 23

)cos(2

3cos

23cos5)cos(2

xx

xx

. Відповідь: ;

4n n Z

.

20 tgxxx 2sin34sin . Відповідь: ; ; ,3

n k n k Z

.

21 07sin5sin3sinsin xxxx . Відповідь:

Zkk |

4 .

22 xxxx 2sin3cos8sin7cos . Відповідь: ; (4 1); (4 1)| , ,5 2 10n k m n k m Z

.

23 1sin26cos2cos 2 xxx . Відповідь:

Znn |)12(12 .

24 04cos3cos2coscos 2322 xxxx . Відповідь:

Zknnk ,|

5;

2 .

25 xxxx 6sin5sin4sin3sin 2222 . Відповідь:

Zknnk ,|

9;

2 .

26

xxxx 6

4sin)52(cos2

4cos)32(sin 2222 .

Відповідь: (2 1) (4 1) 8 (4 1) 8; ; | , ,16 4 12n k m n k m Z

.

27 ttt

tt 4cos2sin2cos3

2sin22cos6 33

. Відповідь:

Znnarctg |

23

21 .

93

38 52cossin2 xx . Відповідь: 2 3 2 ; 2 7 2 | ,arcctg k arcctg n n k Z .

29 35cos25sin3 zz . Відповідь: 2 2(4 1); 5 | ,10 5 5

kn arcctg n k Z

.

30 xxxxx 3cos2

cossin1cossin1 2

44

66


Zkk |)16(18 .

31

xxxx 2

4cos2

4cos29sin7sin 22 .

Відповідь: (2 1) 2 (2 1) (2 1); ; | , ,2 5 11n k m n k m Z

.

32

xxxxx 6

4sin

4sin9sin2

4cos5

4sin . Відповідь:

Zkk |

4 .

33 0sin2xcos7x2

5xcos2xsin

23xcos

27xsin . Відповідь:

Zkk |

6 .

34 )1(4sin)1(3cos)1(7sin)1cos( xxxx .

Відповідь:

Zknkn ,|1)12(

10;1

2 .

35 013332 24 xtgxtg . Відповідь: 1 2(4 1); | ,12 3 2 3

kn arctg n k Z

.

36 41

11

12

tgxtgx

tgxctgx . Відповідь:

Znn |)14(16 .

37 03112

2sin12sin1

tgxtgx

xx . Відповідь: ; 2 | ,k arctg n n k Z .

38 022

2

xctgctgx

ctgxxctg . Відповідь:

Zkk |)13(

3 .

39 42244 xctgxtgxctgxtg . Відповідь:

Znn |)12(

4 .

40 6sin2sinsinsin2 212 xxxx .

Відповідь:

Zknknn ,14

2;

6)1( 1 .

94

41 02sin)sin(cos44 xxx . Відповідь: 2 ; (4 1) | ,2

k n n k Z

.

42 01)cos(sin52sin xxx . Відповідь:

Znn |)14(

4 .

43 34cos xctgxtgx . Відповідь: 1 5 1(4 1); 1 arcsin | ,4 2 2 2

k kn n k Z

.

44 532sin2 tgxx . Відповідь:

Znn |)14(

4 .

45 12cos34 xxctg . Відповідь: (2 1); (2 1) | ,4 2

n k n k Z

.

46 01612cos2cos 24 tgxxx . Відповідь:

Znnarctg

21261 .

47 167cossin 66 xx . Відповідь:

Zkk |)13(

6 .

48 6429cossin 1010 xx . Відповідь:

Zkk |)12(

8 .

49 )cos(sin21)2cos2(sin

232cos2sin 4466 tttttt .

Відповідь: (2 1); (4 1) | ,2

n k n k Z

.

50 05cos215sin

233sin xxx . Відповідь: 75 180 ; 45 3 45 | ,n k n k Z .

51

xxx 2

6cos5)2cos32(sin 2 . Відповідь:

Znn |)512(12 .

52 xxx cos2

3112

cos2

3cos


Zkk |)512(

6 .

53 01cossin2cos2sin 234 xxxx . Відповідь: Znn |)12( .

95

Питання для самоперевірки 1 Що таке кут 1 радіан; 1? Яка залежність між градусною та радіанною

мірами кута? 2 Дайте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута .

3 Назвіть значення тригонометричних функцій 30; ; ; ; ; ; ; 26 4 3 2 2

.

4 Які знаки мають тригонометричні функції у кожній з координатних чвертей?

5 Яку функцію називають періодичною? Назвіть основні періоди тригонометричних функцій.

6 Перерахуйте властивості функцій siny x , cosy x , y tgx , y ctgx . 7 Побудуйте графіки функцій siny x , cosy x , y tgx , y ctgx . Як

називають графік синуса; косинуса? 8 Запишіть основну тригонометричну тотожність. 9 Запишіть формули, що пов’язують тригонометричні функції одного і

того самого аргументу. 10 Запишіть формули синуса, косинуса і тангенса суми та різниці двох

аргументів (формули додавання). 11 Сформулюйте правило, за яким можна записати формули зведення. 12 Запишіть формули подвійного аргументу. 13 Запишіть формули половинного аргументу. 14 Запишіть формули, які виражають тригонометричні функції через

тангенс половинного аргументу. 15 Запишіть формули, які дозволяють перетворювати добутки

cos cos , sin sin , sin cos у суми або різниці тригонометричних функцій.

16 Запишіть формули суми і різниці синусів, косинусів, тангенсів і котангенсів.

17 Яку функцію називають оборотною? Наведіть приклад оборотної функції; необоротної функції.

18 Яку функцію називають оберненою до даної оборотної функції? 19 Сформулюйте властивості оберненої функції, що випливають з

властивостей прямої функції. 20 Як розташовані графіки двох взаємно обернених функцій? 21 Які властивості має функція arcsiny x , arccosy x , y arctgx ,

y arcctgx ? 22 Що називають арксинусом числа a ; арккосинусом числа a ;

арктангенсом числа a ? 23 Які рівняння називають тригонометричними? 24 За якими формулами шукають корені рівнянь sin x a , cos x a ,

tgx a , ctgx a ? 25 Які основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь?

96

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1 Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы

(с решениями). В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / Егеров В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др.; под ред. Сканави М.И. – М.: Высш.шк., 1994. – 528с.

2 Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1984. – 416с.

3 Бондаренко М.Ф., Дикарев В.А., Мельников А.Ф. и др. Под ред. Семенца В.В. Математика для поступающих в ВУЗы / Учебное пособие. – Харьков, ХТУРЭ, 1999. – 1120с.

4 Кравчук В. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2006. – 320с.

5 Елементарна математика: Навчально-методичний посібник / Олійник Л.В., Гаєвська В.О., Лисянська Г.В., Кононенко А.І. – Х.: ХДТУБА, 2006. – 116с.

6 Методические указания к организации самостоятельной работы по математике для слушателей подготовительных отделений. Тригонометрия / Золотова Л.П., Исикова Л.А., Королева А.И. и др. – К.: УМК Минвуза, 1987.– 80с.

7 Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб.пособие для студентов физ.-мат. спец.пед. ин-ов. – М.: Просвещение, 1991.– 352с.

8 Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1981. – 480с.

9 Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями). – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1983. – 384с.

10 Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.: Просвещение, 1991.– 384с.

97

ЗМІСТ

ВСТУП................... .....................................................................................................3 I ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ……………..………………………………....4 1.1 Кути довільної величини. Вимірювання кутів..............................................4 1.2 Означення тригонометричних функцій…………..........……………….......9

1.2.1 Тригонометричні функції кута у межах від 0 до 180 …………....9 1.2.2 Тригонометричні функції довільного кута ………………………..11

1.3 Властивості тригонометричних функцій………………………...………..16 1.3.1 Область визначення та область значень……………………...……16 1.3.2 Парність і непарність тригонометричних функцій………………..17 1.3.3 Періодичність тригонометричних функцій……………...………...17

II ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ……….……………21 2.1 Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того

самого аргументу……..…………………...……..……………………..…21 2.2 Формули додавання......................................................................................25 2.3 Формули зведення…………………………………………………………29

2.4 Формули подвійного і половинного аргументів…………………………33 2.5 Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій

у добуток та навпаки………………….…………………………………...40 III ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ……….………………………………..46

3.1 Обернена функція………………………………….……………...……….46 3.2 Обернені тригонометричні функції............................................................47 3.3 Простіші тригонометричні рівняння…………………….…………….…55 3.4 Деякі прийоми розв’язання тригонометричних рівнянь…….….……….57

3.4.1 Рівняння, що зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функцій…………………………………..…...57

3.4.2 Рівняння, однорідні відносно синуса та косинуса…………….....64 3.4.3 Рівняння, що розв’язуються за допомогою формул додавання...67 3.4.4 Рівняння, що розв’язуються перетворенням тригонометричної суми в добуток…….…...…………………………...………………71 3.4.5 Рівняння, що розв’язуються за допомогою формул подвійного аргументу………….…………….………………………………….76 3.4.6 Рівняння, що розв’язуються перетворенням добутку тригонометричних функцій в суму……………..………………...85

3.5 Системи тригонометричних рівнянь…………………………………….87 Вправи для узагальнення та систематизації набутих вмінь та навичок………..90 Питання для самоперевірки………………………………………………………..95 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ…………………….....................96

Documents

mathem-kstuca.ucoz.uamathem-kstuca.ucoz.ua/Liter/Trigonom_ua.pdf · 4 I ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ 1.1 Кути довільної величини. Вимірювання