Embed Size (px)
Citation preview
Міністерство освіти і науки України
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ
БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ
Л.І. Щелкунова
ТЕКСТИ ЛЕКЦІЙ
з курсу «Вища та прикладна математика»
для студентів спеціальності 074
«Публічне управління та адміністрування»
Харків 2017
Міністерство освіти і науки України
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ
Л.І. Щелкунова
ТЕКСТИ ЛЕКЦІЙ
з курсу «Вища та прикладна математика»
Рекомендовано
науково-методичною радою університету
у якості текстів лекцій для студентів
технічних вищів
освітньо-кваліфікаційного ступеня «Бакалавр»
спеціальності 074 «Публічне управління та адміністрування»
Харків 2017
Щ – 45
УДК 517:514.12:512.64
Рецензенти:
А.А. Янцевич, доктор фіз.-мат. наук, професор каф. математичних методів в
економіці Харківського національного університету ім.. В.Н. Каразіна (ХНУ).
А.П. Харченко, канд. фіз.-мат. наук, професор каф. вищої математики
Харківського національного університету будівництва та архітектури
(ХНУБА)
Рекомендовано кафедрою вищої математики ХНУБА,
протокол № 1 від 30.08.2017
Затверджено науково-методичною радою університету,
протокол № 1 від 14.09.2017
Щ – 45 Щелкунова Л.І. Вища та прикладна математика: тексти лекцій для
студентів спеціальності 074. – Х.: ХНУБА, 2017. – с. 168
Викладено теоретичні та практичні основи таких розділів вищої
математики: лінійна та векторна алгебра, аналітична геометрія на площині та у
просторі, диференціальне та інтегральне числення функції, функції однієї
змінної, диференціальні рівняння, теорія ймовірностей та математична
статистика..
Викладання теоретичного матеріалу у всіх розділах супроводжується
розглядом багатьох прикладів. Теоретичний матеріал супроводжується
питаннями для самоперевірки.
Призначено для студентів спеціальності 074 «Публічне управління та
адміністрування».
Іл.: 81; табл.. 5; бібліогр.: 9 назв.
© Л.І.Щелкунова, 2017
3
ВСТУП
Дані тексти лекцій складені у відповідності до робочої програми
дисципліни «Вища та прикладна математика» для студентів спеціальності 074
«Публічне управління та адміністрування» і містить 16 лекцій. Протиріччя між
необхідністю та важливістю вивчення курсу «Вища та прикладна математика»
для студентів спеціальності 074 і обмеженістю навчальних годин, відведених на
цей процес, ускладнює задачу викладання навчальної дисципліни. Для
усунення цієї перешкоди автор додає до кожної лекції довідкові матеріали, що,
за думкою автора, спрямоване на полегшення засвоєння студентами великого
обсягу матеріалу при невеликої кількості навчальних годин.
Програма навчальної дисципліни
Модуль 1 (3 семестр)
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ I. Лінійна та векторна алгебра. Аналітична
геометрія. Диференціальне та інтегральне числення
Тема 1. Визначники та їх властивості. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Правило Крамера. Матриці та дії над ними. Обернена матриця. Матричний
запис системи рівнянь. Поняття вектора. Лінійні операції над векторами.
Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів.
Тема 2. Системи координат на площині. Рівняння лінії на площині. Пряма на
площині, її рівняння. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола.
Пряма і площина у просторі.
Тема 3. Функція та її властивості. Границя функції. Основні теореми про
границі. Важливі границі. Неперервність функції. Точки розриву функції.
Тема 4. Похідна функції. Правила диференціювання. Таблиця похідних.
Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, правило Лопіталя .
Тема 5. Знаходження екстремуму функції. Опуклість, угнутість кривої, точки
перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження функцій.
Тема 6. Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. Безпосереднє
інтегрування. Інтегрування підстановкою та частинами.
Тема 7. Визначений інтеграл та його властивості. Формула Ньютона-Лейбніця.
Інтегрування заміною змінної та частинами. Обчислення площ плоских фігур,
довжини дуги кривої, об’ємів тіла в прямокутних і полярних координатах.
Тема 8. Основні означення. Диференціальні рівняння 1-го порядку. Задача
Коші. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні та
однорідні диференціальні рівняння.
Тема 9. Диференціальні рівняння 2-го порядку. Лінійні однорідні рівняння зі
сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки. Елементи теорії
4
лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь. Структура загального
розв’язку і методи розв’язання
Тема 10. Числові ряди, основні означення. Знакододатні та знакозмінні ряди і
ознаки їх збіжності. Функціональні ряди. Степеневі ряди, структура області
збіжності. Ряди Тейлора і Маклорена.
ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ ІI. Випадкові події та випадкові величини.
Математична статистика
Тема 11. Елементи комбінаторики: розміщення, перестановки, сполучення.
Класифікація подій. Означення класичної ймовірності, її властивості.
Тема 12. Основні теореми ймовірностей. Формули повної ймовірності та
Бейєса. Повторні випробування. Формула Бернуллі, Пуассона. Теорема
Лапласа.
Тема 13. Закон розподілу і числові характеристики випадкових величин.
Неперервна випадкова величин. Інтегральна та диференціальна функції
розподілу. Рівномірний та нормальний закони розподілу, їх числові
характеристики.
Тема 14. Ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини
в заданий проміжок. Правило трьох сигм. Закон великих чисел.
Тема 15. Вибірковий метод. Статистичний розподіл вибірки. Емпірична
функція розподілу. Вибіркові характеристики
Тема 16. Статистичні оцінки параметрів розподілу. Методи визначення
точкових статистичних оцінок. Надійна ймовірність та надійний інтервал.
Статистичний критерій перевірки гіпотези. Перевірка гіпотези про нормальний
розподіл. Критерій згоди Пірсона.
Тема 17. Елементи кореляційно-регресійного аналізу. Вибіркове рівняння лінії
регресії. Визначення параметрів вибіркового рівняння лінійної парної регресії.
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ДО ЛЕКЦІЇ 1
Визначники та їх властивості. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Правило Крамера. Матриці та дії над ними. Обернена матриця.
Матричний запис системи рівнянь
Квадратній матриці А порядку п можна зіставити число det A (або , або
| А |), яке називають її визначником.
Означення. Визначником (детермінантом) другого порядку, який
складається з чотирьох елементів а11, а12, а21, а22, називається число, яке
позначається через 11 12
21 22
a a
a a і обчислюється за правилом:
5
11 12
11 22 12 21
21 22
a aa a a a
a a . (1.1)
Означення. Визначником третього порядку, який складається з дев’яти
елементів, називається число, яке позначається 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
та обчислюється за
правилом:
11 12 13
21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
. (1.2)
Для обчислення визначника третього порядку зручно використати
правило трикутників (або Саррюса), яке ілюструється схемою (рис.1.1):
основи основи
трикутників трикутників
паралельні паралельні
головній побічній
діагоналі діагоналі
Рис.1.1
Правило обчислення визначника п-го порядку (містить п2 елементів)
базується на поняттях мінору Mij та алгебраїчного доповнення Aij елемента aij.
Означення. Мінором Mij елемента aij називають визначник ( п – 1)-го
порядку 1n , який утворюється з визначника п - го порядку п викреслюван-
ням i - го рядка та j - го стовпця.
Означення. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називають
вираз
( 1)i j
ij ijA M . (1.3)
Правило обчислення визначника п - го порядку. Визначник дорівнює
сумі п добутків елементів будь - якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні допов-
нення:
1 1
n n
n ik ik kj kj
k k
a A a A
. (1.4)
Методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)
Система т лінійних рівнянь з п невідомими х1, х2, …, хп має вигляд:
6
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
,
,
,
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(1.5)
де числа ija ( 1, , 1,i m j n ) називають коефіцієнтами системи, числа ib –
вільними членами.
Якщо хоча б одне ib 0, то систему (1.5) називають неоднорідною, у
противному випадку ( якщо всі вільні члени ib = 0, 1,i m ) – однорідною.
Систему (1.5) можна записати у матричному вигляді А ·Х = В,
де А = 11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
– матриця коефіцієнтів системи, яку називають
основною, Х = 1
2
n
x
x
x
– матриця - стовпець невідомих хj , В = 1
2
m
b
b
b
–
матриця - стовпець вільних членів bi .
Означення. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча
б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.
Для дослідження СЛАР на сумісність використовують теорему Кронекера –
Капеллі (яку пропонується розглядати самостійно; см. [7].)
До методів розв’язання СЛАУ відносять формули Крамера, матричний спосіб,
метод Гауса тощо.
Формули Крамера
Розглянемо систему лінійних рівнянь (1.5), якщо т = п = 3 (число рівнянь
і невідомих співпадають): 11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
,
,
.
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(1.6)
Визначник основної матриці системи 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
називають головним
визначником системи.
Складемо допоміжні визначники системи (1.6):
1 12 13
1 2 22 23
3 32 33
b a a
x b a a
b a a
, 11 1 13
2 21 2 23
31 3 33
a b a
x a b a
a b a
, 11 12 1
3 21 22 2
31 32 3
a a b
x a a b
a a b
.
Тут ix – визначник, який утворюється заміною i-ГА стовпця у
головному визначнику стовпцем вільних членів системи.
Якщо головний визначник системи (1.6) 0, то система має єдиний
розв’язок, який визначається за формулами Крамера: 31 21 2 3 , ,
xx xx x x
.
7
Для системи п лінійних рівнянь із п невідомими формули , 1,ii
xx i n
називають формулами Крамера.
ЛЕКЦІЯ 1 (тема 1)
Поняття вектора. Лінійні операції над векторами. Скалярний,
векторний та мішаний добуток векторів
1.1 Основні поняття
1.2 Лінійні операції над векторами
1.3 Проекція вектора на вісь. Координати вектора
1.4 Добутки векторів та їх застосування
1.5 Правила дій над векторами, заданими своїми координатами
Величини, які повністю визначаються своїм числовим значенням,
називають скалярними. Прикладами скалярів є площа, довжина, робота, маса,
тощо. Інші величини, наприклад, сила, швидкість, прискорення, визначаються
не тільки своїм числовим значенням, але і напрямком. Такі величини називають
векторними і геометрично їх зображують за допомогою вектора.
1.1 Основні поняття
Нехай А і В – дві різні точки площини або простору.
Означення. Відрізок АВ, в якому точку А вважають початком, а точку
В – кінцем, називають вектором і позначають AB або a (скорочено: вектор –
це напрямлений відрізок).
Вектор BA ( у нього початок у точці В, а кінець – у точці А) називають
протилежним вектору AB .
Означення. Довжиною або модулем вектора AB називають довжину
відрізка АВ і позначають AB .
Означення. Вектор, довжина якого дорівнює нулю ( або одиниці),
називають нульовим ( або одиничним).
Нульовий вектор немає напрямку.
Означення. Вектори a і b , які належать одній або паралельним
прямим, називають колінеарними.
Колінеарні вектори можуть бути напрямлені однаково або протилежно.
Означення. Два вектори називають рівними ( a = b ), якщо вони
колінеарні, однаково напрямлені і мають однакову довжину.
Із означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити
в будь - яку точку простору паралельно самому собі і при цьому отримають
вектор, рівний даному.
Множину всіх векторів, які дорівнюють даному, називають вільними
векторами і позначають малими латинськими буквами: a , b , c .
8
Означення. Три вектори у просторі називають компланарними, якщо
вони належать одній або паралельним площинам.
1.2 Лінійні операції над векторами
До лінійних операцій над векторами належать операції додавання,
віднімання, а також множення на число.
Додавання векторів
Під сумою векторів OA = a і OB = b (які приведені до загального
початку 0 ) розуміють вектор OD = c , який є діагоналлю паралелограма,
побудованого на даних векторах a і b (рис.1.1). Це правило додавання
векторів називають правилом паралелограма.
Суму векторів можна знайти за правилом трикутника (рис.1.2):
Віднімання векторів
Під різницею векторів a і b розуміють вектор c = a – b такий, що
b + c = a , тобто віднімання векторів можна замінити додаванням вектора a з
вектором, протилежним вектору b : a – b = a + ( – b ) (рис.1.3).
Множення вектора на число
Добутком вектора a на число називають вектор a , який має
напрям вектора a , якщо > 0, і протилежний напрям, якщо < 0; причому
a
a
b
В
Рис.1.3
О b
c a b
a
b
a b
c
Рис.1.2
О
Рис.1.1
О
a
b
c a b
a b
D
А
B
9
довжина цього вектора дорівнює a . Якщо = 0, то отримують нульовий
вектор 0 , тобто 0 0a .
Наприклад, якщо заданий вектор a , то вектори -2 a і 3 a мають
вигляд
Очевидно, якщо b a , то b a . І навпаки, якщо b a ( 0a ), то при деяко-
му виконується рівність b a .
Основні властивості лінійних операцій над векторами:
1. a b b a (комутативний закон додавання),
2. ( ) ( )a b c a b c (асоціативний закон додавання),
3. ( )a a ,
4. ( ) a a a ,
5. ( )a b a b .
Зауваження. Ці властивості дозволяють проводити перетворення в
векторній алгебрі так, як це робиться в звичайній алгебрі.
1.3 Проекція вектора на вісь. Координати вектора
Нехай у просторі задана вісь l, тобто напрямлена пряма.
Означення. Проекцією точки М на вісь l називають основу М1
перпендикуляра ММ1, який проведений із точки М на вісь l.
Точка М1 є точкою перетину осі l з площиною,
яка проходить через точку М і перпендикулярна до
цієї осі (рис.1.5).
Нехай AB – довільний вектор ( 0AB ).
Позначимо через А1 і В1 проекції на вісь l початку
А і кінця В вектора AB (рис.1.6).
М
1M
l
Рис.1.4
a 3a 2a
Рис.1.5
10
Означення. Проекцією вектора AB на вісь l називають додатне число
1 1A B , якщо вектор 1 1A B та вісь l є однаково напрямлені і від’ємне число
– 1 1A B , якщо вектор 1 1A B та вісь l є протилежно напрямлені.
Проекція вектора AB на вісь l позначається lпр AB і дорівнює добутку
його довжини на косинус кута , який утворює цей вектор з додатним
напрямком осі l (рис.2.7).
Геометрично проекцію вектора AB можна визначити довжиною
відрізку 1 1A B , яка береться зі знаком „+“, якщо 0 / 2 , та зі знаком „ – “,
якщо / 2 .
Розглянемо прямокутну систему координат Oxyz у просторі.
Означення. Трійка векторів i , j , k називається координатним базисом,
якщо ці вектори задовольняють умовам:
1) 1i j k , тобто вектори є одиничними;
2) вектори i , j , k лежать відповідно на осі Ox, Oy, Oz і напрямлені у
додатному напрямі своєї осі.
Позначимо проекції довільного вектора
a на координатні осі Ox, Oy, Oz
відповідно через ax, ay, az .
Будь - який вектор a ( a OM ,
рис.1.8) може бути розкладений за
базисом i , j , k , тобто поданий у
вигляді
x y za a i a j a k . (1.1)
Числа ax, ay, az називають координа-
тами вектора a , тобто координати
вектора – це його проекції на відповідні
координатні осі.
y
z
M
2M
3M
N
j
k О
i
a l
A
1A
B
1B
Рис.1.6
Рис.1.7
Рис.1.8
11
Векторну рівність x y za a i a j a k називають розкладом вектора за базисом
і записують у символічному вигляді:
( ; ; )x y za a a a .1.4 Добутки векторів
1.4.1 Скалярний добуток
Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів a і b
називають число, яке дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між
ними.
Позначають скалярний добуток через a b або ,a b і за означенням
cosa b a b , (1.2)
де
,a b
.
Формулу (2.2 ) можна переписати у вигляді
a ba b a пр b b пр a .
Скалярний добуток має такі властивості :
a b b a (переставний закон),
( ) ( )a b a b (сполучний закон),
( )a b c a b a c (дистрибутивний закон),
22
a a a a
Зокрема, для скалярного добутку ортів маємо:
1i i j j k k , 0i j j k i k .
Деякі застосування скалярного добутку
Кут між векторами
Кут між двома ненульовими векторами a і b визначається за
формулою
cosa b
a b
. (1.3)
Звідси випливає умова перпендикулярності векторів a та b :
0a b a b . (1.4)
Проекція вектора у заданому напрямі
Проекція вектора a у напрямі вектора b визначається за формулою
12
b
a bпр a
b
a
a bпр b
a
. (1.5)
Робота сталої сили (механічний зміст скалярного добутку)
Нехай матеріальна точка переміщується
прямолінійно із положення А в положення В під
дією сили F , яка утворює кут із переміщенням
S AB (рис.1.9).
Відомо, що робота сили F при переміщенні S
дорівнює:
cosA F S F S . (1.6)
Отже, робота сталої сили при прямолінійному переміщенні її точки
прикладання дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор
переміщення A F S .
1.4.2 Векторний добуток
Означення. Векторним добутком двох векторів a і b називають вектор
c , який задовольняє умовам:
1) довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма S ,
побудованого на векторах a і b (геометричний зміст векторного
добутку), тобто
sin ,c a b ,a b
; (1.7)
2) вектор c перпендикулярний як до вектора a , так і до вектора b ;
3) вектори a , b і c утворюють праву трійку, тобто якщо дивитися з
кінця вектора c , то найкоротший поворот від a до b буде
відбуватися проти годинникової стрілки (рис.1.10).
Позначають векторний добуток a b
або ,a b .
Векторний добуток векторів має такі
властивості:
a b b a (антипереставний закон);
( ) ( ) ( )a b a b a b (асоціативний
закон відносно множення на число);
( )a b c a c b c (дистрибутивний
закон відносно додавання).
a
b
c
O
S
F
B A
A
S Рис.1.9
Рис.1.10
13
Деякі застосування векторного добутку
Площа паралелограма і трикутника
З означення векторного добутку векторів a і b маємо ,sinc a b a b
,
(рис.2.10), тобто
парS a b . (1.8)
Момент сили відносно точки
Якщо сила F прикладена до точки А
(рис.1.11), то момент сили F відносно точки
О є вектор M , який дорівнює векторному
добутку радіус - вектора точки прикладання
r OA на вектор сили F :
M r F . (1.9)
Колінеарність векторів
Два ненульових вектори a і b колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх
векторний добуток дорівнює нульовому вектору:
0a b a b . (1.10)
Лінійна швидкість обертання
Швидкість v точки твердого тіла, яке
обертається навколо нерухомої осі з кутовою
швидкістю визначається формулою Ейлера
v r , r OM ,
де О – деяка нерухома точка осі (рис.1.12).
1.4.3 Мішаний добуток трьох векторів
Означення. Мішаним добутком трьох векторів a , b і c називають
число, яке дорівнює векторному добутку a b , помноженому скалярне на
вектор c , тобто a b c .
r
v
O
M
Рис.1.12
r
F AB
A
B M
Рис.1.11
О
14
Позначають мішаний добуток a b c або ( , , )a b c ,
тобто
a b c = a b c . (1.11)
Мішаний добуток трьох векторів має такі властивості:
Мішаний добуток не змінюється, якщо поміняти місцями знаки
векторного і скалярного добутку: ( ) ( )a b c a b c ;
Мішаний добуток змінює знак від переставлення двох будь-яких
співмножників:
( ) ( ) ( )a b c a c b c b a ;
Абсолютна величина мішаного добутку трьох векторів дорівнює об’єму
паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (геометричний зміст
мішаного добутку).
Деякі застосування мішаного добутку
Об’єм паралелепіпеда і трикутної піраміди
Об’єми паралелепіпеда парV і трикутної піраміди пірV з ребрами a , b
і c визначаються формулами:
парV a b c , (1.12)
1
6пірV a b c . (1.13)
Умова компланарності векторів
Вектори a , b і c компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добу-
ток дорівнює нулю ( 0a , 0b , 0c ):
a , b , c – компланарні a b c = 0. (1.14)
Взаємна орієнтація векторів у просторі
Визначення взаємної орієнтації векторів a , b і c базується на таких
правилах:
якщо a b c > 0, то a , b і c – права трійка;
якщо a b c < 0, то a , b і c – ліва трійка.
1.5 Правила дій над векторами, заданими координатами
Матеріал цього параграфу можна розглядати як довідковий.
Будемо вважати, що у базисі ( i , j , k ) вектори a , b і c задано координатами
( ; ; )x y za a a a , ( ; ; )x y zb b b b , ( ; ; )x y zc c c c .
15
1 Якщо в прямокутній системі координат Оxyz задано вектор AB ,
причому його початкова і кінцева точки мають координати 1 1 1( ; ; )A x y z ,
2 2 2( ; ; )B x y z відповідно, то вектор AB має координати:
2 1 2 1 2 1; ;AB x x y y z z .
2 Довжина вектора a обчислюється за формулою
2 2 2
x y za a a a . (1.15)
3 Орт вектора a визначається рівністю
0 ; ;yx z
aa aaa
a a a a
. (1.16)
4 Координати суми (різниці) векторів дорівнюють сумі (різниці)
відповідних координат доданків:
( ; ; )x x y y z za b a b a b a b . (1.17)
Це правило випливає з властивостей проекції вектора на вісь.
5 Координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відпо-
відних координат даного вектора на це число
( ; ; )x y za a a a . (1.18)
6 Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних
координат цих векторів:
x x y y z za b a b a b a b . (1.19)
Доведення. ( ) ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k 2 2 2
x x x y x z y x y y y z z x z y z za b i a b i j a b i k a b j i a b i a b j k a b k i a b k j a b k
= 2 2 2
1, 0i j k i j i k j k =
x x y y z za b a b a b .
7 Векторним добутком двох векторів є вектор, який можна записати у
вигляді визначника третього порядку:
x y z
x y z
i j k
a b a a a
b b b
. (1.20)
Доведення цієї формули аналогічно доведенню формули скалярного добутку.
8 Мішаним добутком векторів a , b і c є число, яке дорівнює значенню
визначника третього порядку:
x y z
x y z
x y z
a a a
a b c b b b
c c c
. (1.21)
9 Косинус кута між двома векторами обчислюється з векторної рівності
16
,cos cos( )a b
a ba b
або у координатному вигляді:
2 2 2 2 2 2cos
x x y y z z
x y z x y z
a b a b a b
a a a b b b
. (1.22)
10 Умова колінеарності двох векторів рівносильна рівності:
0a b або yx z
x y z
aa a
b b b ,тобто
yx z
x y z
aa aa b
b b b . (1.23)
11 Умова перпендикулярності двох векторів a , b рівносильна рів-
ності:
0a b ,
тобто у координатному вигляді:
0x x y y z za b a b a b a b . (1.24)
Приклад. Дано вектори a =(-1;2;5), b =(3;1;-2), c =(4;1;7).
Необхідно:
1 знайти орти векторів , ,a b c ;
2 перевірити, чи є вектори , ,a b c попарно перпендикулярними;
3 перевірити вектори a і b на колінеарність;
4 перевірити, чи є вектори , ,a b c компланарними;
5 знайти площу паралелограма, побудованого на векторах a і b ;
6 обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , ,a b c .
Розв’язання. 1 Скористаємося формулами:
0 ; ;yx z
aa aaa
a a a a
, де 2 2 2
x y za a a a .
Дійсно,
1 4 25 30a ; 0 1 2 5( ; ; )
30 30 30a
.
9 1 4 14b ; 0 3 1 2( ; ; )
14 14 14b
.
16 1 49 66c ; 0 4 1 7( ; ; )
66 66 66c .
2 Скористаємося умовою перпендикулярності:
0x x y y z za b a b a b a b ,
17
0x x y y z za c a c a c a c ,
0x x y y z zb c b c b c b c .
Обчислимо скалярні добутки векторів
a b (-1)3+21+5(-2)= -11 0, тобто вектори a і b не перпендикулярні;
a c (-1)4+21+57= 33 0, тобто вектори a і c не перпендикулярні;
b c 34+11+(-2)7= -1 0, тобто вектори b і c не перпендикулярні.
3 Скористаємося умовою колінеарності: yx z
x y z
aa aa b
b b b
1 2 5
3 1 2
, тобто вектори a і b не колінеарні;
4 Скористаємось умовою компланарності трьох векторів
0
x y z
x y z
x y z
a a a
a b c b b b
c c c
.
1 2 5
( , , ) 3 1 2 7 16 15 (20 42 2) 72
4 1 7
a b c
,
0a b c , тобто вектори , ,a b c не компланарні.
5 Площу паралелограма знайдемо за формулою:
пар x y z
x y z
i j k
S a b a a a
b b b
,
1 2 5
3 1 2
i j k
a b
2 5 1 5 1 2
1 2 3 2 3 1i j k
= 9 13 7i j k .
Отже, 2 2 2( 9) 13 ( 7) 299парS a b ( кв.од.).
6 Об’єм паралелепіпеда знайдемо за допомогою формули:
x y z
x y z
x y z
a a a
V a b c b b b
c c c
. Отже,
1 2 5
3 1 2 26 26
4 1 7
V
(куб.од.).
Питання для самоперевірки
1 Дайте означення вектора і його довжини.
2 Що називається базисом на площині та у просторі?
18
3 Які вектори називають колінеарними, компланарними, рівними між
собою?
4 Що називають координатами вектора?
5 Як розкласти вектор за координатним базисом?
6 Як визначаються операції додавання, віднімання, множення на число?
7 Що називається скалярним, векторним, мішаним добутком векторів?
8 Як виконуються операції над векторами, які задані координатами?
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ДЛЯ ЛЕКЦІЇ 2
Криві другого порядку. Зведення загального рівняння 2-го порядку до
канонічного вигляду
Рівняння 2 2 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F визначає криву другого
порядку (вважається 2 2 0A B ). Розглянемо випадок, коли В = 0. Пізніше
буде встановлено, що останнє рівняння визначає на площині (за винятком
вироджених випадків) коло, еліпс, гіперболу або параболу. Слід зауважити, що
ці криві та їх дуги досить часто застосовують в архітектурі.
Основні означення
Коло радіуса R із центром у точці С(а;b) – це множина точок М на площині,
рівновіддалених від даної точки С (рис.3.13), тобто МС = R. Рівняння коло: 2 2 2( ) ( )x a y b R
Еліпсом називається множина точок на площині, для яких сума відстаней від
двох даних точок площини (фокусів) є величиною сталою (і більшою за
відстань між фокусами).
Гіперболою називається множина точок на площині, для яких абсолютна
величина різниці відстаней від двох даних точок площини (фокусів) є
величиною сталою ( і меншою за відстань між фокусами).
Параболою називається множина точок на площині, для кожної з яких відстань
до заданої точки F (фокуса) дорівнює відстані до заданої прямої (директриси).
Крива Еліпс з фокусами
на вісі Ох
Гіпербола з фокусами
на вісі Ох
Рівняння 1
2
2
2
2
b
y
a
x, ba 1
2
2
2
2
b
y
a
x
Піввісь
(2а, 2b – вісі)
a – велика
b –мала
a – дійсна
b – уявна
Координати
фокусів F1(c; 0); F2(-c; 0) F1(c; 0); F2(-c; 0)
Ексцентриситет
a
с 1
a
с 1
19
Рівняння
директрис
ax
c
ax
2
ax
c
ax
2
Рівняння
асимптот
–– xa
by
Рисунок
b
-b
-a/
a -a x
y
F2 F1
c -c
a/
c
b
-b
-a/ a -a x
y
F2 F1
-c a/
Параболи, симетричні відносно осі Ох
рівняння pxy 22 pxy 2
2
координати
фокуса
0;
2
pF
0;
2
pF
рівняння
директриси 2
px
2
px
рисунок
x
y
p/2
F
-p/2
O
x
y
p/2
F
-p/2
O
Параболи, симетричні відносно осі Оу
рівняння pyx 22 pyx 2
2
координати
фокуса
2;0
pF
2;0
pF
рівняння
директриси 2
py
2
py
рисунок
x
y
p/2 F
-p/2 O
x
y
p/2
F -p/2
O
20
Приведення загального рівняння лінії другого порядку до канонічного
вигляду
Важливою задачею аналітичної геометрії є дослідження загального
рівняння другого порядку, приведення його до найпростішого (канонічного)
вигляду, що здійснюється шляхом виділення повного квадрату у виразі 2 2 2 2 0Ax Cy Dx Ey F .
Приклади розглядаються на практичному занятті.
ЛЕКЦІЯ 2 (тема 2)
Системи координат на площині. Рівняння лінії на площині. Пряма на
площині, її рівняння. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола,
парабола. Пряма і площина у просторі
2.1 Системи координат на площині та їх перетворення
2.2 Лінії на площині та їх рівняння
2.3 Рівняння поверхні та лінії у просторі
2.4 Рівняння площини у просторі
2.5 Рівняння прямої лінії у просторі
2.6 Пряма і площина у просторі. Основні задачі
В архітектурному проектуванні та практиці будівництва накопичений
великий досвід з використання різних кривих , поверхонь та їх сполучень. За
кривими лініями окреслюються різні просторі форми – арки, склепіння тощо.
Криві лінії використовують для утворення поверхонь різних архітектурних
об’єктів і конструкцій, будівель – покриттів у вигляді оболонок , склепінь і
куполів, пандусів і гвинтових сходів. Криві лінії також можуть бути
результатом перетину поверхонь, граничними контурами поверхонь тощо.
Якщо всі точки кривої лінії належать одній площині, то така крива називається
плоскою (наприклад, коло, еліпс, гіпербола). Такі криві будуть розглядатися у
цьому розділі. Якщо крива не лежить усіма своїми точками в площині, то вона
називається просторою (наприклад, гвинтова лінія).
В аналітичній геометрії геометричні об’єкти (криві, поверхні) вивчаються
за допомогою методів алгебри. В основі такого вивчення лежить метод
координат. Таким чином, за допомогою методу аналітичної геометрії з
геометричними об’єктами зіставляються їх рівняння і за даними рівняннями
об’єктів з’ясовуються їх геометричні властивості.
21
2.1 Системи координат на площині
2.1.1 Основні поняття
Під системою координат на площині треба розуміти спосіб, який дозволяє
чисельно визначити положення точки на площині. Важливими координатними
системами на площині є прямокутна (декартова) і полярна системи.
Прямокутна система
координат
Прямокутна система координат на
площині визначається двома взаємно
перпендикулярними напрямними
прямими – осями координат (Ох – вісь
абсцис, Оу – вісь ординат), на кожній із
яких вибраний одиничний відрізок
(масштаб). Точка перетину осей
координат О називається початком
координат (рис.2.1).
Систему координат позначають через Оху, а площину, в якій розташована
система координат, називають координатною площиною.
Аналогічно визначається прямокутна система координат у просторі ( за
допомогою трьох координатних осей Ох, Оу, Оz).
Розглянемо довільну точку М площини Оху. Вектор OM називають ра-
діус - вектором точки М.
Координатами точки М у системі координат Оху називають координати
радіус - вектора OM . Якщо ( ; )OM x y , то координати точки М записуються
так: М( х; у), де х називають абсцисою, а у – ординатою точки М.
Полярна система координат
Полярна система координат визначається наданням точці О, яка
називається полюсом, променя ОР, який називається полярною віссю і
відрізком ОЕ (масштабом) (рис.2.2).
Положення точки М у полярній системі
координат визначається двома числами: її
відстанню r від полюса О, яку називають
полярним радіусом, і кутом POM , який
утворюється відрізком ОМ із полярною віссю і
називається полярним кутом. При цьому
підрахунок кутів виконують у напрямі, який є
протилежним руху годинникової стрілки.
Числа r і називають полярними коорди-
натами точки М і записують М( r, ).
Для здобуття всіх точок площини достатньо полярний кут
обмежити проміжком ; ( або 0 2 ), а полярний радіус – проміжком
( ; )M r
O e
p
r
Рис.2.2
( ; )M x y
O
x
y
x
y
Рис.2.1
22
0; . У цьому випадку кожній точки площині ( крім О ) відповідає єдина
пара чисел r і та навпаки.
Зв’язок між прямокутними і полярними координатами
Нехай х і у – прямокутні координати точки
М у системі координат Оху, а r і – її
полярні координати при відповідному виборі
координатних систем (рис.2.3).
Прямокутні координати точки М
виражаються через її полярні координати
таким чином:
cos ,
sin .
x r
y r
(2.1)
Полярні координати точки М виражаються через її прямокутні
координати таким чином:
2 2 ,
/ .
r x y
tg y x
(2.2)
Приклад. Дано точка М( – 1;– 3
3). Знайти полярні координати точки М.
Розв’язання. Знайдемо r і :
3 / 3 31 1/ 3 2 / 3,
1 3r tg
,
звідки ,6
n n Z
.
Оскільки точка М належить до 3-ї чверті, то п = – 1 і 5
6 6
.
Отже, полярні координати точки М: 5
2 / 3,6
r
або 5
2 / 3;6
M
.
2.1.2 Основні застосування методу координат на площині
Відстань між двома точками
Визначимо відстань між точками 1 1( ; )A x y і 2 2( ; )B x y на площині Оху.
Шукана відстань d дорівнює довжині вектора 2 1 2 1( ; )AB x x y y , d AB ,
тобто
2 2
2 1 2 1( ) ( )d x x y y . (2.3)
Поділ відрізка у заданому відношенні
O
x
y
x
y
Рис.2.3
M
r
23
Поділимо відрізок М1М2, де точки М1
і М2 мають координати М1(х1; у1),
М2(х2;у2), у відношенні 0 , тобто
визначимо координати такої точки
М(х;у) (рис.2.4) відрізка М1М2, що
1
2
M M
MM .
Але 1 1 1( ; )M M x x y y , тобто 1 1 1( ) ( )M M x x i y y j та
2 2 2( ; )MM x x y y , тобто 2 2 2( ) ( )MM x x i y y j . Отже, 1 1( ) ( )x x i y y j =
2 2( ) ( )x x i y y j . Оскільки рівні вектори мають рівні відповідні координати,
то
1 2
1 2
,
,
x x x x
y y y y
тобто
1 2
1 2
,1
.1
x xx
y yy
(2.4)
Ці формули називають формулами поділу відрізка у заданому
відношенні. Зокрема, при 1 визначається середина відрізка М1М2 за
формулами
1 2 1 2,2 2
x x y yx y
. (2.5)
Зауваження. Якщо 0 , то точки М1 і М співпадають, якщо 0 ( 1 ), то
точка М лежить зовні відрізка М1М2 і говорять, що точка М поділяє відрізок
М1М2 зовнішнім чином.
Площа трикутника
Якщо точки А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3) – вершини трикутника АВС, то
можна довести, що його площа обчислюється за формулами:
3 1 2 1
3 1 2 1
1
2
x x x xS
y y y y
,
або
1M
M
2M
x
y
Рис.2.4
24
1 1
2 2
3 3
11
12
1
x y
S x y
x y
.
Пропонуємо ці формули довести самостійно.
2.1.3 Перетворення системи координат
Задача перетворення системи координат полягає у встановленні залеж-
ності між координатами довільної точки площини в різних системах координат.
Паралельний перенос осей
Під паралельним переносом осей координат розуміють перехід від
системи координат Оху до нової системи О1х1у1, при якому змінюється
положення початку координат, а напрямок осей і масштаб залишаються
незмінними.
Нехай початок нової системи координат (точка О1) має координати (х0; у0)
у старій системі координат, тобто О1(х0; у0). Позначимо через ( х; у) і ( ; )x y
координати довільної точки М площини відповідно в системі координат Оху і в
новій системі О1х1у1 (рис. 2.5)
Легко встановити зв’язок між старими ( х; у) і новими ( ; )x y координа-
тами:
0
0
,
.
x x x
y y y
(2.6)
Зауваження. Існують інші види перетворення координат, наприклад,
поворот осей (див.[13], с. 52 ).
2.2 Лінії на площині
2.2.1 Основні поняття
Лінію на площині часто задають як множину точок, які мають будь – яку
загальну, тільки їм притаманну геометричну властивість. Таку множину ще
називають геометричним місцем точок (ГМТ). Тобто лінію на площині можна
розглядати як ГМТ.
O
1O
x
y
1x
1y
y
y
x
x
Рис.2.5
М
25
Введення на площині системи координат дозволяє визначати положення
точки площини, якщо задати два числа – її координати, а положення лінії на
площині визначають за допомогою її рівняння.
Означення. Рівнянням лінії ( або кривої) на площині називають
рівняння, яке зв’язує змінні ( х і у – у декартовій системі координат, r і – у
полярній системі координат), якому задовольняють координати будь – якої
точки цієї лінії і не задовольняють координати жодної точки, яка не належить
їй.
Рівняння лінії у прямокутній системі координат має вигляд:
( )y f x або ( ; ) 0F x y .
Змінні х і у називають поточними координатами.
У полярній системі координат рівняння лінії задається рівностями
вигляду:
( )r f або ( ; ) 0F r .
Зауваження. Не кожне рівняння ( ; ) 0F x y визначає деяку лінію. Наприк-
лад, рівняння 2 2 0x y визначає точку О(0; 0), а рівняння
2 2 1 0x y не
визначає ніякого геометричного об’єкта.
Лінію на площині можна задати параметричними рівняннями вигляду:
( ),
( ),
x x t
y y t
(2.7)
де х і у – координати довільної точки М( х; у) на лінії, а t – змінна, яку
називають параметром. Параметр t визначає положення точки ( х; у) на
площині.
Наприклад, параметричні рівняння
2
,x t
y t
задають параболу 2y x (це легко отримати підстановкою t = х до другого
рівняння).
Лінію на площині можна задати векторним
рівнянням
( )r r t , (2.8)
де t – скалярний змінний параметр.
Кожному значенню t0 відповідає певний
вектор 0 0( )r r t площини. Якщо параметр t
змінюється, то кінець вектора ( )r r t описує
деяку лінію (рис.2.6).
r M
O x
y
Рис.2.6
26
Векторному рівнянню відповідає два скалярних рівняння (2.7).
Рівняння лінії дозволяє вивчення геометричних властивостей лінії
замінити дослідженням її рівняння. Так, для встановлення приналежності точки
А( х0; у0) до даної лінії достатньо перевірити, чи задовольняють координати
точки А рівнянню цієї лінії у вибраній системі координат.
Приклад. Перевірити, чи належать точки А(1 ; 0) і В(1; 1) лінії 2 2 1x y .
Розв’язання. Підставимо до рівняння лінії замість х і у координати
точки А й отримаємо рівність 1 + 0 = 1. Це означає, що точка А належить цій
лінії.
Точка В не належить даній лінії, оскільки 1 + 1 1.
Задача знаходження точок перетину двох ліній, які задані рівняннями
1( ; ) 0F x y і 2( ; ) 0F x y , зводиться до зводиться до розв’язання системи
рівнянь: 1
2
( ; ) 0,
( ; ) 0.
F x y
F x y
Приклад. Знайти точку перетину ліній 4x y і 2 2 16x y .
Розв’язання. Для знаходження точок перетину ліній розв’яжемо систему
рівнянь:
2 2
4,
16,
x y
x y
тобто 2 2
4 ,
(4 ) 16,
x y
y y
звідки 2 216 8 16y y y ;
22 8 0y y ; ( 4) 0y y ; у1 = 0; у2 = 4; х1 = 4; х2 = 0.
Отже, лінії перетинаються у двох точках М1(4; 0), М2(0; 4).
2.2.2 Рівняння прямої на площині. Основні задачі
Пряму ще називають лінією першого порядку. Різним способам завдання
прямої відповідають у прямокутній системі координат різні вигляди її рівнянь.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Нехай на площині Оху положення прямої визначається ординатою b точ-
ки N перетину прямої з віссю Оу і кутом нахилу прямої до осі Ох (рис.2.7).
Під кутом нахилу прямої до осі Ох
розуміють той кут, на який треба повернути
вісь Ох проти годинникової стрілки, щоб
вона збіглась із даною прямою. Число k tg називають кутовим коефіцієнтом.
Складемо рівняння прямої, для цього
візьмемо довільну точку М(х;у), яка
належить цій прямій. З рис.2.7 видно, що
MK ML LK ,
тобто y tg x b .
( ; )M x y
(0; )N b
O x
x
y
Рис.2.7
L
K
27
Позначимо через k tg і отримаємо рівняння
y kx b , (2.9)
якому задовольняють координати будь - якої точки М(х;у) на прямій. Можна
показати, що координати будь - якої точки Р(х;у), яка не належить даній
прямій, отриманому рівнянню не задовольняють.
Загальне рівняння прямої
Розглянемо рівняння першого степеня відносно х і у у загальному
вигляді:
0Ax By C ,
де
А2 + В
2 0.
Покажемо, що це рівняння є рівнянням прямої. Дійсно, вважаючи, що
В 0, розв’яжемо його відносно змінної у: A C
y xB B
.
Якщо позначити A
kB
; C
bB
, то останнє рівняння матиме вигляд
y kx b , тобто отримали рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Також
можна показати, що будь - яка пряма визначається рівнянням
0Ax By C , (2.10)
яке називають загальним рівнянням прямої на площині.
Дослідження загального рівняння прямої на площині
Якщо А = 0, то рівняння набуває вигляду C
yB
і визначає пряму, яка
паралельна осі Ох.
Якщо В = 0, то пряма паралельна осі Оу.
Якщо С = 0, то рівняння має вигляд Ах + Ву = 0 і визначає пряму, яка
проходить через початок координат.
Якщо А = С = 0, то рівняння має вигляд у = 0 і визначає вісь Ох.
Якщо В = С = 0, то рівняння набуває вигляду х = 0 і визначає вісь Оу.
Рівняння прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі
Треба скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(х0;у0) і її
напрям визначається кутовим коефіцієнтом k. Скористаємося рівнянням
y kx b , де в – поки невідома величина. Оскільки пряма проходить через точ-
ку М(х0;у0), то координати цієї точки задовольняють рівнянню прямої, отже,
0 0b y kx . Таким чином, шукане рівняння прямої має вигляд:
0 0y kx y kx ,
тобто
28
0 ( )oy y k x x . (2.11)
Отримане рівняння з різними значеннями k називають рівнянням
в’язки прямих із центром у точці М(х0;у0).
Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки
Треба скласти рівняння прямої, яка проходить через точки М1(х1; у1) і
М2(х2;у2). Скористаємось рівнянням прямої, яка проходить через точку М1:
1 1( )y y k x x ,
де k – поки невідомий коефіцієнт. Оскільки пряма проходить через точку М2,
то координати цієї точки задовольняють рівняння:
2 1 2 1( )y y k x x .
Звідси знаходимо
2 1
2 1
y yk
x x
.
Отже, шукане рівняння має вигляд:
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
. (2.12)
Рівняння прямої у відрізках
Нехай пряма перетинає ось Ох у точці М1(а; 0), а ось Оу – у точці М2(0;в),
де а 0, b 0 (рис.2.8).
У цьому випадку рівняння прямої, яка
проходить через дві точки, має вигляд:
0
0 0
y x a
b a
або
1x y
a b (2.13)
Рівняння прямої, яка проходить через задану точку і перпендикулярна до
даного вектора
Треба скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М0(х0; у0) і
перпендикулярна до вектора ( ; )n A B (рис.2.9).
1( ;0)M a
2(0; )M b
x
y
O
Рис.2.8
29
Нехай М(х; у) – довільна точка на прямій.
Будуємо вектор 0 0 0( ; )M M x x y y .
Оскільки вектори n і 0M M
перпендикулярні, то їх скалярний
добуток дорівнює нулю: 0 0n M M ,
тобто
0 0( ) ( ) 0A x x B y y .
(2.14)
Вектор ( ; )n A B , який є перпендикулярним до прямої, називають
нормальним вектором прямої (геометричний зміст коефіцієнтів загального
рівняння прямої).
Відстань від точки до прямої
Треба знайти відстань від точки М0(х0; у0) до прямої L, яка задана
загальним рівнянням 0Ax By C .
Оскільки точка М1(х1; у1) належить прямій L, то 1 1 0Ax By C .
Отже,
0 0
2 2
Ax By Cd
A B
. (2.15)
Кут між двома прямими
Нехай прямі L1 і L2 задані рівняннями: 1 1y k x b і 2 2y k x b
(рис.2.10.).
Знайдемо кут , на який треба повернути у
додатному напрямі пряму L1 навколо точки їх
перетину до прямої L2, щоб вони збіглися.
Маємо 2 1 , тоді
2 12 1
1 2
( )1
tg tgtg tg
tg tg
. Але 1 1tg k ,
2 2tg k , тому
2 1
1 21
k ktg
k k
. (2.16)
Якщо потрібно обчислити гострий кут між прямими, то застосовують
формулу
2 1
1 21
k ktg
k k
.
1L
2L
1 2
0 0 0( ; )M x y
( ; )M x y
n
x
y
O
Рис.2.9
Рис.2.10
30
З формули кута між прямими L1 і L2 випливає умова паралельності
двох прямих:
1 2k k або 1 1
2 2
A B
A B (2.17)
і умова перпендикулярності двох прямих:
1 2 1k k або 1 2 1 2 0A A B B . (2.18)
Приклад. Дано координати вершин трикутника АВС:
А(3;-2); В(1;4); С(-2;1).
Необхідно:
1) скласти рівняння сторони АВ і визначити її кутовий коефіцієнт;
2) скласти рівняння висоти, яка проведена з вершини С;
3) скласти рівняння прямої, яка проведена з вершини С паралельно АВ;
4) знайти довжину висоти трикутника, проведеної з вершини С;
5) визначити точку перетину прямих АВ і СD;
6) обчислити тангенс кута між прямими АС и ВС;
7) виконати рисунок.
Розв’язання.
1 Скористаємось рівнянням прямої, яка проходить через дві точки:
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
, де А(х2 ;у2), В(х1 ;у1);
отримаємо:
1 4
3 1 2 4
x y
;
1 4; 3( 1) 4
2 6
x yx y
.
Отже, рівняння прямої АВ: 3х + y – 7=0.
Кутовий коефіцієнт прямої АВ: 3AB
Ak
B ;
2 складемо рівняння висоти, яка проведена з вершини С, тобто рівняння
прямої CD AB .
З умови перпендикулярності двох прямих маємо:
1 2 1k k ,
тобто 1
CD
AB
kk
, звідки 1
3CDk .
Скористаємось рівнянням в’язки прямих, які проходять через точку С(x0;y0):
0 0( )y y k x x .
Таким чином, рівняння прямої СD: 1
1 ( 2)3
y x або x-3y+5=0;
3 складемо рівняння прямої CK AB . З умови паралельності прямих
маємо: 3CK ABk k .
31
Таким чином, рівняння прямої CK: 1 3( 2)y x або 3x+y+5=0;
4 скористаємось формулою відстані від точки С(x0;y0) до прямої
0Ax By C :
0 0
2 2
Ax By Cd
A B
, тобто
2 2
3 ( 2) 1 7 12
103 1d
;
5 визначимо точку D перетину прямих АВ і CD, для цього розв’яжемо
систему їх рівнянь:
3 7 0,
3 5 0.
x y
x y
Скористаємось формулами Крамера:
1
1
2
2
3 19 1 10,
1 31,6
7 121 5 16, ; (1,6; 2,2)
5 32,2
3 715 7 22,
1 5
x
D
y
– точка перетину;
6 скористаємось формулою 2 1
1 21
k ktg
k k
( ACk = 1k , BCk = 2k ).
Кутові коефіцієнти прямих, які проходять через дві точки (А і С; В і С),
обчислимо за формулою
2 1
2 1
y yk
x x
( 1 1 2 2( ; ); ( ; )A x y C x y та 1 1 2 2( ; ); ( ; )B x y C x y ).
1 2 3,
2 3 5
1 41,
2 1
AC
BC
k
k
звідки
31
5 43
1 15
tg
.
7 будуємо рисунок:
Рис. 2.11
A
y
x
B
D
C
K
1 2 3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-1 -2 -3
32
2.3 Рівняння поверхні та лінії у просторі
Поверхню у просторі, як правило, можна розглядати як геометричне
місце точок, які задовольняють деякій умові. Наприклад, сфера радіуса R з
центром у точці С є ГМТ, рівновіддалених від точки С на відстань R.
Означення. Рівнянням поверхні у прямокутній системі координат Oxyz
називається таке рівняння F(x; y; z) = 0 із трьома змінними x, y, z, якому
задовольняють координати кожної точки, що належить поверхні, і не
задовольняють координати точок, які не належать цій поверхні.
Змінні x, y, z у рівнянні поверхні називають поточними координатами.
Рівняння F(x; y; z) = 0, взагалі кажучи, визначає у просторі деяку поверхню.
Вираз «взагалі кажучи» означає, що в деяких випадках рівняння F(x; y; z) = 0
може визначати не поверхню, а точку, лінію, або не визначати жодного
геометричного образу.
В аналітичній геометрії у просторі, як і в аналітичній геометрії на
площині, розв’язуються дві основні задачі:
1. за заданими геометричними властивостями поверхні складають її рівняння;
2. за заданим рівнянням поверхні досліджують форму цієї поверхні.
Найпростішою поверхнею у просторі є площина.
Лінію у просторі можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь або
як геометричне місце точок, які є спільними для двох поверхонь.
Якщо дві поверхні визначаються рівняннями F1(x; y; z) = 0 і F2(x; y; z) = 0,
то система рівнянь
1
2
( ; ; ) 0,
( ; ; ) 0
F x y z
F x y z
(2.19)
визначає лінію, тобто геометричне місце точок, координати яких
задовольняють цим рівнянням ( рис.2.12).
Рівняння системи (2.19) називаються рівняннями лінії у просторі.
Наприклад, 0,
0
y
z
є рівняння осі Ox.
( ; ; )M x y z r
x
y
z
O
Рис.2.13
1( ; ; )F x y z
2( ; ; )F x y z
L
x
y
z
Рис.2.12
O
33
Лінію у просторі можна розглядати як траєкторію руху точки (рис.2.13).
У цьому випадку її визначають векторним рівнянням
( )r r t (2.20)
або параметричними рівняннями
( ),
( ),
( )
x x t
y y t
z z t
(2.21)
проекцій вектора ( )r t на осі координат.
Наприклад, параметричні рівняння гвинтової лінії мають вигляд:
cos ,
sin ,
.2
x R t
y R t
hz
Якщо точка М рівномірно
рухається вздовж твірної кругового
циліндра, а сам циліндр рівномірно
обертається навколо осі, то точка М
описує гвинтову лінію ( рис.2.14).
В архітектурній практиці
циліндричні гвинтові лінії викори-
стовують для утворення контурів каркаса
і поверхонь гвинтових сходів, гвинтових
пандусів для в’їзду автомашин у бага-
топоверхових гаражах, для влаштування
розв’язок у двох рівнях на перетині
магістралей.
Горизонтальною проекцією конічної гвинтової лінії, яка є траєкторією
руху точки, що рівномірно рухається вздовж твірної прямого кругового конуса
і в той же час рівномірно обертається навколо осі, є спіраль Архімеда
(трансцендентна крива).
2.4 Рівняння площини у просторі
Найпростішою поверхнею у просторі є площина. Площину в просторі
Охуz можна визначити різними способами, кожному з яких відповідає певний
вигляд її рівняння.
Рівняння площини, яка проходить через задану точку в заданому напрямі
( ; ; )M x y z
t
x
y
z
Рис.2.14
34
Треба у просторі Охуz скласти рівняння
площини , яка задана
перпендикулярним до неї вектором
( ; ; )n A B C і проходить через точку
0 0 0 0( ; ; )M x y z (рис.2.15).
Означення. Будь - який вектор, що
відрізняється від нуля, перпендикулярний
до площини, називають нормальним
вектором площини і позначають через
( ; ; )n A B C .
Нехай точка ( ; ; )M x y z – довільна точка площини, тоді вектори
0 0 0 0( ; ; )M M x x y y z z і ( ; ; )n A B C – взаємно перпендикулярні, тому
0 0,n M M тобто
0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z . (2.22)
Координати будь - якої точки, яка належить площині , задовольняють
рівнянню, а координати точок, які не належать площині , цьому рівнянню не
задовольняють (для них 0 0n M M ).
Сукупність площин, які проходять через задану точку (при різних зна-
ченнях A,B,C) називають в’язкою площин, а рівняння (3.4) – рівнянням
в’язки площин.
Загальне рівняння площин
Розглянемо загальне рівняння першого степеня відносно змінних , ,x y z :
0Ax By Cz D . (2.23)
Вважаючи, що хоча б один із коефіцієнтів A, B, C не дорівнює нулю
(наприклад, В≠0), рівняння перепишемо у вигляді:
0 0 0D
A x B y C zB
.
Тобто будь - яке рівняння першого степеня відносно змінних x, y, z мож-
на звести до рівняння площини і, навпаки, будь - яка площина визначається
рівнянням першого степеня.
Рівняння (2.23) називається загальним рівнянням площини.
Дослідження загального рівняння площини
Розглянемо, які окремі положення відносно системи координат Oxyz
займає площина 0Ax By Cz D ,
якщо деякі коефіцієнти цього рівняння дорівнюють нулю:
n
0M M
x
y
z
O
Рис 2.15
35
1 Якщо D = 0, то маємо рівняння 0Ax By Cz , що визначає площину, яка
проходить через початок координат;
2 Якщо С = 0, то маємо рівняння 0Ax By D , що визначає площину, яка
паралельна осі Oz;
3 Якщо C = D = 0, то маємо рівняння 0Ax By , що визначає площину,
яка проходить через вісь Oz.
4 Якщо В = С = 0, то маємо рівняння 0Ax D , що визначає площину, яка
паралельна площині Oyz.
5 Якщо A = B = D = 0, то маємо рівняння 0Cz , тобто z = 0, яке визначає
координатну площину Oxy.
Аналогічно рівняння x = 0, y = 0 визначають координатні площини, Oуz
та Oхz відповідно.
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки
Складаємо рівняння площини , яка проходить через три задані точки
1 1 1 1( ; ; )M x y z , 2 2 2 2( ; ; )M x y z , 3 3 3 3( ; ; )M x y z , що не належать одній прямій.
Нехай точка ( ; ; )M x y z – довільна точка площини . Тоді вектори
1 1 1 1( ; ; )M M x x y y z z
,1 2 2 1 2 1 2 1( ; ; )M M x x y y z z
,
1 3 3 1 3 1 3 1( ; ; )M M x x y y z z
належать площині , отже, вони є компланарними.
Тому їх мішаний добуток дорівнює нулю: 1 1 2 1 3M M M M M M
=0, тобто
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
0
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
. (2.24)
Рівняння (2.24) називають рівнянням площини, яка проходить через
три задані точки.
Рівняння площини у відрізках
Розглянемо площину, яка перетинає
всі три координатні осі (тобто жоден із
коефіцієнтів А, В, С загального рівняння
площини не дорівнює нулю).
Нехай площина відсікає на осях координат
відрізки довжиною а, в і с, тобто проходить
через точки A(a;0;0), B(0;b;c), C(0;0;c).
Підставляючи координати цих точок
до рівняння (2.24), отримаємо:
0 0
0
x a y z
a b
a c
або
y
z
A
B
C
O a
b c
Рис.2.16 x
36
1x y z
a b c . (2.25)
Рівняння (2.25) називають рівнянням площини у відрізках.
Це рівняння можна використовувати для побудови площини.
Нормальне рівняння площини
Положення площини у
просторі буде повністю визначено,
якщо задати її відстань від початку
координат, тобто довжину
перпендикуляра ОК, який опущений
з точки О на площину, та одиничний
вектор e , який має напрям
перпендикуляра ОК (рис.2.17)
Нехай ОК = р, а , , –
кути, які утворює вектор e з
координатними осями Ox, Oy, Oz.
Тоді e = (cos ;cos ;cos ) . Нехай точка ( ; ; )M x y z – довільна точка на
площині. Тоді проекція радіус-вектора ( ; ; )r OM x y z
на напрям вектора e
дорівнює р (при будь - якому положенні точки М):
,e
пр r p
тобто
0
per (2.26)
або
cos cos cos 0x y z p . (2.27)
Рівняння (2.26) і (2.27) називають нормальним рівнянням площини у
векторній та координатній формах відповідно.
Кут між двома площинами. Умови паралельності та
перпендикулярності двох площин
Нехай дві площини 1 та 2 задані рівняннями
1 : 1 1 1 1 0A x B y C z D ,
2 : 2 2 2 2 0A x B y C z D .
r
M p
K
x
y
z
O
Рис.2.17
37
Під кутом між двома площинами
розуміють один із двох суміжних
двогранних кутів, утворених цими
площинами (якщо вони паралельні, то кут
беремо рівним 0 або ).
Кут між нормальними векторами
1 1 1 1( ; ; )n A B C і 2 2 2 2( ; ; )n A B C площин 1 та
2 дорівнює одному з цих кутів (рис 2.18).
Тому
1 2
1 2
cosn n
n n
або 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cosA A B B C C
A B C A B C
. (2.28)
Для знаходження гострого кута слід взяти модуль правої частини.
Якщо площини 1 та 2 перпендикулярні, то перпендикулярні їх
нормальні вектори, тобто 1 2n n (і навпаки).
Тому
1 2n n =0
або
1 2 1 2 1 2 0A A B B C C . (2.29)
Рівність (2.29) визначає умову перпендикулярності двох площин.
Якщо площини 1 та 2 паралельні, то 1 2n n , тобто
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C . (2.30)
Співвідношення (2.30) є умовою паралельності двох площин.
Відстань від точки до площини
Визначимо відстань d від точки
0 0 0 0( ; ; )M x y z до площини
: Ax+By+Cz+D=0 (рис. 2.19).
Нехай точка 1 1 1 1( ; ; )M x y z – довільна
точка на площині .
Тоді
1 01 0n
M M nd пр M M
n
n
0M
1M
x
y
z
O
d
Рис.2.19
1n
2n 1
2
Рис.2.18
38
0 1 0 1 0 1
2 2 2
0 0 0 1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
.
x x A y y B z z C
A B C
Ax By Cz Ax By Cz
A B C
Оскільки точка 1 1 1 1( ; ; )M x y z належить площині , то
1 1 1 0Ax By Cz D ,
тобто
1 1 1D Ax By Cz .
Отже,
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz Dd
A B C
. (2.31)
Зауваження. Якщо площина задана рівнянням cos cos cos 0x y z p , то відстань d від точки 0 0 0 0( ; ; )M x y z до площини
визначається за формулою 0 0 0cos cos cosd x y z p .
2.5 Рівняння прямої у просторі
Векторне рівняння прямої
Означення. Будь – який вектор, що відрізняється від нуля, паралельний
прямій, називається напрямним вектором цієї прямої і позначається через
( ; ; )S m n p
.
Нехай у просторі Oxyz треба скласти рівняння прямої l, яка задана
точкою 0 0 0 0( ; ; )M x y z і паралельним їй вектором ( ; ; )S m n p
(напрямним)
(рис.2.20).
Якщо точка ( ; ; )M x y z – довільна
точка на прямій l, то вектори
0 0 0 0 0( ; ; )r OM x y z , ( ; ; )r OM x y z і
0 0 0 0( ; ; )M M x x y y z z задовольняють
співвідношенню r = 0r + 0M M (рис. 2.20).
Оскільки вектор 0M M , який належить
прямій l, паралельний вектору s , то
0M M = t s , де t – скалярний множник, який
називається параметром. Рівняння можна
записати у вигляді r = 0r + t s .
Параметричні рівняння прямої
Рівняння 0r r t s
можна переписати у вигляді
0M M
L
r 0r
S
y
z
O
Рис.2.20
39
0 0 0( ) ( ) ( )x i y j z k x tm i y tn j z tp k
або
0
0
0
,
,
.
x x mt
y y nt
z z pt
(2.32)
Рівняння (2.32) називають параметричними рівняннями прямої у
просторі.
Канонічні рівняння прямої у просторі
Якщо із параметричних рівнянь виключати параметр t, то отримаємо
канонічні рівняння прямої, яка задана точкою 0 0 0 0( ; ; )M x y z і напрямним
вектором ( ; ; )S m n p
:
0 0 0x x y y z z
m n p
. (2.33)
Зауваження. Обертання на нуль одного із знаменників рівняння означає
рівність нулю відповідного чисельника.
Наприклад, рівняння 1 4 2
5 3 0
x y z визначає пряму, яка проходить
через точку 0( 1;4;2)M і перпендикулярна до осі Oz ( проекція вектора S
на вісь
Oz дорівнює нулю ). Це означає, що пряма належить площині z = 2, тому для
всіх точок прямої виконується рівність z – 2 = 0.
Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дві точки
Нехай пряма l проходить через дві точки 1 1 1 1( ; ; )M x y z і 2 2 2 2( ; ; )M x y z .
Тоді за напрямний вектор S
можна
взяти вектор 1 2 2 1 2 1 2 1( ; ; )M M x x y y z z ,
тобто S
= 1 2M M (рис 2.21).
Тоді рівняння можна записати у
вигляді
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
. (2.34)
Рівняння (2.34) називають
рівняннями прямої, яка проходить
через дві точки.
Загальні рівняння прямої
Пряму l у просторі Oxyz можна визначити як лінію перетину двох не
паралельних між собою площин, тобто системою рівнянь:
S
1M
2M
l
y
z
O
Рис.2.21
40
1 1 1 1
2 2 2 2
0,
0.
A x B y C z D
A x B y C z D
– загальні рівняння прямої. (2.35)
Тут 1 1 1 1( ; ; )n A B C
і 2 2 2 2( ; ; )n A B C
– нормальні вектори площини 1 і 2 .
Від загальних рівнянь (2.35) можна перейти до канонічних (2.34).
Оскільки пряма l перпендикулярна до 1n
і 2n
, то за напрямний вектор S
прямої l можна взяти векторний добуток 1 2n n
: S
= 1 2n n
= 1 1 1
2 2 2
i j k
A B C
A B C
.
Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих
Нехай прямі 1l і 2l визначаються напрямними векторами 1 1 1 1( ; ; )S m n p
та
2 2 2 2( ; ; )S m n p
. Під кутом між двома прямими розуміють кут між їх напрямними
векторами 1S
та 2S
. Тому за відомою формулою з векторної алгебри
1 2
1 2
cosS S
S S
або 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cosm m n n p p
m n p m n p
. (2.36)
Для визначення гострого кута між прямими 1l і 2l чисельник правої
частини слід узяти за модулем.
Якщо прямі 1l і 2l перпендикулярні, то їх напрямні вектори
перпендикулярні, тобто 1S
2S
або 1S
2S
= 0.
Отже, умова перпендикулярності двох прямих має вигляд:
1 2 1 2 1 2m m n n p p = 0. (2.37)
Якщо прямі 1l і 2l паралельні, то паралельні їх напрямні вектори 1S
та 2S
,
тобто 1S
2S
, або 1S
=2S
.
Отже, умова паралельності двох прямих має вигляд:
1 1 1
2 2 2
m n p
m n p . (2.38)
2.6 Пряма і площина у просторі. Основні задачі
Кут між прямою і площиною
Нехай пряма l і площина визначаються відповідно напрямним
вектором ( ; ; )S m n p
і нормальним вектором ( ; ; )n A B C .
41
Кутом між прямою та площиною
будемо називати будь - який із двох
суміжних кутів, утворених прямою та її
проекцією на площину.
Позначимо через кут між прямою l і
площиною , а через – кут між
векторами ( ; ; )n A B C і ( ; ; )S m n p
(рис.2.22). Спочатку знайдемоcos за
формулою кута між векторами:
1
cosn S
n S
.
Визначимо синус кута , вважаючи 2
:
sin sin( ) cos2
.
Оскільки sin 0 , то маємо формулу кута між прямою і площиною:
2 2 2 2 2 2
sinAm Bn Cp
A B C m n p
. (2.39)
Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини
Якщо пряма l паралельна площині , то вектори S
і n перпендикулярні,
а тому S
n =0 (рис.2.23).
Отже, умова паралельності прямої і площини має вигляд
Am+Bn+Cp = 0. (2.40)
S n
l
Рис.2.24
n
S l
Рис.2.23
l n
S
Рис.2.22
42
Якщо пряма l перпендикулярна до площини , то вектори S
і n –
паралельні (рис 2.24).
Отже, умова перпендикулярності прямої і площини має вигляд:
A B C
m n p . (2.41)
Перетин прямої і площини
Нехай треба знайти точку перетину прямої 0 0 0x x y y z z
m n p
і площини
0Ax By Cz D .
Для цього наведемо канонічні рівняння прямої до рівняння у
параметричній формі:
0
0
0
,
,
.
x x mt
y y nt
z z pt
(2.42)
Підставимо ці вирази до рівняння площини замість x, y, z, отримаємо
рівняння
A(x0+mt)+B(y0+nt)+C(z0+pt)+D=0
або
0 0 0( ) ( ) 0t Am Bn Cp Ax By Cz D .
Якщо пряма не належить площині або вони не паралельні, тобто
0Am Bn Cp , то знайдемо t:
0 0 0Ax By Cz Dt
Am Bn Cp
.
Координати шуканої точки перетину прямої і площини знайдемо, якщо
занести обчислене значення параметра t до рівняння прямої (2.42).
Приклад. Дано координати точок S0 , S1 , S2 , S3 і вектори ,a b :
S0 S1 S2 S3 a b
(-1;2;1) (3;-4;2) (4;1;-3) (2;-1;-2) (1;3;-5) (-3;1;4)
Необхідно:
1) скласти рівняння площини 1 , яка проходить через точку S0 і має нор-
мальний вектор n b ;
2) скласти рівняння площини 2 , яка проходить через точки S1 , S2 , S3;
3) скласти рівняння площини 3 , яка проходить через точку S1 і пара-
лельна векторам ,a b ;
43
4) скласти рівняння площини 4 , яка проходить через точки S2 , S3 і пара-
лельна вектору a ;
5) знайти відстань від точки S0 до площини 2 і записати канонічні
рівняння перпендикуляра 1l , який опущений із точки S0 на площину 2 ;
6) записати канонічні рівняння прямої 2l , яка проходить через точки S1, S2;
7) перевірити, чи перетинаються прямі 1l і 2l .
Розв’язання:
1) Використовуючи рівняння площини, яка проходить через точку S0 і
має нормальний вектор n b :
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, де ( , , )n A B C ; S0(х0 ,у0 ,z0),
отримаємо
-3(x+1)+1(y-2)+4(z-1)=0 або -3x+y+4z-9=0.
Остаточно маємо шукане рівняння площини 1 : 3x-y-4z+9=0;
2) запишемо рівняння площини, яка проходить через три точки S1 , S2 , S3:
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
0
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
, де S1(х1 ,у1 ,z1); S2(х2 ,у2 ,z2); S3(х3 ,у3 ,z3).
Отримаємо
3 4 2
4 3 1 4 3 2 0
2 3 1 4 2 2
x y z
або
3 4 2
1 5 5 0
1 3 4
x y z
.
Обчислимо визначник за загальним правилом, розкладаючи його за елементами
першого рядка: 5 5 1 5 1 5
( 3) ( 4) ( 2) 03 4 1 4 1 3
x y z
;
5( 3) 9( 4) 8( 2) 0x y z .
Отже, маємо шукане рівняння площини 2 : 5 9 8 35 0x y z ;
3) рівняння площини, яка проходить через точку S1 і паралельна
векторам ,a b , можна визначити як рівняння площини, що проходить через
три точки:
0 0 0
0x y z
x y z
x x y y z z
a a a
b b b
, де S1(x0,y0,z0), , ,x y za a a a і , ,x y zb b b b .
Отримаємо рівняння
3 4 2
1 3 5 0
3 1 4
x y z
. Обчислимо визначник шляхом його
розкладу за елементами першого рядка:
44
3 5 1 5 1 3( 3) ( 4) ( 2) 0
1 4 3 4 3 1x y z
,
17(x-3)+11(y+4)+10(z-2)=0,
тобто маємо шукане рівняння площини 3 : 17x + 11y + 10z – 27=0;
4) запишемо рівняння площини, яка проходить через точки S2 , S3 і пара-
лельна вектору a :
1 1 1
2 1 2 1 2 1 0
x y z
x x y y z z
x x y y z z
a a a
, де S2(x1,y1.z1); S3(x2,y2,z2); , ,x y za a a a .
Маємо рівняння
4 1 3
2 4 1 1 2 3 0
1 3 5
x y z
,
звідки 2 1 2 1 2 2
( 4) ( 1) ( 3) 03 5 1 5 1 3
x y z
;
7(x-4)– 9(y-1)– 4(z+3)=0;
тобто
3 : 7x – 9у – 4z – 31=0;
5) використовуючи формулу (4.13), визначимо відстань від точки S0 до
площини 2 .
1 1 1
2 2 2
Ax By Cz Dd
A B C
, де S0(x1,y1,z1).
Рівняння площини 2 визначили раніше: 5x – 9y – 8z – 35 = 0, тобто
2 2 2
5( 1) 9 2 8 1 35 665,7.
1705 ( 9) ( 8)d
Запишемо канонічні рівняння перпендикуляра 1l , який опущений із точки
S0(x1,y1,z1 ) на площину 2 .
Оскільки пряма 1l перпендикулярна до площини 2 , то нормальний
вектор площини 2 (5; 9; 8)n буде одночасно і напрямним вектором
перпендикуляра 1l . Тому рівняння прямої 1l матиме вигляд
1 2 1
5 9 8
x y z
( тут використали рівняння (2.33));
45
6) запишемо канонічні рівняння прямої , яка проходить через дві точки S1
і S2 , для цього використаємо рівняння (2.34):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
, де S1(x1,y1.z1); S2(x2,y2,z2).
Звідси маємо шукане рівняння прямої 2l :
2l : 3 4 2 3 4 2
;4 3 1 4 3 2 1 5 5
x y z x y z
;
7) перевіримо, чи перпендикулярні прямі 1l і 2l , рівняння яких отримали
вище. Отже, відомі їх напрямні вектори 1 (5; 9; 8)s і 2 (1;5; 5)s .
Використовуючи умову перпендикулярності прямих (2.37), отримаємо
1 2 5 1 ( 9) 5 ( 8) ( 5) 0s s , тобто прямі 1l і 2l перпендикулярні.
Питання для самоперевірки
1 Як визначаються в аналітичній геометрії лінія, поверхня та інші
множини точок? Наведіть приклади.
2 Як однозначно може бути визначене положення площини у просторі?
3 Який вектор називається нормальним вектором площини?
4 Яке рівняння називають загальним рівнянням площини у просторі? У
чому полягає зміст його коефіцієнтів?
5 Виведіть рівняння площини, яка проходить через задану точку і має
заданий нормальний вектор.
6 Виведіть рівняння площини, яка проходить через три задані точки.
7 Як однозначно може бути визначене положення прямої у просторі?
8 Який вектор називають напрямним вектором прямої?
9 Виведіть канонічні та параметричні рівняння прямої у просторі.
10 Виведіть рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.
11 Як визначити кут між двома площинами; двома прямими; між прямою
і площиною?
12 Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності двох пря-
мих; двох площин; прямої і площини.
13 Наведіть приклади поверхонь другого порядку, їх рівняння і власти-
вості.
14 Виведіть рівняння циліндричної поверхні.
15 Яка характерна особливість рівняння циліндричної поверхні, твірні
якої паралельні одній з координатних осей? Наведіть приклади.
46
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ДО ЛЕКЦІЇ 3
Основні елементарні функції
1. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ y x
Рис.1 Рис.2
Рис.3 Рис.4
2. ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ xy a ( 0, 1a a ) (рис.5)
3. ЛОГАРІФМІЧНА ФУНКЦІЯ logay x ( 0, 1a a ) (рис.6).
Рис.5 Рис.6
4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ: y = sin x (рис.7), y = cos x (рис.8), y = tg x (рис.9), y = ctg x
(рис.10).
Рис.7
y x 3y x
5y x
x
y
0 1
1
-1
-1
x
y
0
1
-1 1
2y x 4y x
y
x
1y
x
1
1
0
-1
-1
y
x 1
1
0
y x
x
1
0
; 0 1xy a a
x 0
1
log ; 1ay x a
log ; 0 1ay x a
2
1
-1
3
2
2
2
x
siny x
y
y
y
, 1xy a a
y
47
Рис.8
Рис.9
Рис.10
5. ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ: arcsiny x (рис.11), arccosy x (рис.12),
y arctgx (рис.13), y arcctgx (рис.14).
Рис.11 Рис.12
Рис.13 Рис.14
0
1
-1
2
2
2
x
cosy x
3
2
3
2
2
0
2
3
2
2 x
y
3
2
2
0
2
3
2
2 x
y
x x
2
1
-1
2
arcsiny x
-1 2
1 0 0
arccosy x
y y
x
x
2
2
0
y arctgx
2
0
y arcctgx
y tgx
y ctgx
y
48
ЛЕКЦІЯ 3
Функція та її властивості. Границя функції. Основні теореми про границі.
Важливі границі. Неперервність функції. Точки розриву функції
3.1 Границя функції
3.2 Неперервність функції
Поняття змінної та функції є основними поняттями диференціального та
інтегрального числень. Функція встановлює зв’язок між залежними
величинами. Наприклад, у задачах з опору матеріалів визначають зв’язок між
інтенсивністю напружень й інтенсивністю деформації, досліджуючи на розтяг –
стиск сталеві зразки, або досліджують осідання точок фундаменту споруди
залежно від часу.
3.1 Границя функції
Означення. Змінною величиною (змінною) називається величина, яка
набуває різних числових значень.
Якщо значення величини не змінюється, то вона називається сталою.
Змінні величини зазвичай позначають через x, y, z,…і т.д., а сталі – а, b,
с,…і т.д.
Нехай задані дві непорожні множини Х і Y.
Означення. Відповідність, за якою з кожним значенням змінної
x X (яка належить множині Х) зіставляють цілком певне значення змінної
y Y , називається функцією і позначається ( )y f x або ( )y y x . Змінну х
називають незалежною змінною або аргументом, а змінну у – залежною
змінною або функцією.
Означення. Сукупність усіх значень незалежної змінної х, для яких
визначаються значення функції у називають областю визначення функції або
областю існування і позначають D(f) або ( )D y . Сукупність усіх різних
значень змінної у, які обчислюються за правилом ( )f x , називають областю
зміни функції і позначають ( )E f або ( )E y . У наших позначеннях D( f ) = Х,
( )E f = У.
Під околом точки х0 розуміють будь - якій інтервал (a ; b), який містить
точку х0.
Нехай функція ( )y f x визначена в околі точки х0, за винятком, можли-
во, самої точки х0.
Означення. Число А називається границею функції ( )f x при х, яке
прямує до х0 ( 0x x ), якщо для будь - якого як завгодно малого числа 0
існує число ( ) 0 , яке залежить від , таке, що при всіх ( ; )x a b , які
задовольняють нерівності 00 x x , виконується нерівність ( ) Af x .
Символічно цей факт записують так : 0
lim ( ) Ax x
f x
.
49
Якщо 0
lim ( )x x
f x
, то це означає, що для будь - якого числа M 0 існує
число (M) 0 , яке залежить від М, таке, що при всіх x , які задовольняють
нерівності 00 x x , виконується нерівність ( ) Mf x .
Границя функції при x
Якщо lim ( ) Ax
f x
, то для будь - якого числа 0 існує число M( ) 0 ,
яке залежить від , таке, що при всіх x , для яких виконується нерівність
M( )x випливає нерівність ( ) Af x .
Аналогічно lim ( )x
f x
, якщо для будь - якого числа M 0 існує число
N(M) 0 , яке залежить від M , таке, що при всіх x , для яких виконується
нерівність Nx випливає нерівність ( ) Mf x .
Геометричний зміст границі функції
Якщо 0
lim ( ) Ax x
f x
, то для всіх
точок х, які лежать від точки х0 не
далі, ніж на відстань , точки
графіка функції ( )y f x лежать
усередині смуги, шириною 2 , яка
обмежена прямими y A і
y A (рис.3.1).
Односторонні границі
Для існування границі функції ( )f x при 0x x необхідно й достатньо,
щоб мала місце рівність
0 0lim ( )
x xf x
=
0 0lim ( )
x xf x
,
де 0
00
lim ( ) ( 0)x x
f x f x
– ліва границя, а 0
00
lim ( ) ( 0)x x
f x f x
– права границя
функції ( )f x у точці 0x x . Запис 0 00 ( 0)x x x x означає, що точка x
наближається до точки 0x зліва (справа). Права й ліва границі функції у точці
називаються односторонніми границями функції в цій точці.
У загальному випадку ліва і права границі функції у точці 0x можуть
існувати, але не дорівнювати одна одній.
Наприклад, область визначення функції (1/ )y arcctg x : ( ) \ 0D y R , тобто
функція не визначена лише в одній точці 0 0x . Обчислимо її односторонні
границі в цій точці:
0lim (1/ ) 0x
arcctg x
, 0
lim (1/ )x
arcctg x
.
( )y f x
A
A
A
0x 0x 0x
2
x
y
Рис.3.1
50
Зауваження. Визначення границі функції у точці 0x x не обов’язково
вимагає існування функції в цій точці.
Нескінченно малі величини (функції)
Функція ( )y f x називається нескінченно малою при 0x x , якщо
0
lim ( ) 0x x
f x
.
За означенням границі функції ця рівність означає: для будь - якого як
завгодно малого числа 0 існує число ( ) 0 , таке, що при всіх х, які
задовольняють нерівності 00 x x виконується нерівність ( )f x .
Наприклад, функція siny x є нескінченно малою при ,x n n Z .
Для нескінченно малих величин виконуються такі властивості:
а) алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих величин є
нескінченно малою;
б) добуток нескінченно малої величини на обмежену, коли 0x x (або
x) є нескінченно малим;
в) частка від ділення нескінченно малої величини на обмежену, границя
якої відрізняється від нуля, є нескінченно малою;
Доведення властивості в). Нехай ( )x – нескінченно мала функція, ( )g x
– обмежена функція при 0x x , тобто 0
lim ( ) 0x x
x
, 0
lim ( ) 0x x
g x a
. Розглянемо
функцію ( ) / ( )x g x при 0x x . Перепишемо функцію у вигляді ( )(1/ ( ))x g x .
Оскільки ( ) 0x при 0x x , а 1/ ( ) 1/g x a ( 0a ), тому маємо нескінченно
малу функцію як добуток нескінченно малої на обмежену функцію.
Нескінченно великі величини
Функція ( )y f x називається нескінченно великою при 0x x , якщо для
будь - якого числа M 0 існує число (M) 0 таке, що при всіх x , які
задовольняють нерівності 00 x x , виконується нерівність ( ) Mf x .
Тобто 0
lim ( )x x
f x
.
Наприклад, функція y tgx є нескінченно великою при / 2x .
Між нескінченно малими й нескінченно великими величинами існує
така залежність: якщо ( )f x – нескінченно велика при 0x x , то її обернена
величина ( ) 1/ ( )x f x – нескінченно мала. Якщо ( )x – нескінченно мала
функція при 0x x ( ( )x ≠ 0), то 1/ ( )x – нескінченно велика.
Зв’язок між функцією, її границею та нескінченно малою
Теорема. Для того, щоб функція ( )y f x мала границю 0
lim ( )x x
f x a
,
необхідно й достатньо виконання рівності ( ) ( )f x a x , де ( )x – нескінчен-
но мала функція при 0x x .
Доведення. Необхідність: нехай 0
lim ( )x x
f x a
. Тоді за означенням границі
функції для будь - якого як завгодно малого числа 0 існує число ( ) 0 , яке
51
залежить від , таке, що при всіх x , які задовольняють нерівності 00 x x ,
виконується нерівність ( )f x a . А цей факт означає, що функція ( )f x a
має границю, яка дорівнює нулю, тобто є нескінченно малою. Позначимо її
через ( )x , тоді ( ) ( )f x a x . Звідси ( ) ( )f x a x , що і треба було довести.
Достатність: нехай виконується рівність ( ) ( )f x a x , де ( )x – нескінченно
мала функція при 0x x , тобто 0
lim ( ) 0x x
x
. Тоді для будь - якого як завгодно
малого числа 0 існує число ( ) 0 , яке залежить від , таке, що при всіх x ,
які задовольняють нерівності 00 x x , виконується нерівність ( )x .
Оскільки за умовою ( ) ( )x f x a , то маємо ( )f x a при виконанні
попередніх умов. А це означає, що 0
lim ( )x x
f x a
, що і треба було довести.
Зв’язок між існуванням границі та обмеженістю функції
Теорема. Якщо 0
lim ( )x x
f x a
, де а – скінченна величина, то функція ( )f x
є обмеженою.
Цю теорему пропонується довести самостійно (аналогічним чином, як і
попередні).
Основні теореми про границі функції
Вважатимемо, що границі 0
1lim ( )x x
f x
та 0
2lim ( )x x
f x
існують і скінченні.
Теорема 1 Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці)
границь цих функцій:
0 0 01 2 1 2lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x f x f x f x
.
Наслідок. Якщо функція має границю, то вона єдина.
Теорема 2 Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих
функцій:
0 0 01 2 1 2lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x f x f x f x
.
Наслідки.
1 Сталий множник можна виносити за знак границі:
0 0
lim( ( )) lim ( )x x x x
cf x c f x
, де constc .
2 0
0
lim( ( )) (lim ( ))n n
x x x x
f x f x
, де n - ціле додатне число.
3 0 0
lim ( ) lim ( )nn
x x x xf x f x
.
Зауваження. Теореми 1 і 2 залишаються справедливими для будь - якого
скінченного числа доданків і множників.
Теорема 3 Границя частки двох функцій дорівнює частці цих функцій,
якщо границя знаменника не дорівнює нулю:
0
0
0
11
2 2
lim ( )( )
lim( ) lim ( )
x x
x x
x x
f xf x
f x f x
, якщо 0
2lim ( ) 0x x
f x
.
52
Доведення теореми 1. Нехай 0
1lim ( )x x
f x
= а, 0
2lim ( )x x
f x
= b.
Тоді 1( )f x = а + ( )x , 2 ( )f x = b + ( )x , де ( )x і ( )x – нескінченно малі при
0x x (за теоремою про зв’язок між функцією, її границею та нескінченно
малою).
Отже, 1( )f x 2 ( )f x = (а b) + ( ( )x ( )x ). Тут (а b) – стала величина, а
( ( )x ( )x ) – нескінченно мала при 0x x ( як алгебраїчна сума нескінченно
малих), тому
0 0 01 2 1 2 1 2lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x f x a a f x f x
.
Інші теореми доводяться аналогічно.
Приклад. Знайти 2
2
1lim
3x
x x
x
.
Розв’язання. Щоб перевірити можливість використання теореми про
границю частки, треба переконатися в тому, що при граничному значенні
аргументу знаменник не дорівнює нулю. Дійсно, при 2x знаменник
3 2 3 1 0x .
Отже, використовуючи теореми про границі функції та їх наслідки, одер-
жимо: 2
2 2
2
2
2
lim( 1)1 2 2 1lim 3
3 lim( 3) 2 3
x
x
x
x xx x
x x
.
Отже, якщо до даної функції, границю якої треба знайти при прямуванні
аргументу до деякого граничного значення, можна застосувати теореми про
границі, то обчислення границі зводиться до підстановки цього граничного
значення до виразу функції.
Ознаки існування границі
Теорема. Якщо функції ( )f x , ( )g x , ( )x задовольняють нерівності
( ) ( ) ( )x f x g x
і
0
lim ( )x x
x
= а, 0
lim ( )x x
g x
= а,
то
0
lim ( )x x
f x
= а.
Теорема (про границю монотонної функції). Якщо функція ( )f x
монотонна і обмежена при х < x0 або при х > x0 , то існує відповідно її ліва
границя 0
00
lim ( ) ( 0)x x
f x f x
або її права границя 0
00
lim ( ) ( 0)x x
f x f x
.
Наслідок. Обмежена і монотонна послідовність хп, n N , має границю.
Ці теореми приймемо без доведення.
Еквівалентні нескінченно малі
53
Якщо границя відношення нескінченно малих ( )x і ( )x прямує до
одиниці при 0x x , тобто 0
( )lim 1
( )x x
x
x
, то функції ( )x і ( )x називають
еквівалентними нескінченно малими і пишуть ( )x ( )x при 0x x .
Наприклад, sin x x при 0x , оскільки 0
sinlim 1x
x
x (доведемо нижче).
Наведемо найважливіші еквівалентності, які використовують при
обчисленні границь:
log (1 )1sin arcsin
ln log
x
a
a
xax x tgx x arctgx
a e
при 0x .
Пропонуємо це твердження довести самостійно.
Деякі важливі границі
Перша чудова границя: 0
sinlim 1x
x
x .
Доведення. Розглянемо коло одиничного радіуса, позначимо радіанну
міру кута МОВ через х (рис.3.2).
Центральний кут MOA x , sinAM x ,
BC tgx . З рис.5.17 маємо
MOB сектораMOB COBS S S , тобто
1 1 1sin
2 2 2x x tgx ,
11
sin cos
x
x x або
sincos 1
xx
x . Оскільки
0limcos 1x
x
і
0lim1 1x
, то за ознакою існування границі
функції 0
( 0)
sinlim 1xx
x
x
.
Якщо х < 0, то sin sin( )x x
x x
, де – х > 0. Таким чином,
0( 0)
sinlim 1xx
x
x
, отже,
0
sinlim 1x
x
x .
Зауваження. Перша чудова границя розкриває невизначеність вигляду 0
0
.
Друга чудова границя: 1
lim 1
x
xe
x
або
1
0lim(1 ) x
xx e
.
Ці твердження залишимо без доведення.
Зауваження. Друга чудова границя розкриває невизначеність вигляду (1 ) .
3.2 Неперервність функції
Нехай функція ( )y f x визначена в точці 0x і у деякому її околі.
tgx sin x
cos x
х
M
A В
С
О
x
y
Рис.3.2
54
Означення. Функція ( )y f x називається неперервною в точці 0x ,
якщо існує границя цієї функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в
цій точці, тобто
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
. (3.1)
Це означення рівносильне такому: функція ( )y f x називається непе-
рервною в точці 0x , якщо
0lim 0x
y
,
де 0x x x – приріст аргументу;
0( ) ( )y f x f x (або 0 0( ) ( )y f x x f x ) – приріст функції в точці х0.
Оскільки 0
0limx x
x x
, то рівність (4.1) можна записати у вигляді
0 0lim ( )
x xf x
=
0 0lim ( )
x xf x
= 0( )f x . (3.2)
Це означає, що при визначені границь неперервної функції знак функції і
знак границі можна замінювати один на інший.
Наприклад, 0
sin sinlim
0lim x
x x
x x
xe e e
.
Якщо функція ( )y f x неперервна у кожній точці інтервалу ( ; )a b , то її
називають неперервною в інтервалі ( ; )a b .
Якщо функція ( )y f x неперервна у кожній точці інтервалу ( ; )a b і в
точці x a вона неперервна справа 0
lim ( ) ( )x a
f x f a
, а в точці x b вона
неперервна зліва 0
lim ( ) ( )x b
f x f b
, то її називають неперервною на відрізку
;a b .
Слід пам’ятати, що всі елементарні функції неперервні в області їх визна-
чення.
Точки, в яких порушується умова неперервності, називають точками
розриву функції. Точки розриву можуть належати області визначення або
перебувати на границі цієї області.
Усі точки розриву функції поділяють на точки розриву першого та друго-
го роду.
Точка 0x називається точкою розриву першого роду функції ( )f x , якщо
в цій точці існують скінченні границі функції справа та зліва, тобто
01
0lim ( ) A
x xf x
і
02
0lim ( ) A
x xf x
. При цьому:
1) якщо 1 2A A ≠ f (x0), то точка 0x називається точкою усувного розриву;
2) якщо 1 2A A , то точка 0x називається точкою скінченного розриву.
Величину 1 2A - A називають стрибком функції в точці розриву.
55
Точка 0x називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці
хоча б одна з границь 0 0
lim ( )x x
f x
або 0 0
lim ( )x x
f x
не існує або дорівнює
нескінченності.
Приклад. Дослідити функцію 1
2 xy на неперервність у точках 3x і
0x .
Розв'язання. За означенням функція неперервна в точці 0x , якщо
0 0 0( 0) ( 0) ( )f x f x f x . Перевіримо виконання цієї умови в даних точках.
При 3x маємо: 1
33(3) 2 2y ; 1 1 1
33 0 3
3 0 3 0lim lim 2 2 2 2x
x xy
,
1 1 1
33 0 3
3 0 3 0lim lim 2 2 2 2x
x xy
.
Умова неперервності при 3x виконується, отже, в цій точці функція
неперервна.
Проведемо аналогічні дослідження при 0x : 1
0(0) 2y не існує, 1 1
0
0 0lim lim 2 2 2x
x xy
;
1 1
0
0 0
1 2lim lim 2 2 2 0
2x
x xy
Умова неперервності при 0x не виконується, отже, в точці 0x
функція розривна (має нескінченний розрив).
ЛЕКЦІЯ 4
Похідна функції. Правила диференціювання. Таблиця похідних. Теореми
Ролля, Лагранжа, Коші, правило Лопіталя
4.1 Похідна і диференціал функції
4.2 Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, правило Лопіталя
(довідковий матеріал)
4.1 Похідна і диференціал функції
Поняття похідної є одним із основних математичних понять. Похідну
широко використовують під час розв’язання інженерних задач, особливо
вивчаючи швидкість різних процесів.
Задачі, які призводять до поняття похідної
1 Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка рухається
нерівномірно вздовж деякої прямої. Візьмемо який-небудь момент часу t і
розглянемо проміжок часу t ( приріст часу) від моменту t0 до моменту
t = t0 + t . Через S позначимо шлях, який пройшла точка за проміжок часу
t , тобто S = ( ) ( )S t t s t . Цей шлях залежить від t .
Відношення S
t
є середньою швидкістю руху точки за час t .
56
Границя середньої швидкості руху , якщо проміжок часу t прямує до
нуля, є миттєвою швидкістю руху. Позначимо цю швидкість через V і
отримаємо:
0limt
SV
t
або
0
( ) ( )limt
S t t S tV
t
.
2 Задача про дотичну. Візьмемо на деякій неперервній кривій L дві
точки М і М1. Пряму, яка проходить через ці точки, називають січною
(рис.4.1).
Нехай точка М1 наближається до
точки М, рухаючись уздовж кривої
L. Тоді кожному положенню точки
М1 відповідатиме своя січна, яка
прямує до деякого граничного
положення МТ.
Дотичною до кривої в даній точці
М називають граничне положення
МТ січної ММ1, якщо точка М1
прямує до точки М.
Розглянемо функцію ( )y f x , графіком якої є лінія L. Знайдемо її
кутовий коефіцієнт k tg у точці М, де – кут дотичної до додатного
напряму осі Ох. Позначимо через – кут між січною ММ1 і додатним
напрямом осі Ох. З рис. 4.1 видно, що кутовий коефіцієнт січної дорівнює: ( ) ( )
січ
y f x x f xk tg
x x
.
При 0x в силу неперервності функції приріст функції y також
прямує до нуля; тому точка М1 прямує до точки М, кут – до кута , а
січна ММ1 переходить до дотичної. Тобто 0
limx
tg tg
.
Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює:
0 0
( ) ( )lim limx x
y f x x f xk tg
x x
.
Границі, які отримані під час розв’язання задач, мають однаковий вигляд,
до якого призводять рішення і багатьох інших задач. Цю границю називають
похідною.
Означення. Похідною функції ( )y f x у точці х0 називають границю
відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу
прямує до нуля (якщо границя існує).
Похідну функції ( )f x позначають одним із символів: ( )f x , y , dy
dx.
Отже, за означенням
0 0
( ) ( ) ( )lim limx x
f x x f x f xy
x x
.
( )y f x
L
x x x
x
М
1M
y
x
y
О
Рис.4.1
Т
57
Функція ( )y f x , яка має похідну в кожній точці інтервалу ( ; )a b ,
називається диференційованою в цьому інтервалі; операція визначення
похідної називається диференціюванням.
Значення похідної функції ( )y f x у точці х=х0 позначається
0( )f x або 0( )y x .
Таким чином, похідна функції ( )S S t у точці t дорівнює миттєвій
швидкості руху матеріальної точки в момент часу t (механічний зміст
похідної); значення похідної в точці х чисельно дорівнює кутовому
коефіцієнту дотичної, яка проведена до кривої в точці х (геометричний зміст
похідної).
Рівняння дотичної до графіка функції ( )y f x у точці х=х0
Якщо точка дотику М має координати (х0; у0) (рис.4.4), то кутовий
коефіцієнт дотичної 0( )k f x . Використовуючи рівняння прямої, яка проходить
через задану точку в заданому напрямі 0 0( )y y k x x , можна записати
рівняння дотичної:
0 0 0( )( )y y f x x x . (4.1)
Рівняння нормалі до графіка функції
Пряма, яка перпендикулярна до дотичної у точці дотику, називається
нормаллю до кривої. Оскільки нормаль перпендикулярна до дотичної, то її кутовий коефіцієнт
0
1 1
( )норм
дот
kk f x
(якщо 0( ) 0f x ).
Тому рівняння нормалі має вигляд:
0 0
0
1( )
( )y y x x
f x
. (4.2)
Зв’язок між неперервністю і диференційованістю
Теорема. Якщо функція диференційована в деякій точці, то вона
неперервна в ній.
Доведення. Нехай функція ( )y f x диференційована в деякій точці х,
тобто існує границя 0
lim ( )x
yf x
x
. Звідси за теоремою про зв’язок функції, її
границі і нескінченно малої , маємо ( )y
f xx
, де 0 при 0x , тобто
( )y f x x x .
Якщо перейти до границі при 0x , то отримаємо 0
lim 0x
y
. А це і
означає, що функція ( )y f x неперервна в точці х.
Зауваження. Обернене твердження у загальному випадку невірне:
неперервна функція може не мати похідної.
58
Прикладом такої функції є функція
, 0,
, 0.
x якщо xy x
x якщо x
На рисунку 4.2 зображена функція, яка
неперервна в точці х = 0, але не є
диференційованою в цій точці.
Якщо функція ( )y f x має неперервну похідну ( )y f x у деякому
інтервалі ( ; )a b , то функція називається гладкою на цьому інтервалі.
Правила диференціювання
Знаходження похідної функції за означенням часто призводить до різних
труднощів. На практиці функції диференціюють за допомогою низки правил та
формул. Сформулюємо ці правила і доведемо деякі з них.
Нехай функції ( )u u x , ( )v v x – дві диференційовані в інтервалі ( ; )a b
функції.
Похідна суми (різниці). Похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює
сумі (різниці) похідних цих функцій: ( )u v u v . (4.3)
Похідна добутку. Похідна добутку двох функцій дорівнює добутку
похідної першої функції на другу функцію плюс добуток першої функції
на похідну другої функції:
( )u v u v u v . (4.4)
Доведення. Нехай y u v . Тоді
0
( ) ( ) ( ) ( )lim limx o x
y u x x v x x u x v xy
x x
0
( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )limx
u x u v x v u x v x
x
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )limx
u x v x u x v v x u u v u x v x
x
lim ( ) ( )x o
u v uv x u x v
x x x
0 0( ) lim ( ) lim lim lim
x o x x x
u v uv x u x v
x x x
0u v u v u u v u v ,
тобто ( )u v u v u v , що треба було довести.
Похідна частки. Похідна частки двох функцій дорівнює дробу,
чисельник якого є різницею між добутком похідної чисельника на
знаменник і добутком похідної знаменника на чисельник, а знаменник
дробу є квадратом знаменника функції:
y x
х
у
О
Рис. 4.2
59
2
u u v u v
v v
. (4.5)
Наслідки.
а) ( )c u c u ;
б) 1u
uc c
.
Похідна складної функції. Нехай ( )y f u і ( )u x , тоді функція
( ( ))y f x – складна функція з проміжним аргументом и і незалежним
аргументом х.
Якщо функція ( )u x має похідну xu в точці х, а функція ( )y f u має
похідну uy у відповідній точці ( )u x , то складна функція ( ( ))y f x має
похідну xy в точці х, яка визначається за формулою
x u xy y u . (4.6)
Доведення. За умовою 0
lim uu
yy
u
, звідки , за теоремою про зв’язок
функції, її границі і нескінченно малої , маємо u
yy
u
або
uy y u u , де 0 при 0u .
Функція ( )u x має похідну в точці х: 0
lim xx
uu
x
, тому
xu u x x , де 0 при 0x .
Отже,
( ) ( )u x xy y u x x u x x ,
тобто
u x u xy y u x y x u x x .
Поділимо отриману рівність на x і перейдемо до границі при 0x ,
отримаємо x u xy y u , що треба було довести.
Зауваження. Це правило залишається справедливим, якщо проміжних
аргументів декілька.
Похідна оберненої функції.
Якщо функція ( )y f x задовольняє умові існування оберненої функції і в
точці ( ; )x a b має скінченну і відмінну від нуля похідну, тоді обернена функ-
ція 1( )x f y також має похідну у відповідній точці ( )y f x . Похідні
взаємно обернених функцій зв’язані рівністю
1 1( ( )) y
x
f yf
або
1y
x
xy
. (4.7)
Похідна функції, заданої у параметричній формі.
60
Нехай функцію задано у параметричному вигляді: ( ),
( ),
x t
y t
де ( )t і ( )t
– неперервні і диференційовані, коли параметр t ( ; ) . Нехай функція
( )x x t має обернену ( )t t x , яка також диференційована (це означає, що у
деякій точці 0 ( ; )t похідна 0tx ), тоді
tx
t
yy
x
. (4.8)
Похідна неявно заданої функції. Якщо функція задана рівнянням
( ; ) 0F x y , то для визначення похідної від у по х необхідно: про
диференціювати рівняння ( ; ) 0F x y по х , вважаючи, що у є функцією від х;
отримане рівняння слід розв’язати відносно y .
Похідні основних елементарних функцій. Подамо формули похідних
елементарних функцій і вибірково доведемо деякі з них.
Похідна степеневої функції: 1( )x x .
Похідна показникової функції: ( ) lnx xa a a , ( 0, 1a a ).
Доведення. Спочатку доведемо формулу похідної функції xy e . Дамо
аргументу х приріст x , тоді приріст функції ( 1)x x x x xy e e e e .
Тобто,
( 1)x xy e e
x x
,
звідки
0 0 0
00
1 1lim lim lim
1 lim 1 .
x xx x
x x x
x x x x
xx
y e ee e
x x x
xe x e e e
x
Таким чином, ( )x xe e .
Тепер розглянемо функцію xy a . Оскільки lnx x aa e , то за правилом
диференціювання складної функції, отримаємо: ln ln ln( ) ( ) ( ln ) ln lnx x a x x x a xa e e x a e a a a .
Таким чином, ( ) lnx xa a a .
Похідна логарифмічної функції: 1
(log )ln
a xx a
, ( 0, 1a a ).
Доведення. Функції logay x і yx a взаємно обернені , тоді за
правилом диференціювання складної функції
log
1 10 ( ) ln
( )
1 1.
ln lna
y y y
x y
y
xy
y
y a a a ax a
a a xa a x a
61
Отже, 1
(log )ln
a xx a
.
Похідні тригонометричних функцій:
(sin ) cosx x ; (cos ) sinx x ;
2
1( )
costgx
x ;
2
1( )
sinctgx
x .
Похідні обернених тригонометричних функцій:
2
1( sin )
1arc x
x
;
2
1(arccos )
1x
x
;
2
1( )
1arctgx
x
;
2
1( )
1arcctgx
x
.
Формули похідних основних елементарних функцій запишемо в таблицю.
На практиці частіше за все визначають похідні складних функцій, тому в
наведеній нижче таблиці замінимо аргумент “x” на проміжний аргумент и =
и(х), де и(х) – диференційована функція.
Таблиця похідних
1 ( )c o ; 7 2
( )cos
utgu
u
;
2 1( )u u u ; зокрема, ( )2
uu
u
; 8
2( )
sin
uctgu
u
;
3 ( ) lnu ua a a u ; зокрема, ( )u ue e u ; 9 2
( sin )1
uarc u
u
;
4 (log )ln
a
uu
u a
;зокрема, (ln )
uu
u
; 10
2(arccos )
1
uu
u
5 (sin ) cosu u u ; 11 2
( )1
uarctgu
u
;
6 (cos ) sinu u u ; 12 2
( )1
uarcctgu
u
.
Приклад. Знайти похідні від функцій:
а) 2(3 7) lnsin3y x x ; б) 5
2
7 3x
xy
e
.
Розв’язання.
а) 2 2 2((3 7) lnsin 2 ) (3 7) lnsin 2 (3 7) (lnsin 2 )y x x x x x x 2
2 1 2(3 7) cos 23 2 lnsin 2 (3 7) cos 2 2 6 lnsin 2
sin 2 sin 2
x xx x x x x x
x x
;
б) 5 4 2 5 2 2 4 5
2 2 2 4
7 3 7 5 (7 3) 2 (35 14 6)
( )
x x x
x x x
x x e x e e x xy
e e e
.
Похідні вищих порядків
Нехай функція ( )y f x диференційована у проміжку ( ; )a b . Похідна цієї
функції ( )f x є функцією аргументу х. Якщо функція ( )f x диференційована, то
62
її похідна називається похідною другого порядку і позначається ( )f x ( або
2
2, ,
d y d dyy
dx dx dx
. Таким чином, ( )y y .
Похідна від похідної другого порядку, якщо вона існує, називається
похідною третього порядку і позначається ( )f x ( або 3 2
3 2, ,
d y d d yy
dx dx dx
.
Таким чином, ( )y y .
Означення. Похідною п-го порядку (або п-ю похідною) називається
похідна від похідної (п – 1) - го порядку (якщо вона існує).
Таким чином, ( ) ( 1)( )n ny y . (4.9)
Похідні порядку, який вище першого, називають похідними вищих
порядків.
Приклад. Знайти y , якщо 32 xy e .
Розв’язання. 3 3 3(2 ) 2 3 6x x xy e e e , 3 3 3(6 ) 6 3 18x x xy e e e ; 3 3 3(18 ) 18 3 54x x xy e e e .
Якщо функція задана у параметричному вигляді:
,
,
x t
y f t
то похідні
dy
dx,
2
2
d y
dx,
3
3
d y
dx, … слід знаходити за формулами:
tx
t
ydyy
dx x
,
2
2
x txx
t
yd yy
dx x
,
3
3
xx txxx
t
yd yy
dx x
і т.д.
Похідну другого порядку можна знайти також за формулою
3
y x x yy
x
, де t
dxx x
dt ; t
dyy y
dt ;
2
2
d xx
dt ;
2
2
d yy
dt .
Приклад. Знайти 2
2
d y
dx, якщо
2
ln ,
1.
x t
y t
Розв'язання. Диференціюючи х і у по t : 1
, 2t tx y tt
, знаходимо:
21
2 : 2t
t
ydyt t
dx x t
, звідки
22
2
2
24 4
1
x t t
t
tyd yt t t
dx x
t
.
Під час знаходження похідних вищих порядків неявно заданої функції
використовують той самий алгоритм, що і для визначення похідної першого
порядку неявно заданої функції.
Приклад. Знайти y , якщо y x arctg y .
63
Розв'язання. Диференціюючи обидві частини рівняння по х і вважаючи
у функцією від х, маємо: 2
11
1y y
y
.
Виконуючи перетворення 2
11
1y y
y
;
2
11 1
1y
y
;
2
21
1
yy
y
, знаходимо:
22
2 2
1 11 1
yy y
y y
.
Тоді 22
3
3 2 5
2 12 12
yyy y y
y y y
.
Диференціал функції
Нехай функція ( )y f x має в точці х похідну 0
lim ( ) 0x
yf x
x
. Тоді, за
теоремою про зв’язок функції, її границі і нескінченно малої, маємо
( )y
f xx
, 0 при 0x , або ( )y f x x x .
Таким чином, приріст функції y являє собою суму двох доданків
( )f x x і x , які є нескінченно малими при 0x , причому
0
( )lim ( ) 0x
f x xf x
x
, а
0 0lim lim 0x x
x
x
. Тому перший доданок ( )f x x
називають головною частиною приросту функції y .
Означення. Диференціалом функції ( )y f x у точці х називається
головна частина її приросту (лінійна відносно x ) , яка дорівнює добутку
похідної функції на приріст її аргументу і позначається dy ( або ( )df x ):
( )dy f x x . (4.10)
Диференціал dy називають диференціалом першого порядку.
Якщо y x , то dy dx x . Тому
( )dy f x dx .
Приклад. Знайти диференціал функції 2 75 xy x .
Розв’язання. 2 7 7 2 7( 5 ) (2 5 7 5 ln5)x x xdy x dx x x dx .
Зв’язок між диференційованістю функції та існуванням її похідної
Для того, щоб функція була диференційована в точці, необхідно і
достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.
Правила обчислення диференціалів
Правила обчислення диференціалів легко отримати, використовуючи
зв’язок між диференціалом і похідної функції ( dy y dx ) та відповідні правила
обчислення похідних.
Диференціал суми, різниці, добутку і частки двох диференційованих
функцій визначається за формулами:
64
( )d u v du dv ;
( )d u v du v u dv ;
2( 0)
u du v u dvd v
v v
.
Доведення. Доведемо, наприклад, другу формулу. За означенням
диференціала маємо: ( ) ( ) ( )d u v u v dx u v u v dx u dx v u v dx du v u dv .
Інваріантність диференціала
Нехай ( )y f u і ( )u u x – диференційовані функції аргументів и і х, які
утворюють складну функцію ( ( ))y f u x . За теоремою про похідну складної
функції виконується рівність
u xy y u .
Помножимо обидві частини рівності на dx, отримаємо u xy dx y u dx .
Оскільки y dx dy і xu dx du в припущенні, що х – незалежна змінна, останню
рівність можна записати так:
udy y du .
Порівнюючи формули xdy y dx і udy y du , робимо висновок, що перший
диференціал функції ( )y f x визначається однією і тою самою формулою
незалежно від того, чи є її аргумент незалежною змінною або є функцією іншої
змінної.
Ця властивість диференціала називається інваріантністю (незмінністю)
форми першого диференціала.
Диференціали вищих порядків
Нехай маємо функцію ( )y f x . Диференціал цієї функції ( )dy y x dx є
функцією від аргументу х (множник dx не залежить від х). Тоді маємо право
говорити про диференціал від dy .
Диференціал від диференціала функції називають диференціалом
другого порядку або другим диференціалом і позначають через 2d y : 2 2( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )( )d y d dy d y x dx y x dx dx y x dx .
Прийнято замість степені диференціала 2( )dx писати 2dx . Таким чином, 2 2( )d y y x dx .
Аналогічно визначаються диференціали п - го порядку.
Питання для самоперевірки
1 Дайте означення функції.
2 Що називається границею функції у точці х0?
3 Що називається похідною функції? У чому полягає фізичний та
геометричний зміст похідної?
4 Яка функція називається неперервною в точці?
65
5 Сформулюйте основні правила диференціювання і запишіть таблицю
похідних.
6 Що називається диференціалом функції?
7 Що називається похідною п-го порядку?
8 Сформулюйте правило Лопіталя і умови його використання.
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ДО ЛЕКЦІЇ 4
4.2 Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, правило Лопіталя
(Основні теореми диференціального числення)
Теорема (Ролля). Якщо функція ( )f x задовольняє умовам:
1. ( )f x неперервна на відрізку ;a b ;
2. ( )f x диференційована в інтервалі ;a b ;
3. ( )f a = ( )f b ,
тоді знайдеться хоча б одна точка ;c a b , в якій ( ) 0f c .
Доведення. Оскільки функція ( )f x неперервна на відрізку ;a b , то вона
досягає на ньому свого найбільшого значення М та найменшого значення т.
Якщо М = т, то функція стала на ;a b , а похідна сталої функції дорівнює
нулю у будь - якій точці відрізка і теорема доведена.
Якщо M m , то функція досягає хоча б одне із значень М або т у внутрішній
точці с інтервалу ;a b , оскільки ( )f a = ( )f b .
Нехай ( )f c M ( коли ( )f c m теорема доводиться аналогічно), тоді для
усіх ;x a b виконується нерівність ( ) ( )f c f x , тобто ( ) ( ) 0f c x f c .
Знайдемо похідну ( )f c : ( ) ( )
( ) limx o
f c x f cf c
x
.
Якщо 0x (тобто 0x справа від точки х = с ), то ( ) ( )
0f c x f c
x
і
тому ( ) 0f c .
Якщо 0x , то ( ) ( )
0f c x f c
x
і тому ( ) 0f c .
Таким чином, ( ) 0f c , тобто існує точка ;c a b , в якій похідна
дорівнює нулю.
Геометрично це означає, що існує точка, в якій дотична до графіка
функції, яка задовольняє умовам теореми, паралельна осі абсцис.
Теорема (Коші). Якщо функції ( )f x і ( )x задовольняють умовам:
1) ( )f x і ( )x неперервні на відрізку ;a b ;
2) ( )f x і ( )x диференційовані в інтервалі ;a b ;
3) ( ) 0x для ;x a b ,
тоді знайдеться хоча б одна точка ;c a b , така, що виконується рівність
66
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f c
b a c
.
Доведення. Зазначимо, що ( ) ( ) 0b a , оскільки у противному випадку
за теоремою Роллю знайшлась би точка с, така, що ( ) 0c , що неможливо за
умовою теореми.
Розглянемо допоміжну функцію: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) ( )
f b f aF x f x f a x a
b a
.
Ця функція неперервна на ;a b , диференційована в ;a b і ( ) ( )F a F b ,
тобто вона задовольняє умовам теореми Ролля (оскільки є лінійною
комбінацією функцій ( )f x і ( )x ). Тому знайдеться точка ;c a b , така, що
( ) 0F c . Але ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
f b f aF x f x x
b a
, звідки
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f b f aF c f c c
b a
.Отже, ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
f b f af c c
b a
і ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x f b f a
x b a
.
Теорема (Лагранжа). Якщо функція ( )f x задовольняє умовам:
1) ( )f x неперервна на відрізку ;a b ;
2) ( )f x диференційована в інтервалі ;a b ,
тоді знайдеться хоча б одна точка ;c a b , така, що
( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a .
Доведення. Теорему Лагранжа можна розглядати як частинний випадок
теореми Коші. Дійсно, покладаючи ( )x x , отримаємо:
( ) ( ) , ( ) 1, ( ) 1b a b a x c .
За теоремою Коші ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f c
b a c
, звідки
( ) ( )( )
f b f af c
b a
, тобто
( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a .
Отриману формулу називають формулою Лагранжа або формулою про
скінченні прирости.
Геометричний зміст теореми Лагранжа
На дузі графіка функції, яка
задовольняє умовам теореми,
знайдеться точка С між точками А і
В, в якій дотична до графіка функції
паралельна хорді, яка з’єднує точки А
і В (рис.4.22 ).
Теорема (Правило Лопіталя). Нехай функції ( )f x і ( )x задовольняють
умовам теореми Коші на деякому відрізку ;a b і дорівнюють нулю у точці
х = а, тобто ( ) ( ) 0f a a , тоді, якщо існує границя відношення похідних ( )f x
і ( )x при x a , то існує границя:
( )y f x
А
В С
а с b x
( ) ( )f b f a
y
О
Рис.4.22
67
( ) ( )lim lim
( ) ( )x a x a
f x f x
x x
.
Цю теорему приймемо без доведення.
Зауваження.1. Теорема має місце і у випадку, коли функції ( )f x і
( )x не визначені при х = а, але lim ( ) 0x a
f x
і lim ( ) 0x a
x
.
2 Теорема справедлива і у випадку, коли x .
3 Правило Лопіталя може бути застосоване і у випадку, коли lim ( )x a
f x
і
lim ( )x a
x
( а також при x). Правило Лопіталя застосовують для розкриття
невизначеностей вигляду 0
0
і
. Якщо при обчисленні границь виконати
відповідні перетворення функцій, то можна розкривати невизначеності виду:
0 0(0 ); ; 0 ; ; 1 .
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ДО ЛЕКЦІЇ 5
Асимптоти графіка функції
Асимптоти дозволяють створити уявлення про вигляд графіка функції
при віддалені його точок на нескінченність.
Асимптотою графіка функції ( )y f x називають пряму, відстань до
якої від точки, яка лежить на кривій, прямує до нуля, якщо ця точка рухається
вздовж гілки кривої до нескінченності.
Асимптоти поділяють на два види: вертикальні й похилі (зокрема,
горизонтальні).
Пряма x a є вертикальною асимптотою графіка функції ( )y f x ,
якщо
lim ( )x a
f x
, або 0
lim ( )x a
f x
, або 0
lim ( )x a
f x
.
Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді: y kx b .
Знайдемо k і b . Нехай ( ; )M x y –
довільна точка, яка належить кривій
( )y f x (рис.5.1 ).
За формулою відстані від
точки до прямої
0 0
2 2
Ax By Cd
A B
знаходимо
відстань від точки М до прямої y kx b :
2 1
kx y bd
k
.
( ; )M x y
( )y f x
y kx b
d
x
y
О
Рис.5.1
68
Умова 0d буде виконуватися лише тоді, коли чисельник дробу прямує
до нуля, тобто lim( ) 0x
kx y b
.
Звідси випливає, що kx y b , де ( )x – нескінченно мала, тобто
0 при x . Поділимо обидві частини рівності y kx b на х,
перейдемо до границі при x , отримаємо: lim limx x
y bk
x x x
.
limx
yk
x , lim( )
xb y kx
.
Таким чином, якщо існує похила асимптота y kx b , то k і b
визначають за отриманими формулами. І навпаки: якщо існують скінченні
границі в формулах для k і b , то пряма y kx b є похилою асимптотою.
Зокрема, якщо k = 0, то lim ( )x
b f x
. Тому y b – рівняння горизонтальної
асимптоти.
Зауваження. Асимптоти графіка функції можуть бути різними при
x і при x .
Якщо хоча б одна з границь під час визначення k і b не існує або
дорівнює , то похилих асимптот немає.
ЛЕКЦІЯ 5
Монотонність та екстремуми функції. Опуклість, угнутість кривої, точки
перегину. Асимптоти графіка функції. Загальна схема дослідження
функцій
5.1 Необхідні і достатні ознаки монотонності функції. Екстремуми функції
5.2 Найбільше та найменше значення функції на відрізку
5.3 Опуклість, угнутість кривої, точки перегину
5.4 Загальна схема дослідження функцій
5.1 Необхідні і достатні ознаки монотонності функції. Екстремуми функції
Визначимо загальні правила дослідження функції, які дозволять зробити ескіз
графіка функції.
Зростання і спадання функції
Означення. Функція ( )y f x , яка визначена на множині Х, називається
зростаючою (спадаючою) на множині 1X X , якщо для будь - яких значень
х1 і х2 1X із нерівності х1 > х2 випливає нерівність f (х1) > f (х2) (f (х1) <
f (х2)), тобто більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення
функції. Якщо з нерівності х1 > х2 випливає нерівність f (х1) f (х2) (f (х1)
f(х2)), то функцію називають неспадною (незростаючою) на множині 1X .
Зростаючі, незростаючі, спадні та неспадні функції називають
монотонними, а зростаючі і спадні функції – строго монотонними.
69
Наприклад, функція xy e є зростаючою при x R , а функція
1/2logy x спадає при х > 0.
Теорема (необхідна і достатня умова зростання і спадання функції).
1 Якщо диференційована на проміжку ( ; )a b функція ( )f x зростає (спадає) на
цьому проміжку, то ( ) 0 ( ( ) 0)f x f x при будь - якому ( ; )x a b .
2 Якщо функція ( )f x диференційована на проміжку ( ; )a b і ( ) 0 ( ( ) 0)f x f x ,
то ця функція зростає (спадає) на проміжку ( ; )a b .
Доведення. 1 Нехай функція ( )f x зростає на проміжку ( ; )a b . Доведемо,
що ( )f x o для всіх ( ; )x a b . Додамо аргументу х приріст x і розглянемо
відношення ( ) ( )y f x x f x
x x
. Функція ( )f x зростає, тому якщо x > 0, то
( ) ( )f x x f x ; якщо x < 0, то ( ) ( )f x x f x . В обох випадках
( ) ( )0
y f x x f x
x x
, тобто
0( ) lim 0
x
yf x
x
. Аналогічно розглядається
випадок, коли ( )f x спадає.
2 Нехай ( ) 0f x . Візьмемо точки х1 і х2 із проміжку ( ; )a b такі, що 1 2x x . За
теоремою Лагранжа маємо:
2 1 2 1( ) ( ) ( )( )f x f x f c x x , де 1 2( ; )c x x .
За умовою ( ) 0f c , отже, 2 1( ) ( ) 0f x f x або 2 1( ) ( )f x f x , тобто функція
( )f x є зростаючою на проміжку ( ; )a b , що і треба було довести.
Приклад. Знайти проміжки зростання і спадання функції 3 3y x x .
Розв’язання. Зауважимо, що будь - яке дослідження функції необхідно
розпочинати зі знаходження області визначення функції: ( )D y R .
Похідна цієї функції 23 3 3( 1)( 1)y x x x ; ( ) 0f x при
( ; 1) (1; )x ; ( ) 0f x при ( 1;1)x .
Отже, функція 3 3y x x зростає на проміжках ( ; 1) і (1; ) ; і спадає на
проміжку ( 1;1) .
Максимум і мінімум функції
Нехай функція ( )f x визначена в точці х0 і її околі.
Означення. Точка х0 називається точкою максимуму (мінімуму)
функції ( )f x , якщо значення функції у точці х0 більше (менше) за її значення в
усіх точках деякого околу точки х0: 0 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ( ))f x x f x f x x f x , коли
0x або 0x .
Максимум і мінімум функції називають екстремумами або
екстремальними значеннями функції.
Теорема (необхідна умова існування екстремуму).
Якщо диференційована функція ( )f x має у точці х0 максимум або мінімум, то
її похідна в цій точці дорівнює нулю: 0( ) 0f x .
Доведення цієї теореми спирається на теорему Ролля.
70
Геометрично рівність 0( ) 0f x означає, що в точці екстремуму функції
( )f x дотична до її графіка паралельна осі Ох.
Зауважимо, що умова 0( ) 0f x є необхідною, але недостатньою умовою
існування екстремуму. Наприклад, для функції 3y x її похідна 23y x
дорівнює нулю при х = 0, але х = 0 не є точкою екстремуму (рис.5.2).
Існують функції, які в точках екстремуму не мають похідної. Наприклад,
неперервна функція y x у точці х = 0 похідної не має, але ця точка є точкою
мінімуму (рис.5.21).
Значення аргументу, при яких похідна дорівнює нулю або не існує,
називають критичними.
Теорема (достатня умова існування екстремуму).
Якщо при переході (зліва направо) через критичну точку х0 диференційованої в
деякому околі цієї точки функції ( )f x її похідна ( )f x змінює знак із плюса на
мінус, то х0 – є точкою максимуму; якщо з мінуса на плюс, то х0 – є точкою
мінімуму.
Доведення. Нехай ( )f x змінює знак із плюса на мінус, тобто
виконується умова ( ) 0f x , коли 0 0( ; )x x x ( - окіл точки х0 ) і ( ) 0f x ,
коли 0 0( ; )x x x . Тоді функція ( )f x зростає на проміжку 0 0( ; )x x і спадає
на проміжку 0 0( ; )x x . Звідки випливає, що 0( ) ( )f x f x для всіх
0 0( ; )x x x , тобто х0 – точка максимуму функції.
Порядок визначення екстремальних значень функції є аналогічним
дослідженню на монотонність.
5.2Найбільше та найменше значення функції на відрізку
Нехай функція ( )f x неперервна на відрізку ;a b . Відомо, що така
функція досягає свого найбільшого та найменшого значення на цьому відрізку.
Таким чином, для визначення найбільшого та найменшого значення функції на
відрізку ;a b необхідно:
1) знайти критичні точки функції на інтервалі ;a b ;
2) обчислити значення функції у критичних точках;
3) обчислити значення функції у точках a і b ;
4) серед визначених значень вибрати найбільше та найменше.
Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції 4 3( ) 3 4 1f x x x на 2;1 .
Розв’язання. Знайдемо критичні точки функції: 3 2( ) 12 12f x x x ;
( ) 0f x при 1 0 2;1x і при 2 1 2;1x .
Знайдемо (0) 1, ( 1) 3 4 1 2f f , ( 2) 48 32 1 15f , (1) 6f .
Отже, 2;1max ( 2) 15,f f
2;1min ( 1) 2f f
.
71
Визначення найбільшого та найменшого значення функції на відрізку
застосовують під час розв’язання багатьох практичних задач, які пов’язані з
відшуканням оптимальних розв’язків.
Приклад. Із круглої деревини потрібно зробити балку, що має
прямокутний переріз. Визначити, які розміри повинен мати переріз, щоб
відходи деревини під час виготовлення балки були б найменшими.
Розв’язання.
Позначимо через х і у довжину і висоту балки. З
рисунку 5.2 видно, що 2 24y R x , тому площа
перерізу балки 2 24S x R x . Відходи деревини
будуть найменшими, коли площа перерізу буде
найбільшою. Знайдемо найбільше значення функції
( )S S x на проміжку 0;2R . Оскільки
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 2( ) 4
4 4 4
x R x x R xS x R x
R x R x R x
, то
( ) 0S x при 2x R . Крім того, похідна ( )S x при переході через точку 2x R
змінює знак з «+» на «– », тому 2x R – точка максимуму. Отже, відходи
деревини при виготовленні балки будуть найменшими, якщо її розміри
дорівнюють 2x R і 2y R .
5.3Опуклість, угнутість кривої. Точки перегину
Нехай функція ( )f x диференційована на проміжку ;a b .
Графік функції ( )f x (крива ( )f x ) називається опуклим (угнутим) на
проміжку ;a b , якщо всі точки кривої ( )f x розташовані нижче (вище) за точки
дотичної, проведеної у будь - якій точці графіка на цьому проміжку.
Часто опуклі й угнуті функції називають опуклими вгору і опуклими
вниз відповідно.
Точки графіка функції ( )f x , у яких змінюється напрямок опуклості,
називають точками перегину.
У подальшому вважаємо, що функція ( )f x має другу похідну на
проміжку ;a b .
Теорема (достатня умова опуклості графіка функції).
Якщо друга похідна функції ( ) 0 ( ( ) 0)f x f x в усіх точках проміжку
;a b , то графік функції опуклий угору ( опуклий униз) на цьому проміжку.
Теорема (достатня умова існування точок перегину).
Якщо друга похідна ( )f x при переході через точку х0, в якій вона
дорівнює нулю або не існує, змінює знак, то ця точка є точкою перегину.
Доведення цієї теореми є аналогічним доведенню теореми про достатню
умову існування екстремуму функції.
Приклад. Дослідити графік функції 5 2 5y x x на опуклість і знайти
точки перегину.
x
y
2R
Рис.5.2
72
Розв’язання. Область визначення ( )D y R . Знайдемо похідні 45 2y x , 320y x . Друга похідна дорівнює нулю 0y при х = 0. Тому 0y при 0x ;
0y при 0x .
Отже, графік функції 5 2 5y x x є опуклим угору на проміжку ( ;0) і
опуклим униз на проміжку (0; ) . Точка (0; 5) є точкою перегину.
5.4 Загальна схема дослідження функції
1. Знайти область визначення функції.
2. Дослідити функцію на парність.
3. Визначити точки перетину з осями координат.
4. Дослідити поведінку функції на нескінченності.
5. Знайти асимптоти графіка функції.
6. Знайти інтервали монотонності і екстремуми функції
7. Знайти інтервали опуклості точки перегину функції.
8. Побудувати графік функції.
Приклад. Дослідити функцію y =2
2
1
1
x
x
та побудувати її графік.
1 Область визначення: ;1x тобто D(y) = );1()1;1()1;(
2 Оскільки y(– x) = 2
2
2
2
1
1
)(1
)(1
x
x
x
x
, тобто виконується рівність y(– x) =
y(x), то функція парна. Отже, графік функції симетричний відносно осі Оу.
3 Визначимо точки перетину графіка функції з осями координат.
Точка перетину з віссю Оу знаходиться за умовою 0x , тоді
y(0) = 101
012
2
, тобто А(0;1) – точка перетину з віссю Оу.
Точку перетину з віссю Ох визначають, покладаючи 0y . Тоді маємо
рівняння y(x) = 0 або 2
2
10
1
x
x
, яке не має розв’язків; тобто графік функції не
перетинає вісь Ох.
4 Дослідимо поведінку функції на нескінченності.
Обчислюємо 11
1lim
2
2
x
x
x, тобто пряма y = – 1 – горизонтальна
асимптота.
5 Пряма х = 1 – вертикальна асимптота, оскільки
2
2
01 1
1lim
x
x
x та
2
2
01 1
1lim
x
x
x.
Пряма х = – 1 – теж вертикальна асимптота тому, що графік функції
симетричний відносно осі Оу ( або
2
2
01 1
1lim
x
x
x та
2
2
01 1
1lim
x
x
x).
73
6 Знайдемо інтервали монотонності та екстремуми. Для цього спочатку
обчислимо похідну )(xy : 2 2
2 2 2 2
2 (1 ) (1 )( 2 ) 4
(1 ) (1 )
x x x x xy
x x
.
Критичні точки визначимо за умови 0y або y не існує . Рівняння
0y має єдиний корінь 0x , похідна y не існує, якщо 1x . Але
критичною є тільки точка 0x , оскільки 1x не належать області
визначення функції.
На інтервалах ( ; 1) і ( 1;0) функція спадає, оскільки )(xy 0.
На інтервалах (0;1) і (1; ) функція зростає, оскільки 0)( xy .
1)0(min yy , тобто В(0;1) – екстремальна точка.
7 Знайдемо інтервали опуклості та точки перегину.
Обчислимо )(xy
32
2
42
222
22 )1(
)31(4
)1(
)2()1(24)1(4
)1(
4))(()(
x
x
x
xxxx
x
xxyxy
;
0y і існує при ( )x D y .
На інтервалах );1()1;( графік функції опуклий тому, що .0)( xy
На інтервалі )1;1( графік функції вгнутий тому, що .0)( xy
Точок перегину немає.
8. Будуємо графік функції (рис.5.5)
-1
1
Рис.5.4
y
-1
y
у
0
1
Рис.5.3
74
Запитання для самоперевірки
1 Яка функція називається зростаючою (спадаючою) на проміжку?
1 Яка точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції?
2 Сформулюйте достатню умову зростання і спадання функції
3 Сформулюйте достатню умову існування екстремуму.
4 Сформулюйте загальну схему дослідження функції.
1y
1x 1x
1 1
1
1
x
y
О
Рис.5.5
75
ЛЕКЦІЯ 6
Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. Безпосереднє
інтегрування. Інтегрування підстановкою та частинами
6.1 Невизначений інтеграл та його властивості
6.2 Таблиця інтегралів
6.3 Методи інтегрування
Багато важливих інженерних задач зводяться до задачі визначення
функції, якщо відома її похідна, тобто задачі, оберненої до основної задачі
диференціального числення. Задача визначення функції ( )F x , похідна якої
дорівнює ( )f x , є основною задачею інтегрального числення.
6.1 Невизначений інтеграл та його властивості
Означення. Функція ( )F x називається первісною для функції ( )f x ,
визначеної на проміжку ( ; )a b , якщо в усіх точках цього проміжку виконується
рівність )()( xfxF (або dxxfxdF )()( ).
Наприклад, первісною функцією для функції ( )f x = 4х3 буде ( )F x = х
4,
оскільки 4 3( ) 4 .x x Однак похідна від функції (х
4 + 5) також дорівнює 4х
3, а це
означає, що функція (х4
+ 5) буде також первісною для функції 4х3. І взагалі,
4( ) ,F x x C де С –- стала, також будуть первісними для 3( ) 4 ,f x x оскільки 4 3( ) 4 .x C x
Теорема. Якщо функція ( )F x є первісною для функції ( )f x на проміжку
( ; )a b , то множина всіх первісних для функції ( )f x на цьому проміжку ( ; )a b
міститься у виразі
( )F x +C,
де C – довільна стала.
Доведення. Дійсно, ( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x .
Нехай ( )x – деяка інша первісна функції ( )f x , відмінна від ( )F x , тобто
( ) ( )x f x . Тоді для будь-якого ( ; )x a b маємо
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x F x x F x f x f x .
А це означає, що ( ) ( )x F x C , де С – стала величина. Отже,
( ) ( )x F x C .
76
Означення. Сукупність усіх первісних ( )F x +С для функції ( )f x ,
визначеної на проміжку ( ; )a b , називається невизначеним інтегралом від
функції ( )f x на цьому проміжку і позначається символом
,)( dxxf
де ( )f x – підінтегральна функція, ( )f x dx – підінтегральний вираз, х – змінна
інтегрування.
Таким чином, якщо ),()( xfxF то
CxFdxxf )()( .
Справедливе й обернене твердження.
Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції називається
інтегруванням цієї функції.
Геометрично невизначений
інтеграл являє собою сукупність
кривих ( )y F x C (кожному
числовому значенню С відповідає
крива сукупності) (рис.6.1 ).
Графік кожної первісної називається
інтегральною кривою.
Доведено, що будь-яка функція,
неперервна на проміжку, має в цьому
проміжку первісну, а значить, і
невизначений інтеграл.
Властивості невизначеного інтеграла (правила інтегрування)
Подамо властивості, які випливають з означення невизначеного інтеграла
і вибірково доведемо деякі з них ( усі рівності можна довести
диференціюванням їх лівої та правої частин):
1) )())(( xfdxxf .
Доведення. Дійсно, ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) 0 ( )f x dx F x C F x f x .
2) dxxfdxxfd )())(( .
3) ( ) ( )dF x F x C .
4) ( ) ( )cf x dx c f x dx , де с = const 0 .
5) dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121 .
6) 1
( ) ( )f ax b dx F ax b Ca
.
7) (Інваріантність формул інтегрування).
( )y F x 1( )y F x C
2( )y F x C
3( )y F x C
х
у
О
Рис.6.1
77
Якщо CxFdxxf )()( , то ,)()( CuFduuf де ( )u x –
неперервно диференційована функція аргументу х.
Доведення. Розглянемо складну функцію ( ) ( ( ))F u F x , де ( )u x –
неперервно диференційована функція. Тоді за інваріантністю форми першого
диференціала функції ( ) ( ) ( )dF u F u du f u du .
Звідки ( ) ( ( )) ( )f u du d F u F u C .
6.2 Таблиця інтегралів
З таблиці похідних і означення невизначеного інтеграла можна скласти
таблицю невизначених інтегралів.
1. 1,1
1
Cu
dxuuduu x; ( du u C ; 2
duu C
u ;
2 2
1duC
u u );
2. lndu
u Cu ; 3.
ln
uu a
a du Ca
; ( u ue du e C );
4. sin cosudu u C ; 5. cos sinudu u C ;
6. tg ln cosudu u C ; 7. ctg ln sinudu u C ;
8.2cos
dutgu C
u ; 9.
2sin
ductgx C
u ;
10. lnsin 2
du utg C
u
; 11. ln
cos 2 4
du utg C
u
;
12.2 2
1du uarctg C
u a a a
; 13.2 2
1ln
2
du u aC
u a a u a
;
14.2 2
arcsindu u
Caa u
; 15. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a
.
Зауважимо, що символ и може позначати як незалежну змінну, так і
неперервну диференційовану функцію від незалежної змінної.
Кожна із формул цієї таблиці справедлива в будь-якому проміжку, який
міститься в області визначення відповідної підінтегральної функції, її вірність
можна перевірити диференціюванням.
6.3 Методи інтегрування
Існує три основні методи інтегрування функцій: метод безпосереднього
інтегрування (табличне інтегрування), метод заміни змінної та метод
інтегрування частинами. Розглянемо кожний із цих методів.
78
Безпосереднє інтегрування
Метод інтегрування, за яким даний інтеграл зводиться до одного або
кількох табличних інтегралів шляхом тотожних перетворень над
підінтегральною функцією ( або виразом) і застосування властивостей
невизначеного інтеграла.
Приклад 1. Знайти 7 2(5 7 2) .x x dx
Розв`язання. Скориставшись властивостями невизначеного інтеграла,
матимемо
7 2 7 2 7 2(5 7 2) 5 7 2 5 7 2x x x dx x dx dx x dx x dx dx .
Звідки застосувавши степеневий інтеграл (1)
7 2(5 7 2)x x dx 8 3 8
3
1 2 3
55 7 2 7 2 ,
8 3 8
x x xC C x C x x C
де
.321 CCCC
Відзначимо, що додавати довільну сталу після знаходження кожного
інтеграла, як це зроблено в даному прикладі, не слід. Досить усі довільні сталі
підсумувати і результат, позначений однією буквою C, записати вкінці, тобто
після того, як усі інтеграли будуть визначені.
Приклад 2. Знайти .3
23
dxx
xexx x
Розв`язання. Маємо
dxx
x
x
ex
x
xdx
x
xexx xx
3
2
3
3
33
23
.ln3
2ln
3
22
3
2
5
xexx
CCxexx
dxdxedxx xxx
Інтегрування методом заміни змінної (метод підстановки)
Якщо безпосередньо (за допомогою таблиці) не вдається знайти первісну,
то застосовують метод заміни змінної. Суть цього методу полягає у
застосуванні такої нової змінної інтегрування, що заданий інтеграл зводиться
до нового інтеграла, який є табличним або таким, що зводиться до нього.
Нехай треба обчислити інтеграл ( )f x dx . Заміна змінної здійснюється за
допомогою підстановок двох видів:
1) покладають ( ),x t де ( )t – неперервно диференційована функція
нової змінної t , яка має обернену функцію. Тоді ( )dx t dt і, застосувавши
79
властивість інваріантності форми першого диференціала, отримаємо формулу
заміни змінної
( ) ( ( )) ( )f x dx f t t dt ;
2) покладають ),(xu де u – нова змінна, тоді формула заміни змінної
має вигляд
.)()()( duufdxxxf
Приклад. Знайти 3sin cosx xdx .
Розв`язання. 4 4
3 3sin sin
sin coscos 4 4
u x u xx xdx u du C C
du xdx
.
Приклад. Знайти 2
6.
9
x dx
x
Розв`язання. Покладемо, що x3 = t. Тоді 3x
2 dx=dt i
32 2
6 6 22
1 3 1 1 1
9 3 9 3 9 3 3 33
x tx dx x dx dt tarctg C
x x tx dx dt
31
9 3
xarctg C .
Метод інтегрування частинами
Нехай u(x) i v(x) – дві функції, які мають неперервні похідні. Тоді ( )d uv u dv v du . Інтегруючи цю рівність, отримаємо
( )d uv vdu udv , але ( )d uv uv C ,
звідки
vduuvudv . (6.1)
Ця формула називається формулою інтегрування частинами, а метод
інтегрування, що ґрунтується на застосуванні цієї формули, – методом інтегру-
вання частинами.
Метод інтегрування частинами є ефективним, якщо інтеграл у правій
частині рівності виявиться простішим, ніж вихідний.
Укажемо деякі типові інтеграли, які зручно обчислювати зо допомогою
методу інтегрування частинами:
1) інтеграли вигляду ,)( dxexP ax
bxdxxP cos)( , bxdxxP sin)( , де Р(х) –
багаточлен, a і b – будь – які дійсні числа. Зручно вважати ( )u P x , а axdv e dx .
80
2) інтеграли вигляду xdxxP alog)( , arctgbxdxxP )( , arcctgbxdxxP )( ,
bxdxxP arccos)( . Зручно вважати ( )dv P x dx , а за и позначають інші
множники.
3) інтеграли вигляду bxdxeax cos , bxdxeax sin . Формулу інтегрування
частинами застосовують двічі й обидва рази за и позначають або
показникову, або тригонометричну функцію.
Приклад. Знайти .ln2 xdxx
Розв`язання. Вважаючи, що u(x)=lnx, dv(x)=x2dx i застосувавши формулу
(6.1), одержимо
3;
;ln
ln 322
2
xdxxvdxxdv
x
dxduxu
xdxx dxx
xx
x 1
3ln
3
33
CxxCx
xx
dxxxx
)1ln3(9
1
33
1ln
33
1ln
3
333
23
.
Розв`язання цього прикладу можна записати ще й так:
dxx
xxxxdxxxxdxxdxx1
ln3
1lnln
3
1ln
3
1ln 333332
CxxCxxxdxxxx
1ln3
9
1
3
1ln
3
1ln
3
1 33323 .
За межами нашого дослідження залишилася теорія додаткових
перетворень для інтегрування окремих видів функцій (раціональних,
ірраціональних, тригонометричних). Цю інформацію можна отримати з різних
джерел (див. [8]).
ЛЕКЦІЯ 7
Визначений інтеграл та його властивості. Формула Ньютона-Лейбніця.
Інтегрування заміною змінної та частинами. Обчислення площ плоских
фігур, довжини дуги кривої, об’ємів тіла в прямокутних і полярних
координатах
7.1 Визначений інтеграл та його властивості
7.2 Методи обчислення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніця
7.3 Геометричні застосування визначеного інтеграла
7.1 Визначений інтеграл та його властивості
Розглянемо задачу, яка призводить до поняття визначеного інтеграла.
Задача обчислення площі криволінійної трапеції
Нехай на відрізку ba; )( ba задана неперервна функція f(x).
81
Криволінійною трапецією
називають плоску фігуру, яка
обмежена кривою ( )y f x ,
прямими x a , x b і відрізком
осі Ох. Розглянемо випадок, коли
( ) 0f x (рис.7.1).
Розіб`ємо відрізок ba; на n
довільних частин точками
0 1 2 1, , ,... ,n na x x x x x b
( 0 1 2 1... n na x x x x x b ).
Кожний такий відрізок будемо називати частковим.
Через kx позначимо довжину часткового відрізка 1;k kx x (к=1,2,…,n):
.1 kkk xxx
На кожному частковому відрізку оберемо довільну точку, абсцису якої
позначимо через k (к=1,2,…,n), обчислимо )( kf – значення заданої функції
f(x) у цій точці. Визначимо добуток числа )( kf на довжину kx відрізка, на
якому взято точку k . Цей добуток kk xf )( дорівнює площі прямокутника з
основою kx і висотою )( kf . Сума всіх таких добутків
1 1 2 2
1
( ) ( ) ... ( ) ( )n
n n k k
k
f x f x f x f x
дорівнює площі ступінчастої фігури, яка складається з окремих прямокутників і
приблизно дорівнює площі криволінійної трапеції.
Така сума називається інтегральною сумою для функції f(х) на
відрізку .;ba .
За точне значення площі криволінійної трапеції можна вважати границю
S, до якої прямує площа ступінчастої фігури, якщо n(кількість часткових
відрізків нескінченно зростає) і 1max 0i
i nx
:
max 01( )
lim ( )k
n
k kx
kn
S f x
.
Означення. Границя інтегральної суми , тобто
n
k
kk
nx
xfk 1)(
0max,)(lim
0a x 1x 2x 1ix ix … 1nx nx
x 1 2 i … n
y
( )y f x
O
Рис.7.1
82
якщо вона існує і не залежить ні від способу розбиття відрізка ba; на часткові,
ні від вибору на них точок k , називається визначеним інтегралом функції
f(x) на відрізку ba; і позначається символом
b
a
dxxf .)(
Таким чином, max 0
1( )
( ) lim ( )k
ndef
k kx
kn
f x dx f x
. (7.1)
Таким чином, визначений інтеграл від невід’ємної функції чисельно
дорівнює площі криволінійної трапеції (геометричній зміст визначеного
інтеграла) (рис.6.2).
Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами
інтегрування, f(x) – підінтегральною функцією, f(x)dx – підінтегральним
виразом, x – змінною інтегрування, відрізок ba; – відрізком інтегрування.
Означення. Функція f(x), для якої на відрізку ba; існує визначений
інтеграл b
a
dxxf .)( , називається інтегрованою на відрізку b
a
dxxf .)( .
Зауваження. Величина визначеного інтеграла залежить лише від вигляду
підінтегральної функції і від меж інтегрування а і b, але не від змінної
інтегрування, яку можна позначити будь – якою буквою, тобто
( ) ( ) ... ( ) .
b b b
a a a
f x dx f u du f z dz
Сформулюємо без доведення теорему існування визначеного інтегра-
ла.
Теорема (Коші). Якщо функція ( )y f x неперервна на відрізку ba; , то
існує границя її інтегральної суми (визначений інтеграл). Ця границя не
залежить ні від розбиття відрізка ba; , ні від вибору точок k на часткових
відрізках.
Обчислення визначеного інтеграла за означенням (як границі інтегральної
суми) пов’язане з великими труднощами. Полегшити цю задачу можна за
допомогою формули Ньютона – Лейбніця (яку буде подано далі), що
встановлює зв`язок між визначеним і невизначеним інтегралами.
Сформулюємо основні властивості визначеного інтеграла, які
безпосередньо випливають із його означення і доведемо деякі з них.
Вважатимемо, що функція ( )f x є інтегрованою функцією на відрізку ba; .
1) Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
( ) ( )
b b
a a
cf x dx c f x dx .
Доведення. max 0max 0
1( ) ( )
( ) lim ( ) lim ( ) ( )kk
bn
k k k kxxk an n
cf x dx cf x c f x c f x dx
.
83
2) Визначений інтеграл від суми (різниці) декількох інтегрованих
функцій дорівнює
сумі (різниці)
інтегралів від цих
функцій:
Доведення цієї властивості спирається на відповідну властивість
границі суми (різниці) функцій.
3) Якщо 1)( xf для х ba; , то
b
a
b
a
abdxdxxf )( .
4)
a
a
dxxf 0)( ; 5)
a
b
b
a
dxxfdxxf .)()(
6) Якщо 0)( xf для x ba; , то
b
a
b
a
dxdxxf 00)( .
7) Якщо f(x) 0 для bax ; , то
b
a
dxxf .0)(
8) Якщо f(x) і )(x – інтегровані функції на відрізку ba; і ( ) ( )f x x для
bax ; , то ( ) ( )
b b
a a
f x dx x dx .
9) Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку ba; і a<c<b, то ця функція
інтегрована і на відрізках ca; і bc; , причому
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()( .
Доведення цієї властивості спирається на властивість інтегральної
суми, яку можна розділити на окремі частини.
Зауважимо, що має місце й обернене твердження. Цю властивість
називають адитивною властивістю визначеного інтеграла.
10) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; , де a<b, і
Mxfm )( для bax ; , то
b
a
abMdxxfabm ).()()(
Тут m – найменше, а М – найбільше значення функції f(x) на відрізку
ba; . Ці нерівності дають змогу оцінити значення визначеного інтеграла.
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf .)()()()( 2121
84
11) Теорема (про середнє значення визначеного інтеграла). Якщо функція
f(x) неперервна на відрізку ba; , то існує точка bac ; така, що
b
a
abcfdxxf ).)(()(
При цьому значення функції f(x) у точці с називають середнім значенням
цієї функції на відрізку ba; .
12) Для інтеграла із змінною верхньою границею ( ) ( )
x
a
x f t dt (який є
функцією від верхньої границі х) виконується рівність: ( ) ( )x f x .
7.2 Методи обчислення визначеного інтеграла.
Формула Ньютона – Лейбніця
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку ba; і F(x) – будь-яка первісна
для f(x) на цьому відрізку, то має місце формула
b
a
aFbFdxxf ).()()( (7.2)
Ця формула має назву формули Ньютона – Лейбніця і є основною
формулою інтегрального числення.
Доведення. Нехай ( )F x – деяка первісна для функції f(x). За властивістю
(12) функція ( )
x
a
f t dt також є первісною від f(x). Оскільки дві первісні від однієї
функції відрізняються на сталу величину C , то маємо
( ) ( )
x
a
f t dt F x C .
Визначимо сталу C , поклавши х = а:
( ) ( )
a
a
f t dt F a C або 0 ( )F a C , звідки ( )C F a .
Отже, ( ) ( ) ( )
x
a
f t dt F x F a .
Покладемо x b і отримаємо формулу Ньютона – Лейбніця:
b
a
aFbFdxxf ).()()(
Для зручності користування формулу (6.3) записують у вигляді
85
).()()()( aFbFa
bxFdxxf
b
a
(7.3)
Приклад. Обчислити
1
2
3.
)511( x
dx
Розв`язання. За формулою Ньютона – Лейбніця
b
a
aFbFa
bxFdxxf ).()()()(
Отже, скориставшись цією формулою і властивістю 5 визначеного
інтеграла, одержимо
2
1
2
)511(
5
15)511(
5
1
)511(
21
2
1
2
3
3
xdxx
x
dx
.72
71
36
1
10
1
)1011(
1
)511(
1
10
1
2
1
)511(
1
10
1222
x
Заміна змінної у визначеному інтегралі
Нехай для інтеграла ( )
b
a
f x dx від неперервної функції ( )f x зроблена
підстановка ( )x t .
Теорема. Якщо:
1) функція ( )x t і її похідна ( )x t неперервні при ;t ;
2) множиною значень функції ( )x t при ;t є відрізок ;a b ;
3) ( ) a і ( ) b ,
тоді ( ) ( ) ( ) .
b
a
f x dx f t t dt
(7.4)
Цю формулу називають формулою заміни змінної для визначеного
інтеграла.
Доведення. Нехай ( )F x – первісна для ( )f x на відрізку ;a b . Тоді за
формулою Ньютона – Лейбніця ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a .
Оскільки ( ( ( )) ( ( )) ( )F t f t t , то ( ( ( ))F t є первісною для функції
( ( )) ( )f t t , де ;t . Тому за формулою Ньютона – Лейбніця маємо
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))f t t dt F t F F
( ) ( ) ( )
b
a
F b F a f x .
86
Приклад. Обчислити
4
1
.1
dxx
x
Розв`язання. Функція .1
)(x
xxf
неперервна на відрізку 4;1 .
Вважатимемо, що 2tx . Тоді нові межі інтегрування визначаємо з рівнянь 21 t , звідки tн=1 і 4=t
2, звідки tв=2. Функція x=t
2 неперервна разом зі своєю
похідною tx 2 на відрізку 2;1 , причому її значення не виходять із відрізка
4;1 . Тому
4
1
2
1
2
1
2
1
22
1
112
1
112
12
1dt
ttdt
t
t
t
dtt
x
dxx
2
3ln212ln1
2
13ln222
1
2)1ln(
22
2
tt
t.
Інтегрування частинами визначеного інтеграла
Якщо функції u(x) і v(x) неперервні разом із своїми похідними першого
порядку на відрізку ba; , тоді ( )uv u v uv . Інтегруючи обидві частини
рівності від а до b , отримаємо
( ) .
b b b
a a a
uv dx u vdx uv dx
Оскільки ( )uv dx uv C , то ( )
b
a
buv dx uv
a , звідки
b
a
b
a
b
avduuvudv . (7.5)
Формулу (7.5) називають формулою інтегрування частинами для
визначеного інтеграла.
Приклад. Обчислити
1
0
.dxxe x
Розв`язання. Функції u = x і v = -e-x неперервні разом із своїми
похідними 1u і xev на відрізку 1;0 , отже за формулою інтегрування
частинами
1
0
1
0
1
0;
;dxeex
edxevdxedv
dxduxudxxe xx
xxxx
.2
112 10111
0
1
eeeeeee x
87
Рекомендована література:
[7] Щелкунова Л.І. Вища математика. Тексти лекцій для студентів
спеціальності 191. Х: ФОП О.В.Ворошилова , 2011, стр. 125 - 131
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ДО ЛЕКЦІЇ 7
ТАБЛІЦЯ ІНТЕГРАЛІВ
1. 1,1
1
Cu
dxuuduu x;
du u C ;
2du
u Cu ;
2 2
1duC
u u ;
2. lndu
u Cu ;
3. ln
uu a
a du Ca
;
u ue du e C ;
4. sin cosudu u C ;
5. cos sinudu u C ;
6. tg ln cosudu u C ;
7. ctg ln sinudu u C ;
8.2cos
dutgu C
u ;
9.2sin
ductgx C
u ;
10. lnsin 2
du utg C
u
;
11. lncos 2 4
du utg C
u
;
12.2 2
1du uarctg C
u a a a
;
13.2 2
1ln
2
du u aC
u a a u a
;
14.2 2
arcsindu u
Caa u
;
15. 2 2
2 2ln
duu u a C
u a
Геометричні застосування визначеного
інтеграла
1. Площа плоскої фігури Випадок прямокутних координат Якщо плоска фігура обмежена кривими
1( )y f x і 2( )y f x , причому на відрізку ;a b
2 1( ) ( )f x f x , то її площа:
2 1( ( ) ( ))
b
a
S f x f x dx
Випадок параметричного задання функції
( ( ),
;( ),
x tt
y t
):
( ) ( )S t t dt
Випадок полярної системи координат Якщо фігура обмежена неперервною кривою
( )r r і двома радіус -векторами і , то її площа:
21( )
2S r d
2. Довжина дуги плоскої кривої
21 ( ( ))
b
a
l f x dx
2 2( ( )) ( ( ))l x t y t dt
2 2l r r d
3. Об’єм тіла обертання
2
b
x
a
V y dx
2
d
y
c
V x dy
4 Площа поверхні обертання
b
a
on dxxyxyS2
.. )(1)(2
88
ЛЕКЦІЯ 8
Основні означення. Диференціальні рівняння 1-го порядку. Задача Коші.
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні та
однорідні диференціальні рівняння
8.1 Основні поняття
8.2 Диференціальні рівняння першого порядку
8.2.1 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
8.2.2 Однорідні диференціальні рівняння
8.2.3 Лінійні диференціальні рівняння
8.1 Основні поняття
Диференціальні рівняння складають унаслідок математичного аналізу
задачі. Вони відображають основну інформацію про найзагальніші закономір-
ності фізичних процесів або явищ, які є головним змістом дослідження.
Наприклад, у задачах механіки твердого деформованого тіла диференціальні
рівняння теорії пружності відображають лінійну залежність між напруженнями
й деформаціями, у задачах теплопровідності диференціальні рівняння тепло-
провідності ґрунтуються на залежності теплового потоку від градієнта
температури тощо.
Математична модель таких процесів – це рівняння, які містять не тільки
невідомі функції та аргументи, а й похідні від цих функцій.
Приклад. З курсу опору матеріалів відоме диференціальне рівняння
пружної лінії консолі зі сталим поперечним перерізом і зосередженою на
вільному кінці силою P , яке має вигляд
Px
EI ,
де – угин консолі в перерізі з абсцисою х, EI – жорсткість на угин перерізу
балки. Тут ( )x – невідома функція, яка перебуває під знаком другої
похідної.
Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке
зв’язує незалежну змінну х, невідому функцію ( )y f x та її похідні ( ), ,..., ny y y (або диференціали).
Символічно диференціальне рівняння можна записати так: ( )( , , , ,..., ) 0nF x y y y y . (8.1)
Якщо невідома функція залежить від одного аргументу, то диференціаль-
не рівняння називають звичайним.
Означення. Порядком диференціального рівняння називають порядок
найвищої похідної (або диференціала), яку містить рівняння.
В наведених вище прикладах були подані звичайні диференціальні
рівняння другого порядку.
89
Під розв’язком або інтегралом диференціального рівняння розуміють
будь – яку функцію ( )y f x , яка будучи підставлена до рівняння обертає його
на тотожність.
Процес визначення таких функцій називають інтегруванням
диференціального рівняння.
Розрізняють загальний і частинний розв’язки диференціального рівняння.
8.2 Диференціальні рівняння першого порядку
У загальному вигляді диференціальні рівняння першого порядку
записують так:
( , , ) 0F x y y або ( , )y f x y . (8.2)
Початковою умовою називають умову 0y y при 0x x , яку записують так:
0 0( )y x y або 0
0
y yx x
. (8.3)
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого
порядку називають функцію ( , )y x C (яка залежить від х і довільної сталої С)
і задовольняє умовам:
1) функція ( , )y x C є розв’язком диференціального рівняння при будь-
якому відомому значенню С;
2) за будь-якої початкової умови 0 0( )y x y можна відшукати таке
значення 0C C , що функція 0( , )y x C задовольняє цю умову.
Іноді загальний розв’язок подають у неявній формі ( , , ) 0x y C .
Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння першого
порядку називають будь-яку функцію 0( , )y x C , яка отримується із
загального розв’язку ( , )y x C при конкретному значенні сталої С = С0.
Частинний розв’язок утворюється із загального розв’язку ( , )y x C ,
якщо в останньому довільній сталій величині С надається значення С0, яке
відповідає початковій умові.
Геометричний зміст загального і частинного розв’язків
Геометрично загальний розв’язок зображується
сімейством кривих (інтегральних кривих), які в
кожній точці М(х; у) мають дотичну з кутовим
коефіцієнтом, що дорівнює значенню функції
( , )f x y у цій точці (рис.8.1).
Частинний розв’язок, який відповідає початковій умові 0 0( )y x y ,
зображується однією з цих кривих, яка проходить через точку М(х0; у0).
Задача визначення частинного розв’язку диференціального рівняння
( , )y f x y ,
х
у
О
Рис.8.1
0 0( ; )M x y
90
який задовольняє початковій умові 0
0
y yx x
, називається задачею Коші.
Теорема існування та єдиності розв’язку диференціального рівняння
Теорема. Якщо функція ( , )f x y та її частинна похідна
( , )yf x y неперервні у деякій області на площині, яка містить точку 0 0( ; )x y , то
існує єдиний розв’язок рівняння ( , )y f x y , який задовольняє початковій
умові 0 0( )y x y .
Цю теорему приймемо без доведення.
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь першого порядку.
8.2.1 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Диференціальне рівняння вигляду ( ) ( )y f x g y називають рівнянням
із відокремлюваними змінними ( ( ) ( ) 0f x g y ).
Загальна схема інтегрування диференціального рівняння з
відокремлюваними змінними:
1) похідну y записують як dy
ydx
;
2) розділяють змінні так, щоб одна частина рівняння містила тільки
змінну х, а інша – змінну у:
( )( )
dyf x dx
g y , тобто отримують рівняння з відокремленими
змінними;
3) інтегрують обидві частини здобутої рівності:
( )( )
dyf x dx C
g y і визначають шуканий загальний розв’язок рівняння.
Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння 21xy y .
Розв’язання. Це рівняння з відокремлюваними змінними. Виконуємо
перетворення за вказаною вище схемою:
1) 21
dyx y
dx ;
2) 21
dy dx
xy
;
3) 21
dy dx
xy
, arcsin lny x C . Ця рівність, яка встановлює
зв’язок між змінними х, у і сталою С, і є загальним розв’язком рівняння.
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними можна подати у
вигляді
91
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x N y dx M x N y dy ( ( ) 0, ( ) 0, 1,2i iM x N y i ). (8.4)
Поділивши обидві частини рівності на 1 2( ) ( )N y M x , отримаємо
рівняння з відокремленими змінними:
1 2
2 1
( ) ( )
( ) ( )
M x N ydx dy
M x N y .
Звідки отримаємо загальний розв’язок рівняння: 1 2
2 1
( ) ( )
( ) ( )
M x N ydx dy
M x N y .
8.2.2 Однорідні диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння, які можна подати у вигляді y
y fx
,
називають однорідними рівняннями відносно змінних х і у.
За допомогою заміни y u x однорідне рівняння y
y fx
зводиться
до рівняння з відокремлюваними змінними відносно нової змінної и = и(х).
Приклад. Розв’язати рівняння 1y
yx
.
Розв’язання. Це рівняння вигляду y
y fx
, тобто є однорідним
рівнянням відносно х і у. Виконуємо заміну y u x , тоді y u x u .
Підставляємо ці вирази до рівняння і отримаємо 1ux
u x ux
або 1du
xdx
.
Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними відносно нової
змінної и. Його розв’язок знайдемо за розглянутою вище схемою:
dxdu
x ;
dxdu
x ; ln lnu x C ; lnu Cx , звідки ln
yCx
x – загальний
розв’язок рівняння.
8.2.3 Лінійні диференціальні рівняння
Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називають
рівняння , яке подається у вигляді
( ) ( )y p x y q x , (8.5)
де ( )p x і ( )q x – відомі неперервні функції від х ( або сталі).
Загальний розв’язок лінійного рівняння шукають у вигляді добутку двох
функцій від х: ( ) ( )y u x v x . Одну з цих функцій вибирають довільно, а іншу
визначають із даного рівняння з урахуванням умови вибору першої функції.
Диференціюємо у: y u v uv . Підставимо цей вираз до рівняння і
отримаємо
92
( ) ( )u v uv p x uv q x або ( ( ) ) ( )u v u v p x v q x .
Виберемо функцію v так, щоб ( ) 0v p x v . Це рівняння є рівнянням з
відокремлюваними змінними. Знаходимо його розв’язок за загальною схемою:
( )dv
p x vdx
; ( )dv
p x dxv ; ( )
dvp x dx
v , тобто
1 ( )C p x dx
v e (інтеграл
( )p x dx існує, оскільки функція ( )p x є неперервною від х). Нехай 1C = 1.
Підставимо визначену функцію ( )p x dx
v e до рівняння ( )u v q x , яке
отримали із попереднього з урахуванням умови ( ) 0v p x v , одержимо
рівняння ( )
( )p x dx
u e q x ,
яке є рівнянням із відокремлюваними змінними. Його розв’язком буде функція ( )
( )p x dx
u q x e dx .
Оскільки y u v , то остаточно маємо ( ) ( )( )
p x dx p x dxy e q x e dx .
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 31
yy x
x , який
задовольняє початковій умові 1
2x
y .
Розв’язання. Дане рівняння є лінійним. Покладемо y u v , звідки
y u v uv . Тоді рівняння перепишеться у вигляді
31uv
u v uv xx
або 3( ) 1
vu v u v x
x .
Складаємо таку систему рівнянь:
1. 0v
vx
;
2. 31uv x .
Спочатку розв’яжемо перше рівняння.
1. 0v
vx
– рівняння з відокремлюваними змінними відносно змінної
v , яке розв’яжемо за загальною схемою:
dv v
dx x або
dv dx
v x ,
звідки
dv dx
v x ; ln lnv x ; v x .
2. Підставимо вираз v x до рівняння 31uv x , отримаємо
31u x x – це рівняння з відокремлюваними змінними відносно змінної и.
Знайдемо його загальний розв’язок
93
31du x
dx x
або
31 xdu dx
x
,
звідки
21( )du x dxx
; 21
du dx x dxx
;
3
ln3
xu x C .
Таким чином, загальний розв’язок має вигляд 3
(ln )3
xy x x C .
Згідно з початковою умовою 1
2x
y матиме
12 1 (ln1 )
3C ,
5
3C .
Отже, маємо шуканий частинний розв’язок : 3 5
(ln )3 3
xy x x .
Питання для самоперевірки
1 Що називається диференціальним рівнянням?
2 Що називається порядком диференціального рівняння?
3 Що називається загальним і частинним розв’язками диференціального
рівняння?
4 Яка задача називається задачею Коші? За яких умов існує єдиний
розв’язок задачі Коші?
5 Які диференціальні рівняння першого порядку називають рівняннями з
відокремлюваними змінними, однорідними і лінійними?
94
ЛЕКЦІЯ 9
Диференціальні рівняння 2-го порядку. Лінійні однорідні рівняння зі
сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.
Елементи теорії лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.
Структура загального розв’язку і методи розв’язання
9.1 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами.
9.2 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами
9.1 Лінійні однорідні диференціальні рівняння
другого порядку зі сталими коефіцієнтами
У загальному вигляді лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами записують так:
1 2 ( )y a y a y f x , (9.1)
де 1a і 2a – дійсні числа.
Якщо ( ) 0f x , то лінійне рівняння називають однорідним, у противно-
му випадку – неоднорідним.
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку
(ЛОДР) зі сталими коефіцієнтами
1 2 0y a y a y . (9.2)
Два розв’язки диференціального рівняння називають лінійно незалежни-
ми на проміжку ;a b , якщо їх відношення 1
2
y
y не є сталою величиною, тобто
1
2
yconst
y .
Теорема (про структуру загального розв’язку ЛОДР).
Якщо 1( )y y x і 2( )y y x два лінійно незалежних розв’язки
диференціального рівняння 1 2 0y a y a y , то функція 1 1 2 2y c y c y є
загальним розв’язком цього рівняння, де 1c , 2c – довільні сталі .
Доведення. За означенням загального розв’язку:
1) функція 1 1 2 2y c y c y матиме задовольняти рівнянню 1 2 0y a y a y ;
дійсно, визначимо 1 1 2 2y c y c y , 1 1 2 2y c y c y , підставимо до рівняння і
отримаємо:
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 0c y c y a c y a c y a c y a c y .
95
Згрупуємо доданки з 1y і 2y , з урахуванням того, що 1y і 2y є розв’яз-
ками рівняння, дістанемо тотожність
1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2c y c a y c a y c y c a y c a y
1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2
0 0
0.c y a y a y c y a y a y
2) при заданих початкових умовах 0
0x xy y
;
00x x
y y
можна визначити такі
значення сталих 0
1 1c c і 0
2 2c c , що функція 0 0
1 2( , , )y x c c буде
задовольняти цим умовам. Застосуємо позначення:
01 1 0( )
x xy y x
;
0
1 1 0( )x x
y y x
;
02 2 0( )
x xy y x
;
0
2 2 0( )x x
y y x
.
Підставимо початкові умови до рівняння 1 1 2 2y c y c y , отримаємо
0 1 1 0 2 2 0( ) ( )y c y x c y x .
Продиференціюємо цю рівність: 0 1 1 0 2 2 0( ) ( )y c y x c y x і складемо
систему
1 1 0 2 2 0 0
1 1 0 2 2 0 0
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
c y x c y x y
c y x c y x y
Отримали систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими 1c і 2c . Ця
система має єдиний розв’язок 0
1 1c c і 0
2 2c c , оскільки її визначник
1 0 2 0
1 0 2 0
( ) ( )0
( ) ( )
y x y x
y x y x
в силу лінійній незалежності розв’язків 1( )y x і 2 ( )y x (пропонуємо переконати-
ся в цьому самостійно).
Таким чином, теорема доведена.
Лінійно незалежні розв’язки 1( )y x і 2 ( )y x ЛОДР шукатимемо у вигляді kxy e . Такий вибір ґрунтується на тому, що функція
kxy e та її похідні kxy ke ,
2 kxy k e відрізняються одна від одної лише сталими множниками
k і 2k , а ця умова є властивістю лінійного диференціального однорідного
рівняння.
Підставимо kxy e ,
kxy ke , 2 kxy k e до рівняння, отримаємо
2
1 2 0kx kx kxk e a ke a e або 2
1 2( ) 0kxe k a k a .
Оскільки 0kxe , то отримаємо рівняння
96
2
1 2 0k a k a , (9.3)
яке називають характеристичним рівнянням.
Розв’язки 1( )y x і 2 ( )y x визначають у залежності від коренів характе-
ристичного рівняння:
1) Якщо характеристичне рівняння має два різних корені 1k і 2k , 1 2k k
( 0D ), то 1
1
k xy e ; 2
2
k xy e і загальний розв’язок має вигляд
1 2
1 2
k x k xy c e c e .
Вище було показано, що функції 1
1
k xy e ; 2
2
k xy e є розв’язками рівняння
1 2 0y a y a y , переконаємося, що вони є лінійно незалежними. Дійсно,
складемо відношення 1
1 2
2
( )1
2
k xk k x
k x
y ee const
y e
, оскільки 1 2k k .
2) Якщо характеристичне рівняння має два однакових корені 1k і 2k ,
1 2k k ( 0D ) , то можна показати, що загальний розв’язок має вигляд
1 1
1 2
k x k xy c e c xe .
3) Якщо характеристичне рівняння має два комплексно – спряжених коре-
ні 1,2k i , то загальний розв’язок має вигляд
1 2cos sinx xy c e x c e x .
тут і – дійсні числа, які є дійсною і уявною частинами комплексних
чисел i .
Приклад. Розв’язати рівняння 5 6 0y y y .
Розв’язання. Маємо ЛОДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами,
загальний розв’язок якого визначається за формулою 1 1 2 2y c y c y , де 1( )y x і
2 ( )y x два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння.
Для знаходження 1( )y x і 2 ( )y x складаємо характеристичне рівняння 2 5 6 0k k , корені якого 1 2k і 2 3k . Характеристичне рівняння має дійсні
та різні корені ( 1 2k k , випадок 1), тому загальний розв’язок рівняння має
вигляд 2 3
1 2
x xy c e c e .
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння 4 4 0y y y , який
задовольняє початковим умовам 0
1x
y ;
00
xy
.
Розв’язання. Спочатку визначимо загальний розв’язок рівняння.
Складаємо характеристичне рівняння 2 4 4 0k k . Корені характеристичного
рівняння дійсні та рівні 1 2 2k k (випадок 2), тому загальний розв’язок
рівняння має вигляд
97
2 2
1 2
x xy c e c xe .
Для знаходження частинного розв’язку попередньо продиференціюємо у і
отримаємо 2 2 2
1 2 22 2x x xy c e c e xc e .
Ураховуючи початкові умови: 0
1x
y ;
00
xy
, складаємо систему
рівнянь 0 0
1 2
0 0 0
1 2 2
1 0 ,
0 2 2 0 ,
c e c e
c e c e c e
або
1
1 2
1 ,
0 2 ,
c
c c
звідки 1 21, 2c c . Отже, шуканий частинний розв’язок має вигляд 2 22x xy e xe .
Приклад. Розв’язати рівняння 4 5 0y y y .
Розв’язання. Складаємо характеристичне рівняння 2 4 5 0k k .
Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені та
дорівнюють 1,2 2 4 5 2 1 2k i (випадок 3), тобто = 2, = 1. Отже,
загальний розв’язок рівняння має вигляд 2 2
1 2cos sinx xy c e x c e x .
9.2 Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
другого порядку зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого
порядку (ЛНДР) зі сталими коефіцієнтами
1 2 ( )y a y a y f x .
Процес розв’язання цього рівняння ґрунтується на такій теоремі.
Теорема ( про структуру загального розв’язку ЛНДР).
Загальний розв’язок у лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 1 2 ( )y a y a y f x дорівнює сумі будь - якого частинного розв’язку
Y цього рівняння і загального розв’язку y
відповідного однорідного рівняння
1 2 0y a y a y .
Пропонуємо цю терему довести самостійно (див. доведення тереми про
структуру ЛОДР).
Отже, функція y Y y
є загальним розв’язком ЛНДР.
Теорія знаходження загального розв’язку ЛОДР була розглянута вище,
тому залишилося побудувати теорію знаходження будь- якого частинного
розв’язку ЛНДР.
Розглянемо неоднорідні рівняння, праві частини яких є функціями
спеціального вигляду:
1) ( ) ( )x
nf x e P x ;
2) ( ) ( )cos ( )sinx
n mf x e P x x Q x x (загальний випадок).
98
Тут ( )nP x і ( )mQ x – многочлени відповідно п - го і т – го степеня.
Розглянемо перший випадок. В припущенні, що не є коренем
характеристичного рівняння, частинний розв’язок Y шукатимемо у вигляді
( )x
nY e Q x , де ( )nQ x – багаточлен п - го степеня.
Зауважимо, що ( )nQ x і ( )nQ x є багаточленами відповідно (п – 1) – го і
(п – 2) – го степеня.
Отже,
( ( ) ( ))x
n nY e Q x Q x ,
2( ( ) 2 ( )) ( ))x x
n n nY e Q x e Q x Q x .
Підставимо ці рівності до рівняння 1 2 ( )y a y a y f x , отримаємо
2
1 2 1( )( ) ( )(2 ) ( ) ( )n n n nQ x a a Q x a Q x P x .
У лівій частині здобутої рівності має бути багаточлен п - го степеня. Ця
умова буде виконуватися, якщо 2
1 2 0a a , тобто не є коренем
характеристичного рівняння 2
1 2 0k a k a .
Якщо є однократним коренем характеристичного рівняння, тобто 2
1 2 0a a , а 12 0a , то для того, щоб багаточлен у лівій частині
рівності (7.9) був багаточленом п – го степеня, частинний розв’язок Y має бути
поданий у вигляді ( )x
nY x e Q x .
У випадку, коли є двократним коренем характеристичного рівняння,
тобто 2
1 2 0a a і 12 0a , частинний розв’язок Y має бути поданий у
вигляді 2 ( )x
nY x e Q x .
У загальному випадку, коли
( ) ( )cos ( )sinx
n mf x e P x x Q x x ,
частинний розв’язок Y лінійного неоднорідного рівняння шукають у вигляді
( )cos ( )sins x
k kY x e T x x R x x , (9.4)
де
max( ; )k n m ;
1,2
1 2
1 2
0, ,
1, ,
2, .
якщо i k
s якщо i k k
якщо i k k
(9.5)
Приклад. Розв’язати рівняння 24 3 5 xy y y e .
Розв’язання. Дане рівняння є ЛНДР другого порядку зі сталими
коефіцієнтами і спеціальною правою частиною. Його загальний розв’язок
шукаємо у вигляді y Y y
.
1) Спочатку визначимо загальний розв’язок y
відповідного однорідного
рівняння 4 3 0y y y . Для цього застосуємо теорему 1 1 2 2Y c y c y , де
99
1( )y x і 2 ( )y x два лінійно незалежних розв’язки. Складаємо характеристичне
рівняння 2 4 3 0k k , яке має корені 1 1k , 2 3k .
Отже, 3
1 2
x xy c e c e .
2) Оскільки права частина рівняння 2( ) 5 xf x e є функцією вигляду
( ) ( ) x
nf x P x e , то частинний розв’язок Y шукатимемо у вигляді
( )s x
nY x P x e , де 2 , 0 , 0k n , 0s , оскільки 1,2i k . Таким
чином, 2xY Ae , де 0 ( )A P x .
Для визначення сталої А знайдемо Y і Y : 22 xY Ae ,
24 xY Ae .
Підставимо вирази Y , Y , Y до даного рівняння і отримаємо 2 2 2 24 4 2 3 5x x x xAe Ae Ae e ,
2 25x xAe e , тобто 5A .
Отже, частинний розв’язок має вигляд 25 xY e .
Остаточно запишемо загальний розв’язок вихідного рівняння: 3 2
1 2 5x x xy c e c e e .
Питання для самоперевірки
1 Що називається загальним і частинним розв’язками диференціального
рівняння другого порядку?
2 Як ставиться задача Коші для диференціального рівняння другого
порядку? За яких умов існує єдиний розв’язок задачі Коші?
3 Яке рівняння називають однорідним лінійним диференціальним рівняння
другого порядку?
4 Сформулюйте теорему про структуру загального розв’язку лінійного
однорідного (неоднорідного) диференціального рівняння другого порядку
5 Як визначають частинний розв’язок лінійного неоднорідного
диференціального рівняння зі спеціальною правою частиною?
100
Тема 10
Довідковий матеріал для самостійної роботи
Числові ряди, основні означення. Знакододатні та знакозмінні ряди і
ознаки їх збіжності. Функціональні ряди. Степеневі ряди, структура
області збіжності. Ряди Тейлора і Маклорена
Числовим рядом є нескінчена сума вигляду
1
21 ,......n
nn uuuu (10.1)
де числа ,...,...,, 21 nuuu – члени ряду, отримані за визначеним законом.
Загальним членом є член ряду, виражений у вигляді функції його
змінного номера ).(nfun
Ряд (1.1) є заданим тоді, коли відомий його загальний член: в цьому
випадку, надаючи n значення 1, 2, 3,...., отримаємо будь – який член цього ряду.
Числовий ряд (1.1) збігається, якщо сума n перших його членів (часткова
сума ряду)
,...21 nn uuuS (10.2)
при n має скінчену границю
,lim SSnn
(10.3)
яка і є сумою ряду. Якщо ,lim nn
S
не існує або дорівнює , то ряд
розбігається.
Знакододатні ряди
Розглянемо достатні ознаки збіжності числових знакододатніх рядів
рядів. У процесі дослідження збіжності числових рядів зручно використовувати
ознаки порівняння. Якщо члени ряду є додатними:
1
21 ...n
nn uuuu , (10.4)
то їх потрібно порівняти з іншим рядом, члени якого також є додатними:
1
21 ...n
nn vvvv , (10.5)
збіжність або розбіжність якого відома, і якщо, починаючи з деякого номера n,
1) nn vu і ряд (10.5) збігається, то і ряд (10.4) також збігається;
2) nn vu і ряд (10.5) розбігається, то ряд (10.4) також розбігається;
3) Cv
u
n
n
n
lim (відмінна від 0 і ), то ряди (10.4) і (10.5) збігаються або
розбігаються одночасно.
Під час використання ознак порівняння доводиться звертатися до одного
з еталонних рядів.
101
1 Геометричний ряд
1n
nq (10.6)
збігається при 1q і розбігається при .1q
2 Узагальнений гармонічний ряд
1
1
npn
(10.7)
збігається при p>1 і розбігається при .1p
Приклад. Дослідити збіжність ряду ...5
1...
14
1
9
1
6
12
n
Розв’язання. Маємо 5
12
n
un . Для порівняння обираємо ряд
12
1
n n із
загальним членом 2
1
nvn . На основі (10.7) він збігається, оскільки p = 2 >1 .
Порівняємо 22
1
5
1
nn
, тобто un < vn. За першою ознакою порівняння
даний ряд збігається.
Приклад. Дослідити збіжність ряду ...2
sin...4
sin2
sin n
Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом
1
.2
1...
2
1...
4
1
2
1...
2...
42 n
n
nn
Даний ряд типу (10.6) помножений на , де 12
1q . Такий ряд
збігається. Застосовуючи ознаку порівняння у граничній формі для додатних
рядів
,01
2
2sin
limlim
n
n
nn
n
n v
u
отже, можна стверджувати, що обидва ряди збігаються одночасно.
Ознака Даламбера. Якщо в ряді з додатними членами
1
21 ......n
nn uuuu
відношення (n+1) – го члена ряду до n – го при необмеженому числі членів має
скінчену границю
,lim 1 lu
u
n
n
n
(10.8)
102
то:
а) при 1l ряд збігається;
б) при 1l ряд розбігається.
в) при 1l питання про збіжність ряду залишається нерозв’язаним
(потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності).
Радикальна ознака Коші. Якщо в ряді, що має додатні члени границя
,lim lunn
n
(10.9)
то:
а) при 1l ряд збігається;
б) при 1l ряд розбігається.
в) при 1l питання про збіжність ряду залишається нерозв’язаним
(потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності).
Інтегральна ознака Коші. Ряд
1nnu з додатними спадними членами
збігається або розбігається залежно від збіжності або розбіжності невласного
інтеграла
a
dnnf )( , (10.10)
де f(n) - неперервна спадна функція, частинні значення якої дорівнюють членам
ряду f(n) = un ( n = 1,2,3,...), а – будь – яке додатне число з області визначення
функції f(n).
Приклад. Дослідити на збіжність ряд ...3
...9
4
3
1 2
n
n
Розв’язання. Це ряд, що має додатні члени. Застосуємо до нього ознаку
Даламбера. Запишемо (n+1) – й член ряду .3
)1(1
2
1
nn
nu Знайдемо
,13
1
6
)1(2lim
3
)1(lim
3
3)1(limlim
2
2
21
21
n
n
n
n
n
n
u
u
nnn
n
nn
n
n
таким чином, ряд збігається.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд ...1
arcsin...2
1arcsin1arcsin 2
n
n
Розв’язання. Це ряд, що має додатні члени, загальний член ряду
nnn
u1
arcsin . Застосовуючи радикальну ознаку Коші, отримаємо
,101
arcsinlim1
arcsinlimlim
nnu
n
n
n
n
nn
n
отже, ряд збігається.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд ...1
...31
3
21
2
11
12222
n
n
103
Розв’язання. Даний ряд має додатні спадні члени. Розглянемо
неперервну незростаючу функцію ,1
)(2n
nnf
яка дає подання члена даного
ряду при n = 1,2,3,...
Невласний інтеграл
)2ln)1(ln(lim
2
1)1ln(lim
2
1
1
2
2
1lim
1)( 2
1 11
2
122
bnn
ndn
n
ndndnnf
b
b
b
b
b
розбігається, ряд також розбігається.
Знакозмінні ряди
Ряд називається знакозмінним, якщо в ньому є як додатні, так і від’ємні
члени.
Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо ряд, складений із
абсолютних величин членів даного знакозмінного ряду, збігається, то збігається
й даний знакозмінний ряд.
Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд,
складений із абсолютних величин його членів.
Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо розбігається ряд,
складений із абсолютних величин його членів.
Ряд називають знакопочережним, якщо знаки його членів чергуються.
...1...1
4321
nn
uuuuu (10.11)
де ,,...,, 21 nuuu - додатні.
Знакопочережний ряд є частковим випадком знакозмінного ряду.
Ознака Лейбніця: якщо в знакопочережному ряді:
1) члени ряду спадають за абсолютною величиною, тобто
...;...21 nuuu
2) границя абсолютної величини загального члена ряду при n
дорівнює нулю, тобто ,0lim
nn
u то знакопочережний ряд збігається, його сума
додатна й менша за перший член ряду ( 10 uS ).
Зауваження. Ознака Лейбніця справедлива й тоді, коли члени ряду
спадають, починаючи з деякого номера Nn .
Приклад. Дослідити ряд на збіжність
1
1.
)!12(
11
n
n
n
Розв’язання. Оскільки заданий ряд є знакопочережним, то перевіряємо
виконання умов ознаки Лейбніця:
1 ...)!12(
1...
!5
1
!3
11
n
2 .0)!12(
1limlim
nu
nn
n
104
Умови виконані, а це означає, що ряд збігається. Складаємо ряд із
абсолютних величин членів даного ряду: ...)!12(
1...
!5
1
!3
11
n
За ознакою Даламбера маємо
.10)12(2)!12(
)!12(lim
nnn
n
n
Даний ряд збігається. Отже, він збігається абсолютно.
Функціональні ряди
Ряд вигляду
1
21 )(...)(...)()(n
nn xuxuxuxu (10.12)
є функціональним, якщо його члени є функціями степенів х. Сукупність
значень аргументу х, для яких функціональний ряд (10.12) збігається, є
областю збіжності цього ряду.
Степеневий ряд – це ряд вигляду
1
2210 ......
n
nn
nn xaxaxaxaa (10.13)
або загального вигляду
1
2210 ,)(...)(...)()(
n
nn
nn axaaxaaxaaxaa (10.14)
де an (n = 0, 1, 2,...) – коефіцієнти членів ряду (сталі числа).
Інтервал збіжності степеневого ряду – це такий інтервал від - R до + R (для
ряду (10.13)) або від a - R до a + R (для ряду (10.14 )), що для будь-якої точки
х, яка лежить в середині цього інтервалу, ряд збігається абсолютно, а для всіх х,
які лежать поза ним, ряд розбігається. Число R – радіус збіжності степеневого
ряду. На кінцях інтервалу при x=-R і x = R питання про збіжність або
розбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного ряду.
Визначення області збіжності степеневих рядів, у яких степені х розташовані
строго послідовно, основане на застосуванні ознаки Даламбера (або інших
ознак) і зводиться до використання формул: Rx – для ряду (10.13) або
Rax – для ряду (10.14), в яких радіус збіжності знаходиться за формулами
1
lim
n
n
n a
aR (10.15)
або
.lim
1
nn
na
R
(10.16)
Приклад. Знайти область збіжності степеневого ряду
105
......32
32
n
xxxx
n
Розв’язання. Даний ряд є повним степеневим рядом, оскільки степені х
розташовані строго послідовно. Обчислимо радіус збіжності даного ряду за
формулою (10.15):
;1
1;
11
na
na nn ,1
1limlim
1
n
n
a
aR
nn
n
n
отже, для всіх 1x ряд збігається, тобто для ).1;1(x
Дослідимо збіжність в граничних точках. При х=-1 отримаємо числовий
знакопочережний ряд
...1
1...3
1
2
11
n
n
.01
limlim n
un
nn
Отже, за ознакою Лейбніця ряд збігається.
При х = 1 отримаємо знакододатний ряд
...1
...3
1
2
11
n
Даний ряд є узагальненим гармонічним при 12
1p . Він розбігається.
Отже, інтервал збіжності буде таким: 1;1 .
Ряди Тейлора і Маклорена
Якщо функція f(x) має в точці х = а та в її околі похідні до (n+1) порядку
включно, то справедливою є формула Тейлора
),()(!
)(...)(
!2
)()()()()( )(
2
xRafn
axaf
axafaxafxf n
nn
10.17)
де залишковий член Rn(x) обчислюється за формулою Лагранжа:
,10,)()!1(
)()( )1(
1
axafn
axxR n
n
n (19.7)
,!
)()(
n
af n
(n = 0, 1, 2, ...) - коефіцієнти Тейлора.
Якщо функція f(x) має похідні всіх порядків в околі точки х = а, то в
формулі Тейлора число n можна брати достатньо великим. Припустимо, що
0)(lim
xRnn
. Тоді переходячи в формулі (10.17) до границі при n,
отримаємо в правій частині рівності (10.18) нескінчений ряд, який є рядом
Тейлора:
...)(!
)(...)()()()( )(
af
n
axafaxafxf n
n
. (10.18)
106
Розвинення основних елементарних функцій в ряд Маклорена
...,!
...!2
12
n
xxxe
nx
(- <x < ), (10.19)
...,)!12(
1...!5!3
sin12
153
n
xxxxx
nn
(- <x < ), (10.20)
...,)!22(
1...!4!2
1cos22
142
n
xxxx
nn
(- <x < ), (10.21)
...,!
)1)...(2)(1(...
!2
)1(1)1( 2
nm x
n
nmmmmx
mmmxx (-1<x< 1), (10.22)
,..122...642
)12..(531..
7642
531
542
31
32
1)1(arcsin
0
127532
1
2
x n
n
x
n
nxxxxdxxx
),11( x
(10.23)
x n
n
n
xxxxxdxxarctgx
0
121
75312 ...,
121...
753)1( ),11( x (10.24)
x nn
n
xxxxdxxx
0
132
1 ...,1...32
)1()1ln( ).11( x (
10.25)
Приклад. Розвинути функцію f(x) = e2x
в околі точки х = 0 у ряд
Маклорена.
Розв’язання. Застосуємо формулу (10.19), замінивши х на 2х:
...)!1(
2...
!2
221
)!1(
)2(...
!2
)2(21
1122122
n
xxx
n
xxxe
nnnx
Питання для самоперевірки
1 Дайте означення знакододатнього і знакозмінного ряду та суми ряду.
2 Сформулюйте достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів.
3 Дайте означення знакопочережного ряду.
4 Сформулюйте й доведіть ознаку Лейбніця збіжності знакопочережного
ряду та наведіть приклади застосування цієї ознаки.
5 Дайте означення степеневого ряду й інтервалу його збіжності.
6 Запишіть формулу для обчислення радіуса збіжності степеневого ряду.
7 Запишіть формулу Тейлора для довільної функції з залишком у формі
Лагранжа і покажіть, за яких умов формула Тейлора переходить в ряд Тейлора,
а також в ряд Маклорена.
8 Запишіть розвинення функції sinx, cosx, ex, (1+x)
m, ln(1+x) в ряд
Маклорена, вкажіть проміжок збіжності.
107
ЛЕКЦІЯ 10 (тема 11)
Елементи комбінаторики: розміщення, перестановки, сполучення.
Класифікація подій. Означення ймовірності, її властивості
10.1 Елементи комбінаторики: розміщення, перестановки, сполучення
10.2 Класифікація подій. Означення ймовірності, її властивості
8.1 Елементи комбінаторики: розміщення, перестановки, сполучення
Комбінаторика – це розділ математики, що досліджує закономірності
розташування, впорядкування, вибору і розподілу елементів з фіксованої
множини.
В основі розв’язання таких задач лежать наступні два правила.
1. Правило додавання. Якщо деякий елемент А можна вибрати т
способами, а другий елемент В – п способами, які виключають один одного, то
вибір будь-якого одного з цих елементів (або А, або В) можна здійснити т + п
способами.
2. Правило множення. Якщо елемент А можна вибрати т способами і
якщо після кожного такого вибору елемент В можна вибрати п способами,
то вибір пари елементів ( А,В ) в указаному порядку можна здійснити т п
способами.
Різні групи, що складені з яких-небудь предметів і відрізняються одна від
одної або порядком цих предметів, або самими предметами, називаються
взагалі сполуками.
Предмети, з яких складаються сполуки, називаються елементами.
Серед можливих сполук виділимо наступні: розміщення, перестановки,
комбінації ( сполучення).
Розміщеннями з п різних елементів по k називаються усілякі групи,
які містять k елементів, узятих з даних п елементів, і які відрізняються одна
від одної або складом елементів, або їх порядком.
Число розміщень із п різних елементів по k без повторень позначається
символом k
nA і обчислюється за формулою
)!(
!)1)...(2)(1(
kn
nknnnnAk
n
. (10.1)
Число розміщень із п різних елементів по k з повтореннями позначається
символом k
nA і обчислюється за формулою
kk
nnA . (10.2)
Розміщення з п елементів по п , тобто всілякі групи з п різних елементів,
які відрізняються одна від одної лише порядком елементів, називаються
перестановками.
Число перестановок з п різних елементів без повторень позначається
символом nP і обчислюється за формулою
108
!nAP n
nn , (10.3)
де
nn ...321! .
Число перестановок з п різних елементів з повторенням, які можна
скласти з 1k елементів першого типу, 2k елементів другого типу, ..., mk
елементів m -го типу, обчислюється за формулою
!!...!
!),...,,(
21
21
m
mn
kkk
nkkkP , (10.4)
де
nkkkm ...
21.
Комбінаціями (сполученнями) з п різних елементів по k називаються
усілякі групи, які містять k елементів, узятих з даних п елементів, і які
відрізняються одна від одної принаймні одним елементом (порядок при цьому
не враховується).
Число комбінацій із п різних елементів по k без повторень
позначається символом k
nC і обчислюється за формулою
)!(!
!
...321
)1)...(2)(1(
knk
n
k
knnnn
P
AC
k
k
nk
n
. (10.5)
Число комбінацій без повторень із п різних елементів по k дорівнює
числу комбінацій із цих самих п різних елементів по k , тобто kn
n
k
nCC .
Число комбінацій із п різних елементів по k з повторенням
позначається символом k
nC і обчислюється за формулою
)!1(!
)!1(1
nk
knСC k
kn
k
n. (10.6)
Приклад 1. До профкому обрано дев’ять осіб. Із них потрібно обрати
голову та його замісника. Скількома способами це можна зробити?
Розв’язання. Задача зводиться до знаходження числа елементів по два,
бо тут істотно й те, хто буде обраний до керівництва профкому, і те, як
розподіляться обов’язки між обраними. Таким чином, за формулою (10.1)
шукана кількість способів
71892
9 A .
Приклад 2. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7?
Розв’язання. Кожне тризначне число, складене з указаних цифр, можна
розглядати як розміщення з повтореннями, складене з трьох цифр, узятих із
даних семи. Тому за формулою (10.2) шукана кількість тризначних чисел
343733
7 A .
109
Приклад 3. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0,
1, 2, 3, якщо кожна цифра в зображенні числа зустрічається один раз?
Розв’язання. Чотиризначне число може бути подане як деяка
перестановка з цифр 0, 1, 2, 3, в якій перша цифра відмінна від нуля. Оскільки
число перестановок з чотирьох цифр дорівнює !44 P і з них !33 P
перестановок починаються з нуля, то шукана кількість чисел дорівнює
183123!33!3)14(!3!34!3!434
PP .
Приклад 4. Партія містить 30 деталей, вісім із яких є дефектними.
Кількома способами можна відібрати з цієї партії шість деталей так, щоб
чотири з них були якісними, а дві дефектними?
Розв’язання. Серед 30 деталей вісім є дефектними і 30-8=22 якісних.
Чотири якісних деталі можна взяти з 22 якісних деталей 4
22С способами, а дві
дефектні деталі з восьми дефектних деталей можна взяти 2
8С способами. Тому
за правилом множення число способів, які дають можливість відібрати із цієї
партії шість деталей так, щоб чотири з них були якісними і дві дефектними,
складатиме
20482021
78
4321
192021222
8
2
22
СС .
10.2 Класифікація подій. Означення ймовірності, її властивості
Основні поняття теорії ймовірностей - подія і ймовірність.
Подія – це результат випробування.
Ймовірність події – це числова міра степеня об’єктивної можливості цієї
події.
Подія називається випадковою, якщо при здійсненні певної сукупності
умов вона може або настати, або не настати. Події прийнято позначати буквами
А, В, С і т.ін., а їх ймовірності – буквою Р, наприклад, ймовірність події А
позначається Р(А).
Вірогідною називається подія, яка в результаті випробування обов’язково
повинна відбутися (настати).
Неможливою називається подія, яка в результаті випробування не може
відбутися.
Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає
можливості появи інших подій в одному і тому самому випробуванні.
Дві несумісних події називаються протилежними, якщо одна з них
повинна обов’язково відбутися.
Подія протилежна події А позначається А .
Події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає
можливості появи інших подій в одному і тому самому випробуванні.
Декілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування
настане хоча б одна з них. Інакше кажучи, поява хоча б однієї з подій повної
групи є вірогідною подією.
110
Зокрема, якщо події, які утворюють повну групу, попарно несумісні, то в
результаті випробування з’явиться одна і тільки одна з цих подій.
Події називаються рівноможливими, якщо є основа вважати, що ні одна з
них не є більш можливою, ніж інша.
Елементарні наслідки, в яких подія, яка нас цікавить, настає, називаються
сприятливими цій події.
Класичне означення ймовірності
Ймовірність випадкової події А – це відношення числа сприятливих цій
події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних
елементарних наслідків, які утворюють повну групу.
Ймовірність події А обчислюється за формулою
n
mАР )( , (10.7)
де
n – загальне число наслідків,
m – число наслідків, сприятливих появі події А.
Властивості ймовірності:
1 Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці.
2 Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
3 Ймовірність випадкової події
1)(0 AP .
Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійній нерівності
1)(0 AP .
Статистичне означення ймовірності
Статистична ймовірність ( відносна частота) події А – це відношення
числа випробувань, в яких подія А настала, до загального числа фактично
проведених випробувань.
Відносна частота події А обчислюється за формулою
n
mАW )( , (10.8)
де
n – загальне число випробувань,
m – число випробувань, в яких подія А настала.
Відносна частота має такі самі властивості, що і ймовірність.
Зауваження:
1 Відносна частота може бути обчислена лише після проведення
випробовувань. а ймовірність – до проведення випробовувань.
2 Відносна частота зміцнюється мало (тим менше, чим більше проведено
випробувань), коливаючись навколо деякого сталого числа (ймовірності).
111
3 Недоліком статистичного означення є неоднозначність статистичної
ймовірності.
Геометричне означення ймовірності
Для подолання недоліку класичного означення ймовірності, який полягає
в тому, що воно не може бути застосовано для випробувань з нескінченним
числом наслідків, вводять геометричні ймовірності – ймовірності попадання
точки в область (відрізок, частину площини і т.ін.).
Якщо в область G на площині (рис. 10.1) кидається навмання точка (під
цим розуміють, що точка може попасти в будь-яку частину області G з
ймовірністю, пропорційною лише її площі gS і не залежній ні від її
розташування, ні від її форми), то ймовірність попадання точки в область g ,
яка знаходиться всередині G, визначається рівністю
G
g
S
SP . (10.9)
G
Рис. 10.1
Аналогічно визначається ймовірність попадання точки на відрізок і у
тривимірний об’єм.
Приклад 5. У коробці міститься шість однакових занумерованих кубиків.
Навмання по одному виймають усі кубики. Знайти ймовірність того, що номери
вийнятих кубиків з’являються у зростаючому порядку.
Розв’язання. Подія А – номери вийнятих кубиків з’являються у
зростаючому порядку. Число всіх наслідків знаходимо за формулою (10.3)
720!66
Pn .
Очевидно, що сприятливим події А є один наслідок (номери вийнятих
кубиків з’являються у зростаючому порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6). Тому шуканою
ймовірністю є:
720
1)( AP .
Приклад 6. Під час випробування партії приладів відносна частота
непридатних приладів виявилася рівною 0,1. Знайти число придатних приладів,
якщо всього було перевірено 200 штук.
g
112
Розв’язання. Скориставшись формулою (10.8), знаходимо кількість
непридатних приладів, які містяться у випробуваній партії:
201,0200)( Awmm
Приклад 7. Усередину круга радіуса R навмання кинута точка. Знайти
ймовірність того, що точка попаде усередину вписаного в круг квадрата.
Припускається, що ймовірність попадання точки в квадрат пропорційна площі
квадрата і не залежить від його розташування відносно круга.
Розв’язання. Площа круга 2RS
кр , площа квадрата 22RS
кв
(рис.10.2). Отже, за формулою (10.9) шукана ймовірність
222
2
R
R
S
SP
кр
кв
.
Рис. 10. 2
Питання для самоперевірки
1. Що вивчає теорія ймовірностей?
2. Перерахуйте основні поняття теорії ймовірностей.
3. Що розуміють під випробуванням?
4. Що називають подією? Ймовірністю?
5. Яку подію називають випадковою, вірогідною, неможливою? Наведіть
приклади.
6. Які події називають несумісними? Сумісними? Наведіть приклади.
7. Які події називають рівно можливими? Наведіть приклади.
8. Що являє собою повна група подій? Наведіть приклади.
9. Дайте означення класичної, статистичної та геометричної
ймовірностей.
10. Сформулюйте властивості ймовірності та наведіть формулу для її
обчислення
113
ЛЕКЦІЯ 11 (тема 12)
Основні теореми ймовірностей. Формули повної ймовірності та Бейєса.
Повторні випробування. Формула Бернуллі, Пуассона. Теорема Лапласа
11.1 Основні теореми ймовірностей. Формули повної ймовірності та Бейєса
11.2 Повторні випробування. Формула Бернуллі, Пуассона. Теорема Лапласа
11.1 Основні теореми ймовірностей. Формули повної ймовірності
та Бейєса
До основних теорем теорії ймовірностей відносяться теореми додавання і
множення ймовірностей.
Теореми додавання
Сумою А+В двох сумісних подій А і В називають подію, яка полягає в
появі або події А, або події В, або обох цих подій.
Сумою декількох сумісних подій називають подію, яка полягає в появі
хоча б однієї з цих подій.
Зокрема, якщо дві події А і В – несумісні, то А+В – подія, яка полягає в
появі однієї з цих подій, байдуже якої.
1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якої,
дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
)()()( BPAPBAP . (11.1)
Ця теорема справджується для будь-якого скінченого числа попарно
несумісних подій, тобто
)(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP .
(11.2)
2. Сума ймовірності подій nAAA ,...,, 21 , які утворюють повну групу,
дорівнює одиниці:
1)(...)()( 21 nAPAPAP . (11.3)
3. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:
1)()( APAP . (11.4)
Прийнято )(AP і )(AP позначати відповідно через р і q. Таким чином,
якщо Р(А) = р, а Р(А) = q, то згідно з формулою (11.4)
1 qp . (11.5)
4. Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі
ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:
)()()()( ABPBPAPBAP . (11.6)
114
Використовуючи формулу (3.6) треба мати на увазі, що події А і В можуть бути
як незалежними, так і залежними. Якщо події А і В несумісні, то їх суміщення є
подією неможливою і, отже, 0)( ABP . Формула (11.6) для несумісних подій
набуває вигляду
)()()( BPAPBAP ,
тобто отримана вже відома формула (11.1).
Таким чином, формула (11.6) вірна як для сумісних так і для несумісних
подій.
Теореми множення
Добутком двох подій А і В називають подію АВ, яка полягає у сумісній
появі (суміщенні) цих подій.
Добутком декількох подій називають подію, яка полягає у сумісній появі
всіх цих подій.
Умовною ймовірністю )(BPA називають ймовірність події В, обчислену
за припущенням, що подія А уже відбулася.
1. Імовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності
однієї з них на умовну ймовірність другої, обчислену за припущенням, що
перша подія вже настала:
)()()()()( APBPBPAPABP BA . (11.7)
Наслідок:
)()...()()()...(1...2132121121 nnAAAAAAn
APAPAPAPAAAP
.
Зауважимо, що порядок, у якому розташовані події, може бути обрано
будь-яким. Зокрема, для трьох подій
)()()()( CPBPAPABCPABA
(11.8)
Подію В називають незалежною від події А, якщо поява події А не змінює
ймовірності події В, тобто якщо умовна ймовірність події В дорівнює її
безумовній ймовірності:
)()( BPBPA
Декілька подій називають попарно незалежними, якщо кожні дві з них
незалежні.
115
Декілька подій називають незалежними в сукупності (або просто
незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна подія і всі
можливі добутки решти.
2. Якщо події А і В є незалежними, то
)()()( BPAPABP (11.9)
3. Імовірність сумісної появи декількох подій, незалежних у сукупності,
дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
)()...()()...( 2121 nn APAPAPAAAP . (11.10)
Зауважимо, що на практиці про незалежність подій, як правило, за
змістом задачі.
4. Імовірність появи хоча б однієї з подій nAAA ,...,, 21 , незалежних у
сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей
протилежних подій nAAA ,...,, 21 :
nqqqAP ...1)( 21 . (11.11)
Якщо події nAAA ,...,, 21 мають однакову ймовірність появи хоча б однієї з
цих подій, то
nqAP 1)( . (11.12)
Формула повної ймовірності
Імовірність події A , яка може настати лише за умови появи однієї з
несумісних подій (гіпотез) nBBB ,...,, 21 , що утворюють повну групу, дорівнює
сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність
події A :
),()(...)()()()()(21 21 APBPAPBPAPBPAP
nBnBB (11.13)
де .1)(...)()( 21 nBPBPBP
Рівність (11.13) називають формулою повної ймовірності.
Формула Байєса
Нехай подія A може настати лише за умови появи однієї з несумісних
подій (гіпотез) nBBB ,...,, 21 , які утворюють повну групу подій. Якщо подія A
вже відбулася, тоді ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулами
Байєса
,,...2,1,)(
)()()( ni
AP
APBPBP iBi
iA
(11.14)
де
).()(...)()()()()(21 21 APBPAPBPAPBPAP
nBnBB
116
Приклад 1. Три станки працюють незалежно один від одного.
Ймовірність безперебійної роботи першого станка протягом деякого часу Т
дорівнює 9,01 p , другого – 8,02 p , третього – 7,03 p . Яка ймовірність того,
що протягом указаного проміжку часу
а) усі три станки працюють безперебійно (подія А);
б) лише два станки працюють безперебійно (подія В);
в) лише один станок працює безперебійно (подія С);
г) хоча б один з станків працює безперебійно (подія D);
д) жоден станок не працює (подія Е)?
Розв’язання. Введемо наступні події:
1A – працює перший станок,
2A – працює другий станок;
3A – працює третій станок.
Тоді протилежні їм події:
1A – не працює перший станок;
2A – не працює другий станок;
3A – не працює третій станок.
За умовою задачі 7,0)(;8,0)(;9,0)( 332211 pAPpAPpAP , отже,
3,07,01)(;2,08,01)(;1,09,01)( 332211 qAPqAPqAP .
а) очевидно, що подія 321 AAAA . Оскільки за умовою задачі події 1A ,
2A , 3A незалежні (станки працюють незалежно один від одного), то за
формулою (3.10)
321321 )()()()( pppAPAPAPAP .
Виконуючи обчислення далі, знаходимо:
504,07,08,09,0)( AP .
б) Подія В полягає у тому, що працюють лише два станки з трьох. Це
можливо в разі появи однієї з наступних подій: або 321 AAA , або 321 AAA , або
321 AAA . Отже,
В = 321 AAA + 321 AAA + 321 AAA .
Оскільки події 1A , 2A , 3A , 1A , 2A , і 3A незалежні в сукупності, а події
321 AAA , 321 AAA і 321 AAA несумісні, то використовуючи послідовно формули (3.2)
і (3.10), знаходимо:
321321321321321321
321321321321321321
)()()()()()()()()(
)()()()()(
ppqpqpqppAPAPAPAPAPAPAPAPAP
AAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAPBP
.
117
Підставляючи в отриману формулу відповідні значення ймовірностей,
остаточно будемо мати:
398,0056,0126,0216,07,08,01,07,02,09,03,08,09,0)( BP .
в) Аналогічні міркування приводять до того, що
321321321321321321 )()( pqqqpqqqpAAAAAAAAAPCP .
Після підстановки до цієї формули відповідних значень ймовірностей,
знаходимо:
092,0014,0024,0054,07,02,01,03,08,01,03,02,09,0)( CP .
г) Імовірність події D знаходимо за формулою (3.11):
3211)( qqqDP .
Після обчислень, отримаємо:
994,0006,013,02,01,01)( DP .
Цю саму ймовірність можна знайти інакше. Очевидно, що D = А + В + С.
Тоді
Р(D) = Р(А) +Р(В) + Р(С) = 0,504 + 0,398 + 0,092 = 0,994.
Відзначимо, що цей спосіб розв’язання задачі є нераціональним. Дійсно,
якби ймовірності Р(А), Р(В) і Р(С) не були знайдені раніше, то обчислення Р(D)
значно б ускладнилося.
д) Подія Е полягає із суміщення незалежних подій 1A , 2A і 3A . Тому
321321321 )()()()()( qqqAPAPAPAAAPEP .
Підставляючи числові дані, отримаємо:
006,03,02,01,0)( EP .
З іншого боку, враховуючи, що події D і Е являються незалежними і,
отже, Р(Е) + Р(D) = 1, а Р(D) уже відома і дорівнює 0,994, знаходимо:
006,0994,01)( EP .
Приклад 2. В урну, яка містить дві кулі, опущений біла куля, після чого
з неї навмання витягнули одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнута
куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про
початковий склад куль (за кольором).
Розв’язання. Позначимо через A подію – витягнули білу кулю.
Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль: 1B білих
куль немає, 2B одна біла куля, 3B дві білі кулі.
Отже, всього є три гіпотези, причому за умовою вони рівноймовірні, і
сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну
групу подій), тоді ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 3
1, тобто
.3
1)()()( 321 BPBPBP
118
Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, за умови, що
спочатку в урні не було білих куль, .3
1)(
1APB
Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, за умови, що
спочатку в урні була одна біла куля, .3
2)(
2APB
Умовна ймовірність того, що буде витягнута біла куля, за умови, що
спочатку в урні було дві білих кулі, .1)(3
APB
Імовірність того, що буде витягнута біла куля, знаходимо за формулою
(3.13):
.3
21
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1)()()()()()()(
321 321 APBPAPBPAPBPAP BBB
11.2 Повторні випробування. Формула Бернуллі, Пуассона. Теорема
Лапласа
Якщо проводяться декілька випробувань, при чому ймовірність події А в
кожному випробуванні не залежить від наслідків інших випробувань, то такі
випробування називають незалежними відносно події А.
Будемо далі розглядати лише такі незалежні випробування, в яких подія А має
одну й ту ж саму ймовірність.
Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях,
у кожному з яких імовірність появи події А дорівнює р (0 < р < 1), подія
настане рівно к раз (байдуже в якій послідовності), дорівнює
knkk
nnqpCkP )( (11.15)
де )!(!
!,1
knk
nCpq k
n
.
Слід зауважити, що формулу Бернуллі використовують тоді, коли
значення n мале, оскільки при великих значеннях n формула потребує
виконання дій над дуже великими числами.
Граничні теореми. Якщо число випробувань n велике, то
застосовування формули Бернуллі приводить до дуже громіздких обчислень,
тому в таких випадках використовують наближені формули ( формулу
Пуассона, а також формули, які виражають зміст локальної та інтегральної
теореми Лапласа).
1. Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р настання події А в
кожному з n незалежних випробувань стала, причому 0 < р < 1, а число
випробувань досить велике, то ймовірність )(kРn того, що в цих випробуваннях
подія А настане к раз, наближено дорівнює
119
npq
kPn
1)( φ (х), (11.16)
де
npq
npkx
,
а функція φ (х ) визначається рівністю
2
2
2
1)(
x
ex
.
Таблиця значень функції φ (х) наведена в додатку А, причому лише для
додатних значень φ, бо ця функція парна, тобто φ (-х) = φ (х). Для значень х > 5
потрібно вважати, що φ (х) ≈ 0.
На рис.11.1зображено графік функції 2
2
2
1)(
x
еx
.
Рис. 11.1
Для більшої наочності прийняті різні масштаби по осях. Побудована
крива (крива ймовірностей) дозволяє для кожного значення npq
npkх
знайти
найближче значення 2
2
2
1)(
x
еx
, а звідси й npq
kPn
1)( φ(х). Ця формула
дає тим більш близькі до точного значення ймовірності )(kPn результати, чим
більше значення npq . Причому в даному випадку має значення не лише n, а
й значення pq . При одних і тих самих значеннях n обчислення ймовірності за
формулою Лапласа більш близьке до її значення, обчисленого за формулою
Бернуллі, чим більше pq до 0,25 (це значення є для pq найбільшим). У задачах
зі значенням p і q, близькими до нуля, застосування формули (4.2) дає більш
помітні відхилення від точних значень )(kPn , які отримують за формулою
Бернуллі.
У зв'язку з цим для так званих рідкісних подій (р близьке до 0) з успіхом
застосовується наближена формула Пуассона.
2 1 -2
0 -1
x
)(x
0,2
0,4
0,3
0,1
120
2. Формула Пуассона. Якщо в кожному випробуванні ймовірність р
настання події А є сталою і малою, а число випробувань n є досить великим, то
ймовірність того, що подія А настане к раз, наближено дорівнює
!
)(k
ekP
k
n
, (11.17)
де np .
Слід зазначити, що наближення тим краще, чим більше n і менше р.
Застосування цієї формули припустиме за умови 10 np .
Для спрощення розрахунків практично замість безпосереднього
обчислення ймовірності )(kPn за формулою Пуассона необхідно
використовувати таблицю значень функції Пуассона. Ця функція є функцією
двох змінних к і np .
Застосування у подібних випадках локальної теореми Лапласа приводить
до неточних значень ймовірностей )(kPn .
Доцільність застосування обчислень за формулою Пуассона, наприклад, для
100n і р = 0,01 показує наступна таблиця значень Р100(к):
Таблиця 11.1
к 0 1 2 5 9
За формулами:
Бернуллі 0,366 0,370 0,185 0,003 0,000001
Лапласа 0,242 0,411 0,242 0,001 0,000000
Пуассона 0,368 0,368 0,184 0,003 0,000001
3. Інтегральна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р настання деякої
події А в кожному випробувані є сталою, причому 0 < р < 1, а число
випробувань n досить велике, то ймовірність того, що ця подія відбудеться не
менше к1 раз і не більше к2 рази, наближено дорівнює
)()(),(1221
xxkkPn
, (11.18)
де
,11
npq
npkx
,2
2npq
npkx
а функція Лапласа )(x визначається рівністю
dteхtx
2
2
02
1)(
.
Функція Ф(х) - непарна, тобто Ф(- х) = - Ф (х) і монотонно зростаюча, а
5,0)(lim
xx
. До цієї границі вона наближається досить швидко.
121
Вже при х = 5 функція Ф(х) дуже мало відрізняється від неї. Дійсно,
Ф(5) = 0,499997, тому для всіх х > 5 приймається Ф(х) ≈ 0,5.
Точність ймовірностей, які отримують за формулою (4.4), цілком задовольняє
потребам практики, якщо добуток npq має порядок декількох сотень. Якщо
задача не потребує більшої точності відповіді, то цю формулу можна
використовувати й тоді, коли добуток npq невеликий, але більший за 20. У
противному випадку треба користуватися не інтегральною теоремою Лапласа, а
формулою Бернуллі та теоремою додавання ймовірностей.
Частинні випадки:
1. Формула (4.4) спрощується, якщо 1
к менше, а 2
к більше np на одне й
те саме число ε:
npqnpmPnpmnpP
nn
(2)()( .
2. Імовірність того, що в n незалежних випробувань, у кожному з яких
імовірність настання події дорівнює р (0 < р < 1), абсолютна величина
відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищує
додатного числа ε, наближено дорівнює подвоєній функції Лапласа при
:pq
nx
pq
np
n
mP 2( . (11.19)
Питання для самоперевірки
1. Що розуміють під сумою подій А і В ?
2. Сформулюйте теорему додавання для несумісних подій
3. Сформулюйте теорему додавання для сумісних подій.
4. Чому дорівнює сума ймовірностей подій, які утворюють повну групу ?
5. Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій ?
6. Що розуміють під добутком подій А і В ?
7. Що називають умовною ймовірністю?
8. Сформулюйте теорему множення для незалежних подій.
9. Сформулюйте теорему множення для залежних подій.
10. Запишіть формулу повної ймовірності.
11. Сформулюйте теорему Байєса.
12. Що включає поняття "повторні випробування" ?
13. Як знайти ймовірність того, що в результаті n незалежних
випробувань подія настане рівно к раз?
14. Формула Бернуллі та її застосування.
122
15. Сформулюйте локальну та інтегральну теореми Лапласа. За яких
умов вони застосовуються?
16. Наведіть формулу Пуассона для знаходження Рn(к). В яких випадках
вона застосовується?
ЛЕКЦІЯ 12 (тема 13)
Закон розподілу і числові характеристики випадкових величин.
Неперервна випадкова величин. Інтегральна та диференціальна функції
розподілу. Рівномірний та нормальний закони розподілу, їх числові
характеристики
12.1 Закони розподілу і числові характеристики дискретних випадкових
величин.
12.2 Закони розподілу і числові характеристики неперервних випадкових
величин
12.3 Приклади відомих законів розподілу дискретних і неперервних
випадкових величин, їх числові характеристики
12.1 Закони розподілу і числові характеристики дискретних випадкових
величин
Випадковою називають величину, яка в результаті випробовування
набуває одне і тільки одне можливе значення, наперед відомо, яке саме і яке
залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.
Випадкові величини прийнято позначати великими буквами X, Y, Z, а їх
можливі значення - відповідними x, y, z. Наприклад, якщо випадкова величина
Х має три можливих значення, то вони будуть позначені х1, х2, х3. Випадкові
величини бувають дискретними і неперервними.
Дискретною (перервною) називають випадкову величину, яка набуває
окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями.
Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути
скінченим або нескінченим (в останньому випадку множину всіх можливих
значень називають лічильною).
Законом розподілу (рядом розподілу) дискретної величини називають
перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей.
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у
вигляді таблиці, перший рядок якої містить можливі значення хі, а другий їх
імовірності рі (таблиця 12.1)
Таблиця 12.1
де
1...21
1
n
n
i
i рррр .
Х х1 х2 х3 ... хn (12.1) Р р1 р2 р3 ... рn
123
Якщо множина можливих значень Х нескінчена (лічильна), то ряд
n
i
iр1
збігається і його сума дорівнює одиниці.
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути також
заданий аналітичною формулою:
Р( Х = хі ) = φ(хі).
Або з допомогою інтегральної функції (про цю функцію мова піде у
матеріалі наступного заняття).
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити
графічно, для чого в прямокутній декартовій системі координат відкладають
точки М1(х1 ; р1), М2(х2 ; х2), ... , Мn(хn ; рn) ( хі можливі значення Х, рі -
відповідні їм ймовірності) і з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру
називають прямокутником розподілу.
Числові характеристики дискретної випадкової величини
До числових характеристик дискретної випадкової величини відносяться
математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Математичним сподіванням дискретної випадкової величини
називають суму добутків усіх її можливих значень на їх імовірності:
....)(2211
1nni
n
ii
pxpxpxpxXM
(12.2)
Якщо випадкова величина приймає лічильну множину можливих значень,
то
,)(1
i
ii pxXM
причому припускається, що ряд, який знаходиться у правій частині рівності,
збігається абсолютно і сума всіх ймовірностей рі дорівнює одиниці. При
повторних випробуваннях математичне сподівання обчислюється за формулою
М( Х ) = nр, (12.3)
де n - число випробувань;
р - ймовірність появи події в одному випробуванні.
Математичне сподівання Х наближено дорівнює середньому
арифметичному значень випадкової величини, які спостерігались (тим точніше,
чим більше число випробувань):
М( Х ) ≈ .срХ
Слід підкреслити, що математичне сподівання можна обчислити до
проведення випробувань, а середнє значення - лише після їх проведення.
Властивості математичного сподівання
1. М( С ) = С, де С = const.
2. М( Х1 + Х2 + ... + Хn ) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn).
3. М( Х1Х2... Хn ) = М( Х1 ) · М( Х2 ) · ... · М( Хn ).
4. М( СХ ) = С · М( Х ).
124
Дисперсією (розсіянням) дискретної випадкової величини Х називають
математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її
математичного сподівання:
D( Х ) = М( Х - М(Х) )2 . (12.4)
Зауважимо, що відхиленням називають різницю між випадковою
величиною і її математичним сподіванням.
Математичне сподівання відхилення дорівнює нулю: М[ Х – М(Х) ] = 0.
Нарівні з терміном "відхилення" використовують термін "центрована
величина". Центрованою випадковою величиною
X називають різницю між
випадковою величиною і її математичним сподіванням:
)(XMXX
.
Назва "центрована величина" пов'язана з тим, що математичне сподівання
є центром розподілу Х.
Зауважимо також, що на практиці дисперсію доцільно обчислювати за
формулою
D( Х ) = М( Х2 ) – М
2( Х ). (12.5)
Для обчислення дисперсії у разі повторних випробувань використовують
формулу
D( Х ) = npq, (12.6)
де n - число випробувань;
p - імовірність появи події в одному випробуванні;
q - імовірність появи події в одному випробуванні.
Властивості дисперсії
1. D( С ) =0, де С = const.
2. D( Х ± Y ) = D( Х ) + D( Y ).
3. D( СХ ) = С2 ·D( Х ).
Середнім квадратичним відхиленням дискретної випадкової величини
називають квадратний корінь з дисперсії:
)()( XDX . (12.7)
Приклад 1. У партії з шести деталей міститься чотири стандартних.
Навмання відібрано три деталі (без повернення).
Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х - числа
стандартних деталей серед відібраних. Знайти її математичне сподівання,
дисперсію, середнє квадратичне відхилення
Побудувати многокутник отриманого розподілу.
Розв'язання. Випадкова величина Х - число стандартних деталей серед
відібраних має наступні можливі значення: х2 = 1 (одна деталь стандартна),
х3 = 2 (дві деталі стандартні), х4 = 3 (усі три деталі стандартні). Ймовірності цих
значень відповідно дорівнюють:
125
0 1 2 3
1
5
3
5
2
5
х
P
;5
1
456
32114)1(
3
6
2
2
1
4
C
CCXP
;5
3
456121
321234)2(
3
6
1
2
2
4
C
CCXP
;5
1
4561
32114)3(
3
6
0
2
3
4
C
CCXP
Шуканий закон розподілу Х має вигляд (табл.. 12.2):
Таблиця 12.2
Х 1 2 3
Р 1/5 3/5 1/5
Контроль: .15
1
5
3
5
10
4
1
i
ip
Будуємо багатокутник розподілу випадкової величини Х (рис. 12.1).
Рис. 12.1
За формулою (12.2) маємо
М(Х) = 1 · 1/5 + 2 ·3/5 + 3 ·1/5 = 2
За формулою (12.5) D(Х) = М( Х2 ) – М
2 (Х):
D(Х) = 12 · 1/5 + 2
2 ·3/5 + 3
2 ·1/5 – 2
2 = 2/5.
6,05
2)()( XDX .
12.2 Закони розподілу і числові характеристики неперервних випадкових
величин
Під неперервною розуміють випадкову величину, можливі значення якої
цілком заповнюють деякий проміжок (скінчений або нескінчений).
Очевидно, що число можливих значень неперервної випадкової величини
нескінчене.
Слід відзначити, що дане означення неперервної випадкової величини не
є точним. Оскільки, на відміну від дискретної випадкової величини, яка може
бути задана переліком усіх її можливих значень і їх ймовірностей, неперервну
випадкову величину не можна задати таким способом, то виникає необхідність
126
в тому, щоб дати загальний спосіб завдання будь-яких типів випадкових
величин. З цією метою вводять функції розподілу ймовірностей випадкової
величини.
Функцією розподілу (інтегральною функцією) називають функцію F(х),
визначальну ймовірність того, що випадкова величина Х у результаті
випробування набуває значення, меншого за х, тобто
F(х) = Р( Х < х ). (12.8)
Тепер можна дати точніше означення неперервної випадкової величини.
Випадкову величину називають неперервною, якщо її функція розподілу є
неперервною, кусково-диференційованою функцією з неперервною похідною.
Властивостями функції розподілу є:
Властивість 1. Значення функції розподілу належать відрізку [0; 1],
тобто 0 ≤ F(х) ≤ 1.
Властивість 2. F(х) - неспадна функція, тобто F(х2) ≥ F(х1), якщо х2 >х1.
Наслідок 1. Ймовірність того, що випадкова величина набуде значення,
яке належить інтервалу (а; в) дорівнює приросту функції розподілу на цьому
інтервалі:
Р(а < Х < в) = F(в) – F(а).
Наслідок 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х
набуде одного певного значення, дорівнює 0.
Властивість 3. Якщо можливі значення випадкової величини належать
інтервалу ( а; в ), то:
1) F(х) = 0 при х ≤ а;
2) F(х) = 1 при х ≥ в.
Наслідок 3. Якщо можливі значенні неперервної випадкової величини
заповнюють усю числову вісь 0х, то вірними є наступні граничні
співвідношення:
0)(lim
хFx
; 1)(lim
хFx
Графік цієї функції подано на рис.2:
Рис. 12.2
0
F(x)
х
127
Спосіб завдання неперервної величини за допомогою функції розподілу
не є єдиним. Неперервну випадкову величину можна також задати,
використовуючи іншу функцію, яку називають щільністю розподілу, або
щільністю ймовірності (іноді її називають диференціальною функцією) і
позначають ƒ(х).
За означенням
)()( xFxf , (12.9)
тобто щільність розподілу є першою похідною від функції розподілу.
Із цього означення випливає, що
x
dxхfхF )()( . (12.9)
Властивостями щільності розподілу є:
Властивість 1. Щільність розподілу - невід'ємна функція, тобто
f(х) ≥ 0.
Властивість 2. Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від
- ∞ до + ∞ дорівнює одиниці, тобто
1)(
dxхf . (12.10)
Імовірність потрапляння неперервної випадкової величини до заданого
інтервалу
Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х набуває значення,
яке належить інтервалу (а; в)
),()()()( aFвFdxхfвXaP
в
a
(12.11)
де f(х) – диференціальна функція (щільність розподілу);
F(х) – інтегральна функція (функція розподілу).
Числові характеристики неперервної випадкової величини
Неперервна випадкова величина має такі самі числові характеристики, як
і дискретна.
Математичне сподівання неперервної випадкової величини Х, можливі
значення якої належать усій числовій осі О х, визначаються рівністю:
,)()(
dxхxfXM (12.12)
де f(х) – диференціальна функція.
Припускається, що невласний інтеграл збігається абсолютно.
Зокрема, якщо всі можливі значення Х належать до інтервалу (а; в), то
.)()( в
a
dxхxfXM (12.13)
Дисперсією неперервної випадкової величини називають математичним
сподіванням квадрата її відхилення.
Якщо можливі значення неперервної величини Х належать до осі 0х, то
дисперсія визначається рівністю
128
,)())(()( 2
dxхfXMхXD (12.14)
що рівносильне
,)()()( 22
XMdxхfхXD (12.15)
Зокрема, якщо всі можливі значення Х належать до інтервалу (а;в), то
,)())(()( 2
в
а
dxхfXMхXD або ).()()( 22 ХМdxхfхXDв
а
(12.15)
Зауважимо, що всі властивості математичного сподівання і дисперсії,
указані вище для дискретних величин, зберігаються і для неперервних величин.
Середнє квадратичне відхилення )(Х неперервної випадкової величини
визначається так само, як і величини дискретної - рівністю:
)()( XDX .
Приклад 2. Дана диференціальна функція неперервної випадкової вели-
чини Х:
.20
,215,0
,10
)(
хпри
xприx
хпри
xf
Знайти інтегральну функцію F(х).
Розв'язання. За формулою (23.10)
.)()(
x
dxхfхF
Якщо х ≤ 1, то f(х) = 0, отже, .00)(
dxхF
Якщо 1 < х ≤ 2, то
).(2
1
2
1
2
1
22|)5,0
2()5,0(0)( 2
2
1
1
2
xxxx
xx
dxxdxхFx
x
Якщо х > 2, то
.12
1
2
112|)5,0
2(0)5,0(0)(
2
1
2
1
2
2
1
xx
dxdxxdxхF
x
.21
,21)(2
1
,10
)( 2
хпри
xприхх
хпри
xF
12.3 Приклади відомих законів розподілу дискретних і неперервних
випадкових величин, їх числові характеристики
Приклади відомих законів розподілу дискретної випадкової величини
129
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х - числа появи події у
n незалежних випробуваннях, в кожному із яких ймовірність появи події є
сталою і рівною р, називають біноміальним.
Ймовірність можливого значення Х = к (числа к появи події в n
випробуваннях) обчислюють за формулою Бернуллі: knkk
nnqpCkР )( . (12.16)
Якщо число випробувань велике, а ймовірність появи події у кожному
випробуванні мала, то використовують формулу Пуассона:
,!
)(к
eкP
k
n
(12.17)
де пp .
У цьому випадку говорять, що випадкова величина розподілена за
законом Пуассона.
Справедливі формули обчислення основних числових характеристик для
основних законів розподілу ймовірностей. Біномний закон розподілу:
M( X) = np , D (X) = npq , (Х ) = npq (12.18)
Закон розподілу Пуассона:
M (X ) = np , D( X) , (Х) = . (12.19)
Приклади відомих законів розподілу неперервних випадкових величин
Закон рівномірного розподілу ймовірностей
Розподіл ймовірностей називають рівномірним, якщо на інтервалі, до
якого належать усі можливі значення випадкової величини, щільність розподілу
зберігає старе значення.
Щільність ймовірності рівномірного розподілу має вигляд:
.,0
;,1
;,0
)(
вхякщо
вхаякщоав
ахякщо
xf
Числові характеристики рівномірного розподілу:
М(Х) = 2
ba ,
12
)()(
2baXD
. (12.20)
Дійсно,
;2)(22
111)()(
222 ba
ab
ab
a
bx
abxdx
abdx
abxdxxxfХM
b
a
b
a
b
a
130
0 х a
f(x)
1
2
;12
)(
12
)(
12
2
4
2
34
)(
)(3
4
)(
3
1
4
)(1)()()(
22222222233
232222
abbababababaaabbba
ab
ab
bax
ab
badx
abxХMdxxfxХD
b
a
b
a
b
a
3212
)()()(
2 ababХDХ
.
Нормальний закон розподілу
Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової
величини, якщо її щільність розподілу має вигляд
,2
1)(
2
2
2
)(
аx
exf
(12.21)
де а - математичне сподівання Х;
середнє квадратичне відхилення Х.
Графік щільності нормального розподілу (крива Гауса) зображений на
рис. 12.3
Рис. 12.3
Питання для самоперевірки
1 Яка величина називається випадковою?
2 Як можна задати закон розподілу випадкової величини?
3 Яка випадкова величина називається дискретною?
4 Як прийнято задавати закон розподілу дискретної випадкової величини?
Чому?
5 У чому полягає біноміальний закон та закон Пуассона дискретної
випадкової величини?
6 Назвіть числові характеристики дискретної випадкової величини.
131
7 Сформулюйте основні властивості математичного сподівання.
8 Що називають дисперсією дискретної випадкової величини? Яким
чином вона її характеризує?
9 Перерахуйте властивості дисперсії випадкової величини.
10 Що називають середнім квадратичним відхиленням дискретної
випадкової величини? Для чого його вводять?
11 Яку випадкову величину називають неперервною?
12 Що називають інтегральною функцією? Сформулюйте її властивості.
13 Дайте означення диференціальної функції (щільності розподілу).
14 Сформулюйте властивості диференціальної функції.
ЛЕКЦІЯ 13 (тема 14)
Ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в
заданий проміжок. Правило трьох сигм. Закон великих чисел
13.1 Ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в
заданий проміжок. Правило трьох сигм.
13.2 Закон великих чисел
13.1 Ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини
в заданий проміжок. Правило трьох сигм
Ймовірність того, що Х набуде значення, яке належить до інтервалу
(α; β), обчислюється за формулою:
)()()(
аXР
, (13.1)
де dtexx t
0
2
2
2
1)(
- функція Лапласа.
Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менша за додатне
число ,
.2)(
aХP (13.2)
Зокрема, при а = 0 вірна рівність
.2)(
бХP (13.3)
Правило 3-х (трьох “сигм”). Визначимо ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової
величини Х з математичним сподіванням, рівним а і дисперсією 2. в інтервал
(а – 3; а + 3), тобто ймовірність того, що Х приймає значення, які
132
відрізняються від математичного сподівання не більш, ніж на три
середнеквадратичних відхилення:
P(а – 3< < а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3),
За таблицею Ф(3)=0,49865, звідки 2Ф(3) практично дорівнює одиниці.
Таким чином, можна зробити висновок про те, що нормально розподілена
випадкова величина приймає значення, які відхиляються від математичного
сподівання не більш, ніж на 3, тобто P(а – 3< < а + 3) 0,997.
Приклад 1. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення
нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно дорівнюють 20 і 5.
Знайти ймовірність того, що в результаті випробовування Х набуде значення,
яке належить інтервалу ( 15; 25 ).
Розв'язання. Враховуючи, що випадкова величина Х розподілена нор-
мально, а також беручи до уваги, що 25,15,5,20 a , за
формулою (6,7) знаходимо
.6826,03413,02)1(2
)1()1()1()1(5
2015
5
2025)2515(
Ф
ФФФФФФХP
Значення функції Лапласа 3413,0)1( Ф знайдено за додатком Е.
Враховано також, що )()( xФxФ .
13.2 Закон великих чисел
1. Нерівність Чебишева. Ймовірність того, що відхилення випадкової
величини х від її математичного сподівання за абсолютною величиною менше
за додатне число ε, не менше, ніж на 1 – 2
)(
xD:
2
)(1))((
ХDХMХP . (13.4)
2. Теорема Чебишева. Якщо послідовність попарно незалежних
випадкових величин Х1, Х2, ..., Хп, ... має скінчене математичне сподівання і
дисперсії цих величин рівномірно обмежені (не перевищують стале число С), то
середнє арифметичне випадкових величин збігається за ймовірністю до
середнього арифметичного їх математичних сподівань, тобто якщо ε - будь-яке
додатне число, то
1))(11
(lim11
n
ii
n
ii
nXM
nХ
nP . (13.5)
3. Теорема Бернуллі Якщо в кожному з n незалежних випробувань
ймовірність p появи події А є сталою, то як завгодно близька до одиниці
ймовірність того, що відхилення відносної частоти від імовірності p за
абсолютною величною буде як завгодно малим, якщо число випробувань
133
досить велике. Інакше, якщо ε - як завгодно мале додатне число, то при
виконанні умов теореми має місце рівність
1)(lim
рn
mP
n. (13.6)
Із нерівності Чебишева випливає, що
21)(
npqnpmP ,
або
21)(
n
pqр
n
mP , (13.7)
а також формула, яка виражає теорему Чебишева:
2
1))((
n
CХMХP . (13.8)
Приклад 2. У освітлювальну мережу паралельно включено 20 ламп.
Імовірність того, що за час Т лампа буде включена, дорівнює 0,8.
Скориставшись нерівністю Чебишева, оцінити ймовірність того, що абсолютна
величина різниці між числом включених ламп і середнім числом
(математичним сподіванням) включених ламп за час Т виявиться: а) меншою за
три; б) не меншою за три.
Розв'язання.
а) Позначимо через Х дискретну випадкову величину - число включених
ламп за Т час.
Тоді
М(Х) = np = 20 · 0,8 = 16,
D(Х) = npq = 20 · 0,8 · 0,2 = 3,2.
Скористаємося нерівністю Чебишева:
.)(
1))((2
XD
XMXP
Підставляючи до цієї нерівності М(Х) = 16, D(Х) = 3,2, ε = 3, отримаємо
.64,09
2,31)316( XP
б) Події 316 X і 316 X є протилежними, тому сума їх
ймовірностей дорівнює одиниці.
Отже, .36,064,01)316( XP
Приклад 3. Дано: 9,0))(( XMXP і D(Х) = 0,009.
Використовуючи нерівність Чебишева, знайти .
Розв'язання. Згідно з нерівністю (5.8)
2
)(1))((
XDXMXP
134
і з урахуванням, що 9,0))(( XMXP , а D(Х) = 0,009, матимемо
9,0009,0
12
або 2 0,0090,09
1 0,9
.
Звідки .3,009,0
Питання для самоперевірки
1 Запишіть формулу ймовірності попадання нормально розподіленої
випадкової величини у ладанний проміжок.
2 Сформулюйте правило трьох сигм.
3 У чьому полягає закон великих чисел?
4 Сформулюйте нерівність Чебишева.
5 формулюйте теорему Чебишева.
6 Сформулюйте теорему Бернуллі.
Лекція 14 (тема 15)
Вибірковий метод. Статистичний розподіл вибірки. Емпірична функція
розподілу. Вибіркові характеристики
14.1 Генеральна та вибіркова сукупності. Статистичний розподіл вибірки.
Емпірична функція розподілу
14.2 Вибіркові числові характеристики
14.1 Генеральна та вибіркова сукупності. Статистичний розподіл вибірки.
Емпірична функція розподілу
Математична статистика – це галузь математичної науки, яка
займається статистичним описом результатів експериментів і спостережень, а
також побудовою математичних моделей, що містять поняття ймовірності.
Теоретичною базою математичної статистики є теорія ймовірності.
Означення 1. Вся сукупність однорідних об’єктів, яка підлягає вивченню,
називається генеральною сукупністю.
Означення 2. Частина випадково відібраних об’єктів з генеральної
сукупності називається вибіркової сукупністю або вибіркою.
Означення 3. Число об’єктів у генеральній сукупності або вибірки
називається об’ємом генеральної сукупності або вибірки і позначається
відповідно через N і n.
Означення 4. Вибірка є представницькою (репрезентативною), якщо
вона утворена випадково і достатньо добре відтворює генеральну сукупність.
Із означення 4 випливає, що вибірка може бути репрезентативною,
якщо правильно організувати спосіб відбору з генеральної сукупності.
Завдання математичної статистики полягає в тому, щоб на основі деяких
властивостей сукупності елементів, узятих з генеральної сукупності (вибіркової
135
сукупності), зробити певні висновки про властивості всієї генеральної
сукупності.
Способи відбору:
1. Випадкова вибірка з поверненням (повторний відбір);
2. Випадкова відбірка без повернення (без повторний відбір);
3. Механічний відбір;
4. Типовий відбір;
5. Серійний відбір.
Механічний відбір – вся генеральна сукупність механічно розділяється
на стільки частин, скільки елементів повинно бути у вибірки. Потім з кожної
частини випадково по одному елементу складається вибірка.
Типовий відбір використовується, коли у виготовлені елементів вибірки
приймають участь різні станки, цеха. Вся продукція розбивається на частини і
далі як у механічному відбору формують випадкову вибірку.
Серійний відбір – об’єкти вибираються з генеральної сукупності не по
одному, а «серіями».
Статистичний розподіл вибірки
Нехай з генеральної сукупності кількісної ознаки Х об’ємом N
елементів виконана вибірка об’ємом n елементів, причому ознака Х прийняла
значення х1, х2,…, хк, при цьому значення х1 повторилось n1 разів, х2 – n2
разів,…, хк – nk разів, де n1 + n2 +…+ nk =
k
i 1
ni=n.
Означення 5. Якщо ознака Х приймає тільки ізольовані одне від одного
значення, то вона називається дискретною, а якщо вона може приймати
значення, які скільки завгодно мало відрізняються одне від одного, то вона
називається неперервною.
Означення 6. Значення х1, х2,…, хк, які приймає ознака Х, називаються її
варіантами.
Означення 7. Послідовність варіант, виписаних у порядку зростання,
називається варіаційним рядом.
Означення 8. Кількість спостережень n1, n2,…, nk разів появи відповідно
варіант х1, х2,…, хк називаються частотами варіант, а відношення n
ni =Wi
(i = 1, 2,…, k) – відносними частотами (частостями).
Означення 9. Таблиця, яка встановлює відповідність між: а) варіантами
та їх частотами; б) варіантами та їх відносними частотами, називається
статистичним розподілом вибірки, тобто
Таблиця 14.1
xi x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk
136
або
Таблиця 14.2
11
k
iiW .
Статистичний розподіл вибірки є аналогом (реалізацією) розподілу
ознаки (випадкової величини) Х.
Зауваження. У випадку, коли ознака Х є неперервною, будувати
варіаційний ряд не дуже зручно за великою кількістю вихідних даних. Тому
число інтервалів k за формулою Стерджеса рекомендовано вибирати
k = 1+3,322lgn, а величина інтервала h=n
xx
lg322,31
minmax
, де хмах – найбільше
значення ознаки, хmin – найменше значення ознаки, n – число вихідних даних
(об’єм вибірки).
За початок першого інтервалу вибирають величину хпоч. = хmin -2
h, а
кінець останнього інтервалу (хкінц.) повинен задовольняти умові
хкінц.-h≤хmax<хкінц..
Приклад 1. Під час дослідження кількісної ознаки Х із генеральної
сукупності було отримано вибірку
4, 3, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 2, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 3, 4, 1, 3, 4 (14.1)
Знайти об’єм вибірки та її статистичний розподіл частоти та відносних
частот.
Розв’язання. Оскільки вибірка складається з 20 значень, то об’єм
вибірки n = 20. Вважаючи означення дискретної ознаки, вона задовольняє її
умовам.
Побудуємо варіаційний ряд вибірки, тобто розташуємо варіанти в
порядку їх зростання.
1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7. (14.2)
У даній вибірці всього сім різних значень, тобто варіант 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Знайдемо їх частоти n1=2; n2=2; n3=4; n4=6; n5=3; n6=2; n7=1; та їх відносні
частоти за формулою iW =n
ni ; W1=20
2=0,1; W2=
20
2=0,1; W3=
20
4=0,2;
W4=20
6=0,3; W5=
20
3=0,15; W6=
20
2=0,1; W7 =
20
1=0,05.
Запишемо шукані статистичні розподіли.
Таблиця 14.3
xi x1 x2 … xk
Wi n
n1 n
n2 … n
nk
Xi 1 2 3 4 5 6 7
ni 2 2 4 6 3 2 1
137
n=∑ni=20
Таблиця 14.4
Контроль ∑ Wi=1
Приклад 2. При вимірюванні діаметрів валиків після шліфовки
одержані наступні результати: 6,75; 6,77; 6,77; 6,73; 6,76; 6,74; 6,70; 6,75; 6,71;
6,72; 6,72; 6,79; 6,71; 6,78; 6,73; 6,70; 6,73; 6,77; 6,75; 6,74. Знайти об’єм вибірки
та побудувати її статистичні розподіли.
Розв’язання. Об’єм вибірки дорівнює n=20. Так як варіанти мало
відрізняються одне від одного, то маємо інтервальний ряд. Для його побудови
треба знайти кількість інтервалів k=1+3,322lgn, то довжину кожного інтервалу
h=k
xx minmax . k=1+3,322·lg20=1+3,322·1,3=1+4,32=5,32;
хmax=6,79; хmin=6,70; h=32,5
70,679,6 ≈0,02. За початок першого інтервалу
вибираємо величину хпоч.=хmin-2
h=6,70-0,01=6,69.
Будуємо статистичні розподіли інтервального варіаційного ряду, для
якого кінцеві значення інтервалів не входять в кількість значень варіантів, які
попали в даний інтервал.
Таблиця 14.5
Контроль: n=2+4+5+4+4+1=20
Таблиця 14.6.
Контроль: W=0,1+0,2+0,25+0,2+0,2+0,05=1
Для графічного зображення варіаційних рядів найбільш часто
використовуються емпірична функція розподілу (комулята), полігон,
гістограма.
xi 1 2 3 4 5 6 7
Wi 0,1 0,1 0,2 0,3 0,15 0,1 0,05
(xi;xi+1) 6,69-6,71 6,71-6,73 6,73-6,75 6,75-6,77 6,77-6,79 6,79-6,81
ni 2 4 5 4 4 1
(xi;xi+1) 6,69-6,71 6,71-6,73 6,73-6,75 6,75-6,77 6,77-6,79 6,79-6,81
Wi 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05
138
Означення 10. Емпіричною функцією розподілу )(* xF називається
відносна частота (частость) того, що ознака (випадкова величина) Х прийме
значення, менше заданого аргументу х, тобто
)(* xF =.нак
xW =n
nнакx
.
(14.3)
Властивості )(* xF :
1) 0 )(* xF 1;
2) F( minx )=0, де minx є найменшою варіантою варіаційного ряду;
3) )(xF maxхх =1, де maxx є найбільшою варіантою варіаційного ряду;
4) )(xF є неспадною функцією аргументу х, тобто )( 2xF )( 1xF при
12 xx .
Полігон частот і відносних частот (частостей)
Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно
у вигляді ламаної лінії, відрізки якої з’єднують точки
( 1x ; 1n ),( 2x ; 2n ),…( kx ; kn ), або ( 1x ; 1w ),( 2x ; 2w ),…,( kx ; kw ).
Перша ламана лінія зветься полігоном частот, друга – полігоном
відносних частот.
Полігон, як правило, застосовується для зображення дискретного
варіаційного ряду.
Приклад 3. За даним дискретним статистичним розподілом вибірки
Таблиця 14.7
ix -6 -4 -2 2 4 6
in 5 10 15 20 40 10
iw 0,05 0,1 0,25 0,2 0,4 0,1
Необхідно:
1. Побудувати )(* xF і графічно зобразити;
2. Графічно зобразити полігони частот і відносних частот.
Розв’язання.
1. Згідно з означенням та властивостями )(* xF має такий вигляд:
139
)(* xFn
nнакx
.
=
0,1
9,0
5,0
3,0
15,0
05,0
0
6
64
4222
24
46
6
x
x
xx
x
x
x
Зобразимо функцію )(* xF графічно
-2-4-6 4 6 Xi
F*(x)
0,05
0,15
0,3
0,5
0,9
Рис.14.1
2. Будуємо полігон частот і відносних частот.
-2-4-6 4 6 Xi
ni
10
15
40
Рис.14.2
140
-2-4-6 4 6 Xi
Wi
0,05
0,1
0,15
0,2
0,4
Рис.14.3
Зауваження. При побудові полігона інтервального варіаційного ряду за
значення варіанти ix вибирається середина частинних інтервалів, а в якості
частот in та відносних частот iw вибирається їх значення для відповідного
інтервалу.
Приклад 4. Вибірка задана інтервальним розподілом частот (табл.14.8):
Таблиця 14.8.
100 in
Побудувати полігон відносних частот.
Розв’язання. Запишемо інтервальний розподіл відносних частот (табл.14.9):
Таблиця 14.9.
1 iw
Знайдемо
середини частинних інтервалів
серx1 = 5,1
2
21
2
21
xx; 5,2
2
32
2
322
xxx
сер;
5,32
43
2
433
xxx
сер; 5,4
2
54
2
544
xxx
сер;
5,52
65
2
655
xxx
сер; 5,6
2
76
2
766
xxx
сер;
5,72
87
2
877
xxx
сер.
Відкладемо на осі абсцис одержані середини частинних інтервалів серix , а
на осі ординат – значення відповідних їм відносних частот iw . Послідовно
( ix ; 1ix ) (1;2) (2;3) (3;4) (4;5) (5;6) (6;7) (7;8)
in 19 9 12 14 7 22 17
ix( ; )1ix (1;2) (3;4) (4;5) (5;6) (6;7) (7;8)
iw 0,19 0,12 0,14 0,07 0,22 0,17
141
з’єднуючи між собою точки ( серix ; iw ) – відрізками, отримуємо полігон
відносних частот.
Xi
Wi
1,5 2,5 4,5 5,5 6,5 7,5
0,07
0,09
0,12
0,14
0,17
0,19
0,66
Сер
Рис.14.4
Означення 11. Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що
складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною h ,
а висоти дорівнюють відношенню h
ni (щільність частоти). Площа і-го
частинного прямокутника ii n
h
nh , тобто сумі частот варіант, що потрапили в
і-й частинний інтервал. Площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот,
тобто обсягу вибірки, тобто площа гістограми частот дорівнює nni .
Аналогічно, гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру,
що складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною
h , а висоти дорівнюють відношення n
wi (щільність відносної частоти). Площа і-
го частинного прямокутника дорівнює ii w
h
wh , тобто
k
iiwS
1
1, площа
гістограми відносних частот дорівнює одиниці.
Зауваження 1. Гістограму можна побудувати тільки для інтервального
статистичного розподілу.
Зауваження 2. Очевидно, що при збільшенні n можна вибрати все більш
малі інтервали (h), при цьому гістограма буде наближатися до деякої кривої,
яка обмежує площу близьку до 1. Ця крива є графіком щільності розподілу
випадкової величини X.
Зауваження 3. Комулятивна крива (комулята) – крива накопичених
частот або відносних частот. Для дискретного статистичного розподілу
комулятою є ламана лінія, яка з’єднує точки );( .накii nx , );( .нак
ii wx або
(i=1,2,…,k). Для інтервального статистичного розподілу є ламана лінія, яка
142
починається з точки, абсциса яка дорівнює початку першого інтервалу, а
ордината – накопиченій частоті, рівній нулю.
Зауваження 4. Полігон і гістограма аналогічні криві розподілу ознаки X,
а емпірична функція розподілу )(* xF - функція розподілу випадкової величини
X.
Розглянемо приклад побудови гістограми, полігона частот для
інтервального статистичного розподілу.
Приклад 4. Вибірку задано інтервальним розподілом частот
Таблиця 14.10
( ), 1ii xx (1;2) (2;3) (3;4) (4;5) (5;6)
in 13 9 5 16 7
Розв’язання.
1) Побудуємо гістограму частот.
Знайдемо об’єм вибірки n=13+9+5+16+7=50 і довжину інтервалів
11 ii xxh , а також висоти прямокутниківh
ni .
131
131 h
n; 9
1
92 h
n; 5
1
53 h
n; 16
1
164 h
n; 7
1
75 h
n. Відповідно
до заданих даних побудуємо прямокутники з основою 2h і висотами h
ni .
Xi1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
ni
1 2 3 4 5 6
5
7
9
13
16
Полігон частот
Рис.14.5
Прямокутники утворюють гістограму частот.
2) Для побудови полігона частот треба з’єднати середини верхньої основи
кожного прямокутника ламаною лінією.
143
14.2 Вибіркові характеристики
Для подальшого вивчення зміни значень випадкової величини
використовують числові характеристики варіаційних рядів, які зображають
деякі сталі величини, які подають варіаційний ряд в цілому і відображають
властивості, сукупності закономірностей, що вивчаються. До таких числових
характеристик відносяться середня величина ряду розподілу, величини, які
відображають варіацію змін – розмах, дисперсія, середнє квадратичне
відхилення та інші.
1. Вибіркова середня величина вx вибірки. Дана величина визначається
формулами
n
nx
x
k
іii
в
1 (для упорядкованої вибірки) або i
n
iiв wxx
1
(14.4)
де ix - значення і-ої варіанти, in - частота і-ої варіанти, n - об’єм вибірки, k –
кількість варіант у вибірках, iw - відносна частота і-ої варіанти. Для
інтервального варіаційного ряду ix є серединою інтервалів варіаційного ряду.
n
x
x
n
ii
в
1 (для невпорядкованої вибірки) (14.5)
Статистичний зміст середньої величини заклечається у тому, що навколо
неї концентруються інші результати спостережень.
2. Відхил варіант визначають формулою
iвi nxx )( , ki ,1 14.6)
При цьому очевидно, що 0)(1
i
k
iвi nxx
3. Модою Мо* вибірки варіант називається варіанта, якій відповідає
найбільша частота. Якщо варіаційний ряд має одну таку частоту, то ряд зветься
одномодальним, дві – двомодальним і т.д. Для визначення моди інтервального
статистичного розподілу необхідно знайти такий частинний інтервал, що має
найбільшу частоту появи.
Мода обчислюється за формулою
hnnn
nnxMo
MoMoMo
MoMoi
11
11
2*
, (14.7)
де 1ix - початок модального інтервалу; h - довжина часткового інтервалу;
Mon - частота модального інтервалу; 1Mon - частота домодального інтервалу;
1Mon - частота післямодального інтервалу.
4. Медіана Ме*. Медіаною дискретного статистичного розподілу
називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві рівні частини за
кількістю варіант. Для визначення медіани інтервального статистичного
розподілу вибірки необхідно визначити медіанний частковий інтервал. Якщо,
144
наприклад, на і-му інтервалі ii xx ,1 5,0)(* 1 ixF і 5,0)(* ixF , то беручи
до уваги те, що досліджувана ознака X є неперервною і при цьому )(* xF є не
спадною функцією, всередині інтервалу ii xx ,1 неодмінно існує таке значення
*Mex , де 5,0*)(* MeF . Медіана обчислюється за формулою
hxFxF
xFxMe
ii
ii
)(*)(*
)(*5,0*
1
11
, (14.8)
де h = ix - 1ix - довжина інтервала.
5. Розмах R.
Для грубого розходження варіант відносно середнього значення вx
застосовується величина, яка дорівнює різниці між найбільшою і найменшою
варіантами варіаційного ряду minmax xxR (14.9)
6. Дисперсія вибірки.
Для більш точного оцінювання розходження варіант вибірки відносно вx
вибирається дисперсія.
Вибірковою дисперсією вD називається середній квадратичний відхил
варіант від їх середньої арифметичної, яку можна обчислити за формулами.
i
k
iвi
в nn
xx
D
1
2)(
(для упорядкованої вибірки) 4.10)
n
xx
D
n
iвi
в
1
2
2
)(
(для невпорядкованої вибірки) (14.11)
Дисперсію вD , як правило, обчислюють за формулою
21
2
)( в
k
iii
в xn
nx
D
(14.12)
7. Середнє квадратичне відхилення вD вибірки.
В якості міри розходження (варіації) бажано мати характеристику, яка
вимірюється в тих же одиницях, що і значення ознаки. Такою характеристикою
є вибіркове середнє квадратичне відхилення в , яке обчислюється за
формулою
n
nxx
D
k
iiвi
вв
1
2)(
(14.13)
8. Коефіцієнт варіації .
Для порівняння оцінок варіацій статистичних рядів з різними значеннями
0вx вводиться поняття коефіцієнта варіації, який дорівнює процентному
145
відношення вибіркового середнє-квадратичного відхилу в до середньої
арифметичної вx , тобто:
%100в
в
x
( вx )0 14.14)
Зауваження. Для визначення вx , вD , в для інтервального статистичного
розподілу вибірки треба перейти до дискретного статистичного розподілу,
варіантами якого є середина часткових інтервалів
221
* hx
hxx iii , який має вигляд:
Таблиця 14.11
221
* hx
hxx iii
*1x
*2x
*3x … *
kx
in 1n 2n 3n … kn
Приклад 14.2. За даними інтервального статистичного розподілу вибірки
(табл.14.12):
Таблиця 14.12
h =4 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24
in 6 14 20 25 30 5
визначити bX , bD , b , Мо*, Ме*.
Розв’язання.
1.Застосуємо формулу (14.4) n
nx
X
k
і
ii
b
1 . Для інтервального варіаційного
ряду ix є серединою інтервалів варіаційного ряду.
Тому будуємо дискретний варіаційний ряд:
хi 2 6 10 14 18 22
in 6 14 20 25 30 5
Отже, вибіркове середнє bX = 96,125302520146
52230182514201014662
.
2. bD
2222222
)96,12(5302520146
5223018251420101466227,7184
3. 265,57184,27 b .
4. Використовуючи формулу (14.8) обчислимо значення Ме*.
146
121 ix , 16ix , 41 ii xxh , 4,0)(* 1 ixF , 65,0)(* ixF ,
i ,1344,065,0
4,05,012*
Me
Відповідно до таблиці 11 найбільшу частоту має інтервал (16-20),
значення якої дорівнює 30, тому за формулою (1.7) обчислимо воду Мо*
інтервального розподілу, використовуючи значення 161 ix , 41 ii xxh ,
30Moh , 251 Moh , 51 Moh .
7,164525302
253016
2*
11
11
h
nnn
hhxMo
MoMoMo
MoMoi
Таким чином, для вихідного інтервального статистичного розподілу,
заданого таблицею 14.11 медіана Ме*=13,6; Мо*=16,7.
Питання для самоперевірки
1. Що називається генеральною і вибірковою сукупностю?
2. Як будується статистичний розподіл частот?
3. Як геометрично зображується статистичний розподіл частот?
4. Запишіть формули вибіркових числових характеристик.
147
ЛЕКЦІЯ 15 (тема 16)
Статистичні оцінки параметрів розподілу. Методи визначення точкових
статистичних оцінок. Надійна ймовірність та надійний інтервал.
Статистичний критерій перевірки гіпотези. Перевірка гіпотези про
нормальний розподіл. Критерій згоди Пірсона
15.1 Статистичні оцінки параметрів розподілу. Методи визначення точкових
статистичних оцінок
15.2 Інтервальні оцінки. Надійна ймовірність та надійний інтервал
15.3 Довідковий матеріал. Статистичний критерій перевірки гіпотези.
Перевірка гіпотези про нормальний розподіл. Критерій згоди Пірсона
15.1 Статистичні оцінки параметрів розподілу. Методи визначення
точкових статистичних оцінок
Сформулюємо задачу оцінки параметрів генеральної сукупності у
загальному вигляді. Нехай розподіл ознаки Х генеральної сукупності задається
функцією ймовірності ( , ) ( )i ix P X x (для дискретної випадкової
величини) або щільністю ймовірності ( , )x (для неперервної випадкової
величини), яка містить невідомий параметр θ.
Для обчислення параметра θ неможливо дослідити усі елементи
генеральної сукупності. Тому параметр θ оцінюють за допомогою вибірки, яка
складається із значень 1 2, ,..., nx x x . Ці значення можна розглядати як часткові
значення (реалізації) п незалежних випадкових величин 1 2, ,..., nX X X , кожна з
яких має той же самий закон розподілу, що і випадкова величина Х.
Означення. Оцінкою θ* параметра θ називають будь-яку функцію
результатів спостережень над випадковою величиною Х (інакше –
статистикою), за допомогою якої судять про значення параметра θ:
* *
1 2( , ,..., )n nX X X .
Оскільки 1 2, ,..., nX X X – випадкові величини, то й оцінка θ*
також є
випадковою величиною, яка залежить від закону розподілу випадкової
величини Х і числа п.
Параметри генеральної сукупності Г Г Г, , ,Мo,M X X D Ме, xyr є величинами
сталими, але їх числове значення невідоме. Ці параметри оцінюються параметрами
вибірки: ,Мo,,, *BBB Dx ,,Мe B
* r які дістають у процесі обробці вибірки. Вони є
величинами непередбачуваними, тобто випадковими.
Точкові статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності
Статистична оцінка θ* параметраθ , яка визначається одним числом
(точкою), називається точковою.
Завжди існує множина функцій від результатів спостережень
1 2, ,..., nX X X , які можна розглядати у якості оцінки параметра θ . Тому виникає
148
питання: якими властивостями має володіти оцінка, щоб вважати її якісною у
деякому сенсі? Серед найбільш важливих властивостей розглядають наступні:
незміщеність, ґрунтовність, ефективність.
Означення. Точкова статистична оцінка називається незміщеною, коли
математичне сподівання цієї оцінки точно дорівнює оцінювальному параметру
θ, а саме:
θ θ*M . (15.1)
Якщо
θ,θ* M (15.2)
точкова статистична оцінка *θ називається зміщеною відносно параметра
генеральної сукупності θ.
Різниця
δθθ* (15.3)
називається зміщенням статистичної оцінки .θ*
Оцінювальний параметр може мати кілька точкових незміщених
статистичних оцінок. Тому порівнюють їх дисперсії як міру розсіювання і
виявляють ту, яка має меншу дисперсію.
Означення. Точкова статистична оцінка називається ефективною, коли
при заданому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію.
Означення. Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у
разі необмеженого збільшення обсягу вибірки *θ наближається до
оцінювального параметра θ, а саме:
.1θθlim *
δPn
(15.4)
Методи визначення точкових статистичних оцінок
Існують три методи визначення точкових статистичних оцінок для
параметрів генеральної сукупності.
Метод аналогій. Цей метод базується на тому, що для параметрів
генеральної сукупності вибирають такі самі параметри вибірки, тобто для
оцінки ,Г XМX ГD вибирають аналогічні статистики — ,Bx .BD
Метод найменших квадратів. Згідно з цим методом статистичні оцінки
визначаються з умови мінімізації суми квадратів відхилень варіант вибірки від
статистичної оцінки .θ*
Отож, використовуючи метод найменших квадратів, можна, наприклад,
визначити статистичну оцінку для XМX Г . Для цього скористаємося
функцією
n
iii nxu
0
2* .θ Використовуючи необхідну умову існування
екстремуму, дістанемо
149
*0
2 θ 0n
*
i i
i
ux n
,
звідки
*
1 1
θ 0n n
i i i
i i
x n n
,
.θ B1* xn
nxn
iii
Звідси для Гθ X точковою статистичною оцінкою буде В*θ x — вибіркова
середня. Для генеральної середньої XМX Г точковою статистичною
оцінкою є Bx , для генеральної дисперсіїГD — вибіркова дисперсія
BD .
Можна показати, що точковою незміщеною статистичною оцінкою для
генеральної середньої XМX Г є вибіркова середня .Bx Дійсно,
.
щоте,Ураховуючи 1
Г
1B a
n
na
n
a
aXxMn
xM
n
x
MxM
n
i
i
i
n
ii
Отже, .ГB XxM
Вибіркова дисперсія BD є точковою зміщеною статистичною оцінкою
для генеральної дисперсії ГD , де n
n 1 — коефіцієнт зміщення, який
зменшується зі збільшенням обсягу вибірки n.
Якщо розглянути величину 1n
nBD , то її математичне сподівання
.1
111ГГBB DD
n
n
n
nDM
n
nD
n
nM
Величина 1n
nBD є точковою незміщеною статистичною оцінкою для
генеральної дисперсії ГD , називається виправленою дисперсією і позначається
через 2S :
B
2
1D
n
nS
або
.
11
1
2
B1
2
B2
n
xx
n
xx
n
nS
n
ii
n
ii
(15.5)
Величину
B1
Dn
nS
(15.6)
150
називають виправленим середнім квадратичним відхиленням. Виправлене
середнє квадратичне відхилення є зміщеною точковою статистичною оцінкою
для Гσ ,
Приклад. 200 однотипних деталей були піддані шліфуванню. Результати
вимірювання наведені як дискретний статистичний розподіл, поданий у
табличній формі (табл..15.1):
Таблиця 15.1
ix ,
мм
3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4
in 1 22 40 79 27 26 4 1
Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для ,Г хМX ГD .
Розв’язання. Оскільки точковою незміщеною оцінкою для ГX є ,Bx то
обчислимо
n
nxx ii
B
200
14,443,4262,4271,4790,4409,3228,317,3
.мм004,4200
8,808
200
4,42,172,1097,1103161566,837,3
Для визначення точкової незміщеної статистичної оцінки для ГD обчислимо
BD :
n
nx ii2
200
790,4409,3228,317,32222
200
14,443,4262,4271,42222
200
36,1996,7364,45887,45312644,60868,31769,13
.048,16200
6,3209
.015984,0032016,16048,16
004,4048,1622
B
2
B
xn
nxD ii
Тоді точкова незміщена статистична оцінка для ГD становитиме:
.мм01606,0015984,0199
200015984,0
1200
200
1
2
B
2
Dn
nS
15.2 Інтервальні оцінки. Надійна ймовірність та надійний інтервал
Точкові статистичні оцінки *θ є випадковими величинами, а тому
наближена заміна θ на *θ часто призводить до істотних похибок, особливо коли
обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні
оцінки.
Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів,
називається інтервальною.
151
Різниця між статистичною оцінкою *θ та її оцінювальним параметром θ,
взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:
,δθθ* (15.7)
де δ є точністю оцінки.
Оскільки *θ є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому
нерівність (26.7) справджуватиметься з певною ймовірністю.
Імовірність, з якою береться нерівність (26.7), тобто
γδθθ* P , (15.7)
називають надійністю.
Рівність (26.7) можна записати таким чином:
γδθθδθ 2* P . (15.8)
Інтервал δθδ;θ , що покриває оцінюваний параметр θ генеральної
сукупності з заданою надійністю , називають надійним.
Побудова надійного інтервалу для для оцінювання математичного
сподівання ГX при відомому значенні Гσ із заданою надійністю при
нормальному розподілі
Нехай ознака Х генеральної сукупності має нормальний закон розподілу.
Побудуємо довірчий інтервал для ГX , знаючи числове значення середнього
квадратичного відхилення генеральної сукупності ,σГ із заданою надійністю γ.
Оскільки Bx як точкова незміщена статистична оцінка для хМX Г має
нормальний закон розподілу з числовими характеристиками ,ГB aXxM
n
x ГB
, то, скориставшись (26.8), дістанемо
γδB axP . (15.9)
Випадкова величина ax B має нормальний закон розподілу з числовими
характеристиками
;0BB aaaxMaxM
;ГBB
n
DxDaxD
.σ
σ ГB
nx
Тому
n
ax
Г
B
матиме нормований нормальний закон розподілу N(0; 1).
Звідси рівність (26.9) можна записати, позначивши ,Г
x
n
таким чином:
152
γГ
B
x
n
axP (15.10)
або
.ГB
ГB
n
xxa
n
xxP
Згідно з формулою нормованого нормального закону
ФaXP 2
для (26.10) вона набирає такого вигляду:
.2Г
B
xФx
n
axP (15.11)
Із рівності (26.11) знаходимо аргументи х, а саме:
2 0,5 .Ф х Ф х
Аргумент х знаходимо за значенням функції Лапласа, яка дорівнює 0,5 γ
за таблицею (додаток Б).
Отже, надійний інтервал для ГX при відомому значенні Гσ має вигляд
n
xxa
n
xx Г
BГ
B
, (15.12)
що можна зобразити умовно на рис. 15.1. аX Г
n
xx Г
B
n
xx Г
B
Рис. 15.1
Величина n
x Г називається точністю оцінки, або похибкою вибірки.
Приклад. Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення
деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю 99,0
побудувати надійний інтервал для середньої величини всієї партії деталей,
якщо генеральна дисперсія дорівнює 2cм09,0 .
Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати:
,Bx Г , n, x.
Із умови задачі маємо: ,см15В x 2ГГ см09,0D ,cм3,0 40n ,
тобто 40 6,32n . Величина х обчислюється з рівняння
.495,099,05,05,0 хФ
0,495, 2,58 за таблицею значень функції Лапласа .Ф х х
Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:
153
.см88,1412,01532,6
58,23,015Г
B
n
xx
.см12,1512,01532,6
58,23,015B
n
хx Г
Таким чином, маємо:
12,1588,14 Г X .
Отже, з надійністю 0,99 (99% гарантії) оцінюваний параметр ГX
перебуває усередині інтервалу [14,87; 15,13].
Побудова надійного інтервалу для ГX при невідомому значенні Гσ
із заданою надійністю
Для малих вибірок, з якими стикаємося, досліджуючи різні ознаки в
техніці чи економіці, для оцінювання aX Г при невідомому значенні Г
неможливо скористатися нормальним законом розподілу. Тому для побудови
довірчого інтервалу застосовується випадкова величина
,B
n
S
axt
(15.13)
що має розподіл Стьюдента з 1 nk ступенями свободи.
Тоді (26.13) набирає такого вигляду:
t
tfn
Stxa
n
StxPt
n
S
axP
0BB
B ,2
оскільки tf для розподілу Стьюдента є функцією парною.
Обчисливши за даним статистичним розподілом Bx , S і визначивши за
таблицею розподілу Стьюдента значення t , будуємо надійний інтервал
.BBn
Stxa
n
Stx
(15.14)
Тут 1, nkt обчислюємо за заданою надійністю γ і числом ступенів
свободи 1 nk за таблицею (додаток Г).
Приклад. Випадково вибрана партія з двадцяти приладів була
випробувана щодо терміну безвідмовної роботи кожного з них tі. Результати
випробувань наведено у вигляді дискретного статистичного розподілу (табл..
15.2):
Таблиця 15.2
ti 100 170 240 310 380
ni 2 5 10 2 1
Із надійністю 99,0 побудувати надійний інтервал для «а» (середнього
часу безвідмовної роботи приладу).
Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знайти
середнє вибіркове і виправлене середнє квадратичне відхилення.
154
Обчислимо Bx :
.5,22220
4450
20
138023101024051702100B
n
ntx ii
Отже, дістали .год5,222B x
Визначимо DB:
.8555320
1000771
20
138023101024051702100 222222
n
nt ii
.75,434825,50649855535,2228555322
B
2
B
xn
ntD ii
Отже, DB = 4348,75.
Виправлене середнє квадратичне відхилення дорівнюватиме:
.год66,6775,4348120
20
1B
D
n
nS
За таблицею значень 99,00
t
dtxf (додаток В) розподілу Стьюдента за
заданою надійністю 99,0 і числом ступенів свободи 1 nk = 20 – 1 = 19
знаходимо значення 19,99,0 kt .861,2
Обчислимо кінці надійного інтервалу:
год.2,179472,4
66,67861,25,222
20
66,67861,25,222B
n
Stx
.год8,265472,4
66,67861,25,222
20
89,67861,25,222B
n
Stx
Отже, з надійністю 99,0 можна стверджувати, що аX Г буде міститися
в інтервалі
8,2652,179 a .
Зауваження. При великих обсягах вибірки, а саме: ,30n на підставі
центральної граничної теореми теорії ймовірностей (теореми Ляпунова)
розподіл Стьюдента наближається до нормального закону. У цьому разі t
знаходиться за таблицею значень функції Лапласа.
Побудова надійних інтервалів із заданою надійністю для ГD , Гσ
У разі, коли ознака Х має нормальний закон розподілу, для побудови
надійного інтервалу із заданою надійністю для гг , D застосовуємо випадкову
величину
,1 2
2
Г
2 Sn
(15.15)
що має розподіл 2χ із 1 nk ступенями свободи.
Оскільки випадкові події
2
2
22
1 A і
2
1
22
2
111B
є рівноймовірними, тобто їх імовірності рівні ,BPAP маємо:
155
.111
2
1
22
2
2
2
22
1
PP (15.16)
Підставляючи в (26.16) ,1 2
2
2 Sn
дістанемо
2
12
2
Г
2
2
2
1
22
2
1
1
11111
Sn
PP =
=
.
111
1
12
1
22
Г2
2
2
2
1
2
2
2
2
SnSnP
SnP Г
Отже, довірчий інтервал для Г
2
Г D матиме вигляд
2
1
2
Г2
2
2 11
SnD
Sn. (15.17)
Тоді надійний інтервал для Г випливає із (26.17) і буде таким:
1
Г
2
11
nSnS. (15.19)
Значення 2
1χ , 2
2χ знаходимо за таблицею значень 2
1χ , 2
2χ згідно з
рівностями:
;2
12
1
2 P (15.20)
,2
2
2
2 P (15.21)
де 1 .
15.3 Довідковий матеріал Статистичний критерій перевірки гіпотези
Перевірка гіпотези про нормальний розподіл. Критерій згоди Пірсона
Статистичною називають гіпотезу про закон розподілу або про параметри
відомого розподілу. У першому випадку гіпотеза називається
непараметричною, а у другому – параметричною.
Гіпотеза H0, яка підлягає перевірці, називається нульовою (основною).
Поряд з нульовою розглядають гіпотезу H1, яка буде сприйматися у разі
відхилення H0. Така гіпотеза називається альтернативною (конкуруючою).
Наприклад, якщо перевіряється гіпотеза H0 : Θ = Θ0, то у якості альтернативної
можуть розглядатися такі гіпотези: (1) (2) (3) (4)
1 0 1 0 1 0 1 1: ; : ; : ; :H H H H .
Вибір альтернативної гіпотези визначається конкретною формульовкою
задачі, а нульова гіпотеза часто спеціально підбирається так, щоб відхилити її і
прийняти тим самим альтернативну гіпотезу. Наприклад, щоб прийняти
гіпотезу про існування кореляції між двома економічними показниками
(скажімо, між інфляцією і безробіттям), можна відхилити гіпотезу про
відсутність такої кореляції, взявши її у якості нульової гіпотези.
Сутність перевірки статистичної гіпотези полягає у тому, щоб з’ясувати
узгоджуються чи ні дані спостережень і висунутої гіпотези. Чи можна
156
розбіжність між гіпотезою і результатом вибіркових спостережень розглядати
як випадкову похибку, обумовлену механізмом випадкового відбору? Ця задача
розв’язується за допомогою спеціальних методів математичної статистики –
методів статистично перевірки гіпотез.
Помилка першого роду полягає у тому, що буде відхилена правильна нульова
гіпотеза.
Помилка другого роду полягає у тому, що буде прийнята нульова
гіпотеза, у той час, як в дійсності справедлива альтернативна гіпотеза.
Критерії перевірки. Критична область
Перевірку статистичної гіпотези виконують на основі вибірки. Для цього
використовують спеціально вибрану випадкову величину (статистику,
критерій), точне або наближене значення якої відомо. Цю величину позначають
так:
U ( або Z ) – якщо вона має стандартизований нормальний розподіл;
T – якщо вона розподілена за законом Ст’юдента;
χ2 – якщо вона розподілена за законом χ
2;
F – якщо вона має розподіл Фішера.
З ціллю загальності, далі будемо позначати таку випадкову величину
через K.
Отже, статистичним критерієм називають випадкову величину K, яка
слугує для перевірки нульової гіпотези. Після вибору критерію множину всіх
його можливих значень розбивають на дві множини, які не перетинаються:
одна з них містить значення критерію, при яких нульова гіпотеза відхиляється,
а друга – при яких вона не відхиляється. Сукупність значень критерію, при яких
нульову гіпотезу відхиляють, називають критичною областю. Сукупність
значень критерію, при яких нульову гіпотезу сприймають, називають областю
прийняття гіпотези.
Основний принцип перевірки статистичних гіпотез можна сформулювати
так: якщо спостережуване значення критерію K (обчислене за вибіркою)
належить критичній області, то нульову гіпотезу відхиляють. Якщо ж
спостережуване значення критерію K належить області прийняття гіпотези, то
нульову гіпотезу сприймають.
Точки, які розділяють критичну область і область прийняття гіпотези,
називають критичними.
Загальна схема перевірки гіпотез
1 Формулювання нульової (0H ) і альтернативної (
1H ) гіпотез.
157
2 Вибір відповідного рівня значущості α.
3 Вибір критерію K для перевірки 0H .
4 Визначення критичної області і області прийняття гіпотези.
5 Знаходження спостережуваного значення критерію Kспос.
6 Прийняття статистичного рішення.
Перевірка гіпотези у випадку двобічної критичної області тісно пов’язана
з інтервальним оцінюванням. При одному і тому ж рівні значущості α і об’ємі
вибірки п влучення гіпотетичного значення досліджуваного параметра в
довірчий інтервал рівнозначно влученню відповідного критерію в область
прийняття рішення. Отже, для перевірки гіпотези в цьому випадку можна
скористатися довірчим інтервалом. Якщо гіпотетичне значення досліджуваного
параметра влучить в цей інтервал, то приходять до висновку, що немає підстав
для відхилення висунутої гіпотези.
Перевірка гіпотези про нормальний закон розподілу генеральної
сукупності за критерієм Пірсона
Нехай дана вибірка із генеральної сукупності X у вигляді
статистичного інтервального ряду (табл. 15.3):
Таблиця 15.3
21 x,x 32 x,x 1mm x,x
1n 2n mn
де in - інтервальні частоти, nnm
ii
1
- об’єм виборки,
m - число інтервалів, h - довжина інтервала, ix - середина інтервала.
Треба перевірити гіпотезу 0H про те, що генеральна сукупність X
розподілена по нормальному закону, застосовуючи критерій Пірсона.
Правило перевірки
1. Обчислюють вx и в .
2. Знаходять теоретичні частоти 'ni . Їх можна обчислити двома способами
Перший спосіб:
158
iв
i thn
'n
,
де n - об’єм вибірки, h - шаг, в
вii
xxt
;
2
2
2
1x
ex
- функція Гауса, значення якої у точці it знаходять по
таблиці (Додаток 1).
ht
Pв
ii
- ймовірність попадання значень випадкової величини X
в i - й інтервал.
Для обчислення 'ni складаємо табл. 15.4.
Таблиця 15.4
i ix in вi xx it it iP nP'n ii
1 1x 1n вxx 1 1t 1t 1P nP'n 11
m mx mn вm xx mt mt mP nP'n mm
n 1 n
Другий спосіб
nP'n ii
де n - об’єм вибірки, в
вii
xxz
,
iii zzP 1 - ймовірність попадання X в i - й інтервал,
z - значення функції Лапласа (Додаток 2).
Покладають 1z , 1mz .
Для обчислення 'ni складають табл. 15.4.
Таблиця 15.4
i
Границі
інтервала in
Границі
інтервала iz 1 iz iP 'ni
ix 1ix iz 1iz
1 1x 2x 1n 2z -0,5 2z 1P 'n1
159
m mx 1mx mn mz mz 0,5 mP 'nm
n 1 n
3. Порівнюють емпіричні ( in ) і теоретичні ( 'ni ) частоти за допомогою
критерію Пірсона.
Для цього:
1) складають розрахункову табл.15.5 , з якої знаходять
2набл - спостерігаєме значення критерію
m
i i
iiнабл
'n
'nn
1
22
Таблиця 15.5
i in 'ni 'nn ii 2'nn ii
'n
'nn
i
ii2
2in
'n
n
i
i2
1 1n 'n1 'nn 11 211 'nn
'n
'nn
1
211
21n
'n
n
1
21
m mn 'nm 'nn mm 2'nn mm
'n
'nn
m
mm2
2mn
'n
n
m
m2
n 2набл
Контроль: n'n
nm
i i
iнабл
1
22 .
2) Знаходять число степеней свободи k : 1 rmk
де m - число інтервалів; r - число параметрів ймовірного розподілу,
Для нормального розподілу 3 mk , оскільки 2r (нормальний
закон розподілу характеризується двома параметрами a і ).
4. В таблиці критичних точок ( квантилей) розподілу 2
(Додаток 3) по заданому рівню значущості і числу степеней свободи
160
знаходять k;кр 2 правосторонньої критичної області.
Якщо 22крнабл - нема основаній відхиляти гіпотезу 0H
про нормальний закон розподілу генеральної сукупності.
Якщо 22крнабл - гіпотезу відхиляють.
Зауваження.
1) Об’єм вибірки має бути достатньо великим 50n .
2) Малочислені частоти 5in слід об’єднувати. У цьому випадку і
відповідні їм теоретичні частоти також слід скласти.
Якщо проводилося об’єднання частот, то при визначенні числа степеней
свободи по формулі 3 mk слід у якості m прийняти число інтервалів, що
залишилися після об’єднання частот.
Питання для самоперевірки
1 Що називається точковою статистичною оцінкою?
2 Що таке незміщена точкова статистична оцінка?
3 Що таке зміщена точкова статистична оцінка?
4 Що називають ефективною точковою статистичною оцінкою?
5 Що називають ґрунтовною точковою статистичною оцінкою?
6 У чому сутність методу аналогій?
7 У чому сутність методу найменших квадратів?
8 У чому сутність методу максимальної правдоподібності?
9 Що є точковою незміщеною статистичною оцінкою для ГX ?
10 Що означає точкова незміщена статистична оцінка для ГD ?
11 Що називається виправленою дисперсією, виправленим середнім
квадратичним відхиленням?
12 Як обчислюється BM x , BM D , 2
BM S ?
13 Визначення інтервальної статистичної оцінки для параметрів
генеральної сукупності.
14 Що називають точністю і надійністю оцінки?
15 Що називають надійним інтервалом?
16 Як побудувати надійний інтервал із заданою надійністю γ при
відомому значенні Г ?
17 Як побудувати довірчий надійний інтервал для ГX із заданою
надійністю γ при невідомому значенні Г ?
18 Сформулюйте загальну схему перевірки статистичної гіпотези.
161
ЛЕКЦІЯ 16 (тема 17)
Елементи кореляційно-регресійного аналізу. Вибіркове рівняння лінії
регресії. Визначення параметрів вибіркового рівняння лінійної парної
регресії
16.1 Елементи кореляційно-регресійного аналізу. Вибіркове рівняння лінії
регресії.
16.2 Визначення параметрів вибіркового рівняння лінійної парної регресії
16.1 Елементи кореляційно-регресійного аналізу. Вибіркове рівняння лінії
регресії
Можливі два варіанта взаємозв’язків між двома змінними X і Y . У
першому випадку обидві змінні розглядаються як рівноцінні в тому сенсі, що
вони не поділяються на залежну і незалежну змінні. Головним у цьому разі є
питання про присутність і силу взаємозв’зку між цими змінними. Наприклад,
між ціною товару й об’ємом попиту на нього, між урожаєм картоплі й урожаєм
зерна, між інтенсивністю руху транспорта і числом аварій. При дослідженні
сили лінійної залежності між такими змінними звертаються до кореляційного
аналізу, основною мірою якого є коефіцієнт кореляції.
У другому випадку взаємозв’язків виділяють одну з величин як
незалежну, а іншу як залежну. У цьому разі зміна першої з них може бути
причиною для зміни другої. Наприклад, зростання доходу веде до збільшення
споживання; зростання ціни – до зниження попиту; зниження відсоткової
ставки збільшує інвестиції. Але така залежність не є однозначною в тому сенсі,
що кожному конкретному значенню незалежній змінній може відповідати не
одна, а множина значень з деякої області. Іншими словами, кожному
конкретному значенню незалежної змінної відповідає деякий ймовірносний
розподіл залежної змінної (яку розглядають як випадкову величину).
Залежність такого типу виражається співвідношенням )()( xfxYM і
називається функцією регресії Y на X . )( xYM умовне математичне
сподівання. Інакше кажучи, регресія – це функціональна залежність між
незалежною змінною й умовним математичним сподіванням залежної змінної,
яка будується з метою передбачення цього середнього значення при
фіксованому значенні першої.
Для відображення того факта, що реальне значення залежної змінної не
завжди співпадає з її умовним математичним сподіванням і можуть бути
різними при одному й тому ж значенні незалежної змінної, фактична
162
залежність повинна бути доповнена деяким доданком , який по суті є
випадковою величиною й вказує на стохастичну сутність залежності. Отже,
зв’язок між залежною і незалежною змінними виражається співвідношенням
,)( xYMY яке називається регресійною моделлю.
Найбільш істотними причинами включення випадковою фактора в
регресійну модель є:
1. Невключення в модель усіх пояснювальних змінних, оскільки будь-яка
регресійна модель є спрощенням реальної ситуації.
2. Неправильний вибір функціональної форми моделі.
3. Помилки вимірювань.
4. Обмеженність статистичних даних.
5. Непередбаченість людського фактора.
Розв’язання задачі побудови якісного рівняння регресії, яке відповідає
емпірічним даним можно розбити на три кроки:
1. вибір формули рівняння регресії;
2. оцінка параметрів вибраного рівняння;
3. аналіз якості рівняння і перевірка адекватності рівняння емпіричним
даним.
16.2 Визначення параметрів вибіркового рівняння лінійної парної регресії
Вибір формули зв’язку змінних називається специфікацією рівняння
регресії. У випадку парної регресії вибір формули зазвичай здійснюється за
графічним зображенням реальних статистичних даних у вигляді точок в
декартовій системі координат, яке називається кореляційним полем (рисунок
1).
На рисунку 1а взаємозв’язок між X і Y близький до лінійного. У даному
випадку в якості залежності між X і Y можна взяти лінійну функцію
.10 XbbY
На графіку 1б реальний зв’язок між X і Y скоріше всього описується
квадратичною функцією .2 cbXaXY
На графіку 1в явний зв’язок між X і Y відсутній.
Якщо функція регресії лінійна, то кажуть про лінійну регресію. Отже,
лінійна регресія являє собою лінійну функцію між умовним математичним
сподіванням )( ixXYM залежної змінної Y і однієї пояснювальної змінної
X ( ix значення незалежної змінної в i тому спостереженні, i 1,2,...,n )
.)( 10 ii xbbxXYM
Зауважимо, що принциповою в даному випадку є лінійність за
параметрами 0b і 1b .
163
Для відображення того факту, що кожне індивідуальне значення iy
відхиляється від відповідного умовного математичного сподівання, необхідно
ввести у співвідношення ii xbbxXYM 10)( випадковий доданок i
.)( 10 iiiii xbbxXYMy
Таке співвідношення називається теоретичною лінійною регресійною
моделлю; 0b і 1b - теоретичними параметрами (коефіцієнтами); i - випадковим
відхиленням.
У загальному вигляді теоретичну лінійну регремійну модель подають у
вигляді
.10 XbbY
Для визначення значень теоретичних коефіцієнтів регресії необхідно
знати всі значення змінних X і Y генеральної сукукпності, що практично
неможливо.
Отже, задача лінійного регресійного аналізу полягає в тому, щоб за
статистичними даними niyx ii ,...,2,1),,( для змінниз X і Y :
1. одержати найкращі оцінки невідомих параметрів 0b і 1b ;
2. перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі;
3. перевірити, чи достатньо гарно модель погоджується зі статистичними
даними.
Таким чином, за вибіркою обмеженого об’єма можно побудувати так
зване емпірічне рівняння регресії
,ˆˆˆ 10 ii xbby
де iy оцінка (наближене значення) умовного математичного сподівання
)( ixXYM ; 0b і 1b оцінки невідомих параметрів 0b і 1b , які називають
емпірічними коефіціентами регресії. Отже, в конкретному випадку
X
Y
X
Y
X
Y
а б в
Рисунок 16.1
164
,ˆˆ10 iii exbby
де відхилення ie оцінка теоретичного випадкового відхилення i .
Найбільш поширеним і теоретично обгрунтованим методом знаходження
коефіціентів є метод найменших квадратів (МНК), згідно з яким коефіціенти 0b
і 1b знаходяться за умови
.min)ˆˆ()ˆ(1
210
1
2
1
2
n
iii
n
iii
n
ii xbbyyye
Згідно МНК оцінки параметрів 0b і 1b визначаються так:
,ˆ22
1
xx
yxxyb
.ˆˆ
10 xbyb
Тут
n
iix
nx
1
,1
,1
1
22
n
iix
nx
n
iiy
ny
1
,1
.1
nxy
Коефіціент 1b можно також обчислити й за формулою ,ˆ1
x
yxy
S
Srb
де
2222 yyxx
yxxyrxy вибірковий коефіціент кореляції;
,)(1
1
1
2
n
iix xx
nS
n
iiy yy
nS
1
2)(1
1стандартні відхилення.
Властивості оцінок коефіціентів регресії, а, отже, і якості побудованої
регресії істотно залежать від властивостей випадкової складової . Доведено,
що для одержання за МНК найкращих результатів (оцінки обгрунтовані,
незміщені й ефективні) необхідно, щоб виконувався ряд передбачень відносно
випадкового відхилення:
1. математичне сподівання випадкового відхилення i дорівнює нулю, а
саме ;,...2,1,0)( niM i
2. дисперсія випадкових відхилень i стала ;,...2,1,)( 2 niD i
3. випадкові відхилення i і j є незалежними одне від одного,
;0),cov(, jiji
4. випадкове відхилення повинно бути незалежно від пояснюючих змінних
.0),cov( ii x
Припускають також, що випадкова величина розподілена за
нормальним законом.
165
Емпірічне рівняння регресії визначається на основі скінченного числа
статистичних даних. Отже, коефіціенти емпірічного рівняння регресії є
випадковими величинами. При проведенні статистичного аналізу виникає
необхідність порівняння емпірічних коефіціентів регресії 0b і 1b з деякими
теоретично очікуваними значеннями 0b і 1b цих коефіціентів. Даний аналіз
проводиться за схемою статистичної перевірки гіпотез.
Найбільш важливою на початковому етапі статистичного аналізу побудованої
моделі є задача виявлення присутності лінійного зв’язку між Y і X . Ця
проблема може бути вирішена за такою схемою:
0ˆ: 10 bH
.0ˆ: 11 bH
Таку гіпотезу називають гіпотезою про статистичну значущість
коефіціентів регресії. При цьому, якщо 0H сприймається, то є підстава
стверджувати, що величина Y не залежить від X . У цьому випадку кажуть, що
коефіціент 1b статистично незначущий (він близький до нуля). При відхиленні
0H припускають, що коефіціент 1b значущий, тобто є лінійний зв’язок між Y і
X .
За аналогічною схемою на основі t статистики превіряють гіпотезу про
статистичну значущість коефіціента 0b , при цьому стандартна помилка 0b
S
обчислюється так
.
)(
2ˆ
2
1
2
1
22
ˆ10 bn
ii
n
ii
bSx
xxn
xS
S
Слід зазначити, що для парної регресії більш важливим є аналіз
статистичної значущості коефіціента 1b , оскільки саме в ньому завуальований
вплив змінної X на результат Y .
Довірчі інтервали, які з надійністю 1 покривають параметри 0b і
1b мають такий вигляд
),ˆ;ˆ(00ˆ2,
20ˆ2,
20 bnbn
StbStb
).ˆ;ˆ(11ˆ2,
21ˆ2,
21 bnbn
StbStb
Однією з центральних задач регресійного моделювання є передбачення
(прогнозування) значень залежної змінної при конкретних значеннях
пояснювальної змінної. Можливі два підходу: або передбачити умовне
166
математичне сподівання залежної змінної (прогнозування середнього
значення), або прогнозувати деяке конкретне значення залежної змінної
(передбачення індивідуального значення).
Нехай побудовано рівняння регресії ,ˆˆˆ 10 ii xbby на основі якого
необхідно передбачити умовне математичне сподівання )( pxXYM змінної
Y при .pxX у даному випадку значення pp xbby 10ˆˆˆ є оцінкою
)( pxXYM . Тоді природньо виникає питання, як сильно може відхилитися
модельне середнє значення ,ˆ py розраховане за емпірічним рівнянням, від
відповідного умовного математичного сподівання? Відповідь на це питання
дається на основі інтервальних оцінок, побудованих із заданою надійністю
1 при будь-якому конкретному значення px пояснювальної змінної.
Довірчий інтервал для математичного сподівання )( pxXYM має такий
вигляд
).
)(
)(1ˆˆ;
)(
)(1ˆˆ(
1
2
2
2,2
10
1
2
2
2,2
10
n
ii
p
npn
ii
p
np
xx
xx
nStxbb
xx
xx
nStxbb
На практиці іноді більш важливо знайти дисперсію Y , ніж її середнє
значення або довірчі інтервали для умовних математичних сподівань. Це
дозволяє визначити допустимі межі для конкретного значення Y .
Довірчий інтервал для конкретного значення змінної Y , яке відповідає
значенню pxX визначається так
).
)(
)(11ˆˆ;
)(
)(11ˆˆ(
1
2
2
2,2
10
1
2
2
2,2
10
n
ii
p
npn
ii
p
np
xx
xx
nStxbb
xx
xx
nStxbb
Цей інтервал визначає межі, поза якими може знаходитися не більше %100
точок спостережень при .pxX Зауважимо, що даний інтервал ширший
довірчого інтервалу для умовного математичного сподівання (на рисунку 16.2
межі цього інтервалу показано пунктирною лінією).
167
Аналізуючи побудовані інтервали, слід зазначити, що найбільш вузькими
вони будуть при .xxp По мірі віддалення px від серенього значення довірчі
інтервали розширяються (рис. 16.2). Отже, необхідно достатньо обережно
екстраполювати одержані результати на прогнозові області. З іншого боку, по
мірі зростання числа спостережень n ці інтервали звужуються до лінії регресії.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1 Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –
М.: Наука, 1975.
2 Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1966.
3 Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая
математика / Под ред. П.Ф. Овчинникова – К.: Высш. Шк., 2001.
4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –М.:
Высш. шк., 1977.
5 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М.: Высш. шк., 1977.
6 Кремер Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
ЮНИТИ, 2000.
7 Жлуктенко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Ж76 Теорія ймовірності і
математична статистика . Навч. метод. Посібник: У 2-х ча-Ч. ІІ
Математична статистика. –К.: КНЕУ, 2001
8 Щелкунова Л.І.. Харченко А.П., Стасенко О.М. Методичні вказівки до
виконання завдань модуля «Вступ до аналізу. Диференціальне
числення функції однієї змінної», ХНУБА.
9 Щелкунова Л.И., Лисянская А.В., Бабаева Е.В. Методические указания
к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра.
Аналитическая геометрия на плоскости», ХНУСА, 2012.
X
Y
xbby 10
x px
y
py
Рис. 16.2
168
7 Щелкунова Л.І. Вища математика. Тексти лекцій для студентів
спеціальності 191, Х: ФОП О.В.Ворошилова, 2011. Рекомендовано
МОН, молоді та спорту.
8 Аршава О.О., Іохвідович Н.Ю., Щелкунова Л.І. «Вища математика».
Тексти лекцій, ч.1.ХНУБА, 2014.
9 Аршава О.О., Харченко А.П., Щелкунова Л.І. «Вища математика».
Тексти лекцій, ч.2.ХНУБА, 2016.
ЗМІСТ
Вступ........................................................................................................................
Програма навчальної дисципліни……………………………………………….
Довідкові матеріали до лекції 1…………………………………………………..
3
3
4
Лекція 1....................................................................................................................
Довідкові матеріали до лекції 2………………………………………….……….
7
18
Лекція 2....................................................................................................................
Довідкові матеріали до лекції 3…………………………………………………..
20
46
Лекція 3....................................................................................................................
Лекція 4……………………………………………………………………………
48
55
Довідкові матеріали до лекції 4...............................................................................
Довідкові матеріали до лекції 5…………………………………………………..
64
67
Лекція 5..................................................................................................................... 68
Лекція 6....................................................................................................................
Лекція 7…………………………………………………………………………….
Додаткові матеріали до лекції 7……………………………………………………
75
80
87
Лекція 8....................................................................................................................
Лекція 9…………………………………………………………………………………
Довідковий матеріал для теми 10…………………………………………………….
Лекція 10……………………………………………………………………………….
Лекція 11………………………………………………………………………………..
Лекція 12………………………………………………………………………………
Лекція 13…………………………………………………………………………………
Лекція 14…………………………………………………………………………………
Лекція 15………………………………………………………………………………..
Лекція 16…………………………………………………………………………………
Список літератури………………………………………………………………………
88
94
100
107
113
122
131
134
147
161
167
169
Навчальне видання
ЩЕЛКУНОВА Любов Іванівна
ВИЩА МАТЕМАТИКА
Тексти лекцій
Роботу до видання рекомендував Аршава О.О.
За редакцією автора
План 2017 р., поз. 8,18 Формат 60х84 1/16. Папір друк. №2.
Підп. до друку 11.09.17 Обл.-вид. арк. 8,0 Умов .друк. арк. 8,2
Тираж 50 прим. Зам. № 4717
____________________________________________________________________
ХНУБА, Україна, 61002, Харків, вул. Сумська, 40
____________________________________________________________________
Підготовлено та надруковано РВВ Харківського національного університету
будівництва та архітектури
170
