Г.В.Лисянська, Н.Ю.Іохвідович, Р.В.Посилаєва

ГЕОМЕТРІЯ. ПЛАНІМЕТРІЯ

Навчально-методичний посібник до вивчення дисципліни «Елементарна математика»

для слухачів підготовчого відділення та підготовчих курсів

Харків 2010

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

2

Л - 88 УДК 514.112 Рецензенти: А.Р.Гальперіна, вчитель-методист ЗОШ №5 Є.В.Поклонський, канд. фіз.-мат. наук, доц. каф. вищої математики ХДТУБА Рекомендовано кафедрою вищої математики, протокол № 8 від 27.04.10 р. Затверджено методичною радою університету, протокол № від . .2010 р. Автори: Г.В.Лисянська Н.Ю.Іохвідович Р.В.Посилаєва Л - 88 Лисянська Г.В., Іохвідович Н.Ю., Посилаєва Р.В. Геометрія. Планіметрія: Навчально - методичний посібник . - Х.: ХДТУБА, 2010. - 96с.

Посібник містить повну інформацію для самостійного вивчення курсу планіметрії. В посібнику наводяться необхідні теоретичні відомості. Викладення методів супроводжується розбором типових задач. Надаються приклади для самостійного розв‘язання. Призначено для слухачів підготовчого відділення та підготовчих курсів. Іл.: 179; табл.: 2; бібліограф.: 10 назв

© Г.В.Лисянська, Н.Ю.Іохвідович, Р.В.Посилаєва, 2010

3

ВСТУП Пропонований посібник призначений для випускників загальноосвітніх

навчальних закладів, які готуються до вступу до вищих навчальних закладів та будуть брати участь у зовнішньому незалежному тестуванні. Крім того, навчальний посібник адресований слухачам підготовчих курсів та підготовчого відділення і має за мету допомогти швидко і ефективно повторити вивчений матеріал; в оптимальні терміни підготуватися до тематичних контрольних робіт, державної підсумкової атестації, до співбесіди на підготовчому відділені; навчити абітурієнтів логічно і послідовно використовувати відповідний матеріал при розв’язанні задач.

Посібник написано відповідно до програми з математики для загальноосвітніх закладів, у ньому застосовуються термінологія та позначення, які є визнаними на цей час у середній школі.

Вивчення геометрії викликає у учнів більші труднощі в порівнянні з іншими курсами шкільної математики. Велика кількість означень і формул; неоднозначність вибору метода розв’язання даної конкретної задачі, необхідність в деяких випадках проведення додаткових побудов до рисунку, наявність нестандартних підходів до розв’язання задач, які не можна виконати в кілька кроків, – усе це утруднює освоєння даного курсу.

З метою усунення зазначених вище проблем увесь матеріал курсу розподілений на сім розділів: „Початкові відомості з планіметрії”, „Кути”, „Трикутники”, „Чотирикутники”, „Коло і круг”, „Вписані і описані многокутники. Правильні многокутники”, „Геометричні побудови на площині”. Кожен з розділів, що розглядається, в свою чергу, поділяється на три логічні частини. В першій частині наведено основні теоретичні відомості з певної теми, які проілюстровані необхідними рисунками. Матеріал цієї частини дозволить найбільш повно осмислити і систематизувати теоретичний матеріал. У другій частині наведено приклади розв’язування типових завдань, аналогічних вправам, які пропонуються на державній підсумковій атестації. В одних випадках це завдання, що ілюструють деякий алгоритм, в інших – завдання, на прикладі яких показано різні способи розв’язання однієї проблеми. Наприкінці розділу в рубриці „Приклади для самостійного розв’язання” подано тренувальні завдання, велика кількість яких дозволяє абітурієнтам сформувати необхідні практичні навички та навчити їх розв’язувати більш складні багатокрокові задачі.

Цей посібник дає певну інформацію про рівень вимог з математики, які ставляться перед абітурієнтами ХДТУБА, але за рівнем складності наведених вправ відповідає рівню вимог будь-якого технічного закладу.

4

I ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ З ПЛАНІМЕТРІЇ Геометричні фігури

Частина простору, обмежена з усіх сторін, називається геометричний тілом.

Геометричне тіло відокремлюється від навколишнього простору поверхнею.

Частина поверхні відокремлюється від суміжної частини лінією. Частина лінії відокремлюється від суміжної частини тіла. Геометричне тіло, поверхня, лінія і точка не існують окремо. Проте з

допомогою абстрагування ми можемо розглядати поверхню незалежно від геометричного тіла, лінію — незалежно від поверхні і точку — незалежно від лінії. При цьому поверхню ми повинні уявляти собі як таку, що не має товщини, лінію – що не має ні товщини, ні ширини, і точку — що не має довжини, ні ширини, ні товщини.

Сукупність будь-яких точок, ліній, поверхонь або тіл, оснащених певним способом у просторі, називається взагалі геометричною фігурою. Геометричні фігури можуть переміщатися у просторі, не зазнаючи ніяких змін. Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо переміщенням однієї з них у просторі можна сумістити з другою фігурою так, що обидві фігури сумістяться в усіх своїх частинах.

Геометрія Наука, яка розглядає властивості геометричних фігур, називається

геометрією, що в перекладі з грецької мови означає зімлемірство. Таку назву цій науці, дано що зі старих часів головною метою геометрії було вимірювання площ на земній поверхні.

Геометрія поділяється на дві частини: планіметрію і стереометрію. Перша розглядає властивості таких фігур, усі частини яких містяться на одній площині; друга – властивості таких фігур, в яких не всі частини містяться на одній площині.

Площина З різних поверхонь найбільш знайома нам п л о щ и н а , уявлення про яку

дає нам наприклад, поверхня доброго віконного скла або поверхня спокійної води в стайку тощо.

Укажемо таку властивість площини: усяку частину площини можна надсісти всіма її точками на інше місце цієї або іншої площини, причому накладну частину можна спершу перевернути другою стороною.

Пряма лінія Найпростішою лінією є пряма. Ми всі добре і уявляємо собі пряму лінію,

або просто пряму. Уявлення про неї дає туго натягнута нитка або промінь світла, що виходить з малого отвору. З цим уявленням збігається така основна властивість прямої: через усякі дві точки простору можна провести пряму і до того ж тільки одну.

5

З цієї властивості виходить: якщо дві прямі накладені одна на одну так, що які-небудь дві точки однієї прямої збігаються з двома точками другої прямої, то ці прямі збігаються і в усіх інших точках (бо в противному разі через дві точки можна було б провести дві різні прямі, що неможливо).

3 тієї ж причини дві прямі можуть перетнутися тільки в одній точці. Пряма лінія може лежати на площині. При цьому площина має таку

властивість: якщо на площині взяти які-небудь дві точки і провести через них пряму лінію, то всі точки цієї прямої лежатимуть у цій площині.

Необмежена пряма, промінь, відрізок Якщо пряму уявляють продовженою в обидві сторони нескінченно, то її

називають нескінченною (або необмеженою) прямою. Пряму позначають звичайно двома великими буквами, поставленими біля

двох яких-небудь її точок. Так, говорять «пряма АВ, або ВА» (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3 Частина прямої, обмежена з обох сторін, називається відрізком прямої;

відрізок звичайно позначається двома великими літерами, поставленими біля його кінців (відрізок СD, рис. 1.2). Іноді пряму або відрізок прямої позначають і однією буквою (малою); наприклад, говорять: «пряма а, відрізок b» тощо.

Для короткості замість «відрізок прямої» часто говоритимемо просто «відрізок».

Іноді розглядають пряму, обмежену тільки з однієї сторони, наприклад у точці А (рис. 1.3). Про таку пряму говорять, що вона виходить з точки А і називають променем (або півпрямою).

Рівність і нерівність відрізків Два відрізки рівні, якщо вони можуть бути накладені один на один так,

що їх кінці збігатимуться. Припустимо, наприклад, що ми накладаємо відрізок АВ на відрізок СD (рис. 1.4) так, щоб точка А збіглася з точкою С і щоб пряма АВ пішла по прямій СD; якщо при цьому кінці В і D сумістяться, то відрізки АВ і СD рівні; у противному разі відрізки будуть не рівні, причому меншим вважається той, який становитиме частину другого.

Рис. 1.4 Рис. 1.5 Щоб на якій-небудь прямій відкласти відрізок, рівний даному відрізкові,

застосовують циркуль – прилад, відомий учням з досвіду. Сума відрізків

Сумою кількох даних відрізків АВ, СD , EF, … (рис. 1.5) називається такий відрізок, який одержимо таким способом. На якій-небудь прямій беремо довільну точку М і відкладаємо від неї відрізок МN, рівний АВ, потім від точки N у тому ж напрямі відкладаємо відрізок NР, рівний СD, і відрізок PQ ,

6

рівний ЕF. Тоді відрізок МО і буде сумою відрізків АВ, СD і ЕF (які відносно цієї суми називаються доданками). Так само можна одержати суму будь-якого числа відрізків.

Сума відрізків має всі властивості суми чисел; так вона не залежить від порядку доданків (переставний закон) і не змінюється, якщо деякі доданки будуть замінені їх сумою (сполучний закон). Так:

АВ + СD + ЕF = АВ + ЕF+ СD = ЕF + СD + АВ = ... і АВ + СD + ЕF =АВ + (СD + ЕF) = СD + (АВ + ЕF) = ... .

Дії над відрізками 3 поняття про суму виводяться поняття про різницю відрізків, множення і

ділення відрізків на абстрактне число. Так, різниця відрізків АВ і СD (якщо АВ > СD) є такий третій відрізок, сума якого з СD дорівнює АВ; добуток відрізка АВ на число n є сума n відрізків, з яких кожний дорівнює АВ; частка від ділення відрізка АВ на число n є n -на частина АВ тощо.

Якщо дані відрізки виміряні якою-небудь лінійною одиницею (наприклад сантиметром) і довжини їх виражені відповідними числами, то довжина суми відрізків буде виражена сумою чисел, які вимірюють ці відрізки, різниця буде виражена різницею чисел і т.д.

Коло Якщо дамо циркулеві довільний розхил і, поставивши одну його ніжку

вістрям в яку-небудь точку О площини (рис. 1.6), обертатимемо циркуль навколо цієї точки, то друга його ніжка з олівцем або пером, що дотикається площини, опише на площині неперервну лінію, усі точки якої однаково віддалені від точки О. Ця лінія називається колом, а точка О – його центром. Відрізки ОА, ОВ, ОС, ... , які сполучають центр з якими-небудь точками кола, називаються радіусами. Усі радіуси одного кола рівні між собою.

Кола, описані однаковими радіусами, рівні, бо вони при суміщенні їх центрів суміщаються всіма своїми точками.

Нескінченна пряма (МN, рис 1.6 ), яка проходить через які-небудь дві точки кола, називається січною.

Відрізок прямої (ЕF), який сполучає дві які-небудь точки кола, називається хордою.

Усяка хорда (АD), яка проходить через центр, називається діаметром. Діаметр дорівнює сумі двох радіусів, і тому всі діаметри одного кола рівні між собою.

Яка-небудь частина кола (наприклад FmE ), називається дугою. Про хорду (ЕF), яка сполучає кінці якої-небудь дуги, говорять, що вона стягує цю дугу.

Рис.1.6

Частина площини, обмежена колом, називається кругом. Частина круга, що міститься між двома радіусами (частина СОВ,

зафарбована на рис. 1.6), називається сектором, а частина, яку відсікає від круга яка-небудь січна (частина EmF ), називається сегментом.

Дві дуги одного й того ж кола (або рівних кіл) рівні між собою, якщо вони можуть бути суміщені так, що їх кінці сумістяться.

7

II КУТИ 2.1 Попередні поняття

Кутом на площині називається геометрична фігура, яка утворена двома променями (сторони кута), що мають спільний початок (вершина кута) та обмеженою ними частиною площини. За величину кута приймається величина меншого з двох кутів, утворених цими променями.

Кут звичайно позначається трьома великими буквами, з яких середня ставиться біля вершини, а крайні – біля яких-небудь точок сторін; наприклад, говорять: „кут AOB” або „кут BOA” (рис. 2.1). Але можна позначати кут і однією буквою, поставленою біля вершини, якщо при цій вершині немає інших кутів. Іноді кут позначається цифрою, поставленою всередині кута біля вершини.

A

BO

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3 Сторони кута поділяють усю площину, в якій лежить цей кут, на дві

області. Одна з них називається внутрішньою областю кута, друга – зовнішньою його областю. Звичайно внутрішньою областю вважається та, в якій цілком вміщується відрізок прямої, що сполучає дві будь-які точки, взяті на сторонах кута, наприклад, точки А і В на сторонах кута AOB (рис. 2.2). Якщо немає спеціальних вказівок, інша частина площини вважається зовнішньою областю (рис. 2.3).

Відповідно до загального означення рівності геометричних фігур два кути вважаються рівними, якщо при накладанні вони можуть суміститися.

Сумою кутів AOB і 111 BOA (рис. 2.4) називається такий кут, який одержаний таким чином. Будуємо кут MNP , рівний першому даному кутові AOB , і до нього прибудовуємо кут PNQ , рівний другому даному кутові

111 BOA , так, щоб у обох кутів була спільна вершина N та спільна сторона NP . Тоді кут MNQ називається сумою кутів AOB і 111 BOA . Внутрішньою областю цього кута є та область площини, яка утворена сукупністю внутрішніх областей кутів, що додаються.

Рис. 2.4

Так само може бути складена сума трьох і більше кутів.

8

При знаходженні суми кутів можуть зустрітися деякі окремі випадки, які корисно розглянути нарізно.

1 Може статися, що після додаванні кількох кутів, наприклад, трьох: AOB , BOC і COD (рис. 2.5), сторона OD кута COD становитиме продовження сторони OA кута AOB . Таким чином одержана фігура, утворена двома півпрямими (OA і OD ), які виходять з однієї точки О і становлять продовження одна одної. Таку фігуру прийнято теж називати кутом (розгорнутим або випрямленим).

Рис. 2.5 Рис. 2.6

2 Може статися, що після додаванні кількох кутів, наприклад, п’яти: AOB , BOC , COD , DOE і EOA (рис. 2.6), сторона OA кута EOA суміститься з стороною OA кута AOB . Фігура, утворена збіглими півпрямими (яка розглядається разом з усією площиною, розміщеною навколо спільної вершини О ), також називається кутом (повним).

3 Нарешті, може статися, що будуючи суму кутів, ми не тільки заповнимо вся площину навколо їх спільної вершини, але навіть будемо змушені накладати кути один на один, покриваючи площину навколо спільної вершини вдруге, втретє і т.д. Така сума кутів дорівнює одному повному кутові, доданому до якогось кута, або дорівнює двом повним кутам, доданим до якогось кута, і т.д.

Часто доводиться говорити про таку півпряму, яка поділяє даний кут навпіл; така пряма називається бісектрисою.

AOBCOBAOC 21 (рис. 2.7).

Рис. 2.7

2.2 Вимірювання кутів Поділимо розгорнутий кут на 180 рівних кутів. Величина одного з них

приймається за одиницю вимірювання величин кутів – градус і позначається так: 1 . Таким чином величина розгорнутого кута дорівнює 180 .

Кут між двома співпадаючими променями приймається рівним нулю.

601 частина градуса називається мінутою і позначається : 1 .

601 частина минути називається секундою і позначається : 1 .

9

Таким чином, мають місце співвідношення : 061 ;

036061 . Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90 , гострим, якщо він

менший, тупим, якщо він більший 90 , але менший 180 . 90AOB , AOB – прямий; 90CDE , CDE – гострий;

18090 KLM , KLM – тупий (рис. 2.8).

Рис.2.8

Рівні кути мають рівні градусні міри. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він

розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. Два промені, що мають спільний початок, утворюють два кути, сума

величин яких дорівнює 360 . Прямі лінії, що утворюють прямий кут, називаються

перпендикулярними.

2.3 Суміжні і вертикальні кути Два кути називаються суміжними, якщо одна

сторона в них є спільна, а дві інші сторони є продовженням одна одної. AOC і COB – суміжні кути (рис. 2.9).

Через те, що такі кути в сумі становлять розгорнутий кут, то сума двох суміжних кутів дорівнює 180 (іншими словами, вона дорівнює сумі двох прямих кутів).

Рис. 2.9

Коли два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні. Кут, суміжний із прямим кутом, – прямий кут; кут, суміжний із гострим

кутом, –тупий кут; кут, суміжний із тупим кутом, –гострий кут. Чим більший кут, тим кут, який суміжний із ним, менший, і навпаки. Для кожного даного кута можна побудувати два суміжні з ним кути.

Наприклад, для кута AOB (рис. 2.10), продовживши сторону AO , одержимо один суміжний кут BOC , а продовживши сторону BO , одержимо другий суміжний кут AOD . Два кути, BOC і AOD , суміжні з одним і тим же кутом AOB , рівні між собою, бо кожний з них доповнює кут AOB до 180 .

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовженням сторін другого. AOB і COD , AOC і BOD – вертикальні кути (рис.2.10).

Два вертикальні кути рівні між собою.

Рис. 2.10

10

2.4 Кути, одержані при перетинанні двох прямих третьою Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній

площині і не перетинаються, скільки б ми їх не продовжували. Два відрізки називаються паралельними, якщо вони лежать на

паралельних прямих. Нехай дві прямі AB і CD перетнуті третьою

прямою MN (рис. 2.11). Тоді утвориться вісім кутів (позначимо їх цифрами), які попарно мають такі назви: відповідні кути: 1 і 5, 4 і 8, 2 і 6, 3 і 7; різносторонні кути: 3 і 5, 4 і 6 (внутрішні), 1 і 7, 2 і 8 (зовнішні); односторонні кути: 4 і 5, 3 і 6 (внутрішні), 1 і 8, 2 і 7 (зовнішні).

Рис. 2.11Якщо дві паралельні прямі AB і CD

перетнуті третьою прямою MN (рис. 2.12), то: – відповідні кути рівні; – різносторонні кути рівні; – сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 – сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180 .

Рис. 2.12 Вірні і оборотні твердження: якщо при перетині двох прямих січною

відповідні кути рівні, або різносторонні кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 , або сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180 , то прямі паралельні. Ці твердження називаються ознаками паралельності двох прямих.

Як частинні випадки цих ознак можна сформулювати наступне:

– дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні:

bacbca

(рис. 2,13);

– якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої:

bcac

ba

(рис. 2,14).

Рис. 2.13

Рис. 2.14

11

Приклад 1 Знайти суміжні кути, різниця яких дорівнює 57º. Розв’язання. Позначимо один з кутів через х, тоді другий – 57x .

Тоді 18057 xx , звідки 1232 x , а 0361 x . Величина іншого кута 03118570361 .

Відповідь: 0361 , 03118 .

Приклад 2 Прямі а і b паралельні (рис. 2.15). Обчислити величину кута x .

Розв’язання. Враховуючи, що вертикальні кути рівні, одержуємо, що 2021 (рис. 2.16), а враховуючи, що відповідні кути при паралельних

прямих а і b та січній АС рівні, маємо: 3042 . Для трикутника АВС кут х є зовнішнім і дорівнює сумі внутрішніх кутів цього трикутника, не суміжних з кутом х. Отже, 50302043 x

Відповідь: 50º.

20

30

20

30

Рис. 2.15 Рис. 2.16 Приклад 3 Дано два кути з паралельними сторонами. Один з них в 3

рази більше іншого. Знайти величину кожного кута. Розв’язання. Якщо сторони одного кута відповідно паралельні сторонам

другого, то такі кути або рівні, як кути 1 і 3 та 1 і 4 на рис. 2.17, або в сумі становлять розгорнутий кут, як кути 1 і 5 та 1 і 6. За умовою задачі кути не є рівними, отже, їх сума дорівнюватиме 180 . Нехай один з кутів має величину х, тоді інший – x3 . Їх сума 1803 xx , звідки 45x , а 1353 x .

Відповідь: 45º, 135º.

Рис. 2.17

Приклад 4 Знайти два кути з перпендикулярними сторонами, якщо їх величини відносяться, як 7 : 11.

Розв’язання. Якщо сторони одного кута відповідно перпенликулярні сторонам другого, то такі кути або рівні, як кути 1 і 3 та 1 і 4 на рис. 2.18, або в сумі становять розгорнутий кут, як кути 1 і 5 та 1 і 6. За умовою задачі кути не є рівними, отже, їх сума дорівнюватиме 180 . Нехай один з кутів має величину 7х, а інший x11 . Їх сума 180117 xx , звідки 10x ; 707 x , 11011 x .

Відповідь: 70º, 110º.

1

2 3

4

5 6

Рис. 2.18

12

Питання для самоперевірки 1 Яка фігура називається кутом? 2 Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів. 3 Які кути називаються суміжними? 4 Які кути називаються вертикальними? 5 Сформулюйте властивості суміжних і вертикальних кутів. 6 Який кут називається розгорненим, нульовим, повним, прямим,

тупим, гострим? 7 Які властивості кутів, утворених паралельними прямими і січною? 8 Сформулюйте властивості кутів з відповідно паралельними і

перпендикулярними сторонами.

Приклади для самостійного розв’язання

1 Суміжні кути відносяться. як 4 : 5. Знайти ці кути. Відповідь: 80 , 100 .

2 Один з суміжних кутів в три рази більше іншого. Знайти ці кути. Відповідь: 45 , 135 .

3 Знайти кожний з суміжних кутів, якщо один з них складає 25% іншого. Відповідь: 144 , 36 .

4 Один із суміжних кутів на 90º більше іншого. Обчислити величину кожного кута. Відповідь: 45º, 135º.

5 Обчислити величину кожного суміжного кута, якщо один з них на 50% більше іншого. Відповідь: 72º, 108º.

6 Обчислити величини суміжних кутів, якщо 1/3 одного з них дорівнює 0,2 іншого. Відповідь: 67º, 30º, 112º, 30º.

7 Обчислити кут, величина якого дорівнює 3/7 свого суміжного. Відповідь: 54º.

8 З двох прилеглих кутів АВС і CBD перший дорівнює 108º, а другий менше його в 3/2 разу. Чи складають прямі ВА і BD пряму лінію? Відповідь: так.

9 Два прилеглих кута відносяться як 7 : 3, а різниця їх дорівнює 72º. Чи будуть ці кути суміжні? Відповідь: так.

10 Прямі АВ і CD перетинаються в точці О. Сума величин кутів AOD і COB дорівнює 220º. Обчислити величину кута AOC . Відповідь: 70º.

11 Даний кут і два суміжних з ним складають в сумі 230º. Визначити величину даного кута. Відповідь: 130º.

13

12 Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Бісектриса внутрішнього кута при одної з паралельних прямих перетинає другу під кутом 42º. Обчислити величину кожного з 8 кутів, утворених при перетині січною даних паралельних. Відповідь: 84º, 96º.

13 Дві паралельні прямі утворюють із січною внутрішні односторонні кути, які відносяться як 4 : 5. Скільки градусів містить кожен з кутів, отриманих при перетині даних паралельних прямих січною? Відповідь: 100º, 80º.

14 Дві паралельні прямі перетнуто третьою, при цьому величина одного з внутрішніх кутів дорівнює 140º. Під яким кутом його бісектриса перетинає іншу паралельну пряму? Відповідь: 70º і 110º.

15 Дано два кути з паралельними сторонами, один з них на 90º більше іншого. Знайти величину кожного кута. Відповідь: 135º і 45º.

16 Дано два кути з перпендикулярними сторонами, один з яких в 4 рази менше іншого. Знайти величини кожного з кутів. Відповідь: 36º, 144º.

17 Дано два кути з перпендикулярними сторонами.Один з них на 70º більше іншого. Чому дорівнює величина кожного кута? Відповідь: 55º, 125º.

28 Знайти два кута з паралельними сторонами, якщо один менше другого на 32º. Відповідь: 106º, 74º.

19 Через вершину кута, величина якого дорівнює 45º, проведені прямі, перпендикулярні до його сторін. Обчислити гострий кут між перпендикулярами. Відповідь: 40º.

20 Доведіть, що бісектриси двох кутів з перпендикулярними сторонами паралельні або перпендикулярні.

III ТРИКУТНИКИ 3.1 Поняття про многокутник і трикутник

Лінія, утворена відрізками прямих, що не лежать на одній прямій і розміщені так, що кінець першого є початком другого, кінець другого – початком третього і т.д., називається ламаною лінією. Ці відрізки називаються сторонами ламаної, а вершини кутів, утворюваними сусідніми відрізками, – її вершинами. Ламана лінія позначається рядом букв, поставлених біля її вершин і кінців; наприклад, говорять: ламана ABCDE .

Ламана лінія називається опуклою, якщо вона вся розміщена по одну сторону від кожного відрізка, який входить до її складу і і продовжений необмежено в обидві сторони. Така, наприклад, ліня, зображена на рисунку 3.1,

14

тоді як ламана рисунка 3.2 не буде опуклою (вона розміщена не по одну сторону від прямої BC ).

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3 Рис. 3.4

Коли кінці ламаної сходяться в одну точку, то вона занивається замкнутою (наприклад, лінія ABCDEA на рис. 3.3).

Фігура, утворена замкнутою ламаною разом з частиною площини, обмеженою цією лінією, називається многокутником (рис.3.4). сторони цієї ламаної називаюся сторонами многокутника, кути, складені кожними двома сусідніми сторонами – кутами многокутника, а їх вершини – вершинами многокутника. Сама ламана лінія, що обмежує многокутник, називається його контуром, а відрізок, рівний сумі всіх його сторін, – периметром.

Многокутник називається опуклим, якщо він обмежений опуклою ламаною лінією, такий, наприклад, як на рис. 3.3. Многокутник, зображений на рис. 3.4, не є опуклим. Подалі ми розглядатиме, головним чином, опуклі многокутники.

Усяка пряма (як AC , AD на рис. 3.3), яка сполучає вершини двох кутів многокутника, що не прилягають до однієї сторони, називається діагоналлю многокутника.

Найменше число сторін у многокутнику – три. За числом сторін многокутник називається трикутником, чотирикутником, п’ятикутником і т.д.

Для скорочення трикутник позначається символом „ ”. Трикутники поділяються за порівняльною довжиною їх сторін або за

величиною їх кутів. Відносно довжини сторін вони бувають: різносторонні (рис. 3.5), коли всі сторони різної довжини, рівнобедрені (рис. 3.6), коли дві сторони однакові; зокрема, рівнобедрений трикутник називається рівностороннім (рис. 3.7), коли всі три його сторони рівні між собою.

Рис. 3.5 Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8 Рис. 3.9

Будь-яка сторона трикутника менша суми і більша різниці двох інших сторін.

Відносно величин кутів трикутники бувають гострокутні (рис. 3.5 – 3.7), коли всі куті кострі, прямокутні (рис. 3.8), коли серед кутів є прямий, і тупокутні (рис. 3.9), коли серед кутів є тупий.

15

У прямокутному трикутнику сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить проти прямого кута – гіпотенузою.

У довільному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти рівних сторін – рівні кути. Зокрема рівносторонній трикутник разом з тим рівнокутний.

Сума кутів довільного трикутника дорівнює 180 (рис. 3.10). У рівносторонньому трикутнику кожен кут дорівнює 60 .

Кут, суміжний з яким-небудь кутом трикутника (або многокутника), називається зовнішнім кутом цього трикутника (або многокутника). Такі, наприклад, кути BCD , CBE , BAF (рис. 3.11). При кожному куті трикутника можна побудувати по два зовнішні кути (продовживши одну або другу сторону кута). Ці два кути рівні як вертикальні.

Властивості зовнішнього кута: 1) зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута,

не суміжного з ним. Наприклад, ABCD , BBCD (рис. 3.11); 2) зовнішні кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не

суміжних з ним: BABCD (рис. 3.10).

Рис. 3.10 Рис. 3.11

3.2 Ознаки рівності та подібності трикутників

Дві геометричні фігури, наприклад, два трикутника, називаються рівними, якщо вони при накладанні можуть бути суміщені. У трикутниках, що суміщаються, звичайно, повинні бути відповідно рівні всі їх елементи, тобто сторони та кути. Проте для того, що стверджувати, що два трикутника рівні, нема потреби встановлювати рівності всіх їх елементів, досить упевнитись у рівності тільки деяких з них.

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними): якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 3.12):

111

1

11

11

CBAABCAACAACBAAB

.

Рис. 3.12

16

Друга ознака рівності трикутників (за двома кутами та стороною між ними): якщо два кути і прилегла до них сторона одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам і прилеглій до них стороні другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 3.13):

111

1

1

11

CBAABCCCAACAAC

.

Рис. 3.13

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами): якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 3.14):

111

11

11

11

CBAABCCBBCCAACBAAB

.

Рис. 3.14 Ознака подібності трикутників за двома кутами: якщо два кути

одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні (рис. 3.15):

ABCCCAA

1

1 ~ 111 CBA .

Рис. 3.15 Ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між

ними: якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні (рис. 3.16):

ABCAA

CAAC

BAAB

1

1111 ~ 111 CBA .

Рис. 3.16 Ознака подібності трикутників за трьома сторонами: якщо три

сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні (рис. 3.17):

ABCCB

BCCA

ACBA

AB

111111

~ 111 CBA .

Рис. 3.17

17

Відношення периметрів та площ подібних трикутників:

Якщо ABC ~ 111 CBA , то kCB

BCCA

ACBA

ABPP

CBA

ABC

111111111

;

2

111

kSS

CBA

ABC

, де k – коефіцієнт подібності.

3.3 Визначні лінії трикутника

Висотою трикутника, опущеною з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.

Нехай в ABC aAC , bAB , cBC , ahBD – висота, опущена на сторону а (рис. 3.15, 3.16). Тоді

a

cpbpappha

2, де

2cbap

.

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці, яка зветься його ортоцентром.

Рис. 3.18 Рис. 3.19 Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається

відрізок, що сполучає вершину з серединою протилежної сторони трикутника. Нехай в ABC amBE – медіана, що зв’язує вершину В із серединою

сторони а (рис. 3.18, 3.19). Тоді

222221 acbma .

Сторону трикутника можна обчислити за формулою

222221

acb mmma ,

де cba mmm ,, – медіани трикутника. Три медіани трикутника перетинаються в

одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні 1:2 , починаючи від вершини трикутника. Тобто,

якщо CPBKAN ,, – медіани трикутника ABC (рис. 3.20), то

1:2::: OPCOOKBOONAO . Точка перетину медіан є центром ваги

трикутника.

A

N

B

P

CK

O

Рис. 3.20

18

Бісектрисою трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає цю вершину з точкою на протилежній стороні (бісектриса, взагалі кажучи, не збігається ні з медіаною, ні з висотою).

Нехай в ABC alBF – бісектриса трикутника, проведена до сторони а (рис. 3.18). Тоді

apbcpcb

la

2 , де

2cbap

; інакше

cbacbbc

la

22

.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам: bcnm :: (рис. 3.21),

Довжину бісектриси можна обчислити за формулою mnbcl 2 .

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в цей трикутник. Його радіус

p

cpbpapr .

Якщо AN – бісектриса зовнішнього кута PAB ABC (рис. 3.22), а N – точка перетину бісектриси і продовження сторони ВС, то

CNBNACAB :: .

Рис. 3.21

A

N

B

PC

Рис. 3.22

Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

Властивість середньої лінії трикутника: середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох даних сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині. Тобто, якщо MN – середня лінія ABC , то 1) ACMN ;

2) ACMN21

(рис. 3.23).

Рис. 3.23

3.4 Рівнобедрений трикутник. Рівносторонній трикутник Нагадаємо, що трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві

сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою трикутника.

Властивості рівнобедреного трикутника 1) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. 2) бісектриса, медіана і висота рівнобедреного трикутника, проведені до

основи, збігаються.

19

Тобто, якщо ABC – рівнобедрений BCAB , BK – висота, проведена до основи АС (рис. 3.24), то:

1) CA ; 2) ACBK ; KBCABK ; ACAK .

Рис. 3.24

Ознаки рівнобедреного трикутника 1) Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. 2) Якщо в трикутнику медіана є висотою, то він рівнобедрений. 3) Якщо в трикутнику висота є бісектрисою, то він рівнобедрений. 4) Якщо в трикутнику бісектриса є медіаною, то він рівнобедрений. Оскільки рівносторонній трикутник є частинним

випадком рівнобедреного трикутника, для нього справедливі всі попередні властивості: якщо АВ = ВС = АС= а (рис. 3.25), то

1) 60A B C ; 2) висота, медіана і бісектриса, проведені з кожної вершини, збігаються; 3) точка О є центром вписаного і описаного кіл.

A

B

C

aO

R

r

a

aN

h

Рис. 3.25

3.5 Прямокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо мін має прямий кут. Сторони прямокутного трикутника, що утворюють прямий кут,

називаються катетами; сторона, протилежна до прямого кути, називається гіпотенузою.

Ознаки рівності прямокутних трикутників: через те, що в прямокутних трикутниках кути, які лежать між катетами, завжди рівні, як кути прямі, то прямокутні трикутники рівні, якщо

1) катети одного трикутника відповідно рівні катетам другого; 2) гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і

катетові другого; 3) катет і гострий кут одного трикутника рівні відповідно катету і

гострому кутові другого трикутника; 4) гіпотенуза і гострий кут одного трикутника відповідно рівні

гіпотенузі і гострому кутові другого. Ознаки подібності прямокутних трикутників: через те, що прямі кути

завжди дорівнюють один одному, то, на підставі ознак подібності трикутників, можна стверджувати, що прямокутні трикутники подібні, якщо

1) гострий кут одного трикутника дорівнює гострому кутові другого; 2) катети одного трикутника відповідно пропорційні катетам другого; 3) якщо гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно пропорційні

гіпотенузі і катетові другого.

20

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного . На рисунку 3.26:

ca

sin , звідси sin ca ; sin

ac ;

cb

cos , звідси cos cb ; cos

bc ;

batg , звідси tgba ;

abctg , звідси ctgab .

Рис. 3.26

Отже, катет прямокутного трикутника, протилежний до гострого кута, дорівнює добутку гіпотенузи на синус цього кута, або добутку прилеглого катета на тангенс цього кута.

Катет прямокутного трикутника, прилеглий до гострого кута, дорівнює добутку гіпотенузи на косинус цього кута, або добутку протилежного катета на котангенс цього кута.

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці катета, прилеглого до гострого кута, на косинус цього кута, або частці катета, протилежного до гострого кута, на синус цього кута.

Для кутів 30 , 45 і 60 прямокутного трикутника значення їх тригонометричних функцій відомі:

2130sin ;

2330cos ;

3130 tg ; 330 ctg ;

2360sin ;

2160cos ; 360 tg ;

3160 ctg ;

2245cos45sin ; 145045 ctgtg .

Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи

дорівнює суми квадратів катетів: 222 bac (рис. 3.26). Наслідок з теореми Піфагора у прямокутному трикутнику будь-який з

катетів більший за гіпотенузу.

21

Співвідношення між елементами прямокутного трикутника: Нехай АС, ВС – катети, АВ – гіпотенуза прямокутного трикутника АВС (рис. 3.27);

CN AB ; CN h ; cBN a ; cAN b , де ,c ca b – проекції катетів a i b на гіпотенузу. Тоді 2

ca a c ; 2

cb b c ; 2

c ch a b ;

abhc

. A

B

C

c

Nh cb

ca

a

b

Рис. 3.27

3.6 Теореми синусів та косинусів Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів:

2sin sin sin

a b c R ,

де R - радіус описаного кола (рис. 3.28). A

B

C

ca

b

Рис. 3.28 Наслідки теореми синусів

1) Проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона;

2) Будь-яка сторона трикутника дорівнює подвоєному радіусу описаного кола, помноженому на синус протилежного кута : 2 sina R , sin2Rb ,

sin2Rc . Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

cos2222 bccba ; cos2222 accab ;

2 2 2 2 cosc a b ab (рис. 3.28). Якщо 90 , то 2 2 2a b c (теорема Піфагора); якщо 90 , то 2 cos 0ab ; якщо 90 , то 2 cos 0ab .

Наслідки: 1) у паралелограмі (рис. 3.29)

2 2 2 21 2 2 2d d a b ;

2) якщо m - медіана трикутника

(рис. 3.30), то 2 2 21 2 22

m a b c .

a

b

d1

d2

a

b

cm

Рис.3.29 Рис. 3.30

22

3.7 Площа трикутника Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту,

проведену до цієї сторони.

cbaABC hchbhaS 21

21

21 ,

де cba hhh ,, – висоти, проведені до сторін cba ,, відповідно (рис. 3.31). Як наслідок, площа прямокутного

трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

a b

c

ah

bh

ch

Рис. 3.31

Площа трикутника дорівнює половині добутку його двох будь-яких його сторін на синус кута між ними.

sin21sin

21sin

21 abacbcS ABC (рис. 3.31).

Якщо ABC – рівносторонній,

aACBCAB (рис. 3.32), то

43

23

2160sin

21 2

2 aaaaS ABC . 60

6060

Рис. 3.32

Формула Герона для площі трикутника: cpbpappS ,

де cba ,, – довжини сторін трикутника, 22

1 cbaPp – півпериметр.

Приклад 1 У трикутнику ABC кут А становить 90 , катет АС

дорівнює 8, а гіпотенуза – 10 (рис. 3.33). Знайти: 1) катет АВ; 2) tgC , Ccos , Bsin , ctgB ; 3) площу трикутника.

Розв’язання. 1) за теоремою Піфагора 222 BCACAB . 36810 222 AB , 6AB ;

2) 43

86

ACABtgC ,

54

108cos

BCACC ,

54cossin CB ,

43

tgCACABctgB ;

3) 248621

21

ACABS . Рис. 3.33

Відповідь: 6AB , 43

tgC , 54cos C ,

54sin B ,

43

ctgB , 24S .

23

Приклад 2 Гіпотенуза с прямокутного трикутника дорівнює 64 .

Знайти катети трикутника, якщо синус кута дорівнює 43 (рис. 3.34).

Розв’язання. ca

sin ; 644

3 a ; 63

4364 a .

4291666961663642222 acb .

Рис. 3.34 Відповідь: 63 , 42 .

Приклад 3 У трикутнику дві сторони рівні 5 см і 6 см, а синус кута між

ними дорівнює 0,6. Знайти третю сторону. Розв’язання. Оскільки у трикутнику задані дві сторони і кут між ними,

можна застосувати теорему косинусів: 2 2 2 2 cosc a b ab .

Для визначення cos при відомому значенні sin застосуємо основну тригонометричну тотожність:

1cossin 22 . 64,036,01cos2 , 8,0cos .

1) 8,0cos , значить трикутник гострокутний (косинус кута додатний): 138,030236252 c , 13c (см).

2) 8,0cos , значить трикутник тупокутний (косинус кута від’ємний): 1098,030236252 c , 109c (см).

Відповідь: 13 см або 109 см. Приклад 4 Сума двох нерівних висот рівнобедреного трикутника

дорівнює h , а кут при вершині дорівнює . Знайти бічну сторону трикутника. Розв’язання. Нехай AK і BD – нерівні висоти трикутника АВС

BCAB (рис. 3.35). За умовою задачі hAKBD , ABC . З прямокутного трикутника ABD знаходимо

2cos ABBD . Із прямокутного трикутника AKB

знаходимо sin KBAK . Отже, hABAB sin2

cos ;

hAB

sin

2cos ;

sin2

cos

hAB . Рис. 3.35

Відповідь: sin

2cos

h .

24

Приклад 5 У рівнобедреному трикутнику з кутом 120º і основою 34

проведена медіана до основи. Обчислити периметр трикутника. Розв’язання. Нехай у рівнобедреному трикутнику АВС АВ = ВС = а,

АС = 34 (рис. 3.36). Оскільки трикутник рівнобедрений, то тільки

кут В може дорівнювати 120º. Можна знайти х за теоремою косинусів, але краще з вершини В провести перпендикуляр ACBN , тоді

32 NCAN , а 60ABN .

У ABN xAB

AN 3223;60sin ; 4x .

348342 xP .

CA

x x

B

N Рис. 3.36

Відповідь: 348 . Приклад 6 Знайти площу трикутника, медіани якого дорівнюють:

91 m , 122 m , 153 m . Розв’язання. Нехай у трикутнику АВС BK 91 m , AN 122 m ,

CP 153 m (рис. 3.37). Оскільки медіани трикутника перетинаються в

одній точці, яка ділить кожну медіану у відношенні 1:2 , починаючи від вершини трикутника, то

33:9 OK , 62 OKBO ; 43:12 ON , 82 ONAO ; 53:15 OP , 102 OPCO .

Додаткові побудови: продовжимо медіану BK

Рис. 3.37

і відкладемо відрізок OKKD . CKOAKD за двома сторонами та кутом між ними ( OKKD , KCAK , CKOAKD як вертикальні), отже,

10OCAD . Розглянемо AOD : 8AO , 10AD , 62 OKOD . 2461082 AODP .

За формулою Герона ODpADpAOppS AOD , 1221

AODPp .

2421241262412612101281212 2 AODS . Оскільки CKOAKD , то 24 AOCAOD SS , а оскільки точка О – центр ваги трикутника АВС, то 722433 AOCABC SS .

Відповідь: 72.

25

Приклад 7 Довести, що в довільному трикутнику квадрат бісектриси дорівнює різниці між добутком бічних сторін і добутком відрізків, на які ця бісектриса поділяє основу.

Доведення. Нехай BD – ABC (рис. 3.38). За теоремою косинусів з ABD

BDABADBDAB

2

cos222

,

а за теоремою косинусів з DBC

BDBCDCBDBC

2

cos222

.

Рис. 3.38 Прирівняємо вирази для косинусів того самого кута:

BDABADBDAB

2

222

BDBCDCBDBC

2

222

.

Домножимо обидві частини рівності на BDBCAB 2 : 222 ADBDABBC 222 DCBDBCAB ;

222222 DCABBDABBCABADBCBDBCABBC ; 222 DCABADBCABBCBCABABBCBD .

Тому що BD – бісектриса, то BCAB

DCAD

, тобто ABDCBCAD , звідки

вірні співвідношення: ADABDCADBC 2 ; DCBCADDCAB 2 . Підставляючи отримані вирази в перетворене рівняння, знайдемо: ABBCADDCABBCBCABBD 2 . Тепер необхідно розглянути два випадки:

1) нехай ABBC . Тоді одержимо ADDCBCABBD 2 , що і потрібно було довести;

2) нехай ABBC . Тоді одержимо ABC – рівнобедрений і BD не тільки бісектриса, але і медіана, і висота цього трикутника. За теоремою Піфагора 222 ADABBD , що і потрібно було довести;

Приклад 8 Обчислити бісектрису AN трикутника АВС , якщо АВ = 6 см,

АС = 9 см, ВС = 10 см (рис. 3.39). Розв’язання. Нехай бісектриса lAN , тоді

cdabNCBNACABl 2 . Оскільки l – бісектриса, то виконується

співвідношення dc

ba , а оскільки 10 dc , то

cd 10 ; c

c

109

6 ; c

c

103

2 ; cc 3220 ;

4c , 6d . Отже, 302 l , 30l (см). C

A

a

b

cB

Nd

l

Рис. 3.39 Відповідь: 30 см.

26

Приклад 9 У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює 72º, а бісектриса цього кута дорівнює m . Знайти сторони трикутника.

Розв’язання. Нехай АВС – даний рівнобедрений трикутник BCAB , у якому 72 CA , KACBAK , mAK (рис. 3.40).

367272180 B . Оскільки в ABK 36 BAKB , то за ознакою рівнобедреного

трикутника ABK – рівнобедрений mBKAK . Розглянемо ACK . AKC – зовнішній кут трикутника ABK при

вершині K . За властивістю зовнішнього кута трикутника 723636 ABKBAKAKC . Оскільки в AKC 72 ACKAKC ,

то за ознакою рівнобедреного трикутника ACK – рівнобедрений mACAK . Нехай xAB , тоді mxCK . За властивістю бісектриси трикутника

маємо: ACAB

KCBK

; mx

mxm

; 2mmxx ;

022 mmxx ; 222 514 mmmD ;

251

25

25 2

1

mmmmmx ;

02

512

5 2

1

mmmx (не задовольняє умову

задачі). Отже, 2

51

mBCBA , mAC .

3636

36

7272

Рис. 3.40

Відповідь: mm ,2

51 .

Приклад 10 Периметри подібних трикутників відносяться як 5 : 7, а

сума їх площ дорівнює 296 см2. Знайти площі трикутників. Розв’язання. Нехай 1P і 2P – периметри двох подібних трикутників, 1S і

2S – їх площі. Тоді kPP

75

2

1 , де k – коефіцієнт подібності, а 49252

2

1 kSS .

За умовою задачі

;296

,4925

21

2

1

SSSS

;296

,4925296

21

2

2

SSS

S

22 2964925 SS ; 22 491450425 SS ;

1450474 2 S ; 1962 S (см2);

100196296296 21 SS (см2). Відповідь: 196 см2, 100 см2 .

27

Приклад 11 Периметр прямокутного трикутника дорівнює 60 см. Знайти його сторони, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см.

Розв’язання. Нехай АВС – даний прямокутний трикутник, у якому ABCD , 12CD см (рис. 3.41); 60ABCP см.

Нехай aBC , bAC , cAB , тоді користуючись теоремою Піфагора та формулами площини прямокутного трикутника, маємо:

;1221

21

,,60

222

cab

cbacba

;12,

,60222

22

cabcba

cba

3600222222 bcacabcba ; 36002222 bacabcba ;

36006012222 ccccc ; 36002120242 22 cccc ; 3600144 c ; 25c .

Рис. 3.41

;300,35

abba

;30035,35

bbba

;030035,35

2 bbba

;20,2035

,15,1535

1

2

1

1

ba

ba

.20,15

,15,20

1

2

1

1

ba

ba

Відповідь: 15 см, 20 см, 25 см.

Приклад 12 Точка ділить катет прямокутного трикутника у відношенні 1 : 2, рахуючи від вершини гострого кута, і віддалена від гіпотенузи на 2 см. Довжина другого катета 7 см. Обчислити площу трикутника.

Розв’язання. Нехай АВС – даний прямокутний трикутник (рис. 3.42), у якому 2:1: CKBK , ABKD , 2KD см. Нехай в одній частині х см, тоді

xBK см, xCK 2 см, xxxBC 32 (см). Розглянемо ACB і KDB . У них:

спільний90

BDC

ACB ~ KDB (за двома кутами).

Отже, CBBD

ACKD

. Рис. 3.42З прямокутного KDB за наслідком з теореми Піфагора знаходимо BD :

42 xBD . Тоді x

x3

472 2 ; xx 647 2 ; 22 36449 xx ;

1963649 22 xx ; 19613 2 x ; 13

1962 x 13

14x або

1314

x (не

задовольняє умові задачі).

28

Отже, 13

14BK см;

1342

131433 xBC (см).

1313147

13147

13427

21

21

BCACS ABC (см2 ).

Відповідь: 13

13147 см2 .

Питання для самоперевірки 1 Що називається трикутником? 2 Які види трикутників залежно від довжини сторін? 3 Які існують види трикутників залежно від величини кутів? 4 Що називається висотою, бісектрисою і медіаною трикутника? 5 Які властивості рівнобедреного трикутника? 6 Яка залежність існує між сумою і різницею двох сторін трикутника? 7 Сформулюйте і доведіть теорему про суму кутів трикутника 9 Чому дорівнює сума гострих кутів прямокутного трикутника ? 10 Який кут трикутника називається зовнішнім? Сформулюйте

властивості зовнішнього кута трикутника. 11 Сформулюйте теореми синусів та косинусів для довільного

трикутника. 12 Наведіть формули, за якими обчислюється площа трикутника.

Приклади для самостійного розв’язання Основні елементи трикутника

1 Трикутник, периметр якого дорівнює 24 см, поділений висотою на два трикутники, периметр яких 14 і 18 см. Знайти довжину цієї висоти. Відповідь: 4 см.

2 Периметр гострокутного трикутника дорівнює 46,2 см, а довжина сторін, утворюючих кут при вершині – 10,5 і 15,9 см. Висота поділяє третю сторону на два відрізки, довжина одного з яких складає 15/7 іншого. Визначити довжини цих відрізків. Відповідь: 6,3 см, 13,5см.

3 В рівнобедреному трикутнику основа відноситься до бічної сторони як 4 : 7, а різниця їх довжин дорівнює 6 см. Знайти периметр трикутника. Відповідь: 36 см.

4 Медіана, проведена до однієї із сторін рівнобедреного трикутника, поділяє його периметр на дві частини завдовжки 15см і 6 см. Визначити довжину кожної сторони трикутника. Відповідь: 1 см, 10 см, 10 см.

5 Довжини сторін трикутника відносяться як 4 : 4 : 2, а різниця півпериметра і основи дорівнює 0,9 м. Визначити довжини сторін трикутника. Відповідь: 1,2 м, 1,2 м, 0,6 м.

29

6 В рівнобедреному трикутнику основа відноситься до бічної сторони як 3 : 5, а сума їх довжин дорівнює 32 см. Знайти периметр трикутника. Відповідь: 52 см.

7 На бічній стороні рівнобедреного трикутника побудований рівносторонній трикутник, периметр якого дорівнює 45 м. Визначити основу рівнобедреного трикутника, якщо його периметр рівний 40 м. Відповідь: 10 м.

8 Периметр прямокутного трикутника дорівнює 17 см. Знайти довжини його сторін, якщо гіпотенуза довше за катет на 2 см, а гострі кути рівні. Відповідь: 5 см, 5 см, 7 см.

9 Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 50 см, а периметр трикутника, відокремлюваного від даного висотою, опущеною на основу, дорівнює 40 см. Визначити довжину висоти. Відповідь: 15 см.

10 Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо довжина бісектриси кута при вершині дорівнює 15 см і складає 75% від довжини бічної сторони та 3/5 від довжини основи. Відповідь: 65 см.

11 Обчислити величини кутів трикутника, якщо вони відносяться як 2 : 3 : 4. Відповідь: 40º, 60º, 80º.

12 В трикутнику АВС бісектриси внутрішніх кутів В і С, перетинаючись, утворюють кут 116º. Знайти величину кута А. Відповідь: 52º.

13 Визначити величини кутів трикутника, якщо величина одного з них складає 2/3 величини другого і 4/5 величини третього. Відповідь: 48º, 72º, 60º.

14 Величини кутів при основі рівнобедреного трикутника складає 130% величини кута при вершині. Визначити величини кутів трикутника. Відповідь: 65º, 65º, 50º.

15 В прямокутному трикутнику АВС В = 58º. З середини М катета АС встановлений перпендикуляр МN до перетину з гіпотенузою АВ в точці N і точка N сполучена з точкою С. Визначити АСN і ВСN. Відповідь: 58º, 32º.

16 В прямокутному трикутнику величина одного з гострих кутів дорівнює 60º, а сума довжин гіпотенузи і меншого катета дорівнює 1,8 м. Визначити довжину гіпотенузи. Відповідь: 1,2 м.

17 В прямокутному трикутнику величина гострого кута дорівнює 4 . Визначити довжини катетів, якщо їх сума дорівнює 36 см. Відповідь: 18 см.

18 В прямокутному трикутнику величина гострого кута дорівнює 45º. Визначити довжину гіпотенузи, якщо в сумі з опущеною на неї висотою вона складає 12 см. Відповідь: 8 см.

19 В рівнобедреному трикутнику довжина бічної сторони дорівнює 26 см, а довжина висоти – 13 см. Знайти величину тупого кута між бісектрисами кутів при основі. Відповідь: 150º.

30

20 У трикутнику бісектриса кута при вершині складає з основою кут 104º і дорівнює однієї з бічних сторін. Визначити величини кутів трикутника. Відповідь: 48º; 56º; 76º.

21 Величини кутів при основі трикутника дорівнюють 65º і 37º. Визначити величину кута між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини трикутника. Відповідь: 14º.

22 Величини кутів трикутника відносяться як 1 : 2 : 3. Сума довжин меншої і більшої його сторін дорівнює 7,2 см. Знайти довжину більшої сторони трикутника. Відповідь: 4,8 см.

23 В прямокутному трикутнику АВС В = 30º, АС = 3,5 см. Знайти довжини відрізків, на які поділяє гіпотенузу перпендикуляр, опущений з вершини прямого кута. Відповідь: 1,75 см, 5,25 см.

24 В рівнобедреному трикутнику величина кута між основою і висотою, опущеною на бічну сторону, дорівнює 48º. Знайти величини кутів трикутника. Відповідь: 42º, 42º, 96º.

25 В рівнобедреному трикутнику АВС АС – основа, СD – бісектриса кута С, кут АСD = 150º. Визначити кут В. Відповідь: 140º.

26 Якщо на гіпотенузі ВС рівнобедреного прямокутного трикутника ВАС відзначити дві точки Е і D так, що ВЕ = ВА і СD = CА, то є45DAE . Довести.

27 Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 36º.Довести, що бісектриса кута при основі, продовжена до перетину з протилежною стороною, ділить рівнобедрений трикутник на два трикутники.

28 Величина зовнішнього кута трикутника дорівнює 104º, величини внутрішніх кутів, не суміжних з ним, відносяться, як 3 : 5. Визначити величини кутів трикутника. Відповідь: 39º, 65º, 76º.

29 Величина одного з гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 30º. Знайти величину гострого кута між бісектрисою прямого кута і гіпотенузою. Відповідь: 75º.

Метричні співвідношення в трикутниках 30 Катети прямокутного трикутника відносяться як 5 : 6, а гіпотенуза

дорівнює 122 см. Знайти відрізки гіпотенузи, що відтинаються висотою. Відповідь: 50 см, 72 см.

31 Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 2, а висота поділяє гіпотенузу на відрізки, з яких один на 2 м більше за інше. Визначити гіпотенузу. Відповідь: 5,2 м.

32 Катети прямокутного трикутника відносяться, як 3 : 7, а висота, проведена на гіпотенузу, дорівнює 42 см. Визначити відрізки гіпотенузи. Відповідь: 18 см, 98 см.

33 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 16 і 12 см. Визначити медіану гіпотенузи. Відповідь: 10 см.

34 У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 17 см, а основа 16 см. Визначити висоту. Відповідь: 15 см.

35 Визначити бічну сторону рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 4 см, а кут при неї – 45º. Відповідь: 22 см.

31

36 В прямокутному трикутнику один з кутів 30º, а більший катет дорівнює 6 см. Визначити дві інші сторони трикутника. Відповідь: 32 см і 34 см.

37 Бічні сторони трикутника 25a см і 30b см, а висота 24ch см. Визначити основу. Відповідь: 25 см або 11 см.

38 З однієї точки проведені до даної прямої перпендикуляр і дві похилі. Визначити довжину перпендикуляра, якщо похилі дорівнюють 41 см і 50 см, а їх проекції на дану пряму відносяться як 3 : 10. Відповідь: 40 см.

39 Визначити катети прямокутного трикутника, якщо бісектриса прямого кута поділяє гіпотенузу на частини 15 см і 20 см. Відповідь: 21 см і 28 см.

40 Визначити висоту, проведену на бічну сторону рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 30 дм, а висота 20 дм. Відповідь: 24 дм.

41 Визначити невідому сторону трикутника, якщо дві інші дорівнюють 8 см і 15 см і утворюють кут 60º. Відповідь: 13 см.

42 Визначити невідому сторону трикутника, якщо дві інші дорівнюють 11 см і 24 см і утворюють кут 120º. Відповідь: 31 см.

43 Визначити невідому сторону трикутника, якщо дві інші дорівнюють 18 см і 7 см і утворюють кут 45º. Відповідь: 5 см.

44 Сторона трикутника дорівнює 21 см, а дві інші сторони утворюють кут 60º і відносяться як 3 : 8. Визначити ці сторони. Відповідь: 9 см і 24 см.

45 В трикутнику бічна сторона дорівнює 16 м і утворює з основою кут 60º. Інша бічна сторона дорівнює 14м. Визначити основу трикутника Відповідь: 10м і 6м.

46 Основа трикутника дорівнює 13 см, а кут при вершині 60º. Сума бічних сторін дорівнює 22 см. Знайти бічні сторони і висоту.

Відповідь: бічні сторони дорівнюють 7 см і 15 см, висота 726

3105 см.

47 В трикутнику основа дорівнює 12 см, один з кутів при ньому 120º, сторона проти цього кута – 28 см. Знайти третю сторону. Відповідь: 20 см.

48 Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 18 см, 26 см. Знайти медіану великої сторони. Відповідь: 11 см.

49 Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см, бічна сторона – 20 см. Знайти площу трикутника. Відповідь: 192 см2.

50 Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 30º. Знайти бічну сторону трикутника, якщо його площа дорівнює 200 см2. Відповідь: 28 см.

51 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см. Висота, проведена на бічну сторону, дорівнює 24 см. Знайти площу трикутника. Відповідь: 300 см2.

52 Визначити меншу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 25см, 29 см і 36 см. Відповідь: 20 см.

32

Обчислення площі трикутника 53 Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 120º, а бічна

сторона дорівнює 12 см. Знайти площу трикутника. Відповідь: 336 см2.

54 Знайти площу прямокутного трикутника, якщо його висота поділяє гіпотенузу на відрізки 8 см і 18 см. Відповідь: 156 см2.

55 Знайти площу рівнобедреного прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює 20 см. Відповідь: 100 см2.

56 Знайти площу прямокутного трикутника, один з катетів якого дорівнює 15 см, а висота, проведена на гіпотенузу, дорівнює 12 см. Відповідь: 150 см2.

57 Знайти площу прямокутного трикутника, якщо один з його катетів дорівнює 24 см, а гіпотенуза – 26 см. Відповідь: 120 см2.

58 Знайти площу трикутника, якщо його основа дорівнює а, а кути при

основі 30º і 45º. Відповідь: 134

2

a .

59 Площа прямокутного трикутника 720 см2, а катети відносяться як 9 : 40. Знайти гіпотенузу. Відповідь: 82 см.

60 Знайти площу прямокутного трикутника, якщо його висота поділяє гіпотенузу на відрізки 32 см і 18 см. Відповідь: 6 дм2.

60 Визначити катети прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 73 см, а площа 1320 см2. Відповідь: 55 см і 48 см.

61 В рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 10 см, а площа – 48 см2. Визначити його основу. Відповідь: 12 см або 16 см.

62 Обчислити площу трикутника, якщо його висота дорівнює 36 см, а бічні сторони 60 см і 85 см. Відповідь: 2250 см2 або 522 см2.

63 Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, бічна сторона більше висоти на 2 см. Знайти площу трикутника. Відповідь: 48 см2.

64 Обчислити площу трикутника, якщо різниця двох його бічних сторін дорівнює 2 см, а відрізки, на які висота поділяє його основу, дорівнюють 9 см і 5 см. Відповідь: 84 см2.

65 Знайти площу прямокутного трикутника, катет якого дорівнює 20 см, а його проекція на гіпотенузу – 16 см. Відповідь: 150 см2.

66 На скільки відсотків збільшиться площа трикутника, якщо його основу збільшити на 50%, а висоти зменшити на 20 % ? Відповідь: 20 %.

33

IV ЧОТИРИКУТНИКИ Многокутник, що має чотири сторони і, відповідно, чотири кута,

називається чотирикутником. Сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360218024180 . За властивостями сторін та кутів чотирикутники

поділяються на паралелограми, прямокутники, ромби та трапеції.

4.1 ПаралелограмПаралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого

попарно паралельні, тобто, якщо ABCDADBC

CDAB

– паралелограм (рис. 4.1).

Властивості паралелограма 1) У паралелограма протилежні сторони і протилежні кути рівні, тобто,

якщо ABCD – паралелограм (рис. 4.2), то CA , DB , CDAB , ADBC . 2) Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тобто,

якщо ABCD – паралелограм (рис. 4.3), то OCAO , ODBO . 3) Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його

сторін; якщо ABCD – паралелограм (рис. 4.3), то 2222 2 BCABBDAC .

Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3

Ознаки паралелограма

1) Якщо в чотирикутнику дві сторони рівні і паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм;

ABCDCDAB

CDAB

– паралелограм (рис. 4.4);

Рис. 4.4

2) Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм;

ABCDADBCCDAB

– паралелограм (рис. 4.5); Рис. 4.5

3) Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм;

ABCDDBCA

– паралелограм (рис. 4.6);

Рис. 4.6

34

4) Якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм;

ABCDADBCCDAB

– паралелограм (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Площа паралелограма 1) Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту,

проведену до цієї сторони; BKADS ABCD , DMABS ABCD (рис. 4.8).

2) Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторони на синус кута між ними;

sin ADABS ABCD , sin180sin BCABBCABSABCD (рис. 4.9).

3) Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними;

sin21

BDACS ABCD (рис. 4.10).

180

Рис. 4.8 Рис. 4.9 Рис. 4.10

4.2 РомбРомбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні. .

ABCDADCDBCAB

ADBCCDAB

,, –ромб (рис. 4.11).

Рис. 4.11 Властивості ромба

1) Оскільки ромб є паралелограмом, то він має всі його властивості.

2) Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом; якщо ABCD – ромб (рис. 4.12), то ACBD .

3) Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів; якщо ABCD – ромб (рис. 4.12), то DBCABD ,

BDCADB , CABDAC , ACDBCA .

Рис. 4.12

35

Ознаки ромба 1) Оскільки ромб є паралелограмом, то він має всі властивості. 2) Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кутів, то він є

ромбом. 3) Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом;.

Площа ромба Нехай aADCDBCAB – сторони ромба,

ahAK – висота, проведена до сторони ромба, 1dAC і 2dBD – діагоналі ромба (рис. 4.13).

Тоді aABCD haS ; BaS ABCD sin2 ;

2121 ddS ABCD . Рис. 4. 13

4.3 Прямокутник. Квадрат

Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі.Властивості прямокутника

1) Оскільки прямокутник є паралелограмом, то він має всі властивості.

2) Діагоналі прямокутника рівні; якщо ABCD – прямокутник (рис. 4.14), то BDAC .

Рис. 4.14Ознаки прямокутника

1) якщо у паралелограма хоча б один кут прямий, то він – прямокутник; якщо ABCD – паралелограм, 90A (рис. 4.14) ABCD – прямокутник.

2) якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він – прямокутник; якщо ABCD – паралелограм, BDAC (рис. 4.14) ABCD – прямокутник.

Площа прямокутника Нехай aAB , bBC , dBDAC (рис. 4.15). Тоді abS ABCD ;

sin21 2 dS ABCD .

Рис. 4.15

Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні, або ромб, у якого

всі кути прямі. Властивості квадрата

1) У квадрата всі сторони рівні. 2) Всі кути квадрата прямі. 3) Діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом і точкою

перетину діляться навпіл. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів.

36

Ознака квадрата Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під

прямим кутом, то цей прямокутник – квадрат; якщо ABCD – прямокутник (рис. 4.16), BDAC ABCD – квадрат.

Рис. 4.16Площа квадрата

Нехай aAB , bBC , dBDAC (рис. 4.16).

Тоді 2aS ABCD ; 2

21 dS ABCD .

4.4 Трапеція

Теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі і відтинають на одній прямій пропорційні відрізки, відтинають пропорційні відрізки і на другій прямій;

21

1

21

1

2211

21

21

,,,,,,

BBBB

AAAA

BABAABbBbBbBaAaAaA

(рис. 4.17).

Рис. 4.17

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною. Властивості рівнобічної трапеції

1) У рівнобічній трапеції кути при основі рівні;

,трапеція,

CDABADBCABCD

DA (рис. 4.18).

2) У рівнобічній трапеції діагоналі рівні;

,трапеція,

CDABADBCABCD

BDAC (рис. 4.18).

Рис. 4.18

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.

Властивість середньої лінії трапеції Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх полусумі;

трапеціїлініясередня

трапеція,

MNABCD ADBCMN

21

(рис. 4.19).

M N

B

A

C

D Рис. 4.19

37

Ознаки рівнобічної трапеції 1) Якщо в трапеції кути при основі рівні, то вона рівнобічна;

,трапеція,

DAADBCABCD

CDAB (рис. 4.18).

2) якщо в трапеції діагоналі рівні, то вона рівнобічна;.

,трапеція,

BDACADBCABCD

CDAB (рис. 4.18).

Площа трапеції

Нехай MN – середня лінія трапеції ABCD , ADBK (рис. 4.20). Тоді

BKMNBKADBCS ABCD

2

;

sin21

BDACS ABCD

Рис. 4.20 Приклад 1 Периметр прямокутника ділиться бісектрисою його кута на

дві частини, різниця яких дорівнює 20. знайти сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 80.

Розв’язання. Нехай у прямокутнику ABCD AN – бісектриса кута А (рис. 4.21). Тоді 4521 , abNCaBN , ;

;802,202

baaabab

;40,2022

baab

;40,10

baab

.25,15

ba

Рис. 4.21

Відповідь: 15, 25.

Приклад 2 Знайти сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 4 : 5, а площа прямокутника дорівнює 80 см2.

Розв’язання. Позначимо сторони прямокутника a і b . a :b= 4 : 5, отже, xa 4 , xb 5 ; 802054 2 xxxS , звідки 42 x , а 2x . Тому

84 x , 105 x .Відповідь: 8 см, 10 см.

Приклад 3 Діагоналі прямокутника, що утворюють кут 30 ,

дорівнюють 4 см. знайти його площу.

Розв’язання. 44

16214

2130sin 22 dS (см2).

Відповідь: 4 см2.

38

Приклад 4 Перпендикуляр, опущений із вершини паралелограма на його діагональ, ділить цю діагональ на відрізки, що дорівнюють 6 см і 15 см. Різниця між довжинами сторін паралелограма дорівнює 7 см. знайти сторони паралелограма та його сторони.

Розв’язання. Нехай ABCD – даний паралелограм (рис. 4.22), у якому xAB , 7 xBC ,

ACBK , 6AK см, 15KC см. Нехай yBK , тоді з прямокутних трикутників

BKA і BKC за теоремою Піфагора маємо: Рис. 4.22

;157

,6222

222

yx

yx

;2251449,36

22

22

yxxyx

;17614,36

22

22

xxyxy

1761436 22 xxx ; 14014 x ; 10x . Отже, 10AB см, 177 xBC (см), 21156 KCAKAC (см).

2222 2 BCABACBD ; 2222 1710221 BD ; 7784412 BD ; 3374417782 BD ; 337BD (см).

Відповідь: 10см, 17 см, 21 см, 337 см. Приклад 5 Основа трикутника дорівнює 22 см, а бічні сторони – 13 см

і 19 см. Знайти медіану, проведену до основи. Розв’язання. Нехай АВС – даний трикутник, у якому BO – медіана,

проведена до сторони AC , АС = 22 см, АВ = 13 см, ВС = 19 см. (рис. 4.23).

Побудуємо BOOD , тоді ABCDBOODOCAO

,

–

паралелограм (за ознакою паралелограма). 2222 2 BCABBDAC ; 2222 1913222 BD ;

10604842 BD ; 5762 BD ; 24BD .

1221

BDBO (см).

Рис. 4.23

Відповідь: 12 см. Приклад 6 Знайти площу ромба, якщо його сторона дорівнює 16 см,

а сума діагоналей – 40 см. Розв’язання. 4021 dd . Піднесемо до квадрата цю рівність:

22221

21 402 dddd , розділимо праву і ліву частини на 4:

44040

42

421

22

21

dddd . Враховуючи, що 2

22

21

4add

, а pSdd

2

21 , маємо

4002 pSa ; 14425640016400 2 pS (см2). Відповідь: 144 см2.

39

Приклад 7 Перпендикуляр, проведений із вершини тупого кута ромба, ділить його сторону на відрізки, різниця між якими 11 см.. Обчислити периметр ромба, якщо відстань від точки перетину його діагоналей до сторони дорівнює 12 см.

Розв’язання. Нехай ABCD – ромб (рис. 4.24), ь у якому B – тупий, бісектриса ADBM , ADOK , 12OK см.

Нехай xAM , тоді 11 xMD , 11211 xxxMDAMAD .

Оскільки діагоналі ромба в точці перетину діляться навпіл, то ODBO .

OKBMADOKADBM

,

; Рис. 4.24

KDMKADKADMBDOBDB

ODBOOKBM

,,,,,,

(за теоремою Фалеса).

Отже, 121

21

xMDKD . 11321

211

2311

21112 xxxxKDADAK .

Оскільки діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то 90AOD .

Отже, KDAKOK 2 ; 1121113

21122 xx ; 12111333

41144 2 xxx ;

576121443 2 xx ; 0455443 2 xx ; 22 8673964553444 D ;

76

426

86441

x ; 0

365

68644

1

x (не задовольняє умові задачі).

251172112 xAD (см). 100254 ABCDP (см).

Відповідь: 100 см. Приклад 8 Дано трикутник АВС (рис. 4.25). Точка L поділяє сторону

ВС навпіл. Точка K поділяє навпіл відрізок BL . З вершини А через точки K і L проведені промені і на них відкладені поза трикутником АВС відрізки

ALLD і AKKF31

. Знайти відношення площ трикутника АВС і

чотирикутника KLDF . Розв’язання. Оскільки точка L поділяє відрізок ВС навпіл і ALLD ,

то фігура, що може бути побудована послідовним з’єднанням точок CD,B,A, буде паралелограмом ABDC . Позначимо aAK ,

тоді 3aKF , bALLD , cCL , KLA ,

KAL .

a

Рис. 4.25

40

За теоремою синусів у AKL вірно співвідношення sinsin

AKKL ,

звідки a

c2sinsin

.

Площу чотирикутника KLDF можна визначити як різницю площ трикутників AFD і AKL .

sin21sin

21 abKALALAKS AKL . Аналогічно sin

68 abS AFD . Значить,

sin125

2sin

65sin

21

68

bc

acababSKLDF .

Оскільки ALBALC SS (основи BL і LC рівні за умовою, а висота

збігається), то ALBABC SS . sinsin212 bcALBLBALS ABC .

Тепер запишемо відношення площ у такій формі:

512

sin5sin12

bcbc

SS

KLDF

ABC .

Відповідь: 5

12 .

Приклад 9 Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а її

площа дорівнює 2a . Визначити висоту трапеції. Розв’язання. Нехай ABCD – дана трапеція (рис. 4.26)., у якій ADBC , BDAC , 2aS ABCD .У рівнобічній трапеції віссю симетрії є

перпендикуляр MN до її основи, який проходить через точку О перетину діагоналей.

Оскільки 90AOD , то 45 NDONODOANAON .

Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника ONA і OND – рівнобедрені NDONANON , .

Рис. 4.26

ADNDANONNDONANON

2,

.

Аналогічно доводиться, що BCOM 2 . 2

22

222

2MNMNMNMNONOMMNONOMMNADBCSABCD .

За умовою задачі 22 aMN , звідки aaMN 2 Відповідь: а.

41

Приклад 10 У трикутник АВС вписано квадрат таким чином, що одна з його сторін лежить на стороні АВ трикутника АВС (рис. 4.27). Знайти сторону

цього квадрата, якщо АВ = АС = 8 см, а 528BC см.

Розв’язання. Знайдемо висоту рівнобедреного трикутника АВС:

5212

521664

2

22

BCABAD (см).

Нехай шукана сторона квадрата xKN . CKN ~ CAB ( C в них спільний і CABCKN як відповідні при

паралельних прямих KN і AB і січної АС ). Отже, ABKN

CBCN

або ABCBxCN

.

NMB ~ ADB ( B в них спільний і 90 NMBADB ). Отже,

ABNB

ADNM

або AD

ABxNB .

Тепер знайдемо невідому х з співвідношення CBNBCN :

CBABCB

ADABx

;

11

ABCBADABx ;

181

85212

8

x , звідки х = 3.

Рис. 4.27

Відповідь: сторона квадрата дорівнює 3 см.. Приклад 11 Прямокутник AKDE складений з трьох однакових

квадратів. Визначити суму трьох кутів DAECAEBAE (рис. 4.28).

Розв’язання. 45BAE ;

tgtg

tgtgtgDAECAEtg

1.

З тригонометричних співвідношень у вихідній фігурі випливає:

31,

21 arctgDAEarctgCAE ,

тоді за формулою 1

6565

31

211

31

21

tg .

Рис. 4.28

Звідси 45 , а сума трьох кутів DAECAEBAE = 90º. Відповідь: 90º.

42

Приклад 12 В трапеції діагоналі завдовжки 6 см і 8 см взаємно перпендикулярні. Знайти довжину середньої лінії трапеції.

Розв’язання. Спосіб 1. Зробимо додаткові побудови: проведемо DK || АС і продовжимо сторону BC до перетину з прямою DK (рис. 4.29).

Оскільки ACKD – паралелограм, то DK = 6 см. DKBD , оскільки ACBD . Отже, BDK –

прямокутний і за теоремою Піфагора 22 DKBDBK ; 1068 22 BK (см).

Середня лінія трапеції дорівнює півсумі її

основ, тобто 5222 BKCKВСАDВС (см).

Відповідь: 5 см. Рис. 4.29

Спосіб 2 (схожий на спосіб 1). Проведемо СЕ || BD до перетину з

продовженням основи AD (рис. 4.30). BCDE , оскільки DВСЕ – паралелограм.

Довжину відрізка АЕ обчислимо за теоремою Піфагора з прямокутного ACE ( BDCE , але BDАС, отже, ACCE ):

22 CEACAE ; 1086 22 AE (см).

Довжина середньої лінії 522 AEba (см).

Рис. 4.30

Відповідь: 5 см.

Спосіб 3. Нехай MN – середня лінія трапеції (рис. 4.31). Проведемо BDMK і з'єднаємо точки N і K . NK – середня лінія ACD, отже, NK= ½ АС NK = 3 (см). MK – середня лінія ABD, отже, MK= ½ BD MK = 4 (см).

MKN = AOD як кути з відповідно паралельними сторонами. MNK – прямокутний.

22 NKMKMN ; 534 22 MN (см). Відповідь: 5 см.

Рис. 4.31

Спосіб 4. З'єднаємо середини сторін трапеції

(рис. 4.32). Легко довести, що MPNQ – паралелограм з

прямим кутом, тобто прямокутник із сторонами 3 см і 4 см. Його діагоналі MN = PQ = 5 см (єгипетський трикутник).

Відповідь: 5 см.

Рис. 4.32

43

Спосіб 5. Продовжимо сторону CA на відстань AM = CO (рис. 4.33). Через точку M проведемо MN || AD, де N – точка перетину прямої MN і діагоналі BD. В MON 90O , OM = 6 см, ON = 8 см. За теоремою Піфагора MN =10 см.

Проведемо MK || ND і продовжимо AD до перетину з MK. MAK = BOC (за двома катетами), отже, AK = BC.

Отриманий чотирикутник MKDN – паралелограм, в якому DK = MN = = 10 см. Але DK = AD + BC. Таким чином, середня лінія дорівнює 5 см.

Відповідь: 5 см. Спосіб 6. Продовжимо діагональ CA за точку А на відрізок AM = ОС, а

діагональ BD – за точку B на відрізок DN = BO (рис. 4.34). Отримали прямокутний MON з катетами 6 см і 8 см, звідки гіпотенуза MN = 10 см.

Проведемо AE MN, DF MN, OK BC. AEM = ОКС, DFN =OKB за двома кутами та стороною між ними. Отже, ME = KC і FN = BK, тобто MN = AD + BC = 10 (см) і середня лінія дорівнює 5 см.

Відповідь: 5 см.

Рис. 4.33 Рис. 4.34 Спосіб 7. Нехай xOC , yBO ; тоді xAO 6 , yDO 8 (рис. 4.35).

З подібності BOC і AOD маємо:

yy

xx

86; xyyxyx 68 ; yx 68 ; xy

34

.

BOC – прямокутний, отже, xxxxxxBC35

925

916

34 222

22

.

З тієї ж подібності BOC і AOD AOOC

ADBC

; x

xAD

x

635

, звідки

xxAD3510)6(

35

. Тоді середня лінія 52

3510

35

2

xxBCAD (см).

Відповідь: 5 см.

44

Спосіб 8 (схожий на спосіб 7). Продовжимо діагональ CA і BD на відрізки AM = ОС і DN = BO (рис. 4.36). В прямокутному MON гіпотенуза MN = 10 см. Скориставшись попередніми викладками, і,

враховуючи, що AOD ~MОN, 571043

43 ,MNAD (см), xBC

35

.

Оскільки ВОС ~AOD, AOOC

ADBC

; x

x,

x

65735

; 51,x (см).

525135

35 ,,xBC (см) і середня лінія дорівнює 5

25257

2

,,BCAD (см).

Відповідь: 5 см.

x6

y8

Рис. 4.35 x

6

y8

Рис. 4.36

Спосіб 9 (тригонометричний). Пам’ятаючи, що xy34

(рис. 4.37), в

прямокутному трикутнику ВОС 343

4

x

x

xytg . Користуючись

тригонометричною формулою

22

cos11 tg , знайдемо cos :

53cos .

З BOC: BCOC

cos ; xxOCBC35

35

cos

.

З AOD: ADAO

cos ;

xxxAD

635

365

53

6 .

Рис. 4.37

Середня лінія

52

35

3510

2356

35

2

xxxxBCAD (см).

Відповідь: 5 см.

45

Спосіб 10 (тригонометричний). Оскільки ВОС ~AOD (рис. 4.38),

xy34

; ab

xx

6

, bxbax 6 , bxba 6 , sin

332

xbba .

43

34

x

xyxtg , а

53sin , тому що прямокутний

трикутник з катетами 3 і 4 має гіпотенузу 5.

Таким чином, 5

533

sin3

2

ba (см).

Відповідь: 5 см.

Рис. 4.38

Спосіб 11. Проведемо висоти трапеції HCEBF (рис. 4.39).

В ACE 226 HAE ; в DBF 228 HFD . babmbnHHFDAE 22 6436 .

Середня лінія 2

64362

22 HHba

.

З ACE 236 H

HAECEtg

. Але, як

вже було з’ясовано, 34

tg . Отже, 34

36 2

HH ;

Рис. 4.39

23643 HH ; 22 1636169 HH ; 361625 2 H ; 25

36162 H ; 8,4

564

H .

Таким чином, 52

4,66,32

8,4648,4362

22

ba (см).

Відповідь: 5 см. Спосіб 12. Оскільки діагоналі трапеції перпендикулярні, то

21трап 21 ddS ; 2486

21

трап S (см2). Але інакше HbaS

2трап .

Висоту H можна розглядати і як висоту прямокутного трикутника FBD (рис. 4.40) з катетами 6 см і 8 см та гіпотенузою

1086 22 (см). Площа цього трикутника

BDFBHFDSFBD 21

21 , 86

2110

21 HSFBD ,

звідки 8,4H (см),

Отже, 58,4

242

трап

HSba (см).

Відповідь: 5 см.

Рис. 4.40

46

Питання для самоперевірки 1 Який чотирикутник називається паралелограмом? 2 Сформулюйте властивості та ознаки паралелограма. 3 Наведіть формули, за якими обчислюється площа паралелограма. 4 Який чотирикутник називається ромбом? 5 Сформулюйте властивості та ознаки ромба. 6 Наведіть формули, за якими обчислюється площа ромба. 7 Який чотирикутник називається прямокутником? 8 Сформулюйте властивості та ознаки прямокутника. 9 Наведіть формули, за якими обчислюється площа прямокутника. 10 Який чотирикутник називається квадратом? 11 Сформулюйте властивості та ознаки квадрата. 12 Наведіть формули, за якими обчислюється площа квадрата. 13 Сформулюйте теорему Фалеса. 14 Який чотирикутник називається трапецією? Яка трапеція називається

рівнобічною? 15 Сформулюйте властивості та ознаки рівнобічної трапеції. 16 Сформулюйте властивості середньої лінії трапеції. 17 Наведіть формули, за якими обчислюється площа трапеції.

Приклади для самостійного розв’язання Основні елементи чотирикутників. Метричні співвідношення в

чотирикутниках 1 Визначити величини кутів паралелограма, якщо 1) один з них більше

іншого на 15º32´; 2) відношення кутів дорівнює 3/9. Відповідь: 1) 82º14´, 97º46´; 2)78º45 ,́ 101º15´;

2 В паралелограмі АВСD довжина сторони АВ дорівнює 9 см і складає 3/10 всього периметра. Визначити довжини сторін паралелограма. Відповідь: 6 см, 9 см.

3 В паралелограмі АВСD з вершини В опущений перпендикуляр ВЕ на основу АD. Знайти кути і периметр паралелограма, якщо АD = 18 см, АЕ =6 см, АВЕ = 30º. Відповідь: 60º, 120º, 60 см.

4 Довжини сторін паралелограма відносяться, як 2 : 5, а його периметр дорівнює 9,8 см. Визначити довжин сторін паралелограма. Відповідь: 1,4 см, 3,5см.

5 В паралелограмі АВСD бісектриса кута А перетинає сторону ВС в точці Е. Визначити ВЕ і ЕС, якщо АВ = 9 см, АD = 15 см. Відповідь: 9 см, 6 см.

6 Довжини сторін паралелограма дорівнюють 3 см і 8 см; бісектриси двох кутів паралелограма, прилеглих до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три частини. Знайти довжини цих частин. Відповідь: 3 см, 2 см, 3 см.

47

7 В паралелограмі АВСD через точку перетину діагоналей проведена пряма, яка відсікає на сторонах ВС і АD відрізки ВЕ = 2 м і АF = 2,8 м. Визначити довжини сторін ВС і АD. Відповідь: 4,8 м.

8 В паралелограмі бісектриса кута поділяє протилежну сторону на відрізки 12 см і 8 см. Знайти периметр паралелограма. Відповідь: 56 см або 64 см.

9 Сторони паралелограма дорівнюють 23 см і 11 см, а діагоналі відносяться як 2 : 3. Обчислити діагоналі. Відповідь: 20 см і 30 см.

10 Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 см і 14 см, а різниця сторін 4 см. Визначити сторони паралелограма. Відповідь: 7 см і 11 см.

11 Визначити висоту паралелограма, у якого основа дорівнює 51 см, а діагоналі 40 см і 74 см. Відповідь: 24 см.

12 Периметр прямокутника дорівнює 80 см. Знайти довжини сторін прямокутника, якщо вони відносяться як 3 : 5. Відповідь: 15 см, 25 см.

13 Діагональ прямокутника поділяє його кут у відношенні 1 : 2. Визначити довжину діагоналі прямокутника, якщо сума довжин обох діагоналей і менших сторін дорівнює 24 см. Відповідь: 8 см.

14 В прямокутнику бісектриса ділить протилежну сторону у відношенні 1 : 3. Знайти довжини сторін прямокутника, якщо його периметр дорівнює 56 м. Відповідь: 16 м і 12 м або 5,6 м і 22,4 м.

15 Діагональ прямокутника удвічі довший за його сторону. Знайти величину гострого кута між його діагоналями. Відповідь: 60º.

16 В прямокутнику діагональ утворює із стороною кут 37º. Визначити величину кута між діагоналями, зверненого до меншої сторони. Відповідь: 72º.

17 В прямокутнику визначити величину кута між меншою стороною і діагоналлю, якщо він на 30º більше кута між діагоналями, що спирається на ту ж саму сторону. Відповідь: 50º.

18 В прямокутний трикутник, кожен катет якого має довжину 6 см, вписаний прямокутник, що має з трикутником спільний кут. Знайти периметр прямокутника. Відповідь: 12 см.

19 В рівнобедрений прямокутний трикутник вписаний прямокутник так, що дві його вершини знаходяться на гіпотенузі, а дві інші – на катетах. Визначити довжини сторін прямокутника, якщо вони відносяться як 5 : 2, а довжина гіпотенузи дорівнює 45 см. Відповідь: 25 см і 10 см або 18,75 см і 7,5 см.

20 В ромбі одна з діагоналей дорівнює стороні. Визначити кути роба. Відповідь: 120º, 60º.

21 Величини кутів, утворюваних стороною ромба з його діагоналями, відносяться як 5 : 4. Знайти величини кутів ромба. Відповідь: 80º, 100º.

22 Знайти величини кутів ромба, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, поділяє протилежну сторону ромба навпіл. Відповідь: 60º, 120º.

48

23 Довжина висоти ромба дорівнює 1 см, а периметр – 8 см. Знайти величину тупого кута ромба. Відповідь: 150º.

24 В ромбі висота і менша діагональ утворюють кут величиною 15º. Знайти висоту ромба, якщо його периметр дорівнює 32 см. Відповідь: 4 см.

25 Знайти периметр ромба, висота якого дорівнює 10 см, а тупий кут в 5 разів більше гострого. Відповідь: 80 см.

26 Діагоналі ромба дорівнюють 24 см і 70 см . Визначити сторону ромба. Відповідь: 37 см.

27 Знайти діагоналі ромба, якщо вони відносяться як 3 : 4, периметр дорівнює 1 м. Відповідь: 30 см і 40 см.

28 Діагоналі ромба дорівнюють 14 дм і 48 дм. Знайти висоту ромба. Відповідь: 13,44 дм.

29 Визначити гострий кут ромба, в якому сторона є середня пропорційна між діагоналями. Відповідь: 30º.

30 В рівнобедрений трикутник, катет якого дорівнює 4 см, вписаний квадрат, що має з ним спільний кут. Обчислити периметр квадрата. Відповідь: 8 см.

31 Дан квадрат, сторона якого дорівнює 1 м, а діагональ є стороною іншого квадрата. Знайти довжину діагоналей іншого квадрата. Відповідь: 2м.

32 Довжина діагоналі квадрата дорівнює 6 см. Його сторона служить діагоналлю другого квадрата. Знайти довжину сторони іншого квадрата. Відповідь: 3 см.

33. Бічна сторона рівнобедреного трикутника є одночасно і стороною квадрата, периметр якого 11 см. Периметр трикутника дорівнює 5,75 см. Знайти довжину його основи. Відповідь: 0,25 см.

34 В рівнобічній трапеції менша основа 34 см, бічна сторона 20 см, а кут між ними 120º. Знайти більшу основу. Відповідь: 54 см.

35 В рівнобічній трапеції основи дорівнюють 25см і 16 см. Діагональ трапеції ділить її гострий кут навпіл. Визначити периметр трапеції. Відповідь: 73 см.

36 В рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, що дорівнює 120º, ділить основу на відрізки завдовжки 13 см і 21 см. Знайти периметр трапеції. Відповідь: 94 см.

37 В трапеції АВСD діагональ AC перпендикулярна CD і поділяє BAD навпіл; 60CDA , периметр трапеції дорівнює 2 м. Знайти АD.

Відповідь: 0,8 м. 38 В прямокутній трапеції з гострим кутом 45º основи дорівнюють а і b

ba . Визначити висоту трапеції. Відповідь: ba . 39 В рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 10 см, кут при неї –

45º. Бічні сторони трапеції продовжені до перетину в точці М. Визначити довжину перпендикуляра, опущеного з точки М на дану основу. Відповідь: 5 см.

49

40 В рівнобічній трапеції відстань від кінця більшої основи до протилежної бічної сторони удвічі менша за довжину цієї основи. Визначити величини кутів трапеції. Відповідь: 30º, 150º.

41 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює а, діагональ поділяє гострий кут цієї трапеції навпіл. Знайти величини кутів трапеції, якщо її периметр дорівнює 5а. Відповідь: 60º, 120º.

42 Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайти величини кутів трапеції. Відповідь: 60º, 120º.

43 Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 4.5 м; більша основа – 1,5м; діагональ трапеції поділяє гострий кут навпіл. Знайти меншу основу трапеції. Відповідь: 1 м.

44 В рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки завдовжки 6 см і 30 см. Визначити довжини основ трапеції. Відповідь: 24 см, 36 см.

45 В рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 2,7 м, бічна сторона дорівнює 1 м, кут між ними – 60º. Знайти довжину меншої основи. Відповідь: 1,7 м.

46 Периметр прямокутного трикутника дорівнює 30 см. Одна із його сторін на 7 см довше іншої і на 1 см коротше за третю. Визначити довжину середньої лінії, проведеної між катетами трикутника. Відповідь: 6,5 см.

47 Периметр трикутника дорівнює 27 см, а довжина його сторін відносяться як 3 : 2 : 4. Знайти довжини сторін трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника. Відповідь: 4,5 см, 3 см, 6 см.

48 В рівнобічній трапеції з гострим кутом 60º середня лінія дорівнює 26 см, а бічна сторона – 14 см . Знайти довжини основ трапеції. Відповідь: 19 см, 33 см.

49 В рівнобічній трапеції висота дорівнює 10 см, діагоналі взаємно перпендикулярні. Знайти довжину середньої лінії трапеції. Відповідь: 10 см.

50 АВСD – рівнобічна трапеція, СЕ – висота, DЕ = 1,25 см, довжина середньої лінії дорівнює 2,75 см. Знайти довжини основ трапеції. Відповідь: 1,5 см, 4 см.

51 Висота рівнобічної трапеції дорівнює 5 см, середня лінія 18 см, а гострий кут 45º. Обчислити довжини основ трапеції. Відповідь: 13 см, 23 см.

52 Довжини основ трапеції відносяться як 8 : 5. Різниця між ними 1,8 м. Знайти середню лінію трапеції. Відповідь: 3,9 м.

53 Діагональ трапеції ділить середню лінію на два відрізки, довжини яких відносяться як 3 : 4. Знайти довжини основ трапеції, якщо один відрізок довше за інший на 5 см. Відповідь: 30 см, 40 см.

54 В рівнобічній трапеції основи дорівнюють 10 см і 24 см, бічна сторона 25 см. Знайти висоту трапеції. Відповідь: 24 см.

50

55 В рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює 41 см, висота 4 дм і середня лінія 45 см. Знайти основу трапеції. Відповідь: 36 см і 54 см.

56 В рівнобічній трапеції визначити довжини діагоналей, якщо основи дорівнюють 4 см і 6 см, а бічна сторона 5 см. Відповідь: 7см.

Обчислення площ чотирикутників 57 Знайти сторони прямокутника, якщо вони відносяться, як 4 : 9, а його

площа дорівнює 36 см2. Відповідь: 4 см і 9 см. 58 Одна із суміжних сторін прямокутника більше іншої на 8 см, суміжні

сторони відносяться як 3 : 5. Обчислити площу прямокутника. Відповідь: 240 см2.

59 Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а різниця суміжних сторін – 2 см. Визначити діагональ і площу прямокутника. Відповідь: 10см, 48 см2.

60 Периметр прямокутника дорівнює 48 см, а площа – 128 см2. Знайти довжини сторін цього прямокутника. Відповідь: 16 см, 8 см.

61 Сума суміжних сторін прямокутника дорівнює 32 см. Одна з суміжних сторін прямокутника більше іншої на 8 см. Обчислити площу прямокутника. Відповідь: 240 см2.

62 Периметр прямокутника дорівнює 40 см. Суміжні сторони відносяться як 2 : 3. Знайти площу прямокутника. Відповідь: 96 см2.

63 Периметр прямокутника дорівнює 32 см. Висота відноситься до основи як 3 : 5. Знайти площу прямокутника. Відповідь: 60 см2.

64 Висоти паралелограма відносяться як 2 : 3, периметр його дорівнює 40 см, а гострий кут 30º. Визначити його площу. Відповідь: 48 см2.

65 Площа паралелограма дорівнює 114 см2, а його висоти дорівнюють 8 см і 12 см. Знайти периметр паралелограма. Відповідь: 60 см.

66 Площа паралелограма дорівнює 24 см2. Знайти відстань між сторонами, рівними 6 см. Відповідь: 4 см.

67 Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, гострий кут між ними 30º. Знайти площу паралелограма. Відповідь: 24 см2.

68 Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 16 см, а кути, прилеглі до однієї сторони, відносяться як 1 : 5. Знайти площу паралелограма. Відповідь: 80 см2.

69 Визначити площу ромба, якщо гострий кут якого дорівнює 60º, а висота – 6 см. Відповідь: 34 3 см2.

70 Обчислити площу ромба, периметр якого дорівнює 72 см, а гострий кут 30º. Відповідь: 162 см2.

71 Площа ромба 120 см2, а висота дорівнює 8 см. Знайти периметр ромба. Відповідь: 60 см.

72 Сторона ромба дорівнює 20 см. Знайти площу ромба, якщо один з його кутів 150º. Відповідь: 2 дм2.

73 Площа ромба 144 см2, а одна з його діагоналей дорівнює 18 см. Знайти довжину іншої діагоналі. Відповідь: 16 см.

51

74 Обчислити висоту ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 16 см і 12 см. Відповідь: 9,6 см.

75 Основи прямокутної трапеції дорівнюють 12 см і 17 см, а менша з бічних сторін дорівнює 13 см. Знайти площу трапеції. Відповідь: 174 см2.

76 Визначити площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 42 см і 54 см, а кут при більшій основі 45º. Відповідь: 288 см2.

77 В рівнобічній трапеції нижня основа дорівнює 44 см, бічна сторона 17 см і діагональ 39 см. Знайти площу трапеції. Відповідь: 540 см2.

78 Основи прямокутної трапеції дорівнюють 60 см і 24 см, а менша діагональ – 40 см. Знайти площу трапеції і її велику діагональ. Відповідь: 1344 см2, 68 см.

79 Визначити площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 51 см і 69 см, а бічна сторона 41 см. Відповідь: 24 дм2.

80 Обчислити площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 12 см і 20 см, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Відповідь: 256 см2.

81 Визначити площу трапеції паралельні сторони якої 60 см і 20 см, а непаралельні – 13 см і 37 см. Відповідь: 480 см2.

82 Визначити площу рівнобічної трапеції, діагоналі якої взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює h. Відповідь: h2.

83 Менша основа трапеції дорівнює 1 см, бічна сторона довжиною 2 см складає з більшою основою кут 30º, інший кут при цій основі дорівнює 45º.

Обчислити площу трапеції. Відповідь: 2

33 см2.

84 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 4 м і 6 м, а її площа – 5 м2. Визначити гострий кут трапеції. Відповідь: 45º.

85 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 7 см і 13 см, а її площа – 40 м2. Знайти периметр трапеції. Відповідь: 30 см.

V КОЛО І КРУГ 5.1 Коло, хорди, дуги, дотичні і січні

Колом називається геометрична фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Дана точка називається центром кола, а відрізок, що сполучає центр із якою-небудь точкою кола, називається радіусом кола. Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.

На рис. 5.1 точка О – центр кола, ОА = ОВ – радіуси кола, АВ – діаметр, СD – хорда.

Найбільшою хордою є діаметр. Рис. 5.1

52

Властивості відрізків дуг і хорд. 1) Рівні дуги стягують рівні хорди і навпаки; CDAB DCBA

; DCBA

CDAB (рис. 5.2).

2) Паралельні хорди відтинають на колі рівні дуги; CDAB DBCA

(рис. 5.3).

3) Хорда, яка перпендикулярна до діаметра, ділиться точкою перетину навпіл; CDAB FDCF (рис. 5.4).

4) Якщо точка F є точкою перетину хорд АВ і CD , то DFCFBFAF (рис. 5.5).

Рис. 5.2 Рис. 5.3 Рис. 5.4 Рис. 5.5

Пряма і коло можуть мати одну або дві спільні точки і можуть не мати

жодної спільної точки. Пряма, що має з колом тільки одну спільну точку, називається дотичною

до кола, а їх спільна точка називається точкою дотику прямої та кола. Пряма, що має з колом дві спільні точки, називається січною.

Властивості дотичних і січних 1) Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку

дотику. 2) Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні.

Таким чином, якщо АВ і АС – дотичні до кола, то ABOB , ACOC , ACAB (рис. 5.6).

Рис. 4.6 Рис. 4.7 Рис. 4.8

3) Якщо з точки Р проведено дві січні до кола, що перетинають коло

відповідно в точках A , B , C і D , то DPCPBPAP (рис. 5.7). 4) Якщо з точки М проведено дотичну і січну до кола, які перетинають

коло відповідно в точках A , B і C , то MBMAMC (рис. 5.8).

53

5.2 Кути в колі Центральним кутом у колі називається плоский кут із вершиною в

центрі кола. Нехай точка О – центр кола, а точки А і В лежать на колі. Тоді кут AOB є центральним кутом кола (рис. 5.9).

Частина кола, розміщена в середині плоского кута, називається дугою кола, що відповідає цьому центральному куту (або кажуть, що центральний кут спирається на дану дугу). Градусною мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута.

На рис. 5.9 AOB – центральний кут, BA

– дуга, що відповідає AOB ,

BA

= AOB . На рис. 5.10 AOB – центральний

кут, BA

– дуга, що відповідає AOB , BA

= AOB . Рис. 5.9 Рис. 5.10

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло.

Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута: на рис. 5.11

ABC – вписаний кут, AOC – відповідний

центральний кут, ABC AOC21 .

З цього факту випливає наступне: 1) вписані кути, що спираються на діаметр

кола, прямі: 90ABC (рис. 5.12);

Рис. 5.11

2) вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу (хорду), а вершини лежать з одного боку від цієї хорди, рівні: ABC ADC AKC (рис. 5.13);

3) два вписаних в коло кути, що спираються на одну й ту ж хорду, а вершини лежать по різні боки від цієї хорди, в сумі дорівнюють 180 :

180 ADCABC (рис. 5.14).

A

C

B

O

D Рис. 5.12 Рис. 5.13 Рис. 5.14 Рис. 5.15

Кут між хордою і дотичною

Гострий кут між хордою кола й дотичною до кола в кінці хорди дорівнює половині кута між радіусами, проведеними до кінців хорди:

ACD AOC21 (рис. 5.15).

54

Кут між січними Якщо точка перетину січних знаходиться всередині кола, то величина

кута між ними вимірюється полусумою величин відповідних дуг:

S DCBA

21 , тобто S CODAOB

21 (рис. 5.16).

Якщо точка перетину січних знаходиться зовні кола, то величина кута між цими січними дорівнює піврізниці величин отриманих дуг:

S BADC

21 , тобто S AOBCOD

21 (рис. 5.17).

Кут між січною і дотичною

S BACB

21 , тобто S AOBCOB

21 (рис. 5.18).

Рис 5.16 Рис 5.17 Рис 5.18

Довжина кола, площа круга та його частин

Довжина кола обчислюється за формулою dRC 2 , де R – радіус кола, d – його діаметр.

Площа кола обчислюється за формулою 2RS , де R – радіус круга.

Площа сектора АОВ обчислюється за формулою

2

2

сек

RS , де – кут у радіанах або

360

2

сек

RS , де – кут у градусах (рис. 5.19).

Площу сегмента CmD можна обчислити таким чином: CODCOD SSS сексег .

Рис 5.19

Приклад 1 Довжина кола 18C см. Знайти площу круга, обмежену

цим колом. Розв’язання. 182 RC ; 9R ; 812 RS (см2).Відповідь: 81S см2.

55

Приклад 2 Площа круга 18S см2. 18C см. Знайти довжину кола, що обмежує цей круг.

Розв’язання. 182 RS ; 2318 R ; 262322 RC (см).

Відповідь: 26C см. Приклад 3 Коло радіуса r 6 см розігнуто в дугу, що вимірює

центральний кут 300º. Знайти радіус дуги R . Розв’язання. Довжина первісного кола 122 rC (см). Значить,

довжина дуги у 300º також дорівнює 12 см (рис. 5.20). З іншого боку, довжина дуги у 300º

виражається таким співвідношенням:

RCL 35

300180

.

Отже, 1235

R , 5

36R (см).

Відповідь: радіус дуги дорівнює 5

36 см..

Рис. 5.20

Приклад 4 Знайти площу кругового кільця, укладеного між двома

колами з тим самим центром і радіусами 4r см і 6R см (рис. 5.21). Розв’язання. Для обчислення площі кільця, укладеного між двома

колами з радіусами R і r , скористаємося формулою 22 rRS .

Підставимо числові значення радіусів: 2046 22 S (см2). Відповідь: 20 см2.

Рис. 5.21

Приклад 5 В колі проведено хорду 12AC м і діаметр АВ. Проекція хорди на діаметр дорівнює 4AD м. Знайти радіус кола.

Розв’язання. Оскільки AD – проекція, то 90CDA (рис. 5.22). З прямокутного ADC знайдемо катет:

28168412 2222 ADACCD (м). 90ACB (як вписаний кут, що спирається на діаметр);

CAD ~ DCB за двома кутами ( 90 CDBCDA , ACDBCDBCABCDCBD 90 ).

Рис. 5.22

З подібності трикутників випливає: BDCD

CDAD

. Тепер можемо визначити

довжину BD : 324

2642

AD

CDBD (м).

Діаметр дорівнює 36326 DBAD (м), отже, радіус дорівнює 18 м. Відповідь: 18 м.

56

Приклад 6 З точки кола, довжина якого дорівнює 52 , опущено перпендикуляр на його діаметр (рис. 5.23). Знайти довжину відрізків, на які він поділяє діаметр, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 24 .

Розв’язання. Оскільки довжина кола дорівнює 52 ,

то його діаметр 5252

BC . Нехай шуканий відрізок

xCK , тоді другий відрізок xCKCBKB 52 . BAC спирається на діаметр, тому 90BAC .

Тепер легко встановлюється подібність наступних

Рис. 5. 23трикутників: CAB ~ CKA ~ AKB (за двома кутами). Тоді має місце

співвідношення KBKA

AKCK

.

За умовою 24AK , отже, x

x

52

2424

; 02452 22 xx

.36,16

2

1

xx

Якщо 16CK , то 361652 KB і навпаки, якщо 36CK , то 163652 KB . Тобто довжини шуканих відрізків дорівнюють 16 і 36.

Відповідь: 16 і 36.

Приклад 7 З кінців дуги АСВ проведені дотичні до перетину в точці D . Визначити площу DACB (рис. 5.24), укладену між двома дотичними і дугою, якщо радіус дорівнює R , а дуга містить 90º.

Розв’язання. Оскільки 90 DBODAO (дотична перпендикулярна радіусу в точці дотику) і за умовою 90AOB , ADBO – прямокутник. Крім того, в цьому прямокутнику суміжні сторони рівні ( RBOAO ), отже, ADBO – квадрат і

2RS ADBO . Знайдемо площу сектора ACBO :

22

сек 436090 RRS

.

Щоб знайти площу шуканої фігури DACB , необхідно від площі квадрата ADBO відняти площу

сектора ACBO : 222

41

4RRRSDACB

(кв.од).

Рис. 5.24

Відповідь: 2

41 RSDACB

кв.од.

Приклад 8 З точки А, що не лежить на колі, проведені до нього дотична

і січна. Відстань від точки А до точки дотику дорівнює 16 см, а відстань до однієї з точок перетинання січної з колом дорівнює 32 см. Знайти радіус кола, якщо січна віддалена від його центра на 5 см.

Розв’язання. За умовою задачі АВ = 12 см (рис. 5.25), АС = 32 см (тому що ABAL , отже, 32AL см), OD – відстань від точки О до АС, 5OD см.

57

Для дотичної АВ і січної АС має місце співвідношення ACALAB 2 . Звідси можна

обчислити довжину AL : 832

1622

ACABAL (см).

24832 ALACCL (см). LODCOD за двома сторонами і кутом між

ними (OD – спільна сторона, OLOC як радіуси кола, 90 ODLODC ).

Рис. 5.25

З рівності трикутників випливає, що 122

242

CLDLCD (см).

COD – прямокутний з відомими катетами, тоді за теоремою Піфагора гіпотенуза 13512 2222 ODCDOC (см), а це і є радіус кола.

Відповідь: 13 см. Приклад 9 Радіуси двох кіл, що перетинаються, дорівнюють 17 см і

39 см. Відстань між центрами дорівнює 44 см. Визначити довжину спільної хорди.

Розв’язання. За умовою задачі AO1 = 17 см, AO2 = 39 см, 21OO = 44 см (рис. 5.26). Необхідно визначити довжину хорди АВ.

CBOCAO 11 як прямокутні за двома сторонами ( CO1 – спільна сторона, BOAO 11 як радіуси кола). Отже, АС = ВС і ACAB 2 .

Покладемо xCO 1 , тоді xCO 442 . Щоб визначити х, виразимо 2AC з двох прямокутних трикутників CAO1 і CAO2 :

22

22

21

21

2 COAOCOAOAC ; Рис. 5.26

2222 443917 xx . Підносячи до квадрату і зводячи подібні, одержимо 8x , тобто CO1 = 8 см.

Тепер залишилося визначити АС з прямокутного трикутника CAO1 :

15817 2221

21 COAOAC (см). Довжина хорди ACAB 2 = 30 см.

Відповідь: 30 см.

Приклад 10 З однієї точки проведено до кола дві дотичні. Довжина кожної дотичної дорівнює 156 дм, а відстань між точками дотику дорівнює 120 дм. Визначити радіус кола.

Розв’язання. Довжини дотичних, проведених з однієї точки, збігаються: 156 ABAC дм, ВС = 120 дм (рис. 5.27).

AKC ~ ACO за двома кутами ( A у них спільний, 90 CK ),

отже, AOAC

ACAK

; AKACAO

2

.

58

Довжину AK знайдемо з прямокутного AKC :

144601562

222

222

BCACCKACAK (дм).

Тепер можемо визначити довжину АО :

16914415622

AKACAO (дм).

Щоб знайти радіус ОС, застосуємо теорему Піфагора

Рис. 5.27

до прямокутного ACO : 654225156169 2222 ACAOOC (дм). Відповідь: 65 дм. Приклад 11 У сегменті хорда дорівнює а, а висота h . Визначити радіус

кола. Розв’язання. За умовою АВ = а, hCD (рис. 5.28).

BDOADO як прямокутні по катету та гіпотенузі (катет DO – спільний,

RAOBO ). Отже, 2aDBAD .

За властивістю пропорційності ліній у колі DLCDDBAD , де CL – діаметр кола.

Звідси h

aCD

DBADDL4

2

.

Весь діаметр h

ahh

ahDLCDCL4

44

222 .

Значить, радіус h

ahCLR8

42

22 .

Рис. 5.28

Відповідь: h

ah8

4 22 .

Питання для самоперевірки

1 Що називається колом; кругом, сектором; сегментом? 2 Сформулюйте властивості відрізків дуг і хорд кола. 3 Сформулюйте властивості дотичних і січних кола. 4 Який кут в колі називається центральним; вписаним? 5 Сформулюйте властивості вписаного кута кола. 6 Як вимірюється кут між хордою і дотичною? 7 Як вимірюються кути між січними? 8 Як вимірюється кут між січною і дотичною? 9 За якою формулою обчислюється довжина кола? 10 За якими формулами обчислюється площа круга; площа сектора;

площа сегмента?

59

Приклади для самостійного розв’язання Коло, його елементи

1 З точки, узятої на колі, проведені дві взаємно перпендикулярні хорди. Відрізок, що сполучає їх середини, дорівнює 12 см. Знайти радіус кола. Відповідь: 12 см.

2 З точки, узятої на колі, проведені діаметр і хорда, що дорівнює радіусу. Визначити величину кута між ними. Відповідь: 60º.

3 Діаметр, перетинаючись з хордою, ділить її на два відрізки завдовжки 3 см і 6 см. Відстань від центра до хорди дорівнює 1,5 см. Знайти величину гострого кута між хордою і діаметром. Відповідь: 45º.

4 Хорда перетинає діаметр під кутом 30º і ділить його на два відрізки завдовжки 2 см і 5 см. Знайти відстань від хорди від центру.

Відповідь: 1 см. 5 В колі на відстані 2 см від центру проведено дві взаємно

перпендикулярні хорди завдовжки по 10 см. На які частини одна хорда ділиться іншою? Відповідь: 3 см і 7 см.

6 В колі з радіусом 16 см проведена хорда, стягуюча дугу в 120º. Знайти відстань від центру кола до хорди. Відповідь: 8 см.

7 Хорда завдовжки 30 см відсікає від кола дугу в 90º. Знайти відстань від центру кола до хорди. Відповідь: 15 см.

8 З точки, узятої зовні кола, проведені до неї дві взаємно перпендикулярні дотичні. Радіус кола дорівнює 20 см. Знайти довжину кожної дотичної. Відповідь: 20 см.

9 Радіуси двох кіл дорівнюють 2 см і 4 см, їх спільні внутрішні дотичні взаємно перпендикулярні. Знайти довжину кожної з них.

Відповідь: 6 см. 10 Радіуси двох концентричних кіл відносяться як 7 : 4, а ширина кільця

дорівнює 12 см. Визначити радіус меншого кола. Відповідь: 16 см. 11 Дано два кола, їх спільні внутрішні дотичні взаємно перпендикулярні.

Довжини хорд, що сполучають точки дотику, дорівнюють 3 см і 5 см. Визначити відстань між центрами. Відповідь: 8 см.

12 Одне коло знаходиться усередині іншого; їх радіуси 28 см і 12 см, а найкоротша відстань між ними дорівнює 10 см. Визначити відстань між центрами. Відповідь: 6 см.

Вимірювання кутів хордами. Центральний кут 13 Хорда завдовжки 16 см стягує дугу в 90º. Визначити її відстань від

центру. Відповідь: 8 см. 14 В колі, радіус якого 1,4 м, визначити відстань від центру до хорди, яка

стягує дугу в 120º. Відповідь: 0,7 м. Вписаний кут

15 Хорда поділяє коло у відношенні 5 : 13. Визначити величини вписаних кутів, що спираються на цю хорду. Відповідь: 50º, 130º.

16 Вписаний в коло трикутник поділяє її своїми вершинами у відношенні 2 : 3 : 5. Визначити кути трикутника. Відповідь: 54º, 90º, 36º.

60

17 Хорда поділяє коло на дві частини, одна з яких складає 125% іншої. Визначити величини вписаних кутів, що спираються на цю хорду.

Відповідь: 100º і 80º. 18 Величина вписаного кута на 28º менша за величину центрального

кута, що спирається на ту ж дугу. Визначити величини цих кутів. Відповідь: 56º і 28º.

Кут між хордою і дотичною

19 Через точку кола проведена хорда і дотична. Визначити гострий кут між ними, якщо центральний кут , що спирається на цю хорду, дорівнює . Відповідь: 2 .

20 Через кінець хорди, що поділяє коло у відношенні 3 : 5, проведено дотична. Визначити величину гострого кута між хордою і дотичною.

Відповідь: 67º30 .́ 21 Хорда стягує дугу в 46º. Визначити величини кутів, які утворює хорда

з дотичними, проведеними через її кінці. Відповідь: 23º. 22 АВ – діаметр, СА і СВ – рівні хорди кола. Які кути утворює

проведена через точку С дотична з даними хордами? Відповідь: 45º. 23 Січна АВС відсікає дугу ВС, що містить 112º, а дотична АD точкою

дотику D ділить цю дугу у відношенні 7 : 9 . Визначити кут ВАD. Відповідь: 7º. 24 Через кінці хорди, яка ділить коло у відношенні 2 : 7, проведені дві

дотичні до їх взаємного перетину. Визначити величини кутів отриманого трикутника. Відповідь: 100º, 40º, 40º.

25 Хорда АВ стягує дугу в 140º. З точок А і В проведені дотичні до їх взаємного перетину. Визначити величини кутів отриманого трикутника. Відповідь: 40º, 70º, 70º.

Кут між січними 26 Хорди АВ і СD перетинаються усередині кола під кутом 35º. Знайти

величини дуг CA

і DB

, якщо їх вони відносяться як 2 : 3. Відповідь: 28º, 42º. 27 Діаметр АВ і хорда СD перетинаються в точці М, CA

= 120º, DB

= 98º. Визначити кут АМD. Відповідь: 71º. 28 З точки В, узятої поза кола, проведені дві січні ВDА і ВЕС. B = 33º.

Зайти величини дуг CA

і ED

, якщо відомо, що CA

більше ED

2,5 рази. Відповідь: 44º, 110º.

29 З точки А, узятої поза кола, проведена січна АВС, що відсікає дугу CB

128º; дотична АD точкою дотику ділить цю дугу на дві частини так, що одна з них на 56º більше іншій. Знайти ВАD. Відповідь: 14º.

30 Чим вимірюється кут, утворений двома дотичними до кола? 31 Величина кута між двома дотичними, що виходять з однієї точки,

дорівнює 56º. Скільки градусів містять дуги, утворені цими дотичними? Відповідь: 124º, 236º.

61

Довжина кола та площа круга 32 На скільки сантиметрів збільшиться довжина кола, якщо її діаметр,

що дорівнює 20 см, збільшили на 25%.? Відповідь: 5 см. 33 Визначити радіус кола, якщо відомо, що довжина цього кола більша за

свій діаметр на 107 см. Відповідь: 25 см. 34 На скільки метрів збільшиться діаметр кола, якщо довжину кола

збільшили на 1 м? Відповідь: 1 м. 35 Радіус кола збільшили на 5 см. на скільки сантиметрів збільшиться

довжина кола? Відповідь: 107 см. 36 Хорда, довжина якої 10 см, стягує дугу в 60º. Зайти довжину дуги.

Відповідь: 5,10 см. 37 По даному радіусу R визначити довжину дуги, яка містить 45º.

Відповідь: R25,0 . 38 Коло радіуса 2 см розігнуто в дугу радіусом 5 см. Знайти отриманий

центральний кут. Відповідь: 144º. 39 По даній довжині дуги L визначити її хорду, якщо дуга містить

1) 60º; 2) 90. Відповідь: 1) L3 ; 2)

22L .

40 В колі хорда стягує дугу 120º і віддалена від її центра на 7 см. Знайти довжину кола та площу круга. Відповідь: 28 см, 196 см2.

41 На скільки відсотків збільшиться площа круга, якщо його радіус збільшити на 50%? Відповідь: 125%.

42 На скільки метрів збільшиться діаметр кола, якщо довжину кола збільшили на 1 м? Відповідь: 1 м.

43 Визначити площу круга, якщо довжина кола дорівнює 157 м. Відповідь: 625 м2.

Різні задачі 44 З точки кола до діаметра проведено перпендикуляр, що поділяє

діаметр на відрізки, довжини яких відносяться як 9 : 4. Знайти довжину цього кола, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 24 см. Відповідь: 52 см.

45 Хорда кола дорівнює 10 см. Через один кінець хорди проведено дотичну до кола, а через другий – січну, паралельну дотичній. Визначити радіус кола, якщо внутрішній відрізок січної дорівнює 12 см. Відповідь: 6,25 см.

46 До кола радіуса 36 см проведено дотичну до точки, віддаленої від центра на 85 см. Знайти довжину відрізка дотичної. Відповідь: 77см.

47 Із спільної точки до кола проведені дві дотичні. Радіус кола дорівнює 11 см, а сума довжин відрізків дотичних – 120 см. знайти відстань від центра кола до даної точки. Відповідь: 61 см.

62

VІ ВПИСАНІ І ОПИСАНІ МНОГОКУТНИКИ. ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ 6.1 Вписані і описані трикутники

Трикутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони є дотичними до цього кола. При цьому коло називається вписаним у трикутник,

У будь-який трикутник можна вписати коло, і до того ж тільки одне. Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину його бісектрис. Центр кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, належить медіані,

висоті і бісектрисі, проведеним з вершини до основи. На рис. 6.1 ABC – рівнобедрений (АВ = ВС), ACBD ; BDO , О –

центр вписаного кола, О – точка перетину бісектрис; rOD – радіус вписаного кола.

Рис. 6.1 Рис. 6.2 Рис. 6.3 Рис. 6.4

Трикутник називається вписаним у коло. якщо всі його вершини належать даному колу. Це коло називається описаним навколо трикутника,

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж тільки одне.

Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів до сторін цього трикутника, проведених через середини цих сторін.

Центр кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, належить прямій, що містить медіану, висоту і бісектрису, що проведені з вершини до основи.

На рис. 6.2 ABC – рівнобедрений (АВ = ВС), ACBK ; BKO , О – центр описаного кола, О – точка перетину серединних перпендикулярів; OB – радіус описаного кола: RCOBOAO .

Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. На рис. 6.3 О – центр описаного навколо прямокутного ABC

кола: RACOCAO 21 .

Центри кіл, описаного навколо рівностороннього трикутника і вписаного в нього, збігаються. Це точка перетину медіан, бісектрис і висот рівнобедреного трикутника. На рис. 6.4 О – центр вписаного і описаного кіл, ROAOB – радіус описаного кола, rODOK – радіус вписаного кола.

63

Зв’язок між елементами трикутників, його площею та радіусами вписаних і описаних кіл наведемо в таблиці 6.1 .

Таблиця 6.1

Фігура Прямокутний трикутник Рівносторонній трикутник Довільний трикутник

a O

r

b

c

R

r 2cbar

32

ar cba

Sr

2

R 2cR

3aR S

abcR4

;

sin2aR

Зв’язок між

r і R 2baRr

rR 2 –

h cabh ;

cc bah 2 23ah sinsin bahc

S

2abS ;

2chS ;

2sinbcS

;

2cos

2sin acacS ;

RhS

432aS

2cchS ;

2sin abS ;

cpbpappS ,

де 2

cbap

a – 32ra ; 3Ra

–

64

6.2 Вписані і описані многокутники. Правильні многокутники Сума внутрішніх кутів опуклого п-кутника дорівнює 2180 n . Сума зовнішніх кутів опуклого п-кутника, узятих по одному при кожній

вершині, дорівнює 360 . Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини

лежать на даному колі. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його

сторони є дотичними до даного кола. Опуклий многокутник називається правильним, якщо в нього всі

сторони рівні і всі кути рівні. Правильний многокутник є вписаним у коло і описаним навколо кола. Ці

кола мають один і той самий центр, який називається центром многокутника. Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника,

обчислюється за формулою

n

aR n180sin2

.

Радіус кола, вписаного в правильний многокутник, обчислюється за

формулою

ntg

ar n1802

.

Площа довільного многокутника, описаного навколо кола, дорівнює половині добутку периметра многокутника на радіус вписаного кола:

rpS , де р – півпериметр.

6.3 Вписані і описані чотирикутники

Для чотирикутників, вписаних у коло і описаних навколо даного кола, мають місце наступні твердження.

1) У чотирикутника, описаного навколо кола, суми довжин протилежних сторін рівні:

BCADCDAB (рис. 6.5). 2) Якщо в опуклому чотирикутнику суми довжин

протилежних сторін рівні між собою, то в нього можна вписати коло. Із усіх паралелограмів лише в ромб та в квадрат можна вписати коло. Центр його лежить в точці перетину діагоналей.

Рис. 6.5 3) Якщо трапеція або ромб описані навколо кола, то їх висоти

дорівнюють діаметру кола. 4) Навколо чотирикутника можна описати коло лише в тому випадку,

якщо сума протилежних кутів дорівнює 180º. Із усіх паралелограмів лише навколо прямокутника та квадрата можна описати коло. Центр його лежить в точці перетину діагоналей.

65

5) Теорема Птоломея. В опуклому чотирикутнику,

вписаному в коло, добуток діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін:

BCADCDABBDAC (рис. 6.6). Рис. 6.6

Зв’язок між елементами многокутників, їх площами та радіусами

вписаних і описаних кіл наведемо в таблиці 6.2 . Таблиця 6.2

Фігура Паралелограм Прямокутник Ромб

r – – 2sin

21 dr ;

addr

421

R – 2

22 baR –

Зв’язок між

r і R – – –

h sin1 ah ; sin2 bh

ah ; bh sin2 arh

S

sinabS ;

2sin21

ddS ;

1bhS ; 2ahS

abS

2sin2 dS

sinaS 2 ;

221 ddS

;

arahS 2

a – 2

22

21 dd

a

66

Таблиця 6.2 (продовження) Трапеція Фігура рівнобічна прямокутна довільна

b

c

a

d

r Вписати коло можна

тільки в таку трапецію, у якій dcba

22sin hcr

; 90NOK ;

NKOP ; rOP

R

2

sin2cR ;

ACDSACcbR

4

Коло описати не можна

Коло описати не можна

Зв’язок між

a ,b , l і h

l – середня лінія,

2bal

;

lAN

dh ;

2

bal

sinch ; sindh ;

2bal

2sin2 dS ;

2sin2 dS

sin2aS ;

221 ddS

;

arahS 2 S

hbaS

2

; sin2

21

ddS , де – кут між діагоналями

67

Таблиця 6.2 (продовження)

Фігура Квадрат Правильний шестикутник Довільний чотирикутник

r 2ar

23ar

Чотирикутник можна описати навколо кола тоді й тільки тоді, коли суми протилежних сторін

чотирикутника рівні, тобто dbca

R 2

2aR aR

1

2

Чотирикутник можна вписати в коло тоді й тільки тоді, коли

сума протилежних кутів дорівнює 180º, тобто

18021 Зв’язок

між r і R

2rR 3

2rR –

S

2aS ;

2

2dS ; 24rS

233 2aS sin

221

ddS

a ra 2 ;

Ra 2

60 ;

32rRa –

68

Приклад 1 У рівносторонньому трикутнику зі стороною 6 знайти висоту, радіуси вписаних і описаних кіл і площу трикутника.

Розв’язання. Висота рівностороннього трикутника 2

3ah , де а –

сторона цього трикутника: 2

23218

236

h ;

236

36

3

aR ; 22

2R

32

ar ; 233

436

436

43

22

aS .

Відповідь: 2

23h , 2R ,

22

r , 2

33S .

Приклад 2 Радіус вписаного кола в рівносторонньому трикутнику на

3 см менший за радіус описаного кола того самого трикутника. Знайти площу трикутника.

Розв’язання. 3 rR ; 32 rr ; 3r ; 3632 ra ; 327

43336

4336

43

22

aS (см)..

Відповідь: 327 см. Приклад 3 Висота рівностороннього трикутника, що дорівнює 33 см,

ділить його на два прямокутних трикутники. Знайти радіус кола, вписаного в один із прямокутних трикутників.

Розв’язання. Нехай у ABC ACBN (рис. 6.7),

тоді 33BN см, NCAN . 2

3ah ; 2

333 a ;

6a . Оскільки а – сторона трикутника, 3NC ;

2133

2333

26333

2

aNChr (см).

Відповідь: 2

133 см. Рис. 6.7

Приклад 4 У коло вписаний рівнобедрений трикутник зі сторонами 10,

10 і 12 (рис. 6.8). Знайти радіус кола. Розв’язання. Спосіб 1 Проведемо ACBN , тоді 6 NCAN .

У ABN 53

106sin , 8610 22 BN ;

54

108cos .

Проведемо ABOK . Оскільки RBOAO , то ABO – рівнобедрений і 5 BKAK .

69

З КBO : 425

545

cos

BKRBO .

У ABN 53

106sin , 8610 22 BN ;

54

108cos .

Спосіб 2 8610 22 BN ;

482

8122

BNACS ABC ;

425

484121010

4

S

abcR .

Рис. 6.8 Спосіб 3 8BN ; ONRONBOBN ; RON 8 .

З AON : RAO ; 6AN . Тоді 222 AOONAN ; 222 86 RR ; 22166436 RRR ; 10016 R ;

425

16100

R .

Відповідь: 4

25R .

Приклад 5 Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а радіус

вписаного в нього кола – 8 см (рис. 6.9). Знайти периметр даного трикутника. Розв’язання. ACBN ; 18 hBN (см); ABOK ; BCOP ; ACON ; 8 ONOPOK см. Спосіб 1 10818 BO (см);

54

108sin

BOOP

;

303

518

53

18

25161

18cos

BNBABC (см);

2421248121830 22 NC (см); 1084860 P (см).

Рис. 6.9

Спосіб 2 У BOP B , 90P ; у NBC B , 90N .

Таким чином, BOP ~ NBC , отже, BPNB

BOBC

OPNC

.

6810 22 BP (см); 6

188

NC ; 2438 NC (см); 48AC см;

309003245761824 22 BC (см); 108P см. Відповідь: 108 см. Приклад 6 Сума радіусів вписаного і описаного кіл прямокутного

трикутника дорівнює одному із катетів (рис. 6.10). знайти гострі кути трикутника.

Розв’язання. За умовою задачі arR .

70

Оскільки 2cR ,

2cbar

, то

acbacrR 2222

; aba 2 ; ab .

Отже, BCAC ; 90C ; 45 BA .

Відповідь: 45 , 45 . Рис. 6.10 Приклад 7 У коло вписаний прямокутний трикутник з катетами 24 см і

32 см. Знайти площу круга, обмеженого цим кругом. (рис. 5.21). Розв’язання. Трикутник прямокутний, отже, його гіпотенуза є

діаметром кола і дорівнює 40160010245763224 22 d (см).

202

402

dR (см), 4002 RS см2 .

Відповідь: 400 см2.

Приклад 8 Точка дотику кола, вписаний в прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки довжиною а і b . Знайти площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює r .

Розв’язання. За умовою задачі aAM , bMB (рис. 6.11). За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, aAKAM , bBNBM .

Оскільки ONCK – квадрат, то rOKKCNCON . Тоді raAC ,

baAB , rbBC .

221 rbraACBCS ABC

.

Відповідь: 2

rbraS .

Рис. 6.11

Приклад 9 У рівнобедреному трикутнику довжина вписаного кола

дорівнює 24 см, а його центр віддалений від вершини трикутника на 20 см. обчислити периметр трикутника.

Розв’язання. Нехай ABC – рівнобедрений трикутник BCAB

(рис. 6.12), у який вписано коло довжиною 2C см; 122

24

r (см).

Точка О як центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника АВС. Отже, АО є бісектрисою ABK .

За властивістю бісектриси трикутника маємо AKOK

ABBO

або AKAB

OKBO

.

71

20BO см (за умовою задачі); 12 rOK см – радіус вписаного кола;

321220 OKBOBK (см). Отже, 35

1220

AKAB .

Нехай х см в одній частині, тоді xAB 5 , xAK 3 . З прямокутного трикутника BKA за теоремою Піфагора маємо: 222 BKAKAB ; 222 32925 xx ;

102416 2 x ; 642 x ; 8x . Отже, 40855 xAB (см),

24833 xAK (см), 482 AKAC (см). 128484040 ABCP (см).

Відповідь: 128 см.

Рис. 6.12

Приклад 10 У рівнобедрений трикутник із кутом 120º при вершині і

бічною стороною, що дорівнює а, вписане коло. Знайти радіус цього кола. Розв’язання. Нехай ABC – даний рівнобедрений трикутник (рис. 6.13),

120ABC , aBCAB . Спосіб 1 Точка О –

центр вписаного кола, тому точка О – точка перетину бісектрис трикутника.

2

120180

BCABAC 30 (як кути при основі

Рис. 6.13

рівнобедреного трикутника). Отже, 15OAK . За теоремою синусів маємо:

30sin120sinBCAC

; 30sin3090sinaAC

; 30sin30cosaAC

;

3232

30sin30cos aaaAC

; 2

3aAK .

З прямокутного трикутника ОАК знаходимо 152

315 tgatgAKrOK .

2312

1

230cos14

115cos4

115cos2

30sin15cos2

15cos15sin215cos15sin15 222

tg

323432

3232

323232

321

22

.

Отже, 322

3

ar .

72

Спосіб 2 4

323

2130cos

21120sin

21 2

22 aaaBCABS ABC .

raaraaarpS ABC

2

322

3 .

Отже, 4

32a raa

232 ;

2

32332322

323322

332

24

32

aaa

aar .

Відповідь: 2

323 a .

Приклад 11 У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 см, а

бічна сторона – 30 см. знайти радіуси вписаного і описаного кола, відстань між їх центрами.

Розв’язання. Нехай ABC – даний рівнобедрений трикутник (рис. 6.14), 48AC см, 30 BCAB см.

Із прямокутного трикутника AKB за наслідком із теореми Піфагора 185462430 2222 AKABBK (см).

rpBKACS ABC 21 ,

де KOr 1 – радіус вписаного кола,

542

4830302

ACBCABp (см).

Отже, r 54184821 , звідки

854

948

r (см).

Рис. 6.13 Центр О1 вписаного кола розміщений у точці перетину бісектрис, тобто

на висоті BK .

За наслідком із теореми синусів RA

BC 2sin

, де R – радіус описаного

кола, 53

3018sin

ABBKA . 25

532

30sin2

A

BCR (см).

Центр О2 описаного кола розміщений у точці перетину серединних перпендикулярів, тобто на висоті BK або її продовженні. Оскільки BKR , то О2 розміщено на продовженні BK . Тому

1581825121 BOROO (см). Відповідь: 8 см, 25 см, 15 см.

73

Приклад 12 Площа круга дорівнює Q . Знайти площу вписаного в нього прямокутника, сторони якого відносяться як nm : .

Розв’язання. Дано nm

ADCD

, тоді mCD , nAD (рис. 6.14).

Площа круга 2RQ , тобто QR .

Діагональ прямокутника збігається з діаметром

кола: QRAC 22 .

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного ACD : 222 ADCDAC ;

Рис. 6.14

22224 mnQ

; 22

2 4mn

Q

.

Площа прямокутника 222 4

mnQmnmnCDADS

(од2).

Відповідь: 22

4mn

QmnS

од2.

Приклад 13 У коло з центром О вписаний квадрат ABCD . Знайти

довжину дуги BA

, якщо радіус кола дорівнює 4 см (рис. 6.15). Розв’язання. BDAC як діагоналі

квадрата, отже, 90BOA , 90BA .

Довжина кола 82 RC (см).

2841

BA

(см).

Відповідь: 2 см. Рис. 6.15 Приклад 14 В круг радіуса R вписано квадрат. Знайти площу тієї

частини круга, що розташована поза квадратом. Розв’язання. Шукана площа може бути знайдена як різниця площі

всього круга і площі квадрата: квкр SSS (рис. 6.16).

222 22 RRaSкв . 2RSкр .

Отже, 22 222 RRRS . Відповідь: 22 RS .

Рис. 6.16

74

Приклад 15 Прямокутна трапеція, у яку можна вписати коло, має меншу бічну сторону, яка дорівнює 24 см, і гострий кут 45º. Знайти площу трапеції.

Розв’язання. За умовою АВ = 24 см, ADCN , ABCN (рис. 6.17).

З CND 8

2224

45sin24

d (см),

dcba ; 824 ba ;

242

82422

cbahbaS

211621616242

4222

(см2).

45

Рис. 6.17

Відповідь: 2116 S см2. Приклад 16 Навколо круга описано рівнобічну трапецію, основи якої

a2 і b2 . Знайти площу цього круга. Розв’язання. За умовою CDAB , ВС = b2 , aAD 2 (рис. 6.18).

Оскільки трапеція описана біля кола, то BCADCDAB . Звідси abAB 222 , abAB .

Знайдемо висоту трапеції з прямокутного AKB . Довжина катета BCAKLDKLAKAD 2 ;

baBCADAK

2

.

abbabaAKABBK 22222 . З огляду на те, що BK – довжина діаметра

кола, знайдемо його радіус: abBKR 2

.

Рис. 6.18

Площа круга abRS 2 (од2). Відповідь: abS од2. Приклад 17 Обчислити сторону а правильного шестикутника, вписаного

в коло радіуса R . Розв’язання. Сторона правильного вписаного шестикутника є хордою

кола, що відповідає куту

606

360 (рис. 6.19).

AOB рівнобедрений ( ROBAO ) з кутом

при вершині 60º, тоді 606018021

BA ,

отже, AOB – рівносторонній і його сторона RAB . Відповідь: Ra .

60

Рис. 6.19

75

Приклад 18 Діагональ BD чотирикутника ABCD є діаметром кола,

описаного навколо цього чотирикутника (рис. 6.20). Обчислити довжину

діагоналі АС, якщо 2BD см, 1AB см, 34

DBCABD .

Розв’язання. Оскільки BD – діаметр кола, то 2

BCDBAD як

вписані кути, що спираються на дугу 180º.

За означенням 21cos

BDABABD , а значить

3

ABD . Кути ABD і ACD спираються на одну

дугу, отже, вони рівні: 3

ABDACD .

За умовою 44

3

ABDDBC .

Рис. 6.20

Сума внутрішніх кутів довільного чотирикутника дорівнює 2 , тому

432 DBCABDCBAADC .

З прямокутного BAD 322 ABBDAD (см). Тепер застосуємо теорему синусів до трикутника ACD :

ACDAD

ADCAC

sinsin;

43

sin2

3sin

43sin3

AC

226

22

26

212

21

22

22

232

3cos

4sin

4cos

3sin2

(см).

Відповідь: 2

62 см.

Питання для самоперевірки 1 Який трикутник називається описаним навколо кола? Де

розташовується центр кола, вписаного в трикутник? 2 Який трикутник називається вписаним в кола? Де розташовується

центр кола, описаного навколо трикутника? 3 Наведіть формули, що зв’язують сторони, висоти трикутника, його

площу та радіуси вписаних і описаних кіл. 4 Який многокутник називається описаним навколо кола? 5 Який многокутник називається вписаним в кола?

76

6 Який многокутник називається правильним? 7 Наведіть формули для обчислення радіусів вписаного та описаного кіл

для правильного многокутника. 8 В який чотирикутник можна вписати коло? 9 Навколо якого чотирикутника можна описати коло? 10 Наведіть формули, що зв’язують елементи чотирикутників, його

площу та радіуси вписаних і описаних кіл.

Приклади для самостійного розв’язання Вписані і описані трикутники

1 Кути трикутника відносяться як 3 : 4 : 5. Під яким кутом видна кожна його сторона з центру описаного кола ? Відповідь: 90º, 120º, 150º.

2 Навколо кола, радіус якого дорівнює 4 см, описаний прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 26 см. Знайти периметр трикутника. Відповідь: 60 см.

3 Один з гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 40º. Визначити гострий кут між радіусом описаного кола, проведеним у вершину прямого кута, і гіпотенузою. Відповідь: 80º.

4 Висота рівностороннього трикутника дорівнює h. Визначити радіус

описаного кола. Відповідь: h32 .

5 В трикутнику АВС C = 90º, В = 30º. О – центр вписаного кола, ОА = 12 см. Обчислити радіус вписаного кола. Відповідь: 6 см.

6 В рівнобічному трикутнику основа дорівнює 30 см, а бічна сторона – 39 см. Визначити радіус вписаного кола. Відповідь: 10 см.

7 В прямокутному трикутнику катети дорівнюють 13 см і 84 см. Визначити радіус вписаного кола. Відповідь: 6 см.

8 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см. Обчислити відстань від центра вписаного кола до висоти, проведеної до гіпотенузи. Відповідь: 1 см.

9 Знайти площу прямокутного трикутника, один з катетів якого дорівнює 8 см, а радіус вписаного в нього кола – 3 см. Відповідь: 60 см2.

10 Знайти площу прямокутного трикутника, якщо радіус описаного кола дорівнює 5 см, а висота, проведена до гіпотенузи – 3 см.. Відповідь: 15 см2 .

Вписані і описані чотирикутники 11 Менша сторона прямокутника дорівнює 1 м, гострий кут між

діагоналями 60º. Знайти радіус описаного кола. Відповідь: 1 м. 12 Сторона ромба дорівнює 8 см, а гострий кут містить 30º. Визначити

радіус вписаного кола. Відповідь: 2 см. 13 Визначити діаметр кола, описаного біля прямокутника, якщо одна з

його сторін дорівнює а і утворює з діагоналлю кут 60º. Відповідь: 2а.

77

14 Біля кола описаний чотирикутник, довжини трьох сторін якого послідовно дорівнюють 10 см, 15 см, 16 см. Знайти периметр чотирикутника . Відповідь: 52 см.

15 У колі по одну сторону від центру проведено дві паралельні хорди, стягуючі дуги в 60º і 120º, і кінці їх сполучені. Обчислити кути одержаної трапеції. Відповідь: 45º, 135º.

16 В вписано коло. Скільки градусів містить кожна з чотирьох дуг, на які коло ділиться точками дотику сторін, якщо кут ромба дорівнює 56º? Відповідь: 56º, 124º, 56º, 124º.

17 Біля кола описана рівнобедрена трапеція з гострим кутом 30º, периметр якої дорівнює 18 см. Визначити діаметр кола. Відповідь: 2,25 см.

18 Рівнобедрена трапеція з бічною стороною 8 см і кутом при основі 60º описана біля кола. Обчислити основи трапеції. Відповідь: 12 см, 4 см.

19 Біля кола описана рівнобедрена трапеція з гострим кутом 30º. Її середня лінія дорівнює 1 м. Визначити радіус кола. Відповідь: 0,25 м.

20 Визначити величини внутрішніх кутів вписаної в коло трапеції, якщо діагональ її стягує дугу кола в 140º. Відповідь: 70º, 110º.

21 В рівнобічній трапеції, що описана навколо кола, основи дорівнюють 36 см і 1 м. Знайти радіус кола. Відповідь: 30 см.

22 Навколо кола, радіус якого 12 см, описана рівнобічна трапеція з бічною стороною 25 см. визначити основи трапеції. Відповідь: 18 см, 32 см.

23 Знайти площу трапеції, описаної біля кола, якщо її бічна сторона дорівнює 8 см, а гострий кут 30º. Відповідь 32 см2.

24 Знайти площу квадрата, вписаного в коло, радіус якої дорівнює 15 см. Відповідь: 450 см2.

Правильні многокутники 25 Скільки сторін має правильний многокутник, кожний з внутрішніх

кутів якого дорівнює 135? 150? Відповідь: n = 8; n = 12. 26 Кінець валу діаметром 4 см обпилений під квадрат. Визначити

найбільший розмір, який може мати сторона квадрата. Відповідь: 8,222 см.

27 Кінець гвинта газової засувки має правильну тригранну форму. Який найбільший розмір може мати кожна грань, якщо циліндрова частина гвинта має діаметр 2 см? Відповідь: 3 1,7 см.

28 Обчислити, який розмір отвору повинен мати ключ для правильної шестигранної гайки, якщо ширина грані гайки 2,5 см. Величина зазору між гранями гайки і ключа дорівнює 0,5мм. Відповідь: 4,4 см.

29 Сторона правильного многокутника дорівнює а; радіус кола, описаного навколо многокутника, дорівнює R. Визначити радіус вписаного

кола. Відповідь: 4

22 aRr .

78

30 Шляхом зрізу кутів перетворити правильний трикутник зі стороною а

в правильний шестикутник і визначити його сторону. Відповідь: 3a .

31 Сторона правильного вписаного в коло трикутника дорівнює b. Знайти радіус кола і сторону вписаного в це коло квадрата.

Відповідь: 3

3b , 3

6b .

32 В коло радіуса R вписаний правильний трикутник, в який вписане коло, а в це коло, в свою чергу, вписаний квадрат. Визначити сторону квадрата.

Відповідь: R,R 702

2 .

33 По даному радіусу R визначити хорду дуги, яка містить 135º; 150º. Відповідь: 22 R ; 32 R .

34 Коло радіуса R поділено у відношенні 1 : 2 : 3 і точки розподілу сполучені хордами. Знайти периметр отриманого трикутника. Відповідь: 33 R .

35 Периметр правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює 36 см. Знайти периметр квадрата, вписаного в те ж саме коло. Відповідь: 616 см.

36 Основи трапеції, вписаної в коло радіуса R так, що центр кола знаходиться всередині трапеції, відсікають від неї дуги в 120º і 60º. Обчислити периметр трапеції. Відповідь: 5,6R.

Довжина кола і площа круга 37 Дане коло вписано в рівнобедрену трапецію з гострим кутом 30º і

бічною стороною 20 см. Визначити довжину кола і площу круга, обмеженого цим колом. Відповідь: 20 см, 196 см2.

38 В коло вписан прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см. Знайти довжину кола і площу круга. Відповідь: 8,62 см, 100 см2.

39 Знайти площу круга, якщо вона менша за площу описаного навколо нього квадрата на 86 см2. Відповідь: 100 см2.

40 Навколо кола, площа якого Q , описаний ромб з гострим кутом 30º.

Визначити площу ромба. Відповідь: Q8 .

41 Обчислити площу круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 16 см, а висота – 4 см. Відповідь: 100 см2.

42 Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 дм і 8 дм. Знайти довжину описаного кола і площу круга, обмеженого цим колом. Відповідь: 10 дм, 25 дм2.

79

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1 Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы

(с решениями). В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / Егеров В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др.; под ред. Сканави М.И. – М.: Высш.шк., 1994. – 528с.

2 Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1984. – 416с.

3 Бондаренко М.Ф., Дикарев В.А., Мельников А.Ф. и др. Под ред. Семенца В.В. Математика для поступающих в ВУЗы / Учебное пособие. – Харьков, ХТУРЭ, 1999. – 1120с.

4 Гальперіна А.Р. Математика. Методика підготовки до ЗНО. – Х.: Веста, 2009. –208с.

5 Лінник Г.Б., Лінник Б.С., Решетнікова С.М. Навчальний посібник з елементарної математики для школярів та студентів. Х.: Парус, 2005. – 384с.

6 Роганін О.М., Каплун О.І. Математика: Практичний довідник. –Харків: ФОП Співак Т.К., 2009. – 416с.

7 Игначкова А.В., Марченко Т.Л. Методические указания и задания для самомтоятельной работы по геометрии для слушателей подготовительного отделения. – Харьков, ХИЭИ, 1985. – 46с.

8 Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1981. – 480с.

9 Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями). – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1983. – 384с.

10 Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.: Просвещение, 1991.– 384с.

80

ЗМІСТ

ВСТУП...............................................................................................................3 I ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ З ПЛАНІМЕТРІЇ.……...…………………....4 ІІ КУТИ.............................................................................................................7 2.1 Попередні поняття ...............................................................................7 2.2 Вимірювання кутів......................…………..........……………….......8 2.3 Суміжні і вертикальні кути.................................................................9 2.4 Кути, одержані при перетинанні двох прямих третьою.……..…..10 ІII РИКУТНИКИ...........................................................……….……………13 3.1 Поняття про многокутник і трикутник.……..……………..............13 3.2 Ознаки рівності та подібності трикутників.....................................15 3.3 Визначні лінії трикутника …………………………………………17 3.4 Рівнобедрений трикутник. Рівносторонній трикутник..……….…18 3.5 Прямокутний трикутник ..……………….….....…………………...19 3.6 Теореми синусів та косинусів............................................................21 3.7 Площа трикутника...............................................................................22 IV ЧОТИРИКУТНИКИ.................................................................................33 4.1 Паралелограм......................................................................................33 4.2 Ромб.....................................................................................................34 4.3 Прямокутник. Квадрат.......................................................................35 4.4 Трапеція...............................................................................................36 V КОЛО І КРУГ...........................................................................................51 5.1 Коло, хорди, дуги, дотичні і січні.....................................................51 5.2 Кути в колі...........................................................................................53 VІ ВПИСАНІ І ОПИСАНІ МНОГОКУТНИКИ. ПРАВИЛЬНІ

МНОГОКУТНИКИ...................................................................................................62 6.1 Вписані і описані трикутники...........................................................62 6.2 Вписані і описані многокутники. Правильні многокутники..........64 6.3 Вписані і описані чотирикутники.....................................................64 VІІ ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ НА ПЛОЩИНІ....................................79 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ІТЕРАТУРИ……………….....................95