Matematikcentrum | Matematikcentrum - Vektorer...1.15 För deﬁnitionen av att två vektorer är ortogonala, se Deﬁnition 1.4 på sidan 20. 1.16 För a) och b), jämför Exempel

Kapitel 1

Vektorer

Vektorbegreppet

1.1 Låt u= (4,0,−1,3) och v= (2,1,4,−2). Beräkna vektorn 2u−3v.

1.2 Rita ut vektorerna u = (3,1) och v = (−2,2) i samma koordinatsystem. Illustre-ra additionerna/subtraktionerna u+v, u−v och −u+ 1

2v geometriskt. Vad blirkoordinaterna för dessa vektorer?

1.3

uv

w

Vektorerna u,v,w i R2 illustreras i figuren tillhöger. Rita ut vektorerna

a) 2u+3v

b) u−v−w

c) u+2v+w.

Egenskaper hos vektorer

T 1.4 Avgör vilka av nedanstående vektorer i R3 som är parallella:

u= (−2,4,2), v= (2,0,−2), w= (1,−2,−1).

1.5 För vilket, eller vilka, tal a gäller det att vektorerna u och v är parallella, om

a) u= (−2,a+1,−4), v= (a,−1,2)

b) u= (1,0,a), v= (2,a+1,4)

c) u= (a,1,2), v= (0,0,0).

T 1.6 Avgör om vektorn w= (−7,7) är en linjärkombination av u= (1,2),v= (3,−1).

1.7 Avgör om vektorn w = (3,−5) är en linjärkombination av u = (1,−3),v = (−2,6).Vilka vektorer w går att skriva som en linjärkombination av u,v i detta fall?

1.8 Studera figuren i uppgift 1.3. Är w en linjärkombination av u och v?

T 1.9 Bestäm längderna av vektorerna u= (3,−1) och v= (2,2,−1).

1

2

T 1.10 Normera vektorerna i uppgift 1.9.

Skalärprodukt

T 1.11 Låt u= (1,2,−2) och v= (1,0,3). Beräkna skalärprodukterna

a) u·v b) u·u c) v·v.

Beräkna även ‖u‖ och ‖v‖. Jämför dessa längder med resultaten i b) och c).

TL 1.12 För vektorerna u,v i R2 gäller det att ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 2, och att vinkeln θ mellanvektorerna är π/3. Beräkna skalärprodukten (2u+v)·(u−2v).

T 1.13 För vektorerna u,v i R2 gäller det att ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 2, och att vinkeln θ mellanvektorerna är π/3. Bestäm längden av vektorn u+v.

T 1.14 Låt u= (1,2,−1) och v= (1,−1,2).

a) Beräkna skalärprodukten u·v.

b) Beräkna längderna ‖u‖ och ‖v‖.

c) Beräkna vinkeln θ mellan u och v.

T 1.15 Bestäm talet a så att vektorerna u= (1,a,2) och v= (4a,−1,3) blir ortogonala.

T 1.16 Låt u= (2,3) och e= 1p5

(2,1).

a) Kontrollera att e är en enhetsvektor.

b) Beräkna den ortogonala projektionen u′ av vektorn u på vektorn e. Illustre-ra ditt resultat i ett koordinatsystem för planet.

c) Bestäm den vektor u′′ som är ortogonal mot u′, och uppfyller att u=u′+u′′.Illustrera additionen i din figur.

T 1.17 Låt u= (1,2,3) och v= (1,2,−2).

a) Beräkna den ortogonala projektionen u′ av vektorn u på vektorn v.

b) Komposantuppdela vektorn u som en summa av två ortogonala vektorer därden ena är parallell med vektorn v.

Vektorprodukt

T 1.18 Beräkna vektorprodukten u×v av u = (1,−2,3) och v = (4,2,−1). Verifiera medskalärprodukt att u×v är ortogonal mot både u och v.

1.19 Låt u= (1,2,3) och v= (1,1,2).

a) Ange samtliga vektorer som är ortogonala mot både u och v.

Vektorer 3

b) Ange samtliga vektorer av längd 1 som är ortogonala mot både u och v.

L 1.20 Låt u,v,w vara vektorer i R3. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

(u+v)·( (u+w)×v)

.

1.21w

v

u

Utgående från figuren, avgör om vektorerna

a) u,v,w b) w,v,u c) w,u,v

är positivt eller negativt orienterade.

4

Tips Kapitel 1

1.4 Se Exempel 1.1 på sidan 9 i läroboken.

1.6 Jämför uppställningen i Exempel 1.2 på sidan 11 i läroboken. Lös sedan detekvationssystem du får genom att, från en av ekvationerna, uttrycka en av deobekanta i den andra. Sätt sedan in detta uttryck i den återstående ekvationen.



1.11 Se Definition 1.3 på sidan 17 i läroboken.

1.12 Utnyttja räknelagarna för skalärprodukt, samt den geometriska tolkningen (1.19)på sidan 19 i läroboken.

1.13 Utnyttja sambandet ‖u+v‖2 = (u+v)·(u+v), och beräkna skalärprodukten påmotsvarande sätt som i uppgift 1.12.

1.14 c) Se Exempel 1.7 på sidan 19 i läroboken.

1.15 För definitionen av att två vektorer är ortogonala, se Definition 1.4 på sidan 20.

1.16 För a) och b), jämför Exempel 1.8 på sidan 21 i läroboken. För c), jämför An-märkning 1.3 på sidan 22.

1.17 a) Observera att v ej är en enhetsvektor. Denna behöver därför först normeras.Jämför Exempel 1.9 på sidan 22 i läroboken.


Vektorer 5

Svar Kapitel 1

1.1 (2,−3,−14,12)

1.2 u+v= (1,3), u−v= (5,−1) och −u+ 12 v= (−4,0)

u= (3,1)

v= (−2,2)

u

v

u+v= (1,3)

u−v

u−v= (5,−1)−u1

2 v

−u+ 12 v= (−4,0)

1.3 a)

2u+3v

b)

u−v−w

c)

u+2v+w = 0

1.4 Vektorerna u och w är parallella; det gäller att u=−2w (alternativt w=− 12u).

1.5 a) a= 1 b) inga a c) alla a

1.6 Vektorn w är en linjärkombination av u,v eftersom w= 2u−3v.

1.7 Vektorn w är ej en linjärkombination av u,v. Notera att vektorerna u,v i dennauppgift är parallella (det gäller att v=−2u). Det är då enbart vektorer w paral-lella med u och v, dvs. vektorer på formen w = t(1,−3), t ∈ R, som kan fås somen linjärkombination.

6

1.8 Ja, eftersom det gäller att w=−u−2v.

1.9 ‖u‖=p

10, ‖v‖ = 3

1.10 1p10

(3,−1) respektive 13 (2,2,−1)

1.11 a) −5 b) 9 c) 10

Längderna ges av 3 respektivep

10. Notera sambandet u·u= ‖u‖2.

1.12 1

1.13p

19

1.14 a) −3 b)p

6 för båda vektorerna c) 2π/3

1.15 a=−2

1.16 a) ‖e‖= 1p5

p22 +12 = 1

b) u′ = 75 (2,1)

u

e

u′

u′′c) u′′ =u−u′ = 4

5 (−1,2)

1.17 a) u′ =− 19 (1,2,−2) b) u=u′+u′′, där u′ =− 1

9 (1,2,−2) och u′′ = 59 (2,4,5)

1.18 u×v= (−4,13,10)

1.19 a) t(1,1,−1), t ∈R b) ± 1p3

(1,1,−1)

1.20 u· (w×v)

1.21 a) positivt orienterade b) negativt orienterade c) positivt orienterade

Vektorer 7

Lösningar Kapitel 1

1.12 Vi utnyttjar räknelagarna för skalärprodukt, samt den geometriska tolkning-en (1.19) på sidan 19 i läroboken, och får

(2u+v)· (u−2v)= 2(u·u)−4(u·v)+v·u︸︷︷︸

=u·v−2(v·v)=

= 2(u·u)−3(u·v)−2(v·v)= 2‖u‖2 −3‖u‖‖v‖cosθ−2‖v‖2 =

= 2 ·32 −3 ·3 ·2 ·cos π

3︸︷︷︸

=1/2

−2 ·22 = 1.

Notera hur det för skalärprodukt gäller att parenteser kan ”multipliceras ihop”på samma sätt som för reella tal.

1.20 Vi använder lärobokens räknelagar för vektorprodukt och skalärprodukt. Räk-nelag (1.25) på sidan 26 följt av (1.17) på sidan 17 ger att

(u+v)·((u+w)×v)

= (u+v)· (u×v+w×v)=

= (u+v)· (u×v)+ (u+v)· (w×v)=

=u· (u×v)︸︷︷︸

=0

+v· (u×v)︸︷︷︸

=0

+u· (w×v)+v· (w×v)︸︷︷︸

=0

=u· (w×v).

Notera de markerade skalärprodukterna som blir noll. Vi vet ju att exempelvisvektorprodukten u×v är ortogonal mot både u och v, och således gäller det attu· (u×v)= 0.

Kapitel 2

Vektorer som geometriska objekt

Punkter och vektorer

T 2.1 Låt O, P och Q vara punkter i planet (eller rummet). Uttryck vektorn−−→PQ som

en linjärkombination av vektorerna−−→OP och

−−→OQ.

T 2.2 Bestäm vektorn−−→PQ, samt beräkna längden ‖

−−→PQ‖, i fallet då

a) P : (1,2), Q : (3,−1)

b) P : (−1,0,−2), Q : (2,1,−1).

T 2.3 a) Låt P och Q vara punkter i planet (eller rummet), och antag att M är mitt-punkten av linjestycket PQ. Visa att det, för varje punkt O, då gäller att

−−→OM = 1

2 (−−→OP +

−−→OQ).

Detta samband brukar kallas för mittpunktsformeln.

b) Bestäm koordinaterna för mittpunkten av linjestycket mellan punkternaP : (−1,3,0) och Q : (−1,1,6).

2.4 a) Låt punkterna P, Q och R vara hörnen i en triangel i planet (eller rummet),och låt P1 vara mittpunkten av linjestycket QR. Beteckna vidare med M denpunkt på linjestycket PP1 som ligger dubbelt så långt från P som från P1.Visa att det, för varje punkt O, då gäller att

−−→OM = 1

3 (−−→OP +

−−→OQ +

−−→OR).

Punkten M kallas tyngdpunkten för triangeln PQR, och sambandet ovanför tyngdpunktsformeln.

b) Bestäm tyngdpunkten för den triangel i rummet som har hörn i P : (1,6,2),Q : (−1,1,2) och R : (0,2,2).

T 2.5 Bestäm samtliga sidlängder och vinklar för den triangel i rummet som har hörni punkterna P : (3,3,−3), Q : (5,5,−4), och R : (1,4,−5).

Linjer och plan

T 2.6 Ange en ekvation på parameterform för den linje i planet som går genom punk-terna P : (2,−1) och Q : (5,4). Ligger punkten R : (1,−8/3) på denna linje?

8

Vektorer som geometriska objekt 9

T 2.7 Ange en ekvation på parameterform för den linje i rummet som

a) går genom punkterna P : (1,−2,3) och Q : (3,2,−1)

b) går genom origo och är parallell med linjen

x = −1 − 2t

y = 5z = 4 + t

, t ∈R

c) ges av z-axeln.

T 2.8 Ange en ekvation på parameterform för det plan i rummet som går genom punk-terna P : (1,−1,2), Q : (2,−3,2) och R : (4,0,1).

T 2.9 Ange en ekvation på parameterform för det plan i rummet som

a) går genom punkterna P : (1,2,0) och Q : (2,3,−1), och är parallellt med linjen

x = 2t

y = 1 − t

z = 3 + 2t

, t ∈R

b) går genom origo och är parallellt med planet

x = 2 + s − 2t

y = 5 + s + t

z = 1 − s + 3t

, s, t ∈ R

c) ges av yz-planet.

T 2.10 Ange en ekvation på normalform för den linje i planet som går genom punktenP : (2,−1) och har normalvektorn n= (3,−2).

T 2.11 Ange en normalvektor till linjen x− 3y+ 5 = 0. Avgör om vektorn u = (1,2) ärparallell med denna linje.

T 2.12 a) Bestäm en ekvation på parameterform för den linje i planet som på normal-form ges av 2x+3y−1= 0. Ange även en riktningsvektor för linjen.

b) Ange en ekvation på normalform för den linje i planet som på parameter-form ges av (x, y)= (−1+5t,3+t), t ∈R. Ange även en normalvektor för linjen.

T 2.13 Låt π vara det plan i rummet som går genom punkten P : (3,−1,0) och har nor-malvektorn n= (4,1,−2).

a) Ange en ekvation på normalform för π.

10

b) Ligger punkten Q : (1,2,3) i π? Är vektorn u= (1,2,3) parallell med π?

c) Ange en ekvation på parameterform för π.

T 2.14 Ange en ekvation på normalform för det plan i rummet som

a) går genom punkterna P : (1,−1,2), Q : (1,0,4) och R : (0,−1,3)

b) ges av yz-planet.

Projektion och spegling

T 2.15 Låt l vara linjen 2x− y = 0, samt låt P : (−1,6) och u = (3,2). Bestäm den snedaprojektionen av punkten P på linjen l, i riktningen u.

T 2.16 Låt l vara linjen 2x− y= 0, samt låt P : (−1,1).

a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P på linjen l.

b) Bestäm speglingen av punkten P i linjen l.

T 2.17 Låt π vara planet 2x− y+ z = 0, samt låt P : (1,0,−1).

a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P på planet π.

b) Bestäm speglingen av punkten P i planet π.

T 2.18 Bestäm avståndet

a) mellan punkten P och linjen l i uppgift 2.16

b) punkten punkten P och planet π i uppgift 2.17.

2.19 Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P : (23,43,−11) på yz-planet.

T 2.20 Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P : (3,−1,1) på linjen (x, y, z) =t(1,2,−2).

Area och volym

T 2.21 Bestäm arean av det parallellogram i rummet som spänns upp av vektorernau= (1,2,0) och v= (−1,3,2).

T 2.22 Bestäm arean av

a) triangeln i rummet med hörn i P : (−1,2,3), Q : (1,1,0) och R : (1,1,2)

b) triangeln i planet med hörn i origo, P : (−1,1) och Q : (2,3).

T 2.23 Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av u = (−1,1,2), v =(1,1,1) och w= (2,−3,0). Är u,v,w positivt eller negativt orienterade?


Tips Kapitel 2

2.1 Utgå från sambandet−−→OQ =

−−→OP +

−−→PQ (se figuren).

P

Q

O

−−→PQ

−−→OP

−−→OQ

2.2 Utnyttja principen ”slutpunkt minus startpunkt”; se Exempel 2.2 på sidan 36 iläroboken.

2.3 b) Använd mittpunktsformeln i a). Om punkten O i a)-uppgiften betecknar ori-

go, så är vektorerna−−→OP,

−−→OQ ortsvektorer för P och Q. Dessa har därför samma

koordinater som P och Q, dvs. det gäller att−−→OP = (−1,3,0) och

−−→OQ = (−1,1,6).

2.5 Jämför Exempel 2.3 på sidan 37 i läroboken.

2.6 Se Exempel 2.4 och 2.5 på sidan 39 i läroboken.

2.7 a) Se Exempel 2.6 på sidan 40 i läroboken.c) Se läroboken sidan 41.


2.9 c) Se läroboken sidan 43.



2.12 a) Se Exempel 2.11 på sidan 46 i läroboken.b) Se Anmärkning 2.4 på sidan 46 i läroboken.

2.13 a) Se Exempel 2.12 på sidan 47 i läroboken.c) Se Exempel 2.14 på sidan 48 i läroboken.

2.14 a) Se Exempel 2.15 på sidan 49 i läroboken.b) Jämför med hur man tar framför ekvationen på normalform för en koordi-nataxel i planet (sidan 46 i läroboken).


2.16 Se Exempel 2.17 och 2.19 på sidan 51 respektive 53 i läroboken.

12



2.20 Använd metoden med skalärprodukt. Jämför Exempel 2.18 på sidan 52 i läro-boken.

2.21 Se Sats 2.1 på sidan 56 i läroboken.

2.22 a) Se Exempel 2.22 på sidan 56 i läroboken.b) Studera konstruktionen i läroboken på sidan 57.

2.23 Se Sats 2.3 och Anmärkning 2.7 på sidan 59 i läroboken.


Svar Kapitel 2

2.1−−→PQ =

−−→OQ −

−−→OP

2.2 a)−−→PQ = (2,−3), ‖

−−→PQ‖=

p13 b)

−−→PQ = (3,1,1), ‖

−−→PQ‖=

p11

2.3 b) Mittpunkten ges av M : (−1,2,3).

2.4 b) Tyngdpunkten ges av M : (0,3,2).

2.5 sidlängderna 3, 3 och 3p

2 samt vinklarna π

4 , π

4 och π

2

2.6 En ekvation på parameterform är

{x = 2 + 3t

y =−1 + 5t, t ∈R,

alternativt (x, y) = (2+3t,−1+5t), t ∈ R. Ja, R ligger på linjen (med t=−1/3).

2.7 a) En ekvation på parameterform är

x = 1 + t

y = −2 + 2t

z = 3 − 2t

, t ∈R,

alternativt (x, y, z)= (1+ t,−2+2t,3−2t), t ∈R.

b) (x, y, z)= (−2t,0, t), t ∈Rc) (x, y, z)= (0,0, t), t ∈R

2.8 En ekvation på parameterform är

x = 1 + s + 3t

y = −1 − 2s + t

z = 2 − t

, s, t ∈ R,

alternativt (x, y, z) = (1+ s+3t,−1−2s+ t,2− t), s, t ∈ R.

2.9 a) (x, y, z)= (1+ s+2t,2+ s− t,−s+2t), s, t ∈ Rb) (x, y, z)= (s−2t,s+ t,−s+3t), s, t ∈ Rc) (x, y, z)= (0,s, t), s, t ∈ R

2.10 3(x−2)−2(y+1)= 0 ⇔ 3x−2y−8= 0

14

2.11 En normalvektor ges av n= (1,−3). Vektorn u är ej parallell med linjen, eftersomn·u=−5 6= 0.

2.12 a) (x, y)=(1

2 − 32 t, t

)

, t ∈R; en riktningsvektor läses av till u=(

− 32 ,1

)

b) x−5y+16= 0; en normalvektor läses av till n= (1,−5)

2.13 a) 4x+ y−2z−11= 0 b) nej respektive ja

c) (x, y, z)= (s,11−4s+2t, t), s, t ∈ R

2.14 a) x−2y+ z−5= 0 b) x = 0

2.15 (5,10)

2.16 a) 15 (1,2) b) 1

5 (7,−1)

2.17 a) 16 (4,1,−7) b) 1

3 (1,1,−4)

2.18 a) 3p5

b) 1p6

2.19 (0,43,−11)

2.20 − 19 (1,2,−2)

2.21 3p

5

2.22 a)p

5 b) 5/2

2.23 11; negativt orienterade

Kapitel 3

Linjära ekvationssystem

Gausselimination

T 3.1 Lös följande linjära ekvationssystem, samt ge en geometrisk tolkning av resul-taten. {

2x + y = −3−4x + 2y = 2

,

{3x − 6y = −1−x + 2y = 1

,

{3x − 6y = −3−x + 2y = 1

.

T 3.2 Lös ekvationssystemet

x + y = 22x + 3y + z = 3−x + 2z =−4

.

3.3 Lös ekvationssystemet

2x − 4y + 2z = 2−4x − 2z = −2

x − y + z = 3.


x + 2y − z = 0−2x + 4z = 0

3x + 2y − 5z = 0.


x + 2y − z = 2−2x + 4z = −1

3x + 2y − 5z = 9.

Under- och överbestämda system

3.6 Bestäm skärningen mellan planen

x−2y+ z = 2 och −3x+2y+ z = 2.

15

16

3.7 Lös ekvationssystemet{−2x + 4y + 8z = 3

3x − 6y − 12z = −2,

samt tolka ditt resultat geometriskt.


x1 − 2x2 + x3 − 3x4 + x5 = 02x1 − 2x2 − 5x4 + 4x5 = −32x1 − 2x3 − 3x4 + 4x5 = −5

.

Anga även en uppsättning pivåvariabler samt en uppsättning fria variabler.

3.9 Har linjerna

x−2y= 3, 3x− y=−1 och 2x+ y= 1

någon gemensam skärningspunkt?

3.10 Bestäm talet a så att linjerna

x−2y= 3, 3x− y=−1 och 2x+ay = 1

får en gemensam skärningspunkt.

En närmare till på eliminationsprocessen

T 3.11 Använd resultatet i Uppgift 3.2 för att direkt bestämma antalet lösningar tillekvationssystemet

x + y = 122x + 3y + z = 13−x + 2z = −14

.

T 3.12 Använd resultatet i Uppgift 3.3 för att direkt skriva upp lösningen till ekva-tionssystemet

2x − 4y + 2z = 0−4x − 2z = 0

x − y + z = 0.

T 3.13 Ekvationssystemet

x + 2y − z = 1−2x + 4z = 2

3x + 2y − 5z =−1

har en lösning (x, y, z) = (7,−1,4). Använd resultatet i Uppgift 3.4 för att direktskriva upp den fullständiga lösningen.

Linjära ekvationssystem 17

Tips Kapitel 3

3.1 Studera Exempel 3.1, 3.2 och 3.3.

3.2 Studera Exempel 3.4 i boken.

3.11 Använd Sats 3.3.

3.12 Använd Sats 3.3 i kombination med Följdsats 3.1.


18

Svar Kapitel 3

3.1(x, y)= (−1,−1), Lösning saknas, (x, y)= (−1+2t, t)

I samtliga tre system kan vi se ekvationerna som ekvationer för två linjer iplanet. I det första fallet skär linjerna varandra i en punkt, i det andra är deparallella och skär inte varandra, medan de i det sista fallet är samma linje.

3.2 (x, y, z)= (2,0,−1).

3.3 (x, y, z)= (−4,2,9).

3.4 (x, y, z)= (−4t, t,−2t), t ∈R.

3.5 Lösning saknas.

3.6 Skärningen blir linjen (x, y, z)= (−2,−2,0)+ t(1,1,1), t ∈R.

3.7 Lösning saknas. Ekvationerna svarar mot två plan som är parallella och saknarskärning.

3.8 (x1,x2,x3,x4,x5) = (−1,−2,0,1,0)+ s(1,−2,0,2,1)+ t(1,1,1,0,0), s, t ∈ R. Pivåvari-abler (exempelvis) x1,x2,x4, fria variabler x3,x5.

3.9 Nej.

3.10 a=− 32

3.11 Det finns en lösning.

3.12 (x, y, z)= (0,0,0).

3.13 (x, y, z)= (7−4t,−1+ t,4−2t).

Kapitel 4

Matriser

Definition och räkneoperationer

4.1 Betrakta matriserna

A=(2 −10 3

)

, B=(

5 4−2 −1

)

, C=(3 −2 41 0 5

)

, D=

−2 14 −3−1 3

, E=(−32

)

.

Beräkna, i de fall det är definierat,

A+B, 2B−3A, C−A, CD, DC, AC, CA, DE.

4.2 För matrisen D i Uppgift 4.1 gäller det att

DM1 =

1 0−5 −48 10

och M2D=(1 0

)

.

Vilken typ har matriserna M1 och M2?

4.3 a) Går det att bestämma talet a så att matriserna

A=(2 a

0 2

)

och B=(1 −21 0

)

kommuterar?

b) Samma fråga för matriserna

A=(2 a

1 2

)

och B=(1 −21 0

)

.

4.4 Antag att A och B är två symmetriska matriser av samma typ. Visa att ävensumman A+B är symmetrisk. Är produkten AB symmetrisk?

19

20

Matriser och linjära ekvationssystem

4.5 Skriv ekvationssystemet

2x − 4y + 2z = 2−4x − 2z = −2

x − y + z = 3.

på matrisform.

Invers matris

T 4.6 Beräkna, i de fall de existerar, inverserna till matriserna

A=(−1 22 −3

)

och B=(−1 22 −4

)

.

T 4.7 Beräkna, i de fall de existerar, inverserna till matriserna

A=

1 1 02 3 1−1 0 2

, B=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

och C=

1 1 02 3 2−1 0 2

4.8 Använd resultat i Uppgift 4.7 (matris B) för att lösa ekvationssystemet

2x − 4y + 2z = 2−4x − 2z = −2

x − y + z = 3.

T 4.9 Använd resultatet i Uppgift 4.7 (matris A) för att direkt avgöra antalet lösningartill ekvationssystemet

x + y = 22x + 3y + z = 3−x + 2z =−4

.

T 4.10 Använd resultatet i Uppgift 4.7 (matris C) för att direkt avgöra antalet lösningartill ekvationssystemet

x + y = 02x + 3y + 2z = 0−x + 2z = 0

.

Matriser 21

T 4.11 Lös matrisekvationenAX−BX=C,

där

A=(2 11 3

)

, B=(

1 2−1 3

)

och C=(−1 03 2

)

.

4.12 Lös matrisekvationen(XA+I)T =B,

där

A=(2 31 2

)

och B=(1 23 4

)

.

4.13 Vilka av följande matriser är ortogonala?

A=(−1 22 1

)

, B= 1p5

(−1 22 1

)

, C= 15

(3 −4−4 3

)

4.14 Visa att matrisen

1p6

p3

p3 0

−1 1 2p2 −

p2

p2

är ortogonal.

4.15 Finns det något tal a sådant att matrisen

13

2 2 1−2 1 a

1 −2 2

blir ortogonal? Bestäm isåfall detta.

T 4.16 Antag att matrisen A är ortogonal. Visa att även AT och A−1 är ortogonala,samt, om B är ortogonal och av samma typ som A, att produkten AB är ortogo-nal.

22

Tips Kapitel 4

4.4 Använd räknelagarna för transponatet.

4.6 Studera Exempel 4.6 och Exempel 4.7 i boken




4.11 Studera Exempel 4.9 i boken. Bryt först ut X ur vänsterledet.

4.16 Använd Sats 4.7 i kombination med Sats 4.4.

Matriser 23

Svar Kapitel 4

4.1(

7 3−2 2

)

,

(4 11−4 −11

)

, ej definierat,

(−18 21−7 16

)

,

−5 4 −39 −8 10 2 11

,

(5 −4 33 0 15

)

, ej definierat,

8−18

9

.

4.2 Matrisen M1 har typ 2×2 och M2 har typ 1×3.

4.3 a) Ja, sätt a= 0. b) Går inte.

4.4 Produkten AB är i allmänhet inte symmetrisk.

4.5

Ax=y med A=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

, x=

x

y

z

, y=

2−23

4.6

A−1 =(3 22 1

)

, B är ej inverterbar.

4.7

A−1 =

6 −2 1−5 2 −13 −1 1

, B−1 = 12

1 −1 −4−1 0 2−2 1 8

, C är ej inverterbar.

4.8 (x, y, z)= (−4,2,9)

4.9 Det finns en lösning.

4.10 Det finns oändligt många lösningar.

4.11

X= 12

(3 25 2

)

.

24

4.12

X=(−3 61 0

)

.

4.13 Endast matrisen B.

4.15 Ja, a= 2.

Kapitel 5

Några centrala begrepp inom linjär algebra

Linjärt beroende/oberoende

5.1 Låt u = (2,1,−1) och v = (1,2,0). Avgör för var och en av vektorerna w nedanhuruvida w är en linjärkombination av u,v:

a) w= (−1,4,2) b) w= (1,3,−1).

5.2 Avgör, för vektorerna u = (−1,3,2), v = (3,0,1) och w = (2,−6,−4), vilka av demsom är en linjärkombintion av de övriga två.

5.3 Avgör om följande mängder av vektorer är linjärt beroende eller linjärt oberoen-de:

a) (−1,3,2), (2,−6,−4) b) (1,2,3), (−2,1,4)c) (2,−4,1), (−4,0,−1), (2,−2,1) d) (1,2,−1), (1,3,0), (0,2,2)

Koppling till linjära ekvationssystem

T 5.4 Använd resultatet i Uppgift 5.3 a) och b) för att direkt avgöra huruvida följandeekvationssystem har entydig lösning:

a)

−x + 2y = 03x − 6y = 02x − 4y = 0

b)

x − 2y = 02x + y = 03x + 4y = 0

T 5.5 Avgör, utan att utföra några beräkningar, om vektorerna

(1,3,0,−2), (−3,5,1,−5), (2,−6,8,0), (4,−1,4,3) och (0,7,−3,1)

är linjärt oberoende.

T 5.6 Avgör, utan att utföra några beräkningar, om vektorerna

(1,3,0,−2,4), (−3,5,1,−5,3), (2,−6,8,0,2) och (4,−1,4,3,1)

spänner upp R5.

T 5.7 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) för att direkt avgöra om de tre vektorernau= (2,−4,1), v= (−4,0,−1) och w= (2,−2,1) utgör en bas för R3.

25

26

T 5.8 Använd resultatet i Uppgift 5.3 d) för att direkt avgöra om de tre vektorernau= (1,2,−1), v= (1,3,0) och w= (0,2,2) spänner upp R3.

T 5.9 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) för att direkt avgöra om ekvationsystemet

2x − 4y + 2z = 8−4x − 2z =−3

x − y + z = 17

är lösbart.

T 5.10 Använd resultatet i Uppgift 5.3 d) för att direkt bestämma antalet lösningar tillekvationsystemet

x + y = 02x + 3y + 2z = 0−x + 2z = 0

.

T 5.11 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) och d) för att direkt avgöra om matriserna

A=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

och B=

1 1 02 3 2−1 0 2

är inverterbara.

5.12 Bestäm alla värden på talet a sådana att vektorerna u= (−1,2,3), v= (1,−4,−1)och w= (−2,0,a) utgör en bas för R3.

Rang och nolldimension av en matris

5.13 Ekvationssystemet

Ax=y med A=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

, x=

x

y

z

, y=

2−23

har lösningen x = (−4,2,9). Använd denna information för att skiva vektorn ysom en linjärkombination av kolonnerna i matrisen A.

T 5.14 Bestäm rang och nolldimension av matrisen

A=

1 0 21 1 1−1 2 −4

.

Bestäm även baser för kolonnrummet och nollrummet.

Några centrala begrepp inom linjär algebra 27

5.15 Bestäm rang och nolldimension av matrisen

A=

1 −2 −1 0 10 0 −1 1 1−1 2 0 2 20 0 1 2 5

.

Bestäm även baser för kolonnrummet och nollrummet.

5.16 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) för att direkt bestämma rangen av

A=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

.

T 5.17 Använd resultatet i Uppgift 5.3 d) för att bestämma rangen av

A=

1 1 02 3 2−1 0 2

.

28

Tips Kapitel 5


5.5 Använd Hjälpsats 5.1.

5.6 Använd återigen Hjälpsats 5.1.

5.7 Använd Sats 5.10, alternativt Sats 5.11.

5.8 Använd Sats 5.10, alternativt Sats 5.11.





5.17 Du ser nog lätt att rangA 6= 1.

Några centrala begrepp inom linjär algebra 29

Svar Kapitel 5

5.1 a) ja, w=−2u+3v b) nej

5.2 Vektorn u är en linjärkombination av v och w, vektorn w är en linjärkombina-tion av u och v, men v är inte en linjärkombination av u och w.

5.3 a) linjärt beroende b) linjärt oberoende

c) linjärt oberoende d) linjärt beroende

5.4 a) Systemet har inte entydig lösning, utan oändligt många lösningar.

b) Systemet har entydig lösning, den triviala lösningen.

5.5 Nej, vi har här 5 vektorer i R4.

5.6 Nej, vi har här endast 4 vektorer i R5.

5.7 De utgör en bas för R3.

5.8 De spänner inte upp R3.

5.9 Ja, systemet är lösbart, och har entydig lösning.

5.10 Systemet har oändligt många lösningar.

5.11 Matrisen A är inverterbar, men matrisen B är inte inverterbar.

5.12 De utgör en bas för alla a 6= 10.

5.13 y= (2,−2,3) =−4(2,−4,1)+2(−4,0,−1)+9(2,−2,1).

5.14 Det gäller att rangA = 2 och nolldimA = 1. En bas för kolonnrummet utgörs av(exempelvis) (1,1,−1) och (0,1,2), och en bas för nollrummet av (−2,1,1).

5.15 Det gäller att rangA = 3 och nolldimA = 2. En bas för kolonnrummet är (exem-pelvis)

(1,0,−1,0), (−1,−1,0,1), (0,1,2,2),

och en bas för nollrummet är (exempelvis)

(−2,0,−1,−2,1), (2,1,0,0,0).

5.16 rangA= 3.

5.17 rangA= 2.

Kapitel 6

Determinanter

Determinanter av 2×2- och 3×3-matriser

6.1 Beräkna i a) arean, samt i b) och c) volymen, som vektorerna spänner upp. Angeäven hur vektorerna är orienterade.

a) (1,2), (2,3) b) (1,0,2), (−2,1,3), (−1,−2,0)

c) (2,1,−1), (1,3,0), (−3,1,2)

6.2 Beräkna determinanterna av matriserna

A=(−1 22 −3

)

, B=(

1 −3−2 6

)

, C=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

och D=

1 1 02 3 2−1 0 2

.

T 6.3 Använd resultatet i Uppgift 6.2 (matris C) för att direkt avgöra om vektorernau= (2,−4,1), v= (−4,0,−1) och w= (2,−2,1) utgör en bas för R3.

T 6.4 Använd resultatet i Uppgift 6.2 (matris D) för att direkt avgöra om ekvations-systemet

x + y = 12x + 3y + 2z = 2−x + 2z = 3

.

har entydig lösning.

T 6.5 Bestäm alla tal a sådana att matrisen

A=

−1 a 22 1 01 −3 2

är inverterbar.

T 6.6 Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till följande ekvationssystem:

2x + y + az = 02x + 3y + az = 4ax + y + 2z =−2a

.

Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många lösningar.

30

Determinanter 31

T 6.7 Lös, för varje reellt tal a, ekvationssystemet

ax + y + 2az = 0x − ay + z = 0x + ay + 2z = 0

.

Determinantens egenskaper

T 6.8 Använd resultatet i Uppgift 6.2 (matris C) för att beräkna determinanten avmatrisen

A= 13

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

.

6.9 Antag att A och B är två n× n-matriser med detA = −2 respektive detB = 3.Beräkna, om det går,

detAB, det(A+B), detA−1B, detABT , samt detAk

för varje positivt heltal k.

Cramers regel

T 6.10 Lös ekvationssystemet i Uppgift 6.6 för de värden på talet a där det finns entydiglösning.

Utveckling efter rad eller kolonn

6.11 Beräkna med hjälp av utveckling, dels efter den första raden och dels efter denandra kolonnen, determinanten av matrisen

A=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

.

T 6.12 Beräkna med hjälp av adjunkten inverserna till matriserna

A=(−1 22 −3

)

och B=

2 −4 2−4 0 −21 −1 1

.

32

Större determinanter

T 6.13 Beräkna determinanten av matrisen

A=

1 0 2 −1−2 1 3 01 0 4 −20 2 −1 1

.

T 6.14 Beräkna determinanten av matrisen

A=

1 2 −1 1 0 2−1 −4 1 −1 0 −20 5 1 0 2 −12 0 −4 3 3 43 1 −2 3 4 41 7 −1 3 −1 3

.

Determinanter 33

Tips Kapitel 6

6.3 Använd Sats 6.2, samt diskussionen om orientering efter Definition 6.2.




6.7 Här behöver du också använda Följdsats 3.1.

6.8 Jämför Anmärkning 6.5.



6.13 Studera Exempel 6.14.

6.14 Nu använder du rimligtvis att determinanten inte ändras då man till en kolonn(rad) lägger till en multipel av en annan kolonn (rad); jämför med Exempel 6.16.

34

Svar Kapitel 6

6.1 a) De spänner upp arean 1, och är negativt orienterade.

b) De spänner upp volymen 16, och är positivt orienterade.

c) De spänner inte upp någon volym. Således ligger de alla tre i samma plan,och någon orientering är inte definierad.

6.2 Det gäller att detA=−1, detB= 0, detC=−4 och detD= 0.

6.3 De utgör en bas för R3.

6.4 Systemet har inte entydig lösning.

6.5 Matrisen A är inverterbar för alla a 6= −4.

6.6 Då a 6= ±2 har systemet en lösning, då a= 2 ingen lösning och då a=−2 oändligtmånga lösningar (x, y, z)= (t−1,2, t), t ∈R.

6.7 Då a = 1 är lösningarna (x, y, z) = t(3,1,−2), t ∈ R, och då a = −1 är lösningarna(x, y, z)= t(−3,1,2), t ∈R. Övriga värden på a ger lösningen (x, y, z)= (0,0,0).

6.8 detA=( 1

3

)3 · (−4)=− 427 .

6.9 detAB=−6, det(A+B) vet vi ej, detA−1B=− 32 , detABT =−6, detAk= (−2)k.

6.10 För a 6= ±2 har systemet lösningen (x, y, z)= 1a2−4

(−2a2 −2a+4 , 2a2 −8 , 2a+4).

6.11 detA=−4.

6.12 A−1 =(3 22 1

)

, B−1 = 12

1 −1 −4−1 0 2−2 1 8

.

6.13 detA=−5.

6.14 detA= 10.

Kapitel 7

Linjära avbildningar

Linjära avbildningar

T 7.1 Vilka av nedanstående avbildningar kan uttyckas som ett linjärt ekvationssy-stem y=Ax, där A är en matris? Vad blir matrisen A i dessa fall?

F1(x1,x2)= (x1 +4x2, 2x1 +3x2),

F2(x1,x2)= (x1 + x2, x1x2),

F3(x1,x2,x3)= cos(x1 + x2 + x3),

F4(x1,x2,x3)= (2x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 −3x2),

F5(x1,x2)= (x1 + x2, x1 − x2, 0, x1).

TL 7.2 Avbildningen F av typ R3 →R3 definieras av

F(u)=u× (1,−2,2), u ∈R3.

Använd definitionen för att visa att F är linjär.

T 7.3 För den linjära avbildningen F :R3 →R3 gäller det att

F(u1)= (1,0,1), F(u2)= (0,2,1), F(u3)= (1,−1,1),

för några vektorer u1,u2,u3 i R3. Beräkna F(u1+3u2 −u3).

T 7.4 Avgör för var och en av nedanstående avbildningar om denna är linjär:

a) F(u)= 3u, u ∈R2

b) F(u)= ‖u‖u, u ∈R2

c) F(u)= (1,2)·u, u ∈R2

d) F(u)=u+ (1,2), u ∈R2.

Avbildningsmatris

T 7.5 Låt l vara linjen 2x− y= 0, samt låt u = (3,2).

a) Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning F :R2 →R2 som sva-

rar mot sned projektion på av planets punkter på linjen l, i riktningen u.b) Beräkna F(−1,6).

35

36

T 7.6 För den linjära avbildningen F :R3 →R3 gäller det att

F(e1)= (1,−2,1), F(e2)= (0,3,3), F(e3)= (2,−2,3),

där e1,e2,e3 betecknar standardbasen i R3. Vad blir avbildningsmatrisen för F?

T 7.7 Bestäm, om möjligt, matrisen för den linjära avbildningen F :R3 →R3, om det är

känt att

a) F(1,0,1)= (3,0,1), F(−1,1,0) = (−1,−1,3), F(0,1,2) = (1,−1,1)

b) F(−1,−1,2)= (0,2,1), F(1,2,1) = (1,−1,2), F(1,4,7) = (3,1,8).

L 7.8 För den linjära avbildningen F i uppgift 7.7b), är det utifrån den givna informa-tionen möjligt att bestämma bilden a) F(0,1,3) ? b) F(0,1,2) ?

Geometriska exempel

T 7.9 Låt l vara linjen 2x− y = 0. Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbild-ning av typ R2 →R

2 som svarar mot

a) ortogonal projektion på l

b) spegling i l.

T 7.10 Låt π vara planet 2x − y+ z = 0. Bestäm avbildningsmatrisen för den linjäraavbildning av typ R3 →R

3 som svarar mot

a) ortogonal projektion på π

b) spegling i π.

T 7.11 Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som svarar mot rotationi planet, 2π/3 radianer i positiv riktning (moturs).

T 7.12 Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som svarar mot rotationi rummet kring x-axeln, 2π/3 radianer i positiv riktning (sett från spetsen avx-axeln).

Linjära avbildningar 37

Tips Kapitel 7

7.1 Se sidan 189 i läroboken.

7.2 Jämför Exempel 7.1 på sidan 190 i läroboken. Utnyttja räknelagarna för vektor-produkt.

7.3 Se formel (7.9) på sidan 194 i läroboken.

7.4 För var och en av avbildningarna, antingen försök att visa att denna är linjärmed hjälp av definitionen av linjär avbildning (Definition 7.1 alternativt 7.2 iläroboken), eller försök att använda ett argument liknande dem i lärobokensExempel 7.3 och 7.4 för att visa att denna inte är linjär.

7.5 Använd metoden i lärobokens Exempel 7.5 på sidan 195, alternativt metoden iExempel 7.6 på sidan 199.

7.6 Utnyttja Sats 7.2 på sidan 199 i läroboken.

7.7 Se Exempel 7.8 och 7.9 på sidorna 202–203 i läroboken.

7.9 Se Exempel 7.14 på sidan 209 respektive Exempel 7.15 på sidan 211 i läroboken.I stället för metoden i dessa exempel går det också bra att utnyttja Sats 7.2 påsidan 199.

7.10 Se Exempel 7.16 respektive 7.17 på sidorna 212–213 i läroboken. I stället för me-toden i dessa exempel går det också bra att beräkna var en allmän vektor/punkt(x1,x2,x3) avbildas.



38

Svar Kapitel 7

7.1 Avbildningarna F1, F4 och F5 kan uttryckas på denna form. Matriserna är

A1 =(1 42 3

)

, A4 =

2 −1 11 0 11 −3 0

respektive A5 =

1 11 −10 01 0

.

Dessa tre avbildningar är exempel på linjära avbildningar; matriserna ovan ärderas avbildningsmatriser.

7.2 Se lösningen.

7.3 (0,7,3)

7.4 a) linjär b) ej linjär c) linjär d) ej linjär

7.5 a) A= 14

(−2 3−4 6

)

b) (5,10) (Denna deluppgift svarar precis mot uppgift 2.15 på sidan 10.)

7.6 A=

1 0 2−2 3 −21 3 3

7.7 a) A=

4 3 −10 −1 04 7 −3

b) Matrisen går ej att ta fram, eftersom vi endast har information om två lin-järt oberoende vektorer i definitionsmängden R

3 (de tre givna vektorerna idefinitionsmängden är linjärt beroende).

7.8 a) ja, F(0,1,3) = (1,1,3) b) nej

7.9 a) A= 15

(1 22 4

)

b) B= 15

(−3 44 3

)

7.10 a) A= 16

2 2 −22 5 1−2 1 5

b) B= 13

−1 2 −22 2 1−2 1 2

Linjära avbildningar 39

7.11 A= 12

(−1 −

p3p

3 −1

)

7.12 A= 12

2 0 00 −1 −

p3

0p

3 −1

40


7.2 Egenskaperna i) och ii) i Definition 7.1 för linjär avbildning (se sidan 190 i läro-boken) följer av räknelagarna för vektorprodukt. Det gäller att

i) F(u+v)= (u+v)× (1,−2,2) =

=u× (1,−2,2)+v× (1,−2,2) =F(u)+F(v), u,v ∈R3,

ii) F(λu)= (λu)× (1,−2,2) ==λ

(

u× (1,−2,2))

=λF(u), λ ∈R.

Alternativt visar man det ekvivalenta villkoret i’) i Definition 7.2.

7.8 a) I uppgift 7.7b) såg vi att informationen om F inte var tillräcklig för att be-stämma avbildningsmatrisen, då de tre ”invektorerna”

u1 = (−1,−1,2), u2 = (1,2,1), u3 = (1,4,7)

var linjärt beroende. Däremot kan vi plocka ut två linjärt oberoende vekto-rer bland dessa, t.ex. u1 = (−1,−1,2), u2 = (1,2,1). Vi undersöker nu om vårvektor (0,1,3) är en linjärkombination av dessa:

(0,1,3)=λ1(−1,−1,2)+λ2(1,2,1) ⇔

−λ1 + λ2 = 0−λ1 + 2λ2 = 12λ1 + λ2 = 3

⇔{λ1 = 1λ2 = 1

.

Vi ser alltså att det gäller att (0,1,3) = (−1,−1,2)+ (1,2,1), och linjäritetenav F ger oss då att

F(0,1,3)=F(

(−1,−1,2)+ (1,2,1))

=

=F(−1,−1,2)+F(1,2,1) = (0,2,1)+ (1,−1,2) = (1,1,3).

I detta fall gick det alltså att bestämma bilden.b) Enligt a) hänger det hela på om vektorn (0,1,2) går att uttrycka som en

linjärkombination av (t.ex.) u1 = (−1,−1,2), u2 = (1,2,1). Vi får systemet

(0,1,3) =λ1(−1,−1,2)+λ2(1,2,1) ⇔

−λ1 + λ2 = 0−λ1 + 2λ2 = 12λ1 + λ2 = 2

⇔

−λ1 + λ2 = 0λ2 = 1

3λ2 = 2,

vilket saknar lösning, vilket innebär att F(0,1,2) ej går att beräkna utifrånden givna informationen.

Kapitel 8

Egenskaper hos linjära avbildningar

Värdemängd

T 8.1 Bestäm värdemängden för den linjära avbildning som har avbildningsmatris

a)

1 0 21 1 1−1 2 −4

b)

(1 3−1 −2

)

c)

1 −12 11 3

.

T 8.2 Ange, utan att utföra några beräkningar, värdemängden för den linjära avbild-ning som svarar mot

a) spegling i linjen 2x− y= 0

b) ortogonal projektion på planet 2x− y+ z = 0

c) rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning.

T 8.3 Studera avbildningarna i uppgift 8.2. Ange, utan att utföra några beräkningar,

a) rangen för matrisen för var och en av dessa avbildningar

b) nollrummet samt nolldimensionen för matrisen för var och en av dessa av-bildningar.

Sammansättning av linjära avbildningar

T 8.4 Bestäm matrisen för den linjära avbildning av typ R2 →R2 som svarar mot

a) spegling i linjen 2x− y= 0, åtföljd av rotation i planet 2π/3 radianer i positivriktning

b) rotation i planet 2π/3 radianer i positiv riktning, åtföljd av spegling i linjen2x− y= 0.

Blir matriserna i a) och b) lika? (Notera att du redan har beräknat matrisernaför de ingående avbildningarna ovan i uppgift 7.9b) och 7.11a).)

T 8.5 Låt F och G vara linjära avbildningar med avbildningsmatris

A=

1 01 13 −1

respektive B=

1 0 −11 1 20 1 3

.

Avgör vilka av nedanstående sammansättningar som är väldefinierade:

41

42

a) G◦F b) F◦G.

Bestäm i de fall då sammansättningen är väldefinierad vilken typ, Rm →Rn, den

sammansatta avbildningen får, samt bestäm avbildningsmatrisen för samman-sättningen.

Invers avbildning

T 8.6 Vi återgår till avbildningarna i uppgift 8.1. Avgör om den linjära avbildning somhar avbildningsmatris

a)

1 0 21 1 1−1 2 −4

b)

(1 3−1 −2

)

c)

1 −12 11 3

är injektiv. Tänk på att du eventuellt kan återanvända delar av dina lösningarav uppgift 8.1.

T 8.7 Vi återgår till avbildningarna i uppgift 8.2. Avgör, utan att utföra några beräk-ningar, om den linjära avbildning som svarar mot



c) rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning

är injektiv.

T 8.8 Vi återgår ännu en gång till avbildningarna i uppgift 8.1. Använd resultaten idenna uppgift för att direkt avgöra om den linjära avbildning som har avbild-ningsmatris

a)

1 0 21 1 1−1 2 −4

b)

(1 3−1 −2

)

c)

1 −12 11 3

är surjektiv.

8.9 Vi återgår ännu en gång till avbildningarna i uppgift 8.2. Använd resultaten idenna uppgift för att direkt avgöra om den linjära avbildning som svarar mot




är surjektiv.

Egenskaper hos linjära avbildningar 43

T 8.10 Vi återgår en sista gång till avbildningarna i uppgift 8.1. Kombinera dina re-sultat av uppgift 8.6 och 8.8 för att avgöra om den linjära avbildning som haravbildningsmatris

a)

1 0 21 1 1−1 2 −4

b)

(1 3−1 −2

)

c)

1 −12 11 3

är bijektiv. Bestäm avbildningsmatrisen för den inversa avbildningen i förekom-mande fall.

8.11 Vi återgår en sista gång till avbildningarna i uppgift 8.2. Kombinera dina resul-tat av uppgift 8.7 och 8.9 för att avgöra om den linjära avbildning som svararmot




är bijektiv. Bestäm avbildningsmatrisen för den inversa avbildningen i förekom-mande fall. Notera att du i uppgift 7.9b), 7.10a) respektive 7.11a) redan harberäknat matriserna för avbildningarna ovan.

Övriga egenskaper hos linjära avbildningar

T 8.12 Låt F och G vara linjära avbildningar med avbildningsmatris

A= 15

(−3 44 3

)

respektive B=

2 1 −22 −2 1−1 −2 −2

.

Avgör om avbildningarna är isometriska.

T 8.13

uv

Vektorerna u,v i R2 spänner upp ett parallellogram i planet(se figuren) med area 3. Låt F : R2 → R

2 vara den linjäraavbildning som ges av matrisen

A=(3 52 1

)

.

Bestäm arean av det parallellogram som spänns upp av vektorerna F(u),F(v).Förutsatt att u,v är positivt orienterade, vad går att säga om orienteringen avF(u),F(v)?

44

T 8.14 Vektorerna u,v,w i R3 spänner upp en parallellepiped i planet (med volym skildfrån noll). Låt F :R3 →R

3 vara den linjära avbildning som ges av matrisen

A=

a −1 01 −1 −a

0 2 −1

.

Bestäm de värden på konstanten a för vilka vektorerna F(u),F(v),F(w) spännerupp en parallellepiped med volym noll.


Tips Kapitel 8



8.3 a) Använd sambandet på sidan 220 i läroboken. (Det går givetvis också atträkna fram rangen utifrån matriserna med metoden i Kapitel 5.4; se Sats 5.14.Matriserna för avbildningarna i uppgiften har du tidigare tagit fram i upp-gift 7.9b), 7.10a) respektive 7.11a).)

b) För nollrummet, tänk på den geometriska tolkningen. Vilka vektorer av-bildas på 0 ? Nolldimensionen anger sedan dimensionen av nollrummet. Alter-nativt kan man få fram nolldimensionen genom att utnyttja dimensionssatsen,Sats 5.15, på sidan 139 i läroboken. Hur många kolonner n har avbildningsma-trisen i respektive fall?




8.7 Tänk på den geometriska tolkningen. Jämför Exempel 8.7 på sidan 226 i läro-boken. (Om du löste uppgift 8.3b) kanske du kan utnyttja resultatet där för attavgöra injektiviteten?)

8.8 För definitionen av att en avbildning är surjektiv, se läroboken sidan 226.

8.10 För avbildningsmatrisen, använd Sats 8.2 på sidan 229 i läroboken. (Jämföräven Exempel 8.8 på samma sida.)

8.12 Använd Sats 8.4 på sidan 233 i läroboken.



46

Svar Kapitel 8

8.1 a) de (y1, y2, y3) i R3 som uppfyller att 3y1 −2y2+ y3 = 0

b) hela R2

c) de (y1, y2, y3) i R3 som uppfyller att 5y1 −4y2+3y3 = 0

8.2 a) hela R2

b) de (y1, y2, y3) i R3 som uppfyller att 2y1 − y2+ y3 = 0, dvs. själva planet

c) hela R2

8.3 a) Rangen, som svarar mot dimensionen av värdemängden, blir 2 i samtligafall.

b) Nollrummet i 8.2a) och c) blir enbart nollvektorn; nolldimensionen är då 0.I b) ges nollrummet av vektorerna (y1, y2, y3) = t(2,−1,1), t ∈ R, dvs. en linjeortogonal mot planet 2x− y+ z = 0. Nolldimensionen är här lika med 1.

8.4 a) 110

(3−4

p3 −4−3

p3

−4−3p

3 −3+4p

3

)

b) 110

(3+4

p3 −4+3

p3

−4+3p

3 −3−4p

3

)

Matriserna är som synes olika.

8.5 a) BA=

−2 18 −110 −2

; G◦F är av typ R2 →R3.

b) ej definierad

8.6 a) ej injektiv b) injektiv c) injektiv

8.7 a) injektiv b) ej injektiv c) injektiv

8.8 a) ej surjektiv b) surjektiv c) ej surjektiv

8.9 a) surjektiv b) ej surjektiv c) surjektiv

8.10 a) ej bijektiv b) bijektiv c) ej bijektiv

Inversen i b) får matrisen(−2 −3

1 1

)

.

8.11 a) bijektiv b) ej bijektiv c) bijektiv

Inversen i a) och c) får matrisen 15

(−3 44 3

)

respektive 12

(−1

p3

−p

3 −1

)

. Notera att inver-

sen till speglingen blir lika med speglingen själv, och att inversen till rotationenblir rotation 2π/3 radianer i negativ riktning.


8.12 F är isometrisk, G är ej isometrisk.

Notera att F är spegling i linjen 2x− y = 0, en för oss välbekant avbildning; vidspegling i en linje bevaras ju längder och vinklar. Matrisen B är inte ortogonal;visserligen är kolonnerna ortogonala, men dessa är inte normerade.

8.13 Arean blir 21, och F(u),F(v) är negativt orienterade.

8.14 a=−1 och a= 1/2

Kapitel 9

Bas- och koordinatbyte

Byte av bas och koordinater

T 9.1 Låt e1,e2 vara en bas för R2, och antag att vi inför en ny bas e1, e2 enligt

e1 = (3,−1), e2 = (2,1)

med avseende på den ursprungliga basen e1,e2.

a) Verifiera att e1, e2 utgör en bas för R2.

b) Ange matrissambandet för hur de nya basvektorerna e1, e2 uttrycks i deursprungliga basvektorerna e1,e2.

Givet en allmän vektor x= (x1,x2) i den ursprungliga basen e1,e2, låt x= (x1, x2)beteckna koordinaterna för x i den nya basen e1, e2.

c) Ange matrissambandet för hur de ursprungliga koordinaterna x uttrycks ide nya koordinaterna x. Vad blir koordinatbytesmatrisen? Vad går det attsäga om kolonnerna till denna matris?

d) Använd sambandet i c) för att bestämma koordinaterna x för den vektorsom i den nya basen har koordinaterna x= (1,−2).

e) Ange matrissambandet för hur de nya koordinaterna x uttrycks i de ur-sprungliga koordinaterna x.

f) Använd sambandet i e) för att bestämma de nya koordinaterna x för vektornx= (−6,7).

Ortonormerat basbyte

T 9.2 Låt e1,e2,e3 vara en bas för R3, och antag att vi inför en ny ortonormerad base1, e2, e3 enligt

e1 = 13 (2,2,−1), e2 = 1

3 (1,−2,−2), e3 = 13 (−2,1,−2)

med avseende på den ursprungliga basen e1,e2,e3.

a) Verifiera att e1, e2, e3 utgör en ortonormerad bas för R3.

Givet en allmän vektor x = (x1,x2,x3) i den ursprungliga basen e1,e2,e3, låtx= (x1, x2, x3) beteckna koordinaterna för x i den nya basen e1, e2, e3.

b) Ange matrissambandet för hur de nya koordinaterna x uttrycks i de ur-sprungliga koordinaterna x.

c) Använd sambandet i b) för att bestämma de nya koordinaterna x för vektornx= (1,2,3).

48

Bas- och koordinatbyte 49

TL 9.3 Planet π ges av ekvationen −2x + 2y − z = 0 med avseende på en given base1,e2,e3.

a) Bestäm en positivt orienterad ortonormerad bas e1, e2, e3 sådan att vekto-rerna e1 och e2 är parallella med π.

b) Vi byter nu bas till e1, e2, e3. Vad blir ekvationen för π i denna nya bas?

Koordinatbyte för linjära avbildningar

T 9.4 Antag att den linjära avbildningen F :R2 →R2 har avbildningsmatris

A= 15

(4 −18−3 1

)

i en given bas e1,e2, och att vi utför basbytet i uppgift 9.1, dvs. vi inför de nyabasvektorerna

e1 = (3,−1), e2 = (2,1)

med avseende på den ursprungliga basen e1,e2. Bestäm avbildningsmatrisen Amed avseende på den nya basen e1, e2.

T 9.5 Låt F vara den linjära avbildning som svarar mot spegling i linjen l : 2x− y= 0.

a) Bestäm avbildningsmatrisen för F. (Har du löst uppgift 7.9b) på sidan 36 såhar du redan svaret.)

b) Bestäm en ortonormerad bas e1, e2 för R2 sådan att e1 är parallell med l oche2 är ortogonal mot l.

c) Bestäm avbildningsmatrisen för F med avseende på basen e1, e2.

T 9.6 Bestäm avbildningsmatrisen A för den linjära avbildning som svarar mot ro-tation vinkeln π/2 radianer kring linjen (x, y, z) = t(−2,2,−1), t ∈ R. Rotationensker i positiv riktning sett från spetsen av vektorn (−2,2,−1).

50

Tips Kapitel 9



9.3 a) Börja med att ta fram vektorn e3, som måste vara en normalvektor till pla-net. Det återstår sedan att hitta två ortogonala normerade vektorer e1, e2

parallella med planet. Börja med att försöka konstruera en av dessa två;den sista kan du sedan ta fram med hjälp av en lämplig vektorprodukt. Varnoggrann med ordningsföljden i vektorprodukten så att den slutliga orien-teringen blir korrekt.

b) Ta fram en normalvektor till planet π uttryckt i den nya basen e1, e2, e3.



9.6 Utför först ett lämpligt basbyte, t.ex. till en positivt orienterad ortonormerad base1, e2, e3, där e3 = 1

3 (−2,2,−1). (Detta basbyte utförde du faktiskt i uppgift 9.3;återanvänd gärna dina beräkningar därifrån.) I denna bas är det mycket lättareatt ta fram avbildningsmatrisen (se Exempel 7.19 på sidan 215 i läroboken),som vi betecknar A. Slutligen kan man beräkna avbildningsmatrisen A i denursprungliga basen genom att utgå från sambandet i Sats 9.3 på sidan 254.


Svar Kapitel 9

9.1 a) Det är inte svårt att se att de två vektorerna e1, e2 ej är parallella, ochdärmed utgör en bas för R2.

b)

(e1

e2

)

︸︷︷︸

E

=(3 −12 1

)

︸︷︷︸

ST

(e1

e2

)

︸︷︷︸

E

c) Det gäller att

(x1

x2

)

︸︷︷︸

x

=(

3 2−1 1

)

︸︷︷︸

S

(x1

x2

)

︸︷︷︸

x

.

Matrisen S är den s.k. koordinatbytesmatrisen, vars kolonner är koordina-terna för de nya basvektorerna e1, e2.

d) x= (−1,−3)

e)

(x1

x2

)

︸︷︷︸

x

= 15

(1 −21 3

)

︸︷︷︸

S−1

(x1

x2

)

︸︷︷︸

x

f) x= (−4,3)

9.2 a) Eftersom varje ortonormerad mängd av tre vektorer i R3 också är en basför R3 (se Exempel 5.8 på sidan 131 i läroboken) räcker det att visa atte1, e2, e3 utgör en ortonormerad mängd. Det är lätt att kontrollera att så ärfallet; det gäller att

e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0 och e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1.

b)

x1

x2

x3

︸︷︷︸

x

= 13

2 2 −11 −2 −2−2 1 −2

︸︷︷︸

S−1=ST

x1

x2

x3

︸︷︷︸

x

c) x= (1,−3,−2)

9.3 a) exempelvis e1 = 1p2(1,1,0), e2 = 1

3p

2(1,−1,−4) och e3 = 1

3 (−2,2,−1)

b) z = 0

9.4 A=(2 00 −1

)

(en diagonalmatris!)

52

9.5 a) A= 15

(−3 44 3

)

b) t.ex. e1 = 1p5

(1,2), e2 = 1p5

(2,−1)

c) A=(1 00 −1

)

9.6 A= 19

4 −1 8−7 4 4−4 −8 1



9.3 a) Eftersom e1 och e2 skall vara parallella med planet −2x+2y− z = 0 inser viatt e3 blir ortogonal mot detta plan. En avläsning av planets ekvation geratt detta (exempelvis) har normalvektorn (−2,2,−1), och efter normeringkan vi därför direkt sätta e3 = 1

3 (−2,2,−1).

Vi plockar sedan ut en valfri vektor parallell med planet; genom ”prövning”ser vi att exempelvis (1,1,0) är ortogonal mot e3, och således även är paral-lell med planet. Normering av denna vektor ger oss vektorn e1 = 1p

2(1,1,0).

Vi tar slutligen fram en vektor ortogonal mot både e1 och e3 genom att be-räkna vektorprodukten, och väljer att multiplicera vektorerna i ordningen

e3 × e1 = 13p

2(1,−1,−4).

π

e3

e3 × e1

e1

Denna produkt, med ordningenovan, kommer faktiskt direktatt ge oss vektorn e2: Eftersom‖e3 × e1‖ enligt Sats 2.1 på si-dan 56 ges av arean som spännsupp av e3 och e1, vilken i detta fall är lika med 1 (arean av en kvadratmed sida 1), följer det att ‖e3 × e1‖ = 1; vektorprodukten blir i detta falldärför automatiskt normerad. Vidare är, eftersom det handlar om en vek-torprodukt, vektorerna e3, e1, e3 × e1, i den ordningen, positivt orienterade,och genom att rita en figur inser vi då att även den omkastade ordningene1, e3 × e1, e3 får samma orientering. Vektorprodukten får således precis deegenskaper vi vill åt för e2, och vi sätter e2 = 1

3p

2(1,−1,−4).

Sammanfattningsvis gäller det alltså att exempelvis

e1 = 1p2

(1,1,0), e2 = 13p

2(1,−1,−4), e3 = 1

3 (−2,2,−1),

är en bas med de sökta egenskaperna. (Observera att det finns flera, t.o.m.oändligt många, korrekta svar till denna uppgift. Bl.a. har vi ju ett mycketfritt val av vektorer parallella med planet.)

54

b) Planet π har exempelvis normalvektorn n = e3 = 13 (−2,2,−1), och denna

normalvektor uttryckt i den nya basen blir n = (0,0,1). Eftersom planet in-nehåller origo ges dess ekvation efter basbytet således av 0· x+0· y+1· z = 0,dvs. z = 0. I den nya basen blir alltså π ett koordinatplan, närmare bestämtx y-planet!

Alternativ: Om man inte upptäcker den korta lösningen ovan kan man ocksåta fram ekvationen via matriser: Med valet av bas i a) utför vi alltså basbytet

e1

e2

e3

︸︷︷︸

E

=

1p2

1p2

0

13p

2− 1

3p

2− 4

3p

2

− 23

23 − 1

3

︸︷︷︸

ST

e1

e2

e3

︸︷︷︸

E

.

vilket leder till koordinatsambandet

x

y

z

︸︷︷︸

x

=

1p2

13p

2− 2

3

1p2

− 13p

223

0 − 43p

2− 1

3

︸︷︷︸

S

x

y

z

︸︷︷︸

x

.

Vi skriver nu om planets ekvation −2x+2y− z = 0 med hjälp av detta sistakoordinatsamband:

−2( 1p

2x+ 1

3p

2y− 2

3 z)

+2( 1p

2x− 1

3p

2y+ 2

3 z)

−(

− 43p

2y− 1

3 z)

= 0 ⇔ z = 0.

Kapitel 10

Egenvektorer och egenvärden

Definition

T 10.1 Låt F :R2 →R2 vara den linjära avbildningen med avbildningsmatris

A=(

8 4−3 −5

)

.

Vilken eller vilka av vektorerna

u1 = (1,1), u2 = (1,−3), u3 = (4,−1), u4 = (0,0),

är egenvektorer till F? Vad blir egenvärdet i respektive fall?

TL 10.2 Den linjära avbildningen F :R3 →R3 med avbildningsmatris

A=

a 5 51 3 a−2−1 −5 −3

har egenvektorn u = (1,1,−1). Bestäm värdet på konstanten a. Vad blir egen-värdet?

T 10.3

uv

Vektorerna u och v i figuren är egenvekto-rer med egenvärdena −1/2 respektive 2 tillen linjär avbildning F :R2 →R

2.

a) Rita ut vektorerna F(u) och F(v).

b) Rita ut vektorn F(u+v). Är u+v enegenvektor till F?

T 10.4 Använd ett geometriskt resonemang (dvs. räkna inte) för att bestämma allaegenvektorer och egenvärden till den linjära avbildning som svarar mot

a) ortogonal projektion på linjen 2x− y= 0

b) spegling i planet 2x− y+ z = 0

c) rotation π radianer i planet

d) rotation i rummet π/3 radianer kring z-axeln.

55

56

Beräkning av egenvärden och egenvektorer

T 10.5 Beräkna samtliga egenvärden och egenvektorer till matrisen

a)

(1 34 2

)

b)

(2 01 2

)

c) 15

(−3 44 3

)

d) 12

(1 −

p3p

3 1

)

.

T 10.6 Beräkna samtliga egenvärden och egenvektorer till matrisen

a)

0 3 −31 −2 11 −5 4

b) 13

2 2 −22 5 1−2 1 5

.

T 10.7 Bestäm samtliga egenvärden till matrisen

1 5 11 −30 2 −3 60 0 3 70 0 0 4

.

T 10.8 Använd de beräknade egenvektorerna och egenvärdena till matriserna i upp-gift 10.5c) och 10.6b) för att, till var och en av dessa matriser, göra en geometrisktolkning av motsvarande linjära avbildning.

Egenvektorer och egenvärden 57

Tips Kapitel 10

10.1 Utnyttja Definition 10.2 av egenvektor på sidan 258 i läroboken. Se även Exem-pel 10.1 på samma sida.

10.2 Utnyttja Definition 10.2 av egenvektor på sidan 258 i läroboken.

10.3 b) Notera att F är en linjär avbildning. Vad gäller då för F(u+v) ? Blir F(u+v)parallell med u+v ?

10.4 Jämför resonemangen i Exempel 10.2–10.4 på sidorna 259–261 i läroboken. Ritafigur i varje enskilt fall!

10.5 Se Exempel 10.5 på sidan 263 i läroboken. I c) och d) använder man lämpligenmetoden i Exempel 10.6 för att undvika faktorn framför matrisen.


10.7 För determinantberäkningen, jämför Exempel 6.17 på sidan 176 i läroboken.

10.8 Jämför Exempel 10.7 på sidan 266 i läroboken. Problemet är i princip det om-vända till det i uppgift 10.4, så det kan vara bra att först tänka igenom dinalösningar av 10.4.

58

Svar Kapitel 10

10.1 Vektorerna u2 och u3 är egenvektorer med egenvärdena −4 respektive 7.

10.2 a= 3, egenvärde λ= 3

10.3 a)

F(u)=−12 u

F(v) = 2v

b)

u+v

F(u+v) =F(u)+F(v)

Nej, u+v är inte en egenvektor, då den ej är parallell med F(u+v).

10.4 a) Alla nollskilda vektorer parallella med linjen, dvs. alla vektorer t(1,2), t 6= 0,är egenvektorer med egenvärde 1, och alla nollskilda vektorer ortogonalamot linjen, t(2,−1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 0.

b) Alla nollskilda vektorer parallella med planet, dvs. alla vektorer (x1,x2,x3) 6=(0,0,0) som uppfyller 2x1−x2+x3 = 0 är egenvektorer med egenvärde 1, ochalla nollskilda vektorer ortogonala mot planet, t(2,−1,1), t 6= 0, är egenvek-torer med egenvärde −1.

c) Alla nollskilda vektorer i R2 (!) är egenvektorer med egenvärde −1.

d) Alla nollskilda vektorer parallella med z-axeln, dvs. t(0,0,1), t 6= 0, är egen-vektorer med egenvärde 1.

10.5 a) Vektorerna t(3,4), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 5, och vektorernat(1,−1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde −2.

b) Vektorerna t(0,1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 2.

c) Vektorerna t(1,2), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 1, och vektorernat(2,−1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde −1.

d) Reella egenvärden och egenvektorer saknas. Matrisen svarar mot rotationi planet π/3 radianer i positiv riktning; jämför Exempel 10.4 på sidan 261 iläroboken.

Egenvektorer och egenvärden 59

10.6 a) Vektorerna t(0,1,1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde −1, vektorernat(1,1,1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 0 och vektorerna t(1,0,−1),t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 3.

b) Vektorerna t(2,−1,1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 0, och alla vek-torer (x1,x2,x3) 6= (0,0,0) som uppfyller 2x1−x2+x3 = 0 är egenvektorer medegenvärde 2.

10.7 Egenvärdena är 1, 2, 3 och 4

10.8 Matrisen i uppgift 10.5b) svarar mot spegling i linjen 2x− y= 0. I uppgift 10.6b)har vi ortogonal projektion på planet 2x− y+ z = 0 följt av förlängning faktorn 2.

60


10.2 Enligt Definition 10.2 av egenvektor på sidan 258 i läroboken skall det för x =(1,1,−1) gälla att Ax = λx, för något reellt tal λ. Uppställning av detta ekva-tionssystem ger att

a 5 51 3 a−2−1 −5 −3

11−1

=λ

11−1

⇔

a

−a+6−3

=

λ

λ

−λ

⇔

a = λ

−a + 6 = λ

− 3 = −λ.

Från den sista ekvationen ser vi att λ = 3, och det följer då från den förstaekvationen att även a = 3. Till slut noterar vi att dessa värden på λ och a ävenuppfyller den mittersta ekvationen. Sammanfattningsvis får vi alltså att a = 3och att egenvärdet är λ= 3.

Kapitel 11

Diagonalisering

Basbyte och diagonalisering

T 11.1 Den linjära avbildningen F :R2 →R2 har avbildningsmatrisen

A=(1 −21 4

)

.

Vi skall nu steg för steg diagonalisera denna matris:

a) Bestäm samtliga egenvektorer och egenvärden till A.

b) Ange en bas e1, e2 av egenvektorer till A.

c) Vi byter nu bas, och låter e1, e2 vara den nya basen för R2. Vilken blir koor-dinatbytesmatrisen S för detta basbyte?

d) Bestäm avbildningsmatrisen D med avseende på basen e1, e2 genom att ut-föra beräkningen D=S−1AS. Du har nu fått en diagonalmatris D.

e) Är det nödvändigt att utföra beräkningen D = S−1AS för att bestämma D?Hur är utseendet av diagonalmatrisen D relaterat till koordinatbytesmatri-sen S?

T 11.2 Diagonalisera (i de fall det är möjligt) nedanstående matriser. Med andra ord,bestäm i vart och ett av fallen en inverterbar matris S och diagonalmatris Dsådana att D=S−1AS, om matrisen A ges av

a)

(1 34 2

)

b)

(2 01 2

)

c) 15

(−3 44 3

)

d) 12

(1 −

p3p

3 1

)

.

(Dessa är samma matriser som i uppgift 10.5, så du behöver inte beräkna egen-vektorer och egenvärden på nytt.)

11.3 Diagonalisera matrisen

A=

0 3 −31 −2 11 −5 4

.

(Detta är samma matris som i uppgift 10.6a), så du behöver inte beräkna egen-vektorer och egenvärden på nytt.)

61

62

T 11.4 a) Diagonalisera matrisen

A= 13

2 2 −22 5 1−2 1 5

.

(Matrisen är densamma som i uppgift 10.6b), så du kan utnyttja beräkning-ar därifrån.)

b) Går det att utföra diagonaliseringen i a) så att koordinatbytesmatrisen Sblir ortogonal? Bestäm i så fall en sådan matris S, och ange motsvarandediagonalmatris D.

T 11.5 Låt A vara avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som svarar mot speg-ling i planet x+2y+2z = 0. Bestäm en ortogonal matris S och en diagonalma-tris D sådana att D=STAS.

Tillämpningar av diagonalisering

T 11.6 Beräkna potensen Ak, k ≥ 1, av matrisen

A=(1 −21 4

)

.

(Du har redan tagit fram en diagonalisering av denna matris i uppgift 11.1.)

Diagonalisering 63

Tips Kapitel 11


11.2 Tänk på att matrisen endast är diagonaliserbar om villkoret i Sats 11.1 på si-dan 271 i läroboken är uppfyllt.

11.4 a) Jämför Exempel 11.3 på sidan 272 i läroboken.

b) Om du har problem att ta fram en ortonormerad bas av egenvektorer kandet vara bra att jämföra med Exempel 9.5 på sidan 255 i läroboken. Se ävenlösningen till uppgift 9.3.

11.5 Du slipper mycket beräkningar om du tar fram egenvektorer och egenvärdendirekt utifrån den geometriska tolkningen. Observera att det inte är nödvändigtatt beräkna matrisen A.


64

Svar Kapitel 11

11.1 a) Vektorerna t(2,−1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 2, och vektorernat(1,−1), t 6= 0, är egenvektorer med egenvärde 3.

b) En bas av egenvektorer ges exempelvis av e1 = (2,−1) och e2 = (1,−1). (Ob-servera att svaret inte är entydigt. Du kan som bas också välja multiplar avdessa vektorer.)

c) Med basen i b) blir S =(

2 1−1 −1

)

, vars kolonner är koordinaterna för basvek-torerna.

d) Med matrisen S som i b) får vi diagonalmatrisen D=(

2 00 3

)

.

e) Nej, det är inte nödvändigt (även om det kan vara bra att göra det för attkontrollera ditt svar). Diagonalelementen i D blir alltid egenvärdena för deegenvektorer som placeras som kolonner i S. Ordningsföljden av diagonale-lementen i D bestäms av ordningsföljden av kolonnerna i S.

11.2 a) T.ex. S=(

3 14 −1

)

och D=(

5 00 −2

)

.

b) Matrisen är ej diagonaliserbar. De enda egenvektorerna är t(0,1), t 6= 0, ochdet går inte välja en bas för R2 bland dessa eftersom vektorerna är inbördesparallella. (Se Sats 11.1 på sidan 271 i läroboken.)

c) T.ex. S=(

1 22 −1

)

och D=(

1 00 −1

)

.

d) Matrisen är ej diagonaliserbar. Eftersom reella egenvektorer saknas kan visåklart heller inte bilda en bas av egenvektorer.

11.3 Exempelvis

S=

0 1 11 1 01 1 −1

och D=

−1 0 00 0 00 0 3

.

11.4 a) Exempelvis

S=

2 1 0−1 0 11 −2 1

och D=

0 0 00 2 00 0 2

.

b) Ja, exempelvis

S=

2p6

1p5

2p30

− 1p6

0 5p30

1p6

− 2p5

1p30

och D=

0 0 00 2 00 0 2

.

Notera att sambandet D = S−1AS i detta fall kan skrivas D = STAS, ef-tersom S−1 =ST då S är ortogonal.

Diagonalisering 65

11.5 Exempelvis

S=

13 0 − 4

3p

223

1p2

13p

223 − 1p

21

3p

2

och D=

−1 0 00 1 00 0 1

.

11.6 Ak =(

2k+1 −3k 2k+1−2 ·3k

−2k +3k −2k +2 ·3k

)

Documents

Matematikcentrum | Matematikcentrum - Vektorer...1.15 För deﬁnitionen av att två vektorer är ortogonala, se Deﬁnition 1.4 på sidan 20. 1.16 För a) och b), jämför Exempel