Vektorer · En vektor skrives som vektorens navn, fx a, med en lille pil henover. I opgaven her angives vektorer med fed i stedet for brug af pilen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J.

Vektorer i

planen


English abstract

This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and

how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating with vectors

in general, with coordinates, and how to calculate the length of a vector. It also defines the

concept called ”tværvektor” in danish. It exlpains the concept ”dot product” of two vectors,

and the context between that and the angle between the vectors. It too explains the

concept called ”determinant” in danish, and how that is used to calculate the area of a

stretched parallelogram between two vectors. Through the report there will be

mathematical proves and illustrations to show and explain the methods being used.

Besides that it has the solutions of task 2, 3, 4, 5 and 6 from ”Bilag 1”.


Indhold:

Indledning ............................................................................................... 2

Hvad er en vektor? ................................................................................. 2

Vektorens koordinater ............................................................................. 3

Stedvektorer ........................................................................................... 4

Regning med vektorer ............................................................................ 4

Addition .............................................................................................. 5

Subtraktion ......................................................................................... 5

Multiplikation ...................................................................................... 5

Division ............................................................................................... 6

Regneregler til hhv. addition, subtraktion og multiplikation: .............. 6

Tværvektor ............................................................................................. 6

Skalarprodukt ......................................................................................... 7

Skalarproduktet til vinkelberegning ...................................................... 8

Determinant ............................................................................................ 9

Determinanten til arealberegning ........................................................ 9

Opgaver (bilag 1) .................................................................................. 10

Opgave 2: ......................................................................................... 10

Opgave 3: ......................................................................................... 10

Opgave 4 ........................................................................................... 11

Opgave 5: ......................................................................................... 12

Opgave 6 .......................................................................................... 12

Konklusion ............................................................................................ 13

Perspektivering ..................................................................................... 14

Litteraturliste ......................................................................................... 14


Indledning

Opgaven handler om vektorer i planen. Et begreb som bruges indenfor fysikken til

beskrivelse af fx krafter og hastigheder, men i sin natur er det et matematisk begreb.

Opgaven her er fra et matematisk synspunkt. Jeg forklarer bl.a. hvad en vektor er og

hvordan den angives med koordinater, herunder vil jeg også komme ind på vektorens

længde. Jeg vil komme ind på hvordan man regner med vektorer. Jeg vil definere og

redegøre for begreber, som stedvektor, tværvektor, skalarprodukt og determinant. Jeg vil

under skalarproduktet redegøre for hvordan vinklen mellem to vektorer beregnes, og

dennes sammenhæng med størrelsen af skalarproduktet. Derudover vil jeg under

determinant-begrebet komme ind på arealberegning af et udspændt parallelogram mellem

to vektorer. Henad vejen vil jeg bevise forskellige sætninger, heriblandt en regneregel for

skalarproduktet. Opgave 2,3,4,5 og 6 løses til sidst i

opgaven ved brug af begreber, formler og sætninger fra de gennemgåede afsnit.

Hvad er en vektor?

Hvis du spørger: ”Hvad er vektorer egentlig for en størrelse?” Så vil man nok svare dertil,

at det ikke bare er en størrelse, men også en retning. Vektorbegrebet er noget man bruger

indenfor beregninger i typisk 2 eller 3 dimensioner, hhv. i planen og i rummet.

Rent grafisk illustreres en vektor i form af en pil, som man plotter ind i et koordinatsystem.

Pile har som bekendt både en retning og en længde (størrelse), hvilket af netop denne

grund gør den idéel til formålet.

En vektor skrives som vektorens navn, fx a, med en lille pil henover. I opgaven her angives

vektorer med fed i stedet for brug af pilen.

Man har bl.a. det man kalder for en 0-vektor, som af navnet er en vektor uden nogen

størrelse eller retning. Udover 0-vektoren er der så alle de andre, som kaldes for egentlige

vektorer. En egentlig vektor med en bestemt størrelse og retning er i vektorverdenen en

repræsentant for alle andre vektorer med præcis den samme størrelse og retning.

Vektorens koordinater

En vektor kan angives med koordinater. En x-koordinat og en y-koordinat, som skrives

over hinanden eller bare som et hvert andet koordinatsæt, dvs. a = (a1, a2). I tilfælde af en

tredje dimension plotter du bare det sidste koordinat på til sidst eller nederst alt efter

hvilken notation du bruger.

Koordinaterne bestemmes udfra det vi kalder basisvektorer eller enhedsvektorer, som vi


indsætter i koordinatsystemet. De hedder hhv. i = (1, 0) og j = (0, 1) og er parallelle og

ensrettede med hhv. x- og y-aksen. Man benytter af og til andre basisvektorer, som så

også giver vektorerne andre koordinater. Jeg har et eksempel på dette i afsnittet om

Skalarproduktet. Disse basisvektorer er dog altid ortogonale på hinanden, hvilket vil sige at

de står vinkelret på hinanden. Dette skrives, i ⟂ j.

Vi bestemmer vores vektors koordinater ved at opløse den i basisvektorerene. Ved

opløsningen fås to vektorer, a1*i og a2*j, der lagt sammen bliver defineret som a´s

koordinater.

Dette gøres som vist i illustrationen til højre:

I illustrationen er a opløst i basisvektorerne og vi har

fået to vektorer, a1 = (3, 0) og

a2 = (0, 2). Som også skrives at:

a = a1* i + a2* j = (3, 0) + (0, 2) = (3, 2)

Dette udgør så vektorens koordinater a = (a1, a2) = (3, 2). (jeg vil forklare mere om addition

af vektorer i afsnittet om Addition)

Vi får hermed en retvinklet trekant ud af opløsningen, hvilket fører os til at kunne

bestemme vektorens længde, noteres IaI, ganske simpelt vha. pythagoras' sætning, a2 +

b2 = c2. Vi får således at:

IaI = √a12 + a2

2 = √ 32+ 22 = 3,6

Bevis:

Vi antager at Ia1*iI og Ia2*jI er kateterne på trekanten og IaI er hypotenusen.

IaI2 = Ia1*iI2 + Ia2*jI

2 <=>

IaI2 = a12 * IiI 2 + a2

2 * IjI2 (regneregel, (ab)x = axbx) <=>

IaI2 = a12 * 1 + a2

2 * 1 (da i og j er enhedsvektorer er deres længde = 1 så kan vi skrive at

IiI2 = 12 = 1) <=> IaI2 = a12 + a2

2 ￭

Stedvektorer

Man kan også ved hjælp af stedvektorer bestemme en vektors koordinater. Hvis man har

to vilkårlige punkter, P og Q, vil man kunne tegne en vektor derimellem, PQ. For at

bestemme denne vektors koordinater, kan man tegne endnu en vektor fra

koordinatsystemets nulpunkt (0, 0), som også skrives O, og ud til P (p1, p2). En sådan

vektor kaldes en stedvektor og man skriver den som OP. Stedvektorens koordinater er

således de samme som punktet P's, så vi kan skrive: OP = P = (p1, p2). Man tegner

ligeledes en vektor ud til Q fra O og kalder denne OQ.


Man kan nu ved hjælp af disse stedvektorer angive

koordinaterne til en vilkårligt indlagt vektor, som vist her:

Vi har punktet P = (p1, p2) og punket Q = (q1, q2) og vil

angive vektoren mellem disse punkter:

PQ = OQ - OP = (q1, q2) – (p1, p2) = (2, 2) – (3, -1) = (-1,

3) (jeg vil forklare mere om subtraktion i afsnittet om

subtraktion)

Bevis:

Man har det man kalder indskudsreglen, som går ud på at et punkt er skudt ind imellem to

punkter.1 I dette tilfælde er Q skudt ind imellem O og P, og reglen siger således at, OP +

PQ = OQ, så vi kan altså skrive at:

OP + PQ = OQ <=> PQ = OQ - OP ￭

Regning med vektorer

Indenfor vektorregning kan man addere og subtrahere vektorer med hinanden som man

vil. Multiplikation og division er derimod lidt mere tricky. Du kan multiplicere vektorer med

tal, men ikke to vektorer med hinanden. Du må heller ikke dividere to vektorer med

hinanden eller et tal med en vektor. Det er derimod okay hvis du dividere en vektor med et

tal. Jeg vil i de følgende afsnit gå i dybden med hhv. addition, subtraktion, multiplikation og

division.

Addition

Når man adderer vektorer finder man frem til summen af to vektorer. Man lægger x-

koordinaterne sammen for sig og y-koordinaterne for sig.

Det kan derfor være en fordel indenfor

vektorregning at benytte skrivemåden, hvor man stiller

koordinaterne over hinanden som i:

a + b = a1 + b1 = 1 + 2 = 3 = (3, 3)

a2 + b2 2 + 1 3

Grafisk ser en sådan konstruktion se ud som vist:

1Vektorer, Geometri og Differentialregning, af Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk, side 12


Subtraktion

Ved subtraktion af vektorer skriver man som følgende:

a - b. Dette kommer nok ikke bag på mange. Man kan såvel også omskrive subtraktionen

til en addition således: a + (- b). Og derpå regnes det ud på samme måde som ved

addition.

Når man sætter minus foran en vektor svarer det til at vende vektoren 180°.

Resultatet af en subtraktion kan let aflæses grafisk ved at placere b´s begyndelsespunkt i

a´s begyndelsespunkt. Vektoreren der så går fra b´s slutpunkt til a´s slutpunkt er resultatet

af subtraktionen. Dette er illustreret til højre:

Som tidligere nævnt bliver b vendt 180° når man ændrer dets

fortegn. Dette vil dog ikke påvirke resultatet hvis man løser

det grafisk med metoden ovenfor. Man skal dog placere a´s

startpunkt i b´s slutpunkt i stedet og så tegne resultatet

imellem b's startpunkt og a's slutpunkt.

Multiplikation

Når man multiplicere en vektor med at tal svarer det til at du enten

forlænger vektoreren eller forkorter den alt efter tallets størrelse. Dette

kaldes også en skalering af vektoren. Grunden til dette er at man

indenfor vektorregning kalder tal for skalarer. Hvis tallet er større end 1

forlænges vektoreren, hvis mindre forkortes vektoren. Hvis tallet er

negativt bliver vektorens retning vendt 180°. Dette er illustreret til højre:

Når man multiplicerer skal man gange tallet med begge vektorens

koordinater. Så hvis vi tager et eksempel og antager at a = (1, 2) og

ganger den med 2, så:

2 a = 2 *1 = 2 = (2, 4)

2 *2 4

Division

Division er ikke noget der bliver brugt meget da man kan præcis det samme vha. multiplikation. Og

multiplikation er bare lettere at regne med, da du ved division skal tænke omvendt. Hvis tallet er

større end 1 forkortes vektoren, hvis tallet er mellem 0 og 1 forlænges den. Hvis tallet er negativt

vendes retningen 180° ligesom ved multiplikation. Som det også gøres ved multiplikation skal du

her dividere med begge vektorens koordinater.

Hvis vi igen antager at a = (1, 2) og dividere med tallet 2 :


a / 2 = 1 2 = (0,5 ; 1)

2 2

Regneregler til hhv. addition, subtraktion og multiplikation:

a) a + 0 = a (0 er betegnelsen for nulvektoren)

b) a + b = b + a (den kommunikative lov)

c) a + (b + c) = (a + b) + c (den associative lov)

d) (s + t) a = s a + t a (den distributive lov)

e) s (a + b) = s a + s b (den distributive lov)

f ) s (t a) = (s t) a (faktorernes orden er underordnet)

g) a = b <=> a + c = b + c 2

Tværvektor

En tværvektor er en vektor der går på tværs af den oprindelige vektor og betegnes som

den oprindelige vektor bare med en lille ^ henover. Derfor kalder man også tværvektoren

for a for ”a-hat”.3Tværvektoren til enhver vektor a defineres som den vektor der

fremkommer ved at dreje a 90° mod uret, altså i positiv retning. Tværvektoren a^ er

således også ortogonal på a, a^⟂ a, på samme måde som basisvektorerne i og j er på

hinanden, som beskrevet tidligere. Basisvektor j er således også tværvektoren til

basisvektor i. Og tværvektoren til j er – i. Illustreret ude til højre:

Der gælder at for enhver vektor a = (a1, a2) er tværvektoren

a^ = (-a2, a1).

Bevis:

Hvis vektor a har retningsvinklen v, kan koordinatsættet skrives:

a = IaI * cos(v) = a1 = (a1, a2)

IaI * sin(v) a2

I tværvektoren lægger vi 90° til vektorens vinkel, som svarer til at

dreje den 90° mod uret. Den bliver derfor:

a^ = IaI * cos(v + 90°) = IaI * (-sin(v)) = - a2 = (- a2, a1) ￭ 4

IaI * sin(v + 90°) IaI * cos(v) a1

Jeg har illustreret ude til højre hvordan cos(v + 90°) bliver til -sin(v). Altså cosinusværdien

til vinklen til a (læses som vinklen mellem x-aksens plus-side og a) er den samme som

sinusværdien til vinklen til a^, dog med ændret fortegn fordi a-hats vinkel er minimum 90°.

2Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 39




På samme måde kan man se hvordan sin(v + 90°) bliver til cos(v).

Regneregler til tværvektoren:

a) a + b = a^ + b^

b) ta = t * a^

Skalarprodukt

Som tidligere nævnt kalder man i vektorverdenen tal for skalarer. Skalarproduktet af to

vektorer er altså et tal. Man kalder det også for prikproduktet5 fordi man notere det med en

prik som i: a b. Ikke at forveksle prikken med et gangetegn, hvilket ikke skulle være til

at tage fejl af, da man, som tidligere nævnt, ikke kan gange to vektorer sammen.

Skalarproduktet defineres:

a b = a1*b1 + a2*b2

Man har også indenfor skalarproduktet en række regneregler:

a) a b = b a (den

kommunikative lov)

b) a (b + c) = a b + a c (den distributive lov)

c) (t a) b = a (t b) = t (a b)

d) a a = IaI2

6

Bevis for regneregel c:

Vi antager at a = (a1, a2) og b = (b1, b2) og dermed t a = t(a1, a2)

(t a) b = t a1 b1 =

t a2 b2

(t a1) * b1 + (t a2) * b2 (af definitionen af skalarproduktet) =

t a1 b1 + t a2 b2 (vi ganger ind i parenteserne) =

t (a1 b1 + a2 b2) (t bliver fællesfaktor og sættes udenfor parentesen) =

t (a b) (a1 b1 + a2 b2 er definitionen på a b) ￭ 7

Skalarproduktet til vinkelberegning

Indenfor sammenhængen mellem størrelsen af skalarproduktet og vinklen mellem to

5http://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_(geometri)#Prikprodukt




egentlige vilkårlige vektorer a og b gælder der følgende:

a b > 0 <=> 0° < vinklen til (a, b) < 90°

a b = 0 <=> vinklen til (a, b) = 90° (Vektorerne er altså ortogonale)

a b < 0 <=> 90° > vinklen til (a, b) < 180°8

Altså fortæller skalarproduktet noget om hvorvidt vinklen mellem to egentlige vektorer er stump, spids eller ret.

Den præcise vinkel bestemmes ved formlen:

a b = IaI * IbI *cos(v) <=> a b / (IaI * IbI) = cos(v) <=>

v = cos-1

(a b / (IaI * IbI))

Bevis:

Vi benytter her et koordinatsystem, hvor vi lader basisvektorerne være ensrettede med hhv. a og a^ og kalder dem

hhv. ea og ea^. At vi benytter et andet koordinatsystem betyder ikke noget i

forhold til vinklen mellem a og b eller længden af vektorerne. Forudsat at

længdeenhederne på basisvektorerne ikke ændres.

Basisvektorerne er derfor:

ea = a / IaI

ea^= a^ / IaÎ = a^ / IaI

Retningsvinklen for b er i dette koordinatsystem den samme som vinklen mellem a og b. Man kan se udfra

betingelserne for dette system at a = (IaI, 0), og

b = (IbI*cos(v), IbI*sin(v)).

Skalarproduktet bliver derfor :

a b = IaI*IbI cos(v) + 0*IbI sin(v) = IaI*IbI cos(v) ￭ 9

Determinant

Determinanten af et vektorpar (a, b) defineres som skalarproduktet af a^ og b. Dvs. : det(

a, b) = a^ b = -a2*b1 + a1*b2 = a1*b2 - a2*b1

Determinanten af to parallelle vektorer er altså nul, ifølge sætningerne for

sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen i det tidligere afsnit. Dette ses på at a^

står ortogonal, altså 90°, på a og dermed også på b, da vektorerne er parallelle.

Determinanten til arealberegning

Når man har to vektorer a og b, kan man udspænde et

parallelogram, som vist:

Arealet for dette parallelogram kan beregnes ved formlen, A =




│det(a, b) │

Der er her tale om en numerisk værdi og ikke en længde.

Bevis:

Arealformlen for et almindeligt parallelogram hedder : A =

h*g, h for højden og g for grundlinjen. I vektorverdenen kan

man indføre et koordinatsystem, som jeg også gjorde

tidligere, hvor x-aksen er parallel og ensrettet med a, som

vist:

a's koordinater hedder såvel (IaI, 0) og IaI er altså

grundlinjen i vores parallelogram. Højden er så den numeriske værdi af b's y-koordinat.

Man snakker om den numeriske værdi da b's y-koordinat godt kan være negativ, men

arealet af parallelogrammet kan altså kun være positivt.

Hvis vi kalder vinklen til a og b for v, er koordinaterne til b = (IbI*cos(v), IbI*sin(v)).

Når vi nu har både højde og grundlinje kan vi opstille formlen:

A = h*g = │IbI*sin(v) │* IaI = │IbI*sin(v) * IaI │ = │det(a, b) │

(det(a, b) er som tidligere defineret a^ b = a1*b2 -a2*b1 = IaI* IbI*sin(v) – 0 *IbI*cos(v)

= IaI* IbI*sin(v)) Derfor får vi : │det(a, b) │ ￭ 10

Opgaver (bilag 1)

Her ser vi nogle eksempler på hvorledes de forskellige begreber, formler og sætninger vi

har været igennem kan benyttes indenfor vektorregning:

Opgave 2:

Det oplyses at IaI = 2. Bestem Ia + 3aÎ

Da koordinatererne ikke betyder noget for svaret som bare er en længde, så er

der ikke noget ulovligt i at opdigte a's koordinater, så længe IaI = 2.

Vi giver a koordinaterne (a1, a2) = (2, 0). Altså er længden stadig lig 2. Tværvektoren har

koordinaterne (- a2, a1) = (0, 2)

Ia + 3aÎ = I(2, 0) + 3(0, 2)I = I(2, 0) + (0, 6)I = I(2, 6)I

Længden bestemmes vha. formlen IaI = √a12 + a2

2 :

10

Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999, side 64


Ia + 3aÎ = √22 + 62 = 6,3

Altså er længden af vektoren a + 3a^ lig med 6,3

Opgave 3:

Lad a = (-3, 5) og b = (1, 4)

Bestem vinklen mellem a og b:

Vi benytter her formlen a b = IaI * IbI *cos(v) og isolere v, som er vinklen.

a b = IaI * IbI *cos(v) <=> a b / (IaI * IbI) = cos(v) <=>

v = cos-1

(a b / (IaI * IbI)) = cos-1

((-3*1 + 5*4) / (√-32 + 5

2 * √1

2 + 4

2)) = 44,99°

Vinklen mellem a og b er altså 44,99 grader.

Bestem tallet t, så vektorerne a og a + t*b er ortogonale:

Fra sætningerne om sammenhængen mellem størrelsen af skalarproduktet og vinklen, ved vi at to

vektorer er ortogonale hvis skalarproduktet er lig 0. Derfor kan vi skrive at a (a + t*b) = 0 og så

isolere t:

a (a + t*b) = 0 <=>

a a + a t*b = 0 (her bruges regneregel: a (b + c) = a b + a c) <=>

IaI2 + a t*b = 0 (ifølge en regneregel for skalarproduktet er a a = IaI2) <=> IaI2 + (a1*

b1) + t(a2*b2) = 0 <=>

((a1* b1) + (a2*b2))t = -IaI2 <=>

t = -IaI2 / ((a1* b1) + (a2*b2)) <=>

t = -IaI2 / (a b) <=>

-(√-32 + 5

2)2 /

(-3*1 + 5*4) = -2

Hvis tallet t er lig med -2, får man en vektor a + t*b = (-3, 5) + (-2(1, 4)) = (-5, -3) der står ortogonalt

på a. Udfaldet giver god mening da denne vektor også er tværvektoren til a = (-3, 5). a^ = (-a2, a1)= (-5, -3).

Opgave 4

Bestem tallet t så vektorerne (2, -3t) og (1, t – 20) er parallelle:

Vi ved at hvis determinanten er lig 0, så er vektorparret parallelle, så derfor kan

vi altså skrive at, det(a, b) = 0 <=> det((2, -3t), (1, t – 20)) = 0.

Da determinanten er defineret som a^ b = (-(-3t), 2) (1, t – 20) kan vi altså

skrive følgende: -(-3t)*1 + 2* t – 20 = 0. Nu skal t bare isoleres:

-(-3t)*1 + 2* t – 20 = 0 <=>

-(-3t) + 2 t = 20 <=>

5 t = 20 <=> t = 20 / 5 <=> t = 4

Så vektorerne (2, -3*4) = (2, -12) og (1, 4 – 20) = (1, -16) er således to parallelle vektorer.


Opgave 5:

I et koordinatsystem er givet tre punkter A(0, -6), B(-1, 2) og C(2, 6).

Beregn arealet af trekant ABC samt vinkel C i trekanten:

Vi kan her benytte stedvektorerne. Ved at tegne punkterne ind og tegne en stedvektor

ud til hvert af punkterne. Og derefter tegne trekantens sider ved kombinere

punkterne som vist ude til højre:

Som det ses ude til højre har vi bl.a. vektorerne OC, OA og AC. OC´s

koordinater er lig C's koordinater, og OA's koordinater er lig A's koordinater.

Derfor kan vi her sige:

AC = OC – OA = (2, 6) – (0, -6) = (2, 12)

Samme procedure køres igennem med AB og BC:

BC = OC – OB = (2, 6) - (-1, 2) = (3, 4)

AB = OB – OA = (-1, 2) – (0, -6) = (-1, 8)

Til beregning af arealet af et parallelogram har vi formlen

A = │det(a, b) │. Derfor kan vi dividere dette med 2 for dermed at få

resultatet af arealet af en trekant. Så vi får:

A = │det(AC, AB) │/ 2 = │det(2, 12),(-1, 8) │/ 2 = │(-12, 2) (-1, 8)│/ 2 =

│-12*(-1) + 2*8│/ 2 = 14

Dermed er trekant ABC's areal lig med 14 kvadratenheder.

Vinkel C i trekanten beregnes ved, v = cos-1

(a b / (IaI * IbI)) fra opgave 3.

Så C's v = cos-1

(AC BC / (IACI * IBCI)) =

cos-1

( 2*3 + 12*4) / (√22 + 12

2 * √3

2 + 4

2)) = 27,4°

Vinklen til C er således lig med 27,4 grader.

Opgave 6

I et koordinatsystem er der for hver t givet to vektorer:

a = (1+t, 2 - t) og b = (t, 4 – t)

Bestem de værdier af t for hvilke a og b udspænder et parallelogram med areal 5:

For at finde ud af dette, skal vi gå ud fra arealformlen A =│det(a, b)│og sætte den lig 5. Da der er

tale om den numeriske værdi gælder der at │det(a, b)│= 5 <=> det(a, b) = 5 v det(a, b) = -5. Dette

betyder at der også findes en t-værdi til det(a, b) = -5. Altså er der to forskellige t-værdier:

1. t-værdi: det(a, b) = 5 <=> a^ b = 5 <=>


(-2 + t, 1 + t) (t, 4 – t) = 5 <=>

(-2 + t)*t + (1 + t)* (4 – t)= 5 <=>

-2t + t2 + 4 – t + 4t - t

2 = 5 <=>

t + 4 = 5 <=> t = 1

2. t-værdi: det(a, b) = -5 <=> a^ b = -5 <=>

(-2 + t, 1 + t) (t, 4 – t) = -5 <=>

(-2 + t)*t + (1 + t)* (4 – t) = -5 <=>

-2t + t2 + 4 – t + 4t - t

2 = -5 <=>

t + 4 = -5 <=> t = -9

Det betyder at arealet af det udspændte parallelogram er lig 5, hvis t = 1 og

hvis t = -9.

Konklusion

En vektor angives altså med koordinater bestemt af basisvektorer, og længden af en

vektor bestemmes vha. Pythagoras. I vektorregning med koordinater, kan man, både

addere, subtrahere, multiplicere og dividere. En tværvektor beskriver den oprindelige

vektor, som er drejet 90° mod uret og dermed står vinkelret på den oprindelige vektor.

Skalarproduktet af to vektorer er et tal, som fortæller noget om vinklen mellem vektorerne,

og kan beregnes udfra vektorernes koordinater ved en formel. Determinanten er også et

tal, defineret som skalarproduktet af vektoren b og tværvektoren til a. Man kan benytte

determinanten til beregning af arealet af et udspændt parallelogram mellem to vektorer.

Perspektivering

Vektorbegrebet blev indført tilbage i 1600-tallet, da det i højere og højere grad ikke

længere var nok at beskrive fysiske størrelser blot med tal. Man manglede en retning.11

Som tidligere beskrevet bruger man det til beregninger i hhv. planen og i rummet. Hvis

man eksempelvis tager et objekt med en hastighed af 50 km/t, så er det tit meget relevant

at vide hvad vej objektet bevæger sig. Man kan også benytte vektorer indenfor

byggeindustrien, i den forstand at et objekt har retningen nedad pga. tyngdekraften. Den

kraft skal holdes i skak af en anden kraft, så vi ender med at få en nul-vektor, hvilket

betyder at objektet nu står stabilt. Vektorer er altså noget man bruger i alle mulige

sammenhænge hvor der kræves beregninger i flere dimensioner.

11

http://www.fysikhistorie.dk/merer2/vekmer.html


Litteraturliste

Højniveaumatematik 1, af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth fra 1999,

Nyt Teknisk Forlag

side 27-29, 33-39, 47-55 og 61-64

Vektorer, Geometri og Differentialregning, af Claus Jessen, Peter Møller og

Flemming Mørk, fra 1999, GYLDENDAL UDDANNELSE

side 12-25

Hjemmesider benyttet:

http://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_(geometri)


Illustrationerne har jeg tegnet i GeoGebra, på hjemmesiden herunder:

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

http://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_(geometri


http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

Documents

Vektorer · En vektor skrives som vektorens navn, fx a, med en lille pil henover. I opgaven her angives vektorer med fed i stedet for brug af pilen