Linj ar algebra - Linköping UniversityVi ov erg ar nu till addition av tv a vektorer. De nition 1.1.4 L at u och v vara tv a vektorer och l at AB vara en representant f or u och BC

Linjär algebra

Kompletterande kompendium

Ulf JanfalkMatematiska institutionen

Linköpings universitet

Inneh̊all

1 Analytisk geometri i planet och rummet 1

1.1 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Multiplikation av vektor med reellt tal och vektoraddition . . . . . . . 3

1.2 Bas och koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Skalär- och vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Skalärprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Ortogonal projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . 231.6 Area och volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Linjer och plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7.1 Linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.2 Linjer i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7.3 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kapitel 1

Analytisk geometri i planet och

rummet

Det fr̊an författarens synvinkel sv̊araste med att skriva ett kapitel som detta är att kommaig̊ang. Hur skall man börja? Hur grundligt skall de inledande begreppen beskrivas och definie-ras? Hur mycket hänsyn skall tas till läsarens geometriska intuition, eller brist p̊a densamma,i de grundläggande definitionerna?

Vissa grundläggande geometriska egenskaper kommer att tas för givna, t ex att vi kanmäta längden av sträckan mellan tv̊a punkter samt vinkeln mellan tv̊a sträckor, d v s s̊adanasaker som du skulle acceptera utan invändning om inte jag hade börjat skriva om dem. N̊agrageometriska objekt tas ocks̊a för givna, exempelvis kommer linjer i planet/rummet och plani rummet inte att definieras strikt. I dessa fall litar vi till intuitionen.

Vad menas d̊a med planet respektive rummet. Dessa kommer ej att definieras strikt imatematisk mening. Tänk p̊a planet som best̊aende av alla punkter som ligger i en obegränsadplan yta och att denna plana yta är det enda som finns! N̊agon höjd ovanför denna planayta finns inte d̊a vi diskuterar plana problem. Även rummet skall ses som en obegränsadpunktmängd. Tänk p̊a din omgivande verklighet.

Det visar sig olämpligt att försöka definiera räknesätt för punkter. Vad skulle man i s̊afall mena med att tv̊a punkter adderas? Vilken punkt skulle vara nollpunkt? Vi skall iställeträkna med objekt som har riktning och längd, s̊a kallade vektorer. Dessa behövs i de flestatillämpningar. Exempelvis är kraft, hastighet, acceleration, elektriska fält, etc... begrepp sombehöver b̊ade storlek och riktning för att kunna beskrivas ordentligt.

1.1 Vektorer

Vad är d̊a en vektor? L̊at P och Q vara tv̊a punkter i planet eller rummet. Sträckan mellanP och Q, riktad fr̊an P mot Q betecknas PQ och representeras med en pil utg̊aende fr̊an Poch med spetsen i Q (se figur 1.1(a) nedan).

Tag en tredje punkt P1 och l̊at pilen som representerar PQ glida längs linjen genom P ochP1 utan att ändra p̊a vare sig pilens längd eller riktning. Pilen utg̊ar nu fr̊an P1 och slutar i Q1(se figur 1.1(b)) och representerar nu istället den riktade sträckan P1Q1. Vi använder allts̊asamma pil att representera tv̊a olika riktade sträckor. Vi kan därmed se sträckorna PQ ochP1Q1 ekvivalenta i den meningen att de representeras av samma pil. Det är denna egenskapvi tar fasta p̊a vid nedanst̊aende definition av begreppet vektor.

1

2 KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET

(a) (b)

P

Q

PQ

P1

P

Q

Q1

PQ

P1Q1

Figur 1.1: (a) Riktade sträckan fr̊an P till Q. (b) Parallellförflyttning av pilen mellan P ochQ.

Vi kommer ocks̊a att behöva en ”vektornolla”. För att kunna definiera en s̊adan kan vitänka p̊a en sträcka som börjar och slutar i samma punkt, PP , kallad nollsträcka. En s̊adanhar längd 0 och obestämd riktning.

För de kommande definitionerna spelar det mestadels inte n̊agon roll om vi är i planeteller rummet. I fortsättningen p̊apekas detta endast d̊a det är av betydelse för sammanhanget.

Definition 1.1.1 Nollvektorn definieras som mängden av alla nollsträckor. En (nollskild)vektor är mängden av alla riktade sträckor med samma (nollskilda) längd och riktning.Med längden av en vektor menas längden av ett av dess element.

De riktade sträckorna PQ och P1Q1 ovan är allts̊a element i samma vektor.

Figur 1.2: Riktade sträckor tillhörande samma vektor.

Ur tidigare resonemang framg̊ar ocks̊a att man med fördel kan tänka p̊a vektorn som självapilen, d v s som en riktad sträcka som f̊ar parallellförflyttas (figur 1.2).

Vi kommer att använda tv̊a typer av beteckningar för vektorer:

(a) sm̊a latinska bokstäver i fetstil, t ex u, kommer att vara den vanligast förekommande,

(b) den tidigare beteckningen för riktad sträcka, t ex PQ.

1.1. VEKTORER 3

I vissa situationer är det mer praktiskt att utnyttja ett visst element i vektorn u, en represen-tant för u. Det är i s̊adana lägen vi använder skrivsättet i (b). Observera att PQ, formellt sett,inte är en vektor (se definition 1.1.1), den är ju en specifik riktad sträcka. Detta bör dock intev̊alla n̊agra problem. Enda skillnaden mellan PQ och den vektor den är representant för ärju att PQ inte f̊ar parallellförflyttas. Det är ju ocks̊a denna egenskap som gör att vi användeross av beteckningen PQ. Vi kommer därför att till̊ata oss att skriva ”vektorn PQ” och meddetta mena den vektor som har PQ som representant.

Längden eller (absolut)beloppet av u skrivs |u| i analogi med den geometriska tolkningenav absolutbeloppet av ett reellt tal.

Vi skall nu införa räkneoperationer p̊a mängden av vektorer i planet/rummet.

1.1.1 Multiplikation av vektor med reellt tal och vektoraddition .

Definition 1.1.2 L̊at u vara en vektor och λ ett reellt tal. Vi definierar först 0u = 0 ochλ0 = 0. För λ 6= 0 och u 6= 0 definierar vi vektorn λu att vara den vektor för vilket följandegäller:

(a) längden av λu är |λu| = |λ| · |u|,

(b) (i) om λ > 0 s̊a har u och λu samma riktning,

(ii) om λ < 0 s̊a har u och λu motsatt riktning.

u

2u

−u−2u

1

2u

Figur 1.3:

Multiplikation med tal p̊averkar allts̊a endast längden och pilspetsens placering. Av nota-tionstekniska skäl sätter vi (−1)u = −u.

I grundläggande euklidisk plangeometri är parallellitet en egenskap hos linjer; tv̊a linjeri planet är parallella om de aldrig skär varann. Vi överför detta till vektorer enligt följande:l̊at u och v vara tv̊a vektorer skilda fr̊an 0. Tänk dig att du utsträcker var och en av dem tillen linje. Det blir d̊a rimligt att säga att u och v är parallella om de tv̊a linjerna är parallella.Vi formaliserar detta med hjälp av multiplikation med tal.

Definition 1.1.3 Tv̊a nollskilda vektorer u och v är parallella om det finns ett tal λ ∈ R s̊aatt v = λu.

Den ovanst̊aende liknelsen stämmer väl in i denna definition. D̊a 0 inte täcks av definition1.1.3 och d̊a 0 = 0u oavsett vilken vektor u som används har vi som konvention att 0 ärparallell med alla vektorer. Vidare är alla vektorerna i figur 1.3 parallella.

Vi överg̊ar nu till addition av tv̊a vektorer.

Definition 1.1.4 L̊at u och v vara tv̊a vektorer och l̊at AB vara en representant för u ochBC en representant för v. Vektorn u+v, summan av u och v, är den vektor som har sträckanAC som representant.


Lite förenklat kan man säga att u + v är den vektorsom f̊as d̊a man placerar (representanter för) u och vspets mot ända och förbinder ledig ända med ledig spets,spetsen p̊a u + v hamnar vid den lediga spetsen.

v

u

u + vC

BA

Figur 1.4: Vektoraddition

Som en omedelbar konsekvens av definitionerna ovan f̊ar vi ett antal räknelagar.

Sats 1.1.5 L̊at u, v och w vara vektorer och l̊at λ och µ vara reella tal. D̊a gäller:

ADD 1. u + v = v + u (Kommutativa lagen)

ADD 2. u + (v + w) = (u + v) + w (Associativa lagen)

ADD 3. u + 0 = u

ADD 4. u + v = 0 ⇐⇒ v = −u

MULT 1. 1u = u

MULT 2. λ(µu) = (λµ)u

MULT 3. (λ + µ)u = λu + µu (Distributiv lag)

MULT 4. λ(u + v) = λu + λv (Distributiv lag)

Bevis: Reglerna ADD 3, ADD 4, MULT 1, MULT 2 och MULT 3 följer direkt ur respektivedefinitioner. Om n̊agon av de inblandade vektorerna är 0 s̊a blir alla räknereglerna triviala.Vi antar därför att samtliga inblandade vektorer är 6= 0.

Nedanst̊aende figurer torde förklara ADD 1 och ADD 2 d̊a de angivna additionerna i re-spektive figur resulterar i samma vektor.

v

u

v

u

a

Figur 1.5: a = u + v = v + u

v

w

u + v

v + w

u

b

Figur 1.6: b = (u + v) + w = u + (v + w)

Figur 1.6 fungerar b̊ade i planet och rummet. I rumsfallet kan du tänka dig att u pekar ut urmedan v pekar in i papperets plan och w ligger i det.

1.2. BAS OCH KOORDINATER 5

Återst̊ar att visa MULT 4. Studera figur 1.7 och 1.8 nedan. Hur ser man att figur 1.8 ärfelaktig?

u λu

v

u + v

λ(u + v)

λv

Figur 1.7: λ(u + v) = λu + λv

FEL!!

λu + λv

λ(u + v)

u + vλv

v

λuu

Figur 1.8:

Vi skall visa det genom att utnyttja likformiga trianglar. L̊at u och v respektive λu och λvvara sidor i var sin triangel. D̊a u och λu respektive v och λv är parallella och

|λu||λv| =

|λ|·|u||λ|·|v| =

|u||v|

följer det att trianglarna är likformiga. Följaktligen är de återst̊aende kantvektorerna, u + voch λu + λv, parallella, d v s λu + λv = k(u + v). Likformigheten ger att k = λ s̊a attλu + λv = λ(u + v). Figur 1.8 är allts̊a felaktig.

�

Figur 1.9 illustrerar konstruktionen av differensen u−v som summan u+(−v). Differensvek-torn u − v täpper till luckan mellan spetsarna p̊a u och v. Var spetsen hamnar framg̊ar avfigur 1.10.

−v

u + (−v)

−v

v

u u − v

Figur 1.9: Konstruktion av u − v = u + (−v)

v

u − vu = v + (u − v)

Figur 1.10: u − v

1.2 Bas och koordinater

Det säger sig själv att vi m̊aste hitta p̊a ett sätt att representera vektorer för att kunna räknamed dem i praktiska sammanhang. Ett sätt är att välja ut ett f̊atal vektorer och sedan försökauttrycka alla andra med hjälp av den utvalda skaran. Om u1, u2, u3 är de utvalda och v envektor,

hitta tal x1, x2, x3 s̊a att v = x1u1 + x2u2 + x3u3.

Ett uttryck av formen x1u1 + x2u2 + x3u3 kallas en linjärkombination av u1, u2 och u3. Vihar härmed indirekt ställt ett antal fr̊agor som m̊aste besvaras:


I. G̊ar det att uttrycka alla vektorer i planet respektive rummet som linjärkombinationerav ett f̊atal givna?

Om svaret p̊a fr̊aga I är ja:

II. Vad m̊aste vi ställa för krav p̊a de utvalda för att det skall g̊a?

III. Vad m̊aste vi ställa för krav p̊a de utvalda för att det skall g̊a att göra detta p̊a precisett sätt?

P

O

vv2

u2

v1 u1

Figur 1.11: v = v1 + v2 = x1u1 + x2u2

Vi behandlar fr̊aga I och II samtidigt och börjar med planet. Klart är att vi m̊aste välja minsttv̊a vektorer som inte är parallella. L̊at u1 och u2 vara tv̊a s̊adana icke-parallella vektorer ochl̊at v vara vilken som helst vektor i planet. Placera dessa tre vektorer ända mot ända i n̊agonpunkt O i planet (se figur 1.11). Drag en linje genom spetsen p̊a v parallell med u2 och enlinje genom u1, d v s genom O och parallell med u1. D̊a u1 och u2 inte är parallella följer attlinjerna skär varann i en punkt P . L̊at v1 vara vektorn fr̊an O till P och v2 vektorn fr̊an Ptill spetsen p̊a v. Härmed f̊as att v kan skrivas v = v1 + v2 där v1 är parallell med u1 ochv2 med u2 (se figur 1.11). Därmed finns, enligt definition av parallellitet, tal x1 och x2 s̊a attv1 = x1u1 och v2 = x2u2, d v s v = x1u1 + x2u2. Det räcker allts̊a med tv̊a icke-parallellavektorer för att varje annan vektor i planet skall kunna skrivas som linjärkombination avdessa.

Över till rumsfallet. Lägg tv̊a pennor p̊a golvet och l̊at dessa representera tv̊a icke-parallellavektorer i rummet. Enligt vad som visats ovan kan alla vektorer (som har representanter)som kan läggas p̊a golvet skrivas som linjärkombinationer av dessa tv̊a. När vi säger att envektor ligger i ett plan menas allts̊a att vektorn har en representant som kan läggas i detaktuella planet. Vi säger därför att att tv̊a icke-parallella vektorer i rummet med gemensamutg̊angspunkt spänner upp ett plan genom den gemensamma utg̊angspunkten.

För att p̊a samma sätt som i det plana fallet representera en vektor i rummet, gör enligtföljande: l̊at u1, u2 och u3 vara tre vektorer som inte ligger i samma plan och l̊at v varavilken som helst vektor i rummet. Placera dessa fyra vektorer ända mot ända i n̊agon punkt


O i rummet (se figur 1.12). Drag sedan, genom spetsen p̊a v, en linje parallell med u3. Dennaskär d̊a planet som spänns upp av u1 och u2 i en punkt P . L̊at v

′ vara vektorn fr̊an O till Poch v3 vektorn fr̊an P till spetsen p̊a v (se figur 1.12).

v′

x2u2

x1u1

P

O

v3

u2

u3

v

u1

Figur 1.12: v = v′ + v3 = x1u1 + x2u2 + x3u3

D̊a v′ ligger i planet som spänns upp av u1 och u2 finns enligt tidigare resonemang tal x1och x2 s̊a att v

′ = x1u1 + x2u2. Vidare, eftersom v3 och u3 är parallella finns ett tal x3 s̊aatt v3 = x3u3 och följaktligen är

v = v′ + v3 = x1u1 + x2u2 + x3u3

Därmed är svaret p̊a fr̊aga I ja och p̊a fr̊aga II att det i planet räcker med tv̊a icke-parallellavektorer och i rummet med tre som ej ligger i samma plan.

Återst̊ar fr̊aga III. L̊at, som tidigare, u1 och u2 vara tv̊a icke-parallella vektorer i planetoch antag att vektorn v kan skrivas p̊a tv̊a sätt som linjärkombination av u1 och u2, d v s

v = x1u1 + x2u2 = y1u1 + y2u2

⇐⇒(x1 − y1)u1 + (x2 − y2)u2 = 0 ⇐⇒ (x1 − y1)u1 = −(x2 − y2)u2.

(1.2.1)

Av detta följer att x1 − y1 = x2 − y2 = 0, d v s x1 = y1 och x2 = y2 ty annars skulle u1vara parallell med u2 vilket inte är fallet. Följaktligen, om u1 och u2 är tv̊a icke-parallellavektorer i planet s̊a kan varje annan vektor i planet skrivas som linjärkombination av dessap̊a precis ett sätt.


I rumsfallet, l̊at u1, u2 och u3 vara tre vektorer som inte ligger i samma plan och antagatt v = x1u1 + x2u2 + x3u3 = y1u1 + y2u2 + y3u3. D̊a f̊as

(x1 − y1)u1 + (x2 − y2)u2 + (x3 − y3)u3 = 0⇐⇒

(x1 − y1)u1 + (x2 − y2)u2 = −(x3 − y3)u3.(1.2.2)

Även här följer att x1 − y1 = x2 − y2 = x3 − y3 = 0 ty om inte skulle u3 ligga i samma plansom u1 och u2.

Nästföljande definition kan verka onödig när vi just utrett precis vad som krävs för att p̊aett entydigt sätt skriva vektorer som linjärkombinationer av ett f̊atal givna. Anledningen äratt denna formulering passar bättre för kommande mer abstrakta situationer.

Definition 1.2.1 En ordnad uppsättning vektorer i planet (rummet) kallas en bas om varjevektor i planet (rummet) kan skrivas som linjärkombination av de givna p̊a precis ett sätt.

Anmärkning: Ordet “ordnad” i definitionen ovan innebär att hänsyn skall tas till den ord-ning i vilken vi skriver upp basvektorerna, t ex är u1, u2 och u2, u1 olika som baser trots attde best̊ar av samma vektorer.

Vi har i princip ocks̊a visat följande sats:

Sats 1.2.2 (a) Varje bas i planet best̊ar av tv̊a icke-parallella vektorer.

(b) Varje bas i rummet best̊ar av tre vektorer som ej ligger i samma plan.

Bevis: Den tidigare diskussionen visar att tv̊a icke-parallella vektorer i planet respektive trevektorer som ej ligger i samma plan är en bas för planet respektive rummet. Det återst̊arendast att förtydliga att dessa är de enda alternativen. L̊at u1, u2 och u3 vara tre icke-parallella vektorer i planet. Varje vektor i planet kan först̊as skrivas som linjärkombinationav dessa, det som g̊ar förlorat är entydigheten. D̊a u1 och u2 är icke-parallella finns tal a ochb s̊a att u3 = au1 + bu2 ⇐⇒ au1 + bu2 − u3 = 0. Följaktligen, om v = x1u1 + x2u2 och tett tal s̊a är även

v = x1u1 + x2u2 = x1u1 + x2u2 + t0 = x1u1 + x2u2 + t(au1 + bu2 − u3) == (x1 + at)u1 + (x2 + bt)u2 − tu3,

(1.2.3)

d v s genom att variera t kan v uttryckas p̊a ett oändligt antal olika sätt som linjärkombinationav u1, u2 och u3.

Resonemanget i rumsfallet är identiskt.�

Det som gör att entydigheten g̊ar förlorad d̊a vi har “för m̊anga” vektorer är terment0 = t(au1+bu2−u3) som läggs till i (1.2.3) utan att summan ändras. Entydig representationhar vi därför om och endast om 0u1 + 0u2 respektive 0u1 + 0u2 + 0u3 är det enda sättet attskriva 0 i planet respektive rummet som linjärkombination av de givna.

Definition 1.2.3 (a) L̊at u1, u2 vara en bas för planet och v = x1u1 + x2u2. D̊a kallastalparet x1, x2 för v:s koordinater i basen u1, u2.


(b) L̊at u1, u2, u3 vara en bas för rummet och v = x1u1 +x2u2 +x3u3. D̊a kallas taltrippelnx1, x2, x3 för v:s koordinater i basen u1, u2, u3.

För att underlätta kalkylen med vektorer inför vi följande beteckningar:u1, u2 (,u3) kommer fortsättningsvis att vara en bas i planet (rummet). u= radmatrisen avbasvektorer, d v s

u = (u1 u2) i planet, u = (u1 u2 u3) i rummet.

Koordinater skrivs alltid som kolonnmatriser, d v s om v = x1u1 + x2u2 s̊a kallas kolonnma-

trisen X =

(x1x2

)

för koordinaterna till v i basen u1, u2. Slutligen definierar vi (i enlighet

med definitionen av matrisprodukt som kommer senare) produkten mellan en radmatris avvektorer och en kolonnmatris av reella tal som

(u1 u2 u3)

x1x2x3

= x1u1 + x2u2 + x3u3.

För att överensstämma med kommande definitioner m̊aste radmatrisen st̊a till vänster omkolonnmatrisen. Detta ger oss nu ett kompakt skrivsätt att utnyttja vid vektorkalkyl, ty omv = x1u1 + x2u2 + x3u3 kan vi enligt ovan skriva

v = x1u1 + x2u2 + x3u3 = (u1 u2 u3)

x1x2x3

= uX.

Vi kommer ocks̊a att utnyttja beteckningen u som förkortning och skriva ”... basen u ...”istället för ”... basen u1, u2 ...”.

v

u1

5e1

4e2

2u1u2

e2

u2

e1

Figur 1.13:

Exempel 1.2.4 Betrakta figur 1.13. Där har vi tv̊a olika baser, u1, u2 och e1, e2. I figurenser vi att v kan skrivas

v = 2u1 + u2 = (u1 u2)

(21

)

= u

(21

)


och v = 5e1 + 4e2 = (e1 e2)

(54

)

= e

(54

)

,

d v s v har koordinaterna

(21

)

i basen u och

(54

)

i basen e.

Exempel 1.2.5 I praktiken är det först̊as enklast att använda sig av basvektorer som är avsamma längd och vinkelräta mot varann, t ex som basen e i figur 1.13. Ur den är det lätt attse att

u1 = 3e1 + e2 = e

(31

)

och u2 = −e1 + 2e2 = e(

12

)

.

Det är inte s̊a lätt att se att

e1 =2

7u1 −

1

7u2 = e

(2/71/7

)

och e2 =1

7u1 +

3

7u2 = e

(1/73/7

)

.

Övning 1.2.6 Tag fram linjalen och mät dig fram till koordinaterna för v i figur 1.11 i denutritade basen u1, u2.

Med det aktuella beteckningssystemet blir det b̊ade enkelt och naturligt att räkna med

vektorer. L̊at e = (e1 e2) vara en bas för planet, u = e

(x1x2

)

och v = e

(y1y2

)

vektorer och

λ ett reellt tal. D̊a gäller

u + v = e

(x1x2

)

+ e

(y1y2

)

= (x1e1 + x2e2) + (y1e1 + y2e2) =

=

[ADD 1, ADD 2,

MULT 3

]

= (x1 + y1)e1 + (x2 + y2)e2 = e

(x1 + y1x2 + y2

)

,

(1.2.4)

λu = λ e

(x1x2

)

= λ(x1e1 + x2e2) =

[

MULT 4

]

= λx1e1 + λx2e2 = e

(λx1λx2

)

, (1.2.5)

d v s vi adderar tv̊a vektorer genom att addera deras koordinater och vi multiplicerar med talgenom att multiplicera koordinaterna med talet. Detta gäller naturligtvis ocks̊a för vektoreri rummet.

I ljuset av (1.2.4) och (1.2.5) blir det naturligt att för kolonnmatriser definiera additionoch multiplikation med tal enligt nedan:

(x1x2

)

+

(y1y2

)

=

(x1 + y1x2 + y2

)

(1.2.6)

λ

(x1x2

)

=

(λx1λx2

)

. (1.2.7)

Exempel 1.2.7 Vi exemplifierar genom att återanvända vektorerna i figur 1.13. Fr̊an exem-pel 1.2.4 och 1.2.5 har vi

v = u

(21

)

= 2u1 + u2 = 2 e

(31

)

+ e

(12

)(1.2.5)

= e

(62

)

+ e

(12

)(1.2.4)

= e

(6 − 12 + 2

)

=

= e

(54

)

= 5e1 + 4e2

vilket är precis det som sades i exempel 1.2.4.

1.3. ORTSVEKTORER, PUNKTER OCH KOORDINATSYSTEM 11

Exempel 1.2.8 I exempel 1.2.5 tog vi fram koordinaterna för u1 och u2 i basen e1, e2 ochomvänt. Men vad f̊ar, t ex e1 och e2 för koordinater i basen e1, e2? D̊a varje vektor bara kanha en uppsättning koordinater följer det att

e1 = 1 · e1 + 0 · e2 = e(

10

)

, e2 = 0 · e1 + 1 · e2 = e(

01

)

,

d v s med sig själva som bas har e1 koordinaterna

(10

)

och e2 koordinaterna

(01

)

. Detta

gäller först̊as för alla plana baser, d v s med sig själva som bas blir koordinaterna för den första

basvektorn

(10

)

och

(01

)

för den andra.

Hur blir det för en bas i rummet?

Exempel 1.2.9 I exempel 1.2.5 p̊astods att e1 =2

7u1 −

1

7u2. Vi kan nu via koordinaterna

verifiera att detta stämmer. Med u1 och u2 i koordinatform i basen e f̊as

2

7u1 −

1

7u2 =

2

7e

(31

)

− 17

e

(12

) MULT2,(1.2.5)

=1

7e

(62

)

− 17

e

(12

) MULT4,1.2.4, 1.2.5

=

=1

7e

(6 − (−1)

2 − 2

)

=1

7e

(70

)(1.2.5)

= e

(10

)

= e1

vilket först̊as överensstämmer med vad som just visades i exempel 1.2.8.Genomför själv motsvarande kalkyl för e2.

1.3 Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem

Även om vi inte infört n̊agra räkneoperationer för punkter s̊a behöver vi ett smidigt ochentydigt sätt att representera dem. Anledningen är att m̊anga geometriska problem formulerasi termer av punkter och inte med vektorer. Problemlösaren f̊ar d̊a själv införa lämpliga vektorerför att lösa problemet. Ett problem med att representera punkter är att det inte finns n̊agonsjälvklar nollpunkt. Vi f̊ar därför själva välja en referenspunkt. Den punkt som väljs kallasorigo och betecknas O.

Hur skall d̊a en punkt representeras? Vi börjar med att införa ett koordinatsystem. Pro-cessen är densamma i b̊ade planet och rummet. Till detta behöver vi referenspunkten O ochen bas e. Fäst basvektorerna med ändan i origo och drag en linje genom respektive basvek-tor. Dessa linjer kallas koordinataxlar och graderas med längden av respektive basvektor somlängdenhet. Ett koordinatsystem bestäms allts̊a av referenspunkt och bas, O och e. Det isärklass vanligaste är ett rätvinkligt koordinatsystem med samma gradering p̊a koordinatax-larna, d v s basvektorerna är vinkelräta mot varann och lika l̊anga.

I stället för att säga att tv̊a vektorer är vinkelräta mot varann kommer vi i fortsättningensäga att de är ortogonala och i stället för rätvinkligt koordinatsystem säger vi ortogonalsystem.

L̊at P vara en punkt i planet (eller rummet) och O, e ett koordinatsystem. Betrakta denvektor som g̊ar fr̊an O till P , OP . Denna vektor OP kallas P :s ortsvektor. Eftersom OP ären vektor har den koordinater i basen e och vi gör följande definition:

Definition 1.3.1 Koordinaterna för en punkt P i koordinatsystemet O, e är de samma somkoordinaterna för dess ortsvektor OP i den givna basen e.


När vi sedan räknar är det viktigt att skilja p̊a punkt och vektor. Detta görs genom att vianvänder olika beteckningar. Vektorer skrivs antingen p̊a formen basmatris·koordinatmatriseller som en linjärkombination x1e1+... . Punkter i planet skrivs alltid som talpar och punkteri rummet alltid som taltrippler. S̊a om vektorn OP i planet har koordinaterna x1 och x2 ibasen e s̊a har även P koordinaterna x1 och x2 men vi skriver

OP = e

(x1x2

)

eller x1e1 + x2e2 och P = (x1, x2).

Sättet att skriva punkter är troligen det sätt p̊a vilket du fr̊an tidigare studier är van attskriva punkter i ett rätvinkligt koordinatsystem.

Exempel 1.3.2 L̊at O, e vara ett rätvinkligt koordinatsystem i planet med |e1| = |e2| = 1.L̊at P = (2, 3) och Q = (4, 2). Bestäm kordinaterna för PQ samt avst̊andet mellan P och Q.Lösning: Av figuren framg̊ar att

OQ = OP + PQ (1.3.1)

⇐⇒

PQ = OQ − OP = e(

42

)

− e(

23

)

= e

(21

)

.

Pythagoras sats ger att avst̊andet är√

12 + 22 =√

5 = |PQ|.Se (1.3.1) ovan som alternativa resvägar till sam-ma m̊al, punkten Q; åk antingen raka sp̊aret fr̊anO till Q, d v s längs OQ eller först fr̊an O till P ,sedan fr̊an P till Q. B̊ada vägarna ger sammaslutm̊al Q, d v s resulterar i samma vektor.

2 3

1

2

3

4

PQ

OQ

OP

O

e2

e1

12

P=(2, 3)

Q=(4, 2)

41Figur 1.14:

Exempel 1.3.3 L̊at O, u vara ett koordinatsystem i rummet, ej nödvändigtvis rätvinkligt.L̊at P = (2, 3, 2) och Q = (4, 2, 1). Bestäm koordinaterna för PQ samt avst̊andet mellan Poch Q.Lösning: Av figuren framg̊ar att

OQ = OP + PQ

⇐⇒

PQ = OQ − OP = u

421

−u

232

= u

211

.

Vi kan ej beräkna avst̊andet mellan P och Q d̊a viinte vet hur l̊anga basvektorerna är eller vilka vinklardessa bildar med varann.

PQ

OQ

OP

O

P=(2, 3, 2)

Q=(4, 2, 1)

Figur 1.15:

Observera likheterna mellan exempel 1.3.2 och 1.3.3. Inte bara kalkylen är s̊a gott som iden-tisk. Om vi tar bort koordinataxlarna och basvektorerna ur figur 1.14 s̊a f̊ar vi figur 1.15. Dessatv̊a exempel f̊ar ocks̊a illustrera en användbar princip när det gäller figurer: i planet, rita alltidfigurer i s̊a god överensstämmelse som möjligt med de aktuella koordinaterna. I rummet, brydig aldrig om koordinaterna när du ritar din figur. Skall du lyckas illustrera en situation i

1.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 13

rummet i enlighet med de givna koordinaterna genom att rita i planet (ritpapperets plan)m̊aste du vara konstnärligt lagd. Illustrera istället den geometriska situationen utan att tahänsyn till koordinaterna.

e1 x1e1

x2e2

x3e3

v

v′

e3

e2

Figur 1.16: |v|2 = x21|e1|2 + x22|e2|2 + x23|e3|2

Av exempel 1.3.2 framg̊ar att det är enkelt att beräkna längden av en vektor i planetd̊a basvektorerna är en längdenhet l̊anga och ortogonala. Det blir inte direkt sv̊arare, baraopraktiskt, att använda ortogonala basvektorer av olika längd. Detta illustreras i figur 1.16.Där skrivs vektorn v först som v = v′ + x3e3 och vi kan tänka p̊a v som hypotenusa och v

′

respektive x3e3 som kateter i en rätvinklig triangel. Pythagoras sats ger d̊a att

|v|2 = |v′|2 + |x3e3|2 = |v′|2 + x23|e3|2.

Därefter kan vi se v′ som hypotenusa och x1e1 respektive x2e2 som kateter i en annanrätvinklig triangel (se figur 1.16) varvid

|v′|2 = |x1e1|2 + |x2e2|2 = x21|e1|2 + x22|e2|2.

Följaktligen blir

|v|2 = |v′|2 + x23|e3|2 = x21|e1|2 + x22|e2|2 + x23|e3|2.

1.4 Skalär- och vektorprodukt

Vi skall nu införa tv̊a nya räkneoperationer p̊a vektorer, skalärprodukt och vektorprodukt.De benämns produkt d̊a de räknelagar som visar sig gälla för dem för tankarna till ”vanlig”produkt mellan tal. Ordet skalär är synonymt med tal. Operationen skalärprodukt heter s̊adärför att resultatet av en skalärprodukt mellan tv̊a vektorer är just en skalär, ett tal. Namnet


vektorprodukt kommer av samma skäl d̊a resultatet av en vektorprodukt mellan tv̊a vektorerär en vektor.

Det finns flera anledningar till att vi inför skalärprodukten. Via skalärprodukten kan vi en-kelt beskriva begrepp som ortogonalitet, vinkel (indirekt) och längd p̊a ett beräkningsmässigtanvändbart sätt och utan koppling till en specifik bas. Detta är en stor fördel när vi skallbevisa satser och lösa konkreta problem.

Vektorprodukten är mer ett verktyg och den är endast definierad i rummet.

1.4.1 Skalärprodukt

Vad är d̊a en skalärprodukt?

Definition 1.4.1 L̊at u och v vara tv̊a nollskilda vektorer i planet eller rummet.Skalärprodukten mellan u och v definieras som

(u|v) = |u| · |v| · cos θ

där θ är vinkeln mellan u och v. Om u = 0 eller v = 0 definieras (u|v) som 0.

Hur vinkeln θ mellan u och v definieras framg̊ar av figur 1.17 nedan. Härav följer att 0 ≤ θ ≤ π.Av definitionen följer att om θ är trubbig, d v s

π

2< θ ≤ π s̊a är (u|v) < 0 ty cos θ < 0. P̊a

samma sätt f̊as att (u|v) > 0 om θ är spetsig. Det följer ocks̊a att (u|v) = 0 om och endastom θ =

π

2eller u = 0 eller v = 0.

(c)(a) (b)

(u|v) < 0

v

u

θ

(u|v) > 0

v

u

θ

(u|v) = 0

v

u

Figur 1.17: Skalärproduktens tecken.

Notera ocks̊a att

(u|u) = |u| · |u| · cos 0 = |u|2.

Exempel 1.4.2 Om |u| = 2, |v| = 3 och θ = 2π3

s̊a är

(u|v) = 2 · 3 · cos 2π3

= 2 · 3 ·(

−12

)

= −3.

Tanken är inte att vi skall rita och mäta för att beräkna skalärprodukter. Lite senare skallvi se hur man kan beräkna skalärprodukten med hjälp av vektorernas koordinater. När det-ta är gjort ger ovanst̊aende diskussion att skalärprodukten blir b̊ade linjal, vinkelhake ochgradskiva, allt i ett.

Vi avslutar med räknelagarna för skalärprodukt.


Sats 1.4.3 För alla vektorer u, v och w och skalärer λ gäller

(u|v) = (v|u) (Kommutativa lagen) (1.4.1)(u|v + w) = (u|v) + (u|w) (Distributiva lagen) (1.4.2)

(λu|v) = λ (u|v) (1.4.3)(u|u) = |u|2 (1.4.4)(u|u) = 0 ⇐⇒ u = 0 (1.4.5)

Alla utom (1.4.2) följer direkt ur definitionen. Vi skjuter p̊a beviset av (1.4.2) till nästa avsnitt.

1.4.2 Ortogonal projektion

Vi skall här beskriva vad skalärprodukten egentligen mäter. Detta blir ocks̊a ett av de förfortsättningen viktigaste användningsomr̊adena för skalärprodukt, ortogonal projektion.

L̊at u och v vara tv̊a vektorer. Hur stor del av v pekar i u:s riktning? Denna fr̊aga är litevagt ställd och behöver preciseras. Det vi skall göra är en s̊a kallad komposantuppdelning avv i tv̊a ortogonala komposanter, d v s uttrycka v som

v = v‖u

+ v⊥u

där v‖u

är parallell med u och v⊥u

ortogonal mot u. D̊a det endast är u:s riktning som är

av betydelse för v‖u

använder vi en enhetsvektor û med samma riktning som u. En s̊adan är

enkelt ordnad d̊a den tidigare definitionen av multiplikation med tal (se definition 1.1.2 (a),s. 3) ger

∣∣∣∣

1

|u|u∣∣∣∣=

1

|u| |u| = 1 =⇒ û =1

|u|u.

Att p̊a detta sätt skapa en enhetsvektor med samma riktning som en given kallas att normeravektorn. Symbolen ˆ ovanför en vektor kommer i fortsättningen betyda att vektorn är enenhetsvektor.

Antag att (v|u) > 0 (som i figur 1.17 (c)). Studera figur 1.18 nedan. Definitionen avcosinus ger att

∣∣∣v

‖u

∣∣∣ = |v| cos θ =

[

|û| = 1]

= |v| |û| cos θ = (v| û) . (1.4.6)

D̊a v‖u

och û har samma riktning finns ett tal λ > 0 s̊a att v‖u

= λû (se definition 1.1.3,

s. 3). D̊a |û| = 1 och λ > 0 följer det att∣∣∣v

‖u

∣∣∣ = |λû| = |λ| |û| = λ (1.4.6)= (v| û) (1.4.7)

s̊a att

v‖u

= λû = (v| û) û =[

û =1

|u|u]

=

(

v| 1|u|u)

1

|u|u(1.4.3)

=1

|u| (v|u)1

|u|uMULT2

=

=(v|u)|u|2

u

(1.4.8)


θ

v

v⊥u

û v‖u

u

Figur 1.18: Ortogonalprojektion .

Övning 1.4.4 Bevisa att v‖u

=(v|u)|u|2

u d̊a (v|u) < 0 och (v|u) = 0. Genom att följanedanst̊aende:

(a) Vad har cos θ för tecken?

(b) Hur ändras (1.4.6)?

(c) Hur ändras (1.4.7)?

(d) Sätt in dina resultat i (1.4.8).

Vektorn v‖u

kallas den ortogonala projektionen av v p̊a u.

Sats 1.4.5 (Projektionsformeln)

Den ortogonala projektionen av v p̊a u, v‖u

ges av

v‖u

=(v|u)|u|2

u. (1.4.9)

Anmärkning: Det kan synas märkligt att den ortogonala projektionen av v p̊a u är parallellmed u. Det beror p̊a att ordet ”ortogonal” inte syftar p̊a vektorn som är resultatet av opera-tionen utan p̊a projektionsriktningen. Enligt Nationalencyklopedin har ordet projektion” fleraolika betydelser varav tv̊a är av intresse och citeras nedan.

projektion [-Són] subst. ˜en ˜erORDLED: pro-jekt-ion-en

1. (geometrisk) återgivning i ett plan (eller p̊a en linje) av tredimensionell (eller tv̊a-dimensionell) företeelse varvid avbildningen ger en ganska god uppfattning om för-

lagans utseende:

projektionsritning; projektionsyta; parallellprojektionKONSTR.: ˜ (av ngt) (p̊a ngt)HIST.: sedan 1782; av lat. projectio ’framkastande’; till projicera


2. återgivning och förstoring av diabilder p̊a en duk e.d., med hjälp av projektor:projektionsdukKONSTR.: (av ngt) (p̊a ngt)HIST.: sedan 1927; se projektion 1

Tänk p̊a ortogonalprojektionen som en kombination av b̊ada fast där projektorn inteförstorar. Den utsänder parallella ljusstr̊alar och str̊alarna är ortogonala mot projektionslin-jen (duken). Det är detta som åsyftas i ortogonal projektion. Den ortogonala projektionenv‖u

kan ses som skuggan av v p̊a projektionslinjen/duken (se figur 1.19 respektive figur 1.20).

v

û v‖u

Figur 1.19: Ortogonalprojektion p̊a vektor (linje).

Figur 1.20: Ortogonalprojektion p̊a plan.

Med ledning av projektionstanken kan vi nu bevisa distributiva lagen för skalärprodukt


((1.4.2) i sats 1.4.3, s. 15). Antag att u 6= 0 (annars är p̊ast̊aendet trivialt). Ur figur 1.21ser vi att

(v + w)‖u

= v‖u

+ w‖u

⇐⇒ (v + w)‖u

− (v‖u

+ w‖u

) = 0

Projektionsformeln ger d̊a

(v + w)‖u

=(v + w|u)

|u|2u

v‖u

+ w‖u

=(v|u)|u|2

u +(w|u)|u|2

u =(v|u) + (w|u)

|u|2u

⇐⇒

⇐⇒ 0 = (v + w)‖u

−(

v‖u

+ w‖u

)

=(v + w|u)

|u|2u − (v|u) + (w|u)

|u|2u =

=1

|u|2((v + w|u)− (v|u)− (w|u))u ⇐⇒ (v + w|u) = (v|u) + (w|u)

där den sista ekvivalensen följer ur definitionen av multiplikation med tal, s 3, eftersom u 6= 0.

v‖u

(v + w)‖u

w‖u

w‖u

v‖u

v + ww

v

u

Figur 1.21: Distributiva lagen för skalärprodukt .

Exempel 1.4.6 L̊at u, v och w vara tre vektorer i planet s̊adana att |u| = 5, |v| = 7,|w| = 11 och där u ⊥ v, vinkeln mellan u och w är 2π

3och vinkeln mellan v och w är

π

6.

Bestäm koordinaterna för w i basen u, v.Lösning: Beräkna orogonalprojektionen av w p̊a u respektive v.


w‖u

=(w|u)|u|2

u =|w| |u| cos θ

|u|2u =

=1

5211 · 5 cos 2π

3u = −11

10u

w‖v

=(w|v)|v|2

v =|w| |v| cos θ

|v|2v =

=1

7211 · 7 cos π

6v =

11√

3

14v u

v

w‖u

w = w‖u

+ w‖v

w‖v w

‖v

Figur 1.22:

Följaktligen är

w = −1110

u +11√

3

14v =

11

70(−7u + 5

√3v) = (u v)

11

70

(7

5√

3

)

(1.4.10)

d v s w har koordinaterna11

50

(7

5√

3

)

i basen u, v.

Koordinaterna kan först̊as skrivas p̊a oändligt m̊anga olika sätt (se (1.2.7)). Här valdes attbryta ut minsta gemensam nämnare och s̊a m̊anga gemensamma faktorer som möjligt. Vilketsom är bäst bestäms av vad de skall användas till.

Exempel 1.4.7 Samma förutsättningar som föreg̊aende exempel men bestäm istället koor-dinaterna för u i basen v, w.Lösning: Enligt (1.4.10) ovan är

w =11

70(−7u + 5

√3v) ⇐⇒ 7u = 5

√3v − 70

11w ⇐⇒ u = 5

√3

7v − 10

11w = (v w)

(5√

3/710/11

)

,

d v s u har koordinaterna

(5√

3/710/11

)

i basen v, w.

Exempel 1.4.8 Ett välkänt resultat fr̊an triangelgeometrin är cosinus-satsen. Den säger attom en triangel har sidlängderna a, b, c och den mot vinkeln θ st̊aende sidan är den med längdc s̊a gäller

c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.Denna kan enkelt bevisas med hjälp av vektorräkning. Inför vektorer som figur 1.23 visar. D̊aär c = |u − v| och, t ex a = |u| och b = |v|. Fr̊an räknelagarna för skalärprodukt f̊as

c2 = |u − v|2 (1.4.4)= (u − v|u − v) (1.4.2)=

= (u|u) + (u| −v) + (−v|u) + (−v| −v) (1.4.1),(1.4.3)== |u|2 + |v|2 − 2 (u|v) = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos θ == a2 + b2 − 2ab cos θ

vilket skulle visas.

u

θ

|u|

v

|v|

u − v

|u − v|

Figur 1.23:


Exempel 1.4.9 Avslutningsvis skall vi titta p̊a triangelolikheten. Den säger att längden aven sida i en triangel alltid är kortare än den sammanlagda längden av de andra tv̊a sidorna.Att s̊a är fallet är intuitivt självklart (raka vägen är alltid närmast) men m̊aste likväl bevisasinom de ramar som ställts av de definitioner som gjorts. I vektortermer är p̊ast̊aendet följande:för alla vektorer u och v gäller

|u + v| ≤ |u| + |v| .Vi kan återanvända figur 1.23 om vi där byter ut u−v mot u s̊a att den vektor som i figurenär u blir u+v. Observera att (u|v) = |u| |v| cos θ ≤ |u| |v|. D̊a kan ocks̊a kalkylen i exempel1.4.8 återanvändas och vi f̊ar p̊a exakt samma sätt

|u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2 (u|v) ≤ |u|2 + |v|2 + 2 |u| |v| = (|u| + |v|)2 ⇐⇒⇐⇒ |u + v| ≤ |u| + |v| .

1.4.3 Vektorprodukt

Som sades i inledningen är vektorprodukten endast definierad i rummet och resultatet av denär en ny vektor. Det är allts̊a tre vektorer inblandade, de tv̊a som vi beräknar vektorproduktenav samt den vektor som blir resultatet. Innan vi g̊ar in p̊a definitionen av vektorprodukt m̊astevi göra ytterligare en definition.

u

v

w

Figur 1.24: u, v och w är ett högersystem.

w

u

v

Figur 1.25: u, v och w är ett vänstersystem.

Definition 1.4.10 L̊at u, v och w vara tre vektorer i rummet som ej ligger i samma plan.Vi säger att u, v och w (ordningen är viktig!) är ett högersystem (positivt orienterade) omden minsta vridning som överför u till v:s riktning ses moturs fr̊an spetsen av w. Om denminsta vridningen sker medurs säger vi att u, v och w är ett vänstersystem.

Definitionen är enklare att först̊a om vi ser p̊a nedanst̊aende figurer. Tänk att du st̊ar p̊aspetsen av w och tittar ned̊at. En mer handfast illustration av ett högersystem kan du görasjälv: l̊at högerhandens tumme representera u och högerhandens pekfinger v. D̊a skall dukunna representera w (p̊a ett ungefär) med l̊angfingret utan att bryta av det. Prova.

Definition 1.4.11 L̊at u och v vara tv̊a icke-parallella vektorer i rummet och θ vinkelnmellan dem. Vektorprodukten av u×v av u och v är en ny vektor s̊adan att

(a) u×v är ortogonal mot b̊ade u och v,

(b) |u×v| = |u|·|v|· sin θ,

(c) u, v och u×v är ett högersystem.

Om u och v är parallella definierar vi u×v = 0.


D̊a tecknet för vektorprodukt är ”×” kallas vektorprodukt ocks̊a för kryssprodukt.Vi skall nu g̊a igenom definitionen, punkt för punkt, och visa att det alltid finns exakt en

vektor som uppfyller kraven. Antag allts̊a att u och v är tv̊a icke-parallella vektorer i rummet.Betrakta figur 1.26. I samtliga figurer nedan har vi antagit att |u| > 1. Det mörkare planetkallas u:s normalplan och karakteriseras av att varje vektor i detta plan är ortogonal mot u.Det ljusare planet är det som spänns upp av u och v. Vi söker nu först och främst en riktningortogonal mot u och v (villkor (a) i definitionen), d v s en riktning ortogonal mot det ljusareplanet i figur 1.26. En s̊adan finns alltid eftersom det till varje plan hör en normalriktning.

Därmed finns det tv̊a vektorer med rätt riktning som har den i villkor (b) specificeradelängden. Dels den vektor som är u×v samt den som är lika l̊ang men motsatt riktad.

Slutligen ger villkor (c) att u×v är den vektor som visas i figur 1.26. Tittar du fr̊an spetsenav denna vektor sker den minsta vridning som överför u i v moturs. Till varje par av vektoreri rummet finns allts̊a precis en vektor som uppfyller kraven i definition 1.4.11.

v

u

−u×v

u×v

Figur 1.26: Illustration av vektorprodukt.

Sats 1.4.12 För alla vektorer u, v och w och skalärer λ gäller

u×v = −v×u (Anti-kommutativa lagen) (1.4.11)u×(v + w) = u×v + u×w (Distributiva lagen) (1.4.12)

(λu)×v = λ(u×v) (1.4.13)

För att bevisa dessa räknelagar behöver vi stycka upp vektorprodukten i ett antal enklareoperationer. Betrakta figur 1.27. I princip är det figur 1.26 som gjorts lite mer detaljerad.

Vi börjar med att projicera v ortogonalt i u:s normalplan. D̊a f̊as vektorn v⊥u

(titta p̊afigur 1.18, s 16 och vrid papperet 90◦ moturs s̊a ser du det). Vektorerna v

⊥uoch v

‖ukan ses

som kateter i en rätvinklig triangel där v är hypotenusa. Följaktligen ger definitionen av sin θ

att∣∣∣v

⊥u

∣∣∣ = |v| sin θ. L̊at w vara den vektor som f̊as d̊a v

⊥uvrids 90◦ moturs sett fr̊an spetsen


av u. D̊a en vridning inte ändrar längden av vektorn följer det att |w| =∣∣∣v

⊥u

∣∣∣ = |v| sin θ.

Vidare, w uppfyller villkor (a) och (c) i definitionen av vektorprodukt. Det enda som återst̊arär att justera längden vilket vi gör genom att multiplicera w med |u|.

u×v

u

v⊥u

v‖u

v

θ

w

θ

Figur 1.27: Konstruktion av u×v som projektion följt av vridning och sist sträckning.Vi kan allts̊a konstruera vektorprodukten i tre steg: projektion p̊a u:s normalplan följt av

vridning 90◦ moturs i detta plan och slutligen en sträckning faktorn |u|.

(v + w)⊥uw

⊥u

v⊥u

v + ww

v

u×v

u

Figur 1.28:

1.5. ON-BASER OCH BERÄKNING AV SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 23

Bevis av räknelagarna för vektorprodukt: (1.4.11): Ur definitionen av vektorprodukttillsammans med tidigare illustrationer framg̊ar att u×v och v×u är lika l̊anga och parallellaEftersom u, v, u×v och v, u, v×u är högersystem enligt definitionen av vektorproduktmedan v, u, u×v är ett vänstersystem (se figur 1.24 och 1.25) följer det att u×v = −v×u.

(1.4.12): Betrakta figur 1.28 och tänk dig att w, och därmed ocks̊a v + w, pekar ut fr̊anplanet som spänns upp av u och v. I figur 1.28 har vi gjort det första av de tre stegen(ortogonalprojektionen) p̊a de inblandade vektorerna v, w och v+w. Byt sedan utsiktspunktoch tänk dig att du ser p̊a figuren fr̊an toppen av u. D̊a ser du den mindre triangeln till högeri figur 1.29. I figuren antas |u| > 1. Därefter gör vi vridningen 90◦ moturs och f̊ar den mindreav de tv̊a likformiga trianglarna. Därefter görs sträckningen med faktorn |u| och vi f̊ar denstörre av de tv̊a likformiga trianglarna. (se ocks̊a figur 1.7). Hur hade figur 1.29 sett ut om|u| < 1?

u×(v + w)

u×v

u×w

(v + w)⊥u

w⊥u

v⊥u

Figur 1.29:

(1.4.13): Rita först själv en kopia av figur 1.27 och rita in λ(u×v) för n̊agot λ > 0. Ritasedan in λu och g̊a igenom de tre stegen för konstruktion av (λu)×v. Vilket λ > 0 somvalts spelar ingen roll för de första tv̊a stegen, projektionen och vridningen, där f̊ar du sammavektor w som i den ursprungliga figuren, 1.27. Endast det sista steget, sträckningen, p̊averkas.D̊a det för λ > 0 gäller att |λu| = λ |u| följer det att w skall sträckas med denna faktor föratt (λu)×v skall erh̊allas. Om vi först sträcker w faktorn |u| och sedan faktorn λ f̊as förstu×v och därefter λ(u×v). Totalt sett har w sträckts med samma faktor i b̊ada fallen varför(λu)×v = λ(u×v).

Om λ < 0 blir u och λu motsatt riktade. Projektionen blir densamma men vridningeng̊ar åt motsatt h̊all. De vektorer vi f̊ar efter vridning och projektion blir därför motsattriktade (se figur 1.26) men fortfarande lika l̊anga. P̊ast̊aendet följer d̊a det för λ < 0 gäller att|λu| = −λ |u|. �

1.5 ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt

I n̊agra av de tidigare exemplen s̊ag vi att det var förh̊allandevis enkelt att bestämma koor-dinaterna för en vektor med avseende p̊a en bas där basvektorerna var lika l̊anga och parvisortogonala. Även längden av en vektor blev lätt att beräkna utifr̊an koordinaterna i en s̊adanbas. För att befästa dessa egenskaper gör vi följande definition.

Definition 1.5.1 En bas i planet/rummet kallas OrtoNormerad (ON) om


(a) basvektorerna är parvis ortogonala, (Orto)

(b) basvektorerna är enhetsvektorer, d v s har längd 1. (Normerad )

I fortsättningen kommer vi, om inget annat sägs, att använda oss av en ON-bas som ocks̊aär ett högersystem. För planet innbär detta att om första basvektorn pekar som timvisarenklockan 3 s̊a pekar den andra som timvisaren klockan 12, d v s koordinatsystemet O, e1, e2blir det som du är van vid.

Vi skall nu demonstrera hur skalärprodukten kan beräknas med hjälp av vektorernaskoordinater i en ON-bas e. Vi börjar med planet. D̊a e1, e2 är en ON-bas gäller

|e1|2 = (e1| e1) = 1, |e2|2 = (e2| e2) = 1, (e1| e2) = 0

L̊at u = e

(x1x2

)

och v = e

(y1y2

)

. D̊a gäller att

(u|v) =(

e

(x1x2

)∣∣∣∣e

(y1y2

))

= (x1e1 + x2e2| y1e1 + y2e2)(1.4.2),(1.4.3)

=

= x1y1 (e1| e1)︸︷︷︸

=1

+x1y2 (e1| e2)︸︷︷︸

=0

+

+ x2y1 (e2| e1)︸︷︷︸

=0

+x2y2 (e2| e2)︸︷︷︸

=1

= x1y1 + x2y2.

(1.5.1)

I rumsfallet blir kalkylen densamma s̊anär som p̊a att vi f̊ar fler termer. D̊a e1, e2, e3 är enON-bas gäller

|e1|2 = (e1| e1) = 1, |e2|2 = (e2| e2) = 1, |e3|2 = (e3| e3) = 1,(e1| e2) = (e1| e3) = (e2| e3) = 0

L̊at u = e

x1x2x3

och v = e

y1y2y3

. D̊a gäller att

(u|v) =

e

x1x2x3

∣∣∣∣∣∣

e

y1y2y3

= (x1e1 + x2e2 + x3e3| y1e1 + y2e2 + y3e3) =

= x1y1 (e1| e1)︸︷︷︸

=1

+x1y2 (e1| e2)︸︷︷︸

=0

+x1y3 (e1| e3)︸︷︷︸

=0

+

+ x2y1 (e2| e1)︸︷︷︸

=0

+x2y2 (e2| e2)︸︷︷︸

=1

+x2y3 (e2| e3)︸︷︷︸

=0

+

+ x3y1 (e3| e1)︸︷︷︸

=0

+x3y2 (e3| e2)︸︷︷︸

=0

+x3y3 (e3| e3)︸︷︷︸

=1

=

= x1y1 + x2y2 + x3y3.

(1.5.2)

För att f̊a en bild av hur vi räknar ut skalärprodukten kan vi sammanfatta (1.5.1) och (1.5.2)som

(

e

(x1x2

)∣∣∣∣e

(y1y2

))

=x1y1+

+ x2y2respektive

e

x1x2x3

∣∣∣∣∣∣

e

y1y2y3

=x1y1+

+ x2y2++ x3y3.

1.5. ON-BASER OCH BERÄKNING AV SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT 25

Exempel 1.5.2 L̊at u = e

121

och v = e

211

. Vi skall räkna ut vinkeln mellan u och v

genom att beräkna (u|v) p̊a tv̊a sätt, dels via koordinaterna och dels direkt via definitionen.P̊a detta sätt f̊ar vi en ekvation för cos θ. Först beräknar vi längden av u respektive v.

|u|2 = (u|u) =

e

121

∣∣∣∣∣∣

e

−1−21

= (−1)2 + (−2)2 + 12 = 6 ⇐⇒ |u| =√

6,

|v|2 = (v|v) =

e

211

∣∣∣∣∣∣

e

211

= 22 + 12 + 12 = 6 ⇐⇒ |v| =√

6,

(u|v) =

|u| · |v| · cos θ =√

6√

6 cos θ = 6 cos θ

e

121

∣∣∣∣∣∣

e

211

= (−1)·2 + (−2)·1 + 1·1 = −3⇐⇒ cos θ = −3

6= −1

2,

d v s θ =2π

3eftersom 0 ≤ θ ≤ π.

Kravet att ON-basen är ett högersystem spelar ingen roll för beräkning av skalärproduk-ten. Vad gäller vektorprodukten är det väsentligt att vi vet att vi har ett högersystem. Vibörjar med att undersöka vektorprodukterna mellan basvektorerna. Fr̊an definitionen av vek-torprodukt och det faktum att e1, e2, e3 är en höger ON-bas följer det att e1×e2 = e3. H̊allmed vänsterhanden tre pennor som ett ungefärligt ON-system. Använd sedan högerhands-regeln (tumme × pek = l̊ang) för att illustrera de andra vektorprodukterna mellan basvekto-rerna s̊a inser du att e2×e3 = e1 och att e3×e1 = e2. Vad gäller vinklar s̊a är moturs = positivriktning och nedanst̊aende figur är användbar för att komma ih̊ag dessa samband. Figurenh̊aller ocks̊a reda p̊a vad som händer om vi g̊ar medurs, d v s i negativ riktning. Exempelvis är

e2×e1(1.4.11)

= −e1×e2 = −e3. Sammanfattningsvis har vi följande vad gäller vektorproduktermellan basvektorerna i en högerorienterad ON-bas:

e2 e3

e1Moturs Medurs

=⇒

e1 × e2 = e3 , e2 × e1 = −e3e2 × e3 = e1 , e3 × e2 = −e1e3 × e1 = e2 , e1 × e3 = −e2

e1 × e1 = e2 × e2 = e3 × e3 = 0

Vi kan nu göra precis som för skalärprodukten (jämför (1.5.2))

u × v = e

x1x2x3

× e

y1y2y3

= (x1e1 + x2e2 + x3e3) × (y1e1 + y2e2 + y3e3) =

= x1y1 (e1 × e1)︸︷︷︸

=0

+x1y2 (e1 × e2)︸︷︷︸

=e3

+x1y3 (e1 × e3)︸︷︷︸

=−e2

+


+ x2y1 (e2 × e1)︸︷︷︸

=−e3

+x2y2 (e2 × e2)︸︷︷︸

=0

+x2y3 (e2 × e3)︸︷︷︸

=e1

+

+ x3y1 (e3 × e1)︸︷︷︸

=e2

+x3y2 (e3 × e2)︸︷︷︸

=−e1

+x3y3 (e3 × e3)︸︷︷︸

=0

=

= (x2y3 − x3y2)e1 + (x3y1 − x1y3)e2 + (x1y2 − x2y1)e3 = e

x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3x1y2 − x2y1

Denna formel är lite väl komplicerad för att försöka lära sig utantill. Här behövs en minnes-regel för att komma ih̊ag strukturen. Nedan illustreras en (av m̊anga), se (1.5.3): skriv uppvektorerna p̊a koordinatform, skriv 1:a och 2:a koordinaten under respektive koordinatmatris,börja p̊a mitten och betrakta det första korsande pilparet, multiplicera ihop elementen somförbinds av pilen riktad snett ned̊at höger, gör detsamma med elementen som förbinds avpilen riktad snett upp̊at höger, beräkna skillnaden mellan dessa produkter (tänk att pilensnett upp̊at höger ger ett minustecken) och vi har f̊att första koordinaten i vektorprodukten.Gör likadant med de andra tv̊a pilparen.

e

x1x2x3

x1x2

× e

y1y2y3

y1y2

= e

x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3x1y2 − x2y1

(1.5.3)

Exempel 1.5.3 L̊at u = e

123

och v = e

456

. För att illustrera n̊agra av de grund-

läggande egenskaperna hos skalär- och vektorprodukten samt hur vektorprodukten beräknasskall vi först räkna ut u×v och sedan via skalärprodukterna visa att u×v är ortogonal motu och v.

u×v = e

123

12

× e

456

45

= e

2·6 − 3·53·4 − 1·61·5 − 2·4

= e

363

,

(u|u×v) =

e

123

∣∣∣∣∣∣

e

363

= 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = −3 + 12 − 9 = 0,

(v|u×v) =

e

456

∣∣∣∣∣∣

e

363

= 4·(−3) + 5·6 + 6·(−3) = −12 + 30 − 18 = 0.

D̊a bägge skalärprodukterna är 0 följer det att u×v ⊥ u,v.

Exempel 1.5.4 Vi fortsätter med samma vektorer som i exempel 1.5.3 och verifierar attu×v har den längd som anges i definitionen. Vinkeln θ mellan u och v g̊ar i detta fall ejatt ange exakt. Det behövs heller inte, det räcker att vi kan bestämma sin θ. Vi gör som i

1.6. AREA OCH VOLYM 27

exempel 1.5.2 och beräknar cos θ. D̊a 0 ≤ θ ≤ π kan vi sedan med hjälp av trigonometriskaettan beräkna sin θ. Allra först räknar vi ut längden av u, v respektive u×v.

|u|2 = (u|u) =

e

123

∣∣∣∣∣∣

e

123

= 12 + 22 + 32 = 14 ⇐⇒ |u| =√

14,

|v|2 = (v|v) =

e

456

∣∣∣∣∣∣

e

456

= 42 + 52 + 62 = 77 ⇐⇒ |v| =√

77,

|u×v|2 = (u×v|u×v) =

e

363

∣∣∣∣∣∣

e

363

= (−3)2 + 62 + (−3)2 = 54 = 9·6 ⇐⇒

⇐⇒ |u×v| = 3√

6, (1.5.4)

(u|v) =

|u| · |v| · cos θ =√

14√

77 cos θ = 7√

22 cos θ

e

123

∣∣∣∣∣∣

e

456

= 4 + 10 + 18 = 32⇐⇒ cos θ = 32

7√

22.

D̊a 0 ≤ θ ≤ π är 0 ≤ sin θ =√

1 − cos2θ =√

1 − 322

72·22 =√

54

72·22 =3

7

√

3

11vilket ger

|u×v| = |u| · |v| · sin θ =√

14 ·√

77 · 37

√

3

11= 7

√22 · 3

7

√

3

11= 3

√

22 · 311

= 3√

6

vilket var precis vad vi räknade fram i (1.5.4).

1.6 Area och volym

Via vektor- och skalärprodukt f̊ar vi enkla metoder att räkna ut arean av parallellogrammer,trianglar och parallellepipeder. P̊a köpet f̊ar vi ocks̊a ett enkelt kriterium för att avgöra omtre givna vektorer i rummet är ett högersystem.

Studera figur 1.30. Där har vi en parallello-gram med kantvektorer u, v och höjd h. Fr̊andefinitionen av sin θ följer det att h = |v| sin θ.Arean av en parallellogram är bas·höjd och ba-sen är i detta fall |u|. Därav följer det att areanA av parallellogrammen blir

A = |u| · |v| sin θ = |u×v| .

Trots att vektorprodukten endast är definieradi

u

θ

v

h

|u|

|v|

Figur 1.30:

rummet g̊ar det att använda detta även i planet. Vi kan ju flytta över problemet till rummetgenom att lägga till en tredje koordinat som sätts till 0.

Exempel 1.6.1 Vi skall beräkna arean av den parallellogram som har hörn i origo, (7, 0),(9, 4) och (2, 4). Figur 1.30 stämmer väl överens. Fr̊an koordinaterna ser vi att basen är 7 och


höjden 4 s̊a arean är 28. Vi skall visa att detta är vad som f̊as d̊a vi använder kryssprodukten.Vi lyfter över problemet till rummet. Hörnen f̊ar d̊a koordinater (0, 0, 0), (7, 0, 0), (9, 4, 0) och(2, 4, 0) s̊a att

u = e

700

, v = e

240

=⇒ u×v = e

700

70

× e

240

24

= e

00

7 · 4

,

d v s |u×v| =

∣∣∣∣∣∣

e

0028

∣∣∣∣∣∣

= 28.

En parallellepiped är en kropp uppbyggd av tre parvis lika parallellogrammer, se figur 1.31.Välj och namnge kantvektorer enligt figur 1.31. Som det är gjort i figuren är u, v, w etthögersystem.

αhα

u×vw

v

u

Figur 1.31:

Volymen av en parallellepiped ges av basyta · höjd. Ur den tidigare diskussionen följer attbasytan = |u×v| och ur definitionen av cosinus följer att höjden h = |w| cos α. Följaktligenf̊as volymen som

V = |u×v| · |w| cos α = (u×v|w) .

Härledningen ovan är starkt beroende av att vi vet att u, v, w är ett högersystem. Givet trevektorer s̊a är det inte s̊a lätt att se hur de skall ordnas för att bli ett högersystem. För attse hur härledningen p̊averkas, byt plats p̊a u och v i figur 1.31. D̊a skulle u×v f̊a motsattriktning och vinkeln α mellan u×v och w skulle bli trubbig och därmed cosα < 0. |cos α| ärdock fortfarande detsamma s̊a att

V = |(u×v|w)| . (1.6.1)

Ur ovanst̊aende resonemang f̊ar vi det kriterium som nämndes i inledningen:

Sats 1.6.2 Om u, v, w är tre vektorer som ej ligger i samma plan s̊a gäller:

(u×v|w) > 0 ⇐⇒ u, v, w är ett högersystem(u×v|w) < 0 ⇐⇒ u, v, w är ett vänstersystem

Exempel 1.6.3 (a) Beräkna arean av den parallellogram som har ett hörn i (1,−1, 1) ochde tv̊a närliggande hörnen i (2, 1, 3) och (4, 2, 3).

1.7. LINJER OCH PLAN 29

(b) Beräkna volymen av en parallellepiped som har parallellogrammen i (a) som en sidoytaoch ett av de andra hörnen i (3,−2, 1).

Lösning:

(a) Sätt P1 = (1,−1, 1), P2 = (2, 1, 3) och P3 = (3,−2, 1). D̊a f̊as

P1P 2 = OP 2 − OP 1 = e

213

− e

111

= e

122

,

P1P 3 = OP 3 − OP 1 = e

423

− e

111

= e

332

P1P 2 × P1P 3 = e

122

12

× e

332

33

= e

243

=⇒

=⇒ A =∣∣P1P 2 × P1P 3

∣∣ =

√

(−2)2 + 42 + (−3)2 =√

29

(b) Flera olika parallellepipeder passar in i förutsättningarna. Även om de är olika s̊a har dealla samma volym. För att se detta, välj w i figur 1.31 som rymddiagonalen eller en avsidoytediagonalerna (dock ej basytans diagonal) istället för den återst̊aende kantvektorn.Vinkeln α ändras men höjden är oförändrad, d v s |w| sin α blir samma tal oavsett vilkenav de nämnda vektorerna som tas som w. Sätt P4 = (3,−2, 1). Vi f̊ar

P1P 4 = OP 4 − OP 1 = e

321

− e

111

= e

210

=⇒

=⇒ V =∣∣(P1P 2 × P1P 3

∣∣ P1P 4

)∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

e

243

∣∣∣∣∣∣

e

210

∣∣∣∣∣∣

= |−4 − 4| = 8

1.7 Linjer och plan

S̊a gott som alla människor i v̊art land vet vad en rät linje är. De allra flesta vet ocks̊avad en plan yta är. Den matematiska beskrivningen av en linje eller ett plan skiljer sig intenämnvärt fr̊an den vardagliga. Man brukar dock slopa ordet ”rät” i samband med linjer. Hurser en linje ut som inte är rät? Vi skall här ägna oss åt att matematiskt beskriva linjer i planetoch rummet samt plan i rummet. Vi börjar med linjer och det som är gemensamt för linjer ib̊ade planet och rummet.

1.7.1 Linjer

Vad behöver vi veta för att en linje skall vara entydigt bestämd?

Givet tv̊a punkter i planet eller rummet s̊a finns en och endast en linje som g̊ar genom dessapunkter. Det blir dock inte s̊a enkelt att hitta andra punkter p̊a linjen om vi bara beskriver


linjen via dessa tv̊a punkter. Däremot ger vektorn mellan dessa tv̊a punkter en riktningsom linjen följer. För att veta vilken linje som avses räcker det inte med bara riktningen,vi m̊aste ocks̊a känna till en punkt p̊a linjen. Annars f̊ar vi en hel skara av parallella linjer.Följaktligen, givet en punkt p̊a linjen och en vektor som beskriver vilken riktning linjen följer,linjens riktningsvektor, s̊a finns en och endast en linje som g̊ar genom den givna punkten ochföljer den givna riktningen. Detta skall vi nu utnyttja till att, via vektorräkning, beskrivaortsvektorn för en punkt p̊a linjen.

Ptv OP = OP 0 + tv

OP 0

L

O

P0 v

Figur 1.32:

Studera figur 1.32. L̊at P0 vara den kända punkten p̊a linjen och v linjens riktningsvektor. Vitänker oss att vi st̊ar i origo och vi skall ta oss till en punkt P p̊a linjen. Om vi först g̊ar tillpunkten P0 kan vi sedan fortsätta längs linjen till P . D̊a P0P och v är parallella finns ett talt ∈ R s̊a att P0P = tv. Vad vi gjort kan p̊a vektorform beskrivas som att en punkt P tillhörlinjen om dess ortsvektor OP = OP 0 + tv för n̊agot reellt tal t. Talet t kallas parameter.

OP 0 + 2v

OP 0 + 4v

OP 0

OP 0 −3

2v

L

4v

O

P0

−32v

2v

v

Figur 1.33: Ortsvektorer för punkter p̊a linjen d̊a t = −3/2, 0, 2, 4.


När koordinaterna för P0 och v är kända skriver vi

L: e

(xy

)

= e

(x0y0

)

+ t e

(ab

)

respektive e

xyz

= e

x0y0z0

+ t e

abc

i planet respektive rummet. Detta sätt att skriva linjen kallas parameterform alternativt vek-torform. I figur 1.33 illustreras ovanst̊aende genom insättning av n̊agra konkreta t-värden.Observera att riktningsvektorns längd saknar betydelse. Vill man g̊a l̊angt med en kort rikt-ningsvektor är det bara att ta ett stort t-värde. Vilken startpunkt som används spelar helleringen roll, det enda som betyder n̊agot är att den ligger p̊a linjen.

Exempel 1.7.1 Linjen L g̊ar genom punkterna (10,−4, 26) och (4,−1, 5). Ange en ekvationp̊a parameterform för L.Lösning: Sätt P1 = (10,−4, 26) och P2 = (4,−1, 5). D̊a är linjens riktningsvektor v ‖ P1P 2.

P1P 2 = OP 2 − OP 1 = e

415

− e

104

26

= e

63

21

= −3 e

217

Det spelar ingen roll vilken av P1 och P2 vi tar som startpunkt ej heller längden av riktnings-

vektorn. Vi väljer P2 som startpunkt och v = −1

3P1P 2. D̊a kan linjen skrivas

L: e

xyz

= e

415

+t e

217

. (1.7.1)

Insättning av t = −1 ger att punkten (2, 0,−2) ligger p̊a linjen och vi kan, om vi vill, välja densom utg̊angspunkt. En praktisk tumregel är att alltid välja riktningsvektor och startpunkt s̊aatt deras koordinater är s̊a sm̊a heltal (om möjligt) som möjligt.

Exempel 1.7.2 L̊at L vara linjen i exempel 1.7.1. Bestäm den punkt Q p̊a L som liggernärmast P = (2,−1, 21) samt avst̊andet mellan P och Q.Lösning: Figur 1.34 beskriver situationen. Vi ser där att Q m̊aste vara s̊adan att QP ⊥ v.Detta följer av att triangeln med hörn i P0, Q och P är rätvinklig, sidan med hörn i Q ochP är en katet medan sidan med hörn i P0 och P är hypotenusa och hypotenusan är alltidlängre än en katet. Samma sak gäller om vi byter ut P0 mot vilken som helst annan punkt

p̊a linjen. Följaktligen är∣∣QP

∣∣ =

∣∣∣P0P⊥v

∣∣∣ det sökta avst̊andet och OQ = OP 0 + P0P‖v men

ocks̊a OP − P0P⊥v, välj själv vilken du använder. Observera ocks̊a att vi inte behöver räknaut Q för att bestämma avst̊andet.

L̊at P0 = (2, 0,−2). D̊a f̊as

P0P = OP − OP 0 = e

2121

− e

202

= e

0123

=⇒

=⇒ P0P‖v =(P0P

∣∣v

)

|v|2v =

1

54

e

0123

∣∣∣∣∣∣

e

217

e

217

=162

54e

217

= 3 e

217

.


OP

P0

QP0P‖v

= OP − P0P⊥v

P0P⊥vP0PP

OQ = OP 0 + P0P‖v

OP 0

L

O

v

Figur 1.34:

Därmed kan vi bestämma Q och avst̊andet till linjen:

OQ = OP 0 + P0P‖v = e

202

+3 e

217

= e

81

19

⇐⇒ Q = (8,−1, 19),

P0P = P0P‖v + P0P⊥v ⇐⇒ P0P⊥v = P0P − P0P‖v = e

0123

−3 e

217

= e

622

=⇒

=⇒ Avst̊andet =∣∣∣P0P⊥v

∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

e

622

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2 e

311

∣∣∣∣∣∣

= 2√

11.

Som kontroll räknar vi ut

OP − P0P⊥v = e

2121

− e

622

= e

81

19

= OQ.

1.7.2 Linjer i planet

I planet finns det flera användbara sätt att beskriva en linje utöver den ovan beskrivnaparameterformen. Det som du troligen är mest van vid är via linjens riktningskoefficient.Beskrivningen f̊ar d̊a formen y = kx + m där k är riktningskoefficienten och m är y-värdetför linjens skärningspunkt med y-axeln. P̊a detta sätt kan alla linjer i planet, utom lodräta,


beskrivas. Vi kan enkelt byta fr̊an denna form till parameterform genom att sätta in ettgodtyckligt värde x = t. Vi f̊ar d̊a

{x = ty = kx + m

⇐⇒ e(

xy

)

= e

(t

kt + m

)

= e

(0m

)

+ t e

(1k

)

. (1.7.2)

Exempel 1.7.3 Vi kan nu via parameterformen hitta ett enkelt kriterium för att p̊a rikt-ningskoefficienterna se om tv̊a linjer är ortogonala. L̊at L1 och L2 vara tv̊a linjer i planet

med riktningskoefficient k1 respektive k2. Fr̊an (1.7.2) ovan f̊as d̊a att v1 = e

(1k1

)

och

v2 = e

(1k2

)

är riktningsvektorer till L1 respektive L2. Om L1 ⊥ L2 s̊a gäller först̊as attv1 ⊥ v2, d v s

0 = (v1|v2) =(

e

(1k1

)∣∣∣∣e

(1k2

))

= 1 + k1k2 ⇐⇒ k1k2 = −1.

En annan egenskap som vi kan utnyttja är att, bortsett fr̊an längden och i vilken ända visätter spetsen, s̊a finns till varje linje i planet en vektor ortogonal mot linjen, en normalvektor.Inför beteckningar enligt figur 1.35. D̊a n ⊥ P0P f̊as

0 =(n|P0P

)=

(

e

(AB

)∣∣∣∣e

(x − x0y − y0

))

= A(x − x0) + B(y − y0) =

= Ax + By − (Ax0 + By0)︸︷︷︸

D

⇐⇒ Ax + By = D.

Detta sätt att beskriva linjen kallas linjens ekvation p̊a normalform eftersom vi kan avläsalinjens normalvektor ur ekvationens vänsterled.

O

Ln = e

(A

B

)

OP 0 = e

(x0y0

)

P0P = e

(x x0y y0

)

OP = e

(x

y

)

P0

Figur 1.35:

Exempel 1.7.4 Bestäm ekvationen för linjen L genom punkterna (5, 3) och (−2, 7) p̊a para-meter-, riktningskoefficient- och normalform. Ange ocks en normalvektor till L.


Lösning: Sätt P = (5, 3) och Q = (−2, 7). Vi börjar med parameterformen.

PQ = OQ − OP = e(

27

)

− e(

53

)

= e

(74

)

=⇒ L: e(

xy

)

= e

(53

)

+ t e

(74

)

.

För att komma till riktningskoefficient- och normalform fr̊an parameterformen löser vi utt-värdet ur x respektive y.

{x = 5 − 7ty = 3 + 4t

⇐⇒ t = 5 − x7

=y − 3

4⇐⇒ 20 − 4x = 7y − 21 ⇐⇒

⇐⇒ 4x + 7y = 41︸︷︷︸

normalform

⇐⇒ y = −47x +

41

7︸︷︷︸

riktningskoefficientform

.

Ur normalformen ovan ser vi att n = e

(47

)

är en normalvektor till L. Detta kan man se

redan ur parameterformen. Det enda kravet p̊a n är ju att n ⊥ v = L:s riktningsvektor, d v s(n|v) = 0.

Exempel 1.7.5 L̊at L vara linjen i exempel 1.7.4 ovan. Bestäm den punkt p̊a L som liggernärmast punkten (2, 1). Ange ocks̊a avst̊andet mellan (2, 1) och L.Lösning: Fr̊ageställningen är identisk med exempel 1.7.2 och kan lösas p̊a exakt samma sätt.D̊a vi nu är i planet finns en annan lösningsg̊ang som vi nu skall följa. Den bygger p̊a att enlinje L i planet har en normalriktning. Därmed kan vi ocks̊a bestämma en linje genom vilkensom helst annan punkt och som är ortogonal mot L. En s̊adan linje kallas en normal till L.

Studera figur 1.36. Vi bestämmer först L:s normal N genom (2, 1). Normalvektorn beräk-nades i föreg̊aende exempel och vi f̊ar

N : e

(xy

)

= e

(21

)

+ t e

(47

)

. (1.7.3)

Skärningspunkten Q mellan L och N är den punkt p̊a L som ligger närmast (2, 1). D̊a Qligger p̊a N kan OQ skrivas p̊a formen (1.7.3) för n̊agot t. D̊a Q ocks̊a ligger p̊a L kan viberäkna t genom insättning i L:s normalform. Vi f̊ar

4x + 7y = 4(2 + 4t) + 7(1 + 7t) = 15 + 65t = 41 ⇐⇒ t = 2665

=2

5.

Insättning av t =2

5i (1.7.3) ger

OQ = e

(21

)

+2

5e

(47

)

=1

5

(

e

(105

)

+ e

(814

))

=1

5e

(1819

)

,

d v s Q = (18/5, 19/5). Slutligen, f̊as att avst̊andet är

∣∣∣∣

2

5n

∣∣∣∣=

2

5

√

42 + 72 =2

5

√65.


L n

N

(2, 1)

y

x

Figur 1.36:

1.7.3 Plan

Vad behöver vi veta för att ett plan skall vara entydigt bestämt?

För en linje räcker det med tv̊a punkter. Om vi tar ytterligare en punkt som ej ligger p̊alinjen genom de tv̊a första s̊a finns ett entydigt bestämt plan som g̊ar genom de tre punkterna.Ett mera handfast argument f̊ar du p̊a följande sätt: spreta med tumme, pek- och l̊angfinger.D̊a kan du enkelt balansera en bok med h̊arda pärmar p̊a de tre fingertopparna.

Precis som för en linje s̊a f̊ar vi sv̊art att hitta fler punkter i planet om bara tre nödvändigapunkter är givna. Vi skall här ge tv̊a sätt att beskriva plan, parameterform och normalform.Bägge visar självfallet upp stora likheter med motsvarande beskrivning av en linje.

Vi börjar med parameterformen. L̊at P0, P1 och P2 vara tre punkter i rummet som ejligger i linje. Dessa definierar d̊a ett plan Π. L̊at u och v vara vektorer s̊adana att u ‖ P0P 1och v ‖ P0P 2. Precis som i fallet med linjens riktningsvektor är längden av u respektive vointressant. L̊at P vara en godtycklig punkt i planet. D̊a gäller att P0P ligger i planet. Omvi för ett ögonblick begränsar oss till planet Π och glömmer allt utanför detta s̊a kan vi se uoch v som en bas för planet (se sid 5 ff). D̊a kan P0P skrivas som en linjärkombination av uoch v, d v s det finns reella tal s, t s̊a att P0P = su+ tv, se figur 1.37. Med hjälp av detta kanvi skriva ortsvektorn för vilken som helst punkt P ∈ Π p̊a formen

OP = OP0 + su + tv

e

xyz

= e

x0y0z0

+ s e

a1b1c1

+ t e

a2b2c2

.

Följaktligen, vet vi en punkt och tv̊a vektorer i planet s̊a är planet entydigt bestämt av dessa.


P0P

sutv

OP

Π

O

OP 0

v

u

Figur 1.37:

Till varje linje i planet hör en normalriktning. P̊a samma sätt kan vi koppla en normalrikt-ning till ett plan i rummet. Vi har redan utnyttjat detta vid beskrivningen av vektorprodukten(se sid 20 ff). En vardaglig illustration f̊as genom att, t ex en penna med platt ända kan f̊asatt st̊a p̊a en bordsyta. D̊a denna penna kan f̊as att st̊a p̊a andra bord med annan höjd insesatt man m̊aste känna till även en punkt i planet för att ”l̊asa fast” dess läge i rummet.

P0P = e

x − x0y − y0z − z0

n = e

A

B

C

OP

Π

O

OP 0

Figur 1.38:

L̊at Π vara ett plan med normalvektor n och som inneh̊aller punkten P0 = (x0, y0, z0).L̊at P = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i Π och studera figur 1.38. D̊a P0P ⊥ n f̊as

0 =(n|P0P

)=

e

ABC

∣∣∣∣∣∣

e

x − x0y − y0z − z0

= A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) =

= Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0)︸︷︷︸

D

⇐⇒ Ax + By + Cz = D.

Detta sätt att representera planet kallas planets ekvation p̊a normalform. Observera atthärledningen ovan är identisk med härledningen av normalformen för en linje i planet, s̊anärsom p̊a att vi här har en komponent till i vektorerna. Det beror p̊a att det är samma geomet-riska egenskap som ligger till grund för b̊ada fallen. Nämligen, det finns en normalriktning tillen linje i planet respektive ett plan i rummet.


Exempel 1.7.6 Ange ekvationen för planet Π genom punkterna (1,−1, 1), (4, 2, 4) och(−1, 3,−3) p̊a parameterform respektive normalform.Lösning: Sätt P0 = (1,−1, 1), P1 = (4, 2, 4) och P2 = (−1, 3,−3). D̊a f̊as

P0P 1 = e

424

− e

111

= e

333

= 3 e

111

P0P 2 = e

133

− e

111

= e

244

= −2 e

122

.

Om vi väljer u =1

3P0P 1 och v = −

1

2P0P 2 s̊a f̊ar vi parameterformen

Π: e

xyz

= e

111

+s e

111

+ t e

122

, s, t ∈ R. (1.7.4)

För att komma till normalformen utnyttjar vi u och v ovan. Det är klart att normalriktningenär ortogonal mot dessa och därmed kan vi välja en normalvektor n ‖ u×v.

u×v = e

111

× e

122

= e

413

= − e

413

och vi väljer i detta fall n = −u×v. Därmed har vi vänsterledet i ekvationen p̊a normalformklart, −4x+y+3z = D och det återst̊ar endast att bestämma D. D̊a de givna punkterna liggeri planet skall deras koordinater uppfylla planets ekvation. Insättning av, t ex P0 = (1,−1, 1)ger −4·1 + (−1) + 3·1 = −2 = D. Π:s ekvation p̊a normalform blir allts̊a

−4x + y + 3z = −2. (1.7.5)

Kontrollera själv att P1 och P2 uppfyller (1.7.5).

Normal- och parameterform är olika till sin karaktär och har därmed olika användningsom-r̊aden. Med normalformen kontrollerar man om en punkt tillhör planet medan man medparameterformen genererar en punkt i planet.

Att byta representation fr̊an parameter- till normalform och tvärtom görs p̊a sammasätt som för linjer. Det kan dock i början upplevas som lite mer komplicerat d̊a man m̊asteeliminera respektive införa tv̊a parameterar. Vi utg̊ar fr̊an planet i exempel 1.7.6. L̊at (x, y, z)vara en punkt i planet och sök de motsvarande värdena p̊a parametrarna s och t i (1.7.4). D̊af̊as ett lösbart ekvationssystem (olösbart om (x, y, z) är en punkt som inte ligger i planet). Vif̊ar

x = 1 + s + ty = −1 + s − 2tz = 1 + s + 2t

(a)⇐⇒

s + t = x − 1s − 2t = y + 1s + 2t = z − 1

(b)⇐⇒

s + t = x − 1− 3t = −x + y + 2

t = z − x

(c)⇐⇒


⇐⇒

s = 2x − z − 10 = −4x + y + 3z + 2t = z − x

,

d v s ekvationssystemet är lösbart omm −4x + y + 3z = −2 vilket är precis normalformen(1.7.5) och lösningen är d̊a s = 2x − z − 1, t = z − x. De operationer som utförts är:

(a) samla variablerna p̊a en sida,

(b) eliminera s genom att subtrahera första sambandet fr̊an de andra tv̊a,

(c) eliminera t genom att addera 3· sista sambandet till det andra och subtrahera sista fr̊anförsta.

För att komma fr̊an normalform till parameterform inför vi tv̊a parametrar. Med, t exx = s och z = t f̊as y = −2 + 4s − 3t vilket p̊a vektorform blir

Π: e

xyz

= e

s2 + 4s 3t

t

= e

020

+s e

140

+t e

031

.

Detta skiljer sig markant fr̊an (1.7.4) vilket är helt i sin ordning. Allt man behöver för attskriva ett plan p̊a parameterform är en punkt och tv̊a icke-parallella vektorer i planet.

n2

L

Π2

Π1

n1

v

Figur 1.39:

Exempel 1.7.7 L̊at Π1: x + 3y − 2z = 5 och Π2: 2x + y + 4z = 2. Bestäm och beskrivgeometriskt den punktmängd som tillhör b̊ada planen.Lösning: Man inser snabbt att tv̊a plan antingen är parallella eller skär varann längs en linje.Vidare, parallella är de endast om deras respektive normalvektorer är parallella. Avläsningav koefficienterna ger att Π1 och Π2 ej är parallella.


Vi söker de punkter som tillhör b̊ada planen, d v s de punkter vars koordinater uppfyllerbägge planens ekvationer. Vi f̊ar d̊a ekvationssystemet

{x + 3y − 2z = 5

2x + y + 4z = 2−2·1:a+2:a⇐⇒

{x + 3y − 2z = 5− 5y + 8z = −8 ⇐⇒

{x = 5 − 3y + 2zz =

5

8y − 1

y=8t⇐⇒

⇐⇒ e

xyz

= e

5 − 3·8t + 2(5t − 1)8t

5t − 1

= e

3 − 14t8t

5t − 1

= e

301

+t e

1485

D̊a skärningslinjen ligger i b̊ada planen är dess riktningsvektor ortogonal mot de b̊ada planensnormalvektorer (se figur 1.39). Därmed gäller att v ‖ n1×n2. Vi kan d̊a förenkla kontrollengenom att räkna ut denna kryssprodukt och sedan sätta in endast den startpunkt vi f̊ar urparameterformen för skärningslinjen i de b̊ada planens ekvationer.

Exempel 1.7.8 L̊at Π: 3x − 4y + z = 6 och P = (1, 1, 1). Bestäm avst̊andet mellan P ochΠ. Bestäm ocks̊a den punkt Pp i Π som ligger närmast P samt P :s spegelpunkt Ps i Π.Lösning: Problemet är i princip detsamma som exempel 1.7.2 och 1.7.5. Figur 1.40 illustrerarsituationen. Klart är att avst̊andet mellan P och Π är

∣∣P0P ‖n

∣∣ där P0 är en punkt i Π, vilken

spelar ingen som helst roll. Drag den normal N till Π som g̊ar genom P . Dess skärningspunktmed Π är den sökta punkten Pp och kallas P :s ortogonala projektion i Π. Betrakta Π som enhelt vanlig plan spegel. Spegelpunkten Ps är d̊a spegelbilden av P i Π. Tänk p̊a var din egenspegelbild synes vara d̊a du ser dig själv i en spegel. Den är alltid lika l̊angt bakom spegeln somdu själv är framför och om du ser din spegelbild i ögonen s̊a är din blick ortogonal mot spegelnsplan, d v s vi g̊ar fr̊an punkten P i riktning ortogonalt mot spegeln, träffar spegeln i Pp ochfortsätter lika l̊angt i samma riktning för att komma fram till Ps. Av figur 1.40 framg̊ar attOP p = OP −P0P ‖n och att OP s = OP − 2P0P ‖n. Svaren p̊a fr̊agorna f̊ar vi allts̊a genom attbestämma P0P ‖n. Detta görs enkelt genom att beräkna P0P ‖n med projektionsformeln (somi exempel 1.7.2) alternativt ange normalen p̊a parameterform och bestämma parametervärdetgenom insättning av N i Π:s ekvation (som i exempel 1.7.5).

Välj en punkt i Π , t ex P0 = (2, 0, 0). D̊a f̊as

P0P = e

111

− e

200

= e

111

=⇒

=⇒P0P ‖n =(P0P

∣∣n

)

|n|2n =

1

26

e

111

∣∣∣∣∣∣

e

341

n = − 313

e

341

=⇒

=⇒

OP p = OP − P0P ‖n = e

111

+3

13e

341

=1

13e

22116

OP s = OP − 2P0P ‖n = e

111

+6

13e

341

=1

13e

311119

, (1.7.6)

d v s avst̊andet blir∣∣P0P ‖n

∣∣ =

3

13

√26, Pp =

(22

13,

1

13,16

13

)

och Ps =

(31

13,−11

13,19

13

)

.


n

n

N

P0P

OP s

OP p

OP 0

O

OP

P0P‖n

−2P0P‖n

−P0P‖n

Figur 1.40:

Om vi gör som i exempel 1.7.5 f̊ar vi

N : e

xyz

= e

111

+ t e

341

som insatt i Π: 3x − 4y + z = 6 ger

3(1 + 3t) − 4(1 − 4t) + (1 + t) = 26t = 6 ⇐⇒ t = 626

=3

13.

Insättning av t =3

13i N ger Pp och t =

6

13ger Ps. Notera att den kalkyl som d̊a utförs är

exakt den samma som den i (1.7.6).

Documents

Linj ar algebra - Linköping UniversityVi ov erg ar nu till addition av tv a vektorer. De nition 1.1.4 L at u och v vara tv a vektorer och l at AB vara en representant f or u och BC