Todimensionale Vektorermatbog.dk/Matbog2/arkiv/13034103627974.pdf · 2012. 2. 8. · Todimensionale Vektorer Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011.c Dette dokument må kun anvendes

Todimensionale Vektorer

Frank Nasser

20. april 2011

c©2008-2011.Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som

abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis

ikke er den nyeste tilgængelige.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=25&Itemid=41

Indhold1 Introduktion 1

2 Todimensionale vektorer 22.1 Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Todimensionale vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Déjà vu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Sådan skal man tænke på en vektor . . . . . . . . . . 4

3 „The basics“ 53.1 Indtegning af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Snik-snak: Vektorrally . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Længde af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Særlige vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Forbindende vektorer, stedvektorer . . . . . . . . . . 10

4 Regning med vektorer 134.1 Addition og skalering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Omvendt vektor og vektordifferens . . . . . . . . . . 154.3 Snik-snak: Nye regneoperationer . . . . . . . . . . . . 164.4 Regneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Geometrisk tolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Prikproduktet 245.1 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Ortogonalkomposanter . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Ortogonalkomposanter i fysik . . . . . . . . . . . . . 37

6 Tværvektor og Determinant 416.1 Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Vinkel med fortegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4 Det udspændte areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Resumé

I dette dokument gennemgår vi basal teori om todimensio-nelle vektorer. Vi laver meget enkle, abstrakte definitioner afvektorer og regneoperationerne på disse, og diskuterer bagef-ter den geometriske tolkning af definitionerne. Til sidst brugervi vektorbegrebet til at beskrive linjer i planen på parameter-form.

1 IntroduktionVi skal i denne lille note gennemgå basal teori om vektorer i planen.Stoffet er præcis det samme som i andre lærebøger, men tilgangs-vinklen er temmeligt forskellig, idet der er brugt andre, meget mereenkle definitioner end de fleste andre steder. (Ofte ser man en vektordefineret som en ækvivalensklasse af orienterede linjestykker modulotranslationer, hvilket nok er væsentlig mere kompliceret end forfat-teren har været klar over).

Noterne indeholder kun det “tørre” stof, dvs. definitioner og sæt-ninger. Alle eksempler på praktiske anvendelser af vektorregning,herunder bestemmelse af vinkler, afstande og skæringer mellem del-mængder af koordinatsystemet, er gemt til andre dokumenter.

Forudsætninger:

Du behøver kun at være fortrolig med det todimensionelle koordinat-system for at læse dette dokument. Det kan også dog anbefales atmeditere et minuts tid over det faktum at vi skal til at definere noglehelt nye objekter og nogle helt nye regneoperationer på disse. Det ermuligvis første gang du skal regne med nogle størrelser som ikke bareer tal.

side 1


2 Todimensionale vektorer

2.1 KoordinatsystemetVi starter med lidt gammelt stof: Som du måske allerede ved, benyttervi notationen

R2 = {(x; y) | x ∈ R, y ∈ R}

til at betegne det todimensionale koordinatsystem. - Altså mængdenaf alle punkter (x; y) hvor x og y begge er reelle tal. De to tal kaldespunktets koordinater. Bemærk det lille 2-tal foroven i „R2“. Man læserdet som “R-to”, og ikke som “R i anden”.

Når vi tænker på det todimensionale koordinatsystem, starter vimed at tænkte på det specielle punkt (0; 0), også kaldet origo. Der-efter tænker vi på de punkter hvor x-koordinaten er nul (også kaldety-aksen) og de punkter hvor y-koordinaten er nul (også kaldet x-aksen). Disse to akser forestiller vi os tegnet som rette linjer, vinkelretpå hinanden, sådan at de skærer hinanden i origo.

På den måde ender vi med at tænke på det todimensionale koor-dinatsystem som en plan, altså et helt fladt, uendeligt stort område.

Punkter i det todimensionale koordinatsystem kaldes ofte P , Q,R eller andre store bogstaver. Man skriver for eksempel:

P = (3;−1)

Bemærk at nogle forfattere af ukendte (men dumme) årsager undla-der at skrive lighedstegnet mellem punktet og dets koordinater.

2.2 Todimensionale vektorerNu indfører vi en anden mængde:

side 2


Definition 1

Mængden af todimensionale vektorer er pr. definition følgendemængde:

V 2 ={(

xy

)| x ∈ R, y ∈ R

}

Symbolet V 2 læses som “V-to”, og det skal altså fra nu af be-tegne mængden af alle talpar (skrevet oven på hinanden i en aflangparentes), hvor begge de indgående tal er reelle.

Elementerne i V 2 kaldes todimensionale vektorer, og de to talkaldes vektorens koordinater.

Vektorer kaldes ofte u, v, w eller andre små bogstaver. Mangelærere elsker1 desuden at sætte en pil over bogstaverne for at under-strege at det er en vektor. Man kan f.eks. skrive:

~v =(

38

)

men selvfølgelig også (hvis man har lyst):

d =(−2π

)

Vi vil nogle gange bruge pile her på MatBog og andre gange ikke. Detvigtigste er at vide at at man (og andre!) helt selv må vælge om devil sætte pile over de bogstaver som betegner vektorer eller ej.

2.3 Déjà vu?Nu tænker den kvikke læser: „Er vektorer egentlig ikke præcis detsamme som punkter? — Det eneste vi har gjort er jo bare at skrive

1Begrundelsen er at det bliver nemmere at se at der er tale om en vektor påden måde. Men eftersom det alligevel altid skal være klart hvad et bogstavnavnbetegner (herunder om det er et tal, et punkt, en vektor, en funktion eller nogetandet), er dette en slags dobbeltforsikring.

side 3


koordinaterne oven på hinanden i stedet for at skrive dem ved sidenaf hinanden.“

Og svaret er: Jo! En vektor består af præcis den samme informa-tion som et punkt, nemlig to reelle koordinater. Lad os derfor alleredenu slå fast at:

Sætning 1

V 2 ≈ R2

— Idet man til enhver tid kan “oversætte” mellem vektorer ogpunkter: Hvis man har en vektor, kan man skrive dens koordinaterved siden af hinanden med komma imellem, og vupti, har man etpunkt. Og omvendt. (Det skal vi benytte os meget af senere.)

Den store forskel på punkter og vektorer kommer nu, nemlig imåden som vi bruger dem og tænker på dem på.

2.4 Sådan skal man tænke på en vektorEn todimensionel vektor, som for eksempel(

25

)

skal vi ikke tænke på som en prik i en plan. En vektor tænker viderimod på som en flytning i koordinatsystemet.

Således vil vi tænke på ovennævnte vektor som „2 til højre og 5op“. Og mere generelt vil vi tænke på en vektor(

xy

)

som „x til højre og y op“.

side 4


Bemærk at hvis f.eks. x er negativ, så betyder “x til højre” na-turligvis at man går til venstre.

Vi skal dog ikke tænke på det som to adskilte bevægelser (hen-holdsvist vandret og lodret), men som den samlede (ofte skrå) bevæ-gelse.

En vektor angiver på den måde en retning og en afstand, menikke et startpunkt (og dermed heller ikke et slutpunkt)2. Derfor atdet stadig svært at “se” en vektor for sig. Det bliver nemmere i næsteafsnit.

I første omgang skal du bare indse at denne opfattelse af vektorergør det oplagt at bruge dem til at beskrive alle fænomener som haren retning og en størrelse.

3 „The basics“Nu skal vi se på nogle af de første ting man kan finde på at gøre medvektorer.

3.1 Indtegning af vektorerVi vil først kombinere vektorer med punkter og dermed få et geome-trisk billede af hvordan en vektor „ser ud“. Vi laver følgende defini-tion:

Definition 2 (Indtegning af vektor)

Hvis man har et punkt,(x; y) ∈ R2

og en vektor, (ab

)∈ V 2

2Det svarer til at man finder et skattekort med beskrivelsen „200 skridt modNord–Vest“, men ingen angivelse af hvor man skal starte.

side 5


så kan man indtegne vektoren ud fra punktet ved at tegne et retlinjestykke i koordinatsystemet fra (x; y) til (x+a; y+ b) og sætteen lille pilespids i enden, sådan at pilen peger fra (x; y) til (x +a; y + b).

Eksempel 1

Vi har her indtegnet vektoren(

12

)ud fra punktet (1; 0):

-1 0 1 2 3 4

-1

1

2

3

Øvelse 1

Indtegn vektoren

~v =(

2−1

)ud fra punktet

P = (3; 6)

3.2 Snik-snak: VektorrallyDette afsnit er tænkt som et underholdende indslag og kan derforgodt springes over.

side 6


Et klassisk gymnasiespil (tidsfordriv, når man ikke orker at følgemed i timen) ved navn „vektorrally“ går ud på følgende: På et ternetstykke papir tegner man en racerbane. Banen skal være ringformetog have en bredde på mellem 3 og 10 tern hele vejen rundt. Desudenvedtager man et startpunkt, P, som alle spillere starter i, og en mål-linje, der går gennem P. (P bør ligge i et gitterpunkt på det ternedepapir.) Alle spillere starter med at have en “bevægelsesvektor” somer lig (

00

)Når en spiller får turen (hvilket selvfølgelig sker på skift) må han/hunændre koordinaterne i sin bevægelsesvektor, ved enten at gøre dem 1større eller 1 mindre (det er tilladt at lade en af koordinaterne ellerdem begge være uændret. - Men husk at man altid tager udgangs-punkt i den bevægelsesvektor som man lavede i sidste runde!).

Derefter skal han/hun “køre” ved at indtegne sin bevægelsesvek-tor ud fra det sidste punkt han/hun befandt sig i, og stille sig i detnye punkt vektoren peger på. F.eks. kan første spiller i første rundevælge at ændre sin bevægelsesvektor til(

10

)

Dermed vil han starte med at køre 1 tern til højre. Næste runde kanhan ændre sin bevægelsesvektor til(

21

)

Dermed vil han fortsætte skråt, 2 felter mod højre og 1 felt opad.Således fortsætter spillet. Hvis man på et tidspunkt havner uden forbanen, er man ude af spillet. Den første spiller som passerer mållinjenhar vundet.

side 7


3.3 Længde af en vektorNår vi nu har defineret hvordan man tegner en vektor som en pil ikoordinatsystemet, er den næste definition ret oplagt:

Definition 3 (Længden af en vektor)

Lad

~v =(ab

)være en vektor. Vi definerer længden af ~v til at være:

|~v| =√a2 + b2

Bemærk at de to lodrette streger, som betyder længden af envektor, er de samme som bruges til „nummerisk værdi“ af reelle tal.Der er dog ingen fare for forvirring, idet man bare kan holde øje medhvad der står imellem stregerne: Hvis det er et reelt tal, betyder detnummerisk værdi, og hvis det er en vektor betyder det længde.

Øvelse 2

Beregn længden af følgende vektorer:

~n =(

00

),~i =

(10

),~j =

(01

)og ~v =

(3−4

)

Vi skal lige sikre os at begrebet „længde af en vektor“ passermed vores geometriske billede af vektorer. Det gør vi med følgendesætning:

side 8


Sætning 2

Når man indtegner en vektor ~v =(ab

)ud fra et punkt, P =

(x; y), så får man en pil med længden |~v|.

Bevis. Pilen som man tegner går mellem punktet P = (x; y) og punk-tet Q = (x+a; y+b). Ifølge afstandsformlen er længden af linjestykketimellem disse to punkter:

|PQ| =√

((x+ a)− x)2 + ((y + b)− y)2 =√a2 + b2 = |~v|

3.4 Særlige vektorerVi skal nu se på nogle særlige vektorer der optræder så ofte at de harderes egne navne.

• Allerførst er der nulvektor :

−→0 =(

00

)

• Alle de andre vektorer end nulvektor kaldes nogle steder for„egentlige“ vektorer. Det er et dumt navn, men du bør væreforberedt på at kunne møde det.

• En vektor med længde 1 kaldes en enhedsvektor.

• De to særlige enhedsvektorer(

10

)og

(01

)kaldes første

standardbasisvektor og anden standardbasisvektor. De omtalesmeget ofte med bogstavnavnene:

~i =(

10

)og ~j =

(01

)

side 9


Bemærkning:

For lidt siden skrev jeg at man helt selv måtte bestemme om man villesætte pile over de bogstaver som man bruger til at betegne vektorereller ej. Vektorerne ovenover er en undtagelse.

Det skyldes at disse navne er faste navne som vi gerne vil kunnebruge igen og igen uden hver eneste gang at definere hvad de betyder.Det kan dog kun lade sig gøre hvis vi undgår nogen sinde at brugede samme navne til andre ting. Og lige præcis bogstaverne i og jvil vi gerne have mulighed for at bruge til andet. Og symbolet 0 harallerede en anden (meget) fast betydning, nemlig tallet nul.

3.5 Forbindende vektorer, stedvektorerHvis man har to punkter i koordinatsystemet, så er det ofte nyttigtat fremtrylle en vektor med den egenskab at den „peger fra det enepunkt til det andet“. Det handler den næste sætning om:

Sætning 3 (Forbindende vektor)

Hvis P og Q er to punkter i koordinatsystemet, så findes der præ-cis en vektor som opfylder at når den indtegnes fra P , så pegerden på Q. Denne vektor kaldes den forbindende vektor fra P til Qog skrives som: −→

PQ

Hvis P = (x1; y1) og Q = (x2; y2), så er den givet ved:

−→PQ =

(x2 − x1y2 − y1

)

Bevis. Lad os kalde den ønskede vektors koordinater for(ab

). Når

denne (endnu ukendte) vektor indtegnes fra P , så peger den på punk-tet (x1 + a; y1 + b). Hvis dette punkt skal være Q, så er vi nødt til at

side 10


have:x1 + a = x2

ogy1 + b = y2

Den eneste mulighed for at får det opfyldt er ved at: a = x2 − x1 ogb = y2 − y1.

Hvad betyder denne sætning? Pilen imellem to punkter giver enretning og en afstand. Denne information (idet vi glemmer hvorhennepilen startede) kan udtrykkes med en vektor, og man får denne vek-tors koordinater fra at trække punkternes koordinater fra hinanden(i den rigtige rækkefølge: Slutpunktets koordinater minus startpunk-tets.)

Øvelse 3

Givet punkterne P = (1; 1) og Q = (−1; 2), beregn vektoren−→PQ. Indtegn derefter P og Q i et koordinatsystem. Tegn til sidstvektoren −→PQ ud fra følgende punkter:

1. Origo

2. P

3. Q

Hvis man kun har et enkelt punkt, P = (x; y), så kan man altidlave en forbindende vektor som peger fra origo, O = (0; 0) til P . Ifølgeovenstående sætning har denne vektor koordinaterne:

−→OP =

(x− 0y − 0

)=(xy

)

side 11


Denne vektor kaldes P ’s stedvektor. Vi ser altså nu at den sammen-hæng mellem punkter og vektorer som vi opdagede tidligere:

V 2 ≈ R2

svarer til at et punkt „oversættes“ til sin stedvektor.

side 12


4 Regning med vektorerNu kommer det som gør vektorer helt forskellige fra punkter. Vi vilnemlig definere nogle regnoperationer for vektorer. Helt præcist vilvi definerer hvordan to vektorer kan lægges sammen („adderes“) oghvordan en enkelt vektor kan ganges med et reelt tal („skaleres“).

4.1 Addition og skalering

Definition 4 (Vektoraddition)

Hvis vi har to vektorer, ~v =(a1b1

)og ~w =

(a2b2

), så definerer

vi summen af de to vektorer som:

~v + ~w =(a1b1

)+(a2b2

)=(a1 + a2b1 + b2

)

Man lægger altså vektorer sammen på præcis den måde man villehave gættet på: Man lægger førstekoordinaterne sammen og anden-koordinaterne sammen.

Definition 5 (Skalering)

Hvis vi har en vektor ~v =(ab

)og et reelt tal, r, så definerer vi

produktet af r og ~v eller skaleringen af ~v med r som:

r · ~v = r ·(ab

)=(r · ar · b

)

Multiplikation af en vektor med et reelt tal foregår altså igen påden oplagte måde: Man gange begge vektorens koordinater med detreelle tal.

side 13


Produktet af r og ~v omtales også som „skaleringen af ~v med r“. Afdenne grund kaldes reelle tal ofte for „skalarer“ (=dem man skalerermed) når der arbejdes med vektorer. Dette rammer vi lige ind forhukommelsens skyld:

Definition 6

Et reelt tal kaldes fremover også for „en skalar“

Der er to gode grunde til at bruge ordet „skalering“ i stedet for“produkt“.

Den ene grund er at man bedre kan huske at det er to megetforskellige objekter som bliver ganget med hinanden, og at de spillerhver sin rolle: Det er vektoren som bliver skaleret med det reelle tal,og ikke omvendt. Vi skal senere definere hele to forskellige måder at„gange vektorer med hinanden“ på.

Den anden gode grund til at „skalering“ er et godt navn er at detpasser fint med vores geometriske billede af vektorer. Det skal vi senærmere på i afsnit 4.5.

Lige nu mangler vi kun en enkelt vedtagelse:

Definition 7

Hvis der i en udregning optræder både summer og skaleringer afvektorer, så skal skaleringerne udregnes først, som om der var enusynlig parentes omkring dem.

Øvelse 4

Beregn følgende vektor:

(−3) ·(

5−2

)+ 7 ·

(2−1

)

side 14


4.2 Omvendt vektor og vektordifferensLige som med reelle tal definerer vi et „fortegnsskift“:

Definition 8 (Omvendt vektor)

Til enhver vektor ~v =(ab

)definerer vi dens omvendte vektor,

−~v som:−~v =

(−a−b

)Dette er den samme vektor som man får hvis man skalerer ~v med−1.

Og lige som med reelle tal bruger vi dette til at definere hvad detbetyder at trække en vektor fra en anden:

Definition 9 (Differens)

Hvis ~v =(a1b1

)og ~w =

(a2b2

)er to vektorer, så definerer vi

differensen ~v − ~w som:

~v − ~w = ~v + (−~w)

Dette er det samme som:

~v − ~w =(a1b1

)+(−a2−b2

)=(a1 − a2b1 − b2

)

side 15


4.3 Snik-snak: Nye regneoperationerDette afsnit er skrivet for at inspirere nysgerrige læsere til lidt ekstraomtanke. Men det er ikke nødvendigt for at forstå resten af doku-mentet, så du kan sagtens springe over det hvis du har travlt.

Nu er det jo ikke hver dag man laver helt nye regneoperationer.Men når man en gang imellem gør det, så skal man passe utroligtmeget på ikke bare at gå ud fra at de nye regneoperationer opførersig sådan som man er vant til. F.eks. er vi så vant til at 5 + 7 er detsamme som 7 + 5 at vi overhovedet ikke tænker over det i hverdagen.Her kommer dog et lille skræmme-eksempel, som viser at man ikkealtid kan bytte om på to ting som er lagt sammen.

Stil dig midt på gulvet (efter at have læst dette). Du kan nuforetage forskellig rotationer af din krop. F.eks. kan du dreje dinkrop 90 grader mod venstre (prøv selv!) — Du roterer nu omkring enakse som går fra dine fødder til dit hovede. Denne rotation kalder vir1.

Du kan også vippe forover (idet vi slukker for tyngdekraften),så du havner liggende vandret i luften med din mave nedad. — Duroterer her omkring en akse som går gennem din mave, fra den eneside til den anden — lige som en fodboldspiller i bordfodbold. Dennerotation kalder vi r2.

Vi definerer nu at summen af to sådanne rotationer skal bestå afat vi udfører dem efter hinanden. Er det så rigtigt at r1 +r2 og r2 +r1er det samme?

side 16


4.4 RegnereglerHeldigvis opfører de nye regneoperationer for vektorer sig præcis ligesom vi er vant til med reelle tal.

Sætning 4

Vektoraddition og skalering opfylder følgende regneregler:Den kommutative lov: Hvis ~v og ~w er vektorer, så er

~v + ~w = ~w + ~v

Den associative lov: Hvis ~u, ~v og ~w er vektorer, så er

(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)

De distributive love: Hvis ~v og ~w er vektorer og r og s er skalarer,så er:

r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w

og(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v

En homogenitetslov: Hvis ~v er en vektor og r og s er skalarer, såer:

(r · s) · ~v = r · (s · ~v) = s · (r · ~v)Indskudsreglen for forbindende vektorer: Hvis A, B og C er trepunkter, så er: −→

AB +−−→BC = −→ACLængde af skalering: Hvis ~v er en vektor, og r er en skalar, så er:

| ~r · v| = |r| · |~v|

Trekantsuligheden: Hvis ~v og ~w er vektorer, så er

|~v + ~w| ≤ |~v|+ |~w|

side 17


Anvendligt? – Praktisk eller teoretisk?

Som altid med fundamentale regneregler, skal man ikke tro at deovenstående regneregler er spor anvendelige i praksis. Hvem er f.eks.interesseret i at kunne omskrive:

6 ·((

92

)+(

14

))til

6 ·(

92

)+ 6 ·

(14

)når begge dele er lige nemme at udregne helt konkret?

Til gengæld bliver disse regneregler ekstremt nyttige når vi skalarbejde med generelle vektorer, hvor vi ikke kender deres koordinater.Dette er både tilfældet når vi forsøger at sige noget om vektorer somvi ikke kender (endnu), og i allerhøjeste grad når vi beviser sætningerom (vilkårlige) vektorer.

Egentlig burde vi bevise alle disse regneregler, men da de alle-sammen (undtagen trekantsuligheden som vi beviser i næste afsnit)følger den samme strategi, vil vi nøjes med:

Bevis for den kommutative lov. Hvis ~v og ~w er to vektorer, så lad osse på deres koordinater. Lad os sige at:

~v =(x1y1

)og ~w =

(x2y2

)Vi kan nu udregne:

~v + ~w =(x1 + x2y1 + y2

)og

~w + ~v =(x2 + x1y2 + y1

)Men da koordinaterne er reelle tal, og det er ligegyldigt hvilken ræk-kefølge man lægger reelle tal sammen i, giver de to udregninger densamme vektor.

side 18


Øvelse 5

Bevis den associative lov.Hjælp: Navngiv de tre vektorers koordinater. Udregn derefter

de to sider af lighedstegnet hver for sig, og forklar hvorfor de bliverens.

4.5 Geometrisk tolkningDe regneoperationer som vi indførte i sidste afsnit passer rigtig fintsammen med vores geometriske billede af vektorer. Gå eventuelt til-bage og læs afsnittet om indtegning af vektorer igen.

Sætning 5 (Geometrisk tolkning af vektoraddition)

Hvis ~v og ~w er vektorer og P er et punkt, og vi indtegner ~v ud fraP , og bagefter indtegner ~w ud fra det punkt som ~v peger på (løstsagt: Vi indtegner ~w i forlængelse af ~v) , så vil spidsen af ~w pegepå det samme punkt som ~v + ~w.

Bevis. Hvis vi kalder ~v’s koordinater for a og b, og ~w’s koordinaterfor c og d, så er

~v + ~w =(a+ cb+ d

)Hvis P = (x; y) og vi indtegner ~v derfra, så vil den pege på punktet(x + a; y + b). Når ~w indtegnes derfra, så vil den pege på punktet:(x+ a+ c; y+ b+ d). Men det er præcis det samme punkt som ~v+ ~wpeger på når den indtegnes fra P .

Denne sætning giver meget bedre mening hvis man tegner den.Se figur 1.

side 19


Figur 1: Geometrisk forståelse af summen af to vektorer.

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

Hvis vi altså tænker på vektorer som angivelser af en bevægelsei koordinatsystemet, så består addition af vektorer løst sagt af atforetage den ene bevægelse først, og derefter den anden, for derefterat glemme hvorhenne man stoppede undervejs.

Dette illustrerer også den kommutative lov: Hvis man i stedetindtegner ~v i forlængelse af ~w, så får man tegningen på figur 2.

Figur 2: Summen af to vektorer – på to måder.

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

side 20


Denne tegning er kendt i fysik som „kræfternes parallelogram“,idet den illustrer hvordan to kræfter (som jo er vektorer) lægges sam-men, og at det er ligegyldigt i hvilken rækkefølge de lægges sammen(den kommutative lov).

Sjovt nok bevirker det geometriske billede at vi nu kan bevise„trekantsuligheden“ fra sætning 4 meget nemt, og samtidigt indsehvorfor den hedder trekantsuligheden. Længderne |~v|, |~w| og |~v + ~w|er nemlig længder af de tre sider i en trekant. Sætningen siger dermedbare at summen af de to siders længder er større end eller lig medden sidste sides længde.

Sætning 6 (Geometrisk tolkning af skalering)

Hvis ~v er en vektor og r er en skalar, og vektorerne ~v og r · ~vindtegnes fra det samme punkt, så giver r · ~v anledning til en pilsom er parallel med pilen fra ~v, og med en længde der er |r| gangeså lang.

Hvis r er negativ, så peger de to pile i modsatte retninger.

Bevis. Kald vektorens koordinater for:

~v =(ab

)

Når den indtegnes fra et punkt P = (x; y) så giver den en pil sompeger på punktet (x + a; y + b). Derfor er pilen et linjestykke medhældningskoefficient:

α = ∆y∆x = (y + b)− y

(x+ a)− x = b

a

Hvis vektorenr · ~v =

(r · ar · b

)

side 21


indtegnes, så giver det en pil der peger på punktet

(x+ r · a; y + r · b)

Denne pil er et linjestykke med hældning:

β = ∆y∆x = (y + r · b)− y

(x+ r · a)− x = r · br · a

= b

a

Dette viser at de to pile er parallelle. Påstanden om deres længder eren del af sætning 4.

Øvelse 6

Lav en tegning som illustrerer sætning 6.

Sætning 6 leder til følgende definition:

Definition 10

To vektorer ~v og ~w kaldes parallelle hvis den ene kan skrives somen skalering af den anden. — Altså hvis der findes et reelt tal, r,sådan at enten r · ~v = ~w eller r · ~w = ~v

Bemærk at nulvektoren pr. definition er parallel med alle vektorer.

Øvelse 7 (Tolkning af vektordifferens)

Bevis at hvis vektorerne ~v =(a1b1

)og ~w =

(a2b2

)indtegnes fra

samme punkt, så er den forbindende vektor fra ~v’s endepunkt til~w’s endepunkt givet ved differensen:

~w − ~v

side 22


som illustreret på figuren nedenunder.

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

(Hjælp: For at bevise det, skal man først finde et udtryk for deto endepunkters koordinater, og dernæst beregne den forbindendevektors koordinater.)

side 23


5 PrikproduktetI dette afsnit vil vi definere et produkt af vektorer. –Altså en mådeat „gange“ to vektorer med hinanden.

Definition 11

Hvis ~v =(a1b1

)og ~w =

(a2b2

)er to vektorer, så defineres

prikproduktet af ~v og ~w som:

~v • ~w = a1 · a2 + b1 · b2

Man „prikker“ altså to vektorer med hinanden ved at gange deresførstekoordinater med hinanden, gange deres andenkoordinater medhinanden og lægge de to resultater sammen.

Bemærk (!!) at prikproduktet af to vektorer ikke giver en ny vek-tor, men en skalar. Af denne grund kaldes prikproduktet også noglegange “skalarproduktet”, men vi vil undlade det her, da det i nogleører kan lyde som om det er et produkt af skalarer. Observationen erdog så vigtig at vi lige rammer den ind:

Prikproduktet af to vektorer giver en skalar!

side 24


Øvelse 8

Beregn følgende prikprodukter: (Tegn gerne vektorerne først!)

a)(

23

)•(−11

)

b)(

00

)•(

64

)c) ~i •~j (Husk at disse to vektorer er indført i afsnit 3.4.)

d)(

21

)•(−816

)(Hvorfor giver det mon det det gør?)

Naturligvis skal vi også se på regneregler for prikproduktet. Detviser sig heldigvis igen at det nye produkt opfører sig præcis lige somvi er vant til at et produkt opfører sig:

Sætning 7 (Regneregler for prikproduktet)

Prikproduktet opfylder følgende regneregler:Den kommutative lov: Hvis ~v og ~w er vektorer, så er

~v • ~w = ~w • ~v

Den distributive lov: Hvis ~u, ~v og ~w er vektorer, så er

~u • (~v + ~w) = ~u • ~v + ~u • ~w

En homogenitetslov: Hvis ~v og ~w er vektorer og r er en skalar, såer

(r · ~v) • ~w = r · (~v • ~w) = ~v • (r · ~w)Prikprodukt og længde: Hvis ~v er en vektor, så er

~v • ~v = |~v|2

side 25


Hvis man skal forklare de tre første regler i ord, så siger denkommutative lov at „faktorernes orden er ligegyldig“, den distributivelov at „man må gange ind i parenteser“ og homogenitetsloven at deforskellige gangetegn er „lige hurtige“ i regnearternes hierarki, sådanat man kan prikke, skalere eller gange i den rækkefølge man har lysttil.

De fire regneregler er bevist i et seperat dokument3.

5.1 VinklerFor at forstå den geometriske betydning af prikproduktet, indfører viet par nye begreber:

Definition 12 (Vinkel mellem vektorer)

Hvis ~v og ~w er to vektorer som ikke er nulvektor, så definerer vivinklen mellem dem til at være den vinkel mellem 0◦ og 180◦ somopstår hvis ~v og ~w tegnes ud fra samme punkt.

Læg mærke til at man ikke definerer vinklen mellem nulvektor ogen anden vektor.

Bemærk også at der som regel dannes to forskellige vinkler når tovektorer tegnes ud fra samme punkt, men man vælger altid den somer mellem 0◦ og 180◦.

Definition 13 (Ortogonale vektorer)

To vektorer ~v og ~w kaldes ortogonale (eller: vinkelrette) hvis vink-len mellem dem er 90◦ eller hvis en af dem er nulvektor. Manskriver dette som:

~v ⊥ ~w

3Læs beviserne her

side 26


Figur 3: Vinklen mellem to vektorer

-2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

Bemærk at nulvektor af praktiske grunde siges at være vinkel-ret på alle vektorer. Dermed har vi defineret at nulvektor både erparallel med og vinkelret på alle vektorer. Selvom dette kan virkelidt forvirrende, er det med vilje! Det betyder nemlig at nogle af vo-res sætninger kan formuleres uden at skulle tage særlige hensyn tilnulvektoren.

Sætning 8

Hvis ~v og ~w er to vektorer som ikke er nulvektor, og α er vinklenimellem dem, så er:

~v • ~w = |~v| · |~w| · cos(α)

Denne sætning er meget nyttig, fordi den kan bruges til at findevinklen imellem to vektorer. Vi gemmer beviset til et andet doku-ment4 og viser i stedet et eksempel på hvordan den anvendes:

4Du kan finde beviset her

side 27


Eksempel 2

Lad os starte med vektorerne:

~v =(

27

)

og

~w =(−14

)Vi kan lynhurtigt beregne prikproduktet:

~v • ~w = 2 · (−1) + 7 · 4 = 26

og de to vektorers længder:

|~v| =√

22 + 72 =√

53

|~w| =√

(−1)2 + 42 =√

17

Dermed siger sætning 8 at:

26 =√

53 ·√

17 · cos(α)

dvs.cos(α) = 26√

53 ·√

17≈ 0,866

dvs.α ≈ cos−1(0,866) ≈ 30◦

Bemærk at cos−1 altid giver den (entydigt bestemte) vinkel mel-lem 0◦ og 180◦ som har den givne cosinusværdi. Derfor er det altidden rigtige vinkel som kommer ud når man bruger den inverse cosinusi sidste linje.

side 28


Øvelse 9

Find vinklen mellem vektorerne

~v =(

25412

)

og

~w =(−364

)

Sætning 8 har en meget nyttig konsekvens, nemlig at man megetnemt kan se om to vektorer er vinkelrette på hinanden eller ej:

Korollar 9 (Vinkelrette vektorer)

To vektorer, ~v og ~w er vinkelrette hvis og kun hvis deres prikpro-dukt giver nul. Sagt med symboler:

~v ⊥ ~w

m~v • ~w = 0

Bevis. Vektorerne er vinkelrette præcis hvis en af dem er nul (pr.definition) eller hvis cos(α) = 0. Dette er præcis de situationer hvorprikproduktet giver nul ifølge sætning 8.

(Ordet „Korollar“ betyder „gave“ på græsk, og det benyttes omnyttige sætninger, som kan bevises meget let ud fra andre sætninger.)

Bemærk at dette korollar er den tekniske grund til at man sigerat nulvektor er vinkelret på alle andre vektorer.

side 29


Øvelse 10

Er følgende to vektorer vinkelrette?

~v =(

1622

)og ~w =

(−19

4

)

5.2 ProjektionerHer kommer et begreb som er meget vigtigt i f.eks. fysik og statistik.For at gøre notationen lidt mindre gnidret vil vi droppe pile overvektorernes navne i resten af dette dokument.

Definition 14 (Projektion af vektor på vektor)

Hvis v og w er to vektorer, så definerer vi projektionen af v på wsom den vektor,

vw

der, når alle tre vektorer indtegnes fra samme punkt får situatio-nen på figur 4 til at opstå: Sådan at vw peger på den vinkelretteprojektion af v’s pilespids, på den linje som er parallel med w.

Hvis vinklen mellem v og w er stump, så ser situationen lidtanderledes ud, nemlig som vist på figur 5.

Bemærkninger

• De to vektorer spiller helt forskellige roller. Derfor skal manvære omhyggelig med at tale om den vektor som „projiceres“og den vektor som man „projicerer på“.

• Det giver ikke mening at projicere en vektor på nulvektor.

side 30


Figur 4: Projektionen af en vektor på en anden, hvis vinklen mellemdem er spids.

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

Figur 5: Projektionen af en vektor på en anden, hvis vinklen mellemdem er stump.

-2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

side 31


• Hvis vinklen mellem de to vektorer er 90◦, så bliver projektionennulvektor.

• Det er ligegyldigt om den vektor som man projicerer peger for-læns eller baglæns, og hvor lang den er. Man projicerer alligevelpå den stiplede forlængelse af denne vektor.

• Projektionen kan både blive længere end, kortere end og enddamodsat rettet den vektor man projicerer på.

Definition 14 er meget intuitiv, men til gengæld er den svær atbruge i praksis. Den fortæller nemlig ikke hvordan vi skal regne pro-jektioner ud. Det klarer følgende sætning:

Sætning 10 (Projektionen af en vektor på en anden)

Hvis v og w er to vektorer, så er projektionen af v på w givet ved:

vw = v • w|w|2

· w

Bevis. Vi vil lave projektionen i to skridt: Først laver vi en enheds-vektor (altså en vektor med længde 1) som peger i den retning somvw skal pege i. Derefter vil vi skalere denne enhedsvektor med denrigtige længde.

Fremgangsmåden er en lille smule forskellig alt efter som vinklenmellem v og w er spids eller stump. Vi tager den mest besværligesituation her, nemlig hvor vinklen er stump.

I dette tilfælde skal vw pege i den modsatte retning af w. (Se figur5.) En enhedsvektor som peger i den retning er:

− 1|w|· w

(Skaleringen med 1|w| giver en vektor med længde 1 som peger samme

vej som w, og fortegnsskiftet får den til at pege den modsatte vej.)

side 32


Nu er det bare spørgsmålet hvor lang projektionen skal være. Hvisvi kalder denne længde for x, så er x en jo katete i den retvinkledetrekant på figur 5. Hyptenusen i denne retvinklede trekant har sammelængde som v, altså |v|. Desuden har vi styr på den vinkel, β somligger mellem kateten med længde x og hypotenusen. Den er nemlig:

β = 180◦ − α

hvor α er vinklen mellem v og w.Det giver os en sammenhæng:

cos(β) = x

|v|

Dvs.

x = |v| · cos(β)= |v| · cos(180◦ − α)= −|v| · cos(α)

— Hvor vi i den sidste udregning benyttede at

cos(180◦ − α) = − cos(α)

Nu er der blot tilbage at skalere enhedsvektoren med den rigtigelængde for at få projektionen:

vw = x ·(− 1|w|· w)

= −|v| · cos(α) ·(− 1|w|· w)

= |v| · cos(α) · 1|w|· w

side 33


For at få det til at ligne den påståede formel, vil vi gange ogdividere med længden af w. Det giver:

vw = |v| · |w| cos(α) · 1|w|2

· w

= v • w · 1|w|2

· w

= v • w|w|2

· w

Øvelse 11

Gennemfør beviset for sætning 10 i den situation hvor vinklenmellem v og w er spids.

Øvelse 12

Beregn projektionen af v =(

24

)på w =

(−10

). Beregn også

projektionen af w på v.

5.3 OrtogonalkomposanterUdover at være et rigtig sejt ord, så er „ortogonalkomposanter“ megetvigtigt i f.eks. fysik. Og det behøver slet ikke være så mystisk somdet lyder: „komposanter“ betyder „bestanddele“ og „ortogonal“ er etfint ord for „vinkelret“.

Når man siger at en vektor „opdeles i ortogonalkomposanter“ be-tyder det bare at man vil skrive den som en sum af nogle vektorersom er vinkelrette på hinanden:

Det er heldigvis nemt på grund af begreberne fra sidste afsnit:

side 34


Sætning 11

Hvis v og w er to vektorer som er vinkelrette på hinanden, og uer en tredje vektor, så er:

u = uv + uw

Bevis. Hvis vi indtegner u, v og w fra det samme punkt og tilføjerde to projektioner, så vil det se ud som på figur 6. Eftersom de tremarkerede vinkler er rette, må vektorerne, u, uv og uw pege ud påhjørnerne i et rektangel. Og eftersom et rektangel er et parallellogram,viser tegningen samtidigt hvad der sker når uv og uw lægges sammen:Man får nemlig den vektor som peger diagonalt i det parallellogramsom de udspænder. Og det er jo u.

Figur 6: Projektioner af en vektor, u, på to ortogonale vektorer.

side 35


Øvelse 13

Lad v =(

13

), w =

(−31

)og u =

(79

). Kontroller at v og w

er vinkelrette på hinanden. Beregn projektionerne uv og uw. Ogkontroller til sidst at

u = uv + uw

Definition 15

Hvis v og w er to vektorer som er vinkelrette på hinanden, og uer en tredje vektor, så kaldes de to projektioner

uv og uw

for u’s ortogonalkomposanter langs v og w.Man siger at u opdeles i ortogonalkomposanter efter v og w,

idet man skriver:u = uw + uv

En særligt pæn situation er hvis de to vinkelrette vektorer erenhedsvektorer. Det har man et specielt navn til:

Definition 16

Hvis v og w er to enhedsvektorer som er vinkelrette på hinanden,så kalder man dem en ortonormalbasis for det todimensionellekoordinatsystem.

Bemærk at de to vektorer ~i og ~j som vi definerede i afsnit 3.4udgør en ortonormalbasis.

Det er specielt nemt at opdele en vektor i ortogonalkomposanterefter en ortonormalbasis:

side 36


Sætning 12

Hvis v og w udgør en ortonormalbasis, og u er en tredje vektor,så er dens opdeling i ortogonalkomposanter efter v og w:

u = (u • v) · v + (u • w) · w

Bevis. Dette er en direkte konsekvens af sætning 11 og formlen frasætning 10, idet v og w har længde 1.

Øvelse 14

Lad u =(

16−12

). Opdel u i ortogonalkomposanter efter vekto-

rerne ~i og ~j. Er du overrasket over resultatet?

5.4 Ortogonalkomposanter i fysikDette afsnit er lidt sværere end de andre, og det kan sagtens springesover hvis man er ved at være træt. Formålet er at vise at de projek-tioner som man laver i fysik af f.eks. kraftvektorer er de samme somdem vi har snakket om her.

I fysik er det meget sjældent at man har konkrete vektorer til atangive de to vinkelrette retninger. I stedet kender man ofte en særligtvigtig retning (f.eks. „vandret“ eller „opad“), hvortil alle vektorerdanner en vinkel.

I denne situation kan man altid (selvom det tit bliver gjort uden afnævne det) vælge en enhedsvektor, v, som peger i den særligt vigtigeretning, og en anden enhedsvektor, w, som peger vinkelret på denneretning.

Man skal dog lige passe på at der er to gode muligheder for atvælge w. Her er man nødt til at vælge efter en ret kompliceret regel

side 37


for at få det til at passe:

Definition 17 (En tradition fra fysik)

Hvis u er en vektor som danner vinklen α til en enhedsvektor v, ogvi skal bruge en enhedsvektor, w som er vinkelret på v, så vælgervi w sådan at vinklen mellem u og w bliver mellem 0◦ og 90◦.

Hvis α = 0◦ eller α = 180◦ er det ligegyldigt hvilken af de tomuligheder vi vælger.

Det kan enten se ud som på figur 7 eller 8 alt efter om α erspids eller stump.

Figur 7: Valg af w hvis α er spids.

Dette valg er lidt underligt, og det ville nok være mere oplagtat vedtage at man altid „drejede i samme retning fra v“ (se næsteafsnit!), men dette valg har en eneste fordel, nemlig at den næstesætning bliver rigtig:

side 38


Figur 8: Valg af w hvis α er stump.

Sætning 13 (Ortogonalkomposanter ud fra en vinkel)

Hvis v er en enhedsvektor, u er en vektor som danner vinklen αmed v, og w er en enhedsvektor som er valgt vinkelret på v efterovenstående regel, så kan u opdeles i ortogonalkomposanter ved:

u = |u| · cos(α) · v + |u| · sin(α) · w

Bevis. Fra sætning 12 har vi opdelingen:

u = (u • v) · v + (u • w) · w

Ved at bruge sætning 8 kan det omskrives til:

u = |u| · |v| · cos(α) · v + |u| · |w| · cos(β) · w= |u| · cos(α) · v + |u| · cos(β) · w

–Hvor β er vinklen mellem u og w. Men på grund af vores kom-plicerede valg af w, er β enten givet ved:

β = 90◦ − α (Hvis α er spids)

side 39


eller ved:β = α− 90◦ (Hvis α er stump)

I begge tilfælde er:cos(β) = sin(α)

og dermed er sætningen bevist.

De to ortogonalkomposanter kaldes ofte for „parallelkomposan-ten“ og „vinkelretkomposanten“ af u. Og sætning 13 forklarer altsåden kendte huskeregel fra fysik:

„Parallelkomposanten findes ved at gange med cosinus, og vinkel-retkomposanten ved at gange med sinus.“

side 40


6 Tværvektor og DeterminantTil sidst skal vi lige definere to begreber mere (og et enkelt hjælpe-begreb).

Når vi senere skal arbejde med vektorer i rummet, så vil du opdageat alt som er foregået indtil nu også kan siges om tredimensionelle(og endnu højere dimensionelle) vektorer. Begreberne i dette afsniter derimod helt specielle5 for det todimensionelle koordinatsystem.

6.1 TværvektorVi starter med en definition:

Definition 18 (Tværvektor)

Hvis

v =(ab

)så definerer vi v’s tværvektor, v̂ (læses: „v-hat“) som:

v̂ =(−ba

)

Sætning 14

Hvis v er en vektor, så er v̂ en vektor som har samme længde somv og er vinkelret på v.

5For nu at være præcis: Tværvektorbegrebet og „vinkel med fortegn“ findesudelukkende i to dimensioner. Determinanter findes også i højere dimensioner,men det er ikke noget man tager til to vektorer, men derimod til en såkaldtmatrix.

side 41


Bevis. Navngiv v’s koordinater:

v =(ab

)

Dermed erv̂ =

(−ba

)Prikproduktet af disse to er:

v • v̂ =(ab

)•(−ba

)= a · (−b) + b · a = 0

Dette viser at v̂ er vinkelret på v. Længderne er ens, idet:

|v̂| =√

(−b)2 + a2 =√a2 + b2 = |v|

Det beviser sætningen.

For at huske hvordan tværvektorer beregnes bør man bruge defini-tionen så mange gange at det kommer til at „ligge i hånden“ hvordanman „bytter om på de to koordinater og skifter fortegn på den somender for oven“.

Øvelse 15

Lad v =(

23

). Beregn v̂. Udregn også ̂̂v (altså tværvektoren til

tværvektoren). Udregn til sidst ̂̂̂v og tegn de tre vektorer ud fradet samme punkt.

6.2 Vinkel med fortegnNår du har lavet øvelsen i sidste afsnit, så har du nok opdaget aten vektors tværvektor består af en drejning mod urets retning, altså

side 42


den retning som kaldes „positiv omløbsretning“ i matematik. For atholde bedre styr på hvilken vej en vektor er roteret i forhold til enanden indfører vi et mere præcist vinkelbegreb:

Definition 19 (Vinkel med fortegn)

Hvis v og w er to vektorer, så definerer vi vinklen fra v til w til atvære den sædvanlige vinkel mellem de to vektorer, angivet medet fortegn:

Hvis vinklen går fra v til w i positiv omløbsretning (modsaturets retning), angives vinkel som positiv, og hvis den går fra vtil w i negativ omløbsretning, angives den som negativ.

Hvis vinklen mellem v og w er præcis 180◦, så sættes vinklenmed fortegn til at være positiv.

Bemærk at mens man godt kan tale om vinklen (uden fortegn)„mellem“ to vektorer, så er det meget vigtigt at angive hvilken af deto vektorer der måles fra og til når man angiver vinkler med fortegn.

Eksempel 3

Om de to vektorer v og w som er indtegnet ud fra det sammepunkt på figuren nedenfor gælder f.eks. at vinklen fra v til w ercirka 70◦, hvorimod vinklen fra w til v er cirka −70◦.

side 43


6.3 DeterminantVi er nu klar til at definere et værktøj som (bl.a.) kan bruges tilhurtigt at se om to vektorer er parallelle eller ej (på samme mådesom prikproduktet kan vise om de er vinkelrette eller ej.)

Definition 20 (Determinant)

Hvis v =(a1b1

)og w =

(a2b2

), definerer vi

determinanten af v og w som:

det(v, w) =∣∣∣∣∣ a1 a2b1 b2

∣∣∣∣∣ = a1 · b2 − a2 · b1

Denne definition er svær at vænne sig til. Læs den grundigt ogforsøg at få en fornemmelse af hvordan notationen∣∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣virker: Man skal forestille at man kører igennem firkanten fra øverstevenstre hjørne og ned til nederste højre, mens man læser “dén gan-ge dén”. Dernæst hopper man op til øverste højre hjørne, idet mantænker “miiiinus...” Til sidst kører man fra øverste højre hjørne (ogned til nederste venstre, idet man igen læser “dén gange dén”. – Påsamme måde som når man tegner en fisk.

Eksempel 4

Hvis v =(

2−4

)og w =

(−1107

), så kan vi udregne:

det(v, w) =∣∣∣∣∣ 2 −1−4 107

∣∣∣∣∣ = 2 · 107− (−1) · (−4) = 214− 4 = 210

side 44


Øvelse 16

Udregn følgende determinanter:

•∣∣∣∣∣ 1 2

3 4

∣∣∣∣∣•∣∣∣∣∣ 1 3

2 6

∣∣∣∣∣•∣∣∣∣∣ 0 0

1 1

∣∣∣∣∣

Øvelse 17

Udregn det(v, w) hvor v =(

12

)og w =

(26

). Udregn også

det(w, v).

Lad os bevise nogle resultater om determinanten. Først skal vi seat den hænger sammen med prikproduktet og begrebet „tværvektor“som vi indførte i sidste afsnit:

Sætning 15

Hvis v og w er vektorer, så er

det(v, w) = v̂ • w

side 45


Bevis. Kald vektorernes koordinater for v =(a1b1

)og w =

(a2b2

).

Vi udregner:

det(v, w) =∣∣∣∣∣ a1 a2b1 b2

∣∣∣∣∣ = a1b2 − a2b1

og

v̂ • w =(−b1a1

)•(a2b2

)= (−b1) · a2 + a1 · b2 = a1b2 − a2b1

De to udregninger giver sørme det samme.

Dernæst en sammenhæng som ligner sætning 8 lidt:

Sætning 16

Hvis v og w er vektorer, og α er vinklen (med fortegn!) fra v tilw, så er:

det(v, w) = |v| · |w| · sin(α)

Bevis. Ved hjælp af sætning 15, 8 og 14 kan vi omskrive:

det(v, w) = v̂ • w= |v̂| · |w| · cos(β)= |v| · |w| · cos(β)

— hvor β er vinklen (uden fortegn) mellem v̂ og w.Nu er der fire situationer som skal behandles lidt forskelligt. (Se

figur 9).I hver af situationerne er vinklen (med fortegn) fra v til w givet

ved:

side 46


Figur 9: De fire muligheder i beviset for sætning 13

A: B:

C: D:

Situation A: α = 90◦ − βSituation B: α = 90◦ + β

Situation C: α = −(270◦ − β) = β − 270◦ = 90◦ + β − 360◦

Situation D: α = −(β − 90◦) = 90◦ − β

Men det betyder under alle omstændigheder at:

sin(α) = sin(90◦ ± β) = cos(β)

Så derfor følger omskrivningen:

det(v, w) = |v| · |w| · cos(β)= |v| · |w| · sin(α)

Denne sætning medfører øjeblikkeligt følgende nyttige konklusion:

side 47


Korollar 17

Hvis v og w er to vektorer, så giver deres determinant nul præcishvis de er parallelle. Sagt med symboler:

det(v, w) = 0mv ‖ w

— hvilket forklarer navnet „determinant“. At „determinere“ betyderat „bestemme“ eller „afgøre“, og determinanten af to vektorer afgøraltså om de er parallelle eller ej.

Bevis. Selvom argumentet er næsten det samme, bør man bevise hverat de to implikationer seperat.

„⇓“: Hvis determinanten giver nul, så medfører sætning 16 entenat en af de to vektorer har længde nul, eller også at sin(α) = 0. Detførste betyder at en af vektorerne er nulvektor, og det sidste betyderat vinklen mellem dem er enten 0◦ eller 180◦. Eftersom vi har defineretnulvektor til at være parallel med alle andre vektorer betyder beggedele at de to vektorer er parallelle.

„⇑“: Hvis de to vektorer er parallelle, så er det enten fordi en afdem er nulvektor eller fordi vinklen mellem dem er 0◦ eller 180◦. Ibegge tilfælde giver sætning 16 at determinanten må være nul.

6.4 Det udspændte arealTil allersidst en konkret anvendelse af determinanten:

Sætning 18 (Areal af det udspændte parallellogram)

Hvis v og w er to vektorer som indtegnes fra det samme punkt, så

side 48


udspænder de et parallellogram (se figur 10) med areal A, hvor:

A = | det(v, w)|

Figur 10: To vektorers udspændte parallellogram

Bevis. Beviset er utroligt enkelt når bare man får tegnet den rigtigetegning. (Se figur 11). Vi indtegner en højde i parallellogrammet ogtilføjer vinklen (med fortegn), α fra v til w.

Nu opstår der en retvinklet trekant, hvor vi hurtigt kan beregneh, fordi:

sin(α) = h

|w|dvs.

h = |w| · sin(α)og dermed er parallellogrammets areal:

A = |v| · h = |v| · |w| · sin(α)

hvilket er det samme som determinanten af v og w ifølge sætning13.

side 49


Figur 11: Arealet af det udspændte parallellogram

Desværre tog ovenstående bevis udgangspunkt i en tegning (figur11) , og vi kan ikke være sikre på at situationen altid ser helt sådan ud.Derfor vil vi lige slutte af med at forsvare påstanden i de irriterendetilfælde hvor tegningen ser lidt anderledes ud.

Tilfælde 1: Vinklen fra v til w er stump.

For det første kan det tænkes at vinklen fra v til w bliver større end90◦.

I dette tilfælde er det ikke α, men derimod β = 180◦ − α som ervinkel i en retvinklet trekant sammen med modstående katete h oghypotenuse |w|. Så derfor får vi arealet:

A = |v| · h = |v| · |w| · sin(β) = |v| · |w| · sin(180◦ − α)

Men eftersomsin(α) = sin(180◦ − α)

er dette også lig med determinanten af v og w.

side 50


Tilfælde 2: Vinklen fra v til w er negativ.

For det andet kan det tænkes at v og w „bytter plads“ i tegningen,sådan at vinklen fra v til w bliver negativ. Denne mulighed er helegrunden til at der er en „nummerisk værdi“ i vores sætning, for ind-til nu har arealet jo været lig med determinanten (uden nummeriskværdi). Men når α er negativ, så skifter sin(α) fortegn, hvilket igenbevirker at determinanten bliver negativ.

Den nemmeste måde at håndtere dette tilfælde på er simpelt henat bruge vores argumenter ovenfra med v og w byttet om. (Sådanat vi snakker om vinklen fra w til v, som jo er positiv.) Dermed nårvi frem til at arealet af det parallellogram som w og v udspænder(hvilket selvfølgelig er det samme som det parallellogram som v og wudspænder) er givet ved:

A = det(w, v) = − det(v, w)

Men eftersom determinanten er negativ, betyder − det(v, w) præcisdet samme | det(v, w)|, og det var hvad vi påstod at arealet ville være.

side 51

Documents

Todimensionale Vektorermatbog.dk/Matbog2/arkiv/13034103627974.pdf · 2012. 2. 8. · Todimensionale Vektorer Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011.c Dette dokument må kun anvendes