Ordbog over Symboler - MatBogmatbog.dk/Matbog2/arkiv/13034100371865.pdf · Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011.c Dette dokument må kun anvendes til undervisning

Ordbog over Symboler

Frank Nasser

20. april 2011

c©2008-2011.Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som

abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis

ikke er den nyeste tilgængelige.

http://matbog.dkhttp://matbog.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=25&Itemid=41

Indhold1 Introduktion 1

1.1 Om at læse matematiske symboler . . . . . . . . . . . 1

2 Matematisk grammatik 22.1 Udtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Konjunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Udtryk 5

4 Operationer 7

5 Relationer 9

6 Konjunktioner og andre logiske forkortelser 11

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Resumé

Dette dokument er en oversigt over nogle af de symbolerder anvendes i matematik og deres betydning.

1 IntroduktionPå de følgende sider kan du finde en oversigt over nogle af de mate-matiske symboler og deres betydninger og anvendelser. Oversigten erlavet som en slags ordbog, og den bør også bruges på den måde: Havden altid i nærheden når du læser andre tekster, og brug den hvergang du støder på et symbol du ikke er sikker på betydningen af.

Ud for hvert symbol er der angivet hvordan symbolet skal læses,hvilen sammenhæng det normalt optræder i samt et eksempel påanvendelse af det.

1.1 Om at læse matematiske symbolerDet er altid frustrerende at lære et nyt sprog, fordi man hele tidenstøder på ord som man ikke har lært eller ikke kan huske betydningenaf. Det betyder at man læser ekstremt langsomt i starten og hele tidenskal slå op i sin ordbog.

I mange tilfælde kan man dog, ved hjælp af lidt detektivarbejde,gætte et ords betydning ud fra den sammenhæng det indgår i. Detsparer en masse tid, og giver samtidigt en fantastisk støtte når manlæser, fordi man hele tiden kan kontrollere sig selv ved at tjekke atsammenhængen passer sammen med den betydning man tillæggerordet. Her er et eksempel på polsk:

Muszȩ iść na dworzec po bilety

Hvis du får at vide at Muszȩ betyder „Jeg skal“, iść betyder „gå“,na betyder „til“ og po betyder „efter“, så ved du også hvad resten afsætningen betyder. — Hvorfor egentlig det?

side 1


For det første kan dworzec under ingen omstændigheder betyde„tredive“, „at flyve“ eller „forelsket“. Det ville ganske enkelt ikke passeind i sammenhængen. Derimod er der nok stor sandsynlighed for atdet betyder et eller andet sted, hvor man kan gå hen. Hvis man såsamtidigt er lidt modig og gætter på betydningen af bilety, er derikke ret langt til betydningen af sætningen.

Selvfølgelig er man på et tidspunkt nødt til at kontrollere at manhar gættet rigtigt. Især hvis den præcise betydningen er vigtig. Meni første omgang har man altså forstået den overordnede mening medsætningen, uden at kende alle ordene.

Præcis det samme gør sig gældende i matematik. Når du ser etsymbol du ikke kender, skal du derfor altid starte med at få så megetinformation ud af den „grammatiske“ sammenhæng som det indgåri. Det kan hjælpe at stille følgende spørgsmål:• Står symbolet alene? Står det foran, bagved eller måske på beg-

ge sider af et enkelt objekt? — Eller står det mellem to objekter?

• Hvis symbolet står sammen med et eller flere objekter, er disseobjekter så mængder, tal, funktioner, udsagn eller noget andet?

• Hvis symbolet indgår i en større helhed, er denne helhed så etudsagn eller et udtryk?

Alle disse spørgsmål kan som regel besvares uden at kende symbo-lets betydning, og de vil helt sikkert hjælpe dig i retning af at forståsymbolet.

Nogle gange er det ligefrem nødvendigt at se på den sammenhænget symbol indgår i for at vide hvad det betyder. For eksempel betydersymbolet „|“ noget helt forskelligt alt efter som det står mellem toudsagn inde i en mængdeparentes, eller det står mellem to hele tal.

2 Matematisk grammatikEftersom de matematiske symboler er svære at opstille alfabetisk, harvi i denne ordbog opdelt dem efter deres „grammatiske“ klasse. Lige-

side 2


som ethvert andet sprog består af udsagnsord, navneord, forholdsordo.s.v. har matematik forskellige typer „ord“. Disse typer er kort gen-nemgået i dette afsnit.

2.1 UdtrykUdtrykkene fungerer præcis lige som navneordene i andre sprog. Deter de objekter som vi snakker om, undersøger og beskriver.

Et udtryk kan både bestå af et enkelt symbol (f.eks. N) eller væresammensat af adskillige andre udtryk (f.eks. x2 + 2x− y).

Langt de fleste udtryk bliver defineret undervejs i matematisketekster, og kan let skifte betydning fra situation til situation. (Tænkf.eks. på hvor mange forskellige ting x kan betyde.) Der er dog enkeltefaste udtryk som altid betyder det samme, og det er et udpluk af dissesom er samlet i den første liste nedenfor.

2.2 OperationerOperationer bliver brugt til at forme nye, sammensatte udtryk ud fragamle udtryk. En operation udtrykker altid at der er gjort noget vedet eller flere udtryk, hvorved der er fremkommet et nyt.

For eksempel, består udtrykket:

x+ y

af to mindre udtryk (nemlig x og y) og en operation, som er udførtpå dem (nemlig at de er blevet lagt sammen). Dette resulterer i etnyt udtryk der læses som „summen af x og y“.

En operation vil altid stå mellem, rundt om eller sammen med eteller flere udtryk, og den vil altid danne et nyt, samlet udtryk.

2.3 RelationerRelationer i matematik er det samme som i alle andre sprog. Det er deudsagnsord som udtrykker hvad en ting har med en anden ting (eller

side 3


flere andre ting) at gøre. I hverdagssprog har vi masser af eksemplerpå relationer. F.eks.

• at gå i klasse med

• at holde af

• at sidde på

• at være i familie med

En relation står næsten altid mellem to udtryk, og den vil altiddanne et udsagn.

2.4 KonjunktionerKonjunktioner eller „bindeord“ forekommer i matematik på præcissamme måde som i andre sprog. Det er de ord, som binder udsagnsammen. Nogle eksempler fra hverdagssprog, der også forekommer imatematik er:

• „og“ – som i: „Toget var forsinket, og jeg blev irriteret“.

• „men“ – som i: „Toget var forsinket, men jeg nåede alligevelfrem til tiden“.

• „fordi“ – som i: „Toget var forsinket fordi personalet strejkede“.

• „eller“ – som i: „Toget var forsinket eller også var mit ur foran“.

• „derfor“ – som i: „Toget var forsinket, og derfor blev jeg irrite-ret“.

• „hvis - så“ – som i: „Hvis toget var forsinket, så ville jeg bliveirriteret“.

En konjunktion står næsten altid mellem to udsagn, og den vilaltid danne et udsagn.

side 4


3 UdtrykLæses som: De naturlige tal

N Anvendes: SelvstændigtEksempel: N er en mængdeLæses som: De hele tal

Z Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: De rationelle tal

Q Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: De reelle tal

R Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: De positive reelle tal

R+ Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: De negative reelle tal

R− Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: De komplekse tal

C Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: Den tomme mængde

∅ Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: Mængden bestående af

{ } Anvendes: Rundt om elementerneEksempel: {1, 2, π}Læses som: Det lukkede interval

[ ] Anvendes: Rundt om endepunkterneEksempel: [2, 7]

side 5


Læses som: Det åbne interval] [ Anvendes: Rundt om endepunkterne

Eksempel: ]2, 7[Læses som: Uendelig

∞ Anvendes: SelvstændigtEksempel: [3,∞[Læses som: Det todimensionelle koordinatsystem

R2 Anvendes: SelvstændigtEksempel:Læses som: Det tredimensionelle koordinatsystem

R3 Anvendes: SelvstændigtEksempel:

side 6


4 OperationerLæses som: Plus

+ Anvendes: Mellem to udtrykEksempel: x+ 8Læses som: Minus

− Anvendes: Mellem to udtrykEksempel: x− 8Læses som: Gange

· Anvendes: Mellem to udtrykEksempel: 8 · xLæses som: Divideret med

()() Anvendes: Med et udtryk i hver af parenteserne

Eksempel: x8Læses som: Opløftet i

()() Anvendes: Med et udtryk i hver af parenteserneEksempel: x8Læses som: Summen af∑ Anvendes: Foran et indekseret udtrykEksempel:

6∑k=1

k2

Læses som: Produktet af∏ Anvendes: Foran et indekseret udtrykEksempel:

6∏k=1

k

Læses som: Forenet med∪ Anvendes: Mellem to mængder

Eksempel: A ∪ NLæses som: Snittet med

∩ Anvendes: Mellem to mængderEksempel: B ∩Q

side 7


Læses som: Fraregnet\ Anvendes: Mellem to mængder

Eksempel: Z \ NLæses som: Nummerisk værdi

| | Anvendes: Rundt om et talEksempel: |x+ 1|Læses som: Afstanden mellem

| | Anvendes: Rundt om to punkterEksempel: |AB|Læses som: Længden af

| | Anvendes: Rundt om en vektorEksempel: |~v|Læses som: Sammensat med

◦ Anvendes: Mellem to funktionerEksempel: f ◦ gLæses som: Prikproduktet

• Anvendes: Mellem to vektorerEksempel: ~a •~bLæses som: Krydsproduktet

× Anvendes: Mellem to tredimensionelle vektorerEksempel: ~a×~b

side 8


5 RelationerLæses som: Er lig med

= Anvendes: Mellem to udtrykEksempel: 2 · x = 3 · yLæses som: Er forskellig fra

6= Anvendes: Mellem to udtrykEksempel: 2 · x 6= 3 · yLæses som: Er afrundet til

≈ Anvendes: Mellem to taludtrykEksempel: π ≈ 3,1416Læses som: Er kongruent med

≡ Anvendes: Mellem to heltalsudtrykEksempel: 7 ≡ 127 mod 5Læses som: Er større end

> Anvendes: Mellem to taludtryk (det største tilvenstre)

Eksempel: 2 · x > 3 · yLæses som: Er mindre end

< Anvendes: Mellem to taludtryk (det største til høj-re)

Eksempel: 2 · x < 3 · yLæses som: Er større end eller lig med

≥ Anvendes: Mellem to taludtryk (se >)Eksempel: 2 · x ≥ 3 · yLæses som: Er mindre end eller lig med

≤ Anvendes: Mellem to taludtryk (se


Læses som: Går ikke op i6 | Anvendes: Mellem to heltalsudtryk (se |)

Eksempel: 2 6 | 23Læses som: Er parallel med

‖ Anvendes: Mellem to rette linjerEksempel: l ‖ mLæses som: Er vinkelret på

⊥ Anvendes: Mellem to rette linjerEksempel: l ⊥ mLæses som: Tilhører

∈ Anvendes: Mellem et element (til venstre) og enmængde (til højre)

Eksempel: 2 ∈ ZLæses som: Tilhører ikke

/∈ Anvendes: Mellem et element (til venstre) og enmængde (til højre)

Eksempel: π /∈ QLæses som: Er en delmængde af

⊆ Anvendes: Mellem to mængder (mængden til ven-stre er en delmængde af den til højre)

Eksempel: N ⊆ QLæses som: Er ikke en delmængde af

6⊆ Anvendes: Mellem to mængder (se ⊆)Eksempel: {1, 2, π} 6⊆ QLæses som: Går imod

→ Anvendes: Mellem to udtryk (tallet til venstrenærmer sig tallet til højre)

Eksempel: x→∞

side 10


6 Konjunktioner og andre logiske forkor-telser

Læses som: Og∧ Anvendes: Mellem to udsagn

Eksempel: x ∈ N ∧ x > 3Læses som: Eller

∨ Anvendes: Mellem to udsagnEksempel: x = 1 ∨ x = 2Læses som: Som opfylder at

| Anvendes: Som „Mængdebygger“Eksempel: {x ∈ N | x > 3}Læses som: Det vil sige

Dvs. Anvendes: Mellem to udsagnEksempel: x er lige, dvs. 2 | xLæses som: Hvilket skulle vises

q.e.d. Anvendes: I slutningen af et bevisEksempel:Læses som: Hvis . . . så . . .

⇒ Anvendes: Mellem to udsagnEksempel: x2 = 1⇒ x 6= 0Læses som: For alle . . .

∀ Anvendes: Foran to udsagn med kolon imellemEksempel: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0Læses som: Der eksisterer . . .

∃ Anvendes: Foran to udsagn med kolon imellemEksempel: ∃x ∈ R : x2 = 2

side 11

IntroduktionOm at læse matematiske symboler

Matematisk grammatikUdtrykOperationerRelationerKonjunktioner

UdtrykOperationerRelationerKonjunktioner og andre logiske forkortelser

Documents

Ordbog over Symboler - MatBogmatbog.dk/Matbog2/arkiv/13034100371865.pdf · Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011.c Dette dokument må kun anvendes til undervisning