Integrationsteknikker - matbog.dkmatbog.dk/Matbog2/arkiv/13904219089481073.pdf · (bestemt) integral både kan og bør beregnes ved en såkaldt numerisk metode, hvor en computer laver

Integrationsteknikker

Frank Villa

22. januar 2014

Dette dokument er en del af MatBog.dk©2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9.Se yderligere betingelser for brug her.

http://matbog.dk

http://matbog.dk/index.php?show=3

Indhold

1 Introduktion 12 Numerisk integration 2

2.1 Fejlestimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Stamfunktioner 5

3.1 At vise at en given funktion er en stamfunktion . . 84 Bestemte integraler ved hjælp af stamfunktioner 95 Simple omskrivninger 12

5.1 Linearitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Indskudsreglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Partiel integration 177 Substitutionsmetoden 25

©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionarkiv

Resumé

I dette dokument giver vi eksempler på hvordan forskelligeintegrationsteknikker bruges, både til at finde stamfunktionerog til at beregne bestemte integraler.

1 IntroduktionSynes du at det er svært at integrere? Det er faktisk ikke nødvendig-vis dårligt hvis du gør. Der er et berømt citat (jeg kan desværre ikkefinde ud af hvem der har sagt det første gang) som lyder:

Differentiation er håndværk. Integration er kunst.

Dette citat beskriver situationen meget godt. Når man differen-tierer, så skal man bare „følge reglerne“ og „regne sig frem“ til re-sultatet. Når det kommer til integration, så findes der næsten ingen„regler“ og dem som findes passer sjældent til det problem man harforan sig.

Dette kan både opfattes som en god og en dårlig nyhed. Den godedel består i at man faktisk er i sin gode ret til at kalde det „svært“.Og endnu bedre: Når det kommer til bestemt integration (den enesterigtige form for integration), så er det helt i orden at finder på ikke-eksakte måder at beregne integralerne på, fordi de eksakte værdiersimpelt hen kan være umulige at regne ud.

Derfor starter vi også dette dokument med at fastslå at ethvert(bestemt) integral både kan og bør beregnes ved en såkaldt numeriskmetode, hvor en computer laver alt arbejdet og afleverer en approk-simativ værdi af integralet.

Bagefter ser vi på nogle teknikker hvor man rent faktisk kan reg-ne en eksakt værdi ud uden brug af computere. Hvorfor skal man såkende dem, spørger du? Jo, for det første giver det en vis tilfreds-hed at kunne beregne et resultat eksakt, og uden at stole på at encomputer gør alting rigtigt. Men for det andet findes der masser af

side 1


situationer, hvor det er den teoretiske omskrivning af et integral derer interessant, og ikke integralets værdi. Når man f.eks. arbejder medukendte funktioner, så er computerens numeriske metoder kompletubrugelige.

Forudsætninger

Inden du læser dette dokument bør du vide alt om differentiation affunktioner. Det er især vigtigt at du kender reglerne for differentia-tion. Så hvis du er typen som bruger en maskine tl at differentiere,så stopper dit eventyr desværre her indtil du har lært at gøre det ihånden.

Desuden er det en god ide at du allerede kender lidt til begrebetintegration, men det er ikke nødvendtigt.

2 Numerisk integrationVi starter som nævnt med den gode nyhed: Alle konkrete integralersom du nogensinde møder kan beregnes uden at du behøver lavenoget som helst!

At integrere en funktion går jo (løst sagt) ud på at finde arealetmellem dens graf og x-aksen i et givet interval. Dette kan gøres ved atdele x-aksen op i en masse små intervaller, vælge et element i hvertinterval, beregne funktionsværdien af disse elementer, og til sidstudregne arealet som summen af en en masse tynde kassers arealer1.

Dette er en beregning som man nemt kan lære en computer atudføre, og det har man naturligvis også gjort. Ethvert grafprogramvil have en funktion indbyget til at foretage „numerisk integration“af en given funktion på et givet interval.

1 Det kan du læse meget mere om her

side 2


Eksempel 1.Lad os sige at jeg vil udregne følgende (gyselige) integral:

∫ 10

−1esin(x) dx

Jeg griber straks ud efter et computerprogram som kan gøre det formig. I mit program starter jeg med at tegne grafen for den funktionsom skal integreres. Altså funktionen f , givet ved forskriften:

f(x) = esin(x)

Derefter vælger jeg noget som hedder „integration“ og angiver atintegralet skal løbe fra x = −1 til x = 10, og vupti, så får jegfølgende resultat:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

1

2

3

Samtidigt med at programmet fortæller mig at det skraverede arealer cirka lig med 15,2553.

Derfor kan jeg tillade mig at skrive at:∫ 10

−1esin(x) dx ≈ 15,2553

(Samtidigt med at jeg oplyser at integralet er udregnet ved „nume-risk integration“.)

side 3


Bemærk!

• Man kan ikke tillade sig at skrive „=“ når man har foretagetnumerisk integration. Ikke engang hvis integrationen havde givetresultatet 15. En numerisk integration giver altid en approximativværdi af integralet.

• Jeg kan til gengæld være temmeligt sikker på at den eksakte værdiaf integralet vil være lig med 15,2553 hvis man afrunder det tildette antal cifre. Man siger at det oplyste tal er korrekt „op tildet oplyste antal cifre“. Altså at fejlen er så lille at den ikke harindflydelse på de oplyste cifre.

• Der kan nogle gange være flere forskellige numeriske metoder atvælge imellem. De hedder navne som f.eks. „Euler“, „Romberg“eller „RK4“.

2.1 FejlestimeringDe fleste metoder til numerisk integration har samtidigt indbyggeten måde at vurdere hvor stor fejlen højst kan være i forhold til deteksakte resultat. På den måde kan metoden vælge at forbedre præ-cisionen (ved at vælge en findere inddeling af intervallet) indtil mankan garantere at fejlen er mindre end f.eks. 0, 00001. På den mådekan man garantere at alle de oplyste cifre er korrekte, i den forstandat det eksakte resultat ville blive afrundet til det oplyste tal hvis manafrundede til dette antal cifre.

Bemærk dog at det langtfra er alle programmer som husker atgøre dette! Det er derfor en god ide at du tester dit program ved atudregne nogle af de integraler som du ved hvad skal give. Hvis der såer uoverensstemmelse på de sidste decimaler, så er det nogle fjolsersom har lavet programmet.

side 4


3 StamfunktionerSom jeg har snakket om flere andre steder, så er den eneste rigtigeform for integration den som vi kalder „bestemt integration“ – altsåden hvor der er grænser på integralet.

Men det viser sig at denne form for integration har en masse atgøre med noget andet, nemlig stamfunktionsbegrebet. Faktisk kunneman udregne et hvilket som helst integral så nemt som ingenting hvisbare man kunne finde stamfunktioner til alle funktioner i verden. (Seafsnit 4)

Derfor kalder man nogle gange det at finde stamfunktioner forubestemt integration. Jeg synes det er et dumt navn, men du børalligevel kende det, fordi du kan møde folk som bruger det2.

Eksempel 2.Hvis nogen beder dig om en stamfunktion til en eller anden funktion,så skal du tænke:

„Har jeg nogen sinde differentieret en funktion og fået det-te her som resultat?“

Så, for eksempel hvis jeg beder om en stamfunktion til funktionenf , givet ved:

f(x) = sin(x)

Så starter du med at tænke over hvilke funktioner der kunne blivetil den når man differentierer dem. Du kommer sikkert først i tankerom funktionen g1 givet ved:

g1(x) = cos(x)

2 Du er velkommen til at forklare dem at det er dumt. Du har læse en længerebegrundelse her.

side 5

http://matbog.dk/index.php?show=8&mb2dok=87


(bemærk hvor fint bogstavet g i dette tilfælde kan stå for „gæt“).Men det er forkert, fordi når man differentierer den, så giver det:

g′1(x) = − sin(x)

og det er jo ikke f . Men så kan vi samtidigt huske på at et minus jobare er det samme som at gange med −1. Og sådan en „multiplikativkonstant“ bliver jo stående når man differentierer. Derfor kan vi istedet gætte på g2 givet ved:

g2(x) = − cos(x)

Dermed bliver den afledede nemlig:

g′2(x) = −(−(sin(x))) = sin(x) = f(x)

Så g2 er en glimrende stamfunktion til f .

Du gør klogt i at lære så mange stamfunktioner udenad som mu-ligt. Du bør som minimum kunne huske dem som står her.

Men desværre er det slet ikke nok. Det behøver kun at blive enlille smule sværere end eksempel 2 for at man virkelig har brug forat være kreativ. Her er et lidt vildere eksempel:

Eksempel 3.Vi skal bruge en stamfunktion til funktionen f , givet ved forskriften:

f(x) = esin(x) · cos(x) + x2

Igen spørger vi os selv, om vi nogen sinde har fået dette monstersom resultat ved at differentiere. Sandsynligvis er svaret „nej“.

Men hvis vi kender nogle differentiationsregneregler, kan vi alli-gevel være lidt kreative. For det første får vi følgende ide: Hvis barevi kan finde en funktion g1 sådan at

g′1(x) = esin(x) · cos(x)

side 6



og en funktion g2 sådan at:

g′2(x) = x2

Så er vi glade, fordi I så fald vil funktionen g3 givet ved:

g3(x) = g1(x) + g2(x)

fungere som stamfunktion. Når g3 skal differentieres, så differentierervi jo de to led hver for sig. Det er en regel om differentiation.

Men vi mangler stadig g1 og g2. For at finde på g1 skal vi mediterelidt over hvordan kædereglen fungerer for differentiation. Det er jonoget med at differentiere den ydre funktion og lade den indre være,efterfulgt af at differentiere den indre funktion og gange resultatetpå. Det kunne faktisk godt producere noget i retning af esin(x) ·cos(x)hvis vi var lidt smarte.

Vi prøver med:g1(x) = esin(x)

Når vi bruge kædereglen til at differentiere den, så giver det ligepræcis:

g′1(x) = esin(x) · cos(x)

fordi eksponentialfunktionen giver sig selv når den differentieres, ogsinus giver cosinus.

Så er vi halvvejs. For at finde g2, så husker vi lige at differenti-ation af potensfunktioner gør potensen mindre. Derfor er det umid-delbart oplagt at gætte på noget i retning af x3. Men det virkerdesværre ikke, fordi x3 differentieret giver 3 · x2 hvilket er 3 gangefor stort.

Men så er vi lige smarte en sidste gang og finder på:

g2(x) = 13

· x3

Den trediedel som vi har ganget på bliver jo stående når man diffe-rentierer. Og så er den så smart at når der ganges yderligere 3 på,

side 7


så giver de 1 tilsammen. Derfor er

g′2(x) = 1

3· 3 · x2 = x2

Og vi har vores samlede stamfunktion, nemlig:

g3(x) = esin(x) + 13

· x3

Som du måske kan se, skal man være enormt skarp for lige at sehvad der virker som stamfunktion. Du må også meget gerne fornem-me at hvis ikke opgaverne er designet omhyggeligt til det, så kan detslet ikke lade sig gøre at finde på en stamfunktion.

Til gengæld er det utroligt nemt at undersøge om et eller andetgæt på en stamfunktion fungerer eller ej.

3.1 At vise at en given funktion er enstamfunktion

Hvis nogen kommer med et forslag til en stamfunktion til en givenfunktion, så er det til gengæld utroligt nemt at kontrollere om det errigtigt eller ej.

Eksempel 4.Nogen har foreslået at funktionen f givet ved:

f(x) = x2 · sin(x)

har en stamfunktion, F givet ved:

F (x) = x2 · cos(x) − 2x · sin(x) − 2 · cos(x)

For at kontrollere det, så skal vi bare undersøge om F differen-tieret giver f . Derfor differentierer vi F :

side 8


F ′(x) = 2x·cos(x)−x2 ·sin(x)−(2·sin(x)+2x·cos(x))−2·(− sin(x))

(vi har brugt produktreglen for differentiation et par gange her).Men det kan omskrives til:

F ′(x) = 2x·cos(x)−x2·sin(x)−2·sin(x)−2x·cos(x)+2·sin(x) = −x2·sin(x)

Dermed kan vi se at forslaget var forkert. Der kommer det for-kerte fortegn på resultatet når vi differentierer F . Til gengæld erdet rent nemt at se hvordan vi kan lave en stamfunktion som virker.Nemlig ved bare at skifte fortegn på hele F , altså:

F2(x) = −F (x) = −x2 · cos(x) + 2x · sin(x) + 2 · cos(x)

4 Bestemte integraler ved hjælp afstamfunktioner

Det er svært at finde stamfunktioner. Men når man er så heldigat have en stamfunktion til den funktion som skal integreres, så erdet til gengæld ustyrligt nemt at integrere. Det skyldes den følgendefantastiske sætning:

Sætning 5.Hvis F er en stamfunktion til f , og f er integrabel på intervallet[a; b], så er: ∫ b

af(x) dx = F (b) − F (a)

Man laver altså et bestemt integral ved ganske enkelt at indsættegrænserne i en stamfunktion, og trække de to værdier fra hinanden.

side 9


Eksempel 6.Lad os udregne integralet:

∫ 10

5x3 dx

Den funktion som skal integreres kan vi lige kalde f , altså:

f(x) = x3

Den kan vi heldigvis nemt finde en stamfuntion til. Nemlig F givetved:

F (x) = 14

· x4

Derfor er det meget nemt at udregne integralet eksakt

∫ 10

5x3 dx = F (10) − F (5) = 1

4· 104 − 1

4· 54 = 2343,75

Og bemærk at integralet er eksakt lig med dette resultat.

Pas på ikke at misforstå denne metode! Der er mange som i enpresset situation glemmer at man „lige“ skal finde en stamfunktion.Så ender de med at beregne et integral ved ganske enkelt at tageselve integrandens (den funktion som skal integreres) værdier i øvreog nedre grænse. Hvis det var så nemt at integrere, så var der altsåingen som havde gidet at beskæftige sig med det!

Vi sætter det lige i en kasse:

Et integral af typen: ∫ b

af(x) dx

kan altså IKKE beregnes som:

f(b) − f(a)

side 10


Så ville det jo ikke hedde „integration“, men derimod „en eller andendum og ligegyldig udregning af to funktionsværdier“. For pokkera!

a Jeg bander meget sjældent her på MatBog. Men når jeg gør det her, så er detaltså fordi jeg har set rigtigt mange lave denne utroligt dumme fejl

For at gøre det endnu mere tydeligt at man skal gøre TO ting(nemlig finde en stamfunktion og SÅ sætte grænserne ind i denne),har man opfundet en måde at gøre det i to skridt på. Samtidigtslipper man for at både integranden og den stamfunktion man finderskal have et bogstavnavn. Det gøres ved hjælp af følgende symbol:

Definition 7.Hvis f er en funktion, og a og b ligger i dens definitionsmængde, sådefinerer vi symbolet:

[f(x)]batil at betyde følgende:

f(b) − f(a)

De firkantede parenteser betyder altså bare at man sætter de to talind i funktionen og trækker funktionsværdierne fra hinanden.

Nu kan vi lave integraler ved hjælp af stamfunktioner på en lidtmere elegant måde. Bemærk at den første omskrivning på den mådeudelukkende handler om at finde en stamfunktion til integrandenog skrive den ind i en firkantet parentes. Derefter koncentrerer mansig om at sætte grænserne ind i denne stamfunktion og omskriveresultatet.

Eksempel 8.Lad mig beregne integralet:

∫ 2

−2x2 + x + 1 dx

Helt uden snak:

side 11


∫ 2

−2x2 + 2x + 1 dx =

[13

x3 + x2 + x]2

−2

= 13

· 23 + 22 + 2 −(1

3· (−2)3 + (−2)2 + (−2)

)

= 83

+ 4 + 2 −(−8

3+ 4 − 2

)

= 163

+ 4 = 283

5 Simple omskrivningerSom sagt findes der næsten ingen „regneregler“ for hvordan integralerkan udregnes. Der er dog nogle meget simple regler som gør at mankan omskrive nogle integraler til nogle andre. Det er især nyttigt nårman taler om integraler af ukendte funktioner.

5.1 LinearitetDe første to regler kaldes under et for „linearitet“ af integraler. For-klaringen på dette ord skal findes i teorien om lineær algebra. Reg-lerne ser sådan her ud:

Sætning 9.Hvis f og g er to funktioner som begge er integrable på intervallet[a; b], så er:∫ b

af(x) + g(x) dx =

∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx

og sådan her:

side 12


Sætning 10.Hvis f er en funktion som er integrabel på intervallet [a; b] og k eren konstant, så er:∫ b

ak · f(x) dx = k ·

∫ b

af(x) dx

Sagt lidt mere på „sloganform“ siger disse to regler at:1. man må integrere en sum af to funktioner ved at integrere de to

led hver for sig2. en multiplikativ konstant gerne må flyttes uden for integralet

Som sagt er reglerne mere af teoretisk end praktisk interesse, mende kan faktisk hjælp os (en lille smule) med at integrere i praksis også.

Eksempel 11.Lad os udregne integralet:∫ π

07 · cos(x) + 3 · sin(x) dx

I stedet for at bøvle med at finde stamfunktion til den lange inte-grand, så laver vi lige et par omskrivninger vha. linearitetsreglerne:∫ π

07 · cos(x) + 3 · sin(x) dx =

∫ π

07 · cos(x) dx +

∫ π

03 · sin(x) dx

= 7 ·∫ π

0cos(x) dx + 3 ·

∫ π

0sin(x) dx

side 13


Nu er det så bare at udregne de to (nemmere) integraler. Det erheldigvis nemt:

7 ·∫ π

0cos(x) dx + 3 ·

∫ π

0sin(x) dx = 7 ·

[sin(x)

]π0

+ 3 · [− cos(x)]π0

= 7 · (0 − 0) + 3 · (1 − (−1))= 6

Eksempel 12.Men hvad så med differenser, er der nogen der spørger? Hvorfor hardu ikke lavet en regel som siger at:∫ b

af(x) − g(x) dx =

∫ b

af(x) dx −

∫ b

ag(x) dx

Det er fordi man ikke har brug for denne regel (selvom den er rig-tig nok). Et minus kan jo altid skrives som et plus og et fortegnsskift.Dermed kan vi bruge de to regler til at omskrive:∫ b

af(x) − g(x) dx =

∫ b

af(x) + (−1) · g(x) dx

=∫ b

af(x) dx +

∫ b

a(−1) · g(x) dx

=∫ b

af(x) dx + (−1) ·

∫ b

ag(x) dx

=∫ b

af(x) dx −

∫ b

ag(x) dx

Du er selvfølgelig stadig velkommen til at huske at reglen ogsågælder for differenser.

side 14


5.2 IndskudsreglenEn anden lille regel som også kan være nyttig er den såkaldte „ind-skudsregel“. Den siger følgende:

Sætning 13 (Indskudssætningen).Hvis f er en funktion som er integrabel på et lukket interval [a; b] oghvis m ∈ [a; b] så er:∫ b

af(x) dx =

∫ m

af(x) dx +

∫ b

mf(x) dx

Den kan f.eks. blive nyttig når man arbejder med såkaldte „gaf-felfunktioner“ som er defineret med et forskelligt funktionsudtryk påforskellige dele af definitionsmængden.

Eksempel 14.Betragt funktionen f givet ved forskriften:

f(x) ={

x2 + 1 , x < 0x4 , x ≥ 0

Tænk hvis vi skulle beregne arealet mellem grafen for f og x-aksenmellem værdierne x = −2 og x = 2. Så skulle vi selvfølgelig beregneintegralet: ∫ 2

−2f(x) dx

Men nu får vi et problem. Vi kan ikke bare skrive hvad f(x) er ligmed inde i det integral, fordi funktionsforskriften ændrer sig i løbetaf det interval vi integrerer på.

I stedet kan vi være smarte og bruge indskudsreglen til at om-skrive integralet:∫ 2

−2f(x) dx =

∫ 0

−2f(x) dx +

∫ 2

0f(x) dx

side 15


Og nu bliver det nemmere, fordi hvert af de to nye integralerløber hen over et interval, hvor f(x) er givet ved den samme funk-tionsforskrift hele tiden. Vi kan derfor udregne:∫ 0

−2f(x) dx +

∫ 2

0f(x) dx =

∫ 0

−2x2 + 1 dx +

∫ 2

0x4 dx

=[13

x3 + x]0

−2+[15

x5]2

0

= 03 + 0 − (13

· (−2)3 + (−2)) + 15

· 25 − 0

= 83

+ 2 + 325

= 16615

≈ 11,07

Hvis ikke du opdagede nogen problemer i det foregående eksem-pel, så spring endelig det næste delafsnit over.

Et lille problem

Der var faktisk et lille problem i det foregående eksempel. Men dethar ingen indflydelse på resultatet, så vi advarer lige en ekstra gang:Hvis du er ligeglad med de små detaljer, så spring dette afsnit over.

side 16


Problemet ligger i det første integral. Funktionen f(x) i lige netopx = 0 er jo ikke lig med x2 + 1 (hvilket ville give 1), men derimod erdet lig med x4 (som giver nul!).

Så når jeg siger at på hele det første interval mellem −2 og nul,kan vi erstatte f(x) med det første funktionsudtryk, så er det ikkehelt rigtigt!

Her bliver vi reddet af en temmeligt dyb egenskab ved integraler.Nemlig at integralet af en funktion på et interval overhovedet ikkeændrer sig hvis man laver om på funktionsværdien et ét eneste punkt.Med andre ord: Hvis man piller et punkt ud af grafen og flytter detenten op eller ned, så ændrer det ikke på arealet mellem grafen ogx-aksen.

Sådan noget skal naturligvis bevises, men vi gemmer det til etandet dokument. Hvis du tror på at det er rigtigt, så kan du se atdet ikke betyder noget hvis vi bare bestemmer at f(0) giver 04 = 1i det første integral. Og dermed er resultatet faktisk rigtigt alligevel.Pyha!

6 Partiel integrationDe sidste to metoder er lidt mere indviklede end regnereglerne frasidste afsnit. De kan faktisk bruges til at udregne nogle rimeligt kom-plicerede integraler eksakt. Og så er det oven i købet lidt sjovt, fordiman får lov til at skrive nogle ting som ser fuldkommen tossede ud.

Den første metode hedder „partiel integration“. Lad mig startemed at vise dig hvordan en beregning ser ud.

Eksempel 15.Her er et integral udregnet ved hjælp af partiel integration. Det mågerne forekomme vildt mystisk når du læser det, men prøv at se omdu kan regne systemet ud:

side 17


Vi vil udregne integralet:∫ π

0x3 · sin(x) dx

Først laver vi følgende vilde regnerier nedenunder integraltegnet:∫ π

0x3 · sin(x) dx

↘+

3x2 − cos(x)↘−

6x − sin(x)↘+

6 cos(x)↘−

0 sin(x)Udfra dette kan vi faktisk skrive direkte hvad integralet giver:

=[x3 · (− cos(x)) − 3x2 · (− sin(x)) + 6x · cos(x) − 6 · sin(x)

]π0

Lidt omskrivning giver:

=[

− x3 · cos(x) + 3x2 · sin(x) + 6x · cos(x) − 6 · sin(x)]π

0

Og med grænserne sat ind (husk at sinus giver nul i både 0 og π):

= −π3 · cos(π) + 6 · π · cos(π) − (−03 · cos(0) + 6 · 0 · cos(0))

Hvilket giver:π3 − 6 · π

Kan du gennemskue systemet? Her kommer forklaringen af hvadder er gjort:1. Først har vi differentieret x3 indtil det gav nul og skrevet resulta-

terne under x3.

side 18


2. Dernæst har vi fundet en stamfunktion til sin(x) og fortsat medat finde stamfunktioner og skrevet resultaterne under sin(x).

3. Så har vi tilføjet skrå pile med skiftevist et plus eller et minus på.Den første pil har et plus.

4. Når så resultatet skal læses, så ganger vi de ting som der er pileimellem, sætter enten et plus eller et minus på (alt efter hvilkettegn der er på pilen), og lægger det hele sammen. Det giver os enstamfunktion som vi kan sætte grænser ind i.

Så, nu ved du hvordan man gør. Måske skal du lige øve dig medfølgende eksempel. Husk bagefter at kontrollere dit resultat ved atudregne integralet numerisk!

Øvelse 16.Udregn integralet: ∫ 1

0x2 · ex dx

Du må stadig gerne synes at denne metode er det rene trylleri.For at det kommer til at give mening, skal vi lige en tur omkringteorien.

Sætning 17 (Partiel Integration).Hvis f og g er to funtioner hvor:• f er differentiabel, og f ′ er kontinuert• g er kontinuert og har en stamfunktion, G

• [a; b] er et lukket interval som både f og g er defineret påså er: ∫ b

af(x) · g(x)dx = [f(x) · G(x)]ba −

∫ b

af ′(x) · G(x)dx

side 19


Du kan finde et (ret nemt) bevis for denne sætning i et andetdokument3. Her er et simpelt eksempel på hvordan den fungerer:

Eksempel 18.Lad os udregne integralet:

∫ π2

0x · cos(x) dx

Naturligvis er der ikke nogen som kan huske en stamfunktion tilx · cos(x).

I stedet får vi øje på at dette integral egner sig til at bruge partielintegration på. Vi lader „x“ spille rollen som „f(x)“. Bemærk at dener differentiabel, og dens afledede er kontinuert. Vi lader „cos(x)“spille rollen som „g(x)“. Bemærk at g er kontinuert, og den er retnem at finde stamfunktion til.

Dermed kan vi bruge sætningen til at omskrive:∫ π2

0x · cos(x) dx =

[x · sin(x)

]π2

0−∫ π

2

01 · sin(x) dx

Den første halvdel er en simpel udregning som giver:[x · sin(x)

]π2

0= π

2· sin

(π

2

)− 0 · sin(0) = π

2

Den anden halvdel er et meget nemmere integral som giver:∫ π2

01 · sin(x) dx =

[− cos(x)

]π2

0= − cos

(π

2

)− (− cos(0)) = 1

Løst sagt, så fungerer partiel integration på denne måde:• Metoden kan bruges når integranden består af et produkt af to

funktioner (altså to funktioner ganget med hinanden).

3 Nemlig her!

side 20



• Ideen er at man kan erstatte integralet med en simpel udregningsamt et andet integral. For at det skal være smart, bør det andetintegral naturligvis være nemmere at beregne end det oprindelige.

• Derfor skal man holde øje med at de to funktioner som er gangetsammen skal være sådan at den ene er nem at finde stamfunktiontil, mens den anden bliver simplere når man differentierer den.Dette var et eksempel på hvordan den basale version af partiel

integration fungerer. Vi er dog ikke helt fremme ved den vilde me-tode fra starten af afsnittet. Den dukker op når man bruger partielintegration flere gange – altså hvis man beslutter sig til at brugeendnu en omgang partiel integration til at beregne det nye integralsom dukker op.

Eksempel 19.Vi vil beregne integralet:

∫ 2

−2x2 · exdx

Vi kan bruge partiel integration til at omskrive dette til:∫ 2

−2x2 · exdx =

[x2 · ex

]−∫ 2

−22x · ex

(Bemærk at ex er så nem at finde stamfunktion til at man ikkeengang kan se at vi har gjort det.)

Men eftersom det sidste integral endnu ikke er nemt nok, brugervi partiel integration endnu en gang til at omskrive:∫ 2

−2x2 · exdx =

[x2 · ex

]2−2

−∫ 2

−22x · ex

=[x2 · ex

]2−2

−([

2x · ex]2

−2−∫ 2

−22 · exdx

)Her er alle delene faktisk nemme nok at regne ud. Men for at

gøre det generelle mønter helt tydeligt, vil jeg lige bruge partiel

side 21


integration en gang mere til at udregne det sidste integral. Dermedkan vi omskrive til:

∫ 2

−2x2 · exdx =

[x2 · ex

]2−2

−([

2x · ex]2

−2−∫ 2

−22 · exdx

)=[x2 · ex

]2−2

−([

2x · ex]2

−2−([

2 · ex]2

−2−∫ 2

−20 · exdx

))=[x2 · ex

]2−2

−([

2x · ex]2

−2−([

2 · ex]2

−2

))=[x2 · ex

]2−2

−[2x · ex

]2−2

+[2 · ex

]2−2

Den første kantede parentes giver:[x2 · ex

]2−2

= 4 · e2 − 4 · e−2

Den næste kantede parentes giver:[2x · ex

]2−2

= 4 · e2 − (−4) · e−2 = 4 · e2 + 4 · e−2

og den sidste giver: [2 · ex

]2−2

= 2 · e2 − 2 · e−2

Så hele integralet giver:(4 · e2 − 4 · e−2

)−(4 · e2 + 4 · e−2

)+(2 · e2 − 2 · e−2

)=2 · e2 − 10 · e−2

Hvis du kigger grundigt efter, så kan du se hvor systemet fra ek-sempel 15 kommer fra. Så længe den funktion som man differentiererender med at forsvinde, så kan oversætte integralet til en masse afde firkantede parenteser med skiftevise fortegn, præcis sådan som vigjorde i eksempel 15.

side 22


Der er dog mange andre situationer, hvor partiel integration ersmart, også selvom den ene faktor ikke umiddelbart kan „differenti-eres væk“. Her er et eksempel hvor det er lidt overraskende hvilkenfunktion vi vælger at differentiere:

Eksempel 20.Jeg vil udregne integralet:

∫ 4

2ln(x) · x3 dx

Umiddelbart skulle man tro at det var bedst at bytte om på de tofaktorer, og så gå i gang med at differentiere x3, indtil den gik væk.Men jeg har ikke lyst til at finde stamfunktioner til den naturligelogaritme fire (!) gange! Lad os prøve at gøre det omvendte:∫ 4

2ln(x) · x3 dx =

[ln(x) · 1

4x4]4

2−∫ 4

2

1x

· 14

· x4 dx

Det smarte er at det nye integral slet ikke er svært. Det kan nemligomskrives: ∫ 4

2

1x

· 14

· x4 dx =∫ 4

2

14

· x3 dx

= 14

·∫ 4

2x3 dx

= 14

·[14

x4]4

2

= 14

· 14

·(44 − 24

)

= 24016

= 15

side 23


Så hele integralet giver:∫ 4

2ln(x) · x3 dx =

[ln(x) · 1

4x4]4

2− 15 = ln(4) · 64 − ln(2) · 4 − 15

Hvis man holder af smukke omskrivninger, så kan dette gøreslidt pænere:

ln(4) · 64 − ln(2) · 4 − 15 = ln(22) · 64 − ln(2) · 4 − 15= 2 · ln(2) · 64 − ln(2) · 4 − 15= (128 − 4) · ln(2) − 15= 124 · ln(2) − 15

Hvis man holder af grimme kommatal, så kan man også bare udregneat det giver cirka 70,95.

Til sidst et eksempel hvor metoden slet ikke ser ud til at virke,men ved at være rigtigt smart, så virker den alligevel:

Eksempel 21.Vi vil beregne integralet:

∫ π2

0sin(x) · cos(x)dx

Hvis vi bruger sætning 17, kan dette omskrives til:∫ π2

0sin(x) · cos(x)dx = [sin(x) · sin(x)]

π20 −

∫ π2

0cos(x) · sin(x)dx

Det blev det umiddelbart ikke spor bedre af. Faktisk er det nyeintegral på højresiden præcis det samme som det integral vi startedemed.

Men hvis vi lægger lige netop dette integral til på begge sider af

side 24


lighedstegnet, så er det i virkeligheden helt fantastisk:

2 ·∫ π

2

0sin(x) · cos(x)dx = [sin(x) · sin(x)]

π20

Det betyder jo (idet vi dividerer med 2 på begge sider at:∫ π

2

0sin(x) · cos(x)dx = 1

2· [sin(x) · sin(x)]

π20

= 12

·(

sin(

π

2

)2− sin(0)2

)

= 12

· 12

= 12

7 SubstitutionsmetodenDen sidste metode hedder „substitutions“ (eller „erstatnings“) –metoden.Det skyldes måden som de fleste vælger at huske den på, ved hjælpat integraltegnet.

Denne gang får du den lige som en sætning først:

Sætning 22 (Substitutionsmetoden).Hvis f og g er to funktioner, hvor• g er differentiabel• f er kontinuert• [a; b] er et lukket interval som den sammensatte funktion f ◦ g er

defineret på

side 25


så er: ∫ b

af(g(x)) · g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)f(u)du

Bemærkning om integrationsvariablen

Bemærk at det nye integral har nye grænser, og at vi har skiftet navnpå integrationsvariablen (fra x til u).

Det første er enormt vigtigt. Man siger at der er „substituereti grænserne“, og det er den mest almindelige fejl at lave når manprøver at lære metoden. Derfor vil du sikkert høre din lærer sige „Duhar glemt at substituere i grænserne“ på et tidspunkt.

Navneskiftet er til gengæld helt unødvendigt. Der havde ståetpræcis det samme integral hvis jeg havde skrevet:∫ g(b)

g(a)f(x)dx

Når man alligevel skifter til u, så er det fordi det kan bruges til atkonstruere en smart huskeregel. Den kommer lige om lidt.

Her er først et simpelt eksempel på hvordan sætningen kan bru-ges:

Eksempel 23.Jeg vil beregne integralet:∫ π

0sin(x2) · 2x dx

Hvis vi lige navngiver:

f(x) = sin(x)

g(x) = x2

så er det så heldigt at:g′(x) = 2x

side 26


så det passer perfekt på forudsætningerne for sætning 22. Derfor kanvi omskrive: ∫ π

0sin(x2) · 2x dx =

∫ π2

02sin(u) du

Det sidste integral er let at udregne, fordi vi kender en stamfunktiontil sinus:

=[

− cos(u)]π2

02= − cos

(π2)

− (− cos(0)) = 1 − cos(π2)

Når man skal lave substitution, så er der udviklet en ret smartmåde at gøre det på. Ideen er at man bryder samtlige regler hvor hvadder er „korrekt“, foretager et par helt meningsløse omskrivninger, ogtil sidst ender man med at gøre præcis det rigtige som sætning 22siger man må.

Fordelen ved de „forkerte“ omskrivninger er at de er ret nemmeat huske. Se selv:

Eksempel 24.Lad os beregne integralet:

∫ 1

0

1√1 + x4

· 4x3dx

Vi for lyst til at lave en substitution, hvor en indre funktion (densom hedder g i sætning 22) naturligvis er det som står inde i kva-dratrodstegnet.

Lad os kalde det noget. Man bruger som regel bogstavet u (enlidt underlig forkortelse af „sUbstitution“, måske?). Så vi sætter:

u = 1 + x4

Så differentierer vi udtrykket. Nu har funktionen ikke noget navn,så vi bruger den alternative notation for differentiation:

du

dx= 0 + 4 · x3 = 4x3

side 27


Og nu gør vi noget gyseligt! Vi lader som om differentiationstegneter en brøk. Og så „ganger vi“ nævneren over på den anden side aflighedstegnet. Det giver følgende nonsens:

du = 4x3 dx

Og så læser vi det oprindelige integral igen. Der hvor der står 1+x4,læser vi bare u. Og der hvor der står 4x3 dx, læser vi du. Og såhusker vi lige at substituere grænserne også ved at tænke „x skulleløbe mellem 0 og 1. Men nu er det u som løber, så vi skal skrivehvad u er når x har disse værdier.“ Det giver følgende omskrivning:

∫ 1

0

1√1 + x4

· 4x3 dx =∫ 14+1

04+1

1√u

du =∫ 2

1

1√u

du

Dette er den samme omskrivning som vi var nået frem til ved atbruge sætning 22. Bare lavet på en mere „snydeagtig“ måde. Nu erintegralet lige til at regne ud:

=∫ 2

1u− 1

2 du =[2 · u

12]2

1

= 2 · (√

2 −√

1)

= 2√

2 − 2

Som du nok kan se, så skal problemerne være meget nøje designe-de til at man kan bruge substitutionsreglen. Det kræver jo temmeligtmeget „held“ at det lige passer med at den funktion som er gangetpå er den afledede af den indre funktion.

Der er dog situationer, hvor en substitution kan gøre en del afarbejdet for os. Lad os slutte med et eksempel hvor vi får brug fornæsten alle reglerne i dette dokument:

side 28


Eksempel 25.Vi vil udregne integralet: ∫ 9

4sin(

√x) dx

Umiddelbart ser det sort ud. Der er jo ikke ganget med noget somhelst der kunne blive til den afledede af den indre funktion. Men lados prøve en substitution alligevel. Vi sætter:

u =√

(x) = x12

Dermed er:du

dx= 1

2· x− 1

2 = 12

· 1√x

Så snyder vi igen og ganger du over på den anden side:

du = 12

· 1√x

dx

Men vi mangler altså både 12 og 1√

xi integranden. Derfor omskriver

vi lige integralet:∫ 9

4sin(

√x)dx =

∫ 9

4sin(

√x) · 2 · 1

2·√

x · 1√x

dx

(Vi har bare ganget med 1 to gange, så det ændrer ikke noget). Menså kan vi lige smide 2-tallet ud (det skal ikke bruges til noget), ogflytte lidt rundt:

= 2 ·∫ 9

4sin(

√x) ·

√x · 1

2· 1√

xdx

Og nu ser det lækkert ud! Lad os foretage substitutionen u =√

x:

= 2 ·∫ √

9√

4sin(u) · u du = 2 ·

∫ 3

2sin(u) · u du

side 29


Men hey! Det er jo sådan et integral som man kan lave partielintegration på! Det gør vi da lige:

= 2 ·([

u · (− cos(u))]3

2−∫ 3

21 · (− cos(u))

)Og nu er der kun et meget nemt integral tilbage:

= 2 ·([

u · (− cos(u))]3

2−[

− sin(u)]3

2

)

= 2 ·(3 · (− cos(3)) − 2 · (− cos(2)) − (− sin(3) − (− sin(2)))

)= −6 · cos(3) + 4 · cos(2) + 2 · sin(3) − 2 · sin(2)

side 30

Documents

Integrationsteknikker - matbog.dkmatbog.dk/Matbog2/arkiv/13904219089481073.pdf · (bestemt) integral både kan og bør beregnes ved en såkaldt numerisk metode, hvor en computer laver