Matematičko modeliranje trigonometrijskim funkcijama

Lekcija iz prirucnika

Vesna Zupanovic, Kristina Soric

Primijenjena matematika podrzana racunalom

Tema

Matematicko modeliranje trigonometrijskim funkcijama

poglavlje 3. Trigonometrijske i hiperbolicke funkcije i njihove

inverzne

potpoglavlje 3.8. Modeliranje trigonometrijskim i hiperbolickim

funkcijama

Zvučni privitak

Zvučni isječak (1513 KB)

Trigonometrijske funkcije i titranje opruge Superpozicija titranja Trigonometrijske funkcije i mlaz vode Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije

Sadrzaj

1 Trigonometrijske funkcije i titranje opruge

2 Superpozicija titranja

3 Trigonometrijske funkcije i mlaz vode

4 Trigonometrijske funkcije i prigusene oscilacije

Vesna Zupanovic, Kristina Soric Matematicko modeliranje linearnom funkcijom 2 / 20

Zvučni privitak

Zvučni isječak (1074 KB)


Trigonometrijske funkcije



Opca sinusoida



Primjer s titranjem opruge

Kuglica objesena na oprugu titra pod utjecajem elasticne sile

F = −k · x , k je konstanta elasticnosti, x je pomak iz polozaja

ravnoteze.

Pomak

x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,

A je amplituda titranja, ω=2π, f=2π/T, ω je kruzna frekvencija, f

je frekvencija titranja, T je period titranja.

Brzina titranja oscilatora je

v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .






ravnoteze.

Pomak

x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,




v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .






ravnoteze.

Pomak

x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,




v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .






ravnoteze.

Pomak

x (t) = A cos (ωt + ϕ) ,




v (t) = Aω · sin (ωt + ϕ) .



Primjer s titranjem opruge-pitanja

Za kuglicu mase m = 0.5 kg, koja titra objesena na oprugu

konstante elasticnosti k = 1.23 N/m amplitudom A = 1 cm.

Odredite

Graficku ovisnost o vremenu x(t) i v(t) za prvih 12 s titranja uz

ϕ=0. Kruzna frekvencija titranja je ω =√km = 1.57 rad/s.

Graficki prikazite ovisnost o vremenu potencijalne Ep =12k · x

2(t) i

kineticke energije Ek =12m · v

2(t) oscilatora.






Odredite




2(t) i


2(t) oscilatora.






Odredite




2(t) i


2(t) oscilatora.



Primjer s titranjem opruge-grafovi polozaja i brzine

Ovisnost polozaja o vremenu x(t) = cos (1.57t) cm.

Ovisnost brzine o vremenu v(t) = 1.57 sin (1.57t) cm/s.


















Primjer s titranjem opruge-potencijalna i kineticka

energija

Opcenito potencijalna energija je

Ep =12k · x

2(t) = 12kA

2 cos2 (ωt + ϕ).

U nasem slucaju

Ep = 6.2 · 10−3 cos2(1.57t) J




energija


Ep =12k · x

2(t) = 12kA

2 cos2 (ωt + ϕ).

U nasem slucaju

Ep = 6.2 · 10−3 cos2(1.57t) J




energija


Ep =12k · x

2(t) = 12kA

2 cos2 (ωt + ϕ).

U nasem slucaju

Ep = 6.2 · 10−3 cos2(1.57t) J



Primjer s titranjem opruge-kineticka energija

Opcenito kineticka energija je

Ek =12m · v

2(t) = 12mA

2ω2cos2 (ωt + ϕ).

U nasem slucaju

Ek = 6.2 · 10−3sin2(1.57t) J





Ek =12m · v

2(t) = 12mA


U nasem slucaju

Ek = 6.2 · 10−3sin2(1.57t) J





Ek =12m · v

2(t) = 12mA


U nasem slucaju

Ek = 6.2 · 10−3sin2(1.57t) J



Superpozicija titranja jednakih frekvencija

Cestice sredstva istovremeno su pobudene s dva harmonicka titranja

jednakih amplituda i frekvencija opisana jednadzbama

y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm

y2(t) = 10 sin(3t − π3 ) cm, vrijeme t u sekundama.

Odredite graficki prikaz titranja y1(t) i y2(t) i superpozicije titranja

y1(t) + y2(t).

Sva tri titranja imaju kruznu frekvenciju ω= 3 s−1 i period titranja

T = 2π/ω, T = 2.1 sekunda






y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm



y1(t) + y2(t).








y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm



y1(t) + y2(t).








y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm



y1(t) + y2(t).








y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm



y1(t) + y2(t).








y1(t) = 10 sin(3t + π6 ) cm



y1(t) + y2(t).





Superpozicija titranja razlicitih frekvencija


razlicitih frekvencija opisana jednadzbama

y1(t) = A sin(ω1t) i

y2(t) = A sin(ω2t), A je amplituda titranja, vrijeme t u s.

Odredite izraz za rezultantno titranje nastalo superpozicijom dvaju

zadanih titranja.

Odredite graficki prikaz rezultantnog titranja ako se frekvencije

titranja malo razlikuju i to ω1=3.001 Hz i ω2=3 Hz, amplituda

titranja A = 5 cm.

Za vrijeme t uzmite vrijednosti 0− 15000 u sekundama.









zadanih titranja.



titranja A = 5 cm.










zadanih titranja.



titranja A = 5 cm.










zadanih titranja.



titranja A = 5 cm.










zadanih titranja.



titranja A = 5 cm.










zadanih titranja.



titranja A = 5 cm.




Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-graf

y(t) = y1(t) + y2(t) = A sin(ω1t) + A sin(ω2t) =2A sin(ω1+ω2

2 · t) cos(ω1−ω22 · t)

y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001

2 · t)Graf funkcije





2 · t) cos(ω1−ω22 · t)

y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001

2 · t)

Graf funkcije





2 · t) cos(ω1−ω22 · t)

y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001






2 · t) cos(ω1−ω22 · t)

y(t) = 10 sin(6.0012 · t) cos(0.001




Superpozicija titranja razlicitih frekvencija-udar

Superpoziciju titranja bliskih frekvencija zovemo udarima.

Radi se o titranju frekvencijom 3 Hz, amplituda je modulirana

funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).

Frekvencija udara je ω1 − ω2.

Fenomen udara koristi se za ugadanje muzickih instrumenata.

Ako glazbena viljuska titra frekvencijom ω1 do muzicara stize val

frekvencije ω1.

Ako je frekvencija zvuka koji proizvodi njegov instrument malo

razlicita od ω1 cut ce se udari.

Tek kada se muzicki instrument podesi tocno na frekvenciju ω1 udari

se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.






funkcijom

cos(ω1−ω2

2 · t)= cos

(0.001

2 · t).




frekvencije ω1.




se vise nece cuti.



Primjer s izbacivanjem mlaza vode

Kit u zabavnom parku osim izvodenjem trikova, zabavlja publiku

prskanjem mlazom vode kroz otvor s najvise tocke na glavi.

Kit izbacuje vodu brzinom v m/s, pod kutem θ lebdeci x metara

horizontalno od publike i y metara vertikano iznad zemlje.

Model izbacivanja mlaza vode moze se prikazati kao kvadratna

funkcija u varijabli x

f (x) = xtanθ −9.8x2

2(v · cosθ )2 .











2(v · cosθ )2 .











2(v · cosθ )2 .











2(v · cosθ )2 .



Primjer s izbacivanjem mlaza vode-kvadratna

funkcija

Za fiksni θ i v funkcija f je kvadratna u varijabli x i graf je parabola.

Funkcija f ovisi o x , v , θ, pa je f zapravo funkcija vise varijabli.

Mi smo zbog jednostavnosti fiksirali dvije vrijednosti i promatrali

funkciju samo jedne varijable x .

Prirodno se pojavljuje potreba promatrati funkcije vise varijabli.




funkcija









funkcija









funkcija









funkcija








Primjer s izbacivanjem mlaza vode-izracun kuta

Kit se nalazi 1 metar daleko od publike, mjereci horizontalno i 2

metra vertikalno, pa ih prska brzinom 7 m/s.

Pod kojim kutem kit mora izbaciti vodu da mlazom pogodi publiku?


2(v · cosθ )2 .

Ako je f (x) = 2, x = 1 , v = 7 slijedi izracun kuta θ.

2 = 1 · tanθ − 9.8·12

2(7·cosθ )2

20 = 10tanθ − 1

(cosθ )2

20 = 10tanθ −(

1 + (tanθ )2)

(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0

z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,

tanθ1 = 7, tanθ2 = 3

θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦








2(v · cosθ )2 .


2 = 1 · tanθ − 9.8·12

2(7·cosθ )2

20 = 10tanθ − 1

(cosθ )2

20 = 10tanθ −(

1 + (tanθ )2)

(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0

z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,


θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦








2(v · cosθ )2 .


2 = 1 · tanθ − 9.8·12

2(7·cosθ )2

20 = 10tanθ − 1

(cosθ )2

20 = 10tanθ −(

1 + (tanθ )2)

(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0

z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,


θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦








2(v · cosθ )2 .


2 = 1 · tanθ − 9.8·12

2(7·cosθ )2

20 = 10tanθ − 1

(cosθ )2

20 = 10tanθ −(

1 + (tanθ )2)

(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0

z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,


θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦








2(v · cosθ )2 .


2 = 1 · tanθ − 9.8·12

2(7·cosθ )2

20 = 10tanθ − 1

(cosθ )2

20 = 10tanθ −(

1 + (tanθ )2)

(tanθ )2 − 10tanθ + 21 = 0

z = tanθ , z2 − 10z + 21 = 0, z1 = 7, z2 = 3,


θ1 = 71.6◦, θ2 = 81.9◦



Primjer s inflacijom

Zadan je graf kretanja inflacije u ovisnosti o vremenu,

i(t) = 2e−0.01t sin t + 3.1, gdje je t vrijeme u mjesecima.

Nacrtajte graf funkcije za razlicite intervale varijable t. Komentirajte.















Primjer s inflacijom-50 mjeseci







Inflacije ima oscilacije oko pravca y = 3.1.

Sto je vrijeme t vece, oscilacije su sve manje i manje. Inflacija bez

obzira na oscilacije, dugorocno konvergira u vrijednost 3.1.

Funkcija ima prigusene oscilacije.























Documents

Matematičko modeliranje trigonometrijskim funkcijama