1

MATEMATIČKO MODELIRANJE KANALIZACIJE

KOMUNALNA HIDROTEHNIKA 2

Postoje dva osnovna tipa kanalizacionih mreža:

Separacioni sistem

KišnakanalizacijaKanalizacija za

upotrebljene vode

Atmosferske vode

Upotrebljene vodeUlica

Ulica

Kišne + upotrebljene vodeSušni period: upotrebljene vode

Kišni period: upotrebljene vode+ kišne vode

Opšti sistem

UVOD

2

Osnovne razlike hidrauličkih proračuna kanalizacionih u odnosu na proračune vodovodnih sistema su:

- Otpadna voda teče kroz kolektore gravitaciono. Tečenje u kanalizaciji, u opsegu projektovanih protoka, treba da bude sa slobodnom površinom, dok je tečenje u distributivnom vodovodnom sistemu pod pritiskom.

- Kanalizaciona mreža se gotovo uvek gradi kao granata dok je vodovodna mreža najčešće povezana u prstenove. Stoga, smer tečenja otpadne vode u kanalizaciji je unapred određenkonfiguracijom mreže i nagibima kanala.

UVOD

Ako se pretpostavi da je tečenje u kanalizacionim kolektorima –kanalima ustaljeno i jednoliko onda se tečenje opisuje Šezi-Maningovom jednačinom. Za slučaj da je nagib dna kanala jednaknagibu linije energije jednačina ima oblik:

gde su: Qpp – proticaj kroz kanal kada je pun do vrha (m3/s), n – Maningov koeficijent (m-1/3s), A – površina okvašenog preseka; za slučaj kada je kanal pun do vrha jednaka je površini poprečnog presek kanala(m2), R – hidraulički radijus (m); R = A/O

gde je O okvašeni obim (m), Id – nagib dna koji je jednak nagibu linije energije Ie.

d

32 IRAn

1Qpp /=

UVOD

3

Pretpostavka o ustaljenom i jednolikom tečenju u kanalizaciji u stvarnosti nije ispunjena.

Proračuni neustaljenog i nejednolikog tečenja u kanalizacionoj mreži mogu se vršiti primenom hidrauličko-hidroloških modela koji se zasnivaju na punim dinamičkim jednačinama tečenja koji omogućavaju adekvatan proračun tečenja u kanalizacionim cevima, uključujući tečenje pod pritiskom, pojave uspora pri visokim vodostajima na mestima izliva kao i pojave izlivanja na teren usled nedovoljne propusne moći nizvodnih deonica.

Ovi modeli se obično koriste za proračune kišne i opšte kanalizacije, pri pojavi kiša.

UVOD

Kod hidrauličkih proračuna sistema za upotrebljene vode useparacionom sistemu kanalizacije proverava se propusna moćdeonica kanalizacije pri merodavnim maksimalnim proticajimaotpadne vode (Qmax.čas).

Merodavni maksimalni proticaji se određuju empirijskimjednačinama.

Pri merodavnim (maksimalnim) proticajima upotrebljene vodemaksimalno dopušteno punjenje kanala za upotrebljene vode je uopsegu od 50 do 70%.

Ovaj zahtev se postavlja jer je neophodno obezbediti strujanjevazduha u sistemu kanala za upotrebljenu vodu.

Upotrebljene vodeUVOD

4

Hidraulički proračuni kanalizacije za kišne vode i kanalizacije po opštem sistemu su znatno komplikovaniji i uključuju hirološko-hidrauličke modele kojima se određuje oticaj kišnih voda po slivu kanalizacione mreže.

Količine kišnih voda koje dospevaju u kanale mogu se određivati:

• nekim konceptualnim modelom, npr. racionalnom metodom,

• modelima koji su zasnovani na fizičkim zakonima oticanja. Ovi modeli mnogo bolje opisuju proces oticanja, ali sa druge strana veoma su kompleksni i zahtevaju veliku količinu ulaznih podataka.

Atmosferske vodeUVOD

30% evapotranspiracija40% evapotranspiracija

10% direktan oticaj

55% direktan oticaj

25% plitka infiltracija

10% plitka infiltracija

25% duboka infiltracija

5% duboka infiltracija

Prirodno vodopropusno zemljište Zemljište 75%-100% vodonepropusnosti

UTICAJI URBANIZACIJE NA KIŠNI OTICAJ:

UVOD

Dolazi do promena u svim komponentama hirološkog ciklusa

5

� Model je aproksimacija realnosti koji u sebi uključuje uzročno-posledične relacije.

� Model se definiše kao skup matematičkih formulacija kojima se opisuju procesi u razmatranom sistemu.

� Modeliranjem se dolazi do odgovora na pitanja o radu i stanju analiziranog sistema na kvantitativan način.

UVOD

Svaki model je samo aproksimacija stvarnosti i ima svoja ograničenja!

MODELIRANJE PROCESA

� Padavine - oticaj

� Tečenje po površini terena

� Tečenje u mreži kanala

KANALIZACIJA ZA UPOTREBLJENE VODE

KIŠNA KANALIZACIJA I KANALIZACIJA PO OPŠTEM SISTEMU

6

MODELIRANJE PROCESA

� Padavine – oticaj (modeliranje procesa na slivu)

� Hidrološke analize i modeliranje

� Zadržavanje vode na površini sliva

� Modeliranje infiltracije vode u tlo

� Modeliranje evaporacije (evapotranspiracije)

d

ds

Padavine Isparavanje

Oticaj

Infiltracija

U najopštijem slučaju, proces transformacije padavina u oticaj se može prikazati sledećom shemom.

Neki modeli ne vode računa o svim komponentama (racionalna metoda, SCS)

PADAVINE - OTICAJ

7

HIDROLOŠKE ANALIZE I MODELI

Racionalna teorija računa proticaj vode Q koja se može slivatisa površine F (ha) jednačinom:

Q = ϕϕϕϕ Ψ i Fgde su: ϕ - koeficijent srednjeg intenziteta kiše, i – intenzitet kiše (l/s ha),Ψ - koeficijent oticaja (-).

Koeficijent oticaja je razmera između količine vode koja otiče kroz kanale kanalizacije i ukupne količine kiše koja je pala na razmatranu površinu terena. Vrednosti koeficijenta oticaja zavise od karakteristika površine.

Racionalna metoda služi samo za dimenzionisanje mreže, usledatmosferskih padavina. Ovom metodom se ne može se simulirati rad kanalizacionog sistema u različitim uslovima.

Ne važi jednačina kontinuiteta.

RACIONALNA TEORIJA

8

Za potrebe proračuna kanalizacije za kišne vode i kanalizacijepo opštem sistemu potrebno je raspolagati podacima hidroloških analiza kišana razmatranom području.

Za potrebe proračuna po racionalnoj metodi potrebno jeraspolagati ITP dijagramom koji daje zavisnost između intenziteta kiše (i),trajanja kiše (T) i povratnog perioda kiše (P).

1

10

100

0,1 1 10 100

trajanje ki{e h[ ]

inte

nzit

et k

i{e

mm

/h[

]

T= 1000 god.10025

510

2

RACIONALNA TEORIJA

Trajanje kiše jednako je vremenu koncentracije sliva tc.

Vreme koncentracije je vreme potrebno da kiša sa najudaljenije tačke sliva dospe do izlaznog profila sliva.

tc

inte

nzi

tet

ki

ešp

roto

k

t = tk c

a) t = tk c

tc

inte

nzi

tet

ki

ešp

roto

k

tc

b) t > tk ct k

t k

tc

Qmax = Qmax

RACIONALNA TEORIJA

9

Povratni periodi kiša:- najmanje 2 god. za kišnu kanalizaciju u separacionom sistemu- najmanje 5 godina za opštu kanalizaciju - 10 godina za autoputeve i vitalne saobraćajne pravce

RACIONALNA TEORIJA

- SCS metoda (nekada Soil

Conservation Service - SCS, danas Natural Resources Conservation

Service - NRCS),

- Računske kiše konstantnog intenziteta,

- Računske kiše neravnomernog intenziteta (kiša sa naizmeničnim blokovima, Chicago Design Storm, ...),

- Osmotrene padavine.

DRUGE HIDROLOŠKE METODE ANALIZA

10

PADAVINE - OTICAJ

d

ds

Padavine Isparavanje

Oticaj

Infiltracija

5,03

21

IARn

Q =

Padavine: zadaju se kao vremenska serija (hijetogram, sumarna linija...)

Isparavanje se može se modelirati na nekolino načina

- konstantna vrednost,

- mesečni prosek

- računanje iz podataka o temperaturi (Hargreaves metoda)

d

ds

Padavine Isparavanje

Oticaj

Infiltracija

5,03

21

IARn

Q =

PADAVINE - OTICAJ

hd

11

PADAVINE - OTICAJInflitracija:

0x

Q

t

A=

∂∂

+∂∂

( )0gAhgAS

x

HgA

x

AQ

t

QLf

2

=++∂∂

+∂

∂+

∂∂ /

� Modeliranje tečenja po površini:

1D Sen Venanove j-ne:

2D Sen Venanove jednačine.

/videti literaturu, veoma kompiikovan i računarski zahtevan metod za rad i kalibraciju/

TEČENJE PO POVRŠINI TERENA

Najčešće se koristi uprošćeni model, Šezi-Maning j-na:

d

32 IRAn

1Q /=

12

* - SWMM: Storm Water Management model (US EPA)

TEČENJE PO POVRŠINI TERENA

TEČENJE PO POVRŠINI TERENA

* - SWMM: Storm Water Management model (US EPA)

13

TEČENJE PO POVRŠINI TERENA

TEČENJE PO POVRŠINI TERENA

14

TEČENJE PO POVRŠINI – ULAZ U KANALIZAICJU

Primer modeliranja

(SWMM)

Slivna površine: S1, S2, S3), generisani oticaj se ubacuje u čvorove kanalizacione mreže J1, J2, J3

Kanalizaciona mreža: čvorovi (J1, J2, J3,...) i cevi (C1, C2, C3,...)

TEČENJE U MREŽI KANALA

� Tečenje u mreži kanala

� Tečenje u kolektorima (čvorovi i cevi)

� Modeliranje objekata (prelivi, crpne stanice, retenzije itd.)

Tečenje u kolektorima

0x

Q

t

A=

∂∂

+∂∂

( )0gAhgAS

x

HgA

x

AQ

t

QLf

2

=++∂∂

+∂

∂+

∂∂ /

Rešavanje za uslove:

- ustaljenog tečenja,

- neustaljenog tečenja (kinematski talas),

- neustaljenog tečenja (dinamički talas).

1D Sen Venanove j-ne:

15

OSNOVNE JEDNAČINE

gde je Q proticaj, x koordinata (rastojanje) duž toka, β koeficijent neravnomernosti brzina po poprečnom preseku, A površina proticajnog preseka toka, h dubina vode, IE nagib linije energije, Id podužni nagib dna kanala.

Jednačina kontinuiteta

Dinamička jednačina

1 2 3 4

Članovi dinamičke jednačine:

1. uticaj promene brzine u jednom preseku kroz vreme,

2. promena brzinske visine duž toka,

3. promena dubine duž toka,

4. uticaj trenja (nagib linije energije), i

5. nagib dna. Zajedno (3) i (5) predstavljaju promenu pijezometarske kote.

5

TEČENJE U MREŽI KANALA

Pojedini članovi iz dinamičke jednačine nisu istog značaja u svim uslovima tečenja pa se neki od njih mogu zanemariti što može značajno pojednostavitiproračun.

1 2 3 4 5

TEČENJE U MREŽI KANALA

16

MODELI TRENJA

Maningova jednačina vvR

nI

/E 34

2

=

RA

QC

g2

1I

2

2

E τ=

vvgR

IE

8

λ=

+−=

λλ Re

.

D.

klog

512

732

1

Šezijeva jednačina

Darsi-Vajzbahova jednačina

gde je n Maningov koeficijent

gde je Cτ - koeficijent tangencijalnog napona, R - hidraulički radijus

gde je λ Darsi-Vajsbahov koeficijent trenja definisan Kolbruk-Vajtovom formulom:

gde je k apsolutna hrapavost, D prečnik cevi, Re Rejnoldsov broj (Re= vD/ν, gde je ν kinematski koeficijent viskoznosti)

MODELI TRENJA KOLBRUKOVA I KOLBRUK-VAJTOVA FORMULA

+−=

λλ Re

.

D.

klog

512

7132

1

Opšta Kolbrukova formula za otpore trenja u cevima u svim oblastima turbulentnog tečenja:

( )Reλλ =

=

D

kλλ

=

D

kRe,λλ

- turbulentno strujanje u “glatkoj” cevi

- turbulentno strujanje u “hrapavoj” cevi

- prelazna oblast između glatke i hrapave cevi

17

MODELI TRENJA KOLBRUKOVA I KOLBRUK-VAJTOVA FORMULA

.constD

k=

= λλ

- turbulentno strujanje u “hrapavoj” cevi

gDIE

2

1 2vλ=

v

EgDI2

=λ

+−=

λλ Re

.

D.

klog

512

7132

1

+−=

E

EgDID

.

D.

kloggDI

2

512

71322

νv

Standard SRPS EN752 – Kanalizacioni sistemi izvan objekata

MODELI TRENJA KOLBRUKOVA I KOLBRUK-VAJTOVA FORMULA

Za delimično ispunjene kanalizacione cevi kružnog poporečnog preseka

+−=

E

EgDID

.

D.

kloggDI

2

512

71322

νv

RD 4=

⋅⋅+

⋅−⋅⋅=

E

EIRgR

.

R.

klogIRg

424

512

4713242

νv

Kolbruk-Vajtova (Colebrook White) formula

Za delimično ispunjene kanale, prilagođena za turbulentni režim u hrapavoj cevi

Kolbruk-Vajtova formula ovako napisana važi samo za određen opseg vrednosti apsolutne hrapavosti cevi o čemu naročito treba voditi računa u zoni minimalnih brzina tečenja u kanalizaciji.

Standard SRPS EN752 –Kanalizacioni sistemi izvan objekata

18

MODELI TRENJA OPSEG VAŽENJA KOLBRUK-VAJTOVE FORMULE

Pretpostavku da je λ=const. u standardnom režimu tečenja u kanalizacionim cevima treba proveriti, tj. odrediti granicu kada ova pretpostavka prestaje da važi, odnosno kada se Kolbruk-Vajtova formula više ne može primenjivati

=D

kλλ

=

D

kRe,λλ

- turbulentno strujanje u “hrapavoj” cevi

- prelazna oblast između glatke i hrapave cevi

41

11150

/

D

k.

=λ

41

2

601150

/

ReD

k.

+=λ

4141

2

6011150

//

kvD

k.

+

=ν

λ

Ako se u proceni koeficijenta trenja λ dozvoli relativna greška od 2%

MODELI TRENJA OPSEG VAŽENJA KOLBRUK-VAJTOVE FORMULE

Ako se u proceni koeficijenta trenja λ dozvoli relativna greška od 2%

41

7

6 601021

/

k.

+==

v

νλλ

750732 ~k>

νv

( ) s/CT o 26 m 1020 −==ν

s/m,vpp 80=750732 ~

k>

νv

λ=const. k > 1 mm

s/mvpp

3= k > 0,3 mm

19

MODELI TRENJAMANINGOVA FORMULA

E

/ IARn

321=Q gde je n (m-1/3s) Maningov koeficijent hrapavosti a R(m) hidraulički radijus

61

2

0290 /kg

,n = (m-1/3s) (k se unosi u metrima)

Za opseg hrapavosti koji se postavlja u rešavanju praktičnih zadataka

0,3 mm<k<3 mm -> 0,001 m-1/3s <n<0.015 m-1/3s

Veza između Maningovog koeficijenta hrapavosti i apsolutne hrapavosti:

Prema DVGW standardima (Deutscher Verein des Gas- und Wasserfaches e.V. - Technisch-wissenschaftlicher

Verein = DVGW German Technical and Scientific Association for Gas and Water), za uobičajene kanale za otpadnu vodu, sa slobodnim ogledalom, sa kućnim i bočnim priključcima, silaznim oknima i krivinama, u hidrauličkim proračunima preporučuje se apsolutna hrapavost kanala za otpadnu vodu k=1.5 mm.

Za k=1.5 mm, Maningov koeficijent hrapavosti n=0.013 m-1/3s

MODELI TRENJAPRIMENA KOLBRUK-VAJTOVE I MANINGOVE FORMULE

Složeni izrazi koji opisuju tečenje fluida i prateće energetske gubitke na trenje ne znače obavezno i veći stepen tačnosti.

(Georgije Hajdin, Mehanika fluida-Knjiga druga-Uvodjenje u hidrauliku, Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2000)

20

MODELI ZASNOVANI NA POJEDNOSTAVLJENIM JEDNAČINAMA

TRANSFORMACIJA TALASA U AKUMULACIJI - RETENZIJI

dt

dVqQ =−

( ) ( ) ( )1jj1jj1jj

VVt

1qq

2

1QQ

2

1−−− −

∆=+−+

44444 344444 2143421)Q(F

jjjj

)Q(F

jj Vt

qQQVt

q

12

111

22−−− ∆

+−+=∆

+

t

VqQ

∆∆

=−

Jednačina kontinuiteta:

Proračun transformacije ulaznog hidrograma:

∆t

Qj - 1

qj - 1

Qj

qj

Q , q

t

voda koja puni kolektor

voda koja napu{takolektor

Q ( t )

q ( t )

nepoznate

PRIMER 1TRANSFORMACIJA TALASA U KOLEKTORU ATMOSFERSKE KANALIZACIJE I PRORAČUN AKUMULACIONE MOĆI CEVOVODA

KI[ NE KANALIZACIJE

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180t (min)

Q,q

(m

3 /s)

ulazni hidrogramQ qV

L=3500 m

D=1200 mm

Id=1.4%

n=0.012 m-1/3s

∆t=6 min

Karakteristike kolektora Ulazni hidrogram Q(m3/s)

21

PRIMER 1

Proračun kapaciteta cevovoda u funkciji visine punjenja q(h)

D=120cm

h

D/2

ϕ

B( ϕ)

O( ϕ)

A( ϕ)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

0 1 2 3 4 5 6q (m3/s)

visi

na p

unje

nja

kana

lizac

iono

g ko

lekt

ora

h(

m)

d

/ IARn

)h(q 321=

Na osnovu geometrijskih karakteristika proticajnog profila u kolektorima kružnog preseka i Šezi-Maningove jednačine

dobija se zavisnost propusne moći cevovoda u zavisnosti od visine punjenja h.

ϕ−=

2cos1

2

Dh

−=ϕD

h21arccos2

( )ϕ−ϕ=ϕ sin8

D)(A

2

2

D)(O

ϕ=ϕ

2sinD)(B

ϕ=ϕ

GE

OM

ET

RIJ

SK

E K

AR

AK

TE

RIS

TIK

E P

RO

TIC

AJN

OG

PR

OF

ILA

U

KO

LE

KT

OR

IMA

KR

UŽ

NO

G P

RE

SE

KA

1

PRIMER 1

Proračun funkcije F2(q)

dobija se zavisnost propusne moći cevovoda u zavisnosti od visine punjenja h.

t

Vq)q(F

∆+= 222

m 3500ALAV ⋅=⋅=

22

PRIMER 1

Proračun izlaznog hidrograma q(t)3 44444 344444 2143421)Q(F

jjjj

)Q(F

jj Vt

qQQVt

q

12

111

22−−− ∆

+−+=∆

+

t

min

(1)

Qj

m3/s

Qj+Q

j-1

m3/s

(2) (3)

F2(q)=q

j+2V

j/∆t

m3/s

2Vj/∆t

m3/s

(4) (5)

qj

m3/s

(6)

ula

zni

hid

rog

ram

(4)=(3)-(5)+(6) q s

a

gra

fik

a

F2(q

)

(6)=

(4)-

(5)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180t (min)

Q,q

(m

3 /s)

ulaznihidrogram

izlaznihidrogram

TRANSFORMACIJA POPLAVNOG TALASA U KOLEKTORU ATMOSFERSKE KANALIZACIJE

MODEL KINEMATSKOG TALASA

Primenjuje se za proračun neustaljenog tečenja u kanalima sa slobodnom površinom sa velikim brzinama i velikim podužnim nagibima kod kojih su promene dubine i brzine duž toka male.

Dinamička jednačina:

dE II =

2

2

3/4

2

dA

Q

R

nI =

d3/2 IAR

n

1Q =

Jednačina kontinuiteta:0

1=

∂

∂+

∂

∂

x

Q

Bt

h

s

0=∂

∂+

∂

∂

x

hc

t

hc - brzina prostiranja poremećaja u toku (brzina propagacije talasa)

DETALJE IZVOĐENJA

POGLEDATI U PREDAVANJIMA

IZ HIDRAULIKE 2

23

NUMERIČKI MODEL KINEMATIČKOG TALASA

( )01

1

=∆−

+∆− −

+

x

hhc

t

hh n

k

n

k

n

k

n

k

( )n

k

n

k

n

k

n

k hhx

tchh 1

1

−+ −

∆∆

−=

( )n

k

n

k

n

k

n

k hhCrhh 1

1

−+ −−=

Za stabilnu numeričku šemu Kurantov broj<=1

1≤∆∆

=x

tcCr

0=∂

∂+

∂

∂

x

hc

t

h

1+n

kh

n

khn

kh

1−

k-1 k

n

n+1

t

x

FTBS šema

Forward in Time Backward in Space

PRIMER 2U prizmatičnom širokom pravougaonom kanalu širine 12m dužine 10 km sa nagibom dna Id=0.008, hrapavošću obloge n=0.012 m-1/3s, dolazi do neustaljenog strujanja. Na uzvodnom kraju kanala proticaj se menja po priloženom hidrogramu.

15

20

25

30

0 1000 2000 3000

t(s)

Q (

m3/

s)

Između zadatih tačaka pretpostavlja se linearna promena proticaja. Sračunati promenu proticaja i dubine u najnizvodnijem preseku kanala (x~10 km). Koristiti model kinematičkog talasa. Brzina propagacije talasa c~1.5 Vo a Vo je brzina vode pri proticaju 20 m3/s.

Usvojiti Δx=2000 m, Δt=300 s

REŠENJE

B

h

BhA =

Bh2O +=

O/AR =

BO ≈hR ≈

IdBhn

Q / 351=

Proticajni profil:

Okvašeni obim:

Hidraulčiki radijus:

Za široke pravougaone kanale (kod kojih je B>>h)

Šezi Maningova formula se svodi na:

Za početni Q=20 m3/s, iz prethodne jednačine dobija seho=0.407m

Brzina propagacije talasa je zadata kao ulazni podatak:

s/m..

.Vo.c 1426124070

205151 =

⋅==

9150.x

tcCr =∆∆

=Kurantov broj

Uzvodni granični uslov

24

PRIMER 2 1+n

kh

n

khn

kh

1−

k-1 k

n-1

n

t

x

( )n

k

n

k

n

k

n

khhCrhh

1

1

−+ −−=

20

22

24

26

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

t(s)

Q (

m3/s

)

PROPAGACIJA TALASA KROZ KANAL

PRIMER 2

20

22

24

26

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

t(s)

Q (

m3/s

) Brzina kretanja talasa je veća od brzine kretanja poremećaja

Ublaženje talasa je posledica numeričke difuzije ali odgovara prirodnom procesu.

Rešenje jednačina modela kinematičkog talasa ne dozvoljava ublaženje već samo vremensko pomeranje ulaznog hidrograma

Kinematički model se može poboljšati

ako se računski parametri modela povežu sa lokalnim geometrijskim i hidrauličkim uslovima tako da posledice numeričke difuzije odgovaraju fizičkom ublaženju ulaznog hidrograma. Na taj način se prevazilazi nedostatak kinematičkog modela u smislu precenjivanja izlaznih dubina i proticaja.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

T (min)

Q (

m3

/s)

ulaz

izlaz 30dx

izlaz 8dx

25

POBOLJŠANI MODEL KINEMATIČKOG TALASAMETODA MASKINGAM-KANŽ

Zapremina vode na deonici toka je linearna kombinacija proticaja na granicama deonice

( )1kk1k QQKXKQV ++ −+=

K, X, empirijski parametri, određuju se kalibracijom

n1k3

1nk2

nk1

1n1k QCQCQCQ +

+++ ++=MASKINGAM MODEL

)X1(2K

t

X2K

t

C1

−+∆

+∆

=

)X1(2K

t

X2K

t

C 2

−+∆

−∆

=)X1(2

K

tK

t)X1(2

C 3

−+∆

∆−−

=

POBOLJŠANI MODEL KINEMATIČKOG TALASAMETODA MASKINGAM-KANŽ

0=∂∂

+∂∂

x

Qc

t

Q

KANŽ MODEL

0=∂∂

+∂∂

x

Qc

t

A

Jednačina kontinuiteta:

Ako se pretpostavi da postoji jednoznačna veza između proticaja i dubine

0x

)QQ)(1()QQ(c

t

)QQ)(1()QQ( nk

n1k

1nk

1n1k

n1k

1n1k

nk

1nk =

∆

−θ−+−θ+

∆

−ψ−+−ψ +++

++++

+

ψ - koeficijent ponderacije po rastojanju, θ - koeficijent vremenske ponderacije

x

t

k+1Q

n+1

k+1Q

n

kQ

n

kQ

n+1

∆t

∆x

xk

xk+1

tn

tn+1

(1-ψ)∆x ψ∆x

(1-θ)∆t

θ∆t

Q poznato Q nepoznato

5.012

10 <

∆−=<

xBcI

Q

d

ψUslov stabilnosti numeričke šeme je θ=0.5

26

POBOLJŠANI MODEL KINEMATIČKOG TALASAMETODA MASKINGAM-KANŽ

n

k

n

k

n

k

n

k QCQCQCQ 13

1

21

1

1 +++

+ ++=

KANŽ MODELc

xK

∆=

∆−=

xcBI

Q1

2

1X

d

DCr1

DCr1C1 ++

−+=

DCr1

DCr1C 2 ++

++−=

DCr1

DCr1C 3 ++

+−=

x

tcCr∆∆

=xcBI

QD

d ∆=

( )1kk1k QQKXKQV ++ −+=MASKINGAM MODEL

MASKINGAM-KANŽ MODEL

MC sa konstantnim koeficijentima C1, C2, C3 =const. – MC-CP

MC sa promenljivim koeficijentima C1, C2, C3 nisu const. –MC-VP

MASKINGAM-KANŽ SA PROMENLJIVIM KOEFICIJENTIMA

*Q

Parametri modela su funkcija proticaja c(Q), Cr(Q), D(Q)

Koeficijenti C1, C2, C3 se proračunavaju za svaki korak posebno

1)Q(D),Q(Cr),Q(c ***

( )n1k

1nk

* QQ2

1Q +

+ +=

kQ

n+1

kQ

k+1Q

n

n+1

kQ

n

k+1Q

n

2 DCr1

DCr1C1 ++

−+=

DCr1

DCr1C 2 ++

++−=

DCr1

DCr1C 3 ++

+−=

x

tcCr∆∆

=xcBI

QD

d ∆=

kQ

n+1

kQ

k+1Q

n

n+1

kQ

n

k+1Q

n

1

1

++

n

kQ

n

k

n

k

n

k

n

k QCQCQCQ 13

1

21

1

1 +++

+ ++=

27

MASKINGAM-KANŽ SA PROMENLJIVIM KOEFICIJENTIMA

3

kQ

n+1

kQ

k+1Q

n

n+1

kQ

n

k+1Q

n

1

1

++

n

kQ

( )1

11

1

4

1 +++

+ +++= n

k

n

k

n

k

n

k

** QQQQQ

4DCr1

DCr1C1 ++

−+=

DCr1

DCr1C 2 ++

++−=

DCr1

DCr1C 3 ++

+−=

x

tcCr∆∆

=xcBI

QD

d ∆=

**Q

kQ

n+1

kQ

k+1Q

n

n+1

kQ

n

k+1Q

n

1

1

++

n

kQ

n

k

n

k

n

k

n

k QCQCQCQ 13

1

21

1

1 +++

+ ++=

Konačna vrednost izlaznog hidrograma

PRIMER 3

Pravougaoni kanal, B=25m, Id=5%, n=0.015 m-1/3s

Qmax=2Qmin

CP C1=0.586, C2=0.434, C3=-0.02 , Vol=0% VP C1=0.6-0.68, C2=0.31-0.42, C3=-0.02-0.1, Vol>0%

C1>0, C2>0, C3<=0 C1>0, C2>0, C3<=0

MC-CPdx=362.5 m

dt=1min

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T (min)

Q (

m3/s

)

MC-VPdx=362.5m

dt=1min

180

230

280

330

380

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

T(min)

Q(m

3/s

)

Izlazni hidrogrami (CP, VP) u kontrolnom preseku 7∆∆∆∆x:

180

230

280

330

380

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

T (min)

Q (

m3/

s)

ulaz

MC VP

MC CP

28

PRIMER 3

300

310

320

330

340

350

360

370

1 2 3 4 5 6 7 8

n dx

Q(m

3/s)

-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

Vo

l(%

)

maxQ

Vol(%)

KONTROLA TAČNOSTI NUMERIČKOG POSTUPKA

MC-VPdx=362.5m

dt=1min

180

230

280

330

380

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

T(min)

Q(m

3/s

)

0)()()()( =−=− ∫∫T

o

T

o

dtizlazQdtulazQizlazVulazV

Provera “održanja zapremine”

(V.Jevđević)

100*)ulaz(V

)izlaz(V)ulaz(V(%)Vol

−=

MC-CP daje potpuno održanje zapremine

MC-VP pokazuje grešku, ∆V

Greška zapremine (izračunata kroz svaki kontrolni presek dx) pokazuje osobinu konstantnog porasta u smeru propagacije talasa

Izlazni hidrogrami računati pomoću obe metode su zadržali simetričnost oblika ulaznog hidrograma što nije očekivano u prirodnim uslovima.

PRIMER 4

Veći maksimum ulaznog hidrograma uzrokuje veće brzine propagacije talasa.

C2<0 uzrokuje pojavu oscilacija ispod baznog proticaja

Pravougaoni kanal, B=25m, Id=5%, n=0.015 m-1/3s

Qmax=10Qmin

MC-VPdx=500mdt=1min

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20

T(min)

Q(m

3/s

)

C1>0, C2<0, C3>0

MC-VP presek X=500mdx1=100m; dx2=500mdt=1min

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20

T (min)

Q (

m3/

s)

Za manji ∆x nema oscilacija

Ipak, dalje numeričke simulacije za različite ∆x pokazuju da su oscilacije posledica negativnih vrednosti C2

29

REKAPITULACIJA

Model kinematičkog talasa se koristi za proračun neustaljenog tečenja u strmim kanalizacionim cevima gde je dominantan uticaj trenja, gde su promene dubine i brzine duž toka male.

Prednosti:

Relativno jednostavan algoritam proračuna zbog postojanja samo jednog graničnog uslova, uzvodnog i jednoznačne veze između protoka i dubine.

Nedostaci:

� Rešenje jednačina modela kinematičkog talasa ne dozvoljava ublaženje već samo vremensko pomeranje ulaznog hidrograma što ne odgovara prirodnom fenomenu. Pravilnim izborom parametara modela se ovaj nedostatak može ublažiti. Numeričko rešenje jednačina kinematičkog talasa daje izlazni hidrogami više “liči” na prirodni fenomen (ublaženje maksimuma, distorzija oblika hidrograma) za šta je odgovorna numerička difuzija.

� Ne uzima u obzir uticaj uspora.

Priprem a pPriprem a p odlogodloga a -- G ISG IS

A lati zasnovani na G IS tehnologiji A lati zasnovani na G IS tehno logiji -- H idroinform atikaH idroinform atika

30

Primena hidroinformatičkih

alata u pripremi podloga

ne može da nadomesti

nedostajuće ili loše podatke.

PROJEKTOVANJE I MODELIRANJE

� Modele treba kalibrisati

� Modele treba verifikovati

� Ocena tačnosti modela je izuzetno važna

31

1.5

1.0

0.5

0.08 10 12 14 16 18 20 22 24

Q(m

/s)

3

t(h)

0.1

0.05

0.0

i (m

m/m

in)

14.10.1997.merenoBEMUS

OTTHYMO

Primer izmerenih i sračunatih hidrograma oticaja (Kumodraž)

0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0 900.0 1000.0 1100.0 1200.0 1300.0 1400.0 1500.0 1600.0[m]

613.5

614.0

614.5

615.0

615.5

616.0

616.5

617.0

617.5

618.0

618.5

619.0

619.5

620.0

620.5

621.0

621.5

622.0

622.5

623.0

623.5

624.0

624.5

625.0

625.5

626.0

626.5

WATER LEVEL BRANCHES - 1-6-2001 08:36:07 kisa 2g30min.PRF

ISP

US

T 1

5324

5323

5322

5321

532

0

5319

5318

5317

5316

5315

5314

531

3

5312

531

1

5310

530

9

530

8

5307

530

6

5305

530

4

530

3

5302

530

1

5300

5299

529

852

97

5296

529

5

529

4

529

352

92

5291

5290

5289

5288

5287

5286

5285

5284

5283

m3/sDischarge 0.33 0.32 0.32 0.31 0.30 0.30 0.29 0.28 0.27 0.27 0.26 0.25 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.15 0.14 0.11 0.11 0.10 0.07 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.02 0.01

32

Posebnu grupu proračuna i analiza čine proračuni objekata u kanalizaciji kao što su kaskade, prelivi, brzotoci, retenzije i drugo.

Za analizu, dimezinisanje i oblikovanje ovih objekata potrebno je ispuniti niz hidrauličkih uslova koji zavise od tipa i namene građevine.

Preporučuje se korišćenje uputstava, standarda i preporuke koje su definisane na osnovu obimnih ispitivanja na fizičkim modelima.

Ukoliko su postojeća uputstva i standardi nedovoljni, značajni objekti u kanalizaciji mogu se i fizički modelirati u hidrauličkim laboratorijama u cilju preciznog definisanja geometrije objekta, uslova eksploatacije i načina rada objekta.

HIDRAULIČKI PRORAČUN OBJEKATA

REKAPITULACIJA

Koja je svrha primene različitih modela i matematičkog modelovanja tečenja u kanalizaciji?

Pri izboru modela proračuna propagacije talasa kroz sistem kanala sa slobodnom površinom potrebno je znati pod kojim uslovima važe osnovne jednačine različitih modela i kako ti uslovi korespondiraju sa praktičnim zadatkom koji je pred inženjera postavljen

Koji pristup proračuna tečenja u kanalizaciji je primenjen u okviru Godišnjeg zadatka?