Manual Lab 2 Fis Parte 1

8/19/2019 Manual Lab 2 Fis Parte 1

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Caṕıtulo ISegunda Ley de Newton para

movimiento de rotación

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1 Introducción Teórica

En cursos básicos de F́ısica, se describe el movimiento de los objetos como si estos

fueran puntuales, es decir, se desprecia la forma de dichos objetos y se supone que estostienen su masa concentrada en un solo punto llamado centro de masa (CM ). Este mo-

delo es suficiente para describir y entender los movimientos de traslaci ón de los cuerpos

a partir de la famośısima segunda ley de Newton:

F = ma. (1)

Esta ecuación nos permite describir la posición del CM del cuerpo en movimiento,

como función del tiempo r(t), a partir de las fuerzas que provocan cambios en la velo-

cidad del objeto.

A pesar de la utilidad de la fórmula 1, ésta solo nos cuenta una parte de la historia

del movimiento del objeto de interés. Los ingenieros saben de sobra que los objetos,

además de trasladarse, giran. Estos movimientos de rotación alrededor de algún eje de-

terminado son claves para el funcionamiento de maquinarias diversas que realizan algún

tipo de trabajo y de ah́ı su importancia. En esta práctica resaltaremos la importacia

del movimiento de rotación de los cuerpos e introduciremos las cantidades f́ısicas que se

involucran en la descripción de un modelo más realista del movimiento de los objetos

que ya no se consideran puntuales. Debemos notar que para distingir la rotaci ón de un

objeto alrededor de algún eje que pase por su CM , este debe tener una forma especı́fica

(no necesariamente simétrica ni regular), ya que no es posible notar, a simple vista, queun objeto puntual está girando.

Es importante mencionar, antes de entrar en la descripción formal del movimiento

de rotación, que la rotación de los objetos tiene aplicaciones part́ıcularmente divertidas

en actividades como jugar con el boomerang, el billar, el futbol, el beisbol y la danza,

entre otras, donde la rotación de los objetos da origen a efectos especiales . Asimismo,

la rotación de los objetos es muy útil en diversos mecanismos que, hoy por hoy, nos

ahorran demasiado trabajo.

2 Momento de inercia.

Comenzaremos por el caso más sencillo de un movimiento de rotación, que correspon-

de a una partı́cula puntual describiendo una trayectoria circular. A pesar de que hemos

mencionado que ya no nos ocuparemos más de objetos puntuales, sino de objetos con

forma bien determinada, este ejemplo nos servirá para introducir y justificar la utilidad

Universidad Autónoma Metropolitana


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del concepto fundamental de momento de inercia y posteriormente lo generalizaremos

para cuerpos no puntuales. El momento de inercia I asociado a una part́ıcula puntual

de masa m que describe una trayectoria circular de radio r alrededor del eje Z (ver

Figura 1) es:

Figura 1: part́ıcula puntual de masa m que describe una trayectoria circular

I = mr2, (2)

esta expresión no es inventada, aparece de forma natural a lo largo de la descripci ón

del movmiento de rotación, ocupando el lugar de la masa inercial m, en las expresiones

comunes para el movimiento de traslación, como veremos.

Recordemos, en base a la Figura 1 que hay una relación entre la velocidad tangencial

v, el radio de la órbita r y la velocidad angular ω

v = ω × r, (3)

de donde se ve que, por definición, ω es perpendicular al plano generado por v y r, esto

es, el plano de la órbita.

La energı́a cinética E c (enerǵıa de movimiento), asociada a esta part́ıcula es

E c = 1

2mv2. (4)



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4

Debido a que E c es una cantidad escalar, podemos sustituir v2 por el cuadrado de

la magnitud de v que en este caso es v = ωr, aśı

E c = 12

mr2ω2. (5)

Es en este paso que se ve la necesidad de introducir el concepto de momento de

inercia I = mr2 ya que esto nos permite que la ecuación 4 conserve la misma forma

matemática excepto cambiando las variables m → I y v → ω aśı

E c = 1

2Iω2. (6)

3 Momento de inercia de un cuerpo ŕıgido

Un cuepo ŕıgido es un modelo ideal de un objeto que no sufre deformaciones cuando

se le aplican esfuerzos externos, esto significa que las posiciones relativas de todas las

diminutas partes que conforman el cuerpo ŕıgido no cambian bajo el efecto de esfuerzos

externos y por lo tanto el objeto no se deforma. Una vez más, el ejemplo más sencillo

de un cuerpo ŕıgido, es un sistema de n part́ıculas puntuales cuyas posiciones relativas

ri,j permanecen constantes a lo largo del movimiento conjunto del sistema (condición

de cuerpo ŕıgido). Si esto es cierto y ponemos a girar alrededor de algún eje a dicho sis-

tema de part́ıculas (ver la Figura 3.4), cada part́ıcula describirá trayectorias circulares

alrededor de dicho eje con la misma velocidad angular ω a fin de que se cumpla la con-

dición de cuerpo ŕıgido. Entonces podemos usar la definición de momento de inercia dela sección anterior para cada part́ıcula del sistema descrito. Ası́ el momento de inercia

total del sistema puede obtenerse como

I =ni=1

mir2

i , (7)

donde mi es la masa de la i-́esima part́ıcula y r2

i es el cuadrado de la magnitud del

radio de la órbita descrita por la misma.

El ejemplo anterior puede ser generalizado al caso de un ob jeto con forma especı́ficacomo el que se muestra en la Figura 3, que gira alrededor de un eje part́ıcular. El obje-

to puede ser dividido en elementos de volumen infinitesimales dV y suponiendo que la

densidad de masa ρ = dmdV

del cuerpo es constante, tenemos una infinidad de part́ıculas

puntuales que conforman el cuerpo ŕıgido. Bajo estas circunstancias la ecuación 7 se

transforma quedando como



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Figura 2: Sistema de partı́culas girando sobre un eje

I =

r2dm (8)

sustituyendo en la última ecuación dm = ρdV y suponiendo que ρ es constante el

momento de inercia se convierte en una integral de volumen dada por

I = ρ

r2dV (9)

que depende tanto de la geometŕıa del objeto como del eje alrededor del cual rota ya

que r es la distancia de cada diferencial de volumen dV al eje de rotación. Entonces, si

el eje de rotación cambia, cambia el valor de momento de inercia I .

Es sumamente importante notar que el valor del momento de inercia I , como una

cantidad escalar, es extremadamente sensible a la variacion de cualquier parámetro

involucrado tal como el eje de rotación del cuerpo r; la densidad no homogénea delobjeto ρ = cte, aśı como la forma del mismo. Lo anterior permite sospechar que este

concepto debe ser definido por un ente matemático más complejo que un simple escalar.

Es cierto que el momento de inercia queda mejor definido generalmente por una

cantidad tensorial [1]. Sin embargo para los efectos de esta práctica la definición de la

ecuación 7 es suficiente y funcional.



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Figura 3: Cuerpo rigido con forma arbitraria

4 Segunda Ley de Newton para el movimiento de rotación.

Como se mencionó en la sección 1 para hacer la descripción completa del movi-

miento de un objeto no puntual, requerimos además de la ecuación 1 para la traslación

del objeto, una segunda ecuación complementaria para las rotaciones del mismo objeto

alrededor de algún eje, conforme este se traslada.

Retomando la f́ısica del movimiento de un cuerpo ŕıgido, se nos ha dicho de sobra

que la aplicación de una fuerza sobre dicho objeto, provoca cambios en el estado de mo-

vimiento de este, los cuales se manifiestan como un cambio en la velocidad de traslación

del cuerpo (aceleración a). Este hecho es resumido en la relación 1. Sin embargo, una

fuerza no solo provoca traslaciones del cuerpo como un todo, sino que también puedeprovocar rotaciones del mismo alrededor de algún eje. Esta capacidad de una fuerza F

de provocar rotaciones se llama torca τ y es una cantidad vectorial definida como

τ = r × F , (10)

donde r es el vector de posición que va del origen del sistema de referencia, al punto de

aplicación de la fuerza F como se muestra en la Figura 4.



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Figura 4: Definición de torque τ

Si retomamos la ecuación 1 y hacemos el producto cruz con r tenemos

r × [ F = ma]. (11)

y usando la definición 10 y 3 (recordando la condición de cuerpo ŕıgido), se puede

mostrar que 11 se reduce a

τ = mr × [ ω × ( ω × r)]. (12)

Se puede comprobar facilmente que esta última expresión, para un cuerpo ŕıgido en

general toma la forma

τ = I α (13)

con α = dωdt

la aceleración angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Esta última

expresión se puede interpretar como sigue: La torca (el giro) provocada por una fuerza F sobre un objeto ŕıgido provoca un cambio proporcional en la velocidad angular ω del

mismo, cuyo factor de proporcionalidad es el momento de inercia I .



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Actividad 1

Torca y momento de inercia

Torca y momento de inercia

1. Objetivo General

El alumno estudiará experimentalmente el movimiento de rotación de cuerpos

ŕıgidos a partir de la Segunda Ley de Newton para movimiento de rotación.

2. Objetivos Particulares

1. Establecer el concepto de momento de inercia I y justificar la necesidad del mismo,

para describir el movimiento de rotación de un cuerpo ŕıgido.

2. Medir experimentalmente el momento de inercia I de un disco respecto de un eje

perpendicular, que pasa a través de su centro.

3. Medir experimentalmente el momento de inercia I de un disco respecto a uno de

sus diámetros.

3. Introducción Teórica

Según la sección de teoŕıa relacionada con el momento de inercia (sección 4) podemos

medir experimentalmente el momento de inercia I A de un cuerpo arbitrario respecto de

un eje que pasa por el punto A a partir de la segunda Ley de Newton para movimiento

de rotación.

τ A = I Aα (1.1)

donde

α = d2θ

dt2 y τ A = r × F (1.2)

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ACTIVIDAD 1. TORCA Y MOMENTO DE INERCIA 9

en este experimento queremos determinar experimentalmente dos momentos de inercia

distintos, asociados a un disco de masa M y radio R, para ello es necesario contar con

una expresión anaĺıtica. El disco es una figura geométrica que, por su simetŕıa permite

hacer el cálculo anaĺıtico de sus momentos de inercia, lo cual no es posible en generalpara objetos irregulares.

Caso 1En la Figura (1.2) se muestra un disco horizontal que gira respecto al eje perpendicular

que pasa por su centro.

Figura 1.1: Disco que gira alrededor del eje z .

A partir de la definición de momento de inercia

I c =

r2dm. (1.3)

y suponiendo una densidad de masa constante ρ = dmdv

y usando coordenadas cilı́ndricas,

es posible mostrar que

I c = 1

2MR2 (1.4)

Caso 2En la Figura (1.1) se muestra un disco vertical que gira respecto a uno de sus diámetros.

En este caso

I d = 1

4MR2, (1.5)

donde I d el momento de inercia respecto de uno de sus di ámetros.

Las Eq. (1.4) y (1.5) son las expresiones teóricas de los momentos de inercia del

disco con los cuales compararemos el valor experimental obtenido.



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Figura 1.2: Disco que gira alrededor de uno de sus di ámetros

En el experimento, será necesario aplicar una serie de fuerzas de distinta magnitud

que provocaran el torque efectivo τ c ó τ d respectivamente. La magnitud del torque

resultante está dado por.

τ A = rF sen θ (1.6)

con F , la magnitud de la fuerza aplicada; r la distancia del punto de aplicación de F

al eje de rotación considerado; y θ, el ángulo entre r y f . la máxima eficiencia de F

ocurre para θ = 90◦. Como se muestra en el montaje la Figura 1.3

Ası́, la Eq.(1.1) aplicada al disco en el laboratorio queda como:

τ A = rF = I Aα (1.7)

Figura 1.3: Vista superior del disco horizontal (adaptación de montaje PASCO).



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En este montaje la fuerza F la ejerce un hilo tensado por un peso mg que provoca

una aceleración de magnitud a = rα. La Figura 1.4 muestra una vista superior del disco

de la Figura 1.3. Se observa la distancia entre el eje de rotación y el punto de aplicación

de la tensión T . Esta última actúa a través del hilo, produciendo la torca en todo elsistema.

Figura 1.4: Diagrama de cuerpo libre para el disco de radio R.

τ CM

= rT (1.8)

recordemos que r es el radio del carrete de hilo.

Usaremos la Eq. (1.1), para describir la rotación de este sistema respecto a un eje

perpendicular al disco y que pasa por su centro de masa. Aśı, sustituyendo (1.8) en

(1.1):

τ CM

= I CM

α = rT , (1.9)

de modo que

α = rg

I CM

m (1.10)

2. Movimiento de Traslación del bloque de masa m.

El diagrama de cuerpo libre del bloque de masa m, usado en el montaje experimental,se muestra en la Figura 1.5 e indica que:

T − mg = −ma (1.11)

dondela aceleración a del bloque, está relacionada con la aceleración angular α del

carrete de hilo por la ecuación

a = rα, (1.12)



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Figura 1.5: Diagrama de cuerpo libre para el bloque de masa m.

si sustituimos el valor de a en (1.11) encontramos el valor de explićıto de T que podemos

usar en la Eq. (1.9) para obtener

τ CM

= rm(g − rα). (1.13)

Sustituyendo esta última en (1.1) llegamos a:

rm(g − rα) = I CM

α. (1.14)

reordenando terminos puedes establecer una relación lineal entre m y α con pendiente

A y ordenada al origen B dadas por:

A = r2 + I

CM

rg (1.15)

B = 0

4. Suposiciones del modelo teórico

1. El disco es un cuerpo ŕıgido y tiene densidad homogénea

2. No hay fricción entre el eje de rotación de la base y el disco.

5. Cuestionario teórico

1. En qué unidades se mide el momento de inercia I .

2. Lista las variables f́ısicas que determinan el valor del momento de inercia I de un

objeto arbitrario.



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3. Explica en que consiste la condición de cuerpo rigido de un objeto que rota al

rededor de un eje determinado.

4. Calcula anaĺıticamente el momento de inercia I de un cilı́ndro de radio, R; altura,

h y masa, M ; que gira alrededor de:

a) Un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su base.

b) Cuando el eje coincide con uno de sus di ámetros.

5. Escribe la segunda Ley de Newton para movimiento de rotaci ón, explica su sig-

nificado f́ısico y el de las variables involucradas.

6. Analiza el diagrama de cuerpo libre de la Figura 1.5 y apartir de la Eq. (1.11)

obtén, paso a paso, la Eq. (1.14)

7. Reordena la expresión obtenida en el punto anterior y comparala con la ecuación

de la recta, para identificar A y B indicadas en la Eq. (1.15).

6. Material

a) Plataforma giratoria, PASCO ME-8951 b) Polea con soporte. c) Discod) Smart-Timer, PASCO ME-8930 e) Fotocelda PASCO ME-9498A f) Flexómetrg) Balanza h) Juego de pesas. i) Vernier

j) Hilo cáñamo k)Nivel de burbuja.

7. Desarrollo Experimental

ACTIVIDAD 1: Disco en posición horizontal:

1. Monta el sistema experimental como se muestra en la Figura 1.3 cuidando de

nivelar la plataforma PASCO con la ayuda de los tornillos de la base, la regleta y

el dado. El Smart-Timer debe estar en modo de medición de aceleración angular

α.

2. Coloca el disco en forma horizontal sobre la plataforma.

3. Coloca una pesa de masa m al extremo del hilo que pasa por la polea (se sugiere

una masa de aproximada 150 g confirmada con la balanza) y mide la aceleraci ón

angular α provocada. Anota los datos en la Tabla 1.1.

4. Repite el paso 3 para diez masas distintas m y completa la Tabla 1.1.



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ACTIVIDAD 2: Disco en posición vertical:

1. Coloca el disco sobre la base giratoria, esta vez en posición vertical, de tal forma

que gire alrededor de uno de sus diámetros. Cuida de no mover en ningún momento

la base giratoria ya que puede descalibrarse.

2. Repite los pasos del 3 al 4 y registra los datos en la Tabla 1.2.

PRECAUCIONES

1. La base giratoria debe de colocarse y calibrarse en un extremo de la mesa quepermita que la masa caiga sin ser obstrúıda.

2. Una vez calibrada la base, ésta no debe volver a moverse ya que se descalibrará,introduciendo errores sistemáticos en el experimento.

3. Debe comprobar la masa m de cada pesa con la balanza.

8. Registro de Datos Experimentales

Investiga el valor de g en la ciudad de México: g = [m/s2]

Radio del carrete r [m] Diámetro del disco d [m] Masa del disco M [kb]

Tabla 1.1: Disco horizontal.i mi [kg] αi [rad/s

2]1

2

3

4

5

67

8

9

10

Tabla 1.2: Disco vertical.i mi [kg] αi [rad/s

2]1

2

3

4

5

67

8

9

10



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9. Cálculos y Gráficas

Realiza los cálculos que se te indican a continuación, en el espacio correspondiente, y

completa las Tablas en la sección de resultados.

1. Gráfica la aceleración angular α en función de la masa m para cada uno de los

discos, usando los datos de las Tablas 1.2.

2. Encuentra la ecuación emṕırica que relaciona α y m de la forma y = Ax + B e

identifica los parámetros A y B con su respectivas unidades, para cada una de las

Tablas de datos. (Sugerencia: de la Ec. 1.14, despeja α como función de M ).

3. A partir de la pendiente A determina el momento de inercia I CM

experimental del

disco en posición horizontal y vertical. Registra los resultados en la Tabla 1.4.

4. Compara el momento de inercia experimental con el teórico (pregunta 4 del cues-

tionario teórico) y calcula el porcentaje de error en el valor experimental para el

disco en posición vertical y horizontal. Registra los resultados en la Tabla 1.4.

CÁLCULOS

Este espacio es para que realices los cálculos y gráficas indicadas en la secciónanterior.



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.



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RESULTADOS

Tabla 1.3: .Pendiente A Ordenada B Eq de la recta

Disco vertical

Disco horizontal

Tabla 1.4: .I Teórico I Experimental Error % I

Disco vertical

Disco horizontal

OBSERVACIONES

Este espacio es para que escribas tus observaciones y/o precauciones que ayuden a

mejorar la realización del experimento y a la reproducción de los resultados.



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10. Cuestionario experimental

1. Identifica cuales son las variable dependiente e independiente en tu experimento.

2. Menciona tres posibles fuentes de error en tu experimento.

3. Menciona la importancia de nivelar la plataforma giratoria.

4. ¿Cómo podŕıa ayudarte un nivel de burbuja para calibrar la base del dispositivo

para medir momentos de inercia?

5. Usando el montaje experimental, identifica el punto de aplicación de la tension T

y la distancia r de este al eje de rotación.

6. Haz el análisis dimensional de los parámetros A y B de cada ajuste lineal.7. El montaje presentado en este experimento, ¿puede servir para medir el momento

de inercia de cualquier objeto? Justifica tu respuesta.



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Actividad 2

Movimiento de cuerpos rodantes:Plano Inclinado

1. Objetivo General

El alumno analizará experimentalmente el movimiento de un cuerpo que rueda

por un plano inclinado.


1. Determinará experimentalmente la aceleración angular α, y la traslacional a, de

un cuerpo rodante ciĺındrico o esférico, que rueda a lo largo de un plano inclinado.

2. Determinará la fuerza de fricción estática f s y el coeficiente de fricción estático

µs que intervienen en este sistema.

3. Determinará el porcentaje de error al medir la aceleración a a partir de los valores

teórico y experimental.

4. Determinará la máxima velocidad desarrollada por el objeto al final del plano.

3. Introducción TeóricaPara que un cuerpo ruede sin deslizar sobre una superficie, la velocidad instant ánea

del punto de contacto con la superficie debe ser cero. De manera que la velocidad de

traslación del centro de masa vCM

está relacionada con la velocidad angular ω a través

de la relación:

vCM

= Rω (2.1)

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ACTIVIDAD 2. PLANO INCLINADO 20

Y derivando, su correspondiente aceleración aCM

aCM

= Rα, (2.2)

donde R es el radio del cuerpo rodante.En la Figura 2.1 se muestran el diagrama de fuerzas para un cuerpo que rueda por

un plano con un ángulo de inclinación θ. El eje de rotación pasa a través de su CM y

es perpendicular al plano de la figura. Las fuerzas que actúan sobre el objeto rodante

son: la fuerza de fricción estática f s, en sentido opuesto al desplazamiento; el peso M g,

con dos componentes: una en la dirección del movimiento X y la otra en la direccón

Y , finalmente, la normal N perpendicular a la superficie del plano inclinado. Recuerda

que la fuerza de fricción es proporcional a la normal según la relación:

f s = µsN (2.3)

Figura 2.1: Cuerpo rodando por un plano inclinado.

Haciendo un análisis de fuerzas y aplicando la segunda ley de Newton al movimiento

de traslación en la direccón X tenemos

Mg sin θ−

f s = M aCM (2.4)y para la rotación

τ = I CM α = Rf s (2.5)

donde I CM es el momento de inercia del cuerpo rodante respecto a un eje perpendicular

al plano X − Y , que pasa por su centro de masa y α su aceleración angular. Usando

las ecuaciones (2.1) a (2.4) se puede mostrar que:



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aCM

= Mg sin θ

M + I CM R2

. (2.6a)

Sustituyendo esta última expresión en (2.4) en complemento con (2.3) se pueden obtener

las expresiones para f s y µs respectivamente.

f s = I CM

R2 ·

Mg sen θ

M + I CM R2

; µs = I CM

R2 ·

tgθ

M + I CM R2

(2.6b)

Casos Particulares:

i) Si el cuerpo que rueda es una esfera, el momento de inercia respecto a un eje que

pase por su C M es I esf = 2

5MR2 y a

CM = 5

7g sin θ.

ii) Para un ciĺındro, el momento de inercia respecto a un eje que pase por su CM y

perpendicular a sus bases es I cil = 12MR2 y aCM = 23g sin θ

Conservación de la Enerǵıa

Es interesante notar que la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano es estáti-

ca y no dinámica, por lo que no se disipa enerǵıa. Por lo tanto, se cumple el principio

de conservación de la enerǵıa mecánica, es decir, la suma de la enerǵıa potencial gravi-

tatoria E p y la enerǵıa cinética E c permanece constante:

E p + E c = cte, (2.7)

esto es

Mgh = 1

2Mv2

CM +

1

2I CM ω

2. (2.8)

Donde h es la altura máxima desde donde cae el objeto. Usando (2.8) y (2.1) es posible

obtener v2.

v2CM

= 2Mgh

M +I CM R2

(2.9)4. Suposiciones del modelo teórico

1. El objeto que se desliza por el plano inclinado es un cuerpo ŕıgido.

2. El cuerpo rueda sin resbalar.

3. El objeto rodando sobre el plano inclinado constituye un sistema conservativo.



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1. Describe los dos tipos de movimiento que realiza el cuerpo al rodar por el plano

inclinado.

2. ¿Qué tipo de movimiento describe el CM del objeto a lo largo del plano inclinado?

Escribe la ecuación que relaciona la posición como función del tiempo.

3. Identifica la fuerza que produce el rodamiento y calcula la torca producida. ¿A

que ecuación de la sección de teoŕıa corresponde?

4. Escribe la condición para que un cuerpo ruede sin resbalar y expĺıcala.

5. Deduce cada una de las ecuaciones (2.6a) y (2.6b) paso a paso.

6. Deduce la ecuación (2.9) paso a paso.

6. Material

a) Un riel PASCO ME-6962 b) Un Smart Timer PASCO ME-8930

c) Dos fotoceldas PASCO ME-9498A

d) Sensor de movimiento PASCO PS-2103A

e) Una interfase PASCO 750 CI-7650

f) Dos soportes universales g) Un flexómetro

h) Un cuerpo rodante (esfera y/o cilı́ndro)

i) Cinta de masking tape j) Un transportador

k) Un nivel de burbuja l) Una computadora PC

m) Dos Pinzas


1. Mide las dimensiones del objeto rodante y completa la Tabla (2.1).

2. Sost́en el riel en uno de sus extremos con un soporte y una pinza. Selecciona un

ángulo de inclinación θ


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Figura 2.2: Cilindro rodando por un plano inclinado.

4. Fija la fotocompuerta S1 en la posición x0 = 0. F́ıjate que siempre sueltes el

cuerpo rodante en esta posición y asegúrate que el sensor registre su paso.

5. Fija la fotocompuerta S2 en un soporte y col ócala en la posición x1 = 10 cm.

6. Enciende el Smart-Timer, y prográmalo en modo de tiempo (two gate), suelta elcuerpo rodante en la posición x0 = 0 y registra el tiempo que tarda en llegar a la

posición x1 = 10 cm.

7. Repite el paso 5, tres veces, saca un promedio y registra el tiempo promedio y

distancia x1 en la Tabla 2.2.

8. Repite los pasos del 3-6, incrementando la posici ón de la fotocompuerta S2 en

10cm cada vez,hasta completar la Tabla 2.2.



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Esta actividad puede realizarse sustituyendo las dos fotocompuertas porun sensor de movimiento en el extremo superior del plano inclinado,

conectado a la interfase PASCO-750 y el programa de automatizaci ónDATA STUDIO. Es necesario calibrar el sensor antes de usarlo.

El sensor de posición permite obtener simultáneamente las gráficas deposición vs tiempo; velocidad vs tiempo y aceleración vs. tiempo en formaautomatica y los datos pueden ser salvados en un archivo.

OBSERVACIÓN

♣

PRECAUCIONES

1. Cuida que siempre sueltes el cuerpo rodante desde la misma posición.

2. Suelta el cuerpo rodante, sin imprimirle una velocidad inicial.

3. Cuida que el cuerpo rodante interrumpa el haz de luz de ambas fotoceldas paraque comience a medir o, en su caso, que sea detectado todo el tiempo por el sensorde movimiento.


Investiga el valor de g en la ciudad de México: g =

Tabla 2.1: Tabla de datosMasa del cuerpo rodante : M [kg]

Radio : R [m]



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Tabla 2.2: Tabla de datosX [m] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t̄ [s] t

2 [s2]


A continuación, realiza los cálculos que se te indican, en el espacio correspondiente y

completa las tablas en la sección de resultados.

1. Con los datos de la Tabla 2.2, grafica x vs. t utilizando Origin o Excel. ¡No olvides

poner las variables en cada uno de los ejes aśı como las unidades!.

2. Linealiza la gráfica anterior, graficando x vs. t2. Haz el ajuste correspondiente

utilizando Origin o Excel. Asigna a los ejes las variables y unidades respectivas.

3. Identifica los parámetros de la recta ajustada y aśıgnales un significado f́ısico.

Anota tus resultados en la Tabla 2.3, no olvides poner las unidades en el sistema

internacional. Escribe la ecuación de la recta en la sección de resultados de la

Tabla 2.3 y obten el valor experimental de aCM

.

4. Calcula la aceleración teórica del CM con la Ecuación (2.6a).

5. Si utilizaste el sensor de movimiento, de tu gráfica velocidad vs tiempo, determina

la velocidad del cuerpo rodante al final del riel y compárala con el valor teórico

de la Ec. (2.9) y completa la Tabla 2.5.



26/60


CÁLCULOS

Este espacio es para que realices los cálculos y gráficas indicadas en la secciónanterior.



27/60


RESULTADOS

Tabla 2.3: Parámetros de la recta.Pendiente Ordenada al origen Ecuación de la recta

Tabla 2.4: .aCM

Experimental aCM

Teórica Error % aCM

ESFERA

CILINDRO

Tabla 2.5: .vCM

Experimental vCM

Teórica Error % vCM

ESFERA

CILINDRO

OBSERVACIONES





28/60



1. ¿Por qué se sugiere un ángulo θ


29/60

Caṕıtulo II

Pendulo F́ısico: teoŕıa general

29


30/60

30

1 Introducción teórica

Un péndulo f́ısico está constituido por un cuerpo ŕıgido de masa M y forma arbi-

traria, que oscila libremente alrededor del eje Z (perpendicular al plano de rotación)que pasa por el punto A, (Z A). Este se ubica a una distancia dACM del centro de masa

(CM) del objeto, como se muestra en la Fig 2.1.

Figura 2.1: Se indican los parámetros fı́sicos de un péndulo fı́sico, (CM ) Centro de Masa, (A) puntode suspensión, (W ) peso, (θ) ángulo respecto a la vertical, distancia del punto A al CM (d

ACM ).

La segunda Ley de Newton para el movimiento de rotación es

τ A = I Aα, (2.1)

donde la aceleración angular es α = d2θdt2

= θ̈ e I A es el momento de inercia respecto al

eje Z A. Esta ecuación puede reescribirse en términos de los párametros del sistema, es

decir la masa del péndulo (M ) y la aceleración de la gravedad del sitio donde se realizael experimento (g), quedando ası́:

τ A = −dACM Mg sen θ = I Aθ̈. (2.2)

Debido a que el movimiento oscilatorio del péndulo, alrededor del eje de rotación Z A se

debe a la torca (τ A) producida por la componente tangencial del peso (ωτ = M g sen θ).



31/60

31

Reordenando la Ec. (2.2) se obtiene la ecuación de movimiento general para un

péndulo f́ısico arbitrario

θ̈ + d

ACM Mg

I Asen θ = 0. (2.3)

En la aproximación de ángulos pequeños (θ ≤ 10◦ ó θ 1 radián): sen θ ≈ 0, y la

Ec. (2.3) se reduce a la expresión:

θ̈ + d

ACM Mg

I Aθ = 0. (2.4)

Identificando el cuadrado de la frecuencia angular con

ω2 ≡ d

ACM Mg

I A, (2.5)

la Ec. (2.4) puede escribirse como

θ̈ + ω2θ = 0. (2.6)

Está última es conocida como ecuación de movimiento armónico simple (MAS), y una

de sus soluciones es de la forma:

θ(t) = θ0 sen(ωt). (2.7)

Ya que el periodo de oscilación de está función se relaciona con la frecuencia angular

ω mediante la expresión

T = 2π

ω , (2.8)

podemos sustituir (2.5) en (2.8) y reordenando obtenemos una expresión para T dada

por:

T = 2π

I A

dACM

Mg (2.9)

Elevando al cuadrado la ecuación (2.9) se obtiene:

T 2 = 4π2

Mg

I AdACM

. (2.10)

Esta expresión puede desarrollarse para que quede en términos del momento deinercia I CM de un eje paralelo al eje z y que pasa por el centro de masa del péndulo

f́ısico, usando el teorema de ejes los paralelos:

I A = I CM + Md2

ACM (2.11)

donde I CM es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje Z que pasa por el

centro de masa (CM) del péndulo f́ısico.



32/60

32

Sustituyendo (2.11) en (2.10) y reordenando la ecuación, se tiene:

T 2dACM

= 4π2I CM

Mg +

4π2

g d2

ACM . (2.12)

Si hacemos un cambio de variable en (2.12) e identificamos:

x = d2ACM

; y = T 2dACM

,

A = 4π2

g ; B =

4π2I CM Mg

,

obtenemos la ecuación de una ĺınea recta:

y = Ax + B (2.13)

El momento de inercia experimental del péndulo I CM , se obtiene a partir de la ordenada

al origen b, mientras que g experimental se obtiene de la pendiente A.



33/60

Actividad 3

Péndulo F́ısico: barra suspendida enun punto

1. Objetivo General

Medir experimentalmente el momento de inercia I CM de un péndulo f́ısico de

barra, con respecto a su centro de masa (CM ).


1. Estudiar experimentalmente el movimiento de un péndulo f́ısico de barra.

2. Comprobar experimentalmente el teorema de los ejes paralelos.

3. Determinar experimentalmente I CM y g a partir del periodo T y la distancia dACM .

4. Comparar los valores experimentales obtenidos al medir I CM y g con los teóricos

esperados y determinar el error porcentual.


Considere una barra ciĺındrica de longitud L y masa M . Ésta, tiene una serie de per-foraciones alineadas y equidistantes, de aproximadamente tres miĺımetros de diámetro,

distribuidas a lo largo de su longitud L.

Dichas perforaciones permitirán cambiar el punto de suspensión A del péndulo de

barra, como se muestra en la Figura 3.1.

33


34/60

ACTIVIDAD 3. PÉNDULO FÍSICO: BARRA SUSPENDIDA EN UN PUNTO 34

Una vez revisada la teorı́a general del péndulo f́ısico (ver capı́tulo II), retomamos la

expresión matemática que relaciona el periodo T con los parámetros f́ısicos del sistema

Ec. 2.12:

T 2dACM

= 4π2I CM

Mg +

4π2

g d2

ACM

Figura 3.1: Péndulo f́ısico de barra: A, punto de suspensión, CM, centro de masa, w peso, dACM

distancia entre A y CM , L longitud de la barra.

Se puede mostrar que el momento de inercia I CM de una barra que gira respecto al

eje Z que pasa por el C M es.

I CM = 1

12ML2 (3.1)


1. Se desprecia el efecto de fricción entre el péndulo y el eje de rotación de la varilla

localizado en el punto de suspención A.2. Se desprecia la fricción debida al aire.

3. Se considera la aproximación de ángulos pequeños θ 1 rad.

4. Se considera una barra sólida, sin huecos.

5. La oscilación del péndulo f́ısico es en el plano X − Y .



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1. Explique el significado f́ısico de momento de Inercia I .

2. ¿En qué unidades se mide el momento de inercia I ?

3. Escriba la segunda Ley de Newton para el movimiento de rotación y explı́que el

significado f́ısico de la misma. ¿Cuáles son las variables f́ısicas involucradas?

4. Deduzca I CM para una barra sólida que gira alrededor del eje Z (perpendicular

al palno de rotación) localizado en el CM .

5. ¿Cuál es la fuerza responsable de que el péndulo de barra oscile y porqué? Explica.

6. Explica cuáles son los parámetros del sistema que permiten modificar el periodo

de oscilación T del péndulo de barra.

6. Material

a) Mariposa b) Soporte universal con pinza c) Barra con perforacionesd) Eje de rotación e) Balanza Smart f) Transportadorg) Flexómetro h) Smart Timer PASCO ME-8930 i)Fotocompuerta PASCO ME-9498


El montaje para esta acitividad se muestra en la Figura 3.2

1. Registra las dimensiones de la barra y anótalas en la Tabla 3.1 de la siguiente

sección.

2. Localiza sobre la barra a lo largo de su longitud su centro de masa (CM) y márcalo

con masking tape.

3. Haz el montaje que se muestra en la Figura 3.2, poniendo el smart timer en modo

de pendulum .

4. Suspende la barra en el orificio más cercano a uno de sus extremos y hazla oscilar

con un ángulo maximo fijo θ


36/60


Figura 3.2: Montaje experimental para medir el periodo de oscilación T , del péndulo de barra.

7. Cambia el punto de suspensión A de la barra y repite los pasos del 4 al 6 para

diez orificios diferentes y completa la Tabla 3.2.

PRECAUCIONES

1. Toma en cuenta solo los orificios a lo largo de la barra que se encuentran de unlado del C M .

2. Elige, como puntos de suspensión, orificios en forma alternada, uno si y uno no,iniciando con el más alejado al CM .

3. Si mides T con cronómetro, registra el tiempo de 5 oscilaciones completas seguidas

y divide entre 5 para obtener el promedio de T .

4. Si registras T con fotocelda y Smart Timer mide el periodo 3 veces y promedia.

5. Asegurate de que la oscilación sea en el plano X − Y .



37/60



Investiga el valor de g en la ciudad de México : g =

Tabla 3.1: Parámetros del péndulo de barraMasa de la varilla [kg]

Longitud de la varilla [mts.]

Tabla 3.2: Datos obtenidos del experimentoi d

ACM [mts] T i [segs] d

2

ACM [m2] T 2i dACM [s

2 · m]1

23

4

5

6

7

8

9

10


1. A continuación, realiza los cálculos que se te indican en el espacio correspondiente

y completa la Tabla 3.3 de la sección de resultados.

2. Usando los datos registrados en la Tabla 3.1 y la ec. (2.12) determina el valor

teórico del I CM de la barra.

3. Con los datos de la Tabla 3.2, grafica el periodo de T como función de la distancia

dACM y determina si el comportamiento es lineal.

4. Haz el cambio de variable adecuado para linealizar la ecuación 2.12 que relaciona

T y dACM

y completa las columnas 3 y 4 de la Tabla 3.2.

5. De la ecuación linealizada, realiza el ajuste correspondiente para obtener la pen-

diente A y ordenada al origen B de la recta resultante, anota tu resultado en la

Tabla 3.3.



38/60


6. A partir del ajuste anterior determina los valores experimentales del valor local

de la aceleración de la gravedad g e I CM para la barra.

7. Compara los valores experimentales obtenidos en el punto anterior con los teóricos

reportados en la literatura y obtén el porcentaje de error cometido.

8. Realiza un dibujo cualitativo de las gráficas obtenidas en el punto 3 y 5.

CÁLCULOS

Este espacio es para que realices los cálculos y gráficas indicadas en la sección anterior.



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RESULTADOS

Tabla 3.3: Tabla de resultadosPendiente A Ordenada al Origen B (I CM )exp (I CM )teo % de error

gexp gteo

Ecuación dela Recta ajustada

OBSERVACIONES





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1. Identifica cuales son las variables dependiente e independiente en tu sistema.

2. Menciona tres posibles fuentes de error en tu práctica.

3. ¿Porqué es necesario promediar el periodo de oscilación T de la barra oscilante?

4. ¿Porqué solo se toman en cuenta los orificios de la barra de un solo lado del CM ?

Y entonces ¿porqué hay orificios a ambos lados del CM ?

5. Has el análisis dimensional de los parámetros A y B del ajuste lineal.

6. ¿Qué precauciones ayudaŕıan a que tu montaje experimental sea lo más parecido

al modelo teórico?



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Actividad 4

Péndulo F́ısico: barra con disco

1. Objetivo General

Medir experimentalmente el momento de inercia I CM

de un péndulo f́ısico de barra

con disco respecto aun eje perpendicular a su plano de rotación que pasa por su

centro de masa C M .


1. Estudiar experimentalmente el movimiento de un péndulo f́ısico formado por una

barra unida a disco.


3. Determinar experimentalmente I CM

y g a partir del periodo T y la distancia dACM

.

4. Comparar los valores experimentales obtenidos al medir I CM

y g a partir del

péndulo barra-disco con los teóricos esperados y determinar el error porcentual.


Considere una barra ciĺındrica de longitud L y masa m, unida a un disco de masa M yradio R, como se muestra en la Figura 4.1. La barra, tiene una serie de perforaciones ali-

neadas y equidistantes, de aproximadamente tres miĺımetros de diámetro, distribuidas

a lo largo de su longitud L.

Dichas perforaciones permitirán cambiar el punto de suspensión A del sistema barra-

disco.

41


42/60

ACTIVIDAD 4. PÉNDULO FÍSICO: BARRA CON DISCO 42


expresión matemática Ec. 2.12: que relaciona T con los parámetros del sistema (barra-

disco):

T 2dACM = 4π

2

I CM M T

g + 4π

2

g d2ACM , (4.1)

donde M T

= M + m y CM , el centro de masa del sistema barra-disco.

Por lo que es necesario tener una expresión teórica para I CM

del sistema barra-disco

alrededor del eje z que pasa por el centro de masa del sistema.

Figura 4.1: Diagrama del péndulo barra-disco bajo el efecto de la fuerza de gravedad.

En la Figura 4.1 se muestra el sistema barra-disco, el cual se puede considerar como

un sistema de dos masas puntuales m y M ubicadas a la mitad de la barra L/2 y en el

centro del disco L + R, suponiendo el origen en el extremo libre de la barra. Aśı, usando

la definición de centro de masa, en este sistema está localizado en:

rCM

=L2

m + (L + R)M

M T

(4.2)

Usando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia I A

del sistema barra-

disco con respecto al punto de suspensión en A es:

I A

= I CM

+ d2ACM

(M + m) (4.3)



43/60


dACM

es la distancia desde el eje de rotaci ón en A hasta el centro de masa CM del

sistema barra-disco.

Usando la propiedad aditiva del momento de inercia: el momento total del sistema

barra-disco I A alrededor del eje z localizada en el punto A, es la suma de los correspon-dientes momentos del disco I d y de la barra I b.

I A

= I bA

+ I dA

(4.4)

Se puede mostrar que los momentos de inercia independientes I CMb

e I CMd

, de la barra

y el disco respecto al eje z que pasa por sus respectivos centros de masa son:

I CMb

= 1

12mL2 (4.5)

I CMd =

1

2MR2

. (4.6)

Aśı, usando el teorema de ejes paralelos, los momentos independientes I bCM

e I dCM

res-

pecto al eje z que pasa por el centro de masa (CM ), del sistema completo barra-disco

quedan:

I bCM

= I CMb

+ m

rCM

− L

2

2

(4.7)

I dCM

= I CMd

+ M (L − rCM

+ R)2 (4.8)

Sustituyendo (4.5) en (4.7) y (4.6) en (4.8) y utilizando la propiedad aditiva 4.4

aplicada al eje z que pasa por (CM ), obtenemos la expresión analı́tica del momento de

inercia I CM

del sistema completo barra-disco respecto de su centro de masa ( CM ):

I CM

= 1

12mL2 +

1

2MR2 +

Mm

(M + m)

L

2 + R

2

(4.9)


1. Se desprecia el efecto de la fricción entre el péndulo y el eje de rotación del mismo.2. Se desprecia la fricción con el aire.


4. Se considera una barra sólida, sin huecos.




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1. Explica el significado fı́sico de momento de Inercia I A

.

2. ¿Cuáles son las unidades del momento de inercia?

3. Escribe la segunda Ley de Newton para el movimiento de rotaci ón y explica el

significado f́ısico de la misma y de las variables f́ısicas involucradas.

4. Sige paso a paso los c álculos de la sección de teoŕıa para obtener, la Eq. 4.9

asociada al momento de inercia I CM

del sistema barra-disco que gira alrededor

del eje z (perpendicular al plano de rotación) localizado en el C M .

5. ¿Cuál es la fuerza responsable de que el sistema barra-disco oscile? Explica.

6. Explica ¿cuáles son los parámetros del sistema que permiten modificar el periodo

de oscilación T del péndulo barra-disco?

6. Material

a) Eje de rotación b) Soporte universal c) Barra con perforaciones y discod) Transportador e) Mariposa y pinza f) Flexómetrog) Balanza h) Smart-Timer PASCO ME-8930 i) Fotocompuerta PASCO ME-949


El montaje para esta acitividad se muestra en la Figura 4.2.

1. Mide las dimensiones de la barra y el disco y anotalas en la Tabla 4.1 de la sección

registro de datos.

2. Determina la posición del centro de masa de la barra CMb y anotala en la Ta-

bla 4.1.

3. Determina la posición del centro de masa del disco CMd y anotala en la Tabla 4.1.

4. Atornilla el disco a la barra, tomando precaución de que los orificios estén alinea-

dos con la cara plana del disco.

5. Determina la posición del centro de masa CM del sistema barra-disco y anótalo

en la Tabla 4.1.

6. Coloca el eje de rotacíon en el soporte y fı́jalo con la mariposa.



45/60


Figura 4.2: Montaje experimental para medir el periodo de oscilación T del péndulo barra-disco.

7. Elige el orificio de la barra más lejano al disco para su suspensión, y sostenlo enel eje de rotación.

8. Mide la distancia dACM

del punto de suspensión A al centro de masa CM del

sistema barra-disco y anótalo en Tabla 4.2.

9. Conecta la fotocelda al smart-timer en el modo “pendulum”, y colocala sobre la

mesa de modo que al oscilar el péndulo interrumpa la señal de la compuerta.

10. Con el Smart-Timer mide el periodo de oscilaci ón T y anótalo en la Tabla 4.2.

11. Usando el transportador, separa la barra un ángulo de 10◦ respecto a la vertical

y suéltala.

12. Repite los pasos del 8 al 11 para diferentes puntos de suspensión A a lo largo de

la barra, hasta obtener 10 mediciones y completa la Tabla 4.2.



46/60


PRECAUCIONES

1. Elige, como puntos de suspensión, orificios sobre la barra en forma alternada, unosi y uno no, iniciando con el más alejado del disco.

2. Si mides T con cronómetro, registra el tiempo de 5 oscilaciones seguidas y divideentre 5.

3. Si registras T con fotocelda y Smart-timer mide el periodo 3 veces y promedia.


Registra el valor de g en la ciudad de México : g =

Tabla 4.1: Parámetros del sistema barra-disco.

Masa de la barra m [kg]Masa del disco M [Kg]Radio del disco R [m]Longitud de la barra L [m]Posición del centro de masa de la barra rCMb [m]Posición del centro de masa del disco rCMd [m]Posición del centro de masa del sistema barra-disco r

CM [m]

Tabla 4.2: Datos obtenidos del experimentoi T i [s] dACM [m] d

2


2m]1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



47/60



A continuación, en el espacio correspondiente, realiza los cálculos que se te indican y

completa las tablas en la sección de resultados.

1. Con los datos de la Tabla 4.2, grafica el periodo T como función de la distancia

dACM

.

2. Determina si el comportamiento es lineal y completa las columnas 3 y 4 de la

Tabla 4.2.

3. No olvides poner las variables en cada uno de los ejes ası́ como las unidades en el

sistema internacional.

4. Linealiza la gráfica del punto 1. mediante el cambio de variable adecuado. Haz elajuste correspondiente. Etiqueta los ejes con las variables y unidades respectivas

en el sistema internacional.

5. Obtén los parámetros de la recta haciendo el ajuste correspondiente y asignales

un significado f́ısico. Anota tus resultados en la Tabla 4.3. Escribe la ecuación de

la recta en la Tabla 4.3.

6. Obtén el valor experimental de I CM

y g anótalo en la Tabla 4.3. Compara con el

valor teórico a partir de la Eq. (4.9) y determina el porcentaje de error.

CÁLCULOS

Este espacio es para que realices los cálculos y gráficas indicadas en la sección

anterior.



48/60


.



49/60


RESULTADOS

Tabla 4.3: Análisis de resultados

Pendiente A Ordenada al Origen B (I CM

)exp (I CM )teo % de error

gexp gteo

Ecuación dela Recta

OBSERVACIONES





50/60



1. Identifica cuales son las variables dependiente e independiente en tu sistema.

2. Menciona tres posibles fuentes de error en tu experimento.

3. ¿Porqué es necesario promediar el periodo de oscilación T del péndulo barra-disco?

4. Has el análisis dimensional de los parámetros A y B del ajuste lineal.



51/60

Actividad 5

Péndulo F́ısico: Triángulorectángulo

1. Objetivo General

Medir experimentalmente el momento de inercia I CM

de un péndulo fı́sico en forma

de triángulo rectángulo, que rota alrededor de un eje perpendicular ası́ mismo y

que pasa por su centro de masa (CM ).


1. Estudiar experimentalmente el movimiento de un péndulo f́ısico en forma de

triángulo rectángulo.


3. Determinar experimentalmente I CM

y g a partir del periodo T y la distancia dACM

medidos en el laboratorio.

4. Comparar los valores experimentales para I CM

y g a partir del péndulo de triángulo

con los teóricos esperados y determinar el error porcentual.


Considere un triángulo rectángulo de catetos l1 y l2 , y masa M , como se muestra en

la Figura 1. El triángulo tiene una serie de perforaciones de aproximadamente 3 mm

de diámetro, distribuidas a lo largo de su superficie. Dichas perforaciones permitirán

cambiar el punto de suspensión A del triángulo.

51


52/60

ACTIVIDAD 5. PÉNDULO FÍSICO: TRIÁNGULO RECTÁNGULO 52


expresión matemática que relaciona T con los parámetros del triángulo Ec. (2.12):

T 2

dACM =

4π2I CM

Mg +

4π2

g d2

ACM

Por lo anterior es necesario tener una expresión teórica para I CM

del triángulo res-

pecto al eje z que pasa por su centro de masa C M .

El momento de inercia I A

del triángulo con respecto al eje z que pasa por el punto

de suspensión A, puede expresarse como:

I A = I Ax + I Ay, (5.1)

donde I Ax es el momento de inercia considerando que el triángulo rota alrededor del

eje x que pasa por A; mientras que I Ay es el momento de inercia considerando que el

triángulo rota alrededor del eje y que pasa por A. Para simplificar los cálculos siguien-

tes consideramos que el punto A es el vértice del triángulo asociado al ángulo recto del

mismo en donde ubicaremos el origen aśı A = (0, 0).

Cálculo de I Ax:

Suponiendo que el triángulo rota alrededor del eje x, el momento de inercia con

respecto a este eje, según la definición es:

I Ax = y2dm. (5.2)Donde y es la distancia perpendicular al eje de rotación x y dm es una pequeña cantidad

de masa ( diferencial de masa). Ya que el triángulo es una placa de espesor constante,

podemos definir una cantidad llamada densidad superficial de masa σ como:

σ = dm

dS , (5.3)

donde ds es una diferencial de superficie, aśı:

I Ax = σ y2dS. (5.4)La Figura 5.1 muestra que dS es un rectángulo de lados x y dy respectivamente:

con area dS = xdy aśı que I Ax Eq. 5.4 queda como:

I Ax = σ

y2xdy. (5.5)

Evaluando la integral se obtiene que:



53/60


Figura 5.1: Triángulo rectángulo que gira alrededor del eje y .

I Ax = 1

6Ml

2

2 (5.6)

Aśı que la ecuación (5.4) se puede escribir de esta manera:

De la misma forma, usando la Figura 5.2 y notando que dS = ydx, podemos evaluar

I Ay como:

I Ay = x2dm (5.7)para obtener:

I Ay = 1

6Ml

2

1. (5.8)

Sustituyendo Eq (5.8) y Eq (5.6) en Eq (5.1) ahora podremos expresar I A como:

I A = 1

6M (l

2

1 + l

2

2) (5.9)

Usaremos a hora el teorema de los ejes paralelos para encontrar el momento de

inercia I CM

refererido al eje z que pasa por el centro de masa CM del triángulo (Ver

Figura 5.1 y 5.2), en terminos de I A Eq (5.9).

I A

= I CM

+ Md2ACM

. (5.10)

dACM

es la distancia del punto A al centro de masa CM (recordando las coordenadas

de A = (0, 0)), es decir:

d2ACM

= l2

1 + l

2

2

9 (5.11)



54/60


Figura 5.2: Triángulo rectángulo que gira alrededor del eje y .

sustituyendo (5.11) y (5.9) en (5.10) se puede mostrar que:

I CM

= 1

18M (l

2

1 + l

2

2). (5.12)


1. Se desprecia el efecto de la fricción entre el péndulo y el eje de rotación del mismo.

2. Se desprecia la fricción con el aire.


4. Se considera un triángulo sólido, sin huecos.




55/60


Figura 5.3: Péndulo f́ısico en forma de triángulo rectángulo.


1. Explica el concepto de momento de Inercia.

2. A partir de la definición matemática para I A

comprueba la Eq. (5.1).

3. Basandote en la Figuras 5.1 y 5.2 evalúa I Ax e I Ay y obtén las expresiones analı́ticas

5.6 y 5.8.

4. Investiga las coordenadas del CM de un triángulo rectángulo de catetos l1 y l2respectivamente.

5. A partir del teorema de ejes paralelos obtén, paso a paso, la expresión 5.12.

6. ¿Cuál es la fuerza responsable de que el péndulo oscile y por qué? Explica.

7. Explica cuáles son los parámetros del sistema que permiten modificar el periodo

de oscilación T del péndulo en forma de triángulo rectángulo.

8. ¿Cuáles son las aproximaciones en este modelo?.

6. Material

a) Triángulo con perforaciones b) Soporte c) Eje de rotaciónd) Pinzas e) Balanza f) Flexómetrog) Fotocompuerta pasco ME-9498A h)Smart Timer PASCO ME-8930



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Figura 5.4: Monta je del péndulo f́ısico de triángulo rectángulo.

1. Mide las dimensiones del triángulo y registralas en la Tabla 5.1 de la siguiente

sección.

2. Localiza el centro de masa (CM ) del triángulo y marcalo con masking tape .

3. Has el montaje como se muestra en la Figura 5.4.

4. Suspende el triángulo por el orificio más cercano a uno de sus vértices y hazlooscilar con un ángulo θ 10◦.

5. Registra el tiempo de 5 oscilaciones completas, divide entre 5 para obtener el

periodo promedio T .

6. Registra en la Tabla 5.2 el valor obtenido para T vs. dACM

(ésta es la distancia

entre el orificio A y C M del triángulo).



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7. Cambia el punto de suspensión de la barra y repite los pasos del 4 al 6 para diez

diferentes puntos de suspensión A.

PRECAUCIONES

1. Elige como puntos de suspensión los orificios más alejados del CM .

2. Cuida que la oscilacíon sea en el plano del triángulo.

8. Registro de Datos ExperimentalesToma el valor de g en la ciudad de México : g =

Tabla 5.1: Datos del triánguloMasa del triángulo M [kg]Longitud del cateto l1 [m]Longitud del cateto l2 [m]

Tabla 5.2: Registro de datos para el sistema barra más discoT i [s] dACM [m] d

2


2m]



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1. Con los datos de la Tabla 5.1 grafica periodo T como función de la distancia dACM

y determina si el comportamiento es lineal.

2. Has el cambio de variable adecuado para linealizar la ecuación que relaciona T

con dACM

y completa las columnas 3 y 4 de la Tabla 5.1.

3. De la ecuación linealizada, realiza el ajuste correspondiente y obtén la pendiente

A y ordenada al origen B de la recta con sus respectivas unidades.

4. Determina los valores experimentales de g e I CM

para el triángulo a partir del

ajuste anterior.

5. Compara los valores experimentales obtenidos en el punto anterior con los teóricoscorrespondientes y obtén el porcentaje de error.

CÁLCULOS

Este espacio es para que realices los cálculos y gráficas indicadas en la sección anterior.



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.



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RESULTADOS

Pendiente A Ordenada al Origen B (I CM

)exp (I CM )teo % de error

gexp gteo

Ecuación dela Recta

OBSERVACIONES



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Manual Lab 2 Fis Parte 1